2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程作业苏教版选修

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高二数学 2.3.1 双曲线及其标准方程

名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
若焦点在y轴上，设双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1.
a12－b12＝1，同理有5a22－－b22 2＝1，
a2＝－7，解得b2＝－78. (舍去)
∴所求双曲线的标准方程为x72－y72＝1. 8
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第二章 §2.3 2.3.1
第二章 §2.3 2.3.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
分析由2sinC＝sinA＋2sinB利用正弦定理，可转化为含动点A的等量关系，进而求出A的轨迹方程．
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第二章 §2.3 2.3.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
解如下图所示，以BC所在的直线为x轴，以线段BC的中垂线为y轴，建立直角坐标系．
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
解解法1：若焦点在x轴上，设双曲线的标准方程为ax22－by22＝1. ∵M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上，
a12－b12＝1， ∴－a222－5b22＝1，
解得a2＝78， b2＝7.
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第二章 §2.3 2.3.1
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第二章 §2.3 2.3.1
名师一号 ·数学 ·新课标A版 ·选修2-1
2．如何确定焦点的位置
通过比较两种不同类型的双曲线方程
x2 a2
－
y2 b2
＝1和
y2 a2
－
x2 b2
＝1(a＞0，b＞0)，可以看出，如果x2项的系数是正的，那么
焦点在x轴上；如果y2项的系数是正的，那么焦点在y轴
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高中数学选修2-1 2.3.1双曲线的标准方程(一)

3.求解方程
（1）建系（2）设点 M(x,y) （3）限制条件（4）代入等式（5）化简整理
y M
O
x
MF1 MF2 2a 0 2a 2c
同学们亲手练习！
x y 2 1(a 0, b 0) 2 a b
2
2
4.双曲线的标准方程
2 2 x y y x 2 1(a 0, b 0) 2 1(a 0, b 0) 2 2 a b a b 在双曲线方程中, 总有
2 2 2
双曲线 | MF1 | | MF2 | 2a x2 y2 2 1 2 a b 2 2 y x 2 1 2 a b ( c , 0) (0, c ) c a b
2 2 2
方程
焦点 a , b, c 的关系
四、讲练结合
例1.课本P 47, 例1 已知双曲线的两个焦点分别为F1 5, 0 , F2 5, 0 , 双曲线上一点P到F1 , F2 距离之差的绝对值等于6.求双曲线的标准方程. 变式1.已知两点F1 5, 0 , F2 5, 0 , 求与这两点
(1)m ;
( 2)m ; (3)m 1; ( 4) 1 m 2
例3.求根据下列条件, 求双曲线的标准方程 (1)经过点P 3，10 ，Q 6， 2 的双曲线方程; ( 2)c 6 , 经过点( 5, 2), 焦点在x轴上. x y (3)已知双曲线与椭圆 1有共同的 27 36 焦点, 且过点
三、新知讲解
1.双曲线的定义平面内与两个定点F1 , F2的距离之差的绝对值等于常数2a (小于 | F1F2 |)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点, 两焦点间的距离叫双曲线的焦距.

2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.2 第1课时双曲线

设 Q(x，y)为双曲线上一点，依题意
|PQ|＝ x2＋y－52＝ 54y－42＋5－b2，
其中 y≥2b，若 2b≤4，当 y＝4 时，|PQ|最小＝2．从而，5－b2＝4，即 b2＝1，双曲线方程为y42－x2＝1．若 2b>4，当 y＝2b 时，|PQ|最小＝2，从而54(2b－4)2＋5－b2＝4，所以 b＝72或 b ＝32(与 b>2 矛盾)．所以双曲线方程为4y92 －44x92＝1．故所求双曲线方程为y42－x2＝1 或4y92 －44x92＝1.
离心率渐近线
c e＝__a____∈_____(_1_，__＋__∞_)____
____y＝__±__ba_x _____
___y_＝__±_ab_x______
• 2.等轴双曲线 • 实轴和虚轴等长的双曲线，标准方x2程－为y2＝__a2____________.
1．双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 A．4 C． 3
『规律总结』 1.求双曲线的离心率，常常利用已知条件列出关于 a、b、c 的等式，利用 a2＋b2＝c2 消去 b 化为关于 a、c 的齐次式，再利用 e＝ac化为 e 的方程求解．
2．学习双曲线中应注意的几个问题： (1)双曲线是两支曲线，而椭圆是一条封闭的曲线； (2)双曲线只有两个顶点，离心率 e>1； (3)等轴双曲线是一种比较特殊的双曲线，其离心率为 2，实轴长与虚轴长相等，两条渐近线互相垂直； (4)注意双曲线中 a、b、c、e 的等量关系与椭圆中 a、b、c、e 的不同．
B．2 D．1
( A)
[解析] ∵双曲线ax22－by22＝1 的实轴长为 2a，∴双曲线x42－y2＝1 的实轴长为 2a ＝4．
2．(江西九江一中 2017－2018 期末)双曲线y42－x2＝1 的离心率 e＝

