新人教版九年级下《用函数观点看一元二次方程》课件ppt
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人教版九年级数学下册优质课课件《用函数观点看一元二次方程》
（2、20）
t
?
从以上可以看出, 已知二次函数y的值为m，求相应自变量x的 值，就是求相应一元二次方程的解.
例如,已知二次函数y=-X2+4x的值为3,求自变 量x的值. 就是求方程3=-X2+4x的解, 例如,解方程X2-4x+3=0 就是已知二次函数y=X2-4x+3的值为0,求自变量 x的值. 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1,x2 ,则 抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标是 (x1,0),(x2,0)
2
y Y=x² -x+1
（1）设y=0得x2+x-2=0 y x1=1，x2=-2 ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共 -x+1 点，公共点的横坐标分别是1和-2， Y=x² 当x取公共的的横坐标的值时，函 Y=x² +x-2 数的值为0. （-2、0） （2）设y=0得x2-6x+9=0 x1=x2=3 ∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点， 公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐 标的值时，函数的值为0. （3）设y=0得x2-x+1=0 ∵b2-4ac=（-1）2-4*1*1=-3＜0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点
?
9已知抛物线y=x-ax+a+2与x轴交于A.B两点，与y轴 交于点D(0,8),直线DC平行于x轴，交抛物线于另一 点C。动点P以每秒2个单位长度的速度从C点出发， 向D点运动，同时点Q以每秒1个单位长度的速度从 A点出发，向B点运动。连接PQ，CB，设点P的运 动时间t秒。 （1）求a的值。 （2）当t为何值时，PQ平行于Y轴。
九年级数学《用函数观点看一元二次方程》课件
A．x＜0或x＞2 B．0＜x＜2 D．－1＜x＜3
C．x＜－1或x＞3
3.二次函数的图象 y kx2 6x 3
的取值范围是【 】
与轴有交点，则
A. k 3 B k 3且k 0 C k 3 D k 3且k 0
4.下列命题：
①若 a b c ，0
②若 b a c
③若b 2a 3c
x
交
二
轴次
的函
交数 点与
点
两个交点 一个交点 没有交点
b2-4ac>0 b2-4ac=0 b2-4ac<0
二次函数与x轴的交点的横坐标是一元二次方程的解
1、二次函数y=x2+x-6的图象与x轴交点横坐 标是（ A ） A：2和-3 B：-2和3 C：2和3 D：-2和3
2、已知实数s、t，且满足s2+s-2006=0， t2+t-2006=0，那么二次函数y=x2+x-2006的 图象大致是（ B ）
y x2 6x 9
y x2 x 1
(1).每个图象与x轴有几个交点？ 答：2个，1个，0个 (2).一元二次方程? x2+x-2=0 , x2 - 6x +9=0有几个根?
验证一下一元二次方程x2 – x+ 1 =0有根吗?
2.2个根,2个相等的根, 无实数根.
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与 一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
1.二次函数 y ax2 bx c(a 0) 的图象如图4所示，则下列
说法不正确的是（ ）
A b2 4ac 0 B a 0
C c0
D
b 0 2a
九年级数学角函数的观点看一元二次方程PPT教学课件
以2cm/s的速度移动P，B设 Q 的面积yc为m2运动
时间x为s，如P果 、Q分别A从 、B同时出发： （1）写y出 与x的函数关系式；
（2）几秒P后BQ 的面积等 8cm于2？
6.已知抛物 y线 x2axa2与x轴交A于 、B两点 ,与y轴交于D(点 0,8),
直线 DC平行x于 轴,交抛物线于C另.动一点 P点 以每2秒 个单位长度的 速度的速C度 出从 发 ,沿CD运动 .同时 ,点Q以每1秒 个单位长度的 从点 A出发 ,沿AB运动 .连接 PQ、CB，设P点 的运动时 t秒.间 (1)求a的值 ; (2)当t为何值,P时 Q平行y于 轴; (3)当四边P形 QB的C面积等 14时于 ,求t的值 .
