Van der Waals力场中束缚态粒子能级的数值方法和波函数
范德瓦尔斯力
范德瓦尔斯力van der Waals force也称范德华力Contents指外电子曾已饱和的中性原子（如惰性气体原子）或中性分子之间的相互作用力，其本质是由于电荷分布的涨落，引起原子或分子极化，从而在它们之间产生吸引力（电偶极子-电偶极子相互作用），可分为三种情况：1.极性分子具有电偶极矩，通常这些偶极矩杂乱无章地排列，因而极性分子是电中性的，但只要这些偶极矩排列恰当，极性分子之间就会产生吸引力，这时电偶极子间的静电力也称葛生(Keesen)力。
2.无极分子中正负电荷系的中心重合，分子不具有电偶极矩，但当极性分子靠近它时，可使正、负电荷分开，产生诱导电偶极矩，从而在极性分子和无极性分子之间产生吸引力，也称诱导力，或德拜（Debye）力。
3.原子或无极分子中正负电荷系的中心重合，但由于量子涨落效应，某一瞬间正、负电荷中心不重合，呈现瞬时的电偶极矩，而瞬时电偶极矩又会在邻近的原子或分子中产生吸引力，也称色散力，或伦敦（London）力。
值得注意的是范德瓦尔斯力虽然是静电力，但却是量子力学效应，使用量子力学可计算出其与距离的6次方成反比[1]。
即：列纳德-琼斯势：短程排斥力是由于泡利不相容原理导致的，由于分子间都是满壳层的，因此两分子（或原子）相互靠近必会占据相同的电子轨道，这被泡利不相容原理所禁止。
范德瓦尔斯力是原子或分子间电偶极子-电偶极子相互作用：静电力、诱导力和色散力的统称。
与共价键、离子键、金属键相比，范德瓦尔斯力要弱得多，因此也称弱力。
如氩的范德瓦尔斯键的结合能是：0.088eV/原子。
范德瓦尔斯力也弱于氢键。
参考1.徐龙道等编《物理学词典》，科学出版社：pp3192.C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 7th edition: pp60References1.C. Kittel, Introduction to Solid State Physics, 7th edition: pp60。
有限深方势阱束缚态能级和共振能级
有限深方势阱束缚态能级和共振能级引言物质的微观性质一直以来都是物理学的研究重点。
在量子力学中，我们知道，微观粒子的行为可通过波函数来描述。
而这些波函数可以通过求解波动方程得到。
在此过程中，束缚态能级和共振能级是两个重要的概念。
本文将会深入探讨有限深方势阱中的束缚态能级与共振能级。
有限深方势阱的概念有限深方势阱是指具有有限深度的势能阱，常见于量子力学中对物质的建模。
它是一个在空间中限制粒子运动范围的势能形式。
一般而言，势能为负值，表示粒子在势阱内，而势能为正值，则表示粒子在势阱外。
有限深方势阱的宽度有限深方势阱的宽度是指势能阱的厚度，即在该势能阱中，粒子可以自由活动的区域的大小。
而不同宽度的有限深方势阱所产生的束缚态能级和共振能级也不同。
有限深方势阱中的束缚态能级束缚态能级指的是一个势能阱中的粒子的能量取值，使得粒子几乎总是被束缚在势阱内。
在有限深方势阱中，存在多个束缚态能级，它们对应不同的能量取值。
主要能级的性质•第一能级：具有最低的能量。
粒子在此能级上的概率最高，通过求解定态薛定谔方程可以得到第一能级的波函数。
•第二能级：拥有比第一能级更高的能量。
第二能级的波函数形态与第一能级类似，只是具有更高的能量取值。
•第三能级：粒子在此能级上的概率较低，其波函数形态与前两个能级有所不同。
能级间距的计算方式能级间距是指相邻两个能级之间的能量差值。
在有限深方势阱中，能级间距是通过求解定态薛定谔方程得到的能量本征值之差。
有限深方势阱中的共振能级共振能级是指当一个外部激励作用于有限深方势阱时，使得粒子能量接近或等于势能的一个特定值。
在共振能级上，粒子被激发到能量较高的状态，并可能逐渐脱离势能阱。
主要共振能级的特点•共振能级的能量取值与外部激励的特性有关。
当外部激励的频率与某一共振能级的能量相匹配时，共振现象会出现。
•共振能级的宽度随着势阱的深度而增加。
深度较大的势阱会产生更多的共振能级。
共振的应用共振现象在现实世界中具有广泛的应用。
量子力学典型例题分析解答
量子力学例题第二章一．求解一位定态薛定谔方程1．试求在不对称势井中的粒子能级和波函数[解] 薛定谔方程:当, 故有利用波函数在处的连续条件由处连续条件:由处连续条件:给定一个n 值,可解一个, 为分离能级.2．粒子在一维势井中的运动求粒子的束缚定态能级与相应的归一化定态波函数[解]体系的定态薛定谔方程为当时对束缚态解为在处连续性要求将代入得又相应归一化波函数为:归一化波函数为:3分子间的范得瓦耳斯力所产生的势能可近似地表示为求束缚态的能级所满足的方程[解]束缚态下粒子能量的取值范围为当时当时薛定谔方程为令解为当时令解为当时薛定谔方程为令薛定谔方程为解为由波函数满足的连续性要求,有要使有非零解不能同时为零则其系数组成的行列式必须为零计算行列式,得方程例题主要类型: 1.算符运算; 2.力学量的平均值; 3.力学量几率分布.一. 有关算符的运算1.证明如下对易关系(1)(2)(3)(4)(5)[证](1)(2)(3)一般地,若算符是任一标量算符,有(4)一般地,若算符是任一矢量算符,可证明有(5)=0同理：。
