(word完整版)新课标高中数学必修2直线与方程
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3.1知识表
直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率
(1)直线的方程:如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点;反之,这条直线上的点的坐标都是这个方程的解,这时,这个方程就叫做这条直线的方程,这条直线叫做这个方程的直线.
(2)直线的倾斜角:一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角.倾斜角的取值范围是0°≤α<180°.
(3)直线的斜率:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率.倾斜角是90°的直线的斜率不存在.过P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,
y 2)(x 2≠x 1)两点的直线的斜率特别地是,当12x x =,
12y y ≠时,直线与x 轴垂直,斜率k 不存在;当12x x ≠,12y y =时,直线与y 轴垂直,斜率k =0.
注意:直线的倾斜角α=90°时,斜率不存在,即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时,斜率k =0;当090α︒<<︒时,斜率0k >,随着α的增大,斜率k 也增大;当90180α︒<<︒时,斜率0k <,随着α的增大,斜率k 也增大. 这样,可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.
1.特殊角与斜率 ※基础达标
1.若直线1x =的倾斜角为α,则α等于( ).
A .0
B .45°
C .90°
D .不存在
2.已知直线l 3 ).
A. 60°
B. 30°
C. 60°或120°
D. 30°或150° 3. 已知直线经过点A(0,4)和点B (1,2),则直线AB 的斜率为__________
4.经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜角为1350
,则y 的值等于 ( ) 5.过点P (-2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1,则m 的值为( ). A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
6.已知两点A (x ,-2),B (3,0),并且直线AB 的斜率为2,则x = .
7.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°,求实数m 的值.
8.若三点P (2,3),Q (3,a ),R (4,b )共线,那么下列成立的是( ) A .4,5a b == B .1b a -= C .23a b -= D .23a b -=
9.若A (1,2),B (-2,3),C (4,y )在同一条直线上,则y 的值是 . 10.已知三点A (a ,2)、B (3,7)、C (-2,-9a )在一条直线上,求实数a 的值.
11.光线从点(2,1)A 出发射入y 轴上点Q , 再经y 轴反射后过点(4,3)B , 试求点Q 的坐标,以及入射光线、 反射光线所在直线的斜率.
倾斜角 斜率
※能力提高
12.已知(2,3),(3,2)A B ---两点,直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交,求直线l 的斜率k 的取值范围.
13.已知两点M (2,-3)、N (-3,-2),直线l 过点P (1,1)且与线段MN 相交,则直线l 的斜率k 的取值范围是( A )
A.k ≥
43或k ≤-4 B.-4≤k ≤43 C. 43≤k ≤4 D.-4
3
≤k ≤4 14.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点,求直线l 的斜率k
的取值范围.
15.右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3,则( ). A .k 1<k 2<k 3 B. k 3<k 1<k 2 C. k 3<k 2<k 1 D. k 1<k 3<k 2
§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
基础知识:1.两条不重合的直线平行或垂直,则(1)l 1∥l 2 ⇔k 1=k 2(2)l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1. 若l 1和l 2都没有斜率,则l 1与l 2平行或重合.若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0,则l 1⊥l 2. 【例1】四边形ABCD 的顶点为(2,222)A +、(2,2)B -、(0,222)C -、(4,2)D ,试判断四边形ABCD 的形状.
【例2】已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -,其垂心为(3,2)H -,求顶点A 的坐标.
【例3】(1)已知直线1l 经过点M (-3,0)、N (-15,-6),2l 经过点R (-2,32)、S (0,5
2
),试判
断1l 与2l 是否平行?
(2)1l 的倾斜角为45°,2l 经过点P (-2,-1)、Q (3,-6),问1l 与2l 是否垂直?
【例4】已知A (1,1),B (2,2),C (3,-3),求点D ,使直线CD ⊥AB ,且CB ∥AD .
点评:通过设点D 的坐标,把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起,联系的纽带是斜率公式. 解题的数学思想是方程求解,方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.
※基础达标
1.下列说法中正确的是( ).
A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等
B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等
C. 垂直的两直线的斜率之积为-1
D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行 2.若直线12l l 、的倾斜角分别为12,αα、且12l l ⊥,则有( ).
A. 1290αα-=o
B. 2190αα-=o
C. 2190αα-=
o D. 12180αα+=o
3.经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线,则m 的值是( ). A .4 B .1 C .1或3 D .1或4 4.若(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)A B C D --, 则下面四个结论:①//AB CD ;②AB CD ⊥;③//AC BD ;④AC BD ⊥. 其中正确的序号依次为( ).
A. ①③
B. ①④
C. ②③
D. ②④
5.已知ABC ∆的三个顶点坐标为(5,1),(1,1),(2,3)A B C -,则其形状为( ). A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断
6.直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根,则12l l 与的位置关系是 .
7.若过点(2,2),(5,0)A B -的直线与过点(2,1),(1,)P m Q m --的直线平行,则m = . ※能力提高
8.已知矩形ABCD 的三个顶点的分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ,求第四个顶点D 的坐标. 9. ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -,若ABC ∆为直角三角形,求m 的值.
※探究创新
10.已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点,分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.
(1) 证明:点C 、D 和原点O 在同一直线上. (2)当BC 平行于x 轴时,求点A 的坐标.
必修二3.2知识表
名称
几何条件
方程 局限性
点斜式 过点(x 0,y 0),斜率为k y -y 0=k(x -x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 斜率为k ,纵截距为b
y=kx +b
不含垂直于x 轴的直线
找要素,写方程(两点、一点一斜、两截)
设方程,求系数(讨论)
线段12P P 中点坐标公式1212
(
,)22
x x y y ++ §3.2.1 直线的点斜式方程
※基础达标
1..写出下列点斜式直线方程:
(1)经过点(2,5)A ,斜率是4; 54(3)y x -=-(2)经过点(3,1)B -,倾斜角是30o .3
1(3)y x +=-. 2. 倾斜角是135o ,在y 轴上的截距是3的直线方程是 . 3.直线y ax b =+(a b +=0)的图象可以是( ).
4.已知直线l 过点(3,4)P ,它的倾斜角是直线1y x =+的两倍,则直线l 的方程为( ).
A. 42(3)y x -=-
B. 43y x -=-
C. 40y -=
D. 30x -=
5.过点()2,1M 的直线与x 、y 轴分别交于P 、Q ,若M 为线段PQ 的中点,则这条直线的方程为_____________ 6. 将直线31y x =+绕它上面一点(1315°,得到的直线方程是 .
求直线方程的方法 “先判断,后计算”,“特殊提前,通法接连”。