解: (3)解方程
20.520t 5t2 t24t 4.10 (4)2 44.1 0,此方程无.解
球的飞行高度达不 20.5到m.
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
解: (4)解方程
0 20 t 5 t 2 t2 4t 0 t1 0,t2 4
为什么在两个时间 球的高度为0m呢?
当球飞行0s和4s时,它的高度为0m, 即0s时球从地面飞出, 4s时球落回地面.
(1)抛物线y x2 2x3与x轴的交点个数(有 C ) .
A.0个 B.1个 Ｃ2个 ． Ｄ3个 ．
(2)抛物线y mx2 3x3mm2经过原点,则其顶点
顶点坐标为__(__1_, 3_)___. _
24
(3)关于x的一元二次方程 x2 xn 0没有实数根,则 抛物线y x2 xn的顶点在( A ) .
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球 的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系.
时间x为s，如P果 、Q分别A从 、B同时出发： （1）写y出 与x的函数关系式；
（2）几秒P后BQ 的面积等 8cm于2？
6.已知抛物 y线 x2axa2与x轴交A于 、B两点 ,与y轴交于D(点 0,8),
直线 DC平行x于 轴,交抛物线于C另.动一点 P点 以每2秒 个单位长度的 速度的速C度 出从 发 ,沿CD运动 .同时 ,点Q以每1秒 个单位长度的 从点 A出发 ,沿AB运动 .连接 PQ、CB，设P点 的运动时 t秒.间 (1)求a的值 ; (2)当t为何值,P时 Q平行y于 轴; (3)当四边P形 QB的C面积等 14时于 ,求t的值 .
解: (3)解方程
20.520t 5t2 t24t 4.10 (4)2 44.1 0,此方程无.解
球的飞行高度达不 20.5到m.
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
解: (4)解方程
0 20 t 5 t 2 t2 4t 0 t1 0,t2 4
为什么在两个时间 球的高度为0m呢?
当球飞行0s和4s时,它的高度为0m, 即0s时球从地面飞出, 4s时球落回地面.
(1)抛物线y x2 2x3与x轴的交点个数(有 C ) .
A.0个 B.1个 Ｃ2个 ． Ｄ3个 ．
(2)抛物线y mx2 3x3mm2经过原点,则其顶点
顶点坐标为__(__1_, 3_)___. _
24
(3)关于x的一元二次方程 x2 xn 0没有实数根,则 抛物线y x2 xn的顶点在( A ) .
以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时, 球的飞行路线将是一条抛物线.如果不考虑空气阻力,球 的飞行高度h(单位:m)与飞行时间t (单位:s)之间具有关系.
人教版九年级数学下册优质课课件《用函数观点看一元二次方程》共24页
人教版九年级数学下册优质课课件 《用函数观点看一元二次方程》
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
1、战鼓一响，法律无声。——英国 2、任何法律的根本；不，不成文法本 身就是 讲道理 ……法 律，也 ----即 明示道 理。— —爱·科 克
3、法律是最保险的头盔。——爱·科 克 4、一个国家如果纲纪不正，其国风一 定颓败 。—— 塞内加 5、法律不能使人人平等，但是在法律 面前人 人是平 等自己的鞋子，自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
人教版九年级下册数学：《用函数观点看一元二次方程》教学课PPT件
归纳二次函数与一元二次方程的关系如下
结论①函数，当函数值y为某一确定值m时， 对应自变量x的值就是方程的根。 结论②特别是时，对应的自变量x的值就是 的根。
2.2自主分析，再探新知
通关 系有了一定的了解，为了帮助学生 进一步理解二者的关系，我从图形 入手带领学生分析实例。
（1）试判断该抛物线与x轴的交点个数； （2）当k= -1时，求此抛物线与坐标轴的交 点坐标。
【设计意图】理解二次函数与一元二次 方程的关系的基础上，会判断抛物线与x 轴的交点个数、掌握方程与函数间的转 化。
2.3.2随堂练习
其中第（1）（2）题直接运用例题思想做， 第（3）题难度提高了
2.3.3思维拓展
26.2 用函数的观点看一元二 次方程（1）
1教材分析
1.1内容分析 1.2地位与作用 1.3教学重点 1.4教学难点 1.5教学目标
2过程分析