2018版高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程课件新人教B版

求双曲线中焦点三角形面积的方法
反思与感悟
(1)方法一：
①根据双曲线的定义求出||PF1|－|PF2||＝2a；
②利用余弦定理表示出|PF1|，|PF2|，|F1F2|之间满足的关系式；
③通过配方，利用整体思想求出|PF1|·|PF2|的值；
④利用公式 S PF1F2 ＝12×|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2 求得面积.
利用双曲线与椭圆的关系，可类比椭圆得到双曲线的有关结论，或用类似方法解决双曲线的有关问题，以及双曲线与椭圆的综合问题.
跟踪训练4 (1)已知双曲线与椭圆 2x72 ＋3y62 ＝1 有共同的焦点，且过点 ( 15，4)，求双曲线的方程.
证明
椭圆2x72 ＋3y62 ＝1 的焦点坐标为 F1(0，－3)，F2(0,3)，故可设双曲线的方程为ay22－bx22＝1.
(3)计算：利用题中条件列出方程组，求出相关值.
(4)结论：写出双曲线的标准方程.
跟踪训练3 根据条件求双曲线的标准方程.
(1)c＝ 6 ，经过点A(－5,2)，焦点在x轴上；
解答
设双曲线标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， ∵c＝ 6，∴b2＝c2－a2＝6－a2.
由题意知2a52 －b42＝1，∴2a52 －6－4 a2＝1，解得 a2＝5 或 a2＝30(舍). ∴b2＝1.∴双曲线的标准方程为x52－y2＝1.
知识点二双曲线的标准方程
思考1
双曲线的标准方程的推导过程是什么？
答案
思考2
双曲线中a，b，c的关系如何？与椭圆中a，b，c的关系有何不同？
答案
双曲线标准方程中的两个参数a和b，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b2＝c2－a2，即c2＝a2 ＋b2，其中c>a，c>b，a与b的大小关系不确定；而在椭圆中b2＝a2－c2，即a2＝b2＋c2，其中a>b>0，a>c，c与b的大小关系不确定.

