2021版高考数学一轮复习第12章复数、算法、推理与证明第1节数系的扩充与复数的引入课件文新人教A版

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2021高考数学一轮复习统考第12章算法初步、复数、推理与证明第1讲算法初步学案北师大版

第十二章算法初步、复数、推理与证明第1讲算法初步基础知识整合1．算法的框图及结构(1)算法(2)程序框图的图形．通常，程序框图由程序框和流程线组成，一个或几个程序框的组合表示算法中的一(3)三种基本逻辑结构离不开的11基本结构程序框图步骤n错误!(1)输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句14INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句15PRINT“提示内容”；表达式输出信息赋值语句16变量＝表达式17将表达式所代表的值赋给变量①IF－THEN格式②IF－THEN－ELSE格式(3)循环语句的格式及框图①UNTI L语句DO循环体LOOP UNTIL条件②WHILE语句WHILE 条件循环体WEND1．注意区分处理框与输入框，处理框主要是赋值、计算，而输入框只是表示一个算法输入的信息．2．循环结构中必有条件结构，其作用是控制循环进程，避免进入“死循环”，是循环结构必不可少的一部分．3．注意区分当型循环与直到型循环．直到型循环是“先循环，后判断，条件满足时终止循环”，而当型循环则是“先判断，后循环，条件满足时执行循环”．两者的判断框内的条件表述在解决同一问题时是不同的，它们恰好相反．1．(2019·北京高考)执行如图所示的程序框图，输出的s值为( )A．1 B．2C．3 D．4答案 B解析k＝1，s＝1；第一次循环：s＝2，判断k<3，k＝2；第二次循环：s＝2，判断k<3，k＝3；第三次循环：s＝2，判断k＝3，故输出2.故选B.2．下列程序段执行后，变量a，b的值分别为( )a＝15b＝20a＝a＋bb＝a－ba＝a－bPRINT a，bA．20,15 B．35,35C．5,5 D．－5，－5答案 A解析a＝15，b＝20，把a＋b赋给a，因此得出a＝35，再把a－b赋给b，即b＝35－20＝15.再把a－b赋给a，此时a＝35－15＝20，因此最后输出的a，b的值分别为20,15.故选A.3．(2019·武昌调研)执行如图所示的程序框图，如果输入的a 依次为2,2,5时，输出的S 为17，那么在判断框中可以填入( )A ．k >nB ．k <nC ．k ≥nD ．k ≤n 答案 A解析第一次输入a ＝2，此时S ＝0×2＋2＝2，k ＝0＋1＝1，不满足k ＝1>n ＝2；第二次输入a ＝2，此时S ＝2×2＋2＝6，k ＝1＋1＝2，不满足k ＝2>n ＝2；第三次输入a ＝5，此时S ＝6×2＋5＝17，k ＝2＋1＝3，满足k ＝3>n ＝2，循环终止，输出的S ＝17.故选A.4．(2019·湖南郴州模拟)执行如图所示的程序框图，输出S 的值为12时，k 是( )A ．5B ．3C ．4D ．2答案 A解析模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为k ＝2，k ＝3，k ＝4，k ＝5，大于4，可得S ＝sin 5π6＝12，输出S 的值为12.故选A.5．(2020·锦州摸底)若如图所示的程序框图输出的S 是30，则在判断框中M 表示的“条件”应该是( )A ．n ≥3B ．n ≥4C ．n ≥5D ．n ≥6 答案 B解析第一次循环，n ＝1，S ＝2；第二次循环，n ＝2，S ＝6；第三次循环，n ＝3，S ＝14；第四次循环，n ＝4，S ＝30，故选B.6．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为1，则输出n 的值为________．答案 3解析第一次：x＝1，x2－4x＋3＝0≤0.第二次：x＝2，n＝1，x2－4x＋3＝－1≤0.第三次：x＝3，n＝2，x2－4x＋3＝0≤0.第四次：x＝4，n＝3，x2－4x＋3＝3>0，输出n，程序结束．核心考向突破考向一算法的基本结构例 1 (2019·全国卷Ⅲ)执行如图所示的程序框图，如果输入的为0.01，则输出s 的值等于( )A ．2－124B ．2－125C ．2－126D ．2－127答案 C 解析＝0.01，x ＝1，s ＝0，s ＝0＋1＝1，x ＝12，x <不成立； s ＝1＋12，x ＝14，x <不成立； s ＝1＋12＋14，x ＝18，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18，x ＝116，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116，x ＝132，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132，x ＝164，x <不成立； s ＝1＋12＋14＋18＋116＋132＋164，x ＝1128，x <成立，此时输出s＝2－126.故选C.利用循环结构表示算法应注意的问题(1)注意是利用当型循环结构，还是直到型循环结构．(2)注意准确选择表示累计的变量．(3)注意在哪一步开始循环，满足什么条件不再执行循环体．[即时训练] 1.(2019·天津高考)阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为( )A．5B．8C．24D．29答案 B解析i＝1，S＝0，i不是偶数；第一次循环：S＝1，i＝2<4；第二次循环：i是偶数，j＝1，S＝5，i＝3<4；第三次循环：i不是偶数，S＝8，i＝4，满足i≥4，输出S，结果为8.故选B.2．(2020·濮阳模拟)执行如图所示的程序框图(其中b＝c mod 10表示b等于c除以10的余数)，则输出的b为( )A．2 B．4C．6 D．8答案 D解析a＝2，b＝8，n＝1；c＝16，a＝8，b＝6，n＝2；c＝48，a＝6，b＝8，n＝3；c ＝48，a＝8，b＝8，n＝4；c＝64，a＝8，b＝4，n＝5；c＝32，a＝4，b＝2，n＝6；c＝8，a＝2，b＝8，n＝7，…，易知该程序框图中a，b的值以6为周期重复出现．又因为2019＝6×336＋3，所以当n＝2019时，b＝8.故选D.精准设计考向，多角度探究突破考向二算法的交汇性问题角度1算法与函数的交汇例2 (2019·潍坊模拟)执行右边的程序框图，如果输出的y值为1，则输入的x值为( )A ．0B ．eC ．0或eD ．0或1 答案 C解析程序对应的函数为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧e x，x ≤0，2－ln x ，x >0.若x ≤0，由y ＝1，得e x＝1，得x ＝0，满足条件；若x ＞0，由y ＝2－ln x ＝1，得ln x ＝1，即x ＝e ，满足条件．综上，输入的x 值为0或e ，故选C.角度2 算法与数列的交汇例3 (2020·西宁模拟)执行如图所示的程序框图，若输入n ＝10，则输出的S 的值是( )A.910B.1011C.1112D.922答案 B解析模拟程序的运行，可得程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S ＝11×2＋12×3＋…＋110×11的值，可得S ＝11×2＋12×3＋…＋110×11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－111＝1－111＝1011.故选B.角度3 算法与统计的交汇例4 (2019·九江联考)图1是随机抽取的15户居民月均用水量(单位：吨)的茎叶图，月均用水量依次记为A 1，A 2，…，A 15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，则输出的n 的值为________．答案7解析由程序框图，知算法的功能是计算15户居民中月均用水量大于2.1的户数，由茎叶图得，在这15户居民中，月均用水量大于2.1的户数为7，故输出的n的值为7.解决算法的交汇性问题的方法循环结构的程序框图与数列、不等式、统计等知识综合是高考命题的一个热点，解决此类问题时应把握三点：一是初始值，即计数变量与累加变量的初始值；二是两个语句，即循环结构中关于计数变量与累加变量的赋值语句；三是一个条件，即循环结束的条件，注意条件与流程线的对应关系．[即时训练] 3.(2020·宁夏银川模拟)执行如图所示的程序框图，如果输入的t∈[－2,2]，则输出的S属于( )A ．[－6，－2]B ．[－5，－1]C ．[－4,5]D ．[－3,6]答案 D解析当0≤t ≤2时，S ＝t －3∈[－3，－1]．当－2≤t ＜0时,2t 2＋1∈(1,9]，则S ∈(－2,6]．综上，当－2≤t ≤2时，S ∈[－3,6]，故选D.4．(2019·湖南长沙模拟)如图，给出的是计算1＋14＋17＋…＋1100的值的一个程序框图，则图中判断框内的(1)处和执行框中的(2)处应填的语句是( )A ．i >100，n ＝n ＋1B ．i <34，n ＝n ＋3C ．i >34，n ＝n ＋3D ．i ≥34，n ＝n ＋3答案 C解析算法的功能是计算1＋14＋17＋…＋1100的值，易知1,4,7，…，100成等差数列，公差为3，所以执行框中的(2)处应为n ＝n ＋3，令1＋(i －1)×3＝100，解得i ＝34，所以终止程序运行的i 值为35，所以判断框内的(1)处应为i >34，故选C.5．在2018～2019赛季NBA 季后赛中，当一个球队进行完7场比赛被淘汰后，某个篮球爱好者对该队的7场比赛得分情况进行统计，如下表：为了对这个队的情况进行分析，此人设计计算σ的算法流程图如图所示(其中x 是这7场比赛的平均得分)，求输出的σ的值．解由题意，知x －＝17×(100＋104＋98＋105＋97＋96＋100)＝100，由算法流程图可知s ＝(100－100)2＋(104－100)2＋(98－100)2＋(105－100)2＋(97－100)2＋(96－100)2＋(100－100)2＝70.故σ＝s7＝10. 考向三基本算法语句例5 (1)(2019·福州质检)下列程序语句的算法功能是( )INPUT a，b，cIF a<b THENa＝bEND IFIF a<c THENa＝cEND IFPRINT aENDA．输出a，b，c三个数中的最大数B．输出a，b，c三个数中的最小数C．将a，b，c从小到大排列D．将a，b，c从大到小排列答案 A解析由程序语句可知，当比较a，b的大小后，选择较大的数赋给a；当比较a，c的大小后，选择较大的数赋给a，最后输出a，所以此程序的作用是输出a，b，c三个数中的最大数．故选A.(2)运行下面的程序，执行后输出的s的值是( )A．11 B．15C．17 D．19答案 B解析当i＝3时，s＝7，当i＝5时，s＝11，当i＝7时，s＝15，此时不满足“i<6”，所以输出s＝15，故选B.基本算法语句应用中需注意的问题(1)赋值号“＝”的左、右两边不能对调，A ＝B 和B ＝A 的含义及运行结果是不同的． (2)不能利用赋值语句进行代数式的演算(如化简、因式分解等)，在赋值语句中的赋值号右边的表达式中每一个“变量”都必须事先赋给确定的值．(3)赋值号与数学中的等号意义不同，比如在数学中式子N ＝N ＋1一般是错误的，但在赋值语句中它的作用是将原有的N 的值加上1再赋给变量N ，这样原来的值被“冲”掉．[即时训练] 6.阅读下面的程序：如果上述程序输入的值是51，则运行结果是( ) A ．51 B ．15 C ．105 D ．501答案 B解析因为51÷10＝5……1，所以a ＝5，b ＝1，x ＝10×1＋5＝15.故选B .7．(2019·龙岩质检)如图所示的程序，若最终输出的结果为6364，则在程序中“____？____”处应填入的语句为( )S＝0n＝2i=1DOS＝S＋1/nn＝2*ni＝i+1LOOP UNTIL ?PRINT SENDA．i>＝8 B．i>＝7C．i<7 D．i<8答案 B解析S＝0，n＝2，i＝1，执行S＝12，n＝4，i＝2；S＝12＋14＝34，n＝8，i＝3；S＝34＋18＝78，n＝16，i＝4；S＝78＋116＝1516，n＝32，i＝5；S＝1516＋132＝3132，n＝64，i＝6；S＝3132＋164＝6364，n＝128，i＝7.此时满足题目条件输出的S＝6364，∴“？”处应填上i>＝7.故选B.(2019·沈阳模拟)程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作．卷八中第33问：“今有三角果一垛，底阔每面七个．问该若干？”如图是解决该问题的程序框图．执行该程序框图，求得该垛果子的总数S为( )A．120 B．84C．56 D．28答案 B解析初始值i＝0，n＝0，S＝0，第一次循环，i＝1，n＝1，S＝1；第二次循环，i＝2，n＝3，S＝4；第三次循环，i＝3，n＝6，S＝10；第四次循环，i＝4，n＝10，S＝20；第五次循环，i＝5，n＝15，S＝35；第六次循环，i＝6，n＝21，S＝56；第七次循环，i＝7，n＝28，S＝84，此时退出循环，输出S＝84，故选B.答题启示求解循环结构的程序框图题的“三注意”(1)注意是当型循环结构，还是直到型循环结构；(2)注意选择准确的表示累计的变量；(3)注意在哪一步开始循环，及执行循环体的条件．对点训练“欧几里得算法”是有记载的最古老的算法，可追溯至公元前300年前，如图所示的程序框图的算法思路就是来源于“欧几里得算法”．执行该程序框图(图中“a MOD b”表示a 除以b的余数)，若输入的a，b分别为675,125，则输出的a＝()C．50 D．75答案 B解析初始值：a＝675，b＝125，第一次循环：c＝50，a＝125，b＝50；第二次循环：c＝25，a＝50，b＝25；第三次循环：c＝0，a＝25，b＝0，此时不满足循环条件，退出循环．输出a的值为25，故选B.21。

