2016届高考数学大一轮总复习(苏教版)课件—第二章 函数概念与基本初等函数 2.8
(江苏专用)高三数学一轮总复习 第二章 函数与基本初等函数Ⅰ 第七节 对数与对数函数课时跟踪检测 理
课时跟踪检测（十） 对数与对数函数一抓基础，多练小题做到眼疾手快 1．(2015·某某调研)函数y ＝log 232x －1的定义域是________．解析：由log 23(2x －1)≥0⇒0<2x －1≤1⇒12<x ≤1.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间为________．解析：函数y ＝f (x )的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，因为函数y ＝f (x )是由y ＝log 12t 与t ＝g (x )＝x 2－4复合而成，又y ＝log 12t 在(0，＋∞)上单调递减，g (x )在(－∞，－2)上单调递减，所以函数y ＝f (x )在(－∞，－2)上单调递增．答案：(－∞，－2)3．(2016·某某模拟)已知a ＝log 23＋log 23，b ＝log 29－log 23，c ＝log 32，则a ，b ，c 的大小关系是________．解析：因为a ＝log 23＋log 23＝log 233＝32log 23>1，b ＝log 29－log 23＝log 233＝a ，c ＝log 32<log 33＝1.答案：a ＝b >c4．(2015·某某高考)lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝________.解析：lg 52＋2lg 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝lg 5－lg 2＋2lg 2－2＝(lg 5＋lg 2)－2＝1－2＝－1. 答案：－15．函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为______，单调递增区间为______． 解析：作出函数y ＝log 2x 的图象，将其关于y 轴对称得到函数y ＝log 2|x |的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y ＝log 2|x ＋1|的图象(如图所示)．由图知，函数y ＝log 2|x ＋1|的单调递减区间为(－∞，－1)，单调递增区间为(－1，＋∞)．答案：(－∞，－1) (－1，＋∞)二保高考，全练题型做到高考达标1．函数f (x )＝|x －2|－ln x 在定义域内零点的个数为________． 解析：在同一坐标系中分别作函数y ＝|x －2|与y ＝ln x 的图象如图所示．由图可知y ＝|x －2|与y ＝ln x 有2个交点，所以函数f (x )零点的个数为2.答案：22．(2016·某某五校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3－x＋1，x ≤0，则f (f (1))＋f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312的值是________．解析：由题意可知f (1)＝log 21＝0，f (f (1))＝f (0)＝30＋1＝2，f ⎝⎛⎭⎪⎫log 312＝331-log 2＋1＝33log 2＋1＝2＋1＝3，所以f (f (1))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 312＝5.答案：53．设a ＝log 323，b ＝log 525，c ＝log 727，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析：因为log 323＝log 32－1，log 525＝log 52－1，log 727＝log 72－1，log 32>log 52>log 72，故a >b >c .答案：a >b >c4．计算：log 2.56.25＋lg 0.001＋ln e ＋2－1＋log 23＝______. 解析：原式＝log 2.5(2.5)2＋lg 10－3＋ln e 12＋2log 232 ＝2－3＋12＋32＝1.答案：15．若函数f (x )＝log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋32x (a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞内恒有f (x )>0，则f (x )的单调递增区间为________．解析：令M ＝x 2＋32x ，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞时，M ∈(1，＋∞)，f (x )>0，所以a >1.所以函数y ＝log a M 为增函数，又M ＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋342－916，因此M 的单调递增区间为⎝⎛⎭⎪⎫－34，＋∞.又x 2＋32x >0，所以x >0或x <－32.所以函数f (x )的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)6．如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log22x ，y ＝x 12，y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________．解析：由条件得，点A 在函数y ＝log22x 的图象上，从而由2＝2，得x A ＝12.而点B 在函数y ＝x 12上，从而2＝x 12，解得x B ＝4.于是点C 的横坐标为4.又点C 在函数y ＝⎝⎛⎭⎪⎫22x上，从而y C ＝14，所以点D 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14 7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值X 围是______．解析：问题等价于函数y ＝f (x )与y ＝－x ＋a 的图象有且只有一个交点，结合函数图象可知a >1.答案：(1，＋∞)8．(2016·某某四市调研)函数f (x )＝log 2x ·log 2(2x )的最小值为______．解析：依题意得f (x )＝12log 2x ·(2＋2log 2x )＝(log 2x )2＋log 2x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫log 2x ＋122－14≥－14，当且仅当log 2x ＝－12，即x ＝22时等号成立，因此函数f (x )的最小值为－14.答案：－149．已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝log 12x .(1)求函数f (x )的解析式； (2)解不等式f (x 2－1)>－2.解：(1)当x <0时，－x >0，则f (－x )＝log 12(－x )．因为函数f (x )是偶函数，所以f (－x )＝f (x )． 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧log 12x ，x >0，0，x ＝0，log 12－x ，x <0.(2)因为f (4)＝log 124＝－2，f (x )是偶函数， 所以不等式f (x 2－1)>－2可化为f (|x 2－1|)>f (4)． 又因为函数f (x )在(0，＋∞)上是减函数， 所以|x 2－1|<4，解得－5<x <5， 即不等式的解集为(－5，5)．10．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，(a >0且a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明； (3)当a >1时，求使f (x )>0的x 的解集． 解：(1)要使函数f (x )有意义．则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x >0，解得－1<x <1.故所求函数f (x )的定义域为(－1,1)． (2)证明：由(1)知f (x )的定义域为(－1,1)， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a >1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )>0⇔x ＋11－x>1，解得0<x <1.所以使f (x )>0的x 的解集是(0,1). 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值X 围是________．解析：当0<a <1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是减函数，所以log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫43－a >0，即0<43－a <1，解得13<a <43，故13<a <1；当a >1时，函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上是增函数，所以log a (1－a )>0，即1－a >1，解得a <0，此时无解．综上所述，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 2．(2016·某某中学月考)已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x (0<a <1)为奇函数，当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域是(－∞，1]，则a ＋b 的值为________．解析：由1－xb ＋x >0，解得－b <x <1(b >0)．又奇函数定义域关于原点对称，故b ＝1.所以f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．又g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域是(－∞，1]，故f (a )＝1，此时g (a )＝a ，即1－a a ＋1＝a ，解得a ＝2－1(负根舍去)，所以a ＋b ＝ 2. 答案： 23．已知函数f (x )＝3－2log 2x ，g (x )＝log 2x .(1)当x ∈[1,4]时，求函数h (x )＝[f (x )＋1]·g (x )的值域；(2)如果对任意的x ∈[1,4]，不等式f (x 2)·f (x )>k ·g (x )恒成立，某某数k 的取值X 围．解：(1)h (x )＝(4－2log 2x )·log 2x ＝－2(log 2x －1)2＋2， 因为x ∈[1,4]，所以log 2x ∈[0,2]， 故函数h (x )的值域为[0,2]． (2)由f (x 2)·f (x )>k ·g (x )， 得(3－4log 2x )(3－log 2x )>k ·log 2x ，令t ＝log 2x ，因为x ∈[1,4]，所以t ＝log 2x ∈[0,2]， 所以(3－4t )(3－t )>k ·t 对一切t ∈[0,2]恒成立， ①当t ＝0时，k ∈R ；②当t ∈(0,2]时，k <3－4t 3－tt恒成立，即k <4t ＋9t－15，因为4t ＋9t ≥12，当且仅当4t ＝9t ，即t ＝32时取等号，所以4t ＋9t－15的最小值为－3.综上，实数k 的取值X 围为(－∞，－3)．。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第5课 函数的单调性与最值教师用书
第5课函数的单调性与最值[最新考纲]内容要求A B C函数的单调性√函数的最值√1．函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间I⊆A，如果对于区间I内的任意两个值x1，x2当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是增函数当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间I上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在区间I上具有单调性，区间I叫作y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件①对于任意的x∈I，都有f(x)≤M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M①对于任意的x∈I，都有f(x)≥M；②存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M是y＝f(x)的最大值M是y＝f(x)的最小值1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于函数f (x )，x ∈D ，若对任意x 1，x 2∈D ，x 1≠x 2且(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在区间D 上是增函数．( )(2)函数y ＝1x的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．( )(3)函数y ＝|x |是R 上的增函数．( ) (4)所有的单调函数都有最值．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)× (4)×2．(2016·高考改编)下列函数中，在区间(－1,1)上为减函数的是________．(填序号) ①y ＝11－x ；②y ＝cos x ； ③y ＝ln(x ＋1)； ④y ＝2－x.④ [①中，y ＝11－x 在(－∞，1)和(1，＋∞)上为增函数，故y ＝11－x 在(－1,1)上为增函数；②中，y ＝cos x 在(－1,1)上先增后减；③中，y ＝ln(x ＋1)在(－1，＋∞)上为增函数，故y ＝ln(x ＋1)在(－1,1)上为增函数；④中，y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在R 上为减函数，故y ＝2－x在(－1,1)上是减函数．]