2-1矩阵概念及其运算

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线性代数 2-1,2-2矩阵运算

⎜ ⎟ 积矩阵的行、列数? ⋮ ⋮ ⋮ ⎜ ⎟ = ⎜ ci1 ⋯ cij ⋯ cin ⎟ c ＝a b +a b +…+a b i1 1j i2 2j is s j ⎜ ⎟ ij ⎜ ⋮ ⋮ ⋮ ⎟ s …,m; i =1, ⎜ ⎟ = ∑ a i k bk j ⎜ cm ⋯ cmj ⋯ cmn ⎟ ⎝ 1 ⎠m×n k =1 …
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一、矩阵概念
⎛ a11 a12 ⎜a a22 21 ⎜ 1. 定义：数表 A = ⎜ 1.定义：数表 ⋮ ⎜ ⎝ am 1 am 2 ⋯ ⋯
a1n ⎞ a2 n ⎟ ⎟ = (a ) ij m ×n ⋮ ⎟ ⎟ ⋯ amn ⎠
1)m≠n,称为m×n矩阵，简称矩阵. . 阶矩阵. 2)m＝n，称n阶方阵或n阶矩阵 . 维行向量. : m＝1 A= (a1 a2 … an),又称为n维行向量行矩阵: 3)行矩阵
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二、矩阵的加法
1.定义
⎛ a11 … a1n ⎞ ⎛ b11 … b1n ⎞ ⎛ a11 ± b11 … a1n ± b1n ⎞ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⋱ ⋮ ⎟ ⎜ ⋮ ⎟ ⋱ ⋮ ± = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜a ⋯ a ⎟ ⎜b ⋯ b ⎟ ⎜a ± b ⋯ a ± b ⎟ mn ⎠ ⎝ m1 mn ⎠ ⎝ m1 m1 mn mn ⎠ ⎝ m1
线性代数
数学科学学院陈建华
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第二章
矩阵
1850年J.J.Sylvester(西尔威斯特)首先提出矩阵概念, 1858年 A.Cayley(凯莱)提出矩阵的运算规则, 从此矩阵的应用更广泛, 成为经济研究和经济工作中处理线性模型的有力工具。如投入产出模型、线性规划、决策论等，均运用矩阵作为重要工具解决实际问题。

2-1矩阵及其运算

试证： (1) AC = AD
(2) AB = 0
；
17
证：
1 AC 1
1 2 1 1
3 3 3 3
0 0
3 2 ( 1) 1 ( 1) 3
1 2 11
1 AD 1 1 1 1 2
2 B 1 4
1 1 2
0 3 1
求 ( A B ) T。
解一：
1 AB 2 1 0 2 1 8 0 1
28
2 1 4
1 1 2
0 9 3 8 1
2 0
1 1
9 T (AB) 2 1
由m×n 个数 aij ( i = 1, 2, …, m ; j = 1, 2, …, n)
称为一个 m 行 n 列的矩阵，简记 (aij)m×n，通常用大写字母 A，B，C，…表示，m 行 n 列的矩阵 A 也记为 Am×n，构成矩阵 A 的每个数称为矩阵 A 的元素，而 aij 表示矩阵第 i 行、第 j 列的元素。
1 A 2
1 0
2 2 , B 1 1 4
( 1) 3 ( 1) ( 3 ) 0
3 5 5 3 0 0
1 3 1 ( 3)
0
1 1 2 1 3 1 ( 1) 2 ( 1) 3
故 AC ＝ AD
( 1) ( 5 ) ( 1) 5 0
13
例2.1 设
4 A 2
3 0
1 1 , B 5 1 0 6 1 2 5 2 1 1 4 0

矩阵的运算及其运算规则

矩阵的运算及其运算规则矩阵是线性代数中的基本概念，也是数学、计算机科学、物理、经济学等领域中广泛运用的工具之一。

矩阵的运算是矩阵代数的重要组成部分，并且矩阵的运算规则是进行代数运算、求解线性方程组、计算特征值和特征向量等的关键。

1.基本矩阵运算矩阵的四则运算：加法、减法、乘法和除法是矩阵运算的基础。

加减法均是对应元素相加减，必须两个矩阵形状相同才可加减。

例如A、B是两个3\*3矩阵，那么它们相加后我们可以表示为C=A+B，C的每个元素都等于A和B对应位置的元素之和。

矩阵的乘法是相乘并对乘积元素求和，而不是元素相乘。

A\*B中A的列数应该等于B的行数，乘积C则应该是A的行数和B的列数构成的矩阵。

例如A是一个3\*2 的矩阵，B是一个2\*4 的矩阵，则将A的每一行和B的每一列依次相乘求和，得到一个3\*4的结果矩阵C。

除法在矩阵中一般不存在，但是可以通过矩阵的逆来实现除法运算。

如果乘积A\*B=C，且B是可逆的，那么我们可以利用B的逆矩阵来得出矩阵A，即A=B^{-1}C。

2.转置和逆矩阵矩阵的转置是将矩阵的行和列交换位置得到的新矩阵。

如果矩阵A的形状是m\*n，则转置后的矩阵形状是n\*m。

例如A=\begin{bmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \\ 5 & 6\end{bmatrix}，则A的转置为A^T=\begin{bmatrix}1 & 3 & 5 \\ 2 & 4 & 6\end{bmatrix}。

矩阵的逆矩阵是一个矩阵，使得矩阵和它的逆矩阵的乘积为单位矩阵。

只有方阵才有逆矩阵，而且并不是所有的方阵都有逆矩阵。

如果一个矩阵A不能求逆，那么我们称它是奇异矩阵或不可逆矩阵。

如果一个矩阵A可以求逆，那么我们称它是非奇异矩阵或可逆矩阵。

逆矩阵的求解方法有伴随矩阵法、高斯-约旦消元法、矩阵分块法等。

3.矩阵的性质及运算规则矩阵的性质包括转置、对称、正交、幂等、奇异等性质。

线性代数课件第2章矩阵

于乘法中的数1．课件
20
定义5 方阵 A 的 n 次幂定义为 n 个方阵 A 连
乘，即
6 47n个48
An A AL A
其中 n 为正整数，规定 A0 E ，其运算规律：
（1）AkAl Akl ；
（2）(Ak)l Akl (k,l为正整数) ．
因为矩阵乘法不满足交换律，所以两个 n 阶方
数，记 A ( a ij ) ， A 称为 A的共轭矩阵．
其运算规律（设 A，B为复矩阵，为复数，且
运算都是可行的）：
（1） ABAB；（2） AA ；
（3） ABAB．
课件
27
2.3 逆矩阵
课件
28
2.3.1 逆矩阵的定义及性质
定义9 设 A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶方阵 B ，
课件
23
所以
0 17
( A B )T
1
4
1
3
3 1 0
解法2 (AB)TBTAT
1 4 2 2 1 0 17 7 2 0 0 314 13
1 3 11 2 3 10
课件
24
定义7 设 A为 n阶方阵，若满足 AT A ，则
称 A为对称矩阵，即 ai jaji(i,j1 ,2,,n)
a21
b21
M
a12 b12 L a22 b22 L
M
am1
bm1
am2 bm2
L
a1n b1n
a2n
b2n
M
amn
bmn
= (aij + bij ) 课件
10
例1 设
A
3 1
0 4
75,
则

Chapter 2-1 矩阵

对角矩阵常记为 A = diag( a11 , a22 , · · · , ann ). 例如
3 0 0 diag(3,1,2) 0 1 0 . 0 0 2
对角矩阵
(3) 单位矩阵
主对角线上的元素全为 1 的对角矩阵称为单
位矩阵, 简记为 E 或 I . 如
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩阵称为复矩阵．（1）式也可简记为
A ＝ ( aij )mn 或 A = ( aij ) .
例如
1 2 4 3 9 8 5 2 , 4 2 1 0
３×４矩阵
1 3 9 5 3
2 0 8 . 1 5
则称矩阵 A 和矩阵 B 相等, 记为 A = B . 例如
3 1 4 2 5 6
与
a b c d . e f
当 a=3, b=-1, c=4, d=2, e=-5, f=6 时, 它们相等.
二、几种常用的特殊矩阵
(1) 行矩阵和列矩阵只有一行的矩阵称为行矩阵 (也称为行向量).
(2) 对角矩阵
除了主对角线上的元素以外，其余的元素全都为零的方阵称为对角矩阵，如
a11 a22 A a nn
aij = 0 , i j ,
主对角线
为 n 阶对角矩阵, 其中未标记出的元素全为零, 即 i, j = 1, 2, · · · ,n,
第二章
矩阵及其运算
矩阵是线性代数的主要研究对象. 它在线性代
数与数学的许多分支中都有重要应用, 许多实际问题可以用矩阵表达并用其相关理论解决. 本章介绍矩阵的概念、矩阵的基本运算、逆矩阵、分块矩阵的概念及其运算.

