(word完整版)新课标高中数学必修2直线与方程
(word完整版)高中数学必修2直线与方程练习题及答案详解(2021年整理)
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直线与方程复习A一、选择题1．设直线0ax by c ++=的倾斜角为α,且sin cos 0αα+=,则,a b 满足( ） A ．1=+b a B ．1=-b aC ．0=+b aD ．0=-b a2．过点(1,3)P -且垂直于直线032=+-y x 的直线方程为（ ） A ．012=-+y x B ．052=-+y xC ．052=-+y xD ．072=+-y x3．已知过点(2,)A m -和(,4)B m 的直线与直线012=-+y x 平行， 则m 的值为（ ）A ．0B ．8-C ．2D ．104．已知0,0ab bc <<，则直线ax by c +=通过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限5．直线1x =的倾斜角和斜率分别是（ ） A ．045,1B ．0135,1-C ．090，不存在D ．0180,不存在6．若方程014)()32(22=+--+-+m y m m x m m 表示一条直线,则实数m 满足( ） A ．0≠mB ．23-≠mC ．1≠mD ．1≠m ，23-≠m ，0≠m 二、填空题1．点(1,1)P - 到直线10x y -+=的距离是________________。
人教新课标版数学高一必修2课件直线的一般式方程
3.2.3 直线的一般式方程
学习目标
1.掌握直线的一般式方程； 2.理解关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)都 表示直线； 3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
我们共学习了哪几种直线方程的形式?
y y0 k (x x0 )
1 23 4
解析答案
课堂小结
1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法 (1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都 不存在，则还要判定不重合. (2)可直接采用如下方法： 一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0. l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0. 这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考 虑不周而造成失误的可能性.
答案
问题3 当B≠0时，方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)表示怎样的直
线？B＝0呢？ 答案 当 B≠0 时，由 Ax＋By＋C＝0 得，y＝－BA x－CB， 所以该方程表示斜率为－BA， 在 y 轴上截距为－CB的直线； 当 B＝0 时，A≠0，由 Ax＋By＋C＝0 得 x＝－CA， 所以该方程表示一条垂直于x轴的直线．
点斜式
y kx b
斜截式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
两点式
x y 1 ab
截距式
自主学习
知识点一 直线的一般式方程
形式 条件
Ax＋By＋C＝0 A，B 不同时为0
答案
知识点二 直线的一般式与点斜式、斜截式、两点式、截距式的关系
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(word完整版)新课标高中数学必修2直线与方程
3.1知识表直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率(1)直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线.(2)直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角. 倾斜角的取值范围是0 °<a <180 ° .(3)直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率. 倾斜角是90°的直线的斜率不存在.过P i( X i, yj , P2(X2, y2)(X2^X i)两点的直线的斜率芯-心特别地是，当为x2,y y2时，直线与x轴垂直，斜率k不存在；当Xi他,y i y?时，直线与y轴垂直，斜率k=0.注意：直线的倾斜角a =90。
时，斜率不存在，即直线与y轴平行或者重合.当a =90°时，斜率k=0；当0 90时，斜率k 0,随着a的增大，斜率k也增大；当90 180时，斜率k 0,随着a的增大，斜率k也增大.这样，可以求解倾斜角a的范围与斜率k取值范围的一些对应问题.倾斜角斜率1. 特殊角与斜率※基础达标1 .若直线X 1的倾斜角为，则等于( ).A. 0 B . 45° C . 90 ° D .不存在2•已知直线I的斜率的绝对值等于.3，则直线的倾斜角为( ).A. 60 °B. 30 °C. 60 °或120°D. 30 °或150°3. 已知直线经过点A(0,4)和点B (1 , 2),则直线AB的斜率为_________________4. 经过两点A(4, 2y 1),B(2, 3)的直线的倾斜角为135°,则y的值等于( )5. 过点P( —2, m)和Qm4)的直线的斜率等于1，则m的值为( ).A.1B.4C.1 或3D.1 或46 .已知两点A( X , —2),耳3 , 0)，并且直线AB的斜率为2，则X =7. 已知过两点A(m 2,m 3), B(3 m m,2m)的直线I的倾斜角为45°，求实数m的值.&若三点P ( 2, 3), Q( 3, a ), R4 , b)共线，那么下列成立的是()A. a 4,b 5B. b a 1C. 2a b 3D. a 2b 39. 若A(1 , 2),耳-2 , 3) , C(4 , y)在同一条直线上，则y的值是10. 已知三点A(a, 2)、B(3 , 7)、C(-2 , -9 a)在一条直线上，求实数a的值.11. 光线从点A(2,1)出发射入y轴上点Q再经y轴反射后过点B(4,3)，试求点Q的坐标，以及入射光线、反射光线所在直线的斜率.※能力提高12. 已知A(2, 3),B( 3, 2)两点，直线I 过定点P(1,1)且与线段AB 相交，求直线I 的斜率k 的取值范围13. 已知两点 M 2，- 3)、N ( — 3,— 2)，直线I 过点R1 , 1)且与线段MN 相交，则直线I 的斜率k 的取值 范围是(A )333B.— 4< k w C.w k w 4 D. — w k w 4444B (3, 0), 过点P (-1,2)的直线I 与线段AB 始终有公共点，求直线15.右图中的直线I 1、I 2、I 3的斜率分别为 k 1、k 2、k 3」y ( ).A . k 1< k 2< k 3B. k 3< k 1< k 2C. k 3< k 2< k 1D. k<k 3< k 2§ 3.1.2 两条直线平行与垂直的判定基础知识：1.两条不重合的直线平行或垂直，则(1) 11 // 12k 1=k 2 (2) I 1丄12 k 1 • k 2= — 1.若I 1和I 2都没有斜率，则I 1与I 2平行或重合.若I 1和I 冲有一条没有斜率而另一条斜率为0，则I 1丄I 2.【例1】四边形 ABC 啲顶点为A(2,2 2.2)、B( 2,2)、C(0,22 2)、D(4,2)，试判断四边形 ABCD的形状.【例2】已知 ABC 的顶点B(2,1), C( 6,3)，其垂心为H( 3,2)，求顶点A 的坐标.3 5【例3】(1)已知直线I 1经过点M( -3 , 0)、N( -15,-6 ), I 2经过点R( -2 , 3 )、S (0, 5 )，试判2 2断l 1与I 2是否平行？(2) l 1的倾斜角为45°, I 2经过点P (-2 , -1 )、Q( 3, -6 )，问I 1与I 2是否垂直？【例 4】已知 A( 1, 1), B (2 , 2), C (3 , -3 ),求点 D,使直线 CDL AB 且 CB// AD点评：通过设点D 的坐标，把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起，联系的 纽带是斜率公式.解题的数学思想是方程求解，方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系 .※基础达标1 .下列说法中正确的是( ).A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等3A. k > 或 k w — 4414.已知两点A (-2,- 3), 的取值范围•I 的斜率kC. 垂直的两直线的斜率之积为-1D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行2. 若直线h、J的倾斜角分别为1、2,且l1 J,则有( ).A. 1290o B. 2190° C. | 2190oD. 12180°3. 经过点P( 2,m)和Q(m,4)的直线平行于斜率等于 1的直线，则 m的值是()A . 4 B. 1C. 1 或 3D. 1 或 44. 若 A( 4,2), B(6, 4), C(12,6),D(2,12),则下面四个结论： ①AB//CD :②AB CD :③AC // BD ; ④ACBD .其中正确的序号依次为( )A. ①③B. ①④C.②③ D.②④5.已知 ABC 的三个顶点坐标为 A(5, 1), B(1,1), C(2,3)，则其形状为().A.直角三角形B.锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断6.直线11,12的斜率是方程x 2 3x 1 0的两根，则h 与12的位置关系是.7•若过点A (2, 2),B(5,0)的直线与过点P(2m,1),Q( 1, m)的直线平行，则 m=. ※能力提高&已知矩形 ABCD 的三个顶点的分别为 A(0,1), B(1,0), C(3,2)，求第四个顶点 D 的坐标. 9.ABC 的顶点A(5, 1), B(1,1), C(2,m)，若 ABC 为直角三角形，求 m 的值.※探究创新10. 已知过原点 O 的一条直线与函数 y =log 8X 的图象交于 A B 两点，分别过点 A B 作y 轴的平行线 与函数y =log 次的图象交于C 、D 两点.(1) 证明：点C D 和原点O 在同一直线上.(2)当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.必修二3.2知识表线段昭2中点坐标公式(宁§ 3.2.1直线的点斜式方程※基础达标1..写出下列点斜式直线方程：(1)经过点 A(2,5)，斜率是 4; y 5 4(x 3) (2)经过点 B(3, 1)，倾斜角是 30o. y 1 3(x 3).32. 倾斜角是135o，在y 轴上的截距是3的直线方程是 . 3. 直线y ax b ( a b = 04.已知直线l 过点P(3,4)A. y 4 2(x 3) B. y 4 x 3 C. y 40 D. x 35•过点M 2,1的直线与x 、y 轴分别交于P 、Q 若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为 __________________名称 几何条件方程 局限性点斜式 过点(x 0, y o )，斜率为k y — y 0=k(x — X 。