3．(教材改编)已知函数f (x )＝2x －1，x ∈[2,6]，则f (x )的最大值为________，最小值为________．2 25 [可判断函数f (x )＝2x －1在[2,6]上为减函数，所以f (x )max ＝f (2)＝2，f (x )min ＝f (6)＝25.]4．设函数f (x )＝x 2－2x ，x ∈[－2，a ]，若函数的最小值为g (a )，则g (a )＝________.⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1－1，a ≥1 [∵f (x )＝x 2－2x ＝(x －1)2－1，∴当a ≥1时，函数在[－2,1]上递减，在[－1，a ]上递增，g (a )＝－1.当－2<a <1时，函数在[－2，a ]上递减，∴g (a )＝a 2－2a ，综上可知，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ，－2<a <1，－1，a ≥1.]5．(教材改编)已知函数f (x )＝x 2－2ax －3在区间[1,2]上具有单调性，则实数a 的取值X 围为________．(－∞，1]∪[2，＋∞) [∵f (x )＝x 2－2ax －3＝(x －a )2－a 2－3， ∴f (x )关于x ＝a 对称．要使y ＝f (x )在区间[1,2]上具有单调性， 只需a ≥2或a ≤1.]函数单调性的判断(1)函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为________． (2)试讨论函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)的单调性．(1)(－∞，－1) [由x 2－1＞0得x ＞1或x ＜－1，即函数f (x )的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)．令t ＝x 2－1，因为y ＝log 2t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，t ＝x 2－1在x ∈(－∞，－1)上是减函数，所以函数f (x )＝log 2(x 2－1)的单调递减区间为(－∞，－1)．](2)法一：由解析式可知，函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)．在(0，＋∞)内任取x 1，x 2，令0＜x 1＜x 2，那么f (x 2)－f (x 1)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋k x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋k x 1＝(x 2－x 1)＋k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2－1x 1＝(x 2－x 1)x 1x 2－kx 1x 2.因为0＜x 1＜x 2，所以x 2－x 1＞0，x 1x 2＞0. 故当x 1，x 2∈(k ，＋∞)时，f (x 1)＜f (x 2)， 即函数在(k ，＋∞)上单调递增． 当x 1，x 2∈(0，k )时，f (x 1)＞f (x 2)， 即函数在(0，k )上单调递减．考虑到函数f (x )＝x ＋k x(k ＞0)是奇函数，在关于原点对称的区间上具有相同的单调性，故在(－∞，－k )上单调递增，在(－k ，0)上单调递减．综上，函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．法二：f ′(x )＝1－k x2.令f ′(x )＞0得x 2＞k ，即x ∈(－∞，－k )或x ∈(k ，＋∞)，故函数的单调增区间为(－∞，－k )和(k ，＋∞)．令f ′(x )＜0得x 2＜k ，即x ∈(－k ，0)或x ∈(0，k )，故函数的单调减区间为(－k ，0)和(0，k )．故函数f (x )在(－∞，－k )和(k ，＋∞)上单调递增，在(－k ，0)和(0，k )上单调递减．[规律方法] 1.利用定义判断或证明函数的单调性时，作差后应注意差式的分解变形要彻底．2．利用导数法证明函数的单调性时，求导运算及导函数符号判断要准确．易错警示：求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间，如本题(1)． [变式训练1] 讨论函数f (x )＝axx 2－1(a >0)在x ∈(－1,1)上的单调性.【导学号：62172024】[解] 设－1<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝ax 1x 21－1－ax 2x 22－1＝ax 1x 22－ax 1－ax 2x 21＋ax 2x 21－1x 22－1＝a x 2－x 1x 1x 2＋1x 21－1x 22－1.∵－1<x 1<x 2<1，a >0，∴x 2－x 1>0，x 1x 2＋1>0，(x 21－1)(x 22－1)>0. ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故函数f (x )在(－1,1)上为减函数.利用函数的单调性求最值已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )＞0恒成立，试某某数a 的取值X 围．[思路点拨] (1)先判断函数f (x )在[1，＋∞)上的单调性，再求最小值；(2)根据f (x )min＞0求a 的X 围，而求f (x )min 应对a 分类讨论．[解] (1)当a ＝12时，f (x )＝x ＋12x ＋2，f ′(x )＝1－12x 2＞0，x ∈[1，＋∞)，即f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴f (x )min ＝f (1)＝1＋12×1＋2＝72.(2)f (x )＝x ＋ax＋2，x ∈[1，＋∞)．法一：①当a ≤0时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数．f (x )min ＝f (1)＝a ＋3.要使f (x )＞0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，只需a ＋3＞0， ∴－3＜a ≤0.②当0＜a ≤1时，f (x )在[1，＋∞)内为增函数，f (x )min ＝f (1)＝a ＋3，∴a ＋3＞0，a ＞－3，∴0＜a ≤1.综上所述，f (x )在[1，＋∞)上恒大于零时，a 的取值X 围是(－3,1]． 法二：f (x )＝x ＋a x＋2＞0，∵x ≥1，∴x 2＋2x ＋a ＞0，∴a ＞－(x 2＋2x )，而－(x 2＋2x )在x ＝1时取得最大值－3，∴－3＜a ≤1，即a 的取值X 围为(－3,1]．[规律方法] 利用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．请思考，若函数f (x )在闭区间[a ，b ]上是减函数呢？ [变式训练2] (2016·高考)函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．2 [法一：∵f ′(x )＝－1x －12，∴x ≥2时，f ′(x )＜0恒成立，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2. 法二：∵f (x )＝xx －1＝x －1＋1x －1＝1＋1x －1， ∴f (x )的图象是将y ＝1x的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的．∵y ＝1x在[2，＋∞)上单调递减，∴f (x )在[2，＋∞)上单调递减，故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为f (2)＝2.法三：由题意可得f (x )＝1＋1x －1. ∵x ≥2，∴x －1≥1，∴0＜1x －1≤1， ∴1＜1＋1x －1≤2，即1＜x x －1≤2. 故f (x )在[2，＋∞)上的最大值为2.]函数单调性的应用☞角度1 比较大小设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是________.【导学号：62172025】b <a <c [因为函数y ＝0.6x 是减函数，0<0.6<1.5，所以1>0.60.6>0.61.5，即b <a <1.因为函数y ＝x 0.6在(0，＋∞)上是增函数，1<1.5，所以1.50.6>10.6＝1，即c >1.综上，b <a <c .]☞角度2 解不等式已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则不等式f (2x －1)＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的解集是________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，2x －1＜13，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≥12，x ＜23，所以12≤x ＜23.]☞角度3 求参数的取值X 围(1)如果函数f (x )＝ax 2＋2x －3在区间(－∞，4)上是单调递增的，则实数a的取值X 围是________．(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x －1，x ≤1，log a x ，x ＞1，若f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值X 围为________．(1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0 (2)(2,3] [(1)当a ＝0时，f (x )＝2x －3，在定义域R 上是单调递增的，故在(－∞，4)上单调递增；当a ≠0时，二次函数f (x )的对称轴为x ＝－1a，因为f (x )在(－∞，4)上单调递增， 所以a ＜0，且－1a ≥4，解得－14≤a ＜0.综上所述，实数a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14，0.(2)要使函数f (x )在R 上单调递增，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a －2＞0，f 1≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，a ＞2，a －2－1≤0，解得2＜a≤3，即实数a的取值X围是(2,3]．][规律方法] 1.比较大小．比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．2．解不等式．在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域．3．利用单调性求参数．视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．易错警示：(1)若函数在区间[a，b]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．[思想与方法]1．判断函数单调性的四种方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、下结论．(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时为增函数，不同时为减函数．(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性判断函数单调性．(4)导数法：利用导函数的正负判断函数单调性． 2．求函数最值的常用方法(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值．(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． [易错与防X]1．易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．2．分段函数单调性不仅要考虑各段的单调性，还要注意衔接点．3．函数在两个不同的区间上单调性相同，要分开写，用“，”隔开，不能用“∪”连结．课时分层训练(五) A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．函数y ＝(2k ＋1)x ＋b 在R 上是减函数，则k 的取值X 围是________.【导学号：62172026】⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12 [由题意知2k ＋1＜0，得k ＜－12.] 2．给定函数：①y ＝x ；②y ＝log 12(x ＋1)；③y ＝|x －1|；④y ＝2x ＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是________．②③ [①y ＝x 在区间(0,1)上单调递增；②y ＝log 12(x ＋1)在区间(0,1)上单调递减；③y ＝|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ≥1，1－x ，x <1，在区间(0,1)上单调递减；④y ＝2x ＋1在区间(0,1)上单调递增．]3．已知函数f (x )＝|x ＋a |在(－∞，－1)上是单调函数，则a 的取值X 围是________. 【导学号：62172027】(－∞，1] [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，x ≥－a ，－x －a ，x <－a ，即函数f (x )在(－∞，－a )上是减函数，在[－a ，＋∞)上是增函数，要使函数f (x )在(－∞，－1)上单调递减，则－a ≥－1，即a ≤1.]4．