基本概念约束条件constraintconditions目标函数
目标函数、决策变量和约束条件
目标函数、决策变量和约束条件目标函数、决策变量和约束条件的重新描述目标函数、决策变量和约束条件是数学规划问题中的核心概念。
在本文中，我们将重新描述这些概念，并探讨它们在数学规划中的重要性。
目标函数是数学规划问题中所要优化的目标。
它通常是一个表达式，其中包含决策变量，并使得目标函数达到最大或最小值。
目标函数的选择十分重要，因为它决定了我们希望在数学规划中实现的目标。
例如，在生产计划问题中，我们可能希望最小化生产成本或最大化利润。
在资源分配问题中，我们可能希望最大化资源利用率或最小化资源消耗量。
因此，目标函数的合理选择对于成功解决数学规划问题至关重要。
决策变量是我们试图优化的参数或变量。
它们是数学规划问题中的未知数，我们需要找到一组决策变量的取值来使得目标函数达到最优解。
决策变量可以是实数、整数或布尔变量，具体取决于实际问题的性质。
例如，在生产计划问题中，决策变量可能是每个产品的生产数量。
在资源分配问题中，决策变量可能是分配给每个项目的资源量。
通过选择合适的决策变量，我们可以优化目标函数并找到最佳解决方案。
约束条件是数学规划问题中需要满足的条件。
它们限制了决策变量的范围，确保解决方案在实际情况下是可行的。
约束条件可以是等式或不等式，取决于问题的性质。
例如，在生产计划问题中，约束条件可能包括每个产品的生产容量限制以及资源的可用性。
在资源分配问题中，约束条件可能包括资源不足的限制或项目之间的相互关系。
通过有效地管理约束条件，我们可以获得可行且可行解。
总结起来，目标函数、决策变量和约束条件是数学规划问题中重要的概念。
通过选择合适的目标函数并定义适当的决策变量和约束条件，我们可以找到最佳解决方案，并解决现实世界中的各种问题。
深入理解这些概念可以帮助我们更好地应用数学规划方法，并在决策过程中做出明智的选择。
对于目标函数、决策变量和约束条件的理解，我认为它们是数学规划问题中不可或缺的要素。
目标函数为我们提供了明确的优化目标，决策变量则是我们可以操作和优化的元素，约束条件则确保解决方案在实际情况下是可行的。
线性规划知识点总结
线性规划知识点总结线性规划是一种数学优化方法，用于解决线性约束条件下的最优化问题。
它在实际问题中具有广泛的应用，例如生产计划、资源分配、运输问题等。
本文将对线性规划的相关知识点进行总结，包括线性规划的基本概念、模型建立、解法以及应用场景等方面。
一、线性规划的基本概念1. 目标函数：线性规划的目标是最大化或最小化一个线性函数，称为目标函数。
目标函数通常表示为一个关于决策变量的数学表达式。
2. 约束条件：线性规划的解必须满足一系列线性等式或不等式，称为约束条件。
约束条件可以包括等式约束和不等式约束。
3. 决策变量：线性规划的解决方案通常涉及一组决策变量，这些变量的值可以被调整以满足约束条件并优化目标函数。
4. 可行解：满足所有约束条件的解称为可行解。
可行解的集合构成了可行域。
二、线性规划模型的建立1. 建立目标函数：根据问题的具体要求，将目标转化为数学表达式，并确定是最大化还是最小化。
2. 建立约束条件：根据问题的限制条件，将约束条件转化为线性等式或不等式。
3. 确定决策变量：根据问题的决策变量，定义需要优化的变量。
4. 确定变量的取值范围：根据问题的实际情况，确定决策变量的取值范围。
三、线性规划的解法1. 图解法：对于二维线性规划问题，可以使用图形方法进行求解。
通过绘制约束条件的直线和目标函数的等高线，找到目标函数的最优解。
2. 单纯形法：单纯形法是一种常用的线性规划求解方法，适用于多维线性规划问题。
通过迭代计算，找到目标函数的最优解。
3. 整数规划法：当决策变量需要取整数值时，可以使用整数规划方法进行求解。
