基本概念约束条件constraintconditions目标函数
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第2节 线性规划
运筹学（operation research）
如何帮助管理者科学地决定其策略和行动
◆
对情况作出客观的分析
◆
◆
对各种可能发生的后果作出科学的估计
对所面临的问题提出有科学依据的解决途径和方法
数学规划（mathematical programming）
研究在所给条件下，如何求解所给实函数的极 大或极小问题
2 x = 1000
D C 源自文库 500 600
2x+4y=3000
1500 x
O
解 ① 由约束条件的5个 不等式，在 x y 平面 上决定出一个多边 形区域AOBCD ② 寻求使P (x, y) 最大的 点的两种方法
a) 作直线族 ( 6 x +5 y = m ) ， 让它随m 的变动而平行移 动，直线在可行域变动时， 离原点最远的点(x,y)即是 使P (x,y) 最大的点。
e. g. 2 （最大利润问题）有一家木板厂生产两种畅销
的三合板：外镶板和内镶板．前者的原材料是 2块甲
种面板和2块乙种面板，生产过程是10分钟，后者的
原材料是 4 块乙种面板，生产需要 5 分钟．厂里共有
12台压板机，每台每天运作 500分钟．另一方面，原 材料厂每天只能为该厂供应 1000 块甲种面板和 3000 块乙种面板．内、外镶板的利润分别是￥ 5 ／块和 ￥ 6／块，现在厂长的问题是： 应当怎样安排一天的
二、两个变量线性规划的图解法
当决策变量只有两个时，目标函数
f ( x, y) const .
可在平面上表示一条直线，可以通过对目标函数、
约束条件在图形上的形状进行分析，得到 LP 的 解．
e. g. 2 （续）
y
1200 10x+5y=6000 750 A
max P 6 x 5 y s.t. 1000 2x 2 x 4 y 3000 10 x 5 y 6000 x0, y0
决策变量 (decision variable)
x1 , x2 , , x8
数学规划 问题
在某些约束条件下，求解目标 函数达到极大或极小的问题
线性规划 问题（Linear Programming , LP. ） 约束条件是变量的线性方程或不等式组，目标 函数也是变量的线性函数的数学规划问题
线性规划的基本任务
一、线性规划的基本概念
两类决策问题
▲
对给定的任务，如何用最少的
资源去完成它
▲
如何利用有限的紧缺资源产生
最大的经济或社会效益
e. g. 1 （下料问题）某车间有长度为180 cm的钢管 （数量足够多），今要将其截为三种不同长度的管 料，长度分别为70 cm，52 cm，35 cm．生产任务 规定，70 cm的管料只需100根，而52 cm 和35 cm 的管料分别不得少于150 根和120 根，问应采取怎 样的截法，才能完成任务，同时使剩的余料最少？ 解 各种截法
s.t.
100 2 x1 x 2 x3 x 4 2 x 2 x3 3 x5 2 x 6 x 7 150 x3 3 x 4 2 x6 3x7 5 x8 120 x1 xi 0 , i 1, 2, 3, , 8
2 x 4 y 3000 10 x 5 y 6000
的交点D (300, 600) 即所求
每天生产外镶板300 块，内镶板600 块时，可
取得最大利润为
Pmax 6 300 5 600 4800
b) 计算出可行域（多边形）各顶点处的P 值，进行 比较即可
在线性约束下，求出适当的决策变量使得线性 目标函数达到最大或最小
可行解（feasible sol.） 使得约束条件成立的决策变量的一组值 可行域（feasible region） 全体可行解组成的集合（经常记为S） 最优解（optimal sol.） 可行域中使目标函数达到所需最大或最小的可行解
e. g. 1中的数学模型可表示为 min s 5x1 6 x2 23x3 5x4 24 x5 6 x6 23x7 5x8
生产，才能使这天获得最大利润？
解 配料表
甲种 (1000块) 乙种 (3000块) 压板机 (6000分钟) 利润
外镶板( x块)
内镶板( y块)
2（块）
0（块）
2（块）
4（块）
10(min)
5 (min)
￥6/块
￥5/块
LP
s.t.
max P 6 x 5 y
1000 2x 2 x 4 y 3000 10 x 5 y 6000 x0, y0
xi 0, i 1, 2, , 8
（1 ）
（2 ）
余料总长度为
s 5x1 6 x2 23x3 5x4 24 x5 6 x6 23x7 5x8 (3)
基本概念
约束条件 (constraint conditions) 目标函数 (objective function)
截 法 一 2 0 1 二 1 2 0 三 1 1 1 四 1 0 3 五 0 3 0 六 0 2 2 七 0 1 3 八 需要量 0 0 5 100 70 52 度 35
长
150 120
余料长
5
6
23
5
24
6
23
5
设
xi 表示第i 种截法的次数（i = 1, 2, … , 8）
2 x1 x 2 x3 x 4 100 2 x1 x3 3x5 2 x6 x7 150 x x 3x 2 x 3x 5 x 120 3 4 6 7 8 1
P( D) 6 300 5 600 4800 P(C ) 6 500 5 200 4000 P( A) 750 , P( B) 500
D点为最大值点
e.g.3
求解线性规划问题
min f 2 x 4 y
s.t.