函数f (x )＝2xx ＋1在[1,2]上的最大值和最小值分别是________．43，1 [f (x )＝2x x ＋1＝2x ＋1－2x ＋1＝2－2x ＋1在[1,2]上是增函数，∴f (x )max ＝f (2)＝43，f (x )min ＝f (1)＝1.]5．设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x 2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x 2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增．由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|，两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0，解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值X 围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1.] 6．函数f (x )＝－(x －3)|x |的递增区间是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32 [f (x )＝－(x －3)|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋3x ，x ＞0，x 2－3x ，x ≤0.作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.]7．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1的值域为________．(－∞，2) [当x ≥1时，f (x )＝log 12x ≤log 121＝0.当x <1时，f (x )＝2x∈(0,2)， ∴f (x )的值域为(－∞，2)．]8．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －2x ，x ≥2，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值X 围为________．⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，138 [由f x 1－f x 2x 1－x 2<0可知f (x )在R 上是减函数，故⎩⎪⎨⎪⎧a －2<0，⎝ ⎛⎭⎪⎫122－1≥2a －2，解得a ≤138.]9．已知函数y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，且在(1，＋∞)上单调递增，设a ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为________. 【导学号：62172028】b <a <c [∵y ＝f (x )的图象关于x ＝1对称，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52. 又2<52<3，且f (x )在(1，＋∞)上单调递增，∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52<f (3)， ∴f (2)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<f (3)， 即b <a <c .]10．f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调增函数，满足f (xy )＝f (x )＋f (y )，f (3)＝1，则不等式f (x )＋f (x －8)≤2的解集为________．(8,9] [因为2＝1＋1＝f (3)＋f (3)＝f (9)，由f (x )＋f (x －8)≤2可得f [x (x －8)]≤f (9)，f (x )是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x >0，x －8>0，x x －8≤9，解得8<x ≤9.]二、解答题11．(2017·某某模拟)已知函数f (x )＝1a －1x(a >0，x >0)，(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2，求a 的值． [解] (1)证明：任取x 1>x 2>0，则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1>x 2>0，∴x 1－x 2>0，x 1x 2>0，∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2上为增函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2，解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a (x ≠a )． (1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)上单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)上单调递减，求a 的取值X 围.【导学号：62172029】[解] (1)证明：设x 1＜x 2＜－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2 ＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2. ∵(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 1)＜f (x 2)，∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增．(2)f (x )＝xx －a ＝x －a ＋a x －a ＝1＋a x －a ， 当a ＞0时，f (x )在(－∞，a )，(a ，＋∞)上是减函数，又f (x )在(1，＋∞)内单调递减，∴0＜a ≤1，故实数a 的取值X 围是(0,1]．B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于________．6 [由已知得当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2. ∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数，∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.]2．(2017·某某模拟)已知函数y ＝log 12(x 2－ax ＋a )在区间(－∞，2]上是增函数，则实数a 的取值X 围是________．[22，22＋2) [设y ＝log 12t ，t ＝x 2－ax ＋a . 因为y ＝log 12t 在(0，＋∞)上是单调减函数，要想满足题意，则t ＝x 2－ax ＋a 在(－∞，2]上为单调减函数，且t min >0，故需⎩⎪⎨⎪⎧ a 2≥2，22－2a ＋a >0，解得22≤a <2＋2 2.] 3．规定符号“*”表示一种两个正实数之间的运算，即a *b ＝ab ＋a ＋b ，a ，b 是正实数，已知1*k =3，求函数f （x ）=k *x 的值域.[解] 由题意知1]k )＋1＋k ＝3，解得k ＝1或k ＝－2(舍去)，所以f (x )＝k *x ＝1]x )＋x ＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫x ＋122＋34，因为x ＞0，所以f (x )＞1，即f (x )的值域是(1，＋∞)．4．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．[解] (1)令x 1＝x 2>0，代入得f (1)＝f (x 1)－f (x 1)＝0，故f (1)＝0.(2)证明：任取x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1>x 2，则x 1x 2>1，当x >1时，f (x )<0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2<0，即f (x 1)－f (x 2)<0，因此f (x 1)<f (x 2)，∴函数f (x )在区间(0，＋∞)上是单调递减函数．(3)∵f (x )在(0，＋∞)上是单调递减函数，∴f (x )在[2,9]上的最小值为f (9)． 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫93＝f (9)－f (3)， 而f (3)＝－1，∴f (9)＝－2.∴f (x )在[2,9]上的最小值为－2.。
高考数学一轮总复习 第2章 函数的概念与基本初等函数 第二节 函数的基本性质课件(理)
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 偶函数 都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)是偶 关于
y轴
对
称
函数
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x， 都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)是奇 关于
原点
对
称
函数
2.周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使 得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝ f(x) ，那么就 称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最 小的正数，那么这个 最小 正数就叫做f(x)的最小正周期.
数f(x)在区间D上是减函数
(2)单调性、单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或 减函数 ，则称函数f(x)在这 一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间. 2.函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
对于任意x∈I，都有 f(x)≤M ；
2
减函数，故 f(x)的单调递增区间为(－∞，－1).故选 C.
答案 C [点评] 判断函数的单调性，应首先求出函数的定义域，在定
义域内求解.
函数的奇偶性解题方略 奇偶性的判断 (1)定义法
答案 [－2，＋∞)
►单调性的两个易错点：单调性；单调区间.
(2)[函数的单调递增(减)区间有多个时，不能用并集表示，：可
以 用 逗 号 或 “ 和 ”] 函 数
f(x)
＝xBiblioteka ＋1 x的
单
调
递
增
(江苏专版)高考数学一轮复习第二章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第五节指数与指数函数实用课件文
答案：－1967
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39
2. a 2 a－3÷ 3 a－73 a13＝________.
解析：原式＝(a
9 2
a
3 2
)
1 3
÷(a
7 3
a
13 3
)
1 2
＝(a3)
1 3
÷(a2)
1 2
＝a÷a＝1.
答案：1
4
1
3. 4b
a 3 －8a 3 b
2 3
＋23
ab＋a
2 3
÷a
2 3
3
1．指数函数的图象
函数
y＝ax(a＞0，且 a≠1)
0＜a＜1
a＞1
图象
在 x 轴_上__方_，过定点_(0_,_1_)
图象
特征 当 x 逐渐增大时，图象逐渐 当 x 逐渐增大时，图象
下___降_
逐渐_上__升_
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2.指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y＝ax(a＞0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键 点：(1，a)，(0,1)，－1，1a. 3．指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx 的图 象，底数 a，b，c，d 与 1 之间的大小关系为 c＞d＞1＞a＞b.
2
1
2
又因为 a＝2 3 ＝4 3 ，c＝25 3 ＝5 3 ，
2
由函数 y＝x 3 在(0，＋∞)上为增函数知，a＜c.
综上得 b＜a＜c. [答案] c＞a＞b
第二十九页，共45页。
[方法技巧] 比较指数式大小的方法
比较两个指数式大小时，尽量化同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利 用指数函数性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图 象比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助 1,0 等中间量进行 比较．
高考数学大一轮复习第2章函数的概念与基本初等函数Ⅰ第1讲函数及其表示课件理
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
C方法帮∙素养大提升
方法 分类讨论思想在函数中的应用
方法 分类讨论思想在函数中的应用
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
素养提升 当自变量不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
叫作函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫作值域. 定义域、对应关系、值域是构成函数的三要素.