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程学案含解析

2．3.1 双曲线及其标准方程[提出问题]问题1：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之和为12，动点P 的轨迹是什么？提示：椭圆．问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(－5,0)，F 2(5,0)的距离之差的绝对值为6，动点P 的轨迹还是椭圆吗？是什么？提示：不是，是双曲线． [导入新知]双曲线的定义把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．[化解疑难]平面内到两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值为常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ，关键词“平面内”．当2a ＜|F 1F 2|时，轨迹是双曲线；当2a ＝|F 1F 2|时，轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，轨迹不存在．[提出问题]问题1：“知识点一”的问题2中，动点P 的轨迹方程是什么？提示：x 29－y 216＝1.问题2：平面内，动点P 到两定点F 1(0,5)，F 2(0，－5)的距离之差的绝对值为定值6，动点P 的轨迹方程是什么？提示：y 29－x 216＝1.[导入新知]双曲线的标准方程[化解疑难]1．标准方程的代数特征：方程右边是1，左边是关于x ，y 的平方差，并且分母大小关系不确定．2．a ，b ，c 三个量的关系：标准方程中的两个参数a 和b ，确定了双曲线的形状和大小，是双曲线的定形条件，这里b 2＝c 2－a 2，与椭圆中b 2＝a 2－c 2相区别，且椭圆中a ＞b ＞0，而双曲线中，a ，b 大小不确定．[例1] 已知方程k －5－|k |－2＝1对应的图形是双曲线，那么k 的取值范围是( )A ．(5，＋∞)B ．(－2,2)∪(5，＋∞)C ．(－2,2)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)[解] ∵方程对应的图形是双曲线， ∴(k －5)(|k |－2)＞0.即⎩⎪⎨⎪⎧k －5＞0，|k |－2＞0，或⎩⎪⎨⎪⎧k －5＜0，|k |－2＜0.解得k ＞5或－2＜k ＜2. [答案] B [类题通法]将双曲线的方程化为标准方程的形式，假如双曲线的方程为x 2m ＋y 2n＝1，则当mn ＜0时，方程表示双曲线．若⎩⎪⎨⎪⎧m ＞0，n ＜0，则方程表示焦点在x 轴上的双曲线；若⎩⎪⎨⎪⎧m ＜0，n ＞0，则方程表示焦点在y 轴上的双曲线．[活学活用]若k ＞1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线解析：选C 原方程化为y 2k 2－1－x 2k ＋1＝1，∵k ＞1，∴k 2－1＞0，k ＋1＞0.∴方程所表示的曲线为焦点在y 轴上的双曲线．[例2] (1)a ＝4，经过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－4103；(2)经过点(3,0)，(－6，－3)． [解] (1)当焦点在x 轴上时，设所求双曲线的标准方程为x 216－y 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝－1615×1609＜0，不符合题意；当焦点在y 轴上时，设所求双曲线的标准方程为y 216－x 2b2＝1(b ＞0)，把A 点的坐标代入，得b 2＝9， ∴所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)， ∵双曲线经过点(3,0)，(－6，－3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋0＝1，36m ＋9n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝19，n ＝－13，∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 23＝1.[类题通法]1．双曲线标准方程的两种求法(1)定义法：根据双曲线的定义得到相应的a ，b ，c ，再写出双曲线的标准方程．(2)待定系数法：先设出双曲线的标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1或x 2b 2－y 2a2＝1(a ，b 均为正数)，然后根据条件求出待定的系数代入方程即可．2．求双曲线标准方程的两个关注点(1)定位：“定位”是指确定与坐标系的相对位置，在“标准方程”的前提下，确定焦点位于哪条坐标轴上，以判断方程的形式；(2)定量：“定量”是指确定a 2，b 2的具体数值，常根据条件列方程求解． [活学活用]根据下列条件，求双曲线的标准方程．(1)与椭圆x 227＋y 236＝1有共同的焦点，且过点(15，4)；(2)c ＝6，经过点(－5,2)，焦点在x 轴上．解：(1)椭圆x 227＋y 236＝1的焦点坐标为F 1(0，－3)，F 2(0,3)，故可设双曲线的方程为y 2a 2－x 2b 2＝1.由题意，知⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＝9，42a2－152b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4，b 2＝5.故双曲线的方程为y 24－x 25＝1.(2)∵焦点在x 轴上，c ＝6，∴设所求双曲线方程为x 2λ－y 26－λ＝1(其中0＜λ＜6)．∵双曲线经过点(－5,2)，∴25λ－46－λ＝1， ∴λ＝5或λ＝30(舍去)． ∴所求双曲线方程是x 25－y 2＝1.[例3] 设P 为双曲线x 2－12＝1上的一点，F 1，F 2是该双曲线的两个焦点，若|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．6 3B ．12C ．12 3D ．24[解] 如图所示，∵|PF 1|－|PF 2|＝2a ＝2，且|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2， ∴|PF 1|＝6，|PF 2|＝4. 