数学北师大版九年级上册2.1认识一元二次方程(1)练习
北师大版九年级数学上册单元试题及答案第二单一元二次方程(一)
北师大版九年级数学上册单元试题及答案第二章一元二次方程（一）一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）1.（3分）方程2x2﹣3=0的一次项系数是（）A.﹣3B.2C.0D.32.（3分）方程x2=2x的解是（）A.x=0B.x=2C.x 1=0，x2=2D.x1=0，x2=3.（3分）方程x2﹣4=0的根是（）A.x=2B.x=﹣2C.x1=2，x2=﹣2D.x=44.（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是（）A.﹣1B.0C.1D.25.（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（）A.（x+2）2=1B.（x﹣2）2=1C.（x+2）2=9D.（x﹣2）2=96.（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A.x2+130x﹣1400=0B.x2+65x﹣350=0C.x2﹣130x﹣1400=0D.x2﹣65x﹣350=07.（3分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（）A.6B.8C.10D.128.（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12B.12或15C.15D.不能确定9.（3分）若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值是（）A.1B.1或﹣1C.﹣1D.210.（3分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（）名学生.A.12B.12或66C.15D.33二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）11.（3分）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：12.（3分）﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b= ，另一个根是13.（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是14.（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=15.（3分）用换元法解方程+2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是三、按要求解一元二次方程：（20分）16.（20分）按要求解一元二次方程（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0四、细心做一做17.（6分）有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？18.（6分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？19.（7分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求：（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？20.（7分）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？21.（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q 由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动.（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似?（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由.参考答案与试题解析一、精心选一选，相信自己的判断！（每小题3分，共30分）1.（3分）方程2x2﹣3=0的一次项系数是（）A.﹣3B.2C.0D.3【考点】一元二次方程的一般形式【分析】一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项【解答】解：方程2x2﹣3=0没有一次项，所以一次项系数是0．故选C【点评】要特别注意不含有一次项，因而一次项系数是0，注意不要说是没有2.（3分）方程x2=2x的解是（）A.x=0B.x=2C.x1=0，x2=2D.x1=0，x2=【考点】解一元二次方程-因式分解法；因式分解-提公因式法【专题】因式分解【分析】把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的两个根【解答】解：x2﹣2x=0x（x﹣2）=0∴x1=0，x2=2故选C【点评】本题考查的是用因式分解法解一元二次方程，把右边的项移到左边，用提公因式法因式分解，可以求出方程的根3.（3分）方程x2﹣4=0的根是（）A.x=2B.x=﹣2C.x1=2，x2=﹣2D.x=4【考点】解一元二次方程-直接开平方法【分析】先移项，然后利用数的开方解答【解答】解：移项得x2=4，开方得x=±2∴x1=2，x2=﹣2故选C【点评】（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x2=a（a≥0），ax2=b （a，b同号且a≠0），（x+a）2=b（b≥0），a（x+b）2=c（a，c同号且a≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”（2）运用整体思想，会把被开方数看成整体（3）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点4.（3分）若一元二次方程2x（kx﹣4）﹣x2+6=0无实数根，则k的最小整数值是（）A.﹣1B.0C.1D.2【考点】根的判别式；一元二次方程的定义（2k﹣1）x2﹣8x+6=0，【分析】先把方程变形为关于x的一元二次方程的一般形式：要方程无实数根，则△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0，解不等式，并求出满足条件的最小整数k【解答】解：方程变形为：（2k﹣1）x2﹣8x+6=0当△＜0，方程没有实数根，即△=82﹣4×6（2k﹣1）＜0解得k＞，则满足条件的最小整数k为2故选D【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根5.（3分）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5=0的过程中，配方正确的是（）A.（x+2）2=1B.（x﹣2）2=1C.（x+2）2=9D.（x﹣2）2=9【考点】解一元二次方程-配方法【分析】先移项，再方程两边都加上一次项系数一半的平方，即可得出答案【解答】解：移项得：x2﹣4x=5配方得：x2﹣4x+22=5+22（x﹣2）2=9故选D【点评】本题考查了解一元二次方程，关键是能正确配方6.（3分）在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，做成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A.x2+130x﹣1400=0B.x2+65x﹣350=0C.x2﹣130x﹣1400=0D.x2﹣65x﹣350=0【考点】由实际问题抽象出一元二次方程【专题】几何图形问题【分析】本题可设长为（80+2x），宽为（50+2x），再根据面积公式列出方程，化简即可【解答】解：依题意得：（80+2x）（50+2x）=5400即4000+260x+4x2=5400化简为：4x2+260x﹣1400=0即x2+65x﹣350=0故选：B【点评】本题考查的是一元二次方程的运用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简7.（3分）已知直角三角形的三边长为三个连续整数，那么，这个三角形的面积是（）A.6B.8C.10D.12【考点】勾股定理【分析】设三边长分别为x，x+1，x+2，根据勾股定理可得（x+2）2=（x+1）2+x2，解方程可求得三角形的三边长，利用直角三角形的性质直接求得面积即可【解答】解：设这三边长分别为x，x+1，x+2根据勾股定理得：（x+2）2=（x+1）2+x2解得：x=﹣1（不合题意舍去），或x=3∴x+1=4，x+2=5则三边长是3，4，5∴三角形的面积=××4=6故选：A【点评】本题考查了勾股定理、直角三角形面积的计算方法；熟练掌握勾股定理，由勾股定理得出方程是解决问题的关键8.（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12B.12或15C.15D.不能确定【考点】等腰三角形的性质；解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】先解一元二次方程，由于未说明两根哪个是腰哪个是底，故需分情况讨论，从而得到其周长【解答】解：解方程x2﹣9x+18=0，得x1=6，x2=3∵当底为6，腰为3时，由于3+3=6，不符合三角形三边关系∴等腰三角形的腰为6，底为3∴周长为6+6+3=15故选C【点评】此题是一元二次方程的解结合几何图形的性质的应用，注意分类讨论9.（3分）若关于一元二次方程x2+2x+k+2=0的两个根相等，则k的取值是（）A.1B.1或﹣1C.﹣1D.2【考点】根的判别式【分析】根据判别式的意义得到△=22﹣4（k+2）=0，然后解一次方程即可【解答】解：根据题意得△=22﹣4（k+2）=0解得k=﹣1故选C【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根10.（3分）科学兴趣小组的同学们，将自己收集的标本向本组的其他成员各赠送一件，全组共互赠了132件，那么全组共有（）名学生A.12B.12或66C.15D.33【考点】一元二次方程的应用.【分析】设全组共有x名学生，每一个人赠送x﹣1件，全组共互赠了x（x﹣1）件，共互赠了132件，可得到方程，求解即可【解答】解：设全组共有x名学生，由题意得x（x﹣1）=132解得：x1=﹣11（不合题意舍去），x2=12答：全组共有12名学生故选：A【点评】本题考查一元二次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键二、耐心填一填：（把答案填放相应的空格里．每小题3分，共15分）11.（3分）写一个一元二次方程，使它的二次项系数是﹣3，一次项系数是2：﹣3x2+2x﹣3=0【考点】一元二次方程的一般形式【专题】开放型【分析】根据一元二次方程的一般形式和题意写出方程即可【解答】解：由题意得：﹣3x2+2x﹣3=0故答案为：﹣3x2+2x﹣3=0【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项12.（3分）﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个根，则b=﹣4，另一个根是5【考点】一元二次方程的解【分析】把x=﹣1代入方程得出关于b的方程1+b﹣2=0，求出b，代入方程，求出方程的解即可【解答】解：∵x=﹣1是方程x2+bx﹣5=0的一个实数根∴把x=﹣1代入得：1﹣b﹣5=0解得b=﹣4即方程为x2﹣4x﹣5=0（x+1）（x﹣5）=0解得：x1=﹣1，x2=5即b的值是﹣4，另一个实数根式5故答案为：﹣4，5【点评】本题考查了一元二次方程的解的概念：使方程两边成立的未知数的值叫方程的解13.（3分）方程（2y+1）（2y﹣3）=0的根是y1=﹣，y2=【考点】解一元二次方程-因式分解法【专题】因式分解【分析】解一元二次方程的关键是把二次方程化为两个一次方程，解这两个一次方程即可求得【解答】解：∵（2y+1）（2y﹣3）=0∴2y+1=0或2y﹣3=0解得y1=，y2=【点评】解此题要掌握降次的思想，把高次的降为低次的，把多元的降为低元的，这是解复杂问题的一个原则14.（3分）已知一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根为x1、x2，x1+x2=3【考点】根与系数的关系【分析】根据一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，代入计算即可【解答】解：∵一元二次方程x2﹣3x﹣1=0的两根是x1、x2∴x1+x2=3故答案为：3【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣，x1•x2=15.（3分）用换元法解方程+2x=x2﹣3时，如果设y=x2﹣2x，则原方程可化为关于y的一元二次方程的一般形式是y2﹣3y﹣1=0【考点】换元法解分式方程【专题】换元法【分析】此题考查了换元思想，解题的关键是要把x2﹣2x看作一个整体【解答】解：原方程可化为﹣（x2﹣2x）+3=0设y=x2﹣2x﹣y+3=0∴1﹣y2+3y=0∴y2﹣3y﹣1=0【点评】此题考查了学生的整体思想，也就是准确使用换元法．解题的关键是找到哪个是换元的整体三、按要求解一元二次方程：（20分）16.（20分）按要求解一元二次方程（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）（4）x2﹣2x﹣8=0【考点】解一元二次方程-因式分解法；解一元二次方程-配方法；解一元二次方程-公式法【分析】（1）首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式（2）方程移项变形后，采用提公因式法，可得方程因式分解的形式，即可求解（3）方程化为一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项，计算出根的判别式，发现其结果大于0，故利用求根公式可得出方程的两个解（4）方程左边分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可【解答】解：（1）4x2﹣8x+1=0（配方法）移项得，x2﹣2x=﹣配方得，x2﹣2x+1=﹣+1（x﹣1）2=∴x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣（2）7x（5x+2）=6（5x+2）（因式分解法）7x（5x+2）﹣6（5x+2）=0（5x+2）（7x﹣6）=0∴5x+2=0，7x﹣6=0∴x1=﹣，x2=（3）3x2+5（2x+1）=0（公式法）整理得，3x2+10x+5=0∵a=3，b=10，c=5，b2﹣4ac=100﹣60=40∴x===∴x1=，x2=（4）x2﹣2x﹣8=0（x+4）（x﹣2）=0∴x+4=0，x﹣2=0∴x1=﹣4，x2=2【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程四、细心做一做17.（6分）有一面积为150m2的长方形鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长18 m），另三边用竹篱笆围成，如果竹篱笆的总长为35 m，求鸡场的长与宽各为多少？【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题【分析】设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），根据矩形的面积公式即可列方程，列方程求解【解答】解：设养鸡场的宽为xm，则长为（35﹣2x），由题意得x（35﹣2x）=150解这个方程；x2=10当养鸡场的宽为时，养鸡场的长为20m不符合题意，应舍去当养鸡场的宽为x1=10m时，养鸡场的长为15m答：鸡场的长与宽各为15m，10m【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，难度一般18.（6分）如图所示，在一块长为32米，宽为15米的矩形草地上，在中间要设计一横二竖的等宽的、供居民散步的小路，要使小路的面积是草地总面积的八分之一，请问小路的宽应是多少米？【考点】一元二次方程的应用【专题】几何图形问题【分析】本题可根据关键语“小路的面积是草地总面积的八分之一”，把小路移到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32﹣2x）和（15﹣x），列方程即可求解【解答】解：设小路的宽应是x米，则剩下草总长为（32﹣2x）米，总宽为（15﹣x）米由题意得（32﹣2x）（15﹣x）=32×15×（1﹣）即x2﹣31x+30=0解得x1=30 x2=1∵路宽不超过15米∴x=30不合题意舍去答：小路的宽应是1米【点评】找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程是解决问题的关键19.（7分）某企业2006年盈利1500万元，2008年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2006年到2008年，如果该企业每年盈利的年增长率相同，求:（1）该企业2007年盈利多少万元？（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2009年盈利多少万元？【考点】一元二次方程的应用【专题】增长率问题【分析】本题为增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）（1）可先求出增长率，然后再求2007年的盈利情况（2）有了2008年的盈利和增长率，求出2009年的就容易了【解答】解：（1）设每年盈利的年增长率为x根据题意，得1500（1+x）2=2160解得x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）∴1500（1+x）=1500（1+0.2）=1800答：2007年该企业盈利1800万元（2）2160（1+0.2）=2592答：预计2009年该企业盈利2592万元【点评】本题考查的是增长率的问题．增长率问题，一般形式为a（1+x）2=b，a 为起始时间的有关数量，b为终止时间的有关数量20.（7分）中华商场将进价为40元的衬衫按50元售出时，每月能卖出500件，经市场调查，这种衬衫每件涨价4元，其销售量就减少40件．如果商场计划每月赚得8000元利润，那么售价应定为多少？这时每月应进多少件衬衫？【考点】一元二次方程的应用【专题】销售问题【分析】设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x），再由每月赚8000元，可得方程，解方程即可【解答】解：设涨价4x元，则销量为（500﹣40x），利润为（10+4x）由题意得，（500﹣40x）×（10+4x）=8000整理得，5000+2000x﹣400x﹣160x2=8000解得：x1=，x2=当x1=时，则涨价10元，销量为：400件当x2=时，则涨价30元，销量为：200件答：当售价定为60元时，每月应进400件衬衫；售价定为80元时，每月应进200件衬衫【点评】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意正确找出等量关系、列出方程是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用21.（9分）如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8m，BC=6m，点P由C点出发以2m/s的速度向终点A匀速移动，同时点Q由点B出发以1m/s的速度向终点C匀速移动，当一个点到达终点时另一个点也随之停止移动（1）经过几秒△PCQ的面积为△ACB的面积的？（2）经过几秒，△PCQ与△ACB相似？（3）如图2，设CD为△ACB的中线，那么在运动的过程中，PQ与CD有可能互相垂直吗？若有可能，求出运动的时间；若没有可能，请说明理由【考点】一元二次方程的应用；相似三角形的判定【专题】几何动点问题【分析】（1）分别表示出线段PC和线段CQ的长后利用S△PCQ =S△ABC列出方程求解（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似，当△PCQ与△ACB相似时，可知∠CPQ=∠A或∠CPQ=∠B，则有=或=，分别代入可得到关于t的方程，可求得t的值（3）设运动时间为ys，PQ与CD互相垂直，根据直角三角形斜边上的中线的性质以及等腰三角形的性质得出∠ACD=∠A，∠BCD=∠B，再证明△PCQ∽△BCA，那么=，依此列出比例式=，解方程即可【解答】解：（1）设经过x秒△PCQ的面积为△ACB的面积的由题意得：PC=2xm，CQ=（6﹣x）m则×2x（6﹣x）=××8×6解得：x=2或x=4故经过2秒或4秒，△PCQ的面积为△ACB的面积的（2）设运动时间为ts，△PCQ与△ACB相似当△PCQ与△ACB相似时，则有=或=所以=，或=解得t=，或t=因此，经过秒或秒，△OCQ与△ACB相似（3）有可能由勾股定理得AB=10∵CD为△ACB的中线∴∠ACD=∠A，∠BCD=∠B又PQ⊥CD∴∠CPQ=∠B∴△PCQ∽△BCA∴=，=解得y=因此，经过秒，PQ⊥CD【点评】本题考查了一元二次方程的应用，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，勾股定理，直角三角形、等腰三角形的性质，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解。
北师大版数学九年级上册第二章各节练习题含答案
第二章 一元二次方程2.1 认识一元二次方程 同步练习题1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x ＝0 B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1 C ．x ＝x 2 D ．ax 2＋bx ＋c ＝02．方程(m －1)x 2＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( ) A ．任何实数 B ．m≠0 C ．m≠1 D．m≠－13．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． (1)3x 2＝5x －3；(2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4.5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( ) A ．x(x ＋2)＝323 B ．x(x －2)＝323C ．x(x ＋1)＝323D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝3236．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________；(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式． (1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2，则x 最大不超过( )A ．1B ．2C ．3D ．49．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)D ．3.25<x<3.26 10．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______． 11．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为0，则k 的值为________．12．方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( ) A ．m ＝±1 B ．m ＝－1 C ．m ＝1 D ．m≠1 13．若方程(k －1)x 2＋kx ＝1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是( ) A ．k ≠1 B ．k ≥0 C ．k ≥0且k ≠1 D ．k 为任意实数 2A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是215．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( )A ．－52 B.12 C ．－52或12 D ．116．已知关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋4m ＝0，当m ____________时，它是一元二次方程，当m________时，它是一元一次方程．17．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？18. 有这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：(1)下面式子中是方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号) ①12x 2－x －2＝0，②－12x 2＋x ＋2＝0，③x 2－2x ＝4，④－x 2＋2x ＋4＝0，⑤3x 2－23x －43＝0.(2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？2.1答案： 1. C 2. C3. 3x 2－5x －12＝0 3 －5 －124. (1) 一般形式是3x 2－5x ＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.(2) 一般形式是x 2＋3x －8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8. 5. D6. (1) x(x －5)＝150. (2) (x ＋1)2－1＝24.7. (1)6x 2＝36，一般形式为6x 2－36＝0.(2)x(x －1)＝1 980，一般形式为x 2－x －1 980＝0. 8. D 9. C 10. 6 11. －1 12. B 13. C 14. C 15. C16. ≠±2 ＝－217. 整理方程，得(m ＋3)x 2－(2m ＋1)x ＋m ＝0，由题意，得m ＋3－(2m ＋1)＝0，解得m ＝2.18. (1) ①②④⑤(2) 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a ，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4即可)2.2 用配方法求解一元二次方程同步课堂练习1．用配方法解方程3x 2－6x ＋1＝0，则方程可变形为( )A ．(x －3)2＝13 B ．3(x －1)2＝13 C ．(3x －1)2＝1 D ．(x －1)2＝232．