整数规划问题通常比线性规划问题更复杂，求解难度更大。
四、线性规划的应用场景1. 生产计划：线性规划可以用于制定最优的生产计划，以最大化利润或最小化成本。
通过考虑资源限制和需求量，可以确定最佳的生产数量和产品组合。
2. 资源分配：线性规划可以用于优化资源的分配，以达到最大的效益。
例如，可以通过线性规划确定最佳的人员调度、物资采购和设备配置方案。
《目标函数和约束条》课件
线性规划模型
线性规划模型由目标函数和约束 条件组成，用于描述问题的数学 形式。
求解线性规划问题的方法
常用的求解方法包括单纯形法、 对偶理论等。
整数规划问题
1
整数规划定义
整数规划是在线性规划的基础上，决策变量必须取整数值的规划问题。
2
整数规划模型
整数规划模型在线性规划模型的基础上，增加了决策变量取整数的约束条件。
通过实际案例分析，探讨规划方法在现实生活中的应用。
通过规划方法优化资源分配，实现资源
的合理配置和最大化利用。
3
金融投资优化
利用规划方法优化投资组合，降低风险， 增加收益。
总结
1 目标函数和约束条件的作用
目标函数指导决策目标的达成，约束条件限制决策方案的可行性。
2 不同问题类型的求解方法
针对不同类型的规划问题，有不同的求解方法可供选择。
3 实际应用的案例分析
3
求解整数规划问题的方法
常用的求解方法包括分支定界法、割平面法等。
非线性规划问题
非线性规划定义：非线性规划 是在约束条件下，最大化或最 小化非线性目标函数的数学规 划问题。
非线性规划模型：非线性规划 模型由目标函数和约束条件组 成，其中包含非线性的数学关 系。
求解非线性规划问题的方法： 常用的求解方法有梯度下降法、 拟牛顿法等。
目标函数和约束条件PPT 课件
本PPT课件将介绍目标函数和约束条件的基本概念、作用，以及不同类型的规 划问题和求解方法，最后总结实际应用的案例分析。
目标函数概述
目标函数定义
目标函数是线性规划中用于衡量决策方案优劣的数学表达式。
目标函数的作用
目标函数帮助决策者明确决策目标，指导最优决策结果的达成。
管理学管理运筹学课后答案——谢家平
管理运筹学——管理科学方法谢家平第一章第一章1. 建立线性规划问题要具备三要素：决策变量、约束条件、目标函数。
决策变量（Decision Variable）是决策问题待定的量值，取值一般为非负；约束条件（Constraint Conditions）是指决策变量取值时受到的各种资源条件的限制，保障决策方案的可行性；目标函数（Objective Function）是决策者希望实现的目标，为决策变量的线性函数表达式，有的目标要实现极大值，有的则要求极小值。
2.（1）设立决策变量；（2）确定极值化的单一线性目标函数；（3）线性的约束条件：考虑到能力制约，保证能力需求量不能突破有效供给量；（4）非负约束。
3.（1）唯一最优解：只有一个最优点（2）多重最优解：无穷多个最优解（3）无界解：可行域无界，目标值无限增大（4）没有可行解：线性规划问题的可行域是空集无界解和没有可行解时，可能是建模时有错。
4. 线性规划的标准形式为：目标函数极大化，约束条件为等式，右端常数项bi≥0 , 决策变量满足非负性。
如果加入的这个非负变量取值为非零的话，则说明该约束限定没有约束力，对企业来说不是紧缺资源，所以称为松弛变量；剩余变量取值为非零的话，则说明“≥”型约束的左边取值大于右边规划值，出现剩余量。
5. 可行解：满足约束条件AX =b,X≥0的解，称为可行解。
基可行解：满足非负性约束的基解，称为基可行解。
可行基：对应于基可行解的基，称为可行基。
最优解：使目标函数最优的可行解，称为最优解。
最优基：最优解对应的基矩阵，称为最优基。
6. 计算步骤：第一步，确定初始基可行解。
第二步，最优性检验与解的判别。
第三步，进行基变换。
第四步，进行函数迭代。
