2011年高三5月校内模拟考试理科数学试卷

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银川一中2011届高三年级第二次模拟考试理科数学

银川一中2011届高三年级第二次模拟考试理科数学

银川一中2011届高三年级第二次模拟考试数学试卷(理科)命题人:赵冬奎审核人:马金贵本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第22-24题为选考题,其它题为必考题.考生作答时,将答案答在答题卡上.在本试卷上答题无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1.答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上;2.选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚;3.请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效; 4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.5.做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 参考公式:样本数据n x x x ,,21的标准差 锥体体积公式s =13V Sh =其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积,h 为高 如果事件A ,B 互斥,那么 棱柱的体积公式()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ,B 相互独立,那么 其中S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()()()(1)(k 0,1,2,,n)k k n kn n p k P k C P P ξ-∴===-= 第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合}1,0,1{-=M ,},{2a a N =则使M ∩N =N 成立的a 的值是 ( )A .1B .0C .-1D .1或-12.若(2)a i i b i -=-,其中,a b R ∈,i 是虚数单位,复数a bi +=( )A .12i +B .12i -+C .12i --D .12i -3. 若sin cos θθ+=tan 3πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是( )A.22-22-(第6题图)y 2.5 t 4 4.5x 3 4 5 64.已知nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+12的展开式的各项系数和为32,则展开式中x 的系数为( )A.5B.40C.20D.105.若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和, 有1038=-S S ,则11S 的值为( ) A. 22 B. 18 C. 12 D. 44 6.在右图的算法中,如果输入A=138, B=22,则输出的结果是( )A. 2 B .4 C .128 D .07.右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A 产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对应数据.根据右表提供的数据,求出y 关于x 的线性回归方程 为0.70.35y x ∧=+,那么表中t 的值为( )A.3B.3.15C.3.5D.4.58.下列有关命题的说法正确的是( ) A .命题“若1,12==x x 则”的否命题为:“若1,12≠=x x 则” B .“x=-1”是“0652=--x x ”的必要不充分条件C .命题“01,2<++∈∃x x R x 使得”的否定是:“01,2<++∈∀x x R x 均有”D .命题“若y x y x sin sin ,==则”的逆否命题为真命题9.方程0)1lg(122=-+-y x x 所表示的曲线图形是( )10.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2,则213b a+的最小值为( )A .3B .3C .2D .111.函数2(4)|4|()(4)x x f x a x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩,若函数2)(-=x f y 有3个零点,则实数a 的值为( )A .-2B .-4C .2D .不存在12.已知两点(1,0),(1A B O 为坐标原点,点C 在第二象限,且120=∠AOC ,左视图俯视图主视图设2,(),OC OA OBλλλ=-+∈R则等于()A.1-B.2C.1 D.2-第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

陕西省咸阳市2011年高考模拟考试数学试题(理科)

陕西省咸阳市2011年高考模拟考试数学试题(理科)

2011年咸阳市高考模拟考试试题(一)理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

满分150分,考试时间120分钟。

参考公式:样本数据:123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅的标准差s =其中x 为样本平均数如果事件A 、B 互斥,那么 ()()()P A B P A P B +=+如果事件A 、B 相互独立,那么 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ,那么n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率()(1)(0,1,2,3,)k k n kn n P k C p p k n -=-=⋅⋅⋅球的面积公式24S R π=其中R 表示球的半径 球的体积公式343V R π=其中R 表示球的半径第Ⅰ卷(选择题 共50分)注意事项:1. 答题前,考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 选择题答案使用2B 铅笔填涂,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号;非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性笔(签字)笔或碳素笔书写,字体工整、笔迹清楚.3.请按照题号在各题的答题区域内(黑色线框)作答,超出答题区域书写的答案无效.4.保持卡面清洁,不折叠,不破损.5. 做选考题时,考生按照题目要求作答,并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1. 已知集合{|21,},{|x A y y x R B x y ==-∈==则A BA. [1,1]-B. (1,1]-C. (1,1)-D. (,)-∞+∞ 2. 已知复数1(z i i =-是虚数单位),则21z -等于A. 2iB. 2i -C. 2-D. 2 3. 将函数sin(2)4y x π=+的图像向左平移4π个单位,再向上平移2个单位,则所得图像的函数解析式是 A. 32sin(2)4y x π=++B. 2sin(2)4y x π=+-C. 2sin 2y x =+D. 2cos 2y x =+4. 抛物线22y x =的准线方程为A. 1y =-B. 12y =- C. 14y =-D. 18y =-5. 如图1是一个空间几何体的三视图,则该空间几何体的体积是 A.103π B. 4πC. 6πD. 12π6. 样本容量为100的频率分布直方图如图2所示,根据样本的频率分布直方图估计,样本数据落在[2,10)内的频率为a ,则a 是A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.4 7. 已知正三角形ABC 的边长为1,且,,BC a C A b ==则A. 3B.C.D. 18. 如图3所示的程序框图,其输出结果是 A. 341 B. 1364 C. 1365 D. 13669. 已知函数2()1f x a x =-的图像在点(1,(1))A f 处的切线l 与直线820x y -+=平行,若数列1()f n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ,则2010S 的值为A. 20102011B. 10052011C. 40204021D.2010402110. 已知方程:220x ax b ++= (,)a R b R ∈∈,其一根在区间(0,1)内。

四川省成都市第二十中学校2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题(含答案解析)

四川省成都市第二十中学校2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题(含答案解析)

四川省成都市第二十中学校2022-2023学年高三上学期第一次模拟考试理科数学试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.已知集合{|(3)(1)0}A x x x =-+≤,{}2|1B y y x ==+,则A B ⋃等于()A .(1,)+∞B .[1,)-+∞C .(1,3]D .(1,)-+∞2.在复平面内,复数z 满足(1i)2z +=,则复数z 对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.如图,样本A 和B 分别取自两个不同的总体,它们的样本平均数分别为A x 和B x ,样本标准差分别为A S 和B S ,样本极差分别为A y 和B y ,则()A .>AB x x ,A B S S >,A B y y <B .<A B x x ,A B S S >,A B y y >C .>A B x x ,A B S S <,A B y y >D .<A B x x ,A B S S <,A B y y <4.若tan 2θ=-,则()sin 1sin 2sin cos θθθθ+=+()A .65-B .25-C .25D .655.若直线():430R l mx y m m --+=∈与曲线()()22231x y -+-=有公共点,则m 的取值范围为()A .⎡⎣B .(C .⎡⎢⎣⎦D .⎛ ⎝⎭6.如图,C ,D 为以AB 的直径的半圆的两个三等分点,E 为线段CD 的中点,F 为BE的中点,设AB a=,AC b = ,则AF = ()A .5182a b+ B .5142a b+C .5184a b+D .5144a b+7.下列命题中,不正确的是()A .“若11a b<,则a b >”的否命题为假命题B .在锐角ABC 中,不等式sin cos A B >恒成立C .在ABC 中,若cos cos a A b B =,则ABC 必是等腰直角三角形D .在ABC 中,若2π,3B b ac ==,则ABC 必是等边三角形8.函数()()()sin 0,0,0f x A x A ωϕωπϕ=+>>-<<,其部分图像如图所示,下列说法正确的有()①2ω=;②56π=-ϕ;③3x π=是函数()f x 的极值点;④函数()f x 在区间7,1212ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增;⑤函数()f x 的振幅为1.A .①②④B .②③④C .①②⑤D .③④⑤9.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和,且()*1121,2n n S a n N a +=+∈=,则下列式子正确的是()A .20212022202032a =B .20212022202232a =C .202120212019342S =-+D .202020212020312S =+10.设1F ,2F 分别为双曲线22221x ya b-=(a >0,b >0)的左、右焦点,若双曲线上存在一点P使得12PF PF +=,且12PF PF ab ⋅=,则该双曲线的离心率为()A .2BCD11.已知函数()2,1x f x x e =++若正实数,m n 满足(9)(2)2f m f n -+=,则21m n+的最小值为()A .8B .4C .83D .8912.如图,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中,E F G H P 、、、、均为所在棱的中点,则下列结论正确的有()①棱AB 上一定存在点Q ,使得1QC D Q ⊥②三棱锥F EPH -的外接球的表面积为8π③过点E F G ,,作正方体的截面,则截面面积为④设点M 在平面11BB C C 内,且1//A M 平面AGH ,则1A M 与AB 所成角的余弦值的最大值为3A .1个B .2个C .3个D .4个二、填空题13.已知实数x ,y 满足01,0,2,x y x y ≤≤⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则32x y +的最大值为_______.14.已知平面向量()2,0a = ,()1,2b =-r ,若向量()c a a b b =+⋅ ,则c = ______.(其中c用坐标形式表示)15.已知△ABC 的内角A ,B ,C 的对应边分别为a ,b ,c .若3A π=,4c =,△ABC的面积为ABC 的外接圆的半径为________.16.已知O 为坐标原点,抛物线C :()220y px p =>上一点A 到焦点F 的距离为4,设点M 为抛物线C 准线l 上的动点,给出以下命题:①若△MAF 为正三角形时,则抛物线C 方程为24y x =;②若AM l ⊥于M ,则抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠;③若3MF FA =,则抛物线C 方程为26y x =;④若OM MA +的最小值为C 方程为28y x =.其中所有正确的命题序号是________.三、解答题17.设n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知37a =,1222(2)n n a a a n -=+-≥.(1)证明:{}1n a +为等比数列;(2)求{}n a 的通项公式,并判断,,n n n a S 是否成等差数列?18.某校高二期中考试后,教务处计划对全年级数学成绩进行统计分析,从男、女生中各随机抽取100名学生,分别制成了男生和女生数学成绩的频率分布直方图,如图所示.(1)若所得分数大于等于80分认定为优秀,求男、女生优秀人数各有多少人?(2)在(1)中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人,从这5人中任意任取2人,求至少有1名男生的概率.19.如图1,在矩形ABCD 中,4AB =,2AD =,E 是CD 的中点,将ADE V 沿AE 折起,得到如图2所示的四棱锥1D ABCE -,其中平面1D AE ⊥平面ABCE .(1)设F 为1CD 的中点,若M 为线段AB 上的一点,满足14AM AB =.求证:MF ∥平面1D AE ;(2)求点B 到平面1CD E 的距离.20.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>,椭圆C 的下顶点和上顶点分别为1B ,2B ,且122B B =,过点()0,2P 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于M ,N 两点.(1)求椭圆C 的标准方程;(2)当1k =时,求OMN 的面积;(3)求证:直线1B M 与直线2B N 的交点T 的纵坐标为定值.21.已知函数()ln f x x kx =-(R k ∈),()()2xg x x e =-.(1)求函数()f x 的极值点;(2)若()()1g x f x -≥恒成立,求k 的取值范围.22.如图,在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,极轴所在的直线为x 轴,建立极坐标系,曲线1C 是经过极点且圆心在极轴上直径为2的圆,曲线2C 是著名的笛卡尔心形曲线,它的极坐标方程为[]()1sin 0,2ρθθπ=-∈.(1)求曲线1C 的极坐标方程,并求曲线1C 和曲线2C 交点(异于极点)的极径;(2)曲线3C 的参数方程为cos 3sin3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t为参数).若曲线3C 和曲线2C 相交于除极点以外的M ,N 两点,求线段MN 的长度.23.设函数()45f x x x =-+-的最小值为m .(1)求m ;(2)设123,,x x x R +∈,且123x x x m ++=,求证:22231212311114x x x x x x ++≥+++.参考答案:1.B【分析】根据集合的运算的定义求解.【详解】由(3)(1)0x x -+≤解得13x -≤≤,所以13{|}A x x =-≤≤,又因为211y x =+≥,所以{}|1B y y =≥,所以[1,)A B =-+∞ .故选:B.2.D【分析】先求出复数z ,即可求出答案.【详解】()()()21i 21i 1i 1i 1i z -===-++-,复数z 对应的点为()1,1-则复数z 对应的点位于第四象限故选:D.3.B【分析】观察图形可知,样本A 的数据均在[]2.5,10之间,样本B 的数据均在[]10,15之间,利用平均数,标准差,极差的定义可得解.【详解】观察图形可知,样本A 的数据均在[]2.5,10之间,样本B 的数据均在[]10,15之间,由平均数的计算可知<A B x x ,样本极差A B y y >样本B 的数据波动较小,故A B S S >,故选:B 4.C【分析】将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简,然后增添分母(221sin cos θθ=+),进行齐次化处理,化为正切的表达式,代入tan 2θ=-即可得到结果.【详解】将式子进行齐次化处理得:()()()22sin sin cos 2sin cos sin 1sin 2sin sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθθθθθθθ+++==+++()2222sin sin cos tan tan 422sin cos 1tan 145θθθθθθθθ++-====+++.故选:C .【点睛】易错点睛:本题如果利用tan 2θ=-,求出sin ,cos θθ的值,可能还需要分象限讨论其正负,通过齐次化处理,可以避开了这一讨论.5.C【分析】根据直线与圆相交,结合点到直线的距离公式可得出关于实数m 的不等式,即可解得实数m 的取值范围.【详解】曲线()()22231x y -+-=表示圆心()2,3,半径为1的圆,由题意可知,圆心()2,3到直线l 的距离应小于等于半径1,1=≤,解得m ≤≤故选:C.6.A【分析】直接利用向量的线性运算计算即可.【详解】因为C ,D 为以AB 的直径的半圆的两个三等分点则AB //CD ,且2AB CD=又E 为线段CD 的中点,F 为BE 的中点()()1111111122222242AF AE AB AE AB AC CE AB AC CD AB=+=+=++=∴++25111152828182AC AB AB AC AB a b =++==++故选:A.7.C【分析】根据不等式的性质和正弦定理,余弦定理即可判断求解.【详解】对于A ,原命题的否命题为“若11a b≥,则a b ≤”,由11a b ≥得,110b a a b ab--=≥,得0b a ≥>或0a b ≤<或0b a <<,所以该否命题为假命题,故A 正确;对于B ,在锐角ABC 中,因为ππ()2C A B =-+<,所以π2A B >-,因为π,0,2A B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,所以ππ0,22B ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭,又因为sin y x =在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,所以π2sin sin A B >-⎛⎫ ⎪⎝⎭,即sin cos A B >,故B 正确;对于C ,在ABC 中,由cos cos a A b B =,利用正弦定理可得:sin cos sin cos A A B B =,sin 2sin 2A B∴=,(0,π),22A B A B ∈∴= 或2π2A B =-,得A B =或π2A B +=,ABC ∴ 是等腰三角形或直角三角形,故C 错误;对于D ,由余弦定理2222cos b a c ac B =+-得222b a c ac =+-,又因为2b ac =,所以22220,()0a c ac a c +-=-=,所以a c =,又因为π3B =,所以ABC 是等边三角形,故D 正确,故选:C.8.C【分析】根据函数()f x 的部分图像求出函数的解析式,即可判断①②⑤是否正确;若=3x π是函数()f x 的极值点则=03f π⎛⎫⎪⎭'⎝,可判断③是否正确;求出()f x 的单调增、减区间,即可验证④是否正确;【详解】设()f x 的最小正周期为T ,根据函数()f x 的部分图像可知,512π,1112π是函数()f x 的两个相邻的零点,115212122T πππ∴=-=,T π∴=,222T ππωπ∴===,故①正确;根据函数()f x 的部分图像可知,1A =,故⑤正确;1A = ,2ω=,()()sin f x A x =+ωϕ,()()sin 2f x x ϕ∴=+,将5012π⎛⎫⎪⎝⎭,代入()()sin 2f x x ϕ=+中,5sin 2=012πϕ⎛⎫∴⨯+ ⎪⎝⎭,5=26k πϕπ∴+,56=2k πϕπ∴-,0πϕ-<< ,∴当0k =时,56π=-ϕ,故②正确;()5sin 26f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭()562cos 2f x x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭',若=3x π是函数()f x 的极值点则必有=03f π⎛⎫ ⎪⎭'⎝,而52cos 2=2cos 03636f ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯--= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'⎝⎭,3x π∴=不是函数()f x 的极值点,故③错误;由5222262k x k πππππ-≤-≤+,得263k x k ππππ+≤≤+,()f x \的单调递增区间为2[]63k k ππππ++,,由53222262k x k πππππ+≤-≤+得,2736k x k ππππ+≤≤+,()f x \的单调递减区间为27[]36k k ππππ++,()f x \在126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,上单调递减,在7612ππ⎛⎫⎪⎝⎭,上单调递增,()f x \在71212ππ⎛⎫⎪⎝⎭,上不单调,故④错误.故选:C 9.D【分析】由已知得()*121n n S a n N +=+∈,+1221n n S a +=+,两式作差得+2132n n a a +=,再求得212a =,2132a a ≠,得数列{}n a 从第2项起构成以32为公比的等比数列,求得2n ≥时,n a ,n S ,代入判断可得选项.【详解】解:因为()*121n n S a n N +=+∈,所以+1221n n S a +=+,两式作差得()()+1+212+121n n n n S S a a +-=-+,即+1+2122n n n a a a +=-,所以+2132n n a a +=,又12a =,1221a a =+,解得212a =,211132242aa ==≠,所以数列{}n a 从第2项起构成以32为公比的等比数列,所以12a =,()22113,32222n n n n n a ---⎛⎫⨯=≥ ⎪⎝⎭=,()2111221333132+1++++2+22312++++1,23122222n n n n n a n S a a ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫===⨯⎢⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭=≥ ⎪⎭-⎦⎝ ,所以20222202020222022120213322a --==,故A 不正确,B 不正确;2021120012022+1+13322S -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎝⎭⎝⎭=,所以202020212020312S =+,故C 不正确,D 正确,故选:D.10.B【分析】由双曲线的定义得到122PF PF a -=,再由题意知12PF PF +=,12PF PF ab ⋅=,三个式子组合即可得到22484ab b a =-,解出ba的值,在由双曲线的离心率为c e a =.【详解】()221212=8PF PF PF PF b+=∴+ ,,即222121228PF PF PF PF b ++⋅=①.根据双曲线的定义可得()2212122=4PF PF a PF PF a-=∴-,,即222121224PF PF PF PF a +-⋅=②,①减去②得2212484PF PF b a ⋅=-.12PF PF ab ⋅= ,故222222484221210bb b b ab b a ab b a aa a a ⎛⎫⎛⎫=-⇒=-⇒-⇒--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得1b a =或12b a -=(舍).双曲线的离心率为c e a ==故选:B.11.D【分析】构造函数()()1g x f x =-,由导数结合奇偶性得出()g x 在R 上单调递增,进而得出29m n +=,最后由基本不等式得出答案.【详解】函数()f x 定义域为R ,令()()2111xg x f x x e =-=+-+21()111x x x e h x e e -=-=++,111()()1x x x x e e h x h x e e -----===-++易知y x =和2()11xh x e =-+均奇函数,所以()g x 为奇函数()()22101+xx e g x e +'=>,所以()g x 在R 上单调递增由()()922f m f n -+=得()()91210f m f n --+-=即()()()922g m g n g n -=-=-,所以920m n -+=,即29m n +=则()()211211418222449999m n m n m n m n n m ⎛⎫⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当33,2m n ==时,取等号故选:D【点睛】关键点睛:本题考查点较为综合,解决时关键在于利用导数得出29m n +=,进而由基本不等式得出最值.12.C【分析】根据题意,建立空间直角坐标系,设出Q 点坐标,求出满足题意的位置即可,经计算可知Q 点不存在,故①错误;根据三棱锥F EPH -的几何特征,可计算出其外接球半径,所以②正确;由图可知,过点E F G ,,的截面为边长是的正六边形,即可计算其面积,所以③正确;利用空间向量写出1A M 与AB 所成角的余弦值的表达式求其最值即可,所以④正确.【详解】建立如图空间直角坐标系,设(2,,0)Q a ,其中102,(0,2,0),(0,0,2)a C D ≤≤,所以1(2,2,0),(2,,2)QC a D Q a =--=-,若棱AB 上存在点Q ,使得1QC D Q ⊥,则10QC D Q =,整理得2(1)30a -+=,此方程无解,①不正确;设AB 的中点为K ,则四边形PHKE 其外接圆的半径为1r =,又FK ⊥底面ABCD ,所以三棱锥F EPH -的外接球的半径为R ==所以其表面积为8π,②正确;过点E F G ,,作正方体的截面,截面如图中六边形所示,因为边长均为,且对边平行,所以截面六边形为正六边形,其面积为16sin 602S =⨯=③正确;点M 在平面11BB C C 内,设(,2,)M m n ,则1(2,0,2),(2,0,0),(0,2,1),(1,2,0),(2,2,0)A A G H B ,1(2,2,2),(2,2,1),(1,0,1),(0,2,0)A M m n AG GH AB =--=-=-=设()n x y z = ,,是平面AGH 的一个法向量,则·0·0n AG n GH ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ,令1z =可得112x y ==,,即1(1,,1)2n = ,因为1//A M 平面AGH ,所以10A M n =,即3m n +=,设1A M 与AB 所成角为θ,则11cos A M ABA M ABθ==,当32m =时,2269y m m =-+取最小值92,所以1A M 与AB所成角的余弦值的最大值为3,故④正确;故选:C.13.5【分析】本题考查简单的线性规划,属基础题,根据约束条件画出可行域,将目标函数看成直线,直线经过可行域内的点,观察可得何时目标值取得要求的最值,进而得解.【详解】解:根据方程组画出可行域如图所示,可以求得B (1,1),当直线32x y z +=经过点B 时取得最大值为5,故答案为:5.14.()4,4-【分析】根据向量的线性坐标运算,以及向量数量积的坐标运算可求得答案.【详解】解:因为平面向量()2,0a = ,()1,2b =-r ,所以()21+022a b ⋅=⨯-⨯=-,所以()()()()()22021244c a a b b a b =+⋅=+-=--=- ,,,,故答案为:()4,4-.15.2【分析】利用三角形面积公式求解2b =,再利用余弦定理求得a =,进而得到外接圆半径.【详解】由14sin 23b π⨯⋅=,解得2b =.22224224cos 123a π∴=+-⨯⨯=.解得a =.24sin3R π∴==,解得2R =.故答案为:2.16.①②③④【分析】根据抛物线的标准方程及抛物线的几何性质依次判断即可.【详解】①若△MAF 为正三角形时,122p AM ==,故①正确;②若AM l ⊥于M ,设()00,A x y ,过A 的切线m 方程为:00x ty ty x =-+,代入22y px =得2002220y pty pty x -+-=,()()20024220pt pty x ∆=---=,又202y px =Q ,()200tp y ∴-=,y t p =,所以过A 点的切线的斜率为0p k y =,因为00022MF y yk p p p -==---,所以过A 的切线m MF ⊥,又AM AF =,故抛物线在A 点处的切线平分MAF ∠,②正确③若3MF FA =,则A M F 、、三点共线,4,12AF MF ==,由三角形的相似比得12,3164pp ==,故③正确;④设(),0B p -则14,2A p ⎛- ⎝,O B 、关于准线l 对称,OM BM =,O M BM MA A M B A =+≥==+1402p ->Q ,解得4p =,故④正确.故答案为:①②③④17.(1)证明见解析(2)21nn a =-,n ,n a ,n S 成等差数列【分析】(1)由已知可得:37a =,3232a a =-,解得23a =,可得1121,21n n n n a a a a -+=+=+,可得()111212n n a n a ++=+ ,即可证明;(2)由(1)知,12nn a +=,可得n S ,n a .只要计算20n n n S a +-=即可.【详解】(1)证明:37a = ,3232a a =-,23a ∴=,1121,21n n n n a a a a -+∴=+=+,11a ∴=,()111121222n n n n a a n a a +++==++ ,112a +=,{1}n a ∴+是首项为2公比为2的等比数列.(2)由(1)知,12n n a +=,∴21nn a =-,∴11222212n n n S n n ++-=-=---,∴12222(21)0n n n n n S a n n ++-=+----=,2n n n S a ∴+=,即n ,n a ,n S 成等差数列.18.(1)男30人,女45人(2)710【分析】(1)根据频率分布直方图求出男、女生优秀人数即可;(2)求出样本中的男生和女生的人数,写出所有的基本事件以及满足条件的基本事件的个数,从而求出满足条件的概率即可.【详解】(1)由题可得,男生优秀人数为()1000.010.021030⨯+⨯=人,女生优秀人数为()1000.0150.031045⨯+⨯=人;(2)因为样本容量与总体中的个体数的比是51304515=+,所以样本中包含男生人数为130215⨯=人,女生人数为145315⨯=人.设两名男生为1A ,2A ,三名女生为1B ,2B 3B .则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为:{}12,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}13,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}23,A B ,{}12,B B ,{}13,B B ,{}23,B B 共10个,记事件C :“选取的2人中至少有一名男生”,则事件C 包含的基本事件有:{}12,A A ,{}11,A B ,{}12,A B ,{}13,A B ,{}21,A B ,{}22,A B ,{}23,A B 共7个.所以()710P C =.【点睛】本题考查了频率分布问题,考查了古典概型概率问题,是一道中档题.19.(1)证明见解析(2)d =【分析】(1)取1D E 的中点N ,证明AMFN 是平行四边形,得到AN MF ∥,再利用线面平行的判定定理证明;(2)取AE 的中点O ,BC 的中点Q ,连接EF ,1D O ,由平面1D AE ⊥平面AECB ,得到1D O ⊥平面AECB ,设点B 到平面1CD E 的距离为d ,由11D BCE B CED V V --=求解.【详解】(1)证明:如图所示:取1D E 的中点N ,连AN 、NF ,则12NF EC =,//NF EC ,∵122EC AB ==,当114AM AB ==时,12AM EC =,//AM EC ,是NF AM =且//NF AM ,所以AMFN 是平行四边形,则//AN MF .又MF ⊄平面1D AE ,AN ⊂平面1D AE ,所以//MF 平面1D AE ;(2)如图所示:取AE 的中点O ,BC 的中点Q ,连接EF ,1D O .易知1EF D C ⊥,OQ CB ⊥.因为11D A D E =,AO EO =,所以1D O AE ⊥,平面1D AE 平面AECB AE =,平面1D AE ⊥平面AECB ,1D O ⊂平面1AD E ,所以1D O ⊥平面AECB .设点B 到平面1CD E 的距离为d .在1Rt D OC △中,OC 1D O =,所以1D C ==.在1D EC △中,因为12EC D E ==,1D C =所以1EF ==.由11D BCE B CED V V --=,得1111113232CB CE D O CD EF d ⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅.即11112213232d ⋅⋅⋅=⋅⋅⋅解得d =20.(1)2212x y +=;(2)面积不存在;(3)证明见解析.【分析】(1)根据题意求出1b =,再由离心率为2和222c a b =-,求出a =1c =,即可得到椭圆方程.(2)把直线与椭圆进行联立,得到Δ0<,直线与椭圆无交点,故OMN 的面积不存在.(3)设直线l 的方程并和椭圆进行联立,由直线和椭圆有两个交点,232k >,再由1B ,T ,M 在同一条直线上,得111111313y kx n k m x x x +++===+;2B ,T ,N 在同一条直线上,222221111y kx n k m x x x -+-===+.化简得12n =,故交点T 的纵坐标为定值12.【详解】(1)因为122B B =,所以22b =,即1b =,因为离心率为2,所以2c a =,设c m =,则a =,0m >,又222c a b =-,即2222m m b =-,解得1m =或1-(舍去),所以a =1b =,1c =,所以椭圆的标准方程为2212x y +=(2)由22122x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()222220x x ++-=23860x x ++=,284360∆=-⨯⨯<所以直线与椭圆无交点,故OMN 的面积不存在.(3)由题意知,直线l 的方程为2y kx =+,设()11,M x y ,()22,N x y ,则22212y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,整理得()2221860k x kx +++=,则()()22122122Δ846120821621k k k x x k x x k ⎧=-⨯+>⎪⎪⎪+=-⎨+⎪⎪=⎪+⎩,因为直线和椭圆有两个交点,所以()()22824210∆=-+>k k ,则232k >,设(),T m n ,因为1B ,T ,M 在同一条直线上,则111111313y kx n k m x x x +++===+,因为2B ,T ,N 在同一条直线上,则222221111y kx n k m x x x -+-===+,由于()21212283311213440621k x x n n k k k m m x x k ⎛⎫⋅- ⎪++-+⎝⎭+⋅=+=+=+,所以12n =,则交点T 恒在一条直线12y =上,故交点T 的纵坐标为定值12.21.(1)当0k ≤时,()f x 无极值点,当0k >时,()f x 有极大值点1k,无极小值点,(2)[1,)+∞【分析】(1)先求出函数的定义域,然后求出导函数,通过判断导函数的正负来判断函数的极点;(2)将不等式恒成立转化为1ln 2xx k e x+≥-+对0x >恒成立,构造函数1ln ()2xx m x e x+=-+,利用导数研究函数()m x 的性质,求解()m x 的最值,即可得到k 的取值范围【详解】解:(1)函数的定义域为(0,)+∞,由()ln f x x kx =-,得'11()kx f x k x x-=-=,当0k ≤时,'()0f x >,所以()f x 在(0,)+∞上单调递增,函数无极值点,当0k >时,由'()0f x =,得1x k=,当10x k <<时,'()0f x >,当1x k >时,'()0f x <,所以()f x 在10,k ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,k ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()f x 有极大值点1k,无极小值点,综上,当0k ≤时,()f x 无极值点,当0k >时,()f x 有极大值点1k,无极小值点,(2)因为()()1g x f x -≥恒成立,即(2)(ln )1x x e x kx ---≥恒成立,所以1ln 2xx k e x+≥-+对0x >恒成立,令1ln ()2x x m x e x+=-+,则2'221(1ln )ln ()x x x x x x e x m x e x x ⋅-+--=-=,令2()ln x n x x x e =--,则'22l l ()(2)(2)0(0)x x x n x xe x e e x x x x x=--+=--+<>,所以()n x 在(0,)+∞上单调递减,因为12110,(1)0e n e n e e -⎛⎫=->=-< ⎪⎝⎭,所以由零点存在性定理可知,存在唯一的零点01,1x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00n x =,即0200ln xx x e -=,两边取对数可得000ln(ln )2ln x x x -=+,即0000ln(ln )(ln )ln x x x x -+-=+,因为函数ln y x x =+在(0,)+∞上单调递增,所以00ln x x =-,所以当00x x <<时,()0n x >,当0x x >时,()0n x <,所以()m x 在()00,x 上单调递增,在()0,x +∞上单调递减,所以00000001ln 11()()221x x x m x m x e x x x +-≤=-+=-+=,所以0()1k m x ≥=,所以k 的取值范围为[1,)+∞【点睛】关键点点睛:此题考查导数的应用,考查利用导数解决不等式恒成立问题,解题的关键是()()1g x f x -≥恒成立,转化为1ln 2x x k e x +≥-+对0x >恒成立,然后构造函数1ln ()2x x m x e x+=-+,利用导数求出()m x 的最大值即可,考查数学转化思想和计算能力,属于较难题22.(1)极坐标方程为2cos ρθ=,[)0,2θ∈π,极径为85(2)2【分析】(1)先求出曲线1C 的直角坐标方程,再根据极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线1C 的极坐标方程;联立曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程,消去θ可得结果;(2)将曲线3C 的参数方程化为直角坐标方程,再化为极坐标方程,联立曲线3C 和曲线2C 的极坐标方程,消去θ得到,M N 两点的极径后相加即可得解.【详解】(1)曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=,即2220x y x +-=,将222x y ρ+=,cos x ρθ=代入并化简得1C 的极坐标方程为2cos ρθ=,[)0,2θ∈π.由2cos 1sin ρθρθ=⎧⎨=-⎩消去θ,并整理得2580ρρ-=,∴10ρ=或285ρ=.∴所求异于极点的交点的极径为85ρ=.(2)由cos 3sin 3x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩消去参数t 得曲线3C的普通方程为y =,∴曲线3C 的极坐标方程为()03πθρ=≥和()403πθρ=≥由31sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩和431sin πθρθ⎧=⎪⎨⎪=-⎩得曲线3C 与曲线2C两交点的极坐标为1,23M π⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,413N π⎛⎫ ⎝⎭,∴112MN OM ON ⎛⎛=+=+= ⎝⎭⎝⎭(O 为极点).23.(1)1m =;(2)证明见解析.【解析】(1)利用“零点讨论法”将绝对值函数表示为分段函数的形式,求分段函数的最值即可;(2)由(1)易构造出1231114x x x +++++=,利用柯西不等式即可得结果.【详解】(1)∵()29,41,4529,5x x f x x x x -+<⎧⎪=≤≤⎨⎪->⎩,∴4x <时,()1f x >,且5x >时,()1f x >,∴()min 1f x =,∴1m =;(2)由(1)知1231x x x ++=,∴1231114x x x +++++=,∵()()()2222223312121231231234111111111x x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++⨯=+++++++≥⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭⎝⎭()21231x x x ++=,∴22231212311114x x x x x x ++≥+++,当且仅当12313x x x ===取等号.【点睛】关键点点睛:得出1231114x x x +++++=,构造柯西不等式的形式.。