2021高考数学一轮复习统考第12章算法初步、复数、推理与证明第2讲数系的扩充与复数的引入课件北师大版

易得|z|＝
122＋－122＝
2 2.
解析
2
PART TWO
核心考向突破
考向一复数的有关概念
a＋i 例 1 (1)(2019·唐山模拟)已知复数 z 为纯虚数，z＝1＋i(i 为虚数单位)，
则实数 a＝( )
A．1
B．－1
C．2
D．－2
a＋i a＋i1－i a＋1＋1－ai
a＋1
解析 ∵z＝1＋i＝1＋i1－i＝
(4)复数的模向量O→Z的模 r 叫做复数 z＝a＋bi 的模，记作 07 __|_z_| _____或 08 ___|_a_＋__b_i|____，即|z|＝|a＋bi|＝r＝ 09 __a_2_＋__b_2__(r≥0，r∈R)． 2．复数的几何意义 (1)复数 z＝a＋bi一一对应复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)； (2)复数 z＝a＋bi一一对应平面向量O→Z (a，b∈R)．
解析 ∵z＝11＋－ii＋i＝1－1i＋1i＋2 i＋i＝22i＋i＝2i，
∴z 的虚部为 2.故选 D.
解析答案
4．(2019·开封模拟)已知复数 z＝－12＋i，则(
)
A．z 的模为 2
B．z 的实部为 1
C．z 的虚部为－1
D．z 的共轭复数为 1＋i
解析根据题意可知，－12＋i＝2－21－i＝－1－i，所以 z 的虚部为－1，
1．(1±i)2＝±2i；11－＋ii＝i；11－＋ii＝－i.
2．－b＋ai＝i(a＋bi)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
5．z·－z ＝|z|2＝|－z |2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，zz12＝||zz12||，|zn|＝|z|n. 6．复数加法的几何意义：若复数 z1，z2 对应的向量O→Z1，O→Z2不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1，O→Z2为邻边的平行四边形的对角线O→Z 所对应的复数． 7．复数减法的几何意义：复数 z1－z2 是O→Z1－O→Z2＝Z→2Z1所对应的复数．

2021版高考数学一轮复习第12章推理与证明、算法、复数第1节合情推理与演绎推理课件理新人教A版

‖知识梳理‖
1．合情推理
类型
定义
特征
归纳推理
由 3 _部__分______到
由某类事物的 1 ___部__分____对象具有某些特征，推出该类 4 _整__体______、由 5
事物的 2 ___全__部____对象都具有这些特征的推理
__个__别_____到 6
_一__般______
类型
定义
解析：类比三角形中的正弦定理，在四面体 S－ABC 中，我们猜想sinS1α1＝sinS2α2＝sinS3α3 成立．
解析：∵f(21)＝32，f(22)>2＝42，f(23)>52，f(24)>62，∴归纳得，f(2n)≥n＋2 2. 答案：f(2n)≥n＋2 2
2
课堂 ·考点突破
考点一类比推理
|题组突破|
1．(2019 届江西宜春中学期中)在平面几何中有如下结论：正△ABC 的内切圆面积为
S1，外接圆面积为 S2，则SS12＝14，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体 P－ABC
理的推理方法为主，常以演绎推理的
2.了解演绎推理的重要性，掌握演绎方法根据几个人的不同说法作出推逻辑推理
推理的基本模式，并能运用它们进行理判断进行命题．在高考中以选择
一些简单推理.
题、填空题的形式进行考查，属于中、
3.了解合情推理和演绎推理之间的高档题，分值为 5 分.
联系和差异.
1
课前 ·基础巩固
推理再进行归纳、 12 __类__比_____，然后提出 13 __猜__想_____的推理
2.演绎推理 (1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到 14 __特__殊_____的推理． (2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： ①大前提——已知的一般原理； ②小前提——所研究的特殊情况； ③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