2.证明哈密顿算符为厄密算符[解]考虑一维情况为厄密算符, 为厄密算符,为实数为厄密算符为厄密算符3已知轨道角动量的两个算符和共同的正交归一化本征函数完备集为,取: 试证明: 也是和共同本征函数, 对应本征值分别为: 。
[证]。
是的对应本征值为的本征函数是的对应本征值为的本征函数又:可求出:二.有关力学量平均值与几率分布方面1.(1)证明是的一个本征函数并求出相应的本征值；(2)求x在态中的平均值[解]即是的本征函数。
本征值2.设粒子在宽度为a的一维无限深势阱中运动，如粒子的状态由波函数描写。
求粒子能量的可能值相应的概率及平均值【解】宽度为a的一维无限深势井的能量本征函数注意:是否归一化波函数能量本征值出现的几率 , 出现的几率能量平均值另一做法3 .一维谐振子在时的归一化波函数为所描写的态中式中，式中是谐振子的能量本征函数，求（1）的数值；2）在态中能量的可能值，相应的概率及平均值；（3）时系统的波函数；（4）时能量的可能值相应的概率及平均值[解](1) , 归一化，，，（2），，；，；，；（3）时，所以：时，能量的可能值、相应的概率、平均值同（2）。
胶体稳定性的DLVO理论
65胶体稳定性的DLVO 理论胶体(憎液溶胶)是一个高度分散的系统，它有很大的表面自由能，且具有自发降低表面自由能的倾向，这就是说，在本质上，憎液溶液胶属于热力学不稳定系统。
某些物理条件的改变，特别是电解质的加入，会显著地影响它的稳定性，使它聚集而沉淀。
早在一个世纪前，Schulze(舒尔茨)和Hardy(哈迪)就经验发现，异号离子的电荷数对溶胶的聚沉影响很大。
电荷数(价数)愈高，聚沉能力愈大。
如果将使溶胶聚沉的电解质最低浓度称为聚沉值，则一价、二价和三价异号离子的聚沉值之比约为66)31(:)21(:1，这个规律称为Schulze —Hardy 规则。
怎样解释这个规则，就成了胶体稳定性理论必须面对的首要任务。
直到上个世纪的四十年代，这个问题才被两位前苏联学者Дерягин(杰里亚金)、Ландау(朗道)和两位荷兰学者Verwey(弗威)和Overbeek(奥弗比克)所解决，因此，称为DLVO 理论。
本专题就专门来介绍这个理论。
鉴于理论是建立在数学解析的基础上，下面的介绍只取推导的结果，而将介绍的重心放在物理意义上。
1．DLVO 理论这个理论完全着眼于溶胶粒子的作用势能与粒子间距的关系。
认为粒子间存在着两个相互制约的作用力，一是van der Waals 引力，它要使粒子兼并而聚沉。
另一是扩散双电层重迭所引起的静电斥力，它是维护溶胶稳定的原因。
因此，溶胶是否能够相对地稳定就取决于这两种力谁占据优势，DLVO 理论的首要任务便是分别计算粒子之间的引力和斥力势能与粒子间距的定量关系。
(1) 粒子间的van der Waals 引力势能如所周知，分子之间是存在短程的van der Waals 引力的，这种力的大小与分子间距的7次方成反比。
它包括分子间的偶极—偶极作用，偶极与诱导偶极的作用和分子间的色散作用。
后者亦称London 力，在胶体中常常起着主要的作用，量子力学算得，London 力的引力势能与分子间距的关系可由下式表示662A 43−−−=−=x x h V βνα (65-1) 式中h 为Planck 常数, ν为分子的特征振动频率，α为分子的极化率，x 为分子间距，负号表示吸引。
有限深方势阱束缚态能级和共振能级
有限深方势阱束缚态能级和共振能级一、引言有限深方势阱是量子力学中一个经典的问题，它是研究束缚态能级和共振能级的基础模型。
在物理学、化学、材料科学等领域中都有广泛应用，例如在半导体器件中，电子在晶格势场中形成的能带结构就可以看作是一系列的有限深方势阱。
二、有限深方势阱的定义有限深方势阱是指一个宽度为L，高度为V0（V0>0）的无限高平台上存在一个宽度为L1（L1<L）的矩形势场，在矩形势场外部的区域，势能为零。
这个模型可以用以下公式表示：V(x) = { 0, x<0 or x>L;-V0, 0<=x<=L1;0, L1<x<L }三、束缚态能级束缚态是指粒子被限制在一个有限区域内运动，并且其波函数在无穷远处趋于零。
对于有限深方势阱而言，束缚态能级可以通过求解薛定谔方程得到。
1. 薛定谔方程薛定谔方程描述了量子体系的演化，对于一维的有限深方势阱而言，其薛定谔方程可以写成以下形式：-(h^2/2m) * d^2/dx^2 ψ(x) + V(x) * ψ(x) = E * ψ(x)其中，h为普朗克常数，m为粒子质量，V(x)为势能函数，E为能量本征值，ψ(x)为波函数。
2. 解析解对于有限深方势阱而言，当E<V0时存在束缚态能级。
在矩形势场内部的区域（0<=x<=L1）和外部的区域（L1<x<L）分别求解薛定谔方程可以得到两个线性无关的解：ψ1(x) = A * sin(k1*x), 0<=x<=L1;ψ2(x) = B * e^(k2*x), L1<x<L;其中k1=sqrt(2mE/h^2)，k2=sqrt(2m(E-V0)/h^2)，A、B为待定系数。
