2017-2018年上海市交大附中高一(上)数学期中试卷和答案

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上海交大附中高一上学期期中考试(数学).doc

上海交大附中高一上学期期中考试（数学）（满分100 分， 90 分钟完成，同意使用计算器，答案一律写在答题纸上）一．填空题：（共12 小题，每题 3 分）1.A={1},B={x|x A} ，用列举法表示会集 B 的结果为 _________ 。

2.已知会集 A={(x,y)|y=x+3}， B={(x,y)|y=3x-1} ，则 A ∩B=________ 。

3.写出 x>1 的一个必要非充分条件__________ 。

4.不等式11 的解集为_____________。

（用区间表示） x5.命题“已知 x、 y∈ R，若是 x+y ≠ 2，那么 x≠ 0 或 y≠ 2. ”是 _____ 命题。

（填“真”或“假”）6.2会集 A={x|(a-1)x+3x-2=0} 有且仅有两个子集，则a=_________ 。

7.若不等式 |ax+2|<6的解集为（ -1 ， 2），则实数 a 等于 _________ 。

8.不等式4x x2>x 的解集是 ____________ 。

9.已知 a2 +b 2=1 ，则a 1 b2的最大值为 ___________ 。

10.19和各代表一个自然数，且满足+ =1 ，则当这两个自然数的和取最小值时，=_______, =_______.11.已知会集A={-1 ， 2} ， B={x|mx+1>0}，若 A ∪ B=B ，则实数 m 的取值范围是 _________ 。

12.若是关于x 的三个方程 x2 +4ax-4a+3=0 ， x2+(a-1)x+a2=0 ， x 2+2ax-2a=0 中，有且只有一个方程有实数解，则实数 a 的取值范围是_______________ 。

二．选择题：（共 4 小题，每题 3 分）13.设命题甲为“0<x<5 ”，命题乙为“|x-2|<3 ”，那么甲是乙的：（）（ A ）充分非必要条件；（B）必要非充分条件；（ C）充要条件；（D）既非充分又非必要条件14. 以下命题中正确的选项是：（）（ A ）若 ac>bc ，则 a>b(B)若 a2>b 2，则 a>b11(D)若 a b ，则a<b（ C）若，则 a<ba b15.设x>y>0，则以下各式中正确的选项是：（）（ A ） x> xy> xy >y （ B ） x> xy >xy>y22（ C ） x>xy> y >xy （ D ） x> xy > y >x y2216. 以下每中两个函数是同一函数的数共有：（）（ 1 ） f(x)=x 2 +1 和 f(v)=v 2+1（２） y1 x2 和 y1 x 2| x 2 | x 2（３） y=2x ， x ∈ {0,1} 和 y= 1 x 2 5 x 1， x ∈ {0,1}6 6 （４） y=1 和 y=x 0（５） y=x 1 x 2 和 yx 2 3x 2（ 6 ） y=x 和 y 3x 3（A ）1（B ）3（C ） 2 （D ）4三．解答题：（共 5 小，本大要有必要的程）17. （本 8 分）已知会集A x x a 1 ， Bx x 2 5x 4 0 ，且 AB ，求数 a 的取范。