说明 若两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,则这两个函数 是相同函数.
理科数学 第二章：函数的概念与基本初等函数Ⅰ
3.函数的表示法 函数的表示法有三种,分别为解析法、列表法和图象法.
注意 函数图象的特征:与x轴垂直的直线与其最多有一个公共点.利用 这个特征可以判断一个图形能否作为一个函数的图象.
注意 (1)函数f(g(x))的定义域指的是x的取值范围,而不是g(x)的取值 范围; (2)求函数的定义域时,对函数解析式先不要化简; (3)求出函数的定义域后,一定要将其写成集合或区间的形式;
归纳总结 y=f(x)的定义域的类型及方法
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
注意 (1)分式中,分母不为0; (2)偶次方根中,被开方数非负;
示例3 已知二次函数f(2x+1)=4x2-6x+5,则f(x)=
.
思维导引 已知复合函数f(g(x))求f(x),可用换元法或配凑法求解.由于f(x)
是二次函数,也可采用待定系数法求解.
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
方法总结
理科数学 第二章：函数概念与基本初等函数Ⅰ
考点2 分段函数（重点）
高考数学一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 第2讲 函数的定义域与值域课件 文
须mΔ>＝0，（4m）2－4×m×3<0，
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或mΔ<＝0，（4m）2－4×m×3<0，
即m>0，
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已知函数的值域求参数的值或取值范围问题，通常按求函数 值域的方法求出其值域，然后依据已知信息确定其中参数的 值或取值范围．
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若函数 y＝mx2m＋x4－m1x＋3的定义域为 R，则
实数 m 的取值范围是___0_，__34__．
【解析】 (1)要使函数 y＝ 3－2x－x2有意义， 则 3－2x－x2≥0， 解得－3≤x≤1， 则函数 y＝ 3－2x－x2的定义域是[－3，1]． (2)要使函数 g(x)＝（f（x－2x1））0有意义，则必须有1x≤－21x≠≤02，，
所以12≤x<1，故函数 g(x)的定义域为12，1.
0≤x＋12≤2， 0≤x－12≤2，
解得12≤x≤32，
所以函数 g(x)的定义域是12，32.
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求函数的值域(高频考点) 求下列函数的值域． (1)y＝x2＋2x(x∈[0，3])； (2)y＝11－＋xx22； (3)y＝x＋4x(x<0)； (4)f(x)＝x－ 1－2x.
或m<0，
解得
m（4m－3）<0 m（4m－3）<0.
所以 1≤f(x)≤10.
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 4 第4讲 二次函数与幂函数课件 理
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2．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式：f(x)＝_____ax_2_＋__bx_＋__c_(a_≠__0_)_____． ②顶点式：f(x)＝_____a_(x_－__m_)_2＋__n_(a_≠__0_)____． ③零点式：f(x)＝____a_(x_－__x_1)_(x_－__x_2)_(a_≠__0_)___．
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法二：(利用顶点式) 设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． 因为 f(2)＝f(－1)， 所以抛物线的对称轴为 x＝2＋（2－1）＝12. 所以 m＝12.又根据题意函数有最大值 8，所以 n＝8， 所以 f(x)＝ax－122＋8. 因为 f(2)＝－1，所以 a2－122＋8＝－1， 解得 a＝－4，所以 f(x)＝－4x－122＋8＝－4x2＋4x＋7.
调递减，则 a 的取值范围是( )
A．a≥3
B．a≤3
C．a<－3
D．a≤－3
解析：选 D.函数 f(x)＝x2＋4ax 的图象是开口向上的抛物线，其 对称轴是 x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知， 区间(－∞，6)应在直线 x＝－2a 的左侧， 所以－2a≥6，解得 a≤－3，故选 D.
4a .( )
12/11/2021
第十页，共四十九页。
(5)二次函数 y＝ax2＋bx＋c，x∈R 不可能是偶函数．( ) (6)在 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a 决定了图象的开口方向和在同 一直角坐标系中的开口大小．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)× (6)√
调 在____－__2_ba_，__＋__∞_____上单 性
(江苏专用)高考数学总复习 第二篇 函数与基本初等函数《第4讲 函数的概念及其表示》课件 理 苏教版
解
(1)由于f(x)＝ x ＝|x|，g(x)＝
2
3
x3 ＝x，故它们的值域及对
应法则都不相同，所以它们不是同一函数． |x| (2)由于函数f(x)＝ 的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g(x) x
1，x≥0， ＝ －1，x＜0
的定义域为R，所以它们不是同一函数． x · x＋1 的定义域为{x|x≥0}，而g(x)＝
第4讲 函数的概念及其表示
基础梳理 1．函数的概念 (1)函数的定义 一般地，设 A，B 是两个
非空
数集，如果按照某种确定
的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都 有
唯一
确定的数 f(x)与之对应；那么就称：f：A→B 为从
集合 A 到集合 B 的一个函数．记作
y＝f(x)，x∈A
内 容
函数的概念 函数的基本性质
要 求 A B √ √ C
指数与对数
函数与基本 指数函数的图象与性质 对数函数的图象与性质 幂函数 函数与方程 函数模型及其应用 √ √
√
√ √
初等函数Ⅰ
√
函数是高中数学的核心内容，函数知识占有极其重要的地 位，而且知识覆盖面广、综合性强，在江苏高考中易、中、难 各档，考题中都会出现.2009年第3题考查函数单调性．第20题 考查求解不等式，求函数的最值.2010年第5题考查函数奇偶 性，第11题考查单调性的运用，第14题考查建立函数模型及求 其最值，第20题考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知 识.2011年第11题考查分段函数求值，第2题考查对数函数的定 义域，第17题考查二次函数的性质和最值，最后一道函数题压 轴已经变成江苏高考的特色之一．
【例1】►试判断以下各组函数是否表示同一函数： (1)f(x)＝ x ，f(x)＝ x3；
2016高考数学大一轮复习 2.7函数的图象课件 理 苏教版
－2x－1≤x≤0，
例 2 (2)已知 f(x)＝
x0<x≤1，
则下列函数的图象
正确的为________.(填序号)
－2x－1≤x≤0，
例 2 (2)已知 f(x)＝
x0<x≤1，
则下列函数的图象
正确的为________.(填序号)
解析 先在坐标平面内画出函数y＝f(x)的图象，再将函数y＝ f(x)的图象向右平移1个单位长度即可得到y＝f(x－1)的图象， 因此①正确； 作函数y＝f(x)的图象关于y轴的对称图形，即可得到y＝f(－x) 的图象，因此②正确；
x＋1，x∈[－1，0]， 综上可知 f(x)＝41x－22－1，x∈0，＋∞.
题型一 作函数的图象
例1 (1)y＝|lg x|；
解析
思维升华
题型一 作函数的图象
例1 (1)y＝|lg x|；
解析
思维升华
lg x x≥1， 解 y＝－lg x 0<x<1
图象如图①.
例1 (3)y＝x2－2|x|－1;
解析
思维升华
(1) 常 见 的 几 种 函 数 图 象
如二次函数、反比例函数、
指数函数、对数函数、幂 函数、形如y＝x＋m (m>0)
x 的函数是图象变换的基础；
例1 (3)y＝x2－2|x|－1;
解析
思维升华
(2) 掌 握 平 移 变 换 、 伸 缩变换、对称变换等常 用方法技巧，可以帮助 我们简化作图过程.
