2016届高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数阶段回扣练
2016届高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第7讲 函数的图象
第7讲 函数的图象最新考纲 1.理解点的坐标与函数图象的关系；2.会利用平移、对称、伸缩变换，由一个函数图象得到另一个函数的图象；3.会运用函数图象理解和研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式的解的问题．知 识 梳 理1．函数图象的作法(1)描点法作图：通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象．用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象．(2)图象变换法作图：一个函数的图象经过适当的变换，得到另一个与之有关的函数图象，在高考中要求学生掌握三种变换(平移变换、伸缩变换、对称变换)．2．函数图象间的变换 (1)平移变换对于平移，往往容易出错，在实际判断中可熟记口诀：左加右减，上加下减． (2)对称变换(3)伸缩变换y ＝f (x )――→纵坐标不变各点横坐标变为原来的1a a ＞0 倍y ＝f (ax )．y ＝f (x )――→横坐标不变各点纵坐标变为原来的A A ＞0 倍y ＝Af (x )．诊 断 自 测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT 展示(1)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)的图象相同．(×)(2)函数y ＝f (x )与y ＝－f (x )的图象关于原点对称．(×)(3)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(√)(4)若函数y ＝f (x )满足f (x －1)＝f (x ＋1)，则函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称．(×)(5)将函数y ＝f (－x )的图象向右平移1个单位得到函数y ＝f (－x －1)的图象．(×) 2．(2014·浙江卷)在同一直角坐标系中，函数f (x )＝x a(x ≥0)，g (x )＝log a x 的图象可能是( )解析 ∵a ＞0，且a ≠1，∴f (x )＝x a在(0，＋∞)上单调递增，∴排除A ；当0＜a ＜1或a ＞1时，B ，C 中f (x )与g (x )的图象矛盾，故选D.答案 D3．(2014·山东卷)已知函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1，c ＞1B ．a ＞1,0＜c ＜1C ．0＜a ＜1，c ＞1D ．0＜a ＜1,0＜c ＜1解析 由题图可知，函数在定义域内为减函数，所以0＜a ＜1.又当x ＝0时，y ＞0，即log a c ＞0，所以0＜c ＜1.答案 D4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2，x >m ，x 2＋4x ＋2，x ≤m 的图象与直线y ＝x 恰有三个公共点，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[－1,2)C ．[－1,2]D ．[2，＋∞)解析 法一 特值法，令m ＝2，排除C 、D ，令m ＝0，排除A ，故选B. 法二 令x 2＋4x ＋2＝x ，解得x ＝－1或x ＝－2， 所以三个解必须为－1，－2和2，所以有－1≤m <2. 故选B. 答案 B5．(人教A 必修1P112A2)点P 从点O 出发，按逆时针方向沿周长为l 的图形运动一周，O ，P 两点连线的距离y 与点P 走过的路程x 的函数关系如图，那么点P 所走的图形是( )答案 C考点一 简单函数图象的作法 【例1】 作出下列函数的图象： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝x ＋2x －1. 解 (1)y ＝|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ， x ≥1，－lg x ， 0＜x ＜1，作出图象如图1.(2)因y ＝1＋3x －1，先作出y ＝3x的图象，将其图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位，即得y ＝x ＋2x －1的图象，如图2.规律方法 (1)常见的几种函数图象如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y ＝x ＋m x(m ＞0)的函数是图象变换的基础．(2)常握平移变换、伸缩变换、对称变换规律，可以帮助我们简化作图过程．【训练1】 作出下列函数的图象：(1)y ＝2x ＋2；(2)y ＝x 2－2|x |－1.解 (1)将y ＝2x的图象向左平移2个单位．图象如图 1.(2)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x －1 x ≥0 ，x 2＋2x －1 x ＜0 .图象如图2.考点二 函数图象的辨识【例2】 (1)(2014·成都三诊)函数y ＝2x|cos2x |22x －1的部分图象大致为( )(2)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3xx ≤1 ， log 13 x x ＞1 ，则y ＝f (1－x )的图象是( )解析 (1)依题意，注意到当x ＞0时，22x－1＞0，2x|cos 2x |≥0，此时y ≥0；当x ＜0时，22x－1＜0，2x|cos2x |≥0，此时y ≤0，结合各选项知，故选A.(2)画出y ＝f (x )的图象，再作其关于y 轴对称的图象，得到y ＝f (－x )的图象，再将所得图象向右平移1个单位，得到y ＝f [－(x －1)]＝f (－x ＋1)的图象．答案 (1)A (2)C规律方法 函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．【训练2】 函数f (x )＝(1－cos x )sin x 在[－π，π]的图象大致为( )解析 因为f (－x )＝[1－cos(－x )]sin(－x )＝－(1－cos x )·sin x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，图象关于原点对称，排除B ；当x ∈(0，π)时，1－cos x ＞0，sin x ＞0，所以f (x )＞0，排除A ；又函数f (x )的导函数f ′(x )＝sin 2x －cos 2x ＋cos x ，所以f ′(0)＝0，排除D ，故选C.答案 C考点三 函数图象的应用【例3】 (1)函数f (x )＝2ln x 的图象与函数g (x )＝x 2－4x ＋5的图象的交点个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0(2)已知函数y ＝|x 2－1|x －1的图象与函数y ＝kx －2的图象恰有两个交点，则实数k 的取值范围是________．解析 (1)在同一直角坐标系下画出函数f (x )＝2ln x 与函数g (x )＝x 2－4x ＋5＝(x －2)2＋1的图象，如图所示．∵f (2)＝2ln 2＞g (2)＝1，∴f (x )与g (x )的图象的交点个数为2，故选B.(2)根据绝对值的意义，y ＝|x 2－1|x －1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1 x ＞1或x ＜－1 ，－x －1 －1≤x ＜1 .在直角坐标系中作出该函数的图象，如图中实线所示．根据图象可知，当0＜k ＜1或1＜k ＜4时有两个交点．答案 (1)B (2)(0,1)∪(1,4)规律方法 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解．数形结合是常用的思想方法．【训练3】 (1)已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[－1,1]时，f (x )＝x 2，那么函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝|lg x |的图象的交点共有( )A．10个B．9个C．8个D．7个(2)(2014·黄冈调研)设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f(x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________ .解析(1)根据f(x)的性质及f(x)在[－1,1]上的解析式可作图如下可验证当x＝10时，y＝|lg 10|＝1；当x＞10时，|lg x|＞1.因此结合图象及数据特点知y＝f(x)与y＝|lg x|的图象交点共有10个．(2)如图，要使f(x)≥g(x)恒成立，则－a≤1，∴a≥－1.答案(1)A (2)[－1，＋∞)微型专题函数图象的对称性问题函数图象的对称性反映了函数的特性，是研究函数性质的一个重要方面，它包含一个函数图象自身的对称性和两个函数图象之间的对称性，其中两个函数图象之间对称性的实质是两个函数图象上的对应点之间的对称性，所以问题的关键在于找到对应点的坐标之间的对称性，可取同一个y值，寻找它们横坐标之间的对称性或者取同一个x值，寻找它们纵坐标之间的对称性．例4下列说法中，正确命题的个数为( )①函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象关于直线y＝0对称；②函数y＝f(x)与函数y＝－f(－x)的图象关于坐标原点对称；③如果函数y＝f(x)对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，那么y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称；④函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．A．1 B．2C．3 D．4点拨先注意区别是一个函数图象自身的对称还是两个函数图象之间的对称，再根据函数图象关于坐标轴、原点或一条垂直于x轴的直线对称所满足的条件逐个分析判断．解析对于①，把函数y＝f(x)中的y换成－y，x保持不变，得到的函数的图象与原函数的图象关于x轴对称；对于②，把函数y＝f(x)中的x换成－x，y换成－y，得到的函数的图象与原函数的图象关于原点对称；对于③，若对于一切x∈R，都有f(a＋x)＝f(a－x)，则f(x)的图象关于直线x＝ a＋x ＋ a－x2＝a对称；对于④，因为函数y＝f(x)与y＝f(－x)的图象关于y轴对称，它们的图象分别向右平移1个单位长度得到函数y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象；即y＝f(x－1)与y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．答案 D点评本题的难点在于对函数图象的各种对称的正确理解，熟练掌握这些基础知识是化解难点的关键．在复习备考中要对函数图象的各种对称进行总结.[思想方法]1．列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等；(2)可通过函数图象的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的同解变形，如作函数y＝1－x2的图象．2．合理处理识图题与用图题(1)识图对于给定函数的图象，要从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(2)用图要用函数的思想指导解题，即方程的问题函数解(方程的根即相应函数图象与x轴交点的横坐标，或是方程变形后，等式两端相对应的两函数图象交点的横坐标)，不等式的问题函数解(不等式的解集即一个函数图象在另一个函数图象的上方或下方时的相应x的范围)．[易错防范]1．用描点法作函数图象时，要注意取点合理，并用“平滑”的曲线连接，作完后要向两端伸展一下，以表示在整个定义域上的图象．2．要注意一个函数的图象自身对称和两个不同的函数图象对称的区别．基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·保定模拟)函数y＝21－x的大致图象为( )解析 y ＝21－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1，因为0＜12＜1，所以y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1为减函数，取x ＝0时，则y ＝2，故选A.答案 A2．函数f (x )＝ln(x 2＋1)的图象大致是( )解析 函数f (x )＝ln(x 2＋1)的定义域为(－∞，＋∞)，又因为f (－x )＝f (x )，故f (x )为偶函数且f (0)＝ln 1＝0，综上选A.答案 A3．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点( )A ．向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度B ．向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C ．向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D ．向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度 解析 y ＝lgx ＋310＝lg(x ＋3)－1，将y ＝lg x 的图象向左平移3个单位长度得到y ＝lg(x＋3)的图象，再向下平移1个单位长度，得到y ＝lg(x ＋3)－1的图象．答案 C4．使log 2(－x )＜x ＋1成立的x 的取值范围是( ) A ．(－1,0) B ．[－1,0) C ．(－2,0)D ．[－2,0)解析 在同一坐标系内作出y ＝log 2(－x )，y ＝x ＋1的图象，知满足条件的x ∈(－1,0)，故选A.答案 A5．函数y ＝x ln|x ||x |的图象可能是( )解析 法一 函数y ＝x ln|x ||x |的图象过点(e,1)，排除C ，D ；函数y ＝x ln|x ||x |的图象过点(－e ，－1)，排除A.法二 由已知，设f (x )＝x ln|x ||x |，则f (－x )＝－f (x )，故函数f (x )为奇函数，排除A ，C ，当x ＞0时，f (x )＝ln x 在(0，＋∞)上为增函数，排除D.答案 B 二、填空题6．函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x关于y 轴对称，则f (x )＝________.解析 与y ＝e x 图象关于y 轴对称的函数为y ＝e －x，依题意，f (x )图象向右平移一个单位，得y ＝e －x的图象．∴f (x )的图象可由y ＝e －x的图象向左平移一个单位得到．∴f (x )＝e－(x ＋1)＝e－x －1.答案 e －x －17．若方程|ax |＝x ＋a (a >0)有两个解，则a 的取值范围是________． 解析 画出y ＝|ax |与y ＝x ＋a 的图象，如图．只需a >1.答案 (1，＋∞)8．(2015·长沙模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x x ＞0 ，2xx ≤0 ，且关于x 的方程f (x )－a＝0有两个实根，则实数a 的范围是________．解析 当x ≤0时，0＜2x≤1，所以由图象可知要使方程f (x )－a ＝0有两个实根，即函数y ＝f (x )与y ＝a 的图象有两个交点，所以由图象可知0＜a ≤1.答案 (0,1] 三、解答题 9．已知函数f (x )＝x1＋x. (1)画出f (x )的草图；(2)指出f (x )的单调区间．解 (1)f (x )＝x1＋x ＝1－1x ＋1，函数f (x )的图象是由反比例函数y ＝－1x的图象向左平移1个单位后，再向上平移1个单位得到，图象如图所示．(2)由图象可以看出，函数f (x )的单调递增区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)． 10．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 2－1，x ∈ －∞，1]∪[3，＋∞ ，－ x －2 2＋1，x ∈ 1，3 ，作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]． (2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0＜m ＜1，∴M ＝{m |0＜m ＜1}．能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x －1，x ≥0，x 2－2x －1，x <0，则对任意x 1，x 2∈R ，若0<|x 1|<|x 2|，下列不等式成立的是( )A ．f (x 1)＋f (x 2)<0B ．f (x 1)＋f (x 2)>0C ．f (x 1)－f (x 2)>0D ．f (x 1)－f (x 2)<0解析函数f (x )的图象如图所示：且f (－x )＝f (x )，从而函数f (x )是偶函数且在[0，＋∞)上是增函数．又0<|x 1|<|x 2|，∴f (x 2)>f (x 1)，即f (x 1)－f (x 2)<0.答案 D12．函数y ＝11－x的图象与函数y ＝2sin πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．2B ．4C ．6D ．8 解析 令1－x ＝t ，则x ＝1－t .由－2≤x ≤4，知－2≤1－t ≤4，所以－3≤t ≤3.又y ＝2sin πx ＝2sin π(1－t )＝2sin πt .在同一坐标系下作出y ＝1t和y ＝2sin πt 的图象．由图可知两函数图象在[－3,3]上共有8个交点，且这8个交点两两关于原点对称． 因此这8个交点的横坐标的和为0，即t 1＋t 2＋…＋t 8＝0.也就是1－x 1＋1－x 2＋…＋1－x 8＝0，因此x 1＋x 2＋…＋x 8＝8.答案 D13．已知f (x )是以2为周期的偶函数，当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，且在[－1,3]内，关于x 的方程f (x )＝kx ＋k ＋1(k ∈R ，k ≠－1)有四个根，则k 的取值范围是________．解析 由题意作出f (x )在[－1,3]上的示意图如图，记y ＝k (x ＋1)＋1，∴函数y ＝k (x ＋1)＋1的图象过定点A (－1,1)．记B (2,0)，由图象知，方程有四个根，即函数y ＝f (x )与y ＝kx ＋k ＋1的图象有四个交点，故k AB ＜k ＜0，k AB ＝0－12－ －1 ＝－13，∴－13＜k ＜0.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，0 14．已知函数f (x )的图象与函数h (x )＝x ＋1x＋2的图象关于点A (0,1)对称． (1)求f (x )的解析式；(2)若g (x )＝f (x )＋a x ，且g (x )在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围． 解 (1)设f (x )图象上任一点P (x ，y )，则点P 关于(0,1)点的对称点P ′(－x,2－y )在h (x )的图象上，即2－y ＝－x －1x ＋2，∴y ＝f (x )＝x ＋1x(x ≠0)． (2)g (x )＝f (x )＋a x ＝x ＋a ＋1x ，g ′(x )＝1－a ＋1x 2. ∵g (x )在(0,2]上为减函数，∴1－a ＋1x 2≤0在(0,2]上恒成立，即a ＋1≥x 2在(0,2]上恒成立，∴a ＋1≥4，即a ≥3，故a 的取值范围是[3，＋∞).。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数(Ⅰ)
热点探究课(一) 函数的图象与性质[命题解读] 函数是中学数学的核心概念，函数的图象与性质既是中学数学教学的重点，又是高考考查的重点与热点，题型以填空题为主，既重视三基，又注重思想方法的考查，备考时，要透彻理解函数，尤其是分段函数的概念，切实掌握函数的性质，并加强函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想的应用意识．热点1 函数图象的应用利用函数图象研究方程的解、不等式的解集等是高考的热点，多以填空题的形式出现，属中档题目，主要考查学生的数形结合意识以及用图象解答问题的能力．已知f (x )为偶函数，当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧cos πx ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，2x －1，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞，则不等式f (x －1)≤12的解集为________. 【导学号：62172064】⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74 [画出函数f (x )的图象，如图，当0≤x ≤12时，令f (x )＝cos πx ≤12，解得13≤x ≤12；当x ＞12时，令f (x )＝2x －1≤12，解得12＜x ≤34，故有13≤x ≤34.因为f (x )是偶函数，所以f (x )≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，－13∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，34，故f (x －1)≤12的解集为⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤43，74.][迁移探究1] 在本例条件下，若关于x 的方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，求实数k 的取值范围．[解] 由函数f (x )的图象(图略)可知，当k ＝0或k >1时，方程f (x )＝k 有2个不同的实数解，即实数k 的取值范围是k ＝0或k >1.[迁移探究2] 在本例条件下，若函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，求实数k 的取值范围．[解] 函数y ＝f (x )－k |x |恰有两个零点，即函数y ＝f (x )的图象与y ＝k |x |的图象恰有两个交点，借助函数图象(图略)可知k ≥2或k ＝0，即实数k 的取值范围为k ＝0或k ≥2.[规律方法] 1.利用函数的图象研究函数的性质，一定要注意其对应关系，如：图象的左右范围对应定义域，上下范围对应值域，上升、下降趋势对应单调性，对称性对应奇偶性．2．有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数图象的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值或范围．3．有关不等式的问题常常转化为两个函数图象的上、下关系来解． [对点训练1] (2017·镇江期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|log 2x |，0＜x ＜2，x ＋22x，x ≥2，若0＜a ＜b ＜c ，满足f (a )＝f (b )＝f (c )，则abf c的范围是________．(1,2) [如图所示，∵0＜a ＜b ＜c ，且f (a )＝f (b )＝f (c )， ∴－log 2a ＝log 2b ，即ab ＝1， 又由图可知12＜f (c )＜1，故1＜1f c＜2，∴ab f c ＝1f c∈(1,2)．] 热点2 函数性质的综合应用对函数性质的考查，以单调性、奇偶性和周期性为主，同时融合函数的零点问题，重在考查学生的等价转化能力及数形结合意识，难度中等．熟练掌握上述性质是解此类题的关键． ☞角度1 单调性与奇偶性结合(2016·天津高考改编)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增．若实数a 满足f (2|a －1|)>f (－2)，则a 的取值范围是________．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32 [因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增，所以f (－x )＝f (x )，且f (x )在(0，＋∞)上单调递减．由f (2|a －1|)＞f (－2)，f (－2)＝f (2)可得2|a －1|＜2，即|a －1|＜12，所以12＜a ＜32.]☞角度2 奇偶性与周期性结合(2017·南通二模)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对于任意的x∈[0，＋∞)，满足f(x＋2)＝f(x)，若当x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，则函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上的零点个数为________．7[由f(x＋2)＝f(x)可知，f(x)在[0，＋∞)上是周期为2的函数，又x∈[0,2)时，f(x)＝|x2－x－1|，且f(x)为偶函数，故f(x)在[－2,4]上的图象如图所示．由图可知y＝f(x)与y＝1有7个交点，故函数y＝f(x)－1在区间[－2,4]上有7个零点．]☞角度3 单调性、奇偶性与周期性结合已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0,2]上是增函数，则f(－25)，f(11)，f(80)的大小关系为________．f(－25)＜f(80)＜f(11) [因为f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，所以f(x－8)＝f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(－25)＝f(－1)，f(80)＝f(0)，f(11)＝f(3)．由f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x－4)＝－f(x)，得f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)．因为f(x)在区间[0,2]上是增函数，f(x)在R上是奇函数，所以f(x)在区间[－2,2]上是增函数，所以f(－1)＜f(0)＜f(1)，即f(－25)＜f(80)＜f(11)．][规律方法]函数性质综合应用问题的常见类型及解题方法(1)函数单调性与奇偶性结合．注意函数单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．(2)周期性与奇偶性结合．此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解．(3)周期性、奇偶性与单调性结合．