2017-2018学年上海市交大附中高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海市交大附中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分） 1. “x ＜2”是“x 2＜4”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2. 设函数f （x ）={1x <0−1x>0，则(a+b)+(a−b)⋅f(a−b)2（a ≠b ）的值为（）A. aB. bC. a ，b 中较小的数D. a ，b 中较大的数3. 如图中，哪个最有可能是函数y =x2x 的图象（）A.B.C.D.4. 若定义在R 上的函数f （x ）满足：对任意x 1，x 2∈R 有f （x 1+x 2）=f （x 1）+f （x 2）+1，则下列说法一定正确的是（） A. f(x)为奇函数 B. f(x)为偶函数 C. f(x)+1为奇函数 D. f(x)+1为偶函数二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5. 若关于x 的不等式x−ax+1≥0的解集为（-∞，-1）∪[4，+∞），则实数a =______． 6. 设集合A ={x ||x -2|＜1}，B ={x |x ＞a }，若A ∩B =A ，则实数a 的取值范围是______． 7. 一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8. 若函数f （x ）=log 2（x +1）+a 的反函数的图象经过点（4，1），则实数a =______． 9. 若f(x)=x 13−x −2，则满足f （x ）＞0的x 的取值范围是______．10. 已知f （x ）={a x ,x ≥1(7−a)x−4a,x<1是（-∞，+∞）上的增函数，那么a 的取值范围是______． 11. 定义在R 上的偶函数y =f （x ），当x ≥0时，f （x ）=lg （x 2+3x +2），则f （x ）在R上的零点个数为______． 12. 设f （x ）=x 4+ax 3+bx 2+cx +d ，f （1）=1，f （2）=2，f （3）=3，则14[f(0)+f(4)]的值为______．13. 设f -1（x ）为f （x ）=4x -2+x -1，x ∈[0，2]的反函数，则y =f （x ）+f -1（x ）的最大值为______． 14. 已知函数f （x ）={(x −a)2，x ≤0x +4x +3a ，x ＞0，且f （0）为f （x ）的最小值，则实数a 的取值范围是______．15.设a、b∈R，若函数f(x)=x+ax+b在区间（1，2）上有两个不同的零点，则f（1）的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，有f(x1+x22)≤12[f(x1)+f(x2)]；②函数f(x)=log2(x+√x2+1)，g(x)=1+22x−1均为奇函数；③若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足f（4-x）=f（x），那么f（2）=f（2018）；④设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，则x1x2=1其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于x的不等式：(log2x)2+(a+1a )log12x+1＜018.设a∈R，函数f(x)=3x+a3x+1；（1）求a的值，使得f（x）为奇函数；（2）若f(x)＜a+33对任意的x∈R成立，求a的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=k3x+5（0≤x≤10），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．（Ⅰ）求k的值及f（x）的表达式．（Ⅱ）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．20. 已知函数f 1（x ）=e |x -2a +1|，f 2（x ）=e |x -a |+1，x ∈R ．（1）若a =2，求f （x ）=f 1（x ）+f 2（x ）在x ∈[2，3]上的最小值；（2）若|f 1（x ）-f 2（x ）|=f 2（x ）-f 1（x ）对于任意的实数x ∈R 恒成立，求a 的取值范围；（3）当4≤a ≤6时，求函数g （x ）=f 1(x)+f 2(x)2−|f 1(x)−f 2(x)|2在x ∈[1，6]上的最小值．21. 对于定义在[0，+∞）上的函数f （x ），若函数y =f （x ）-（ax +b ）满足：①在区间[0，+∞）上单调递减，②存在常数p ，使其值域为（0，p ]，则称函数g （x ）=ax +b 是函数f （x ）的“逼进函数”．（1）判断函数g （x ）=2x +5是不是函数f （x ）=2x 2+9x+11x+2，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）求证：函数g （x ）=12x 不是函数f （x ）=（12）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数” （3）若g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +√x 2+1，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，求a 的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：由x2＜4，解得：-2＜x＜2，故x＜2是x2＜4的必要不充分条件，故选：B．先求出x2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题．2.【答案】C【解析】解：∵函数f（x）=，∴当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．∴（a≠b）的值为a，b中较小的数．故选：C．由函数f（x）=，知当a＞b时，==b；当a＜b时，=a．本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数值的合理运用．3.【答案】A【解析】解：y′==，令y′＞0，解得：x＜，令y′＜0，解得：x＞，故函数在（-∞，）递增，在（，+∞）递减，而x=0时，函数值y=0，x→-∞时，y→-∞，x→+∞时，y→0，故选：A．求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．本题考查了函数的图象，考查函数的单调性问题，是一道基础题．4.【答案】C【解析】解：∵对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，∴令x1=x2=0，得f（0）=-1∴令x1=x，x2=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）+1，∴f（x）+1=-f（-x）-1=-[f（-x）+1]，∴f（x）+1为奇函数．故选C对任意x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1，考察四个选项，本题要研究函数的奇偶性，故对所给的x1，x2∈R有f（x1+x2）=f（x1）+f（x2）+1进行赋值研究即可本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．5.【答案】4【解析】解：由，得（x-a）（x+1≥0，故-1，4是方程（x-a）（x+1）=0的根，故a=4，故答案为：4解不等式的解集转化为方程的根，求出a的值即可．本题考查了不等式的解法以及转化思想，是一道基础题．6.【答案】（-∞，1]【解析】解：由|x-2|＜1得1＜x＜3，则A=|{x|1＜x＜3}，∵B={x|x＞a}，且A∩B=A，∴A⊆B，即a≤1，故答案为：（-∞，1]．先求出不等式|x-2|＜1的解集即集合A，根据A∩B=A得到A⊆B，即可确定出a的范围．本题考查了交集及其运算，集合之间的关系，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．7.【答案】π3【解析】解：因为一条长度等于半径的弦，所对的圆心角为弧度．故答案为：．直接利用弧长公式求出圆心角即可．本题考查弧长公式的应用，基本知识的考查．8.【答案】3【解析】解：函数f（x）=log2（x+1）+a的反函数的图象经过点（4，1），即函数f（x）=log2（x+1）+a的图象经过点（1，4），∴4=log2（1+1）+a∴4=1+a，a=3．故答案为：3．由题意可得函数f（x）=log2（x+1）+a过（1，4），代入求得a的值．本题考查了互为反函数的两个函数之间的关系与应用问题，属于基础题．9.【答案】（1，+∞）【解析】解：若，则满足f（x）＞0，即-x-2＞0，变形可得：＞1，函数g（x）=为增函数，且g（1）=1，解可得：x＞1，即x的取值范围为（1，+∞）；故答案为：（1，+∞）．根据题意，将f（x）＞0变形为＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查其他不等式的解法，关键是将原不等式转化为整式不等式．10.【答案】[7，7)6【解析】解：根据题意，f（x）=是（-∞，+∞）上的增函数，必有，解可得≤a＜7，即a的取值范围为：故答案为：根据题意，由分段函数的单调性分析可得，解可得a的取值范围，即可得答案．本题考查分段函数的单调性，注意分段函数分段分析．11.【答案】0【解析】解：当x≥0时，f（x）=lg（x2+3x+2），函数的零点由：lg（x2+3x+2）=0，即x2+3x+1=0，解得x（舍去）．因为函数是定义在R上的偶函数y=f（x），所以函数的零点个数为：0个．故答案为：0．利用函数是偶函数求出x≥0时，函数的零点个数，即可得到结果．本题考查函数的零点的个数的求法，函数的奇偶性的应用，考查计算能力．12.【答案】7【解析】解：f（x）=x4+ax3+bx2+cx+d，f（1）=1，f（2）=2，f（3）=3，可得：，∴b=-6a-25；c=11a+61；d=-6a-36，∴[f（4）+f（0）]=（256+64a+16b+4c+2d）=（128+32a+8b+2c+d）=（128+32a-48a-200+22a+122-6a-36）=×14=7．利用已知条件求出a、b、c、d的关系式，化简所求的表达式，求解即可．本题考查方程的根与函数的零点的求法，待定系数法的应用，考查计算能力．13.【答案】4【解析】【分析】本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性，属中档题．由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数可得其值域，得到y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f-1（x）的最大值【解答】解：由f（x）=4x-2+x-1在x∈[0，2]上为增函数，得其值域为[-，2]，可得y=f-1（x）在[-，2]上为增函数，因此y=f（x）+f-1（x）在[-，2]上为增函数，∴y=f（x）+f-1（x）的最大值为f（2）+f-1（2）=2+2=4．故答案为4．14.【答案】[0，4]【解析】解：若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，则a≥0，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），即4+3a≥a2，解得：-1≤a≤4，综上所述实数a的取值范围是[0，4]，故答案为：[0，4]若f（0）为f（x）的最小值，则当x≤0时，函数f（x）=（x-a）2为减函数，当x＞0时，函数f（x）=的最小值4+3a≥f（0），进而得到实数a的取值范围．本题考查的知识点是分段函数的应用，熟练掌握并理解二次函数和对勾函数的图象和性质，是解答的关键，属于中档题．15.【答案】（0，1）【解析】解：函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒，如图画出数对（a，b）所表示的区域，目标函数z=f（1）═a+b+1∴z的最小值为z=a+b+1过点（1，-2）时，z的最大值为z=a+b+1过点（4，-4）时∴f（1）的取值范围为（0，1）故答案为：（0，1）函数在区间（1，2）上有两个不同的零点，即方程x2+bx+a=0在区间（1，2）上两个不相等的实根，⇒⇒画出数对（a，b）所表示的区域，求出目标函数z=f（1）═a+b+1的范围即可．本题是函数零点的考查，涉及到规划问题的结合，属于难题．16.【答案】②③④【解析】解：函数f（x）=2x满足：对任意x1，x2∈R，x1≠x2，f（x1）+f（x2）=2+2＞2=2•2=2f（），故①错误；由x＞0，x=0时，x+＞0成立；由x＜0，x2+1＞x2，可得＞-x，即x+＞0，由f（-x）+f（x）=log2（x2+1-x2）=0，即有f（x）为奇函数；又g（-x）+g（x）=2++=2++=0，可得g（x）为奇函数．函数均为奇函数，故②正确；若函数f（x）的图象关于点（1，0）成中心对称图形，可得f（x）+f（2-x）=0，且满足f（4-x）=f（x），则f（4-x）=-f（2-x），即f（2+x）=-f（x），可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），即f（x）为最小正周期为4的函数，可得f（2018）=f（4×504+2）=f（2），那么f（2）=f（2018），故③正确；设x1，x2是关于x的方程|log a x|=k（a＞0，a≠1）的两根，可得log a x1+log a x2=0，即log a x1x2=0，则x1x2=1，故④正确．故答案为：②③④．由指数的运算性质和基本不等式，可判断①；运用奇偶性的定义和性质，可判断②；由题意可得f（x）+f（2-x）=0，结合条件可得f（x）为最小正周期为4的函数，可得结论，可判断③；由对数的运算性质，可判断④．本题考查函数的性质和运用，主要是函数的奇偶性和对称性、周期性的判断和运用，考查定义法和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：关于x 的不等式：(log 2x)2+(a +1a )log 12x +1＜0，即 (log 2x)2-（a +1a ）log 2x +1＜0，即（log 2x -a ）•（log 2x -1a）＜0．当a ＞1a 时，即a ＞1或-1＜a ＜0时，1a ＜log 2x ＜a ，21a ＜x ＜2a ，原不等式的解集为{x |21a ＜x ＜2a }．当a =1a 时，即a =±1时，不等式即(log 2x −a)2＜0，显然它无解，即解集为∅．当a ＜1a 时，即0＜a ＜1或a ＜-1时，1a ＞log 2x ＞a ，21a ＞x ＞2a ，原不等式的解集为{x |21a ＞x ＞2a }．【解析】原不等式即（log 2x-a ）•（log 2x-）＜0，分类讨论a 与的大小关系，求得log 2x 的范围，可得x 的范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，对数不等式的解法，属于中档题． 18.【答案】解：（1）根据题意，函数f(x)=3x +a 3x +1，其定义域为R ，若f （x ）为奇函数，则f （0）=30+a 30+1=0，解可得a =-1；故a =-1；（2）根据题意，f(x)＜a+33，即3x +a 3x +1＜a+33，变形可得：a−13x +1＜a 3，即3（a -1）＜a （3x +1），（①）分3种情况讨论：当a =0时，（①）变形为-3＜0，恒成立，当a ＞0时，（①）变形为3a−3a ＜3x +1，若3a−3a ＜3x +1恒成立，必有3a−3a ≤1，解可得a ≤32，此时a 的取值范围为（0，32]，当a ＜0时，（①）变形为3a−3a ＞3x +1，不可能恒成立，综合可得：a 的取值范围为[0，32]．【解析】（1）根据题意，由奇函数的性质可得f（0）==0，解可得a的值，即可得答案；（2）根据题意，变形可得3（a-1）＜a（3x+1），分3种情况讨论，求出a的取值范围，综合可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数恒成立问题，属于综合题．19.【答案】解：（Ⅰ）设隔热层厚度为x cm，由题设，每年能源消耗费用为C(x)=k3x+5．再由C（0）=8，得k=40，因此C(x)=403x+5．而建造费用为C1（x）=6x，最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f(x)=20C(x)+C1(x)=20×403x+5+6x=8003x+5+6x(0≤x≤10)（Ⅱ）f′(x)=6−2400(3x+5)2，令f'（x）=0，即2400(3x+5)2=6．解得x=5，x=−253（舍去）．当0＜x＜5时，f′（x）＜0，当5＜x＜10时，f′（x）＞0，故x=5是f（x）的最小值点，对应的最小值为f(5)=6×5+80015+5=70．当隔热层修建5cm厚时，总费用达到最小值为70万元．【解析】（I）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．（II）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．函数的实际应用题，我们要经过析题→建模→解模→还原四个过程，在建模时要注意实际情况对自变量x取值范围的限制，解模时也要实际问题实际考虑．将实际的最大（小）化问题，利用函数模型，转化为求函数的最大（小）是最优化问题中，最常见的思路之一．20.【答案】解：（1）对于a=2，x∈[2，3]，f（x）=e|x-3|+e|x-2|+1=e3-x+e x-1（3分）≥2√e3−x⋅e x−1=2e，当且仅当e3-x=e x-1，即x=2时等号成立，∴f（x）min=2e．（6分）（2）|f1（x）-f2（x）|=f2（x）-f1（x）对于任意的实数x恒成立，即f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，亦即e|x-2a+1|≤e|x-a|+1对于任意的实数x恒成立，∴|x-2a+1|≤|x-a|+1，即|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立．（9分）又|x-2a+1|-|x-a|≤|（x-2a+1）-（x-a）|=|-a+1|对于任意的实数x恒成立，故只需|-a+1|≤1，解得0≤a≤2，∴a的取值范围为0≤a≤2．（12分）（3）g（x）=f1(x)+f2(x)2−|f1(x)−f2(x)|2={f2(x),f1(x)>f2(x)f1(x),f1(x)≤f2(x)（13分）∵f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增∴比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系令F1（x）=|x-2a+1|，F2（x）=|x-a|+1，G（x）={F2(x),F1(x)>F2(x)F1(x),F1(x)≤F2(x)其中4≤a≤6，x∈[1，6]（14分）∵4≤a≤6∴2a-1≥a≥1，令2a-1-x=1，得x=2a-2，由题意可以如下图象：（15分）当4≤a≤6时，a≤6≤2a-2，G（x）min=F2（a）=1，g（x）min=e1=e；（18分）【解析】（1）对于a=2，x∈[2，3]，去掉绝对值得f（x）=e3-x+e x-1（3分），利用基本不等式积为定值，和有最小值即可求出函数的最小值，注意等号成立的条件；（2）根据条件可知f1（x）≤f2（x）对于任意的实数x恒成立，转化成|x-2a+1|-|x-a|≤1对于任意的实数x恒成立，然后利用绝对值不等式进行求解即可求出参数a的范围；（3）f1（x）与f2（x）的底数都同为e，外函数都单调递增，比较f1（x）与f2（x）的大小关系，只须比较|x-2a+1|与|x-a|+1的大小关系，则令F 1（x ）=|x-2a+1|，F 2（x ）=|x-a|+1，则G （x ）=其中4≤a≤6，x ∈[1，6]，结合图形可知当4≤a≤6时G （x ）min =F 2（a ）=1，g （x ）min =e 1=e ．本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用，以及函数的最值及其几何意义和恒成立问题等有关知识，解决本题的关键是等价转化，以及数形结合，分类讨论的思想，难点是绝对值如何去．21.【答案】解：（1）f （x ）-g （x ）=2x 2+9x+11x+2-（2x +5）=1x+2，可得y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，且x +2≥2，0＜1x+2≤12，可得存在p =12，函数y 的值域为（0，12]，则函数g （x ）=2x +5是函数f （x ）=2x 2+9x+11x+2，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（2）证明：f （x ）-g （x ）=（12）x -12x ，由y =（12）x ，y =-12x 在[0，+∞）递减，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）递减，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的最大值为1；由x =1时，y =12-12=0，x =2时，y =14-1=-34＜0，则函数y =f （x ）-g （x ）在[0，+∞）的值域为（-∞，1]，即有函数g （x ）=12x 不是函数f （x ）=（12）x ，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”；（3）g （x ）=ax 是函数f （x ）=x +√x 2+1，x ∈[0，+∞）的“逼进函数”，可得y =x +√x 2+1-ax 为[0，+∞）的减函数，可得导数y ′=1-a +√x 2+1≤0在[0，+∞）恒成立，可得a -1≥√x 2+1，由x ＞0时，√x 2+1=√1+1x 2≤1，则a -1≥1，即a ≥2；又y =x +√x 2+1-ax 在[0，+∞）的值域为（0，1]，则√x 2+1＞（a -1）x ，x =0时，显然成立；x ＞0时，a -1＜√1+1x 2，可得a -1≤1，即a ≤2．则a =2．【解析】（1）由f（x）-g（x），化简整理，结合反比例函数的单调性和值域，即可判断；（2）由指数函数和一次函数的单调性，可得满足①，说明不满足②，即可得证；（3）由新定义，可得y=x+-ax为[0，+∞）的减函数，求得导数，由不等式恒成立思想，可得a的范围；再由值域为（0，1]，结合不等式恒成立思想可得a 的范围，即可得到a的值．本题考查新定义的理解和运用，考查函数的单调性和值域的求法和运用，考查导数的运用，以及不等式恒成立问题的解法，属于中档题．。

上海市交大附中2017-2018学年高一上学期第一次月考数

上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学月考一试卷一、填空题（1-6题每题4分，7-12题每题5分）1. 用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.2. 已知集合2{1,},{1,}A m B m =-=，且A B =，则m 的值为____________.3. 设集合{1,2,6},{2,4},{|15,}A B C x x x R ===-≤≤∈，则()A B C =____________.4. 已知关于x 的一元二次不等式20ax x b ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，则a b -=____________.5. 设集合{}3(,)|1,(,)12y U x y y x A x y x ⎧-⎫==+==⎨⎬-⎩⎭，则U A =ð____________.6. 不等式21x≥+____________. 7. 已知x R ∈，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是____________.8. 设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________.9. 若对任意x R ∈，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.10. 向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人11. 设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[5.5]5,[ 5.5]6=-=-），则2[]5[]60x x -+≤的解集为____________.12. 已知有限集123{,,,,}(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”； ④若*i a N ∈，则“复活集”A 有且只有一个，且3n =.其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号）二、选择题（每题5分）13. 若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论中正确的是（）A. Q P ⊆B. PQ =∅ C. P Q ≠∅ D. P Q P ≠14. 集合{}*|4|21|A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（）A. 62B. 126C. 254D. 51015. 已知,,a b c R ∈，则下列三个命题正确的个数是（） ①若22ac bc >，则a b >；②若|2||2|a b ->-，则22(2)(2)a b ->-③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+； ④若0,0,4,4a b a b ab >>+>>，则2,2a b >>A. 1B. 2C. 3D. 416. 若实数,a b 满足0,0a b ≥≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(,)a b a b ϕ=-，那么(,)0a b ϕ=是a 与b 互补的（） A. 必要而不充分的条件 B. 充分而不必要的条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件三、解答题17. （本题满分14分）已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M （1）4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围18. （本题满分14分）解关于x 的不等式2(2)(21)60a x a x -+-+>19. （本题满分16分）已知函数()|1||2|f x x x =+-- （1）求不等式()1f x ≥的解集；（2）若不等式2()f x x x m ≥-+的解集非空，求m 的取值范围20. （本题满分14分）某商场在促销期间规定：商场内所有商品标价的80%出售，同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=（元），设购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价。