小明同学解方程6x 2－x －1＝0的简要步骤如下：解：6x 2－x －1＝0，两边同时除以6第一步x 2－16x －16＝0，移项第二步x 2－16x ＝16，配方第三步(x－19)2＝16＋19，两边开方第四步x －19＝±518，移项第五步x 1＝19＋106，x 2＝19－106.上述步骤，发生第一次错误是在( )A ．第一步B ．第二步C ．第三步D ．第四步 3．用配方法解下列方程时，配方有错误的是( ) A ．x 2－2x －99＝0化为(x －1)2＝100B ．2x 2－7x －4＝0化为(x －74)2＝8116C ．x 2＋8x ＋9＝0化为(x ＋4)2＝25D ．3x 2－4x －2＝0化为(x －23)2＝1094．用配方法解一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)，此方程可变形为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋b 2a 2＝4ac －b 24a 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝b 2－4ac 4a 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －b 2a 2＝4ac －b 24a 25．一个一元二次方程的二次项是2x 2，它经过配方整理得(x ＋12)2＝1，那么它的一次项和常数项分别是( )A ．x ，－34B ．2x ，－12C ．2x ，－32D ．x ，－326．若代数式16x 2＋kxy ＋4y 2是完全平方式，则k 的值为( ) A ．8 B ．16 C ．－16 D ．±167. 若代数式2x 2－6x ＋b 可化为2(x －a)2－1，则a ＋b ＝________．8．把方程2x 2＋4x －1＝0配方后得(x ＋m)2＝k ，则m ＝________，k ＝________． 9．若代数式2x 2－5x 与－2x ＋3的值互为相反数，则x 的值为____________． 10．三角形两边的长是2和5，第三边的长是方程15x 2－75x ＋2＝0的根，则该三角形的周长为________．11．已知a 为实数，则代数式2a 2－12a ＋27的最小值为________．12．已知实数m ，n 满足m －n 2＝1，则代数式m 2＋2n 2＋4m －1的最小值等于_______． 13．读诗词解题(通过列方程式)，算出周瑜去世时的年龄： 大江东去浪淘尽，千古风流数人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位学子算得快，多少年华属周瑜？14. 用配方法把代数式3x－2x2－2化为a(x＋m)2＋n的形式，并说明不论x取何值时，这个代数式的值总是负数，并求出当x取何值时，这个代数式的值最大．15. 一个正方形蔬菜园需修整并用篱笆围住．修整蔬菜园的费用是15元/平方米，而购买篱笆材料的费用是30元/米，这两项支出一共为3 600元．求此正方形蔬菜园的边长．2.2答案:1---6 DCCAC D 7. 58. 1 329. 12或310. 12 11. 3 12. 413. 设这个两位数的十位数字为x ，则个位数字为(x ＋3)，这个两位数为10x ＋(x ＋3)，依题意得10x ＋(x ＋3)＝(x ＋3)2，解得x 1＝2，x 2＝3，∴这个两位数是25或36，又∵周瑜已过而立之年，∴周瑜去世时36岁．14. 3x －2x 2－2＝－2(x －34)2－78，∵－2(x －34)2≤0，∴－2(x －34)2－78<0，∴不论x 取何值时，这个代数式的值总是负数．当x ＝34时，这个代数式的值最大，最大值为－78.15. 设此正方形蔬菜园的边长为x 米，由题意可得15x 2＋30×4x＝3 600，解得x 1＝12，x 2＝－20(舍)．故此正方形蔬菜园的边长为12米．2.3 用公式法求解一元二次方程基础题知识点1 用求根公式求解一元二次方程1．利用求根公式求方程5x 2＋12＝6x 的根时，a 、b 、c 的值分别是( )A ．5，12，6B ．5，6，12C ．5，－6，12D ．5，－6，－122．用公式法解方程3x 2＋4＝12x ，下列代入公式正确的是( ) A ．x ＝12±122－3×42B ．x ＝－12±122×3×42×3C ．x ＝12±122＋3×42D ．x ＝－（－12）±（－12）2－4×3×42×33．解方程： (1)x 2＋1＝3x ； (2)3x 2＋2x ＋1＝0.知识点2 利用根的判别式判定一元二次方程的根的情况4．已知关于x的一元二次方程3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )A．方程有两个相等的实数根B．方程有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定5．若关于x的方程x2＋2x＋a＝0不存在实数根，则a的取值范围是( )A．a＜1 B．a＞1C．a≤1 D．a≥16．若关于x的一元二次方程x2－3x＋m＝0有两个相等的实数根，则m＝____________.知识点3 方案设计的实际问题7．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间，设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( )A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝9008．如图，某小区规划在一块长30 m、宽20 m的长方形土地ABCD上修建三条同样宽的通道，使其中两条与AB平行，另一条与AD平行，其余部分种花草，要使每一块花草的面积都为78 m2，那么通道宽应设计成多少米？设通道宽为x m，则由题意列得方程为( )A．(30－x)(20－x)＝78B ．(30－2x)(20－2x)＝78C ．(30－2x)(20－x)＝6×78D ．(30－2x)(20－2x)＝6×789．如图，小明家有一块长1.50 m ，宽1 m 的矩形地毯，为了使地毯美观，小明请来工匠在地毯的四周镶上宽度相同的花色地毯，镶完后地毯的面积是原地毯面积的2倍，则花色地毯的宽为____________m.中档题10．一元二次方程x 2＋22x －6＝0的根是( ) A ．x 1＝x 2＝ 2 B ．x 1＝0，x 2＝－2 2 C ．x 1＝2，x 2＝－3 2 D ．x 1＝－2，x 2＝3 211．方程(m －2)x 2－3－mx ＋14＝0有两个实数根，则m 的取值范围是( )A ．m>52B ．m ≤52且m ≠2C ．m ≥3D ．m ≤3且m ≠212．在实数范围内定义一种运算“*”，使a*b＝(a＋1)2－ab，则方程(x＋2)*5＝0的解为____________．13．用公式法解方程：(1)(x－1)(1＋2x)＝2；(2)x2－2x＋1＝－32x.14．(泰州中考)已知：关于x的方程x2＋2mx＋m2－1＝0.(1)不解方程，判别方程的根的情况；(2)若方程有一个根为3，求m的值．15．(新疆中考)如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？综合题16．(淄博中考)关于x的一元二次方程(a－6)x2－8x＋9＝0有实根．(1)求a的最大整数值；(2)当a取最大整数值时，①求出该方程的根；②求2x2－32x－7x2－8x＋11的值．2.3参考答案1．C 2.D3．(1)将原方程化为一般形式，得x 2－3x ＋1＝0，∵a ＝1，b ＝－3，c ＝1，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4×1×1＝5＞0.∴x ＝－（－3）±52×1.∴x 1＝3＋52，x 2＝3－52.(2)∵a ＝3，b ＝2，c ＝1，∴b 2－4ac ＝4－4×3×1＝－8<0.∴原方程没有实数根．4．B 5.B 6.94 7.B 8.C 9.0.25 10.C 11.B 12.x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5213．(1)方程化为一般式，得2x 2－x －3＝0，x ＝－（－1）±（－1）2－4×2×（－3）2×2，x 1＝－1，x 2＝32.(2)方程化为一般式，得x 2＋22x ＋1＝0，x ＝－22±（22）2－4×1×12×1，x 1＝1－2，x 2＝－2－1.14．(1)∵b 2－4ac ＝(2m)2－4×1×(m 2－1)＝4＞0，∴方程有两个不相等的实数根．(2)将x ＝3代入原方程，得9＋6m ＋m 2－1＝0，解得m 1＝－2，m 2＝－4. 15．设AB 的长度为x 米，则BC 的长度为(100－4x)米．根据题意，得(100－4x)x ＝400，解得x 1＝20，x 2＝5.则100－4x ＝20或100－4x ＝80.∵80＞25，∴x 2＝5舍去．∴AB ＝20，BC ＝20.答：羊圈的边长AB ，BC 分别是20米，20米． 16．(1)∵关于x 的一元二次方程(a －6)x 2－8x ＋9＝0有实根，∴a －6≠0，Δ＝(－8)2－4×(a －6)×9≥0.解得a ≤709且a ≠6.∴a 的最大整数值为7.(2)①当a ＝7时，原一元二次方程变为x 2－8x ＋9＝0，∴Δ＝(－8)2－4×1×9＝28.∴x ＝－（－8）±282，即x ＝4±7.∴x 1＝4＋7，x 2＝4－7.②∵x 是一元二次方程x 2－8x ＋9＝0的根，∴x 2－8x ＝－9.∴2x 2－32x －7x 2－8x ＋11＝2x 2－32x －7－9＋11＝2x 2－16x ＋72＝2(x 2－8x)＋72＝2×(－9)＋72＝－292.2.4用因式分解法求解一元二次方程一．选择题（共10小题）1．如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x 2﹣5x +4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（ ）A ．6B ．9C ．6或9D ．以上都不正确2．已知3是关于x 的方程x 2﹣（m +1）x +2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC 的两条边的边长，则△ABC 的周长为（ ） A ．7 B ．10 C ．11 D ．10或113．解方程（5x ﹣1）2=3（5x ﹣1）的适当方法是（ ） A ．开平方法 B ．配方法 C ．公式法D ．因式分解法4．若分式的值为0，则x 的值为（ ）A ．3或﹣2B ．3C ．﹣2D ．﹣3或25．已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或36．三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对7．使分式的值等于零的x是（）A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣68．一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A．x=B．x=3 C．x1=3，x2=﹣ D．x1=3，x2=9．已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）A．方程一定有两个不相等的实数根B．方程一定有两个实数根C．当k取某些值时，方程没有实数根D．方程一定有实数根10．三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35=0的根，则三角形的周长为（）A．12 B．13 C．14 D．12或14二．填空题（共5小题）11．方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为．12．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2=．13．如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是．14．关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为．15．对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=．三．解答题（共5小题）16．解方程：①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；③（x+3）（x﹣1）=5；④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．17．解下列方程：（1）9（y+4）2﹣49=0（2）2x2+3=7x（配方法）；（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）（4）x2=6x+16（5）2x2﹣7x﹣18=0（6）（2x﹣1）（x+3）=4．18．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）（1﹣x）2﹣1=；（3）8x（x+2）=3x+6；（4）．19．阅读下面的例题与解答过程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．解得y1=2，y2=﹣1．当y=2时，|x|=2，∴x=±2；当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|=0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．20．现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）求4※7的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用因式分解法求解一元二次方程一．选择题（共10小题）1．（2017•新区一模）如果一个等腰三角形的两边长分别为方程x2﹣5x+4=0的两根，则这个等腰三角形的周长为（）A．6 B．9 C．6或9 D．以上都不正确2．（2016•荆门）已知3是关于x的方程x2﹣（m+1）x+2m=0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长为（）A．7 B．10 C．11 D．10或113．（2016秋•兰州期中）解方程（5x﹣1）2=3（5x﹣1）的适当方法是（）A．开平方法B．配方法C．公式法D．因式分解法4．（2016秋•利川市校级月考）若分式的值为0，则x的值为（）A．3或﹣2 B．3 C．﹣2 D．﹣3或25．（2016春•长兴县月考）已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3=0，那么x2+x+1的值为（）A．1 B．﹣3 C．﹣3或1 D．﹣1或36．（2015•安顺）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对7．（2015•东光县校级二模）使分式的值等于零的x是（）A．6 B．﹣1或6 C．﹣1 D．﹣68．（2015春•绍兴期末）一元二次方程2x（x﹣3）=5（x﹣3）的根为（）A．x=B．x=3 C．x1=3，x2=﹣ D．x1=3，x2=9．（2015春•下城区期末）已知关于x的方程（x﹣1）[（k﹣1）x+（k﹣3）]=0（k是常数），则下列说法中正确的是（）A．方程一定有两个不相等的实数根B．方程一定有两个实数根C．当k取某些值时，方程没有实数根D．方程一定有实数根10．（2013秋•惠安县期中）三角形的两边长是3和4，第三边长是方程x2﹣12x+35=0的根，则三角形的周长为（）A．12 B．13 C．14 D．12或14二．填空题（共5小题）11．（2017•德州）方程3x（x﹣1）=2（x﹣1）的解为12．（2016•磴口县校级二模）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6=0，则x2+y2= 13．（2016秋•滨州月考）如果（x2+y2）（x2+y2﹣2）=3，则x2+y2的值是14．（2015秋•南江县期末）关于x的一元二次方程（k﹣1）x+6x+8=0的解为15．（2015春•婺城区期末）对任意实数a，b，若（a2+b2）（a2+b2﹣1）=12，则a2+b2=三．解答题（共5小题）16．解方程：①2x2﹣4x﹣7=0（配方法）；②4x2﹣3x﹣1=0（公式法）；③（x+3）（x﹣1）=5；④（3y﹣2）2=（2y﹣3）2．17．解下列方程：（1）9（y+4）2﹣49=0（2）2x2+3=7x（配方法）；（3）2x2﹣7x+5=0 （公式法）（4）x2=6x+16（5）2x2﹣7x﹣18=0（6）（2x﹣1）（x+3）=4．18．用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣5x﹣6=0；（2）（1﹣x）2﹣1=；（3）8x（x+2）=3x+6；（4）．19．（2015春•沙坪坝区期末）阅读下面的例题与解答过程：例．解方程：x2﹣|x|﹣2=0．解：原方程可化为|x|2﹣|x|﹣2=0．设|x|=y，则y2﹣y﹣2=0．解得y1=2，y2=﹣1．当y=2时，|x|=2，∴x=±2；当y=﹣1时，|x|=﹣1，∴无实数解．∴原方程的解是：x1=2，x2=﹣2．在上面的解答过程中，我们把|x|看成一个整体，用字母y代替（即换元），使得问题简单化、明朗化，解答过程更清晰．这是解决数学问题中的一种重要方法﹣﹣换元法．请你仿照上述例题的解答过程，利用换元法解下列方程：（1）x2﹣2|x|=0；（2）x2﹣2x﹣4|x﹣1|+5=0．20．（2015秋•平南县月考）现定义一种新运算：“※”，使得a※b=4ab（1）求4※7的值；（2）求x※x+2※x﹣2※4=0中x的值；（3）不论x是什么数，总有a※x=x，求a的值．用因式分解法求解一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．B．2．D．3．D．4．A．5．A．6．B．7．A．8．D．9．D．10．A．二．填空题（共5小题）11．1或．12．：6．13．3．14．x1=4，x2=﹣1．15．4．三．解答题（共5小题）16．解：①x2﹣2x=x2﹣2x+1=（x﹣1）2=x﹣1=±∴x1=1+，x2=1﹣．②a=4，b=﹣3，c=﹣1，△=9+16=25x==∴x1=1，x2=﹣．③方程整理得：x2+2x﹣8=0（x+4）（x﹣2）=0∴x1=﹣4，x2=2．④（3y﹣2+2y﹣3）（3y﹣2﹣2y+3）=0 （5y﹣5）（y+1）=0∴y1=1，y2=﹣1．17．解：（1）方程变形得：（y+4）2=，开方得：y+4=±，解得：y1=﹣，y2=﹣；（2）方程整理得：x2﹣x=﹣，配方得：x2﹣x+=，即（x﹣）2=，开方得：x﹣=±，解得：x1=3，x2=；（3）这里a=2，b=﹣7，c=5，∵△=49﹣40=9，∴x=，解得：x1=2.5，x2=1；（4）方程整理得：x2﹣6x﹣16=0，即（x+2）（x﹣8）=0，解得：x1=﹣2，x2=8；（5）这里a=2，b=﹣7，c=﹣18，∵△=47+144=191，∴x=；（6）方程整理得：2x2+5x﹣7=0，即（2x+7）（x﹣1）=0，解得：x1=﹣3.5，x2=1．18．解：（1）x2﹣5x﹣6=0，（x﹣6）（x+1）=0，∴x1=6，x2=﹣1．（2）（1﹣x）2﹣1=，（1﹣x）2=+1，（1﹣x）2=，1﹣x=，∴x1=1﹣=﹣，x2=1+=．（3）8x（x+2）=3x+6，8x（x+2）﹣3（x+2）=0，（x+2）（8x﹣3）=0，∴x1=﹣2，x2=．（4）．y2﹣5=20，y2=25，y=±5，即y1=5，y2=﹣5．19．解：（1）原方程可化为|x|2﹣2|x|=0，设|x|=y，则y2﹣2y=0．解得y1=0，y2=2．当y=0时，|x|=0，∴x=0；当y=2时，∴x=±2；∴原方程的解是：x1=0，x2=﹣2，x3=2．（2）原方程可化为|x﹣1|2﹣4|x﹣1|+4=0．设|x﹣1|=y，则y2﹣4y+4=0，解得y1=y2=2．即|x﹣1|=2，∴x=﹣1或x=3．∴原方程的解是：x1=﹣1，x2=3．20．解：（1）4※7=4×4×7=112；（2）由新运算的定义可转化为：4x2+8x﹣32=0，解得x1=2，x2=﹣4；（3）∵由新运算的定义得4ax=x，∴（4a﹣1）x=0，∵不论x取和值，等式恒成立，∴4a﹣1=0，即．2.6 应用一元二次方程利润问题与增降率问题同步课时练习题1．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系，每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元，要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( ) A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝152. 某商品的售价为100元，连续两次降价x%后售价降低了36元，则x 为( )A ．8B ．20C ．36D ．183. 某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均每月的增长率为x ，那么x 满足的方程是( )A ．50(1＋x 2)＝196B ．50＋50(1＋x 2)＝196C ．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D ．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1964. 股票每天的涨跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价．若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是( )A ．(1＋x)2＝1110 B ．(1＋x)2＝109 C ．1＋2x ＝1110 D ．1＋2x ＝1095. 制造一种产品，原来每件成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价为第一个月降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为使两月后的销售利润与原来的销售利润一样，该产品的成本价平均每月应降低( )A ．5%B ．10%C ．20%D ．25%6. 某种文化衫，平均每天销售40件，每件盈利20元，若每件降价1元，则每天可多售出10件．如果每天要盈利1 080元，每件应降价________元．7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价，若每件商品售价为a 元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品的利润不能超过进价的25%，商店计划要赚400元，需要卖出________件商品，每件商品的售价为________元．8. 某市为了更好地吸引外资，决定改善城市容貌，绿化环境．计划用两年时间，将绿地面积增加44%，则这两年平均每年绿地面积的增长率为___________．9. 李先生将10 000元存入银行，一年到期后取出2 000元购买电脑，余下8 000元及利息又存入银行，如果两次存款的年利率不变，一年到期后本息和是8 925元，则存款的年利率为________．10. 某公司生产某种产品，每件产品成本是3元，售价是4元，年销售量为10万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告，根据经验，每年投入广告费为x(万元)时，产品的年销售量将是原销售量的y倍，且y＝－x210＋710x＋710，如果把利润看作是销售额减去成本费和广告费，那么当年利润为16万元时，广告费x为________万元．11. 小丽为校合唱队购买某种服装时，商店经理给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10件，单价为80元；如果一次性购买多于10件，那么每增加1件，购买的所有服装的单价降低2元，但单价不得低于50元．按此优惠条件，小丽一次性购买这种服装付了1 200元，请问她购买了多少件这种服装？12. 在一次“春风行动”捐款活动中，某单位第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元．(1)如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；(2)按照(1)中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？13. 某地2014年为做好“精准扶贫”，投入资金1 280万元用于异地安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1 600万元．(1)从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？(2)在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1 000户(含第1 000户)每户每天奖励8元，1 000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？14. 毕业在即，某商店抓住商机，准备购进一批纪念品．若商店花440元可以购进50本学生纪念品和10本教师纪念品，其中教师纪念品的成本比学生纪念品的成本多8元．(1)请问这两种不同纪念品的成本分别是多少？(2)如果商店购进1 200个学生纪念品，第一周以每个10元的价格售出400个，第二周若按每个10元的价格仍可售出400个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售(根据市场调查，单价每降低1元，可多售出100个，但售价不得低于进价)，单价降低x元销售一周后，商店对剩余学生纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批纪念品共获利2 500元，问第二周每个纪念品的销售价格为多少元？15. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售量有如下关系：若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售出1部，所有售出的汽车的进价均降低0.1万元/部，月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内(含10部)，每部返利0.5万元；销售量在10部以上，每部返利1万元．(1)若该公司当月售出3部汽车，则每部汽车的进价为________万元；(2)如果汽车的售价为28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么需要售出多少部汽车？(盈利＝销售利润＋返利)答案：1---5 ABCBB6. 2或147. 100 258. 20%9. 5%10. 311. ∵80×10＝800元<1 200元，∴小丽买的服装数大于10件．设她购买了x 件这种服装，根据题意，得x[80－2(x－10)]＝1 200.解得x1＝20，x2＝30.∵1 200÷30＝40<50，∴x2＝30不合题意，舍去．答：她购买了20件这种服装．