又∵|F 1F 2|＝2c ＝213， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴S V 12PF F ＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6×4＝12.[答案] B [类题通法]在解决双曲线中与焦点有关的问题时，要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；与三角形有关的问题要考虑正弦定理、余弦定理、勾股定理等．另外在运算中要注意一些变形技巧和整体代换思想的应用．[活学活用]若把本题中的“|PF 1|∶|PF 2|＝3∶2”改为“PF 1―→·PF 2―→＝0”，求△PF 1F 2的面积．解：由题意PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2，∴△PF 1F 2为直角三角形， ∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2，∴(|PF 1|－|PF 2|)2＋2|PF 1|·|PF 2|＝|F 1F 2|2. 又∵||PF 1|－|PF 2||＝2a ＝2， |F 1F 2|2＝4c 2＝4(a 2＋b 2) ＝4(1＋12)＝52， ∴4＋2|PF 1|·|PF 2|＝52， ∴|PF 1|·|PF 2|＝24，∴S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12.5.双曲线的定义理解中的误区[典例] 已知定点A (－3,0)和定圆C ：(x －3)2＋y 2＝16，动圆和圆C 相外切，并且过定点A ，求动圆圆心M 的轨迹方程．[解] 设M (x ，y )，设动圆与圆C 的切点为B ，|BC |＝4.则|MC |＝|MB |＋|BC |，|MA |＝|MB |，所以|MC |＝|MA |＋|BC |，即|MC |－|MA |＝|BC |＝4＜|AC |.所以由双曲线的定义知，M 点轨迹是以A ，C 为焦点的双曲线的左支，设其方程为x 2a 2－y 2b2＝1(x <0)，且a ＝2，c ＝3，所以b 2＝5.所以所求圆心M 的轨迹方程是x 24－y 25＝1(x ≤－2)．[易错防范]1．求解中易把动点的轨迹看成双曲线，忽视了双曲线定义中“距离的差的绝对值是常数”这一条件，动点轨迹实际上是双曲线的一支．2．在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能保证解题的正确性．当||PF 1|－|PF 2||＝2a ＜|F 1F 2|(a ＞0)，即|PF 1|－|PF 2|＝±2a (0＜2a ＜|F 1F 2|)时，P 点的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右支，取负号时为双曲线的左支．[成功破障]求与⊙C 1：x 2＋(y －1)2＝1和⊙C 2：x 2＋(y ＋1)2＝4都外切的动圆圆心M 的轨迹方程．解：∵⊙M 与⊙C 1，⊙C 2都外切， ∴|MC 1|＝r ＋1，|MC 2|＝r ＋2. 从而可知|MC 2|－|MC 1|＝1＜|C 1C 2|.因此，点M 的轨迹是以C 2，C 1为焦点的双曲线的上支，且有a ＝12，c ＝1，b 2＝c 2－a 2＝34.故所求的双曲线的方程为4y 2－4x 23＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫y ≥12.[随堂即时演练]1．已知F 1(－8,3)，F 2(2,3)，动点P 满足|PF 1|－|PF 2|＝10，则P 点的轨迹是( ) A ．双曲线 B ．双曲线的一支 C ．直线D ．一条射线解析：选D F 1，F 2是定点，且|F 1F 2|＝10，所以满足条件|PF 1|－|PF 2|＝10的点P 的轨迹应为一条射线．2．与椭圆x 24＋y 2＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )A.x 24－y 2＝1 B.x 22－y 2＝1 C.x 23－y 23＝1 D ．x 2－y 22＝1解析：选B 法一：椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)，因为双曲线过点P (2,1)，所以4a 2－1b2＝1，又a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求双曲线方程是x 22－y 2＝1.法二：设所求双曲线方程为x 24－λ＋y 21－λ＝1(1<λ<4)，将点P (2,1)的坐标代入可得44－λ＋11－λ＝1，解得λ＝2(λ＝－2舍去)，所以所求双曲线方程为x 22－y 2＝1.3．若方程x 21＋k －y 21－k ＝1表示双曲线，则k 的取值范围是________．解析：由题意知，(1＋k )(1－k )＞0，即－1＜k ＜1. 答案：(－1,1)4．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线x 24－y 212＝1上一点M 的横坐标为3，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M 的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M 到此双曲线的右焦点的距离为4.答案：45．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a ＝3，c ＝4，焦点在x 轴上；(2)经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5. 解：(1)由题设知，a ＝3，c ＝4，由c 2＝a 2＋b 2得，b 2＝c 2－a 2＝42－32＝7. 因为双曲线的焦点在x 轴上，所以所求双曲线的标准方程为x 29－y 27＝1. (2)设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线经过点(3，－42)，⎝ ⎛⎭⎪⎫94，5，所以⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋32n ＝1，8116m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－19，n ＝116.