(通用版)2021版高考数学一轮复习第12章复数、算法、推理与证明1第1讲数系的扩充与复数的引入教案

第1讲数系的扩大与复数的引入知识点考纲下载复数理解复数的根本概念，理解复数相等的充要条件．了解复数的代数表示法及其几何意义．会进展复数代数形式的四那么运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义．算法与程序框图了解算法的含义，了解算法的思想．理解程序框图的三种根本逻辑构造：顺序、条件分支、循环；理解几种根本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义．合理推理与演绎推理了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进展简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用．了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的根本模式，并能运用它们进展一些简单推理．了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．直接证明与间接证明了解直接证明的两种根本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点．了解间接证明的一种根本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点．数学归纳法了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.1．复数的有关概念 (1)复数的定义形如a ＋b i(a ，b ∈R )的数叫做复数，其中实部是a ，虚部是b ． (2)复数的分类复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⎩⎪⎨⎪⎧实数〔b ＝0〕，虚数〔b ≠0〕⎩⎪⎨⎪⎧纯虚数〔a ＝0，b ≠0〕，非纯虚数〔a ≠0，b ≠0〕.(3)复数相等a ＋b i ＝c ＋d i ⇔a ＝c 且b ＝d (a ，b ，c ，d ∈R )．(4)共轭复数a ＋b i 与c ＋d i 共轭⇔a ＝c 且b ＝－d (a ，b ，c ，d ∈R )．(5)复数的模向量OZ →的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模，记作|z |或|a ＋b i|，即|z |＝|a ＋b i|＝r ＝a 2＋b 2(r ≥0，a 、b ∈R )． 2．复数的几何意义 (1)复数z ＝a ＋b i复平面内的点Z (a ，b )(a ，b ∈R )．(2)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R ) 平面向量OZ →．3．复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法那么设z 1＝a ＋b i ，z 2＝c ＋d i(a ，b ，c ，d ∈R )，那么 ①加法：z 1＋z 2＝(a ＋b i)＋(c ＋d i)＝(a ＋c )＋(b ＋d )i ； ②减法：z 1－z 2＝(a ＋b i)－(c ＋d i)＝(a －c )＋(b －d )i ； ③乘法：z 1·z 2＝(a ＋b i )·(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(ad ＋bc )i ； ④除法：z 1z 2＝a ＋b ic ＋d i ＝〔a ＋b i 〕〔c －d i 〕〔c ＋d i 〕〔c －d i 〕＝ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －adc 2＋d 2i(c ＋d i ≠0)．(2)复数加法的运算定律复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z 1，z 2，z 3∈C ，有z 1＋z 2＝z 2＋z 1，(z 1＋z 2)＋z 3＝z 1＋(z 2＋z 3)．判断正误(正确的打“√〞，错误的打“×〞) (1)假设a ∈C ，那么a 2≥0.( )(2)z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，当a ＝0时，复数z 为纯虚数．( ) (3)复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )中，虚部为b i.( ) (4)方程x 2＋x ＋1＝0没有解．( )(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比拟大小，因而在复数范围内两个数也能比拟大小．( )答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (2021·高考全国卷Ⅱ)3＋i1＋i ＝( )A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i解析：选D.3＋i 1＋i ＝〔3＋i 〕〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝4－2i2＝2－i ，选择D.(2021·高考北京卷)假设复数(1－i)(a ＋i)在复平面内对应的点在第二象限，那么实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，－1)C ．(1，＋∞)D ．(－1，＋∞)解析：选 B.因为z ＝(1－i)(a ＋i)＝a ＋1＋(1－a )i ，所以它在复平面内对应的点为(a ＋1，1－a )，又此点在第二象限，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1<0，1－a >0，解得a <－1，应选B.(教材习题改编)在复平面内，6＋5i 对应的向量为OA →，AB →＝(4，5)，那么OB →对应的复数为________．解析：OA →＝(6，5)，AB →＝(4，5)，那么OB →＝OA →＋AB →＝(10，10)．答案：10＋10i(教材习题改编)(1＋2i) z －＝4＋3i ，那么z ＝________．解析：因为z －＝4＋3i 1＋2i ＝〔4＋3i 〕〔1－2i 〕〔1＋2i 〕〔1－2i 〕＝10－5i 5＝2－i ，所以z ＝2＋i.答案：2＋i复数的有关概念[典例引领](1)(2021·高考全国卷Ⅲ)设复数z 满足(1＋i)z ＝2i ，那么|z |＝( ) A.12 B.22C. 2D ．2(2)(2021·高考天津卷)a ∈R ，i 为虚数单位，假设a －i2＋i为实数，那么a 的值为________．【解析】 (1)z ＝2i 1＋i ＝2i 〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝i(1－i)＝1＋i ，所以|z |＝ 2.(2)由a －i 2＋i ＝〔a －i 〕〔2－i 〕5＝2a －15－2＋a 5i 是实数，得－2＋a 5＝0，所以a ＝－2.【答案】 (1)C (2)－2解决复数概念问题的方法及考前须知(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．(2)解题时一定要先看复数是否为a ＋b i(a ，b ∈R )的形式，以确定实部和虚部．[通关练习]1．(2021·合肥市第一次教学质量检测)复数z ＝2＋i1－i (i 为虚数单位)，那么z 的共轭复数为( )A.32＋32i B.12－32i C.12＋32i D.32－32i 解析：选B.z ＝2＋i 1－i ＝〔2＋i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕〔1＋i 〕＝12＋32i ，所以z 的共轭复数为12－32i ，应选B.2．(2021·陕西省高三教学质量检测试题(一))设(a ＋i)2＝b i ，其中a ，b 均为实数．假设z ＝a ＋b i ，那么|z |＝( )A ．5 B. 5 C ．3 D. 3解析：选B.由(a ＋i)2＝b i 得a 2－1＋2a i ＝b i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－1＝02a ＝b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1b 2＝4，故复数z ＝a ＋b i的模|z |＝a 2＋b 2＝1＋4＝5，选B.复数的几何意义[典例引领](1)设复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i(i 为虚数单位)，那么z 1z 2＝( )A ．－5B ．5C ．－4＋iD ．－4－i(2)假设复数z 满足|z －i|≤2(i 为虚数单位)，那么z 在复平面内所对应的图形的面积为________．【解析】 (1)因为复数z 1，z 2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z 1＝2＋i ，所以z 2＝－2＋i ，所以z 1z 2＝(2＋i)(－2＋i)＝－5.(2)设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R )，由|z －i|≤2得|x ＋(y －1)i|≤2，所以x 2＋〔y －1〕2≤2，所以x 2＋(y －1)2≤2，所以z 在复平面内所对应的图形是以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆及其内部，它的面积为2π. 【答案】 (1)A (2)2π复数的几何意义及应用(1)复数z 、复平面上的点Z 及向量OZ →相互联系，即z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )⇔Z (a ，b )⇔OZ →. (2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．[通关练习]1．(2021·高考全国卷Ⅱ)z ＝(m ＋3)＋(m －1)i 在复平面内对应的点在第四象限，那么实数m 的取值范围是( ) A ．(－3，1) B ．(－1，3) C ．(1，＋∞) D ．(－∞，－3)解析：选A.由可得复数z 在复平面内对应的点的坐标为(m ＋3，m －1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＋3＞0，m －1＜0，解得－3＜m ＜1，应选A.2. (2021·宝鸡九校联考)如图，在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA →，OB →，那么复数z 1·z 2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限解析：选D.由OA →＝(－2，－1)，OB →＝(0，1)，所以z 1＝－2－i ，z 2＝i ，z 1z 2＝1－2i ，它所对应的点为(1，－2)，在第四象限．复数代数形式的运算[典例引领](1)(2021·广东省五校协作体第一次诊断考试)a 为实数，假设复数z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，那么a ＋i 2 0201＋i＝( )A ．1B ．0C ．1＋iD ．1－i(2)(2021·武汉市武昌区调研)(z －－1＋3i)(2－i)＝4＋3i(其中i 是虚数单位，z －是z 的共轭复数)，那么z 的虚部为( ) A ．1 B ．－1 C ．iD ．－i【解析】 (1)z ＝(a 2－1)＋(a ＋1)i 为纯虚数，那么有a 2－1＝0，a ＋1≠0，得a ＝1，那么有1＋i 2 0201＋i ＝1＋11＋i ＝2〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝1－i.(2)因为z －＝4＋3i2－i ＋1－3i ＝〔4＋3i 〕〔2＋i 〕〔2－i 〕〔2＋i 〕＋1－3i ＝1＋2i ＋1－3i ＝2－i ，所以z ＝2＋i ，z 的虚部为1，应选A. 【答案】 (1)D (2)A复数代数形式运算问题的解题策略(1)复数的乘法：复数的乘法类似于多项式的乘法运算，可将含有虚数单位i 的看作一类同类项，不含i 的看作另一类同类项，分别合并即可．(2)复数的除法：除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i 的幂写成最简形式．计算以下各式的值：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2；(2)2＋4i 〔1＋i 〕2；(3)1＋i 1－i ＋i 3.解：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 1＋i 2＝4i2〔1＋i 〕2＝－42i ＝2i. (2)2＋4i 〔1＋i 〕2＝2＋4i 2i＝2－i. (3)1＋i 1－i ＋i 3＝〔1＋i 〕2〔1－i 〕〔1＋i 〕＋i 3＝2i 2＋i 3＝i －i ＝0.复数的运算技巧(1)设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，利用复数相等和相关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法．