五个环节：
创设情 景，发 现新知
自主分 析，再 探新知
应用新 知，深 化拓展
归纳总 结，形 成能力
布置作 业，巩 固提高
图1 教学过 程五环节
2.1创设情景，发现新知
增
神态
趣
增
多 媒
容体
教师
语
学生
言
增
手势
效
多种教学手段实施教学
以问题为载体 体现
以发展思维 过程为主线
以培养思维 能力为目标
发挥
激发 贯彻
学生主体地位
教师主导作用 学生创新意识 先进教学理念
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么? （达不到）
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？ （0s或4s）
【设计意图】
选用这个引例，是基于以下考 虑：以贴近生活的打高尔夫球为 背景，教师创设小调查引入，能 在最短时间内激发学生的兴趣， 引起学生高度的注意力，进入情 境。
结论①函数，当函数值y为某一确定值m时， 对应自变量x的值就是方程的根。 结论②特别是时，对应的自变量x的值就是 的根。
2.2自主分析，再探新知
通关 系有了一定的了解，为了帮助学生 进一步理解二者的关系，我从图形 入手带领学生分析实例。
（1）试判断该抛物线与x轴的交点个数； （2）当k= -1时，求此抛物线与坐标轴的交 点坐标。
【设计意图】理解二次函数与一元二次 方程的关系的基础上，会判断抛物线与x 轴的交点个数、掌握方程与函数间的转 化。
2.3.2随堂练习
其中第（1）（2）题直接运用例题思想做， 第（3）题难度提高了
2.3.3思维拓展
26.2 用函数的观点看一元二 次方程（1）
1教材分析
1.1内容分析 1.2地位与作用 1.3教学重点 1.4教学难点 1.5教学目标
2过程分析
五个环节：
创设情 景，发 现新知
自主分 析，再 探新知
应用新 知，深 化拓展
归纳总 结，形 成能力
布置作 业，巩 固提高
图1 教学过 程五环节
2.1创设情景，发现新知
增
神态
趣
增
多 媒
容体
教师
语
学生
言
增
手势
效
多种教学手段实施教学
以问题为载体 体现
以发展思维 过程为主线
以培养思维 能力为目标
发挥
激发 贯彻
学生主体地位
教师主导作用 学生创新意识 先进教学理念
（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么? （达不到）
（4）球从飞出到落地需要用多少时间？ （0s或4s）
【设计意图】
选用这个引例，是基于以下考 虑：以贴近生活的打高尔夫球为 背景，教师创设小调查引入，能 在最短时间内激发学生的兴趣， 引起学生高度的注意力，进入情 境。
初三数学下册《用函数观点看一元二次方程》课件(3)新人教版
初三数学下册《用函数观点 看一元二次方程》课件（3
）新人教版
•
•知识回 顾
•1.已知二次函数y=ax•2+bx+c的图象如图所示,则
•一元二次方程ax•2+bx+c=0的解是
.
•Y
•0
•5•XΒιβλιοθήκη •2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的位置关系与一元二次方
程
ax2+bx+c=0的根有什么关系?
•
•分析：1，把D（0，8）代入y=x•2-ax+a+2中，
•
求得a=6
•2，把a=6代入y=x•2-ax+a+2中，求得y=x•-26x+8
•3，求出A(2,0) B(4,0) C(6,8)
•4, 依题意得，6-2t=2+t 解得t
•
•让我们一起谈谈今天的
收获吧 •
•1，抛物线y=ax•2+bx+c • 与x轴的交点
••一ax•元2+b二x次+c方=0程 •的实数根
•2“数形结合”
•3“函数思想”
••b2-4ac
•
•
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有
三种情况:
(1)有两个交点
•b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点
•b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
•b2 – 4ac< 0
•若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
•b2 – 4ac•≥0
•
•基础训 练
•1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与
）新人教版
•
•知识回 顾
•1.已知二次函数y=ax•2+bx+c的图象如图所示,则
•一元二次方程ax•2+bx+c=0的解是
.