2-1 矩阵的运算

矩阵-矩阵的运算
18
A为n阶方阵
若 AT
= A 即 aij = aji 称A为反对称矩阵反对称矩阵
0 a21 a12 0 T A = a a 1n 2n
an1 0 a12 a21 0 an2 = A = a a n2 n1 0
a1n a2n 0
A+ B = C = (cij )m×n 负矩阵: A = (aij )m×n
运算规律: (1)A + B = B + A
cij = aij + bij
交换律: 结合律:
(2) A+ (B + C) = ( A+ B) + C (3)A+ O = O + A (4) A+ (A) = (A) + A = 0 减法: A B = A+ (B) 特别:
A A = 0
把向量看成一个行矩阵,与向量的加法是统一的
20102010-6-24 矩阵-矩阵的运算 5
2.数与矩阵相乘数与矩阵相乘 Definition 2.1.3: λ A = Aλ = (λaij )m×n 运算规律: (1) (λ) A = λ() A = (λ A) 结合律矩阵对数的分配律数对矩阵的分配律
a11 a21 a12 a22 T A = a a 1n 2n
an1 a11 a12 an2 a21 a22 = A= a a ann n1 n2
a1n a2n ann
元素特点:以主对角线为对称轴对应元素相等
20102010-6-24
例如: (4) 验证:例如:A = 1 1 B = 1 0
( AB) = B A
T T
T
0 3 2 1 3 1 1 21 0 3 6 T T AB = B A = = 6 3 0 11 3 1 3

2-1. 矩阵-复习

第2章矩阵一、矩阵的概念与运算 3. 矩阵与矩阵相乘注意：（1）AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律. （2）若矩阵,A 与B 满足=AB O ,并不能得出==A O B O 或的结论,（3）矩阵乘法不满足消去律.从而由,=≠AC BC C O ,也未必推出=A B . 4. 方阵的行列式与幂性质2.4 设A ,B 均为n 阶方阵,λ为数,则（1）n λλ=A A ；（2）m A =mA ,m 为正整数；（3）==AB A B B A .由于矩阵的乘法不满足交换律,一般而言,1212()()()k k k k +≠AB AB AB . 5. 矩阵的转置性质2.5 (假设运算都是可行的)（1）()T T =A A ；（2）()T T T +=+A B A B ；（3）()T T λλ=A A ；（4）()T T T =AB B A ；（5）若A 为方阵,则T =A A . 二、逆矩阵定理2.2 方阵A 可逆的充要条件是0≠A ,且1*1-=A A A. 其中*A 为A 的伴随矩阵.推论2.1 若=AB E （或=BA E ）,则A 可逆,且1-=B A . 性质2.6(1) 若A 可逆,则1-A 也可逆,且11()--=A A ,111--==A A A； (2) 若A 可逆,数0≠λ,则λA 可逆,且111()λλ--=A A ；(3) 若、A B 为同阶矩阵且均可逆,则AB 也可逆,且111()---=AB B A ； (4) 若A 可逆,则其转置矩阵也可逆,且11()()T T --=A A ； (5) 若A 可逆,*A 为其伴随矩阵,则*11*()()--=A A .例5.设a b c d ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ,0≠-bc ad ,求1-A .解：1*11d b c a ad bc --⎛⎫== ⎪--⎝⎭A A A 例6.若12(,,,)n diag a a a =L A ,其中0(1,2,...,)i a i n ≠=,求证：112111(,,,)ndiag a a a -=L A . 矩阵方程：求解方法：矩阵方程=AX B ,若A 可逆,则1-=X A B ；同理对矩阵方程=XA B ,若A 可逆,则1-=X BA ；对于矩阵方程=AXB C ,若A 与B 均可逆,则11--=X A CB .注意：两边同时左乘（或同时右乘），不能乱乘. 三、矩阵的初等变换定理2.3 设A 和B 为⨯m n 矩阵,则有（1）r≅⇔A B 存在m 阶可逆矩阵P ,使得=PA B ；（2）c≅⇔A B 存在n 阶可逆矩阵Q ,使得=AQ B ；（3）≅⇔A B 存在m 阶可逆矩阵P 和n 阶可逆矩阵Q ,使得=PAQ B . 四、矩阵的秩定义2.14如果矩阵A 中不为零的子式最高为r 阶,即存在r 阶子式r D 不为零,而任何1+r 阶子式均为零,则称r D 为A 的最高阶非零子式,称r 为矩阵A 的秩,记作()R r =A .当=A O 时,规定()0R =A .显然{}0()min ,m n R m n ⨯≤≤A .()m n R m ⨯=A 时,称A 为行满秩矩阵；()m n R n ⨯=A 时,称A 为列满秩矩阵；()n n R n ⨯=A 时,称A 为满秩矩阵；()n n R n ⨯<A 时,称A 为降秩矩阵.性质2.8 （1）若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0, 则()R s ≥A ；（2）若A 中所有t 阶子式全为0, 则()R t <A ；（3）()()T R R =A A ；（4）n n ⨯A 可逆()R n ⇔=A .（5）行阶梯形矩阵的秩为其非零行的行数.定理2.4 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,即若≅A B ,则()()R R =A B .推论2.3 若,P Q 可逆,且=PAQ B ,则()()R R =A B .性质2.9（1）{}max (),()(,)()()R R R R R ≤≤+A B A A B B ；（2）()()()R R R +≤+A A B B ；（3）{}()min (),()R R R ≤A AB B ；（4）()()m n n s R R n ⨯⨯=⇒+≤B O B A A . 五、分块矩阵 2.5.2 常用的分块阵 1. 按列分块对于矩阵m n ⨯A ,在其列间引入虚线分块得到()111121,,n n m mn a a aa ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭A K M OM L L 令，ααα, 其中j α是A 的第j 列, ()12,,,Tj j j mj a a a =L α. 2. 按行分块对于矩阵m n ⨯A ,在其行间引入虚线分块得到111121T n T m mn T m a a aa ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭KM OM ML令ααA α, 其中T i α是A 的第i 行,()12,,,T i i i in a a a =L α. 3. 对角分块阵设n 阶方阵分块后形如()1212,,,ss diag ⎛⎫ ⎪⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ΟΟL O A A A A A A A , 即A 的分块矩阵只有在主对角线上有非零子块方阵,其余子块都为零矩阵,且非零子块都是方块, 则称A 为对角分块阵. 对于对角分块阵A ,易知（1）12s =L A A A A ；（2）A 可逆⇔0,(1,2,,)i i s ≠=L A ,且()111112,,,s diag ----=L A A A A . 例8.对于n 元线性方程组m n ⨯=A x b ,（1）若按列分块()12,,n =A L ，ααα,则1122n n x x x =⇔+++=Ax b b L ααα;（2）若按行分块()12,,,TT T T m =A L ααα,则(1,2,,)T i i m =⇔==L Ax b x b α.一、单项选择题1. 设行矩阵A = (a 1, a 2, a 3)、B = (b 1, b 2, b 3), 且A T B = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---112112112,则AB T= ( )A . -2B . 2C . -1D . 12. 下列等式中正确的是 ( )A . (A -B )2 = A 2 -2AB + B 2 B . (AB )C = A (BC ) C . (AB )T = A T B TD . (AB )-1= A -1 B -13. 设A 为任意n 阶方阵, X 是1 ⨯ n 阶矩阵, n > 1, 则下列可进行的运算是 ( )A . X T AXB . XAX TC . XAXD . X T AX T 4. 对任意n 阶方阵A 、B , 总有 ( )A . AB =BA B . det(AB ) = det(BA )C . (AB )T =A T B TD . (AB )2=A 2B 25. 设A 是方阵, 如有矩阵关系式AB = AC , 则必有 ( )A . A = 0B . B ≠C 时A = 0 C . A ≠ 0时B = CD . |A | ≠ 0时B = C 6. A 、B 、C 、E 为同阶矩阵, E 为单位阵, 若ABC = E , 则下列各式中总是成立的有 ( )A . BAC = EB . ACB = EC . CBA = ED . CAB =E 7.设n 阶方阵A 、B 、C 满足AB=BC=CA=E,则A 2+B 2+C 2= （）（A ）A 2B 2C 2 (B)3E (C)ABC (D)ABCABC8. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001, 则A -1等于 ( ) A . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛100020003B . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛300020001C . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛200010003D . ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000300029. 设矩阵A ＝⎪⎪⎭⎫⎝⎛--2321, 则矩阵A 的伴随矩阵A * = ( ) A . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1322B . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛1322 C . ⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1232 D . ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1232 10.设A 、B 都是n 阶方阵,且=AB O ,则下列一定成立的是（）.（A ）=A O 或=B O ；（B ）、A B 都不可逆；（C ）、A B 中至少有一个不可逆；（D ）+=A B O .11.若矩阵1120121012a a -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A 的秩()2R =A ,则a 的值为（）.（A ）0；（B ）0或-1；（C ）-1；（D ）-1或1.12.一个值不为零的n 阶行列式,经过若干次矩阵的初等变换后,该行列式的值（）.（A ）保持不变；（B ）保持不为零；（C ）保持相同的正负号；（D ）可以变为任何值.13.设A 是3阶方阵,*A 是其伴随矩阵,则*(3)=A （）.（A ）*3A ；（B ）*9A ；（C ）*27A ；（D ）*/3A . 14.设A 为⨯n m 矩阵, C 是n 阶可逆矩阵, 且1()R r =A , ()R r =AC ，则( ）.（A ）1r r >；（B ）1r r <；（C ）1r r =；（D ）r 与1r 的关系依C 而定. 15.已知A 是mxn 矩阵，B 是nxm 矩阵，若AB=E ，则 ( )(A) R(A)=m,R(B)=m (B) R(A)=m,R(B)=n (C) R(A)=n,R(B)=m (D) R(A)=n,R(B)=n16. 已知A 有一个r 阶子式不等于0，则R(A) ( ) (A) =r (B) =r+1 (C) ≦r (D) ≧r二、填空题. 1. 设A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛5443, 则A -1 = . 2. 设矩阵A =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛310210001, 则A -1 = .5. 设A 为3阶方阵, det(A )=2, 则det(-2A ) = .6.若A 为2009阶矩阵,且满足T =-A A ,则=A .7.设44⨯矩阵234(,,,)=A αγγγ,234(,,,)=B βγγγ,其中234,,,,αβγγγ均为四维列向量,且已知行列式4,1,==A B 则+=A B __________.8.设A 为3阶矩阵,且满足=A 2,则1-=A ______,22-=A _______,*=A ________,**()=A ________.9.设()ij s n a ⨯=A 与rs n⨯⎛⎫= ⎪⎝⎭E0B 00等价,则矩阵A 的秩()R A =________. 10.设n 阶方阵()ij n n a ⨯=A ,()ij n n i ja ⨯=⋅B ,已知行列式a =A ,则行列式=B .三、计算题1.已知123143210321,530140321250--⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭A B ,求32-A B .2.计算下列矩阵乘积：（1）12113412-⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭；（2）111311*********-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭. 3.已知(1,2,3),(1,1,2),,T T ==-==X Y A X Y B YX ,求4,,A B A .4.若2312312,,21031⎛⎫--⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ ⎪⎝⎭A B 求AB 及()TAB .5.（1）设100100λλλ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ,求3A ；（2）设101020001⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A , 求(2,3,)k k =L A ．6.将矩阵212341352012⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A 化为标准形.7.已知1/22/21/2⎛⎫=⎪⎪⎭A ,且6=A E , 求11A8. 设A 为3阶方阵, det (A ) =21, 计算行列式det [(3A ) -1 - 2A *]. 解: (3A ) -1 - 2A * = 31A -1- 2⋅det (A ) A -1 = 31A -1- A -1 =32-A -1, det [(3A )-1- 2A *]=332⎪⎭⎫ ⎝⎛-det (A -1) = 332⎪⎭⎫ ⎝⎛-[det (A )] -1= 2716-. 9. 设矩阵D = A -1 B T (CB -1 + E ) T - [(C -1) T A ] -1, 其中A = ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛31000210001, B = ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛100012021, C = ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1087654321,求出矩阵D .解:D =A -1 B T (CB -1+E ) T - [(C -1) T A ] -1= A -1 [(CB -1 + E ) B ] T - A -1[(C -1) T ] -1= A -1(C + B )T - A -1 C T = A -1(C T + B T ) - A -1 C T = A -1(C T + B T - C T ) = A -1 B T 。