新课标高级中学数学必修2直线与方程
3.1知识表直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率（1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．（2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．（3）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．倾斜角是90°的直线的斜率不存在．过P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 2≠x 1）两点的直线的斜率特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.1.特殊角与斜率 ※基础达标1．若直线1x =的倾斜角为α，则α等于（ ）.A ．0B ．45°C ．90°D ．不存在2．已知直线l 3 ）.A. 60°B. 30°C. 60°或120°D. 30°或150° 3. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为__________4.经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜角为1350，则y 的值等于 （ ） 5.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）. A.1 B.4 C.1或3 D.1或46．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ .7.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.8．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是( ) A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -=9．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 10.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．11．光线从点(2,1)A 出发射入y 轴上点Q , 再经y 轴反射后过点(4,3)B , 试求点Q 的坐标,以及入射光线、 反射光线所在直线的斜率.倾斜角 斜率※能力提高12．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.13.已知两点M (2，－3)、N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( A )A.k ≥43或k ≤－4 B.－4≤k ≤43 C. 43≤k ≤4 D.－43≤k ≤4 14.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k的取值范围.15.右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定基础知识：1.两条不重合的直线平行或垂直，则（1）l 1∥l 2 ⇔k 1=k 2（2）l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=－1. 若l 1和l 2都没有斜率，则l 1与l 2平行或重合.若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l 1⊥l 2. 【例1】四边形ABCD 的顶点为(2,222)A +、(2,2)B -、(0,222)C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状.【例2】已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．【例3】（1）已知直线1l 经过点M （-3，0）、N （-15，-6），2l 经过点R （-2，32）、S （0，52），试判断1l 与2l 是否平行？（2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1）、Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？【例4】已知A （1，1），B （2，2），C （3，-3），求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ．点评：通过设点D 的坐标，把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起，联系的纽带是斜率公式. 解题的数学思想是方程求解，方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.※基础达标1．下列说法中正确的是（ ）.A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等C. 垂直的两直线的斜率之积为-1D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行 2．若直线12l l 、的倾斜角分别为12,αα、且12l l ⊥，则有（ ）.A. 1290αα-=o B. 2190αα-=o C. 2190αα-=o D. 12180αα+=o3．经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是（ ）. A ．4 B ．1 C ．1或3 D ．1或4 4．若(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)A B C D --， 则下面四个结论：①//AB CD ；②AB CD ⊥；③//AC BD ；④AC BD ⊥. 其中正确的序号依次为（ ）.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④5．已知ABC ∆的三个顶点坐标为(5,1),(1,1),(2,3)A B C -，则其形状为（ ）. A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断6．直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则12l l 与的位置关系是 .7．若过点(2,2),(5,0)A B -的直线与过点(2,1),(1,)P m Q m --的直线平行，则m = . ※能力提高8．已知矩形ABCD 的三个顶点的分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，求第四个顶点D 的坐标． 9． ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ∆为直角三角形，求m 的值.※探究创新10．已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.（1） 证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.必修二3.2知识表名称几何条件方程 局限性点斜式 过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0=k(x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 斜率为k ，纵截距为by=kx ＋b不含垂直于x 轴的直线找要素，写方程（两点、一点一斜、两截）设方程，求系数（讨论）线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++ §3.2.1 直线的点斜式方程※基础达标1．.写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4； 54(3)y x -=-（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30o .31(3)y x +=-. 2. 倾斜角是135o ，在y 轴上的截距是3的直线方程是 . 3.直线y ax b =+（a b +＝0）的图象可以是（ ）.4．已知直线l 过点(3,4)P ，它的倾斜角是直线1y x =+的两倍，则直线l 的方程为（ ）.A. 42(3)y x -=-B. 43y x -=-C. 40y -=D. 30x -=5．过点()2,1M 的直线与x 、y 轴分别交于P 、Q ，若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为_____________ 6． 将直线31y x =+绕它上面一点（1315°，得到的直线方程是 .求直线方程的方法 “先判断，后计算”，“特殊提前，通法接连”。
高中数学 必修二 习题：第3章 直线与方程3.2.2 Word版含解析