12. (1)设捐款增长率为x，则10 000·(1＋x)2＝12 100，解得x1＝0.1＝10%，x2＝－2.1(不合题意，舍去)，∴捐款增长率为10%.(2)12 100×(1＋10%)＝13 310(元)，∴第四天该单位能收到13 310元的捐款．13. (1)设该地投入异地安置资金的年平均增长率为x，根据题意，得1 280(1＋x)2＝1 280＋1 600，解得x1＝0.5＝50%，x2＝－2.5(舍)，答：从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为50%.(2)设今年该地有a户享受到优先搬迁租房奖励，根据题意，得1 000×8×400＋(a－1 000)×5×400≥5 000 000，解得a≥1 900，答：今年该地至少有1 900户享受到优先搬迁租房奖励．14. (1)设学生纪念品的成本为x元，根据题意，得50x＋10(x＋8)＝440.解得x＝6.∴x＋8＝6＋8＝14.答：学生纪念品的成本为6元，教师纪念品的成本为14元．(2)第二周单价降低x元后，这周销售的销量为(400＋100x)个，由题意得400×(10－6)＋(10－x－6)(400＋100x)＋(4－6)[1 200－400－(400＋100x)]＝2 500，整理，得x2－2x＋1＝0.解得x1＝x2＝1.则10－1＝9(元)．答：第二周每个纪念品的销售价格为9元．15. (1)26.8.(2)设需要售出x 部汽车，由题意可知，每部汽车的销售利润为28－[27－0.1(x －1)]＝(0.1x ＋0.9)(万元)．当0<x≤10，根据题意得x·(0.1x＋0.9)＋0.5x ＝12，整理得x 2＋14x －120＝0，解得x 1＝－20(不合题意，舍去)，x 2＝6；当x>10时，根据题意得x·(0.1x＋0.9)＋x ＝12，整理得x 2＋19x －120＝0，解得x 1＝－24(不合题意，舍去)，x 2＝5，因为5<10，所以x 2＝5舍去．综上可知，需要售出6部汽车．第二章一元二次方程第Ⅰ卷 (选择题 共30分)一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( ) A ．x 2＋1x2＝0 B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．(x －1)(x ＋2)＝1D ．3x 2－2xy －5y 2＝02．已知关于x 的方程(4－a )xa 2－3a －2－ax －5＝0是一元二次方程，则它的一次项系数是( )A ．－1B ．1C ．4D ．4或－13．用配方法解一元二次方程x 2－6x －10＝0时，下列变形正确的是( ) A ．(x ＋3)2＝1 B ．(x －3)2＝1 C ．(x ＋3)2＝19 D ．(x －3)2＝194．若2x ＋1与2x －1互为倒数，则实数x 的值为( ) A ．±12 B ．±1 C ．±22D ．± 25．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是( )A ．a <2B ．a >2C ．a <2且a ≠1D ．a <－2 6．若关于x 的方程x 2＋2x －3＝0与2x ＋3＝1x －a有一个解相同，则a 的值为( )A ．1B ．1或－3C ．－1D ．－1或37．某品牌服装原价为173元，连续两次降价x %后售价为127元，下面所列方程中正确的是( )A ．173(1＋x %)2＝127B ．173(1－2x %)＝127C ．173(1－x %)2＝127D ．127(1＋x %)＝1738．已知3是关于x 的方程x 2－(m ＋1)x ＋2m ＝0的一个实数根，并且这个方程的两个实数根恰好是等腰三角形ABC 的两条边的长，则△ABC 的周长为( )A ．7B ．10C ．11D ．10或119．若a 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≤1，1－a 2>2，则关于x 的方程(a －2)x 2－(2a －1)x ＋a＋12＝0的根的情况是( ) A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ．以上三种情况都有可能10．定义：如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足a ＋b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“和谐”方程；如果一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)满足a －b ＋c ＝0，那么我们称这个方程为“美好”方程．若一个一元二次方程既是“和谐”方程又是“美好”方程，则下列结论正确的是( )A ．方程有两个相等的实数根B ．方程有一根等于0C ．方程两根之和等于0D ．方程两根之积等于0 请将选择题答案填入下表：第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题(每小题3分，共18分)11．在估算一元二次方程x 2＋12x －15＝0的根时，小彬列表如下：由此可估算方程x 2＋12x －15＝0的一个根x 的范围是________． 12．若(m 2＋n 2)(1－m 2－n 2)＋6＝0，则m 2＋n 2的值为________．13．某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克，且10≤x ≤18)之间的函数关系如图1所示，该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？列出关于x 的方程是__________________．(不需化简和解方程)图114．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是____________．15．已知x1，x2为方程x2＋4x＋2＝0的两实数根，则x13＋14x2＋5＝________.16．对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，有下列说法：①若a＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0必有实数根；②若b2＋4ac<0，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有实数根；③若a－b＋c＝0，则方程ax2＋bx＋c＝0一定有两个不相等的实数根；④若方程ax2＋bx＋c＝0有两个实数根，则方程cx2＋bx＋a＝0一定有两个实数根．其中正确的有________(填序号)．三、解答题(共72分)17．(6分)用适当的方法解下列方程：(1)(x＋1)(x－2)＝x－2；(2)(2x＋1)2＝x2＋2.18．(6分)已知m是方程x2－2x－2＝0的根，且m＞0，求代数式m2－1m＋1的值．19．已知关于x的一元二次方程x(x－2)＝x－2①与一元一次方程2x＋1＝2a－x②.(1)若方程①的一个根是方程②的根，求a的值；(2)若方程②的根不小于方程①两根中的较小根且不大于方程①两根中的较大根，求a的取值范围．20．(8分)已知关于x的一元二次方程x2－(t－1)x＋t－2＝0.(1)求证：对于任意实数t，方程都有实数根；(2)当t为何值时，方程的两个根互为相反数？21．(10分)受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，某市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2015年利润为2亿元，2017年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率；(2)若2018年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2018年的利润能否超过3.4亿元？22．(10分)某经销店为厂家代销一种新型环保水泥，当每吨售价为260元时，月销售量为45吨，每售出1吨这种水泥共需支付厂家费用和其他费用共100元．该经销店为扩大销售量、提高经营利润，计划采取降价的方式进行促销，经市场调查发现，当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．(1)填空：当每吨售价是240元时，此时的月销售量是________吨；(2)若该经销店计划获得9000元的月利润而且尽可能地扩大销售量，则售价应定为每吨多少元？23．(12分)某住宅小区在住宅建设时留下一块1798平方米的矩形空地，准备建一个矩形的露天游泳池，设计图如图2所示，游泳池的长是宽的2倍，在游泳池的前侧留一块5米宽的空地，其他三侧各保留2米宽的道路及1米宽的绿化带．(1)请你计算出游泳池的长和宽；(2)已知贴1平方米瓷砖需费用50元，若游泳池深3米，现要把池底和池壁(共5个面)都贴上瓷砖，共需要费用多少元？图224．(12分)如图3，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，AD＝2 cm，点P以2 cm/s 的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以1 cm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动．(1)问两动点运动几秒后，四边形PBCQ的面积是矩形ABCD面积的49；(2)问是否存在某一时刻使得点P与点Q之间的距离为 5 cm.若存在，请求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由．图3答案1．C 2．B 3．D 4．C 5．C 6．C 7．C 8．D 9．C 10．C11．1.1＜x ＜1.2 12．313．(x －10)(－2x ＋60)＝150 [解析] 设y 与x 之间的函数表达式为y ＝kx ＋b ，把(10，40)，(18，24)代入，得⎩⎪⎨⎪⎧10k ＋b ＝40，18k ＋b ＝24，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－2，b ＝60，∴y 与x 之间的函数表达式为y ＝－2x ＋60(10≤x ≤18)，∴W ＝(x －10)(－2x ＋60)，当销售利润为150元时，可得(x －10)(－2x ＋60)＝150.14．(3＋x)(4－0.5x)＝15 15．－43 16．①②17．解：(1)(x ＋1)(x －2)－(x －2)＝0， (x －2)(x ＋1－1)＝0， x －2＝0或x ＋1－1＝0， 所以x 1＝2，x 2＝0. (2)3x 2＋4x －1＝0，Δ＝42－4×3×(－1)＝28，x ＝－4±272±3＝－2±73，所以x 1＝－2＋73，x 2＝－2－73.18．解：x 2－2x －2＝0，x 2－2x ＝2，x 2－2x ＋1＝3， (x －1)2＝3，x ＝±3＋1. ∵m ＞0，∴m ＝3＋1.∴m2－1m＋1＝m－1＝ 3.19．解：(1)解方程①，得x1＝1，x2＝2，解方程②，得x＝2a－1 3.当2a－13＝1时，a＝2；当2a－13＝2时，a＝72.综上所述，a的值是2或7 2 .(2)由题可知，1≤2a－13≤2，解得2≤a≤72.20．解：(1)证明：∵在方程x2－(t－1)x＋t－2＝0中，Δ＝[－(t－1)]2－4×1×(t－2)＝t2－6t＋9＝(t－3)2≥0，∴对于任意实数t，方程都有实数根．(2)设方程的两个根分别为m，n.∵方程的两个根互为相反数，∴m＋n＝t－1＝0，解得t＝1.∴当t＝1时，方程的两个根互为相反数．21．解：(1)设该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为x.L根据题意，得2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该企业从2015年到2017年利润的年平均增长率为20%.(2)如果2018年仍保持相同的年平均增长率，那么2018年该企业年利润为2.88×(1＋20%)＝3.456(亿元)，因为3.456＞3.4，所以该企业2018年的利润能超过3.4亿元．22．解：(1)60(2)解法一：设每吨售价下降10x(0＜x＜16)元．由题意，可列方程(260－100－10x)(45＋7.5x)＝9000，化简，得x2－10x＋24＝0，解得x1＝4，x2＝6.所以当售价定为每吨200元或220元时，该经销店的月利润均为9000元．当售价定为每吨200元时，销量更大，所以售价应定为每吨200元．解法二：设售价定为每吨x元．由题意，可列方程(x－100)(45＋260－x10×7.5)＝9000.化简，得x2－420x＋44000＝0，解得x1＝200，x2＝220.因为要尽可能地扩大销售量，所以售价应定为每吨200元．23．解：(1)设游泳池的宽为x米，则长为2x米．根据题意，得。
2.1.1认识一元二次方程课堂精练北师大版数学九年级上册
2.1.1认识一元二次方程一、选择题1.下列方程中是关于x的一元二次方程的是()A.ax2+bx+c=0B.1-x=1x2C.x2-x=2D.(x-1)2+1=x22.方程2x2-6x=9的二次项系数、一次项系数、常数项分别为()A.6,2,9B.2,-6,9C.2,-6,-9D.-2,6,-93.为宣传“扫黑除恶”专项行动,社区准备制作一幅宣传版面,喷绘时为了美观,要在矩形图案四周外围增加一圈等宽的白边.已知图案的长为2米,宽为1米,图案面积占整幅宣传版面面积的90%.若设白边的宽为x米,则根据题意可列出方程()A.90%×(2+x)(1+x)=2×1B.90%×(2+2x)(1+2x)=2×1C.90%×(2-2x)(1-2x)=2×1D.(2+2x)(1+2x)=2×1×90%4.将方程2(x+3)(x-4)=x2-10化为一般形式为()A.x2-2x-14=0B.x2+2x+14=0C.x2+2x-14=0D.x2-2x+14=0二、填空题5.三个连续奇数的平方和是251,求这三个数.若设最小的数为x,则可列方程为.6.已知方程(m+2)x2+(m+1)x-m=0是关于x的方程,当m满足条件:时,它是一元一次方程;当m满足条件:时,它是一元二次方程.7.若关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x+m2-1=0的常数项为0,则m的值是.8.已知(m-1)x m2+1-3x+1=0是关于x的一元二次方程,则m=.三、解答题9.结合题意列出方程,并将其化成一元二次方程的一般形式.(1)一长方形的面积为64 cm2,若它的长是宽的2倍,则它的长,宽分别是多少?设它的宽为x cm.(2)两数之差是2,平方和是52,求此两数.设较小的数为x.(3)生物兴趣小组的同学,将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件,全组共互赠了182件,求全组有多少名同学.设全组有x名同学.10.已知关于x的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0.(1)当k取何值时,此方程为一元一次方程?求出此时方程的解;(2)当k取何值时,此方程为一元二次方程?写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项.11、若x2a+b-2x a-b+3=0是关于x的一元二次方程,求a,b的值.张敏的想法如下:a,b必须满足{2a+b=2,a-b=2.张敏的想法全面吗?若不全面,请你写出a,b另外满足的条件.答案[课堂达标] 1.C2.C [解析] 方程2x 2-6x=9化成一般形式可以是2x 2-6x -9=0,∴二次项系数为2,一次项系数为-6,常数项为-9.故选C .3.B4.A5.x 2+(x+2)2+(x+4)2=2516.m=-2 m ≠-2 [解析] 当m+2=0,m+1≠0,即m=-2时,方程是一元一次方程;当m+2≠0,即m ≠-2时,方程是一元二次方程.7.-1 [解析] 根据题意,得m -1≠0,m 2-1=0,所以m=-1. 8.-19.解:(1)根据题意得2x 2=64,即x 2=32,化为一般形式为x 2-32=0(化为一般形式不唯一). (2)根据题意列方程,得x 2+(x+2)2=52, 化为一般形式为x 2+2x -24=0.(3)根据题意得x (x -1)=182,化为一般形式为x 2-x -182=0(化为一般形式不唯一). 10.解:(1)当k=1时,此方程为一元一次方程,其解为x=1.(2)当k ≠±1时,此方程为一元二次方程,二次项系数为k 2-1,一次项系数为k+1,常数项为-2. [素养提升]解:不全面,还有{2a +b =2,a -b =1或{2a +b =2,a -b =0或{2a +b =1,a -b =2或{2a +b =0,a -b =2.2.1.2一元二次方程的解的估算一、选择题1.若2是关于x 的方程x 2-3x+k=0的一个根,则常数k 的值为 ( ) A .1B .2C .-1D .-22.根据下列表格的对应值判断关于x 的方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的一个根x 的范围是 ( )x3.24 3.25 3.26ax 2+bx+c -0.02 0.01 0.03A .x<3.24B .3.24<x<3.25C .3.25<x<3.26D .3.25<x<3.283.观察表格中的数据得出方程x 2-2x -4=0的一个根的十分位上的数字应是 ( )x -2 -1.4 -1.3 -1.2 -1.1 0 x 2-2x -44 0.76 0.29 -0.16 -0.59 -4A.0B.1C.2D.34.已知关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,a,b,c满足a+b+c=0和4a-2b+c=0,则方程的两个根分别为()A.1,0B.-2,0C.1,-2D.-1,25.已知关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有一个非零根-a,则a-b的值为()A.1B.-1C.0D.-26.已知α是一元二次方程x2-x-1=0较大的根,则下面对α的估计正确的是()A.0<α<1B.1<α<1.5C.1.5<α<2D.2<α<3二、填空题7.为估算方程x2-2x-8=0的解,列出了下表:x-2-101234x2-2x-80-5-8-9-8-50由此可判断方程x2-2x-8=0的解为.8.已知x2-3x+1=0,依据下表,它的一个解x的范围是.x-1-0.500.51x2-3x+152.751-0.25-19.若a是方程3x2-x-2=0的一个根,则2025+2a-6a2的值等于.三、解答题10.已知关于x的一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,求a的值.11.对于向上抛出的物体,在没有空气阻力的条件下,有如下关系:h=vt-1gt2,其中h是离抛出点2的高度,v是初速度,g是重力加速度(g取10 m/s2),t是抛出后所经过的时间.如果将一物体以25 m/s的初速度向上抛出,几秒钟后它在离抛出点20 m高的地方?12、有一个面积为54 m2的矩形,将它的一边剪短5 m,与其相邻的另一边剪短2 m后,恰好变成一个正方形.(1)若设这个正方形的边长为x m,请根据题意列出方程;(2)x可能小于0吗?说说你的理由;(3)正方形的边长可能是2 m吗?可能是3 m吗?为什么?(4)你能求出x的值吗?请写出求解过程.答案[课堂达标]1.B[解析] ∵2是一元二次方程x2-3x+k=0的一个根,∴22-3×2+k=0,解得k=2.故选B.2.B[解析] 观察表格可知,当ax2+bx+c=0(a≠0)时,对应的一个根x的范围是3.24<x<3.25.3.C[解析] ∵当x=-1.3时,x2-2x-4=0.29>0;当x=-1.2时,x2-2x-4=-0.16<0,∴方程x2-2x-4=0的一个根x在-1.3<x<-1.2的范围内,∴方程x2-2x-4=0的一个根的十分位上的数字应是2.故选C.4.C[解析] 当x=1时,a+b+c=0;当x=-2时,4a-2b+c=0.所以方程的两个根分别为1,-2.故选C.5.B[解析] ∵关于x的一元二次方程x2+bx+a=0有一个非零根-a,∴a2-ab+a=0.∵-a≠0,∴a≠0.上式两边同时除以a,得a-b+1=0,∴a-b=-1.6.C7.x=-2或x=48.0<x<0.5[解析] ∵当x=0时,x2-3x+1=1>0;当x=0.5时,x2-3x+1=-0.25<0,∴当x在0<x<0.5的范围内取某一个值时,x2-3x+1=0,∴方程x2-3x+1=0的一个解的范围是0<x<0.5.故答案为0<x<0.5.9.2021[解析] ∵a是方程3x2-x-2=0的一个根,∴3a2-a-2=0,故3a2-a=2,则2025+2a-6a2=2025-2(3a2-a)=2025-2×2=2021.故答案为2021.10.[解析] 根据一元二次方程的定义和一元二次方程的根的定义得到a+1≠0且a2-1=0,然后解不等式和方程即可得到a的值.解:∵一元二次方程(a+1)x2-ax+a2-1=0的一个根为0,∴a+1≠0且a2-1=0,∴a=1.11.解:由题意,得25t-5t2=20,列表略,可得方程的解为t=1或t=4,所以1 s或4 s后,物体在离抛出点20 m高的地方.[素养提升]解:(1)所列方程为(x+5)(x+2)=54,即x2+7x-44=0.(2)x不可能小于0,因为x表示正方形的边长.(3)正方形的边长不可能是2 m,也不可能是3 m,因为x=2和x=3都不满足方程x2+7x-44=0.(4)能.列表如下:x12345x2+7x-44-36-26-14016所以x=4.2.2.1用配方法求解二次项系数为1的一元二次方程一、选择题x2=8的根是()1.方程12A.x=2B.x=4C.x=±2D.x=±42.一元二次方程y2-y-34=0配方后可化为()A.y+122=1B.y-122=1C.y+122=34D.y-122=343.如果一元二次方程x2+bx+5=0配方后为(x-3)2=k,那么b,k的值分别为()A.0,4B.0,5C.-6,5D.-6,4二、填空题4.填空:(1)x2+10x+=(x+)2;(2)x2+()+916=[x+()]2.5.[2020·扬州] 方程(x+1)2=9的根是.6.如果方程x2+4x+n=0可以配方成(x+m)2=3,那么(n-m)2021=.三、解答题7.解下列方程:(1)(x-1)2=36;(2)x2-2x-24=0;(3)x2-x+3=4;(4)x2-3x=3x+16;(5)x2-2√2x-3=0.8.如图,在长为62米、宽为42米的矩形草地上修同样宽的路,余下部分种植草坪.要使草坪的面积为2400平方米,求道路的宽.9、有n个方程:x2+2x-8=0;x2+2×2x-8×22=0;…;x2+2nx-8n2=0.小静同学解第1个方程x2+2x-8=0的步骤为“①x2+2x=8;②x2+2x+1=8+1;③(x+1)2=9;④x+1=±3;⑤x=1±3;⑥x1=4,x2=-2.”(1)小静的解法是从步骤开始出现错误的;(2)用配方法解第n个方程x2+2nx-8n2=0(用含n的式子表示方程的根).答案[课堂达标] 1.D2.B [解析] y 2-y -34=0,y 2-y=34, y 2-y+14=1,y -122=1. 故选B .3.D [解析] ∵(x -3)2=k ,∴x 2-6x+9-k=0.∵一元二次方程x 2+bx+5=0配方后为(x -3)2=k ,∴b=-6,9-k=5,∴k=4,∴b ,k 的值分别为-6,4.故选D . 4.(1)25 5 (2)±32x ±345.x 1=2,x 2=-4 [解析] (x+1)2=9,x+1=±3,x 1=2,x 2=-4.故答案为x 1=2,x 2=-4.6.-1 [解析] 由题意得x 2+4x=-n , ∴x 2+4x+4=4-n ,即(x+2)2=4-n. 又(x+m )2=3,∴m=2,n=1, 则(n -m )2021=(1-2)2021=-1. 故答案为-1.7.解:(1)直接开平方,得x -1=±6, ∴x -1=6或x -1=-6, ∴x 1=7,x 2=-5.(2)移项,得x 2-2x=24.配方,得x 2-2x+1=24+1,即(x -1)2=25. 两边开平方,得x -1=±5. ∴x 1=6,x 2=-4. (3)移项,得x 2-x=1. 配方,得x 2-x+14=54.整理,得x -122=54,∴x -12=±√52, 即x 1=1+√52,x 2=1-√52.(4)原方程可化为x 2-6x=16. 配方,得x 2-6x+9=16+9. 整理,得(x -3)2=25,∴x -3=±5, 即x 1=8,x 2=-2. (5)移项,得x 2-2√2x=3.配方,得x 2-2√2x+(√2)2=(√2)2+3, 即(x -√2)2=5.两边开平方,得x -√2=±√5. ∴x 1=√2+√5,x 2=√2-√5. 8.解:设道路的宽为x 米. 根据题意,得(62-x )(42-x )=2400.整理,得x2-104x+204=0.解得x1=2,x2=102(不合题意,舍去).答:道路的宽是2米.[素养提升]解:(1)⑤(2)x2+2nx-8n2=0,x2+2nx=8n2,x2+2nx+n2=8n2+n2,(x+n)2=9n2,x+n=±3n,x=-n±3n,∴x1=-4n,x2=2n.2.2.2用配方法求解二次项系数不为1的一元二次方程一、选择题1.用配方法解方程2x2-4x+3=0,配方正确的是()A.2x2-4x+4=3+4B.2x2-4x+4=-3+4C .x 2-2x+1=32+1D .x 2-2x+1=-32+12.[2020·聊城] 用配方法解一元二次方程2x 2-3x -1=0,配方正确的是( ).A .x -342=1716B .x -342=12C .x -322=134D .x -322=1143.图中用配方法解方程12x 2-x -2=0的四个步骤中,出现错误的是( )A .①B .②C .③D .④ 4.对于任何实数m ,n ,多项式m 2+n 2-6m -10n+36的值总是 ( )A .2B .0C .大于2D .不小于2二、填空题5.一元二次方程5x 2-4x=1的解为 .6.把方程2x 2+4x -1=0配方后得(x+m )2=k ,则m= ,k= .7.若一个三角形的两边长分别为2和3,第三边长是方程2x 2-3x -5=0的一个根,则这个三角形的周长为 .8.如图,在Rt △ABC 中,∠B=90°,AB=6厘米,BC=3厘米,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1厘米/秒的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向点C 以2厘米/秒的速度移动,到点C 停止运动,此时点P 也停止运动.如果点P ,Q 分别从A ,B 两点同时出发,则经过 秒后,P ,Q 两点间的距离为4√2厘米.三、解答题9.用配方法解下列方程:(1)2x2-4x-6=0;(2)2x2+2=5x;=0.(3)2x2+x-1210、求y2+4y+8的最小值.阅读下面的解答过程.解:y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)2+4.∵(y+2)2≥0,∴(y+2)2+4≥4,即y2+4y+8的最小值为4.仿照上面的解答过程,解答下列问题.(1)求m2+2m+4的最小值;(2)求4-x2+2x的最大值.答案[课堂达标] 1.D2.A [解析] 移项,得2x 2-3x=1,二次项系数化为1,得x 2-32x=12,配方,得x 2-32x+342=12+342, 即x -342=1716.故选A .3.D4.D [解析] m 2+n 2-6m -10n+36=m 2-6m+9+n 2-10n+25+2=(m -3)2+(n -5)2+2. ∵(m -3)2≥0,(n -5)2≥0, ∴(m -3)2+(n -5)2+2≥2,∴多项式m 2+n 2-6m -10n+36的值总是不小于2.故选D . 5.x 1=-15,x 2=16.1 32[解析] 把方程2x 2+4x -1=0配方得(x+1)2=32.∵把方程2x 2+4x -1=0配方后得(x+m )2=k , ∴m=1,k=32. 7.1528.25 [解析] 设t 秒后PQ=4√2, 则BP=6-t ,BQ=2t. ∵∠B=90°,∴BP 2+BQ 2=PQ 2, ∴(6-t )2+(2t )2=(4√2)2. 解得t=25或t=2. 由题意,得t ≤32,∴t=25.故答案为25.9.解:(1)原方程可化为x 2-2x -3=0, 移项、配方得x 2-2x+1=3+1,即(x -1)2=4, 两边开平方,得x -1=±2, ∴x 1=1+2=3,x 2=1-2=-1. (2)原方程可化为x 2-52x=-1. 配方,得x 2-52x+2516=916,即(x -54)2=916. 两边开平方,得x -54=±34, ∴x 1=2,x 2=12.(3)原方程可化为x 2+12x=14,配方,得x 2+12x+116=14+116,即x+142=516,两边开平方,得x+14=±√54, ∴x 1=-1+√54,x 2=-1-√54.。