由于波函数在x=0和x=L处必须连续，并且其导数也必须连续，所以可以列出以下方程组：A * sin(k1*L1) =B * e^(k2*L1);A * k1*cos(k1*L1) =B * k2*e^(k2*L1);解这个方程组可以得到待定系数A、B的值，从而得到波函数和能量本征值E。
量子力学中的束缚态和连续态
量子力学中的束缚态和连续态量子力学是现代物理学的重要分支，研究微观世界中的物质和能量的行为。
在量子力学中，束缚态和连续态是描述粒子在势场中运动的两种基本状态。
本文将详细介绍束缚态和连续态的概念、特性以及它们在量子力学中的应用。
一、束缚态束缚态是指粒子在势场中受到束缚而无法逃离的状态。
在量子力学中，束缚态的存在是由于势场的存在和粒子的波动性。
当粒子处于束缚态时，其能量是离散的，只能取特定的值。
这些特定的能量值被称为能级，对应于不同的波函数。
束缚态的波函数通常在势场内衰减，且在无穷远处趋于零。
束缚态的波函数还满足归一化条件，即积分平方和为1。
束缚态的波函数描述了粒子在势场中的空间分布和运动规律。
束缚态在量子力学中有广泛的应用。
例如，原子中的电子就处于束缚态。
电子在原子核的引力场中受到束缚，只能存在于特定的轨道上。
这些轨道对应于不同的能级，从而形成了原子的能级结构。
束缚态的性质决定了原子的化学性质和光谱特性。
二、连续态与束缚态相对应的是连续态。
连续态是指粒子在势场中自由运动的状态。
在连续态中，粒子的能量是连续的，可以取任意值。
连续态的波函数通常在势场内不衰减，并且在无穷远处也不趋于零。
连续态的波函数描述了粒子在势场中的传播和散射。
连续态在量子力学中也有重要的应用。
例如，粒子在势场中的散射过程可以用连续态的波函数描述。
散射实验可以通过测量入射粒子和散射粒子的动量和角度来研究粒子间的相互作用。
连续态的性质决定了散射截面和散射角分布等物理量。
三、束缚态和连续态的转换束缚态和连续态之间存在一种转换关系，称为散射态。
散射态是一种介于束缚态和连续态之间的状态。
在散射过程中，粒子从束缚态转变为连续态，或者从连续态转变为束缚态。
束缚态到连续态的转换发生在势场的边界处。
当粒子在势场的边界上受到足够大的势垒时，它可以逃离束缚态，进入连续态。
这种转换通常涉及到量子隧穿效应，即粒子通过势垒的概率。
连续态到束缚态的转换发生在势场的无穷远处。
胶体溶液稳定存在的DLVO理论
69胶体溶液，从本质上讲，是一个热力学不稳定的溶液系统。
这是因为胶体溶液本身是一个高度分散的溶液系统，表面的自由势能很大，因此其在存在的过程中，胶体溶液的表面自由能有自发减少的倾向，通过改变自身的物理及化学状况以达到总自由能最小的稳定状态。
如果胶体溶液的存在条件发生改变，就会对其的稳定性有显著的影响，甚至使其发生沉降和凝聚，从而变得不稳定。
因此，稳定性是胶体溶液的一个值得人们研究的性质。
其中DLVO理论是胶体理论中较为完善的理论基础。
DLVO理论所阐述的是胶体溶液中粒子之间的相互作用势能随着粒子之间的间距的变化曲线关系。
稳定存在的胶体溶液中的粒子之间，主要是由以下两个作用力相互制约：vander Waals引力和静电斥力。
前者趋向使胶体粒子吸引靠近并最终聚沉；而后者则是驱使胶体溶液稳定的最主要因素。
两种相互作用力的相对大小，是胶液是否稳定的决定性因素。
一、 vander Waals引力势能胶体溶液中，胶粒之间的vander Waals引力指的是两个相互作用的胶粒上任意两个分子之间的引力势能之和。
其表达式如下：12Ar V H=−（1-1）v a n d e r W a a l s 引力势能表达式（1-1）只适用于H << r的情况，其中：H为两个胶粒之间的最短距离，r为胶体溶液中粒子的半径。
式中的A称为Hamaker常数，在胶体溶液中，其数值的确定要相应的考虑分散介质对其的影响。
我们假设B为溶胶的分散介质，C代表胶体溶液中的粒子，则其聚沉的发生过程可用以下通式表达：BC BC BB CC+→+在这个聚沉的过程中，势能也同时发生了相应的变化：V = V 11+V 22-2V 12 （1-2）假设胶体溶液中的胶体粒子和分散介质，其自身相互之间的几何大小及物理条件是一致的，即H和r的值是相同的，则（1-2）也可写作下式：2121122122A A A A =+− （1-3）式（1-3）中的A212是考虑了分散介质影响后的常数，即有效Hamaker常数，其中下标中的2代表溶液中的胶体粒子，1代表胶体溶液所使用的分散介质，212所表示的意思是两个胶体粒子被分散介质隔开。
vanderwaals方程
vanderwaals方程van der Waals方程是荷兰物理学家Johannes Diderik van der Waals于1873年所提出的一种修正的气体状态方程。
传统的理想气体状态方程是基于理想气体模型推导得出的，其中假设气体分子是无大小、无相互作用及无体积的点粒子。
然而在高压、低温条件下，气体分子之间存在相互吸引力和有体积的效应，这些效应对气体的真实行为产生了显著影响，因此需要引入修正项。
van der Waals方程是对理想气体状态方程的修正，考虑了气体分子之间的相互作用和体积效应。
(P + a(n/V)^2)(V - nb) = nRT其中P为气体的压强，V为气体的体积，n为气体的摩尔数，R为气体常数，T为气体的温度，a和b分别为van der Waals方程的修正参数，代表了吸引力和体积效应的影响。