•Y
•0
•5•XΒιβλιοθήκη •2.二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴的位置关系与一元二次方
程
ax2+bx+c=0的根有什么关系?
•
•分析：1，把D（0，8）代入y=x•2-ax+a+2中，
•
求得a=6
•2，把a=6代入y=x•2-ax+a+2中，求得y=x•-26x+8
•3，求出A(2,0) B(4,0) C(6,8)
•4, 依题意得，6-2t=2+t 解得t
•
•让我们一起谈谈今天的
收获吧 •
•1，抛物线y=ax•2+bx+c • 与x轴的交点
••一ax•元2+b二x次+c方=0程 •的实数根
•2“数形结合”
•3“函数思想”
••b2-4ac
•
•
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有
三种情况:
(1)有两个交点
•b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点
•b2 – 4ac= 0
(3)没有交点
•b2 – 4ac< 0
•若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
•b2 – 4ac•≥0
•
•基础训 练
•1.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与
《用函数观点看一元二次方程》PPT课件 (公开课)2022年人教版
x…0 1 2 3 4… y…4 1 0 1 4…
【解析】选B.可画出图象，由表和图象可知二次函数图象 的对称轴是x=2由图象知y1<y2.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.由一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况可确定二次函数 y=ax2+bx+c与x轴交点的个数情况； 2.用图象法求一元二次方程的近似根.
（精确到）. y
解析: (1)先作出图象;
(2)的解.
x
x1，x2=2.3.
用你学过的一元二次方程的解法来解，
准确答案是什么？
1.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
y
△＜0
△=0
△＞0
O
x
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A.y=2x2 – 3
B.y= - 2 x2 + 3
C.y= - x2 – 3x
D.y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点
情况是( C ) A 无交点
知识归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图
象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别
【解析】选B.可画出图象，由表和图象可知二次函数图象 的对称轴是x=2由图象知y1<y2.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.由一元二次方程ax2+bx+c=0根的情况可确定二次函数 y=ax2+bx+c与x轴交点的个数情况； 2.用图象法求一元二次方程的近似根.
（精确到）. y
解析: (1)先作出图象;
(2)的解.
x
x1，x2=2.3.
用你学过的一元二次方程的解法来解，
准确答案是什么？
1.根据下列表格的对应值:
x
3.23 3.24 3.25 3.26
y=ax2+bx+c -0.06 -0.02 0.03 0.09
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
y
△＜0
△=0
△＞0
O
x
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A.y=2x2 – 3
B.y= - 2 x2 + 3
C.y= - x2 – 3x
D.y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x轴交点
情况是( C ) A 无交点
知识归纳
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次 方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
二次函数 y=ax2+bx+c的图
象和x轴交点
一元二次方程 ax2+bx+c=0的根
一元二次方程 ax2+bx+c=0根的判别
相关主题
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用函数观点看
一元二次方程
复习
一元二次方程根的情况与b² -4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0没有实数根
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 -3.3 x1=1.3 ,x2=＿＿＿ y
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
解：（1）解方程 （3）解方程 h 15=20t-5t² 20.5=20t-5t² t² -4t+3=0 t² -4t+4.1=0 t 1 =1， t 2 =3. ∵（-4）² -4*4.1＜0， 当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根 它的高度为15m。 （4）解方程 （2）解方程 0=20t-5t² 20=20t-5t² t² -4t=0 t² -4t+4=0 t 1 =0， t 2 =4. t 1 = t2 =2. 当球飞行0s和4s时， 当球飞行2s时， 它的高度为20m。 它的高度为0m，即0s飞 出，4s时落回地面。
?