故所求双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1.[课时达标检测]一、选择题1．已知双曲线的a ＝5，c ＝7，则该双曲线的标准方程为( ) A.x 225－y 224＝1 B.y 225－x 224＝1 C.x 225－y 224＝1或y 225－x 224＝1 D.x 225－y 224＝0或y 225－x 224＝0 解析：选 C 由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a ＝5，c ＝7，∴b 2＝72－52＝24.2．已知m ，n ∈R ，则“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 若方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线，则必有m ·n ＜0；当m ·n ＜0时，方程x 2m ＋y 2n ＝1表示双曲线．所以“m ·n ＜0”是“方程x 2m ＋y 2n＝1表示双曲线”的充要条件．3．已知定点A ，B 且|AB |＝4，动点P 满足|PA |－|PB |＝3，则|PA |的最小值为( ) A.12 B.32 C.72 D ．5解析：选C 如图所示，点P 是以A ，B 为焦点的双曲线的右支上的点，当点P 在点M 处时，|PA |最小，最小值为a ＋c ＝32＋2＝72.4．双曲线x 225－y 29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到焦点F 1的距离是12，则点P 到焦点F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22解析：选D 依题意及双曲线定义知，||PF 1|－|PF 2||＝10，即12－|PF 2|＝±10，∴|PF 2|＝2或22，故选D.5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为( ) A ．x 2－y 23＝1 B.x 23－y 2＝1C ．y 2－x 23＝1 D.x 22－y 22＝1 解析：选A 由双曲线定义知， 2a ＝＋2＋32－－2＋32＝5－3＝2，∴a ＝1.又∵c ＝2，∴b 2＝c 2－a 2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x 2－y 23＝1.二、填空题6．设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线y 2m －x 29＝1的一个焦点，则m ＝________.解析：由点F (0,5)可知该双曲线y 2m －x 29＝1的焦点落在y 轴上，所以m ＞0，且m ＋9＝52，解得m ＝16.答案：167．经过点P (－3,27)和Q (－62，－7)，且焦点在y 轴上的双曲线的标准方程是______________．解析：设双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，则⎩⎪⎨⎪⎧9m ＋28n ＝1，72m ＋49n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－175，n ＝125，故双曲线的标准方程为y 225－x 275＝1.答案：y 225－x 275＝18．已知双曲线的两个焦点F 1(－5，0)，F 2(5，0)，P 是双曲线上一点，且PF 1―→·PF 2―→＝0，|PF 1|·|PF 2|＝2，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意可设双曲线方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．由PF 1―→·PF 2―→＝0，得PF 1⊥PF 2.根据勾股定理得 |PF 1|2＋|PF 2|2＝(2c )2，即|PF 1|2＋|PF 2|2＝20. 根据双曲线定义有|PF 1|－|PF 2|＝±2a . 两边平方并代入|PF 1|·|PF 2|＝2得20－2×2＝4a 2，解得a 2＝4，从而b 2＝5－4＝1，所以双曲线方程为x 24－y 2＝1.答案：x 24－y 2＝1三、解答题9．已知与双曲线x 216－y 29＝1共焦点的双曲线过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线x 216－y 29＝1.据c 2＝a 2＋b 2，得c 2＝16＋9＝25，∴c ＝5. 设所求双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．依题意，c ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝25－a 2，故双曲线方程可写为x 2a 2－y 225－a 2＝1. ∵点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，－6在双曲线上， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－522a 2－－6225－a2＝1. 化简，得4a 4－129a 2＋125＝0，解得a 2＝1或a 2＝1254. 又当a 2＝1254时，b 2＝25－a 2＝25－1254＝－254＜0，不合题意，舍去，故a 2＝1，b 2＝24. ∴所求双曲线的标准方程为x 2－y 224＝1.10．已知△ABC 的两个顶点A ，B 分别为椭圆x 2＋5y 2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A ，B ，C 满足关系式sin B －sin A ＝12sin C . (1)求线段AB 的长度； (2)求顶点C 的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为x 25＋y 2＝1. ∴a 2＝5，b 2＝1，c 2＝a 2－b 2＝4，则A (－2,0)，B (2,0)，|AB |＝4.(2)∵sin B －sin A ＝12sin C ， ∴由正弦定理得|CA |－|CB |＝12|AB |＝2＜|AB |＝4，即动点C 到两定点A ，B 的距离之差为定值．∴动点C 的轨迹是双曲线的右支，并且c ＝2，a ＝1，∴所求的点C 的轨迹方程为 x 2－y 23＝1(x ＞1)．。