修正项a用于考虑气体分子之间的吸引力效应。
吸引力使得气体分子更接近，导致气体分子的平均动能减小。
所以修正项a在方程中呈现为负号。
修正参数a的数值大小与分子间力的强度成正比，表示了分子间吸引力的强弱程度。
修正项b用于考虑气体分子的体积效应。
实际气体分子具有一定的体积，导致气体的真实体积比理想气体的体积要大。
所以修正项b在方程中也呈现为负号。
修正参数b的数值大小与分子的体积成正比，表示了分子间体积的大小。
van der Waals方程适用于理论和实验上对气体行为的描述。
通过修正的van der Waals方程，可以更准确地计算气体的压强、体积和摩尔数之间的关系。
特别是在高压、低温情况下，van der Waals方程的修正项对气体行为的描述更加精确。
除了van der Waals方程外，研究者们还提出了一些其他的修正方程，如Redlich-Kwong方程、Peng-Robinson方程等。
这些方程都是基于类似的思路，引入修正项来更好地描述气体的真实行为。
这些修正方程在工程领域和实际应用中有着广泛的应用，能够提供更准确的气体性质计算和预测。
量子力学中的束缚态与离散能级
量子力学中的束缚态与离散能级量子力学是描述微观世界中粒子行为的理论，它的基本假设包括波粒二象性、不确定性原理和量子叠加原理等。
在量子力学中，粒子的运动状态由波函数来描述，而波函数可通过薛定谔方程得出。
这个方程揭示了粒子的能量和定态波函数之间的关系，并且解出方程后得到的波函数关于空间的形状就是所谓的定态波函数。
这些定态波函数对应的能量值是离散的，即所谓的离散能级。
当粒子受到势场束缚时，它的运动将受到限制，只能在有限的空间范围内移动。
这种束缚状态下的粒子所对应的定态波函数，被称为束缚态。
束缚态的特点是波函数在无穷远处趋于零，并且在某一特定位置的概率密度最大。
这一特性使得粒子在束缚态时的运动呈现出一种局域性。
在理解束缚态的性质时，我们可以以一维势阱为例。
一维势阱是一种势能在x方向上形成的壁障，即限制了粒子在该方向运动的空间。
考虑一个无限深势阱，该势阱在x的负半轴和正半轴上的势能都是无穷大，而在中间的一段区域内势能为零。
根据量子力学的原理，波函数在势阱内满足薛定谔方程，并满足边界条件。
解薛定谔方程得到的波函数具有离散的能量值，这些能量值对应着不同的束缚态。
在势阱中，粒子的能量是量子化的，只能取离散的数值。
在束缚态下，波函数的形状和粒子的能量紧密相关。
不同的束缚态对应着不同的能量，且能量值不能连续变化。
束缚态的特殊性质使得量子系统的能量是量子化的，这与经典力学中连续的能量谱形成了鲜明的对比。
量子系统的离散能级与束缚态的存在密切相关，因为只有在粒子受到束缚时，才会出现离散化的能量。
束缚态的概念在量子力学中有广泛的应用。
例如，原子中的电子处于原子核的引力场中，形成了束缚态。
在固体物质中，电子在晶格中也形成了束缚态，这种束缚态对材料的导电性等性质有重要影响。
此外，量子力学中的束缚态对于理解分子结构、化学反应等也具有重要意义。
总的来说，量子力学中的束缚态与离散能级是量子系统的重要特征。
束缚态是粒子在势场中受到限制后的态，具有局域性和离散能级。
范德华方程ab值表格
范德华方程ab值表格范德华方程（Van der Waals equation）是描述气体行为的经验方程，它是由荷兰物理学家范德华于1873年提出的。
该方程考虑了气体分子之间的吸引力和排斥力，相较于理想气体方程更加准确地描述了气体的行为。
范德华方程的一般形式为：(P + a/V^2)(V b) = RT.其中，P表示气体的压力，V表示气体的体积，T表示气体的温度，R为气体常数。
a和b是范德华方程的两个参数，分别表示吸引力和排斥力。
具体来说，a参数代表气体分子之间的吸引力，它与气体的分子极性和分子量有关。
较大的a值意味着分子之间的吸引力较强，使得气体分子更容易凝聚成液体或固体。
b参数代表气体分子的体积，它与气体分子的尺寸有关。
较大的b值意味着分子体积较大，使得气体分子之间的排斥力增强。
对于不同的气体，a和b的值是不同的，可以通过实验测量得到。
这些值可以整理成表格，以便在范德华方程中使用。
然而，由于每种气体的特性不同，其a和b值也会有所不同。
下面是一些常见气体的a和b值的示例（单位为Pa·m^6/mol^2和m^3/mol）：气体| a (Pa·m^6/mol^2) | b (m^3/mol)。
-----------------------------------------。
氢气 | 0.244 | 2.62E-5。
氧气 | 1.36 | 3.19E-5。
氮气 | 1.39 | 3.91E-5。
二氧化碳 | 3.59 | 4.27E-5。
甲烷 | 2.27 | 4.27E-5。
需要注意的是，这些数值只是示例，实际的数值可能会因为实验条件的不同而有所差异。
范德华方程的ab值表格可以帮助我们更准确地计算气体的行为，特别是在高压和低温条件下，理想气体方程往往无法满足实际情况。
通过使用范德华方程和相应的a、b值，我们可以更好地描述和预测气体的物理性质和行为。
凡尔座工作原理