解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解．热点3 函数图象与性质的综合应用函数的零点、方程的根和函数图象的交点横坐标之间的等价转化思想和数形结合思想是解答此类问题的关键所在．因此在处理此类问题时，务必要结合题设信息实现知识转化．以填空题压轴题据多，求解时务必细心．(2015·江苏高考)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为______．4 [令h (x )＝f (x )＋g (x )， 则h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ln x ，0＜x ≤1，－x 2＋ln x ＋2，1＜x ＜2，x 2＋ln x －6，x ≥2，当1＜x ＜2时，h ′(x )＝－2x ＋1x ＝1－2x2x＜0，故当1＜x ＜2时h (x )单调递减，在同一坐标系中画出y ＝|h (x )|和y ＝1的图象如图所示．由图象可知|f (x )＋g (x )|＝1的实根个数为4.][规律方法] 解决分段函数与函数零点的综合问题的关键在于“对号入座”，即根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解零点，注意取值范围内的大前提，以及函数性质和数形结合在判断零点个数时的强大功能．[对点训练2] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________.【导学号：62172065】(－∞，1) [函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x－1，x ≤0，f x －1，x ＞0的图象如图所示，当a <1时，函数y ＝f (x )的图象与函数f (x )＝x ＋a 的图象有两个交点，即方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根．]热点探究训练(一)A 组 基础达标 (建议用时：30分钟)一、填空题1．(2017·镇江期中)函数f (x )＝12－lg x 的定义域是________． (0，10] [由12－lg x ≥0得lg x ≤12，即0<x ≤10.]2．(2017·常州期末)函数f (x )＝log 2(－x 2＋22)的值域为________.【导学号：62172066】⎝⎛⎦⎥⎤－∞，32 [∵－x 2＋22≤22，且y ＝log 2x 在(0,22]上单调递增，故log 2x ≤log 222＝log 2232＝32.]3．(2017·如皋中学高三第一次月考)若函数f (x )＝x 2e x ＋me x－1(e 为自然对数的底数)是奇函数，则实数m 的值为________．1 [由f (－x )＝－f (x )得x 2e －x ＋me －x－1＝－x 2e x ＋me x－1，即1＋m e x＝e x＋m ，故m ＝1.]4．若函数f (x )＝a sin 2x ＋b tan x ＋1，且f (－3)＝5，则f (π＋3)＝________.【导学号：62172067】－3 [令g (x )＝a sin 2x ＋b tan x ，则g (x )是奇函数，且最小正周期是π，由f (－3)＝g (－3)＋1＝5，得g (－3)＝4，则g (3)＝－g (－3)＝－4，则f (π＋3)＝g (π＋3)＋1＝g (3)＋1＝－4＋1＝－3.]5．已知函数f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，当x ∈[0,2)时，f (x )＝x 2，若对于任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )，则f (2)－f (3)的值为________．1 [由题意得f (2)＝f (－2＋4)＝f (－2)＝－f (2)， ∴f (2)＝0.∵f (3)＝f (－1＋4)＝f (－1)＝－f (1)＝－1， ∴f (2)－f (3)＝1.]6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是________．[－1,2) [由题意知g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x ，x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .因为g (x )有三个不同的零点，所以2－x ＝0在x ＞a 时有一个解．由x ＝2，得a ＜2. 由x 2＋3x ＋2＝0，得x ＝－1或x ＝－2， 由x ≤a ，得a ≥－1.综上，a 的取值范围为[－1,2)．]7．(2017·南通第一次学情检测)已知f (x )为定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x－2，则不等式f (x －1)≤6的解集是________. 【导学号：62172068】[－2,4] [∵f (x )为R 上的偶函数， ∴当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝2－x－2， 即f (x )＝2－x －2. ∵f (x －1)≤6，∴当x －1≥0，即x ≥1时， 2x －1－2≤6，解得1≤x ≤4； 当x －1<0，即x <1时，21－x－2≤6，解得－2≤x <1.综上可知，f (x －1)≤6的解集为[－2,4]．]8．已知函数f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数与奇函数，且g (x )＝f (x －1)，则f (2 019)的值为________．0 [g (－x )＝f (－x －1)，由f (x )，g (x )分别是偶函数与奇函数，得g (x )＝－f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )，故函数f (x )是以4为周期的周期函数，则f (2 019)＝f (505×4－1)＝f (－1)＝g (0)＝0.]9．已知函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，且当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝|log 2x |，若a ＝f (－3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，c ＝f (2)，则a ，b ，c 的大小关系是________． b ＞a ＞c [由函数y ＝f (x ＋2)的图象关于直线x ＝－2对称，得函数y ＝f (x )的图象关于y 轴对称，即y ＝f (x )是偶函数．当x ∈(0,1)时，f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＝|log 2x |，且x ∈[1，＋∞)时，f (x )＝log 2x 单调递增，又a ＝f (－3)＝f (3)，b ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f (4)，所以b ＞a ＞c .] 10．(2017·南京一模)设f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )＝2x＋m2x ，设g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x ，x ＞1，f －x ，x ≤1，若函数y ＝g (x )－t 有且只有一个零点，则实数t 的取值范围是________．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，32 [由f (x )为R 上的奇函数可知，f (0)＝0，即1＋m ＝0，m ＝－1，∴f (x )＝2x－12x ，∴g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－12x ，x ＞1，12x－2x，x ≤1.又当x ＞1时，g (x )为增函数， ∴g (x )＞g (1)＝2－12＝32，当x ≤1时，g (x )为减函数， ∴g (x )≥g (1)＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝－32. 要使g (x )－t ＝0有且只有一解，即函数y ＝g (x )与y ＝t 的图象只有一个交点(图略)，故－32≤t ≤32.]二、解答题11．(2017·镇江期中)已知函数f (x )＝log 2x4log 22x .(1)解不等式f (x )>0；(2)当x ∈[1,4]时，求f (x )的值域．[解] (1)函数f (x )＝log 2x4·log 22x ＝(log 2x －log 24)(log 22＋log 2x )＝(log 2x )2－log 2x －2，x ∈(0，＋∞)． 令f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2>0， 则log 2x >2或log 2x <－1，故x >4或0<x <12.(2)若x ∈[1,4]，则0≤log 2x ≤2，f (x )＝(log 2x )2－log 2x －2＝⎝⎛⎭⎪⎫log 2x －122－94，当log 2x ＝12即x ＝2时，f (x )min ＝－94；当log 2x ＝2即x ＝4时，f (x )max ＝0.故f (x )值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－94，0. 12．(2017·启东中学高三第一次月考)已知函数f (x )＝－2x＋m2x ＋1＋n (其中m ，n 为参数)．(1)当m ＝n ＝1时，证明：f (x )不是奇函数； (2)如果f (x )是奇函数，求实数m ，n 的值；(3)已知m >0，n >0，在(2)的条件下，求不等式f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0的解集． [解] 证明：(1)f (x )＝－2x＋12x ＋1＋1，∴f (1)＝－2＋122＋1＝－15，f (－1)＝－12＋12＝14，∵f (－1)≠－f (1)，∴f (x )不是奇函数． (2)由f (x )是奇函数得f (－x )＝－f (x )，即－2－x＋m 2－x ＋1＋n ＝－－2x＋m2x ＋1＋n 对定义域内任意实数x 都成立，化简整理得关于x 的恒等式(2m －n )·22x＋(2mn －4)·2x＋(2m －n )＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝0，2mn －4＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝2.(3)由题意得m ＝1，n ＝2，∴f (x )＝－2x＋12x ＋1＋2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫－1＋22x ＋1，易判断f (x )在R 上递减，∵f (f (x ))＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14<0， ∴f (f (x ))<－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，∴f (x )>－14，∴2x<3，∴x <log 23，即所求不等式的解集为(－∞，log 23)．B 组 能力提升 (建议用时：15分钟)1．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＜f (1)的解集为________．⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e [f (x )为R 上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x ＝f (－ln x )＝－f (ln x )，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ln x －f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1x 2＝|fln x ＋f ln x|2＝|f (ln x )|，即原不等式可化为|f (lnx )|＜f (1)，所以－f (1)＜f (ln x )＜f (1)，即f (－1)＜f (ln x )＜f (1)．又由已知可得f (x )在R 上单调递增，所以－1＜ln x ＜1，解得1e＜x ＜e.]2．(2017·泰州中学高三摸底考试)对于函数y ＝f (x )，若存在区间[a ，b ]，当x ∈[a ，b ]时的值域为[ka ，kb ](k >0)，则称y ＝f (x )为k 倍值函数．若f (x )＝ln x ＋x 是k 倍值函数，则实数k 的取值范围是________．⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋1e [由题意得lnx ＋x ＝kx 有两个不同的解，k ＝ln x x ＋1，则k ′＝1－ln x x 2＝0⇒x ＝e ，因此当0<x <e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1＋1e ，当x >e 时，k ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1＋1e ，从而要使ln x＋x ＝kx 有两个不同的解，需k ∈⎝⎛⎭⎪⎫1，1＋1e .] 3．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值．[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f8＝2，f1＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)] ＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)．∵x 2x －1＝x －12＋2x －1＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥2x －1·1x －1＋2＝4.当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立． 而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增， 则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1. 4．已知函数f (x )＝x 2－1，g (x )＝a |x －1|.(1)若当x ∈R 时，不等式f (x )≥g (x )恒成立，求实数a 的取值范围； (2)求函数h (x )＝|f (x )|＋g (x )在区间[0,2]上的最大值．[解] (1)不等式f (x )≥g (x )对x ∈R 恒成立，即x 2－1≥a |x －1|(*)对x ∈R 恒成立． ①当x ＝1时，(*)显然成立，此时a ∈R ；②当x ≠1时，(*)可变形为a ≤x 2－1|x －1|，令φ(x )＝x 2－1|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x >1，－x ＋1，x <1.因为当x >1时，φ(x )>2，当x <1时，φ(x )>－2， 所以φ(x )>－2，故此时a ≤－2.综合①②，得所求实数a 的取值范围是(－∞，－2]． (2)h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax ＋a ＋1，0≤x <1，0，x ＝1，x 2＋ax －a －1，1<x ≤2.①当－a2≤0，即a ≥0时， (－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (0)＝a ＋1， (x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3. 此时，h (x )max ＝a ＋3. ②当0<－a2≤1，即－2≤a <0时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max＝h ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 2＝a 24＋a ＋1，(x 2＋ax －a －1)max ＝h (2)＝a ＋3.此时h (x )max ＝a ＋3. ③当1<－a2≤2，即－4≤a <－2时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0，(x 2＋ax －a －1)max ＝max{h (1)，h (2)}＝max{0,3＋a }＝⎩⎪⎨⎪⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.此时h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，－4≤a <－3，3＋a ，－3≤a <－2.④当－a2>2，即a <－4时，(－x 2－ax ＋a ＋1)max ＝h (1)＝0， (x 2＋ax －a －1)max ＝h (1)＝0. 此时h (x )max ＝0.11 综上：h (x )max ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3＋a ，a ≥－3，0，a <－3.。
第二章 函数概念与基本初等函数(题)1-3
第二章函数概念与基本初等函数第一节函数及其表示最新考纲：1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．知识梳理1．函数与映射的概念提示：函数是特殊的映射，二者区别在于映射定义中的两个集合是非空集合，可以不是数集，而函数中的两个集合必须是非空数集．2．函数的相关概念(1)函数的三要素是定义域、值域和对应关系．(2)相等函数如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等．问题探究2：如果两个函数的定义域与值域相同，则它们是否为相等函数？提示：不一定，如函数f(x)＝x和函数g(x)＝－x的定义域和值域均为R，但两者显然不是同一函数．3．函数的表示法表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．4．分段函数若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝x 2－2x 与函数f (t )＝t 2－2t 是同一个函数．( ) (2)函数y ＝1与函数y ＝x 0是相同函数．( )(3)若两个函数的定义域和值域相同，则这两个函数为相同函数．( ) (4)函数是特殊的映射．( )(5)分段函数的定义域等于各段函数定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．( ) 2．下列四组函数中，表示相等函数的一组是( )A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1 D ．f (x )＝|x |，g (t )＝t 23．(2015·江西重点中学一联)函数f (x )＝3xx －2＋lg(3－x )的定义域是( )A ．(3，＋∞)B ．(2,3)C ．[2,3)D ．(2，＋∞)4．(2016·沈阳二中阶段验收)已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R )．若f [g (1)]＝1，则a ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．－15．若函数f (x )在闭区间[－1,2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为 ．考点一 函数的表示方法1．表示函数的常用方法有：解析法、列表法、图象法．2．解析法就是把变量x ，y 之间的关系，用一个关系式y ＝f (x )来表示，通过关系式可以由x 的值求出y 的值．列表法是将变量x ，y 的取值列成表格，由表格直接反映出二者的关系；图象法就是把x ，y 之间的关系绘制成图象，图象上每个点的坐标就是相应的变量x ，y 的值．提醒:用解析式表示函数的优点是简明扼要，规范准确；列表法的优点是能鲜明地显现出自变量与函数值之间的数量关系；用图象表示函数的优点是形象直观，能清晰呈现函数的增减变化，点的对称，最大(或最小)值等性质．例1:(1)(2016·河南洛阳期中)下列图形可以表示函数y＝f(x)图象的是( )(2)已知函数f(x)＝x－1，若f(a)＝3，则实数a＝ .点拨:集合A中任意一个x都有唯一确定的值f(x)与之对应，是判断函数的关键．对点训练1．下列函数中与函数y＝－2x3相同的是( )A．y＝x－2x B．y＝－x－2x C．y＝－2x3 D．y＝x2－2 x2．设函数f：x→－x2＋2x是实数集R到实数集R的映射，若对于实数t∈R，t不存在原象，则t的取值范围是 ( )A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1] D．[1，＋∞)3．已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出，则f[g(1)]＝ .考点二求函数的定义域确定函数定义域的原则(1)当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合．(2)当函数y＝f(x)用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合．(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数的集合．(4)当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．提醒:确定函数的定义域是解决函数问题的关键．例2: (1)(2015·郑州第二次模拟)函数f (x )＝12x2－1的定义域为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 B ．(2，＋∞) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞) D ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[2，＋∞) (2)(2015·银川模拟)已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，则f (x )的定义域是 ．点拨:(1)求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集；(2)已知f (x )的定义域是[a ，b ]，求f [g (x )]的定义域，是指满足a ≤g (x )≤b 的x 的取值范围，而已知f [g (x )]的定义域是[a ，b ]，指的是x ∈[a ，b ]．[拓展探究] (1)本例(2)改为f (x )的定义域为(0,1)，求f (2x ＋1)的定义域，又如何求呢？ (2)本例(2)的条件不变，求f (1－x )的定义域，如何求？考点三 分段函数对于分段函数给定自变量求函数值时，应根据自变量的范围，利用相应的解析式直接求解；若给定函数值求自变量，应根据函数每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量取值范围之内．提醒:分段函数是一个函数，而不是几个函数．处理分段函数问题时，首先要确定自变量的取值属于哪个区间段，再选取相应的对应关系，离开定义域讨论问题是产生错误的重要原因之一．例3:(1)(2015·新课标全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2－x ，x <1，2x －1，x ≥1，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．12(2)(2016·银川一中月考)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是 ．点拨:解决分段函数问题的关键是“对号入座”，即根据自变量取值的范围，准确确定相应的对应法则，代入相应的函数解析式，转化为一般的函数在指定区间上的问题，解完之后应注意检验自变量取值范围的应用．总之，解决分段函数的策略就是“分段函数，分段解决”，亦即应用分类讨论思想解决． 对点训练1．(2016·江西吉安一中上学期期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，2x，x ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝( )A ．4B ．14C ．－4D ．－142．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)3．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．判断对应是否为A 到B 的映射，即看A 中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”． 2．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域相同；二是对应法则相同． 3．在求分段函数的值f (x 0)时，一定要首先判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集． [易错点睛]1．判断A 到B 的函数时，A 中不同元素可有相同的象，即可以多对一，不可以一对多；B 中元素可以无原象，即B 中元素可以有剩余．2．函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行，坚持定义域优先的原则．课时跟踪训练(四)一、选择题1．(2015·苏州模拟)下列四组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x －1与y ＝x －2B ．y ＝x －1与y ＝x －1x －1C ．y ＝4lg x 与y ＝2lg x 2D ．y ＝lg x －2与y ＝lgx1002．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )3．如图，是张大爷晨练时所走的离家距离(y )与行走时间(x )之间的函数关系的图象．若用黑点表示张大爷家的位置，则张大爷散步行走的路线可能是 ( )4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋1，x <1，x 2＋ax ，x ≥1，若f [f (0)]＝4a ，则实数a 等于( )A.12 B ．45C ．2D ．9 5．(2015·湖南岳阳质检(二))设函数f (x )＝lg 3＋x 3－x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 3＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 的定义域为( )A ．(－9,0)∪(0,9)B ．(－9，－1)∪(1,9)C ．(－3，－1)∪(1,3)D ．(－9，－3)∪(3,9) 6．若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，347.