信号与系统第二版-第2章+连续时间系统的时域分析

•线性时不变系统，若系统的参数不
随时间变化（集总参数系统），则该
系统可以用线性常系数微分方程来描
述。
二、n 阶线性时不变系统的模型
激励：e(t)
系统
响应：r(t)
d n r (t ) d n 1 r ( t ) d r (t ) C0 C1 C n 1 C n r (t ) n n 1 dt dt dt d m e( t ) d m 1 e ( t ) d e( t ) E0 E1 E m 1 E m e( t ) m m 1 dt dt dt
1
将et t 2代入方程右端 得到t 2 2t , 为使等式两端 , 平衡，试选特解函数式
rp t B1t 2 B2 t B3
这里 , B1 , B2 , B3为待定系数。将此式代入方程左端得：
3 B1t 2 4 B1 3 B2 t 2 B1 2 B2 3 B3 t 2 2t
§2.1 引言 系统分析过程（求响应）
时域 分析方法
时域分析方法:
不涉及任何变换，在时域直接求解系统 的微分、积分方程式，这种方法比较直观，
物理概念比较清楚，是学习各种变换域方法的基 础。
本课程系统分析：先时域分析， 后变换域（频域）分析
§2.2 微分方程的式的建立与求解
一、微分方程的列写
•根据实际系统的物理特性列写系统的微分方程。
0 状态、初始条件
d r 0 d 2 r 0 d n1 r 0 k r 0 r 0 , , , 2 n 1 dt dt dt
0 状态、起始状态
跳 变 量
0 , d 2 r 0 , d n1 r 0 dr k r 0 r 0 , 2 n 1 dt dt dt
将e(t)代入方程的右端，整理得到自由项; 根据自由项函数式形式，设含待定系数特解； 将特解函数式代入原方程； 比较系数得出待定系数，从而得到特解。
n n 1
例2-4
d 2 r t d r t d et 给定微分方程式 2 3r t et 2 dt dt dt 如果已知：1 et t 2 ; 2 et et , 分别求两种情况下此 方程的特解。
强迫响应：由外加激励产生的响应。rp(t)
微分方程的解：完全解＝齐次解+特解 系统的响应： 全响应＝自由响应＋强迫响应
自然频率：特征方程的特征根
i (i 1,2,n)称为系统的 固有频率，自由频率， 自然频率
r t Ai e
n i 1
it
rp t
问题：要得到完全解，还需要确定系数Ai？
3 B1t 2 4 B1 3 B2 t 2 B1 2 B2 3 B3 t 2 2t
等式两端各对应幂次的系数应相等，于是有
3 B1 1 4 B1 3 B2 2 2 B 2 B 3 B 0 2 3 1
联解得到
1 2 B1 , B2 , 3 9 10 B3 27
四、系统的三个状态：
0时刻：定义激励加进去的时刻为0时刻。
0－状态：激励未加入之前的状态。
0＋状态：激励加入之后刚开始的状态。
0

0
O

理解：
微分方程的解r(t)的t域空间：t 0
t
r t Ai e
n i 1
it
rp t
t 0
0
O
0 t
要确定Ai，需要知道r(t)在0＋时刻的初始条件
S R1 1 2
1
e t 4 V
iC t i t C 1F
i L t
1 L H 4 3 R2 2
et 2 V
（1）列写电路的微分方程
根据电路形式，列回路方程
R1i t vC t et
d vC t L i L t i L t R2 dt 列结点电压方程 d i t C vC t i L t dt 先消去变量vC t ,再消去变量i L t , 把电路参数代入整理得
系统的特征方程 2 7 10 0 即 2 5 0 特征根 1 2, 2 5
齐次解 ih t A1e 2 t A2e 5 t t 0 特解 由于t 0 时 et 4V 方程右端自由项为 4 4,因此令特解 ip t B, 代入上式 16 8 10B 4 4 B 10 5 要求系统的完全响应为 8 2t 5t t 0 i t A1e A2e 5
•对于电路系统，主要是根据元件特性约束和网络拓扑 约束列写系统的微分方程。 元件特性约束：表征元件特性的关系式。例如二端元 件电阻、电容、电感各自的电压与电流的关系以及四 端元件互感的初、次级电压与电流的关系等等。 网络拓扑约束：由网络结构决定的电压电流约束关系, KCL，KVL。
例2-2-1
电阻 电感
说
明
•对于一个具体的电网络，系统的 0 状态就是系统中 储能元件的储能情况; •一般情况下换路期间电容两端的电压和流过电感中的 电流不会发生突变。这就是在电路分析中的换路定则：
vC 0 vC 0 , iL 0 iL 0 .
•但是当有冲激电流强迫作用于电容或有冲激电压强迫 作用于电感，0 到0 状态就会发生跳变。
(2)
d 2 r t d r t d et 2 3r t et 2 dt dt dt
当et e t时, 很明显, 可选r t Be t。
这里，B是待定系数。代入方程后有：
Be 2 Be 3 Be e e
t t t t
t
1 B 3
所以，特解为
1 2 2 10 rp t t t 3 9 27
几种典型激励函数相应的特解
激励函数e(t) 响应函数r(t)的特解
E (常数)
B(常数)
B1t p B2 t p1 B p t B p1
tp e t
cos t sin t
t pe t tFra Baidu bibliotekpe t sin t
Be t
B1 cos t B2 sin t
p p 1 1 2
B t B t cos t D t D t
p 1 2
B p t B p 1
e
t
p 1
D p t D p 1 e t sin t