2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程课件14 新人教B版选修2-1

上一节,我们学习了双曲线的定义及推导出了双曲
线的标准方程,这一节我们一起来体会这些知识的运用.
学习目标
• 本节课主要是进一步了解双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题。
• 解决两种题型 • 1.求双曲线的标准方程 • 2.双曲线定义的应用
典型例题解析
练习
1.a=3,b=4,焦点在x轴上；
9k k 3
(1)方程表示椭圆，则k的取值范围是3____k___9__且__k____6_；
(2)方程表示双曲线，则k的取值范围是_k____3_或__k____9___.
3.已知双曲线8kx2 ky2 8的一个焦点为（0,3），
则k的值为（ B ）
A.1 B.－1 C. 65 D.－ 65
3
3
化简: x2 ( y 3)2 x2 ( y 3)2 4 ,使结
y2 x2 果不含根式得：_____4______5____1___(_y____0__)__
2.已知双曲线的焦点为F1（0，－6）F2（0，6）且经过点M（2，－5）求双曲线的标准方程。
3.a=5,c=7
1. x2 y2 1
9 16
2. y2 x2 1
20 16
3. x2 y2 1或 y2 x2 1
25 24
25 24
课堂练习
学习小结: 本节课主要是进一步了解双曲线的定义
及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题。
解决两种题型，1.求双曲线的标准方程 2.双曲线定义的应用
P51练习A 1,2
课堂提升
1. 已知两定点F1(-5,0),F2(5,0)，平面上一动点P，
PF1－PF2= 6，求点P的轨迹方程.

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线及其标准方程新人教A版选修

4．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)a＝2 5，经过点 A(2，－5)，焦点在 y 轴上； (2)过点 A(3,2)和 B(17,12)．
解析： (1)因为双曲线的焦点在 y 轴上，所以可设双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1(a>0，b>0)．由题设知，a＝2 5，
a＝2 5 且点 A(2，－5)在双曲线上，所以2a52－b42＝1 ，解得 a2＝20， b2＝16.
故所求双曲线的标准方程为2y02 －1x62 ＝1.
(2)若焦点在 x 轴上，设双曲线的标准方程为ax22－by22＝ 1(a>0，b>0)，
由已知条件得a19a272－2－b421b＝2221＝1
，解得 a12＝1 b12＝2
.
则双曲线的标准方程为 x2－y12＝1. 2
若焦点在 y 轴上，设双曲线的标准方程为ay22－bx22＝1(a>0， b>0)，
由已知条件得a14a222－2－b921b＝7221＝1
，解得a12＝－2 b12＝－1
，不符
合题意，舍去．
综上知，所求双曲线的标准方程为 x2－y12＝1. 2
合作探究课堂互动
求双曲线的标准方程
根据下列条件求双曲线的标准方程． (1)求以椭圆1x62 ＋y92＝1 的短轴的两个端点为焦点，且过点 A(4，－5)的双曲线的标准方程；
4 2)代入方程，联立解方程组得 a2＝16，b2＝9.
答案： A
3．与双曲线x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程是 ________(只写出一个即可)．
解析：与x82－1y02 ＝1 具有相同焦点的双曲线方程为8＋x2 k －10y－2 k＝1(－8<k<10)．