已知实数m ≠0,函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧3x －m ，x ≤2，－x －2m ，x >2，若f (2－m )=f (2＋m ),则实数m 的值为( )A ．－83B ．8C ．－83或8D ．－83或8或08．(2016·潍坊质检)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，0≤x <5，f x －，x ≥5，则f (2 014)＝( )A ．26B ．17C ．10D ．59．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx ＋c ，x ≤0，2，x >0，若f (－2)＝f (0), f (－1)＝－3，则关于x 的方程f (x )＝x 的解的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．410．已知[x ]表示不超过实数x 的最大整数(x ∈R )，如：[－1.3]＝－2，[0.8]＝0，[3.4]＝3.定义{x }＝x －[x ]，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫12 014＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫22 014＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫32 014＋…＋⎩⎨⎧⎭⎬⎫2 0142 014＝( ) A ．2 013 B ．2 0132 C ．1 007 D ．2 014二、填空题11．(2015·合肥二次质检)函数f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫1－1x －1的定义域是 ． 12．(2015·南京模拟)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f x －＋2，x >0，则f (9)＝ .13．若集合A ＝{1,2,3，k }，B ＝{4,7，a 4，a 2＋3a }，其中a ∈N *，k ∈N *，f ：x →y ＝3x ＋1，x ∈A ，y ∈B 是从定义域A 到值域B 的一个函数，则a ＋k ＝ . 三、解答题14．记f (x )＝lg(2x －3)的定义域为集合M ，函数g (x )＝1－2x －1的定义域为集合N ，求：(1)集合M 、N ；(2)集合M ∩N ，M ∪N .15．如图，点M 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 的中点．当点P 在正方形的边上沿A —B —C 运动时，点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－6x ＋6， x ≥0，3x ＋4， x <0，若互不相等的实数x 1、x 2、x 3满足f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，求x 1＋x 2＋x 3的取值范围．第二节 函数的值域与解析式最新考纲：1.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域；2.会求一些简单函数的解析式．知识梳理1．函数的值域(1)在函数y ＝f (x )中，与自变量x 的值相对应的y 的值叫函数值，函数值的集合叫函数的值域． (2)基本初等函数的值域 ①y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .②y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫4ac －b 24a ，＋∞；当a <0时，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，4ac －b 24a .③y ＝kx(k ≠0)的值域是{y |y ∈R 且y ≠0}． ④y ＝a x(a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． ⑤y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R . ⑥y ＝sin x ，y ＝cos x 的值域是[－1,1]． ⑦y ＝tan x 的值域是R .问题探究：函数的值域由什么决定？ 提示：函数的值域由对应关系和定义域决定． 2．函数解析式的求法 (1)换元法：若已知f []gx的表达式，求f (x )的解析式，通常是令g (x )＝t ，从中解出x＝φ(t )，再将g (x )、x 代入已知解析式求得f (t )的解析式，即得函数f (x )的解析式，这种方法叫作换元法，需注意新设变量“t ”的范围．(2)待定系数法：若已知函数类型，可设出所求函数的解析式，然后利用已知条件列方程(组)，再求系数．(3)消去法：若所给解析式中含有f (x )、f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x或f (x )、f (－x )等形式，可构造另一个方程，通过解方程组得到f (x )．(4)配凑法或赋值法：依据题目特征，能够由一般到特殊或由特殊到一般寻求普遍规律，求出解析式．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数的解析式相同，定义域不同，值域也一定不同．( ) (2)同一函数的解析式是唯一确定的．( ) (3)函数y ＝1x 2＋1的值域为(－∞，1]．( ) (4)函数y ＝1－2xx ＋1的值域为{y |y ≠－2}．( )(5)若f (x )＝x ＋1，则f (x )＝x 2＋1，x ∈R .( ) 2．函数f (x )＝33x－3的值域为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0)∪(0，＋∞) C ．(－1，＋∞) D ．(－∞，－1)∪(0，＋∞) 3．若二次函数g (x )满足g (1)＝1，g (－1)＝5，且图象过原点，则g (x )的解析式为( ) A ．g (x )＝2x 2－3x B ．g (x )＝3x 2－2x C ．g (x )＝3x 2＋2x D ．g (x )＝－3x 2－2x 4．(2016·西安质检(一))函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 12x ，x ≥1，2x ，x <1，的值域为( )A ．[－1,2]B ．(－∞，2)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，－2)5．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x＋1＝lg x ，则f (x )＝ .考点一 求函数的值域求函数值域的常用方法：(1)观察法；(2)换元法；(3)配方法；(4)单调性法；(5)基本不等式法；(6)分离常数法；(7)数形结合法．提醒:(1)求函数值域，一定要注意到定义域的范围；(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围．例1:求下列函数的值域： (1)y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])； (2)y ＝x －3x ＋1；(3)y ＝x －1－2x ； (4)y ＝log 3x ＋log x 3－1.点拨:(1)当所给函数是分式的形式，且分子、分母是同次的，可考虑用分离常数法；(2)若与二次函数有关，可用配方法；(3)若函数解析式中含有根式，可考虑用换元法或单调性法；(4)当函数解析式结构与均值不等式有关，可考虑用均值不等式求解；(5)分段函数宜分段求解；(6)当函数的图象易画出时，还可借助于图象求解．[拓展探究] (1)本例中(2)变为y ＝x －3x ＋1，x ∈[1，＋∞)时，其值域如何求？ (2)本例中(2)变为y ＝x 2＋3x ＋1(x >－1)时，其值域如何求？考点二 求函数的解析式函数的解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的条件转化为该形式．提醒:求函数解析式时要关注定义域．例2:(1)已知 f (x ＋1)＝x ＋2x ，求 f (x )；(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，求f (x )的解析式；(3)已知 f (x )满足2 f (x )＋ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，求f (x )．点拨:求函数的解析式时要充分根据题目的类型选取相应的方法，同时要注意函数的定义域． 对点训练1．已知f (1－cos x )＝sin 2x ，求f (x )的解析式．2．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，试求f (x )的表达式．考点三 函数的定义域、值域及解析式的综合应用函数的定义域是使函数有意义的自变量取值的集合，它是函数不可缺少的部分，函数的值域是函数值的集合，它是由函数的定义域与对应关系确定，函数解析式是表示函数的一种方法，对于不是y ＝f (x )的形式，可根据题目的具体条件转化为该种形式．对于求出的解析式，一定要注意定义域的变化．提醒:解决函数的综合问题时，一般采取“定义域优先”的原则．例3:(1)(2015·山东卷)已知函数f (x )＝a x＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝ .(2)(2015·福建卷)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2，(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是 ．点拨:(1)对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域；(2)若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论；(3)解题时要注意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域． 对点训练1．(2016·江西宜春期末统考)函数y ＝x 2－2x ＋3在定义域[m,3]上的值域为[2,6]，则m 的取值范围是( )A ．(0,3]B ．[0,3)C ．[－1,1]D ．[0,1]2．(2016·广东深圳第二次调研)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x＋a ，x >2，x ＋a 2，x ≤2.若f (x )的值域为R ，则常数a的取值范围是( )A ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)B ．[－1,2]C ．(－∞，－2]∪[1，＋∞)D ．[－2,1] 3．若函数f (x )＝|log 3x |在区间[a ，b ]上的值域为[0,1]，则b －a 的最小值为 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．函数的定义域是函数的灵魂，它决定了函数的值域，并且它是研究函数性质的基础，要树立函数定义域优先意识．2．函数值域的几何意义是对应函数图象上点的纵坐标的变化范围．利用函数几何意义，数形结合可求某些函数的值域． [易错点睛]1．利用配方法、判别式法、基本不等式求值域时，一定注意等号是否成立，必要时注明“＝”成立的条件．2．利用换元法求函数解析式时，切记新元的范围即为函数的定义域．课时跟踪训练(五)一、选择题1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤0，f x －，x >0，则f (5)等于( )A ．32B ．16 C.12 D ．1322．(2016·济南质检)函数y ＝2x －1的定义域是(－∞，1)∪[2,5)，则其值域是( ) A ．(－∞，0)∪⎝ ⎛⎦⎥⎤12，2 B ．(－∞，2] C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，12∪[2，＋∞) D ．(0，＋∞) 3．下列函数中，不满足f (2x )＝2f (x )的是( )A ．f (x )＝|x |B ．f (x )＝x －|x |C ．f (x )＝x ＋1D ．f (x )＝－x4．(2016·北京东城第一学期联考)若函数f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )＝( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x 5．(2015·河北唐山期中)下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x＋1B ．y ＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－x D ．y ＝1－2x6．已知函数f (x )＝4|x |＋2－1的定义域是[a ，b ](a ，b ∈Z )，值域是[0,1]，则满足条件的整数数对(a ，b )共有( )A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．(2015·湖南衡阳六校联考)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x ＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2B ．(x －1)2C ．x 2－x ＋1 D ．x 2＋x ＋18．已知函数f (x )＝e x－1，g (x )＝－x 2＋4x －3.若存在实数a 使f (a )＝g (b )，则b 的取值范围为( )A ．[2－2，2＋2]B ．(2－2，2＋2)C ．[1,3]D ．(1,3) 9．(2015·浙江十二校二联)函数f (x )＝sin x 2－cos x 的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 B ．[－1,1] C ．[－2,2] D ．[－3，3] 10．(2015·浙江温州十校联考)设函数g (x )是二次函数，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，|x |≥1，x ，|x |<1，若函数f [g (x )]的值域是[0，＋∞)，则函数g (x )的值域是( )A ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[0，＋∞)D ．[1，＋∞) 二、填空题11．(2015·合肥模拟)函数y ＝1－x2x ＋5的值域为 ．12．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为 ．13．定义在区间(－1,1)上的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，则函数f (x )的解析式为 ． 三、解答题14．求下列函数的值域： (1)y ＝1－x 21＋x 2；(2)y ＝－2x 2＋x ＋3； (3)y ＝x ＋1x＋1；(4)y＝x＋4－x2.15．已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)＝2bxax－1(a≠0), f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的实数x只有一个，求函数f(x)的解析式．16．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a、b是常数，且a≠0)满足条件：f(2)＝0，且方程f(x)＝x 有两个相等实根．(1)求f(x)的解析式；(2)是否存在实数m、n(m<n)，使f(x)的定义域和值域分别为[m，n]和[2m,2n]？如存在，求出m、n的值；如不存在，说明理由．第三节函数的单调性与最值最新考纲：1.理解函数的单调性及其几何意义，会运用基本初等函数的图象分析函数的性质；2.理解函数最大值、最小值及其几何意义，会运用函数图象理解和研究函数的最值．知识梳理1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫作f(x)的单调区间．问题探究1：函数f(x)在区间[a，b]上单调递增与函数f(x)的单调递增区间为[a，b]含义相同吗？提示：含义不同．f(x)在区间[a，b]上单调递增并不能排除f(x)在其他区间单调递增，而f(x)的单调递增区间为[a，b]意味着f(x)在其他区间不可能单调递增．2．函数的最值问题探究2：函数的单调性、最大(小)值反映在其函数图象上有什么特征？提示：函数单调性反映在图象上是上升或下降的，而最大(小)值反映在图象上为其最高(低)点的纵坐标的值．基础自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”) (1)函数y ＝1x在定义域上为减函数．( )(2)对于函数f (x )，x ∈D ，若x 1，x 2∈D ，且(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]>0，则函数f (x )在D 上是增函数．( )(3)函数y ＝f (x )在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞)．( ) (4)函数f (x )＝log 5(2x ＋1)的单调增区间是(0，＋∞)．( ) (5)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．( ) 2．下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是 ( )A ．y ＝ln(x ＋2)B ．y ＝－x ＋1C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xD ．y ＝x ＋1x3．函数y ＝log 12(x 2－2x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，1)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，0)4．如果二次函数f (x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋b 在区间(－∞，1)上是减函数，则( ) A ．a ＝－2 B ．a ＝2 C ．a ≤－2 D ．a ≥2 5．已知函数f (x )＝2|x －a |(a 为常数)，若f (x )在区间[1，＋∞)上是增函数，则a 的取值范围是 ．考点一 函数单调性的判断与证明1．定义法用定义证明函数单调性的一般步骤(1)取值：即设x 1，x 2是该区间内的任意两个值，且x 1<x 2.(2)作差：即f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))，并通过通分、配方、因式分解等方法，向有利于判断差的符号的方向变形．(3)定号：根据给定的区间和x 2－x 1的符号，确定差f (x 2)－f (x 1)(或f (x 1)－f (x 2))的符号．当符号不确定，可以进行分类讨论． (4)判断：根据定义得出结论．2．导数法f ′(x )≥0(x ∈A )⇔f (x )在A 上为增函数，(使f ′(x )＝0的x 仅是个别值)； f ′(x )≤0(x ∈A )⇔f (x )在A 上为减函数，(使f ′(x )＝0的x 仅是个别值)．提醒:应熟记常用函数的单调性，为函数的应用提供依据．例1:判断函数f (x )＝x ＋ax(a >0)在(0，＋∞)上的单调性，并给出证明．点拨:判断函数单调性的方法(1)对于给出具体解析式的函数，证明或判断其在某区间上的单调性有两种方法：①可以利用定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、定号、下结论)求解；②可导函数则可以利用导数解之；(2)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性规律是“同则增，异则减”，即y ＝f (u )与u ＝g (x )若具有相同的单调性，则y ＝f [g (x )]为增函数；若具有不同的单调性，则y ＝f [g (x )]为减函数． 对点训练1．(2016·太原质检)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．y ＝x ＋1 B ．y ＝(x －1)2C ．y ＝2－xD ．y ＝log 0.5(x ＋1) 2．试讨论函数f (x )＝axx 2－1，x ∈(－1,1)的单调性(其中a ≠0)．考点二 求函数的单调区间1．求函数的单调区间 (1)利用已知函数的单调性．(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．(3)图象法：如果f (x )是以图象给出的，或者f (x )的图象易作出，可直接由图象的直观性写出它的单调区间．(4)导数法：利用导函数取值的正负确定原函数的单调区间． 2．求复合函数 y ＝f [g (x )]的单调区间的步骤 (1)确定定义域．(2)将复合函数分解成基本初等函数：y ＝f (u )，u ＝g (x )． (3)分别确定这两个函数的单调区间．(4)若这两个函数同增或同减，则 y ＝f [g (x )]为增函数；若一增一减，则 y ＝f [g (x )]为减函数，即“同增异减”．提醒:函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y ＝1x分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)，不能用“∪”连接．例2: (1)(2015·合肥第二次质检)函数y ＝|x 2－4x ＋3|的单调递增区间是 ．(2)(2015·洛阳第二次模拟)函数y ＝f (x )(x ∈R )的图象如图所示，则函数g (x )＝f (log a x )(0<a <1)的单调减区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 B ．[a ，1] C ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ D ．[a ，a ＋1]点拨:带有绝对值的函数实质上就是分段函数，对于分段函数的单调性，有两种基本的判断方法：一是在各个段上根据函数的解析式所表示的函数的单调性求出单调区间，最后对各个段上的单调区间进行整合；二是画出这个分段函数图象，结合函数的图象、性质进行直观的判断．[拓展探究] (1)若将本例(1)中的函数变为“y ＝x 2－4|x |＋3”，则结果如何？ (2)若将本例(2)中的“0<a <1”改为“a >1”，则函数g (x )的单调递减区间如何？考点三 利用单调性求最值若函数在闭区间[a ，b ]上是减函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (a )，最小值为f (b )； 若函数在闭区间[a ，b ]上是增函数，则f (x )在[a ，b ]上的最大值为f (b )，最小值为f (a )．提醒:运用函数单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数图象不易作出时，单调性法成为首选方法．例3:已知f (x )＝x 2＋2x ＋a x ，x ∈[1，＋∞)．(1)当a ＝12时，求函数f (x )的最小值；(2)若对任意x ∈[1，＋∞), f (x )>0恒成立，试求实数a 的取值范围．点拨:利用函数的性质求恒成立问题，主要的解题步骤是研究函数的性质，确定函数在所给区间上的单调性，得到区间上对应的函数最值．对点训练已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )满足f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1x 2＝f (x 1)－f (x 2)，且当x >1时，f (x )<0.(1)求f (1)的值；(2)证明：f (x )为单调递减函数；(3)若f (3)＝－1，求f (x )在[2,9]上的最小值．考点四 函数单调性的应用函数的单调性主要应用在以下几方面 (1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小； (3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值．提醒:熟练掌握基本初等函数的单调性是解决这类问题的关键．例4:(1)已知函数f (x )＝log 2x ＋11－x，若x 1∈(1,2)，x 2∈(2，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0 (2)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋2，当x ∈[－1，＋∞)时，f (x )≥a 恒成立，则a 的取值范围是 ．点拨:已知函数的单调性确定参数的值或范围要注意以下两点：(1)若函数在区间[a ，b ]上单调，则该函数在此区间的任意子区间上也是单调的；(2)分段函数的单调性，除注意各段的单调性外，还要注意衔接点的取值．对点训练1．(2015·沈阳模拟)若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－1,0)∪(0,1]C ．(0,1)D ．(0,1]2．(2016·衡水中学月考)函数f (x )＝log a (2－ax 2)在(0,1)上为减函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1 B ．(1,2) C ．(1,2] D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 3．当x ∈(1,2)时，不等式x 2＋mx ＋4<0恒成立，则m 的取值范围是 ．———————方法规律总结————————[方法技巧]1．利用定义判断或证明函数的单调性注意定义的如下两种等价形式：设任意x 1，x 2∈[a ，b ]，那么 (1)f x 1－f x 2x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数；f x 1－f x 2x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数．(2)(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． 2．求函数的单调区间首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义、利用图象和单调函数的性质、利用导函数．3．复合函数的单调性对于复合函数y ＝f [g (x )]，若t ＝g (x )在区间(a ，b )上是单调函数，且y ＝f (t )在区间(g (a )，g (b ))或者(g (b )，g (a ))上是单调函数，若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相同(同时为增或减)，则y ＝f [g (x )]为增函数；若t ＝g (x )与y ＝f (t )的单调性相反，则y ＝f [g (x )]为减函数． 简称：同增异减．4．函数的最值与函数的值域有着密切的联系．