矩阵的定义及其运算规则

矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言,所谓矩阵就是由一组数的全体,在括号内排列成m行n 列横的称行,纵的称列的一个数表,并称它为m×n阵;矩阵通常是用大写字母A 、B …来表示;例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：,或;即：2-3我们称2-3式中的为矩阵A的元素,a的第一个注脚字母 ,表示矩阵的行数,第二个注脚字母jj＝1,2,…,n表示矩阵的列数;当m＝n时,则称为n阶方阵,并用表示;当矩阵a的元素仅有一ij行或一列时,则称它为行矩阵或列矩阵 ;设两个矩阵,有相同的行数和相同的列数,而且它们的对应元素一一相等,即,则称该两矩阵相等,记为A＝B;2、三角形矩阵由i＝j的元素组成的对角线为主对角线,构成这个主对角线的元素称为主对角线元素;如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零,而另外一侧的元素不为零或不全为零,则该矩阵叫做三角形矩阵;例如,以下矩阵都是三角形矩阵：, ,, ;3、单位矩阵与零矩阵在方阵中,如果只有的元素不等于零,而其他元素全为零,如：则称为对角矩阵,可记为;如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1,如：,则称为单位矩阵;单位矩阵常用E来表示,即：当矩阵中所有的元素都等于零时,叫做零矩阵,并用符号“0”来表示;4、矩阵的加法矩阵A＝aijm×n 和B＝bijm×n相加时,必须要有相同的行数和列数;如以C＝cijm ×n表示矩阵A及B的和,则有：式中：;即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和; 由上述定义可知,矩阵的加法具有下列性质设A、B、C都是m×n矩阵： 1交换律：A＋B ＝B＋A 2结合律：A＋B＋C＝A＋B＋C5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A,其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵;如：由上述定义可知,数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是m×n矩阵,k、h 为任意常数,则：1 kA＋B＝kA＋kB2k＋hA＝kA＋hA3 khA＝khA6、矩阵的乘法若矩阵乘矩阵,则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义;矩阵的元素的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和;若：则矩阵的元素由定义知其计算公式为：2-4例2-1 设有两矩阵为：, ,试求该两矩阵的积;解由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数,故可乘,其结果设为C：其中：例2-2 已知：A＝,B＝,求A、B两个矩阵的积;解计算结果如下：矩阵的乘法具有下列性质：1通常矩阵的乘积是不可交换的;2矩阵的乘法是可结合的;3设A是m×n矩阵, B、C是两个n×t矩阵,则有：AB＋C＝AB＋AC;4设A是m×n矩阵,B是n×t矩阵;则对任意常数k有：kAB＝kAB＝AkB; 例2-3 用矩阵表示的某一组方程为：2-5式中：2-6试将矩阵公式展开,列出方程组;解现将2-6式代入2-5式得：2-7将上式右边计算整理得：2-8可得方程组：可见,上述方程组可以写成2-5式的矩阵形式;上述方程组就是测量平差中的误差方程组,故知2-5式即为误差方程组的矩阵表达式;式中称为改正数阵,称为误差方程组的系数阵,称为未知数阵,称为误差方程组的常数项阵;例2-4 设由n个观测值列出r个条件式如下,试用矩阵表示;解现记：2-9则条件方程组可用矩阵表示成：2-10上式中称为条件方程组的系数阵,称为改正数阵,称为条件方程组的闭合差列阵;。

2-1 矩阵的概念

简记为
A Amn
aij
mn
aij
.
其中aij表示矩阵的第 i行第j列的元素。
元素是实数的矩阵称为实矩阵,
元素是复数的矩阵称为复矩阵.
6
例如
1 9
0 6
3 4
5 3
是一个 2 4 实矩阵,
13 2
6 2
2i 2
是一个
33
复矩阵,
1 2
2 2 2
4
2 3 5 9
是一个 3 1 矩阵,
20
二. 矩阵的定义
由 m n 个数 aij i 1,2,,m; j 1,2,,n
排成的 m行 n列的数表
a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
am1 am2 amn
称为m 行 n 列矩阵. 简称 mn 矩阵. 记作
5
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
am1 am1 amn
0 0
0 0
0 0
0 0
ห้องสมุดไป่ตู้
0
0
0
0.
0 0 0 0
10
(5)方阵
a11
A
0
a12
a22
a1n a2n
0 0 ann
称为上三角矩阵。
类似地，方阵
a11
A
a21
0
a22
0 0
an1 an2 ann
称为下三角矩阵。
11
(6)方阵
1 0 0
E
En
0
1
线性方程组
a21 x1 a22 x2 a2n xn b2

第二章矩阵及其运算

数乘矩阵与数乘行列式的区别所在！！
23
第二章矩阵及其运算
3 1 2 0 A= 1 5 7 9
2 4 6 8
7 5 2 4 B= 5 1 9 7
3 2 1 6
求满足关系式 A+2X=B 的矩阵 X （3A—2B）三、矩阵的乘法
定义 3：设 A=（ aij ） ms B =（ bij ） sn 则乘积 AB=C=( cij ) mn
线性代数教案
课题
教学内容教学目标教学重点
第二章矩阵及其运算 §2.1 矩阵 §2.2 矩阵的运算
矩阵的概念；矩阵的运算；
明确矩阵概念的形成；掌握矩阵的加法、数与矩阵的乘法、矩阵与矩阵的乘法；会求矩阵的转置、方阵的行列式、共轭矩阵；
掌握矩阵定义及运算法则
教学难点矩阵乘法
教学内容、安排
矩阵：matrix 矩阵运算：matrix operations 矩阵的加法：matrix addition 数与矩阵相乘：scalar muctiplication 转置矩阵：transposd matrix
A
的乘积。即
kA=
k
aij
=

ka21
kam1
ka12 ka22
kam2
ka1n
ka2n

kamn

用数乘以矩阵中的每一个元素
由定义可知 –A=(-1) A
A – B = A+(-B) 数乘矩阵满足以下的运算律 1、结合律：(kl)A=k(lA)=l(kA) 2、交换律：kA=Ak 3、分配律：k（A+ B）=kA+kB 例1、设
教学手段、
措施

线性代数教案_第二章_矩阵

授课章节第二章矩阵§2.1矩阵§2.2矩阵的运算目的要求理解矩阵的定义，掌握矩阵的运算重点矩阵的运算难点矩阵的乘法§2.1矩阵前面介绍了利用行列式求解线性方程组的方法，即Cramer法则。

但是Cramer法则有它的局限性：1. 系数行列式；2. 方程组中变量的个数等于方程的个数。

接下来要学习的还是关于解线性方程组，即Cramer法则无法用上的－――用“矩阵”的方法解线性方程组。

本节课主要学习矩阵的概念及其运算。

一、矩阵的概念矩阵是线性代数的核心，矩阵的概念、运算和理论贯穿线性代数的始终。

矩阵是一个表格，它的运算与数的运算是既有联系又有区别；矩阵与行列式也有很大的关联，但二者不能等同混淆。

对于分块矩阵，它在矩阵乘法、求逆、向量的线性表出、线性相关与秩、线性齐次方程组的解等方面，都有很大的用处。

矩阵是本课程的一个重要概念，在生产活动和日常生活中，我们常常用数表表示一些量或关系，如工厂中的产量统计表，市场上的价目表等等例1 某种物资有3个产地，4个销地，调配量如表1所示表 1 产地销地调配情况表销地产地B1 B2 B3 B4A1 1 6 3 5A2 3 1 2 0A3 4 0 1 2那么，表中的数据可以构成一个矩形数表：在预先约定行列意义的情况下，这样的简单矩形数表就能表明整个产销调配的状况。

不同的问题，矩形数表的行列规模有所不同，去掉表中数据的实际含义，我们得到如下矩阵的概念。

定义2.1 由个数排成的行列数表（2.1）称为一个行列矩阵，简称矩阵。

这个数称为矩阵的元素，其中称为矩阵的第行第列元素.（2.1）式也简记为或. 有时矩阵A也记作.注 1.元素是复数的矩阵称为复矩阵，元素是实数的矩阵称为实矩阵，本书中的矩阵除特别说明外，都指实矩阵.2.当时，称矩阵为长方阵（长得像长方形）；3.当时，称矩阵为阶方阵（长得像正方形），简称方阵；4. 两个矩阵的行数、列数均相等时，就称它们是同型矩阵.如果与是同型矩阵，并且它们的对应元素相等，即则称矩阵A与矩阵B相等，记作A＝B5.所有元素都为零的矩阵称为零矩阵，记为O. 值得注意的是：不同型的零矩阵是不相等的.例2设，，已知A＝B，求.【解】因为，，，所以二、几种特殊矩阵（1）矩阵，当时，即称为n阶方阵，记为. 特别地，一阶方阵.方阵中从左上角元素到右下角元素的这条对角线称为方阵的主对角线，从右上角元素到左下角元素的这条对角线称为方阵的副对角线。