判断方式：唯一最优解：所有非基变量的检验数为负数，即σj< 0无穷多最优解：若所有非基变量的检验数σj≤ 0 ，且存在某个非基变量xNk 的检验数σk= 0 ，让其进基，目标函数的值仍然保持原值。
目标函数 决策变量 约束条件
目标函数决策变量约束条件一、目标函数目标函数是指在优化问题中所要优化或最大化或最小化的函数，它通常反映了问题的最终目标或关键指标。
例如，在生产调度问题中，目标函数可以是最小化生产成本或最大化利润；在供应链管理中，目标函数可以是最小化库存成本或缩短交货周期。
在实际应用中，目标函数可以是单一的或多个目标函数的组合。
此外，在遇到非线性或多目标的问题时，还可以采用非线性或多目标优化方法进行求解。
二、决策变量决策变量是指在决策过程中所要进行选择或确定的变量，它通常反映了问题的可控因素。
例如，在生产调度问题中，决策变量可以是生产批量、生产车间和生产时间的选择；在供应链管理中，决策变量可以是订货量、订货时间和运输方式的选择。
在优化问题中，决策变量很重要，因为它们是目标函数和约束条件的基础。
正确选择决策变量可以使目标函数得到最优解。
为了获得最优解，我们需要对决策变量进行优化和调整，以满足问题的要求。
三、约束条件约束条件是指在决策过程中必须遵守的限制条件，它通常反映了问题的环境和限制条件。
例如，在生产调度问题中，约束条件可以是生产车间的容量限制和生产时间的限制；在供应链管理中，约束条件可以是库存的上限或下限和交货期限的限制。
在实际应用中，约束条件可能是线性或非线性的，同时也可能是单个或多个约束条件的组合。
为了满足约束条件，我们需要通过选择最优的决策变量来优化问题，并进行限制性的调整。
尽管如此，约束条件也可能会对问题的解决带来限制，使得最终的决策结果不能达到最优。
因此，在进行优化问题求解时，需要考虑约束条件对最优解的影响。
优化问题中的约束条件与目标函数处理
优化问题中的约束条件与目标函数处理在优化问题中，约束条件和目标函数是至关重要的组成部分。
约束条件是我们在问题求解中必须满足的限制条件，而目标函数则是我们希望最大化或最小化的目标。
在处理约束条件和目标函数时，我们需要采用一些优化技巧和方法，以确保问题的求解过程更加高效和准确。
在处理约束条件时，有几种常见的方法可以帮助我们进行优化。
一种方法是将约束条件转化为等式或不等式的形式。
通过引入松弛变量或惩罚项，我们可以将原始约束条件转化为等式或不等式约束。
这样一来，我们可以将含有约束条件的优化问题转化为一个无约束的问题。
另一种常见的方法是引入拉格朗日乘子，通过构建拉格朗日函数来处理约束条件。
通过最大化或最小化拉格朗日函数，我们可以得到满足约束条件的最优解。
除了处理约束条件，我们还需要关注目标函数的处理。
在优化问题中，我们的目标是最大化或最小化一个特定的函数。
为了使得问题的求解更加准确和高效，我们需要选择合适的目标函数形式和求解方法。
一种常见的目标函数处理方法是线性规划。
在线性规划中，目标函数和约束条件都是线性的，可以通过线性规划算法进行求解。
另一种常见的目标函数处理方法是非线性规划。
在非线性规划中，目标函数或约束条件中包含非线性项，一般需要使用迭代方法进行求解。
在处理优化问题时，我们还需要注意约束条件和目标函数之间的关系。
有时候，约束条件和目标函数之间存在着一定的相关性。
在这种情况下，我们需要采取相应的约束条件处理方法，以确保问题的求解满足实际需求。
此外，我们还可以引入约束权重来调整约束条件和目标函数之间的关系。
通过调整约束权重，我们可以灵活地处理约束条件和目标函数，以适应不同的求解需求。
综上所述，约束条件和目标函数在优化问题中起着重要的作用。
通过合适的约束条件处理方法和目标函数处理方法，我们可以更好地解决优化问题。
在处理约束条件和目标函数时，我们需要关注问题的特点和求解需求，并使用适当的技巧和方法。