解 当x≥2， 即x－2≥0时， y＝(x－2)(x＋1)＝x2－x－2 ＝(x－12)2－94； 当x<2，即x－2<0时，
跟踪训练1 作出下列函数的图象. (1)y＝|x－2|·(x＋1)；
2016届数学课件 江苏专用一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 探究课1
解析 f 43＝12，f －43＝f －13＋1＝f 23＋2＝52，f 43＋ f －43＝3. 答案 3
热点突破
第五页，编辑于星期五：十八点 五十六分。
热点二 函数性质的三个核心点 函数的性质是基本初等函数最核心的知识，主要包括：函数的 单调性、周期性、奇偶性、有界性，以及函数图象的对称性、 函数的定义域和值域等．对于函数性质问题，重在灵活运用， 巧妙构建，便可实现函数问题的巧思妙解．
热点突破
第十四页，编辑于星期五：十八点 五十六分。
审题流程 (1)一审：抓住 f(2)＝0，代换为 f(x－1)＞f(2)． 二审：利用偶函数的性质，将不等式转化． 三审：利用函数 f(x)在[0，＋∞)上的单调性转化为自变量之间 的大小关系求解． (2)一审：求函数的周期． 二审：利用周期转化求函数值． 三审：求 f(0)＝？ f(2)＝？
热点突破
第十二页，编辑于星期五：十八点 五十六分。
【训练 3】 (2014·山东实验中学诊断)下列函数：①f(x)＝1x； ②f(x)＝ －x；③f(x)＝2－x－2x；④f(x)＝－tan x．其中在其定 义域内，既是奇函数又是减函数的是________(填序号)．
解析 f(x)＝1x在定义域上是奇函数，但不单调；f(x)＝ －x为 非奇非偶函数；f(x)＝－tan x 在定义域上是奇函数，但不单调． 答案 ③
高考数学大一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I
第二章函数概念与基本初等函数I 2.1 函数及其表示教师用书理苏教版1.函数与映射函数映射两集合A、B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空集合对应法则f：A→B 如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应名称这样的对应叫做从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射记法y＝f(x)(x∈A)f：A→B2.函数的有关概念(1)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y 组成的集合叫做函数y＝f(x)的值域.(2)函数的三要素：定义域、对应法则和值域.(3)函数的表示法表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法.3.分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫做分段函数.分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数.【知识拓展】求函数定义域常见结论(1)分式的分母不为零；(2)偶次根式的被开方数不小于零；(3)对数函数的真数必须大于零；(4)指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z )；(6)零次幂的底数不能为零；(7)实际问题中除要考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求. 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( × )(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数是相等函数.( × ) (3)映射是特殊的函数.( × )(4)若A ＝R ，B ＝{x |x >0}，f ：x →y ＝|x |，其对应是从A 到B 的映射.( × ) (5)分段函数是由两个或几个函数组成的.( × )1.设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ∈－∞，a ，x 2，x ∈[a ，＋∞.若f (2)＝4，则a 的取值范围为________.答案 (－∞，2]解析 因为f (2)＝4，所以2∈[a ，＋∞)，所以a ≤2，则a 的取值范围为(－∞，2]. 2.(2016·江苏)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________. 答案 [－3，1]解析 要使原函数有意义，需满足3－2x －x 2≥0， 解得－3≤x ≤1，故函数的定义域为[－3，1]. 3.(教材改编)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，1，x <0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数， 则f (g (π))的值为________. 答案 0解析 由题意得，g (π)＝0， ∴f (g (π))＝f (0)＝0.4.(教材改编)如果f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0，1时，f (x )＝________.答案1x －1解析令1x ＝t ，则x ＝1t ，代入f (1x )＝x1－x，则有f (t )＝1t 1－1t＝1t －1，∴f (x )＝1x －1.5.已知f (x )＝1x ＋1，则f (f (x ))的定义域为________. 答案 {x |x ≠－2且x ≠－1} 解析 因为f (x )＝1x ＋1， 所以f (x )的定义域为{x |x ≠－1}， 则在f (f (x ))中，f (x )≠－1，即1x ＋1≠－1， 解得x ≠－2，所以f (f (x ))的定义域为{x |x ≠－2且x ≠－1}.题型一 函数的概念 例1 有以下判断：①f (x )＝|x |x 与g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1 x ≥0－1 x <0表示同一函数；②函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝0.其中正确判断的序号是________. 答案 ②③解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |x的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ≥0，－1x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图象没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图象只有一个交点，即y ＝f (x )的图象与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应法则均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－1－⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.思维升华 函数的值域可由定义域和对应法则唯一确定，当且仅当定义域和对应法则都相同的函数才是同一函数.值得注意的是，函数的对应法则是就结果而言的(判断两个函数的对应法则是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应法则算出的函数值是否相同).(1)(2016·南京模拟)下列所给图象中函数图象的个数为________.(2)下列各组函数中，表示同一个函数的是________.①y ＝x －1和y ＝x 2－1x ＋1；②y ＝x 0和y ＝1；③f (x )＝x 2和g (x )＝(x ＋1)2； ④f (x )＝x 2x和g (x )＝x x2.答案 (1)2 (2)④解析 (1)①中当x >0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象，②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象，③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象.(2)①中两个函数的定义域不同；②中y ＝x 0的x 不能取0；③中两函数的对应法则不同. 题型二 函数的定义域问题 命题点1 求函数的定义域 例2 (1)(教材改编)函数f (x )＝x －104－2x的定义域用区间表示为____________.(2)若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是________. 答案 (1)[0，1)∪(1，2) (2)[0，1)解析 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎨⎧x －1≠0，x ≥0，4－2x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠1，x ≥0，x <2.∴函数f (x )的定义域为[0，1)∪(1，2). (2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1， 又x －1≠0，即x ≠1，所以0≤x ＜1，即g (x )的定义域为[0，1). 引申探究例2(2)中，若将“函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]”改为“函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0，2]”，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域为________________. 答案 [12，1)∪(1，32]解析 由函数y ＝f (x ＋1)的定义域为[0，2]， 得函数y ＝f (x )的定义域为[1，3]，令⎩⎪⎨⎪⎧1≤2x ≤3，x －1≠0，得12≤x ≤32且x ≠1， ∴g (x )的定义域为[12，1)∪(1，32].命题点2 已知函数的定义域求参数范围 例3 (1)若函数f (x )2221x ax a+--R ，则a 的取值范围为________.(2)若函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________.答案 (1)[－1，0] (2)[0，3) 解析 (1)因为函数f (x )的定义域为R ， 所以222x ax a+-－1≥0对x ∈R 恒成立，即222x ax a+-≥20，x 2＋2ax －a ≥0恒成立，因此有Δ＝(2a )2＋4a ≤0，解得－1≤a ≤0. (2)因为函数y ＝ax ＋1ax 2＋2ax ＋3的定义域为R ，所以ax 2＋2ax ＋3＝0无实数解，即函数t ＝ax 2＋2ax ＋3的图象与x 轴无交点. 当a ＝0时，函数y ＝3的图象与x 轴无交点； 当a ≠0时，则Δ＝(2a )2－4·3a <0，解得0<a <3. 综上所述，a 的取值范围是[0，3).思维升华 (1)求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题，在解不等式(组)取交集时可借助于数轴，要特别注意端点值的取舍.(2)求抽象函数的定义域：①若y ＝f (x )的定义域为(a ，b )，则解不等式a <g (x )<b 即可求出y ＝f (g (x ))的定义域；②若y ＝f (g (x ))的定义域为(a ，b )，则求出g (x )在(a ，b )上的值域即得f (x )的定义域.(3)已知函数定义域求参数范围，可将问题转化成含参数的不等式，然后求解.(1)已知函数f (x )的定义域为[3，6]，则函数y ＝12(2)log (2)f x x -的定义域为______________. (2)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是______________.答案 (1)[32，2) (2)[0，34)解析 (1)要使函数y ＝12(2)log (2)f x x -有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧3≤2x ≤6，12log 2－x >0⇒⎩⎪⎨⎪⎧32≤x ≤3，0<2－x <1⇒32≤x <2. (2)要使函数的定义域为R ，则mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立. ①当m ＝0时，得到不等式3≠0，恒成立； ②当m ≠0时，要使不等式恒成立，需满足⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝4m 2－4×m ×3<0，即⎩⎪⎨⎪⎧ m >0，m 4m －3<0或⎩⎪⎨⎪⎧m <0，Δ<0，即⎩⎪⎨⎪⎧m <0，m 4m －3<0.解得0<m <34.由①②得0≤m ＜34.题型三 求函数解析式例4 (1)已知f (2x＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1x)x －1，则f (x )＝________.答案 (1)lg2x －1(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13解析 (1)(换元法)令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1). (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17，不论x 为何值都成立，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1x代替x ，得f (1x )＝2f (x )1x－1，将f (1x)＝2f x x－1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，可求得f (x )＝23x ＋13.