2013届高三模拟考试四

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2013届高三模拟考试四 理科数学数学(理工类)试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分,共4页.满分150分.考试时间120分钟.考试结束后,务必将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项:1.答卷前,考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和答题纸相应的位置上.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后再选涂其他答案标号.答案不能答在试题卷上.3.第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答,答案必须写在答题卡各题指定区域内相应的位置,不能写在试题卷上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用涂改液、胶带纸、修正带.不按以上要求作答的答案无效.4.填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 参考公式:圆锥的体积公式:h r V 231π=,圆锥的侧面积公式:rl S π=,其中r 是圆锥的底面半径,h 是圆锥的高,l 是圆锥的母线长.如果事件A 、B 互斥,那么)()()(B P A P B A P +=+; 如果事件A 、B 独立,那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅.第I 卷(选择题 共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U = R ,集合A =}2|||{<x x , B =}1|{>x x ,则等于A .{x | 1<x <2}B .{x | x ≤-2}C .{x | x ≤1或x ≥2}D .{x | x <1或x >2}2.复数ii z +-=1)1(2(i 是虚数单位)的共扼复数是A .i +1B .i +-1C .i -1D .i --13.等差数列{a n }中,“a 1<a 3”是“a n <a n +1”的 A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件2013.054.已知圆C :222)()(r b y a x =-+-的圆心为抛物线x y 42=的焦点,直线3x +4y +2=0与圆C 相切,则该圆的方程为A .2564)1(22=+-y x B .2564)1(22=-+y x C .1)1(22=+-y xD .1)1(22=-+y x5.将函数y =2cos2x 的图象向右平移2π个单位长度,再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),得到的函数解析式为 A .y =cos2x B .y =-2cos xC .y =-2sin4xD .y =-2cos4x6.已知二次函数)R (4)(2∈+-=x c x ax x f 的值域为)0[∞+,,则ac 91+的最小值为 A .3B .29 C .5 D .77.已知双曲线1922=-m x y 的离心率为35,则此双曲线的渐近线方程为A .x y 34±=B .x y 43±=C .x y 53±=D .x y 54±=8.在二项式n x x)3(-的展开式中,各项系数之和为M ,各项二项式系数之和为N ,且M +N =64,则展开式中含2x 项的系数为A .-90B .90C .10D .-109.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为 A .1212++π B .π212+ C .12122++πD .165+π10.已知函数)1(-=x f y 是偶函数,当)1,(--∞∈x 时,函数)(x f y =单调递减.设a = f (1),b = f (-2),)22(log 2f c =则a 、b 、c 的大小关系为 A .c <a <bB .a <b <cC .a <c <bD .c <b <a11.当a >0时,函数xe ax x xf )2()(2-=的图象大致是12.定义在(0,2π)上的函数f (x ),其导函数是f ′(x ),且恒有x x f x f tan )()(⋅'<成立,则A .)3(3)6(ππf f >B .)3(3)6(ππf f <C .)3()6(3ππf f >D .)3()6(3ππf f <第Ⅱ卷(非选择题 共90分)二、填空题:本大题共4小题.每小题4分,共16分.13.执行右图程序框图.若输入n =5,则输出k 的值为 ▲ .14.某小学对学生的身高进行抽样调查,如图,是将他们的身高(单位:厘米)数据绘制的频率分布直方图.若要从身高在[120,130),[130,140),[140,15]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人,则从身高在[140,15]内的学生中选取的人数应为 ▲ .15.已知实数x ,y 满足⎪⎩⎪⎨⎧-≥≤+≤11y y x xy ,则函数y x z 24=的最大值为 ▲ .16.已知函数⎩⎨⎧≤++>=m x x x mx x f ,, 242)(2,若方程0)(=-x x f 恰有三个不同的实数根,则实数m 的取值范围是 ▲ .三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.17.(本小题满分12分)已知向量a=(x x ωωcos 2 ,sin ),b =(x x x ωωωcos ,cos 3sin +)(ω>0),函数1)(-⋅=b a x f ,且函数y =f (x )图象的两相邻对称轴间的距离为2π.(I )求ω的值;(Ⅱ)设ΔABC 的三边a 、b 、c 所对应的角分别A 、B 、C ,若45)22(=+C f π且a =1,c =2,求ΔABC 的面积.18.(本小题满分12分)某电视合为提升收视率,推出大型明星跳水竞技节目《星跳水立方》.由4位奥运跳水冠军萨乌丁、熊倪、高敏、胡佳任教练,分别带领一个队进行竞赛,参加竞赛的队伍按照抽签方式决定出场顺序.(I )求竞赛中萨乌丁队、熊倪队两支队伍恰好排在前两位的概率;(Ⅱ)若竞赛中萨乌丁队、熊倪队之间间隔的队伍数记为X ,求X 的分布列和数学期望. 19.(本小题满分12分)如图,已知四棱锥E -ABCD 的底面为菱形,且∠ABC =60°,AB =EC =2,AE =BE =2.(I )求证:平面EAB ⊥平面ABCD ;(Ⅱ)求直线AE 与平面CDE 所成角的正弦值. 20.(本小题满分12分)已知*N n ∈,数列{d n }满足2)1(3nn d -+=;数列{a n }满足n n d d d d a 2321++++= ;数列{b n }为公比大于1的等比数列,且b 2,b 4为方程064202=+-x x 的两个不相等的实根.(I )求数列{a n }和数列{b n }的通项公式;(Ⅱ)将数列{b n }中的第a 1项,第a 2项,第a 3项,……,第a n 项,……删去后剩余的项按从小到大的顺序排成新数列(c n },求数列{c n }的前2013项的和.21.(本小题满分13分)某影视城为提高旅游增加值,现需要对影视城内景点进行改造升级.经过市场调查,改造后旅游收入y (万元)与投入x (万元)之间满足关系:),[50512+∞∈-=t x ax x y ,其中t 为大于21的常数.当x =10万元时,y =9.2万元,又每投入x 万元需缴纳)10ln 3(x +万元的增值税(旅游增加值=旅游收入-增值税).(I )若旅游增加值为了f (x ),求f (x )的解析式; (Ⅱ)求旅游增加值f (x )的最大值M . 22.(本小题满分13分)已知椭圆E :12222=+by a x (a >b >0)的右焦点F 2与抛物线x y 42=的焦点重合,过F 2作与x 轴垂直的直线交椭圆于S ,T 两点,交抛物线于C ,D 两点,且22||||=ST CD . (I )求椭圆E 的标准方程;(Ⅱ)设Q (2,0),过点(-1,0)的直线l 交椭圆E 于M 、N 两点. (i )当319=⋅QN QM 时,求直线l 的方程; (ii )记ΔQMN 的面积为S ,若对满足条件的任意直线l ,不等式S >λtan ∠MQN 恒成立,求λ的最小值.。

高三理科数学考试分析

高三理科数学考试分析

学年上期教学质量调研测试理科数学试卷分析一、试卷整体评价本学年上学期教学质量检测高三理科数学试题,在充分考查学生“三基”的基础上,加强了对考生综合能力以及分析问题和解决问题能力的考查。

试题类型多样化,整体思想与高考试题接近,需要学生有过硬的数学运算能力。

应用性题目和能力型题目占有较大的比例.试卷的整体难度较去年期末检测试题略有提高,体现了今年高考命题命题方向和思路,考察的基础知识面大量广,突出了对能力的考察,特别注重考察学生的基本能力。