只有在约束条件和目标函数的处理上下功夫，我们才能获得更加准确和高效的优化结果。
目标函数 决策变量 约束条件
目标函数、决策变量和约束条件详解在优化问题中，目标函数、决策变量和约束条件是三个核心概念，它们都是对问题本质的抽象和描述。
本文将详细解释这三个概念，并通过具体例子来说明其定义、用途和工作方式。
目标函数（Objective function）目标函数是优化问题中的一个数学函数，用于衡量我们希望优化的目标的性能。
它是我们希望最大化或最小化的问题特定指标。
目标函数通常与决策变量有关，其定义方式可以是线性的、非线性的、连续的或离散的。
具体来说，目标函数用数学语言描述了问题的目标，它可以是一个最大化问题（maximization）或一个最小化问题（minimization）。
例如，对于一个最小化问题，我们可以将目标函数记为：Minimize: f(x)其中，f(x)是目标函数，x是决策变量。
目标函数可以是多元的，也就是说它可能涉及多个决策变量。
在这种情况下，目标函数可以写成：Minimize: f(x1, x2, ..., xn)目标函数的输出值被解释为问题的性能指标，通过最小化或最大化目标函数，我们可以找到问题的最优解。
决策变量（Decision variables）决策变量是在优化问题中由决策者（或算法）控制的变量。
它们是问题的解决方案的一部分，通过对这些变量的不同取值进行优化，我们可以找到问题的最优解。
决策变量通常在问题的上下文中具有特定的含义。
例如，在一个物流问题中，决策变量可以是货物的运输路径、运输方式或货物从一个地点到另一个地点的数量等。
为了描述决策变量，我们需要定义其取值范围。
取值范围可以是连续的或离散的，取决于问题的特性和要求。
例如，如果决策变量表示某个物体的长度，可以定义为一个连续变量。
而如果表示某台机器的运行状态，可以定义为一个离散变量。
决策变量通常用符号来表示，在目标函数和约束条件中被引用。
例如，如果我们要优化一个具有两个决策变量的问题，可以记作：Minimize: f(x1, x2)其中，x1和x2就是我们要求解的决策变量。
目标函数和约束条件
目标函数和约束条件
为了对设计进行评价，必须构造包含设计变量的评价函数，即优化的目标，称为目标函数。
在优化过程中，通过设计变量的改变不断改善的值，最后求得令值最好或最满意的x 值。
在目标函数的构造中，应注意目标函数必须包含全部设计变量。
目标函数一般用极小值表示，即，若求目标函数的极大值，一般用转换为极小值问题，因此极大化和极小化都可统一表示为求极小，即在机械设计中，一般用作目标函数的有体积最小、质量最小、效率最大、柔度最小、振幅或噪声最小、成本最低，等等。
机械优化设计一般分为单目标优化问题和多目标优化问题。
只有一个目标函数的优化问题称为单目标优化问题；在同一个设计中要提出多个目标区数时，称为多目标优化问
题。
目标函数愈多，设计的综合效果愈好，但求解的难度也愈大。
目标函数一般表现为显式和隐式两种。
显式目标函数是根据设计理论或公式、科学定理的关系推导的代数方程，或是根据实验数据采用曲线拟合方法所得的曲线方程；隐式目标函数是利用有限元分析方法、人工神经网络方法或仿真模拟方法的程序计算的结果，没有明显的函数式，但可给出函数值。
lingo的语法规则
lingo的语法规则Lingo是一种优化建模语言，它遵循一定的语法规则。
以下是一些Lingo的语法规则：1. 变量声明: 在Lingo中，变量需要在使用之前声明。
变量可以是连续的实数、整数或者集合。
2. 目标函数: 目标函数是Lingo模型的核心部分，用于表示需要优化的目标。
目标函数可以使用MAX或MIN关键字来指定最大化或最小化目标。
3. 约束条件: 约束条件是限制问题解的约束，通常由等式或不等式表示。
约束条件可以包括等式约束、不等式约束和逻辑约束。