第二章矩阵内容概述

则线性方程组
a11 x1 a12 x2 a1n xn b1 a x a x a x b 21 1 22 2 2n n 2 am1 x1 am 2 x2 amn xn bm
可表为： AX=B。
5) A乘B,左乘还是右乘的区别。
满足： 1）A

T T
A,
T T T T
2) (kA) kA
T T
3) ( A B) A B . 4) ( AB) B A . 5) A为n阶方阵 A A
1 1 1 1 4 T T T 例：A , B ; 求 ( AB ) , B A . 2 3 2 0 3
由这个定义可知： 1）如果矩阵A的列数等于矩阵B的行数，则A与B 可以相乘。 2）矩阵C的行数等于矩阵A的行数，矩阵C的列数等于矩阵B的列数。 3）乘积C的第i行第j列的元素Cij等于矩阵A的第 i行的元素与矩阵B的第j列的对应元素乘积之和。
1 2 3 1 2 例：A 0 1 2 , B 0 3 ; 求AB 1 2 1 1 2
第二章矩阵内容概述
• 矩阵是数学中的一个重要的概念；它是线性代数的主要研究对象之一，在科学技术及经济领域中有广泛的应用。这一章的目的是引入矩阵的概念及运算，并讨论它们的一些基本性质，最后给出两种求逆矩阵的方法。
§2.1 矩阵的概念
• （矩阵的定义）由m×n个数aij排成一个m行n列的矩形表 a11 a12 a1n
（二）矩阵的乘法
例：某地有、两工厂生产甲、乙、丙三种产品，矩阵A表示每种产品的数量，矩阵B表示每种产品的单位价格和单位利润，矩阵C表示各工厂的总收入和总利润，即： a11 A a 21

x2_1矩阵定义

2 0 0 2 3 0 1 9 2 13 2 6 3 13
2 x1 2 x2 x3 6 9 3 x2 x3 0 2 x3 2
2 0 0 2 3 0 1 9 2 1 6 0 2
4.n阶矩阵（或n阶方阵）的含义;主对角线元素; 对称阵；对角阵的含义;数量阵的含义； n阶单位阵的含义;上三角阵与下三角阵的含义.
元素是实数的矩阵称为实矩阵，元素是复数的矩称为复矩阵。本课程中除特别说明外，都指实矩阵。元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 0.
只有一行的矩阵
A (a1 a2 an )
a11 a21 A a m1 a12 a22 am 2 a1n a2 n amn
(紧凑便于分辨)
其中 aij称为矩阵A的第i行第j列的元素,或称为第(i, j)元素.
说明： 1.有时为了简便起见将上述矩阵记为A=(aij)m×n; 一般情况用大写字母A，B，C等表示矩阵。 2.实矩阵、复矩阵、零矩阵、负矩阵的含义. 3.行矩阵(或行向量) 、列矩阵(或列向量) 的含义.
§2.1 矩阵的概念
例1.
x1 5 x2 x3 x4 1 x 2x x 3x 3 1 2 3 4 3 x1 8 x2 x3 x4 1 x1 9 x2 3 x3 7 x4 7
这个方程组未知量系数及常数项按方程组中的顺序组成一个 4行5列的矩形阵列如下：
1 5 1 1 1 取名为矩阵 3 3 1 2 1 特别地称为 3 8 1 1 1 1 9 3 7 7 方程组的
1 5 1 1 3 1 2 1 3 8 1 1 1 9 3 7

数学初中二年级下册第二章矩阵的认识与运算

数学初中二年级下册第二章矩阵的认识与运算矩阵是数学中一个重要的概念，它在各个领域起着重要的作用。

本章主要介绍矩阵的基本概念以及矩阵的运算。

1. 矩阵的基本概念矩阵由元素排列成的矩形阵列，其中每个元素都有自己的位置和值。

矩阵通常用大写的字母表示，如A、B等，元素用小写的字母表示，如a、b等。

矩阵的大小由行和列决定，如果一个矩阵有m行n列，则称其为m×n矩阵。

如下所示为一个3×4矩阵：$$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\\end{bmatrix}$$2. 矩阵的运算2.1 矩阵的加法两个矩阵的加法要求其大小相同，即行数和列数都相等。

对应位置的元素相加得到新矩阵的对应元素。

例如，对于两个矩阵A和B的加法运算，结果矩阵C的对应元素为：$$c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}$$2.2 矩阵的数乘矩阵的数乘即一个矩阵中的每个元素都乘以同一个数。

例如，对于矩阵A的数乘运算，结果矩阵B的对应元素为：$$b_{ij} = k \cdot a_{ij}$$其中k为一个实数。

2.3 矩阵的乘法矩阵的乘法是一种比较复杂的运算，要求被乘矩阵的列数等于乘矩阵的行数。

乘积矩阵的行数等于被乘矩阵的行数，列数等于乘矩阵的列数。

设矩阵A为m×n矩阵，矩阵B为n×p矩阵，则乘积矩阵C为m×p 矩阵。

乘积矩阵C的第i行第j列元素为：$$c_{ij} = a_{i1} \cdot b_{1j} + a_{i2} \cdot b_{2j} + \cdots + a_{in}\cdot b_{nj}$$3. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置矩阵的转置是将矩阵的行和列交换得到的新矩阵。

线性代数第二章2-1, 2-2

称为mn线性方程组，m=n 时，称为n元方程组
... a11 a 12 系 ... 数 a a 21 22 矩A ............ 阵 ... a a m2 m1
增广矩阵
2n a mn
a a
1n
x1 未 x 知 2 量 X 阵 xn
矩阵A与B的差记作：A - B
a11 b11 a12 b12 a b a b 21 21 22 22 A B a b a b m1 m1 m 2 m 2
a1n b1n a2n b2n amn bmn
矩阵加法满足下列运算规律
数乘矩阵满足下列运算规律（设A、B为mn矩阵，、为常数）
(i). （）A = （A）
(ii). （+）A = A + A (iii). （A + B）=A + B
3.矩阵与矩阵相乘
设矩阵 A = (aij ) ms ， B = (bij ) sn，则矩阵A与B的乘积矩阵C =(cij)mn，其中
第1节矩阵的概念
引：线性方程组的一些性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵上，解线性方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。除线性方程组外，还有大量的各种各样问题也都提出
矩阵的概念，且这些问题的研究常常表现为
对矩阵的某些方面的研究。甚至于某些性质
完全不同的，表面上无联系的问题，归结成
矩阵后却是相同的。这使矩阵有着广泛的应用
0 a 0
0 0 a
3）单位矩阵主对角线元素都是 1, 其他元素都是零的矩阵称为单位矩阵,记为
I
1 0 0 1 I 0 0