凡尔座工作原理一、概述凡尔座（Van der Waals）力是分子间的一种吸引力，它是由于分子之间电荷分布不均匀而引起的。
凡尔座力在自然界中无处不在，包括固体、液体和气体。
凡尔座力对于物质的性质和行为有着重要的影响。
本文将详细介绍凡尔座力的工作原理。
二、分子间相互作用分子间相互作用是物理化学中一个重要的研究领域，其中最基本的相互作用是静电相互作用和范德华力。
静电相互作用是由于电荷之间的相互吸引或排斥而产生的，而范德华力则是由于分子之间的瞬时电荷引起的。
范德华力可以通过极化感应模型来解释。
当两个非极性分子靠近时，它们会发生瞬时极化，即在某个瞬间一个原子带有一定程度的正或负电荷。
这样就会产生一个瞬时偶极矩，从而使两个非极性分子之间产生吸引力。
三、范德华力与距离的关系范德华力与分子间距离的平方成反比。
这是因为当两个分子之间距离越近时，它们之间的相互作用就会越强。
当两个分子之间距离很远时，它们之间的相互作用就会变得微弱。
四、范德华力与分子极性的关系范德华力还与分子极性有关。
当一个分子具有极性时，它会产生一个永久偶极矩或者感应偶极矩。
这样就会增加分子之间的相互作用力，从而使范德华力增大。
五、范德华力与温度的关系范德华力还与温度有关。
随着温度升高，分子运动加剧，从而使分子之间产生更多的瞬时偶极矩和感应偶极矩。
这样就会增加范德华力。
六、凡尔座力对物质性质和行为的影响凡尔座力对于物质性质和行为有着重要的影响。
例如，在液体中，凡尔座力是液体内部分子之间相互作用的主要形式。
凡尔座力还可以影响物质的相变过程，例如液体的沸点和固体的熔点。
凡尔座力还可以影响溶解度和表面张力等物理化学性质。
在生物学中，凡尔座力也是分子之间相互作用的主要形式，例如蛋白质折叠和DNA 双链之间的结合。
七、总结凡尔座力作为分子间相互作用的一种形式，在自然界中无处不在。
它对于物质性质和行为有着重要的影响。
范德华力与距离、分子极性和温度等因素有关，这些因素对于范德华力的大小产生影响。
van der Waals状态方程及其对科学的贡献
2van der Waals 状态方程及其对科学的贡献19世纪初，在Boyle(玻义耳)、Gay -Lussac(盖-吕萨克)和Avogadro(阿伏伽德罗)等学者的努力下，一个能够描述低密度气体pVT 行为的经验方程pV m ＝RT (2-1)已被确立，式中R 是一个普适的常数，称为摩尔气体常数，V m 为气体的摩尔体积。
但是，要说发展成一个理论，应当归功于德国物理学家R J E Clausius(克劳修斯)，他在1857年首先用气体分子运动论导得了这个方程。
在推导中，他为低密度气体设想了如下微观模型：①气体是大量分子的集合体。
②分子在容器中作无规则运动，它们的运动遵守牛顿运动定律。
③分子本身的大小可以忽略不计。
④除了碰撞外，分子间没有相互作用。
⑤分子间和分子与器壁间的碰撞是弹性碰撞。
显而易见，这是一个十分粗放的理想模型。
完全符合这种模型的气体称为理想气体。
故式（2-1）称为理想气体状态方程。
理想气体状态方程的一个显著特征是：它的等温线总是一些双曲线。
无论温度多么低，压力多么高，都不可能使其液化，故理想气体是一种永久气体。
显然，这与人们的经验很不相符。
经验表明，任何物质都能够气液相变，在一定的温度下都有确定的饱和蒸气压，温度愈高，饱和蒸气压愈大。
然而，这种平衡关系是否会随温度的升高而无限地保持下去呢？这个看似简单的问题，却让不少著名物理学家困惑了近50年，直到1869年才得出了明确的结论。
这归功于英国物理学家T Andrews(安德鲁斯)，他用了将近十年的时间，对气体的压缩性做了一系列实验，特别是二氧化碳。
他发现随着温度的升高，平衡的气液两相密度差逐渐缩小，到了31℃时，两者差别消失，蒸发焓变为零，即气液平衡到此终止。
Andrews 称此为“临界点”，意即以此为界，当温度超过31℃时，无论压力多高，都不可能使气体液化。
当Andrews 将这些实验结果在英国皇家学会作了题为“论物质液态和气态的连续性”报告后，立即引起了世界各国学者的关注。
第六章经验力场模型 分子力学 - 南开大学结构化学精品课程
MM2与MM3力场中取级数的前三项：
V3 V1 V2 V ( ) (1 cos ) (1 cos 2 ) (1 cos 3 ) 2 2 2
《量子化学与分子力学/分子模拟》 第六章 经验力场模型
N
ij 4 ij rij i 1 j i 1
N N
ij qq i j r 4 r 0 ij ij
12 6
第一项表示成键原子间的相互作用，第二项表示分子 中所有键角的贡献，用的均为谐振子模型，第三项为扭曲 势，表示键旋转时的能量变化，第四项是非键项，将计算所 有处于不同分子的以及同一分子中相距至少三个键的原子之 间的相互作用，在简单力场中，用库仑势描述静电相互作 用，Lennard-Jones势描述van der Waals作用。
Nankai University
《量子化学与分子力学/分子模拟》 第六章 经验力场模型
分子中每个原子一般具有独特的化学环 境，设法将其归类。 AMBER力场： O 羰基O OH 羟基(醇)O O2 羧酸或磷酸O OS 酯或醚O OW 水中的O UA United Atom force field AA All Atom force field