4. 集合: Lingo允许使用集合来表示一组变量或一组约束。
集合可以用于定义变量、参数、约束等。
5. 参数: 参数是用于定义模型的数据，可以是数值型或字符型。
参数可以在模型中直接使用，也可以通过集合引用。
6. 运算符: Lingo支持多种运算符，包括算术运算符、逻辑运算符和关系运算符。
运算符的优先级遵循常规的数学规则。
7. 语句格式: Lingo语句通常以分号结尾，每行可以包含多个语句。
语句可以跨行，以提高可读性。
8. 注释: Lingo允许使用注释来解释模型或添加额外信息。
注释以“!”开头，可以出现在模型的任何位置。
9. 标号: Lingo允许给语句添加标号，以便在模型中引用或识别特定语句。
标号以方括号开头和结尾，例如[OBJ]。
10. 模型结构: Lingo模型以“MODEL:”开头，以“END”结束。
在模型中，可以包含多个目标函数、约束条件、参数等。
以上是Lingo的一些基本语法规则，使用这些规则可以帮助你构建有效的优化模型并解决实际问题。
简述线性规划模型的3个基本特征
简述线性规划模型的3个基本特征1、输入变量(input variables)：线性规划问题可以看作是一个控制生产计划的问题，因此要完成某一个目标，就必须对一些因素进行控制，比如生产计划。
对于一些因素不需要的，我们称为约束条件，否则就称为输入变量。
由于一般的规划模型均假设变量x是独立变量，而且只关心自变量。
即所谓的“只注重当前”(looking at the present)方法，但有时候我们仅希望研究过去某一段时间内的资源消耗状况，这时也可将自变量取为过去某一时刻(或过去某一时点)的状态。
这样，由过去状态所决定的规划变量是未来状态值的估计，即假设变量x在时间t内发生了改变。
这种假设虽然并非严格的事实，但已得到大家的接受。
2、约束条件(constraints)：当存在多种方案x-1时，我们将其定义为规划变量x的最大或最小限度，或者说是X的区域，它限制了变量x的值。
这里所说的约束条件有两类：第一类是“硬”约束条件。
例如，工艺路线中若出现一个工序或一道工序，该工序的产品必须达到质量要求，这就是一个硬约束条件。
另一类是“软”约束条件。
它包括非物理、经济、技术等方面的因素，例如机器的台数、每班的人数等。
例如：线性规划模型通常将各种约束条件用表格形式表示出来，从而更直观地加深人们对模型的理解。
3、目标函数(objectives)：由于线性规划是在约束条件下寻求最优解，因此要使这种模型能够求得最优解，必须建立目标函数。
目标函数是对于X-1的所有可能值，通过权衡各种利弊，分析哪一种方案更优。
一般地，目标函数有三种情况：第一种是有界函数，它是一条带斜率的二次函数。
例如， X=y(0<x<1)的目标函数是y=1，这意味着当x = 0时， y = 1；当x > 1时， y的最小值为1。
第二种是单调函数，它是一条抛物线，其斜率恒等于零，即1-x^2。
如果只有一个参数，我们称之为单调函数，如果x有两个或两个以上，我们称之为多重函数。
机械优化设计的数学模型
机械优化设计的数学模型是用于描述和求解机械系统设计问题的数学表达式或方程组。
这些模型旨在找到最优的设计参数或设计方案，以满足给定的设计目标和约束条件。
以下是机械优化设计中常用的数学模型：目标函数（Objective Function）：目标函数是描述设计目标的数学表达式。
它可以是最小化或最大化某个性能指标，如成本、重量、能量消耗、刚度、强度等。
目标函数的形式取决于具体的设计问题和优化目标。
约束条件（Constraints）：约束条件是限制设计参数或设计方案的数学条件。
约束条件可以包括等式约束和不等式约束，用于确保设计满足特定的要求和限制。
例如，材料强度约束、尺寸限制、运动学和动力学要求等。
设计变量（Design Variables）：设计变量是需要优化的参数或变量。