第三章 3.2 3.2.2一、选择题1．直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为( )A ．2,5B ．2，－5C ．－2，－5D ．－2,5[答案] B[解析] 将x 2－y 5＝1化成直线截距式的标准形式为x 2＋y －5＝1，故直线x 2－y5＝1在x 轴、y 轴上的截距分别为2、－5.2．已知点M (1，－2)、N (m,2)，若线段MN 的垂直平分线的方程是x2＋y ＝1，则实数m 的值是( )A ．－2B ．－7C ．3D ．1 [答案] C[解析] 由中点坐标公式，得线段MN 的中点是(1＋m 2，0)．又点(1＋m2，0)在线段MN的垂直平分线上，所以1＋m4＋0＝1，所以m ＝3，选C ．3．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李，行李费用y (元)与行李质量x (kg)的关系如图所示，则旅客最多可免费携带行李的重量为( )A ．20 kgB ．25 kgC ．30 kgD ．80 kg [答案] C[解析] 由图知点A (60,6)、B (80,10)，由直线方程的两点式，得直线AB 的方程是y －610－6＝x －6080－60，即y ＝15x －6.依题意，令y ＝0，得x ＝30，即旅客最多可免费携带30千克行李．4．如右图所示，直线l 的截距式方程是x a ＋yb＝1，则有( )A ．a >0，b >0B ．a >0，b <0C ．a <0，b >0D ．a <0，b <0[答案] B[解析] 很明显M (a,0)、N (0，b )，由图知M 在x 轴正半轴上，N 在y 轴负半轴上，则a >0，b <0.5．已知△ABC 三顶点A (1,2)、B (3,6)、C (5,2)，M 为AB 中点，N 为AC 中点，则中位线MN 所在直线方程为( )A ．2x ＋y －8＝0B ．2x －y ＋8＝0C ．2x ＋y －12＝0D ．2x －y －12＝0[答案] A[解析] 点M 的坐标为(2,4)，点N 的坐标为(3,2)，由两点式方程得y －24－2＝x －32－3，即2x＋y －8＝0.6．过两点(－1,1)和(3,9)的直线在x 轴上的截距为( )A ．－32B ．－23C ．25D ．2[答案] A[解析] 直线方程为y －91－9＝x －3－1－3，化为截距式为x －32＋y 3＝1，则在x 轴上的截距为－32.二、填空题7．已知点P (－1,2m －1)在经过M (2，－1)、N (－3,4)两点的直线上，则m ＝________[答案] 32[解析] 解法一：MN 的直线方程为：y ＋14＋1＝x －2－3－2，即x ＋y －1＝0，代入P (－1,2m －1)得m ＝32.解法二：M 、N 、P 三点共线， ∴4－(2m －1)－3＋1＝4－(－1)－3－2，解得m ＝32.8．过点(0,3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________.[答案] 3x ＋2y －6＝0[解析] 设直线方程为x a ＋yb ＝1，则⎩⎪⎨⎪⎧b ＝3a ＋b ＝5，解得a ＝2，b ＝3，则直线方程为x 2＋y3＝1，即3x ＋2y －6＝0. 三、解答题9．已知点A (－1,2)、B (3,4)，线段AB 的中点为M ，求过点M 且平行于直线x 4－y2＝1的直线l 的方程.[解析] 由题意得M (1,3)，直线x 4－y 2＝1的方程化为斜截式为y ＝12x －2，其斜率为12，所以直线l 的斜率为12.所以直线l 的方程是y －3＝12(x －1)，即x －2y ＋5＝0.10．求分别满足下列条件的直线l 的方程：(1)斜率是34，且与两坐标轴围成的三角形的面积是6；(2)经过两点A (1,0)、B (m,1)；(3)经过点(4，－3)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等． [解析](1)设直线l 的方程为y ＝34x ＋b .令y ＝0，得x ＝－43b ，∴12|b ·(－43b )|＝6，b ＝±3. ∴直线l 的方程为y ＝43x ±3.(2)当m ≠1时，直线l 的方程是 y －01－0＝x －1m －1，即y ＝1m －1(x －1) 当m ＝1时，直线l 的方程是x ＝1. (3)设l 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b . 当a ≠0，b ≠0时，l 的方程为x a ＋yb ＝1；∵直线过P (4，－3)，∴4a －3b ＝1.又∵|a |＝|b |，∴⎩⎪⎨⎪⎧4a －3b ＝1a ＝±b，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝1b ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7b ＝－7. 当a ＝b ＝0时，直线过原点且过(4，－3)， ∴l 的方程为y ＝－34x .综上所述，直线l 的方程为x ＋y ＝1或x 7＋y －7＝1或y ＝－34x .一、选择题1．如果直线l 过(－1，－1)、(2,5)两点，点(1 008，b )在直线l 上，那么b 的值为( )A ．2 014B ．2 015C ．2 016D ．2 017[答案] D[解析] 根据三点共线，得5－(－1)2－(－1)＝b －51 008－2，得b ＝2 017.2．两直线x m －y n ＝1与x n －ym＝1的图象可能是图中的哪一个( )[答案] B[解析] 直线x m －yn ＝1化为y ＝n m x －n ，直线x n －ym＝1化为 y ＝mnx －m ，故两直线的斜率同号，故选B ．3．已知A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线y ＝2x 和x ＋ay ＝0上，且线段AB 的中点为P (0，10a)，则直线AB 的方程为( )A ．y ＝－34x ＋5B ．y ＝34x －5C ．y ＝34x ＋5D ．y ＝－34x －5[答案] C[解析] 依题意，a ＝2，P (0,5)．设A (x 0,2x 0)、B (－2y 0，y 0)，则由中点坐标公式，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－2y 0＝02x 0＋y 0＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4y 0＝2，所以A (4,8)、B (－4,2)．由直线的两点式方程，得直线AB 的方程是y －82－8＝x －4－4－4，即y ＝34x ＋5，选C ．4．过P (4，－3)且在坐标轴上截距相等的直线有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条[答案] B[解析] 解法一：设直线方程为y ＋3＝k (x －4)(k ≠0)． 令y ＝0得x ＝3＋4kk ，令x ＝0得y ＝－4k －3.由题意，3＋4k k ＝－4k －3，解得k ＝－34或k ＝－1.因而所求直线有两条，∴应选B ．解法二：当直线过原点时显然符合条件，当直线不过原点时，设直线在坐标轴上截距为(a,0)，(0，a )，a ≠0，则直线方程为x a ＋ya＝1，把点P (4，－3)的坐标代入方程得a ＝1.∴所求直线有两条，∴应选B ． 二、填空题5．直线l 过点P (－1,2)，分别与x 、y 轴交于A 、B 两点，若P 为线段AB 的中点，则直线l 的方程为________.[答案] 2x －y ＋4＝0 [解析] 设A (x,0)、B (0，y )． 由P (－1,2)为AB 的中点，∴⎩⎨⎧x ＋02＝－10＋y 2＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝4.由截距式得l 的方程为 x －2＋y4＝1，即2x －y ＋4＝0. 6．已知A (3,0)、B (0,4)，直线AB 上一动点P (x ，y )，则xy 的最大值是________.[答案] 3[解析] 直线AB 的方程为x 3＋y4＝1，∴y ＝4－4x3，∴xy ＝x (4－43x )＝4x －43x 2＝－43(x 2－3x )＝－43[(x －32)2－94]＝－43(x －32)2＋3，∴当x ＝32时，xy 取最大值3.三、解答题7．△ABC 的三个顶点分别为A (0,4)、B (－2,6)、C (－8,0).(1)分别求边AC 和AB 所在直线的方程； (2)求AC 边上的中线BD 所在直线的方程； (3)求AC 边的中垂线所在直线的方程； (4)求AC 边上的高所在直线的方程； (5)求经过两边AB 和AC 的中点的直线方程．[解析] (1)由A (0,4)，C (－8,0)可得直线AC 的截距式方程为x －8＋y4＝1，即x －2y ＋8＝0.由A (0,4)，B (－2,6)可得直线AB 的两点式方程为y －46－4＝x －0－2－0，即x ＋y －4＝0.(2)设AC 边的中点为D (x ，y )，由中点坐标公式可得x ＝－4，y ＝2，所以直线BD 的两点式方程为y －62－6＝x ＋2－4＋2，即2x －y ＋10＝0.(3)由直线AC 的斜率为k AC ＝4－00＋8＝12，故AC 边的中垂线的斜率为k ＝－2.又AC 的中点D (－4,2)，所以AC 边的中垂线方程为y －2＝－2(x ＋4)， 即2x ＋y ＋6＝0.(4)AC 边上的高线的斜率为－2，且过点B (－2,6)，所以其点斜式方程为y －6＝－2(x ＋2)，即2x ＋y －2＝0.(5)AB 的中点M (－1,5)，AC 的中点D (－4,2)， ∴直线DM 方程为y －25－2＝x －(－4)－1－(－4)，即x －y ＋6＝0.8．已知抛物线y ＝－x 2－2x ＋3与x 轴交于A 、B 两点，点M 在此抛物线上，点N 在y 轴上，以A 、B 、M 、N 为顶点的四边形为平行四边形，求点M 的坐标.[解析] 容易求得抛物线与x 轴的交点分别为(－3,0)、(1,0)不妨设A (－3,0)、B (1,0)，由已知，设M (a ，b )、N (0，n )，根据平行四边形两条对角线互相平分的性质，可得两条对角线的中点重合．按A 、B 、M 、N 两两连接的线段分别作为平行四边形的对角线进行分类，有以下三种情况：①若以AB 为对角线，可得a ＋0＝－3＋1，解得a ＝－2；②若以AN为对角线，可得a＋1＝－3＋0，解得a＝－4；③若以BN为对角线，可得a＋(－3)＝1＋0，解得a＝4.因为点M在抛物线上，将其横坐标的值分别代入抛物线的解析式，可得M(－2,3)或M(－4，－5)或M(4，－21)．。
数学必修二第三章直线与方程
*9.直线系过定点问题
含有一个待定系数(参数)的二元一次方程过定点问题 的解法：
(1)特殊值法，利用不论参数取何值，方程都有解， 给方程中的参数取两个特殊值，可得关于x、y的两个 方程，从中解出的x、y的值即为所求定点的坐标．
(2)分离参数法：经过将方程整理为m(A1x＋B1y＋ C1)＋A2x＋B2y＋C2＝0，则该方程表示 的直线一定过直线A1x＋B1y＋C1＝0和 A2x＋B2y＋C2＝0的交点，而交点就 是定点．
一、知识讲解
1.直线方程 (1)坐标平面内，任意一条直线的方程都 是关于x、y的二元一次方程；每一个关于 x、y的二元一次方程都表示一条直线．
特别注意x＝a也是一条直线，此 直线垂直于x轴，直线上任意一 点的横坐标都是a
(2)常见表达式的几何意义 ① x2＋y2表示动点 P(x，y)到原点(0,0)的距离． (x－1)2＋(y＋2)2 表示动点 P(x，y)到定点(1，－2)的距离 的平方． ②yx表示动点 P(x，y)与原点连线的斜率． yx＋－23表示动点 P(x，y)与定点(3，－2)连线的斜率． ③|x＋2y－1|表示动点 P(x，y)到直线 x＋2y－1＝0 的距 离的 5倍等等．
(6)与直线y＝kx＋b平行的直线方程可设为y＝kx＋b1.