同时,注意考察学生综合运用知识的能力。

特别是试题表现出新、活的特点。

具有较高的区分度和可信度.因此试题对理科数学二轮复习有着积极地导向和促进作用.二、试题分析1、试题的题型结构及解答题的主要知识点1.1试卷长度、题型比例配置保持与高考试题结构一致.全卷共22题,其中选择题12个,共60分,占总分40%;填空题4个,共20分,约占总分13.3%;解答题6个,共70分,占46.7%,其中22、23、24为选做题,分值10分。

全卷合计150分.1.2考查的内容面广,侧重于中学数学学科的重点内容和主要方法,侧重于初等数学和高等数学衔接内容和方法的考查.其中解答题的主要知识点2、试题的主要特点(1)知识面广而全——各章各节的知识点几乎都有涉及。

如第8题,系选择题,先表示出两个向量的数量积,进而转化成线性规划的最值问题,体现了转化-化归思想。

(2)抽象性较强,增大了阅读、理解的难度。

在高中阶段,不仅仅是语文、英语试题中有阅读、理解题型,数学试题也非常注重阅读、理解。

读不懂题意,未能联系题设条件和问题所涉及的概念、定理、公式等是根本不能解答一道数学题的。

这套试题,涉及新定义概念和新定义运算的就有第11、15两道客观题,还有19(Ⅲ)是开放性、探究型试题,很多学生望而生畏,题目是什么意思都弄不懂,更谈不上明白要“做什么”和“怎么做”了。

(3)试题注重考查基础知识的同时,还注重考查数学思想方法。

山东省济南市2018届高三第二次模拟考试理数试题word含答案

山东省济南市2018届高三第二次模拟考试理数试题word含答案

山东省济南市2018届高三第二次模拟考试理数试题word含答案山东省济南市2018届高三第二次模拟(5月)考试理科数学参考公式:锥体的体积公式:V=1/3Sh,其中S为锥体的底面积,h为锥体的高。

第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

21.设全集U=R,集合A={x|x-1≤0},集合B={x|x-x-6<0},则下图中阴影部分表示的集合为()小幅度改写:已知全集U=R,集合A={x|x-1≤0},集合B={x|x-x-6<0},则下图中阴影部分为集合A和集合B的交集。

2.设复数z满足z(1-i)=2(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是()小幅度改写:已知复数z满足z(1-i)=2(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是z=-1+i。

3.已知角α的终边经过点(m,-2m)(其中m≠0),则sinα+cosα等于()小幅度改写:已知角α的终边经过点(m,-2m)(其中m≠0),则sinα+cosα=±3/5.4.已知F1、F2分别为双曲线2-2/b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上一点,PF2与x轴垂直,∠PF1F2=30°,且虚轴长为2b2,则双曲线的标准方程为()小幅度改写:已知F1、F2分别为双曲线2-2/b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P为双曲线上一点,PF2与x轴垂直,∠PF1F2=30°,且虚轴长为2b2,则双曲线的标准方程为x2/b2-y2/a2=1.5.某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖。

则中奖的概率为()小幅度改写:某商场举行有奖促销活动,抽奖规则如下:从装有形状、大小完全相同的2个红球、3个蓝球的箱子中,任意取出两球,若取出的两球颜色相同则中奖,否则不中奖。

山东省威海市2013届高三5月模拟考试 数学(理)

山东省威海市2013届高三5月模拟考试 数学(理)

第5题图威海市高三理科数学试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的.) (A )1i + (B )1i - (C )1i -+ (D )1i --2.已知全集{}3,2,1,0,1,2--=U ,{},3,1,0,1-=M ,{}3,2,0,2-=N ,则(∁U M )N 为 (A ) {},1,1- (B ){}2- (C ){}2,2- (D ){}2,0,2-3.“函数xy a =单调递增”是“ln 1a >”的什么条件(A )充分不必要(B )必要不充分 (C )充分必要 (D )既不充分也不必要 4.已知随机变量ξ服从正态分布2(3,)N σ,若(6)0.3P ξ>=, 则(0)P ξ<=(A ) 0.3 (B )0.4 (C )0.6 (D )0.7 5.一算法的程序框图如右图所示,若输出的12y =,则输入的x (A )1- (B )1 (C )1或5 (D )1-或1 7.在等比数列{}n a 中,已知271251=a a a ,那么=84a a (A )3 (B )6 (C )9 (D )188.奇函数)(x f y =满足1)3(=f ,且)3()()4(f x f x f -=-,则)2(f 等于 (A )0 (B )1 (C )21-(D )219.设γβα,,为平面,l n m ,,为直线,下列说法中正确的是 (A )若 βα⊥,l =βα ,l m ⊥,则β⊥m (B )若γα⊥,γβ⊥,则βα⊥(C )若γα⊥,γβ⊥,m αβ= , l m ⊥,则l β⊥ (D )若α⊥n ,β⊥n , α⊥m ,则β⊥m10.已知双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的左、右焦点为12,F F ,设P 是双曲线右支上一点,121211cos ,F F F F F P F P <>= ,且121,6F F F P π<>= ,则双曲线的离心率e =(A1 (B)12 (C)14 (D)1211.函数)2ln(sin )(+=x xx f 的图象可能是(A ) (B ) (C ) (D )12.某学习小组共有5位同学,毕业之前互赠一份纪念品,任意两位同学之间最多交换一次,已知这5位同学之间共进行了8次交换,其中一人收到2份纪念品,另外4位同学收到的纪念品的数量最少是m 个,最多是n 个,则m n +=(A )5 (B )6 (C )7 (D )8二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分)14.函数()sin(),(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的部分图像 如图所示,则(1)(2)(2013)f f f +++= __________. 15.已知正数b a ,满足等式042=+-+ab b a , 则b a +的最小值为________.16.已知数列{}n a 的通项公式为(1)21nn a n =-⋅+,将该数 列的项按如下规律排成一个数阵:1a 2a 3a 4a 5a 6a …………则该数阵中的第10行,第3个数为_______________.三、解答题(本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分12分)已知{}n a 为等差数列,n S 为其前n 项和,且222n n S a n =+.(Ⅰ)求,n n a S ;(Ⅱ)若2221,,k k k a a a -+成等比数列,求k 的值及公比. 18.(本小题满分12分)ABC ∆中,B ∠是锐角,2BC AB ==,已知函数2()2cos f x BC BA x =++ .(Ⅰ)若(2)14f B =,求AC 边的长; (Ⅱ)若()12f B π+=,求tan B 的值.19.(本小题满分12分)某单位在“五四青年节”举行“绿色环保杯”象棋比赛,规则如下:两名选手比赛时,先胜3局者将赢得这次比赛,比赛结束.假设选手乙每局获胜的概率为13,且各局比赛胜负互不影响,已知甲先胜一局.(Ⅰ)求比赛进行5局结束且乙胜的概率;(Ⅱ)设ξ表示从第二局开始到比赛结束时已比赛的局数,求随机变量ξ的分布列和数学期望. 20.(本小题满分12分)如图1,在梯形ABCD 中,BC ∥DA ,,2BE DA EA EB BC ⊥===,1DE =,将四边形DEBC 沿BE 折起,使平面DEBC 垂直平面ABE ,如图2,连结,AD AC . (Ⅰ)若F 为AB 中点,求证:EF ∥平面ADC ;(Ⅱ)若AM AC λ= ,且BM 与平面ADC 所成角的正弦值为3,试确定点M 的位置.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为e =过右焦点做垂直于x 轴的直线与椭圆相交2. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)设点(0,2)M ,直线l :1y =,过M 任作一条不与y 轴重合的直线1l 与椭圆相交于A B 、两点,过AB 的中点N 作直线2l 与y 轴交于点P ,D 为N 在直线l 上的射影,若ND 、12AB 、MP 成等比数列,求直线2l 的斜率的取值范围.威海市高三理科数学参考答案C C B A B B CD D A A C 13.3|2x x ⎧⎫≤⎨⎬⎩⎭14.15. 4 6. 97 17.解:(Ⅰ)∵{}n a 为其等差数列,设公差为d18.解:(Ⅰ)2()2cos243222cos f x BC BA B B x =++=++⨯+()72cos f x B x =++ --------------------------2分 (2)72cos 214f B B B =++=整理得:24cos 90B B +-= --------------------------4分cos 2B =或cos 2B -=(舍) ∴2222cos 431AC BC BA BC BA B =+-⋅=+-= ∴1AC = --------------------------6分 (Ⅱ)()72sin 12f B B B π+=+-=整理得:sin 3B B -= --------------------------8分将上式平方得:22sin cos 12cos 9B B B B -+=∴2222sin cos 12cos 9sin cos B B B B B B-+=+,同除2cos B9= --------------------------10分整理得:28tan 30B B +-=∴tan B =,∵B ∠是锐角, ∴tan B =. --------------------------12分 19.解(Ⅰ)设乙获胜的概率为P 乙,由已知甲每局获胜的概率皆为12133-=. -------1分所以随机变量ξ的分布列为ξ 23 4P41 220.证明:(Ⅰ)取AC 中点N ,连接,FN DN FE ,, --------------------1分 ∵ ,F N 分别是,AB AC 的中点,又DE ∥BC 且1,2DE BC ==FN ∴∥DE 且,FN DE =∴四边形FNDE 为平行四边形. --------------------3分EF ∴∥ND ,又EF ⊄平面,ACD DN ⊂平面,ACD EF ∴∥平面ADC -----------5分(Ⅱ) 平面DEBC ⊥平面ABE 且交于,,BE AE EB ⊥AE ∴⊥平面,DECB AE DE ∴⊥ -----------5分由已知,,DE EB AE EB ⊥⊥,分别以,,EA EB ED 所在直线 为,,x y z 轴,建立空间直角坐标系。

四川省成都市石室中学2024届高三下学期三诊模拟考试理科数学含答案

四川省成都市石室中学2024届高三下学期三诊模拟考试理科数学含答案

成都石室中学2023-2024年度下期高2024届三诊模拟数学试题(理)(总分:150分,时间:120分钟)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)1.满足{},,,M a b c d ⊆且{}{},,M a b c a ⋂=的集合M 的个数为()A .1B .2C .3D .42.在A B C ∆中,“AC B ∠是钝角”是“CA CB AB +<”的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件3.如图是某赛季甲、乙两名篮球运动员5场比赛得分的茎叶图,已知甲的成绩的极差为31,乙的成绩的平均值为24,则下列结论错误的是()A .9x =B .6y =C .乙的成绩的中位数为28D .乙的成绩的方差小于甲的成绩的方差4.用数学归纳法证明()111212322n n f n +=++++≥ (*n ∈N )的过程中,从n k =到1n k =+时,()1f k +比()f k 共增加了()A .1项B .21k -项C .+12k 项D .2k 项5.已知函数()1sin cos 4f x x x =+,则下列说法正确的是()A .()f x 的图象关于直线π2x =对称B .()f x 的周期为πC .(1π,4)是()f x 的一个对称中心D .()f x 在区间ππ,42⎡⎤⎢⎣⎦上单调递增6.物理学家本·福特提出的定律:在b 进制的大量随机数据中,以n 开头的数出现的概率为()1log b b n P n n+=.应用此定律可以检测某些经济数据、选举数据是否存在造假或错误.若()80*4102log 81()1log 5n k P n k ==∈+∑N ,则k 的值为()A .7B .8C .9D .107.已知函数2()2ln f x x x =+的图象在两个不同点()()11,Ax f x 与()()22,B x f x 处的切线相互平行,则12x x+的取值可以为()A .14B .1C .2D .1038.佩香囊是端午节传统习俗之一,香囊内通常填充一些中草药,有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异,香囊常用丝布做成各种不同的形状,形形色色,玲珑夺目.图1的ABC D Y 由六个正三角形构成,将它沿虚线折起来,可得图2所示的六面体形状的香囊,那么在图2这个六面体中,棱AB 与CD 所在直线的位置关系为()A .平行B .相交C .异面且垂直D .异面且不垂直9.甲、乙两艘轮船都要在某个泊位停靠6小时,假定它们在一昼夜的时间段中随机地到达,则这两艘船中至少有一艘在停靠泊位时必须等待的概率为()A .316B .1316C .716D .91610.在平面直角坐标系xOy 中,点()()1,0,2,3A B -,向量OC mOA nOB =+,且40m n --=.若点C 的轨迹与双曲线2212x y -=的渐近线相交于两点P 和Q (点P 在x 轴上方),双曲线右焦点为F ,则POF QOFS S ∆∆=()A .3+22B .322-C .196217+D .196217-11.如图,射线l 与圆()()22:111C x y -+-=,当射线l 从0l 开始在平面上按逆时针方向绕着原点O 匀速旋转(A 、B 分别为0l 和l 上的点,转动角度AOB α∠=不超过π4)时,它被圆C 截得的线段EF 长度为()L α,则其导函数()L α'的解析式为()A .()2sin2L αα='B .()2cos2L αα='C .()2cos2sin2L ααα='D .()cos2sin2L ααα='12.若存在(),x y 满足23100290360x y x y x y -+>⎧⎪+->⎨⎪--<⎩,且使得等式()()324e ln ln 0x a y x y x +--=成立,其中e 为自然对数的底数,则实数a 的取值范围是()A .()3,0,2e ⎡⎫-∞⋃+∞⎪⎢⎣⎭B .3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C .(),0∞-D .30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)13.若复数13i 22z =+(i 为虚数单位),则2z z ⋅=.14.已知a 是1与2的等差中项,b 是1与16的等比中项,则ab 等于.15.已知函数()f x 的定义域为R ,对于任意实数x y 、均满足()()2233f x f y x y f ++⎛⎫=⎪⎝⎭,若()21f =,()510f =,则()724f =.16.成都石室中学校园文创产品圆台形纸杯如图所示,其内部上口直径、下口直径、母线的长度依次等于8cm 、6cm 、12cm ,将纸杯盛满水后再将水缓慢倒出,当水面恰好到达杯底(水面恰好同时到达上口圆“最低处”和下口圆“最高处”)的瞬间的水面边缘曲线的离心率等于.三、解答题(本题共6道小题,共70分)17.(本小题满分12分)如图,在平面四边形ABCD 中,已知点C 关于直线BD 的对称点'C 在直线AD 上,30CBD CDB ∠=∠=︒,75ACD ∠=︒.(Ⅰ)求sin sin BACABC∠∠的值;(Ⅱ)设AC =3,求2AB .18.(本小题满分12分)某植物园种植一种观赏花卉,这种观赏花卉的高度(单位:cm)介于[]15,25之间,现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量,所得数据统计如下图所示.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)若从高度在[)15,17和[)17,19中分层抽样抽取5株,在这5株中随机抽取3株,记高度在[)15,17内的株数为X ,求X 的分布列及数学期望()E X ;(Ⅲ)以频率估计概率,若在所有花卉中随机抽取3株,求至少有2株高度在[]21,25的条件下,至多1株高度低于23cm 的概率.19.(本小题满分12分)已知函数2()ln ,f x ax x a =-∈R .(Ⅰ)讨论函数()f x 的单调性;(Ⅱ)设0,()()a g x f x bx >=+,且1x =是()g x 的极值点,证明:2+ln 12ln 2b a ≤-.20.(本小题满分12分)已知平面α与平面β是空间中距离为1的两平行平面,AB α⊂,CD β⊂,且2AB CD ==,AB 和CD 的夹角为60︒.(Ⅰ)证明:四面体ABCD 的体积为定值;(Ⅱ)已知异于C 、D 两点的动点P β∈,且P 、A 、B 、C 、D的球面上.当PA ,PB 与平面α的夹角均为θ时,求cos θ.选考题:共10分。

【5月8日石家庄高三阶段性测试理数】2020年石家庄市高三五月模拟考试(二)理科数学试卷含答案

【5月8日石家庄高三阶段性测试理数】2020年石家庄市高三五月模拟考试(二)理科数学试卷含答案

a , a , a , 均 为 以 3 为 公 差 的 等 差 数 列 , a 1 1 , , 易 求 得 a 2 k 1 3 k 2 k N * . 则
aa
aa
a a
a
a
a
a
a
a
,故选
D.
11.B.【解析】由 f x f x 知 f x 关于 x 对称,如图,令 gx ,即 m x f x ,设
石家庄市 2020 届高三年级阶段性训练题答案
数学理科
一、选择题:
1.B.【解析】由题意知 B x | x 2 ,故 A B x | x ,故选 B.
2. A.【解析】 p : x0 , 0 , 2x0 3x0 ,故选 A.
3.
B.【解析】 z
1i i
(1 i)(i) i (i)
二、填空题:
13. 2 5 【解析】由题意知 s i n 2 2 5 .
5
5
5
14.15.【解析】
x
1 6 x
展开式的通项为 Tr1
C6r
3
x
3r 2
,3
3r 2
0
r
2
,所以展开式的常数项为
C
2 6
15 .
15. π ; π .【解法一】作 PE 平面 ABCD ,由 PAB PAD
25 5
,故
AM BD AC CM BD AC BD CM BD ,
其中 AC BD AB BC BC CD , CM BD CM BD ,当且仅当 CM 与 BD 同向时,等
号成立,故选 A.
10.D.【解析】由 an an n 得 an an n ,两式相减得 an an ,故 a, a, a , 和

(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)

(完整)2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)