它们可以是连续的、离散的或混合的。
设计变量包括几何参数（如长度、宽度、高度）、材料属性（如弹性模量、密度）、工艺参数等。
约束函数（Constraint Functions）：约束函数是描述约束条件的数学表达式。
它们用于限制设计变量的取值范围，确保设计满足特定的约束要求。
约束函数可以是等式约束或不等式约束。
优化算法（Optimization Algorithm）：优化算法是用于求解优化问题的数学方法和算法。
常用的优化算法包括梯度下降法、遗传算法、粒子群优化算法、模拟退火算法等。
这些算法基于目标函数和约束条件，搜索最优的设计变量组合。
机械优化设计的数学模型可以采用不同的数学方法和工具进行建模和求解，以获得最优的设计方案。
在实际应用中，根据具体的设计问题和要求，需要选择合适的数学模型和优化算法来进行机械系统的优化设计。
第五章 线性规划
第五章 线性规划§2.1 线性规划数学模型的建立LP 问题提出：苏联：康德洛维奇 1939一、线性规划数学模型的三要素：1.决策变量(decision variable)：决策问题待定的量值。
用字母（例如X1,X2,···,Xn ）来表示可控制的因素。
每一组决策变量的实际值就表示一个具体方案。
2.目标函数（objective function ）：MaxZ=CX 或 MinZ=CX ；(衡量决策优劣的准则)特点：（1）单一目标；（2）关于决策变量的线性函数。
（定义：课本P20）3.约束条件(constraint conditions)：s.t. (subject to) 受制于约束；AX ≤(≥，=)b特点：若干关于决策变量的线性函数。
二、LP 数学模型的一般形式（1）繁写形式目标函数：Max （Min ）z = c1 x1 + c2 x2 + … + cn xn约束条件：a 11 x1 + a 12 x2 + … + a 1n xn ≤ （ =, ≥ ）b1a 21 x1 + a 22 x2 + … + a 2n xn ≤ （ =, ≥ ）b2s.t. …… ……a m1 x1 + a m2 x2 + … + a mn xn ≤ （ =, ≥ ）bmx1 ，x2 ，… ，xn ≥ 0（2）向量形式目标函数：Max （Min ） z = CX≤(≥，=)b Xj ≥ 0 (j=1,2, …,n)其中，C=(c1 , c2 , … , cn )(价值向量)X= (x1 , x2 , … , xn )T(决策变量向量)b=(b1 , b2 , … , bm )T (限定向量)pj= (a 1j ， a 2j … a mj ) T (约束条件系数列向量)注：矩阵相乘条件：左列=右行(3)矩阵形式★目标函数：Max （Min ） z = CX约束条件：∑=n j jj x p 1AX ≤（=, ≥）bX≥0其中，C=(c1 , c2 , … , cn )(价值向量)X= (x1 , x2 , … , xn )T(决策变量向量)b=(b1 , b2 , … , bm )T (限定向量、资源向量)a11 a12 (1)a21 a22 … a2n (系数矩阵)A= ……a m1 a m2 … a mn三、建模的一般步骤前提假设：假设模型中有n个决策变量，m个约束条件。
约束多目标 算法
约束多目标算法一、引言约束多目标算法是一种能够解决多目标优化问题的算法。
在现实生活中，我们常常面临着多个目标之间的冲突，而这些目标往往又受到一定的约束条件的限制。
约束多目标算法的目标就是在满足这些约束条件的前提下，找到一组最优解，使得多个目标函数达到最优。
二、基本概念1. 目标函数目标函数是约束多目标算法中的核心概念之一。
每个目标函数都代表着一个要优化的目标，可以是最大化或最小化的形式。
在约束多目标算法中，通常会有多个目标函数同时存在，这些目标函数之间往往存在着相互制约的关系。