上海市交大附中高一(上)期中数学试卷含答案

10. 满足条件{1,3，5} ∪ 퐴 ∪ {3，5，7} = {1，3，5，7，9}的所有集合 A 的个数是______
个．
11.
已知不等式푥푥2
+ +
2푥
2푎
≤
0的解集为
A，且2
∈
퐴，3 ∉ 퐴，则实数 a 的取值范围是
______．
12. 若函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数，则实数 a 的取值范围为
푥
+
4 푥
+
3푎,푥
> 0，且푓(0)为푓(푥)的最小值，则实数 a
的取值范围
是______． 16. 若方程푎푥2−(4−푎2)푥 + 2 = 0 在(0,2)内恰有一解，则实数 a 的取值范围为
______．
三、解答题（本大题共 5 小题，共 60.0 分）
17.
己知集合퐴
2푥 −1 = {푥|푥 + 1 ≤ 1,푥
12.【答案】푎 > 1
【解析】解： ∵ 函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数， ∴ 푓(−푥) = 푓(푥)，且푓(−푥) ≠ −푓(푥)，
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{푥2−1 ≥ 0
又 푎−푥2 ≥ 0， ∴ 푎 ≥ 1． 푎 = 1，函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且奇函数，故答案为：푎 > 1．利用函数푓(푥) = 푥2−1 + 푎−푥2为偶函数且非奇函数，结合函数的定义域，即可求出
万元．源消耗费用之和． (Ⅰ)求 k 的值及푓(푥)的表达式． (Ⅱ)隔热层修建多厚时，总费用푓(푥)达到最小，并求最小值．

高三数学-【数学】上海交大附中2018届高三上学期期中考试19精品

2 sin( x 2
) ，若对任意 5
x
R ，都有 f (x1)
f ( x)
f ( x2 ) 成立，则 x1 x2
的最小值为
；2
8．将函数 y tan( 3x) 的图像上的各点经过怎样的平移 _________________ ，可以得到函 4
数 y tan3 x 的图像？向左平移个单位 12
1 9．已知函数 y sin( x ) ( 0) 与直线 y 的交点中，距离最近的两点间距离为
1 23 1 32
和都是 12，所以， b1+b2+…＋b6=- 12+2 12- 3 12=-24 ．那么，在用 1，2，3，4， 2 1 3
5 形成的数阵中， b1+b2+…＋b120=
．
2 31 3 12
321
二．选择题（本大题满分 16 分）本大题共有 4 题，每题有且只有一个正确答案，考生应在
A．－ 2 － 10； B．－－ 5； C． 2kπ－ 2 － 10（ k Z）； D． kπ－－ 5（ k Z）
3
3
3
3
17．若函数 y
2x 2x
1 的值域为 M ，则只能以 M 或 M 的子集为定义域的函数可以是（ 1
）
A． y lg 1 x ； B． y 1x
1 x ； C． y 1x
1x
出同时满足上述两个条件的一个函数解析式 ___________；
14．用 n 个不同的实数 a1， a2， … ， an 可得 n! 个不同的排列，每个排列为一行写成一个
n!
行的数阵．
对第
i
行
ai1 ，ai2，┄，ain，记

上海市上海中学2017-2018学年度高一上学期期中考试数学试卷及答案

上海中学2017-2018学年上学期高一期中数学卷一、填空题1.设集合{}0,2,4,6,8,10A =，{}4,8B =，则A C B =___________2.已知集合{}2A x x =<，{}1,0,1,2,3B =-，则A B =___________3“若1x =且1y =，则2x y +=”的逆否命题是____________4.若2211()f x x x x +=+，则(3)f =___________ 5.不等式9x x>的解是___________ 6.若不等式2(1)0ax a x a +++<对一切x R ∈恒成立，则a 的取值范围是___________7.不等式2(3)30x --<的解是____________8.已知集合{}68A x x =-≤≤，{}B x x m =≤，若A B B ≠且AB ≠∅，则m 的取值范围是_____________9.不等式1()()25a x y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为_________ 10.设0,0a b >>，且45ab a b =++，则ab 的最小值为____________11.已知二次函数22()42(2)21f x x p x p p =----+，若在区间[1,1]-内至少存在一个实数c ，使()0f c >，则实数p 的取值范围是_____________12.已知0a >，0b >，2a b +=，则2221a b a b +++的最小值为___________ 二、选择题13..不等式x x x <的解集是（）（A ）{}01x x << （B ）{}11x x -<<（C ）{}011x x x <<<-或（D ）{}101x x x -<<>或14.若A B ⊆，A C ⊆，{}0,1,2,3,4,5,6B =，{}0,2,4,6,8,10C =，则这样的A 的个数为（）（A ）4 （B ）15 （C ）16 （D ）3215.不等式210ax bx ++>的解集是11(,)23-，则a b -=（）（A ）7- （B ）7 （C ）5- （D ）516.已知函数2()f x x bx =+，则“0b <”是“(())f f x 的最小值与()f x 的最小值相等”的（）条件（A ）充分不必要（B ）必要不充分（C ）充要（D ）既不充分也不必要三、解答题17.解不等式：（1）2234x x -+-<；（2）2232x x x x x -≤--18.已知,,,a b c d R ∈，证明下列不等式：（1）22222()()()a b c d ac bd ++≥+；（2）222a b c ab bc ca ++≥++19.已知二次函数2()1,,f x ax bx a b R =++∈，当1x =-时，函数()f x 取到最小值，且最小值为0；（1）求()f x 解析式；（2）关于x 的方程()13f x x k =+-+恰有两个不相等的实数解，求实数k 的取值范围；。

2017-2018学年上海交大附中高三(上)10月月考数学试卷

2017-2018学年上海交大附中高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题满分66分，其中第1-6题每题5分，第7-12每题6分） 1．已知集合A={x|﹣1＜x ＜1}，B={﹣1，0，2}，则A ∩B= {0} ．2．计算：lim n→∞n 2+3n5n −4= 15．3．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x 人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x= 27 ．4．若复数z 满足z =3+i i（其中i 是虚数单位），z 为z 的共轭复数，则|z |= 10 ．5．若线性方程组的增广矩阵为 23c 101c 2 解为 x =3y =5，则c 1﹣c 2= 16 ．6．已知sinx =−25(π＜x ＜3π2)，则x= π+arcsin 25（用反正弦表示）7．在（1+x ）+（1+x ）2+…+（1+x ）15的展开式中，x 2项的系数是 560 （用数字作答）8．若双曲线x 2a 2−y 23=1的一条渐近线被圆（x ﹣2）2+y 2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为 2 ．9．已知点A （1，﹣1），B （3，0），C （2，1）．若平面区域D 由所有满足AP →=λAB →+μAC →（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P 组成，则D 的面积为 3 ．、10．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为34，则a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）．11．已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有a n2k n−1≤a m2k m−1（m∈N*），则m= 1或2 ．12．对于函数f（x）=sinπx，x∈[0，2]12f(x−2)，x∈(2，+∞)，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+），对一切x∈[0，+∞）恒成立；④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是①④⑤．（请写出全部正确结论的序号）二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．若1+2i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3选D14．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A ．17πB ．22πC ．68πD ．88π 选C ．15．设O 为坐标原点，第一象限内的点M （x ，y ）的坐标满足约束条件 2x −y −6≤0x −y +2≥0，ON →=(a ，b )(a ＞0，b ＞0)，若OM →⋅ON →的最大值为40，5a +1b 的最小值为（） A ．256B ．94C ．1D ．4选：B ．16．定义区域[x 1，x 2]的长度为x 2﹣x 1（x 2＞x 1），函数f (x )=(a 2+a )x−1a x(a ∈R ，a ≠0)的定义域与值域都是[m ，n]（n ＞m ），则区间[m ，n]取最大长度时实数a 的值为（） A ．2 33B ．﹣3C ．1D ．3选：D ．三、解答题（本大题满分76分，共5大题，14+14+14+16+18=76）17．（14分）如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是DF的中点．（Ⅰ）设P是CE上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【解答】解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）取EC的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=32+22=13．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=13−1=23．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴EC=23，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．18．（14分）已知函数f(x)=(212x−cos12x)cos12x+sin212x，x∈R．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，f(B)=2，b=3，S△ABC=34，求a+c的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明．【解答】解：（1）∵f(x)=(212x−cos12x)cos12x+sin212x，x∈R．∴f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣π6），∴由x∈R，可得：f（x）=2sin（x﹣π6）∈[﹣2，2]；（2）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（B）=2，∴f（B）=2sin（B﹣π6）=2，B∈（0，π），∴B=2π3，∵b=3=a2+c2﹣2accos2π3，∵△ABC面积S=34，∴12acsinB=12ac×32=34，解得ac=1，∴a2+c2=3+2accos2π3=3﹣ac=2，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=2+2=4，∴a+c=2．（3）证明：余弦定理为：a2=b2+c2﹣2bccosA．下用解析法证明：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A（0，0），B （c，0），C（bcosA，bsinA）．由两点距离公式得：a2=|BC|2=（c﹣bcosA）2+（﹣bsinA）2=b2+c2﹣2bccosA．19．（14分）某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a n=11≤n≤25125n26≤n≤60（单位：万元，n∈N*），记第n天的利润率b n=第n天的时间前n天投入的资金总和，例如b3=a338+a1+a2．（1）求b1，b2的值；（2）求第n天的利润率b n；（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．【解答】解：（1）当n=1时，b1=138；当n=2时，b2=139．（2分）（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=a n﹣1=a n=1．∴b n=a n38+a1+a2+⋯+a n−1=138+n−1=137+n．（4分）当26≤n≤60时，b n=a n38+a1+⋯+a25+a26+⋯+a n−1=n2563+(n−26)(n+25)50=2nn2−n+2500，（6分）∴第n天的利润率b n=137+n，1≤n≤25(n∈N+)2nn2−n+2500，26≤n≤60(n∈N+)（8分）（3）当1≤n≤25时，b n=137+n 是递减数列，此时b n的最大值为b1=138；（10分）当26≤n≤60时，b n=2nn−n+2500=2n+2500−1≤22500−1=299（当且仅当n=2500n，即n=50时，“=”成立）．（12分）又∵138＞299，∴n=1时，(b n)max=138．（14分）20．（16分）如图，已知椭圆E：x 2a +y2b=1(a＞b＞0)，A、B为椭圆的左右顶点，焦点F（c，0）到短轴端点的距离为2，且ca =22，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（1）求直线BP与直线BQ的斜率乘积值；（2）求证：直线PQ过定点，并求出该定点；（3）求三角形APQ的面积S的最大值．【解答】（1）解：由题意可得：a=2，ca =22，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=c=2．∴椭圆E的方程为：x 24+y22=1．设P点坐标（x，y），y2=12（4﹣x2），则A（﹣2，0），B（2，0），则k AP=yx+2，k BP=yx−2，则k AP•k BP=y 2x−4=﹣12，由k BQ=2k AP，故k BP•k BQ=﹣1．∴直线BP与直线BQ的斜率乘积为﹣1为定值．（2）证明：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，联立x24+y22=1 y=kx+t，整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣4kt2k2+1，x1x2=2t2−42k2+1，由k BP •k BQ =﹣1，即BP →⋅BQ →=0，则y 1y 2+x 1x 2﹣2（x 1+x 2）+4=0，得（k 2+1）x 1x 2+（kt ﹣2）（x 1+x 2）+4+t 2=0，4k 2+8kt+3t 2=0，得t=﹣2k 或t=﹣23k ．y=k （x ﹣2）或y=k （x ﹣23），所以过定点（2，0）或（23，0），A （2，0）为椭圆的右顶点，舍去， ∴直线PQ 过定点M （23，0）．（3）解：由（2）可知：当直线PQ 的斜率存在时，设l PQ ：y=kx+t 与x 轴的交点为M ，与椭圆方程联立整理得：（2k 2+1）x 2+4ktx+2t 2﹣4=0，又t=﹣23k ．S=S △APQ =S △APM +S △AQM =12|AM ||y 1﹣y 2|=43 (y 1+y 2)2−4y 1y 2=43 k 2[(x 1+x 2)2−4x 1x 2] =43 k 2[(16k t (2k 2+1)2−4(2t −4)2k 2+1)=169k (16k +9)(2k 2+1)2，令12k 2+1=m ∈（0，1），则S=169 4−72(m +12m 2)＜169× 4=329，当当直线PQ 的斜率不存在时，直线PQ 的方程为：把x=23代入椭圆方程可得：49×4+y 22=1，解得y=±43．∴|PQ|=83，可得S=12×83×83=329．综上可得：当PQ ⊥x 轴时，三角形APQ 的面积S 取得最大值329．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f （s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数f1(x)=x2与f2(x)=x1是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），都有f(x)−f(1x )＞x2−2x．【解答】解：（1）对于函数f1(x)=x2，当t＞0，s＞0时，f1(t)=t2＞0，f1(s)=s2＞0，又f1(t)+f1(s)−f1(t+s)=t2+s2−(t+s)2=−2ts＜0，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故f1(x)=x2是“L函数”．…（2分）对于函数f2(x)=x，当t=s=1时，f2(t)+f2(s)=2＞2=f2(t+s)，故f2(x)=x不是“L函数”．…（4分）（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．…（6分）由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．…（9分）综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．…（10分）（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即f(2s)f(s)＞2，…（12分）故对于正整数k与正数s，都有f(2k s)f(s)=f(2k s)f(2k−1s)⋅f(2k−1s)f(2k−2s)⋅⋯⋅f(2s)f(s)＞2k，…（14分）对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得1x∈(2−k，21−k)，又f（1）=1，所以f(x)＞f(x−2k−1)+f(2k−1)＞f(2k−1)≥2k−1f(1)=2k2＞x2，…（16分）同理f(1x )＜f(21−k)−f(21−k−1x)＜f(21−k)≤21−k f(1)=21−k＜2x，故f(x)−f(1x )＞x2−2x．…（18分）。