北师大版九年级数学上册第二章 一元二次方程 专题复习练习题
北师大版九年级数学上册第二章一元二次方程专题复习练习题专题一、一元二次方程的解法1、用直接开平方法解方程：（1）x2﹣＝0；（2）2x2+3＝﹣2x2+4；（3）（2x﹣1）2﹣121＝0；（4）（2x+3）2 =（x﹣1）2．2、用配方法解方程：（1）x2﹣4x＝7；（2）2x2﹣4x-1＝0.（3）（4x﹣1）（3﹣x）＝5x+1．3、用因式分解法解方程：（1）2x2﹣5x=0；（2）（x﹣2）2＝3x﹣6；（3）4x2+1=-4x；（4）（x﹣1）（x+3）＝12．4、用公式法解方程：（1）x2x﹣14=0；（2）3x2＝4x+2．5、当x取何值时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数？专题二、一元二次方程的应用：增长率及利润问题1、某旅游景区今年5月份游客人数比4月份增加了44%，6月份游客人数比5月份增加了21%，求5月、6月游客人数的平均增长率．2、去年某商店“十一黄金周”进行促销活动期间，前六天的总营业额为450万元，第七天的营业额是前六天总营业额的12%．（1）求该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额；（2）去年，该商店7月份的营业额为350万元，8、9月份营业额的月增长率相同，“十一黄金周”这七天的总营业额与9月份的营业额相等．求该商店去年8、9月份营业额的月增长率．3、某种病毒传播非常快，如果一个人被感染，经过两轮感染后就会有81个人被感染．（1）请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一个人会感染几个人？（2）若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会不会超过700人？4、阿里巴巴电商扶贫对某贫困地区一种特色农产品进行网上销售，按原价每件300元出售，一个月可卖出100件，通过市场调查发现，单价每降低10元，月销售件数增加20件．已知该农产品的成本是每件200元，在保持月利润不变的情况下，尽快销售完毕，则售价应定为多少元？5、适逢中高考期间，某文具店平均每天可卖出30支2B铅笔，卖出1支铅笔的利润是1元，经调查发现，零售单价每降0.1元，每天可多卖出10支铅笔，为了使每天获取的利润更多，该文具店决定把零售单价下降x元（0＜x＜1）．（1）当x为多少时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元？（2）该文具店每天卖2B铅笔获取的利润可以达到50元吗？如果能，请求出x的值；如果不能，请说明理由．6、某科技公司为提高经济效益，近期研发一种新型设备，每台设备成本价为2万元．经过市场调研发现，该设备的月销售量y（台）和销售单价x（万元）对应的点（x，y）在函数y ＝kx+b的图象上，如图．（1）求y与x的函数关系式；（2）根据相关规定，此设备的销售单价不高于5万元，若该公司要获得80万元的月利润，则该设备的销售单价是多少万元？专题三、一元二次方程的应用：面积问题1、如图，有一块宽为16 m的矩形荒地，某公园计划将其分为A、B、C三部分，分别种植不同的植物．若已知A、B地块为正方形，C地块的面积比B地块的面积少40 m2，试求该矩形荒地的长．2、如图，幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，求四周未铺地毯的条形区域的宽度是多少米.3、在某校园建设过程中，规划将一块长18米，宽10米的矩形场地建设成绿化广场，如图，内部修建三条宽相等的小路，其中一条路与广场的长平行，另两条路与广场的宽平行，其余区域种植绿化，使绿化区域的面积为广场总面积的80%，求广场中间小路的宽．4、如图，用长为22米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为14米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1米的两扇小门．若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为多少？5、如图①，有一张长40cm，宽20cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图②的有盖纸盒．（1）若纸盒的高是3cm，求纸盒底面长方形的长和宽；（2）若纸盒的底面积是150cm2，求纸盒的高．图①图②6、如图所示，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点A出发，沿AB 边以1cm/s的速度向点B移动；点Q从点B出发，沿BC边以2cm/s的速度向点C移动．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，问：（1）经过几秒后，△PBQ的面积等于8cm2？（2）经过几秒后，P，Q两点间的距离是cm？专题1参考答案1.解：（1）x1＝，x2＝﹣．（2）x1＝，x2＝﹣．（3）x1＝6，x2＝﹣5．（4）x1=﹣4，x2=﹣2．解：（1）x1＝x2＝2．（2）x1＝1+，x2＝1﹣．（3）x1＝x2＝1．3．解：（1）x1＝0，x2＝52．（2）x1＝2，x2＝5．（3）x1＝x2＝-．（4）x1＝3，x2＝﹣5．4．解：（1）x1＝，x2＝．（2）x1＝，x2＝．5．解：根据题意，得3x2+6x﹣8+1﹣2x2＝0，整理，得x2+6x﹣7＝0，则（x+7）（x﹣1）＝0，∴x+7＝0或x﹣1＝0，解得x1＝﹣7，x2＝1．∴当x取﹣7或1时，代数式3x2+6x﹣8的值与1﹣2x2的值互为相反数．专题2答案：1．解：设5月、6月游客人数的平均增长率是x，依题意有（1+x）2＝（1+44%）×（1+21%），解得：x1＝32%，x2＝﹣2.32（舍去）．答：5月、6月游客人数的平均增长率是32%．2．解：（1）450+450×12%＝504（万元）．答：该商店去年“十一黄金周”这七天的总营业额为504万元（2）设该商店去年8、9月份营业额的月增长率为x，依题意，得：350（1+x）2＝504，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：该商店去年8、9月份营业额的月增长率为20%．3．解：（1）设每轮感染中平均一个人会感染x个人，依题意，得：1+x+x（1+x）＝81，解得：x1＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮感染中平均一个人会感染8个人．（2）81×（1+8）＝729（人），729＞700．答：若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的人会超过700人．4．解：当售价为300元时月利润为（300﹣200）×100＝10000（元）．设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣200）元，月销售量为100+＝（700﹣2x）件，依题意，得：（x﹣200）（700﹣2x）＝10000，整理，得：x2﹣550x+75000＝0，解得：x1＝250，x2＝300（舍去）．答：售价应定为250元．5．解：（1）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝40，整理得：10x2﹣7x+1＝0，解得：x1＝0.2，x2＝0.5．答：当x为0.2或0.5时，才能使该文具店每天卖2B铅笔获取的利润为40元．（2）根据题意得：（1﹣x）（100x+30）＝50，整理得10x2﹣7x+2＝0， ＝b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×10×2＝﹣31＜0．答：该文具店每天卖2B铅笔获取的利润不可以达到50元．6．解：（1）依题意有，解得．故y与x的函数关系式是y＝﹣10x+80．（2）设该设备的销售单价为x万元/台，依题意有（x﹣2）（﹣10x+80）＝80，整理方程，得x2﹣10x+24＝0．解得x1＝4，x2＝6．∵此设备的销售单价不高于5万元，∴x2＝6（舍去），∴x＝4．答：该设备的销售单价是4万元．专题3答案：1．解：设B地块的边长为x m，根据题意得：x2﹣x（16﹣x）＝40，解得：x1＝10，x2＝﹣2（不符题意，舍去），∴10+16＝26 m．答：矩形荒地的长为26 m．2．解：设四周未铺地毯的条形区域的宽度是x m，依题意，得：（8﹣2x）（5﹣2x）＝18，整理，得2x2﹣13x+11＝0，解得x1＝1，x2＝．又∵5﹣2x＞0，∴x＜，∴x＝1．答：四周未铺地毯的条形区域的宽度是1 m．3．解：设广场中间小路的宽为x米，依题意，得：（18﹣2x）（10﹣x）＝18×10×80%，整理，得：x2﹣19x+18＝0，解得：x1＝1，x2＝18．又∵18﹣2x＞0，∴x＜9，∴x＝1．答：广场中间小路的宽为1米4．解：设AB＝x米，则BC＝（22﹣3x+2）米，依题意，得：x（22﹣3x+2）＝45，整理，得：x2﹣8x+15＝0，解得：x1＝3，x2＝5．当x＝3时，22﹣3x+2＝15＞14，不合题意，舍去；当x＝5时，22﹣3x+2＝9，符合题意．答：若花圃的面积刚好为45平方米，则此时花圃的AB段长为5米．5．解：（1）纸盒底面长方形的长为（40﹣2×3）÷2＝17（cm），纸盒底面长方形的宽为20﹣2×3＝14（cm）．答：纸盒底面长方形的长为17cm，宽为14cm．（2）设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是150cm2，依题意，得×（20﹣2x）＝150，化简，得：x2﹣30x+125＝0，解得x1＝5，x2＝25．当x＝5时，20﹣2x＝10＞0，符合题意；当x＝25时，20﹣2x＝﹣30＜0，不符合题意，舍去．答：若纸盒的底面积是150 cm2，则纸盒的高为5 cm．6．解：（1）设经过x秒后，△PBQ的面积等于8 cm2，则BP＝（6﹣x）cm，BQ＝2x cm，依题意，得（6﹣x）×2x＝8，化简，得x2﹣6x+8＝0，解得x1＝2，x2＝4．答：经过2秒或4秒后，△PBQ的面积等于8 cm2．（2）设经过y秒后，P，Q两点间距离是cm，则BP＝（6﹣y）cm，BQ＝2y cm，依题意，得：（6﹣y）2+（2y）2＝（）2，化简，得：5y2﹣12y﹣17＝0，解得：y1＝，y2＝﹣1（不合题意，舍去）．答：经过秒后，P，Q两点间的距离是cm．。
北师大版九年级数学上册第二章《一元二次方程》训练试题和答案
九上专题训练《一元二次方程》含答案一．选择题（共8小题）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣+1＝0 B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝02．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝23．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6 B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣25．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．20216．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8 7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a （x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5 8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣二．填空题（共5小题）9．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝，x1＝，x2＝．10．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，当m＝时为一元二次方程．11．填上适当的数，使下列各式配方成立：（1）x2﹣x+ ＝（x﹣）2；（2）x2+ +＝（x+ ）2；（3）x2﹣2x+ ＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x﹣）2﹣．12．若m为实数，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是．13．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝．三．解答题（共8小题）14．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0；（2）用公式法解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5．15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．16．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝，＝，＝；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．17．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10 ∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝ 1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范图；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．专题训练：一元二次方程参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（）A．2x2﹣+1＝0 B．（x+2）（2x﹣1）＝2x2C．5x2﹣1＝0 D．ax2+bx+c＝0【解答】解：A，2x2﹣+1＝0，不是整式方程，故不是一元二次方程；B，原方程变形为：3x﹣2＝0，故不是一元二次方程；C，5x2﹣1＝0是一元二次方程；D，ax2+bx+c＝0，当a＝0时，不是一元二次方程；故选：C．2．用配方法解方程x2﹣6x﹣7＝0，下列配方正确的是（）A．（x﹣3）2＝16 B．（x+3）2＝16 C．（x﹣3）2＝7 D．（x﹣3）2＝2 【解答】解：由原方程移项，得x2﹣6x＝7，等式两边同时加上一次项系数一半的平方32，得x2﹣6x+32＝7+32，∴（x﹣3）2＝16；故选：A．3．利用求根公式求的根时，a，b，c的值分别是（）A．5，，6 B．5，6，C．5，﹣6，D．5，﹣6，﹣【解答】解：由原方程，得5x2﹣6x，根据一元二次方程的定义，知二次项系数a＝5，一次项系数b＝﹣6，常数项c＝；故选：C．4．已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是（）A．k≥﹣2 B．k≥﹣2且k≠﹣1 C．k≥2 D．k≤﹣2【解答】解：根据题意得k+1≠0且△＝22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，解得k≥﹣2且k≠﹣1．故选：B．5．a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式a3+2a2+2018的值是（）A．2018 B．2019 C．2020 D．2021【解答】解：由题意可知：a2+a﹣1＝0，∴a2+a＝1，∴原式＝a3+a2+a2+2018＝a（a2+a）+a2+2018＝a+a2+2018，＝1+2018＝2019，故选：B．6．若（a2+b2﹣3）2＝25，则a2+b2＝（）A．8或﹣2 B．﹣2 C．8 D．2或﹣8【解答】解：由（a2+b2﹣3）2＝25，得a2+b2﹣3＝±5，所以a2+b2＝3±5，解得a2+b2＝8或a2+b2＝﹣2（不合题意，舍去）．故选：C．7．已知一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，则方程a （x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为（）A．1，5 B．﹣1，3 C．﹣3，1 D．﹣1，5【解答】解：∵一元二次方程a（x+m）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣3，1，∴方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）中x﹣2＝﹣3或x﹣2＝1，解得：x＝﹣1或3，即方程a（x+m﹣2）2+n＝0（a≠0）的两根分别为﹣1和3，故选：B．8．《代数学》中记载，形如x2+10x＝39的方程，求正数解的几何方法是：“如图1，先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为39+25＝64，则该方程的正数解为8﹣5＝3．”小聪按此方法解关于x的方程x2+6x+m＝0时，构造出如图2所示的图形，已知阴影部分的面积为36，则该方程的正数解为（）A．6 B．3﹣3 C．3﹣2 D．3﹣【解答】解：x2+6x+m＝0，x2+6x＝﹣m，∵阴影部分的面积为36，∴x2+6x＝36，4x＝6，x＝，同理：先构造一个面积为x2的正方形，再以正方形的边长为一边向外构造四个面积为x的矩形，得到大正方形的面积为36+（）2×4＝36+9＝45，则该方程的正数解为﹣3＝3﹣3．故选：B．二．填空题（共8小题）9．用公式法解方程2x2﹣7x+1＝0，其中b2﹣4ac＝41 ，x1＝，x2＝．【解答】解：2x2﹣7x+1＝0，a＝2，b＝﹣7，c＝1，∴b2﹣4ac＝（﹣7）2﹣4×2×1＝41，∴x＝＝，∴x1＝，x2＝，故答案为：41，，．10．关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，当m＝﹣1 时为一元二次方程．【解答】解：∵关于x的方程（m2﹣1）x3+（m﹣1）x2+2x+6＝0，为一元二次方程，∴，解得：m＝﹣1．11．填上适当的数，使下列各式配方成立：（1）x2﹣x+＝（x﹣）2；（2）x2+ p +＝（x+）2；（3）x2﹣2x+＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x﹣ 3 ）2﹣13 ．【解答】解：（1）x2﹣x+＝（x﹣）2；（2）x2+p+＝（x+）2；（3）x2﹣2x+＝（x2﹣x+）＝（x﹣）2；（4）2x2﹣12x+5＝2（x2﹣6x+9﹣9）+5＝2（x﹣3）2﹣13．故答案为：（1），；（2）p，；（3），；（4）3，13．12．若m为实数，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是．【解答】解：解方程x2+3x﹣3＝0的根是x＝，方程x2﹣3x+m＝0的一个根的相反数是方程x2+3x﹣3＝0的一个根，因而方程x2+3x﹣3＝0的一个根的相反数是方程x2﹣3x+m＝0的一个根，则x2﹣3x+m＝0的根是﹣即．故本题答案为x2﹣3x+m＝0的根是．13．对于实数p、q，我们用符号min{p，q}表示p、q两数中较小的数，如min{1，2}＝1，若min{（x﹣1）2，x2}＝1，则x＝2或﹣1 ．【解答】解：∵min{（x﹣1）2，x2}＝1，当x＝0.5时，x2＝（x﹣1）2，不可能得出最小值为1，∴当x＞0.5时，（x﹣1）2＜x2，则（x﹣1）2＝1，x﹣1＝±1，x﹣1＝1，x﹣1＝﹣1，解得：x1＝2，x2＝0（不合题意，舍去），当x＜0.5时，（x﹣1）2＞x2，则x2＝1，解得：x1＝1（不合题意，舍去），x2＝﹣1，综上所述：x的值为：2或﹣1．故答案为：2或﹣1．三．解答题（共8小题）14．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2﹣3x﹣3＝0；（2）用公式法解方程：（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5．【解答】解：（1）x1＝+，x2＝﹣．（2）（x+1）（x﹣3）＝2x﹣5，由原方程，得x2﹣4x+2＝0，则a＝1，b＝﹣4，c＝2，所以x＝＝2±，故x1＝2﹣，x2＝2+．15．当m是何值时，关于x的方程（m2+2）x2+（m﹣1）x﹣4＝3x2（1）是一元二次方程；（2）是一元一次方程；（3）若x＝﹣2是它的一个根，求m的值．【解答】解：原方程可化为（m2﹣1）x2+（m﹣1）x﹣4＝0，（1）当m2﹣1≠0，即m≠±1时，是一元二次方程；（2）当m2﹣1＝0，且m﹣1≠0，即m＝﹣1时，是一元一次方程；（3）x＝﹣2时，原方程化为：2m2﹣m﹣3＝0，解得，m1＝，m2＝﹣1．16．阅读下列材料：（1）关于x的方程x2﹣3x+1＝0（x≠0）方程两边同时乘以得：即，，（2）a3+b3＝（a+b）（a2﹣ab+b2）；a3﹣b3＝（a﹣b）（a2+ab+b2）．根据以上材料，解答下列问题：（1）x2﹣4x+1＝0（x≠0），则＝ 4 ，＝14 ，＝194 ；（2）2x2﹣7x+2＝0（x≠0），求的值．【解答】解；（1）∵x2﹣4x+1＝0，∴x+＝4，∴（x+）2＝16，∴x2+2+＝16，∴x2+＝14，∴（x2+）2＝196，∴x4++2＝196，∴x4+＝194．故答案为4，14，194．（2）∵2x2﹣7x+2＝0，∴x+＝，x2+＝，∴＝（x+）（x2﹣1+）＝×（﹣1）＝．17．阅读下列两则材料，回答问题材料一：我们将（+）与（﹣）称为一对“对偶式”因为（+）（﹣）＝（）2﹣（）2＝a﹣b，所以构造“对俩式”相乘可以有效地将（+）和（﹣）中的“”去掉例如：已知﹣＝2，求+的值．解：（﹣）×（+）＝（25﹣x）﹣（15﹣x）＝10 ∵﹣＝2，∴+＝5材料二：如图，点A（x1，y1），点B（x2，y2），以AB为斜边作Rt△ABC，则C（x2，y1），于是AC＝|x1﹣x2|，BC＝|y1﹣y2|，所以AB＝ 1反之，可将代数式的值看作点（x1，y1）到点（x2，y2）的距离．例如＝＝＝．所以可将代数式的值看作点（x，y）到点（1，﹣1）的距离．（1）利用材料一，解关于x的方程：﹣＝2，其中x≤4；（2）①利用材料二，求代数式的最小值，并求出此时y与x的函数关系式，写出x的取值范图；②将①所得的y与x的函数关系式和x的取值范围代入y＝+中解出x，直接写出x的值．【解答】解：（1）根据材料一；∵（﹣）×（+）＝（20﹣x）﹣（4﹣x）＝16∵﹣＝2，∴+＝8，∴＝5＝3∴解得：x＝﹣5∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）（2）①解：由材料二知：＝\sqrt{{（x}^{2}﹣2x+1）+（{y}^{2}﹣16y+64）}＝＝\sqrt{{（x}^{2}+4x+4）+（{y}^{2}﹣4y+4）}＝＝．∴可将的值看作点（x，y）到点（1，8）的距离的值看作点（x，y）到点（﹣2，2）的距离∴＝+．∴当代数式取最小值即点（x，y）与点（1，8），（﹣2，2）在同一条直线上，并且点（x，y）位点（1，8）（﹣2，2）的中间∴的最小值＝＝＝3且﹣2≤x≤1设过（x，y），（1，8），（﹣2，2）的直线解析式为：y＝kx+b∴解得：∴y＝2x+6（﹣2≤x≤1）②：∵y＝+中∵y＝2x+6∴+＝2x+6 ①又∵（+）（﹣）＝2x2+5x+12﹣（2x2+3x+6）＝2x+6∴﹣＝1 ②由①+②式得：＝x+解得：x1＝＞1（舍）x2＝∴x 的值为1﹣。
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案
北师大版九年级数学上册《第二章 一元二次方程》章节测试卷-带答案知识点总结：①配方法和十字叉乘法求解一元二次方程{二次项系数为±1二次项系数不是±1配方法：(a±b)2=a2+b2±2ab十字叉乘法：化简成(x±a)(x±b)=0的形式，解得x=∓a或∓b②公式法求解一元二次方程公式法：x=−b±√b2−4ac2a③因式分解法求解一元二次方程因式分解法：{(a±b)2=a2+b2±2ab a2−b2=(a−b)(a+b)④一元二次方程的根与系数的关系关系：x1+x2=−ba ；x1∙x2=ca⑤应用一元一次方程应用题第二章一元二次方程测试1（拔高题）1、下列方程为一元二次方程，求a的取值范围或者具体值：①2ax2−2bx+a=4x2②(a−1)x|a|+1−2x−7=0③ax2+6x+1=0没有实数根2、已知一元二次方程x2+k+3=0有一个根为1，则k的值为.3、已知一元二次方程为5x2+x=0，其中二次项系数为，一次项系数为，常数项为，x1x2=，x1+x2=.x2+3x−2=0 的两根，则(x1−x2)2的值为.4、设x1与x2为一元二次方程−125、关于x的一元二次方程x2−(k−3)x−k+1=0根的情况，下列说法正确的是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．实数根的个数由k的值确定6、已知关于x的一元二次方程x2+2mx+m2−m=0的两实数根为x1，x2，且满足x1x2=2，则x1+x2的值为（）A．4B．−4C．4或−2D．−4或27、配方法解方程x2+6x+9=23x2−2=5x8、公式法解方程(x−2)(3x−5)=19x2+6x+1=49、直接开平方法解方程2(x−1)2 −18=010、因式分解法解方程3x(x−1)=3(x+2)(1−x)3(4−x)2=x2−16(1−2x)(x−8)=8x−411、如图，在矩形ABCD 中，AB =10 cm ，AD =8 cm ，点P 从点A 出发沿AB 以2cm /s 的速度向点B 运动，同时点Q 从点B 出发沿BC 以1cm /s 的速度向点C 运动，点P 到达终点后，P ，Q 两点同时停止运动。