思维升华 函数解析式的求法(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；(4)消去法：已知f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x ).(1)已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，求f (x )；(2)已知一次函数f (x )满足f (f (x ))＝4x －1，求f (x )； (3)已知f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1，求f (x ). 解 (1)设x －1x ＝t ，则x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (t )＝t 2＋2，∴f (x )＝x 2＋2.(2)设f (x )＝kx ＋b (k ≠0)，则f (f (x ))＝k 2x ＋kb ＋b ， 即k 2x ＋kb ＋b ＝4x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝4，kb ＋b ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝2，b ＝－13或⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝1.故f (x )＝2x －13或f (x )＝－2x ＋1.(3)以－x 代替x 得f (－x )＋3f (x )＝－2x ＋1，∴f (－x )＝－3f (x )－2x ＋1，代入f (x )＋3f (－x )＝2x ＋1可得f (x )＝－x ＋14.2.分类讨论思想在函数中的应用典例 (1)已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为______________.(2)(2015·山东改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x，x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a 的取值范围是____________.思想方法指导 (1)求分段函数的函数值，首先要确定自变量的范围，通过分类讨论求解； (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时，应根据每一段解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围.解析 (1)当a >0时，1－a <1，1＋a >1，由f (1－a )＝f (1＋a )，可得2(1－a )＋a ＝－(1＋a )－2a ，解得a ＝－32，不合题意.当a <0时，1－a >1，1＋a <1， 由f (1－a )＝f (1＋a )，可得－(1－a )－2a ＝2(1＋a )＋a ，解得a ＝－34，符合题意.(2)由f (f (a ))＝2f (a )，得f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.答案 (1)－34 (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞1.下列各组函数中，表示同一函数的是________.①y ＝x 2－9x －3与y ＝x ＋3；②y ＝x 2－1与y ＝x －1； ③y ＝x 0(x ≠0)与y ＝1(x ≠0)； ④y ＝2x ＋1，x ∈Z 与y ＝2x －1，x ∈Z . 答案 ③解析 ①中两函数的定义域不同；②，④中两函数的对应法则不同. 2.(2016·江苏苏锡常镇调研)函数f (x )＝ln2x －x2x －1的定义域为__________.答案 (0，1)∪(1，2)解析 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2>0，x －1≠0，解得0<x <1或1<x <2，故所求函数的定义域为(0，1)∪(1，2). 3.给出下列函数：①f (x )＝|x |；②f (x )＝x －|x |；③f (x )＝x ＋1；④f (x )＝－x .其中满足f (2x )＝2f (x )的是________.(填序号) 答案 ①②④解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等. 对于①，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )；对于②，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于③，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于④，f (2x )＝－2x ＝2f (x ). 故只有③不满足f (2x )＝2f (x ).4.(2016·南通模拟)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx 2，－1<x <0，e x －1，x ≥0满足f (1)＋f (a )＝2，则a 所有可能的值为________.答案 1或－22解析 ∵f (1)＝e 1－1＝1且f (1)＋f (a )＝2，∴f (a )＝1，当－1<a <0时，f (a )＝sin(πa 2)＝1， ∵0<a 2<1，∴0<πa 2<π， ∴πa 2＝π2⇒a ＝－22；当a ≥0时，f (a )＝ea －1＝1⇒a ＝1.5.设f (x )＝lg 2＋x 2－x ，则f (x 2)＋f (2x )的定义域为____________.答案 (－4，－1)∪(1，4)解析 ∵2＋x 2－x ＞0，∴－2＜x ＜2，∴－2＜x 2＜2且－2＜2x ＜2，解得－4＜x ＜－1或1＜x ＜4，∴所求的定义域为(－4，－1)∪(1，4).6.(2016·江苏淮阴中学期中)从集合A 到集合B 的映射f ：x →x 2＋1，若A ＝{－2，－1，0，1，2}，则B 中至少有________个元素. 答案 3解析 根据映射的定义可得x ＝±2→y ＝5，x ＝±1→y ＝2，x ＝0→y ＝1，所以集合B 为{1，2，5}，故集合B 中至少有3个元素.7.设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋2， x ≤0，－x 2， x ＞0.若f (f (a ))＝2，则a ＝________.答案 2解析 当a ＞0时，f (a )＝－a 2＜0，f (f (a ))＝a 4－2a 2＋2＝2，解得a ＝2(a ＝0与a ＝－2舍去)；当a ≤0时，f (a )＝a 2＋2a ＋2＝(a ＋1)2＋1＞0，f (f (a ))＝－(a 2＋2a ＋2)2＝2，此方程无解.8.(2016·苏州暑假测试)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )＝f (2＋m )，则m 的值为____________. 答案 8或－83解析 当m >0时，2－m <2，2＋m >2，所以3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ，所以m ＝8；当m <0时，2－m >2，2＋m <2，所以3(2＋m )－m ＝－(2－m )－2m ，所以m ＝－83.9.(2015·浙江)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2x－3，x ≥1，lg x 2＋1，x ＜1，则f (f (－3))＝________，f (x )的最小值是________.答案 0 22－3解析 ∵f (－3)＝lg[(－3)2＋1]＝lg 10＝1，∴f (f (－3))＝f (1)＝0， 当x ≥1时，f (x )＝x ＋2x －3≥22－3，当且仅当x ＝2时，取等号，此时f (x )min ＝22－3<0； 当x ＜1时，f (x )＝lg(x 2＋1)≥lg 1＝0，当且仅当x ＝0时，取等号，此时f (x )min ＝0.∴f (x )的最小值为22－3. *10.具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是________.答案 ①③解析 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足； 对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足； 对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0<1x <1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足. 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.11.已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ f x ＋1，－2<x <0，2x ＋1，0≤x ＜2，x 2－1，x ≥2.(1)求f (－32)的值； (2)若f (a )＝4且a >0，求实数a 的值. 解 (1)由题意，得f (－32)＝f (－32＋1)＝f (－12)＝f (－12＋1)＝f (12)＝2×12＋1＝2.(2)当0<a <2时，由f (a )＝2a ＋1＝4，得a ＝32，当a ≥2时，由f (a )＝a 2－1＝4，得a ＝5或a ＝－5(舍去)， 综上所述，a ＝32或a ＝ 5.。
(江苏专用)高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第4课 函数的概念及其表示教师用书
第二章函数概念与基本初等函数(Ⅰ)第4课函数的概念及其表示[最新考纲]内容要求A B C函数的概念√1．函数与映射函数映射两集合A、B 设A，B是两个非空的数集设A，B是两个非空的集合对应法则f：A→B 如果按某种对应法则f，对于集合A中的每一个元素x，在集合B中都有唯一的元素y和它对应如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应名称这样的对应叫作从集合A到集合B的一个函数称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射记法y＝f(x)，x∈A f：A→B(1)函数的定义域、值域：在函数y＝f(x)，x∈A中，其中所有x组成的集合A称为函数y＝f(x)的定义域；将所有y组成的集合叫作函数y＝f(x)的值域．(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．(3)函数的表示法：表示函数的常用方法有列表法、解析法和图象法．3．分段函数在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，这样的函数，通常叫作分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数是特殊的映射．( )(2)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( )(3)与x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有一个交点．( ) (4)分段函数是两个或多个函数．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)√ (4)× 2．(教材改编)函数y ＝2x －3＋1x －3的定义域为________． ⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3∪(3，＋∞) [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2x －3≥0，x －3≠0，解得x ≥32且x ≠3.]3．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，x ＞0，2－x ，x ≤0，则f (f (－4))＝________.4 [∵f (－4)＝24＝16，∴f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.]4．(2017·某某模拟)已知实数m ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2.若f (2－m )＝f (2＋m )，则实数m 的值为________．8或－83 [当m >0时，2－m <2<2＋m ，由f (2－m )＝f (2＋m )得 3(2－m )－m ＝－(2＋m )－2m ， 解得m ＝8.当m <0时，2＋m <2<2－m ， 由f (2＋m )＝f (2－m )得 －(2－m )－2m ＝3(2＋m )－m ， 解得m ＝－83.综上所述m ＝8或－83.]5．给出下列四个命题：①函数是其定义域到值域的映射； ②f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图象是一条直线； ④f (x )＝lg x 2与g (x )＝2lg x 是同一个函数． 其中正确命题的序号是________． ① [由函数的定义知①正确．∵满足⎩⎪⎨⎪⎧x －3≥0，2－x ≥0的x 不存在，∴②不正确．又∵y ＝2x (x ∈N )的图象是位于直线y ＝2x 上的一群孤立的点，∴③不正确． 又∵f (x )与g (x )的定义域不同，∴④也不正确．]求函数的定义域(1)(2016·某某高考)函数y ＝3－2x －x 2的定义域是________． (2)(2017·某某模拟)若函数y ＝f (x )的定义域为[0,2]，则函数g (x )＝f 2xx －1的定义域是________．