交大附中2017-2018高一上期末数学卷(含答案)

往年模考题目，一模还是二模忘了很多学校考过
20.（1）证明略；（2）是“逼近数列”；；（3） a = 2 .
可参考 2018 届（今年）青浦区高三一模最后一题
年的隔热层，厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物年的能源消耗费用 C （单位：万元）与隔热层厚度
x （单位：cm ）满足关系: C(x) =
k 3x +
5
(0
≤
x
≤ 10), 若不建隔热层，
年能源消耗费用为 8 万元.设 f (x) 为隔热
层建造费用与 20 年的能源消耗费用之和.
（1）求 k 的值及 f (x) 的表达式.
（1）求证：函数 g(x) = 1 x 不是函数 f (x) = (1 )x ， x ∈[0,+∞) 的“逼近函数”；
2
2
（2）判断函数
g(x)
=
2x
+
5 是不是函数
f
(x)
=
2x2
+ 9x +11 x+2
，
x ∈[0,+∞)
的“线性替代函数”；
（3）若 g(x) = ax 是函数 f (x) = x + x2 +1 ， x ∈[0,+∞) 的“线性替代函数”，求 a 的值.
(x) =
2x
满足：对任意
x1, x2
∈ R, x1
≠
x2
，有
f
x1
+ x2 2
<
1[f
2
(x1 ) +
f
(x2 )]；
( ) ②函数 f (x) = log2 x +
x2

上海交通大学附属中学2017-2018学年度第一学期高一数学月考二试卷-文档资料

上海交通大学附属中学2019-2019学年度第一学期高一数学月考二试卷一、填空题1. 已知集合{}1,1,2,4A =-，{}1,0,2B =-，则A B ⋂=____________2.函数y =____________3. 已知()f x =()g x =，则()()f x g x ⋅=____________4. 函数11,,22y x x x ⎛⎤=+∈ ⎥⎝⎦的值域为____________ 5. 若抛物线23y x ax =--恒在直线4y x =-上方，则实数a 的取值范围为____________6. 不等式21x x a +-<的解集为∅，则实数a 的取值范围是____________7. 若()2133f x x x -=-，则满足()0f x >的x 的取值范围____________8. 已知函数()3f x x x a =-+-，()31g x x =+，若()y f g x =⎡⎤⎣⎦的图象关于y 轴对称，则a =____________9. 若函数2x b y x -=+在()(),62a a b +<-上的值域为()2,+∞，则a b +=____________ 10. 密码学是一种密写技术，即把信息写成代码的技术。

将信息转换成保密语言的过程叫编码；有保密形式语言道出原始信息的过程称作译码。

凯撒（Julius Caesar 公元前100~前44年）曾使用过一种密码系统，现称为凯撒暗码。

按照这种系统的规划，原始信息的字母都用另一字母代替，后者在标准字母表中的位置比前者靠后三位（即暗码~原码后移3个位置）。

如：标准字母表：ABCDEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZ凯撒暗码表：DEFGHIJKLMNOPQRSTUVWXYZABC这样就将信息“Julius Caesar”编码为“Mxolxv Fdhvdu”当你知道所得到的信息使用凯撒暗码写成的密码时，译码工作很容易，只需要把上述过程倒过来进行。

精品解析：【全国百强校】上海市交通大学附属中学2017-2018学年高一上学期期末数学试题(原卷版)

上海市交大附中2017-2018学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共4小题，共20.0分）1.“”是“ ”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件2.设函数，则的值为（）A. B.C. 中较小的数D. 中较大的数3.如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A. B.C. D.4.若定义在上的函数满足：对任意有则下列说法一定正确的是A. 为奇函数B. 为偶函数C. 为奇函数D. 为偶函数二、填空题（本大题共12小题，共54.0分）5.若关于x的不等式的解集为,则实数a＝______.6.设集合，若，则实数的取值范围是_______．7.一条长度等于半径的弦所对的圆心角等于______弧度．8.若函数的反函数的图象经过点，则实数______．9.若，则满足的的取值范围是______．10.已知是上的增函数，那么的取值范围是______．11.定义在上的偶函数，当时，，则在R上的零点个数为______．12.设，，则的值为______．13.设为的反函数，则的最大值为______．14.已知函数，且为的最小值，则实数a的取值范围是______．15.设，若函数在区间上有两个不同的零点，则的取值范围为______．16.已知下列四个命题：①函数满足：对任意，有；②函数均为奇函数；③若函数的图象关于点（1，0）成中心对称图形，且满足，那么；④设是关于的方程的两根，则其中正确命题的序号是______．三、解答题（本大题共5小题，共76.0分）17.解关于的不等式：18.设，函数；（1）求的值，使得为奇函数；（2）若对任意的成立，求的取值范围19.为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。

某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元。

该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）=若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元。