Nankai University
非键作用(范德华力) No-bonded interactions (van der Waals)
《量子化学与分子力学/分子模拟》 第六章 经验力场模型
一个简单力场的函数形式：
ki ki Vn 2 2 V (r ) (li li , 0 ) ( i i ,0 ) (1 cos(n )) angels 2 torsion 2 bond 2
范德瓦尔斯引力
范德瓦尔斯引力
范德瓦尔斯引力（Van der Waals force）是一种分子间力，它描述了分子之间的吸引力，这种力在没有化学键形成的情况下存在。
范德瓦尔斯力包括三种基本力：
1. 诱导偶极矩相互作用：当一个分子的电子分布因为另一个分子的接近而暂时改变时，
产生的偶极矩之间的相互作用力。
2. 取向力（Dipole-Dipole Forces）：具有永久偶极矩的分子之间的相互吸引力。
3. 色散力（London dispersion forces）：所有分子，无论是否具有永久偶极矩，都会
因为电子在原子核周围的瞬时分布不均匀而产生的瞬间偶极矩，这些瞬间偶极矩之间的相互作用力。
范德瓦尔斯力通常比化学键弱得多，但在固体和液体中，它们对于维持分子结构的稳定性和材料的物理性质起着重要作用。
例如，范德瓦尔斯力是冰融化的原因之一，因为水分子在冰中通过这些力相互吸引，而在液态水中，这些力减弱，使得水分子能够更加自由地移动。
在范德瓦尔斯力的研究中，科学家们可以探索分子间的相互作用如何影响物质的性质，如沸点、熔点、溶解度和表面张力等。
这些研究对于化学、材料科学、物理学和其他科学领域都是非常重要的。
范德华方程公式
范德华方程公式范德华方程是物理学中的一个重要方程，描述了分子之间的相互作用力。
它被广泛应用于化学、物理、材料科学等领域，对于研究分子结构、相变、溶液等具有重要意义。
本文将介绍范德华方程的基本原理、数学表达式以及应用领域。
一、范德华相互作用力的基本原理范德华相互作用力，又称为范德瓦尔斯力，是分子之间的吸引力。
它是由于分子内的电荷分布不均匀引起的，不涉及化学键的形成或断裂。
范德华相互作用力是所有非共价相互作用力中最弱的一种，但往往对物质的性质和行为起到至关重要的影响。
范德华力的基本原理可以从相互作用能的角度来理解。
根据量子力学的描述，分子中的电子存在于离核轨道中，当两个分子靠近时，它们的电子云会发生重叠。
这种电子云的重叠导致了两个分子之间的电子-电子排斥力和电子-核吸引力。
根据量子力学的计算结果，这种重叠导致的排斥力大于吸引力，从而产生了范德华力。
二、范德华方程的数学表达式范德华力的数学表达式可以用范德华方程来描述。
范德华方程最早由荷兰物理学家约翰·范德华于1873年提出，其表达式为：F = -Cn/r^n其中，F代表范德华相互作用力，C代表常数，n代表随分子间距离而变化的指数，r代表分子间距离。
范德华方程说明了范德华力与分子间距离的平方成反比。
范德华方程的具体形式可以根据不同的分子体系进一步展开为复杂的表达式，如Lennard-Jones势函数等。
这些表达式考虑了分子间相互作用能的不同贡献，并可以用于模拟和预测分子体系的性质和行为。
三、范德华方程的应用领域范德华方程在化学、物理、材料科学等领域具有广泛的应用价值。
以下列举了几个主要的应用领域：1. 分子结构研究：范德华方程可以用于计算和解释分子的几何构型、键长和键角等参数。
通过研究范德华力对分子结构的影响，可以深入了解分子之间的相互作用机制。
2. 相变研究：范德华力在相变中起到了重要作用。
对于凝聚态物质的相变过程，范德华力对相变温度、相变压力以及相变速率等的影响需要通过范德华方程进行分析。
连续谱中束缚态推导
连续谱中束缚态推导一、引言在量子力学中，束缚态是指粒子被限制在有限的空间范围内，其能量低于无限远处势能的情况。
连续谱则是指能量可以取连续值的谱。
在连续谱中，束缚态的存在对于理解粒子的行为和相互作用具有重要意义。
本文将详细推导连续谱中束缚态的形成和性质，以期为相关领域的研究提供有益的参考。
二、连续谱中的束缚态概念在量子力学中，束缚态是指粒子在势能的影响下，其波函数在空间中的分布是有限的，并且对应的能量是离散的。
而在连续谱中，粒子的能量可以取连续值，波函数在空间中的分布也是连续的。
然而，在某些情况下，即使在连续谱中，粒子也可以形成束缚态。
这种情况通常发生在粒子受到某种势能的束缚时，其能量低于无限远处的势能，使得波函数在空间中的分布变得有限。
三、连续谱中束缚态的推导为了推导连续谱中的束缚态，我们首先需要建立一个适当的数学模型。
在量子力学中，粒子的行为通常用薛定谔方程来描述。
薛定谔方程是一个二阶偏微分方程，它描述了粒子在势能影响下的波函数演化。
对于连续谱中的束缚态，我们可以考虑一个粒子在一维无限深势阱中的情况。
在这种情况下，粒子的波函数在势阱内部是振荡的，而在势阱外部则是指数衰减的。
这种波函数的性质使得粒子在势阱内部形成束缚态。
为了求解薛定谔方程并得到束缚态的解，我们可以采用分离变量法。
首先，将波函数表示为空间和时间的分离形式，然后将薛定谔方程分解为空间和时间两个独立的方程。
对于空间部分，我们可以得到一个关于空间坐标的二阶常微分方程。