(2)在复数代数形式的四那么运算中，加、减、乘运算按多项式运算法那么进展，除法那么需分母实数化．复数代数运算中常用的几个结论在进展复数的代数运算时，记住以下结论，可提高计算速度． (1)(1±i)2＝±2i ；1＋i 1－i ＝i ；1－i 1＋i ＝－i ；(2)－b ＋a i ＝i(a ＋b i)； (3)i 4n＝1，i4n ＋1＝i ，i4n ＋2＝－1，i4n ＋3＝－i ，i 4n ＋i4n ＋1＋i4n ＋2＋i4n ＋3＝0，n ∈N *.辨明三个易误点(1)两个虚数不能比拟大小．(2)利用复数相等a ＋b i ＝c ＋d i 列方程时，注意a ，b ，c ，d ∈R 的前提条件．(3)注意不能把实数集中的所有运算法那么和运算性质照搬到复数集中来．例如，假设z 1，z 2∈C ，z 21＋z 22＝0，就不能推出z 1＝z 2＝0；z 2<0在复数范围内有可能成立．1．(2021·高考山东卷)a ∈R ，i 是虚数单位．假设z ＝a ＋3i ，z ·z －＝4，那么a ＝( )A ．1或－1 B.7或－7 C ．－ 3D. 3解析：选A.法一：由题意可知z －＝a －3i ，所以z ·z －＝(a ＋3i)(a －3i)＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.法二：z ·z －＝|z |2＝a 2＋3＝4，故a ＝1或－1.2．(2021·商丘模拟)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，那么a ＋b ＝( ) A ．－7 B ．7 C ．－4D ．4解析：选A.因为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2i 2＝1＋4i ＋4i 2＝－3－4i ，所以－3－4i ＝a ＋b i ，那么a ＝－3，b ＝－4，所以a ＋b ＝－7，应选A.3．(2021·河南洛阳模拟)设复数z 满足z －＝|1－i|＋i(i 为虚数单位)，那么复数z ＝( ) A.2－i B.2＋i C ．1D ．－1－2i解析：选A.复数z 满足z －＝|1－i|＋i ＝2＋i ，那么复数z ＝2－i.应选A. 4．设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，那么z 2－2z＝( )A ．1＋3iB ．1－3iC ．－1＋3iD ．－1－3i解析：选 C.因为z ＝1＋i ，所以z 2＝(1＋i)2＝1＋2i ＋i 2＝2i ，2z ＝21＋i＝2〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝2〔1－i 〕1－i 2＝2〔1－i 〕2＝1－i ，那么z 2－2z ＝2i －(1－i)＝－1＋3i.应选C.5．(2021·福建宁德模拟)在复平面内，复数z ＝3＋5i1＋i(i 为虚数单位)对应的点的坐标是( ) A ．(1，4) B ．(4，－1) C ．(4，1)D ．(－1，4)解析：选C.因为z ＝3＋5i 1＋i ＝〔3＋5i 〕〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝8＋2i2＝4＋i ，所以在复平面内，复数z对应的点的坐标是(4，1)，应选C.6．设z ＝11＋i ＋i(i 为虚数单位)，那么|z |＝( )A.12B.22C.32D ．2解析：选 B.因为z ＝11＋i ＋i ＝1－i 〔1＋i 〕〔1－i 〕＋i ＝1－i 2＋i ＝12＋12i ，所以|z |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝22.7．(2021·湖南省东部六校联考)i 是虚数单位，设复数z 1＝1＋i ，z 2＝1＋2i ，那么z 1z 2在复平面内对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选 D.由题可得，z 1z 2＝1＋i 1＋2i ＝〔1＋i 〕〔1－2i 〕〔1＋2i 〕〔1－2i 〕＝35－15i ，对应在复平面上的点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－15，在第四象限．8．假设复数z 满足(3－4i)z ＝|4＋3i|，那么z 的虚部为( ) A ．－4 B ．－45C ．4D.45解析：选 D.因为|4＋3i|＝42＋32＝5，所以z ＝53－4i ＝5〔3＋4i 〕〔3－4i 〕〔3＋4i 〕＝3＋4i 5＝35＋45i ，所以z 的虚部为45. 9．(2021·兰州市高考实战模拟)i 是虚数单位，假设复数a －i 1＋i(a ∈R )的实部与虚部相等，那么a ＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2解析：选 B.a －i 1＋i ＝〔a －i 〕〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝〔a －1〕－〔a ＋1〕i2，又复数a －i1＋i的实部与虚部相等，所以a －12＝－a ＋12，解得a B.10．(2021·福建省普通高中质量检查)假设复数z 满足(1＋i)z ＝|3＋i|，那么在复平面内，z －对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选A.由题意，得z ＝〔3〕2＋121＋i ＝2〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝1－i ，所以z －＝1＋i ，其在复平面内对应的点为(1，1)，位于第一象限，应选A.11．(2021·成都市第二次诊断性检测)假设虚数(x －2)＋y i(x ，y ∈R )的模为3，那么y x的最大值是( ) A.32B.33C.12D. 3解析：选D.因为(x －2)＋y i 是虚数，所以y ≠0，又因为|(x －2)＋y i|＝3，所以(x －2)2＋y 2＝3.因为yx是复数x ＋y i 对应点的斜率，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫y xmax＝tan ∠AOB ＝3，所以y x的最大值为 3.12．(2021·高考全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p 1：假设复数z 满足1z ∈R ，那么z ∈R ；p 2：假设复数z 满足z 2∈R ，那么z ∈R ； p 3：假设复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，那么z 1＝z 2； p 4：假设复数z ∈R ，那么z ∈R .其中的真命题为( ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4解析：选B.设复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，对于p 1，因为1z ＝1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，所以b ＝0，所以z ∈R ，所以p 1是真命题；对于p 2，因为z 2＝(a ＋b i)2＝a 2－b 2＋2ab i ∈R ，所以ab ＝0，所以a ＝0或b ＝0，所以p 2不是真命题；对于p 3，设z 1＝x ＋y i(x ，y ∈R )，z 2＝c ＋d i(c ，d ∈R )，那么z 1z 2＝(x ＋y i)(c ＋d i)＝cx －dy ＋(dx ＋cy )i ∈R ，所以dx ＋cy ＝0，取z 1＝1＋2i ，z 2＝－1＋2i ，z 1≠z －2，所以p 3不是真命题；对于p 4，因为z ＝a ＋b i ∈R ，所以b ＝0，所以z －＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4是真命题．应选B.13．(2021·高考江苏卷)复数z ＝(1＋i)(1＋2i)，其中i 是虚数单位，那么z 的模是________．解析：法一：复数z ＝1＋2i ＋i －2＝－1＋3i ，那么|z |＝〔－1〕2＋32＝10. 法二：|z |＝|1＋i|·|1＋2i|＝2×5＝10. 答案：1014．复数z ＝4＋2i〔1＋i 〕2(i 为虚数单位)在复平面内对应的点在直线x －2y ＋m ＝0上，那么m ＝________．解析：z ＝4＋2i 〔1＋i 〕2＝4＋2i 2i ＝〔4＋2i 〕i2i2＝1－2i ，复数z 在复平面内对应的点的坐标为(1，－2)，将其代入x －2y ＋m ＝0，得m ＝－5. 答案：－515．(2021·辽宁师大附中期中)设复数z 的共轭复数为z －，假设z ＝1－i(i 为虚数单位)，那么z －z＋z 2的虚部为________．解析：因为z ＝1－i(i 为虚数单位)，所以z －z ＋z 2＝1＋i 1－i ＋(1－i)2＝〔1＋i 〕2〔1－i 〕〔1＋i 〕－2i ＝2i 2－2i ＝－i.故其虚部为－1.答案：－116．当复数z ＝(m ＋3)＋(m －1)i(m ∈R )的模最小时，4i z ＝________．解析：|z |＝〔m ＋3〕2＋〔m －1〕2＝2m 2＋4m ＋10＝2〔m ＋1〕2＋8，所以当m ＝－1时，|z |min ＝22，所以4i z ＝4i 2－2i ＝4i 〔2＋2i 〕8＝－1＋i. 答案：－1＋i1．复数z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)，那么“z 为纯虚数〞的一个充分不必要条件是( )A ．θ＝π4B ．θ＝π2C ．θ＝3π4D ．θ＝5π4解析：选C.z ＝(cos θ－isin θ)(1＋i)＝(cos θ＋sin θ)＋(cos θ－sin θ)i.z 是纯虚数等价于⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＋sin θ＝0，cos θ－sin θ≠0，等价于θ＝3π4＋k π，k ∈Z .应选C. 2．假设实数a ，b ，c 满足a 2＋a ＋b i<2＋c i(其中i 2＝－1)，集合A ＝{x |x ＝a }，B ＝{x |x ＝b ＋c }，那么A ∩∁R B 为( )A ．∅B ．{0}C ．{x |－2<x <1}D ．{x |－2<x <0或0<x <1}解析：选 D.由于只有实数间才能比拟大小．故a2＋a ＋b i<2＋c i ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a <2，b ＝c ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－2<a <1，b ＝c ＝0，因此A ＝{x |－2<x <1}，B ＝{0}，故A ∩∁R B ＝{x |－2<x <1}∩{x |x ∈R ，x ≠0}＝{x |－2<x <0或0<x <1}．3．－3＋2i 是方程2x 2＋px ＋q ＝0的一个根，且p ，q ∈R ，那么p ＋q ＝________．解析：由题意得2(－3＋2i)2＋p (－3＋2i)＋q ＝0，即2(5－12i)－3p ＋2p i ＋q ＝0，即(10－3p ＋q )＋(－24＋2p )i ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧10－3p ＋q ＝0，－24＋2p ＝0.所以p ＝12，q ＝26，所以p ＋q ＝38.答案：384．复数z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i，那么复数z 在复平面内对应点的坐标为________．解析：因为i 4n ＋1＋i4n ＋2＋i 4n ＋3＋i 4n ＋4＝i ＋i 2＋i 3＋i 4＝0，而2 018＝4×504＋2，所以z ＝i ＋i 2＋i 3＋…＋i 2 0181＋i ＝i ＋i 21＋i ＝－1＋i 1＋i＝〔－1＋i 〕〔1－i 〕〔1＋i 〕〔1－i 〕＝2i 2＝i ，对应的点为(0，1)．答案：(0，1)5．计算：(1)〔1＋2i 〕2＋3〔1－i 〕2＋i； (2)1－i 〔1＋i 〕2＋1＋i 〔1－i 〕2； (3)1－3i 〔3＋i 〕2. 解：(1)〔1＋2i 〕2＋3〔1－i 〕2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i＝i 2＋i ＝i 〔2－i 〕5＝15＋25i. (2)1－i 〔1＋i 〕2＋1＋i 〔1－i 〕2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. (3)1－3i 〔3＋i 〕2＝〔3＋i 〕〔－i 〕〔3＋i 〕2＝－i 3＋i＝〔－i 〕〔3－i 〕4 ＝－14－34i. 6．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，假设z 1＋z 2是实数，求实数a 的值．解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝⎝⎛⎭⎪⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13〔a ＋5〕〔a －1〕＋(a 2＋2a －15)i. 因为z －1＋z 2是实数，所以a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3.因为a ＋5≠0，所以a ≠－5，故a ＝3.。