2019届全国高考高三模拟考试卷数学(理)试题(二)(解析版)注意事项:1.答题前,先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2.选择题的作答:每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3.非选择题的作答:用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4.考试结束后,请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.[2019·南昌一模]已知复数()i2ia z a +=∈R 的实部等于虚部,则a =( ) A .12-B .12C .1-D .12.[2019·梅州质检]已知集合{}31,A x x n n ==-∈N ,{}6,8,10,12,14B =,则集合A B I 中元素的个数为( ) A .2B .3C .4D .53.[2019·菏泽一模]已知向量()1,1=-a ,()2,3=-b ,且()m ⊥+a a b ,则m =( ) A .25B .25-C .0D .154.[2019·台州期末]已知圆C :()()22128x y -+-=,则过点()3,0P 的圆C 的切线方程为( ) A .30x y +-=B .30x y --=C .230x y --=D .230x y +-=5.[2019·东北三校]中国有十二生肖,又叫十二属相,每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种,现有十二生肖的吉祥物各一个,三位同学依次选一个作为礼物,甲同学喜欢牛和马,乙同学喜欢牛、狗和羊,丙同学哪个吉祥物都喜欢,如果让三位同学选取礼物都满意,则选法有( ) A .30种B .50种C .60种D .90种6.[2019·汕尾质检]边长为1的等腰直角三角形,俯视图是扇形,则该几何体的体积为( )A .π9B .π3C .π6D .π187.[2019合肥质检]将函数()π2sin 16f x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象上各点横坐标缩短到原来的12(纵坐标不变)得到函数()g x 的图象,则下列说法正确的是( ) A .函数()g x 的图象关于点π,012⎛⎫- ⎪⎝⎭对称B .函数()g x 的周期是π2C .函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D .函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上最大值是18.[2019·临沂质检]执行如图所示的程序框图,输出的值为( )A .0B .12C .1D .1-9.[2019·重庆一中]2sin80cos70cos20︒︒-=︒( )A .3B .1C 3D .210.[2019·揭阳一模]函数()f x 在[)0,+∞单调递减,且为偶函数.若()21f =-,则满足()31f x -≥-的x 的取值范围是( ) A .[]1,5B .[]1,3C .[]3,5D .[]2,2-11.[2019·陕西联考]已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点为2F ,若C 的左支上存在点M ,使得直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线,则C 的离心率为( )AB .2CD .512.[2019·临川一中]若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其坐标满足条件:1212x x y y +0,则称()f x 为“柯西函数”,则下列函数:①()()10f x x x x=+>;②()()ln 0e f x x x =<<;③()cos f x x =;④()21f x x =-.其中为“柯西函数”的个数为( ) A .1 B .2 C .3 D .4二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.13.[2019·江门一模]已知a 、b 、c 是锐角ABC △内角A 、B 、C 的对边,S 是ABC △的面积,若8a =,5b =,S =,则c =_________.14.[2019·景山中学]已知a ,b 表示直线,α,β,γ表示不重合平面. ①若a αβ=I ,b α⊂,a b ⊥,则αβ⊥;②若a α⊂,a 垂直于β内任意一条直线,则αβ⊥; ③若αβ⊥,a αβ=I ,b αγ=I ,则a b ⊥;④若a α⊥,b β⊥,a b ∥,则αβ∥.上述命题中,正确命题的序号是__________.15.[2019·林芝二中]某传媒大学的甲、乙、丙、丁四位同学分别从影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持四门课程中选修一门,且这四位同学选修的课程互不相同.下面是关于他们选课的一些信息:①甲同学和丙同学均不选播音主持,也不选广播电视;②乙同学不选广播电视,也不选公共演讲;③如果甲同学不选公共演讲,那么丁同学就不选广播电视.若这些信息都是正确的,依据以上信息可推断丙同学选修的课程是_______(填影视配音、广播电视、公共演讲、播音主持)16.[2019·河南联考]若一直线与曲线eln y x =和曲线2y mx =相切于同一点P ,则实数m =________.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(12分)[2019·长郡中学]设正项数列{}n a 的前n 项和为n S n a 与1n a +的等比中项,其中*n ∈N .(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设()11211n n n n n a b a a +++=-⋅,记数列{}n b 的前n 项和为n T ,求证:21n T <.18.(12分)[2019·维吾尔一模]港珠澳大桥是中国建设史上里程最长,投资最多,难度最大的跨海桥梁项目,大桥建设需要许多桥梁构件.从某企业生产的桥梁构件中抽取100件,测量这些桥梁构件的质量指标值,由测量结果得到如图所示的频率分布直方图,质量指标值落在区间[)55,65,[)65,75,[]75,85内的频率之比为4:2:1.(1)求这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率;(2)若将频率视为概率,从该企业生产的这种桥梁构件中随机抽取3件,记这3件桥梁构件中质量指标值位于区间[)45,75内的桥梁构件件数为X ,求X 的分布列与数学期望.19.(12分)[2019·淄博模拟]如图,在四棱锥P ABCD -中,AB CD ∥,1AB =,3CD =,2AP =,23DP =,60PAD ∠=︒,AB ⊥平面PAD ,点M 在棱PC 上.(1)求证:平面PAB ⊥平面PCD ;(2)若直线PA ∥平面MBD ,求此时直线BP 与平面MBD 所成角的正弦值.20.(12分)[2019·泰安期末]已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>的离心率为2,抛物线22:4C y x =-的准线被椭圆1C 截得的线段长为2.(1)求椭圆1C 的方程;(2)如图,点A 、F 分别是椭圆1C 的左顶点、左焦点直线l 与椭圆1C 交于不同的两点M 、N (M 、N 都在x 轴上方).且AFM OFN ∠=∠.证明:直线l 过定点,并求出该定点的坐标.21.(12分)[2019·衡水中学]已知函数()23ln f x x ax x =+-,a ∈R . (1)当13a =-时,求函数()f x 的单调区间;(2)令函数()()2x x f x ϕ'=,若函数()x ϕ的最小值为32-,求实数a 的值.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(10分)【选修4-4:坐标系与参数方程】[2019·揭阳一模]以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C 的极坐标方程为22cos 2a ρθ=(a ∈R ,a 为常数)),过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的参数方程满足32x t =+,(t 为参数).(1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程;(2)若直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点(点P 在A 、B 之间),且2PA PB ⋅=,求a 和PA PB -的值.23.(10分)【选修4-5:不等式选讲】[2019·汕尾质检]已知()221f x x x =++-的最小值为t .求t 的值;若实数a ,b 满足2222a b t +=,求221112a b +++的最小值.2019届高三第三次模拟考试卷理 科 数 学(二)答 案一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C 【解析】∵()2i i i 1i 2i 2i 22a a a z -++===--的实部等于虚部,∴122a=-,即1a =-.故选C . 2.【答案】A【解析】由题意,集合{}31,A x x n n ==-∈N ,{}6,8,10,12,14B =, ∴{}8,14A B =I ,∴集合A B I 中元素的个数为2.故选A . 3.【答案】A【解析】()()()1,12,312,31m m m m m +=-+-=--a b ,结合向量垂直判定,建立方程,可得12310m m --+=,解得25m =,故选A . 4.【答案】B【解析】根据题意,圆C :()()22128x y -+-=,P 的坐标为()3,0, 则有()()2231028-+-=,则P 在圆C 上,此时20113CP K -==--,则切线的斜率1k =, 则切线的方程为3y x =-,即30x y --=,故选B . 5.【答案】B【解析】若同学甲选牛,那么同学乙只能选狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10中任意选,∴共有11210C C 20⋅=,若同学甲选马,那么同学乙能选牛、狗和羊中的一种,丙同学可以从剩下的10中任意选,∴共有11310C C 30⋅=,∴共有203050+=种.故选B . 6.【答案】A【解析】 侧视图是直角边长为1的等腰直角三角形,圆锥的高为1,底面半径为1, 俯视图是扇形,圆心角为2π3,几何体的体积为112ππ113239⨯⨯⨯⨯=.故选A .7.【答案】C【解析】将函数()f x 横坐标缩短到原来的12后,得到()π2sin 216g x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭,当π12x =-时,π112f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,即函数()g x 的图象关于点π,112⎛⎫-- ⎪⎝⎭对称,故选项A 错误;周期2ππ2T ==,故选项B 错误; 当π0,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,πππ2662x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭,,∴函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,故选项C 正确;∵函数()g x 在π0,6⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,∴()π16g x g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭,即函数()g x 在π0,6⎛⎫⎪⎝⎭上没有最大值,故选项D 错误.故选C .8.【答案】A【解析】第一次循环,1k =,cos01S ==,112k =+=,4k >不成立; 第二次循环,2k =,π131cos 1322S =+=+=,213k =+=,4k >不成立; 第三次循环,3k =,32π31cos 12322S =+=-=,314k =+=,4k >不成立; 第四次循环,4k =,1cos π110S =+=-=,415k =+=,4k >成立, 退出循环,输出0S =,故选A . 9.【答案】C 【解析】∵()2sin 6020cos702sin80cos70cos20cos20︒+︒︒-︒-︒=︒︒2sin 60cos202cos60sin 20cos70cos20︒︒+︒︒-︒=︒2sin 60cos20sin 20cos70cos20︒︒+︒-︒=︒2sin 60cos202sin 603cos20︒︒==︒=︒.故选C .10.【答案】A【解析】∵函数()f x 为偶函数,∴()()312f x f -≥-=等价于()()32f x f -≥, ∵函数()f x 在[)0,+∞单调递减,∴32x -≤,232x -≤-≤,15x ≤≤,故选A . 11.【答案】C【解析】()2,0F c ,直线0bx ay -=是线段2MF 的垂直平分线, 可得2F 到渐近线的距离为222F P b b a ==+,即有22OP c b a =-=,由OP 为12MF F △的中位线,可得122MF OP a ==,22MF b =,可得212MF MF a -=,即为222b a a -=,即2b a =,可得221145c b e a a==+=+=.故选C .12.【答案】B【解析】由柯西不等式得:对任意实数1x ,1y ,2x ,2y ,2222121211220x x y y x y x y +-+⋅+≤恒成立, (当且仅当1221x y x y =取等号)若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,其坐标满足条件:222212121122x x y y x y x y +-+⋅+的最大值为0,则函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ,()22,B x y ,使得OA u u u r,OB u u u r 共线,即存在过原点的直线y kx =与()y f x =的图象有两个不同的交点: 对于①,方程()10kx x x x=+>,即()211k x -=,不可能有两个正根,故不存在; 对于②,,由图可知不存在;对于③,,由图可知存在;对于④,,由图可知存在,∴“柯西函数”的个数为2,故选B .二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分. 13.【答案】7【解析】根据三角形面积公式得到1sin sin 2S ab C C =⨯⇒=∵三角形为锐角三角形,故得到角C 为π3,再由余弦定理得到222π1cos 7322a b c c ab+-==⇒=.故答案为7.14.【答案】②④【解析】对于①,根据线面垂直的判定定理,需要一条直线垂直于两条相交的直线,故不正确, 对于②,a α⊂,a 垂直于β内任意一条直线,满足线面垂直的定理,即可得到αβ⊥, 又a α⊂,则αβ⊥,故正确,对于③,αβ⊥,a αβ=I ,b αγ=I ,则a b ⊥或a b ∥,或相交,故不正确, 对于④,可以证明αβ∥,故正确. 故答案为②④. 15.【答案】影视配音【解析】由①知甲和丙均不选播音主持,也不选广播电视; 由②知乙不选广播电视,也不选公共演讲;由③知如果甲不选公共演讲,那么丁就不选广播电视,综上得甲、乙、丙均不选广播电视,故丁选广播电视,从而甲选公共演讲,丙选影视配音, 故答案为影视配音. 16.【答案】12【解析】曲线eln y x =的导数为e'y x=,曲线2y mx =的导数为2y mx '=,由e2mx x =,0x >且0m >,得x =e 2⎫⎪⎪⎭,代入eln y x =得e 2=,解得12m =,故答案为12.三、解答题:本大题共6大题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.【答案】(1)n a n =;(2)见解析.【解析】(1)∵2n S 是n a 与1n a +的等比中项,∴()221n n n n n S a a a a =+=+, 当1n =时,21112a a a =+,∴11a =.当2n ≥时,22111222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=+--,整理得()()1110n n n n a a a a --+--=. 又0n a >,∴()112n n a a n --=≥,即数列{}n a 是首项为1,公差为1的等差数列. ∴()()1111n a a n d n n =+-=+-=. (2)()()()1121111111n n n n b n n n n +++⎛⎫=-⋅=-+ ⎪++⎝⎭,∴21232111111111122334212221n n T b b b b n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++=+-+++-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L11121n =-<+. 18.【答案】(1)0.05;(2)见解析.【解析】(1)设区间[]75,85内的频率为x ,则区间[)55,65,[)65,75内的频率分别为4x 和2x . 依题意得()0.0040.0120.0190.0310421x x x +++⨯+++=,解得0.05x =. ∴这些桥梁构件质量指标值落在区间[]75,85内的频率为0.05.(2)从该企业生产的该种桥梁构件中随机抽取3件,相当于进行了3次独立重复实验, ∴X 服从二项分布(),B n p ,其中3n =.由(1)得,区间[]45,75内的频率为0.30.20.10.6++=, 将频率视为概率得0.6p =.∵X 的所有可能取值为0,1,2,3,且()00330C 0.60.40.064P X ==⨯⨯=,()11231C 0.60.40.288P X ==⨯⨯=,()22132C 0.60.40.432P X ==⨯⨯=,()33033C 0.60.40.216P X ==⨯⨯=.∴X 的分布列为:X P0.0640.2880.4320.216X 服从二项分布(),B n p ,∴X 的数学期望为30.6 1.8EX =⨯=.19.【答案】(1)见解析;(2219565【解析】(1)∵AB ⊥平面PAD ,∴AB DP ⊥,又∵23DP=,2AP=,60PAD∠=︒,由sin sinPD PAPAD PDA=∠∠,可得1sin2PDA∠=,∴30PDA∠=︒,90APD∠=︒,即DP AP⊥,∵AB AP A=I,∴DP⊥平面PAB,∵DP⊂平面PCD,∴平面PAB⊥平面PCD;(2)以点A为坐标原点,AD所在的直线为y轴,AB所在的直线为z轴,如图所示,建立空间直角坐标系,其中()0,0,0A,()0,0,1B,()0,4,3C,()0,4,0D,)3,1,0P.从而()0,4,1BD=-u u u r,)3,1,0AP=u u u r,()3,3,3PC=-u u u r,设PM PCλ=u u u u r u u u r,从而得()33,31,3Mλλλ+,()33,31,31BMλλλ=+-u u u u r,设平面MBD的法向量为(),,x y z=n,若直线PA∥平面MBD,满足BMBDAP⎧⋅=⎪⎪⋅=⎨⎪⋅=⎪⎩u u u u ru u u ru u u rnnn,即)()()31313104030x y zy zx yλλλ-+++-=-=⎨+=,得14λ=,取()3,3,12=--n,且()3,1,1BP=-u u u r,直线BP与平面MBD所成角的正弦值等于33122sin195651565BPBPθ⋅-+===⨯⋅u u u ru u u rnn20.【答案】(1)2212xy+=;(2)直线l过定点()2,0.【解析】(1)由题意可知,抛物线2C的准线方程为1x=,又椭圆1C2,∴点2⎛⎝⎭在椭圆上,∴221112a b+=,①又2cea==,∴222212a bea-==,∴222a b=,②,由①②联立,解得22a=,21b=,∴椭圆1C的标准方程为2212xy+=.(2)设直线:l y kx m =+,设()11,M x y ,()22,N x y ,把直线l 代入椭圆方程,整理可得()222214220k x km m +++-=,()()222222164212216880k m k m k m ∆=-+-=-+>,即22210k m -+>,∴122421kmx x k +=-+,21222221m x x k -=+,∵111FM y k x =+,221FN yk x =+,M 、N 都在x 轴上方,且AFM OFN ∠=∠,∴FM FN k k =-,∴121211y yx x =-++,即()()()()122111kx m x kx m x ++=-++, 整理可得()()1212220kx x k m x x m ++++=,∴()2222242202121m km k k m m k k -⎛⎫⋅++-+= ⎪++⎝⎭,即22224444420km k k m km k m m ---++=,整理可得2m k =, ∴直线l 为()22y kx k k x =+=+,∴直线l 过定点()2,0. 21.【答案】(1)见解析;(2)56-.【解析】(1)13a =-时,()2ln f x x x x =--,则()()()221121x x x x f x x x +---'==, 令()'0f x =,解得12x =-或1x =,而0x >,故1x =,则当()0,1x ∈时,()0f x '<,即()f x 在区间内递减, 当()1,x ∈+∞时,()0f x '>,即()f x 在区间内递增. (2)由()23ln f x x ax x =+-,()123f x x a x'=+-, 则()()23223x x f x x ax x ϕ'==+-,故()2661x x ax ϕ'=+-, 又()()264610a ∆=-⨯⨯->,故方程()0x ϕ'=有2个不同的实根,不妨记为1x ,2x ,且12x x <, 又∵12106x x =-<,故120x x <<,当()20,x x ∈时,()0x ϕ'<,()x ϕ递减, 当()2,x x ∈+∞时,()0x ϕ'>,()x ϕ递增, 故()()322222min 23x x x ax x ϕϕ==+-,①又()20x ϕ'=,∴2226610x ax +-=,即222166x a x -=,②将222166x a x -=代入式,得2222222222222233316112323622x x x x x x x x x x x -+⋅⋅-=+--=--, 由题意得3221322x x --=-,即322230x x +-=,即()()222212230x x x -++=,解得21x =, 将21x =代入式中,得56a =-.请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.【答案】(1)222x y a -=,3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数);(2)2a =±,432. 【解析】(1)由22cos 2a ρθ=得()2222cos sin a ρθθ-=,又cos x ρθ=,sin y ρθ=,得222x y a -=,∴C 的普通方程为222x y a -=, ∵过点()2,1P 、倾斜角为30︒的直线l 的普通方程为)321y x =-+, 由32x =得112y t =+,∴直线l 的参数方程为3212x t y =+=+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩(t 为参数). (2)将3212x t y ==+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入222x y a -=,得()()222231230t t a ++-=, 依题意知()()222231830a ∆⎡⎤=-->⎣⎦,则上方程的根1t 、2t 就是交点A 、对应的参数,∵()21223t t a ⋅=-,由参数t 的几何意义知1212PA PB t t t t ⋅=⋅=⋅,得122t t ⋅=, ∵点P 在A 、B 之间,∴120t t ⋅<,∴122t t ⋅=-,即()2232a -=-,解得24a =(满足0∆>),∴2a =±, ∵1212PA PB t t t t -=-=+,又()122231t t +=-, ∴432PA PB -=. 23.【答案】(1)2;(2)1.【解析】(1)()31,12213,1131,1x x f x x x x x x x +≥⎧⎪=++-=+-<<⎨⎪--≤-⎩,故当1x =-时,函数()f x 有最小值2,∴2t =. (2)由(1)可知22222a b +=,故22124a b +++=,∴2222222222212111112121121244b a a b a b a b a b +++++++⎛⎫+++=+⋅=≥ ⎪++++⎝⎭, 当且仅当22122a b +=+=,即21a =,20b =时等号成立,故221112a b +++的最小值为1.。

2023年高三420理科数学模拟考试(学生版)——统考

2023年高三420理科数学模拟考试(学生版)——统考

绝密★启用前赤峰市高三年级4·20模拟考试试题理科数学注意事项:1、答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在答题卡上.2、回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 3、考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.一、 选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1、设全集{}1,2,3,4,5,6,7,8U =,{}1,3U A B = ,(){}2,4U A B = ,则集合B 为( ) A .{}1,3,5,6,7,8 B .{}2,4,5,6,7,8C .{}5,6,7,8D .{}1,2,3,42、棣莫弗公式()()cos sin cos ,sin nn r i r n i n θθθθ+=,(i 是虚数单位,0r >)是由法国数学家棣莫弗(16671754−)发现的.根据棣莫弗公式,在复平面内的复数112cos sin 44i ππ+对应的点位于( ) A .第一象限 B .第二象限 C .第三象限 D .第四象限3、在“万众创业”的大背景下,“直播电商”已经成为我国当前经济发展的新增长点,已知某电商平台的直播间经营化妆品和食品两大类商品,2022年前三个季度,该直播间每个季度的收入都比上一个季度的收入翻了一番,其前三季度的收入情况如图所示,则( )A .该直播间第三季度总收入是第一季度总收入的3倍;B .该直播间第三季度化妆品收入是第一季度化妆品收入的6倍;C .该直播间第三季度化妆品收入是第二季度化妆品收入的3倍;D .该直播间第三季度食品收入低于前两个季度的食品收入之和.4、函数()21sin f x x x x =−在()(),00,ππ− 上的图像大致为( ) A . B . C . D .5、九连环是中国杰出的益智游戏,九连环由9个相互连接的环组成,这9个环套在一个中空的长形柄中,九连环的玩法就是要将这9个环从柄上解下来(或套上),规则如下:如果要解下(或套上)第n 环,则第1n −号环必须解下(或套上),1n −往前的都要解下(或套上)才能实现.记解下n 连环所需的最少移动步数为n a ,已知()12121,2,213n n n a a a a a n −−===++≥,若要解下7环最少需要移动圆环步数为( ) A .42 B .85 C .170 D .3416、下列选项中,命题p 是命题q 的充要条件的是( ) A .在ABC 中,:p A B >,:sin sin q A B >.B .已知x ,y 是两个实数,2:230p x x −−≤,:02q x ≤≤.C .对于两个实数x ,y ,:8p x y +≠,:3q x ≠或5y ≠.D .两条直线方程分别是1:260l ax y ++=,()22:110l x a y a +−+−=,12:p l l ∥,:2q a =或1−.7、记函数()()sin 0,02f x x πωϕωϕ =+><< 的最小正周期为T .若()f T =,6x π=为()f x 的零点,则ω的最小值为( )A .2B .3C .4D .68、四叶草曲线是数学中的一种曲线,因形似花瓣,又被称为四叶玫瑰线(如右图),其方程为()322228x y x y +=,玫瑰线在几何学、数学、物理学等领域中有广泛应用。