通过求解这个方程，我们可以得到波函数在空间中的分布以及对应的能量本征值。
对于时间部分，我们可以得到一个关于时间的一阶常微分方程。
通过求解这个方程，我们可以得到波函数随时间的演化。
四、连续谱中束缚态的性质在连续谱中，束缚态具有以下性质：1．能量离散性：束缚态的能量是离散的，与连续谱中的连续能量形成对比。
这是因为束缚态的波函数在空间中的分布是有限的，导致能量只能取特定的离散值。
范德华力知识点总结
范德华力知识点总结范德华力的发现和研究始于19世纪末，有关范德华力的研究成果在20世纪前后不断得到进展。
荷兰物理学家范德华（J.D. van der Waals）首先提出了范德华力的概念，并为此项工作获得了1910年的诺贝尔物理学奖。
随着科学研究的不断深入，人们对范德华力的理解也越来越深刻，范德华力的研究成果逐渐应用到物理、化学、生物学和工程学等领域。
在分子之间存在范德华力的原因主要有两个方面。
首先，范德华力是由于分子内部的电子在不断运动而产生的。
分子内部的电子云呈现出不均匀的分布，这就导致了分子产生了瞬时的偶极矩。
其次，当两个分子靠近时，它们的电子云会相互作用，从而导致了分子间的相互吸引。
总的来说，范德华力是由于分子之间的电子云产生了瞬时的偶极矩而引起的分子间吸引力。
范德华力可以分为几种类型，其中包括范德华斥力、范德华吸引力和取向范德华力等。
范德华斥力是当两个分子的电子云重叠时，它们会互相排斥，这种作用称为范德华斥力。
而范德华吸引力则是当两个分子的电子云离开时，它们之间会出现吸引作用。
此外，取向范德华力还包括取向诱导偶极力和取向双偶极力。
取向诱导偶极力是一种瞬时诱导偶极作用，而取向双偶极力是指当两个分子之间的偶极矩发生相互作用时产生的分子间力。
这些范德华力的类型在分子的相互作用中起到了不同的作用，从而影响了分子的结构和性质。
范德华力在生物学和化学领域有着重要的应用。
例如，在生物大分子如蛋白质和核酸的折叠和构象稳定性中，范德华力对于分子的结构和稳定性具有重要的作用。
此外，在化学物质的分子间相互作用中，范德华力也发挥了重要的作用。
这些范德华力的研究成果对于生物大分子和化学物质的性质和行为有着重要的意义。
范德华力对于材料科学和纳米技术也具有重要的作用。
在材料科学中，范德华力可以影响材料的性能和行为。
在纳米技术中，范德华力可以用于调控纳米颗粒之间的相互作用和纳米结构的组装，从而为纳米材料的制备和应用提供了重要的理论基础。
范德瓦尔斯力作用机制
范德瓦尔斯力的动力学机制范德瓦尔斯力的动力学机制范德瓦尔斯力是存在于中性分子或原子之间的一种弱的电性吸引力。
它是分子间相互结合的主要原因，并且其中的色散力是惰性气体在低温下能液化甚至固化的重要原因。
下面是我从网上及资料和文献中查到的一些关于范德瓦尔斯力的动力学机制的资料。
范德瓦尔斯力的主要来源有三种作用机制：（1）、极性分子具有永久的电偶极矩，通常这些偶极矩杂乱无章地排列，因而极性分子是电中性的，但在极性分子晶体中这些偶极矩呈现规则排列，极性分子之间就会产生静电吸引力，称为葛生力又称“取向力”，它的大小与分子的极性变形性温度有关。
极性分子的偶极矩愈大，取向力愈大；温度愈高，取向力愈小。
（2）、无极分子中正负电荷系的中心重合，分子不具有电偶极矩，但当极性分子靠近它时，可使正、负电荷分开，产生诱导电偶极矩，从而在极性分子和无极性分子之间产生吸引力，称诱导力或德拜力。
（3）、一对非极性分子本身由于电子的概率运动，可以相互配合产生一对方向相反的瞬时偶极矩，这一对瞬时偶极矩相互作用，称为“色散力”。
这种机制是范德华力的主要来源，1930年由F.W.伦敦首先根据量子力学原理给出解释，因此也称为“伦敦力”。
对于上述三中机制共性是：永远存在于分子之间，属于是近程力且力的作用很小.无方向性和饱和性. 经常是色散力为主。
简单起见，将上述色散作用势推导出来：用带点粒子的线性谐振子代表瞬时偶极矩，r 为两个谐振子平衡点（正电荷所处的位置）之间的距离，1x 与2x 为带负电荷的质点在震动过程中离开平衡点的瞬时位移。
这两个振子的能量分别为21212121121212121kx p m kx mv E +=+= 22222222221212121kx p m kx mv E +=+=其中k 为振子的力常数，1p 与2p 为它们的动量。
当r 很大时，两振子间无相互作用力，系统的总能量为21E E +，此时振子的震动频率为mk πν210=；但当r 不很大时，振子间的相互作用能为⎥⎦⎤⎢⎣⎡+---+-+=21212012111141x r x r x x r r e u πε 当1x r >>、2x 时，上式可以展开并只取第一项而略去高次小的项，则系统的总能量可以写为1221u E E E ++=()3021222212221222r x x e x x k m p p πε-+++= 由于电场E 的作用，使振子产生一位移x ，且kx E =，k 为恢复常数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中运动时 ，无法具体 给出它们 的能级 的解析 表达式 和 归一化波 函数 。
