基于Matlab的牛顿迭代法解非线性方程组
非线性方程求解
⾮线性⽅程求解基于MATLAB的⾮线性⽅程的五种解法探讨摘要：本⽂利⽤matlab软件对⾮线性⽅程解法中的⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法以及Steffensen法的数值分析⽅法的算法原理及实现⽅法进⾏了探讨。
对f x x x=+-()2ln2的零点问题，分别运⽤以上五种不同的⽅法进⾏数值实验，⽐较⼏种解法的优缺点并进⾏初步分析评价。
关键词：⼆分法、简单迭代法、⽜顿法、割线法、Steffensen法1、引⾔在很多实际问题中，经常需要求⾮线性⽅程f(x) =0的根。
⽅程f(x) =0的根叫做函数f(x)的零点。
由连续函数的特性知：若f(x)在闭区间[a,b ]上连续,且()()0f a f b<.则f(x) =0在开区间(a,b)内⾄少有⼀个实根。
这时称[a,b]为⽅程f(x) =0的根的存在区间。
本⽂主要对⾮线性⽅程的数值解法进⾏分析，并介绍了⾮线性⽅程数值解法的五种⽅法。
并设=+-.f x x x()2ln2f x在[1,2]上的图形，如图1：. 显然，函数在[1,2]之间有⼀个零点。
⾸先画出()2、计算机配置操作系统Windows 7 旗舰版内存2GB处理器AMD 4核 A6-3400M APU 1.4GHz图.13、⼆分法⼆分法的基本思想是将⽅程根的区间平分为两个⼩区间,把有根的⼩区间再平分为两个更⼩的区间,进⼀步考察根在哪个更⼩的区间内。
如此继续下去,直到求出满⾜精度要求的近似值。
设函数()f x 在区间[a,b ]上连续,且f(a)·f(b) <0，则[a,b ]是⽅程f(x) =0的根的存在区间，设其内有⼀实根，记为x*。
取区间[a,b ]的中点()2k a b x +=并计算1()f x ,则必有下列三种情况之⼀成⽴： (1) 1()f x =0，x1就是⽅程的根x*;(2)()f a .1()f x <0,⽅程的根x*位于区间[a, 1x ]之中,此时令111,a a b x ==; (3)1()f x .()f b <0,⽅程的根x*位于区间[1x ,b ]之中,此时令11a x =,1b b =。
matlab fsolve 算法
matlab fsolve 算法Matlab是一种常用的科学计算软件，其中的fsolve算法是用于求解非线性方程组的一种方法。
本文将介绍fsolve算法的原理和使用方法，并通过实例展示其在实际问题中的应用。
一、fsolve算法原理fsolve算法是一种数值方法，用于求解非线性方程组。
它基于牛顿迭代法，通过不断迭代逼近方程组的解。
具体原理如下：1. 假设要求解的方程组为F(x) = 0，其中x为未知向量，F为非线性函数。
2. 首先，我们需要对方程组进行线性化，即将其转化为形如J(x)Δx = -F(x)的线性方程组，其中J(x)为方程组F(x)的雅可比矩阵，Δx为x的增量。
3. 初始时，我们给定一个初始解x0。
4. 然后，利用初始解和雅可比矩阵，通过求解线性方程组J(x0)Δx = -F(x0)，得到增量Δx。
5. 将增量Δx加到初始解x0上，得到新的解x1 = x0 + Δx。
6. 重复步骤4和步骤5，直到满足终止准则，即F(x)的范数小于某个给定的容差。
二、fsolve算法使用方法在Matlab中，可以使用fsolve函数调用fsolve算法来求解非线性方程组。
其基本语法如下：x = fsolve(fun,x0,options)其中，fun为一个函数句柄，表示要求解的方程组F(x) = 0，x0为初始解向量，options为求解选项。
三、fsolve算法应用实例下面通过一个实际问题来演示fsolve算法的应用。
假设有一个非线性方程组：sin(x) + cos(y) = 1exp(x) + y = 2我们的任务是求解方程组的解。
我们需要将方程组转化为函数形式。
在Matlab中，我们可以定义一个函数文件，例如：function F = equations(x)F(1) = sin(x(1)) + cos(x(2)) - 1;F(2) = exp(x(1)) + x(2) - 2;然后，我们可以使用fsolve函数来求解方程组：x0 = [0,0]; % 初始解向量options = optimoptions('fsolve','Display','iter'); % 设置求解选项x = fsolve(@equations,x0,options); % 调用fsolve算法求解方程组我们可以将求解的结果打印出来：disp(['x = ', num2str(x(1))]);disp(['y = ', num2str(x(2))]);通过运行上述代码，我们可以得到方程组的解x = 0.7854，y = 1.2146。
牛顿迭代法解非线性方程组（MATLAB版）