2021版高考数学一轮复习第12章推理与证明、算法、复数第3节算法初步课件理新人教A版

答案：D
三、易错自纠 4．如图给出的是计算12＋14＋16＋18＋…＋1100的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( ) A．i<50? B．i>50? C．i<25? D．i>25?
解析：选 B 因为该循环体需要运行 50 次，i 的初始值是 1，间隔是 1，所以 i＝50 时不满足判断框内的条件，而 i＝51 时满足判断框内条件，所以判断框内的条件可以填入 i>50？故选 B．
第十二章推理与证明、算法、复数
第三节算法初步
栏
课前 ·基础巩固 1
目
导
课堂 ·考点突破 2
航
3 课时 ·跟踪检测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解算法的含义，了解算法的思
想. 2.理解程序框图的三种基本逻辑结构：顺序结构、条件结构、循环结构. 3.理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件
考点程序框图的补全问题
【例】
(1)(2019 年全国卷Ⅰ)如图是求2＋12＋1 12的程序框图，图中空白框中应填入
()
A．A＝2＋1 A B．A＝2＋A1 C．A＝1＋12A D．A＝1＋21A
(2)(2019 届河北九校第二次联考)执行如图所示的程序框图，如果输入的 a，b，k 分别为 1，2，4，输出的 M＝185，那么判断框中应填入的条件为( )
5．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，输出 s 的值等于( )
A．－3 B．－10
C．0
D．－2
解析：选 A 第一次循环：k＝0＋1＝1，满足 k<4，s＝2×1－1＝1；第二次循环： k＝1＋1＝2，满足 k<4，s＝2×1－2＝0；第三次循环：k＝2＋1＝3，满足 k<4，s＝2×0 －3＝－3；第四次循环：k＝3＋1＝4，不满足 k<4，故输出的 s＝－3.故选 A．