北师大版九年级上册数学解一元二次方程专项练习
北师大版九年级上册数学解一元二次方程专项练习百度文库-让每个人平等地提升自我本文为解一元二次方程专项练题。
以下是题目及答案：1、用配方法解下列方程：12x+25=2x+4x=10x+2211(4)x-2x-4=(3)x-6x=22答案：1) x=3/2 or x=-4/32) x=3 or x=-1/73) x=5/6 or x=-4/34) x=3 or x=-22、用配方法解下列方程：1) 6x^2-7x+1=03) 4x^2-3x=52答案：1) x=1/2 or x=4/33) x=4 or x=-13/23、用公式法解下列方程：1) 2x^2-9x+8=02) 5x^2-18=9x3) 16x^2+8x=34) 5x^2=4-2x答案：1) x=1 or x=4/22) x=3 or x=-3/53) x=1/4 or x=-1/24) x=2/5 or x=-14、运用公式法解下列方程:1=(2)x+6x+9=7(1)5x+2x-3) 5x+2=3x4) (x-2)(3x-5)=12答案：1) x=-3 or x=-22) x=-3/2 or x=1/33) x=2/3 or x=-54) x=2 or x=3/55、用分解因式法解下列方程：1) 9x^2+6x+1=03) (2x+3)^2=4(2x+3)答案：1) x=-1/3 or x=-1/33) x=-1/2 or x=-5/26、用适当方法解下列方程：1) (3-x)^2+x^2=52) 3x(x-1)=2-2x3) (3x-11)(x-2)=24) 2(x-3)^2=x^2-9答案：1) x=1 or x=-12) x=1/5 or x=-2/33) x=11/4 or x=3/24) x=-3 or x=57、解下列关于x的方程: 1) x^2+2x-2=02) 3x^2+4x-7=03) (x+3)(x-1)=5答案：1) x=-1+sqrt(3) or x=-1-sqrt(3)2) x=(-2+sqrt(19))/3 or x=(-2-sqrt(19))/33) x=2 or x=-48、解下列方程：1) (x-1)^2=43) 3x^2+5(2x+1)=0答案：1) x=3 or x=-13) x=-5/3 or x=-1/39、用适当方法解下列方程：1) x(x-14)=02) x^2+23x+3=03) x^2=x+564) x(5x+4)=5x+45) 4x-45=31x6) -3x+22x-24=227) (x+8)(x+1)=-128) (3x+2)(x+3)=x+14答案：1) x=0 or x=142) x=-23+sqrt(457) or x=-23-sqrt(457)3) x=8 or x=-74) x=1 or x=-1/55) x=-7/36) x=24/197) No real ns8) x=1/2 or x=-4/31.x1=143.x2=±(2-6i)。
北师大版九年级数学上册--第二单元2.1 认识一元二次方程 练习题(含答案)
2.1 认识一元二次方程一、判断题（下列方程中是一元二次方程的在括号内划“√”，不是一元二次方程的，在括号内划“×”）（ ）1. 5x 2+1=0 （ ）2. 3x 2+x1+1=0（ ）3. 4x 2=ax(其中a 为常数) （ ）4. 2x 2+3x=0（ ）5. 5132+x =2x （ ）6. 22)(x x + =2x（ ）7. ｜x 2+2x ｜=4二、填空题1. 一元二次方程的一般形式是____________________。
2. 将方程－5x 2+1=6x 化为一般形式为____________________。
3. 将方程(x+1)2=2x 化成一般形式为____________________。
4. 方程2x 2=－8化成一般形式后，一次项系数为__________，常数项为__________。
5. 方程5(x 2－2x+1)=－32x+2的一般形式是____________________，其二次项是__________，一次项是__________，常数项是__________。
6. 若ab ≠0，则a 1x 2+b 1x=0的常数项是__________。
7. 如果方程ax 2+5=(x+2)(x －1)是关于x 的一元二次方程，则a 的取值范围是_______。
8. 关于x 的方程(m －4)x 2+(m+4)x+2m+3=0，当m_____时，是一元二次方程，当m_____时，是一元一次方程。
9、若方程2231kx x x +=+是一元二次方程，则k 的取值范围是。
10、方程214y y --=-化为一般形式后，二次项系数是 ，一次项系数是，常数项是。
11、 若2950ax x -+=是一元二次方程，则不等式360a +>的解集是。
三、选择题1. 下列方程中，不是一元二次方程的是（ ）A. 2x 2+7=0B. 2x 2+23x+1=0C. 5x 2+x1+4=0 D. 3x 2+(1+x) 2+1=0 2. 方程x 2－2(3x －2)+(x+1)=0的一般形式是（ ）A. x 2－5x+5=0B. x 2+5x+5=0C. x 2+5x －5=0D. x 2+5=0 3. 一元二次方程7x 2－2x=0的二次项、一次项、常数项依次是（ ）A. 7x 2,2x,0B. 7x 2,－2x ，无常数项C. 7x 2,0,2xD. 7x 2,－2x,0 4. 方程x 2－3=(1－2)x 化为一般形式，它的各项系数之和可能是（ ）A.2B.－2C.32-D.3221-+5. 若关于x 的方程a(x －1)2=2x 2－2是一元二次方程，则a 的值是（ ）A. 2B. －2C. 0D. 不等于2 6. 关于x 2=－2的说法，正确的是（ ）A.由于x 2≥0，故x 2不可能等于－2，因此这不是一个方程B.x 2=－2是一个方程，但它没有一次项，因此不是一元二次方程C.x 2=－2是一个一元二次方程D.x 2=－2是一个一元二次方程，但不能解 7、下列方程中，不是整式方程的是（ ）A ．21523x x +=B 3720x +-=C ．2213x x+=D ．1725x -=8、下列各方程中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．234x x m =+B ．280ax -=C ．20x y +=D ．560xy x -+=9、若方程2(1)1m x -+=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（）A ．1m ≠B ．m ≥0C ．0m ≥且1m ≠D ．m 为任意实数 10、下列各方程中属于一元二次方程的是（ ）（1）214yy -= （2）22t = （3）213x =（40= （5）325x x -= （6）22(1)20x x ++-=A ．（1）（2）（3）B ．（2）（3）（4）C ．（1）（2）（6）D ．（1）（2）11、关于x 的一元二次方程22(32)0x m x n n ---=中，二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） Ａ．1，3mn ，22mn n - Ｂ．1，3m -，22mn n - Ｃ．1，m -，2n - Ｄ．1，3m ，22mn n -四、填表2.1 认识一元二次方程参考答案一、1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.√二、1. ax 2+bx+c=0(a ≠0) 2. 5x 2+6x －1=0 3. x 2+1=0 4. 0 85. 5x 2－22x+3=0；5x 2；－22x ；36. 07. ≠18. ≠4 =49.3k ≠ 10.1，4-，1 11.答案：2a >-且0a ≠三、1.C 2.A 3.D 4.C 5.D 6.D 7. C 8.A 9.C 10.D 11.B。
北师大版九年级数学第二章一元二次方程2.1--2.3课时练习题(含答案)
第1课时 用配方法解简单的一元二次方程1．一元二次方程x 2－16＝0的根是( )A ．x ＝2B ．x ＝4C ．x 1＝2，x 2＝－2D ．x 1＝4，x 2＝－4 2．对于形如(x ＋m )2＝n 的方程，下列说法正确的是( )A ．可以直接开平方得x ＝－m ±nB ．可以直接开平方得x ＝－n ±mC ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－m ±nD ．当n ≥0时，直接开平方得x ＝－n ±m 3．一元二次方程(x ＋6)2－9＝0的解是( )A ．x 1＝6，x 2＝－6B ．x 1＝x 2＝－6C ．x 1＝－3，x 2＝－9D ．x 1＝3，x 2＝－9 4．已知关于x 的一元二次方程(x ＋1)2－m ＝0有实数根，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥－34B ．m ≥0C ．m ≥1D ．m ≥25．若一元二次方程(x ＋6)2＝5可转化为两个一次方程，其中一个一次方程是x ＋6＝ 5，则另一个一次方程是________________．6．若把x 2＋2x －2＝0化为(x ＋m )2＋k ＝0的形式(m ，k 为常数)，则m ＋k 的值为( ) A ．－2 B ．－4 C ．2 D ．47．用配方法解关于x 的方程x 2＋px ＋q ＝0时，方程可变形为( ) A ．(x ＋p2)2＝p 2－4q4 B ．(x ＋p2)2＝4q －p 24 C ．(x －p 2)2＝p 2－4q 4 D ．(x －p 2)2＝4q －p248．代数式x 2＋4x ＋7的最小值是________．9．若一元二次方程ax 2＝b (ab ＞0)的两个根分别是m ＋1与2m －4，则b a＝________． 10．小明用配方法解一元二次方程x 2－4x －1＝0的过程如下所示：解：x 2－4x ＝1，① x 2－4x ＋4＝1，② (x －2)2＝1，③ x －2＝±1，④ x 1＝3，x 2＝1.⑤ (1)小明解方程的方法是________，他的求解过程从第________步开始出现错误，这一步的运算依据应该是____________________；(2)解这个方程．11．用直接开平方法解下列方程：(1)(2x ＋1)2－6＝0； (2)(x －2)2＋4＝0. (3)x 2＋4x －2＝0； (4)x 2－x －1＝0；(5)x 2－3x ＝3x ＋7； (6)x 2＋2x ＋2＝6x ＋4.7．若a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0，求a 2－b 2的值．8．定义一种运算“*”：当a ≥b 时，a *b ＝a 2＋b 2；当a ＜b 时，a *b ＝a 2－b 2，则方程x *2＝12的解是________．20．将4个数a ，b ，c ，d 排成两行两列，两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ，我们将其称为二阶行列式，并定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ＝ad －bc .若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 1－x x －1 x ＋1＝6，则x ＝________． 公式法1．用公式法解－x 2＋3x ＝1时，需先求出a ，b ，c 的值，则a ，b ，c 依次为( ) A ．－1，3，－1 B ．1，－3，－1 C ．－1，－3，－1 D ．－1，3，12．用公式法解方程：(1)x 2－2x ＝1； (2)4x 2－3＝12x . (3)3x 2＋4x －4＝0； (4)2x 2＋1＝4x.3．2017·广元方程2x 2－5x ＋3＝0的根的情况是( )A ．有两个相等的实数根B ．有两个不相等的实数根C ．无实数根D ．两根异号 4．2017·安顺若关于x 的方程x 2＋mx ＋1＝0有两个不相等的实数根，则m 的值可以是( ) A ．0 B ．－1 C ．2 D ．－35．2017·长春若关于x 的一元二次方程x 2＋4x ＋a ＝0有两个相等的实数根，则a 的值是________． 6．2017·潍坊若关于x 的一元二次方程kx 2－2x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围是________． 7．已知关于x 的方程x 2＋2 kx －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是( )A ．k ≥0B ．k ＞0C ．k ≥－1D ．k ＞－1 8．关于x 的一元二次方程x 2＋4kx －1＝0的根的情况是( )A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．没有实数根D ．无法判断12．已知三角形两边的长分别是3和4，第三边的长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长是( )A ．14B ．12C ．12或14D ．以上都不对13．2017·通辽若关于x 的一元二次方程(k ＋1)x 2＋2(k ＋1)x ＋k －2＝0有实数根，则k 的取值范围在数轴上表示正确的是( )图2－3－114．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》有这么一道题：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何．”意思是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步．经过计算，你的结论是：长比宽多( )A ．12步B ．24步C ．36步D ．48步15．若在实数范围内定义一种运算“*”，使a *b ＝(a ＋1)2－ab ，则方程(x ＋2)*5＝0的解为( ) A ．x ＝－2 B ．x 1＝－2，x 2＝3C ．x 1＝－1＋32，x 2＝－1－32D ．x 1＝－1＋52，x 2＝－1－5216．已知关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根，求m 的值．17．已知关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0.(1)当m 取何值时，方程有两个不相等的实数根？(2)为m 选取一个合适的整数值，使方程有两个不相等的实数根，并求出这两个根．18证明：关于x的方程(a2－8a＋20)x2＋2ax＋1＝0，不论a为何值，该方程都是一元二次方程．19．已知关于x的一元二次方程(a＋c)x2＋2bx＋(a－c)＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长．(1)如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(2)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；(3)如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．20.在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6 cm，BC＝8 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q 从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．点P，Q分别从点A，B同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动．(1)经过几秒钟，△PBQ的面积为8 cm2?(2)经过几秒钟，P，Q两点间的距离为53 cm?1．A . 2．D ． 3．B 4．C [5．解：(1)x 2－2x －1＝0，x ＝2±（－2）2－4×1×（－1）2×1＝1±2，∴x 1＝1＋2，x 2＝1－ 2. (2)4x 2－12x －3＝0，x ＝12±（－12）2－4×4×（－3）2×4＝12±8 38 ＝3±2 32， ∴x 1＝32＋3，x 2＝32－ 3.6．B 7．D . 8．49．k ≤1且k ≠0 10．A 11．A ． 12．B13．A 14．A 15．D16．解：∵关于x 的方程x 2＋(2m －1)x ＋4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝(2m －1)2－4×1×4＝0，∴2m －1＝±4， ∴m ＝52或m ＝－32.17．解：(1)∵关于x 的一元二次方程x 2－2(m ＋1)x ＋m 2＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＞0，即[－2(m ＋1)]2－4m 2＞0， 解得m ＞－12.(2)∵m ＞－12，∴可取m ＝0，此时方程为x 2－2x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2.(答案不唯一) 18．解：(1)△ABC 是等腰三角形． 理由：∵x ＝－1是方程的根，∴(a ＋c )×(－1)2＋2b ×(－1)＋(a －c )＝0， ∴a ＋c －2b ＋a －c ＝0，∴a －b ＝0， 即a ＝b ，∴△ABC 是等腰三角形． (2)△ABC 是直角三角形．理由：∵方程有两个相等的实数根， ∴(2b )2－4(a ＋c )(a －c )＝0， ∴4b 2－4a 2＋4c 2＝0， 即a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形． (3)当△ABC 是等边三角形时，(a ＋c )x 2＋2bx ＋(a －c )＝0可整理为2ax 2＋2ax ＝0， ∴x 2＋x ＝0， 解得x 1＝0，x 2＝－1.详解1．D 2.C3．C [解析] (x ＋6)2＝9，∴x ＋6＝±3， ∴x 1＝－3，x 2＝－9.故选C. 4．B5．x ＋6＝－ 5 [解析] 直接开平方，得x ＋6＝± 5. 6．解：(1)移项，得(2x ＋1)2＝6，直接开平方，得2x ＋1＝±6，即2x ＝－1±6， 解得x 1＝－1＋62，x 2＝－1－62.(2)移项，得(x －2)2＝－4， ∵(x －2)2≥0，－4＜0， ∴该方程无实数根．7．B [解析] x 2＋2x －5＝0，x 2＋2x ＝5，x 2＋2x ＋1＝5＋1，(x ＋1)2＝6.故选B. 8．D9．B [解析] 由x 2－4x ＋p ＝(x ＋q )2＝x 2＋2qx ＋q 2，得2q ＝－4，p ＝q 2， 解得p ＝4，q ＝－2.10．a 1＝2＋11，a 2＝2－11 11．解：(1)移项，得x 2＋4x ＝2. 配方，得x 2＋4x ＋4＝6. 整理，得(x ＋2)2＝6， ∴x ＋2＝±6，即x 1＝－2＋6，x 2＝－2－ 6. (2)移项，得x 2－x ＝1. 配方，得x 2－x ＋14＝54.整理，得(x －12)2＝54，∴x －12＝±52，即x 1＝1＋52，x 2＝1－52.(3)原方程可化为x 2－6x ＝7. 配方，得x 2－6x ＋9＝7＋9. 整理，得(x －3)2＝16， ∴x －3＝±4， 即x 1＝7，x 2＝－1.(4)移项，得x 2＋2x －6x ＝4－2. 合并同类项，得x 2－4x ＝2. 配方，得x 2－4x ＋22＝2＋22. 整理，得(x －2)2＝6，所以x －2＝6或x －2＝－6， 即x 1＝2＋6，x 2＝2－ 6.12．A [解析] x 2＋2x ＝2，x 2＋2x ＋1＝3，(x ＋1)2＝3，所以m ＝1，k ＝－3，所以m ＋k ＝1－3＝－2. 故选A.13．A [解析] 首先进行移项，再进行配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可变形成左边是完全平方式，右边是常数的形式．14．3 [解析] x 2＋4x ＋7＝x 2＋4x ＋4＋3＝(x ＋2)2＋3≥3，则原式的最小值为3. 15．4 [解析] 利用直接开平方法得到x ＝±ba，得到方程的两个根互为相反数，所以m ＋1＋2m －4＝0，解得m ＝1，则方程的两个根分别是2与－2，则有b a ＝2，然后两边平方得到ba＝4. 16．解：(1)小明解方程的方法是配方法，他的求解过程从第②步开始出现错误，这一步的运算依据应该是等式的基本性质．故答案为：配方法，②，等式的基本性质． (2)x 2－4x ＝1，x 2－4x ＋4＝1＋4，(x －2)2＝5，x －2＝±5， x ＝2±5，∴x 1＝2＋5，x 2＝2－ 5.17．解：∵a 2＋2a ＋b 2－6b ＋10＝0， ∴(a 2＋2a ＋1)＋(b 2－6b ＋9)＝0，即(a ＋1)2＋(b －3)2＝0， ∴a ＝－1，b ＝3，∴a 2－b 2＝(－1)2－32＝－8. 18．解：设道路的宽为x m ， 由题意得(32－2x )(20－x )＝570， 整理，得x 2－36x ＋35＝0， 解得x 1＝1，x 2＝35.∵x ＝35＞20，∴不合题意，舍去． 答：道路的宽为1 m.19．x 1＝2 2，x 2＝－4 [解析] 当x ≥2时，x *2＝x 2＋22＝12， 解得x 1＝2 2，x 2＝－2 2. 因为x ≥2，所以x ＝22； 当x ＜2时，x *2＝x 2－22＝12， 解得x 1＝4，x 2＝－4. 因为x ＜2，所以x ＝－4.综上可知，方程的解为x 1＝2 2，x 2＝－4.20．± 2 [解析] 定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ＝ad －bc ，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 1－x x －1 x ＋1＝6， 则(x ＋1)2－(x －1)(1－x )＝6， 化简得x 2＝2， 即x ＝± 2.。
九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》测试题-北师大版(含答案)
九年级数学上册第二十一章《一元二次方程》测试题-北师大版（含答案）（满分120分）一、选择题（每题3分，共30分）1.方程（x+1）（x-1）=0的根是（）A. x1=x²=1B. x1= x²=-1C. x1=1，x²=-1D. x1=1，x²=02.一元二次方程x²-2x-5 =0用配方法解可变形为（）A. （x+1）2=6B. （x+2）2=9C. （x-1）2=6D. （x-2）2=93.方程x²-2x+3 =0的根的情况是：（）A.有两个相等的实数根7B.无实C.有两个不相等的实数根D.只有一个实根4.关于x的一元二次方程（a-1）x²+x+a2-1 =0有一个根为0，则a的值为（）A.1B.-1C.+1D.05.一个等腰三角形的两边是方程x²-6x+8=0的两根，则这个三角形的周长为（）A.8B.10 DBC.8或10D. 66.方程x-2x+m=0有两个相等的实数解，则m的值为（）A.1B.-1C.2D. -27.以1，3为根的一元二次方程是.（）A. x²+4x+3=0B. x²-4x+3=0C. x²+4x-3=0D. -x²+4x+3=08.两个连续偶数的积为120，若设较小的偶数为x，则可列方程（）A. x（x+1）=120B. x（x+2）=120C. x（x-1）=120D. x（x-2）=1209.一个长方形的长比宽多1，面积为12，则长方形的宽为（）A.3B.4C.523D.610.在某次会议中，每两人都握了一次手，共握手10次，设有x人参加会议，则可列方程为（）A. x（x+1）=10B. x（x-1）= 10C. 12（x+1）=10D. 12（x-1）=10二、填空题（每题4分，共28分）11.方程x²=1的解为。
12. 已知m和n是方程3x²-6x-9=0的两根，则m +n= .13.已知代数式x²与2x-1的值相等，则x的值为.14.如果关于x的一元二次方程x²+2x-m=0没有实根，那么m的取值范围是.15.若关于x的方程x²+mx-3=0有一个根为2，则m的值为.16. 一个长方形的周长为8，面积为4，设宽为x，则可列方程为.17.已知关于x的一元二次方程x²+（2m-1）x+m²=0有两个实数根x1和x2，且x1+x2+ x1x2=1，出m的值为.三、解答题（一）（每题6分，共18分）18.解方程：（1）x²-4x+3=0；（2）2x²-3x-1 =0；（3）（x+4）2 =2（x +4）.19.已知x=-1是方程x2+mx-5=0的一个根，求m的值及方程的另一根.20.如图，在长为10m，宽为8m的矩形试验田上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，要使种植面积（空白部分）为63m2，求道路的宽.四、解答题（二）（每题8分，共24分）21.已知关于x的一元二次方程x2+（m+1）x+m=0.（1）当m=0时，求方程的解；（2）当m=1时，求方程的解.22.雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动，第一天收到捐款1000元，第三天收到捐款1440元（1）如果第二天第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款?23.已知关于x的一元二次方程（x-2）（x-3）=p2.求证：无论p取何值，方程总有两个不相等的实数根五、解答题（三）（每题10分，共20分）24.如图，要利用一面墙（墙长为25米）建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米?25.设等腰三角形的三条边分别为3，m，n，已知m，n是关于x的方程x²-4x+k=0的两个根，求k的值.参考答案一、1.C 2.C 3.B 4.B 5.B 6. A 7.B 8.B 9.A 10.D二、11. X1=1，x2=-1 12.2 13. 114.m< -1 15. -1 216.x(4-x) =4 17.0三、18.解：(1)x2 -4x+4= -3+4 (x-2)2=1x-2=土1x1=1 +2=3x2=-1+2=1(2)∵ a=2，b= -3，c= -1△=b2 -4ac=( -3)2-4x2x( -1)=9+8= 17∴x=24317=24b b aca--±x1317±x2317=4(3)(x+4)(x+4-2) =0(x +4)(x+2) =0X1=-4x2=-2.19.解：把x= -1代人方程x2 +mx-5 =0则：(-1)2-m-5=0- m=4m= -4把m= -4代人x2 +mx-5=0则：x2 -4x-5=0X2 -4x+4=5 +4(x-2)2 =9x-2=土3x1 =3+2=5x2= -3+2= -1∴m的值为-4，方程的另一根为520.解：设道路寬x m.根据题意，得(10-x)(8-x) =63x2 -18x +80= 63(x-9)2 =64x-9=土8x 1=8 +9=17(不合题意，舍去)x2 = -8+9=1∴道路宽1m四、21.解：(1)当m=0时，x2 +(m+1)x+m=0 x2 +x+0=0x(x+1) =0∴x=0或x+1 =0∴x1 =0，x2=-1(2)当m=1时，x2 +(m+1)x+m=0X2+(1 +1)x+1=0x2 +2x+1 =0(x+1)2 =0∴x1=x2=-122.解：(1)设捐款增长率为x，依题意，得1 000(1 +x)2=1 440(1 +x)2=1.441 +x= +1.2x= ±1.2-1∴x1 =1.2-1 =0.2 = 20%x2= -1.2-1= -2.2(不合题意，舍去)答：捐款增长率为20%(2)1440x(1 +20%) =1 728元答：第四天该单位能收到1728元捐款。