事实上，若在函数的值域中存在最大数(最小数)，则这个数就是函数的最大值(最小值)，因此可借助函数值域的求法确定最值． [易错点睛]1．函数的单调性是通过任意两点的变化趋势来刻画整体的变化趋势，“任意”两个字是必不可少的．如果只用其中两点的函数值(比如说端点值)进行大小比较是不能确定函数的单调性的． 2．讨论函数单调性必须在其定义域内进行，函数的单调区间是其定义域的子集，因此，讨论函数的单调性时，应先确定函数的定义域．3．函数的单调区间是指函数在定义域内的某个区间上单调递增或单调递减．单调区间要分开写，即使在两个区间上的单调性相同，也不能用并集表示．课时跟踪训练(六)一、选择题1．下列函数中，在区间(1，＋∞)上是增函数的是( ) A ．y ＝－x ＋1 B ．y ＝11－xC ．y ＝－(x －1)2D ．y ＝31－x2．(2016·安徽宿州一检)下列函数f (x )中，满足“对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)时，均有(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0”的是( )A ．f (x )＝12B ．f (x )＝x 2－4x ＋4C ．f (x )＝2xD ．f (x )＝log 12x3．函数f (x )＝11－x－x的最大值是( )A.45 B ．54 C.34 D ．434．已知函数y ＝x 2－2x ＋3在区间[0，m ]上有最大值3，最小值2，则m 的取值范围是( ) A ．[1，＋∞) B ．[0,2] C ．(－∞，2] D ．[1,2].5．(2016·东北三校联考(一))设函数f (x )＝x 2＋(a －2)x －1在区间[2，＋∞)上是增函数，则实数a 的最小值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．26．设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( ) A ．f (a ＋1)＝f (2) B ．f (a ＋1)>f (2) C ．f (a ＋1)<f (2) D ．不能确定7．(15郑州第二次质检)已知函数f (x )＝ln x ＋2x，若f (x 2－4)<2，则实数x 的取值范围是( ) A ．(－2,2) B ．(2，5) C ．(－5，－2) D ．(－5，－2)∪(2，5)8．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a －x ＋4a ，x ≤1，log a x ，x >1.是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 9．已知函数f (x )＝4－mxm －1(m ≠1)在区间(0,1]上是减函数，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，4) C ．(1,4] D ．(－∞，0)∪(1,4]10．(2016·浙江嘉兴测试一)偶函数f (x )在[0，＋∞)上为增函数，若不等式f (ax －1)<f (2＋x 2)恒成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－23，2)B ．(－2,2)C ．(－23，23)D ．(－2,23) 二、填空题11．函数y ＝log 12|x －3|的单调递减区间是 ．12．(2015·东北三校联考)若函数f (x )＝ax ＋1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ．13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是 ． 三、解答题14．(2016·重庆诊断测试)已知函数f (x )＝m ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 的图象与函数h (x )＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋2的图象关于点A (0,1)对称．(1)求m 的值；(2)若g (x )＝f (x )＋a4x在区间(0,2]上为减函数，求实数a 的取值范围．15．(2016·江苏徐州期中)已知a ∈R ，函数f (x )＝x |x －a |.(1)当a ＝2时，写出函数y ＝f (x )的单调递增区间；(2)当a >2时，求函数y ＝f (x )在区间[1,2]上的最小值．16．已知函数f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋ax－2，其中a 是大于0的常数．(1)求函数f (x )的定义域；(2)当a ∈(1,4)时，求函数f (x )在[2，＋∞)上的最小值；(3)若对任意x ∈[2，＋∞)恒有f (x )>0，试确定a 的取值范围．。
高考数学(理)大一轮复习习题：第二章 函数的概念与基本初等函数ⅰ word版含答案
第二章⎪⎪⎪函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节函数及其表示 突破点(一) 函数的定义域基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．函数与映射的概念 函数映射两集合A ，B设A ，B 是两个非空的数集 设A ，B 是两个非空的集合 对应关系f ：A →B如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f (x )和它对应如果按某一个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应名称 称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射记法y ＝f (x )，x ∈A对应f ：A →B(1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．显然，值域是集合B 的子集．(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”求给定解析式的函数的定义域(1)分式函数中分母不等于零．(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0. (3)一次函数、二次函数的定义域均为R. (4)y ＝x 0的定义域是{x |x ≠0}．(5)y ＝a x (a >0且a ≠1)，y ＝sin x ，y ＝cos x 的定义域均为R. (6)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的定义域为(0，＋∞)．(7)y ＝tan x 的定义域为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫x ≠k π＋π2，k ∈Z .[例1] y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( ) A ．(－2,0)∪(1,2) B ．(－2,0]∪(1,2) C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析] 要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧x －12x ≥0，x ≠0，4－x 2>0，∴x ∈(－2,0)∪[1,2)．即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)． [答案] C [易错提醒](1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域发生变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．求抽象函数的定义域对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；(2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域． [例2] 若函数y ＝f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (2x )x －1的定义域为________．[解析] 由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧x －1≠0，0≤2x ≤2，解得0≤x ＜1，即g (x )的定义域是[0,1)．[答案] [0,1)[易错提醒]函数f [g (x )]的定义域指的是x 的取值范围，而不是g (x )的取值范围．已知函数定义域求参数[例3] 若函数f (x )＝mx 2＋mx ＋1的定义域为一切实数，则实数m 的取值范围是( )A ．[0,4)B ．(0,4)C ．[4，＋∞)D ．[0,4][解析] 由题意可得mx 2＋mx ＋1≥0恒成立． 当m ＝0时，1≥0恒成立；当m ≠0时，则⎩⎪⎨⎪⎧m >0，Δ＝m 2－4m ≤0，解得0<m ≤4. 综上可得：0≤m ≤4. [答案] D[方法技巧]已知函数定义域求参数的思想方法已知函数的定义域，逆向求解函数中参数的取值，需运用分类讨论以及转化与化归的思想方法．转化与化归的思想方法是通过某种转化过程，将一个难以解决的问题转化为一个已经解决或者比较容易解决的问题，从而获解．基础联通 抓主干知识的“源”与“流” 1．[考点一]函数y ＝x ln(2－x )的定义域为( ) A ．(0,2) B ．[0,2) C ．(0,1]D ．[0,2]解析：选B 由题意知，x ≥0且2－x >0，解得0≤x ＜2，故其定义域是[0,2)． 2．[考点一](2017·青岛模拟)函数y ＝1－x 22x 2－3x －2的定义域为( )A ．(－∞，1]B ．[－1,1]C ．[1,2)∪(2，＋∞)D.⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1 解析：选D 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，2x 2－3x －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x ≤1，x ≠2且x ≠－12，即－1≤x ≤1且x ≠－12，所以函数的定义域为⎣⎡⎭⎫－1，－12∪⎝⎛⎦⎤－12，1.故选D. 3．[考点一]函数f (x )＝1－|x －1|a x －1(a >0且a ≠1)的定义域为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 1－|x －1|≥0，a x －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，x ≠0，即0<x ≤2，故所求函数的定义域为(0,2]．答案：(0,2]4．[考点二]已知函数y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，则函数y ＝f (x )的定义域为________．解析：∵y ＝f (x 2－1)的定义域为[－3， 3 ]，∴x ∈[－3， 3 ]，x 2－1∈[－1,2]，∴y ＝f (x )的定义域为[－1,2]．答案：[－1,2]5．[考点三]若函数f (x )＝ax 2＋abx ＋b 的定义域为{x |1≤x ≤2}，则a ＋b 的值为________．解析：函数f (x )的定义域是不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集．不等式ax 2＋abx ＋b ≥0的解集为{x |1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a <0，1＋2＝－b ，1×2＝b a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝－3，所以a ＋b ＝－32－3＝－92.答案：－92突破点(二) 函数的表示方法1．函数的表示方法函数的表示方法有三种，分别为解析法、列表法和图象法．同一个函数可以用不同的方法表示．2．应用三种方法表示函数的注意事项(1)解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；(2)列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；(3)图象法：注意定义域对图象的影响．与x 轴垂直的直线与其最多有一个公共点． 3．函数的三种表示方法的优缺点(2)求x与y的对应关系时需逐个计算，比较繁杂列表法能鲜明地显示自变量与函数值之间的数量关系只能列出部分自变量及其对应的函数值，难以反映函数变化的全貌图象法形象直观，能清晰地呈现函数的增减变化、点的对称关系、最大(小)值等性质作出的图象是近似的、局部的，且根据图象确定的函数值往往有误差考点贯通抓高考命题的“形”与“神”求函数的解析式[典例](1)如图，修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分，则该函数的解析式为()A．y＝12x3－12x2－xB．y＝12x3＋12x2－3xC．y＝14x3－xD．y＝14x3＋12x2－2x(2)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.(3)(2017·合肥模拟)已知f (x )的定义域为{x |x ≠0}，满足3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1，则函数f (x )的解析式为________．[解析] (1)设该函数解析式为f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，则f ′(x )＝3ax 2＋2bx ＋c ， 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝d ＝0，f (2)＝8a ＋4b ＋2c ＋d ＝0，f ′(0)＝c ＝－1，f ′(2)＝12a ＋4b ＋c ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－12，c ＝－1，d ＝0，∴f (x )＝12x 3－12x 2－x .(2)∵－1≤x ≤0，∴0≤x ＋1≤1，∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．故当－1≤x ≤0时，f (x )＝－12x (x＋1)．(3)用1x代替3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1中的x ，得3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ∴⎩⎨⎧3f (x )＋5f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ＋1， ①3f ⎝⎛⎭⎫1x ＋5f (x )＝3x ＋1， ②①×3－②×5得f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)．[答案] (1)A (2)－12x (x ＋1) (3)f (x )＝1516x －916x ＋18(x ≠0)[易错提醒]1.已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1，则f (x )＝________. 解析：在f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，用1x 代替x ，得f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1，将f ⎝⎛⎭⎫1x ＝2f (x )1x －1代入f (x )＝2f ⎝⎛⎭⎫1x x －1中，求得f (x )＝23x ＋13(x >0)．答案：23x ＋13(x >0) 2．函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝2x ，则f (x )＝________.解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2f (x )＋f (－x )＝2x ，2f (－x )＋f (x )＝－2x ，解得f (x )＝2x . 答案：2x3．已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，求f (x )的解析式． 解：设t ＝x ＋1，则x ＝(t －1)2，t ≥1，代入原式有 f (t )＝(t －1)2＋2(t －1)＝t 2－2t ＋1＋2t －2＝t 2－1. 故f (x )＝x 2－1，x ≥1.4．已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx ， 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x ，x ∈R.5．已知f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，求f (x )的解析式． 解：由于f ⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2－2， 所以f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2，故f (x )的解析式是f (x )＝x 2－2，x ≥2或x ≤－2.突破点(三) 分段函数基础联通 抓主干知识的“源”与“流”1．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．2．分段函数的相关结论(1)分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数的值域的并集． 考点贯通 抓高考命题的“形”与“神”分段函数求值[例1] (1)设f (x )＝⎩⎨⎧1－x ，x ≥0，2x ，x <0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12D.32(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x ，x ≥4，f (x ＋1)，x <4，则f (1＋log 25)的值为( ) A.14 B.⎝⎛⎭⎫12错误!未找到引用源。
高考数学 第二章 函数概念与基本初等函数 专题4 函数的概念与表示考场高招大全-人教版高三全册数学试
专题4 函数的概念与表示考点7 函数的三要素考场高招1 两法(直接法、转移法)搞定函数的定义域1.解读高招方法解读适合题型典例指引直接法求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍已知函数的具体表达式典例导引1(1)转移法若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域典例导引1(2)若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域典例导引1(3)2.典例指引1(1)(2017某某豫北名校联盟模拟)函数f(x)=的定义域为() A.(-1,0)∪(0,1] B.(-1,1]C.(-4,-1]D.(-4,0)∪(0,1](2)已知函数f(lg x)的定义域是,则函数f的定义域是()A.[-1,2]B.[-2,4]C.D.(3)若函数y=f(x)的定义域是[0,2],则函数g(x)=的定义域为.【答案】 (1)A(2)B(3)[0,1)所以-1≤lg x ≤2,即f (x )的定义域为[-1,2].则-1≤≤2, 所以-2≤x ≤4.故函数f 的定义域是[-2,4].(3)由得0≤x<1,即定义域是[0,1).3.亲临考场1.(2016全国甲,文10) 下列函数中,其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D【解析】由y ＝10lg x＝x 且x ∈(0,＋∞),知y ∈(0,＋∞)．又y ＝1x的定义域为(0,＋∞),值域为(0,＋∞),故选D.2．(2015·某某,文3)函数f (x )＝log 2(x 2＋2x －3)的定义域是( ) A ．[－3,1] B ．(－3,1)C ．(－∞,－3]∪[1,＋∞] D．(－∞,－3)∪(1,＋∞) 【答案】D【解析】要使f (x )有意义,只需x 2＋2x －3＞0,即x ＜－3或x ＞1.故函数的定义域为(－∞,－3)∪(1,＋∞)． 3.（2017某某五校联考期末）已知函数()f x 的定义域为[]0,2,则函数()()282xg x f x =-为（ ）A ．[]0,1B ．[]0,2C ．[]1,2D ．[]1,3 【答案】A【解析】由题意,得022820xx≤≤⎧⎨-≥⎩,解得01x≤≤,故选A．4. (2016某某某某模拟)已知函数f(2－x)＝4－x2,则函数f(x)的定义域为________．【答案】[0,16]考场高招2 求函数解析式的四个方法(配凑法、换元法、待定系数法、解方程组法) 1.解读高招方法解读适合题型典例指引直接法求给定函数的定义域往往转化为解不等式(组)的问题,在解不等式(组)取交集时可借助于数轴,要特别注意端点值的取舍已知函数的具体表达式典例导引1(1)转移法若y=f(g(x))的定义域为(a,b),则求出g(x)在(a,b)上的值域即得f(x)的定义域已知f(g(x))的定义域,求f(x)的定义域典例导引1(2)若y=f(x)的定义域为(a,b),则解不等式a<g(x)<b即可求出y=f(g(x))的定义域已知f(x)的定义域,求f(g(x))的定义域典例导引1(3)2.典例指引2(1)已知f=x3+,求f(x).(2)若f,则当x≠0,且x≠1时,求f(x).(3)已知f(x)是一次函数,且满足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求f(x).(4)已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f-1,求f(x).(4)在f(x)=2f-1中,用代替x,得f-1,将f-1代入f(x)=2f-1中,得f(x)=.3.亲临考场1.(2014·某某,文10)如图,修建一条公路需要一段环湖弯曲路段与两条直道平滑连接(相切)．已知环湖弯曲路段为某三次函数图象的一部分,则该函数的解析式为( )A ．y ＝12x 3－12x 2－xB ．y ＝12x 3＋12x 2－3xC ．y ＝14x 3－xD ．y ＝14x 3＋12x 2－2x【答案】A2. (2013·某某,文14)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时,f (x )＝x (1－x ),则当－1≤x ≤0时,f (x )＝________. 【答案】－12x (x ＋1)【解析】∵－1≤x ≤0,∴0≤x ＋1≤1,∴f (x )＝12f (x ＋1)＝12(x ＋1)[1－(x ＋1)]＝－12x (x ＋1)．3.（2017某某某某模拟）已知函数()f x 满足(5)x f x =,则(2)f =_____. 【答案】5log 2【解析】因为(5)x f x =,令5x t =,则5log t x =,所以5()log f t t =,所以5(2)log 2f =.4. (2016某某某某模拟)已知函数f (x )对任意实数x 恒有f (1－x )－2f (x －1)＝2x ＋1,则f (x )＝________． 【答案】 －23x － 3考点8 分段函数及其应用考场高招3 分段函数求值问题的技巧 1.解读高招 类 型 解 读典例指引 给定自变量求函数值 根据自变量的取值范围,利用相应的解析式直接求解;当出现f (f (a ))的形式时,应从内到外依次求值典例导引 3(1) 给定函数值求自变量 根据函数每一段的解析式分别求解,但应注意检验该值是否在相应的自变量的取值范围之内典例导引 3(2)2.典例指引3(1)(2017某某阶段测评)设函数f (x )=则f (f (2))的值为()A.0B.1C.2D.3(2)已知f (x )=若f (a )=,则a=.【答案】(1)C(2)或-【解析】 (1)f (f (2))=f (log 33)=f (1)=2×e 0=2,故选C.(2)若a ≥0,由f (a )=得,,解得a=;若a<0,则|sin a|=,a ∈,解得a=-.综上可知,a=或a=-.3.亲临考场1.(2015·课标Ⅰ,文10)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2（x ＋1）， x >1，且f (a )＝－3,则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14【答案】A【解析】因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2， x ≤1，－log 2（x ＋1）， x >1，f (a )＝－3,所以⎩⎪⎨⎪⎧a >1，－log 2（a ＋1）＝－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ≤1，2a －1－2＝－3，解得a ＝7,所以f (6－a )＝f (－1)＝2－1－1－2＝－74.2.（2017某某某某模拟）函数212cos ,10,(),0,x x x f x ex π--<<⎧=⎨≥⎩满足1()()22f f a +=,则实数a 的所有可能值为（ ）A ．1或13-B ．12或1C ．1D ．12或13-【答案】D考场高招4 解决与分段函数相结合问题的策略 1.解读高招 类 型解 读 典例指引 以分段函数为背景考查不等式将分段函数与不等式结合,考查函数单调性及解不等式知识,体现分类讨论思想.解题时,首先考虑分段函数的单调性,通过分类讨论化为不等式组求解典例导引 4(1) 以分段函数为背景考查函数的性质 如果分段函数的每段函数为具体的函数,可研究每段函数的性质.有时可画出每段函数的图象,借助数形结合思想解决问题典例导引4(2)以分段函数为背景考查函数的零点 解决由函数零点的存在情况求参数的值或取值范围问题,关键是利用函数方程思想或数形结合思想,构建关于参数的方程或不等式求解典例导引 4(3)类型解读典例指引以分段函数为背景考查方程的根分段函数的对应关系是借助几个不同的表达式来表示的,要将方程化为几个具体的方程来解决.对于某些方程不能直接求出其零点,常通过平移、对称变换转化为相应的函数图象问题典例导引4(4)温馨提醒分段函数是一个函数,不是多个函数;分段函数的处理方法:分段函数分段研究;解题中务必看清自变量在哪一段,该代哪个解析式,这样就要分段讨论、求解,即要重视分类讨论思想在解题过程中的应用2.典例指引4(1)(2016某某某某调研)已知实数a<0,函数f(x)=若f(1-a)≥f(1+a),则实数a的取值X围是.(2)已知函数f(x)=则函数f(x)的值域为.(3)已知函数f(x)=若函数F(x)=f(x)-kx有且只有两个零点,则k的取值X围为.(4)已知定义在R上的函数f(x)满足:f(x)=且f(x+2)=f(x),g(x)=,则方程f(x)=g(x)在区间[-5,1]上的所有实根之和为.【答案】(1)[-2,-1](2)(3)(4)-7(2)由题意知f(x)=当x>0时,x++1≥2+1=3,当且仅当x=1时,等号成立,所以0<,当x≤0时,0<e x≤1,所以-<e x-.综上可知,函数的值域是.(4)由f(x+2)=f(x)得f(x)周期为2,g(x)==2+,作图如下:共有三个交点,其中两个交点关于点(-2,2)对称,另一交点为(-3,1),所以实根之和为-3+2×(-2)=-7.3.亲临考场1.(2014课标全国Ⅰ,文15)设函数f(x)=则使得f(x)≤2成立的x的取值X围是.【答案】(-∞,8]【解析】当x<1时,由f(x)=e x-1≤2,解得x≤1+ln 2,又x<1,所以x 的取值X 围是x<1;当x≥1时,由f(x)=≤2,解得x≤8,又x≥1,所以x 的取值X 围是1≤x≤8.综上,x 的取值X 围是x≤8,即(-∞,8].2.（2017某某某某质量监测）已知函数222(0)()2(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-<⎪⎩,函数()|()|1g x f x =-,若2(2)()g a g a ->,则实数a 的取值X 围是（ ） A ．(2,1)- B ．(,2)(2,)-∞-+∞ C ．(2,2)- D ．(,2)(1,1)(2,)-∞--+∞【答案】D【解析】由题可知,()f x 为单调递增的奇函数,则()g x 为偶函数,又2(2)()g a g a ->,因此2|2|||a a ->,即222(2)a a ->,利用换元法解得a 的取值X 围是(,2)(1,1)(2,)-∞--+∞. 故选D.3.已知定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=-,当(]1,3x ∈-时,(](]21,1,1()(12),1,3x x f x t x x ⎧-∈-⎪=⎨--∈⎪⎩,其中0t >,若方程()3xf x =恰有3个不同的实数根,则t 的取值X 围为（ ）A ．4(0,)3B ．2(,2)3C ．4(,3)3D ．2(,)3+∞【答案】Bword 4.考场秘笈 例 已知函数()23log (1)1132x x k f x x x k x a -+-≤<⎧=⎨-+≤≤⎩,若存在k 使得函数()f x 的值域为[]0,2,则实数a 的取值X 围是．考生困惑：根据函数的值域借助函数的图象如何把握参数k 的X 围对所求a 的影响.解惑绝招：第一步：研究第一段函数的值域利用“同增异减”判断函数2log (1)1y x =-+为减函数,进而利用自变量的X 围和函数的值域得到参数k 的X 围；第二步：研究第二段函数的值域 利用“求导法”研究函数3()32g x x x =-+的单调性,进而利用自变量的X 围和函数的值域确定参数k 的X 围；第三步：借助函数图象,求解参数X 围画出两段函数的图象,借助参数k 的X 围,明确y=2与图象的交点的横坐标确定所求a 的X 围.。