第二章矩阵及其运算总结

§1 矩阵及其运算一、矩阵的基本概念（必考）矩阵，是由m*n个数组成的一个m行n列的矩形表格，通常用大写字母表示，组成矩阵的每一个数，均称为矩阵的元素，通常用小写字母其元素表示，其中下标都是正整数，他们表示该元素在矩阵中的位置.比如,或表示一个m*n 矩阵，下标ij 表示元素位于该矩阵的第行、第列.元素全为零的矩阵称为零矩阵. 特别地，一个m*1矩阵，也称为一个 m维列向量；而一个 1*n矩阵B=(b1,b2,…，bn)，也称为一个 n维行向量.当一个矩阵的行数m与烈数n 相等时，该矩阵称为一个 n阶方阵.若一个n阶方阵的主对角线上的元素都是，而其余元素都是零，则称为单位矩阵，记为，即： .单位矩阵与实数中的‘1’的运算相近.如一个阶方阵的主对角线上（下）方的元素都是零，则称为下（上）三角矩阵是一个阶下三角矩阵.例题：1.A既是上三角矩阵，又是下三角矩阵，则A必是对角矩阵2.两矩阵既可相加又可相乘的充要条件是两矩阵为同阶方阵.3.A=(l≠n)，则A的主对角线上个元素的和为 (设矩阵为2行3列的矩阵，找规律)二、矩阵的运算1、矩阵的加法：如果是两个同型矩阵（即它们具有相同的行数和列数，比如说），则定义它们的和仍为与它们同型的矩阵（即），的元素为和对应元素的和，即：.给定矩阵，我们定义其负矩阵为： .这样我们可以定义同型矩阵的减法为： .由于矩阵的加法运算归结为其元素的加法运算，容易验证，矩阵的加法满足下列运算律：(1)交换律：； (2)结合律：；(3)存在零元：;(4)存在负元：.2 、数与矩阵的乘法的运算律：（1)；（2)；（3)；（4) .3 、矩阵的乘法（必考）设为距阵，为距阵，则矩阵可以左乘矩阵（注意：距阵的列数等与矩阵的行数），所得的积为一个距阵，即,其中,并且(即左行乘右列)矩阵的乘法满足下列运算律（假定下面的运算均有意义）：(1）结合律：； (2）左分配律：；(3）右分配律：；(4）数与矩阵乘法的结合律：；(5）单位矩阵的存在性：.若为阶方阵，则对任意正整数，我们定义：，并规定：由于矩阵乘法满足结合律，我们有：， .注意：矩阵的乘法与通常数的乘法有很大区别，特别应该注意的是：（必考重要）（1)矩阵乘法不满足交换律：一般来讲即便有意义，也未必有意义；倘使都有意义，二者也未必相等.正是由于这个原因，一般来讲,在实数中的某些运算不再适应，如,，反过来，这些公式成立的条件又恰是A、B 可逆.例：A,B,C 是同阶矩阵，A ≠0,若AB=BC,必有B=C,则A满足可逆（2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵，即未必能推出或者. 同理，A ≠0，B ≠0，而AB却肯能等于0.例题：（选择题5、6）（3)矩阵的乘法不满足消去律：如果并且，未必有 .4 、矩阵的转置：定义：设为矩阵，我们定义的转置为一个矩阵，并用表示的转置，即：.矩阵的转置运算满足下列运算律：（1)；（2)；（3)；（4) (重要).5、对称矩阵：n 阶方阵若满足条件：，则称为对称矩阵；若满足条件：，则称为反对称矩阵.若设，则为对称矩阵，当且仅当对任意的成立；为反对称矩阵，当且仅当对任意的成立.从而反对称矩阵对角线上的元素必为零.对称矩阵具有如下性质：（1)对于任意矩阵，为阶对称矩阵；而为阶对称矩阵；（2)两个同阶（反）对称矩阵的和，仍为（反）对称矩阵；（3)如果两个同阶（反）对称矩阵可交换，即，则它们的乘积必为对称矩阵，即.运算性质：1）（2）（3）（4）（5）三、逆矩阵1.定义对于n 阶矩阵A ，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==．则A 称为可逆矩阵或非奇异矩阵．B 称为A 的逆矩阵，．由定义可得，A 与B 一定是同阶的，而且A 如果可逆，则A 的逆矩阵是唯一的．这是因为（反证法），如果1B 、2B 都是A 的逆矩阵，则有E A B AB ==11，E A B AB ==22，那么22212111)()(B EB B A B AB B E B B =====所以逆矩阵是唯一的．我们把矩阵A 的逆矩阵记作1-A ．逆矩阵有下列性质：（1）如果A 可逆，则1-A 也可逆，且A A =--11)(．由可逆的定义，显然有A 与1-A 是互逆的．（2）如果A 、B 是两个同阶可逆矩阵，则)(AB 也可逆，且111)(---=A B AB ．（必考重点）这是因为 E A A AEA ABB A A B AB =⋅===------111111)())((E B B EB B B A A B AB A B ====------111111)())((，所以111)(---=A B AB ．（必考重点）这个结论也可以推广到有限个可逆矩阵想乘的情形. （3）可逆矩阵A 的转置矩阵T A 也是可逆矩阵，且T T A A )()(11--=．这是因为E E A A A A T T TT===--)()(11，E E AA A A T T T T ===--)()(11所以 T TA A )()(11--=．（4）如果A 是可逆矩阵，则有11--=A A ．这是因为E AA=-1，两边取行列式有 11=⋅-A A ，所以111--==A AA ．矩阵可逆的条件（1）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是| A | ≠ 0（也即r （A ）= n ）；（2）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以通过初等变换（特别是只通过初等行（列）变换）化为n 阶单位矩阵；（3）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 可以写成一些初等矩阵的乘积；（4）n 阶方阵A 可逆的充分必要条件是A 的n 个特征值不为零；（5）对于n 阶方阵A ，若存在n 阶方阵B 使得AB = E （或BA = E ），则A 可逆，且A -1= B. 逆矩阵的有关结论及运算必考 ——求法方法1 定义法：设A 是数域P 上的一个n 阶方阵，如果存在P 上的n 阶方阵B ，使得AB = BA= E ，则称A 是可逆的，又称B 为A 的逆矩阵.当矩阵A 可逆时，逆矩阵由A 惟一确定，记为A -1.例1：设A 为n 阶矩阵，且满足22A - 3A + 5E = 0，求A -1.【解】22 2 -12A - 3A + 5E = 02A - 3A = - 5E23-A - A =E 552323A (- A - E) = - A - E = E555523A A = - A - E55∴∴∴∴可逆且方法 2 伴随矩阵法：A -1= 1|A|A*.定理n 阶矩阵A = a ij 为可逆的充分必要条件是A 非奇异.且11211122221121n n nnnn A A A A A A A A A A A -⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪⎝⎭其中A ij 是|A|中元素a ij 的代数余子式.矩阵112111222212n n nnnn A A A A A A A A A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭称为矩阵A 的伴随矩阵，记作A*，于是有A -1=1|A|A*. 注 ①对于阶数较低（一般不超过3阶）或元素的代数余子式易于计算的矩阵可用此法求其逆矩阵.注意A* = （A ji ）n ×n 元素的位置及符号.特别对于2阶方阵11122122a a A a a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，其伴随矩阵22122111*a a A a a -⎛⎫=⎪-⎝⎭,即伴随矩阵具有“主对角元素互换，次对角元素变号”的规律.②对于分块矩阵A B C D ⎛⎫⎪⎝⎭不能按上述规律求伴随矩阵.例2：已知101A=210325⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭，求A -1.【解】 ∵| A | = 2 ≠ 0 ∴A 可逆.由已知得111213212223313233A = - 5, A = 10, A = 7A = 2, A = - 2, A = - 2A = - 1, A = 2, A = 1 ， A -1= 1|A| A* = 5115212211022511272171122⎛⎫-- ⎪--⎛⎫ ⎪⎪-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭- ⎪⎝⎭方法3 初等变换法：注 ①对于阶数较高（n ≥3）的矩阵，采用初等行变换法求逆矩阵一般比用伴随矩阵法简便.在用上述方法求逆矩阵时，只允许施行初等行变换.②也可以利用1E A E A -⎛⎫⎛⎫−−−−→⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭初等列变换求得A 的逆矩阵. ③当矩阵A 可逆时，可利用求解求得A -1B 和CA -1.这一方法的优点是不需求出A 的逆矩阵和进行矩阵乘法，仅通过初等变换即求出了A -1B 或CA -1.例3：:用初等行变换求矩阵231A 013125⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭的逆矩阵.【解】()231100125001125001A E 01301001301001301012500123110000611212500112500101301001301001910211100166311341006631310122111001663⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎛⎫⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭-- ⎪⎝⎭⎛--→---⎝⎫⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎭1113410066313A 010********1663-⎛⎫--⎪ ⎪ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭故方法4 用分块矩阵求逆矩阵：设A 、B 分别为P 、Q 阶可逆矩阵，则：1111111111111111A A 000B 0C O A A A CB A O A O BD B O B B DA B B O A O B B O AO ----------------⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭例4：已知0052002112001100A ⎛⎫⎪ ⎪=⎪-⎪⎝⎭，求A -1.【解】将A 分块如下：12005200211200110O A A A O ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫⎪== ⎪⎪⎝⎭- ⎪ ⎪⎝⎭其中 125212,2111A A -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可求得 1*1*1122121212111,2511||||3A A A A A A ---⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭ 从而11211120033110331200250O A A A O ---⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪== ⎪⎪⎝⎭ ⎪ ⎪- ⎪-⎝⎭方法5 恒等变形法求逆矩阵：有些计算命题表面上与求逆矩阵无关,但实质上只有求出矩阵的逆矩阵才能算出来,而求逆矩阵须对所给的矩阵等式恒等变形,且常变形为两矩阵的乘积等于单位矩阵的等式.例8 已知，且，试求．解由题设条件得3.伴随矩阵如果n 阶矩阵A 的行列式0≠A ,则称A 是非奇异的(或非退化的).否则,称A 是奇异的(或退化的).（n 阶矩阵A 可逆的充要条件是:|A|≠0）设n n ij a A ⨯=)(,ij A 是A 中元素)21(n j i a ij ，，，， =的代数余子式.矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n A A A A A A A A A A 212221212111*（顺序变化，重点）称为A 的伴随矩阵. 矩阵n n ij a A ⨯=)(为可逆矩阵的充分必要条件是A 为非奇异矩阵,并且当A 可逆时,有*11A AA =-，伴随矩阵例1. 已知矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=313132121A 判断A 是否可逆,如果可逆,求1-A .解: 因为01313132121≠=---=A ,所以A 可逆.又.13221)1(11211)1(;11312)1(71321)1(;63311)1(53112)1(;11332)1(93312)1(;83113)1(333323321331322322221221311321121111=---==-==---=-=--=-=--=-=---==--==--==---=+++++++++A A A A A A A A A所以 ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---==-1711691581*1A A A 四、分块矩阵一、分块矩阵的概念对于行数和列数较高的矩阵, 为了简化运算，经常采用分块法，使大矩阵的运算化成若干小矩阵间的运算，同时也使原矩阵的结构显得简单而清晰. 具体做法是：将大矩阵用若干条纵线和横线分成多个小矩阵. 每个小矩阵称为A 的子块, 以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.矩阵的分块有多种方式，可根据具体需要而定注：一个矩阵也可看作以n m ⨯个元素为1阶子块的分块矩阵. 二、分块矩阵的运算分块矩阵的运算与普通矩阵的运算规则相似. 分块时要注意，运算的两矩阵按块能运算，并且参与运算的子块也能运算，即，内外都能运算.1. 设矩阵A 与B 的行数相同、列数相同，采用相同的分块法, 若,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t st s t B B B B B A A A A A其中ij A 与ij B 的行数相同、列数相同, 则.11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=+st st s s t t B A B A B A B A B A2.设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A Ak 为数, 则.1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t kA kA kA kA kA 3．设A 为l m ⨯矩阵, B 为n l ⨯矩阵, 分块成,,11111111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=tr t r st s t B B B B B A A A A A其中pt p p A A A ,,,21 的列数分别等于tq q q B B B ,,,21 的行数, 则,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=sr s r C C C C AB 其中).,,2,1;,,2,1(1r q s p B A C t k kqpk pq ===∑=4. 分块矩阵的转置设,1111⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=st s t A A A A A则.1111⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T st T tT s T TA A A A A 5. 设A 为n 阶矩阵, 若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块, 其余子块都为零矩阵, 且在对角线上的子块都是方阵, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=s A O A O A A21, 其中),,2,1(s i A i =都是方阵, 则称A 为分块对角矩阵.分块对角矩阵具有以下性质：(1) 若 ),,2,1(0||s i A i =≠，则0||≠A ，且|;|||||||21s A A A A =(2) .112111⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=----s A O A O A A(3) 同结构的对角分块矩阵的和、差、积、商仍是对角分块矩阵. 且运算表现为对应子块的运算。