(7)与 y＝kx＋b(k≠0)垂直的直线方程可设为 y＝－1kx
＋b1.
(8)过两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y ＋C2＝0的交点(A1B2－A2B1≠0)的直线方程可设为 (A1x＋B1y＋C1)＋λ(A2y＋B2y＋C2)＝0.
4.直线的方程
方程名称
方程形式
点斜式
y－y1＝k(x－x1)
斜截式 两点式 截距式 一般式
人教版高中数学必修二教材用书直线与方程3.2-1直线的点斜式方程word版含答案2
3．2直线的方程3．2.1直线的点斜式方程点斜式、斜截式[提出问题]如图，过点A(1,1)作直线l.问题1：试想直线l确定吗？提示：不确定．因为过一点可画无数条直线．问题2：若直线l的倾斜角为45°，直线确定吗？提示：确定．问题3：若直线l的斜率为2，直线确定吗？提示：确定．[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b 不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零.直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________________．(3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________________． [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]若直线l 过点(2,1)，分别求l 满足下列条件时的直线方程：(1)倾斜角为135°；(2)平行于x 轴；(3)平行于y 轴；(4)过原点．解：(1)直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以由点斜式方程得y －1＝－1×(x －2)， 即方程为x ＋y －3＝0.(2)平行于x 轴的直线的斜率k ＝0，故所求的直线方程为y ＝1. (3)过点(2,1)且平行于y 轴的直线方程为x ＝2. (4)过点(2,1)与点(0,0)的直线的斜率k ＝12，故所求的直线方程为y ＝12x .直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为________________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解] (1)y ＝－33x －3 (2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2，又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]写出下列直线的斜截式方程：(1)直线斜率是3，在y 轴上的截距是－3； (2)直线倾斜角是60°，在y 轴上的截距是5； (3)直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2. 解：(1)y ＝3x －3.(2)∵k ＝tan 60°＝3，∴y ＝3x ＋5.(3)∵直线在x 轴上的截距为4，在y 轴上的截距为－2，∴直线过点(4,0)和(0，－2)， ∴k ＝－2－00－4＝12，∴y ＝12x －2.两直线平行与垂直的应用[例3] 当a (1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？ [解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直，∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4，则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]1．若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. 答案：382．若直线ax ＋2y ＋3a ＝0与直线3x ＋(a －1)y ＝－7＋a 平行，则实数a 的值为________． 答案：37.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)·x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值． [解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m .由l 1∥l 2，得⎩⎪⎨⎪⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1. ∴m 的值为－1. [易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合． [成功破障]当a 为何值时，直线l 1：y ＝－2ax ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－3)x ＋2平行？ 解：∵l 1∥l 2，∴a 2－3＝－2a 且2a ≠2， 解得a ＝－3.[随堂即时演练]1．直线的点斜式方程y －y 1＝k (x －x 1)( ) A ．可以表示任何一条直线 B ．不能表示过原点的直线 C ．不能表示与坐标轴垂直的直线 D ．不能表示与x 轴垂直的直线 答案：D2．直线l 经过点P (2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是( ) A ．y ＋3＝x －2 B ．y －3＝x ＋2 C ．y ＋2＝x －3 D ．y －2＝x ＋3答案：A3．直线y ＝3x －2在y 轴上的截距为________． 答案：－24．在y 轴上的截距为2，且与直线y ＝－3x －4平行的直线的斜截式方程为________________． 答案：y ＝－3x ＋25．(1)求经过点(1,1)，且与直线y ＝2x ＋7平行的直线的方程； (2)求经过点(－2，－2)，且与直线y ＝3x －5垂直的直线的方程． 解：(1)2x －y －1＝0 (2)x ＋3y ＋8＝0[课时达标检测]一、选择题1．已知直线的方程是y ＋2＝－x －1，则( ) A ．直线经过点(－1,2)，斜率为－1 B ．直线经过点(2，－1)，斜率为－1 C ．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1 D ．直线经过点(－2，－1)，斜率为1 答案：C2．直线y ＝ax ＋b 和y ＝bx ＋a 在同一直角坐标系中的图形可能是( )答案：D3．与直线y ＝2x ＋1垂直，且在y 轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( ) A ．y ＝12x ＋4B ．y ＝2x ＋4C ．y ＝－2x ＋4D ．y ＝－12x ＋4答案：D4．过点(－1,3)且垂直于直线x －2y ＋3＝0的直线方程为( ) A ．2x ＋y －1＝0 B ．2x ＋y －5＝0 C ．x ＋2y －5＝0 D ．x －2y ＋7＝0 答案：A5．直线y ＝2x ＋3与y －2＝2(x ＋3)的位置关系是( ) A ．平行 B ．垂直 C ．重合 D ．无法判断 答案：A 二、填空题6．过点(－3,2)且与直线y －1＝23(x ＋5)平行的直线的点斜式方程是________________．答案：y －2＝23(x ＋3)7．直线y ＝ax －3a ＋2(a ∈R)必过定点____________． 答案：(3,2)8．已知斜率为2的直线的方程为5ax －5y －a ＋3＝0，此直线在y 轴上的截距为________．答案：15三、解答题9．已知三角形的顶点坐标是A (－5,0)，B (3，－3)，C (0,2)，试求这个三角形的三条边所在直线的方程．解：直线AB 的斜率k AB ＝－3－03－?－5?＝－38，过点A (－5,0)，由点斜式得直线AB 的方程为y ＝－38(x ＋5)，即3x ＋8y ＋15＝0；同理，k BC ＝2＋30－3＝－53，k AC ＝2－00＋5＝25，直线BC ，AC 的方程分别为5x ＋3y －6＝0,2x －5y ＋10＝0.10．已知直线l 的斜率与直线3x －2y ＝6的斜率相等，且直线l 在x 轴上的截距比在y 轴上的截距大1，求直线l 的方程．解：由题意知，直线l 的斜率为32，故设直线l 的方程为y ＝32x ＋b ，l 在x 轴上的截距为－23b ，在y 轴上的截距为b ，所以－23b －b ＝1，b ＝－35，直线l 的方程为y ＝32x －35，即15x －10y －6＝0.。
新人教版高中数学必修2(B)直线、圆的方程
直线、圆的方程一．课标要求：1．直线与方程（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素； （2）理解直线的倾斜角和斜率的概念，经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线斜率的计算公式；（3）根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式），体会斜截式与一次函数的关系；2．圆与方程回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的标准方程与一般方程。
二．命题走向直线方程考察的重点是直线方程的特征值（主要是直线的斜率、截距）有关问题，可与三角知识联系；圆的方程，从轨迹角度讲，可以成为解答题，尤其是参数问题，在对参数的讨论中确定圆的方程。
预测2007年对本讲的考察是：（1）2道选择或填空，解答题多与其他知识联合考察，本讲对于数形结合思想的考察也会是一个出题方向；（2）热点问题是直线的倾斜角和斜率、直线的几种方程形式和求圆的方程。
三．要点精讲1．倾斜角：一条直线L 向上的方向与X 轴的正方向所成的最小正角，叫做直线的倾斜角，范围为[)π,0。
2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在。
过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:k=t a n 1212x x y y --=α（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）。
4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件。
确定直截距式 a x +by=1a ——直线的横截距b ——直线的纵截距过（0，0）及与两坐标轴平行的直线不能用此式一般式 Ax +By +C =0B A -，A C -，BC-分别为斜率、横截距和纵截距A 、B 不能同时为零 直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线。
新人教版数学必修二第三章 直线与方程