2016届高考数学总复习 第二章 函数概念与基本初等函数 第8讲 函数与方程
第8讲函数与方程最新考纲 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．知识梳理1．函数的零点(1)函数的零点的概念对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数的零点与方程的根的关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)满足：①在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线；②f(a)·f(b)＜0；则函数y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．2．二分法(1)定义：对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．(2)给定精确度ε，用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤如下：①确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)＜0，给定精确度ε；②求区间(a，b)的中点c；③计算f(c)；(ⅰ)若f(c)＝0，则c就是函数的零点；(ⅱ)若f(a)·f(c)＜0，则令b＝c(此时零点x0∈(a，c))；(ⅲ)若f(c)·f(b)＜0，则令a＝c(此时零点x0∈(c，b))．④判断是否达到精确度ε：即若|a－b|＜ε，则得到零点近似值a(或b)；否则重复②③④.诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点．(×)(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(函数图象连续不断)，则f(a)·f(b)＜0.(×)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac＜0时没有零点．(√)(4)只要函数有零点，我们就可以用二分法求出零点的近似值．(×)2．(2014·北京卷)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4，＋∞)解析 由题意知，函数f (x )在(0，＋∞)上为减函数，又f (1)＝6－log 21＝6＞0，f (2)＝3－log 22＝2＞0，f (4)＝64－log 24＝32－2＝－12＜0，由零点存在性定理，可知函数f (x )在区间(2,4)上必存在零点，故选C.答案 C3．(2014·湖北七市(州)联考)已知函数f (x )与g (x )的图象在R 上连续不断，由下表知方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是( )A.(－C ．(1,2)D ．(2,3)解析 记h (x )＝f (x )－g (x )，依题意，注意到h (0)＜0，h (1)＞0，因此函数h (x )的零点属于(0,1)，即方程f (x )＝g (x )有实数解的区间是(0,1)，故选B.答案 B4．(人教A 必修1P92A1改编)下列函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是( )答案 A5．(2014·福建卷)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2，x ≤0，2x －6＋ln x ，x ＞0的零点个数是________．解析 当x ≤0时，由x 2－2＝0得x ＝－2(正根舍去)；当x ＞0时，f (x )＝2x －6＋lnx 在(0，＋∞)上为增函数，且f (2)＝ln 2－2＜0，f (3)＝ln 3＞0，所以f (x )在(0，＋∞)上有且只有一个零点，综上可知f (x )的零点个数为2.答案 2考点一 函数零点的判断与求解【例1】 (1)(2014·唐山一模)设f (x )＝e x＋x －4，则函数f (x )的零点位于区间( ) A ．(－1,0) B ．(0,1) C ．(1,2)D ．(2,3)(2)(2014·湖北卷)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x .则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( )A ．{1,3}B ．{－3，－1,1,3}C ．{2－7，1,3}D ．{－2－7，1,3}解析 (1)∵f (x )＝e x＋x －4，∴f ′(x )＝e x＋1＞0，∴函数f (x )在R 上单调递增，对于A 项，f (－1)＝e －1＋(－1)－4＝－5＋e －1＜0，f (0)＝－3＜0，f (－1)f (0)＞0，A 不正确；同理可验证B ，D 不正确，对于C 项，∵f (1)＝e ＋1－4＝e －3＜0，f (2)＝e 2＋2－4＝e 2－2＞0，f (1)f (2)＜0.故f (x )的零点位于区间(1,2)．(2)当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，令g (x )＝x 2－3x －x ＋3＝0，得x 1＝3，x 2＝1. 当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )2－3(－x )， ∴－f (x )＝x 2＋3x ，∴f (x )＝－x 2－3x . 令g (x )＝－x 2－3x －x ＋3＝0，得x 3＝－2－7，x 4＝－2＋7＞0(舍)，∴函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合是{－2－7，1,3}，故选D. 答案 (1)C (2)D规律方法 (1)确定函数的零点所在的区间时，通常利用零点存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反．(2)根据函数的零点与相应方程根的关系可知，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f (x )＝g (x )的根，可以构造函数F (x )＝f (x )－g (x )，函数F (x )的零点即方程f (x )＝g (x )的根．【训练1】 (2015·莱芜一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ≤1，1＋log 2x ，x ＞1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0 C.12D ．0解析 当x ≤1时，由f (x )＝2x－1＝0，解得x ＝0；当x ＞1时，由f (x )＝1＋log 2x ＝0，解得x ＝12，又因为x ＞1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点只有0.答案 D考点二 根据函数零点的存在情况，求参数的值【例2】 已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)．(1)若y ＝g (x )－m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点． 法二 作出g (x )＝x ＋e2x(x ＞0)的大致图象如图1.图1可知若使y ＝g (x )－m 有零点，则只需m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异实根，即y ＝g (x )与y ＝f (x )的图象有两个不同的交点， 在同一坐标系中，作出g (x )＝x ＋e 2x(x ＞0)与f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1的大致图象如图2.图2∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝ －(x －e)2＋m －1＋e 2.∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下， 最大值为m －1＋e 2.故当m －1＋e 2＞2e ，即m ＞－e 2＋2e ＋1时，y ＝g (x )与y ＝f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴m 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．规律方法 函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．【训练2】 (1)函数f (x )＝2x－2x－a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(1,2)C ．(0,3)D ．(0,2)(2)(2014·太原模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|2x－1|，x ＜2，3x －1，x ≥2，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(1,3)B ．(0,3)C ．(0,2)D ．(0,1)解析 (1)因为函数f (x )＝2x －2x －a 在区间(1,2)上单调递增，又函数f (x )＝2x－2x－a的一个零点在区间(1,2)内，则有f (1)·f (2)＜0，所以(－a )(4－1－a )＜0，即a (a －3)＜0.所以0＜a ＜3.(2)画出函数f (x )的图象如图所示，观察图象可知，若方程f (x )－a ＝0有三个不同的实数根，则函数y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有3个不同的交点，此时需满足0＜a ＜1，故选D.答案 (1)C (2)D考点三 与二次函数有关的零点问题【例3】 是否存在这样的实数a ，使函数f (x )＝x 2＋(3a －2)x ＋a －1在区间[－1,3]上恒有一个零点，且只有一个零点？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由．解 令f (x )＝0，则Δ＝(3a －2)2－4(a －1)＝9a 2－16a ＋8＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫a －892＋89＞0恒成立，即f (x )＝0有两个不相等的实数根，∴若实数a 满足条件，则只需f (－1)·f (3)≤0即可．f (－1)·f (3)＝(1－3a ＋2＋a －1)·(9＋9a －6＋a －1)＝4(1－a )(5a ＋1)≤0，∴a ≤－15或a ≥1. 检验：(1)当f (－1)＝0时，a ＝1，所以f (x )＝x 2＋x . 令f (x )＝0，即x 2＋x ＝0，得x ＝0或x ＝－1. 方程在[－1,3]上有两个实数根，不合题意，故a ≠1.(2)当f (3)＝0时，a ＝－15，此时f (x )＝x 2－135x －65.令f (x )＝0，即x 2－135x －65＝0，解得x ＝－25或x ＝3.方程在[－1,3]上有两个实数根， 不合题意，故a ≠－15.综上所述，a 的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－15∪(1，＋∞)． 规律方法 解决与二次函数有关的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【训练3】 已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a 的取值范围．解 法一 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1＜x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)＜0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1＜0， 由根与系数的关系， 得(a －2)＋(a 2－1)＋1＜0， 即a 2＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1.法二 函数图象大致如图，则有f (1)＜0，即1＋(a 2－1)＋a －2＜0，∴－2＜a ＜1. 故实数a 的取值范围是(－2,1).[思想方法]1．判定函数零点的常用方法有：(1)零点存在性定理；(2)数形结合；(3)解方程f (x )＝0.2．研究方程f (x )＝g (x )的解，实质就是研究G (x )＝f (x )－g (x )的零点．3．转化思想：方程解的个数问题可转化为两个函数图象交点的个数问题；已知方程有解求参数范围问题可转化为函数值域问题．[易错防范]1．函数f (x )的零点是一个实数，是方程f (x )＝0的根，也是函数y ＝f (x )的图象与x 轴交点的横坐标．2．函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象．基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1．(2014·青岛统一检测)函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0,2)内的零点个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析 因为函数y ＝2x，y ＝x 3在R 上均为增函数，故函数f (x )＝2x＋x 3－2在R 上为增函数，又f (0)＜0，f (2)＞0，故函数f (x )＝2x＋x 3－2在区间(0,2)内只有一个零点，故选B.答案 B2．(2015·西安五校联考)函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x的图象交点的横坐标所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)解析 函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝1x 的图象交点的横坐标，即为函数f (x )＝ln(x ＋1)－1x的零点，∵f (x )在(0，＋∞)上为增函数，且f (1)＝ln 2－1＜0，f (2)＝ln 3－12＞0，∴f (x )的零点所在区间为(1,2)．答案 B3．(2015·长沙模拟)若a ＜b ＜c ，则函数f (x )＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b )和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a )和(c ，＋∞)内解析 依题意，注意到f (a )＝(a －b )(a －c )＞0，f (b )＝(b －c )·(b －a )＜0，f (c )＝(c －b )(c －a )＞0，因此由零点的存在性定理知函数f (x )的零点位于区间(a ，b )和(b ，c )内，故选A.答案 A4．(2014·昆明三中、玉溪一中统考)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内存在一个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞B ．(－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ C.⎝⎛⎭⎪⎫－1，15D ．(－∞，－1)解析 当a ＝0时，f (x )＝1与x 轴无交点，不合题意，所以a ≠0；函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1,1)内是单调函数，所以f (－1)·f (1)＜0，即(5a －1)(a ＋1)＞0，解得a ＜－1或a ＞15.答案 B5．已知函数f (x )＝x ＋2x，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是( )A ．x 2＜x 1＜x 3B ．x 1＜x 2＜x 3C ．x 1＜x 3＜x 2D ．x 3＜x 2＜x 1解析 依据零点的意义，转化为函数y ＝x 分别和y ＝－2x，y ＝－ln x ，y ＝x ＋1的交点的横坐标大小问题，作出草图，易得x 1＜0＜x 2＜1＜x 3.答案 B 二、填空题6．(2015·淄博期末)函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是________．解析 函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数，即为函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1图象的交点个数．在同一坐标系内分别作出函数y ＝ln(x ＋1)与y ＝x －1的图象，如图，由图可知函数f (x )＝x －ln(x ＋1)－1的零点个数是2. 答案 27．函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2.答案 28．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0，若函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，则实数m 的取值范围是________．解析 画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x－1，x ＞0，－x 2－2x ，x ≤0的图象，如图．由函数g (x )＝f (x )－m 有3个零点，结合图象得：0＜m ＜1，即m ∈(0,1)． 答案 (0,1) 三、解答题9．若关于x 的方程22x＋2xa ＋a ＋1＝0有实根，求实数a 的取值范围． 解 法一 (换元法)设t ＝2x (t >0)，则原方程可变为t 2＋at ＋a ＋1＝0，(*) 原方程有实根，即方程(*)有正根． 令f (t )＝t 2＋at ＋a ＋1.①若方程(*)有两个正实根t 1，t 2， 则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝a 2－4 a ＋1 ≥0，t 1＋t 2＝－a >0，t 1·t 2＝a ＋1>0，解得－1<a ≤2－22；②若方程(*)有一个正实根和一个负实根(负实根，不合题意，舍去)，则f (0)＝a ＋1<0，解得a <－1；③当a ＝－1时，t ＝1，x ＝0符合题意． 综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]． 法二 (分离变量法)由方程，解得a ＝－22x＋12x ＋1，设t ＝2x (t >0)，则a ＝－t 2＋1t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2t ＋1－1＝2－⎣⎢⎡⎦⎥⎤ t ＋1 ＋2t ＋1， 其中t ＋1>1，由基本不等式，得(t ＋1)＋2t ＋1≥22，当且仅当t ＝2－1时取等号，故a ≤2－2 2.综上，a 的取值范围是(－∞，2－22]．10．已知关于x 的二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0有两根，其中一根在区间(－1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求m 的范围．解 由条件，抛物线f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1与x 轴的交点分别在区间(－1,0)和(1,2)内，如图所示，得⎩⎪⎨⎪⎧f 0 ＝2m ＋1<0，f －1 ＝2>0，f 1 ＝4m ＋2<0，f 2 ＝6m ＋5>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧m <－12，m ∈R ，m <－12，m >－56.即－56<m <－12.故m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12.能力提升题组 (建议用时：25分钟)11．(2014·合肥检测)若函数f (x )＝ax 2－x －1有且仅有一个零点，则实数a 的取值为( )A ．0B ．－14C ．0或－14D ．2解析 当a ＝0时，函数f (x )＝－x －1为一次函数，则－1是函数的零点，即函数仅有一个零点；当a ≠0时，函数f (x )＝ax 2－x －1为二次函数，并且仅有一个零点，则一元二次方程ax 2－x －1＝0有两个相等实根．∴Δ＝1＋4a ＝0，解得a ＝－14.综上，当a ＝0或a ＝－14时，函数仅有一个零点．答案 C12．(2014·洛阳统一考试)已知方程|x 2－a |－x ＋2＝0(a ＞0)有两个不等的实数根，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,4)B ．(4，＋∞)C ．(0,2)D ．(2，＋∞)解析 依题意，知方程|x 2－a |＝x －2有两个不等的实数根，即函数y ＝|x 2－a |的图象与函数y ＝x －2的图象有两个不同交点．如图，则a ＞2，即a ＞4，选B.答案 B13．(2014·江苏卷)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0,3)时，f (x )＝|x 2－2x ＋12|.若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解析 函数y ＝f (x )－a 在区间[－3,4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3,4]与y ＝a 的图象有10个不同交点，在坐标系中作出函数f (x )在一个周期内的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 14．已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }．(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f xx－4ln x 的零点个数． 解 (1)∵f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0.∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)∵g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x－4ln x －2(x >0)，∴g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝ x －1 x －3x2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：又因为g (x )在(3，＋∞)单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点．故g (x )在(0，＋∞)只有1个零点.。
《大高考》2016届高考复习数学理(全国通用)：第二章 函数的概念与基本初等函数 第六节
规定理解透彻，并对各项要求认真分析作出标记，找出问题的关键 点、易混易错点． 2．在复习中要利用专题训练的方式，把新定义问题归类研究，找
出各种条件下的新定义问题，比较异同，归纳出通性通法，达到举
一反三、触类旁通的效果．
考纲考向分析 核心要点突破
考纲考向分析
核心要点突破
2.列表描点法是作函数图象的辅助手段，要作函数图象首先要 明确函数图象的位置和形状：(1)可通过研究函数的性质如定义 域、值域、奇偶性、周期性、单调性等等；(2)可通过函数图象 的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等；(3)可通过方程的 同解变形，如作函数 y＝ 1－x2的图象．
B．(－2，－1]∪(1，2] D．[－2，－1]
[解题指导](1)根据新信息规定，可得出 f(x)的解析式，f(x)解析式 应该是分段函数． (2)y＝f(x)－c 的图象是由 y＝f(x)的图象上下平移得到的， 数形结 合平移图象即可得出所需结论．
考纲考向分析 核心要点突破
解析
答案
B
考纲考向分析 核心要点突破
2 ．函数图 图象．
象 的 平 2．会运用 图 象 研 究 数形结合的数学思想方法及利用
移．
函 数 图 象 性 质 或 求 函数图象研究函数性质、方程、
3 ．函数图 理 解 和 研 两 个 图 象 不等式等问题仍将是高考的主要 象的应用. 究 函 数 的 的 交 点 个 考查内容，备考时应加强针对性
考纲考向分析 核心要点突破
[ 点评 ]
若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻
折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序， 对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与 伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