2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程2.1曲线与方程课件新人教A版选修2

B．在圆C上，但不在直线l上
C．既在圆C上，也在直线l上
D．既不在圆C上，也不在直线l上
C
2．方程(x－2)2＋(y＋2)2＝0表示的图形是
()
3．已知直线：y＝kx－k＋1与曲线C：x2＋2y2＝m有公共
点，则m的取值范围是
A
()
A．m≥3
B．m≤3
C．m>3
D．m<3
4．8x已2＋知2x＋点8Oy2－(04,y0－)，5＝A0(1，－2)，动点P满足|PA|＝3|PO|，则
(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解．曲线(2的)以方程这个方程的解为坐方标程的的曲点线都是曲线上的点，那么，这个方程叫做______________，这条曲线叫做 ______________．
1．已知圆C：(x－2)2＋(y＋1)2＝4及直线l：x＋2y－2＝0，
C上，但在直线l上
(5)通过圆锥曲线的学习，进一步体会数形结合的思想．
本章重点
曲线与方程的概念；椭圆的定义、标准方程、几何性质；双曲线的定义、标准方程、几何性质；抛物线的定义、标准方程、几何性质；直线与圆锥曲线的位置关系．
本章难点
曲线方程的求法；三种曲线的定义、标准方程、几何性质的综合应用；直线与圆锥曲线的位置关系．
〔跟踪练习 2〕已知方程 x2＋(y－1)2＝10． (1)判断点 P(1，－2)、Q( 2，3)是否在此方程表示的曲线上； (2)若点 M(m2 ，－m)在此方程表示的曲线上，求 m 的值．
[思路分析] (1)只需判断点 P，Q 的坐标是否满足方程即可；(2)M 在曲线 C 上，则 M 点的坐标满足 C 的方程，代入建立 m 的方程解之即可．
[解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，( 2)2＋(3－1)2＝6≠10， ∴点 P(1，－2)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，点 Q( 2，3)不在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上． (2)∵点 M(m2 ，－m)在方程 x2＋(y－1)2＝10 表示的曲线上，∴x＝m2 ，y＝－m 适合上述方程，即(m2 )2＋(－m－1)2＝10．解之得 m＝2 或 m＝－158， ∴m 的值为 2 或－158．

高中数学第2章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的几何性质学案苏教版选修2-1(2021年整理)

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2.3。

2 双曲线的几何性质学习目标1。

了解双曲线的几何性质（范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等)。

2。

理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程。

3。

掌握标准方程中a，b,c，e间的关系．知识点一双曲线的性质标准方程错误!－错误!＝1(a〉0,b〉0)错误!－错误!＝1 (a>0，b>0）图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈R x∈R，y≤－a或y≥a 对称性对称轴:坐标轴;对称中心：原点顶点顶点坐标：A1（－a，0),A2（a,0）顶点坐标：A1(0，－a），A2（0，a)渐近线y＝±错误!x y＝±错误!x离心率e＝错误!，e∈（1，＋∞），其中c＝错误!a，b,c间的关系c2＝a2＋b2（c〉a〉0,c>b>0）知识点二等轴双曲线思考求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长，并分析其共同点．(1）x2－y2＝1；（2)4x2－4y2＝1.答案（1）的实半轴长为1,虚半轴长为1(2）的实半轴长为错误!,虚半轴长为错误!。

它们的实半轴长与虚半轴长相等．梳理实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为 2.1．双曲线错误!－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0）的形状相同．（√）2．双曲线x2a2－错误!＝1与错误!－错误!＝1（a＞0，b＞0)的渐近线相同．(×）3．等轴双曲线的离心率为错误!。

高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.1双曲线的标准方程课件新人教B版选修2_1

x2 y2
a2 − b2 = 1,
y2 a2
−
x2 b2
=
1,
其中a>0,b>0
2.求双曲线方程的常用方法剖析:(1)待定系数法.即先设出方程的标准形式,再确定方程中的参数a,b的值,即“先定型,再定量”,若两种类型都有可能,则应进行分类讨论. (2)定义法.
典例透析
题型一
题型二
题型三
题型四
y 轴上,不是以分母的大小确定的,而是依据二次项系数的符号确定
的.
正解:将双曲线方程化为标准方程
��2 4
−
��2 9
=
1,
可知焦点在y
轴
上,则 a=2,b=3,c2=a2+b2=13,
即 c= 13.
故双曲线的焦点坐标为 F1(0,− 13), ��2(0, 13).
题型一
c2=a2+b2
名师点拨1.由求双曲线的标准方程的过程可知:只有当双曲线的两个焦点在坐标轴上,且关于原点对称时,才能得到双曲线的标准方程.反之亦成立.
2.在双曲线的标准方程中,若x2的系数为正,则焦点在x轴上;若y2 的系数为正,则焦点在y轴上.
知识梳理
【做一做 2-1】
双曲线
��2 10
=
1.
答案:��4��2
−
��2 3
=
1
重难聚焦
1.椭圆与双曲线的区别剖析:
椭圆
双曲线
MF1 + MF2 = 2��
因为 a>c>0,所以令
a2-c2=b2(b>0)
x2 y2
a2 + b2 = 1,