必修2 新高考（RJA）第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.2 直线的方程3.2.1 直线的点斜式方程3.2.2 直线的两点式方程3.2.3 直线的一般式方程3.3 直线的交点坐标与距离公式3.3.1 两条直线的交点坐标3.3.2 两点间的距离3.3.3 点到直线的距离3.3.4 两条平行直线间的距离3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.1 倾斜角与斜率三维目标1．知识与技能(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)理解直线倾斜角的唯一性．(3)理解直线斜率的存在性．(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．2．过程与方法引导帮助学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生不断体会“数形结合”的思想方法．三维目标3．情感、态度与价值观(1)通过直线倾斜角的概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价的能力．(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点难点[重点]直线的倾斜角和斜率概念以及过两点的直线的斜率公式．[难点]两点式斜率公式的推导．教学建议1．在平面直角坐标系中，结合具体图形，让学生了解确定直线位置的几何要素可以是一个点与直线的方向或两个点，两个点可以确定直线的方向，这与“一个点和直线的方向确定一条直线”是一致的．2．教学中可通过引导学生讨论倾斜角的范围，刻画直角坐标系中直线的倾斜程度，使学生感受直线的倾斜角α的范围是0°≤α<180°.3．本小节从一个具体的一次函数与它的图像入手，引入直线的倾斜角概念，注重了由浅入深的学习规律，并体现了由特殊到一般的研究方法．引导学生认识到之所以引入直线在平面直角坐标系中的倾斜角和斜率概念，是进一步研究直线方程的需要.新课导入新课导入预习探究直线的倾斜角x轴正向直线l向上方向直线l与x轴平行或重合预习探究错[解析]不一定，也可能与x轴重合．直线的斜率 预习探究k ＝tanα倾斜角α的正切值倾斜角斜率没有k ＝0k >0k 不存在k<0预习探究k ＝同时交换垂直90°不存在平行或重合00°预习探究[解析] 不是．若直线没有斜率，则这条直线的倾斜角应为90°.备课素材备课素材考点类析考点类析A考点类析A直线的倾斜角问题 [基础夯实型]考点类析D考点类析考点类析斜率公式的应用 [重点探究型]考点类析考点类析考点类析备课素材备课素材图313当堂自测当堂自测当堂自测备课素材备课素材3.1.2 两条直线平行与垂直的判定3.1 直线的倾斜角与斜率三维目标1．知识与技能理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直． 2．过程与方法通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力．3．情感、态度与价值观通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣．重点难点[重点]两条直线平行和垂直的条件．[难点]启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题转化为研究两条直线的斜率的关系问题．教学建议直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定又都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比的方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别．值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也需要说明．新课导入新课导入 k 1=k2两条直线平行预习探究预习探究两条直线垂直 预习探究备课素材考点类析两条直线的平行问题 [重点探究型]考点类析考点类析考点类析考点类析三点共线问题 [重点探究型]考点类析考点类析。
高中数学必修2
数学必修2知识点总结一、直线与方程 （1）直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° （2）直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 的倾斜程度。
当[) 90,0∈α时，0≥k ； 当() 180,90∈α时，0<k ； 当 90=α时，k 不存在。
②过两点的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°；(2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
（3）直线方程①点斜式：)(11x x k y y -=-直线斜率k ，且过点()11,y x注意：当直线的斜率为0°时，k=0，直线的方程是y =y 1。
当直线的斜率为90°时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l 上每一点的横坐标都等于x 1，所以它的方程是x =x 1。
②斜截式：b kx y +=，直线斜率为k ，直线在y 轴上的截距为b③两点式：112121y y x x y y x x --=--（1212,x x y y ≠≠）直线两点()11,y x ，()22,y x④截矩式：1x y ab+=其中直线l 与x 轴交于点(,0)a ,与y 轴交于点(0,)b ,即l 与x 轴、y 轴的截距分别为,a b 。
⑤一般式：0=++C By Ax （A ，B 不全为0） 注意：○1各式的适用范围 ○2特殊的方程如：平行于x 轴的直线：b y =（b 为常数）； 平行于y 轴的直线：ax =（a 为常数）；（5）直线系方程：即具有某一共同性质的直线 （一）平行直线系平行于已知直线0000=++C y B x A （00,B A 是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A （C 为常数） （二）过定点的直线系（ⅰ）斜率为k 的直线系：()00x x k y y -=-，直线过定点()00,y x ； （ⅱ）过两条直线0:1111=++C y B x A l ，0:2222=++C y B x A l 的交点的直线系方程为()()0222111=+++++C y B x A C y B x A λ（λ为参数），其中直线2l 不在直线系中。
高中数学必修2第三章直线与方程全套教案
第三章直线与方程3.1.1直线的倾斜角和斜率教学目标:知识与技能(1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．(2)理解直线的倾斜角的唯一性.(3)理解直线的斜率的存在性.(4)斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观(1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．(2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式.教学用具：计算机教学方法：启发、引导、讨论.教学过程：（一）直线的倾斜角的概念我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点P的直线l的位置能确定吗? 如图, 过一点P可以作无数多条直线a,b,c, …易见,答案是否定的.这些直线有什么联系呢?(1)它们都经过点P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’的不同?引入直线的倾斜角的概念:当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α= 0°.问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°.当直线l与x轴垂直时, α= 90°.因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线的倾斜程度.如图, 直线a∥b∥c, 那么它们YXcbaO的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线.确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点．．．P．和一个倾斜角．．．．．．α．.(二)直线的斜率:一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是k = tanα⑴当直线l与x轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0;⑵当直线l与x轴垂直时, α= 90°, k 不存在.由此可知, 一条直线l的倾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.例如, α=45°时, k = tan45°= 1;α=135°时, k = tan135°= tan(180°－45°) = - tan45°= - 1.学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度.(三) 直线的斜率公式:给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率?可用计算机作动画演示: 直线P1P2的四种情况, 并引导学生如何作辅助线,共同完成斜率公式的推导.(略)斜率公式:对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直线与x轴垂直；(2)k与P1、P2的顺序无关, 即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时交换, 但分子与分母不能交换;(3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得;(4) 当 y1=y2时, 斜率k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到．(四)例题:例1 已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA 的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略)分析: 已知两点坐标, 而且x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得k 的值; 而当k = tanα<0时, 倾斜角α是钝角; 而当k = tanα>0时, 倾斜角α是锐角; 而当k = tanα=0时, 倾斜角α是0°.略解: 直线AB 的斜率k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线BC 的斜率k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线CA 的斜率k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角.例2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为1, -1, 2, 及-3的直线a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线a, 只要再找出a 上的另外一点M. 