⽜顿迭代法解⾮线性⽅程组（MATLAB版）⽜顿迭代法，⼜名切线法，这⾥不详细介绍，简单说明每⼀次⽜顿迭代的运算：⾸先将各个⽅程式在⼀个根的估计值处线性化（泰勒展开式忽略⾼阶余项），然后求解线性化后的⽅程组，最后再更新根的估计值。
下⾯以求解最简单的⾮线性⼆元⽅程组为例（平⾯⼆维定位最基本原理），贴出源代码：1、新建函数fun.m，定义⽅程组1 function f=fun(x);2 %定义⾮线性⽅程组如下3 %变量x1 x24 %函数f1 f25 syms x1 x26 f1 = sqrt((x1-4)^2 + x2^2)-sqrt(17);7 f2 = sqrt(x1^2 + (x2-4)^2)-5;8 f=[f1 f2];2、新建dfun.m，求出⼀阶微分⽅程1 function df=dfun(x);2 f=fun(x);3 df=[diff(f,'x1');diff(f,'x2')]; %雅克⽐矩阵3、建⽴newton.m，执⾏⽜顿迭代过程1 clear;clc2 format;3 x0=[0 0]; % 迭代初始值4 eps = 0.00001; % 定位精度要求5for i = 1:106 f = double(subs(fun(x0),{'x1''x2'},{x0(1) x0(2)}));7 df = double(subs(dfun(x0),{'x1''x2'},{x0(1) x0(2)})); % 得到雅克⽐矩阵8 x = x0 - f/df;9if(abs(x-x0) < eps)10break;11 end12 x0 = x; % 更新迭代结果13 end14 disp('定位坐标：');15 x16 disp('迭代次数：');17 i结果如下：定位坐标：x =0.0000 -1.0000迭代次数：i =4。
牛顿迭代法求解非线性方程组的解
10 简化牛顿法 简化牛顿法又称平行弦法，其迭代公式为
xk1 xk Cf (xk ),C 0, k 0,1,
(4-7)
从不动点迭代法的角度看，简化牛顿法的迭代函数(x) x Cf (x) ，下面讨论简
化牛顿法的收敛性。
若| '(x) ||1 Cf '(x) | 1 ,即取 0 Cf ' (x) 2 .在根 x* 附近成立，则迭代法
x k 的点 Pk 引切线，并将该切线与 x 轴的交点的横坐标 x k1 作为 x* 的新的近似值。 注意到切线方程为
y f (xk ) f '(xk )(x xk )
(4-4)
这样求得的值 x k1 比满足 f (xk ) f '(xk )(x xk ) 0 ，从而就是牛顿公式
x
k 1
| f (xk1) || f (xk ) |
(4-8)
满足此要求的算法称为下山法。
将牛顿法和下山法一起使用时，即在下山法保证函数值稳定下降的前提下，
用牛顿法加快收敛速度。为此，为此将牛顿法的计算结果
xk 1
xk
f (xk ) f ' (xk )
(4-9)
与前一步的近似值 xk 的适当加权平均作为新的改进值
代法中所遇到的 jacobi 矩阵难求的问题。
关键词：非线性方程组、牛顿迭代法、MATLAB、 jacobi 矩阵
一、前言 非线性方程组在实际问题中经常出现，并且在科学与工程计算中的地位越来
越来重要，很多常见的线性模型都是在一定条件下由非线性问题简化得到的，为 得到更符合实际的解答，往往需要直接研究非线性模型，然而从线性到非线性是 一个质的飞跃，方程的性质的不同，所以求解方法也有很大差别。本文主要介绍 关于非线性方程及方程组的数值解法，先分析非线性方程的数值解法，然后再延 伸到方程组的解法。
matlab牛顿迭代法求方程
一、引言在数值计算中，求解非线性方程是一项常见的任务。
牛顿迭代法是一种常用且有效的方法，它通过不断逼近函数的零点来求解方程。
而在MATLAB中，我们可以利用其强大的数值计算功能来实现牛顿迭代法，快速求解各种非线性方程。
二、牛顿迭代法原理与公式推导1. 牛顿迭代法原理牛顿迭代法是一种利用函数的导数信息不断逼近零点的方法。
其核心思想是利用当前点的切线与x轴的交点来更新下一次迭代的值，直至逼近方程的根。
2. 公式推导与迭代过程假设要求解方程f(x)=0，在初始值x0附近进行迭代。
根据泰勒展开，对f(x)进行一阶泰勒展开可得：f(x) ≈ f(x0) + f'(x0)(x - x0)令f(x)≈0，则有：x = x0 - f(x0)/f'(x0)将x带入f(x)的表达式中，即得到下一次迭代的值x1：x1 = x0 - f(x0)/f'(x0)重复以上过程，直至达到精度要求或者迭代次数上限。
三、MATLAB中的牛顿迭代法实现1. 编写函数在MATLAB中，我们可以编写一个函数来实现牛顿迭代法。
需要定义原方程f(x)的表达式，然后计算其一阶导数f'(x)的表达式。
按照上述推导的迭代公式，编写循环语句进行迭代计算，直至满足精度要求或者达到最大迭代次数。
2. 调用函数求解方程在编写好牛顿迭代法的函数之后，可以通过在MATLAB命令窗口中调用该函数来求解具体的方程。
传入初始值、精度要求和最大迭代次数等参数，即可得到方程的近似根。