2018-2019学年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3 双曲线 2.3.1 双曲线及其标准方

(1)解法一：∵焦点相同， ∴设所求双曲线的标准方程为ax22－by22＝1(a>0，b>0)， ∴c2＝16＋4＝20，即 a2＋b2＝20， ∵双曲线经过点(3 2，2)， ∴1a82 －b42＝1. 由①②得 a2＝12，b2＝8， ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1．
解法二：设所求双曲线的方程为16x－2 λ－4＋y2 λ＝1(－4<λ<16)． ∵双曲线过点(3 2，2)， ∴161－8 λ－4＋4 λ＝1，解得 λ＝4 或 λ＝－14(舍去)． ∴双曲线的标准方程为1x22 －y82＝1．
〔跟踪练习 2〕 (2016·全国卷Ⅰ理，5)已知方程m2x＋2 n－3my2－2 n＝1 表示双曲线
焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是
A．(－1,3) C．(0,3)
B．(－1， 3) D．(0， 3)
[解析] 由题意得(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m2<n<3m2，又点间的距离为 4，得 m2＋n＋3m2－n＝4，且 m2＝1，所以－1<n<
a2＋b2＝c2
其中在双曲线的标准方程中a、b、c的关系为
______________．
3．椭圆、双曲线的标准方程的区别和联系.
椭圆定义|MF1|＋|MF2|＝2a 因为 a>c>0，所以令 a2－c2＝b2(b>0)
ax22＋by22＝1 或ay22＋bx22＝1(a>b>0)
双曲线
定义|MF1|－|MF2|＝因为 0<a<c，所以令 c2－
[解析] 如图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线
为y轴建立坐标系，则
B(－3,0)、A(3,0)、C(－5,2 3)．

2018年高中数学第二章圆锥曲线与方程 2.3.1 双曲线的标准方程课件12 苏教版选修1-1

x2 a2
-
y2 b2
=
1
y2 a2
-
x2 b2
=
1
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2
4、双曲线的几何性质
1、范围： 2、对称性： 3、顶点: 4、轴： 5、离心率： 6、准线方程: 7、渐近线方程：
范例导析
例1.(1)与双曲线 x2 y2 1 有共同渐近线，
双曲线的标准方程与几何性质
1、双曲线的定义:
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值
等于常数（小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
M
F1 o F2
2、双曲线的标准方程
y
y
M
M
F1 O F2 x
F2 x
O
F1
x2 a2

y2 b2
1
y2 a2

x2 b2
1
(a0， b0)
3、双曲线与椭圆之间的区别与联系：
椭圆
定义方程
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
+
y2 b2
=
1
焦点
y2 a2
+
x2 b2
=1
F（±c，0） F（0，±c）
a.b.c 的关系 a>b>0，a2=b2+c2
双曲线
||MF1|－|MF2||=2a
94
且过点 A(3,4) ,求双曲线的标准方程．
(2)双曲线有一条渐近线 l : y 1 x

2018-2019学年人教A版数学选修2-1__第二章圆锥曲线与方程2.3.2

故所求双曲线的标准方程为x2
9
−
y42=1
或y2
4
−
x92=1.
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随堂练习
UITANG LIANXI
题型一
题型二
题型三
题型四
解法二:双曲线的渐近线方程为
即x
3
±
2y=0.
y=±23x,
设双曲线的方程为x2
9
−
y42=λ(λ≠0).
y≤-a 或 y≥a
(±a,0)
(0,±a)
虚轴长=2b,实轴长=2a
F1(-c,0),F2(c,0)
F1(0,-c),F2(0,c)
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焦点的位置焦距对称性离心率渐近线
y=±x,离心率为 2,方程可表示为 x2-y2=λ(λ≠0).
【做一做 2】已知双曲线xn2 − 1y22-n=1 的离心率为 2,则 n=
.
答案:6
学习目标导航基础知识梳理重点难点突破典型例题剖析随堂练习巩固
有共同渐近线的双曲线系方程
剖析:若双曲线xa22 − by22=±1 与双曲线ax'22 − by'22=±1 有相同的渐近线,即两
��
��
续表
离心率 e=ac>1;离心率越大,ba = e2-1就越大,双曲线“张口”越大.
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