上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高一上学期10月月考数学试题

绝密★启用前上海市上海交通大学附属中学2017-2018学年高一上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明一、单选题1．若集合P 不是集合Q 的子集，则下列结论正确的是（） A ．Q P ⊆B ．PQ =∅C ．P Q ⋂≠∅D ．P Q P ≠2．集合{}*421A x x N =--∈，则A 的非空真子集的个数是（）A ．62B ．126C ．254D ．5103．已知,,a b c ∈R ，则下列四个命题正确的个数是（）①若22ac bc >，则a b >；②若22a b ->-，则()()2222a b ->-； ③若0a b c >>>，则a a cb b c+>+；④若0a >，0b >，4a b +>，4ab >，则2a >，2b >.A ．1B ．2C ．3D ．44．若实数a 、b 满足0a ≥，0b ≥且0ab =，则称a 与b 互补，记(),a b a b ϕ=-，那么(),0a b ϕ=是a 与b 互补的（）条件．A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题5．用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是____________.6．已知集合，，且，则的值为_________________ 7．设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____ 8．已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞，则a b -=________9．设集合(){},|1U x y y x ==+，()3,|12y A x y x -⎧⎫==⎨⎬-⎩⎭，UC A =______.10．不等式21x+≥____________. 11．已知x ∈R ，命题“若25x <<，则27100x x -+<”的否命题是______.12．设[]:13,:1,25x x m m αβ-≤≤∈-+，α是β的充分条件，则m ∈____________.13．若对任意x ∈R ，不等式22(1)(1)10a x a x ----<恒成立，则实数a 值范围是____________.14．向50名学生调查对A 、B 两事件的态度，有如下结果：赞成A 的人数是全体的五分之三，其余的不赞成，赞成B 的比赞成A 的多3人，其余的不赞成；另外，对A 、B 都不赞成的学生数比对A 、B 都赞成的学生数的三分之一多1人. 问对A 、B 都赞成的学生有____________人15．设[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]5.55, 5.56=-=-），则不等式[][]2560x x -+≤的解集为____________16．已知有限集{}123,,,,(2)n A a a a a n =≥. 如果A 中元素(1,2,3,,)i a i n =满足1212n n a a a a a a =+++，就称A 为“复活集”，给出下列结论：①集合⎪⎪⎩⎭是“复活集”； ②若12,a a R ∈，且12{,}a a 是“复活集”，则124a a >； ③若*12,a a N ∈，则12{,}a a 不可能是“复活集”；其中正确的结论是____________.（填上你认为所有正确的结论序号）三、解答题17．已知关于x 的不等式250ax x a-<-的解集为M ．（1）当4a =时，求集合M ；（2）若3M ∈且5M ∉，求实数a 的取值范围． 18．解关于x 的不等式2(2)(21)60a x a x -+-+> 19．已知函数()f x =│x +1│–│x –2│. （1）求不等式()f x ≥1的解集；（2）若不等式()f x ≥x 2–x +m 的解集非空，求实数m 的取值范围.20．某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：4000.230110⨯+=元，设购买商品得到的优惠率＝（购买商品获得的优惠额）/（商品标价），试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少？（2）对于标价在[]500,800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于13的优惠率？ 21．对于四个正数,,,x y z w ，如果xw yz <，那么称(,)x y 是(,)z w 的“下位序对”，（1）对于2,3,7,11，试求(2,7)的“下位序对”；（2）设a b c d ,,,均为正数，且(,)a b 是(,)c d 的“下位序对”，试判断,,c a a cd b b d++之间的大小关系；**使得(,2017)m 是(,)k n 的“下位序对”，且(,)k n是(1,2018)m 的“下位序对”，求正整数n 的最小值.参考答案1．D 【解析】【分析】根据互为逆否命题的两个命题等价，得到答案. 【详解】原命题：“若PQ P =，则集合P 是集合Q 的子集”，真命题；逆否命题：“若集合P 不是集合Q 的子集，则PQ P ≠”，根据互为逆否命题的两个命题等价，原命题真，那么逆否命题也是真命题，故选：D 【点睛】本题考查根据互为逆否命题的两个命题是等价的，判断命题的真假，意在考查对命题内容的理解，和掌握情况，属于基础题型. 2．B 【解析】【分析】由条件{}*421A x x N =--∈计算出集合A ,再求出A 的非空真子集的个数．【详解】解：{}*421A x x N =--∈∴2x =,或32x =,或1x =,或12x =, 或0x =,或12x =-,或1x =-,3112,,1,,0,,1222A --⎧⎫=⎨⎬⎩⎭,A ∴的非空真子集的个数是722126-=.故选：B 【点睛】当集合中的元素个数为n ,该集合的子集个数为2n ;真子集个数为21n -;非空真子集个数为22n -.3．C【解析】【分析】利用不等式的性质，逐一分析选项，得到正确结论. 【详解】①当22ac bc >时，20c >，两边同时除以2c ，得到a b >，正确；②220a b ->-≥，那么2222a b ->-，即()()2222a b ->-，正确； ③()()()()()a b c b a c c a b a a c b b c b b c b b c +-+-+-==++- ，0a b c >>> 0,0a b b c ∴->->a a cb b c+∴>+，正确； ④令110,2a b == 同样能满足4,4a b ab +>> ，2,2a b ∴>>不正确.共有3个正确. 故选：C. 【点睛】本题考查不等式比较大小，一般不等式比较大小的方法：1.做差法，2.利用不等式的性质，3.利用函数单调性比较大小，4.特殊值比较大小. 4．C 【解析】【分析】首先根据(),0a b ϕ=,证明0a ≥，0b ≥且0ab = ，再证明0a ≥，0b ≥且0ab =时，(),0a b ϕ= .【详解】若(),0a b ϕ=，0a b -=a b =+ 两边平方后可得20ab =，即0a =或0b =当0a =0b b b =-= ，0b ∴≥ ，即a 与b 互补，同理0b =时，a 与b 互补，反过来，当0ab =时，0a b -= ，即(),0a b ϕ= ，故(),0a b ϕ=是a 与b 互补的充要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判断和证明，意在考查逻辑推理和分析证明的能力，属于中档题型，本题的关键需根据充要条件的判断证明(),0a b a ϕ=⇒与b 互补，a 与b 互补(),0a b ϕ⇒=.5．1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【解析】【分析】解方程22320,x x x R --=∈，得112x =-，22x =，从而可得方程的解集. 【详解】解方程22320,x x x R --=∈，得112x =-，22x =， ∴用列举法表示方程22320,x x x R --=∈的解集是1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭.故答案为：1,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【点睛】本题考查了列举法表示集合，属于基础题. 6．0 【解析】【分析】由A={1，﹣m}，B={1，m 2}，且A=B ，知m 2=﹣m ，由此能求出实数m 的值，m=﹣1不满足集合中元素的互异性，舍去．【详解】解：，且，，解得或者 . 不满足集合中元素的互异性，舍去．符合题意．故答案是：0．【点睛】本题考查集合相等的概念及集合元素的互异性，是基础题． 7．{1，2，4} 【解析】【分析】根据并集与交集的定义计算即可．【详解】∵A={1，2，6}，B={2，4}， ∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}， ∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}．【点睛】本题考查交集与并集的运算，解题时根据集合运算的定义求解即可，是基础题． 8．0 【解析】【分析】根据不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞,可得方程20ax bx c ++=的两根为2-和1,根据两根之和21ba-+=-,即可求得a 与b 的比值,得到a b =,即可求得-a b 的值. 【详解】解：已知关于x 的一元二次不等式20ax bx c ++>的解集为(,2)(1,)-∞-+∞,则关于x 的方程20ax bx c ++=的两个实数根是2-和1,且0a >,由两根之和得：21b a-+=- , 1b a\-=- 所以1ba=,则a b =,所以0a b -=. 故答案为：0 【点睛】本题重点考查一元二次不等式,考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系,解题的关键是利用根与系数的关系. 9．(){}2,3【解析】【分析】首先求集合A ，再根据全集求U C A . 【详解】(){},1,2A x y y x x ==+≠，集合A 表示直线1y x =+上除去()2,3的所有点组成的集合，(){}2,3U C A ∴=.故答案为：(){}2,3【点睛】本题考查点表示的集合的补集，属于简单题型. 10．(]0,1 【解析】【分析】先求出x 的范围，再解分式不等式即可. 【详解】由21x+1x ≤且0x ≠， 21x ∴≥，即20x x-≥，即()20x x -≥，解得02x <≤，综上所述不等式的解集为(]0,1. 故答案为：(]0,1 【点睛】本题主要考查分式不等式的解法，解不等式时注意式子要有意义，此题属于基础题. 11．若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥ 【解析】【分析】根据四种命题的形式，直接写其否命题. 【详解】原命题的否命题是“若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥” 故答案为：若2x ≤或5x ≥，则27100x x -+≥ 【点睛】本题考查四种命题的书写形式，属于基础题型，若原命题是“若p 则q ”那么否命题：“若p ⌝则q ⌝”，逆命题：“若q 则p ”，逆否命题：“若q ⌝则p ⌝”. 12．[]1,0- 【解析】【分析】根据充分必要条件的定义可得关于m 的不等式组，解出即可. 【详解】:13,x α-≤≤[]:1,25x m m β∈-+， α是β的充分条件，令α：{}13A x x =-≤≤，:β{}125B x m x m =-≤≤+， A B ∴⊆，可得11253m m -≤-⎧⎨+≥⎩，即10m -≤≤故答案为： []1,0-【点睛】本题考查了充分必要条件、集合的包含关系求参数的取值范围，解题的关键是根据充分条件推出集合之间的关系，属于基础题.13．3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【解析】【分析】根据题意，分两种情况讨论：1若210a -=，则1a =±，分别验证1a =或1-时，是否能保证该不等式满足对任意的实数x 都成立； 2若210a -≠，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为二次不等式，结合二次函数的性质，可解得此时a 值范围.【详解】由题意，分两种情况讨论： 1若210a -=，则1a =±，当1a =时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为：10-<，满足对任意的实数x 都成立，则1a =满足题意，当1a =-时，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为：20x -<，不满足对任意的实数x 都成立，则1a =-满足题意， 2若210a -≠，不等式22(1)(1)10a x a x ----<为二次不等式，要保证22(1)(1)10a x a x ----<实数x 都成立，必须有()()222101410a a a ⎧-<⎪⎨∆=-+-<⎪⎩ 可解得315a -<<，综上可得3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦.故答案为：3,15⎛⎤- ⎥⎝⎦【点睛】本题主要考查不等式恒成立求参数的取值范围，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题. 14．21【解析】【分析】赞成A 的人数30，赞成B 的人数为33，设对A 、B 都赞成的学生为x ，则对A 、B 都不赞成的学生数为113x +，画出韦恩图，形象的表示出各数量间的联系即可求出都赞成的学生数.【详解】赞成A 的人数为350305⨯=，赞成B 的人数为30333+= 画出韦恩图，如图，记50名学生组成的集合为U赞成事件A 的学生全体为集合A ，赞成事件B 的学生全体为集合B ，对A 、B 都赞成的学生为x ，则对A 、B 都不赞成的学生数为113x +，赞成A 而不赞成B 的人数为30x -，赞成B 而不赞成A 的人数为33x -，依题意()()30331503x x x x ⎛⎫-+-+++= ⎪⎝⎭，解得21x = 故答案为：21【点睛】本题考查了韦恩图的应用，解题的关键是找到各数量之间的关系，属于基础题.15．[)2,4【解析】【分析】先将[]x 看成整体，利用不等式2[]5[]60x x -+≤求出[]x 的范围，然后根据新定义[]x 表示不超过x 的最大整数，得到x 的范围．【详解】解：不等式2[]5[]60x x -+≤可化为：([]2)([]3)0x x --≤解得：2[]3x ≤≤，所以解集为2[]3x ≤≤，根据[x ]表示不超过x 的最大整数,得不等式的解集为：24x ≤<.【点睛】考查学生理解新定义的能力，一元二次不等式，不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查整体思想、化归与转化思想．属于基础题．16．①③④【解析】【分析】根据已知中“复活集”的定义，结合韦达定理以及反证法，依次判断四个结论的正误，进而可得答案.【详解】对于①， 1==-，故①正确；对于②，不妨设1212a a a a t +==，则由韦达定理知12,a a 是一元二次方程20x tx t -+=的两个根，由>0∆，可得0t <或4t >，故②错；对于③，不妨设A 中123n a a a a <<<<，由1212n n n a a a a a a na =+++<得121n a a a n -<，当2n =时，即有12a <，∴11a =，于是221a a +=，2a 无解，即不存在满足条件的“复活集”A ，故③正确；对于④，当3n =时，123a a <，故只能11a =，22a =，求得33a =，于是“复活集” A 只有一个，为{}1,2,3，当4n ≥时，由()1211231n a a a n -≥⨯⨯⨯⨯-，即有()1!n n >-，也就是说“复活集”A 存在的必要条件是()1!n n >-，事实上()()()()221!1232222n n n n n n n -≥--=-+=--+>，矛盾， ∴当4n ≥时不存在“复活集”A ，故④正确.故答案为：①③④【点睛】本题主要考查了集合新定义，需理解“复活集”的定义，考查了学生的知识迁移能力以及分析问题的能力，属于中档题.17．（1）()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭；（2）(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 【解析】【分析】（1）代入4a =后将分式不等式转化为高次不等式，求解后可得M .（2）根据3M ∈且5M ∉可得关于a 的不等式组，其解为实数a 的取值范围.【详解】（1）因为4a =，故24504x x -<-即()()()45220x x x --+<，所以2x <-或524x <<，故M 为()5,2,24⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭. （2）因为3M ∈且5M ∉，故350955025a a a a -⎧<⎪⎪-⎨-⎪≥⎪-⎩或250a -=，故()()()()35901250a a a a ⎧-->⎪⎨--≤⎪⎩，解得513a ≤<或925a <≤，故a 的取值范围为(]51,9,253⎡⎫⎪⎢⎣⎭.【点睛】一般地，()()0f x g x >等价于()()0f x g x >，而()()0f x g x ≥则等价于()()()00f x g x g x ⎧≥⎪⎨≠⎪⎩，注意分式不等式转化为整式不等式时分母不为零.解本题时还应注意5M ∉对应的a 满足的条件中容易遗漏250a -=这个情况.18．当2a <时，解集为322x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭；当2a =时，解集为{}2x x >-；当72a >时，解集为32x x a ⎧>⎨-⎩或}2x <-；当722a <<时，解集为{2x x >-或32x a ⎫<⎬-⎭；当72a =时，解集为{}2x x ≠-；【解析】【分析】分情况讨论：即2a <时；当2a =时；当722a <<；当72a >时；当72a =时；分别解不等式即可.【详解】当2a <时，则()()2(2)(21)602320a x a x a x x ⎡⎤-+-+>⇒--+<⎣⎦，故解集为322x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭；当2a =时，则360x +>，解得2x >-，故解集为{}2x x >-；当72a >时，则()()2(2)(21)602320a x a x a x x ⎡⎤-+-+>⇒-++>⎣⎦，由于322a >--，故解集为32x x a ⎧>⎨-⎩或}2x <-；当722a <<时，由于322a <--，故解集为{2x x >-或32x a ⎫<⎬-⎭；当72a =时，22(2)(21)60440a x a x x x -+-+>⇒++>，故解集为{}2x x ≠-；综上所述，当2a <时，解集为322x x a ⎧⎫-<<⎨⎬-⎩⎭；当2a =时，解集为{}2x x >-；当72a >时，解集为32x x a ⎧>⎨-⎩或}2x <-；当722a <<时，解集为{2x x >-或32x a ⎫<⎬-⎭；当72a =时，解集为{}2x x ≠-；【点睛】本题主要考查含有参数的不等式解法，考查了学生的分类讨论的思想，属于基础题. 19．（1）[)1,+∞；（2）5,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 【解析】【分析】（1）由于f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，解不等式f （x ）≥1可分﹣1≤x ≤2与x ＞2两类讨论即可解得不等式f （x ）≥1的解集；（2）依题意可得m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ，分x ≤1、﹣1＜x ＜2、x ≥2三类讨论，可求得g （x ）max 54=，从而可得m 的取值范围．【详解】解：（1）∵f （x ）＝|x +1|﹣|x ﹣2|31211232x x x x --⎧⎪=--≤≤⎨⎪⎩，＜，，＞，f （x ）≥1，∴当﹣1≤x ≤2时，2x ﹣1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，3≥1恒成立，故x ＞2；综上，不等式f （x ）≥1的解集为{x |x ≥1}．（2）原式等价于存在x ∈R 使得f （x ）﹣x 2+x ≥m 成立，即m ≤[f （x ）﹣x 2+x ]max ，设g （x ）＝f （x ）﹣x 2+x ．由（1）知，g （x ）22231311232x x x x x x x x x ⎧-+-≤-⎪=-+--⎨⎪-++≥⎩，，＜＜，，当x ≤﹣1时，g （x ）＝﹣x 2+x ﹣3，其开口向下，对称轴方程为x 12=-＞1， ∴g （x ）≤g （﹣1）＝﹣1﹣1﹣3＝﹣5；当﹣1＜x ＜2时，g （x ）＝﹣x 2+3x ﹣1，其开口向下，对称轴方程为x 32=∈（﹣1，2）， ∴g （x ）≤g （32）9942=-+-154=；当x ≥2时，g （x ）＝﹣x 2+x +3，其开口向下，对称轴方程为x 12=＜2， ∴g （x ）≤g （2）＝﹣4+2+3＝1；综上，g （x ）max 54=， ∴m 的取值范围为（﹣∞，54]．【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，去掉绝对值符号是解决问题的关键，突出考查分类讨论思想与等价转化思想、函数与方程思想的综合运用，属于难题．20．（1）33%；（2）[]625,750.【解析】【分析】本题考查的是不等式的应用问题．在解答时：（1）直接根据购买商品得到的优惠率=购买商品获得的优惠额商品的标价，即可获得问题的解答；（2）由于标价在[500，800]（元)内的商品，其消费金额满足：4000.8640x 剟，所以要结合消费金额（元)的范围进行讨论，然后解不等式组即可获得问题的解答．【详解】（1）由题意可知：10000.213033%1000⨯+=．故购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是33%．（2）设商品的标价为x 元．则500800x 剟，消费额：4000.8640x 剟．由已知得（Ⅰ）0.260134000.8500x x x +⎧⎪⎨⎪⎩…剟或（Ⅱ）0.2100135000.8640x x x +⎧⎪⎨⎪⎩…剟不等式组（Ⅰ）无解，不等式组（Ⅱ）的解为625750x 剟．因此，当顾客购买标价在[625，750]元内的商品时，可得到不小于13的优惠率．【点睛】本题考查的是不等式的应用问题．在解答的过程当中充分体现了应用题要仔细审题的特点，同时考查了分类讨论的思想．21．（1）()3,11；（2）b ac c a bd d+<<+；（3）4035 【解析】【分析】（1）根据新定义，代入计算判断即可；（2）根据新定义得到ad bc <，再利用不等式的性质，即可判断；（3）由题意得到()201712018mn k m n k <⎧⎨+>⎩，从而求出4035n ≥，再验证该式对集合{|02017}t t <<内的每个m N +∈的每个正整数m 都成立，继而求出最小值.【详解】（1）37112⨯<⨯，∴(2,7)的“下位序对”是()3,11（2）(,)a b 是(,)c d 的“下位序对”，ad bc ∴<，a b c d ,,,均为正数，故()0a c a bc ad b d b b d b +--=>++，即 a c b b d a+>+，同理a c cb d d+<+，综上所述，b a c c a b d d +<<+. （3）依题意得()201712018mn k m n k <⎧⎨+>⎩，注意到,,m n l 整数，故1201712018mn k mn n k+≤⎧⎨+-≥⎩ 于是()()201712017201820181mn n k mn +-≥⨯≥+40352017n m∴≥- 该式对集合{|02017}t t <<内的每个m N +∈的每个正整数m 都成立，4035403520172016n ∴≥=-， 120172018m k m n +<<， 112017201720182018m m m m +++∴<<+ ， 211201740352018m m m ++∴<<， ∴对集合{|02017}t t <<内的每个m N +∈，总存在k N +∈，使得(,2017)m 是(,)k n 的“下位序对”，且(,)k n 是(1,2018)m +的“下位序对”，正整数n 的最小值为4035.【点睛】本题主要考查了集合新定义，需理解题干中的定义，考查了学生的知识迁移能力以及分析问题的能力，属于中档题.。