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A y=2x2 – 3
C y= - x2 – 3x
B y= - 2 x2 + 3
D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x 轴交点情况是( C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定
y=x2+2x (-2,0) (0,0) x2+2x=0 x1 = -2 x2 =0
y=x2-2x+1 (1,0) x2-2x+1=0 x1 = x2 =1
y=x2-2x+2 图象与x轴没有交点 x2-2x+2=0
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
2a
x y
有两个相等的 解 b x1=x2=
2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
O
没有实数根 x
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考 虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时 间?
2 2 2
不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
( 2) A(1,0)在抛物线y 0 2 1 m 1 m
2 2 2
2x
2
mx m 上
2
即 m m 2 0, ( m 2)( m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为( 2,0)
y=x² -6x+9
（1、0）
x
?
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实 数根（精确到0.1）. y 方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; （-1.3、0）、（2.3、0） (3)得出方程的解. x1 =-1.3，x2 =2.3。
1
x
用你学过的一元二次方程的解法来解， 准确答案是什么？
（2、20）
Hale Waihona Puke t?y Y=x² -x+1 观察:下列二次函数的图 象与x轴有公共点吗?如 Y=x² +x-2 y=x² -6x+9 果有,公共点横坐标是多 少?当x取公共点的横坐 x 标时,函数的值是多少? 由此,你得出相应的一 元二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
图象与x轴有2个交点 图象与x轴有1个交点 图象与x轴没有交点 x2+2x=0 △>0 x2-2x+1=0 △=0 x2-2x+2=0 △<0
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x (-2,0) (0,0) x2+2x=0 x1 = -2 x2 =0
y=x2-2x+1 (1,0) x2-2x+1=0 x1 = x2 =1
Y
△＜0 △=0
△＞0
O
X
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）
与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)
图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
y
O
b2-4ac＞0
x y
O
b2-4ac=0
y=x2-2x+1
图象与x轴有1个交点 (1,0)
y=x2-2x+1
x2-2x+1=0
△=0
x 1 = x 2 =1
二次函数与一元二次方程
y=x2-2x+2
图象与x轴没有交点
y=x2-2x+2
x2-2x+2=0
△<0 没有实数根
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
我们把代数式b 2 4ac叫做方程ax 2 bx c 0a 0的 根的判别式.用" " 来表示.即 b 2 4ac.
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x
图象与x轴有2个交点
(-2,0) (0,0)
y=x2+2x
x2+2x=0
△>0
x 1 = -2
x 2 =0
二次函数与一元二次方程
3
-1
o
.
1.3
A X=-1
思考：已知抛物线y=x2 + mx +m – 2 求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.
x
冲击中考:
1.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则 无解 方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.
2.直线 y=2x+1 与抛物线 y= x2 + 4x +3 无 有＿＿＿＿个交点.
?
二次函数与一元二次 方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: b2 – 4ac > 0 (1)有两个交点 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
（1）设y=0得x2+x-2=0 y x1=1，x2=-2 ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共 -x+1 点，公共点的横坐标分别是1和-2， Y=x² 当x取公共的的横坐标的值时，函 Y=x² +x-2 数的值为0. （-2、0） （2）设y=0得x2-6x+9=0 x1=x2=3 ∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点， 公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐 标的值时，函数的值为0. （3）设y=0得x2-x+1=0 ∵b2-4ac=（-1）2-4*1*1=-3＜0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点
已知二次函数y=x2-mx-m2 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴 总有公共点; （2）该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A 点坐标为（1、0），求B点坐标。
(1)证明 : 令y 0, 得2 x mx m 0
2 2
(m) 4 2 m 9m 0
y=x2-2x+2 图象与x轴没有交点 x2-2x+2=0
没有实数根
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
图象与x轴有2个交点 图象与x轴有1个交点 图象与x轴没有交点 x2+2x=0 △>0 x2-2x+1=0 △=0 x2-2x+2=0 △<0
二次函数与一元二次方程
2 3、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则
2 一元二次方程ax+bx+c=0的解是
Y
X1=0，x2=5
.