东北大学线性代数书后答案第二章矩阵

第二章矩阵教学基本要求： 1. 理解矩阵的概念.2. 了解基本矩阵（单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、上（下）三角矩阵、对称矩阵等）及其基本性质.3. 掌握矩阵的各种运算（加法、数乘、乘法和转置运算）及其运算规律.4. 理解逆矩阵的概念，掌握可逆矩阵的性质，掌握矩阵可逆的充要条件.5. 了解分块矩阵的概念.6. 了解矩阵的初等变换概念，了解初等矩阵，掌握用初等变换求逆矩阵的方法.7. 了解矩阵等价的概念.8. 理解矩阵秩的概念，掌握求秩的方法.线性代数是“矩阵”的代数，矩阵有着广泛的应用.一、矩阵的概念及其运算 1. 矩阵的概念长方形数表：111212122212n n m m mn a a a a a a a a a ⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭称为m n ⨯矩阵，常记作()ij A a =或()⨯=ij m n A a 或m n A ⨯等.行数相同、列数也相同的矩阵称为同型矩阵. 元素全是实数的矩阵称为实矩阵.以下只讨论实矩阵. 2. 基本矩阵行矩阵——只有一行的矩阵，即()12n a a a .列矩阵——只有一列的矩阵，即12m a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.零矩阵——元素皆为零的矩阵，即000000000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 负矩阵——111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ∆---⎛⎫⎪---⎪=- ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭. n 阶矩阵(n 阶方阵)——行数与列数相等的矩阵，简记作n ij a A )(=或n A .0()0()0()() 1()(=∀>=∀<=∀≠⊃=∀⊃⊃=∀=∀ij ij ij ii ii ij ji a i j a i j a i j a a i a i a a 上三角矩阵下三角矩阵对角矩阵数量矩阵方阵单位矩阵对称矩阵,) (,)⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪=-∀⎪⎩ij ji i j a a i j 反对称矩阵3. 矩阵运算及运算规律 (1)相等 (,)ij ij A Ba b i j =⇔=∀(2)加法(减法) 设p n ij n m ij b B a A ⨯⨯==)(,)(，则=+B A ()ij ij m n a b ⨯+ (n m ij ij b a B A B A ⨯-=-+=-)()().运算规律：A B B A +=+； (交换律）；()()A B C A B C ++=++； (结合律).)(O A A A O A =-+=+；(零矩阵的加法作用)(3)数乘设n m ij a A ⨯=)(，则=kA n m ij ka ⨯)(. 运算规律：1A A =；()()()().kl A k lA k l A kA lA k A B kA kB =+=++=+；；(分配律)(4)乘法设(),()ij m n ij n p A a B b ⨯⨯==，则()ij m p C AB c ⨯==，其中1pij ik kjk c a b==∑.运算规律：()()AB C A BC =（结合律）()()()k AB kA B A kB ==（结合律） ()A B C AB AC +=+（左分配律）()A B C AC BC +=+（右分配律）m n n m m n m n A E E A A ⨯⨯⨯==（单位矩阵的乘法作用） m n n p m p p m m n p nA O O O A O ⨯⨯⨯⨯⨯⨯== (零矩阵的乘法作用).)(,,)(,,1k k k kl l k l k l k k k B A AB BA AB A A A A A A A A =====+-则若其中k 与l 皆为正整数. (方阵的幂)注意：乘法没有交换律、幂零律和消去律. 例如，01121034A B AB BA ⎛⎫⎛⎫==⇒≠⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，； 21111A A O ⎛⎫=⇒= ⎪--⎝⎭；，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1111A ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1102B 1120C AB AC ⎛⎫=⇒= ⎪⎝⎭.(5)转置 n m ij a A ⨯=)(，112111222212n n Tmmnm n ma a a a a a A a a a ⨯⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.A 为对称矩阵，即A =A T ；A 为反对称矩阵，即A =-A T .运算性质：A A TT =)(， TTTB A B A +=+)(，T T kA kA =)(， T T T A B AB =)(.4. 矩阵应用设111111212122222212,,,n n m m mn m n m y x b a a a a a a y x b A Y X B a a a y x b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.(1)矩阵表示线性映射⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+++=+++=+++=.,,22112222121212121111n mn m m m nn n n x a x a x a y x a x a x a y x a x a x a y⇔=Y AX . (2)矩阵表示线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.,,22112222212*********m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a⇔=AX B . 二、逆矩阵(P 36)逆矩阵在矩阵理论和应用中起着重要作用. 1. 方阵的行列式(P 36)设()ij n A a =，则行列式ij na 称为A 的行列式，记作det A 或A .运算性质：设A ,B 均为n 阶方阵，则det det =T A A ，det()det =⋅n kA k A ，det()det()det()det()==⋅AB BA A B .(证明见第一章例1.7)例2.1(1)设⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=43210110B A ，，计算,4,,+,,,+nA AA AB A B A BB A. (2)设A 为3阶矩阵，且2A =-，求2TA A A .(3)设四阶矩阵234234(),()A B αγγγβγγγ==，且|A |=2, |B | =3，求|A +B |.例2.2 设矩阵210320004⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭A ，矩阵B 满足23=+AB B E ，求det B .2. 伴随矩阵(P 37)由方阵()=ij n A a 的行列式的每一个元素的代数余子式(1,2,,,1,2,,)ij A i n j n ==构成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛nn n nn n A A A A A A A A A 212221212111称为A 的伴随矩阵，记作*A .事实上，Tnn n n n n A A A A A A A A A A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 212222111211*.运算性质：**AA A A A E ==， 1*n A A-=， *1*()n kA k A -=，2**()n A AA -=， **()()T T A A =， ***()AB B A =.例2.3 (1)设1234⎛⎫= ⎪⎝⎭A ，求*A .(2)设120311041-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭B ，求*B .解总结：*a b c d ⎛⎫=⎪⎝⎭.3. 逆矩阵设A 为n 阶方阵，若存在矩阵B 使AB =BA =E ，则称矩阵A 是可逆矩阵(或可逆的)，称B 为A 的逆矩阵，记为1-=A B (读作A 的逆)；否则，称A 是不可逆矩阵(或不可逆的).可逆矩阵又叫非奇异矩阵，不可逆矩阵又叫奇异矩阵.性质：(1)逆矩阵是惟一的.(2)矩阵A 可逆的充分必要条件是det A ≠0.且当det A ≠0时，A -1=(1/det A ) A *. 推论设A 是方阵，若存在矩阵B 使AB =E （或BA =E ），则A 可逆，且A -1=B .(3)若,A B 可逆，数0k ≠，则1*,,,,-T A A kA A AB 皆可逆，且11()--=A A ，111()--=kA A k，11()()--=T T A A ， *11*1()()det A A A A--==，111()---=AB B A .规定：若A 可逆，则A 0 =E ，A -k =( A -1) k =(A k ) -1，k 为整数.4. 矩阵可逆的判定(1)矩阵A 可逆的充分必要条件是det A ≠0.(2)矩阵A 可逆的充分必要条件是存在矩阵B 使AB =E （或BA =E ）.5. 逆矩阵的计算(1)伴随矩阵法当det A ≠0时，A -1=(1/det A ) A *.(2)初等行变换法 (A | B ) → (E | A -1). (原理见下面的四) (3)定义法令AX =E ，求出X ，即为A -1.例2.4 1-⎛⎫=⎪⎝⎭a b c d .例2.5(例2.7 P 38) 设矩阵A 满足3222+-=A A E O ，证明矩阵+A E 可逆.证因为3222+-=A A E O ，所以322A A E E +-=，2()()A E A A E E ++-=.故+A E 可逆，且12()A E A A E -+=+-.以后还会陆续给出新的判定矩阵可逆的条件，并给出计算逆矩阵的常用方法——初等变换法.三、分块矩阵 1. 定义用横线与竖线将矩阵分成若干“小矩阵”块，称为子块或子矩阵，以子块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵.2. 分块矩阵的运算相等、加法、数乘、乘法、转置、逆.注意：(1)做分块矩阵相等和加法运算，要求矩阵同型且分块形式相同；(2)做分块矩阵乘法运算时，前面矩阵的列数不仅要与后面矩阵的行数相等，且前面矩阵的列块分法要与后面矩阵的行块分法相同；(3)分块矩阵的转置运算须进行“两转”. (4)用拟矩阵定义求分块矩阵的逆.3. 分块对角矩阵对角线上的子块均是方阵，而其它子块皆为零矩阵的分块矩阵称为分块对角阵.即12n A A A A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭(其中(1,2,,)iA i n =是方阵).运算性质： (1) 12n A A A A =⋅； (2) 若0(1,2,,)i A i n ≠=，则111121n A A A A ----⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. (3) 设1122,n n A B A B A B A B ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是分块完全一致的分块对角阵，则1122n n A B A B AB A B ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭.四、矩阵的初等变换 1. 矩阵的初等变换以下三种变换： (1)交换矩阵的两行；(2)矩阵的某行元素乘以同一个不为零的数；(3)矩阵的某行元素乘以同一个数后加到另一行对应元素上，分别称为矩阵的第一、二、三种初等行变换.若把“行”换成“列”，则是矩阵的三种初等列变换.矩阵的初等行变换与初等列变换统称为矩阵的初等变换.初等变换是可逆变换.如果矩阵A 可以经过有限次的初等变换化为矩阵B ，则称A 与B 等价，记为A ～B .矩阵等价的性质： (1)反身性：A ～A ；(2)对称性：若A ～B ，则B ～A ； (3)传递性：若A ～B ，B ～C ，则A ～C .2. 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵(P 45-46)行阶梯形矩阵和行最简形矩阵在矩阵秩的理论和线性方程组的求解理论中有着重要的作用.每一行的第一个不为零元素的下方及左下方的所有元素都是0的矩阵称为行阶梯形矩阵.第i 个元素不为零但其以下元素全为零的列称为第i 阶梯列.若第i 阶梯列的第i 个元素为1其余元素都为0，则称为第i 标准列.各阶梯中都有标准列的行阶梯形矩阵称为行最简形矩阵.例如，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0000002100015302，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-00000000000410083521是行阶梯形矩阵.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛000000210015002，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000010000010080021 是行最简形矩阵.定理2.1(定理2.4 P 46) 任何矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.