2017-2018学年上海交大附中高三(上)开学数学试卷(解析版)

2017-2018学年上海交大附中高三（上）开学数学试卷一、填空题1．（3分）若集合A＝{x||x﹣2|＜3}，集合，则A∪B＝．2．（3分）一个几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a为半径的圆，则该几何体的体积是．3．（3分）已知i是虚数单位，则﹣2的平方根是．4．（3分）函数f（x）＝x2+1（x＜0）的反函数是．5．（3分）设x，y满足约束条件，则z＝2x+y的最小值是．6．（3分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，P i（i＝1，2，…，16）是上、下底面上其余十六个点，则•（i＝1，2…，16）的不同值的个数为．7．（3分）数列{a n}满足a n＝a n﹣1﹣a n﹣2（n≥3，a1＝5），其前n项和记为S n，若S8＝9，那么S100＝．8．（3分）若a n是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的系数，则＝．9．（3分）设函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π，若f（）＝2，f （）＝0，且f（x）的最小正周期大于π，则φ＝．10．（3分）已知函数f（x）＝，设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是．11．（3分）函数f（x）＝（x＞0）绕原点逆时针旋转，每旋转15°得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），请问从中任选其二，均不是函数图象的概率是．12．（3分）已知两正实数a，b，满足a+b＝4，则+的最大值为．二、选择题13．（3分）关于x，y的二元一次方程组，其中行列式D x为（）A．B．C．D．14．（3分）“要使函数f（x）≥0成立，只要x不在区间[a，b]内就可以了”的意思是（）A．如果f（x）≥0，则x∉[a，b]B．如果x∈[a，b]，则f（x）＜0C．如果x∉[a，b]，则f（x）≥0D．前面三个都不正确15．（3分）参数方程（a＞0，t为参数）所表示的函数y＝f（x）是（）A．图象关于原点对称B．图象关于直线x＝π对称C．周期为2aπ的周期函数D．周期为的周期函数16．（3分）已知椭圆C：+＝1，直线l：y＝x﹣1，点P（1，0），直线l交椭圆C于A，B两点，则|P A|2+|PB|2的值为（）A．B．C．D．三、解答题17．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝A1A＝1．（1）证明直线BC1平行于平面D1AC；（2）求直线BC1到平面D1AC的距离．18．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为．（1）求sin B sin C；（2）若6cos B cos C＝1，a＝3，求△ABC的周长．19．（1）请根据对数函数f（x）＝log a x（a＞1）来指出函数g（x）＝log x a（a＞1）的基本性质（结论不要求证明），并画出图象；（2）拉普拉斯称赞对数是一项“使天文学家寿命倍増”的发明．对数可以将大数之间的乘除运算简化为加减运算，请证明：log a（x•y）＝log a x+log a y（a＞0，a≠1，y＞0）；（3）2017年5月23日至27日，围棋世界冠军柯洁与DeepMind公司开发的程序“AlphaGo”进行三局人机对弈，以复杂的围棋来测试人工智能．围棋复杂度的上限约为M＝3361，而根据有关资料，可观测宇宙中普通物质的原子总数约为N＝1080．甲、乙两个同学都估算了的近似值，甲认为是1073，乙认为是1093．现有两种定义：①若实数x，y满足|x﹣m|＞|y﹣m|，则称y比x接近m；②若实数x，y，m，且x＝10s，y＝10t．m＝10u x＝10，满足|s﹣u|＞|t﹣u|，则称y比x接近m；请你任选取其中一种定义来判断哪个同学的近似值更接近，并说明理由．20．已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n＝3n+6，b n＝2n+7（n∈N*），将集合{x|a n，n∈N*}∪{x|x＝b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，c3，…，c n，…；将集合{x|x＝a n，n∈N*}∩{x＝b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列d1，d2，d3，…，d n，…．（1）求数列{d n}的通项公式h（n）；（2）求数列{c n}的通项公式f（n）；（3）设数列{c n}的前n项和为S n，求数列{S n}的通项公式g（n）．21．如图，已知曲线C1：﹣y2＝1，曲线C2：|y|＝|x|+1，P是平面上一点，若存在过点P 的直线与C1，C2都有公共点，则称P为“C1﹣C2型点”．（1）证明：C1的左焦点是“C1﹣C2型点”；（2）设直线y＝kx与C2有公共点，求证：|k|＞1，进而证明原点不是“C1﹣C2型点”；（3）求证：{（x，y）||x|+|y|＜1}内的点都不是“C1﹣C2型点”．2017-2018学年上海交大附中高三（上）开学数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．【解答】解：集合A＝{x||x﹣2|＜3}＝{x|﹣3＜x﹣2＜3}＝{x|﹣1＜x＜5}，集合＝{x|x＜0或x＞3}，所以A∪B＝（﹣∞，+∞）＝R故答案为：R．2．【解答】解：∵几何体的主视图、左视图、俯视图都是以a为半径的圆，∴该几何体是以a为半径的球，故体积V＝，故答案为：3．【解答】解：﹣2的平方根是．故答案为：．4．【解答】解：∵函数f（x）＝x2+1（x＜0）．∴x＝﹣，互换x，y，得：y＝﹣（x＞1）．故答案为：y＝﹣（x＞1）．5．【解答】解：x，y满足约束条件的可行域如图：z＝2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由，解得A（﹣6，﹣3），则z＝2x+y的最小值是：﹣15．故答案为：﹣15．6．【解答】解：当（i＝1，2…，8）时，＝+，则•＝•（+）＝||2+•，∵⊥，即•＝0，∴⊥＝||2＝1，∴当（i＝9，10，…，16）时，⊥，即•＝0，故•的值为0或1，故答案为：2．7．【解答】解：∵a n＝a n﹣1﹣a n﹣2（n≥3，a1＝5），∴a3＝a2﹣a1，a4＝a3﹣a2，a5＝a4﹣a3，a6＝a5﹣a4，a7＝a6﹣a5．∴a4＝﹣a1，a5＝﹣a2，a6＝﹣a2+a1，a7＝a1，a8＝a2，…，∴a n+6＝a n，S6＝a1+a2+a2﹣a1﹣a1﹣a2﹣a2+a1＝0．∵S8＝9，a1＝5，∴a2+a1＝9．解得a2＝4．∴S100＝16S6+a1+a2+a3+a4＝0+9+a2﹣2a1＝9+4﹣10＝3．故答案为：3．8．【解答】解：∵a n是（2+x）n（n∈N*，n≥2，x∈R）展开式中x2项的系数，又（2+x）n的展开式的通项公式为T r+1＝•2n﹣r•x r，令r＝2，可得x2项的系数为．∴a n＝．∴＝＝＝＝＝＝＝8，故答案为：8．9．【解答】解：函数f（x）＝2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π，若f（）＝2sin（+φ）＝2，f（）＝2sin（+φ）＝0，∴+φ＝2kπ+①，且+φ＝k′π，其中，k、k′∈Z②，相减可得ω＝（2k﹣k′）π+．再根据f（x）的最小正周期＞π，可得0＜ω＜2．∴ω＝，再把ω＝代入②，可得+φ＝k′π，令k′＝1，可得φ＝，故答案为：．10．【解答】解：根据题意函数f（x）＝的图象如图：令g（x）＝|+a|，其图象与x轴相交与点（﹣2a，0），在区间（﹣∞，﹣2a）上为减函数，在（﹣2a，+∞）为增函数，若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，则函数f（x）的图象在g（x）上的上方或相交，则必有f（0）≥g（0），即2≥|a|，解可得﹣2≤a≤2，故答案为：[﹣2，2]．11．【解答】解：函数f（x）＝（x＞0）绕原点逆时针旋转，每旋转15°得到一个新的曲线，旋转一周共得到24条曲线（不包括未旋转时的曲线），其中有14条曲线是函数图象，的10条是曲线的图象，从中任选其二，基本事件总数n＝＝176，∴从中任选其二，均不是函数图象的概率：p＝＝．故答案为：．12．【解答】解：a，b＞0且a+b＝4，由a+b≥2，可得0＜ab≤4，则+＝＝＝＝，令1+ab＝t（1＜t≤5），则ab＝t﹣1，可得+＝＝＝，由t+≥2＝4（当且仅当t＝2∈（1，5]时取得等号），则≤＝，当且仅当ab＝2﹣1时，+取得最大值，故答案为：＝．二、选择题13．【解答】解x，y的二元一次方程组，系数行列式：Dx＝．故选：C．14．【解答】解：设条件P：函数f（x）≥0成立，条件Q：x不在区间[a，b]内．题中“要使函数f（x）≥0成立，只要x不在区间[a，b]内就可以了”，这句话反映了P为Q的必要条件，Q是P的充分条件即Q⇒P，换句话就是“若P，则Q”，也就是说“如果x∉[a，b]，则f（x）≥0”故选：C．15．【解答】解：∵（a＞0，t为参数），∴，即f（﹣x）＝f（x），故函数图象关于y轴对称，不关于原点对称，故A错误；即f（2aπ﹣x）＝f（x），即函数的图象关于x＝aπ对称，由于a＝1不一定成立，故B错误；即f（2aπ+x）＝f（x），即函数是周期为2aπ的周期函数，故C正确，D错误；故选：C．16．【解答】解：联立，得7x2﹣8x﹣8＝0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，∴＝．|P A|•|PB|＝2|（1﹣x1）（x2﹣1）|＝2|﹣x1x2+（x1+x2）﹣1|＝2||＝．∴|P A|2+|PB|2＝（|P A|+|PB|）2﹣2|P A|•|PB|＝．故选：B．三、解答题17．【解答】（1）证明：∵AB C1D1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，又BC1⊄平面D1AC，AD1⊂平面D1AC，∴BC1∥平面D1AC．（2）解：∵BC1∥平面D1AC，∴直线BC1到平面D1AC的距离为B到平面D1AC的距离，连接BD交AC于O，则O为BD的中点，则B到平面D1AC的距离等于D到平面D1AC 的距离，∵AB＝2，AD＝A1A＝1．∴AC＝CD1＝，AD1＝，∴cos∠ACD1＝＝，∴sin∠ACD1＝，∴＝＝．设D到平面D1AC的距离为d，则＝•d＝．又＝＝＝＝，∴，即d＝．∴直线BC1到平面D1AC的距离为．18．【解答】解：（1）由三角形的面积公式可得S△ABC＝ac sin B＝，∴3c sin B sin A＝2a，由正弦定理可得3sin C sin B sin A＝2sin A，∵sin A≠0，∴sin B sin C＝；（2）∵6cos B cos C＝1，∴cos B cos C＝，∴cos B cos C﹣sin B sin C＝﹣＝﹣，∴cos（B+C）＝﹣，∴cos A＝，∵0＜A＜π，∴A＝，∵＝＝＝2R＝＝2，∴sin B sin C＝•＝＝＝，∴bc＝8，∵a2＝b2+c2﹣2bc cos A，∴b2+c2﹣bc＝9，∴（b+c）2＝9+3cb＝9+24＝33，∴b+c＝∴周长a+b+c＝3+．19．【解答】解：（1）∵g（x）＝log x a＝，函数的定义域为：（0，1）∪（1，+∞），值域为：（﹣∞，0）∪（0，+∞），在区间（0，1）和（1，+∞）上均为减函数；函数的图象如下图所示：证明：（2）设log a x＝M，log a y＝N，则a M＝x，a N＝y，则log a（x•y）＝log a（a M•a N）＝log a（a M+N）＝M+N，log a x+log a y＝M+N，即log a（x•y）＝log a x+log a y；解：（3）若采用定义（I）：＝，则lg（）＝lg（）＝361•lg3﹣80≈92.24，则∈（1073，1093），而lg（2•3361）＝lg2+lg3361≈172.54＜173＝lg10173，即2•3361＜10173，即2•3361＜10173+10153，即2•＜1093+1073，即|﹣1073|＜|﹣1093|，即甲同学的近似值更接近若采用定义（II）：＝，则lg（）＝lg（）＝361•lg3﹣80≈92.24，甲的估计值1073，则lg1073＝73，乙的估计值1093，则lg1093＝93，因为|lg1073﹣lg|＞|lg1093﹣lg|即乙同学的近似值更接近20．【解答】解：（1）设a2n﹣1＝3（2n﹣1）+6＝6n+3＝b k＝2k+7，则k＝3n﹣2．即a2n﹣1＝b3n﹣2．假设a2n＝3×2n+6＝6n+6＝b k＝2k+7，左边为偶数，右边为奇数，矛盾，a2n∉{b n}，舍去．∴h（n）＝a2n﹣1＝6n+3．（2）对于a n＝3n+6，当n为奇数时，设为n＝2k+1，则3n+6＝2（3k+1）+7∈{b n}，当n为偶数时，设n＝2k，则3n+6＝6k﹣1+7不属于{b n}，∴在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…；（2）b3k﹣2＝2（3k﹣2）+7＝a2k﹣1b3k﹣1＝6k+5，a2k＝6k+6，b3k＝6k+7，∵6k+3＜6k+5＜6k+6＜6k+7，∴当k＝1时，依次有b1＝a1＝c1，b2＝c2，a2＝c3，b3＝c4…∴c n＝f（n）＝．（3）令e n＝c4k﹣3+c4k﹣2+c4k﹣1+c4k，由（2）可得：数列{e n}为等差数列．∴①n＝4k时，S n＝e1+e2+…+e k＝＝12k2+33k＝．∴②n＝4k﹣1时，S n＝S n+1﹣c n+1＝．③n＝4k﹣2时，S n＝S n+2﹣c n+2﹣c n+1＝．④n＝4k﹣3时，S n＝S n+3﹣c n+3﹣c n+2﹣c n+1＝．∴g（n）＝，k∈N*．21．【解答】证明：（1）C1的左焦点为（﹣，0），存在直线x＝﹣时，与双曲线C1的交点为（﹣，±），与曲线C2交点为（﹣，±（1+）），则C1的左焦点是“C1﹣C2型点”；（2）因为直线y＝kx与C2有公共点，所以方程组有实数解，因此|kx|＝|x|+1，得|k|＝＞1．若原点是“C1﹣C2型点”，则存在过原点的直线与C1、C2都有公共点．考虑过原点与C2有公共点的直线x＝0或y＝kx（|k|＞1）．显然直线x＝0与C1无公共点．如果直线为y＝kx（|k|＞1），则由方程组，得x2＝，矛盾．所以直线y＝kx（|k|＞1）与C1也无公共点．因此原点不是“C1﹣C2型点”．（3）以|x|+|y|＝1为边界的正方形区域为D，①若点P在D的边界上，则边所在直线与C1相切，且与C2有公共点，即边界上的点是“C1﹣C2型点”．②设P（x0，y0）是D内的点，则|x0|+|y0|＜1，设P是“C1﹣C2型点”，则存在过点P的直线l：y﹣y0＝k（x﹣x0）与C1，C2都有公共点．若直线l与C2有公共点，l：y＝kx+y0﹣kx0，假设|k|≤1，则|kx+y0﹣kx0|≤|kx|+|y0|+|kx0|≤|x|+|y0|+|x0|≤|x|+1，可得l在C2之间，与C2无公共点，与直线l与C2有公共点，矛盾，所以与C2有公共点的直线l的|k|＞1；假设l与C1也有公共点，有解，可得（1﹣2k2）x2﹣4k（y0﹣kx0）x﹣2[（y0﹣kx0）2+1]＝0，△＝16k2（y0﹣kx0）2+8（1﹣2k2）[（y0﹣kx0）2+1]＝8[（y0﹣kx0）2+1﹣k2﹣k2]，由|k|＞1，|x0|+|y0|＜1，可得|y0﹣kx0|≤|y0|+|kx0|≤|y0|+|k|（1﹣|y0|）＝|k|+|y0|（1﹣|k|）＜|k|，可得（y0﹣kx0）2＜k2，所以△＝8[（y0﹣kx0）2+1﹣k2﹣k2]＜0，即l与C1无公共点，这与l与C1也有公共点，矛盾．于是P不为“C1﹣C2型点”．。