四川省成都市第七中学2024届高三下学期三诊模拟考试理科数学试卷

四川省成都市第七中学2024届高三下学期三诊模拟考试理科数学试卷

成都七中高2024届三诊模拟考试数学试题(理科)时间:120分钟满分:150分一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.若向量(),4a x =与向量()1,b x = 是共线向量,则实数x 等于()A.2B.2- C.2± D.0【答案】C 【解析】【分析】根据向量共线列方程,解方程即可.【详解】因为a 与b共线,所以41x x ⋅=⨯,解得2x =±.故选:C.2.复数3i1iz +=-(其中i 为虚数单位)的共轭复数为()A.12i+ B.12i- C.12i-+ D.12i--【答案】B 【解析】【分析】先对复数z 化简,再根据共轭复数的概念求解.【详解】()()()()3i 1i 3i 24i12i 1i 1i 1i 2z ++++====+-+-,所以复数z 的共轭复数为12i -.故选:B.3.已知全集{}02πU x x =≤≤,集合sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎬⎪⎪⎩⎭,{}sin cos B x x x =≥,则A B ⋂等于()A.π3π,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.ππ,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D.2,43ππ⎡⎤⎢⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】先利用三角函数知识化简两个集合,结合交集运算可得答案.【详解】因为3sin 2x ≥,02x π≤≤,所以π2π33x ≤≤;因为sin cos x x ≥,所以πsin cos 04x x x ⎛⎫-=-≥ ⎪⎝⎭,所以π2π2ππ4k x k ≤-≤+,解得π5π2π+2π44k x k ≤≤+,Z k ∈;因为02x π≤≤,所以π5π44x ≤≤,所以π2π,33A B ⎡⎤⎢⎥⎣=⎦.故选:B4.2nx⎛ ⎝的展开式中,第5项为常数项,则正整数n 等于()A.8B.7C.6D.5【答案】C 【解析】【分析】利用二项式定理求出展开式通项,由条件列方程求n .【详解】二项式2n x⎛ ⎝的展开式的第1r +为()1C 2rn r rr n T x -+⎛= ⎝,所以()4444465C 2C 2n n nn n T x x ---⎛== ⎝,由已知6n =,故选:C.5.三棱锥A BCD -的三视图如图所示,则该三棱锥的各条棱中,棱长最大值为()A.6B.5 C.22D.2【答案】A 【解析】【分析】根据给定的三视图作出原三棱锥,再求出各条棱长即可得解.【详解】依题意,三视图所对三棱锥A BCD -如图,其中AB ⊥平面BCD ,BC CD ⊥,1,2AB CD BC ===,则225AC AB BC =+=,225BD BC CD =+=,226AD BD AB =+=6.故选:A6.已知3sin 2cos 21αα+=,则tan α=()A.3B.13 C.13或0 D.3或0【答案】D 【解析】【分析】将条件等价转化为()sin 3cos sin 0ααα-=,再利用等式性质得到结果.【详解】由于()23sin 2cos 26sin cos 12sin2sin 3cos sin 1αααααααα+=+-=-+,故条件3sin 2cos 21αα+=等价于()sin 3cos sin 0ααα-=,这又等价于sin 0α=或sin 3cos αα=,即tan 0α=或tan 3α=,所以D 正确.故选:D.7.已知圆22:1C x y +=,直线:0l x y c -+=,则“0c ≥”是“圆C 上任取一点(),x y ,使0x y c -+≤的概率小于等于12”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要【答案】C 【解析】【分析】由事件从圆C 上任取一点(),x y ,使0x y c -+≤的概率小于等于12,求c 的范围,结合充分条件和必要条件的定义判断结论.【详解】直线0x y c -+=的斜率为1,在x 轴上的截距为c -,在y 轴上的截距为c ,当c >时,如图,圆C 上不存在点(),x y ,使0x y c -+≤,所以事件圆C 上任取一点(),x y ,使0x y c -+≤的概率为0,当c =C 上有且仅有一个点(),x y ,使0x y c -+≤,所以事件圆C 上任取一点(),x y ,使0x y c -+≤的概率为0,若0c <<,如图,圆C 上满足条件0x y c -+≤点为劣弧AB (含,A B )上的点,设劣弧AB 的长度为t ,则0πt <<,所以事件圆C 上任取一点(),x y ,使0x y c -+≤的概率12π2t P =<,若0c =,如图,圆C 上满足条件0x y c -+≤点为直线l 上方的半圆上的点,所以事件圆C 上任取一点(),x y ,使0x y c -+≤的概率π12π2P ==,若0c <<,如图,圆C 上满足条件0x y c -+≤点为优弧CD (含,C D )上的点,设优弧CD 的长度为s ,则π2πs <<,所以事件圆C 上任取一点(),x y ,使0x y c -+≤的概率12π2t P =>,若c ≤C 上所有点满足条件0x y c -+≤,所以事件圆C 上任取一点(),x y ,使0x y c -+≤的概率2π12πP ==,所以“圆C 上任取一点(),x y ,使0x y c -+≤的概率小于等于12”等价于“0c ≥”,所以“0c ≥”是“圆C 上任取一点(),x y ,使0x y c -+≤的概率小于等于12”的充要条件,故选:C.8.有甲、乙两个班级进行数学考试,按照大于等于85分为优秀,85分以下为非优秀统计成绩,得到如下所示的列联表:优秀非优秀甲班10b乙班c30附:()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++(n a b c d =+++),()20P K k ≥0.050.0250.0100.0050k 3.8415.0246.6357.879已知在全部105人中随机抽取1人,成绩优秀的概率为27,则下列说法正确的是()A.甲班人数少于乙班人数B.甲班的优秀率高于乙班的优秀率C.表中c 的值为15,b 的值为50D.根据表中的数据,若按97.5%的可靠性要求,能认为“成绩与班级有关系”【答案】D 【解析】【分析】根据条件解出45b =,20c =,然后直接计算即可判断A ,B ,C 错误,使用2K 的计算公式计算2K ,并将其与5.024比较,即可得到D 正确.【详解】对于C ,由条件知1030105b c +++=,1021057c +=,故65b c +=,1030c +=.所以45b =,20c =,故C 错误;对于A ,由于甲班人数为10104555b +=+=,乙班人数为3020305055c +=+=<,故A 错误;对于B ,由于甲班优秀率为1025511=,乙班优秀率为202250511=>,故B 错误;对于D ,由于()2210545201030 6.109 5.024********K ⋅⨯-⨯=≈>⋅⋅⋅,故D 正确.故选:D.9.若ln 1,ln3b a e c =-==,则,,a b c 的大小关系为()A.a c b >>B.b c a >>C.c b a >>D.a b c>>【答案】A 【解析】【分析】由题设ln e a e =,ln 2ln 424b ==,ln 33c =,构造ln ()xf x x=(0)x >,利用导数研究其单调性,进而判断,,a b c 的大小.【详解】由题设知:ln ea e =,ln 2ln 424b ==,ln 33c =,令ln ()xf x x=(0)x >,则21ln ()x f x x -'=,易知(0,)e 上()f x 单调递增,(,)e +∞上()f x 单调递减,即()(3)(4)(2)f e f f f >>=,∴a c b >>.故选:A.【点睛】关键点点睛:构造ln ()xf x x=(0)x >,利用导数研究其单调性,进而比较函数值的大小.10.已知函数()cos f x x x =-,若()()12πf x f x +=,则()12f x x +=()A.π1- B.π1+ C.πD.0【答案】B 【解析】【分析】先利用导数证得()f x 在R 上单调递增,再利用条件得到()()12πf f x x =-,结合单调性即知12πx x +=,最后代入求值即可.【详解】因为()cos f x x x =-,所以()1sin 0f x x '=+≥.所以()f x 在R 上单调递增.因为()()12πf x f x +=,所以()()()()()1122222ππcos f x f x f x f x f x x x =-++-=-=()()222πcos ππf x x x =----=,结合()f x 在R 上单调递增,知12πx x =-,即12πx x +=.所以()()12ππππ1cos f x x f +===+-.故选:B.11.已知双曲线C :22221x y a b-=(0a >,0b >)的左、右焦点分别为1F ,2F ,左、右顶点分别为1A ,2A ,P 为双曲线上一点,且直线1PA 与2PA 的斜率之积等于3,则下列说法正确的是()A.双曲线的渐近线方程为33y x =±B.双曲线C 的离心率为C.若12PF PF ⊥,则12PF F △的面积为2aD.以1F 为半径的圆与渐近线相切【答案】D 【解析】【分析】通过123PA PA k k =求得22b a ,从而求得双曲线的渐近线方程,由此判断A ;进而可求得双曲线的离心率判断B ;求得三角形的面积判断C ;求得1F 到渐近线的距离可判断D.【详解】对于A ,设点(,)P x y ,则2222)1(x y b a-=,因为12(,0),(,0)A a A a -,所以1222222PA PAy y y b k k x a x a x a a===+-- ,又123PA PA k k =,得223b a =,所以ba=y =,故A 错误;对于B,因为2c a ==,所以双曲线C 的离心率为2,故B 错误;对于C ,因为12PF PF ⊥,所以2221212||||||PF PF F F +=,又12||||||2PF PF a -=,所以22121212(||||||)2|||||||PF PF PF PF F F -+=,所以2212(2)2|||||(2)a PF PF c +=,所以212||||2PF PF b =,所以12121||||2PF F S PF PF = =2b ,故C 错误;对于D ,由B 选项可得2c a =,以1F到渐近线方程为y =的距离为:33222a d ====,又1F 为圆心的,所以以1F为半径的圆与渐近线相切,故D 正确.故选:D.12.设函数()3f x x x =-,正实数,a b 满足()()2f a f b b +=-,若221a b λ+≤,则实数λ的最大值为()A.2+B.4C.2D.【答案】A 【解析】【分析】依题意可得33a b a b +=-,从而得到222211a b b a b a b ba λ+⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≤=-,再令()1a t tb =>,最后利用基本不等式计算可得.【详解】因为()3f x x x =-,所以()3f a a a =-,()3f b b b =-,又()()2f a f b b +=-,所以332a a b b b -+-=-,即33a b a b +=-,因为0a >,0b >,所以330a b +>,所以0a b >>,所以331a b a b+=-,又221a b λ+≤,即3322a b a b a bλ++≤-,所以322b b a b a b λ≤+-,所以222211a b b a b a b ba λ+⎛⎫ ⎪⎝⎭+-≤=-,令at b=,则1t >,所以2221112211111a t t b b a t t t t ++-+===++-⎛⎫ ⎪⎝⎭---()2121t t =-++-22≥+=+,当且仅当211t t -=-,即1t =时取等号,所以)22min221b a b a b ⎛⎫+=+ ⎪-⎝⎭,所以2λ≤+,则实数λ的最大值为2+.故选:A【点睛】关键点点睛:本题关键是推导出331a b a b +=-,从而参变分离得到222b a a b b λ≤+-,再换元、利用基本不等式求出222b a bb a +-的最小值.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在答题卡上.13.某班男女生的比例为3:2,全班的平均身高为168cm ,若女生的平均身高为159cm ,则男生的平均身高为______cm .【答案】174【解析】【分析】设出男生的平均身高,然后根据条件列方程求解即可.【详解】设男生的平均身高为cm x ,则根据题目条件知321591683232x +⋅=++,即3318840x +=,所以84031852217433x -===.故答案为:174.14.抛物线22y px =(0p >)的焦点为F ,过F 的直线l 与抛物线相交于A ,B 两点(A 在第一象限),分别过A ,B 作准线的垂线,垂足分别为C ,D ,若CD AF BF =-,则直线l 的倾斜角等于______.【答案】π4##45︒【解析】【分析】由已知结合抛物线的定义分别表示CD ,AF ,BF ,求出直线l 的斜率,即可求解.【详解】抛物线22y px =的准线为:2px =-,设()11,A x y ,()22,B x y ,则1,2p C y ⎛⎫-⎪⎝⎭,2,2p D y ⎛⎫- ⎪⎝⎭,又A 在第一象限,所以10y >,20y <,所以12CD y y =-,由抛物线定义可得12pAF x =+,22p BF x =+,所以121222p pAF BF x x x x -=+--=-,又CD AF BF =-,所以12CD x x =-,所以1212x x y y -=-,故直线AB 的斜率12121y y k x x -==-,所以直线l 的倾斜角为π4.故答案为:π4.15.在ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若sin cos 0c A C +=,则22sin sin sin sin A B A B ++=______.【答案】34##0.75【解析】【分析】由正弦定理可得sin sin cos 0C A A C +=,可求得C ,由余弦定理可得222c a b ab =++,再结合正弦定理可得222sin sin sin sin sin A B A B C ++=,可求结论.【详解】由sin cos 0c A C +=,结合正弦定理可得sin sin cos 0C A A C +=,因为sin 0A ≠,所以sin 0C C +=,所以tan C =,因为(0,π)C ∈,所以2π3C =,由余弦定理可得2222cos c a b ab C =+-,可得222c a b ab =++,结合正弦定理可得2223sin sin sin sin sin 4A B A B C ++==.故答案为:34.16.在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面1,90,1,2,ABC ABC BA BC BB P ∠=︒===是矩形11BCC B 内一动点,满足223PA PC +=,则当三棱锥-P ABC 的体积最大时,三棱锥-P ABC 的外接球的表面积为______.【答案】7π3##7π3【解析】【分析】根据给定条件,确定点P 的位置,再结合球的截面小圆性质确定球心并求出球半径即得.【详解】显然三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱,过P 作1//PQ AA 交BC 于Q ,连接AQ ,令,PQ x CQ y ==,显然PQ ⊥平面ABC ,,AQ BC ⊂平面ABC ,则,PQ AQ PQ BC ⊥⊥,而90ABC ∠=︒,则222222221(1),PA PQ AQ x y PC x y =+=++-=+,又223PA PC +=,于是22221(1)3x y y ++-+=,整理得2213(24x y =--+,当12y =时,max 32x =,三棱锥-P ABC 的底面ABC 面积为12,要其体积最大,当且仅当x 最大,因此32PQ =,即1PC PB BC ===时,三棱锥-P ABC 的体积最大,PBC 的外接圆圆心2O 为正PBC 的中心,令三棱锥-P ABC 的外接球球心为O ,半径为R ,则2OO ⊥平面PBC ,显然AC 的中点1O 是ABC 的外接圆圆心,则1OO ⊥平面ABC ,由AB BC ⊥可得AB ⊥平面PBC ,于是21//O Q OO ,而1//O Q AB ,则1O Q ⊥平面PBC ,21//OO O Q ,四边形12OO QO 是平行四边形,因此121336OO O Q PQ ===,而11222O C AC ==,则22211712R OO O C =+=,所以三棱锥-P ABC 的外接球的表面积27π4π3S R ==.故答案为:7π3【点睛】关键点点睛:解决与球有关的内切或外接问题时,关键是确定球心的位置,再利用球的截面小圆性质求解.三、解答题:本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某保险公司为了给年龄在20~70岁的民众提供某种疾病的医疗保障,设计了一款针对该疾病的保险,现从10000名参保人员中随机抽取100名进行分析,这100个样本按年龄段[)[)[)[)[]20,30,30,40,40,50,50,60,60,70分成了五组,其频率分布直方图如下图所示,每人每年所交纳的保费与参保年龄如下表格所示.(保费:元)据统计,该公司每年为该项保险支出的各种费用为一百万元.年龄[)20,30[)30,40[)40,50[)50,60[]60,70保费x2x 3x 4x 5x(1)用样本的频率分布估计总体的概率分布,为使公司不亏本,则保费x 至少为多少元?(精确到整数)(2)随着年龄的增加,该疾病患病的概率越来越大,经调查,年龄在[)50,60的老人中每15人就有1人患该项疾病,年龄在[]60,70的老人中每10人就有1人患该项疾病,现分别从年龄在[)50,60和[]60,70的老人中各随机选取1人,记X 表示选取的这2人中患该疾病的人数,求X 的数学期望.【答案】(1)30元(2)16【解析】【分析】(1)根据小矩形面积和为得到关于a 的方程,解出a 值,再列出不等式,解出即可;(2)首先分析出X 的取值为0,1,2,再列出对应概率值,利用期望公式计算即可.【小问1详解】()0.0070.0160.0250.02101a ++++⨯=,解得0.032a =,保险公司每年收取的保费为:()100000.070.1620.3230.2540.2510000 3.35x x x x x x +⨯+⨯+⨯+⨯=⨯,所以要使公司不亏本,则10000 3.351000000x ⨯≥,即3.35100x ≥,解得10029.853.35x ≥≈,即保费30x =元;【小问2详解】由题意知X 的取值为0,1,2,()14912601510150P X ==⨯=,()1914123115101510150P X ==⨯+⨯=,()11121510150P X ==⨯=,列表如下:X12P126150231501150()1262312510121501501501506E X ∴=⨯+⨯+⨯==.18.已知数列{}n a 的前n 项和为,342n n n S S a =-.(1)证明:数列{}n a 是等比数列,并求出通项公式;(2)设函数()21ln 2f x x x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭的导函数为()f x ',数列{}n b 满足()n n b f a =',求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】(1)证明见解析,212n na -=(2)12520ln24399n n T n +⎤⎡⎫⎛⎫=⋅-+⎥ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭⎦【解析】【分析】(1)根据11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩分两步求解即可;(2)方法一:根据题意,结合导数运算与212n n a -=得()ln2214n n b n =⋅-⋅,进而将{}n b 通项公式变形为125211ln2443939n n n b n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅---⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦,再根据裂项求和求解即可.方法二:根据题意,结合导数运算与212n n a -=得()ln2214n n b n =⋅-⋅,再根据错位相减法求和即可.【小问1详解】解:342n n S a =- ,()11342,2n n S a n --∴=-≥,相减得1344n n n a a a -=-,即14n n a a -=,∴数列{}n a 是以4为公比的等比数列,又1113423S a a =-=,解得12a =121242n n n a --=⋅=.【小问2详解】解:方法一:()212ln 2ln f x x x x x x x x'=+⋅-= ,()n n b f a =',212n n a -=,()212122ln2ln2214n n n n b n --∴=⋅=⋅-⋅,()125211ln2214ln2443939n n n n b n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫=⋅-⋅=⋅--- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ,∴1231n n nT b b b b b -=+++++ 21324357137ln244ln244ln24499999191⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⨯+⨯+⋅⨯-⨯+⋅⨯-⨯+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦11252112520ln244ln243939399n n n n n n ++⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+⋅---=⋅-+ ⎪ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦∴12520ln24399n n T n +⎡⎤⎛⎫⋅-+⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦.方法二:()212ln 2ln f x x x x x x x x'=+⋅-= ,()n n b f a =',212n n a -=,()212122ln2ln2214n n nn b n --∴=⋅=⋅-⋅∴()()2311ln214ln234ln254ln2234ln2214n nn T n n -+++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅ ()()12344ln214ln234ln254ln2234ln2214n n n T n n +++++=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅-⋅+ ,两式相减得:()11233ln214ln224ln224ln224ln2214nn n T n +-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅++⋅-⋅-⋅++ ()()1231ln2142ln2444ln2214n n n ++++=⋅⋅-⋅⋅+- ()()21114ln2142ln2ln22141414n n n +-=⋅⋅-+⋅⋅---()111ln2142ln2ln22414163n n n ++--⋅-⋅+=⋅⋅()()11165412ln22ln23ln221433ln 220432ln 2n n n n n +++⎡⎤-⋅+⋅⋅-=--⋅⎣=-⎦-∴()()1116546542520ln249939ln 220ln 2209n n n n n n T n +++⎡⎤⎡⎤-⋅-⋅⎡⎤⎛⎫⎣⎦⎣⎦===⋅-+⎪⎢⎥---⎭⎣+⎝⎦∴12520ln24399n n T n +⎡⎤⎛⎫⋅-+⎪⎢⎝⎭⎣=⎥⎦19.如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA ⊥平面1,90,2,ABC ABC BA AA D ∠=︒==是棱AC 的中点,E 在棱1BB 上,且1AE A C ⊥.(1)证明://BD 平面1AEC ;(2)若四棱锥111C AEB A -的体积等于1,求二面角11C AE A --的余弦值.【答案】(1)证明见解析(2)12【解析】【分析】(1)先利用线面垂直的判定与性质定理证得1AE A B ⊥,再利用平行线分线段成比例的推论证得//BD FG ,从而利用线面平行的判定定理即可得证;(2)利用四棱锥111C AEB A -的体积求出11B C ,建系并写出相关点的坐标,求出两个平面的法向量,利用空间向量的夹角公式计算即得.【小问1详解】如图,连接1A B 交AE 于F ,连接1A D 交1AC 于G ,连接FG ,1AA ⊥ 平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,1AA BC ∴⊥,又因11,,,BC AB AB AA A AB AA ⊥⋂=⊂平面ABE,故BC ⊥平面ABE,又AE ⊂平面ABE,则BC AE ⊥,又111,,,AE A C A C BC C A C BC ⊥=⊂ 平面1,A BC 则⊥AE 平面1,A BC 又1A B ⊂平面1A BC ,1AE A B ∴⊥,在1Rt A AB △中,由12AB AA ==知1A B =,2111AA A F A B ===,即12A F BF =,又因1111//,2AD AC AC AD =,可得12A G GD =,即在1A BD 中,112AG A F GD FB==,,BD FG ∴∥FG ⊂ 平面1AEC ,BD ⊄平面1AEC //BD ∴平面1AEC ;【小问2详解】设11B C x =,四棱锥111C AEB A -的体积为()1121132⨯+=,解得x =,由(1)知11190,90AA B A BA EAB A BA ∠+∠=︒∠+∠=︒,所以1AA B EAB ∠=∠,又11tan tan 2AB BE AA B EAB AA AB ∠==∠==,则1BE =,所以E 为棱1BB 的中点.以1,,BC BA BB 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系,如图,则()())()11,0,0,1,2,0,2A E C A ,则1(0,AE EC == ,设平面1AEC 的法向量为(),,n x y z =,由1n AE n EC ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩,得0z z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩,令z =,得(n =- ,因BC ⊥平面11ABB A ,故可取平面1AEA 的法向量()1,0,0m =,1cos ,||||2n m n m n m ⋅〈〉==-,因为二面角11C AE A --为锐二面角,所以二面角11C AE A --的余弦值为12.20.在平面直角坐标系xOy 中,椭圆22221x ya b+=(0a b >>)过点()2,0A ,直线l 与椭圆相交于不同于A 点的P ,Q 两点,N 为线段PQ 的中点,当直线ON 斜率为14-时,直线l 的倾斜角等于4π(1)求椭圆的方程;(2)直线AP ,AQ 分别与直线3x =相交于E ,F 两点.线段E ,F 的中点为M ,若M 的纵坐标为定值12,判断直线l 是否过定点,若是,求出该定点,若不是,说明理由.【答案】(1)2214x y +=;(2)直线l 过点()2,1-.【解析】【分析】(1)根据点A 得到2a =,然后利用点差法得到2144b -=-,即可得到1b =,然后写椭圆方程即可;(2)设,P Q 的坐标,根据直线,AP AQ 的方程得到点,E F 的坐标,然后将α,β转化为方程00sin 2cos x y k x x -=-的两根,根据M 的纵坐标和韦达定理得到00121422k kx y -⋅=-+,最后根据M 的纵坐标为定值得到0x ,0y ,即可得到直线l 过定点.【小问1详解】由已知得2a =,设()11,P x y ,()22,Q x y ,PQ 中点为()00,N x y由22112222221414x y b x y b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩相减得222221212121221212044x x y y y y y y b b x x x x ---++=⇒⋅=--+,∴221144b b -=-⇒=,即1b =.所以椭圆方程为2214x y +=.【小问2详解】设()2cos ,sin P αα,()2cos ,sin Q ββ,所以AP l :()sin 22cos 2y x αα=--,即()122tan 2y x α=--,∴13,2tan 2E α⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,同理13,2tan 2F β⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭,设直线l 过点()00,x y ,∴α,β是方程00sin 2cos x y k x x -=-的两根.即20022002tantan 2222tan tan 22x x y y k x x x x --=---,整理得()200002tan 2tan 2022x x y k kx y kx k ---+-+=,∴002tan tan 222y k kx αβ+=--,00002tan tan 222y k kx y k kx αβ+-=--,∴00tan tan 1121224422tan tan 22M y k kx y αβαβ+=-=-⋅=-+,∴02x =,01y =-,所以直线l 过点()2,1-.【点睛】关键点睛:本题解题关键在于M 的纵坐标为定值,对于定值的问题关键在于与参数无关,本题中M 的纵坐标为定值可得与参数k 无关,即可得到02x =,然后求0y 即可.21.已知函数()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈.(1)若12a =,证明:()0f x >;(2)若函数()f x 在()0,π内有唯一零点,求实数a 的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2)1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)对()f x 求导后构造函数()()11e sin cos 122x g x f x x x x =-'=--,通过求导得出()f x '的单调性和范围得出函数()f x 的单调性,进而得出结论;(2)分类讨论参数a 与12的关系,并通过构造函数和多次求导来探究函数()f x 的单调性,即可得出满足函数在()0,π内有唯一零点的实数a 的取值范围.【小问1详解】由题意,在()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈中,当12a =时,不等式()0f x >等价于1e sin 102x x x x --->,则()11e sin cos 122x f x x x x '=---,令函数()()g x f x =',则()1e cos sin 2x g x x x x +'=-,()10,π,e cos 1cos 0,sin 02x x x x x x ∈∴->->> ,所以函数()g x 在()0,π上单调递增,且()00g =,()()0g x f x '∴=>在()0,π上恒成立,即函数()f x 在()0,π上单调递增,且()00f =,所以()0,πx ∈时,不等式()0f x >成立;【小问2详解】由题意及(1)得,在()()()e sin 1,0,πxf x ax x x x =---∈中,当12a ≤时,()1e sin 1e sin 12x x f x ax x x x x x =---≥---,由(1)可知此时()0f x >,所以此时函数()f x 没有零点,与已知矛盾,12a ∴>,()()e sin cos 1x f x a x x x =-+-',令函数()()h x f x =',所以()()e sin 2cos xh x a x x x =-'+,令函数()()u x h x =',()()3sin cos x u x e a x x x ∴=++',①若()()π0,,e 3sin cos 02x x u x a x x x ⎛⎫∈=++'> ⎪⎝⎭,所以函数()()u x h x ='在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增,且()π2ππ0120,022u a u e a ⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭,0π0,2x ⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭,使函数()h x 在()00,x 上递减,在0π,2x ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递增,②若π,π2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时,显然()()e sin 2cos 0x h x a x x x =-'+>,所以函数()h x 在()00,x 上递减,在()0,πx 上递增,且()()0π0e 10,ππ10h h e a =-==+->()10,πx x ∴∃∈,使函数()f x 在()10,x 上递减,在()1,πx 上递增,又()()00e 10,πe π10f f π=-==--> ,()10f x ∴<,且()21,πx x ∃∈,使得()20f x =,综上得,当12a >时,函数()f x 在()0,π内有唯一零点,∴a 的取值范围是1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.【点睛】关键点点睛:本题考查构造函数,多次求导,函数的单调性,函数的导数求零点,考查学生分析和处理问题的能力,计算的能力,求导的能力,具有很强的综合性.请考生在第22,23题中任选择一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.选修4-4:坐标系与参数方程22.在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程1010x t y t =+⎧⎨=-⎩(为参数),以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为2sin cos ρθθ=,且直线l 与曲线C 相交于,M N 两点.(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程;(2)设点()00,P x y 是直线l 上一点,满足20PM PN +=,求点P 的直角坐标.【答案】(1)200x y +-=,2y x =(2)()22,2-或()191,.【解析】【分析】(1)直线的参数方程消去参数t ,得到直线l 的普通方程,再利用直角坐标与极坐标的转化公式求得曲线C 的直角坐标方程;(2)将直线l 的参数方程,代入曲线C 中,得到韦达定理,利用直线参数方程中参数的几何意义求解.【小问1详解】由1010x t y t=+⎧⎨=-⎩,消去参数t ,得20x y +=,即直线l 的普通方程为200x y +-=,.由2sin cos ρθθ=得:22sin cos ρθρθ=,∵cos x ρθ=,sin y ρθ=,∴2y x =,即曲线C 的直角坐标方程为2y x =.【小问2详解】设直线l 的参数方程为002222x x t y y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,代入2y x =得:22000122t t y x t ++=-,整理得(22000220t t y x +++-=,设点M ,N 对应的参数分别为1t ,2t,120t t +=-2120022t t y x =-,因为20PM PN +=uuuu r uuu r r ,可得1220t t +=且0020x y +=.解得022x =,02y =-,或019x =,01y =,经验证均满足0∆>,所以求点P 的直角坐标为()22,2-或()19,1.选修4-5:不等式选讲23.已知函数()1f x x =-.(1)求不等式()32f x x ≥-的解集;(2)若函数()()5g x f x x =+-的最小值为m ,正数a ,b 满足a b m +=,求证:224a b b a+≥.【答案】(1){4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭;(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)根据()32||f x x - ,可得3131x x -⎧⎨>⎩ 或1301x x +⎧⎨⎩ 或3130x x -+⎧⎨<⎩,然后解不等式组即可得到解集;(2)先利用绝对值三角不等式求出()g x 的最小值,再利用基本不等式求出22a b b a +的最小值即可.【详解】解:(1)当1x ≥时,得41323x x x -≥-⇒≥,∴43x ≥;当01x <<时,得1322x x x -≥-⇒≥,∴无解;当0x ≤时,得21323x x x -≥+⇒≤-;综上,不等式的解集为{4|3x x ≥或23x ⎫≤-⎬⎭.(2)∵()()()15154g x x x x x =-+-≥---=,∴4m =,即4a b +=,又由均值不等式有:22a b a b+≥,22b a b a +≥,两式相加得2222a b b a a b b a ⎛⎫⎛⎫+++≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,∴224a b a b b a +≥+=.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,绝对值三角不等式和基本不等式,考查了转化思想和分类讨论思想,属于中档题。