四、牛顿迭代法在工程实践中的应用1. 求解非线性方程在工程领域，很多问题都可以转化为非线性方程的求解问题，比如电路分析、控制系统设计等。
利用牛顿迭代法可以高效地求解这些复杂方程，为工程实践提供了重要的数值计算手段。
2. 优化问题的求解除了求解非线性方程外，牛顿迭代法还可以应用于优化问题的求解。
通过求解目标函数的导数等于0的方程，可以找到函数的极值点，从而解决各种优化问题。
非线性方程组求解的牛顿迭代法用MATLAB实现
非线性方程组求解的牛顿迭代法用MATLAB实现首先，我们需要定义非线性方程组。
假设我们要求解方程组：```f1(x1,x2)=0f2(x1,x2)=0```其中，`x1`和`x2`是未知数，`f1`和`f2`是非线性函数。
我们可以将这个方程组表示为向量的形式：```F(x)=[f1(x1,x2);f2(x1,x2)]=[0;0]```其中，`F(x)`是一个列向量。
为了实现牛顿迭代法，我们需要计算方程组的雅可比矩阵。
雅可比矩阵是由方程组的偏导数组成的矩阵。
对于方程组中的每个函数，我们可以计算其对每个变量的偏导数，然后将这些偏导数组成一个矩阵。
在MATLAB中，我们可以使用`jacobi`函数来计算雅可比矩阵。
以下是一个示例函数的定义：```matlabfunction J = jacobi(x)x1=x(1);x2=x(2);J = [df1_dx1, df1_dx2; df2_dx1, df2_dx2];end```其中，`x`是一个包含未知数的向量，`df1_dx1`和`df1_dx2`是`f1`对`x1`和`x2`的偏导数，`df2_dx1`和`df2_dx2`是`f2`对`x1`和`x2`的偏导数。
下一步是实现牛顿迭代法。
牛顿迭代法的迭代公式为：```x(k+1)=x(k)-J(x(k))\F(x(k))```其中，`x(k)`是第`k`次迭代的近似解，`\`表示矩阵的求逆操作。
在MATLAB中，我们可以使用如下代码来实现牛顿迭代法：```matlabfunction x = newton_method(x_initial)max_iter = 100; % 最大迭代次数tol = 1e-6; % 收敛阈值x = x_initial; % 初始解for k = 1:max_iterF=[f1(x(1),x(2));f2(x(1),x(2))];%计算F(x)J = jacobi(x); % 计算雅可比矩阵 J(x)delta_x = J \ -F; % 计算增量 delta_xx = x + delta_x; % 更新 xif norm(delta_x) < tolbreak; % 达到收敛条件，停止迭代endendend```其中，`x_initial`是初始解的向量，`max_iter`是最大迭代次数，`tol`是收敛阈值。
matlab实验一：非线性方程求解-牛顿法
实验一：非线性方程求解程序1：二分法：syms f x;f=input('请输入f(x)=');A=input('请输入根的估计范围[a,b]='); e=input('请输入根的误差限e='); while (A(2)-A(1))>ec=(A(1)+A(2))/2;x=A(1);f1=eval(f);x=c;f2=eval(f);if (f1*f2)>0A(1)=c;elseA(2)=c;endendc=(A(1)+A(2))/2;fprintf('c=%.6f\na=%.6f\nb=%.6f\n',c,A)用二分法计算方程：1．请输入f(x)=sin(x)-x^2/2请输入根的估计范围[a,b]=[1,2]请输入根的误差限e=0.5e-005c=1.404413a=1.404411b=1.4044152．请输入f(x)=x^3-x-1请输入根的估计范围[a,b]=[1,1.5]请输入根的误差限e=0.5e-005c=1.324717a=1.324715b=1.324718程序2：newton法：syms f x;f=input('请输入f(x)=');df=diff(f); x0=input('请输入迭代初值x0=');e1=input('请输入奇异判断e1=');e2=input('请输入根的误差限e2=');N=input('请输入迭代次数限N=');k=1;while (k<N)x=x0;if abs(eval(f))<e1fprintf('奇异!\nx=%.6f\n迭代次数为:%d\n',x0,k)breakelsex1=x0-eval(f)/eval(df);if abs(x1-x0)<e2fprintf('x=%.6f\n迭代次数为:%d\n',x1,k)breakelsex0=x1;k=k+1;endendendif k>=Nfprintf('失败\n')end用newton法计算方程：1．请输入f(x)=x*exp(x)-1请输入迭代初值x0=0.5请输入奇异判断e1=0.1e-010请输入根的误差限e2=0.5e-005请输入迭代次数限N=10x=0.567143迭代次数为:42．