2016届高考数学(人教,文)专题复习课件：专题2 函数概念与基本初等函数
f(0)＝1，且对任意x，y∈R都有f(xy＋1)＝f(x)f(y)－f(y)－x＋2，求f(x)
时可以对x，y赋予一些特殊值，如令x＝y＝0，则f(1)＝f 2(0)－f(0)－0 ＋2＝2；令y＝0，则f(1)＝f(0)f(x)－f(0)－x＋2，故f(x)＝x＋1.常见的赋 1 1 值为0，1，－1，x与 ，x与 - 等． x x
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考法2 求函数的定义域
例4.[2014 山东· 3,5分]函数f ( x) 1 (log2 x) 1
2
的定义域为
（ ）
1 A.(0, ) 2
B.(2, )
1 C.(0, ) (2, ) 2
1 D.(0, ) [2, ) 2
[解析] 由(log2x)2 -1>0,得log2x>1或log2x<-1，解得0<x< [答案] C
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考点8 函数的定义域、值域及其表示
1．函数的有关概念 函数有三要素：定义域、值域和对应法则．即在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做 自变量，x的取值范围A叫做定义域，与x的值对应的y值叫做函数值，函数值的 集合{f(x)|x∈A}叫做值域． 函数的值域由定义域和对应法则f唯一确定，因此，定义域和对应法则都相同 的函数才是相等函数(同一函数)．函数的对应法则是否相同与自变量具体的字母 x，t等无关，只要自变量的任一取值相同时函数值相同即是相等函数．应注意的 是，对应法则施加的对象与解析式中表述的对象一致时才可以正确地施加法则． 具体见考法1. 2．函数的三种表示法 解析法、列表法、图象法．
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考法2 求函数的定义域
函数的定义域就是使函数解析式有意义的所有自变量组成 的集合，应根据具体情况列不等式(组)，求得解集．求定义域一 般有两种类型： 类型1 已知函数解析式求定义域 类型2 抽象函数的定义域
新编高考数学分类总复习全书：第2章函数的概念与基本初等函数 第4讲 含解析
]
5．(2018·衡阳模拟)若不等式 x2－2x＋5≥a2－3a 对任意的实数 x 恒成立，则实数 a 的取 值范围是( ) A．[－1，4] C．[－2，5) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) D．(－∞，－1]∪[4，＋∞)
解析： 选 A.令 f(x)＝ x2－ 2x＋ 5＝ (x－ 1)2＋ 4, 则 f(x)的最小值为 4， 若不等式 x2－ 2x＋ 5≥a2－3a 对任意的实数 x 恒成立，则 a2－3a≤4，解得－1≤a≤4，故选 A. 6．若函数 y＝ x2－ 3x－ 4 的定义域为 [0， m]，值域为 － ( ) A．[0，4] 3 C． ，＋∞ 2 3 B. ，4 2
] 1 3 C． － ，12 D. ，12 [ 2 ] [4 ]
A．[0，12] 解析：选 B.因为函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的图象过坐标原点， 所以 f(0)＝0，所以 b＝0. 1 因为 f(－x)＝f(－1＋x)，所以函数 f(x)的图象的对称轴为 x＝－ ，所以 a＝1，所以 f(x) 2 ＝x2＋x＝ x＋
新编高考数学分类总复习全书
第 2 章函数的概念与基本初等函数
一、选择题 1．若二次函数 g(x)满足 g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点，则 g(x)的解析式为( ) A．g(x)＝2x2－3x C．g(x)＝3x2＋2x 解析：选 B.法一：设 g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 因为 g(1)＝1，g(－1)＝5，且图象过原点， a＋b＋c＝1 a＝3 所以 a－b＋c＝5 ，解得 b＝－2 ， c＝0 c＝0 B．g(x)＝3x2－2x D．g(x)＝－3x2－2x
1 B. － ，12 4
[
( 2) －4，所以函数 f(x)在[－1，－2]上为减函数，在(－2，3]上为增函数，故当
2016年高考数学中等生百日捷进提升系列专题02函数概念与基本初等函数2(含解析)
...例2设0 a 1，函数 fx log a a 2 x 2a x 2 ，那么使f x0 的 x 的取值X 围是 〔 〕A ．,0B ．0,C ．,log a 3D ．log a 3,分析：由 0 a 1，得ylog a x 在 0,上的减函数，假设使f x0 ，那么log a a 2 x 2a x2 0 ，从而可得 a 2 x 2a x 2 1，令 ta x ，有 t0 ，可转化为t 22t 3 0 ，解可得t 的取值X 围，由指数函数的性质，分析可得答案．此题考察指数、对数函数的运算与性质， 解题时，要联想这两种函数的图象，特别是图象上的特殊点，这是解决此题的关键．【练一练提升能力】1. 函数f ( x)log 2 x, x 00，假设 af ( a) 0, 那么实数a 的取值X 围是log 1 ( x), x〔〕2A 〔. 1,0〕〔0,1〕 B. 〔 ， 1〕〔1， 〕 C.〔 1,0〕〔1， 〕D 〔.， 1〕〔0,1〕【答案】 A【解析】假设a0，那么 af(a) a log 1 a0 log 1 a 00 a 1；假设a 0 ，那么22af ( a) a log 2 (a) 0 log 2 ( a) 0 0a1 1 a 0 ；综上得，选A .2. 当0x 1 时， 4x log a x 〔 a 0 且 a 1〕，那么a 的取值X 围是〔〕2A ．(0,2 )B． (2,1)22C ．(1, 2)D． (2,2)2函数的图象【背一背重点知识】1.熟练掌握几种根本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂1函数、形如y x的函数；x2.对于函数的图象要会作图、识图、用图：作函数图象有两种根本方法：一是描点法，二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．3.常见的函数数字特征有：〔1〕函数奇偶性：奇函数f ( x)f ( x) ；偶函数 f ( x)f ( x) ；〔2〕函数单调性：单调递增f ( x1 ) f ( x2 )x2 )( f( x1 ) f ( x2 )) 0 ；单调递x1x20 或 (x1增f ( x1)f (x2 )0 或 (x1 x2 )( f ( x1 ) f (x2 )) 0 。
高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数 2.2 函数的单调性与最值练习题(含解析)(1)(
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函数的单调性与最值一、选择题1.下列函数中,在(0)-∞,上为增函数的是（ ) A.21y x =- B 。
22y x x =+ C.11y x=+D.1x y x =-解析 ∵21y x =-的对称轴为x=0，且开口向下, ∴(0)-∞,为其单调递增区间. 答案 A2．下列函数中,既是偶函数又在（0,＋∞）单调递增的函数是( ）． A ．y ＝x 3B ．y ＝｜x |＋1C ．y ＝－x 2＋1D ．y ＝2－｜x ｜解析 (筛选法）对于A ：y ＝x 3为奇函数，不合题意；对于C ，D ：y ＝－x 2＋1和y ＝2－|x ｜在(0,＋∞)上单调递减，不合题意;对于B ：y ＝｜x |＋1的图象如图所示，知y ＝|x ｜＋1符合题意，故选B.答案 B【点评】 采用筛选法，根据选项中的函数的图象和性质逐一筛选.3．已知函数f （x ）为R 上的减函数，则满足f 错误!〈f (1）的实数x 的取值范围是（ ) A ．(－1,1) B ．(0,1） C ．（－1，0)∪（0,1） D ．(－∞,－1）∪(1，＋∞)解析 由f (x )为R 上的减函数且f 错误!<f （1), 得：错误!即错误!∴0<x 〈1或－1<x <0. 答案 C4． 函数f (x ）＝log a （x 2－ax )(a >0且a ≠1）在(2，＋∞)上单调递增，则a 的取值范围是（ ) A ．1<a ≤2 B ．1<a 〈12 C ．1<a ≤12 D ．1<a ≤4解析 设g (x ）＝x 2－ax ＝错误!2－错误!，则当a 〉1时，需满足错误!解得1〈a ≤2；当0〈a 〈1时，不满足复合函数的单调性．答案A5．函数f(x）＝ln(4＋3x－x2）的单调递减区间是（)．A。
高考数学课标通用(理科)一轮复习真题演练：第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-4Word版含解析
真题操练集训421 1．[2016 ·新课标全国卷Ⅲ ] 已知 a ＝23 5，c ＝25 3，b ＝4 ，则()A ．b<a<cB ．a<b<cC ．b<c<aD ．c<a<b答案： A41211分析：因为 a ＝23＝16 3 ，＝ 5＝5， ＝3 ，且幂函数b 4 16c251y ＝x3y ＝16x在 R 上单一递加，因此在 R 上单一递加，指数函数b<a<c.2．[2015 ·四川卷 ] 假如函数 f(x)＝12(m －2)x 2＋(n －8)x ＋1(m ≥0，≥ 在区间1，2 上单一递减，那么 mn 的最大值为()n 0)2A ．16B ．18C ．25D ． 812答案： B1分析： ①当 m ＝2 时，∵f(x)在 2，2 上单一递减，∴ 0≤n<8，mn＝ 2n<16.12②当 m ≠2 时，函数 f(x)＝2(m － 2)x ＋(n －8)x ＋1(m ≥0，n ≥0)n －8的对称轴方程为 x ＝－.m －2a ．当 m ＞2 时，抛物线张口向上，1∵f(x)在 2，2 上单一递减，n －8∴－ ≥2，即 2m ＋n ≤12.m －2又 2m ＋n ≥2 2mn ，∴ 2 2mn ≤12，∴mn ≤18.当 2m ＝n ＝6，即 m ＝3，n ＝6 时取等号， ∴mn 的最大值为 18.b ．当 m ＜2 时，抛物线张口向下，∵ 在1 ，2 上单一递减， f(x)2n －8 ≤1，即 m ＋2n ≤18，即 n ≤9－1m. ∴－m －2 22 又∵ 0≤m ＜2，n ≥0，121281∴mn ≤9m －2m ＝－ 2(m －9) ＋ 2 ＜－ 1(2－9)2＋81＝16.22综上所述， mn 的最大值为 18，应选 B.3．[2014 ·浙江卷 ] 在同向来角坐标系中，函数f(x)＝x a(x>0)，g(x)＝log a x 的图象可能是 ()A BC D答案： D分析：当 a>1 时，函数 f(x)＝x a(x>0)单一递加，函数g(x)＝log a x 单一递加，且过点 (1,0)，由幂函数的图象性质可知 C 错；当0<a<1时，函数 f(x)＝x a(x>0)单一遂增，函数g(x)＝log a x 单一递减，且过点(1,0)，清除 A，又由幂函数的图象性质可知 B 错，应选 D.4．[2013 ·重庆卷 ]3－a a＋6 (－6≤a≤3)的最大值为 ()A. 9B．9 2C. 3D．32 2答案： B分析：易知函数y＝(3－a)(a＋6)的两个零点是3，－ 6，对称轴为3＝－＋的最大值为＝ 3＋3392，则a2y(3a)(a6)y22293－a 6＋a 的最大值为 2，应选 B.5．[2014 ·辽宁卷 ] 对于 c ＞0，当非零实数 a ，b 知足 4a 2－2ab ＋4b2－c ＝0 且使 |2a ＋b|最大时， 3a －4b ＋5c 的最小值为 ________．答案： －2分析： 设 2a ＋b ＝x ，则 2a ＝x －b ，∴(x －b)2－b(x －b)＋4b 2－c ＝0，x 2－3bx ＋6b 2－c ＝0，即 6b 2－3xb ＋x 2－c ＝0.∴Δ＝9x 2－4×6×(x 2－c)≥0，∴3x 2－8x 2＋8c ≥0，∴x2≤85c.当 |2a ＋b|＝|x|取最大时，有 (2a ＋b)2＝85c ，∴4a 2＋4ab ＋b2＝85c.又∵4a 2－2ab ＋4b 2＝c ，①b 22 a. ∴ ＝ ，∴b ＝a 3 32将 b ＝3a 代入①，得22 4 24a －2a ·a ＋9 a ·4＝ c ，3∴a ＝3c，b ＝c或 a ＝－ 3 c，b ＝－ c .2 1010 210 10当 a ＝3c，b ＝c时，有2101034 5 34 5a －b ＋c ＝3c － c ＋c210102 10 4 10 5 110 2 ＝ c －c ＋c ＝ 5 c －5 －2≥－2， 1 10 5当 c ＝5 ，即 c ＝2时等号建立．3 1此时 a ＝4，b ＝2.3当 a ＝－ 2c10， b ＝－c10时，3 4 5a －b ＋c ＝－2 10 ＋ c410 5 ＋ ＝c c210 5＋ ＞0，c c综上可知，当5 3 1c ＝2，a ＝4，b ＝2时，3 4 5 a －b ＋cmin＝－ 2.课外拓展阅读结构二次函数解决问题二次函数是中学数学的一个重要知识， 它与一元二次不等式、 一元二次方程的联系是诸多命题者的关注点． 对于有些问题若能充足利用二次函数的性质， 则会水到渠成． 下边就给出几种结构二次函数解决问题的例题．1．结构二次函数求根式函数的最值[ 典例 1] 求函数 y ＝x 2＋ 1－x 2的最值．[ 思路剖析 ] 利用换元法转变为二次函数求最值．[ 解] 令 1－x 2＝u ，则 x 2＝1－u 2，且 0≤u≤1.因此 y＝1－u2＋u＝－ u－122＋54，55因此 1≤y≤4，故 y min＝1，y max＝4.2．结构二次函数解不等式(1)从结论的外形结构作形式联想进行结构[ 典例 2]已知a<b<c，求证：a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2.[ 思路剖析 ]察看结论的特色，若将不等式移项后，有a2b＋b2c ＋c2a－(ab2＋bc2＋ca2)<0，设 A＝a2b＋ b2c＋ c2a－(ab2＋bc2＋ ca2)＝(b－c)a2＋(c2－ b2)a＋(b2c－bc2)，考虑到 a 是按降幂摆列的，故可联想到结构二次函数f(x)＝(b－c)x2＋(c2－b2)x＋(b2c－bc2)求解．[ 证明 ] 令 A＝ a2b＋b2c＋ c2a－(ab2＋bc2＋ca2)＝(b－c)a2＋(c2－b2)a＋(b2c－bc2)．设 f(x)＝(b－ c)x2＋(c2－b2)x＋(b2c－bc2)＝(b－c)(x－b)(x－c)，因为 b<c，因此函数 f(x)的图象张口向下，且与 x 轴交点的横坐标为 b，c，因此当 x<b 或 x>c 时，f(x)<0.又 a<b，因此 f(a)<0，即 A<0，因此 a2b＋b2c＋c2a<ab2＋bc2＋ca2.(2)利用二次函数的最值特色进行结构[典例 3]已知 a1，a2，， a n为实数，试证： (x－a1)2＋(x－a2)2＋＋ (x－a n)2≥n a12＋a22＋＋ a n2－ a1＋a2＋＋a n2n[ 思路剖析 ]所证不等式的左侧可看作是对于 x 的二次函数，只要证此二次函数的最小值是n a21＋a22＋＋a2n－ a1＋a2＋＋a n2n即可．[ 证明 ] 设 f(x)＝ (x－a1)2＋(x－a2)2＋＋(x－a n)2＝nx2－2(a1＋a2＋＋a n)x＋(a12＋a22＋＋a2n)．因为 n>0，因此对于二次函数f(x)，a1＋a2＋＋a n当 x＝n时， f(x)有最小值，且 f(x)min ＝n a12＋a22＋＋a n2－ a1＋a2＋＋a n2n.因此 f(x)≥n a12＋a22＋＋a n2－ a1＋a2＋＋a n2n，故原不等式成立．(3)利用根与系数的关系结构二次函数[ 典例4]已知112a>3，b>3，ab＝9，求证：a＋b<1.[ 思路剖析]已知条件出现了2ab＝9，而结论中有a＋b，若设a22＋b＝t，则 a，b 为二次函数 f(x)＝x －tx＋9的图象与 x 轴的两个交点11的横坐标，因为a>3，b>3，依据二次函数的性质，易证t<1.2[ 证明 ]设 t＝a＋b，又 ab＝9，22则 a，b 为二次函数 f(x)＝x －tx＋9的图象与 x 轴的两个交点的横坐标．11因为 a>3，b>3，二次函数的图象张口向上，因此有1 1 1 2f 3 >0，即 9－3t＋9>0，解得 t<1，即 a＋b<1.。
高考数学课标通用(理科)一轮复习真题演练：第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2-7Word版含解析
真题操练集训1．[2016 ·新课标全国卷Ⅰ]函数 y＝2x2－e|x|在[ －2,2]的图象大概为()A BC D答案： D分析：当 x≥0 时，令函数f(x)＝2x2－e x，则 f′(x)＝4x－e x，易知 f′(x)在[0 ，ln 4)上单一递加，在 [ln 4,2] 上单一递减，又 f′(0)＝－1＝2－ e>0，f′(1)＝4－ e>0，f′(2)＝8－e2>0，因此存在1<0，f′20∈0，1是函数f(x)的极小值点，即函数f(x)在， 0上单一递减，x2(0 x )在(x0,2)上单一递加，且该函数为偶函数，切合条件的图象为 D.2． [2016 ·新课标全国卷Ⅱ ] 已知函数f(x)(x∈R)知足f(－ x)＝2－x＋1f(x)，若函数 y＝x与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，，(x m，y m)，则m(x i＋y i)＝()i ＝1A ．0B．m C．2m D．4m 答案： B分析：由于 f(x)＋f(－x)＝2， y＝x＋1＋1，因此函数＝＝x1x y f(x) x＋1m m与 y＝x的图象都对于点 (0,1)对称，因此x i＝0，y i＝m×2＝m，2i＝1i＝1应选 B.ax＋b3．[2015 ·徽卷安 ]函数 f(x)＝x＋c2的图象如下图，则以下结论建立的是 ()A．a>0，b>0，c<0 B．a<0，b>0，c>0 C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0， c<0答案： C分析：函数的定义域为 { x|x≠－c} ，联合图象知－ c>0，∴c<0.令 x＝0，得bf(0)＝c2，又由图象知f(0)>0，∴b>0.令f(x)＝0，得bx＝－ a，b联合图象知－a>0，∴a<0.应选 C.4．[2015 ·北京卷 ] 如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是 ()A ．{ x|－1＜x≤0}B．{ x|－1≤x≤1}C．{ x|－1＜x≤1}D．{ x|－1＜x≤2}答案： C分析：令 g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数 g(x)图象如图．x＋y＝2，x＝1，由得y＝log2 x＋1 ，y＝1.∴联合图象知，不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为 { x|－1＜x≤1} ．5．[2014 ·新课标全国卷Ⅰ]如图，圆 O 的半径为 1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角 x 的始边为射线 OA，终边为射线 OP，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M，将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x的函数 f(x)，则 y＝f(x)在[0，π]上的图象大概为 ()A BC D答案： C分析：如下图，π当 x∈0，2时，则 P(cos x，sin x)，M(cos x,0)，|MM ′|作 MM ′⊥OP，M′为垂足，则|OM|＝sin x，f x1π∴＝sin x，∴f(x)＝sin xcos x＝sin 2x，则当 x＝时， f(x)max cos x24 1＝2；f x当 x∈2，π时，有|cos x|＝sin( －πx)，π1f(x)＝－ sin xcos x＝－2sin 2x，3π1当 x＝ 4 时， f(x)max＝2.只有C 选项的图象切合．课外拓展阅读函数图象的变换问题1．对称变换经过特别值，我们能够获得函数y＝a x与 y＝1a x(a>0，a≠1)的图1象对于 y 轴对称，函数 y＝log a x 与 y＝log a x(a>0，a≠1)的图象对于 x轴对称，原由是y＝1a x＝a－x，y＝log1a x＝－ log a x.推行到一般，能够获得：函数 f(x)的图象与函数 f(－x)的图象对于 y 轴对称，函数 f(x) 的图象与函数－ f(x)的图象对于 x 轴对称．2．平移变换(1)左右平移变换一般地，函数图象左右平移变换时，当h>0 时，将函数 f(x)的图象向右平移 h 个单位长度后，获得函数f(x－h)的图象；向左平移 h个单位长度后，获得函数 f(x＋h)的图象．(2)上下平移变换一般地，函数图象上下平移变换时，当h>0 时，将函数 f(x)的图象向上平移 h 个单位长度后，获得函数 f(x)＋h 的图象；向下平移 h 个单位长度后，获得函数 f(x)－h 的图象．3．翻折变换(1)画函数 f(|x|)的图象时，先画出函数 f(|x|)在 y 轴右边的图象，再将此部分图象对于 y 轴翻折，即得函数 f(|x|)在 y 轴左边的图象．(2)画函数 |f(x)|的图象时，先画出函数 f(x)的图象，再将 x 轴下方的图象对于 x 轴翻折，即得函数 |f(x)|的图象．x＋3[ 典例 1]为了获得函数y＝lg10的图象，只要把函数y＝lg x 的图象上全部的点 ()A ．向左平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度B．向右平移 3 个单位长度，再向上平移 1 个单位长度C．向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度D．向右平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度[ 思路剖析 ] y＝lg x＋3＝ lg x＋310－1向上平移 1个单位长度y＝lg x＋3向下平移 1个单位长度向右平移 3个单位长度y＝lg x向左平移 3个单位长度x＋3[分析 ]由于y＝lg10＝lg(x＋3)－1，因此只要将y＝lg x 的图象上全部的点向左平移 3 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，即可x＋3获得函数 y＝lg10的图象．[答案 ]C[ 典例2]已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[ －1,1]时f(x)＝x2.那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有() A．10 个B．9个C．8 个D．1个[ 思路剖析 ][ 分析 ]画出两个函数图象如下图，可看出交点有10 个．[答案 ]A。
三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第二章 函数的概念
第二节 函数的基本性质A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东，9)已知函数f (x )的定义域为R ,当x <0时,f (x )＝x 3-1；当-1≤x ≤1时，f (-x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，则f (6)＝( ) A.－2 B.－1 C.0D.2 2.(2015·天津，7)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝(log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为( )A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.c ＜a ＜bD.c ＜b ＜a3.(2015·福建，2)下列函数为奇函数的是( )A.y ＝xB.y ＝|sin x |C.y ＝cos xD.y ＝e x －e －x4.(2015·广东，3)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A.y ＝x ＋e xB.y ＝x ＋1xC.y ＝2x ＋12xD.y ＝1＋x 2 5.(2015·安徽，2)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A.y ＝cos xB.y ＝sin xC.y ＝ln xD.y ＝x 2＋16.(2014·北京，2)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是( )A.y ＝x ＋1B.y ＝(x －1)2C.y ＝2－xD.y ＝log 0.5(x ＋1)7.(2014·陕西，7)下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的单调递增函数是( ) A.f (x )＝12x B.f (x )＝x 3 C.f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x D.f (x )＝3x 8.(2014·山东，5)已知实数x ，y 满足a x <a y(0<a <1)，则下列关系式恒成立的是( )A.1x 2＋1>1y 2＋1B.ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1)C.sin x >sin yD.x 3>y 3 9.(2014·湖南，3)已知f (x ),g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝( )A.－3B.－1C.1D.310.(2014·新课标全国Ⅰ，3)设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.f (x )g (x )是偶函数B.f (x )|g (x )|是奇函数C.|f (x )|g (x )是奇函数D.|f (x )g (x )|是奇函数11.(2014·湖北，10)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2|－3a 2).若∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，16B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 12.(2016·四川，14)已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________. 13.(2016·北京，14)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤a ，－2x ，x ＞a . (1)若a ＝0，则f (x )的最大值为________；(2)若f (x )无最大值，则实数a 的取值范围是________.14.(2015·新课标全国Ⅰ，13)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________.15.(2014·新课标全国Ⅱ，15)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减，f (2)＝0.若f (x －1)>0，则x 的取值范围是________.16.