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高考数学高三模拟考试试卷压轴题普通高等学校招生全国统一考试理科数学

高考数学高三模拟考试试卷压轴题普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是复合题目要求的。

1.1212ii+=-() A .4355i --B .4355i -+C .3455i --D .3455i -+2.已知集合(){}223A x y xy x y =+∈∈Z Z ,≤,,,则A 中元素的个数为()A .9B .8C .5D .43.函数()2x xe ef x x --=的图象大致是()4.已知向量a b ,满足,1a =,1a b ⋅=-,则()2a a b ⋅-=()A .4B .3C .2D .05.双曲线()2222100x y a b a b-=>,>的离心力为3,则其渐近线方程为()A .2y x =±B .3y x =±C .2y x =±D .3y x =± 6.在ABC △中,5cos2C =,1BC =,5AC =,则AB =() A .42B .30 C .29 D .257.为计算11111123499100S =-+-+⋅⋅⋅+-,设计了右侧的程序框图,则在空白框中应填入()A .1i i =+B .2i i =+C .3i i =+D .4i i =+8.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”,如30723=+.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等于30的概率是() A .112B .114C .115D .1189.在长方体1111ABCD A B C D -中,1AB BC ==,1AA =1AD 与1DB 所成角的余弦值为()A .15BCD10.若()cos sin f x x x =-在[]a a -,是减函数,则a 的最大值是()A .4πB .2πC .43πD .π 11.已知()f x 是定义域为()-∞+∞,的奇函数,满足()()11f x f x -=+.若()12f =,则()()()()12350f f f f +++⋅⋅⋅+=()A .50-B .0C .2D .5012.已知1F ,2F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点交点,A 是C 的左顶点,点P 在过A 且的直线上,12PF F △为等腰三角形,12120F F P ∠=︒,则C 的离心率为() A .23B .12C .13D .14 二、填空题,本题共4小题,每小题5分,共20分.13.曲线()2ln 1y x =+在点()00,处的切线方程为__________.14.若x y ,满足约束条件25023050x y x y x +-⎧⎪-+⎨⎪-⎩≥≥≤,则z x y =+的最大值为_________.15.已知sin cos 1αβ+=,cos sin 0αβ+=,则()sin αβ+=__________. 16.已知圆锥的顶点为S ,母线SA ,SB 所成角的余弦值为78,SA 与圆锥底面所成角为45︒.若SAB △的面积为_________.三、解答题:共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题八平面向量的基本定理A卷

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题八平面向量的基本定理A卷

高考数学高三模拟考试试卷压轴题专题八平面向量的基本定理(A 卷)(测试时间:120分钟满分:150分)第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知点(0,1),(3,2)A B ,向量(4,3)AC =--,则向量BC =( ) A. (7,4)-- B.(7,4) C.(1,4)- D.(1,4) 【答案】A【解析】∵AB OB OA =-=(3,1),∴BC =AC AB -=(7,4),故选A.2.【黄石市第三中学(稳派教育)高三阶段性检测】若()1,3MA =-,()1,7MB =,则12AB = ( ) A. ()0,5 B. ()1,2 C. ()0,10 D. ()2,4 【答案】B 【解析】()()()111,3,1,7,22MA MB AB MB MA =-=∴=-()()()1111,732,41,222=+-==,故选B.3.已知向量()2,4a =,()1,1b =-,则2a b -=( ) A.()5,7 B.()5,9 C.()3,7 D.()3,9 【答案】A【解析】因为2(4,8)a =,所以2(4,8)(1,1)a b -=--=()5,7,故选A. 4.【重庆市第一中学高三上学期期中】已知直角坐标系中点,向量,,则点的坐标为( )A.B.C.D.【答案】C 【解析】∵向量,,∴,又∴∴点的坐标为故选:C.5.在ABC ∆中,D 为AB 边上一点,12AD DB = ,23CD CA CB λ=+,则λ=( ) A .13- B.13C.231-D.2 【答案】B【解析】由已知得,13AD AB =,故13CD CA AD CA AB =+=+1()3CA CB CA =+-2133CA CB =+,故13λ=.6. 已知平面向量(1,2)a =,(2,)a k =-,若a 与b 共线,则|3|a b +=( ) A .3 B .4 C .5 D .5 【答案】C.【解析】∵a 与b 共线,∴⇒=-⨯-⨯0)2(21k 4-=k ,∴3(1,2)a b +=,|3|5a b +=. 7.已知向量(,),(1,2)a x y b ==-,且(1,3)a b +=,则|2|a b -等于( ) A .1 B .3 C .4 D .5 【答案】D 【解析】因(1,3)a b +=,(1,2)b =-,故(2,1)a =,所以2(4,3)a b -=-,故22|2|435a b -=+=,故应选D.8.【襄阳市四校(襄州一中、枣阳一中、宜城一中、曾都一中)高三上期中联考】点G 为ABC ∆的重心(三边中线的交点).设,GB a GC b ==,则12AB 等于() A.3122a b - B. 12a b + C. 2a b - D. 2a b + 【答案】B 【解析】如图,∵点G 为ABC ∆的重心,∴0GA GB GC GA a b ++=++=, ∴GA a b =--, ∴()()11112222AB GB GA a a b a b ⎡⎤=-=++=+⎣⎦.选B.9.已知向量()()2,3,cos ,sin a b θθ==,且//a b ,则tan θ=( )A .32 B .32- C .23 D .23- 【答案】A 【解析】由//a b ,可知2sin 3cos 0θθ-=,解得tan θ=32,故选A. 10.向量()1,tan cos ,1,3a b αα⎛⎫== ⎪⎝⎭,且//a b ,则cos 2α⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .13-B .13C .2-D .22-【答案】A11.在平行四边形ABCD 中,AC 与BD 交于点O E ,是线段OD 的中点,AE 的延长线与CD 交于点F .若AC =a ,BD =b ,则AF =( )A.1142+a b B.1124+a b C.2133+a b D. 1233+a b 【答案】C 【解析】,AC a BD b ==,11112222AD AO OD AC BD a b ∴=+=+=+ 因为E 是OD 的中点,||1||3DE EB ∴=,所以,13DF AB = ()1111133322DF AB OB OA BD AC ⎛⎫⎛⎫∴==-=⨯--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=1166AC BD -=1166a b - ,11112266AF AD DF a b a b =+=++-=2133a b +,故选C.12. ABC ∆中,点E 为AB 边的中点,点F 为AC 边的中点,BF 交CE 于点G ,若AG x AE y AF =+,则x y +等于( )A.32B.43C.1D.23【答案】B .第II 卷(共90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。