而M 的坐标可以根据直线a 的斜率确定; 或者k=tanα=1是特殊值,所以也可以以原点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作45°的角, 再把所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 设直线a 上的另外一点M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y －0)／(x －0)所以 x = y可令x = 1, 则y = 1, 于是点M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1), 可作直线a.同理, 可作直线b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程)(五)练习: P91 1. 2. 3. 4. (六)小结:(1)直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 直线的斜率公式. (七)课后作业: P94 习题3.1 1. 3. (八)板书设计:3.1.2两条直线的平行与垂直教学目标(一)知识教学理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. (二)能力训练通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力．(三)学科渗透通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣．重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用．难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关系问题．注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解决好这个问题．教学过程(一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直．讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直．(二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直设直线L1和L2的斜率分别为k1和k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系?首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果L1∥L2(图1-29)，那么它们的倾斜角相等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2的关系)∴tanα1=tanα2．即k1=k2．反过来，如果两条直线的斜率相等: 即k1=k2，那么tgα1=tgα2．由于0°≤α1＜180°，0°≤α＜180°，∴α1=α2．又∵两条直线不重合，∴L1∥L2．结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2; 反之则不一定.下面我们研究两条直线垂直的情形．如果L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行．设α2＜α1(图1-30)，甲图的特征是L1与L2的交点在x轴上方；乙图的特征是L1与L2的交点在x轴下方；丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有α1=90°+α2．因为L1、L2的斜率分别是k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°．，可以推出: α1=90°+α2．L1⊥L2．结论: 两条直线都有斜率．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即注意: 结论成立的条件. 即如果k1·k2 = -1, 那么一定有L1⊥L2; 反之则不一定.(借助计算机, 让学生通过度量, 感知k1, k2的关系, 并使L1(或L2)转动起来, 但仍保持L1⊥L2, 观察k1, k2的关系, 得到猜想, 再加以验证. 转动时, 可使α1为锐角,钝角等).例题例1已知A(2,3), B(-4,0), P(-3,1), Q(-1,2), 试判断直线BA与PQ的位置关系, 并证明你的结论.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想:BA∥PQ, 再通过计算加以验证.(图略)解: 直线BA的斜率k1=(3-0)/(2-(-4))=0.5, 直线PQ的斜率k2=(2-1)/(-1-(-3))=0.5, 因为k1=k2=0.5, 所以直线BA∥PQ.例2 已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0,0), B(2,-1), C(4,2), D(2,3), 试判断四边形ABCD的形状,并给出证明. (借助计算机作图, 通过观察猜想:四边形ABCD是平行四边形,再通过计算加以验证)解同上.例3已知A(-6,0), B(3,6), P(0,3), Q(-2,6), 试判断直线AB与PQ的位置关系.解: 直线AB的斜率k1= (6-0)/(3-(-6))=2/3,直线PQ的斜率k2= (6-3)(-2-0)=-3/2, 因为k1·k2 = -1 所以AB⊥PQ.例4已知A(5,-1), B(1,1), C(2,3), 试判断三角形ABC的形状.分析: 借助计算机作图, 通过观察猜想: 三角形ABC是直角三角形, 其中AB⊥BC, 再通过计算加以验证.(图略)课堂练习P94 练习 1. 2.课后小结(1)两条直线平行或垂直的真实等价条件；(2)应用条件, 判定两条直线平行或垂直.(3) 应用直线平行的条件, 判定三点共线.布置作业 P94 习题3.1 5. 8. 板书设计3.2.1 直线的点斜式方程一、教学目标 1、知识与技能（1）理解直线方程的点斜式、斜截式的形式特点和适用范围； （2）能正确利用直线的点斜式、斜截式公式求直线方程。
最新人教版高中数学必修二第三章直线与方程第二节第1课时直线的点斜式方程
3．2 直线的方程 3.2.1 直线的点斜式方程1.直线的点斜式方程(1)条件：直线过点P(x 0，y 0)，斜率为k. (2)图形：(3)方程：y －y 0＝k(x －x 0)．(1)利用点斜式表示直线方程的前提是什么？ 提示：直线的斜率存在．(2)直线l 过点P 0(x 0，y 0)，且斜率为k ＝0，则直线的点斜式方程是什么？ 提示：直线的点斜式方程为y －y 0＝0或y ＝y 0.(3)直线l 经过点P 0(x 0，y 0)，且斜率不存在，则直线的方程是什么？ 提示：x －x 0＝0或x ＝x 0. 2．直线的斜截式方程(1)条件：直线斜率k ，在y 轴上的截距b ．(2)图形：(3)方程：y＝kx＋b．(1)直线的斜截式方程y＝kx＋b中，k和b的几何意义是什么？提示：k是直线的斜率；b是直线在y轴上的截距．(2)截距是距离吗？提示：不是，直线在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标，截距是实数而不是距离．1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)(1)任何一条直线的方程都可以写成点斜式y－y0＝k(x－x)( ×)提示：斜率不存在的直线不能用点斜式表示．(2)x轴所在的直线方程为x＝0.( ×)提示：x轴所在的直线方程为y＝0.(3)直线在y轴上的截距不能等于0.( ×) 提示：当直线过原点时，在y轴上的截距等于0. 2．直线y＝ 3 x＋1的倾斜角是( )A．π6B．π3C．2π3D．5π6【解析】选B.因为y＝ 3 x＋1，所以k＝ 3 .由于k＝tan θ，则tan θ＝ 3 ，即θ＝π3 .3．已知直线的倾斜角为60°，在y轴上的截距为－2，则该直线的方程为( )A．y＝ 3 x＋2 B．y＝－ 3 x＋2C．y＝－ 3 x－2 D．y＝ 3 x－2【解析】选D.直线的倾斜角为60°，则斜率为tan 60°＝ 3 ，利用斜截式直接写出方程，即y＝ 3 x－2.类型一求直线的点斜式方程(数学抽象、数学运算)1．已知直线的方程是y＋2＝－x－1，则( )A．直线经过点(－1，2)，斜率为－1B．直线经过点(2，－1)，斜率为－1C．直线经过点(－1，－2)，斜率为－1D．直线经过点(－2，－1)，斜率为1【解析】选C.直线方程y＋2＝－x－1可化为y－(－2)＝－[]x－（－1），故直线经过点(－1，－2)，斜率为－1.2．过点P(2 3 ，3)且倾斜角为30°的直线方程为( )A．y＋4 3 ＝3x B．y＝x－ 3C．3y－3＝ 3 x D．y－ 3 ＝ 3 x【解析】选C.因为直线的倾斜角为30°，所以其斜率为tan 30°＝33，由直线过点(2 3 ，3)，所以直线方程为y－3＝33(x－2 3 )，即3y－3＝ 3 x.3．直线y＝k(x－1)＋2恒过定点( )A．(－1，2) B．(1，2)C．(2，－1) D．(2，1)【解析】选B.根据直线点斜式的定义可知，直线y－2＝k(x－1)恒过定点(1，2).4．经过点(－1，1)，斜率是直线y＝22x－2的斜率的2倍的直线的点斜式方程是________．【解析】由题意得：所求直线的斜率是k＝ 2 ，故所求直线方程是：y－1＝ 2 (x＋1). 答案：y－1＝ 2 (x＋1)求直线的点斜式方程的步骤【补偿训练】1.过点P( 3 ，－2 3 )且倾斜角为135°的直线方程为( )A．y＋4 3 ＝3xB．y＝x－ 3C．x＋y＝ 3D．y＋2 3 ＝(－1)×(x－ 3 )【解析】选D.因为直线的倾斜角为135°，所以斜率k＝tan 135°＝－1，又直线过点P( 3 ，－2 3 )，所以直线的点斜式为y＋2 3 ＝(－1)×(x－ 3 ).2．过点(1，0)且与直线x－2y－2＝0垂直的直线方程为( )A．x－2y－1＝0 B．x－2y＋1＝0C．2x＋y－2＝0 D．x＋2y－1＝0【解析】选C.因为x－2y－2＝0的斜率为12，由题意得，所求直线的斜率为－2，由点斜式得y－0＝－2(x－1)，即2x＋y－2＝0.类型二求直线的斜截式方程(数学抽象、数学运算)1．斜率为－1，且在y轴上的截距为1的直线方程是( )A．x－y＋1＝0 B．x＋y－1＝0C．x－y－1＝0 D．x＋y＋1＝0【解析】选B.直线的斜截式方程为y＝－x＋1，即x＋y－1＝0.2．与直线y＝2x＋1垂直，且在y轴上的截距为4的直线的斜截式方程是( )A．y＝12x＋4 B．y＝2x＋4C．y＝－2x＋4 D．y＝－12x＋4【解析】选D.直线y＝2x＋1的斜率k＝2，则与直线y＝2x＋1垂直的直线斜率k＝－12，因为y轴上的截距为4，所以直线方程为y＝－12x＋4.3．在y轴上的截距为－6，且与y轴相交成60°角的直线的斜截式方程是________．【解析】与y轴相交成60°角的直线倾斜角为30°或150°，可得斜率为tan 30°或tan150°，即±33，可得方程为：y＝±33x－6.答案：y＝±33x－64．直线l过点(2，2)，且与x轴和直线y＝x围成的三角形的面积为2，求直线l的方程．