体系 ，ｃｒ ｉ ｅ方程的求解非常复杂 ，一般情况下无 Ｓｈ ｄ ｇ ｏｎ ｒ 法求得解析式 ， 只能求得 近似解【１ ５。 、 本文利用一种数值 ６
方法研究Ｖ ｎ ｅ Ｗａｌ力场 中束缚态粒子 能级 和归一 ａ ｒ ａ ｄ ｓ
第 ２ 卷 第 ６期 ８
２１ ０ ２年 ６月
科 技 通 报
ＢＵＬＬＥｌ Ｎ 】 ＯＦ ｒ ＳＣＩ ＥＮＣＥ ＡＮＤ Ｉ ’ ＥＣＨ ＮＯＬＯＧＹ
Ｖｏ ． ８ １ Ｎｏ６ ２ ．
Ｊ ｎ ２ ２ ｕ ｅ ０１
Ｖ ｎｄ ｒ ａｓ力场 中束缚态粒子 ａ ｅ Ｗａ ｌ 能级 的数值 方 法 和 波 函数
表示 为 ： ＝ （ ）
—
Ｖ ０ ０ ≤ ≤ Ｕ
Ｖ． ａ≤ ≤ ｂ ｘ＞ ｂ
是偶 极子之间 的相互 吸引力 （ 电力 ）诱 导偶极性 与 静 、
偶极 子之间 的吸引力 （ 诱导力 ）瞬时偶极 性与诱 导偶 、 极性 之间的作用力 （ 色散力 ） 三者的总和［ 所产生的势 ７ １ ，
０
设质量 为ｍ的粒子在势场 中运 动 ， （） 求束缚 态（ 一
Ｖ＜ ＜ ） ， 态Ｓｈ ｄ ｇ 方程 的解 。 Ｉ ０下 定 Ｅ ｃｒ ｉ ｅ ｏｎ ｒ
产生 了隧道效应 。
关键词 ： ａ ｅ ｗ ａｓ力场 ； Ｖ ｎｄｒ ａ １ 能级 ； 函数 ； 波 数值方法
中图分 类号 ： ４ ０１
文献标 识码 ： Ａ
文章编号 ：０ １ ７ （０ ２ ０ — ０ ５ ０ １０ — １９ ２ １ ）６ ０ ０ — ４ １
Ｓ ｌ ｔｏ ｆｔ ａ ｅ Ｆｕ ｔｏ ｎ Ｐａ ｔｃｅ Ｅｎｅ ｇ ｖ ｌＢｏ ｎｄｅ ｏ ｕ ｉ ｎ ｏ ｈｅＷ ｖ ｎｃ ｉ ｎ ａ ｄ ｒ ｉｌ ｒ ｙ Ｌｅ ｅ ｕ ｄ
Ａｂ ｔ ａ ｔ ｎ ｔ ｉ ａ ｅ ， ｎ ｄ ｒＷ ａ ｌ ｆ ｒ ｅ ｆ ｌ ｅｗｅ ｎ ｍｏ ｅ ｕ ｅ ｓ ｇｖ ｎ Ｔ ｅ Ｓ ｈ ｏ ｉｇ ｒ ｅ ｕ ｔ ｎ ｆｐ ｒｉｌｓ ｓ ｒ ｃ ：Ｉ ｈ ｓ ｐ ｐ ｒ Ｖａ ｅ ａｓ ｏ ｃ ｅ ｄ ｂ ｔ ｅ ｌ ｃ ｌ ｓ ｉ ｉｅ ． ｈ ｃ ｒ ｄ ｎ ｅ ｑ ａｉ ｓ ｏ ａ ｔ ｅ ｉ ｏ ｃ ｂ ｕ ｄ ｄ ａ ｅ ｍｏ ｅｅ ． ｙ ｎ ｍｅ ｉａ ｔ ｏ ， ｈ ａ ｅｆ ｎ ｔ ｎ ａ ｄ ｐ ｒ ｃｅ ｅ ｅ ｇ ｅ ｅ ｏ ｎ ｅ ｎ Ｖａ ｅ ａ ｌ ｆｒ ｅ ｏ ｎ ｅ ｒ ｄ ｌ ｄ Ｂ ｕ ｒ ｌｍｅｈ ｄ ｔ ｅ ｗ ｖ ｕ ｃｉ ｎ ａｔ ｌ ｎ ｒ ｙ ｌｖ ｌ ｕ ｄ ｄ ｉ ｎ ｄ ｒＷ ａｓ ｏ ｃ ｃ ｏ ｉ ｂ ｆ ｌ ｒ ｉｌ ｅ ． ｈ ｅ ｕ ｓ ｉ ｄ ｃ ｔ ｈ ｔ ｓ ｍｅ ｍｏ ｅ ｕ ｅ ａ ａ ｓ ｔ ｒ ｕ ｈ ｔｅ ｃ ａ ｓｃ ｌ ｒｇ ｏ ｓ ｐ ｏ ｉ ｉ ｄ ｗｉ ｏ ｉ ｄ ａ ｅ ｙｅ ｄ ｄ Ｔ ｅ ｒ ｓ ｈ ｎ ｉ ａｅ ｔ ａ ｏ ｌ ｃ ｌｓ ｃ ｎ ｐ ｓ ｈ ｏ ｇ ｈ ｌｓ ｉ ａ ｅ ｉ ｎ ｒ ｈｂ ｔ ｔ ｓ ｍｅ ｅ ｅ ｈ
化波 函数 ， 以了解束缚态粒子的运动特性 。
２ 近似表 示下 的定 态Ｓｈ ｏ ｉｇｒ方 ｃ ｒｄｎ ｅ 程 的解
分子 间的Ｖ ｎｄｒ ａ 力所 产生 的势能可 近似 的 ａ ｅ ｌ Ｗａ ｓ
。 。 ｘ＜ ０
１ 简介
分子 间的Ｖ ｎｄｒ ａｓ ａ． ． ｌ ｅ Ｗａ 力也是静 电力 ，只不 过它
ｉ ｎ ｄ ｒ Ｗ ａ ｌ ｒ ｅ Ｆ ｅｄ ｂ ｍｅ ｉ ａ ｅ ｈ ｄ ｎ Ｖａ ｅ ａ ｓＦｏ ｃ ｉｌ ｙ Ｎｕ ｒｃ ｌＭ ｔ ｏ
Ｌ ｕ ｘ ａ ＩＪ ｅ ｕ ｎ，Ｆ ＡＮ ａ ｉｇ ，ＨＵ Ｙ ｐｎ ＡＮＧ Ｓ ｅ ｇ ｕ ｈ ｎｘ ｅ
（ｅａｔ ｅｔ ｆＰ ｙｉ ｎ ｆｒ ｔ ｎＳ ｉ ｃ ，ｉｚｏ ｅｃ ｅｓ ｏｌ ｅ Ｌｕｈ ｕ ５ ５０ ， ｈｎ） Ｄ ｐｒ ｎ ｈｓ ｓ ｄＩ ｏ ｉ ｃ ｎｅ ＬｕｈｕＴ ａｈ ｒ Ｃ ｌ ｇ ，ｉｚｏ ４ ０ ４ Ｃ ｉａ ｍ ｏ ｃ ａ ｎ ｍａ ｏ ｅ ｅ
李珏璇 ， 樊雅平 ， 生学 黄
（ 州师范高等专科学校 ， 柳 广西 柳州 ５ ５ ０ ） ａ 力场 中束缚态粒子的定 态Ｓｈ ｄ ｇ 方程 ， ａ ｌ ｅ Ｗａ ｓ ｃｒ ｉ ｅ ｏｎ ｒ 研究束缚态粒子能级
的数值方 法和波 函数 ， 并讨论不 同能量状态粒子的概率密度分布情况 ， 计算经典禁 区粒子 出现 的概率 ，
近年来 ， 人们 利用各种各样 的方法 ， 求解各种势场
中粒子 的能级和波 函数 ， 文献 】 寻求高次幂 与逆幂势 函数 Ｓｈ ｄ ｇｒ ｃｒ ｉ ｅ 方程 的解析解 ，但 是对于复 杂 的原子 ｏｎ
能 可表示 为 ： ｒ＝ 一 子在Ｖ ｎｄｒ ａ 力 场 （） 粒 Ａ Ｂ嗍 ａ ｅ． ｌ Ｗａ ｓ
ｐｏａｉｔ ｓＴ ａ ｉｔ ｓｙｔｅ ｆ ｃ ｏ ｈｎ ｅ ｉ ｕｎｕ ｃａ ｉ ｃｎｓ ｒ ｂｌｉ ． ｈｔｓｏ ａ ｆ ｔ ｆ ａｎ ｌｎＱ ａ ｔｍ Ｍｅｈｎｃ ｏｃｒ． ｂ ｉｅ ｈ ｅｅ ｃ ｓ
Ｋｅ ｒ Ｖａ ｅ ａ ｌ ｆｒ ｅｆｅｄ ｅ ｅ ｇ ｅ ｅ ； ａ ｅ ｆ ｎ ｔ ｎ ｎ ｍｅ ｉａ ｔ ｏ ｙ ｗｏ ｄ： ｎ ｄ ｒＷ ａ ｓ ｏ ｃ ｌ ；ｎ ｒ ｌｖ ｌ ｖ ｌ ｃ ｉ ：ｕ ｒ ｌ ｉ ｙ ｗ ｕ ｏ ｃ ｍｅｈ ｄ