北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题 含答案
北师大版九年级上册 第二章 一元二次方程 2.1 认识一元二次方程 同步练习题1．下列方程中是关于x 的一元二次方程的是( )A ．x 2＋1x ＝0B ．(x －1)2＝(x ＋3)(x －2)＋1C ．x ＝x 2D ．ax 2＋bx ＋c ＝02．方程(m －1)x 2＋mx ＋1＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．任何实数B ．m≠0C ．m≠1 D．m≠－13．方程2(x ＋2)＋8＝3x(x －1)的一般形式为________________，二次项系数是________，一次项系数是________，常数项是________．4．把下列关于x 的一元二次方程化为一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．(1)3x 2＝5x －3；(2)(x ＋2)(x －2)＋3x ＝4.5．设一个奇数为x ，与相邻奇数的积为323，所列方程正确的是( )A ．x(x ＋2)＝323B ．x(x －2)＝323C ．x(x ＋1)＝323D ．x(x －2)＝323或x(x ＋2)＝3236．(1)一块长方形菜地的面积是150 m 2，如果它的长减少5 m ，那么菜地就变成正方形，若设原菜地的长为x m ，则可列方程为________________________________________________；(2)已知如图所示的图形的面积为24，根据图中的条件，可列方程为__________________.7．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化为一般形式．(1)正方体的表面积为36，求正方体的边长x ；(2)在新春佳节到来之际，九(6)班所有的同学准备送贺卡相互祝贺，所有同学送完后共送了1 980张，求九(6)班的同学人数x.8．已知长方形宽为x cm ，长为2x cm ，面积为24 cm 2，则x 最大不超过( )A ．1B ．2C ．3D ．49．根据下列表格中的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0，a ，b ，c 为常数)的一个解x3.25<x<3.2610．已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝______．11．已知关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋x ＋k 2－1＝0有一个根为0，则k 的值为________．12．方程(m －1)xm 2＋1＋2mx －3＝0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为( )A ．m ＝±1B ．m ＝－1C ．m ＝1D ．m ≠113．若方程(k －1)x 2＋kx ＝1是关于x 的一元二次方程，则k 的取值范围是( )A ．k ≠1B ．k ≥0C ．k ≥0且k ≠1D ．k 为任意实数 2A ．解的整数部分是0，十分位是5B ．解的整数部分是0，十分位是8C ．解的整数部分是1，十分位是1D ．解的整数部分是1，十分位是215．若关于x 的方程x 2＋(m ＋1)x ＋12＝0的一个实数根的倒数恰是它本身，则m 的值是( ) A ．－52 B.12 C ．－52或12 D ．116．已知关于x 的方程(m 2－4)x 2＋(m －2)x ＋4m ＝0，当m ____________时，它是一元二次方程，当m________时，它是一元一次方程．17．已知关于x 的一元二次方程m(x －1)2＝－3x 2＋x 的二次项系数与一次项系数互为相反数，则m 的值为多少？18. 有这样的题目：把方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编成下面的两个小题，请回答问题：(1)下面式子中是方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式的是________．(只填写序号)①12x 2－x －2＝0，②－12x 2＋x ＋2＝0，③x 2－2x ＝4，④－x 2＋2x ＋4＝0，⑤3x 2－23x －43＝0.(2)方程12x 2－x ＝2化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数，一次项系数和常数项之间具有什么关系？答案：1. C2. C3. 3x2－5x－12＝0 3 －5 －124. (1) 一般形式是3x2－5x＋3＝0，二次项系数是3，一次项系数是－5，常数项是3.(2) 一般形式是x2＋3x－8＝0，二次项系数是1，一次项系数是3，常数项是－8.5. D6. (1) x(x－5)＝150.(2) (x＋1)2－1＝24.7. (1)6x2＝36，一般形式为6x2－36＝0.(2)x(x－1)＝1 980，一般形式为x2－x－1 980＝0.8. D9. C10. 611. －112. B13. C14. C15. C16. ≠±2＝－217. 整理方程，得(m＋3)x2－(2m＋1)x＋m＝0，由题意，得m＋3－(2m＋1)＝0，解得m＝2.18. (1) ①②④⑤(2) 若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为－2a，常数项为－4a.(即满足二次系数∶一次项系数∶常数项＝1∶－2∶－4即可)。
2.1一元二次方程北师大版九年级数学上册习题PPT课件2
量连续增长，五月份销售量达到900万部，求月平均增长率．设月平均增长率为x， A．400(1＋x2)＝90整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
数学·九年级（上）·配北师
解：(1)∵关于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)·x－1＝0 是一元一次方程，∴
k＋1＝0， k－3≠0，
或kk2＋＋11＋＝k1－，3≠0，
解得 k＝－1 或 k＝0.∴当 k＝－1 或 k＝0 时，关
于 x 的方程(k＋1)xk2＋1＋(k－3)x－1＝0 是一元一次方程．
1T2变式】把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项． 分 C．析1：00观(1察 ＋等 x)3号＝两61边6 ，是关于x的整式方程，满足条件(1)．但x的二次项系数含有字母，应分类讨论．
2x)＝3600.化为一般形式为x －75x＋350＝0. 9长知(2．)率识当据为 点k报取x3道，何，根依值为据题时推实意，进际可它福问列是州题方一绿列程元色一为二农元(次业二方发次程) 展方？，程并2写01出8～这2个02一0年元，二福次州方市程2将的完二成次绿项色系农数业、发一展次项项目系总数投、资常6数16项亿．元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
A．400(1＋x )＝900 B．400(1＋2x)＝900 9．据报道，为推进福州绿色农业发展，22018～2020年，福州市将完成绿色农业发展项目总投资616亿元，已知福州2018年已完成项目投资100亿元．假设后两年该项目投资的平均增
北师大版九年级上册第二单元一元二次方程计算题训练及测试题
一元二次方程计算题训练一：分别用下列方法解方程 （1）9)12(2=-x （直接开平方法）(2)4x 2–8x +1=0（配方法）（3）3x 2+5(2x+1)=0（公式法） （4）()()752652xx x +=+（因式分解法）二：用配方法解方程：（1）2213x x += （2）x 2－ 2x － 2 ＝ 0．（3） 2310x x ++=三：用适当的方法解方程（1） 220x x -= （2） 2620x x --= （3） 242x x +=（4）26160x x --= （5）26120x x --= （6）2x 2=92（7）2(x －2)2=50， （8）051242=+-x x （9）10)4)(5(=+-x x（10） 3x 2＋4x ＝0 （11）x （x ＋2）＝5（x －2） (12)4x 2－0.3（13）(3)3x x x +=+ （14）31x 2－x －4＝0 (15)(x －1 )(3x+1 ) = 0（16）（5x －1）2＝3（5x －1） (17) (x +1)2=(2x －1)2（18）(x +3)(x －1)=5（19）（y －1）（y －2）＝（2－y ）； (20)(x 2－1 )2－ 5(x 2－1 ) + 4 = 0（21）x 2＋2x ＝2－4x －x 2。
(22)(x –1)(2x +1)=2 （23）x x =--27422（24）(t －3)2+t=3 （25）2x （2x ＋1）－（x ＋1）（2x －11）＝0。
（一元二次方程）一、选择题 (共8题，每题有四个选项，其中只有一项符合题意。
每题3分,共24分)： 1.下列方程中不一定是一元二次方程的是( ) A.(a-3)x 2=8 (a ≠3) B.ax 2+bx+c=0232057x +-= 2下列方程中,常数项为零的是( )A.x 2+x=1B.2x 2-x-12=12；C.2(x 2-1)=3(x-1)D.2(x 2+1)=x+2 3.一元二次方程2x 2-3x+1=0化为(x+a)2=b 的形式,正确的是( )A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对4.关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++-=的一个根是0，则a 值为（ ） A 、1 B 、1- C 、1或1- D 、125.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( )A.11B.17C.17或19D.196.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ）A 、3 C 、6 D 、97.使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是( )A.6B.-1或6C.-1D.-68.若关于y 的一元二次方程ky 2-4y-3=3y+4有实根,则k 的取值范围是( ) A.k>-74 B.k ≥-74 且k ≠0 C.k ≥-74 D.k>74且k ≠0 9.已知方程22=+x x ，则下列说中，正确的是（ ）（A ）方程两根和是1 （B ）方程两根积是2（C ）方程两根和是1- （D ）方程两根积比两根和大210.某超市一月份的营业额为200万元,已知第一季度的总营业额共1000万元, 如果平均每月增长率为x,则由题意列方程应为( ) A.200(1+x)2=1000 B.200+200×2x=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=1000 二、填空题:(每小题4分,共20分)11.用______法解方程3(x-2)2=2x-4比较简便.12.如果2x 2+1与4x 2-2x-5互为相反数,则x 的值为________.13.22____)(_____3-=+-x x x14.若一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 15.已知方程3ax 2-bx-1=0和ax 2+2bx-5=0,有共同的根-1, 则a= ______, b=______.16.一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2-x+3=0的所有实数根的和等于____. 17.已知x 2+mx+7=0的一个根,则m=________,另一根为_______. 18.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________.19.已知x x 12，是方程x x 2210--=的两个根，则1112x x +等于__________.20.关于x 的二次方程20x mx n ++=有两个相等实根，则符合条件的一组,m n 的实数值可以是m = ，n = . 三、用适当方法解方程：（每小题5分，共10分）21.22(3)5x x -+=22.230x ++=四、列方程解应用题：（每小题7分，共21分）23.某电视机厂计划用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数.24.如图所示，在宽为20m ，长为32m 的矩形耕地上，修筑同样宽的三条道路，（互相垂直），把耕地分成大小不等的六块试验田，要使试验田的面积为570m 2，道路应为多宽？25.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。
北师大版九年级数学上册 第2章一元二次方程 解答专项练习题 (含答案)
北师大版九年级数学上册《第2章一元二次方程》解答专项练习题（附答案）1．关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0：（1）试证明无论a取何实数这个方程都是一元二次方程；（2）当a＝2时，解这个方程．2．已知关于x的方程（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0（1）当k取何值时，它是一元一次方程？（2）当k取何值时，它是一元二次方程？3．若方程（m﹣2）x﹣（m+3）x+5＝0是一元二次方程，求m的值．4．把下列方程化一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项（1）2x2＝1﹣3x （2）5x（x﹣2）＝4x2﹣3x．5．已知是关于x的方程x2﹣x+a＝0的一个根，求a﹣2﹣的值．6．若一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4．（1）求m的值；（2）求的值．7．按要求解下列方程（1）用配方法解方程：2x2+7x﹣4＝0；（2）用公式法解方程：3x2﹣1＝4x．8．用适当的方法解方程（1）x2﹣2x﹣8＝0 （2）（2x﹣1）2﹣16＝0（3）2x（x﹣3）﹣5（3﹣x）＝0．9．解下列方程：（1）x2﹣3x＝0；（2）5x2﹣4x﹣1＝0．10．已知关于x的方程x2+（m﹣2）x﹣9＝0（1）求证：无论m取什么实数，这个方程总有两个不相等的实数根；（2）若这个方程两个根α，β满足2α+β＝m+1，求m的值．11．已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：k取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰△ABC的一边长为4，另两边长m，n恰好是这个方程的两个根，求△ABC 的周长．12．已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0的两个不相等的实数根．（1）试确定m的取值范围；（2）当+＝﹣1时，求m的值．13．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利45元，为了扩大销售、增加盈利尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出4件，若商场平均每天盈利2100元，每件衬衫应降价多少元？请完成下列问题：（1）未降价之前，某商场衬衫的总盈利为元；（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利元，平均每天可售出件（用含x的代数式进行表示）；（3）请列出方程，求出x的值．14．一块长方形铁皮长为4dm，宽为3dm，在四角各截去一个面积相等的正方形，做成一个无盖的盒子，要使盒子的底面积是原来铁皮的面积一半，若设盒子的高为xdm，根据题意列出方程，并化成一般形式．15．【问题提出】在2020年抗击新冠肺炎的斗争中，某中学响应政府“停课不停学”的号召进行线上学习，七年级一班的全体同学在自主完成学习任务的同时，全班每两个同学都通过一次视频电话，彼此关怀，互相勉励，共同提高，若每两名同学之间仅通过一次视频电话，如何求全班50名同学共通过多少次电话呢？【模型构建】用点M1、M2、M3、…、M50分别表示第1、2、3、…、50名同学，把该班级人数n与视频通话次数S之间的关系用如图模型表示：【问题解决】（1）填写如图中第5个图中S的值为．（2）通过探索发现，通电话次数S与该班级人数n之间的关系式为，则当n＝50时，对应的S＝．（3）若该班全体女生相互之间共通话190次，求该班共有多少名女生？【问题拓展】（4）若该班数学兴趣小组的同学，每两位同学之间互发一条微信问候，小明统计全组共发送微信110条，则该班数学兴趣小组的人数是人．16．已知关于x的方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0（1）若此方程为一元一次方程，求k的值．（2）若此方程为一元二次方程，且有实数根，试求k的取值范围．17．阅读下列材料：问题：已知方程x2+x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝，把x＝，代入已知方程，得（）2+﹣1＝0．化简，得y2+2y﹣4＝0，故所求方程为y2+2y﹣4＝0这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：（1）已知方程x2+2x﹣1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为；（2）已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．18．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程x（x+4）＝6．解：原方程可变形，得：[（x+2）﹣2][（x+2）+2]＝6．（x+2）2﹣22＝6，（x+2）2＝6+22，（x+2）2＝10．直接开平方并整理，得．x1＝﹣2+，x2＝﹣2﹣．我们称小明这种解法为“平均数法”．（1）下面是小明用“平均数法”解方程（x+3）（x+7）＝5时写的解题过程．解：原方程可变形，得：[（x+a）﹣b][（x+a）+b]＝5．（x+a）2﹣b2＝5，（x+a）2＝5+b2．直接开平方并整理，得．x1＝c，x2＝d．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为，，，．（2）请用“平均数法”解方程：（x﹣5）（x+3）＝6．19．先阅读后解题．已知m2+2m+n2﹣6n+10＝0，求m和n的值．解：把等式的左边分解因式：（m2+2m+1）+（n2﹣6n+9）＝0．即（m+1）2+（n﹣3）2＝0．因为（m+1）2≥0，（n﹣3）2≥0．所以m+1＝0，n﹣3＝0即m＝﹣1，n＝﹣3．利用以上解法，解下列问题：（1）已知：x2﹣4x+y2+2y+5＝0，求x和y的值．（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，满足a2+b2＝12a+8b﹣52且△ABC为等腰三角形，求c．20．小明遇到下面的问题：求代数式x2﹣2x﹣3的最小值并写出取到最小值时的x值．经过观察式子结构特征，小明联想到可以用解一元二次方程中的配方法来解决问题，具体分析过程如下：x2﹣2x﹣3＝x2﹣2x+1﹣3﹣1＝（x﹣1）2﹣4所以，当x＝1时，代数式有最小值是﹣4．（1）请你用上面小明思考问题的方法解决下面问题．①x2﹣2x的最小值是②x2﹣4x+y2+2y+5的最小值是．（2）小明受到上面问题的启发，自己设计了一个问题，并给出解题过程及结论如下：问题：当x为实数时，求x4+2x2+7的最小值．解：∵x4+2x2+7＝x4+2x2+1+6＝（x2+1）2+6∴原式有最小值是6请你判断小明的结论是否正确，并简要说明理由．21．如图，某农户准备建一个长方形养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19m，墙对面有一个2m宽的门，另三边用竹篱笆围成，篱笆总长34m，围成长方形的养鸡场除门之外四周不能有空隙．（1）若要围成养鸡场的面积为160m2，则养鸡场的长和宽各为多少m？（2）围成养鸡场的面积能否达到180m2？请说明理由．22．全球疫情暴发时，医疗物资极度匮乏，中国许多企业都积极的宣布生产医疗物资以应对疫情，某工厂及时引进了一条口罩生产线生产口罩，开工第一天生产500万个，第三天生产720万个，若每天增长的百分率相同．试回答下列问题：（1）求每天增长的百分率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是1500万个/天，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少50万个/天．①现该厂要保证每天生产口罩6500万个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产线越多，投入越大），应该增加几条生产线？②是否能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个，若能，应该增加几条生产线？若不能，请说明理由．23．已知：如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．点P从点A开始沿AB 边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于6cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于8cm2？说明理由．参考答案1．解：（1）a2﹣4a+5＝（a2﹣4a+4）+1＝（a﹣2）2+1，∵（a﹣2）2≥0，∴（a﹣2）2+1≠0，∴无论a取何实数关于x的方程（a2﹣4a+5）x2+2ax+4＝0都是一元二次方程；（2）当a＝2时，原方程变为x2+4x+4＝0，解得x1＝x2＝﹣2．2．解：（1）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程，得或或，解得k＝﹣1或k＝0．故当k＝﹣1或k＝0时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元一次方程；（2）由关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程，得，解得k＝1．故当k＝1时，关于x的（k+1）+（k﹣3）x﹣1＝0一元二次方程．3．解：由题意，得m2﹣5m+8＝2且m﹣2≠0，解得m＝3，m的值是3．4．解：（1）2x2＝1﹣3x一般形式为2x2+3x﹣1＝0，二次项系数为2，一次项系数为3，常数项为﹣1；（2）5x（x﹣2）＝4x2﹣3x．一般形式为x2﹣7x＝0，二次项系数为1，一次项系数为﹣7，常数项为0．5．解：将x＝代入方程x2﹣x+a＝0中，得2﹣+a＝0，解得a＝﹣2，当a＝﹣2时，a﹣2﹣＝﹣＝﹣＝﹣＝﹣2．6．解：（1）ax2＝b，x2＝，x＝，即方程的两根互为相反数，∵一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4．∴m+1+2m﹣4＝0，解得：m＝1；（2）当m＝1时，m+1＝2，2m﹣4＝﹣2，∵x＝±，一元二次方程ax2＝b（ab＞0）的两根分别为m+1与2m﹣4，∴＝（±2）2＝4．7．解：移项，得2x2+7x＝4，二次项系数化为1，得x2+x＝2，配方，得（x+）2＝2+，开方，得x+＝，x1＝，x2＝﹣4；（2）化成一般式，得3x2﹣4x﹣1＝0，a＝3，b＝﹣4，c＝﹣1，b2﹣4ac＝28＞0，x1＝＝＝，x2＝＝＝．8．解：（1）∵（x+2）（x﹣4）＝0，∴x+2＝0或x﹣4＝0，解得：x＝﹣2或x＝4；（2）∵（2x﹣1）2＝16，∴2x﹣1＝4或2x﹣1＝﹣4，解得：x＝或x＝﹣；（3）∵2x（x﹣3）+5（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（2x+5）＝0，∴x﹣3＝0或2x+5＝0，解得：x＝3或x＝﹣．9．解：（1）x2﹣3x＝0，x（x﹣3）＝0，x＝0或x﹣3＝0，x1＝0，x2＝3；（2）5x2﹣4x﹣1＝0，（5x+1）（x﹣1）＝0，5x+1＝0或x﹣1＝0，x1＝﹣，x2＝1．10．解：（1）证明：方程的根的判别式Δ＝（m﹣2）2﹣4×1×（﹣9）＝（m﹣2）2+36∵无论m取何实效（m﹣2）2+36＞0恒成立∴这个方程总有两个不相等的实数根（2）解由根与系数的关系．得α+β＝2﹣m则2α+β＝α+α+β＝α+2﹣m∵2α+β＝m+1，∴α+2﹣m＝m+1，则α＝2m﹣1∵α是方程的根，∴α2+（m﹣2）α﹣9＝0则（2m﹣1）2+（m﹣2）（2m﹣1）﹣9＝0整理，得2m2﹣3m一2＝0解，得m1＝2，m2＝﹣．11．（1）证明：∵Δ＝（k+2）2﹣8k＝k2+4k+4﹣8k＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有实数根；（2）解：当边长为4的边为腰时，则可知方程有一个实数根为4，∴16﹣4（k+2）+2k＝0，解得k＝4，∴方程为x2﹣6x+8＝0，解得x＝4或x＝2，∴m、n的值分别为2、4，∴△ABC的周长为10；当边长为4的边为底时，则m＝n，即方程有两个相等的实数根，∴Δ＝0，即（k﹣2）2＝0，解得k＝2，∴方程为x2﹣4x+4＝0，解得m＝n＝2，此时2+2＝4，不符合三角形的三边关系，舍去；综上可知△ABC的周长为10．12．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2＝0有两个不相等的实数根，∴Δ＞0，即Δ＝（2m+3）2﹣4m2＞0，解得m＞﹣；（2）∵α，β是方程的两个实数根，∴α+β＝﹣（2m+3），αβ＝m2．∵+＝﹣1，∴﹣（2m+3）＝﹣m2，解得m1＝3，m2＝﹣1．∵m＞﹣，∴m＝3．13．解：（1）20×45＝900，故答案为：900；（2）降价后，设某商场每件衬衫应降价x元，则每件衬衫盈利（45﹣x）元，平均每天可售出（20+4x）件，故答案为：（45﹣x）；（20+4x）；（3）由题意得：（45﹣x）（20+4x）＝2100，解得：x1＝10，x2＝30．因尽快减少库存，故x＝30．答：每件衬衫应降价30元．14．解：由题意得：无盖长方体盒子的底面长为（4﹣2x）dm，宽为（3﹣2x）dm，由题意得，（4﹣2x）（3﹣2x）＝4×3×，整理得：2x2﹣7x+3＝0，15．解：（1）根据图形可知S＝15，故答案为：15．（2）通过几个图形，可以得出规律：S＝，∴当n＝50时，代入得S＝1225．故答案为：S＝，1225．（3）设该班共有女生x名，根据题意，得，解得x1＝20，x2＝﹣19（不符合题意，舍去），答：该班共有20名女生．（4）设该班数学兴趣小组有m人，根据题意，得m（m﹣1）＝110，解方程得m1＝11，m2＝﹣10（不符合题意，舍去），故答案为：11．