【解析】当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝2，经检验符合题目的要求．当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx－2k＋2.令y＝0得x＝2k－2k.由三角形的面积为2，得12×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2k－2k×2＝2.解得k＝12.可得直线l的方程为y－2＝12(x－2)，即y＝12x＋1，综上可知，直线l的方程为x＝2或y＝12x＋1.求直线的斜截式方程的策略(1)直线的斜截式方程是点斜式方程的特殊形式，其适用前提是直线的斜率存在，只要已知直线斜率，与y轴交点，就可以直接用斜截式表示．(2)直线的斜截式方程y＝kx＋b中只有两个参数，因此要确定直线方程，只需知道参数k，b 的值即可．(3)利用直线的斜截式求方程务必灵活，如果已知斜率k，只需引入参数b；同理，如果已知截距b，只需引入斜率k.【补偿训练】1.若直线l 的倾斜角为45°，且经过点(2，0)，则直线l 的斜截式方程是( ) A ．y ＝x ＋2B ．y ＝x －2C ．y ＝33 x －233D ．y ＝ 3 x －2 3【解析】选B.因为直线l 的倾斜角为45°，所以直线的斜率为1，又由直线经过点(2，0)可得y －0＝x －2即y ＝x －2.2．已知点(1，－4)和(－1，0)是直线y ＝kx ＋b 上的两点，则k ＝______，b ＝______． 【解析】由题意，得⎩⎨⎧－4＝k ＋b ，0＝－k ＋b ， 解得k ＝－2，b ＝－2.答案：－2 －23．已知直线y ＝2x ＋b 过点(1，2)，则b ＝______． 【解析】将(1，2)代入y ＝2x ＋b ，得2＝2＋b ，解得：b ＝0. 答案：04．若直线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x ＋2)，且l 在y 轴上的截距为6，则a ＝________． 【解析】令x ＝0得y ＝(a －1)×2＋a ＝6，得a ＝83 .答案：83类型三 两种方程的应用(数学运算、逻辑推理)角度1 图象的判断【典例】如图，直线y ＝ax ＋1a的图象可能是( )【思路导引】分a ＞0，a ＜0两种情况辨析．【解析】选B.由已知得a ≠0.若a ＞0，则直线y ＝ax ＋1a 的斜率与在y 轴上的截距都大于0，则A ，B ，C ，D 都不符合．若a ＜0，则直线y ＝ax ＋1a 的斜率与在y 轴上的截距都小于0，只有B 符合．若本例中的直线方程变为y ＝ax －1a，则其图象是下列中的( )【解析】选C.由已知得a ≠0，当a ＞0时，斜率k ＝a ＞0，在y 轴上的截距－1a ＜0，都不符合此条件；当a ＜0时，斜率k ＝a ＜0，在y 轴上的截距－1a ＞0，只有C 符合此条件．角度2 直线平行、垂直的判断的应用【典例】已知直线l 经过点P(－2，3)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为4，求直线l 的方程．【思路导引】首先确定直线的斜率是否存在，再得出直线的点斜式方程，最后利用面积求直线方程．【解析】显然，直线l 与两坐标轴不垂直，否则不构成三角形，设其斜率为k(k ≠0)，则直线l 的方程为y －3＝k(x ＋2)，令x ＝0得y ＝2k ＋3；令y ＝0得x ＝－3k －2，于是直线与两坐标轴围成的三角形的面积为 12 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪（2k ＋3）⎝ ⎛⎭⎪⎫－3k －2 ＝4， 即(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2 ＝±8，若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2 ＝8，则整理得4k 2＋4k ＋9＝0，无解．若(2k ＋3)⎝ ⎛⎭⎪⎫3k ＋2 ＝－8，则整理得4k 2＋20k ＋9＝0，解得k ＝－12 或k ＝－92，所以直线l 的方程为x ＋2y －4＝0或9x ＋2y ＋12＝0.两条直线平行和垂直的判定(1)平行的判定．(2)垂直的判定．1．设点A(－1，0)，B(1，0)，直线2x ＋y －b ＝0与线段AB 相交，则b 的取值范围是______________．【解析】b 为直线y ＝－2x ＋b 在y 轴上的截距，如图，当直线y ＝－2x ＋b 过点A(－1，0)和点B(1，0)时，b 分别取得最小值和最大值． 所以b 的取值范围是[－2，2].答案：[－2，2]2．已知直线l ：3ax －5y －a ＋2＝0，求证：不论a 为何值，直线l 总过第一象限． 【证明】方程3ax －5y －a ＋2＝0可化为 5y －2＝a(3x －1)， 即y ＝35 a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13 ＋25，所以它表示恒过点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25 的直线．因为点⎝ ⎛⎭⎪⎫13，25 在第一象限，所以直线l 不论a 取何值，总过第一象限．3．已知斜率为2的直线l 不过第四象限，且和两坐标轴围成面积为4的三角形，求直线l 的方程．【解析】依题意，设直线l 的方程为y ＝2x ＋b ，又直线l 不过第四象限，所以b ≥0. 对于直线l ，令x ＝0，则y ＝b ；令y ＝0， 则x ＝－b2.由已知，可得12 ·|b|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪－b 2 ＝4，即|b|2＝16，所以b ＝4(负值舍去).故直线l 的方程为y ＝2x ＋4.【补偿训练】1.直线y －2m ＝m(x －1)与y ＝x －1垂直，则直线y －2m ＝m(x －1)过定点( ) A ．(－1，2) B ．(2，1) C ．(1，－2) D ．(1，2)【解析】选C.由两直线垂直得m ＝－1，把m ＝－1代入y －2m ＝m(x －1)得y ＝－x －1，则该直线过定点(1，－2).2．直线y ＝kx ＋2(k ∈R )不过第三象限，则斜率k 的取值范围是________． 【解析】当k ＝0时，直线y ＝2不过第三象限； 当k ＞0时，直线过第三象限； 当k ＜0时，直线不过第三象限． 答案：(－∞，0]3．等腰△ABC 的顶点A(－1，2)，AC 的斜率为 3 ，点B(－3，2)，求直线AC ，BC 及∠A 的平分线所在的直线方程． 【解析】AC ：y ＝ 3 x ＋2＋ 3 . 因为AB ∥x 轴，AC 的倾斜角为60°， 所以BC 的倾斜角α为30°或120°.当α＝30°时，BC 的方程为y ＝33 x ＋2＋ 3 ，∠A 的平分线的倾斜角为120°，即其所在直线方程为y ＝－ 3 x ＋2－ 3 .当α＝120°时，BC 的方程为y ＝－ 3 x ＋2－3 3 ， ∠A 的平分线的倾斜角为30°，3 3 x＋2＋33.即其所在直线方程为y＝。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3直线的一般式方程课件
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
思考
(1)平面上任意一条直线都可以用一个关于 x , y 的二元一次方程表示吗？
⑴倾斜角α≠90°，直线的斜率k存在，其方程 y－y0 = k（x－x0）是关于x,y的二元一次方程。
⑵倾斜角α=90°，直线的斜率k不存在，其方程为 ｘ=ａ，可以看成是关于x,y的二元一次方程（y的 系数为0）。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一程，并把它化成一
般式： 1.过点A(6,-4),斜率为-
y43+;4=-43(x-6)4x+3y-12=0
2.经过点P(3,-2),Q(5,-4);
-y4++22=x5--33x+y-1=0
3.在x轴,y轴上的截距分别是
直角坐标系是把方程和直线联系起来的桥梁，这 是笛卡尔的伟大贡献。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
课堂小结
1、直线方程的一般式Ax+By+c=0（A，B不同时为 零）的两方面含义：
(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程。 (2)关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
探 究 (1)在方程Ax+By+C=0中，A，B，C为何值时， 方程表示的直线：平行于x轴？
y
l
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
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x
(1) A=0 , B≠0 ,C≠0。
新课标人教A版高中数学必修二3.2.3 直线的 一般式 方程课 件
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3.1知识表直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率（1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．（2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．（3）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．倾斜角是90°的直线的斜率不存在．过P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 2≠x 1）两点的直线的斜率特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.1.特殊角与斜率 ※基础达标1．若直线1x =的倾斜角为α，则α等于（ ）.A ．0B ．45°C ．90°D ．不存在2．已知直线l 3 ）.A. 60°B. 30°C. 60°或120°D. 30°或150° 3. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为__________4.经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜角为1350，则y 的值等于 （ ） 5.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）. A.1 B.4 C.1或3 D.1或46．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ .7.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.8．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是( ) A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -=9．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 10.