2021年中考数学专题复习 专题33 中考几何折叠翻折类问题(学生版)

专题33 中考几何折叠翻折类问题
1.轴对称(折痕)的性质：
(1)成轴对称的两个图形全等。

(2)对称轴与连结“对应点的线段”垂直。

(3)对应点到对称轴的距离相等。

(4)对应点的连线互相平行。

也就是不管是轴对称图形还是两个图形关于某条直线对称，对称轴都是任何一对对应点所连线段的垂直平分线.对称的图形都全等.
2.折叠或者翻折试题解决哪些问题
(1)求角度大小；
(2)求线段长度；
(3)求面积；
(4)其他综合问题。

3.解决折叠问题的思维方法
(1)折叠后能够重合的线段相等，能够重合的角相等，能够重合的三角形全等，折叠前后的图形关于折痕对称，对应点到折痕的距离相等。

(2)折叠类问题中，如果翻折的直角，那么可以构造三垂直模型，利用三角形相似解决问题。

(3)折叠类问题中，如果有平行线，那么翻折后就可能有等腰三角形，或者角平分线。

这对解决问题有很大帮助。

(4)折叠类问题中，如果有新的直角三角形出现，可以设未知数，利用勾股定理构造方程解决。

(5)折叠类问题中，如果折痕经过某一个定点，往往用辅助圆解决问题。

一般试题考查点圆最值问题。

(6)折叠后的图形不明确，要分析可能出现的情况，一次分析验证可以利用纸片模型分析。

【例题1】(2020•哈尔滨)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝50°，AD⊥BC，垂足为D，△ADB与△ADB'关于直线AD对称，点B的对称点是点B'，则∠CAB'的度数为( )
A．10°B．20°C．30°D．40°
【对点练习】(2019重庆)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1，连接DE，将△AED沿直线沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得到△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为( )
A.8
B.2
2
3+.
2+ D.2
4 C.4
2
【例题2】(2020贵州黔西南)如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平，再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，已知BC＝2，则线段EG的长度为________．
【对点练习】(2019四川内江)如图，在菱形ABCD中，simB＝，点E，F分别在边AD、BC上，将四边形AEFB沿EF翻折，使AB的对应线段MN经过顶点C，当MN⊥BC时，的值是．
【例题3】(2020衢州模拟)如图1，将矩形ABCD沿DE折叠，使顶点A落在DC上的点A′处，然后将矩形展平，沿EF折叠，使顶点A落在折痕DE上的点G处．再将矩形ABCD沿CE折叠，此时顶点B恰好落在DE 上的点H处．如图2．
(1)求证：EG=CH；
(2)已知AF=，求AD和AB的长．
【对点练习】(2019徐州)如图，将平行四边形纸片ABCD沿一条直线折叠，使点A与点C重合，点D落在点G处，折痕为EF．求证：
(1)∠ECB＝∠FCG；
(2)△EBC≌△FGC．
一、选择题
1.(2020•青岛)如图，将矩形ABCD 折叠，使点C 和点A 重合，折痕为EF ，EF 与AC 交于点O ．若AE ＝5，BF ＝3，则AO 的长为( )
A ．√5
B ．32√5
C ．2√5
D ．4√5
2．(2020•枣庄)如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝3，点E 在边BC 上，将△ABE 沿直线AE 折叠，点B 恰好落在对角线AC 上的点F 处，若∠EAC ＝∠ECA ，则AC 的长是( )
A ．3√3
B ．4
C ．5
D ．6
3．(2020•广东)如图，在正方形ABCD 中，AB ＝3，点E ，F 分别在边AB ，CD 上，∠EFD ＝60°．若将四边形EBCF 沿EF 折叠，点B 恰好落在AD 边上，则BE 的长度为( )
A ．1
B ．√2
C ．√3
D ．2
4．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F．已知EF=，则BC的长是( )
A． B． C．3 D．
5．如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B=65°，则∠BDF等于( )
A． 65° B． 50° C． 60° D． 57.5°
6．如图，在矩形OABC中，OA=8，OC=4，沿对角线OB折叠后，点A与点D重合，OD与BC交于点E，则点D 的坐标是( )
A． (4，8) B． (5，8) C． (，) D． (，)
7．(2019海南)如图，在▱ABCD中，将△ADC沿AC折叠后，点D恰好落在DC的延长线上的点E处．若∠B ＝60°，AB＝3，则△ADE的周长为( )
A．12 B．15 C．18 D．21
8．(2019桂林)将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，BE，EG，FG为折痕，若顶点A，C，D都落在点O处，且点B，O，G在同一条直线上，同时点E，O，F在另一条直线上，则的值为( )
A．B．C．D．
二、填空题
9．(2020•襄阳)如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在
边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF=√5
2，则矩形ABCD的面积为．
10．(2020•牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点E在AC边上．将∠A沿直线BE翻折，点A落在点
A'处，连接A'B，交AC于点F．若A'E⊥AE，cos A=4
5，则
A′F
BF
=．
11．(2020•安徽)在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在CD 上的点Q 处．折痕为AP ；再将△PCQ ，△ADQ 分别沿PQ ，AQ 折叠，此时点C ，D 落在AP 上的同一点R 处．请完成下列探究：
(1)∠PAQ 的大小为 °；
(2)当四边形APCD 是平行四边形时，AB QR 的值为 ．
12．(2019山东滨州)如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平，再一次折叠纸片，使点A 落在EF 上的N 点处，同时得到折痕BM ，BM 与EF 交与点H ，连接线段BN ，则EH 与HN 的比值是 ．
13．〔2020上海模拟〕如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=1，点D 在AC 上，将△ADB 沿直线BD 翻折后，将点A 落在点E 处，如果AD ⊥ED ，那么线段DE 的长为________.
14．(2019内蒙古通辽)如图，在边长为3的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边上的一点，且AM＝AD，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C．则A′C长度的最小值是．
15．(2019辽宁抚顺)在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为．
16．如图，在菱形ABCD中，tanA=，M，N分别在边AD，BC上，将四边形AMNB沿MN翻折，使AB的对应线段EF经过顶点D，当EF⊥AD时，的值为．
17.(2019•河南)如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a，点E在边BC上，且BE＝3
5
a．连接AE，将△ABE沿
AE折叠，若点B的对应点B′落在矩形ABCD的边上，则a的值为_______．
18．(2019江苏淮安)如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，H是AB的中点，将△CBH沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则tan∠HAP＝．
三、解答题
19．(2020•金华)如图，在△ABC中，AB＝4√2，∠B＝45°，∠C＝60°．
(1)求BC边上的高线长．
(2)点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．
①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．
②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．
20．(2020湘潭模拟)如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．
(1)求证：△BDE∽△BAC；
(2)已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
21.(2020牡丹江)如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F．(1)当点F与点C重合时如图(1)，易证：DF+BE=AF(不需证明)；
(2)当点F在DC的延长线上时如图(2)，当点F在CD的延长线上时如图(3)，线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．。