高中数学一轮复习理数通用版：第十二章推理与证明、算法、复数 Word版含解析

第十二章⎪⎪⎪推理与证明、算法、复数第一节合情推理与演绎推理本节主要包括2个知识点： 1.合情推理； 2.演绎推理.突破点(一) 合情推理[基本知识] 类型定义特点归纳推理根据某类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理由特殊到特殊[基本能力]1．判断题(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确．( ) (2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理．( ) (3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× 2．填空题(1)已知数列{a n }中，a 1＝1，n ≥2时，a n ＝a n －1＋2n －1，依次计算a 2，a 3，a 4后，猜想a n 的表达式是a n ＝________.解析：a 1＝1，a 2＝4，a 3＝9，a 4＝16，猜想a n ＝n 2. 答案：n 2(2)由“半径为R 的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R 的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是合情推理中的________推理．答案：类比(3)观察下列不等式： ①12<1；②12＋16<2；③12＋16＋112< 3.则第5个不等式为____________________________________________________．答案：12＋16＋112＋120＋130< 5[全析考法]归纳推理运用归纳推理时的一般步骤(1)通过观察特例发现某些相似性(特例的共性或一般规律)；(2)把这种相似性推广到一个明确表述的一般命题(猜想)；(3)对所得出的一般性命题进行检验．类型(一)与数字有关的推理[例1](1)给出以下数对序列：(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(2,2)(3,1)(1,4)(2,3)(3,2)(4,1)……记第i行的第j个数对为a ij，如a43＝(3,2)，则a nm＝()A．(m，n－m＋1) B．(m－1，n－m)C．(m－1，n－m＋1) D．(m，n－m)(2)(·兰州模拟)观察下列式子：1,1＋2＋1,1＋2＋3＋2＋1,1＋2＋3＋4＋3＋2＋1，…，由以上可推测出一个一般性结论：对于n∈N*，则1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝________.[解析](1)由前4行的特点，归纳可得：若a nm＝(a，b)，则a＝m，b＝n－m＋1，∴a nm＝(m，n－m＋1)．(2)由1＝12,1＋2＋1＝4＝22,1＋2＋3＋2＋1＝9＝32，1＋2＋3＋4＋3＋2＋1＝16＝42，…，归纳猜想可得1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2.[答案](1)A(2)n2解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等． [易错提醒]类型(二) 与式子有关的推理 [例2] (1)(·山东高考)观察下列等式：⎝⎛⎭⎫sin π3－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π3－2＝43×1×2； ⎝⎛⎭⎫sin π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π5－2＋⎝⎛⎭⎫sin 4π5－2＝43×2×3； ⎝⎛⎭⎫sin π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π7－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π7－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 6π7－2＝43×3×4； ⎝⎛⎭⎫sin π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π9－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π9－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 8π9－2＝43×4×5； …… 照此规律，⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝________.(2)已知x ∈(0，＋∞)，观察下列各式：x ＋1x ≥2，x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3，x ＋27x 3＝x 3＋x3＋x 3＋27x3≥4，…，类比得x ＋ax n ≥n ＋1(n ∈N *)，则a ＝________. [解析] (1)观察前4个等式，由归纳推理可知⎝⎛⎭⎫sin π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 2π2n ＋1－2＋⎝⎛⎭⎫sin 3π2n ＋1－2＋…＋⎝⎛⎭⎫sin 2n π2n ＋1－2＝43×n ×(n ＋1)＝4n (n ＋1)3.(2)第一个式子是n ＝1的情况，此时a ＝11＝1；第二个式子是n ＝2的情况，此时a ＝22＝4；第三个式子是n ＝3的情况，此时a ＝33＝27，归纳可知a ＝n n .[答案] (1)4n (n ＋1)3 (2)n n[方法技巧]与式子有关的推理类型及解法(1)与等式有关的推理．观察每个等式的特点，找出等式左右两侧的规律及符号后可解． (2)与不等式有关的推理．观察每个不等式的特点，注意是纵向看，找到规律后可解．类型(三) 与图形有关的推理[例3] 某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,5，则预计第10年树的分枝数为( )A．21 B．34C．52 D．55[解析]因为2＝1＋1,3＝2＋1,5＝3＋2，即从第三项起每一项都等于前两项的和，所以第10年树的分枝数为21＋34＝55.[答案] D[方法技巧]与图形有关的推理的解法与图形变化相关的归纳推理，解决的关键是抓住相邻图形之间的关系，合理利用特殊图形，找到其中的变化规律，得出结论，可用赋值检验法验证其真伪性．类比推理1.类比推理的应用一般分为类比定义、类比性质和类比方法，常用技巧如下：类比定义在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解类比性质从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键类比方法有一些处理问题的方法具有类比性，我们可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移2．平面中常见的元素与空间中元素的类比：平面点线圆三角形角面积周长…空间线面球三棱锥二面角体积表面积…[例4]如图，在△ABC中，O为其内切圆圆心，过O的直线将三角形面积分为相等的两部分，且该直线与AC，BC分别相交于点F，E，则四边形ABEF与△CEF的周长相等．试将此结论类比到空间，写出一个与其相关的命题，并证明该命题的正确性．[解]如图，截面AEF经过四面体ABCD的内切球(与四个面都相切的球)的球心O，且与BC，DC分别交于点E，F，若截面将四面体分为体积相等的两部分，则四棱锥A -BEFD 与三棱锥A -EFC 的表面积相等．下面证明该结论的正确性，设内切球半径为R ，则V A -BEFD ＝13(S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD )×R ＝V A -EFC ＝13(S △AEC＋S △ACF ＋S △ECF )×R ，即S △ABD ＋S △ABE ＋S △ADF ＋S 四边形BEFD ＝S △AEC ＋S △ACF ＋S △ECF ，两边同加S △AEF 可得结论．[方法技巧]类比推理的步骤和方法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为： ①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． (2)类比推理的关键是找到合适的类比对象．平面几何中的一些定理、公式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论．[全练题点]1.[考点二]由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则： ①“mn ＝nm ”类比得到“a·b ＝b·a ”；②“(m ＋n )t ＝mt ＋nt ”类比得到“(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c ”； ③“(m ·n )t ＝m (n ·t )”类比得到“(a·b )·c ＝a·(b·c )”；④“t ≠0，mt ＝xt ⇒m ＝x ”类比得到“p ≠0，a·p ＝x·p ⇒a ＝x ”； ⑤“|m ·n |＝|m |·|n |”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”； ⑥“ac bc ＝a b ”类比得到“a·c b·c ＝ab”．以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B ①②正确，③④⑤⑥错误．2.[考点二]在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为S 1，外接圆面积为S 2，则S 1S 2＝14，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体P -ABC 的内切球体积为V 1，外接球体积为V 2，则V 1V 2＝( ) A.18B.19C.164D.127解析：选D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为1∶3，故V 1V 2＝127.3.[考点一·类型(一)]将正奇数排成如图所示的三角形数阵(第k 行有k 个奇数)，其中第i 行第j 个数表示为a ij ，例如a 42＝15，若a ij ＝2 017，则i －j ＝( )1 3 5 7 9 11 13 15 17 19…A ．26B ．27C ．28D ．29解析：选A 前k 行共有奇数为1＋2＋3＋…＋k ＝k (1＋k )2个，所以第k 行的最后一个数为2·k (1＋k )2－1＝k 2＋k －1，第k ＋1行的第一个数为k (k ＋1)＋1，当k ＋1＝45时，k (k＋1)＋1＝44×45＋1＝1 981，即第45行的第一个数为1 981，因为2 017－1 9812＝18，所以2 017是第45行的第19个数，即i ＝45，j ＝19，所以i －j ＝45－19＝26.故选A.4．[考点一·类型(二)]观察下列各等式：55－4＋33－4＝2，22－4＋66－4＝2，77－4＋11－4＝2，1010－4＋－2－2－4＝2，依照以上各式成立的规律，得到一般性的等式为( ) A.nn －4＋8－n (8－n )－4＝2 B.n ＋1(n ＋1)－4＋(n ＋1)＋5(n ＋1)－4＝2 C.nn －4＋n ＋4(n ＋4)－4＝2 D.n ＋1(n ＋1)－4＋n ＋5(n ＋5)－4＝2 解析：选A 各等式可化为55－4＋8－5(8－5)－4＝2，22－4＋8－2(8－2)－4＝2；77－4＋8－7(8－7)－4＝2，1010－4＋8－10(8－10)－4＝2，可归纳得一般等式：n n －4＋8－n (8－n )－4＝2，故选A.5.[考点一·类型(三)]蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．则f(4)＝________，f(n)＝________.解析：因为f(1)＝1，f(2)＝7＝1＋6，f(3)＝19＝1＋6＋12，所以f(4)＝1＋6＋12＋18＝37，所以f(n)＝1＋6＋12＋18＋…＋6(n－1)＝3n2－3n＋1.答案：373n2－3n＋1突破点(二)演绎推理[基本知识](1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．(2)模式：“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情况；③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．(3)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理．[基本能力]1．判断题(1)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．()(2)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．()答案：(1)√(2)×2．填空题(1)下列说法：①演绎推理是由一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定是正确的；③演绎推理的一般模式是“三段论”的形式；④演绎推理得到结论的正确与否与大前提、小前提和推理形式有关；⑤运用三段论推理时，大前提和小前提都不可以省略．其中正确的有________个．解析：易知①③④正确．答案：3(2)推理“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形”中的小前提是________(填序号)．答案：②[全析考法]演绎推理[典例] 数列{a n }的前n 项和记为S n ，已知a 1＝1，a n ＋1＝n ＋2n S n (n ∈N *)．证明：(1)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列；(2)S n ＋1＝4a n .[证明] (1)∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，a n ＋1＝n ＋2n S n， ∴(n ＋2)S n ＝n (S n ＋1－S n )，即nS n ＋1＝2(n ＋1)S n . 故S n ＋1n ＋1＝2·S nn ，(小前提) 故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是以2为公比，1为首项的等比数列．(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等比数列，(大前提)所以S n ＋1n ＋1＝4·S n －1n －1(n ≥2)，即S n ＋1＝4(n ＋1)·S n －1n －1＝4·n －1＋2n －1·S n －1＝4a n (n ≥2)．又a 2＝3S 1＝3，S 2＝a 1＋a 2＝1＋3＝4＝4a 1，(小前提) 所以对于任意正整数n ，都有S n ＋1＝4a n .(结论)[方法技巧]演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本例中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写．(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．[全练题点]1．已知a ，b ，m 均为正实数，b ＜a ，用三段论形式证明b a ＜b ＋ma ＋m .证明：因为不等式(两边)同乘以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b ＜a ，m ＞0，(小前提) 所以mb ＜ma .(结论)因为不等式两边同加上一个数，不等号不改变方向，(大前提) mb ＜ma ，(小前提)所以mb ＋ab ＜ma ＋ab ，即b (a ＋m )＜a (b ＋m )．(结论)因为不等式两边同除以一个正数，不等号不改变方向，(大前提) b (a ＋m )＜a (b ＋m )，a (a ＋m )＞0，(小前提) 所以b (a ＋m )a (a ＋m )＜a (b ＋m )a (a ＋m )，即b a ＜b ＋m a ＋m .(结论)2．已知函数y ＝f (x )满足：对任意a ，b ∈R ，a ≠b ，都有af (a )＋bf (b )>af (b )＋bf (a )，试证明：f (x )为R 上的单调递增函数．证明：设任意x 1，x 2∈R ，取x 1<x 2，则由题意得x 1f (x 1)＋x 2f (x 2)>x 1f (x 2)＋x 2f (x 1)，所以x 1[f (x 1)－f (x 2)]＋x 2[f (x 2)－f (x 1)]>0，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)>0，因为x 1<x 2，即x 2－x 1>0，所以f (x 2)－f (x 1)>0，即f (x 2)>f (x 1)．(小前提) 所以y ＝f (x )为R 上的单调递增函数．(结论)[全国卷5年真题集中演练——明规律]1．(·全国卷Ⅱ)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )A ．乙可以知道四人的成绩B ．丁可以知道四人的成绩C ．乙、丁可以知道对方的成绩D ．乙、丁可以知道自己的成绩解析：选D 依题意，四人中有2位优秀，2位良好，由于甲知道乙、丙的成绩，但还是不知道自己的成绩，则乙、丙必有1位优秀，1位良好，甲、丁必有1位优秀，1位良好，因此，乙知道丙的成绩后，必然知道自己的成绩；丁知道甲的成绩后，必然知道自己的成绩，因此选D.2．(·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．解析：由丙所言可能有两种情况．一种是丙持有“1和2”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和3”，符合甲所言情况；另一种是丙持有“1和3”，结合乙所言可知乙持有“2和3”，从而甲持有“1和2”，不符合甲所言情况．故甲持有“1和3”．答案：1和33．(·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三个去过同一城市．由此判断乙去过的城市为________．解析：由于甲、乙、丙三人去过同一城市，而甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，因此三人去过的同一城市应为A ，而甲去过的城市比乙多，但没去过B 城市，所以甲去过A ，C 城市，乙去过的城市应为A.答案：A[课时达标检测][小题对点练——点点落实]对点练(一) 合情推理1．(1)已知a 是三角形一边的长，h 是该边上的高，则三角形的面积是12ah ，如果把扇形的弧长l ，半径r 分别看成三角形的底边长和高，可得到扇形的面积为12lr ；(2)由1＝12,1＋3＝22,1＋3＋5＝32，可得到1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2，则(1)(2)两个推理过程分别属于( )A ．类比推理、归纳推理B ．类比推理、演绎推理C ．归纳推理、类比推理D ．归纳推理、演绎推理解析：选A (1)由三角形的性质得到扇形的性质有相似之处，此种推理为类比推理；(2)由特殊到一般，此种推理为归纳推理，故选A.2．观察下列各式：a ＋b ＝1，a 2＋b 2＝3，a 3＋b 3＝4，a 4＋b 4＝7，a 5＋b 5＝11，…，则a 10＋b 10＝( )A ．121B ．123C ．231D ．211解析：选B 令a n ＝a n ＋b n ，则a 1＝1，a 2＝3，a 3＝4，a 4＝7，…，得a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，从而a 6＝18，a 7＝29，a 8＝47，a 9＝76，a 10＝123.3．下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是( )A ．n (n ＋1) B.n (n －1)2C.n (n ＋1)2D ．n (n －1)解析：选C 由题图知第1个图形的小正方形个数为1，第2个图形的小正方形个数为1＋2，第3个图形的小正方形个数为1＋2＋3，第4个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋4，…，则第n 个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2. 4．