例2.6(例2.10 P 46) 用初等行变换把矩阵360613142220-⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭A变化为行阶梯形矩阵和行最简形矩阵.定理2.2(定理2.5 P 46) 任意矩阵A 都与形为rE O O O ⎛⎫⎪⎝⎭的矩阵等价，其中r E 为r 阶单位矩阵(r 为A 的秩，由A 唯一决定). rE O O O ⎛⎫⎪⎝⎭称为A 的等价标准形.例如，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=654321A 的等价标准形为100010⎛⎫⎪⎝⎭.矩阵的初等变换可以推广到分块矩阵上(P 47).五、初等矩阵 1. 初等矩阵初等矩阵——对单位矩阵作一次初等变换所得到的矩阵.初等矩阵有如下三种类型：[,]E i j ——单位矩阵的第i , j 两行(列)互换所得到的矩阵； [()]E i k ——单位矩阵的第i 行(列)乘以非零常数k 所得到的矩阵；[()]+E i j k ——单位矩阵的第j 行(第i 列)的k 倍加到第i 行(第j 列)所得到的矩阵.定理2.3(定理2.6 P 49) 初等矩阵是可逆的，其逆矩阵是同类型的初等矩阵.111[,][,],[()][()](0),---==≠E i j E i j E i k E i k k1[()][()]-+=+-E i j k E i j k .定理2.4(定理2.6 P 49) 对m n ⨯矩阵A 作一次初等行变换，等同于在A 的左侧乘以相应于该变换的m 阶初等行矩阵；对m n ⨯矩阵A 作一次初等列变换，等同于在A 的右侧乘以相应于该变换的n 阶初等列矩阵.该定理的数学语言为[,]↔→⇔=i j r r A B E i j A B ([,]↔→⇔=i jc c A B AE i j B )⇔→⨯B A k r i [()]=E i k A B (⇔→⨯B A kc i [()]=AE i k B )⇔→+B A j i kr r E[()]+=i j k A B (⇔→+B A ij kc c [()]+=AE i j k B )例如，120103100101001001001214100010010013A B --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎪ ⎪-= ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭表示的变换过程为2313221211()32423r c c c c r r c c A B ⨯-----→→→→→.例2.7 设A 是3阶方阵，将A 的第1列与第2列交换得B ，再把B 的第2列加到第3列得C ，求满足AQ =C 的可逆矩阵Q .解 C B B A c c c c 2321,+↔→→，即010100100011001001A C ⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭. 所以010100011100011100001001001Q ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.定理2.5(定理2.7 P 49) 矩阵A ，B 等价的充分必要条件是存在有限个初等矩阵P 1, P 2,… ,P l 与Q 1, Q 2,…, Q t ，使A=P l P 2…P 1B Q 1Q 2…Q t .定理 2.6(定理 2.8 P 49) 可逆矩阵的等价标准形是单位矩阵.可逆矩阵等于有限个初等矩阵的乘积.推论(推论 P 50) 矩阵A ，B 等价的充分必要条件是存在可逆矩阵P ，Q ，使PAQ =B .2. 初等变换求逆矩阵设A 可逆，那么1-A 存在，并且111,.A A E A E A ---⎧=⎨=⎩根据定理2.6，设111k k A P P P --=，代入上式即得11111,.k k k k P P P A E P P PE A ---=⎧⎨=⎩上式表明：如果对矩阵A 做某些初等行变换，就对同阶的单位矩阵E 做完全相同的初等行变换，那么当这些初等行变换把A 变为E 时，就会把E 变为1-A ，即()()1AE E A -→.例2.8 试用初等变换法求矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100112110A 的逆矩阵.解 (1)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛→⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛↔10000101010011011210001000110011211021 r r⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→--1001010111000100023132 r r r r ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--→⨯10010102121100010001211 r . ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-100101021211A .初等矩阵及其性质，可以推广到分块矩阵上(P 50-52).3. 逆矩阵的应用(1)利用逆矩阵解线性方程组1A AX B X A B ≠-==.()()1A B E A B -→.例2.9 解矩阵方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12643152X .解因为03152≠，所以⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-126431521X.8023212642153⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--= 例2.10 解矩阵方程⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--521234311111012111X . 解 TT T X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--521234311111012111 121141111132101325⎛⎫⎪-→ ⎪ ⎪-⎝⎭→100549010457001224---⎛⎫⎪⎪ ⎪---⎝⎭. 所以⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=479254245X .(2)利用逆矩阵求线性映射的逆映射1A Y AXX A Y ≠-==.例2.11 求线性映射121111101Y X ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭的逆映射.解由上例可知，1121549111457101224----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭，故所求逆映射为549457224X Y ---⎛⎫⎪= ⎪ ⎪---⎝⎭.类似地，初等矩阵及其性质也可以推广到分块矩阵上(P 50).六、矩阵应用实例[实例2-1] 利用矩阵的基本运算解决实际问题 [实例2-2] 人口迁移问题 [实例2-3] 密码问题七、习题(P 57) 选择题：1. 提示：|A|=2,|B|=3⇒ *1234A,B O A O A O A A (1)B 66E B O B O B O +++⎧⎪⎨⎛⎫⎛⎫=⋅-=⇒= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩可逆显然，可以排除C 、D 选项.而**2A EO O A 4E O O 3B O 3B E B O O 9E 2A O ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以选B .2. 提示： 2312r r c c A B E ↔+→→111121E(2,3)AE(21(1))EA E (2,3)E (21(1))E(2,3)E (21(1))P P----⇔+=⇔=+=+=3. 选D .4. 选C .5. 选D .6. 提示：A 2=O ⇒ E –A 2= E –O ⇒ (E –A)(E+A)=E ⇒ 选D. 填空题：2. 提示：A ≠O ，A ij +a ij =0(i,j=1,2,3) ⇒ A *=A T , |A|≠0⇒ AA T =–AA *=–|A|E ⇒ |A|2=–|A|3 ⇒ |A|= –1 .3. 提示：B 2004=(P -1AP)(P -1AP)…(P -1AP)=P -1A 2004PA 2=111-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭, A 4=E ⇒ B 2004–2A 2=P -1A 2004P –2A 2=P -1P –2A 2=E –2A 2=331⎛⎫⎪⎪ ⎪-⎝⎭.4. 提示：A –3B=(–2α1, –2α2, –2α3, α–3β)⇒ |A –3B|=|–2α1, –2α2, –2α3, α–3β|=(–2)3|α1, α2, α3, α–3β|=–8(|α1, α2, α3, α|+|α1, α2, α3, –3β|)=–8(|A|–3|B|)= 565. 提示：令X=e i (i=1,2,…,n), 依次带入AX=O 中，即可得A=O. 解答题：1. 本题的意义：矩阵乘法不具有交换律，所以矩阵一般不具有数的平方差、立方差……等公式，但可交换矩阵是具有平方差、立方差……等公式的. 方阵与单位矩阵可交换.2.3. 提示： 2T3A A ,A E =-=-61152T A E,A A A A ⇒===-==4. 提示：若AP PB =，即1A PBP -=，则n 1nn1n m PB P B a A A a -⎧⎪⎛⎫⎪=⎨⎪⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎩，如果是对角阵，，如果是对角阵. 设B=P -1AP ，则B=72⎛⎫⎪-⎝⎭，n1n1n n 233371(P AP)P A P 13129(2)---⎛⎫⎛⎫⎛⎫===⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭5.(1)提示：分块对角阵(2)提示：方法一 2A 4E = ⇒ 11AA 4-=方法二初等变换法略.6. 提示：解矩阵方程 (E –A)X=B ⇒ (E –A | B) → (E | A -1B)7. 证 ∵ *,0AA A E A =≠∴ *nA A A =1*1n n A Aa --==8. 证设()ijn nA a ⨯=. 假设0A =，则*TA A A A A E O ===，于是210,1,,nijj ai n ===∑. 由于A 为实数矩阵，因此0,,ij a i j =∀，即A O =，这与已知条件矛盾，所以必有0A ≠.9. 提示：A m =E ⇒ A 可逆 ⇒ A *=|A|A -1 ⇒ (A *)m =|A|m (A -1)m =|A|m (A m )-1 =E10. 提示：B(A –E)=2E ⇒ |B||A –E|=4|E| ⇒ |B|=4|E|/|A –E|11. det(A+B -1)=det[A(A -1+B)B -1] =det(A)det(A -1+B)det(B -1)=3×2×0.5=3.12. 证 ∵ (E –A)(E+A+…+A k-1)=E+A+…+A k-1–(A+…+A k )=E∴ E –A 可逆，且(E –A)-1=E+A+…+A k-1.13. 提示：∵ (E+BA)(E –B(E+AB)-1A)=E –B(E+AB)-1A+BA –BAB(E+AB)-1A =E+BA –B[(E+AB)-1+AB(E+AB)-1]A =E+BA –B(E+AB)E+AB)-1A= E+BA-BA=E∴ E+BA 可逆，且(E+BA)-1=E –B(E+AB)-1A.14. 提示：2A -1B=B-4E ⇒ 2B= AB-4A ⇒ AB-2B=4A⇒ (A-2E)B=4A ⇒ (A-2E)B-4(A-2E)=8E ⇒ (A-2E)(B-4E)=8E⇒ (A-2E)可逆，且(A-2E)-1=(B-4E)/815. 提示：C=A+CA ，B=E+AB⇒ CB=AB+CAB ，CB=C+CAB ⇒ AB=C ⇒ B=E+C ⇒ B-C=E16. 提示：A 2+A-3E=O⇒ (A-E)(A+2E)=E⇒ (A-E)、(A+2E)可逆，且(A-E)-1=(A+2E)17. 提示：运用初等变换与初等矩阵的关系(1)E (2,3)A=B ⇒ P=E (2,3)； (2) E(3+2(-2))A=B ⇒ P=E(3+2(-2))；(3) E(1,2)E(3+1(2))A=B 或 E(3+2(2))E(1,2)A=B⇒ P=E(1,2)E(3+1(2))A 或 P=E(3+2(2))E(1,2).18. 提示：3212c c c c A B C AE(1,2)E(2,3(1))C +↔→→⇔= ⇒ Q=E[1,2]E[2+3(1)].19. (1)5232214583415262AB ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ ⎪= ⎪⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭23201095014329⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(4)1115212212523835852A ---⎛⎫⎛⎫-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭ ⎪== ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (5)88852*******A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭21. 