2 x y 14 x y 12 x 3 y 18 x 0 , y 0
运筹学（operation research）
如何帮助管理者科学地决定其策略和行动
◆
对情况作出客观的分析
◆
◆
对各种可能发生的后果作出科学的估计
对所面临的问题提出有科学依据的解决途径和方法
数学规划（mathematical programming）
研究在所给条件下，如何求解所给实函数的极 大或极小问题
2 x = 1000
D C 源自文库 500 600
2x+4y=3000
1500 x
O
解 ① 由约束条件的5个 不等式，在 x y 平面 上决定出一个多边 形区域AOBCD ② 寻求使P (x, y) 最大的 点的两种方法
a) 作直线族 ( 6 x +5 y = m ) ， 让它随m 的变动而平行移 动，直线在可行域变动时， 离原点最远的点(x,y)即是 使P (x,y) 最大的点。
e. g. 2 （最大利润问题）有一家木板厂生产两种畅销
的三合板：外镶板和内镶板．前者的原材料是 2块甲
种面板和2块乙种面板，生产过程是10分钟，后者的
原材料是 4 块乙种面板，生产需要 5 分钟．厂里共有
12台压板机，每台每天运作 500分钟．另一方面，原 材料厂每天只能为该厂供应 1000 块甲种面板和 3000 块乙种面板．内、外镶板的利润分别是￥ 5 ／块和 ￥ 6／块，现在厂长的问题是： 应当怎样安排一天的
二、两个变量线性规划的图解法
当决策变量只有两个时，目标函数
f ( x, y) const .
可在平面上表示一条直线，可以通过对目标函数、
约束条件在图形上的形状进行分析，得到 LP 的 解．
e. g. 2 （续）
y
1200 10x+5y=6000 750 A
max P 6 x 5 y s.t. 1000 2x 2 x 4 y 3000 10 x 5 y 6000 x0, y0
决策变量 (decision variable)
x1 , x2 , , x8
数学规划 问题
在某些约束条件下，求解目标 函数达到极大或极小的问题
线性规划 问题（Linear Programming , LP. ） 约束条件是变量的线性方程或不等式组，目标 函数也是变量的线性函数的数学规划问题
线性规划的基本任务
一、线性规划的基本概念
两类决策问题
▲
对给定的任务，如何用最少的
资源去完成它
▲
如何利用有限的紧缺资源产生
最大的经济或社会效益
e. g. 1 （下料问题）某车间有长度为180 cm的钢管 （数量足够多），今要将其截为三种不同长度的管 料，长度分别为70 cm，52 cm，35 cm．生产任务 规定，70 cm的管料只需100根，而52 cm 和35 cm 的管料分别不得少于150 根和120 根，问应采取怎 样的截法，才能完成任务，同时使剩的余料最少？ 解 各种截法
s.t.
100 2 x1 x 2 x3 x 4 2 x 2 x3 3 x5 2 x 6 x 7 150 x3 3 x 4 2 x6 3x7 5 x8 120 x1 xi 0 , i 1, 2, 3, , 8
2 x 4 y 3000 10 x 5 y 6000
的交点D (300, 600) 即所求
每天生产外镶板300 块，内镶板600 块时，可
取得最大利润为
Pmax 6 300 5 600 4800
b) 计算出可行域（多边形）各顶点处的P 值，进行 比较即可
在线性约束下，求出适当的决策变量使得线性 目标函数达到最大或最小
可行解（feasible sol.） 使得约束条件成立的决策变量的一组值 可行域（feasible region） 全体可行解组成的集合（经常记为S） 最优解（optimal sol.） 可行域中使目标函数达到所需最大或最小的可行解
e. g. 1中的数学模型可表示为 min s 5x1 6 x2 23x3 5x4 24 x5 6 x6 23x7 5x8
生产，才能使这天获得最大利润？
解 配料表
甲种 (1000块) 乙种 (3000块) 压板机 (6000分钟) 利润
外镶板( x块)
内镶板( y块)
2（块）
0（块）
2（块）
4（块）
10(min)
5 (min)
￥6/块
￥5/块
LP
s.t.
max P 6 x 5 y
1000 2x 2 x 4 y 3000 10 x 5 y 6000 x0, y0
xi 0, i 1, 2, , 8
（1 ）
（2 ）
余料总长度为
s 5x1 6 x2 23x3 5x4 24 x5 6 x6 23x7 5x8 (3)
基本概念
约束条件 (constraint conditions) 目标函数 (objective function)
截 法 一 2 0 1 二 1 2 0 三 1 1 1 四 1 0 3 五 0 3 0 六 0 2 2 七 0 1 3 八 需要量 0 0 5 100 70 52 度 35
长
150 120
余料长
5
6
23
5
24
6
23
5
设
xi 表示第i 种截法的次数（i = 1, 2, … , 8）
2 x1 x 2 x3 x 4 100 2 x1 x3 3x5 2 x6 x7 150 x x 3x 2 x 3x 5 x 120 3 4 6 7 8 1
P( D) 6 300 5 600 4800 P(C ) 6 500 5 200 4000 P( A) 750 , P( B) 500
D点为最大值点
e.g.3
求解线性规划问题
min f 2 x 4 y
s.t.
2 x y 14 x y 12 x 3 y 18 x 0 , y 0