观察下列各式：55＝3 125,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，则52 018的末四位数字为( )A ．3 125B ．5 625C ．0 625D ．8 125解析：选B 55＝3 125 ,56＝15 625,57＝78 125,58＝390 625，59＝1 953 125，…，可得59与55的后四位数字相同，由此可归纳出5m＋4k与5m (k ∈N *，m ＝5,6,7,8)的后四位数字相同，又2 018＝4×503＋6，所以52 018与56的后四位数字相同，为5 625，故选B.5．(·山西孝义期末)我们知道：在平面内，点(x 0，y 0)到直线Ax ＋By ＋C ＝0的距离公式d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B 2，通过类比的方法，可求得：在空间中，点(2,4,1)到直线x ＋2y ＋2z ＋3＝0的距离为( )A ．3B ．5 C.5217D ．3 5解析：选B 类比平面内点到直线的距离公式，可得空间中点(x 0，y 0，z 0)到直线Ax ＋By ＋Cz ＋D ＝0的距离公式为d ＝|Ax 0＋By 0＋Cz 0＋D |A 2＋B 2＋C 2，则所求距离d ＝|2＋2×4＋2×1＋3|12＋22＋22＝5，故选B.6.如图，将一张等边三角形纸片沿中位线剪成4个小三角形，称为第一次操作；然后，将其中的一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到7个小三角形，称为第二次操作；再将其中一个三角形按同样方式再剪成4个小三角形，共得到10个小三角形，称为第三次操作……根据以上操作，若要得到100个小三角形，则需要操作的次数是________．解析：由题意可知，第一次操作后，三角形共有4个；第二次操作后，三角形共有4＋3＝7个；第三次操作后，三角形共有4＋3＋3＝10个……由此可得第n次操作后，三角形共有4＋3(n－1)＝3n＋1个．当3n＋1＝100时，解得n＝33.答案：337．以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中的“杨辉三角形”.12345…3579…81216…2028…2 013 2 014 2 015 2 0164 027 4 029 4 0318 0568 06016 116……该表由若干数字组成，从第二行起，每一行中的数字均等于其“肩上”两数之和，表中最后一行仅有一个数，则这个数为____________．解析：观察数列，可以发现规律：每一行都是一个等差数列，且第一行的公差为1，第二行的公差为2，第三行的公差为4，第四行的公差为8，…，第2 015行的公差为22 014，故第一行的第一个数为2×2－1，第二行的第一个数为3×20，第三行的第一个数为4×21，第四行的第一个数为5×22，…，第n行的第一个数为(n＋1)·2n－2，故第2 016行(最后一行)仅有一个数为(1＋2 016)×22 014＝2 017×22 014.答案：2 017×22 0148.如图，将平面直角坐标系中的格点(横、纵坐标均为整数的点)按如下规则标上数字标签：原点处标0，点(1,0)处标1，点(1，－1)处标2，点(0，－1)处标3，点(－1，－1)处标4，点(－1,0)处标5，点(－1,1)处标6，点(0,1)处标7，依此类推，则标签为2 0172的格点的坐标为____________．解析：因为点(1,0)处标1＝12，点(2,1)处标9＝32，点(3,2)处标25＝52，点(4,3)处标49＝72，依此类推得点(1 009，1 008)处标2 0172.答案：(1 009,1 008)对点练(二)演绎推理1．下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是()A．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无理数；结论：π是无限不循环小数B．大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：π是无限不循环小数；结论：π是无理数C．大前提：π是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：π是无理数D．大前提：π是无限不循环小数；小前提：π是无理数；结论：无限不循环小数是无理数解析：选B对于A，小前提与结论互换，错误；对于B，符合演绎推理过程且结论正确；对于C和D，大前提均错误．故选B.2．某人进行了如下的“三段论”：如果f′(x0)＝0，则x＝x0是函数f(x)的极值点，因为函数f(x)＝x3在x＝0处的导数值f′(0)＝0，所以x＝0是函数f(x)＝x3的极值点．你认为以上推理的()A．大前提错误B．小前提错误C．推理形式错误D．结论正确解析：选A若f′(x0)＝0，则x＝x0不一定是函数f(x)的极值点，如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点，故大前提错误．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函数，以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确解析：选C因为f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函数，所以小前提不正确.4．(·湖北八校联考)有6名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：4号或5号选手得第一名；观众乙猜测：3号选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6号选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6号选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是()A．甲B．乙C．丙D．丁解析：选D若甲猜测正确，则4号或5号得第一名，那么乙猜测也正确，与题意不符，故甲猜测错误，即4号和5号均不是第一名；若乙猜测正确，则3号不可能得第一名，即1,2,4,5,6号选手中有一位获得第一名，那么甲和丙中有一人也猜对比赛结果，与题意不符，故乙猜测错误；若丙猜测正确，那么乙猜测也正确，与题意不符，故仅有丁猜测正确，所以选D.5．在一次调查中，甲、乙、丙、丁四名同学的阅读量有如下关系：甲、丙阅读量之和与乙、丁阅读量之和相同，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和．那么这四名同学按阅读量从大到小排序依次为____________．解析：因为甲、丙阅读量之和等于乙、丁阅读量之和，甲、乙阅读量之和大于丙、丁阅读量之和，所以乙的阅读量大于丙的阅读量，甲的阅读量大于丁的阅读量，因为丁的阅读量大于乙、丙阅读量之和，所以这四名同学按阅读量从大到小排序依次为甲、丁、乙、丙．答案：甲、丁、乙、丙[大题综合练——迁移贯通]1．给出下面的数表序列：其中表n(n＝1,2,3，…)有n行，第1行的n个数是1,3,5，…，2n－1，从第2行起，每行中的每个数都等于它肩上的两数之和．写出表4，验证表4各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成等比数列，并将结论推广到表n(n≥3)(不要求证明)．解：表4为13574 81212 2032它的第1,2,3,4行中的数的平均数分别是4,8,16,32，它们构成首项为4，公比为2的等比数列．将这一结论推广到表n(n≥3)，即表n(n≥3)各行中的数的平均数按从上到下的顺序构成首项为n，公比为2的等比数列．2．在Rt△ABC中，AB⊥AC，AD⊥BC于点D，求证：1AD2＝1AB2＋1AC2.在四面体ABCD 中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想？并说明理由．解：如图所示，由射影定理AD2＝BD·DC，AB2＝BD·BC，AC2＝BC·DC，∴1AD2＝1BD·DC＝BC2 BD·BC·DC·BC＝BC2AB2·AC2.又BC2＝AB2＋AC2，∴1AD 2＝AB 2＋AC 2AB 2·AC 2＝1AB 2＋1AC 2. 猜想，在四面体ABCD 中，AB 、AC 、AD 两两垂直，AE ⊥平面BCD ，则1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD 2. 证明：如图，连接BE 并延长交CD 于点F ，连接AF . ∵AB ⊥AC ，AB ⊥AD ，AC ∩AD ＝A ， ∴AB ⊥平面ACD .∵AF ⊂平面ACD ，∴AB ⊥AF . 在Rt △ABF 中，AE ⊥BF ， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AF2. ∵AB ⊥平面ACD ，∴AB ⊥CD .∵AE ⊥平面BCD ，∴AE ⊥CD .又AB ∩AE ＝A ， ∴CD ⊥平面ABF ，∴CD ⊥AF . ∴在Rt △ACD 中1AF 2＝1AC 2＋1AD2， ∴1AE 2＝1AB 2＋1AC 2＋1AD2. 3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数： ①sin 213°＋cos 217°－sin 13°cos 17°； ②sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°； ③sin 218°＋cos 212°－sin 18°cos 12°； ④sin 2(－18°)＋cos 248°－sin(－18°)cos 48°； ⑤sin 2(－25°)＋cos 255°－sin(－25°)cos 55°. (1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)选择②式，计算如下：sin 215°＋cos 215°－sin 15°cos 15°＝1－12sin 30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝34.证明如下：sin 2α＋cos 2(30°－α)－sin α·cos(30°－α)＝sin2α＋(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)2－sin α·(cos 30°cos α＋sin 30°sin α)＝sin2α＋34cos2α＋32sin αcos α＋14sin2α－32sin αcos α－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.第二节直接证明与间接证明、数学归纳法本节主要包括3个知识点： 1.直接证明； 2.间接证明； 3.数学归纳法.突破点(一)直接证明[基本知识]内容综合法分析法定义利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止思维过程由因导果执果索因框图表示P(已知)⇒Q1→Q1⇒Q2→…→Q n⇒Q(结论)Q(结论)⇐P1→P1⇐P2→…→得到一个明显成立的条件书写格式“因为…，所以…”或“由…，得…”“要证…，只需证…，即证…”[基本能力]1．判断题(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明．()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．()(3)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．()(4)证明不等式2＋7<3＋6最合适的方法是分析法．()答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)6－22与5－7的大小关系是________．解析：假设6－22>5－7，由分析法可得，要证6－22>5－7，只需证6＋7>5＋22，即证13＋242>13＋410，即42>210.因为42>40，所以6－22>5－7成立．答案：6－22>5－7(2)已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x、y的大小关系是________．解析：x2＝12(a＋b＋2ab)，y2＝a＋b＝12(a＋b＋a＋b)>12(a＋b＋2ab)＝x2，又∵x>0，y>0，∴y>x.答案：y>x(3)设a>b>0，m＝a－b，n＝a－b，则m，n的大小关系是________．解析：∵a>b>0，∴a>b，a－b>0，∴n2－m2＝a－b－(a＋b－2ab)＝2ab－2b>2b2－2b＝0，∴n2>m2，又∵m>0，n>0，∴n>m.答案：n>m[全析考法]综合法(1)定义明确的问题，如证明函数的单调性、奇偶性，求证无条件的等式或不等式；(2)已知条件明确，并且容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型．[例1](·武汉模拟)已知函数f(x)＝(λx＋1)ln x－x＋1.(1)若λ＝0，求f(x)的最大值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，证明：f(x)x－1>0. [解](1)f(x)的定义域为(0，＋∞)．当λ＝0时，f(x)＝ln x－x＋1.则f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0，解得x ＝1.当0<x <1时，f ′(x )>0，故f (x )在(0,1)上是增函数；当x >1时，f ′(x )<0，故f (x )在(1，＋∞)上是减函数．故f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝0.(2)证明：由题可得，f ′(x )＝λln x ＋λx ＋1x －1.由题设条件，得f ′(1)＝1，即λ＝1. ∴f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1.由(1)知，ln x －x ＋1<0(x >0，且x ≠1)．当0<x <1时，x －1<0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝x ln x ＋(ln x －x ＋1)<0，∴f (x )x －1>0.当x >1时，x －1>0，f (x )＝(x ＋1)ln x －x ＋1＝ln x ＋(x ln x －x ＋1)＝ln x －x ⎝⎛⎭⎫ln 1x －1x ＋1>0， ∴f (x )x －1>0.综上可知，f (x )x －1>0. [方法技巧] 综合法证题的思路分析法[例2] 已知a >0，1b －1a >1，求证：1＋a >11－b.[证明] 由已知1b －1a >1及a >0，可知0<b <1，要证1＋a >11－b ，只需证1＋a ·1－b >1，只需证1＋a －b －ab >1，只需证a －b －ab >0，即a －b ab >1，即1b －1a >1.这是已知条件，所以原不等式得证．[方法技巧]分析法证题的思路(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件．正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键．(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证．[全练题点]1.[考点一]命题“对于任意角θ，cos 4θ－sin 4θ＝cos 2θ”的证明：“cos 4θ－sin 4θ＝(cos 2θ－sin 2θ)(cos 2θ＋sin 2θ)＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ”过程应用了( )A ．分析法B ．综合法C ．综合法、分析法综合使用D ．间接证明法解析：选B 因为证明过程是“由因导果”，即由条件逐步推向结论，故选B. 2.[考点一](·广州调研)若a ，b ，c 为实数，且a ＜b ＜0，则下列不等式成立的是( ) A ．ac 2＜bc 2 B ．a 2＞ab ＞b 2 C.1a ＜1bD.b a ＞a b解析：选B a 2－ab ＝a (a －b )，∵a ＜b ＜0，∴a －b ＜0，∴a (a －b )>0，即a 2－ab ＞0，∴a 2＞ab .①又∵ab －b 2＝b (a －b )＞0，∴ab ＞b 2，② 由①②得a 2＞ab ＞b 2.3.[考点一]已知a ，b ，c 为正实数，a ＋b ＋c ＝1，求证：a 2＋b 2＋c 2≥13.证明：因为a ＋b ＋c ＝1，所以(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2ab ＋2ac ＋2bc ≤a 2＋b 2＋c 2＋a 2＋b 2＋a 2＋c 2＋b 2＋c 2＝3(a 2＋b 2＋c 2)，当且仅当a ＝b ＝c ＝13时，等号成立．所以a 2＋b 2＋c 2≥13.4.[考点二]已知m >0，a ，b ∈R ，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋mb 1＋m 2≤a 2＋mb 21＋m . 证明：因为m >0，所以1＋m >0.所以要证原不等式成立，只需证(a ＋mb )2≤(1＋m )·(a 2＋mb 2)，即证m (a 2－2ab ＋b 2)≥0，即证m (a －b )2≥0，即证(a －b )2≥0，而(a －b )2≥0显然成立，故原不等式得证．突破点(二)间接证明[基本知识]1．反证法假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法．2．用反证法证明问题的一般步骤第一步分清命题“p⇒q”的条件和结论第二步作出命题结论q相反的假设綈q第三步由p和綈q出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果第四步断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设綈q不真，于是结论q成立，从而间接地证明了命题p⇒q为真3．常见的结论和反设词原结论词反设词原结论词反设词至少有一个一个都没有对任意x成立存在某个x不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x成立至少有n个至多有(n－1)个p或q 綈p且綈q至多有n个至少有(n＋1)个p且q 綈p或綈q 都是不都是不都是都是[基本能力]1．判断题(1)用反证法证明结论“a>b”时，应假设“a<b”．()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．()(3)用反证法证题时必须先否定结论，否定结论就是找出结论的反面的情况．()(4)反证法的步骤是：①准确反设；②从否定的结论正确推理；③得出矛盾．() 答案：(1)×(2)×(3)√(4)√2．填空题(1)用反证法证明“如果a>b，那么3a>3b”，假设的内容应是________．答案：3a≤3b(2)应用反证法推出矛盾的推导过程中，可把下列哪些作为条件使用________(填序号)．①结论相反的判断即假设；②原命题的条件；③公理、定理、定义；④原结论．答案：①②③(3)写出下列命题的否定．①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c不都是奇数；否定为____________________________________________________________；②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q≤2；否定为________________________________________________________；③所有的正方形都是矩形；否定为________________________________________________________________；④至少有一个实数x，使x2＋1＝0；否定为_______________________________________________________________．答案：①若a，b，c满足a2＋b2＝c2，则a，b，c都是奇数②若p>0，q>0，p3＋q3＝2，则p＋q>2③至少存在一个正方形不是矩形④不存在实数x，使x2＋1＝0[全析考法]证明否定性命题[例1]设{a n}(1)推导{a n}的前n项和公式；(2)设q≠1，证明数列{a n＋1}不是等比数列．[解](1)设{a n}的前n项和为S n，当q＝1时，S n＝a1＋a1＋…＋a1＝na1；当q≠1时，S n＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1q n－1，①。