内蒙古赤峰市2024届高三下学期3-20模拟考试理科数学试题含答案

内蒙古赤峰市2024届高三下学期3-20模拟考试理科数学试题含答案

赤峰市高三年级3·20模拟考试试题理科数学2024.03本试卷共23题,共150分,共8页,考试用时120分钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名,准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴条形码区域内.2.选择题答案必须使用2B 铅笔填涂,非选择题答案使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整,笔迹清楚.3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效.4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑.5.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知全集U =R ,{}01A x x =<<,{}ln 1B x x =<,则()U A B = ð()A .()0,1B .()1,e C .[)1,e D .[),e +∞2.棣莫弗公式(cos i sin )cos()i sin()nx x nx nx +⋅=+⋅(其中i 为虚数单位)是由法国数学家棣莫弗(1667-1754)发现的,根据棣莫弗公式可知,复数2ππcos i sin 33⎛⎫+⋅ ⎪⎝⎭在复平面内所对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.若向量a 与b 满足()a b a +⊥.且1a = ,2b = ,则向量a 与b 的夹角为()A .2π3B .π3C .π6D .5π64.命题“x ∀∈R ,*n ∃∈N ,2n x >”的否定形式是()A .x ∀∈R ,*n ∀∈N ,2n x ≤.B .x ∃∈R ,*n ∃∈N ,2n x <.C .x ∃∈R ,*n ∀∈N ,2n x ≤.D .x ∃∈R ,*n ∀∈N ,2n x <.5.已知()f x 是定义在R 上的偶函数,且周期6T =.若当[]3,0x ∈-时,()4xf x -=,则()2024f =()A .4B .16C .116D .146.在下列四个图形中,点P 从点O 出发,按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周,O 、P 两点连线的距离y与点P 走过的路程x 的函数关系如图,那么点P 所走的图形是()A .B.C.D.7.正值元宵佳节,赤峰市“盛世中华·龙舞红山”纪念红山文化命名七十周年大型新春祈福活动中,有4名大学生将前往3处场地A ,B ,C 开展志愿服务工作.若要求每处场地都要有志愿者,每名志愿者都必须参加且只能去一处场地,则当甲去场地A 时,场地B 有且只有1名志愿者的概率为()A .34B .2150C .611D .358.如图所示,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目:已知曲线C 的方程为2212516x y +=,其左、右焦点分别是1F ,2F ,直线l 与椭圆C 切于点P ,且12PF =,过点P 且与直线l 垂直的直线l '与椭圆长轴交于点M ,则12:F M F M =()A.B .1:2C .1:3D .1:49.已知ABC △的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,满足22cos a b c B +=,且sin sin 1A B +=,则ABC △的形状为()A .等边三角形B .顶角为120︒的等腰三角形C .顶角为150︒的等腰三角形D .等腰直角三角形10.已知数列{}n a 满足1,231,nn n nn a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时,若81a =,1a 的所有可能取值构成集合M ,则M 中的元素的个数是()A .7个B .6个C .5个D .4个11.在直三棱柱111ABC A B C -中,各棱长均为2,M ,N ,P ,Q 分别是线段AC ,11A C ,1AA ,1CC 的中点,点D 在线段MP 上,则下列结论错误的是()A .三棱柱111ABC ABC -外接球的表面积为28π3B .BD MQ⊥C .DQ ⊥面1B QND .三棱锥1D QB N -的体积为定值12.已知F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点,过点F 的直线l 与双曲线C 的一条渐近线垂直,垂足为M ,且直线l 与双曲线C 的右支交于点N ,若14FM FN =,则双曲线C 的渐近线方程为()A .34y x =±B .12y x =±C .2y x =±D .43y x=±二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中x 的系数为______14.已知圆()22:24C x y -+=,直线:1l y x =-+被圆C 截得的弦长为______15.已知函数ππ()sin()0,0,22f x A x A ωϕωϕ⎛⎫=+>>-<< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示,若将()y f x =的图象向左平移()0m m >个单位长度后所得的图象关于y 轴对称,则m 的最小值为______16.定义在()1,1-上的函数()f x 满足:对任意(),1,1x y ∈-都有()()1x y f x f y f xy ⎛⎫++= ⎪+⎝⎭,且当()0,1x ∈时,()0f x <恒成立.下列结论中可能成立的有______①()f x 为奇函数;②对定义域内任意12x x ≠,都有11221221()()()()x f x x f x x f x x f x +>+;③对12,(1,0)x x ∀∈-,都有1212()()22x x f x f x f ++⎛⎫≤⎪⎝⎭;④2111312n i f f i i =⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∑.三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.(一)必考题:共60分.17.(12分)已知数列{}n a ,______.在①数列{}n a 的前n 项和为n S ,22n n S a =-;②数列{}n a 的前n 项之积为(1)22()n n n S n +*=∈N ,这两个条件中任选一个,补充在上面的问题中并解答(注:如果选择多个条件,按照第一个解答给分.在答题前应说明“我选______”)(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)令2log n n n b a a =+,求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(12分)2024年甲辰龙年春节来临之际,赤峰市某食品加工企业为了检查春节期间产品质量,抽查了一条自动包装流水线的生产情况.随机抽取该流水线上的40件产品作为样本并称出它们的质量(单位:克),质量的分组区间为(]495,505,(]505,515,…,(]535,545,由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.(1)根据频率分布直方图,求质量超过515克的产品数量和样本平均值x ;(2)由样本估计总体,结合频率分布直方图,近似认为该产品的质量指标值ξ服从正态分布2),1.(25N μ,其中μ近似为(1)中的样本平均值x ,计算该批产品质量指标值519.75ξ≥的概率;(3)从该流水线上任取2件产品,设Y 为质量超过515克的产品数量,求Y 的分布列和数学期望.附:若2(,)N x ξσ~,则()0.6827P u μσξσ-<≤+≈,(22)0.9545P μσξμσ-<≤+≈,(33)0.9973P μσξμσ-<≤+≈.19.(12分)已知函数1()1x f x a e x ⎛⎫=+-⋅⎪⎝⎭.(1)当1a =时,求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程;(2)当2a =时,求函数()f x 的单调递增区间;(3)若函数()f x 在区间()0,1上只有一个极值点,求a 的取值范围.20.(12分)已知正方体1111ABCD A B C D -,棱长为2.(1)求证:1A C ⊥平面11AB D .(2)若平面α∥平面11AB D ,且平面α与正方体的棱相交,当截面面积最大时,在所给图形上画出截面图形(不必说出画法和理由),并求出截面面积的最大值.(3)在(2)的情形下,设平面α与正方体的棱AB 、1BB 、11B C 交于点E 、F 、G ,当截面的面积最大时,求二面角1D EF G --的余弦值.21.(12分)已知抛物线2:2(05)P y px p =<<上一点Q 的纵坐标为4,点Q 到焦点F 的距离为5.过点F 做两条互相垂直的弦AB 、CD ,设弦AB 、CD 的中点分别为M 、N .(1)求抛物线P 的方程.(2)过焦点F 作FG MN ⊥,且垂足为G ,求OG 的最大值.(二)选考题:共10分.请考生在第22、23二题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.22.选修4-4:坐标与参数方程(本题满分10分):已知在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),曲线2C 的参数方程为cos 4sin x y θθ=⎧⎨=+⎩(θ为参数,π2πθ≤≤).(1)求曲线2C 的普通方程;(2)已知M ,N 分别是曲线1C ,2C 上的动点,求MN 的最小值.23.选修4-5:不等式选讲(本题满分10分)已知函数()f x x m =-.(1)当2m =时,求不等式()41f x x ≥-+的解集;(2)若()21f x m x ≥-+恒成立,求m 的取值范围.赤峰市高三年级3.20模拟考试试题理科数学答案2024.03一、选择题:题号123456789101112答案CBACBDADBBCD二、填空题:13.801415.π616.①③④解答题:17.解:(1)选①,当1n =时,1122a a =-,即12a =当2n ≥时,22n n S a =-①1122n n S a --=-②①-②得:122n n n a a a -=-,即12nn a a -=所以数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列所以2nn a =选②,当1n =时,112a S ==,即12a =当2n ≥时,(1)2(1)1222n n n n n n n S a S +--==,即(1)(1)2222n n n n n n a +--==当1n =时,12a =符合上式.所以数列{}n a 是以2为首项,2为公比的等比数列所以2nn a =(2)因为2log n n n b a a =+,所以2n n b n =+,所以12(222)(12)n n T n =++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+2(12)(1)122n n n n T -+=+-21222n n n n T ++=-+18.解(1)由频率分布直方图可知,质量超过515克的产品的频率为50.0750.0550.010.65⨯+⨯+⨯=,∴质量超过515克的产品数量为400.6526⨯=(件)10(5000.0155100.0205200.0355300.0255400.005)518.5x =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=(2)由题意可得518.5x μ==, 1.25σ=则()(517.25519.75)0.6827P P μσξμσξ-<≤+=<≤≈,则该批产品质量指标值519.75ξ≥的概率:1(517.25519.75)(519.75)0.158652P P ξξ-<≤≥==(3)根据用样本估计总体的思想,从该流水线上任取一件产品,该产品的质量超过515克的概率为26130.654020==所以,从流水线上任取2件产品互不影响,该问题可看作二项分布.故,质量超过515克的件数Y 可能的取值为0,1,2,且132,20Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭221313()C 1,0,1,22020k kk P Y k k -⎛⎫⎛⎫∴==⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭222749(0)C 0.350.122520400P Y ⎛⎫∴==⨯=== ⎪⎝⎭,1213791(1)C 0.4552020200P Y ==⨯⨯==,22213169(2)C 0.422520400P Y ⎛⎫==⨯== ⎪⎝⎭,Y ∴的分布列为Y 012P4940091200169400Y 的均值为4991169()012 1.3400200400E Y =⨯+⨯+⨯=或者13()2 1.320E Y =⨯=19.解(1):当1a =时,e ()x f x x =,则2e (1)()x x f x x -=',所以,()1e f =,(1)0f '=,故当1a =时,曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为e 0y -=,即e y =.(2)当2a =时,1(1)e()1e xx x f x x x +⎛⎫=+= ⎪⎝⎭,该函数的定义域为{}0x x ≠,222(2)e (1)e (1)e ()x x xx x x x x f x x x'+-++-==,由()0f x '>,即210x x +->,解得152x +<-或512x ->,因此,当2a =时,函数()f x 的单调递增区间为15,2⎛⎫-∞-⎪ ⎪⎝⎭、51,2⎛⎫-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭(3)法Ⅰ:因为1()1e xf x a x ⎛⎫=+-⋅ ⎪⎝⎭,则22211((1)1)e ()1e x x a x x f x a x x x -+-⎛⎫=+--= ⎪⎝⎭',令()()211g x a x x =-+-,因为函数()f x 在()0,1上有且只有一个极值点,则函数()g x 在()0,1上有一个异号零点,当1a =时,对任意的()0,1x ∈,()10g x x =-<恒成立,无零点,故不符合题意;当1a >时,函数()()211g x a x x =-+-在()0,1上单调递增,因为()010g =-<,只需()110g a =->,故1a >符合题意;当1a <时,函数()g x 的图象开口向下,对称轴为直线102(1)x a =->-,因为()010g =-<,只需()110g a =->,故1a <不符合题意,舍去综上所述,实数a 的取值范围是()1,+∞.法Ⅱ:令2(1)10a x x -+-=则2111a x x-=-有根.令1(1,)t x=∈+∞设()2g t t t =-由题意可知10a ->1a ∴>20.证明:(1)连接1A C ,1A B因为1111ABCD A B C D -是正方体,所以BC ⊥平面11ABB A ,因为1AB ⊂平面11ABB A ,所以1BC AB ⊥又因为四边形11ABB A 是正方形,所以11A B AB ⊥,因为1A B BC B = ,所以1AB ⊥平面1A BC ,因为1A C ⊂平面1A BC ,所以11A C AB ⊥.同理:111A C D B ⊥又因为1111AB B D B = ,所以1A C ⊥平面11AB D .(2)截面图形为如图所示的六边形的正六边形,所以最大的截面面积为16sin 602S =⨯︒=(3)因为平面α∥平面11AB D ,所以当截面EFG 的面积最大时,E 、F 、G 分别是棱AB 、1BB 、11B C 的中点,以D 为原点建立如图所示空间直角坐标系()10,0,2D ,()2,1,0E ,()2,2,1F ,()1,2,2G 设平面1D EF 的一个法向量是111(,,)n x y z =,1(2,1,2)D E =- ,1(2,2,1)D F =- ,11111111220220n D E x y z n D F x y z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩令13x =,则12y =-,12z =,(3,2,2)n =-设平面GEF 的一个法向量是222(,,)m x y z =,(0,1,1)EF = ,(1,0,1)FG =- 22220m EF y z m FG x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ,令21x =,则21y =-,21z =,则(1,1,1)m =-cos ,51n m n m n m ⋅==⋅设二面角1D EF G --的平面角为θ,由图知θ为锐角,所以751cos 51θ=,所以二面角1D EF G --的余弦值为51.21.解:(1)由题可知,24252p p ⎛⎫=- ⎪⎝⎭解得,2p =或8p =(舍)所以,抛物线P 的方程为24y x=(2)设直线:1AB x my =+,()11,A x y ,()22,B x y ,联立214x my y x=+⎧⎨=⎩,可得2440y my --=,则得124y y m +=,21242x x m +=+,2(21,2)M m m ∴+,同理2221,N mm ⎛⎫+- ⎪⎝⎭①1m =±时,3OG =②当1m ≠±时,22222:2(21)22MNm m l y m x m m m+∴-=---根据曲线对称性可知,令0y =时,则3x =.所以直线MN l 恒过点(3,0)E 又FG MN ⊥,所以点G 在以FE 为直径的圆上,且轨迹方程为()2221x y -+=,由几何图形关系可知,OG 的最大值为322.解:(1)由cos 4sin x y θθ=⎧⎨=+⎩,可得cos 4sin x y θθ=⎧⎨-=⎩消去参数θ得2222(4)sin cos 1x y θθ+-=+=,所以曲线2C 的普通方程为()2241x y +-=,又因为π2πθ<<所以曲线2C 的普通方程为22(4)1(34)x y y +-=≤≤(3)因为曲线1C的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩(α为参数),所以设点M的坐标为(2cos )αα,设圆心2C 与1C 上任意一点的距离为d则d ==设sin t α=,[]1,1t ∈-,则d ==,min 4d =,所以min 3MN d r =-=-23.解:①当2m =时,()41f x x ≥-+,即214x x -++≥当1x ≤-时,不等式化为214x x -+--≥,解得32x ≤-,所以32x ≤-当12x -<<时,不等式化为214x x -+++≥,解得x φ∈当2x ≥时,不等式化为214x x -++≥,解得52x ≥,所以52x ≥综上,原不等式的解集为35,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭②若()21f x m x ≥-+恒成立,即min 12x m x m⎡-++⎤≥⎣⎦因为111x m x x m x m -++≥---=+(当且仅当()()10x m x -+≤时,等号成立),所以12m m +≥,即12m m +≥或12m m +≤-,解得1m ≤或13m ≤-故m 的取值范围为(],1-∞.。

2021-2022年高三5月模拟考试数学(理)试题含答案

2021-2022年高三5月模拟考试数学(理)试题含答案

2021年高三5月模拟考试数学(理)试题含答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.复数(i是虚数单位)的共轭复数表示的点在A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合{}{}240,2M x x x N x x M N =-<=≤⋃=,则A.B.C.D.3.采用系统抽样方法从1000人中抽取50人做问卷调查,为此将他们随机编号1,,…,1000,适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8,抽到的50人中,编号落入区间的人做问卷A,编号落入区间的人做问卷B,其余的人做问卷C,则抽到的人中,做问卷C的人数为A.12 B.13 C.14 D.154.函数(e是自然对数的底数)的部分图象大致是5.下列说法不正确的是A.若“p且q”为假,则p,q至少有一个是假命题B.命题“”的否定是“”C.“”是“为偶函数”的充要条件D.当时,幂函数上单调递减6.执行如图所示的程序框图,输出的T=A.29 B.44 C.52 D.627.将函数的图象上各点的纵坐标不变,横坐标扩大到原来的2倍,所得图象的一条对称轴方程可以是A.B.C.D.8.变量满足线性约束条件320,2,1,x yy xy x+-≤⎧⎪-≤⎨⎪≥--⎩目标函数仅在点取得最小值,则k的取值范围是A.B.C.D.9.函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该等比数列公比的是A.B.C.D.10.在上的函数满足:①(c为正常数);②当时,()()()213.f x x f x=--若图象上所有极大值对应的点均落在同一条直线上.则c=A.1或B.C.1或3 D.1或2第Ⅱ卷(共100分)二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.11.如果双曲线的一条渐近线与直线平行,则双曲线的离心率为_____.12.已知的展开式中的系数与的展开式中的系数相等,则_____.13.若某几何体的三视图如图所示,则此几何体的体积是______.14.在平面直角坐标系中,设直线与圆交于A,B两点,O为坐标原点,若圆上一点C满足,则=________.15.函数图象上不同两点处的切线的斜率分别是,规定(为线段AB的长度)叫做曲线在点A 与点B之间的“弯曲度”,给出以下命题:①函数图象上两点A与B的横坐标分别为1和2,则;②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;③设点A,B是抛物线上不同的两点,则;④设曲线(e是自然对数的底数)上不同两点()()112212,,,,1A x yB x y x x-=且,若恒成立,则实数t的取值范围是.其中真命题的序号为________.(将所有真命题的序号都填上)三、解答题:本大题共6小题,共75分.16.(本小题满分12分)在中,已知()111 sin,cos2142A Bππ⎛⎫+=-=- ⎪⎝⎭.(Ⅰ)求sinA与角B的值;(Ⅱ)若角A,B,C的对边分别为的值.17.(本小题满分12分)直三棱柱中,,E,F分别是的中点,为棱上的点.(Ⅰ)证明:;(Ⅱ)已知存在一点D,使得平面DEF与平面ABC所成锐二面角的余弦值为,请说明点D 的位置.18.(本小题满分12分)甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个,其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2,3,4,乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3,某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球.(Ⅰ)若左右手各取一球,求两只手中所取的球颜色不同的概率;(Ⅱ)若左右手依次各取两球,称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法,记两次取球(左右手依次各取两球为两次取球)的成功取法次数为随机变量X,求X的分布列和数学期望.19.(本小题满分12分)已知数列的前项和为()2,2,n nS S n n n N*=+∈且.(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)设集合{}{}22,,2,nA x x n n NB x x a n N**==+∈==∈,等差数列的任一项,其中是中的最小数,,求数列的通项公式.20.(本小题满分13分)已知抛物线的焦点为,过点F作直线l交抛物线C于A,B两点.椭圆E的中心在原点,焦点在x轴上,点F是它的一个顶点,且其离心率.(Ⅰ)分别求抛物线C和椭圆E的方程;(Ⅱ)经过A,B两点分别作抛物线C的切线,切线相交于点M.证明;(Ⅲ)椭圆E上是否存在一点,经过点作抛物线C的两条切线(为切点),使得直线过点F?若存在,求出抛物线C与切线所围成图形的面积;若不存在,试说明理由.21.(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调递减区间;(Ⅱ)若关于x的不等式恒成立,求整数a的最小值;(Ⅲ)若正实数满足()()()2212121220f x f x x x x x++++=,证明.xx 山东省滕州市善国中学高三5月模拟考试理科数学参考答案一、选择题 AACDC,ADCDD 二、填空题11.12.. 13..14..15.②③. 16.解:(Ⅰ),,又,.1cos(π)cos 2B B -=-=-,且,.……………………………………………………………………6分 (Ⅱ)由正弦定理得,, 另由得, 解得或(舍去),,.…………………………………………………………………12分17.(Ⅰ)证明: ,∥,, 又, , 面, 又面, ,以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系 ,则,,,,, 设 , , 且,即:, , , ,, . ………6分 (Ⅱ)设面的法向量为 , 则, , ,111022211022x y z x y z λ⎧-++=⎪⎪∴⎨⎛⎫⎪-+-= ⎪⎪⎝⎭⎩, 即:()()3211221x z y z λλλ⎧=⎪-⎪⎨+⎪=⎪-⎩, 令,.由题可知面的法向量 , ………9分 平面与平面 所成锐二面的余弦值为 .∴1414),cos(=⋅=nm n m , ()()()2221141491241λλλ-=+++- ,或.又,舍去.点为中点. ………12分 18.解:(Ⅰ)设事件为“两手所取的球不同色”,则32993433321)(=⨯⨯+⨯+⨯-=A P . ………5分(Ⅱ)依题意,的可能取值为0,1,2.左手所取的两球颜色相同的概率为,右手所取的两球颜色相同的概率为, ………7分24134318134111851)0(=⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-==X P ,18741)1851()411(185)1(=⨯-+-⨯==X P ,, ………10分 所以X的分布列为:36197252187124130)(=⨯+⨯+⨯=X E . ………………… ……12分19.解 (Ⅰ)∵. 当时,,当时,满足上式,所以数列的通项公式为. ………………… ……5分(Ⅱ)∵*{|22,N }A x x n n ==+∈,*{|42,N }B x x n n ==+∈, ∴.又∵,其中是中的最小数,∴, ∵的公差是4的倍数,∴. 又∵,∴, 解得,所以, 设等差数列的公差为,则1011146121019c c d --===-,∴6(1)12126n c n n =+-=-,所以的通项公式为. ………………… ……12分 20.解:(Ⅰ)由已知抛物线的焦点为可得抛物线的方程为.设椭圆的方程为,半焦距为. 由已知可得:222132b c a a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩,解得 .所以椭圆的方程为:. ……4分(Ⅱ)显然直线的斜率存在,否则直线与抛物线只有一个交点,不合题意, 故可设直线的方程为112212(,),(,)()A x yB x y x x ≠,由, 消去并整理得 ∴ .∵抛物线的方程为,求导得,∴过抛物线上两点的切线方程分别是,, 即,,解得两条切线的交点的坐标为,即,122121(,2)(,)2x x FM AB x x y y +⋅=-⋅--=22222121111()2()0244x x x x ---=,∴. ………………………9分(Ⅲ)假设存在点满足题意,由(2)知点必在直线上,又直线与椭圆有唯一交点,故的坐标为,设过点且与抛物线相切的切线方程为:,其中点为切点. 令得,,解得或 , 故不妨取,即直线过点.综上所述,椭圆上存在一点,经过点作抛物线的两条切线、(、为切点),能使直线过点. 此时,两切线的方程分别为和.抛物线与切线、所围成图形的面积为223220011142[(1)]2()41223S x x dx x x x =--=-+=⎰. ………………… ……13分21.解:(Ⅰ)2121()21(0)x x f x x x x x-++'=-+=>,由,得,又,所以.所以的单调减区间为. ………………………………………… 4分(Ⅱ)令221()()[(1)1]ln (1)122a g x f x x ax x ax a x =--+-=-+-+,所以21(1)1()(1)ax a x g x ax a x x-+-+'=-+-=.当时,因为,所以. 所以在上是递增函数, 又因为213(1)ln11(1)12022g a a a =-⨯+-+=-+>, 所以关于的不等式≤不能恒成立.……………………6分当时,21()(1)(1)1()a x x ax a x a g x x x-+-+-+'==-, 令,得.所以当时,;当时,,因此函数在是增函数,在是减函数. 故函数的最大值为2111111()ln ()(1)1ln 22g a a a a a a a a=-⨯+-⨯+=-.…8分 令,因为,,又因为在是减函数. 所以当时,.所以整数的最小值为2. …………………………………………………………10分(Ⅲ)由22121212()()2()0f x f x x x x x ++++=,即2211122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=,实用文档 从而212121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅令,则由得,,可知,在区间上单调递减,在区间上单调递增. 所以,所以,又,因此成立. ………………………………………………14分。