(1)[－3,1] (2)[0,1) [(1)要使函数有意义，需3－2x －x 2≥0，即x 2＋2x －3≤0，得(x －1)(x ＋3)≤0，即－3≤x ≤1，故所求函数的定义域为[－3,1]．(2)由0≤2x ≤2，得0≤x ≤1，又x －1≠0，即x ≠1， 所以0≤x <1，即g (x )的定义域为[0,1)．][规律方法] 1.求给出解析式的函数的定义域，可构造使解析式有意义的不等式(组)求解．2．(1)若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f (g (x ))的定义域可由a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． [变式训练1] (1)(2017·苏锡常镇调研(二))函数f (x )＝ln2x －x 2x －1的定义域为________．(2)已知函数f (2x)的定义域为[－1,1]，则f (x )的定义域为________.【导学号：62172018】(1)(0,1)∪(1,2) (2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2 [(1)要使函数有意义，只需⎩⎪⎨⎪⎧2x －x 2＞0，x －1≠0，解得0＜x＜1或1＜x ＜2，即原函数的定义域为(0,1)∪(1,2)． (2)∵f (2x)的定义域为[－1,1]，∴12≤2x ≤2，即f (x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2.]求函数的解析式(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )的解析式．(2)已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，求f (x )的解析式．(3)已知f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝x (x ≠0)，求f (x )的解析式． [解] (1)令2x ＋1＝t ，由于x ＞0，∴t ＞1且x ＝2t －1，∴f (t )＝lg2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x ＞1)． (2)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)－ax 2－bx ＝x －1，即2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32，∴f (x )＝12x 2－32x ＋2.(3)∵f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋2f (x )＝1x.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧f x ＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋2f x ＝1x ，解得f (x )＝23x －x3(x ≠0)．[规律方法] 求函数解析式的常用方法(1)待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法；(2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值X 围；(3)构造法：已知关于f (x )与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式，通过解方程组求出f (x )；(4)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，即得f (x )的表达式．[变式训练2] (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.【导学号：62172019】(2)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1，则f (x )＝________.(1)x 2－1(x ≥1) (2)23x ＋13(x ＞0) [(1)(换元法)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1，所以f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－1(t ≥1)， 所以f (x )＝x 2－1(x ≥1)．(配凑法)f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x·x －1中，用1x代替x ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝2f (x )·1x－1，由⎩⎪⎨⎪⎧f x ＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ·x －1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f x ·1x－1，得f (x )＝23x ＋13(x ＞0)．]分段函数及其应用☞角度1 求分段函数的函数值(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 22－x ，x <1，2x －1， x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝________.(2)(2017·某某期中)定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 23－x ，x ≤0，f x －1－f x －2，x ＞0，则f (11)＝________.(1)9 (2)2 [(1)∵－2<1，∴f (－2)＝1＋log 2(2＋2)＝1＋log 24＝1＋2＝3. ∵log 212>1，∴f (log 212)＝2log212－1＝122＝6. ∴f (－2)＋f (log 212)＝3＋6＝9.(2)f (11)＝f (10)－f (9)＝f (9)－f (8)－f (9)＝－f (8)，f (8)＝f (7)－f (6)＝f (6)－f (5)－f (6)＝－f (5)， f (5)＝f (4)－f (3)＝f (3)－f (2)－f (3)＝－f (2)， f (2)＝f (1)－f (0)＝f (0)－f (－1)－f (0)＝－f (－1)，∴f (11)＝f (－1)＝log 2(3＋1)＝log 24＝2.] ☞角度2 已知分段函数的函数值求参数(1)(2017·某某二诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ≥1，x 2＋m 2，x ＜1，若f (f (－1))＝2，则实数m 的值为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x ＜1，2x，x ≥1.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝________.(1)3或－ 3 (2)12 [(1)f (f (－1))＝f (1＋m 2)＝log 2(1＋m 2)＝2，m 2＝3，解得m ＝± 3.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝3×56－b ＝52－b ，若52－b <1，即b >32，则3×⎝ ⎛⎭⎪⎫52－b －b ＝152－4b ＝4，解得b ＝78，不符合题意，舍去；若52－b ≥1，即b ≤32，则2－b ＝4，解得b ＝12.]☞角度3 解与分段函数有关的方程或不等式(1)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <1，x 13，x ≥1，则使得f (x )≤2成立的x 的取值X 围是________．(2)(2015·某某高考改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x， x ≥1，则满足f (f (a ))＝2f (a )的a的取值X 围是________．(1)(－∞，8] (2)⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ [(1)当x <1时，x －1<0，e x －1<e 0＝1≤2，∴当x <1时满足f (x )≤2.当x ≥1时，x ≤2，x ≤23＝8，∴1≤x ≤8.综上可知x ∈(－∞，8]． (2)由f (f (a ))＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1.当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1.综上，a ≥23.[规律方法] 1.求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于定义域的哪一个子集，然后代入该段的解析式求值，当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或函数值X 围求自变量的值或X 围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或X 围是否符合相应段的自变量的取值X 围．易错警示：当分段函数自变量的X 围不确定时，应分类讨论．[思想与方法]1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础，对函数性质的讨论，必须在定义域内进行．3．求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、换元法、配凑法、构造法． 4．分段函数问题要分段求解． [易错与防X]1．求函数定义域时，不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．2．用换元法求函数解析式时，应注意元的X 围，既不能扩大，又不能缩小，以免求错函数的定义域．3．在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；如果x 0的X 围不确定，要分类讨论．课时分层训练(四)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·某某第一次学情检测)函数f (x )＝11－x＋lg(x ＋1)的定义域是________．(－1,1)∪(1，＋∞) [由题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，1－x ≠0，即x >－1且x ≠1.]2．下列各组函数中，表示同一函数的是________．(填序号) ①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2； ②f (x )＝x 2，g (x )＝(x ＋1)2； ③f (x )＝x 2，g (x )＝|x |； ④f (x )＝0，g (x )＝x －1＋1－x .③ [在①中，定义域不同，在②中，解析式不同，在④中，定义域不同．] 3．设M ＝{x |－2≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，函数f (x )的定义域为M ，值域为N ，则f (x )的图象可以是________．(填序号)① ② ③ ④图41② [①中，定义域为[－2,0]，④中，值域不是[0,2]，③中，当x ＝0时有两个y 值与之对应．]4．(2017·某某质检)已知f (x )是一次函数，且f [f (x )]＝x ＋2，则f (x )＝________.x ＋1 [设f (x )＝kx ＋b ，则由f [f (x )]＝x ＋2，可得k (kx ＋b )＋b ＝x ＋2，即k 2x ＋kb＋b ＝x ＋2，∴k 2＝1，kb ＋b ＝2，解得k ＝1，b ＝1，则f (x )＝x ＋1.]5．(2017·如皋中学高三第一次月考)函数y ＝－x 2－2x ＋8的定义域为A ，值域为B ，则A ∩B ＝________. 【导学号：62172020】[0,2] [由－x 2－2x ＋8≥0得－4≤x ≤2.即A ＝{x |－4≤x ≤2}． 由y ＝－x 2－2x ＋8＝－x ＋12＋9可知0≤y ≤3，即B ＝{x |0≤x ≤3}． ∴A ∩B ＝{x |0≤x ≤2}．]6．(2016·全国卷Ⅱ改编)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．(填序号)①y ＝x ；②y ＝lg x ；③y ＝2x；④y ＝1x.④ [函数y ＝10lg x的定义域与值域均为(0，＋∞)．函数y ＝x 的定义域与值域均为(－∞，＋∞)．函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为(－∞，＋∞)． 函数y ＝2x的定义域为(－∞，＋∞)，值域为(0，＋∞)． 函数y ＝1x的定义域与值域均为(0，＋∞)．]7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1，－log 2x ＋1，x ＞1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝________.【导学号：62172021】－74 [由于f (a )＝－3， ①若a ≤1，则2a －1－2＝－3，整理得2a －1＝－1.由于2x>0，所以2a －1＝－1无解；②若a >1，则－log 2(a ＋1)＝－3， 解得a ＋1＝8，a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.综上所述，f (6－a )＝－74.]8．(2017·某某质检)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x －2，x ≥2，|x 2－2|，x ＜2，则f (5)＝________. 【导学号：62172022】1 [由题意得f (5)＝f (3)＝f (1)＝|12－2|＝1.]9．