一轮复习考点与题型全归纳：第12章复数、算法、推理与证明.pptx

2．若复数 z 满足|z－i|≤ 2(i 为虚数单位)，则 z 在复平面内所对应的图形的面积为．
解析：设 z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|≤ 2得|x＋(y－1)i|≤ 2，所以 x2＋y－12≤ 2，所以 x2＋(y－1)2≤2，所以 z 在复平面内所对应的图形是以点(0,1)为圆心，以 2为半径
二、常用结论
(1)(1±i) 2＝±2i，11－＋ii＝i，11＋－ii＝－ i. (2)－b＋ai＝i(a＋bi)． (3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)；i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
(4)z·z ＝|z| ＝2 | z | ，2 |z ·z1 |＝2 |z |·| z1 |，2 zz21＝||zz21||，|zn|＝|z|n.
―O→B ，若 zz2＝z1，则 z 的共轭复数 z ＝( )
13 A.2＋2i
13 B.2－2i
C．－12＋32i
13 D．－2－2i
5i (2)复数 z＝4i2 018－1＋2i(其中 i 为虚数单位)在复平面内对应的点在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
[解析] (1)由题意知 z1＝1＋2i，z2＝－1＋i，故 z(－1＋i)＝1＋2i，
a [典例] (1)(2019·湘东五校联考)已知 i 为虚数单位，若复数 z＝1－2i＋i(a∈R)的实部
与虚部互为相反数，则 a＝( ) A．－5
B．－1
C．－13
D．－53
(2)(2018·全国卷Ⅰ)设 z＝11－＋ii＋2i，则 |z|＝( )
A．0
1 B.2
C．1
D. 2

2021高考文科数学一轮总复习课标通用版课件：第12章数系的扩充与复数的引入 12-1

9．复数的减法 (1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则____________________________． (2)几何意义：复数 z1－z2 是从向量O→Z2的终点指向向量O→Z1的终点的向量Z→2Z1所对应的复数． 10．复数的乘法 (1)运算法则：设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di，则____________________________． (2)运算律：对任意的 z1，z2∈C，交换律：z1z2＝z2z1；结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)；分配律：(z1＋z2)z3＝z1z3＋z2z3. 注意：z·z＝(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2＝|z|2.
5．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫作复平面．x 轴叫作实轴，y 轴叫作虚轴．________上的点表示实数；除________外，________上的点表示纯虚数．注意：(1)复平面内虚轴上的单位长度是 1，而不是 i.(2)互为共轭复数的两个复数在复平面内所对应的点关于________对称．实数和它的共轭复数在复平面内所对应的点 ________，且在实轴上． 6．复数的模向量 O→Z 的模 r 叫作复数 z ＝ a ＋ bi 的模，记作 |z| 或 |a ＋ bi| ，则 ____________________(r≥0，r∈R)，即复数 a＋bi 的模表示点 Z(a，b)与原点 O 的距离．特别地，b＝0 时，z＝a＋bi 是实数 a，则|z|＝|a|. 注意：|z|＝|z|.
[强化训练 2.2] (2018 年高考·北京卷)在复平面内，复数1－1 i的共轭复数对应的点位于
() A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判

高考数学一轮复习第十二章复数、算法、推理与证明第1讲数系的扩充与复数的引入课件理

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复数的几何意义(自主练透)
1．(2019·高考全国卷Ⅰ)设复数 z 满足|z－i|＝1，z 在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．(x＋1)2＋y2＝1
B．(x－1)2＋y2＝1
()
C．x2＋(y－1)2＝1
D．x2＋(y＋1)2＝1
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根据O→C＝λO→A＋μO→B得(3，－4)＝λ(－1，2)＋μ(1，－1)＝(－λ＋μ，2λ－μ)，所以－ 2λλ＋－μμ＝＝3－，4，解得λμ＝＝－21，，所以 λ＋μ＝1.
(× )
(5)由于复数包含实数，在实数范围内两个数能比较大小，因而在复数范围内两个数也能
比较大小．
(× )
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二、易错纠偏常见误区 (1)对复数概念的理解有误； (2)复数的几何意义不清致误； (3)复数的运算方法不当致使出错； (4)z 与 z 的不清致误．
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二、教材衍化 1．设复数 z 满足11＋－zz＝i，则|z|＝________．解析：1＋z＝i(1－z)，z(1＋i)＝i－1， z＝i1－＋1i＝－（12－i）2＝i，所以|z|＝|i|＝1.
答案：1
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2．在复平面内，向量A→B对应的复数是 2＋i，向量C→B对应的复数是－1－3i，则向量C→A对应的复数是________．
对应的点位于第二象限，故选 B.
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3．已知 z＝(m＋3)＋(m－1)i 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是

2021年高考数学复习专题13 推理与证明、数系的扩充数系的扩充和复数的概念考点剖析

2021年高考数学复习专题13 推理与证明、数系的扩充数系的扩充和复
数的概念考点剖析
主标题：数系的扩充和复数的概念
副标题：为学生详细的分析数系的扩充和复数的概念的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：数系的扩充，复数的概念，知识总结
难度：3
重要程度：4
考点剖析：本考点包括数系的扩充和复数的概念，考纲明确要求学生要理解复数的基本概念，理解复数相等的充要条件，复数相等的条件解决相关问题。

命题方向：
1.复数的有关概念是近几年高考的热点．
2.题型以选择题和填空题为主，难度不大.
规律总结：
1.数系的扩充和复数的概念规律总结
一个规定
虚数单位的规定：i为虚数单位，其中．
两个防范
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的实部和虚部分别为实数a，b，虚部不是bi．
(2)一个复数为纯虚数的条件是实部等于0且虚部不等于0．
数集之间的关系：
复数的有关概念
内容意义
复数的概
设a，b是实数，形如a＋bi的数叫复数，其中实部为a，虚部为b 念
复数相等a＋bi＝c＋dia＝c且b＝d(a、b、c、d∈R)
共轭复数z＝a＋bi的共轭复数＝a－bi(a，b∈R)
复数集全体复数所构成的集合叫复数集
虚数复数a＋bi(a，b∈R)，当b≠0时，叫做虚数
纯虚数复数a＋bi(a，b∈R)，当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数
40616 9EA8 麨
39723 9B2B 鬫21224 52E8 勨 5 t 31240 7A08 稈22925 598D 妍38553 9699 隙28645 6FE5 濥37129 9109 鄉35427 8A63 詣。

2020版高考数学第十二章复数、算法、推理与证明第1讲数系的扩充与复数的引入课件文

2
2．－b＋ai＝i(a＋bi)(a，b∈R)． 3．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N*)． 4．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若 a∈C，则 a2≥0.( ) )
(2)已知 z＝a＋bi(a， b∈R)，当 a＝0 时，复数 z 为纯虚数． ( (3)复数 z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为 bi.( (4)方程 x2＋x＋1＝0 没有解．( ) )
－1＋i |－1＋i| 1＋i ＝ |1＋i| ＝
2 ＝1，故选 C. 2
2－i a（2＋i） 2－i 2a＋2 （a－1）i a (2)易知 z＝＋＝＋＝＋， 5 5 5 5 5 2－ i 2a＋2 a－1 由题意得＋＝2，解得 a＝3.故选 D. 5 5
解析：选
x＋y＝2x＋3y， D.由题意得 y－1＝2y＋1，
所以 x＝4，y＝－2，所以复数 z＝4－2i 在复平面上对应的点位于第四象限，故选 D.
复数 z＝(1＋2i)(3－i)，其中 i 为虚数单位，则 z 的实部是 ________．解析：因为 z＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以 z 的实部是 5.
1＋2i （1＋2i）（1＋2i） 3 4 解析：选 D. ＝＝－＋ i，故选 D. 5 5 1－2i （1－2i）（1＋2i）
(教材习题改编)设 x，y∈R，若(x＋y)＋(y－1)i＝(2x＋3y)＋ (2y＋1)i，则复数 z＝x＋yi 在复平面上对应的点位于( A．第一象限 C．第三象限 B．第二象限 D．第四象限 )
(3)复数相等