(2014·四川,12)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[－1,1)时,f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －4x 2＋2，－1≤x <0，x ，0≤x <1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝________. B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·天津河西模拟)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f (x ＋2)＝f (x ).当0≤x ≤1时，f (x )＝x 2.若直线y ＝x ＋a 与函数y ＝f (x )的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是( )A.0B.0或－12C.－14或－12D.0或－142.(2016·山东青岛模拟)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且对任意x ∈R ，都有f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，则f (2 014)等于( )A.0B.3C.4D.63.(2016·山东日照模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为( )A.4B.－4C.6D.－6 4.(2016·四川绵阳中学11月月考)设偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则使得f (x )＞f (2x －1)成立的x 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪(1，＋∞)C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，13D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞ 5.(2015·江西盟校联考)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1，3]上的解集为( )A.(1，3)B.(－1，1)C.(－1，0)∪(1，3)D.(－1，0)∪(0，1)6.(2015·广东惠州模拟)下列函数中，既是偶函数又在区间(0，1)上单调递减的函数为( )A.y ＝1xB.y ＝lg xC.y ＝cos xD.y ＝x 2 7.(2016·湖南常德市3月模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋2)－f (x )＝0，当x ∈(0，2]时，f (x )＝2x，则f (2 016)＝________. 8.(2015·四川眉山一中模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，且f (1)＝2，则f (2 014)＝______.答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1. D [当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴T ＝1， ∴f (6)＝f (1).当x <0时，f (x )＝x 3－1且－1≤x ≤1，f (－x )＝－f (x )，∴f (2)＝f (1)＝－f (－1)＝2，故选D.]2.C [因为函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数可知，m ＝0， 所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数，log 0.53＝－log 23，∴log 25＞|－log 0.53|＞0，∴b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )，故选C.]3.D [由奇函数定义易知y ＝e x －e －x 为奇函数，故选D.]4.A [令f (x )＝x ＋e x ，则f (1)＝1＋e ，f (－1)＝－1＋e －1，即f (－1)≠f (1)，f (－1)≠－f (1)，所以y ＝x ＋e x既不是奇函数也不是偶函数，而B 、C 、D 依次是奇函数、偶函数、偶函数，故选A.]5.A [由于y ＝sin x 是奇函数；y ＝ln x 是非奇非偶函数；y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点；只有y ＝cos x 是偶函数又有零点.]6.A [显然y ＝x ＋1是(0，＋∞)上的增函数;y ＝(x －1)2在(0，1)上是减函数,在(1，＋∞)上是增函数；y ＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在x ∈R 上是减函数；y ＝log 0.5(x ＋1)在(－1，＋∞)上是减函数.故选A.]7.D [根据各选项知，选项C 、D 中的指数函数满足f (x ＋y )＝f (x )·f (y ).又f (x )＝3x是增函数，所以D 正确.]8.D [根据指数函数的性质得x >y ，此时x 2，y 2的大小不确定，故选项A 、B 中的不等式不恒成立；根据三角函数的性质，选项C 中的不等式也不恒成立；根据不等式的性质知，选项D 中的不等式恒成立.]9.C [用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1，故选C.]10.B [f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，故f (x )g (x )为奇函数，f (x )|g (x )|为奇函数，|f (x )|g (x )为偶函数，|f (x )g (x )|为偶函数，故选B.]11.B [当x ≥0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，0≤x ≤a 2－a 2，a 2<x ≤2a 2x －3a 2，x >2a 2，又f (x )为奇函数，可得f (x )的图象如图所示，由图象可得，当x ≤2a 2时，f (x )max ＝a 2，当x >2a 2时，令x －3a 2＝a 2，得x ＝4a 2，又∀x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，可知4a 2－(－2a 2)≤1⇒a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－66，66，选B.]12. －2 [首先，f (x )是周期为2的函数，所以f (x )＝f (x ＋2)；而f (x )是奇函数，所以f (x )＝－f (－x )，所以f (1)＝f (－1)，f (1)＝－f (－1)，即f (1)＝0，又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝412＝2，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝－2，从而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2.] 13. (1)2 (2)(－∞，－1) [ (1)当a ＝0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3－3x ，x ≤0，－2x ，x ＞0. 若x ≤0，f ′(x )＝3x 2－3＝3(x 2－1).由f ′(x )＞0得x ＜－1，由f ′(x )＜0得－1＜x ≤0. ∴f (x )在(－∞，－1)上单调递增；在(－1，0]上单调递减，∴f (x )最大值为f (－1)＝2. 若x ＞0，f (x )＝－2x 单调递减，所以f (x )＜f (0)＝0.所以f (x )最大值为2.(2)f (x )的两个函数在无限制条件时图象如图.由(1)知，当a ≥－1时，f (x )取得最大值2.当a ＜－1时，y ＝－2x 在x ＞a 时无最大值.且－2a ＞2.所以a ＜－1.]14.1 [f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.]15.(－1，3) [由题可知，当－2<x <2时，f (x )>0.f (x －1)的图象是由f (x )的图象向右平移1个单位长度得到的，若f (x －1)>0，则－1<x <3.]16.1 [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋2＝1.] B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.D [∵f (x ＋2)＝f (x )，∴T ＝2.又0≤x ≤1时，f (x )＝x 2，可画出函数y ＝f (x )在一个周期内的图象如图所示.显然a ＝0时，y ＝x 与y ＝x 2在[0，2]内恰有两个不同的公共点.另当直线y ＝x ＋a 与y ＝x 2(0≤x ≤1)相切时也恰有两个不同的公共点,由题意知y ′＝(x 2)′＝2x ＝1，∴x ＝12. ∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，又A 点在y ＝x ＋a 上，∴a ＝－14，综上知选D.] 2. A [依题意，得f (－2＋4)＝f (－2)＋f (2)＝f (2)，即2f (2)＝f (2)，f (2)＝0，f (x ＋4)＝f (x )，f (x )是以4为周期的周期函数，又2014＝4×503＋2，所以f (2014)＝f (2)＝0.故选A.]3. B [由f (x )是定义在R 上的奇函数得f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4，选B.]4.A [由f (x )为偶函数，f (x )＞f (2x －1)可化为f (|x |)＞f (|2x －1|)，又f (x )在[0，＋∞)上单调递增,所以|x |＞|2x －1|.解得13＜x ＜1.] 5. C [f (x )的图象如图.当x ∈(－1，0)时，由xf (x )>0得x ∈(－1，0)；当x ∈(0，1)时，由xf (x )<0得x ∈∅；当x ∈(1，3)时，由xf (x )>0得x ∈(1，3).∴x ∈(－1，0)∪(1，3)，故选C.6. C [首先y ＝cos x 是偶函数，且在(0，π)上单减，而(0，1)⊆(0，π)，故y ＝cos x 满足条件.故选C.]7. 4 [f (x )周期为2，f (2 016)＝f (2)＝22＝4.] 8. 2 [∵f (x )＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32，∴f (x ＋3)＝f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＋32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋32＝f (x ).∴f(x)是以3为周期的周期函数.则f(2 014)＝f(671×3＋1)＝f(1)＝2.]。
三年高考两年模拟高考数学专题汇编 第二章 函数的概念与基本初等函数8 理
第八节 函数的模型及其综合应用A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.(2016·山东,10)若函数y ＝f (x )的图象上存在两点,使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直,则称y ＝f (x )具有T 性质.下列函数中具有T 性质的是( ) A.y ＝sin x B.y ＝ln x C.y ＝e xD.y ＝x 32.(2016·四川,5)某公司为激励创新,计划逐年加大研发资金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元,在此基础上,每年投入的研发资金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是(参考数据：lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)( ) A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年3.(2015·北京,8)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行驶的里程.如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是( )A.消耗1升汽油,乙车最多可行驶5千米B.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油量最多C.甲车以80千米/时的速度行驶1小时,消耗10升汽油D.某城市机动车最高限速80千米/时.相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油4.(2014·湖南,8)某市生产总值连续两年持续增加,第一年的增长率为p ,第二年的增长率为q ,则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B.p ＋q ＋－12C.pqD.p ＋q ＋－15.(2014·辽宁,12)已知定义在[0,1]上的函数f (x )满足：①f (0)＝f (1)＝0；②对所有x ,y ∈[0,1],且x ≠y ,有|f (x )－f (y )|<12|x －y |.若对所有x ,y ∈[0,1],|f (x )－f (y )|<k 恒成立,则k 的最小值为( ) A.12 B.14 C.12π D.186.(2015·四川,13)某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝e kx ＋b (e ＝2.718…为自然对数的底数,k ,b 为常数).若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时,在22 ℃的保鲜时间是48小时,则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时. 7.(2015·江苏,17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l 1,l 2,山区边界曲线为C ,计划修建的公路为l ,如图所示,M ,N 为C 的两个端点,测得点M 到l 1,l 2的距离分别为5千米和40千米,点N 到l 1,l 2的距离分别为20千米和2.5千米,以l 2,l 1所在的直线分别为x ,y 轴,建立平面直角坐标系xOy ,假设曲线C 符合函数y ＝ax 2＋b(其中a ,b 为常数)模型.(1)求a ,b 的值；(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点,P 的横坐标为t . ①请写出公路l 长度的函数解析式f (t ),并写出其定义域； ②当t 为何值时,公路l 的长度最短？求出最短长度.8.(2014·湖北,14)设f (x )是定义在(0,＋∞)上的函数,且f (x )>0,对任意a >0,b >0,若经过点(a ,f (a )),(b ,－f (b ))的直线与x 轴的交点为(c,0),则称c 为a ,b 关于函数f (x )的平均数,记为M f (a ,b ).例如,当f (x )＝1(x >0)时,可得M f (a ,b )＝c ＝a ＋b2,即M f (a ,b )为a ,b 的算术平均数.(1)当f (x )＝________(x >0)时,M f (a ,b )为a ,b 的几何平均数. (2)当f (x )＝________(x >0)时,M f (a ,b )为a ,b 的调和平均数2aba ＋b. (以上两空各只需写出一个符合要求的函数即可)9.(2014·山东,15)已知函数y ＝f (x )(x ∈R ),对函数y ＝g (x )(x ∈I ),定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I ),y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ,两个点(x ,h (x )),(x ,g (x ))关于点(x ,f (x ))对称.若h (x )是g (x )＝4－x 2关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”,且h (x )>g (x )恒成立,则实数b 的取值范围是________.B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.(2016·四川成都模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元,B 种方式是月租0元.一个月的本地网内通话时间t (分钟)与电话费S (元)的函数关系如图所示,当通话150分钟时,这两种方式电话费相差( )A.10元B.20元C.30元D.403元2.(2016·湖北天门模拟)物价上涨是当前的主要话题,特别是菜价,我国某部门为尽快实现稳定菜价,提出四种绿色运输方案.据预测,这四种方案均能在规定的时间T 内完成预测的运输任务Q 0,各种方案的运输总量Q 与时间t 的函数关系如图所示,在这四种方案中,运输效率(单位时间的运输量)逐步提高的是( )3.(2015·辽宁五校协作体模拟)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米,那么,此人( )A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但其间最近距离为14米D.不能追上汽车,但其间最近距离为7米4.(2016·陕西西安模拟)一个容器装有细沙a cm 3,细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3),经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子,则再经过________min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.5.(2016·山东日照模拟)某类产品按工艺共分10个档次,最低档次产品每件利润为8元.每提高一个档次,每件利润增加2元.用同样工时,可以生产最低档产品60件,每提高一个档次将少生产3件产品,则获得利润最大时生产产品的档次是________.6.(2016·河南洛阳模拟)某食品公司为了解某种新品种食品的市场需求,进行了20天的测试,人为地调控每天产品的单价P (元/件).前10天每天单价呈直线下降趋势(第10天免费赠送品尝),后10天呈直线上升趋势,其中4天的单价记录如下表：而这20.(1)写出每天销售收入y (元)关于时间x (天)的函数；(2)在这20天中哪一天销售收入最高？此时单价P 定为多少元为好？(结果精确到1元)7.(2015·四川乐山模拟)某工厂的固定成本为3万元,该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元,设生产该产品x (百台),其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本),并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5（0≤x ≤7），13.5（x >7）.假定该产品产销平衡,根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利,产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？答案精析A 组 三年高考真题（2016～2014年）1.A [对函数y ＝sin x 求导,得y ′＝cos x ,当x ＝0时,该点处切线l 1的斜率k 1＝1,当x ＝π时,该点处切线l 2的斜率k 2＝－1,∴k 1·k 2＝－1,∴l 1⊥l 2；对函数y ＝ln x 求导,得y ′＝1x恒大于0,斜率之积不可能为－1;对函数y ＝e x 求导,得y ′＝e x恒大于0,斜率之积不可能为－1;对函数y ＝x 3,得y ′＝2x 2恒大于等于0,斜率之积不可能为－1.故选A.]2.B [设x 年后该公司全年投入的研发资金为200万元,由题可知,130(1＋12%)x＝200,解得x ＝log 1.12200130＝lg 2－lg 1.3lg 1.12≈3.80,因资金需超过200万,则x 取4,即2019年.选B.]3.D [汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”,由此理解A 显然不对；B 应是甲车耗油最少；C 甲车以80千米/小时的速度行驶10 km,消耗1升汽油.故D 正确.]4.D [设年平均增长率为x ,原生产总值为a ,则(1＋p )(1＋q )a ＝a (1＋x )2,解得x ＝（1＋p ）（1＋q ）－1,故选D.]5.B [不妨令0≤y <x ≤1,当0<x －y ≤12时,|f (x )－f (y )|<12|x －y |≤14；当12<x －y ≤1时,|f (x )－f (y )|＝|[f (x )－f (1)]－[f (y )－f (0)]|≤|f (x )－f (1)|＋|f (y )－f (0)|<12|x －1|＋12|y －0|＝12(1－x )＋12y ＝12＋12(y －x )<14.综上,|f (x )－f (y )|<14,所以k ≥14.]6.24 [由题意⎩⎪⎨⎪⎧e b＝192，e22k ＋b ＝48，∴e 22k ＝48192＝14,∴e 11k＝12,∴x ＝33时,y ＝e33k ＋b＝(e 11k )3·e b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123·e b＝18×192＝24.]7.解 (1)由题意知,点M ,N 的坐标分别为(5,40),(20,2.5).将其分别代入y ＝ax 2＋b ,得⎩⎪⎨⎪⎧a25＋b ＝40，a 400＋b＝2.5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1 000，b ＝0.(2)①由(1)知,y ＝1 000x2(5≤x ≤20),则点P 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫t ，1 000t2,设在点P 处的切线l 交x ,y 轴分别于A ,B 点,y ′＝－2 000x3, 则l 的方程为y －1 000t 2＝－2 000t3(x －t ),由此得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 2，0,B ⎝⎛⎭⎪⎫0，3 000t 2.故f (t )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3 000t 22＝32t 2＋4×106t4,t ∈[5,20].②设g (t )＝t 2＋4×106t 4,则g ′(t )＝2t －16×106t5. 令g ′(t )＝0,解得t ＝10 2.当t ∈(5,102)时,g ′(t )＜0,g (t )是减函数； 当t ∈(102,20)时,g ′(t )＞0,g (t )是增函数. 从而,当t ＝102时,函数g (t )有极小值,也是最小值, 所以g (t )min ＝300,此时f (t )min ＝15 3.答：当t ＝102时,公路l 的长度最短,最短长度为153千米. 8.(1)x (2)x [过点(a ,f (a )),(b ,－f (b ))的直线的方程为y －f (a )＝f （a ）＋f （b ）a －b(x －a ),令y ＝0得c ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）.(1)令几何平均数ab ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒abf (a )＋abf (b )＝bf (a )＋af (b ),可取f (x )＝x (x >0)； (2)令调和平均数2ab a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）⇒ab ＋ba a ＋b ＝af （b ）＋bf （a ）f （a ）＋f （b ）,可取f (x )＝x (x >0).]9.(210,＋∞) [函数g (x )的定义域是[－2,2],根据已知得h （x ）＋g （x ）2＝f (x ),所以h (x )＝2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2.h (x )>g (x )恒成立,即6x ＋2b －4－x 2>4－x 2恒成立,即3x ＋b >4－x 2恒成立,令y ＝3x ＋b ,y ＝4－x 2,则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆x 2＋y 2＝4(y ≥0)上方即可,由|b |10>2,解得b >210(舍去负值),故实数b 的取值范围是(210,＋∞).]B 组 两年模拟精选(2016～2015年)1.A [依题题可设S A (t )＝20＋kt ,S B (t )＝mt . 又S A (100)＝S B (100),∴100k ＋20＝100m ,得k －m ＝－0.2,于是S A (150)－S B (150)＝20＋150k －150m ＝20＋150×(－0.2)＝－10,即两种方式电话费相差10元,选A.]2.B [由运输效率(单位时间的运输量)逐步提高得,曲线上的点的切线斜率应逐渐增大,故函数的图象应一直是下凹的,故选B.]3. D [以汽车停止位置为参照,人所走过的位移为－25＋6t ,汽车在时间t 内的位移为s ＝12t 2,故设相对位移为y m,则y ＝－25＋6t －12t 2＝－12(t －6)2－7,故不能追上汽车,且当t＝6时,其间最近距离为7米.故选D.] 4.16 [依题意有a ·e－b ×8＝12a ,∴b ＝ln 28,∴y ＝a ·e－ln 28·t . 若容器中只有开始时的八分之一,则有a ·e－ln 28·t ＝18a .解得t ＝24,∴再经过的时间为24－8＝16 min.]5.9 [由题意,第k 档次时,每天可获利润为：y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10),配方可得y ＝－6(k －9)2＋864,∴当k ＝9时,获得利润最大.]6.解 (1)P ＝⎩⎪⎨⎪⎧10－x ，x ∈[1，10]，x －10，x ∈[11，20](x ∈N *),Q ＝100－（x －10）2,x ∈[1,20],x ∈N *,∴y ＝100QP ＝100（x －10）2[100－（x －10）2],x ∈[1,20],x ∈N *.(2)∵(x －10)2[100－(x －10)2]≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤（x －10）2＋100－（x －10）222＝2 500, 当且仅当(x －10)2＝100－(x －10)2, 即x ＝10±52时,y 有最大值.又x ∈N *,∴当x ＝3或17时,y max ＝70051≈4 999,此时,P ＝7. 答：第3天或第17天销售收入最高,此时应将单价P 定为7元为好. 7.解: 依题意得g (x )＝x ＋3,设利润函数为f (x ),则f (x )＝r (x )－g (x )所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5（0≤x ≤7）10.5－x （x >7）(1)要使工厂盈利,则有f (x )>0,因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5>0，或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27<0 或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，10.5－x >0，⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3<x <9，或7<x <10.5. 则3<x ≤7或7<x <10.5,即3<x <10.5,所以要使工厂盈利,产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内. (2)当3<x ≤7时,f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5, 故当x ＝6时,f (x )有最大值4.5. 而当x >7时,f (x )<10.5－7＝3.5. 所以当工厂生产600台产品时盈利最大.。