2017-2018学年上海市交通大学附属中学高一上学期期末数学试题(解析版)

2017-2018学年上海市交通大学附属中学高一上学期期末数学试题一、单选题 1．“”是“”的（）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件【答案】B【解析】先求出x 2＜4的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【详解】由x 2＜4，解得：﹣2＜x ＜2，故x ＜2是x 2＜4的必要不充分条件，故选：B ．【点睛】本题考察了充分必要条件，考察集合的包含关系，是一道基础题． 2．设函数()1,0{ 1,0x f x x ->=<，则()()()()2a b a b f a b a b +---≠的值为（）A ．aB ．bC ．,a b 中较小的数D ．,a b 中较大的数【答案】D【解析】∵函数()1,(0){,1,(0)x f x x ->=<∴当a b >时，()()()()()b22a b a b f a b a b a b ++-⋅-+--==;当a b <时，()()()()()a22a b a b f a b a b a b ++-⋅-++-==;∴()()()()2a b a b f a b a b ++-⋅-≠的值为a ,b 中较小的数故选：C3．如图中，哪个最有可能是函数的图象（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】求出函数的导数，得到函数的单调性，从而判断出函数的大致图象即可．【详解】y ′，令y ′＞0，解得：x ，令y ′＜0，解得：x ，故函数在（﹣∞，）递增，在（，+∞）递减，而x ＝0时，函数值y ＝0，x →﹣∞时，y →﹣∞，x →+∞时，y →0，故选：A ．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象. 4．若定义在R 上的函数()f x 满足：对任意1,x 2x R ∈有1212()()()1f x x f x f x +=++则下列说法一定正确的是（A ）()f x 为奇函数（B ）()f x 为偶函数（C ）()1f x +为奇函数（D ）()1f x +为偶函数【答案】C【解析】x 1=x 2=0，则()()()0001f f f =++，()01f ∴=-。