0
5
X
知识巩固:
1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿＿＿＿,与 (0,-5) x轴交于点 (5/2,0) (-1,0) .
一元二次方程
复习
一元二次方程根的情况与b² -4ac的关系
我们知道:代数式b2-4ac对于方程的根起着关键的作用.
当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个不相等的实数根
b b 2 4ac x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0有两个相等的实数根 : b x1, 2 . 2a 当b 2 4ac 0时, 方程ax 2 bx c 0a 0没有实数根
归纳：一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为 x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标 是(x1,0),(x2,0)
3.如图,抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线 x=-1,由 图象知,关于x的方程ax2+bx+c=0的两个根分别是 -3.3 x1=1.3 ,x2=＿＿＿ y
(4)球从飞出到落地要用多少时间?
解：（1）解方程 （3）解方程 h 15=20t-5t² 20.5=20t-5t² t² -4t+3=0 t² -4t+4.1=0 t 1 =1， t 2 =3. ∵（-4）² -4*4.1＜0， 当球飞行1s和2s时， ∴方程无实数根 它的高度为15m。 （4）解方程 （2）解方程 0=20t-5t² 20=20t-5t² t² -4t=0 t² -4t+4=0 t 1 =0， t 2 =4. t 1 = t2 =2. 当球飞行0s和4s时， 当球飞行2s时， 它的高度为20m。 它的高度为0m，即0s飞 出，4s时落回地面。
?
基础练习:
1.不与x轴相交的抛物线是( D )
A y=2x2 – 3
C y= - x2 – 3x
B y= - 2 x2 + 3
D y=-2(x+1)2 - 3
2.若抛物线y=ax2+bx+c,当 a>0,c<0时,图象与x 轴交点情况是( C ) A 无交点 C 有两个交点 B 只有一个交点 D不能确定
y=x2+2x (-2,0) (0,0) x2+2x=0 x1 = -2 x2 =0
y=x2-2x+1 (1,0) x2-2x+1=0 x1 = x2 =1
y=x2-2x+2 图象与x轴没有交点 x2-2x+2=0
没有实数根
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
2a
x y
有两个相等的 解 b x1=x2=
2a
b2-4ac＜0
与x轴没有 交点
O
没有实数根 x
问题1:如图,以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30度 角的方向击出时,球的飞行路线是一条抛物线,如果不考 虑空气阻力,球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系: h= 20 t – 5 t2 考虑下列问题: (1)球的飞行高度能否达到 15 m? 若能,需要多少时间? (2)球的飞行高度能否达到 20 m? 若能,需要多少时间? (3)球的飞行高度能否达到 20.5 m? 若能,需要多少时 间?
2 2 2
不论m取何值, 抛物线与x轴总有公共点 .
( 2) A(1,0)在抛物线y 0 2 1 m 1 m
2 2 2
2x
2
mx m 上
2
即 m m 2 0, ( m 2)( m 1) 0 m1 2, m2 1 B点坐标为( 2,0)
y=x² -6x+9
（1、0）
x
?