2. 约束条件约束条件是指在优化过程中需要满足的限制条件。
这些约束条件可以是等式约束，也可以是不等式约束。
在约束多目标算法中，我们需要找到一组解，使得所有的约束条件都得到满足。
3. Pareto最优解Pareto最优解是指在多目标优化问题中，没有其他解能够在所有目标函数上同时取得更好的结果。
换句话说，Pareto最优解是一组相互之间没有可比性的解，它们在目标函数空间中构成了一个非支配解集。
4. 支配关系在约束多目标算法中，我们需要通过比较不同的解之间的支配关系来确定Pareto 最优解。
如果一个解在所有目标函数上都不劣于另一个解，那么我们就说这个解支配另一个解。
三、常见的约束多目标算法1. 遗传算法遗传算法是一种基于生物进化原理的优化算法。
它通过模拟自然界中的遗传过程，不断演化出更好的解。
在约束多目标算法中，遗传算法通过交叉、变异等操作来生成新的解，并通过比较解之间的支配关系来筛选出Pareto最优解。
2. 粒子群优化算法粒子群优化算法是一种模拟鸟群觅食行为的优化算法。
在约束多目标算法中，粒子群优化算法通过模拟粒子在解空间中的移动来寻找最优解。
粒子之间通过比较解之间的支配关系来确定Pareto最优解。
3. 改进的NSGA-II算法NSGA-II算法是一种经典的多目标优化算法。
在约束多目标算法中，NSGA-II算法通过维护一个种群来不断演化出更好的解。
目标函数和约束条
牛顿法
使用目标函数的二阶导 数（海森矩阵）来找到
最优解。
遗传算法
模拟自然选择过程的随 机优化算法，适用于多
维、非线性问题。
模拟退火算法
结合了随机搜索和局部搜索 的优化算法，适用于解决大
规模、复杂的优化问题。
2023
PART 02
约束条件的类型和特点
REPORTING
资源约束
人力约束
指在生产过程中，劳动力数量、技能和经验 等方面的限制。
约束条件
配送时间窗口
分析：通过合理规划配送路线、优化车辆装载方案、避 开拥堵路段等手段，实现总配送时间和成本的最小化。
案例三：项目时间管理优化
目标函数：最小化项目延误时间 约束条件
项目里程碑时间节点
资源分配和任务优先级
项目质量要求
分析：通过合理安排任务优先级、优化资源分 配、加强进度监控等手段，实现项目延误时间 的减少。
物力约束
指在生产过程中，原材料、设备、能源等物 质资源的限制。
财力约束
指在生产过程中，资金、成本等方面的限制。
时间约束
1 2
交货期约束
指在规定的时间内完成产品或服务的交付。
时间窗口约束
指在特定的时间范围内完成产品或服务的需求。
3
时间顺序约束
指在生产过程中，某些任务需要在其他任务之前 或之后完成的时间要求。
在存在多个约束条件的情况下，这些条件可能相互冲突或协同，从而影响目标函数的优化方向和最优 解。
目标函数对约束条件的优化
目标函数的选择影响约束条件的满足程度
不同的目标函数可能会导致不同的最优解，从而影响约束条件的满足程度。
目标函数的优化有助于减少约束条件的冲突
matlab定义目标函数和约束条件
目标函数和约束条件在数学建模和优化问题中起着至关重要的作用。
在Matlab中，我们可以通过一些特定的函数和命令来定义目标函数和约束条件，以便进行进一步的求解和优化。
接下来，我们将详细介绍在Matlab中如何定义目标函数和约束条件的一些常用方法。
一、目标函数的定义1. 在Matlab中，我们可以使用以下命令来定义目标函数：```matlabfunction f = objectiveFunction(x)f = x(1)^2 + x(2)^2; 以二元函数 f(x) = x1^2 + x2^2 为例end```2. 在上面的代码中，我们通过```function```关键字定义了一个名为```objectiveFunction```的函数，该函数接受一个变量```x```作为输入，并返回一个标量值```f```作为输出。