河南省濮阳外国语学校2023届高三第一次质量检测数学(理科)试题

河南省濮阳外国语学校2023届高三第一次质量检测数学(理科)试题

河南省濮阳外国语学校2023届高三第一次质量检测数学(理科)试题一、单选题1.不等式(2)(21)0x x +-<的解集为( ) A .1,22⎛⎫- ⎪⎝⎭B .12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C .1(,2),2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭UD .1,(2,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭U2.已知复数1i z =-(i 是虚数单位),则复数21z zω=-在复平面内对应的点所在的象限为( ) A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限3.已知抛物线23y x =的焦点为F ,点P 为抛物线上任意一点,则PF 的最小值为( ) A .1B .34C .43D .324.已知()e sin xf x x =,则( )A .()()sin cos e xf x x x '=+ B .()()sin cos e xf x x x '=-C .()(cos sin )e xf x x x =-'D .sin cos ()e xx xf x +='5.随机变量X 的分布列如下表,其中a ,b ,c 成等差数列,且3a c =,则()E X =( ) A .53B .43C .2D .1166.若x ,y 满足约束条件203601x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩,则2z x y =+的取值范围为( )A .15,3⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B .[]5,6-C .[]7,5-D .1,53⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7.在ABC V 中,a ,b ,c 分别为内角A ,B ,C 的对边,且()()cos 1cos 10a B b A ---=.若4a =,则b =( ) A .1B .2C .3D .48.已知文印室内有5份待打印的文件自上而下摞在一起,秘书小王要在这5份文件中再插入甲、乙两份文件,甲文件要在乙文件前打印,且不改变原来次序,则不同的打印方式的种数为( ) A .15B .21C .28D .369.已知抛物线C :22y px =(0p >)的焦点为F ,点T 在C 上,且52FT =,若点M 的坐标为()0,1,且MF MT ⊥,则C 的方程为( ) A .22y x =或28y x = B .2y x =或28y x = C .22y x =或24y x =D .2y x =或24y x =10.已知奇函数()2x x f x e me x -=+-,则()()223f a f a >+的解集为( )A .()(),13,-∞-+∞UB .()(),31,-∞-⋃+∞C .()1,3-D .()3,1-11.“提丢斯数列”是由18世纪德国数学家提丢斯给出,具体如下:0,3,6,12,24,48,96,192,…,容易发现,从第三项起,每一项是前一项的2倍.将每一项加上4得到一个数列:4,7,10,16,28,52,100,196,…,再将每一项除以10得到“提丢斯数列”,0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0,19.6,…,则“提丢斯数列”的前50项的和为( )A .4932⨯B .5032⨯C .48219710-D .493219710⨯+12.已知函数e ln ,0()e e ,0x x f x x x->⎧⎪=⎨+<⎪⎩,若()f x a =存在两个不相等的实数根12,x x ,则12x x -的最小值为( )A .eB .2eC .2e 1+D .5e 2二、填空题 13.121d x x -=⎰.14.经过长期调研,某火车站每日的客流量(单位:千人)服从正态分布()220,N σ,该车站每日可供出售的有座车票数为2.2万张,且仅在有座车票已经售罄后,才开始出售无座车票.若需要出售无座车票的概率为112,则有座车票每日剩余没能售出的车票数超过4千张的概率为.15.已知正数,,a b 且145a b+=ab 的最大值和最小值之和为.16.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ,2F ,点A 在双曲线C 上,212AF F F ⊥,直线1AF 与双曲线C 交于另一点B ,114F F A B =u u u r u u u r,则双曲线C 的离心率为.三、解答题17.在ABC V 中,角A ,B ,C 所对边分别为a ,b ,c ,2cos 1cos b B a A-=+. (1)证明:2a b c =+;(2)若4cos ,5A a ==ABC V 的面积.18.为了引导学生阅读世界经典文学名著,某学校举办“名著读书日”活动,每个月选择一天为“名著读书日”,并给出一些推荐书目.为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况,该校在此活动持续进行了一年之后,随机抽取了校内100名学生,调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量,所得数据如下表:(1)试通过计算,判断是否有99.9%的把握认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用;(2)已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著,其中4本国外名著,2本国内名著,并且随机安排阅读顺序.记2本国内名著恰好阅读完时的读书数量为随机变量X ,求X 的数学期望.参考公式:()()()()22(),n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++.临界值表:19.如图,在三棱锥-P ABC 中,PA ⊥平面ABC ,2AC BC ==,AP AB ==D 为BP 的中点.(1)证明:BC ⊥平面PAC ;(2)求平面ACD 与平面PBC 所成二面角的正弦值.20.已知函数()23ln f x x a x =-.(1)讨论函数()f x 的单调性;(2)若函数()f x 有且仅有两个零点,求实数a 的取值范围.21.已知椭圆22221:12x y C a b a b ⎛⎫+=>> ⎪⎝⎭椭圆的短轴长与焦距长之和为4. (1)求椭圆C 的标准方程;(2)过点(2,0)A 的直线l 与椭圆C 相交于M ,N 两点(异于椭圆长轴顶点),求OMN V(O 为坐标原点)面积的最大值,并求此时直线l 的方程.22.在极坐标系中,圆1C 的极坐标方程为()cos 0a a ρθ=>,圆2C 的极坐标方程为2sin ρθ=,直线l 的极坐标方程为0θα=,其中0α满足0tan 2α=,若圆1C ,2C 的公共点都在直线l 上. (1)求正数a 的值;(2)记圆1C 的圆心为M ,求点M 与圆1C ,2C 的公共点构成的三角形的面积.23.已知函数()222f x x x =--+.(1)在图中画出函数()y f x =的图象;(2)若关于x 的不等式()f x x a -≥恒成立,求实数a 的取值范围.。

成绩分析及其对教学的指导作用

成绩分析及其对教学的指导作用
• 可以用来了解教师的教学活动是否还存在一定的缺陷以 及学生的学习状态和兴趣。
• 对师生教与学的情况给予客观评定,可预期实现考试成 绩测量的目的。
• 同时在客观上起着“指挥棒”作用,引导教者与学者进 一步明确教学目标、重点与难点,克服教学中的偏差与 弊端,使教育实践与研究沿着正确的航向前进。
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6班 0.931 0.961 1.011 0.938 0.867 0.824 0.897 0.866 A班 1.424 1.159 1.376 1.437 1.588 1.782 1.471 1.569
本校总分、各科均分得分率与海淀区的比较
近两年海淀期中考试文科得分率
2010级11月海淀得分率 2011级11月海淀得分率
全校 指标
文理 类别
人 数
文 理 承 文 理 按录取目标人数各次考试对应的分数

指 2013.8 2013. 2012. 2012 、2012 2013
指标率 标 人 房山统 11
11 期 北京 北京 北京
数考
期 中中 海高 考高考高考
海淀 淀线 线 线 线
82%
理科
82.50%
200
165
305
341 318
人数 261 98 14 60 4 4 11 27 23 17 33 27 28 16 19 11 11 15 15
累计人数
4 8 19 46 69 86 119 146 174 190 209 220 231 246 261
知识版块得分情况
学生自我评价
(3)年级成绩分析
• 各班总分、各科均分、得分率比较 • 各班总分、各科均分与年级均分的比值比较 • 本校总分、各科均分得分率与海淀区的比较 • 实验班与良乡附中的比较 • 期中、期末、模拟考试本届与前几届的比较 • 高分各分数段人数、最高分与房山区及往届的比较 • 高分断学生在房山区、海淀区的排名及与往届的比较 • 高三本科指标的制定及对应的分数线 • 各班指标人数及入围情况
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2011年高三五月模拟考试数学试题(理科)考试时间:2011年5月12日下午15∶00 ~ 17∶00一、选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1. 已知全集R = ,集合1{|0}2x A x x +=≤-,则集合U C A 等于( )A .{|12}x x x <->或B .{|12}x x x ≤->或C .{|12}x x x <-≥或D .{|1}x x ≤-≥或x 22. 已知集合{|}n M m m i n ==∈N ,,其中21i =-,则下面属于M 的元素是( )A .(1)(1)i i ++-B .(1)(1)i i +--C .(1)(1)i i +-D .11ii+- 3. 如果对于任意实数x ,[]x 表示不超过x 的最大整数,例如[]3.273=,[]0.60=, []1.62-=-,那么“[][]x y =”是“1x y -<”的( ) A .充分而不必要条件 B .必要而不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件4. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足π2515=S ,则8tan a 的值是( )A B . C . D . 5. 已知//,,a B αβαβ⊂∈,则在β内过点B 的所有直线中( ) A .不一定存在与a 平行的直线 B .只有两条与a 平行的直线 C .存在无数条与a 平行的直线 D .存在唯一一条与a 平行的直线 6. 抛掷一枚硬币,出现正面向上记1分,出现反面向上记2分,若一共抛出硬币4次,且每一次抛掷的结果相互之间没有影响,则得6分的概率为( )A .116B .14C .38D .127. 某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运,购买总量不超过50辆,其中购买A 型汽车需13万元/辆,购买B 型汽车需8万元/辆.假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元/辆,B 型汽车的纯利润为1.5万元/辆,为使该公司第一年纯利润最大,则需安排购买( )A .10辆A 型出租车,40辆B 型出租车 B .9辆A 型出租车,41辆B 型出租车C .11辆A 型出租车,39辆B 型出租车D .8辆A 型出租车,42辆B 型出租车 8.设()f x 与()g x 是定义在同一区间[,]a b 上的两个函数,若对任意[,]x a b ∈,都有|()()|1f x g x -≤成立,则称()f x 和()g x 在[,]a b 上是“亲密函数”,区间[,]a b 称为“亲密区间”.若2()2f x x x =++与()21g x x =+在[,]a b 上是“亲密函数”,则其“亲密区间”可以是( )A .[0,2]B .[0,1]C .[1,2]D .[1,0]-9. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2,,9 的9个小正方形 (如右图1),使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同,且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法共有( )A .108种B .60种C .48种D .36种 10.已知定义在]8,1[上的函数 348||,122()1(),2822x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩则下列结论中,错误..的是( ) A .1)6(=fB .函数)(x f 的值域为]4,0[C .将函数)(x f 的极值由大到小排列得到数列*},{N n a n ∈,则}{n a 为等比数列D .对任意的]8,1[∈x ,不等式6)(≤x xf 恒成立二、填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中相应的横线上.)11.已知二项式2(2nx +展开式中第9项为常数项,则=n .12.设a 是实数.若函数()|||1|f x x a x =+--是定义在R 上的奇函数,但不是偶函数,则函数()f x 的递增区间为 . 13.随机变量ξ的分布列如下:其中a ,b ,c 成等差数列.若3E ξ=,则Dξ的值是________.14.如图2,长方体1111ABCD A B C D -中,其中,AB a =,1,AD b AA c ==外接球球心为点O ,外接球体积为323π,若2214a b +的最小值为94,则,A C 两点的球面距离为 .15.设11(,)M x y ,22(,)N x y 为不同的两点,直线:0l ax by c ++=,1122ax by cax by cδ++=++,以下命题中正确的序号为 . )1(不论δ为何值,点N 都不在直线l 上;)2(若1δ=,则过M ,N 的直线与直线l 平行; )3(若1δ=-,则直线l 经过MN 的中点;)4(若1δ>,则点M 、N 在直线l 的同侧且直线l 与线段MN 的延长线相交.图1如图2三、解答题:(本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16. (本小题满分12分)已知向量1(sin ,1cos2),(sin cos ,cos2)2x x x x x =+=-+a b ,定义函数()(f x =⋅-a a b)(Ⅰ)求函数)(x f 最小正周期;(Ⅱ)在△ABC 中,角A 为锐角,且7,()1,212A B f A BC π+===,求边AC 的长. 17.(本小题满分12分)如图3,已知正三棱柱111ABC A B C -的底面正三角形的边长是2,D 是1CC 的中点,直线AD 与侧面11BB C C 所成的角是45 . (Ⅰ)求二面角A BD C --的大小; (Ⅱ)求点C 到平面ABD 的距离.18.(本小题满分12分)某公园准备建一个摩天轮,摩天轮的外围是一个周长为k 米的圆.在这个圆上安装座位,且每个座位和圆心处的支点都有一根直的钢管相连.经预算,摩天轮上的每个座位与支点相连的钢管的费用为12k 元/根,且当两相邻的座位之间的圆弧长为x 米时,相邻两座位之间的钢管和其中一个座位的总费用为2(51220)8100x x k ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦元,假设座位等距离分布,且至少有四个座位,所有座位都视为点,且不考虑其他因素,记摩天轮的总造价为y 元.(Ⅰ)试写出y 关于x 的函数关系式,并写出定义域; (Ⅱ)当100k =米时,试确定座位的个数,使得总造价最低?B1C 图319.(本题满分12分)已知二次函数2()f x ax bx =+的图像过点(4,0)n -,且'(0)2f n =,n N *∈. (Ⅰ)求()f x 的解析式;(Ⅱ)若数列{}n a 满足'111()n n f a a +='(0)f n ='111()n nf a a +=,且14a =,求数列{}n a 的通项公式;(Ⅲ)记n b =n T 为数列{}n b 的前n 项和.求证:423n T ≤< .20.(本小题满分13分)给定椭圆2222:1(0)y x C a b a b+=>>,称圆心在坐标原点O ,C 的“伴随圆”. 若椭圆C的一个焦点为20)F ,其短轴上的一个端点到2F(Ⅰ)求椭圆C 及其“伴随圆”的方程;(Ⅱ)若过点(0,)(0)P m m <的直线l 与椭圆C 只有一个公共点,且l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为m 的值;(Ⅲ)过椭圆C “伴椭圆”上一动点Q 作直线12,l l ,使得12,l l 与椭圆C 都只有一个公共点,试判断直线12,l l 的斜率之积是否为定值,并说明理由.21.(本题满分14分)已知函数()()()f x x x a x b =--,点(,()),(,())A s f s B t f t .(Ⅰ)若0,3a b ==,函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值,又能取到极小值,求t 的取值范围; (Ⅱ) 当0a =时,()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立,求b 的取值范围; (Ⅲ)若0a b <<,函数()f x 在x s =和x t =处取得极值,且a b +<O 是坐标原点,证明:直线OA 与直线OB 不可能垂直.2011届高三五月模拟考试数学试题(理科)参考答案一、1.C 2.D 3.A 4.B 5.D 6.C 7.A 8.B 9.A 10.C二、11. 10 12.[1,1]- 13.5914.23π15.(1)(2)(3)(4)三、16.解:(Ⅰ) cos21()(cos sin 2x f x x x +=⋅-=+a a b)11(sin 2cos 21))242x x x π=++++ ∴ππ==22T …………6分 (Ⅱ)由()1f A =1)142A π++=,∴sin(2)4A π+=且)45,4(42πππ∈+A ∴3244A ππ+=,4A π= 又∵712A B π+=,∴3B π= …………10分在△ABC 中,由正弦定理得:sin sin BC AC A B =,∴sin sin BC BAC A== …………12分17.解:解法一(Ⅰ)设侧棱长为x ,取BC 中点E ,则AE ⊥面11BB C C ,∴45ADE ∠=︒∴tan 45AEED︒=解得x = …………3分过E 作EF BD ⊥于F ,连AF ,则AF BD ⊥,AFE ∠为二面角A BD C --的平面角∵sin EF BE EBF =∠=AE = ∴tan 3AEAFE EF∠==故二面角A BD C --的大小为arctan3 ………… 6分(Ⅱ)由(Ⅰ)知BD ⊥面AEF ,∴面AEF ⊥面ABD过E 作EG AF ⊥于G ,则EG ⊥面ABD∴AE EF EG AF ==∴C 到面ABD的距离为2EG = ………… 12分 解法二:(Ⅰ)求侧棱长x = ……………3分 取BC 中点E , 如图建立空间直角坐标系E xyz -,则(0,A ,(1,0,0)B -,(1,0,0)C,0)DzA BA 1B 1ABCDA 1B 1C 1FGE设(,,)n x y z = 是平面ABD 的一个法向量,则由00n AB n AD ⎧=⎪⎨=⎪⎩得1)n =-而(0,EA =是面BCD 的一个法向量∴cos EA n EA n EA n<>==.而所求二面角为锐角, 即二面角A BD C --的大小为 ………… 6分 (Ⅱ)∵(1,CA =- ∴点C 到面ABD的距离为CA n d n== 12分18.解:(Ⅰ)设摩天轮上总共有n 个座位,则k x n =即kn x=, 222(51220)2051220128()100100x x k k x y k k k x x x ⎡⎤++=++=+⎢⎥⎣⎦,定义域|0,Z 4k k x x x ⎧⎫<≤∈⎨⎬⎩⎭; …………5分(Ⅱ)当100k =时,250≤<x 令22000100(51220)y x x=++ 22000()512f x x x =+,则322200020001024()10240x f x x x x -+'=-+== ∴31000512x =,∴54x = …………10分当5(0,)4x ∈时,()0f x '<,即()f x 在5(0,)4x ∈上单调减,当5(,25)4x ∈时,()0f x '>,即()f x 在5(,25)4x ∈上单调增,min y 在54x =时取到,此时座位个数为1008054=个. …………12分19.解:(Ⅰ)()2f x ax b '=+,有题意知2b n =,21640n a nb -=∴1,22a b n ==,则21()2,N *2f x x nx n =+∈ ……………3分(Ⅱ)数列{}n a 满足111()n nf a a +'=又()2f x x n '=+,∵1112n n n a a +=+,∴1112n nn a a +-=, 2112462(1)4n n n n a -=++++-=- 2221114()(N*)12(21)()2n n n a n a n n ⇒=-⇒==∈-- E当1=n 时,41=a 也符合 ……………7分(Ⅲ)4112()(21)(21)2121n n n b n n =--+-+=12n n T b b b =++++++ []111112(1)()()3352121n n =-+-+++--+12(1)21n =-+ ……………10分 ∵213n +≥,142(1)213n -≥+, 又12(1)221n -<+∴423n T ≤< ……………12分 20. 解:(Ⅰ)由题意得:a =c =则1b =椭圆C 方程为2213x y +=“伴随圆”方程为224x y += ……………3分 (Ⅱ)则设过点P 且与椭圆有一个交点的直线l 为:y kx m =+, 则2213y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()222136(33)0k x kmx m +++-= 所以()()()2226413330km k m ∆=-+-=,解2231k m +=① ……………5分又因为直线l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22,则有=()2221m k =+ ② ……………7分 联立①②解得,221,4k m ==,所以1k =±,2(0)m m =-< ,则(0,2)P - ……………8分(Ⅲ)当12,l l 都有斜率时,设点00(,),Q x y 其中22004x y +=, 设经过点00(,),Q x y 与椭圆只有一个公共点的直线为00()y k x x y =-+,由0022()13y kx y kx x y =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩,消去y 得到[]22003()30x kx y kx ++--= ……………9分即2220000(13)6()3()30k x k y kx x y kx ++-+--=,[]22200006()4(13)3()30k y kx k y kx ⎡⎤∆=--⋅+--=⎣⎦,经过化简得到:2220000(3)210x k x y k y -++-=, ……………11分因为22004x y +=,所以有2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=,设12,l l 的斜率分别为12,k k ,因为12,l l 与椭圆都只有一个公共点,所以12,k k 满足方程2220000(3)2(3)0x k x y k x -++-=,因而121k k ⋅=-,即直线12,l l 的斜率之积是为定值1- ……………13分21. 解:(Ⅰ)当0,3a b ==时,322()3,'()36f x x x f x x x =-=-,令'()0f x =得0,2x =,根据导数的符号可以得出函数()f x 在0x =处取得极大值, 在2x =处取得极小值.函数()f x 在(,3)t t +上既能取到极大值,又能取到极小值, 则只要0t <且32t +>即可,即只要10t -<<即可.所以t 的取值范围是(1,0)-. ………… 4分 (Ⅱ)当0a =时,()ln 10f x x x ++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立, 即2ln 10x bx x -++≥对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立,也即ln 1x b x x x ≤++在对任意的1,2x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭恒成立. 令ln 1()x g x x x x =++,则22221l n 1l n '()1x x x g x x x x--=+-=. ………… 6分 记2()ln m x x x =-,则2121'()2x m x x x x-=-=,则这个函数在其定义域内有唯一的极小值点x =,故也是最小值点,所以1()ln 02m x m ≥=->, 从而'()0g x >,所以函数()g x 在1[,)2+∞单调递增.函数min 15()2ln 222g x g ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故只要52ln 22b ≤-即可.所以b 的取值范围是5(,2ln 2]2-∞- ………… 9分 (Ⅲ)假设OA OB ⊥ ,即0OA OB =, 即(,())(,())()()0s f s t f t st f s f t =+= , 故()()()()1s a s b t a t b ----=-,即22()()1st s t a a st s t b b ⎡⎤⎡⎤-++-++=-⎣⎦⎣⎦.由于,s t是方程'()0f x=的两个根,故2(),,033abs t a b st a b+=+=<<.代入上式得2()9ab a b-=.………… 12分229()()4412a b a b ab abab+=-+=+≥=,即a b+≥a b+<所以直线OA与直线OB不可能垂直.………… 14分。

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