16．解：（1）由（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0是一元一次方程，得1﹣2k＝0，解得k＝；（2）由（1﹣2k）x2﹣2x﹣1＝0为一元二次方程，且有实数根，得Δ＝（2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）≥0，且1﹣2k≠0，k+1≥0，4k+4+4（1﹣2k）≥0，﹣4k≥﹣8，k≤2，即﹣1≤k≤2，k≠此方程为一元二次方程，且有实数根，k的取值范围为﹣1≤k≤2且k≠．17．解：（1）设所求方程的根为y，则y＝﹣x，所以x＝﹣y，把x＝﹣y代入方程x2+2x﹣1＝0，得：y2﹣2y﹣1＝0，故答案为：y2﹣2y﹣1＝0；（2）设所求方程的根为y，则y＝（x≠0），于是x＝（y≠0），把x＝代入方程ax2+bx+c＝0，得a（）2+b（）+c＝0，去分母，得a+by+cy2＝0，若c＝0，有ax2+bx＝0，于是，方程ax2+bx+c＝0有一个根为0，不合题意，∴c≠0，故所求方程为a+by+cy2＝0 （c≠0）．18．解：（1）原方程可变形，得：[（x+5）﹣2][（x+5）+2]＝5．（x+5）2﹣22＝5，（x+5）2＝5+22．直接开平方并整理，得．x1＝﹣2，x2＝﹣8．上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为5、±2、﹣2、﹣8，故答案为：5、±2、﹣2、﹣8；（2）原方程可变形，得：[（x﹣1）﹣4][（x﹣1）+4]＝6．（x﹣1）2﹣42＝6，（x﹣1）2＝6+42．x﹣1＝±，∴x＝1±，直接开平方并整理，得．x1＝1+，x2＝1﹣．19．解：（1）x2﹣4x+y2+2y+5＝0，（x2﹣4x+4）+（y2+2y+1）＝0，（x﹣2）2+（y+1）2＝0，∵（x﹣2）2≥0，（y+1）2≥0，∴x﹣2＝0，y+1＝0，∴x＝2，y＝﹣1；（2）a2+b2＝12a+8b﹣52，（a2﹣12a+36）+（b2﹣8b+16）＝0，（a﹣6）2+（b﹣4）2＝0，∵（a﹣6）2≥0，（b﹣4）2≥0，∴a﹣6＝0，b﹣4＝0，∴a＝6，b＝4，∵△ABC为等腰三角形，∴c＝4或6．20．解：（1）①x2﹣2x＝x2﹣2x+1﹣1＝（x﹣1）2﹣1，∴当x＝1时，代数式x2﹣2x有最小值是﹣1；②x2﹣4x+y2+2y+5＝x2﹣4x+4+y2+2y+1＝（x﹣2）2+（y+1）2，∴当x＝2，y＝﹣1时，代数式x2﹣4x+y2+2y+5有最小值是0，故答案为：①﹣1，②0；（2）小明的结论错误，理由：∵x2+1＝0时，x无解，∴（x2+1）2+6最小值不是6，∵x2≥0，∴当x2＝0时，（x2+1）2+6最小值是7．21．解：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝160，整理得：x2﹣18x+80＝0，解得：x1＝8，x2＝10，当x1＝8时，34+2﹣2x＝36﹣2×8＝20＞19，不符合题意，舍去，当x2＝10时，34+2﹣2x＝36﹣2×10＝16＜19，符合题意，答：养鸡场的长为16米，宽为10米．（2）围成养鸡场的面积不能达到180m2．理由如下：设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34+2﹣2x）米．根据题意，得：（34+2﹣2x）x＝180，整理得：x2﹣18x+90＝0，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣18）2﹣4×1×90＜0．∴方程无实数根．答：围成养鸡场的面积不能达到180m2．22．解：（1）设每天增长的百分率为x，依题意，得：500（1+x）2＝720，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）．答：每天增长的百分率为20%；（2）①设应该增加m条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50m）万个/天，依题意，得：（1+m）（1500﹣50m）＝6500，解得：m1＝4，m2＝25，又∵在增加产能同时又要节省投入，∴m＝4．答：应该增加4条生产线；②设增加a条生产线，则每条生产线的最大产能为（1500﹣50a）万个/天，依题意，得：（1+a）（1500﹣50a）＝15000，化简得：a2﹣29a+270＝0，∵△＝（﹣29）2﹣4×1×270＝﹣239＜0，方程无解．∴不能增加生产线，使得每天生产口罩15000万个．23．解：（1）设经过x秒以后△PBQ面积为6×（5﹣x）×2x＝6整理得：x2﹣5x+6＝0解得：x＝2或x＝3答：2或3秒后△PBQ的面积等于6cm2（2）当PQ＝5时，在Rt△PBQ中，∵BP2+BQ2＝PQ2，∴（5﹣t）2+（2t）2＝52，5t2﹣10t＝0，t（5t﹣10）＝0，t1＝0（舍弃），t2＝2，∴当t＝2时，PQ的长度等于5cm．（3）设经过x秒以后△PBQ面积为8，×（5﹣x）×2x＝8整理得：x2﹣5x+8＝0△＝25﹣32＝﹣7＜0∴△PQB的面积不能等于8cm2．。
北师大版九年级数学上册 2.1 认识一元二次方程 同步练习题(含答案,教师版)
北师大版九年级数学上册第二章 2.1 认识一元二次方程 同步练习题第1课时 一元二次方程1．下列方程中是一元二次方程的是(D)A ．x 2＋1x ＝0B ．ax 2＋bx ＋c ＝0C ．3x 2－2xy －5y 2＝0 D ．(x －1)(x ＋2)＝22．若关于x 的方程(m ＋1)x 2＋2mx －3＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是(C) A ．任意实数 B ．m ≠1 C ．m ≠－1 D ．m ＞13．将一元二次方程5x 2－1＝4x 化成一般形式后，二次项系数和一次项系数分别是(C) A ．5，－1 B ．5，4 C ．5，－4 D ．5，1 4．已知关于x 的方程(a －3)x|a －1|＋x －1＝0是一元二次方程，则a 的值是(A)A ．－1B ．2C ．－1或3D ．35．下列方程中：(1)3(x ＋1)2＝2(x ＋1)；(2)1x 2＋1x －2＝0；(3)ax 2＋bx ＋c ＝0；(4)x2＋2x ＝x 2－1中，关于x 的一元二次方程是(1)．6．若方程mx 2＋3x －4＝2x 2是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是m ≠2． 7．把一元二次方程(x ＋1)2－x ＝3(x 2－2)化成一般形式是2x 2－x －7＝0．8．若将关于x 的一元二次方程3x 2＋x －2＝ax(x －2)化成一般形式后，其二次项系数为1，常数项为－2，则该方程中的一次项系数为5．9．若关于x 的一元二次方程(2a －4)x 2＋(a 2－4)x ＋a －8＝0没有一次项，则a 的值为－2.10．将下列一元二次方程化为一般形式，并写出方程的二次项系数、一次项系数和常数项：(1)3x(x －2)＝4x －1； (2)(y －3)(2y ＋5)＝2－y.解：(1)整理，得3x 2－10x ＋1＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为3，－10，1.(2)整理，得2y 2－17＝0，所以二次项系数、一次项系数和常数项分别为2，0，－17.11．已知关于x 的方程(k ＋1)xk 2＋1＋(k －3)x －1＝0. (1)当k 取何值时，它是一元一次方程？ (2)当k 取何值时，它是一元二次方程？ 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k ＋1＝0，k －3≠0或⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝1，k ＋1＋k －3≠0. 解得k ＝－1或k ＝0.∴当k ＝－1或0时，它是一元一次方程． (2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＋1＝2，k ＋1≠0，解得k ＝1. ∴当k ＝1时，它是一元二次方程．12．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行2列，两边各加一条竖线，记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b cd ，定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，上述记法叫做二阶行列式．那么⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1 x ＋2x －2 2x ＝22表示的方程是一元二次方程吗？若是，请写出它的一般形式．解：根据题意，得(x ＋1)·2x－(x ＋2)(x －2)＝22， 整理，得x 2＋2x －18＝0，它是一元二次方程，一般形式为x 2＋2x －18＝0.13．观察下列一元二次方程：①x 2＋2x －3＝0；②x 2－7x ＋6＝0；③3x 2－2x －1＝0；④5x 2＋3x －8＝0.(1)上面方程的系数有一个公共的特征，请你用等式表示这个特征； (2)请你写出符合此特征的一个一元二次方程．解：(1)在①中，a ＝1，b ＝2，c ＝－3，则a ＋b ＋c ＝0； 在②中，a ＝1，b ＝－7，c ＝6，则a ＋b ＋c ＝0； 在③中，a ＝3，b ＝－2，c ＝－1，则a ＋b ＋c ＝0； 在④中，a ＝5，b ＝3，c ＝－8，则a ＋b ＋c ＝0， 由上可得方程的系数公共特征为a ＋b ＋c ＝0. (2)x 2－x ＝0(答案不唯一)．第2课时 一元二次方程的解及其估算1．下列各未知数的值是方程3x 2＋x －2＝0的解的是(B) A ．x ＝1 B ．x ＝－1 C ．x ＝2 D ．x ＝－22．(成都青羊区月考)若a －b ＋c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a≠0)必有一个根是(C) A ．0 B ．1 C ．－1 D ．－b a3．如果关于x 的一元二次方程(m －3)x 2＋3x ＋m 2－9＝0有一个解是0，那么m 的值是(B) A ．3 B ．－3 C ．±3 D ．0或－34．先填表，再探索一元二次方程x 2＋x －12＝0的解的取值范围．从表中看出方程有一个解应介于2和4之间． 5．已知a 2－5a ＋1＝0，则a ＋1a－3的值为2．6．已知a 是方程x 2－2x －1＝0的一个根，则代数式2a 2－4a －1的值为1． 7．已知a 是方程x 2＋x －1＝0的一个根，则2a 2－1－1a 2－a的值为1． 8．若2－3是方程x 2－4x ＋c ＝0的一个根，则c 的值是1．9．已知a 是方程x 2－3x －2＝0的根，则代数式a 3－2a 2－5a ＋2 019的值为2_021．10．学校课外生物小组的试验园地是长35米、宽20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道(如图)，要使种植面积为600平方米，求小道的宽．若设小道的宽为x 米，则可列方程为(35－2x)(20－x)＝600(或2x 2－75x ＋100＝0)．11．若关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根是1，且a ，b 满足b ＝a －3＋3－a ＋3，求c.解：将x ＝1代入方程ax 2＋bx ＋c ＝0， 得a ＋b ＋c ＝0，即c ＝－a －b.∵a ，b 满足等式b ＝a －3＋3－a ＋3， ∴a －3≥0，3－a≥0，即a ＝3.∴b＝3. ∴c ＝－a －b ＝－6.12．已知x 是一元二次方程x 2＋3x －1＝0的实数根，求代数式x －33x 2－6x ÷(x＋2－5x －2)的值．解：∵x 2＋3x －1＝0， ∴x 2＋3x ＝1，即x(x ＋3)＝1.∴原式＝x －33x （x －2）÷（x ＋3）（x －3）x －2＝13x （x ＋3）＝13.13．某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地中央建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2，四周为宽度相等的人行走道，如图．若设人行走道宽为x m.(1)请列出相应的方程；(2)x的值可能小于0吗？说说你的理由；(3)x的值可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由；(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．解：(1)由题意可知网球场的长和宽分别为(80－2x)m，(60－2x)m，则可列方程为(80－2x)(60－2x)＝3 500，整理，得x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x>30时，网球场的宽60－2x<0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下：显然，当x＝5时，x－70x＋325＝0，故人行走道的宽为5 m.。
九年级数学上册第2章《第1课时_利用一元二次方程解决几何问题》基础训练(北师大版)
《第1课时 利用一元二次方程解决几何问题》类型1 利用一元二次方程解决几何图形问题1.绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米.设绿地的宽为x 米，根据题意，可列方程为( )A .(10)900x x -=B .(10)900x x +=C .10(10)900x +=D .[]2(10)900x x ++=2.用10米长的铝材制成一个矩形窗框，使它的面积为6平方米.若设它的一条边长为x 米，则根据题意可列出关于x 的方程为( )A .(5)6x x +=B .(5)6x x -=C .(10)6x x -=D .(102)6x x -=3.已知直角三角形两条直角边的长度之和为7，面积为6，则斜边长为( )A .B .5C .25D .74.如图，某小区内有一块长、宽比为2：1的矩形空地，计划在该空地上修筑两条宽均为2 m 的互相垂直的小路，余下的四块小矩形空地铺成草坪，如果四块草坪的面积之和为312m 2，请求出原来大矩形空地的长和宽.(1)请找出上述问题中的等量关系____________________________________;(2)若设大矩形空地的宽为x m ，可列出的方程为__________________________，方程的解为__________________________，原来大矩形空地的长和宽分别为__________________________.5.如图，某工厂师傅要在一个面积为15m 2的矩形钢板上裁剪下两个相邻的正方形钢板当工作台的桌面，且要使大正方形的边长比小正方形的边长大1 m ，则裁剪后剩下的阴影部分的面积为_________ m2.6.已知如图所示的图形的面积为24，根据图中条件，求出x的值.7.（教材P57复习题T8变式）如图，有一块长方形铁皮，长40 cm，宽30 cm，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积为600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？8.如图，为美化校园环境，某校计划在一块长为60米，宽为40米的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地修建成同样宽的通道，设通道宽为a米.(1)当a为10时,花圃的面积为_________平方米;(2)通道的面积与花圃的面积之比能否恰好等于3:5？如果能,试求出此时通道的宽.类型2利用一元二次方程解决动态几何问题9.（教材P52例1变式）如图，某海关缉私艇在点O处发现在正北方向相距45海里的点A处有一艘可疑船只，测得它正以60海里/时的速度向正东方向航行，缉私艇随即调整方向，以75海里/时的速度准备在点B处将其拦截，试问需要多长时间？10.如图，某市区南北走向的北京路与东西走向的喀什路相交于点O处.甲沿着喀什路以4 m/s的速度由西向东走，乙沿着北京路以3 m/s的速度由南向北走，当乙走到点O以北50 m处时，甲恰好到点O处，若两人继续向前行走，求两人相距85m 时各自的位置11.（汝州期中）如图，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB=200 cm，OE=260 cm，一只小猫C由柱子底端A点以2 cm/s的速度向顶端B点爬行，同时，另一只小猫D 由O点以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行.问：是否存在这样的时刻，使两只小猫与O点组成的三角形面积是1800 cm2?12.（教材P53习题T2变式）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=16cm，BC=8cm，一动点P从点C出发沿着CB方向以2cm/s的速度运动，另一动点Q从点A出发沿着AC方向以4cm/s的速度运动，P，Q两点同时出发，运动时间为t s.（1）若△PCQ的面积是△ABC的面积的14，求t的值；（2）△PCQ的面积能否与四边形ABPQ的面积相等？若能，求出t的值；若不能，说明理由.参考答案1.B2.B3.B4.解:(1)原矩形面积－小路面积=草坪面积(2)(2)(22)312x x --= 1411()x x ==-或舍去 28 m ，14 m .5. 26.解:由题意，得211=24x +-（）.整理，得21=25x +（）.解得x =4或x =﹣6(不合题意,舍去).∴x 的值是4.7.解：设切去的小正方形的边长为x cm .依题意，得402x -（）302=x -（）600.解得12=530x x =，.当x =30时，3020x -＜，∴x =30不合题意，应舍去.∴x =5. 答：铁皮各角应切去边长为5cm 的正方形.8.解:(1)800 (2)根据题意，得5(402)(602)8a a --=⨯60⨯40.解得125,45a a ==(舍去).答：通道的面积与花圃的面积之比能等于3：5，此时通道的宽为5米.9.解:设需要x 小时，根据题意，得222(60)45(75)x x +=，解得121,1x x ==-（舍去）答：需要1小时.10.解:设两人继续向前行走x s 时相距85 m .根据题意，得222(503)(4)85x x ++=.解得129,21x x ==-(舍去).则50377,436x x +==.答：两人相距85 m 时，甲走到点O 以东36 m 处，乙走到点O 以北77m 处.11.解：有两种情况：①当小猫C 在AO 上运动时，设x s 后两只小猫与O 点组成的三角形面积为1800 cm 2，由题意，得12x x ⨯3⨯(100-2)=1800，整理，得2506000x x -+=，解得12=20,30x x =.经检验，12=20,30x x =均符合题意；②当小猫C 在OB 上运动时，设y s 后两只小猫与O 点组成的三角形面积为1800 cm 2，由题意，得11002y y ⨯3⨯(2-)=1800，整理，得2506000y y --=，解得12=60,10()y y =-舍去.经检验，y =60符合题意.答：20 s 或30 s 或60 s 后，两只小猫与O 点组成的三角形面积是1800 cm 2.12.解:(1)t 的值为2. （2）△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等.理由如下：当△PCQ 的面积与四边形ABPQ 的面积相等时，则1=2PCQ ABC S S △△，即11(164)6422t t ⨯2-=⨯，整理，得2480t t -+=.∵Δ=2(4)--4⨯1-8=-160＜， ∴此方程没有实数根.∴△PCQ 的面积不能与四边形ABPQ 的面积相等.。
(北师大版)北京市九年级数学上册第二单元《一元二次方程》测试题(答案解析)
一、选择题1．要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有x 个队参加比赛，则x 满足的关系式为（ ）A ．12x （x +1）＝90B ．12x （x ﹣1）＝90 C ．x （x +1）＝90 D ．x （x ﹣1）＝902．欧几里得的《原本》记载，方程x 2+ax ＝b 2的图解法是：画Rt △ABC ，使∠ACB ＝90°，BC ＝2a ，AC ＝b ，再在斜边AB 上截取BD ＝BC ．则该方程的一个正根是（ ）A ．AC 的长B ．CD 的长C ．AD 的长 D ．BC 的长 3．关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根，则k 满足（ ）A ．0k ≥B ．0k ≤且1k ≠-C ．0k <且1k ≠-D ．0k ≤ 4．下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A ．12x +=B ．21x y +=C ．243x x -=D ．35-=xy 5．下列一元二次方程中，有两个不相等实数根的是（ ）A ．2690x x ++=B ．2230x x -+=C ．22x x -=D ．23420x x -+= 6．若关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值为（ ） A ．−2B ．−1C ．1D ．2 7．方程220x x -=的根是（ ） A ．120x x == B ．122x x == C ．120,2x x == D ．120,2x x ==- 8．已知关于x 的一元二次方程2420ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．2a >-且0a ≠ B ．2a ≥-且0a ≠ C ．2a ≥- D ．0a ≠ 9．某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是1000万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是3390万元．若设月平均增长率是x ，那么可列出的方程是（ ）A ．1000（1＋x ）2＝3390B ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋x ）2＝3390C ．1000（1＋2x ）＝3390D ．1000＋1000（1＋x ）＋1000（1＋2x ）＝339010．2020年12月29日，贵阳轨道交通2号线实现试运行，从白云区到观山湖区轨道公司共设计了132种往返车票，则这段线路有多少个站点？设这段线路有x 个站点，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ）A ．()1132x x +=B ．()1132x x -=C ．1(1)1322x ⨯+=D ．1(1)1322x x -= 11．若关于x 的一元二次方程()()212110m x m x ---+=有两个相等的实数根，则m 的值是（ ）A ．－1或2B ．1C ．2D ．1或212．若关于x 的一元二次方程kx 2－3x ＋1＝0有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．k ≥94 B ．k ≤94且k ≠0 C ．k ＜94且k ≠0 D ．k ≤94二、填空题13．关于x 的方程2210mx x --=有两个不相等的实数根，那么m 的取值范围是________．14．关于x 的方程21x a =-有实数根，则a 的取值范围为_______________________． 15．用配方法解关于x 的一元二次方程2430x x --=，配方后的方程可以是__________．16．已知m ，n 是一元二次方程230x x --=的两个实数根，则代数式2219m n +-的值为________．17．若x 1，x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个不相等的实数根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝______．18．方程21(1)04k x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是________． 19．一元二次方程2310x x -++=的根的判别式的值是______．20．定义新运算“⊕”如下：当a b ≥时，a b ab b ⊕=+；当a b <时，a b ab a ⊕=-．若(21)(2)0x x -⊕+=，则x =______________．三、解答题21．（1）解方程：2450x x --=（2）已知点(2,1)P x y +与点(7,)Q x y --关于原点对称，求x ，y 的值．22．已知关于x 的一元二次方程为210mx nx -+=．（1）当2n m =+时，不解方程，判断方程根的情况；（2）在（1）的条件下，若2m =，求解这个方程．23．已知一元二次方程2230x x --=的正实数根也是一元二次方程()2230x k x --+=的根，求k 的值．24．用适当的方法解下列方程：（1）22210x x +-= （2）225(3)9x x +=-25．已知关于x 的一元二次方程22230x x m ++-=有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此时方程的根．26．在ABC 中，90,10cm B AB BC ∠===，点P 、Q 分别从A 、C 两点同时出发，均以1cm/s 的速度作直线运动，已知点P 沿射线AB 运动，点Q 沿边BC 的延长线运动，设点P 运动时间为(s)t ，PCQ △的面积为()2cm S ．当P 运动到几秒时625ABC S S =？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】设有x 个队参赛，根据参加一次足球联赛的每两队之间都进行两场场比赛，共要比赛90场，可列出方程．【详解】解：设有x 个队参赛，则x （x ﹣1）＝90．故选：D ．【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．2．C解析：C【分析】在Rt ABC 中，由勾股定理可得222AC BC AB +=，结合AB AD BD =+，,2a ACb BD BC ===，即可得出22AD aAD b +=，进而可得出AD 的长是方程22x ax b +=的一个正根．【详解】在Rt ABC 中，由勾股定理可得222AC BC AB +=,2a AC b BD BC === 22222222a a a b AD AD aAD ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴22AD aAD b +=22AD aAD b +=与方程22x ax b +=相同，且AD 的长度是正数∴AD 的长是方程22x ax b +=的一个正根．故选：C ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，利用勾股定理及各边的长得出22AD aAD b +=是解题关键．3．