已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]，则函数y ＝f (x )的定义域为________． [－1,2] [∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3，3]， ∴x ∈[－3，3]，x 2－1∈[－1,2]， ∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．]10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f (f (a ))≤2，则实数a 的取值X 围是________．a ≤ 2 [f (x )的图象如图，由图象知，满足f (f (a ))≤2时，得f (a )≥－2，而满足f (a )≥－2时，得a ≤ 2.]二、解答题11．已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式. 【导学号：62172023】[解] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.12．已知f (x )＝x 2－1，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1，x ＞0，2－x ，x ＜0.(1)求f (g (2))和g (f (2))的值； (2)求f (g (x ))的解析式．[解] (1)由已知，g (2)＝1，f (2)＝3， ∴f (g (2))＝f (1)＝0，g (f (2))＝g (3)＝2. (2)当x ＞0时，g (x )＝x －1， 故f (g (x ))＝(x －1)2－1＝x 2－2x ； 当x ＜0时，g (x )＝2－x ，故f (g (x ))＝(2－x )2－1＝x 2－4x ＋3.∴f (g (x ))＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ＞0，x 2－4x ＋3，x ＜0.B 组 能力提升(建议用时：15分钟)1．具有性质：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ x ，0＜x ＜1，0，x ＝1，－1x ，x ＞1.其中满足“倒负”变换的函数是________．(填序号) ①③ [对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x －x ＝－f (x )，满足；对于②，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x＋x ＝f (x )，不满足；对于③，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，0＜1x ＜1，0，1x ＝1，－x ，1x ＞1，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1x ，x ＞1，0，x ＝1，－x ，0＜x ＜1，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝－f (x )，满足． 综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.]2．定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.－x x ＋12 [设－1≤x ≤0，则0≤x ＋1≤1，所以f (x ＋1)＝(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－x (x ＋1)．又因为f (x ＋1)＝2f (x )，所以f (x )＝f x ＋12＝－x x ＋12.] 3．规定[t ]为不超过t 的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x ，令f 1(x )＝[4x ]，g (x )＝4x －[4x ]，进一步令f 2(x )＝f 1[g (x )]．(1)若x ＝716，分别求f 1(x )和f 2(x )； (2)若f 1(x )＝1，f 2(x )＝3同时满足，求x 的取值X 围．[解] (1)∵x ＝716时，4x ＝74， ∴f 1(x )＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝1. ∵g (x )＝74－⎣⎢⎡⎦⎥⎤74＝34.∴f 2(x )＝f 1[g (x )]＝f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝[3]＝3. (2)∵f 1(x )＝[4x ]＝1，g (x )＝4x －1，∴f 2(x )＝f 1(4x －1)＝[16x －4]＝3. ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤4x <2，3≤16x －4<4，∴716≤x <12. 故x 的取值X 围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫716，12. 4．如图42所示，在梯形ABCD 中，AB ＝10，CD ＝6，AD ＝BC ＝4，动点P 从B 点开始沿着折线BC ，CD ，DA 前进至A ，若P 点运动的路程为x ，△PAB 的面积为y .图42(1)写出y ＝f (x )的解析式，指出函数的定义域；(2)画出函数的图象并写出函数的值域．[解] 如图所示，(1)①当P 在BC 上运动时，如图①所示，易知∠B ＝60°，y ＝12×10×(x sin 60°)＝532x,0≤x ≤4. ②当P 在CD 上运动时，如图②所示，y ＝12×10×23＝103，4<x ≤10.③当P 在DA 上运动时，如图③所示， y ＝12×10×(14－x )sin 60°＝－532x ＋353，10<x ≤14. 综上所得，函数的解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 532x ，0≤x ≤4，103，4<x ≤10，－532x ＋353，10<x ≤14.(2)函数y ＝f (x )的图象如图所示．由图可知，函数y ＝f (x )的值域为[0,103]．。
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题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)根据表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个零点所
令 f(x) ＝ ex － x － 2 ， f(1) ＝ e－3<0， f(2) ＝ e2 － 2 － 2 ＝ e2 － 4 ＝ 7.39－4＝3.39>0.
的值为 1 .
x
ex x＋2
[a ， b] 上是连续不断的曲
线 ， 且 f(a)· f(b)<0 ， 还 必 须结合函数的图象与性质 ( 如单调性、奇偶性 ) 才能 确定函数有多少个零点.
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题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
题型一 函数零点的判断和求解
知识梳理
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.( × )
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，
则f(a)· f(b)<0.( × )
(3) 二次函数 y ＝ ax2 ＋ bx ＋ c(a≠0) 在 b2 － 4ac<0 时没有零
数学
苏（理）
第二章
函数概念与基本初等函数Ⅰ
§2.8 函数与方程
基础知识·自主学习 题型分类·深度剖析 思想方法·感悟提高 练出高分
基础知识·自主学习
1.函数的零点 (1)函数零点的定义
知识梳理
对于函数y＝f(x) (x∈D)，把使 f(x)＝0 的实数x叫做函数y＝ f(x) (x∈D)的零点. (2)几个等价关系
在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k
的值为
x
ex x＋2
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∴f(x
解析 答案 思维升华
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)根据表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个零点所
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题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)根据表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个零点所
(2) 零 点 存 在 性 定 理 ： 利
用定理不仅要函数在区间
在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k
题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
例1
(2)函数 f(x)＝
ln x－x2＋2x，x>0， 4x＋1， x≤0
的零点个数是
.
题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
例1
(2)函数 f(x)＝
当x>0时，作函数y＝ln x 和y＝x2－2x的图象， 由图知，x>0时，f(x)有两
令 f(x) ＝ ex － x － 2 ， f(1) ＝ e－3<0， f(2) ＝ e2 － 2 － 2 ＝ e2 － 4 ＝ 7.39－4＝3.39>0.
在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k
的值为 1 .
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∴f(x) 的零点在区间 (1,2)
方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与 x轴 有交点⇔函
数y＝f(x)有 零点 .
基础知识·自主学习 a
log a N
知识梳理
(3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函数 y ＝ f(x) 在区间 [a ， b] 上的图象是连续不断的一
f(b)<0 ，那么，函数y＝f(x)在区间 条曲线，并且有 f(a)·
答案
(a，b)和(b，c) －1
{－2－ 7，1,3}
解析
3
由于a<b<c，所以f(a)＝0＋(a－b)(a－c)＋0>0，f(b)＝(b
－c)(b －a)<0，f(c)＝(c－a)(c－b)>0.因此有f(a)· f(b)<0， f(b)· f(c)<0，又因f(x)是关于x的二次函数，函数的图象是
知识梳理
Δ<0
无交点 0
零点个数
基础知识·自主学习
3.二分法
知识梳理
f(b)<0的函数y＝f(x)， 对于在区间[a，b]上连续不断且 f(a)· 通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使区 间的两个端点逐步逼近 零点，进而得到零点近似值的方法 叫做二分法.
基础知识·自主学习
思考辨析
例1 (1)根据表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个零点所
(3)利用图象交点的个数：
在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k
的值为 1 .
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将函数变形为两个函数
的差，画两个函数的图
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象，看其有几个交点， 就有几个不同的零点.
点.( √ )
基础知识·自主学习
知识梳理
(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近 似值.( × ) (5)函数y＝2sin x－1的零点有无数多个.( √ ) (6)函数f(x)＝kx＋1在[1,2]上有零点，则－1<k<－1 .( × 2 )
基础知识·自主学习 题号
1 2 3 4
考点自测
连续不断的曲线，因此函数 f(x) 的两零点分别位于区间
(a，b)和(b，c)内.
题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)根据表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个零点所
在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k
的值为
x
ex x＋2
.
－1
0.37 1
0
(a，b) 内有零点，即存在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程f(x)＝0的根.
基础知识·自主学习
2.二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象 与x轴的交点 (x1,0)，(x2,0) 2 (x1,0) 1 Δ＝0
内，∴k＝1.
题型分类·深度剖析
解析 答案 思维升华
题型一 函数零点的判断和求解
例1 (1)根据表格中的数据，可以判
定方程ex－x－2＝0的一个零点所
函数零点的求法：
在的区间为(k，k＋1)(k∈N)，则k
的值为 1 .
x
ex x＋2
(1)直接求零点：令f(x)＝0，
如果能求出解，则有几个 解就有几个零点.