cos t
C，E均为常数，此方程为常系数的n阶线性常微分方程。 阶次：r(t)的最高阶次减去其最低阶次。
三、系统微分方程求解 时域经典法：
微分方程的解： 完全解＝齐次解 + 特解
r (t ) rh (t ) rp (t )
(1)齐次解
满足方程：
d n rh (t ) d n1 rh (t ) d rh (t ) C0 C1 Cn1 Cn rh (t ) 0 n n 1 dt dt dt
n
it
有k次重根时：rh (t ) ( A1t
k 1
A2t
2t
Ak )e
nt
Ak 1e
t
An e
有复数根（成对出现）时： j rh (t) e (c1 cost c2 sin t )
其中有n个待定系数：Ai
例2-3
d3 d2 d 求微分方程 3 r t 7 2 r t 16 r t 12r t et dt dt dt 的齐次解。
d2 d d2 d i t 7 i t 10i t 2 et 6 et 4et (1) dt2 dt dt dt
(2)求系统的完全响应
d2 d d2 d i t 7 i t 10i t 2 et 6 et 4et 2 dt dt dt dt
1 t 于是，特解为 e 3
上面求出的齐次解h t 和特解rp t 相加即得方程的完全解 r
r t rh (t ) rp (t )
Ae
i 1 i
n
it
rp t
解的区间：0+≤t<∞
微分方程的解： 完全解＝齐次解+特解
三个概念： 自由响应：由系统自身特性决定。rh(t)
k
m
f
Fs
牵引，弹簧的另一端固定在壁上。刚体与地面间的摩 擦力为 f ，外加牵引力为 FS t ，其外加牵引力FS t 与 刚体运动速度 v t 间的关系可以推导出为 d FS t d 2 v t d v t m f kv t 2 dt dt dt 这是一个代表机械位移系统的二阶微分方程。 两个不同性质的系统具有相同的数学模型，都是线 性常系数微分方程，只是系数不同。对于复杂系统，则 可以用高阶微分方程表示。
求并联电路的端电压 v t 与激励 i s t 间的关系。
1 iR t v t R 1 t i L t v d L d v t iC t C dt
iR iL L C a
ic
i s t
R
v t

b
电容
根据KCL

§2.3 起始点的跳变 从0－到0＋状态的转换
r (0 ) r (0 )
(k ) (k )
k 0,1,, n 1
0 t 0 其它
u(t )
引入函数：
1 u (t ) 0
相对单位跳变函数
0

0 O

t
一、经典解法求跳变量
例2-5
给定如图所示电路， 0开关S处于1的位置而且已经 t 达到稳态。当 0时S由1转向2。建立电流i ( t )的微分 t 方程并求解i ( t )在t 0时的变化。
i R t i L t iC t iS t
代入上面元件伏安关系，并化简有 2 d iS t d v t 1 d v t 1 C v t 2 dt R dt L dt 这是一个代表RCL并联电路系统的二阶微分方程。
例2-2-2
机械位移系统，质量为m的刚体一端由弹簧
系统的特征方程为
特征根
3 7 2 16 12 0
22 3 0
1 2重根 , 2 3 对应的齐次解为
rh t A1t A2 e
2 t
A3e
3t
t 0
(2)特解
满足方程：
d rp (t ) d rp (t ) d rp (t ) C0 C1 Cn1 Cn rp (t ) n n 1 dt dt dt m m 1 d e(t ) d e(t ) d e(t ) E0 E1 Em1 Eme(t ) m m 1 dt dt dt
第二章
连续时间系统的时域分析
教学目的：
1. 掌握时域法求解系统全响应的两种方法。 2. 深刻理解0－到0＋时刻系统状态的含义。 3. 掌握冲激函数匹配法。 4. 掌握单位冲激响应h(t)的求法。 5. 掌握卷积的性质及卷积分析法。
教学难点：
1. 0－到0＋时刻系统状态的变化。 2. 冲激函数匹配法。
特征方程： C0 n C1 n1 Cn1 Cn 0
特征根为： 1 , 2 , n
由特征方程→求出特征根→写出齐次解形式
讨论：
无重根时：rh (t ) A1e A2e
1t 2t
An e
k 2
nt
Ai e
i 1 1t