解设第i (i =0,1,2,3)年后各年龄组的动物只数分别为x i ,y i ,z i ，则x 0=y 0=z 0=1000，1110430.50000.250i i i i i i x x y y z z +++⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以，2200200200330303004320.75027500.50002 1.53500,00.2500.125001250430.50000.2500.37586 1x x x y y y z z z x x y y z z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=000143750.37501375.00.50.375875x y z ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭八、计算实践实践指导：（1）注意矩阵与行列式在含义上、形式上以及运算性质上的区别；（2）注意矩阵进行运算的条件与规则，熟知矩阵运算的运算规律及注意事项；（3）了解方阵的行列式、伴随矩阵的概念及其性质；（4）理解逆矩阵的概念，掌握逆矩阵的性质及矩阵可逆的条件；（5）掌握矩阵的初等变换及用其求逆矩阵的方法；（6）了解分块矩阵、尤其是分块对角阵及其运算规律；（7）会矩阵、逆矩阵以及分块矩阵的简单应用. 例2.1 已知()11123,123⎛⎫α=β= ⎪⎝⎭，设TA =αβ，求n A . 解注意到行矩阵乘以同维列矩阵的积的结果是数，而列矩阵乘以同维行矩阵的积一般是矩阵，所以nA 的n 次幂计算并不可怕. 根据矩阵与矩阵乘法的结合律，有()()nn 1n T T T n 1T n 1A 1121333212.3321---=αβ=αβαβ⎛⎫ ⎪=αβ= ⎪ ⎪⎝⎭例2.2 已知212A 023002⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求nA .解将A 表示为A 2E B =+，其中012B 003000⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦.而23003B 000,B 0.000⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦由于B 与E 可交换，所以可以应用二项式定理，有()()()()n n 3nn 1n 2122n 3n 3n 3n n 1n 323A 2E B 2E C 2E B C 2E B B 2E 2nB 2n(n 1)B .----=+=++++=++-n n 1n 3n n 1n 212023,n 100222n 2n(n 1)0232n ,n 2002---⎧⎡⎤⎪⎢⎥=⎪⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪=⎨⎡⎤-⎪⎢⎥⎪⋅≥⎢⎥⎪⎢⎥⎪⎣⎦⎩ 这是求矩阵高次幂的一种技巧法，成立的前提是因为B, E 3可交换.其实只要矩阵A,B 可交换，关于数的和平方公式、和立方公式、平方差公式、立方差公式……一系列公式对于A,B 也成立.本题还可以采用归纳法及相似矩阵法.例 2.3 设123,,ααα均为3维列向量，记矩阵()123A ,,=ααα，()123123123B ,24,39=α+α+αα+α+αα+α+α.如果A 1=，求B .解 123123123B ,24,39=α+α+αα+α+αα+α+α123232312323312323123123,3,5,3,2,,2,,22,,2A 2.=α+α+αα+αα+α=α+α+αα+αα=α+α+ααα=ααα=ααα==注意：方阵与方阵行列式的关系，矩阵运算与行列式运算的区别.例2.4 设A,B,C 均为n 阶矩阵，A 2,B 3==-，求*12A B -.解 2n 1n 1*1n *1n122A B 2A B2AB 3----=⋅=⋅=-.例2.5 已知n 阶矩阵A,B 满足1B (E A)(E A)-=+-, 证明：E B +可逆, 并求其逆. 若10002300A 04500067⎛⎫⎪-⎪= ⎪-⎪-⎝⎭, 求1(E B)-+. 证方法一 1B (E A)(E A)-=+-,()E A B E A ⇒+=- ()E A B E A 2E ⇒+++= ()()E A E B 2E ⇒++=故E B +可逆, 且()()11E B E A 2-+=+. 方法二 1B (E A)(E A)-=+-,()111B (E A)(2E E A )B 2(E A)E B E 2(E A)---⇒=+-+⇒=+-⇒+=+故E B +可逆, 且()()11E B E A 2-+=+. 例2.6 试求一个方阵Q ，使得m 4A Q ⨯等于对m 4A ⨯经过下面的初等变换所得到的矩阵：首先用-2乘矩阵A 的第三列，然后将第一列的（-1）倍加到第二列，最后交换矩阵的第一、第三列.解 ∵ 321132c c c m 4m 4c c A A Q --⨯⨯↔→∴ m 4m 4A E[3(2)]E[12(1)]E[1,3]A Q ⨯⨯-+-= Q E[3(2)]E[12(1)]E[1,3]=-+-111111121111111121-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦例2.7 设3阶矩阵A 满足100000A 01,A 10,A 00000110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，求A . 解 100000A 01,A 10,A 00000110⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即 000AE 100010⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，故000A 100010⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 例2.8 设矩阵m n ij A (a )⨯=的每列元素之和均为常数a ，矩阵n k ij B (b )⨯=的每列元素之和为常数b ，证明：矩阵AB 的每列元素之和也必为常数.证矩阵m n ij A (a )⨯=的每列元素之和均为常数a ，矩阵n k ij B (b )⨯=的每列元素之和为常数b ，即11121n 21222n m1m2mn a a a a a a (111)A (111)a a a (a aa)a(111),⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦==11121j 21222j n1n2nj b b b b b b (111)B (111)b b b (b bb)b(111).⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦== 所以矩阵AB 的每列元素之和为(111)AB a(111)B ab(111)(ab ab ab)===，即AB 的每列元素之和都为常数ab.九、知识扩展1. 设101020101A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦, 而(2)n ≥为正整数, 求12n n A A --. （1999 数三四） (答案:O )（可试着推测结果）提示：22020402202A A ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭()12222n n n A A A A A O --⇒-=-=2. 已知12,αα均为2维列向量, 矩阵()()1212122,,A B αααααα=+-=,. 若6A =, 求B . （2006 四）（答案: -2）3. 设矩阵210120001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，矩阵B 满足**2ABA BA E =+，其中*A 为A 的伴随矩阵，E是单位矩阵，则B = . （2004 数一答案: 9）提示:***2*2(2)21,2119ABA BA E A E BA EA EB A A E B A B =+∴-=-⋅⋅=-⋅⋅==4. 设A 是任一(3)n n ≥阶方阵, k 为常数, 求()*kA . （1998 数二）提示: 方法一因为kA 的余子式1n ij ij A k A -=, 故()*1*n kA k A -=.方法二加强条件法如果是选择题, 可设A 可逆, 0k ≠, 则()()*111*1n n kA kA kA k A A k A k---==⋅=. 5. 设矩阵211,3223A B A A E -⎡⎤==-+⎢⎥⎣⎦，求1B -. （2002 数四）提示: 方法一先求出B , 再计算1B -方法二由232B A A E =-+()()()()11122B A E A E B A E A E ---⇒=--⇒=--6. 设A 为n 阶非零矩阵，E 为n 阶单位矩阵，若A 3=O ，则[ ].(A )A -E 不可逆，A +E 不可逆；(B ) A -E 不可逆，A +E 可逆； (C ) A -E 可逆，A +E 可逆； (D ) A -E 可逆，A +E 不可逆.7. 已知n 阶矩阵,A B 满足1()()B E A E A -=+-,证明: E B +可逆,并求其逆. 若1000230004500067A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦，求1()E B -+. （2000 数二）提示: 方法一 1()()B E A E A -=+-,()()()22B AB E A E A B E A E E A E B E⇒+=-⇒+++=⇒++= 故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 方法二 1()()B E A E A -=+-,()111()(2)2()2()B E A E E A B E A E B E E A ---⇒=+-+⇒=+-⇒+=+故E B +可逆, 且()()112E B E A -+=+. 8. 设矩阵X 满足*12A X A X -=+，求矩阵X . （1999 数二）提示: 由*12,A X A X -=+()()1222A X E AX A E A X E X A E A -⇒=+⇒-=⇒=- 9. 设矩阵A 的伴随矩阵*100001001010038A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，且113--=+ABA BA E ，求矩阵B . (2000 数一)提示: 113,ABA BA E --=+()()()()1*11**33333()n AB B A A E B A E A B E A E A B A E B A A E AA A---⇒-=⇒-=⇒-=⇒-=⇒=-=10. 矩阵X 满足AXA BXB AXB BXA E +=++，矩阵100011110,101111110A B ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求X . （2001数二）11. 已知n 阶矩阵,A B 满足条件AB B A -=，求A . (若120210002B -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦) (1999 数四）提示: 由AB B A -=()()()1A EB E E A E B E -⇒--⇒=+-=12. 设矩阵,A B 满足关系式2AB A B =+，求矩阵B . (若423110123A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，求B ) （1987 数三四）13. 设矩阵,A B 满足*28A BA BA E =-，求B .(若100020001A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，求B ) （1998 数三四）提示: 方法一*28A BA BA E =-,()()()**128(2,)2882A E BA E A E A B A E A BA A B A E A -⇒-=--⇒-=-⇒=--故，可逆方法二若A 已知, 则A 必是可逆矩阵（方法一）, 则()()*11128282882A BA BA E A A B B A A E A B E B A E A ---=-⇒=-⇒-=-⇒=--14. 设A 为3阶矩阵，将A 第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的-1倍加到第2列得到C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（A ）1C P AP -=; (B)1C PAP -=; (C)T C P AP =; (D)TC PAP =. （2006 数一）(答案: B)提示:11211121,r r c c r r c c A B B C A C +-+-→→⇒→1C PAP -∴=15. 设A 为()2n n ≥阶可逆矩阵，交换A 的第1行与第2行得矩阵B ，**,A B 分别为,A B 的伴随矩阵，证明: 交换*A 的第1列与第2列得矩阵*B -. （2005 数一二） 16. 设A 为实对称矩阵，且2A O =，证明A O =.提示：由于A 为对称矩阵，且2A O =，所以TA A AA O ==.17. 设方阵A 可逆，并且每列元素之和都等于常数a ，证明：a 0≠，且1A -的每列元素之和都等于常数1a .证 A 的每列元素之和都等于常数a ，即(111)A (a a a)a(111).==因A 可逆，所以a 0≠，且1(111)A -=1(111)，所以1A -的每列元素之和都等于常数1a .。