请输入f(x)=x^3-x-1请输入迭代初值x0=1请输入奇异判断e1=0.1e-010请输入根的误差限e2=0.5e-005请输入迭代次数限N=10x=1.324718迭代次数为:53.1：请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.45请输入奇异判断e1=0.1e-010请输入根的误差限e2=0.5e-005请输入迭代次数限N=10x=0.500000迭代次数为:43.2：请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.65请输入奇异判断e1=0.1e-010请输入根的误差限e2=0.5e-005请输入迭代次数限N=10x=0.500000迭代次数为:93.3：请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.55请输入奇异判断e1=0.1e-010请输入根的误差限e2=0.5e-005请输入迭代次数限N=10x=0.500000迭代次数为:4程序3：改进的newton法：syms f x;f=input('请输入f(x)=');df=diff(f);x0=input('请输入迭代初值x0=');e1=input('请输入奇异判断e1=');e2=input('请输入根的误差限e2=');N=input('请输入迭代次数限N=');k=1;while (k<N)x=x0;if abs(eval(f))<e1fprintf('奇异!\nx=%.6f\n迭代次数为:%d\n',x0,k)breakelsex1=x0-2*eval(f)/eval(df);if abs(x1-x0)<e2fprintf('x=%.6f\n迭代次数为:%d\n',x1,k)breakelsex0=x1;k=k+1;endendendif k>=Nfprintf('失败\n')end用改进的newton法计算方程：1．请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.55请输入奇异判断e1=0.1e-010请输入根的误差限e2=0.5e-005请输入迭代次数限N=10失败2．请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.55请输入奇异判断e1=0.1e-010请输入根的误差限e2=0.5e-005请输入迭代次数限N=20失败3．请输入f(x)=(x-1)^2*(2*x-1)请输入迭代初值x0=0.55请输入奇异判断e1=0.1e-010请输入根的误差限e2=0.5e-005请输入迭代次数限N=100失败。
牛顿法解非线性方程(MATLAB和C++)
41 end
42 time = toc;
43
44 fprintf('\nIterated times is %g.\n', times);
45 fprintf('Elapsed time is %g seconds.\n', time);
46
47 root = x_iter;
48
49 % subfunction
5
6 // 功能描述：求解非线性方程根，并输出最终解 7 // 迭代式：x(k+1) = x(k) - f(x(k))/df(x(k)). 8 // 使用：修改标出的“修改”部分即可自定义参数
9
10 // 输入：函数 fun，函数导数 dfun，初值 x0，
4
11 // 最大迭代次数 maxiter，停止精度 tol 12 // 输出：迭代数值解 x_iter2
2
Listing 1: MATLAB EXAMPLE 1 % 2013/11/20 15:14:38
2
3 f = @(x)x^2 − 2; 4 df = @(x)2*x; 5 x0 = 3; 6 root = newton(f, df, x0);
C++ 以 C++ 实现的方法并未编写成为一般可调用的方法，而作为一个独立的 文件（包含一个实例），修改部分即可求解对应的方程。具体参照 cpp 文件内 注释。
A 附录
A.1 MATLAB
Listing 2: MATLAB CODE 1 function root = newton(f, df, x0, maxiter, tol) 2 %NEWTON Newton's method for nonlinear equations. 3% 4 % NEWTON's method: x(k+1) = x(k) - f(x(k))/f'(x(k)). 5% 6 % Inputs 7 % f - nonlinear equation. 8 % df - derivative of f(x). 9 % x0 - initial value. 10 % maxiter - maximum iterated times. 11 % tol - precision. 12 % 13 % Outputs 14 % root - root of f(x) = 0.