2017-2018学年上海中学高一(上)期中数学试卷

2017-2018学年上海中学高一（上）期中数学试卷一、填空题1．（3分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B=．2．（3分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B=．3．（3分）“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是．4．（3分）若f（x+）=x2+，则f（3）=．5．（3分）不等式x＞的解是．6．（3分）若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是．7．（3分）不等式（x﹣3）2﹣2﹣3＜0的解是．8．（3分）已知集合A={x|﹣6≤x≤8}，B={x|x≤m}，若A∪B≠B且A∩B≠∅，则m的取值范围是．9．（3分）不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a 的最小值为．10．（3分）设a＞0，b＞0，且ab=a+4b+5，则ab的最小值为．11．（3分）对于二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1，若在区间[﹣1，1]内至少存在一个数c 使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是．12．（3分）已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为．二、选择题13．（3分）不等x|x|＜x的解集是（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}或{x|x＜﹣1}，D．{x|﹣1＜x＜0，x＞1}14．（3分）若A⊆B，A⊆C，B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，则这样的A的个数为（）A．4B．15C．16D．3215．（3分）不等式ax2+bx+1＞0的解集是（﹣，），则a﹣b=（）A．﹣7B．7C．﹣5D．516．（3分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件三、解答题17．解不等式：（1）|x﹣2|+|2x﹣3|＜4；（2）．18．已知a，b，c，d∈R，证明下列不等式：（1）（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；（2）a2+b2+c2≥ab+bc+ca．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，a，b∈R，当x=﹣1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0；（1）求f（x）解析式；（2）关于x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围．20．设关于x的二次方程px2+（p﹣1）x+p+1=0有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p的取值范围．21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），记f[2]（x）=f（f（x）），例：f（x）=x2+1，则f[2]（x）=（f（x））2+1=（x2+1）2+1；（1）f（x）=x2﹣x，解关于x的方程f[2]（x）=x；（2）记△=（b﹣1）2﹣4ac，若f[2]（x）=x有四个不相等的实数根，求△的取值范围．2017-2018学年上海中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）设集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，则∁A B={0，2，6，10} ．【解答】解：集合A={0，2，4，6，8，10}，B={4，8}，所以∁A B={0，2，6，10}．故答案为：{0，2，6，10}．2．（3分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，则A∩B={﹣1，0，1} ．【解答】解：∵A={x||x|＜2}={x|﹣2＜x＜2}，B={﹣1，0，1，2，3}，∴A∩B={﹣1，0，1}，故答案为：{﹣1，0，1}3．（3分）“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是“若x+y≠2，则x≠1，或y ≠1”．【解答】解：“若x=1且y=1，则x+y=2”的逆否命题是“若x+y≠2，则x≠1，或y ≠1”，故答案为：“若x+y≠2，则x≠1，或y≠1”4．（3分）若f（x+）=x2+，则f（3）=7．【解答】解：f（x+）=x2+=（x+）2﹣2，所以f（x）=x2﹣2，则f（3）=7．故答案为：7．5．（3分）不等式x＞的解是（﹣3，0）∪（3，+∞）．【解答】解：原不等式等价于等价于（x+3）（x﹣3）x＞0，由穿根法得到不等式的解集为（﹣3，0）∪（3，+∞）；故答案为：（﹣3，0）∪（3，+∞）；6．（3分）若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则a的取值范围是（﹣∞，﹣）．【解答】解：若不等式ax2+（a+1）x+a＜0对一切x∈R恒成立，则，解得：a∈（﹣∞，﹣），故答案为：（﹣∞，﹣）．7．（3分）不等式（x﹣3）2﹣2﹣3＜0的解是（0，6）．【解答】解：设=t，则原不等式化为t2﹣2t﹣3＜0，（t≥0），所以t∈[0，3），即∈[0，3），所以（x﹣3）2＜9，解得﹣3＜x﹣3＜3，所以0＜x＜6，故原不等式的解集为（0，6）；故答案为：（0，6）．8．（3分）已知集合A={x|﹣6≤x≤8}，B={x|x≤m}，若A∪B≠B且A∩B≠∅，则m的取值范围是[﹣6，8）．【解答】解：A={x|﹣6≤x≤8}，B={x|x≤m}，若A∪B≠B且A∩B≠∅，则，故答案为：[﹣6，8）．9．（3分）不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x，y恒成立，则正实数a 的最小值为16．【解答】解：（x+y）（+）=1+a++≥1+a+2=1+a+2=（+1）2，即（x+y）（+）的最小值为（+1）2，若不等式（x+y）（+）≥25对任意正实数x，y恒成立，∴（+1）2≥25，即+1≥5，则≥4，则a≥16，即正实数a的最小值为16，故答案为：16．10．（3分）设a＞0，b＞0，且ab=a+4b+5，则ab的最小值为25．【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴a+4b+5=ab，可得ab≥5+2=5+4，当且仅当a=4b时取等号．∴（+1）（﹣5）≥0，∴≥5或≤﹣1（舍去）．∴ab≥25．故ab的最小值为将25；故答案为：25．11．（3分）对于二次函数f（x）=4x2﹣2（p﹣2）x﹣2p2﹣p+1，若在区间[﹣1，1]内至少存在一个数c 使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是（﹣3，1.5）．【解答】解：二次函数f（x）在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的否定是：对于区间[﹣1，1]内的任意一个x都有f（x）≤0，∴即整理得解得p≥，或p≤﹣3，∴二次函数在区间[﹣1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）＞0的实数p的取值范围是（﹣3，）．12．（3分）已知a，b为正实数，且a+b=2，则+的最小值为．【解答】解：∵a，b为正实数，且a+b=2，∴=a++=+a+b﹣1+=+1=f（a），0＜a＜2．f′（a）=+=，令f′（a）＞0，解得，此时函数f（a）单调递增；令f′（a）＜0，解得，此时函数f（a）单调递减．∴当且仅当a=6﹣3时函数f（a）取得极小值即最小值，=．故答案为：．二、选择题13．（3分）不等x|x|＜x的解集是（）A．{x|0＜x＜1}B．{x|﹣1＜x＜1}C．{x|0＜x＜1}或{x|x＜﹣1}，D．{x|﹣1＜x＜0，x＞1}【解答】解：不等x|x|＜x，即x（|x|﹣1）＜0，∴①，或②．解①可得0＜x＜1，解②可得x＜﹣1．把①②的解集取并集，即得原不等式的解集为{x|0＜x＜1}或{x|x＜﹣1}，故选：C．14．（3分）若A⊆B，A⊆C，B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，则这样的A的个数为（）A．4B．15C．16D．32【解答】解：∵A⊆B，A⊆C，∴A⊆（B∩C），∵B={0，1，2，3，4，5，6}，C={0，2，4，6，8，10}，∴B∩C={0，2，4，6}，∴A的个数为16，故选：C．15．（3分）不等式ax2+bx+1＞0的解集是（﹣，），则a﹣b=（）A．﹣7B．7C．﹣5D．5【解答】解：由不等式ax2+bx+1＞0的解集是（﹣，），构造不等式（x+）（x﹣）＜0，整理得：6x2+x﹣1＜0，即﹣6x2﹣x+1＞0，与ax2+bx+1＞0对比得：a=﹣6，b=﹣1，则a﹣b=﹣6+1=﹣5，故选：C．16．（3分）已知函数f（x）=x2+bx，则“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：f（x）的对称轴为x=﹣，f min（x）=﹣．（1）若b＜0，则﹣＞﹣，∴当f（x）=﹣时，f（f（x））取得最小值f（﹣）=﹣，即f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等．∴“b＜0”是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的充分条件．（2）设f（x）=t，则f（f（x））=f（t），∴f（t）在（﹣，﹣）上单调递减，在（﹣，+∞）上单调递增，若f（f（x））=f（t）的最小值与f（x）的最小值相等，则﹣≤﹣，解得b≤0或b≥2．∴“b＜0”不是“f（f（x））的最小值与f（x）的最小值相等”的必要条件．故选：A．三、解答题17．解不等式：（1）|x﹣2|+|2x﹣3|＜4；（2）．【解答】解：（1）x≥2时，x﹣2+2x﹣3＜4，解得：x＜3，＜x＜2时，2﹣x+2x ﹣2＜4，解得：x＜4，x≤时，2﹣x+3﹣2x＜4，解得：x＞，故不等式的解集是：{x|＜x＜3}；（2）∵，∴≥0，∴x﹣1=0或或，解得：﹣1＜x≤0或x=1或x＞2，故不等式的解集是（﹣1，0]∪{1}∪（2，+∞）．18．已知a，b，c，d∈R，证明下列不等式：（1）（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2；（2）a2+b2+c2≥ab+bc+ca．【解答】证明：∵（a2+b2）（c2+d2）﹣（ac+bd）2=（a2c2+a2d2+b2c2+b2d2）﹣（a2c2+2abcd+b2d2）=（ad﹣bc）2≥0，∴（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2 成立；（2）a2+b2+c2=（a2+b2+c2+a2+b2+c2），≥（2ab+2ca+2bc）=ab+bc+ca．∴a2+b2+c2≥ab+bc+ca．19．已知二次函数f（x）=ax2+bx+1，a，b∈R，当x=﹣1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0；（1）求f（x）解析式；（2）关于x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，求实数k的取值范围．【解答】解：（1）x=﹣1时，函数f（x）取到最小值，且最小值为0，∴﹣=﹣1，f（﹣1）=a﹣b+1=0，解得a=1，b=2，∴f（x）=x2+2x+1，（2）：f（x）=|x+1|﹣k+3，∴x2+2x+1=|x+1|﹣k+3，即（x+1）2=|x+1|﹣k+3，设|x+1|=t，t≥0，∴t2﹣t+k﹣3=0，∵x的方程f（x）=|x+1|﹣k+3恰有两个不相等的实数解，∴关于t的方程由两个相等的根或有一个正根，∴△=1﹣4（k﹣3）=0，或解得k=，或k＜3，故有k的取值范围为{k|k=，或k＜3}20．设关于x的二次方程px2+（p﹣1）x+p+1=0有两个不相等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p的取值范围．【解答】解：关于x的二次方程px2+（p﹣1）x+p+1=0有两个不相等的正根，则△=（p﹣1）2﹣4p（p+1）=﹣3p2﹣6p+1＞0，解得﹣1﹣＜p＜﹣1+，当x1+x2=＞0，及x1x2=＞0时，方程的两根为正．解之，得0＜p＜1．故0＜p＜﹣1．记x1=，x2=，由x2＞2x1，并注意p＞0，得3＞1﹣p＞0，∴28p2+52p﹣8＜0，即7p2+13p﹣2＜0．∴﹣2＜p＜．综上得p的取值范围为{p|0＜p＜}21．已知二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），记f[2]（x）=f（f（x）），例：f（x）=x2+1，则f[2]（x）=（f（x））2+1=（x2+1）2+1；（1）f（x）=x2﹣x，解关于x的方程f[2]（x）=x；（2）记△=（b﹣1）2﹣4ac，若f[2]（x）=x有四个不相等的实数根，求△的取值范围．【解答】解：（1）由题意：当f（x）=x2﹣x时，则：f[2]（x）=（x2﹣x）2﹣（x2﹣x）=x4﹣2x3+x；那么：f[2]（x）=x；即：x4﹣2x3+x=x；解得：x=0或x=2．（2）根据新类型的定义：f（f（x））=x，令f（x）﹣x=t，则f（x）﹣t=x，f（x）=t+x，则有：f（t+x）=f（x）﹣t．即a（t+x）2+b（t+x）+c=ax2+bx+c﹣t，化简可得：at2+（2ax+b+1）t=0，解得：t=0或t=．当t=0时，即ax2+bx+c=x，有两个不相同的实数根，可得（b﹣1）2﹣4ac＞0．当t=时，ax2+bx+c=x ，整理可得：，∴△==（b+1）2﹣4ac+4（b+1）=（b﹣1）2﹣4ac﹣4∵有两个不相同的实数根△＞0．∴（b﹣1）2﹣4ac﹣4＞0，即（b﹣1）2﹣4ac＞4．综上所得△=（b﹣1）2﹣4ac的取值范围是（4，+∞）．第11页（共11页）。

上海交通大学附属中学第一学期.高一数学期终试卷解答

高一数学试卷(满分100分，90分钟完成。

答案一律写在答题纸上)一.填空题：(本大题共12题，每题3分，满分36分)1、设p: |x-1|<1 , q :丄上0，则p是q的_______________ 条件(充分必要性)。

2x 12、若一个数集中任何一个元素的倒数仍在该集合中，则称该集合是“可倒”的数集，请你写出一个“可倒”的数集 _______________ 。

3、在与2010角终边相同的角中，绝对值最小的角的弧度数是________________ 。

4、若方程x2-5x+m=0 与x2-nx+15=0 的解集分别为A、B，且A B={3}，贝U m+n= __________ 。

2 x 1 x 05、设函数f(x)= ，若f(x0)>1，则X0的取值范围是 _____________ 。

V x x 06、若函数y=f(x)为奇函数，且当x<0 时，f(x)=x+lg|x|，贝U f(10)= ___________ 。

7、函数y=ln(4+3x-/)的单调减区间为______________ 。

&已知函数f(x)= 2x a在［-1，c］上为奇函数，则f(丄)？c的值为___________________ 。

x bx 1 29、不等式(x-2) J x2 x 6 0的解集为________________ 。

10、已知函数f(x)= a x的反函数f -1(x)的图像的对称中心是(b，3)，则实数a+b为_______________ 。

x a 111、定义：区间［x1，X2］( x1<x2)的长度为X2-X1，已知函数y= |log 0.5x|的定义域为［a，b］，值域为［0，2］，则区间［a，b］的长度的最大值为________ 。

12、设函数f(x)的定义域为D，若对于任意的X1 D,存在唯一X2 D的使丄血 ^^=5。

2 为常数)，则称函数f(x)在D上的均值为C。