利用二次函数的图象求方程x2-x-3=0的实 数根（精确到0.1）. y 方法: (1)先作出图象; (2)写出交点的坐标; （-1.3、0）、（2.3、0） (3)得出方程的解. x1 =-1.3，x2 =2.3。
1
x
用你学过的一元二次方程的解法来解， 准确答案是什么？
（2、20）
Hale Waihona Puke t?y Y=x² -x+1 观察:下列二次函数的图 象与x轴有公共点吗?如 Y=x² +x-2 y=x² -6x+9 果有,公共点横坐标是多 少?当x取公共点的横坐 x 标时,函数的值是多少? 由此,你得出相应的一 元二次方程的解吗? (1)y=x2+x-2 (2)y=x2-6x+9 (3)y=x2-x+1 二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐 标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
图象与x轴有2个交点 图象与x轴有1个交点 图象与x轴没有交点 x2+2x=0 △>0 x2-2x+1=0 △=0 x2-2x+2=0 △<0
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x (-2,0) (0,0) x2+2x=0 x1 = -2 x2 =0
y=x2-2x+1 (1,0) x2-2x+1=0 x1 = x2 =1
Y
△＜0 △=0
△＞0
O
X
判别式： b2-4ac
二次函数 y=ax2+bx+c （a≠0）
与x轴有两个不 同的交点 （x1，0） （x2，0）
与x轴有唯一个 交点 ( b ,0)
图象
一元二次方程 ax2+bx+c=0 （a≠0）的根
有两个不同的 解x=x1，x=x2
y
O
b2-4ac＞0
x y
O
b2-4ac=0
y=x2-2x+1
图象与x轴有1个交点 (1,0)
y=x2-2x+1
x2-2x+1=0
△=0
x 1 = x 2 =1
二次函数与一元二次方程
y=x2-2x+2
图象与x轴没有交点
y=x2-2x+2
x2-2x+2=0
△<0 没有实数根
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
我们把代数式b 2 4ac叫做方程ax 2 bx c 0a 0的 根的判别式.用" " 来表示.即 b 2 4ac.
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x
图象与x轴有2个交点
(-2,0) (0,0)
y=x2+2x
x2+2x=0
△>0
x 1 = -2
x 2 =0
二次函数与一元二次方程
3
-1
o
.
1.3
A X=-1
思考：已知抛物线y=x2 + mx +m – 2 求证: 无论 m取何值,抛物线总与x轴有两个交点.
x
冲击中考:
1.若抛物线 y=x2 + bx+ c 的顶点在第一象限,则 无解 方程 x2 + bx+ c =0 的根的情况是＿＿＿＿＿.
2.直线 y=2x+1 与抛物线 y= x2 + 4x +3 无 有＿＿＿＿个交点.
?
二次函数与一元二次 方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有 三种情况: b2 – 4ac > 0 (1)有两个交点 (2)有一个交点 b2 – 4ac= 0 (3)没有交点 b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点
（1）设y=0得x2+x-2=0 y x1=1，x2=-2 ∴抛物线y=x2+x-2与x轴有两个公共 -x+1 点，公共点的横坐标分别是1和-2， Y=x² 当x取公共的的横坐标的值时，函 Y=x² +x-2 数的值为0. （-2、0） （2）设y=0得x2-6x+9=0 x1=x2=3 ∴抛物线y=x2-6x+9与x轴有一个公共点， 公共点的横坐标是3当x取公共点的横坐 标的值时，函数的值为0. （3）设y=0得x2-x+1=0 ∵b2-4ac=（-1）2-4*1*1=-3＜0 ∴方程x2-x+1=0没有实数根 ∴抛物线y=x2-x+1与x轴没有公共点
已知二次函数y=x2-mx-m2 （1）求证：对于任意实数m，该二次函数的图像与x轴 总有公共点; （2）该二次函数的图像与x轴有两个公共点A、B，且A 点坐标为（1、0），求B点坐标。
(1)证明 : 令y 0, 得2 x mx m 0
2 2
(m) 4 2 m 9m 0
y=x2-2x+2 图象与x轴没有交点 x2-2x+2=0
没有实数根
二次函数与一元二次方程
y=x2+2x
y=x2-2x+1
y=x2-2x+2
图象与x轴有2个交点 图象与x轴有1个交点 图象与x轴没有交点 x2+2x=0 △>0 x2-2x+1=0 △=0 x2-2x+2=0 △<0
二次函数与一元二次方程
2 3、已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示,则
2 一元二次方程ax+bx+c=0的解是
Y
X1=0，x2=5
.
0
5
X
知识巩固:
1.抛物线y=2x2-3x-5 与y轴交于点＿＿＿＿,与 (0,-5) x轴交于点 (5/2,0) (-1,0) .