matlab高斯牛顿算法求参数
matlab高斯牛顿算法求参数
一、背景
1、matlab高斯牛顿算法是一种解决非线性回归问题的算法，它是一类最优化算法的一种，主要用于迭代求解多个参数之间的关系。
2、matlab高斯牛顿算法的核心思想就是以“最小二乘法”为基础，基于牛顿迭代法，对模型参数不断迭代，最终获取最优参数，从而达到最小化平方误差。
二、实现原理
1、matlab高斯牛顿算法是利用牛顿迭代法求解参数。
牛顿法的迭代过程中，采用“梯度下降法”的概念，逐步减少误差，最终趋近最优解。
2、在迭代过程中，需要求解参数的梯度，此时使用偏导数表来求解。
对于非线性模型，误差即为拟合曲线到样本点距离的平方和，即所谓的二次损失函数，求解参数的梯度，即求此损失函数的偏导数。
3、求解参数的梯度以后，就可以进行参数的迭代更新，根据迭代的结果，可以求出该参数的最优解，即最小二乘法所说的唯一最优参数，此时迭代求解就可以结束。
三、使用步骤
1、首先，使用matlab实现梯度下降法，求出参数的梯度和初值。
2、根据参数的梯度和初值，构建误差函数，求偏导数，以计算梯度方向，然后运用牛顿迭代法，对参数进行更新。
3、使用给定的步长和迭代次数，开始做参数迭代更新，不断的
改变参数的值，寻求最优参数。
4、迭代停止后，获取参数最优值，结束matlab高斯牛顿算法迭代过程。
四、结论
matlab高斯牛顿算法是一种求解非线性回归问题的最优化算法。
其核心思想是根据损失函数的梯度，通过牛顿迭代法，不断更新参数，最终求解出最优参数，从而最小化平方误差。
非线性方程的数值解法牛顿下山法matlab
非线性方程的数值解法——计算物理实验作业九陈万 物理学2013级 130********● 题目：用下列方法求0133=--=x x f(x)在20=x 附近的根。
根的准确值 87938524.1*=x ,要求计算结果精确到四位有效数字。
（1）用牛顿法；（2）用弦截法，取；9.1,210==x x● 主程序：clearclc;%----------------初值设定-------------------x0 = 2;x1 = 1.9;eps = 0.00001;N = 50;%----------------迭代求解-------------------Newton(x0,eps,N);Newton_downhill(x0,eps,N);Secant_Method(x0,x1,eps,N);● 子程序：f(x)function [y]=f(x)y = x^3-3*x-1; %函数f(x)End● 程序一：牛顿法function Newton(x0,eps,N)% 牛顿法% x0是迭代初值，eps是精度，N是迭代上限format long;k = 1;while(1)ff = (f(x0+0.1*eps)-f(x0))/(0.1*eps);if ff == 0disp('分母为零，请重新选择初始迭代值')break;elsex1=x0-f(x0)/ff ;if abs(x1-x0)<epsdisp('满足精度要求的根是：')disp(x1)break;elseif k>=Ndisp('迭代失败，请检查程序是否有误')breakelsek = k+1;x0 = x1;endendend程序二：弦截法function Secant_Method(x0,x1,eps,N)% 弦截法% x0,x1是迭代初值，eps是精度，N是迭代上限format long;k = 1;while(1)if f(x0)==0disp('满足精度要求的解是：')disp(x0)elseif f(x1)==0disp('满足精度要求的解是：')disp(x1)break;elseif abs(f(x1)-f(x0))==0disp('分母为零，请重新选择初始迭代值')break;elsex2 = x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));if abs(x2-x1)<epsdisp('满足精度要求的解是：')disp(x2)break;elseif k>=Ndisp('迭代失败，请检查程序是否有误')break;elsek = k+1;x0 = x1;x1 = x2;endendend程序三：牛顿下山法function Newton_downhill(x0,eps,N)% 牛顿下山法% x0是迭代初值，eps是精度，N是迭代上限format long;k = 1;while(1)lamda = 1;ff = (f(x0+0.1*eps)-f(x0))/(0.1*eps);if ff == 0disp('分母为零，请重新选择初始迭代值')elsewhile(1)x1 = x0-lamda*f(x0)/ff ;if f(x1)>=f(x0)lamda = 0.5*lamda;elsebreak;endendif abs(x1-x0)<epsdisp('牛顿下山法满足精度要求的根是：')disp(x1)break;elseif k>=Ndisp('迭代失败，请检查程序是否有误')breakelsek = k+1;x0 = x1;endendendend●程序运行结果：牛顿法：满足精度要求的根是：1.879385241571819弦截法：满足精度要求的解是：1.879385241572444●分析讨论：从运行结果来看，牛顿法与弦截法的结果与给定准确值完全相等；从运行时间上看速度都相当快。
牛顿迭代法在求解非线性方程重根问题中的研究
牛顿迭代法在求解非线性方程重根问题中的研究摘要：牛顿迭代法是求解非线性方程的根的常用方法。
在实际计算中往往会遇到重根情况，针对这种情况，我们在牛顿迭代法的理论基础上，探讨了三种不同的迭代格式。
为了对比这三种方法，本文进行了两个实验，分别是含有重根的非线性方程求解问题实例和牛顿迭代法在求解购房按揭利率的应用实例。
在分析运算结果后，得出了三种算法优势和劣势。
关键词：牛顿迭代法；MA TLAB；重根Abstract：Newton iteration method is a common method to solve the roots of nonlinear equations. In order to solve this problem, we discuss three different iteration schemes based on Newton iteration method. In order to compare the three methods, two experiments are carried out in this paper, one is the solving of nonlinear equations with heavy roots, and the other is the application of Newton iteration method in solving house mortgage interest rate. The advantages and disadvantages of three algorithms are obtained after analyzing the results.Key words：Newton iterative method；MA TLAB；Root weight目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅰ)目录 (Ⅱ)1 相关概念 (1)1.1 非线性方程 (1)1.2 重根问题 (1)1.3 不动点和不动点迭代法 (1)1.4 迭代法的收敛性 (2)2 牛顿迭代法 (2)2.1 牛顿迭代算法 (2)2.2 重根情形 (3)3 牛顿迭代法的数值实验 (5)3.1 实验一 (5)3.2 实验二 (7)4 结论 (8)参考文献： (9)附录 (10)附录A 算法1 (10)附录B 算法2 (10)附录C 算法3 (11)附录D 实验一程序 (11)附录E 算法1 (12)附录F 算法2 (12)附录G 算法3 (13)附录H 实验二程序 (13)1 相关概念1.1 非线性方程在科学和工程计算中存在大量的方程()0f x =求根的问题，比如代数方程10110n n n n a x a x a x a --++++=，其中00a ≠，当1,2n =时其解是熟知的，当3,4n =时解的公式可以在数学手册上查到，但是当5n ≥时，方程的跟是不能用四则运算和根式运算的公式表示出来的。
matlab非线性方程的解法(含牛拉解法)
非线性方程的解法(含牛拉解法)1引 言数学物理中的许多问题归结为解函数方程的问题，即，0)(=x f (1.1) 这里，)(x f 可以是代数多项式，也可以是超越函数。
若有数*x 为方程0)(=x f 的根，或称函数)(x f 的零点。
设函数)(x f 在],[b a 内连续，且0)()(<b f a f 。
根据连续函数的性质知道，方程0)(=x f 在区间],[b a 内至少有一个实根；我们又知道，方程0)(=x f 的根，除了极少简单方程的根可以用解析式表达外，一般方程的根很难用一个式子表达。
即使能表示成解析式的，往往也很复杂，不便计算。
所以，具体求根时，一般先寻求根的某一个初始近似值，然后再将初始近似值逐步加工成满足精度要求为止。