B解析：B【分析】根据根的判别式计算即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程()21210k x x +-+=有实数根， ∴()244410b ac k ∆=-=-+≥，10k +≠，∴4440k --≥，1k ≠-，解得：0k ≤，1k ≠-；故答案选B ．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，准确计算是解题的关键．4．C解析：C【分析】只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义解答即可．【详解】A 、是一元一次方程，不符合题意；B 、是二元一次方程，不符合题意；C 、是一元二次方程，符合题意；D 、是二元二次方程，不符合题意；故选：C ．【点睛】此题考查一元二次方程，熟记定义是解题的关键．5．C解析：C【分析】根据一元二次方程根的判别式判断即可．【详解】解：A.x 2+6x+9=0，则△=62-4×9=36-36=0，即该方程有两个相等实数根，故本选项不合题意；B.2230x x -+=，则△=(-2)2-4×3=4-12=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意；C.22x x -=，则△=(-1)2-4×(-2)=1+8=9>0，即该方程有两个不相等实数根，故本选项合题意；D.23420x x -+=，则△=(-４)2-4×3×2=16-24=-8<0，即该方程无实数根，故本选项不合题意．故选C ．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．6．C解析：C【分析】根据一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，求出a 的范围，确定出所求即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程2(2)20a x x --+=有实数根，∴△＝1−8（a−2）≥0，且a−2≠0，解得：a≤178且a≠2， 则整数a 的最大值为1．故选C ．【点睛】此题考查了一元二次方程根的判别式，以及一元二次方程的定义，掌握一元二次方程根与判别式的关系是解本题的关键．7．C解析：C【分析】本题可用因式分解法，提取x 后，变成两个式子相乘为0的形式，让每个式子都等于0，即可求出x ．【详解】解：∵x 2-2x=0∴x （x-2）=0，可得x=0或x-2=0，解得：x=0或x=2．故选：C ．【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用8．B解析：B【分析】根据方程有实数根得到．【详解】由题意得：0∆≥，即244(2)0a -⨯⨯-≥，且0a ≠，解得2a ≥-且0a ≠，故选：B ．【点睛】此题考查根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的三种情况是解题的关键． 9．B解析：B【分析】月平均增长的百分率是x ，则该超市二月份的营业额为1000（1+x ）万元，三月份的营业额为1000（1+x ）2万元，根据该超市第一季度的总营业额是3990万元，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【详解】解：设月平均增长的百分率是x ，则该超市二月份的营业额为1000（1+x ）万元，三月份的营业额为1000（1+x ）2万元，依题意，得1000+1000（1+x ）+1000（1+x ）2=3990．故选：B ．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．10．B解析：B【分析】利用列方程解应用题，仔细阅读试题，找出等量关系为：站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数，列方程即可．【详解】设这段线路有x 个站点，每个站点售其它各站一张往返车票，共有(x-1)张票，根据题意，列方程得()1132x x -=．故选择：B ．【点睛】本题考查列方程解应用题，掌握列方程解应用题的方法，抓住等量关系站点数×每站票数（比站点数少1）=总票数是解决问题的关键．11．C解析：C【分析】关于x 的一元二次方程有两个相等的实数根，说明判别式=0，且要注意二次项系数不为0，解出m 的值即可．【详解】关于x 的一元二次方程()()212110m x m x ---+=有两个相等的实数根， 则()()22141010m m m ⎧⎡⎤∆=----=⎪⎣⎦⎨-≠⎪⎩，解得：11m =（舍去），22m =∴m=2，故选：C ．【点睛】本题是对一元二次方程的考查，熟练掌握一元二次方程的解法及根的判别式是解决本题的关键．12．B解析：B【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式组，解之即可得出k 的取值范围．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程kx 2-3x+1=0有实数根，∴()203410k k ≠⎧⎪⎨--⨯⨯≥⎪⎩＝， ∴k≤94且k≠0． 故选：B ．【点睛】 本题考查了一元二次方程的定义以及根的判别式，利用二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于k 的一元一次不等式组是解题的关键．二、填空题13．且【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0求出m 的取值范围即可【详解】解：∵方程mx2−2x -1＝0有两个不相等的实数根∴△＞0且m≠0∴4+4m ＞0且m≠0∴解析：1m >-且0m ≠【分析】根据一元二次方程的定义以及根的判别式的意义可得△＝4+4m ＞0且m≠0，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵方程mx 2−2x-1＝0有两个不相等的实数根，∴△＞0且m≠0，∴4+4m ＞0且m≠0，∴m>-1，且m≠0，故答案为：m>-1且m≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△＝b 2−4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义．14．【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式解之即可得出结论【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根∴a-1≥0解得a≥1故答案为a≥1【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件直接开平方法解一解析：1a ≥【分析】根据平方的意义得出关于a 的一元一次不等式，解之即可得出结论．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程21x a =-有实数根，∴a-1≥0，解得a≥1，故答案为a≥1．【点睛】本题考查了一元二次方程有根的条件，直接开平方法解一元二次方程，列出关于a 的一元一次不等式是解题的关键．15．【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得【详解】解：故答案为：【点睛】本题考查一元二次方程的解法解题的关键是熟练运用配方法本题属于基础题型解析：()227x -＝．【分析】移项后两边配上一次项系数一半的平方即可得．【详解】解：2430x x --= 243x x -=24+43+4x x -=()227x -＝故答案为：()227x -＝．【点睛】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 16．【分析】根据m 与n 是方程的两个实数根得到根与系数关系式原式变形后代入计算即可求出值【详解】解：∵mn 是一元二次方程x2﹣x ﹣3＝0的两个实数根∴m+n ＝1mn ＝-3∵(m+n)2=m2+n2+2mn解析：12-【分析】根据m 与n 是方程的两个实数根，得到根与系数关系式，原式变形后代入计算即可求出值．【详解】解：∵m ，n 是一元二次方程x 2﹣x ﹣3＝0的两个实数根，∴m+n ＝1，mn ＝-3，∵(m+n)2=m 2+n 2+2mnm 2+n 2=(m+n)2-2mn∴m 2+n 2=12-2×(-3)=7∴m 2+n 2-19=7-19=-12故答案为：-12．【点睛】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．17．4【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求解：用韦达定理算出和的值带入求解即可；【详解】∵方程为∴a=1b=-3c=1∴=3=1∴=3+1=4故答案为：4【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系解析：4【分析】 利用一元二次方程根与系数的关系求解：12b x x a +=- ，12c x x a= ，用韦达定理算出12x x + 和12x x 的值带入求解即可；【详解】∵ 方程为2310x x -+= ，∴ a=1，b=-3，c=1，∴ 12x x +=3，12x x =1，∴ 1212x x x x ++ =3+1=4，故答案为：4．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，正确理解韦达定理是解题的关键； 18．【分析】由方程有两个实数根可得方程为一元二次方程可得：且解不等式组可得答案【详解】解：由已知方程可知：∵方程有两个实数根∴解得：∵∴故答案为：【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件一元二次方程的定 解析：1k <【分析】由方程有两个实数根，可得方程为一元二次方程，可得：0≥且110k k ≠⎧⎨-≥⎩，解不等式组可得答案．【详解】解：由已知方程可知：11,4a k b c =-==， ∵方程有两个实数根，∴24220b ac k =-=-+≥，解得：1k ≤，∵110k k ≠⎧⎨-≥⎩∴1k <，故答案为：1k <．【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识列不等式组求参数的范围是解题的关键．19．13【分析】根据△=b2-4ac 计算可得答案【详解】解：∵a=-1b=3c=1∴△=32-4×(-1)×1=13故答案为：13【点睛】本题主要考查根的判别式熟记判别式（△=b2-4ac ）是解题关键解析：13【分析】根据△=b 2-4ac 计算可得答案．【详解】解：∵a=-1，b=3，c=1，∴△=32-4×(-1)×1=13，故答案为：13．【点睛】本题主要考查根的判别式，熟记判别式（△=b 2-4ac ）是解题关键．20．或【分析】分类讨论当和当两种情况时根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可注意所求的解要符合题意【详解】分类讨论①当时即此时解得：由于所以两个根都舍去②当时即此时解得：由于所以两个根都符合题意故 解析：12或1-． 【分析】分类讨论当212x x -≥+和当212x x -<+两种情况时，根据所给的新运算法则列出二元一次方程求解即可．注意所求的解要符合题意．【详解】分类讨论①当212x x -≥+时，即3x ≥．此时2212(21)(2)(2)240x x x x x x x -⊕+=-+++=+=，解得：1202x x ==-，．由于3x ≥，所以两个根都舍去．②当212x x -<+时，即3x <．此时2212(21)(2)(21)210x x x x x x x -⊕+=-+--=+-=， 解得：34112x x ==-，． 由于3x <，所以两个根都符合题意． 故答案为：12或1-． 【点睛】本题考查新定义下的实数运算和解一元二次方程．利用分类讨论的思想是解答本题的关键．三、解答题21．（1）15=x ，21x =-；（2）23x y =⎧⎨=⎩【分析】（1）利用十字相乘法进行进行因式分解，继而求解；（2）直接利用关于原点对称点的性质得出方程组进而得出答案；【详解】（1）解：2450x x --=，(5)(1)0x x -+=，解得：15=x ，21x =-；（2）∵点P(2x+y ，1)与点Q(-7，x-y)关于原点对称，∴27010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩， 解得23x y =⎧⎨=⎩， 【点睛】本题考查了解一元二次方程和解一元二次方程组，正确掌握运算方法是解题的关键；22．（1）有两个不相等的实数根；（2）1x =2x =【分析】（1）根据关于x 的一元二次方程210mx nx -+=的根的判别式△=b 2-4ac 的符号来判定该方程的根的情况；（2）由已知条件列出关于m 的方程，通过解该方程即可求得m 的值．【详解】解：（1）把2n m =+代入方程，得2(2)10mx m x -++=．∵根的判别式为[]222(2)444440m m m m m m -+-=++-=+>， ∴方程有两个不相等的实数根．（2）当2m =时，方程为22410x x -+=．∴224248m +=+=．x ==．∴122x +=，222x =． 【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a ，b ，c 为常数）的根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．23．6k =【分析】解一元二次方程2230x x --=，把正实根代入一元二次方程()2230x k x --+=，解方程即可．【详解】解：2230x x --=，(1)(3)0x x +-=，10x +=或30x -=，解得，12-1=3x x =，，把2=3x 代入()2230x k x --+=得， ()93230k --+=，解得，6k =．【点睛】本题考查了一元二次方程的解和解法，解题关键是准确的解一元二次方程，把正实根代入得到关于k 的一元一次方程．24．（1）121122x x -+-==；（2）1293,2x x =-=- 【分析】（1）根据公式法计算即可；（2）根据因式分解法计算即可；【详解】解：（1）22210x x +-=， 2242(1)12∆=-⨯⨯-=，x =，12x x ∴==； （2）25(3)(3)(3)x x x +=+-，25(3)(3)(3)0x x x +-+-=，(3)[5(3)(3)]0x x x ++--=，即(3)(418)0x x ++=，1293,2x x ∴=-=-． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的求解，准确计算是解题的关键．25．（1）2m <；（2）11x =-21x =-【分析】（1）根据两个不相等的实数根列不等式即可；（2）根据m 为正整数，确定m 的值，解方程即可．【详解】解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴2241(23)1680m m ∆=-⨯⨯-=->，∴2m <．（2）∵m 为正整数，又2m <，∴1m =．当1m =时，原方程为2210x x +-=，解得212x -+==-±．因此，原方程的根为11x =-21x =-．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和一元二次方程的解法，解题关键是熟记一元二次方程根的判别式与根的关系，列出不等式；熟练解一元二次方程．26．4秒、6秒或12秒【分析】先根据三角形面积公式可得S △ABC ，根据S ＝625S △ABC ，可求△PCQ 的面积，再分两种情况：P 在线段AB 上；P 在线段AB 的延长线上；进行讨论即可求得P 运动的时间．【详解】 解：∵S △ABC =12AB•BC=50cm 2，625S △PCQ =12cm 2， 设当点P 运动x 秒时，S ＝625S △ABC ， 当P 在线段AB 上，此时CQ=x ，PB=10-x ，S △PCQ =12x （10-x ）=12， 化简得 x 2-10 x+24=0，解得x=6或4，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ=x ，PB=x-10，S △PCQ =12x （x-10）=12， 化简得 x 2-10 x+24=0，x 2-10 x-24=0，解得x=12或-2，负根不符合题意，舍去．所以当点P 运动4秒、6秒或12秒时，S ＝625S △ABC ． 【点睛】此题主要考查了三角形面积公式和一元二次方程的应用，根据已知分两种情况进行讨论是解题关键．。
《认识一元二次方程》知识点分类基础达标训练(附答案)
2021-2022学年年北师大版九年级数学上册《2.1认识一元二次方程》知识点分类基础达标训练（附答案）一．一元二次方程的定义1．若关于x的方程ax2+2x﹣5＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（）A．a＝0B．a＞0C．a≠0D．a＜02．下列方程式一元二次方程的是（）A．x2+y+3＝0B．3x2﹣2＝0C．D．5x+3＝03．关于x的方程（m﹣3）x2﹣x＝0是一元二次方程，则m的取值范围是．4．已知方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0．（1）当m为何值时，它是一元二次方程？（2）当m为何值时，它是一元一次方程？二．一元二次方程的一般形式5．方程3x2＝5x+7的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3，5，7B．3，﹣5，﹣7C．3，﹣5，7D．3，5，﹣76．方程5x2＝21﹣9x化成一般形式后，若二次项的系数为5，则它的一次项系数是（）A．9B．﹣9C．9x D．﹣9x7．一元二次方程2x2+1＝6x化成一般形式后，一次项和常数项分别是（）A．2x2、1B．2、6C．﹣6x、1D．﹣6、18．一元二次方程x2﹣2x+1＝0的二次项是x2，则一次项和常数项分别是（）A．2x和1B．2x和﹣1C．﹣2x和﹣1D．﹣2x和19．方程x（x+5）＝5x﹣10化成一般形式后，它的一次项系数是（）A．﹣5B．5C．0D．1010．一元二次方程x（x﹣2）＝1化成一般形式后，若一次项系数为﹣2，则它的常数项是（）A．﹣2B．2C．﹣1D．111．将一元二次方程3x2+1＝6x化为一般形式后二次项系数为3，则一次项系数为．三．一元二次方程的解12．已知a是方程x2+x﹣2021＝0的一个根，则的值为（）A．2020B．2021C．D．13．若x＝0是一元二次方程x2+x+b2﹣4＝0的一个根，则b的值是（）A．2B．﹣2C．±2D．414．已知x＝﹣2是关于x的方程2x2﹣4a＝0的一个解，则a的值是（）A．﹣1B．1C．﹣2D．215．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根为﹣1，则m的值为（）A．﹣3B．﹣1C．1D．216．若x＝3是关于x的一元二次方程x2﹣mx﹣3＝0的一个解，则m的值是（）A．2B．1C．0D．﹣217．若关于x的方程x2+2mx+n＝0的一个根为2，则代数式4m+n的值为．18．已知关于x的一元二次方程x2+a2x+a﹣3＝0的一个根是1，则3a2+3a﹣4的的值为．19．若x＝2是方程x2﹣mx+2＝0的根，则m＝．20．若2是方程x2﹣c＝0的一个根，则c的值为．21．若a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2021a+的值．22．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC 三边的长．（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；（2）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．参考答案一．一元二次方程的定义1．解：∵关于x的方程ax2+2x﹣5＝0是一元二次方程，∴a≠0，故选：C．2．解：A、该方程属于二元二次方程，故本选项不符合题意．B、该方程属于一元二次方程，故本选项符合题意．C、该方程属于分式方程，故本选项不符合题意．D、该方程属于一元一次二次方程，故本选项不符合题意．故选：B．3．解：由题意得：m﹣3≠0，解得：m≠3，故答案为：m≠3．4．解：（1）∵方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程，∴，解得：m＝±，所以当m为或﹣时，方程方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元二次方程；（2）∵方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程，∴或m2＝1或m＝2，解得，m＝2或m＝±1，0，故当m为2或±1，0时，方程方程（m﹣2）+（m﹣3）x+1＝0为一元一次方程．二．一元二次方程的一般形式5．解：方程3x2＝5x+7转化为一般形式为3x2﹣5x﹣7＝0，其中二次项系数、一次项系数、常数项分别为3，﹣5，﹣7，故选：B．6．解：5x2＝21﹣9x，5x2+9x﹣21＝0，一次项系数是9，故选：A．7．解：2x2+1＝6x，2x2﹣6x+1＝0，所以一次项和常数项分别是﹣6x，1，故选：C．8．解：因为项包括前面的符号，所以方程x2﹣2x+1＝0的一次项和常数项分别是：﹣2x和1．故选：D．9．解：x（x+5）＝5x﹣10，∴x2+5x＝5x﹣10，∴x2+5x﹣5x+10＝0，即x2+0×x+10＝0，∴一次项系数是0，故选：C．10．解：x（x﹣2）＝1，x2﹣2x﹣1＝0，一次项系数是﹣2，常数项是﹣1，故选：C．11．解：一元二次方程3x2+1＝6x化为一般形式为3x2﹣6x+1＝0，二次项系数和一次项系数分别为3，﹣6，故答案是：﹣6．三．一元二次方程的解12．解：∵a是一元二次方程x2+x﹣2021＝0的一个根，∴a2+a﹣2021＝0，∴a2+a＝2021，∴＝﹣＝＝，故选：D．13．解：把x＝0代入x2+x+b2﹣4＝0得b2﹣4＝0，解得b＝±2，∵b﹣1≥0，∴b≥1，∴b＝2．故选：A．14．解：把x＝﹣2代入方程得：2×4﹣4a＝0，解得：a＝2．故选：D．15．解：∵关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0的一个根是﹣1，∴（﹣1）2﹣2×（﹣1）+m＝0，解得：m＝﹣3．故选：A．16．解：将x＝3代入方程得：9﹣3m﹣3＝0，解得：m＝2．故选：A．17．解：把x＝2代入方程x2+2mx+n＝0得4+4m+n＝0，所以4m+n＝﹣4．故答案为﹣4．18．解：由题意，得1+a2+a﹣3＝0，∴a2+a﹣2＝0，则a2+a＝2，∴3a2+3a﹣4＝3（a2+a）﹣4＝6﹣4＝2．故答案为：2．19．解：∵x＝2是方程x2﹣mx+2＝0的一个根，∴22﹣2m+2＝0，解得m＝3，故答案为：3．20．解：根据题意，将x＝2代入方程x2﹣c＝0，得：4﹣c＝0，解得c＝4，故答案为：4．21．解：∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2﹣2020a+1＝0，∴a2＝2020a﹣1，∴a2﹣2021a+＝2020a﹣1﹣2021a+＝﹣a+a﹣1＝﹣1．22．解：（1）△ABC是等腰三角形，理由是：∵把x＝1代入方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0得：a+c﹣2b+a﹣c＝0，∴2a＝2b，∴a＝b，∴△ABC的形状是等腰三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c，∵（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，∴（a+a）x2﹣2ax+a﹣a＝0，即x2﹣x＝0，解得：x1＝0，x2＝1，即这个一元二次方程的根是x1＝0，x2＝1．。
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2.1 认识一元二次方程 （1）练习
一、选择题
1．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A ．（x －1）2＝x 2
B ．2x 2
＋x
1＋1＝0 C ．ax 2＋bx ＋1＝0 D ．x 2
＝1
2．下列方程中，不是一元二次方程的是（ ） A ．（x ＋2）（x －3）＝2 B ．3x 2＋xy －2y 2
＝0 C ．8x 2
－x ＝0
D ．（x －1）2
＝0
3．方程5x 2
＝6x －8的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．5，6，－8
B ．5，－6，－8
C ．5，－6，8
D ．6，5，－8
4．下列方程中，一定是关于x 的一元二次方程的是（ ） A ．ax 2
＋bx ＋c ＝0 B ．k 2x 2
＋5k ＋6＝0 C ．
021
42333＝－－x x
D ．（m 2
＋3）x 2
＋
x 3－2＝0
5．关于x 的一元二次方程（a －1）x 2
＋x ＋a 2－1＝0的一个根为0，则a 的值为（ ） A ．1
B ．－1
C ．1或－1
D ．2
1
6．某商场第一季度的利润是82.75万元．其中一月份的利润是25万元，若利润平均月增长率为x ，则依题意列方程为（ ） A ．25（1＋x ）2
＝82.75
B ．25＋50x ＝82.75
C ．25＋75x ＝82.75
D ．25[1＋（1＋x ）＋（1＋x ）2
]＝82.75
7．若（a －1）x 2
＋bx ＋c ＝0是关于x 的一元二次方程，则（ ） A ．a ≠0
B ．a ＝0
C ．a ＝1
D ．a ≠1
8．若（m －1）12
＋m x ＝5是一元二次方程，则m 的值为（ ）
A ．±1
B ．－1
C ．1
D ．2
9．关于x 的一元二次方程（3－x ）（3＋x ）－2a （x ＋1）＝5a 的一次项系数为（ ） A ．8a B ．－8a C ．2a D ．7a －9
二、填空题
10．把方程25
32
12
＝
＋）－（x x 化为一元二次方程一般形式是________，一次项是________，二次项系数是________，常数项是________。
11．写出一个二次项系数与常数项互为相反数的一元二次方程________。
12．已知2是关于x 的方程 2
23x －2a ＝0
的一个解，则2a －1＝________。
三、解答题
13．把下列一元二次方程化成一般形式ax 2
＋bx ＋c ＝0（a ≠0），并确定a 、b 、c 的值。
（1）（x －1）（x ＋3）＝6； （2）（2x ＋1）2
＝6． 14．已知x ＝－3是方程x 2
－ax ＋6＝0的根，求代数式36
1216822＋＋＋＋＋a a a a 的值。
15．已知关于x 的方程（2k ＋1）x 2
－4kx ＋（k －1）＝0，问：
（1）k 为何值时，此方程是一元一次方程?求出这个一元一次方程的根。
（2）k为何值时，此方程为一元二次方程?并写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。