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．11．光线从点(2,1)A 出发射入y 轴上点Q , 再经y 轴反射后过点(4,3)B , 试求点Q 的坐标,以及入射光线、 反射光线所在直线的斜率.倾斜角 斜率※能力提高12．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.13.已知两点M (2，－3)、N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( A )A.k ≥43或k ≤－4 B.－4≤k ≤43 C. 43≤k ≤4 D.－43≤k ≤4 14.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k的取值范围.15.右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定基础知识：1.两条不重合的直线平行或垂直，则（1）l 1∥l 2 ⇔k 1=k 2（2）l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=－1. 若l 1和l 2都没有斜率，则l 1与l 2平行或重合.若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l 1⊥l 2. 【例1】四边形ABCD 的顶点为(2,222)A +、(2,2)B -、(0,222)C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状.【例2】已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．【例3】（1）已知直线1l 经过点M （-3，0）、N （-15，-6），2l 经过点R （-2，32）、S （0，52），试判断1l 与2l 是否平行？（2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1）、Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？【例4】已知A （1，1），B （2，2），C （3，-3），求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ．点评：通过设点D 的坐标，把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起，联系的纽带是斜率公式. 解题的数学思想是方程求解，方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.※基础达标1．下列说法中正确的是（ ）.A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等C. 垂直的两直线的斜率之积为-1D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行 2．若直线12l l 、的倾斜角分别为12,αα、且12l l ⊥，则有（ ）.A. 1290αα-=oB. 2190αα-=oC. 2190αα-=o D. 12180αα+=o3．经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是（ ）. A ．4 B ．1 C ．1或3 D ．1或4 4．若(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)A B C D --， 则下面四个结论：①//AB CD ；②AB CD ⊥；③//AC BD ；④AC BD ⊥. 其中正确的序号依次为（ ）.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④5．已知ABC ∆的三个顶点坐标为(5,1),(1,1),(2,3)A B C -，则其形状为（ ）. A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断6．直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则12l l 与的位置关系是 .7．若过点(2,2),(5,0)A B -的直线与过点(2,1),(1,)P m Q m --的直线平行，则m = . ※能力提高8．已知矩形ABCD 的三个顶点的分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，求第四个顶点D 的坐标． 9． ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ∆为直角三角形，求m 的值.※探究创新10．已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.（1） 证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.必修二3.2知识表名称几何条件方程 局限性点斜式 过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0=k(x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 斜率为k ，纵截距为by=kx ＋b不含垂直于x 轴的直线找要素，写方程（两点、一点一斜、两截）设方程，求系数（讨论）线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++ §3.2.1 直线的点斜式方程※基础达标1．.写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4； 54(3)y x -=-（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30o .31(3)y x +=-. 2. 倾斜角是135o ，在y 轴上的截距是3的直线方程是 . 3.直线y ax b =+（a b +＝0）的图象可以是（ ）.4．已知直线l 过点(3,4)P ，它的倾斜角是直线1y x =+的两倍，则直线l 的方程为（ ）.A. 42(3)y x -=-B. 43y x -=-C. 40y -=D. 30x -=5．过点()2,1M 的直线与x 、y 轴分别交于P 、Q ，若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为_____________ 6． 将直线31y x =+绕它上面一点（1315°，得到的直线方程是 .求直线方程的方法 “先判断，后计算”，“特殊提前，通法接连”。
7.方程(2)y k x =-表示（ ）.A. 通过点(2,0)-的所有直线B. 通过点(2,0)的所有直线C. 通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线D. 通过点(2,0)且除去x 轴的直线 8．直线3)2(+-=x k y 必过定点，该定点的坐标为（ B ）A ．（3，2）B ．（2，3）C ．（2，–3）D ．（–2，3）※能力提高9．已知△ABC 在第一象限，若(1,1),(5,1),60,45A B A B ∠=∠=o o ，求：（1）边AB 所在直线的方程； （2）边AC 和BC 所在直线的方程.10.已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.11.光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.12. 已知直线l 在y 轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程. 13.已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．※探究创新14．国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台120米，方阵纵列95人，每列长度192米，问第一、二排间距多大能达到满意的观礼效果？两点式 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b （a,b ≠0）a ——直线的横截距b ——直线的纵截距不包括垂直于坐标轴的直线.截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b （a,b ≠0）不包括垂直于坐标轴和过原点的直线.§3.2.2 直线的两点式方程※基础达标 1．过两点(1,2)和(3,4)的直线的方程为（ ）.A. 1y x =- B. 1y x =+ C. 2y x =-+ D. 2y x =--2.已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.3.过两点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距为（ ）. A. 32- B. 23- C. 25D. 24．已知1122234,234x y x y -=-=，则过点1122(,),(,)A x y B x y 的直线l 的方程是（ ）.A. 234x y -=B. 230x y -=C. 324x y -=D. 320x y -= 5.求过点(3,2)P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程.6.经过点（-3，4）且在两个坐标轴上的截距和为12的直线方程是：____________________7.．已知直线l 过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为 . 8.菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.※能力提高9．三角形ABC 的三个顶点A （－3，0）、B （2，1）、C （－2，3），求：（1）BC 边所在直线的方程； （2）BC 边上中线AD 所在直线的方程；10.长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，直线过两点（1）求y 与x 之间的函数关系式，并说明自变量x 的取值范围； （2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？11．直线l 在X 轴、Y 轴上的截距之比是2:3,且过点(4,9)A ,求直线l 的方程. 12.已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 的方程. 13.已知直线l 过点(2,2)-，且与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线l 的方程． 14.与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率为34-的直线l 的方程为 15.已知△ABC 的顶点A （－4，2），两条中线所在的直线方程分别为3220,35120,x y x y -+=+-=求BC 边所在的直线方程。