如何寻求根的初始值呢？简单述之，为了明确起见，不妨设)(x f 在区间],[b a 内有一个实的单根，且0)(,0)(><b f a f 。
我们从左端出点a x =0出发，按某一预定的步长h 一步一步地向右跨，每跨一步进行一次根的“搜索”，即检查每一步的起点k x 和1+k x (即，h x k +)的函数值是否同号。
若有：0)(*)(≤+h x f x f k k (1.2) 那么所求的根必在),(h x x k k +内，这时可取k x 或h x k +作为根的初始近似值。
这种方法通常称为“定步长搜索法”。
另外，还是图解法、近似方程法和解析法。
2 迭代法2.1 迭代法的一般概念迭代法是数值计算中一类典型方法，不仅用于方程求根，而且用于方程组求解，矩阵求特征值等方面。
迭代法的基本思想是一种逐次逼近的方法。
首先取一个精糙的近似值，然后用同一个递推公式，反复校正这个初值，直到满足预先给定的精度要求为止。
对于迭代法，一般需要讨论的基本问题是：迭代法的构造、迭代序列的收敛性天收敛速度以及误差估计。
这里，主要看看解方程迭代式的构造。
对方程(1.1)，在区间],[b a 内，可改写成为：)(x x ϕ= (2.1) 取],[0b a x ∈，用递推公式：)(1k k x x ϕ=+, ,2,1,0=k (2.2) 可得到序列：∞==0210}{,,,,k k k x x x x x (2.3)当∞→k 时，序列∞=0}{k k x 有极限x ~，且)(x ϕ在x ~附近连续，则在式(2.2)两边极限，得， )~(~x x ϕ= 即，x ~为方程(2.1)的根。
matlab牛顿迭代法
matlab牛顿迭代法经过几千年的发展，牛顿迭代法一直是近代数学和计算机应用领域最受欢迎的数值解决方案。
其在Matlab工程中的应用可以极大程度地解决复杂的优化问题，并显著提升了解决高精度问题的效率。
本文旨在介绍Matlab中牛顿迭代法的基本原理、准备工作和实现过程，以期提高Matlab用户应用牛顿迭代法的能力，使其获得更好的结果。
一、牛顿迭代法基本原理牛顿迭代法是一种基于牛顿插值法的法，它利用逼近函数和迭代法来求解非线性方程组。
当用牛顿插值法求解一个函数时，先利用已知函数值和其导数值，给出一次和二次期望值，从而可以算出下一个函数值，从而迭代求解。
牛顿迭代法最重要的特点在于它对非线性方程组具有极大的精度，它重复操作过程可以较快地收敛，它的实现简单确定性，它易于并行计算，它能够收敛到方程组的精确解。
二、准备工作在开始使用Matlab使用牛顿迭代法之前，需要先准备一定的准备工作，使其具备有效的解决方案。
1.先，必须准备一个非线性方程组，这个方程组用牛顿迭代法来求解，根据实际情况，可以采用一阶、二阶或:方程组。
2.果求解一个函数时，还需要准备函数和其一阶、二阶导数，将其编写成具有一定结构的Matlab函数。
3.据实际情况，必须设定预先条件，是非线性方程组可以进行求解，比如设定精度要求、步长条件，并计算初始迭代点。
三、Matlab中牛顿迭代法的实现在Matlab中，只需要一行代码就可以实现牛顿迭代法，其在Matlab中可以简代码如下：[Xn, fval, info] = fsolve(fun, x0);其中，fun表示需要求解的函数，x0表示初始化迭代点。
此外，fsolve可以接受一些可选参数，包括精度要求以及步长条件等。
四、实际案例通过实际案例可以更好的理解上文讲解的内容，以下实例将应用于牛顿迭代法求解下面这个一元非线性方程组：f(x) = x^3*e^x-2 = 0求解的源程序如下：function f = fun(x)f = x.^3.*exp(x) - 2;endx0 = 0;[x, fval, info] = fsolve(@fun,x0);计算结果如下：x = 0.8245fval = -1.9625e-14info = 1从结果可以看出，牛顿迭代法给出的结果与精确解非常接近，说明使用牛顿迭代法求解此问题是可行的。
MATLABNewton迭代法解非线性方程
MATLABNewton迭代法解非线性方程Newton 迭代法解非线性方程Newton 迭代法解非线性方程算法：Step 1 给定初值0x ，e 为根的容许误差Step 2 计算()()1'11----=n n n n x f x f x xStep 3 判断e x x <-0转到Step 4否则转到Step 2Step 4 迭代结果为n x x =Newton 迭代法解非线性方程程序：function Newton_diedai(fun,x0,e)%fun--原函数%dfun-导函数%x0---迭代初值%e----精度%k----迭代次数dfun=inline(diff('x^3-x^2-1'));%计算导函数x=x0;x0=x+1000*e;k=0;while