高考数学( 文科)一轮复习练习：第二章 函数概念与基本初等函数 第4讲 含答案
基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、填空题1.二次函数y ＝－x 2＋4x ＋t 图象的顶点在x 轴上，则t 的值是________. 解析 二次函数图象的顶点在x 轴上，所以Δ＝42－4×(－1)×t ＝0，解得t ＝－4. 答案 －42.若a ＜0，则0.5a ，5a ，5－a 的大小关系是________(按从小到大).解析 5－a＝⎝ ⎛⎭⎪⎫15a，因为a ＜0时，函数y ＝x a 单调递减，且15＜0.5＜5，所以5a＜0.5a ＜5－a . 答案 5a ＜0.5a ＜5－a3.二次函数的图象过点(0，1)，对称轴为x ＝2，最小值为－1，则它的解析式是________.答案 y ＝12(x －2)2－14.函数y ＝x －x (x ≥0)的最大值为________. 解析 令x ＝t ，则x ＝t 2(t ≥0)， 则y ＝－t 2＋t ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋14，当t ＝12时，y max ＝14. 答案 145.当α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，12，1，3时，幂函数y ＝x α的图象不可能经过第________象限.解析 当α＝－1，1，3时，y ＝x α的图象经过第一、三象限；当α＝12时，y ＝xα的图象经过第一象限.答案 二、四6.(2016·苏北四市模拟)若二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (x 1)＝f (x 2)，则 f (x 1＋x 2)＝________.解析 ∵f (x 1)＝f (x 2)且f (x )的图象关于x ＝－b 2a 对称，∴x 1＋x 2＝－ba . ∴f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ·b 2a 2－b ·b a ＋c ＝c . 答案 c7.(2015·南京师大附中调研)“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的________条件(填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”).解析 函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数，则满足对称轴－－4a2＝2a ≤2，即a ≤1，所以“a ＝1”是“函数f (x )＝x 2－4ax ＋3在区间[2，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件. 答案 充分不必要8.已知函数f (x )是二次函数，不等式f (x )＞0的解集是(0，4)，且f (x )在区间 [－1，5]上的最大值是12，则f (x )的解析式为________.解析 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (x )＞0的解集是(0，4)，可知f (0)＝f (4)＝0，且二次函数的图象开口向下，对称轴方程为x ＝2，再由f (x )在区间[－1，5]上的最大值是12，可知f (2)＝12，即⎩⎨⎧f （0）＝0，f （4）＝0，f （2）＝12，解得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝12，c ＝0.∴f (x )＝－3x 2＋12x . 答案 f (x )＝－3x 2＋12x 二、解答题9.已知函数f (x )＝x 2＋2ax ＋3，x ∈[－4，6]. (1)当a ＝－2时，求f (x )的最值；(2)求实数a 的取值范围，使y ＝f (x )在区间[－4，6]上是单调函数. 解 (1)当a ＝－2时，f (x )＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1，由于x ∈[－4，6]， ∴f (x )在[－4，2]上单调递减，在[2，6]上单调递增， ∴f (x )的最小值是f (2)＝－1， 又f (－4)＝35，f (6)＝15， 故f (x )的最大值是35.(2)由于函数f (x )的图象开口向上，对称轴是x ＝－a ，所以要使f (x )在[－4，6]上是单调函数，应有－a ≤－4或－a ≥6，即a ≤－6或a ≥4，故a 的取值范围是(－∞，－6]∪[4，＋∞).10.已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x .现已画出函数f (x )在y 轴左侧的图象，如图所示，请根据图象：(1)写出函数f (x )(x ∈R )的增区间； (2)写出函数f (x )(x ∈R )的解析式；(3)若函数g (x )＝f (x )－2ax ＋2(x ∈[1，2])，求函数g (x )的最小值. 解 (1)f (x )在区间(－1，0)，(1，＋∞)上单调递增.(2)设x ＞0，则－x ＜0，函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且当x ≤0时，f (x )＝x 2＋2x ，∴f (x )＝f (－x )＝(－x )2＋2×(－x )＝x 2－2x (x ＞0)， ∴f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2x （x ＞0），x 2＋2x （x ≤0）.(3)g (x )＝x 2－2x －2ax ＋2，对称轴方程为x ＝a ＋1， 当a ＋1≤1，即a ≤0时，g (1)＝1－2a 为最小值；当1＜a ＋1≤2，即0＜a ≤1时，g (a ＋1)＝－a 2－2a ＋1为最小值； 当a ＋1＞2，即a ＞1时，g (2)＝2－4a 为最小值. 综上，g (x )min ＝⎩⎨⎧1－2a （a ≤0），－a 2－2a ＋1 （0＜a ≤1），2－4a （a ＞1）.能力提升题组 (建议用时：20分钟)11.设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0，1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________.解析 二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0，1]上单调递减，则a ≠0，f ′(x )＝2a (x －1)＜0，x ∈[0，1]，所以a ＞0，即函数的图象开口向上，又因为对称轴是直线x ＝1.所以f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. 答案 [0，2]12.(2015·北京东城区模拟)已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋b (1＜a ＜3)，且x 1＜x 2，x 1＋x 2＝1－a ，则下列说法正确的是________(填序号).①f (x 1)＜f (x 2)；②f (x 1)＞f (x 2)；③f (x 1)＝f (x 2)；④f (x 1)与f (x 2)的大小关系不能确定. 解析 f (x )的对称轴为x ＝－1，因为1＜a ＜3， 则－2＜1－a ＜0，若x 1＜x 2≤－1，则x 1＋x 2＜－2， 不满足x 1＋x 2＝1－a 且－2＜1－a ＜0；若x 1＜－1，x 2≥－1时，|x 2＋1|－|－1－x 1|＝x 2＋1＋1＋x 1＝x 1＋x 2＋2＝3－a ＞0(1＜a ＜3)， 此时x 2到对称轴的距离大，所以f (x 2)＞f (x 1)；若－1≤x 1＜x 2，则此时x 1＋x 2＞－2，又因为f (x )在[－1，＋∞)上为增函数，所以f (x 1)＜f (x 2). 答案 ①13.对于实数a 和b ，定义运算“*”；a *b ＝⎩⎨⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a ＞b .设f (x )＝(2x －1)*(x－1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则m 的取值范围是________.解析 由题意得f (x )＝(2x －1)*(x －1)＝ ⎩⎨⎧（2x －1）2－（2x －1）（x －1），x ≤0，（x －1）2－（2x －1）（x －1），x ＞0. 即f (x )＝⎩⎨⎧2x 2－x ，x ≤0，－x 2＋x ，x ＞0.如图所示，关于x 的方程f (x )＝m 恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，即函数f (x )的图象与直线y ＝m 有三个不同的交点，则0＜m ＜14. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1414.(2015·雅安诊断)已知函数f (x )＝3ax 2＋2bx ＋c ，a ＋b ＋c ＝0，且f (0)·f (1)>0. (1)求证：－2<ba <－1；(2)若x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根，求|x 1－x 2|的取值范围. (1)证明 当a ＝0时，f (0)＝c ，f (1)＝2b ＋c ，又b ＋c ＝0， 则f (0)·f (1)＝c (2b ＋c )＝－c 2<0与已知矛盾，因而a ≠0， 则f (0)·f (1)＝c (3a ＋2b ＋c )＝－(a ＋b )(2a ＋b )>0， 即⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋2<0，从而－2<b a <－1. (2)解 x 1、x 2是方程f (x )＝0的两个实根， 则x 1＋x 2＝－2b3a ，x 1x 2＝－a ＋b 3a ，那么(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2b 3a 2＋4×a ＋b 3a ＝49·⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋4b 3a ＋43＝49⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋322＋13. ∵－2<b a <－1，∴13≤(x 1－x 2)2<49，∴33≤|x 1－x 2|<23，即|x 1－x 2|的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫33，23.。
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阶段回扣练2 函数概念与基本初等函数Ⅰ(建议用时：90分钟)一、选择题1．(2014·山西四校联考)函数y ＝1x＋x ＋4的定义域为( )A ．[－4，＋∞)B ．(－4,0)∪(0，＋∞)C ．(－4，＋∞)D ．[－4,0)∪(0，＋∞)解析 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≠0，x ＋4≥0，得x ≥－4且x ≠0.答案 D2．(2014·湖南卷)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝1x2B ．f (x )＝x 2＋1 C ．f (x )＝x 3D ．f (x )＝2－x解析 A 中f (x )＝1x2是偶函数，且在(－∞，0)上是增函数，故A 满足题意．B 中f (x )＝x 2＋1是偶函数，但在(－∞，0)上是减函数．C 中f (x )＝x 3是奇函数．D 中f (x )＝2－x是非奇非偶函数．故B ，C ，D 都不满足题意．答案 A3．已知幂函数f (x )的图象经过(9,3)，则f (2)－f (1)＝( ) A ．3 B ．1－ 2 C.2－1D ．1解析 设幂函数为f (x )＝x α，则f (9)＝9α＝3，即32α＝3，所以2α＝1，α＝12，即f (x )＝x 12＝x ，所以f (2)－f (1)＝2－1，选C.答案 C4．(2014·唐山统一考试)f (x )是R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 3＋ln(1＋x )，则当x ＜0时，f (x )＝( )A ．－x 3－ln(1－x ) B ．x 3＋ln(1－x ) C ．x 3－ln(1－x )D ．－x 3＋ln(1－x )解析 当x ＜0时，则－x ＞0，∴f (－x )＝(－x )3＋ln(1－x )＝－x 3＋ln(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝x 3－ln(1－x )． 答案 C5．(2014·西安检测)已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．b ＞a ＞cD ．c ＞a ＞b解析 依题意得，a ＝log 43.62＞log 43.6＝c ＞log 43.2＝b . 答案 B6．(2015·辽宁五校协作体联考)设函数f (x )＝log a |x |在(－∞，0)上单调递增，则f (a ＋1)与f (2)的大小关系是( )A ．f (a ＋1)＞f (2)B ．f (a ＋1)＜f (2)C ．f (a ＋1)＝f (2)D ．不能确定解析 由已知得0＜a ＜1，所以1＜a ＋1＜2，又易知函数f (x )为偶函数，故可以判断f (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以f (a ＋1)＞f (2)．答案 A7.(2014·烟台模拟)如图是函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的图象，则函数g (x )＝ln x ＋f ′(x )的零点所在区间是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，12 B ．(1,2) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(2,3)解析 由f (x )的图象知0＜b ＜1，f (1)＝0，从而－2＜a ＜－1，g (x )＝ln x ＋2x ＋a ，g (x )在定义域内单调递增，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝ln 12＋1＋a ＜0，g (1)＝2＋a ＞0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12·g (1)＜0，故选C.答案 C8．某公司租地建仓库，已知仓库每月占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月车载货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比．据测算，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D ．2千米处解析 由题意得，y 1＝k 1x，y 2＝k 2x ，其中x ＞0，当x ＝10时，代入两项费用y 1，y 2分别是2万元和8万元，可得k 1＝20，k 2＝45，y 1＋y 2＝20x ＋45x ≥220x ·45x ＝8，当且仅当20x＝45x ，即x ＝5时取等号，故选A. 答案 A9．(2014·济南四校联考)已知函数f (x )＝x 2＋cos x x2，则y ＝f (x )的图象大致为( )解析 首先确定函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，由f (－x )＝(－x )2＋cos －x －x 2＝f (x )可知f (x )＝x 2＋cos x x 2为偶函数，故其图象关于y 轴对称，可以排除A ，然后结合x →＋∞时，f (x )→＋∞可以排除C ，D.答案 B10．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b ＜1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是( )A ．(－2,1)B ．[0,1]C ．[－2,0)D ．[－2,1)解析 当x 2－1≥4＋x ＋1，即x ≤－2或x ≥3时，f (x )＝4＋x ，当x 2－1＜4＋x ＋1，即－2＜x ＜3时，f (x )＝x 2－1，如图所示，作出f (x )的图象，由图象可知，要使－k ＝f (x )有三个根，需满足－1＜－k ≤2，即－2≤k ＜1.答案 D 二、填空题11．(2015·潍坊模拟)函数f (x )＝2a x ＋1－3(a ＞0且a ≠1)的图象经过的定点坐标是________．解析 令x ＋1＝0，得x ＝－1，f (－1)＝2－3＝－1. 答案 (－1，－1)12．(2014·贵阳监测)若函数f (x )＝x 2－2kx ＋1在[1，＋∞)上是增函数，则实数k 的取值范围是________．解析 依题意，函数f (x )＝(x －k )2＋1－k 2在[1，＋∞)上是单调递增函数，于是有k ≤1，即实数k 的取值范围是(－∞，1]．答案 (－∞，1]13．(2014·日照模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3e x －1，x ＜3，log 3 x 2－6 ，x ≥3，则f (f (3))的值为________．解析 因为f (3)＝log 3(32－6)＝log 33＝1， 所以f (f (3))＝f (1)＝3e 0＝3，故填3. 答案 314．(2014·南通模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋ax ＋1，x ≥1，ax 2＋x ＋1，x ＜1在R 上是单调增函数，则实数a 的取值范围________．解析 f (x )在R 上是单调增函数，需满足a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧－a2≤1.a ＜0，－12a ≥1，解得－12≤a ≤0.答案 [－12，0]15．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x ＜0，bx ＋2x ＋1， 0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________． 解析 因为f (x )的周期为2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32－2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， 即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12. 又因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12a ＋1， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝b2＋212＋1＝b ＋43，所以－12a ＋1＝b ＋43.整理，得a ＝－23(b ＋1)．又因为f (－1)＝f (1)， 所以－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .将②代入①，得a ＝2，b ＝－4. 所以a ＋3b ＝2＋3×(－4)＝－10. 答案 －10 三、解答题16．函数f (x )＝m ＋log a x (a ＞0且a ≠1)的图象过点(8,2)和(1，－1)． (1)求函数f (x )的解析式；(2)令g (x )＝2f (x )－f (x －1)，求g (x )的最小值及取得最小值时x 的值． 解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧f 8 ＝2，f 1 ＝－1，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋log a 8＝2，m ＋log a 1＝－1，解得m ＝－1，a ＝2，故函数解析式为f (x )＝－1＋log 2x . (2)g (x )＝2f (x )－f (x －1)＝2(－1＋log 2x )－[－1＋log 2(x －1)]＝log 2x 2x －1－1(x ＞1)．∵x 2x －1＝ x －1 2＋2 x －1 ＋1x －1＝(x －1)＋1x －1＋2≥ 2x －1 ·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．而函数y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，则log 2x 2x －1－1≥log 24－1＝1，故当x ＝2时，函数g (x )取得最小值1.17．对于函数f (x )，若存在x 0∈R ，使f (x 0)＝x 0成立，则称x 0为f (x )的不动点，已知函数f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)．(1)当a ＝1，b ＝－2时，求f (x )的不动点；(2)若对任意实数b ，函数f (x )恒有两个相异的不动点，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2－x －3，由题意可知x ＝x 2－x －3，得x 1＝－1，x 2＝3.故当a ＝1，b ＝－2时，f (x )的不动点是－1,3.(2)∵f (x )＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1(a ≠0)恒有两个相异的不动点，∴x ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋b －1，即ax 2＋bx ＋b －1＝0恒有两相异实根， ∴Δ＝b 2－4ab ＋4a ＞0(b ∈R )恒成立． 于是Δ′＝(4a )2－16a ＜0解得0＜a ＜1，故当b ∈R ，f (x )恒有两个相异的不动点时的a 的范围是(0,1)．18．已知函数f (x )＝ax 2＋(b －8)x －a －ab (a ≠0)，当x ∈(－3,2)时，f (x )>0；当x ∈(－∞，－3)∪(2，＋∞)时，f (x )<0.(1)求f (x )在[0,1]内的值域；(2)c 为何值时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立？解 由题意得x ＝－3和x ＝2是函数f (x )的零点且a ≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧0＝a · －3 2＋ b －8 · －3 －a －ab ，0＝a ·22＋ b －8 ·2－a －ab ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝5，∴f (x )＝－3x 2－3x ＋18.(1)由图象知，函数在[0,1]内单调递减，∴当x ＝0时，f (x )＝18；当x ＝1时，f (x )＝12， ∴f (x )在[0,1]内的值域为[12,18]． (2)法一 令g (x )＝－3x 2＋5x ＋c .∵g (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫56，＋∞上单调递减， 要使g (x )≤0在[1,4]上恒成立， 则需要g (x )max ＝g (1)≤0， 即－3＋5＋c ≤0，解得c ≤－2.∴当c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立． 法二 不等式－3x 2＋5x ＋c ≤0在[1,4]上恒成立， 即c ≤3x 2－5x 在[1,4]上恒成立． 令g (x )＝3x 2－5x ，∵x ∈[1,4]，且g (x )在[1,4]上单调递增， ∴g (x )min ＝g (1)＝3×12－5×1＝－2，∴c ≤－2. 即c ≤－2时，不等式ax 2＋bx ＋c ≤0在[1,4]上恒成立．19．小王大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业．经过市场调查，生产某小型电子产品需投入年固定成本为3万元，每生产x 万件，需另投入流动成本为W (x )万元．在年产量不足8万件时，W (x )＝13x 2＋x (万元)；在年产量不小于8万件时，W (x )＝6x ＋100x －38(万元)．每件产品售价为5元．通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (万件)的函数解析式(注：年利润＝年销售收入－固定成本－流动成本)；(2)年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？ 解 (1)因为每件商品售价为5元，则x 万件商品销售收入为5x 万元．依题意得， 当0＜x ＜8时，L (x )＝5x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋x －3＝－13x 2＋4x －3；当x ≥8时，L (x )＝5x －⎝⎛⎭⎪⎫6x ＋100x－38－3＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x .所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋4x －3，0＜x ＜8，35－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋100x ，x ≥8.(2)当0＜x ＜8时，L (x )＝－13(x －6)2＋9，此时，当x ＝6时，L (x )取得最大值L (6)＝9(万元)． 当x ≥8时；L (x )＝35－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋100x ≤35－2x ·100x＝35－20＝15(万元)．此时，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时，L (x )取得最大值15万元．∵9＜15，所以当年产量为10万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为15万元.。