abs(x0-x)>e&k<100%判断误差和迭代次数k=k+1;%计算迭代次数x0=x;x=x0-feval(fun,x0)/feval(dfun,x0);endif k==500disp('迭代次数过多，防止死循环终止');elsefprintf('迭代到%d 次时得到结果%f\n',k,x)end例：用Newton 迭代法求解非线性方程0123=--x x 在5.10=x 附近的根输入：clear allclcfun=inline('x^3-x^2-1')Newton_diedai(fun,1.5,0.5e-6)得到：迭代到4次时得到结果1.465571指导教师：***。
matlab程序设计实践-牛顿法解非线性方程
中南大学MATLAB程序设计实践学长有爱奉献，下载填上信息即可上交，没有下载券的自行百度。
所需m文件照本文档做即可，即新建（FILE）→脚本（NEW-Sscript）→复制本文档代码→运行（会跳出保存界面，文件名默认不要修改，保存）→结果。
第一题需要把数据文本文档和m文件放在一起。
全部测试无误，放心使用。
本文档针对做牛顿法求非线性函数题目的同学，当然第一题都一样，所有人都可以用。
←记得删掉这段话班级：学号：姓名：一、《MATLAB程序设计实践》Matlab基础表示多晶体材料织构的三维取向分布函数（f＝f（φ1，φ，φ2））是一个非常复杂的函数，难以精确的用解析函数表达，通常采用离散空间函数值来表示取向分布函数，是三维取向分布函数的一个实例。
由于数据量非常大，不便于分析，需要借助图形来分析。
请你编写一个matlab程序画出如下的几种图形来分析其取向分布特征：（1）用Slice函数给出其整体分布特征；"~（2）用pcolor或contour函数分别给出(φ2＝0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35 … 90)切面上f分布情况(需要用到subplot函数)；(3) 用plot函数给出沿α取向线(φ1=0~90，φ＝45，φ2＝0)的f分布情况。
(备注：数据格式说明解：（1）（（2）将文件内的数据按照要求读取到矩阵f(phi1,phi,phi2)中，代码如下：fid=fopen('');for i=1:18tline=fgetl(fid);endphi1=1;phi=1;phi2=1;line=0; f=zeros(19,19,19);[while ~feof(fid)tline=fgetl(fid);data=str2num(tline);line=line+1;数据说明部分，与作图无关此方向表示f随着φ1从0,5,10,15,20 …到90的变化而变化此方向表示f随着φ从0,5,10,15, 20 …到90的变化而变化表示以下数据为φ2＝0的数据，即f（φ1，φ，0）if mod(line,20)==1phi2=(data/5)+1;phi=1;else~for phi1=1:19f(phi1,phi,phi2)=data(phi1);endphi=phi+1;endendfclose(fid);。
牛顿迭代法matlab
牛顿迭代法matlab
牛顿迭代法（Newton Iteration）是一种经典的求解方程的数值计算方法。
牛顿迭代的思想是：利用泰勒级数展开，把一个方程表达成无穷多个多项式，假设初始值检验了，利用这无穷多个多项式，求出后面每一步的方程解。
这种方法被称为牛顿迭代，它能够在有限的步骤内求解出一个足够接近的解，比较适合于求解处于非线性的方程组的收敛的情况。
以下给出一个MATLAB程序来描述牛顿迭代的步骤：
其中，X是方程组解的初值，f为等式组右侧函数，J是等式组左侧Jacobian矩阵。
function X = Newton_iter(X,C,F)
% 光滑牛顿迭代
MXtimes=20;
for iter=1:MXtimes
% 计算jacobian矩阵
J=jacobian(C,F,X);
%计算右侧函数
F_val=F(X);
%牛顿迭代公式更新X
X=X-J\F_val;
end
end
其中jacobian函数返回计算出的jacobian矩阵和右侧方程组函数：
上面提到了求Jacobia矩阵时需要用到一个Ua函数，这个函数表达式如下：
function x=Ua(C)
eps=1.0e-6; %步长定义
x=eps*C/norm(C); %求计算步长
end
可以看到，牛顿迭代是利用Taylor展开式来建立接近原始方程解的方程组来解决求解非线性方程组收敛的情况，大致步骤是通过jacobian矩阵求出右侧方程函数值，然后利用函数求得x值，最后逐步收敛至原解。