在函数体内部，我们使用变量```x```来表示自变量，然后计算并返回相应的目标函数值。
在实际使用中，我们可以根据具体的问题和需求来定义不同的目标函数表达式，并在函数内部进行相应的计算。
3. 在实际应用中，我们还可以通过调用已有的目标函数或自定义的函数来定义目标函数，以实现更加灵活和复杂的功能。
例如：```matlabf = (x) x(1)^2 + x(2)^2; 通过匿名函数来定义目标函数```通过以上方法，我们可以轻松地在Matlab中定义各种类型的目标函数，为后续的优化和求解问题做好准备。
二、约束条件的定义1. 在Matlab中，我们可以使用以下命令来定义等式约束条件：```matlabfunction [c, ceq] = nonlinearConstr本人nts(x)c = x(1)^2 + x(2)^2 - 1; 定义不等式约束条件ceq = x(1) + x(2) - 2; 定义等式约束条件end```2. 在上面的代码中，我们通过```function```关键字定义了一个名为```nonlinearConstr本人nts```的函数，该函数接受一个变量```x```作为输入，并返回两个向量```c```和```ceq```作为输出。
决策变量 目标函数 约束条件
决策变量目标函数约束条件在数学和计算机科学领域，决策问题是必须要解决的问题。
这些问题涉及到使用一定的规则和算法，从多个选择中选择最优决策。
如何确定决策变量、目标函数和约束条件是解决问题的重要步骤。
决策变量是指可以被更改或调整的量或对象。
这些变量是决策人员可以控制或操作的事物。
在数学建模中，我们用字母或符号来表示这些变量。
例如，在制造业中，生产数量可以是一个决策变量。
在金融领域中，投资金额可以是一个决策变量。
在运输领域中，车辆数量可以是一个决策变量。
正确地确定决策变量是解决问题的第一步。
如何优化决策变量呢？这是通过定义目标函数来实现的。
目标函数是一个数学表达式，表示希望最大化或最小化的目标。
例如，在制造业中，目标函数可能是最大化产量或最小化成本。
在运输领域中，目标函数可能是最小化运输成本或最大化运输量。
在金融领域中，目标函数可能是最大化利润或最小化风险。
通过定义目标函数，我们可以把复杂的决策问题转换为简单的数学问题。
但是，在确定决策变量和目标函数之外，我们面临的另一个重要问题是多个约束条件。
约束条件是限制决策变量的规则和限制条件。
这些条件必须满足，才能获得最佳解决方案。
约束条件可以是物理、技术、环境或其他方面的限制。
在制造业中，约束条件可能是设备容量或工人数量。
在金融领域中，约束条件可能是投资组合的风险限制或资金限制。
在运输领域中，约束条件可能是运输时间或装载容量。
在不同领域中，不同的约束条件需要被满足，以获得最佳解决方案。
在数学建模中，我们用数学符号和方程式来表示约束条件。
例如，在制造业中，如果设备容量是约束条件，则我们可以使用不等式符号来定义限制条件。
在运输领域中，如果限制条件是运输时间，则我们可以使用等式或不等式来定义约束条件。
在金融领域中，我们可能使用数学方程式或不等式来定义资金限制。
总之，决策变量、目标函数和约束条件是解决问题的重要步骤。
正确地确定这些元素，可以在数学和计算机科学领域中有效地解决复杂的决策问题。
目标函数和约束条件
起点水压未给的管网
经济管径公式
m
hij
q
n
m ij
m
lij m
m
m
AQx ij m
q
n
m ij
l
ij
x
ij
m m
m
AQ m
又有h ij
k
q
n ij
l
ij
D
m ij
两式联立得：
k
q
n ij
l ij
D
m ij
q
n
m ij
l ij
x
ij
m m
m
AQ m
n
m
D
m ij
q
ij
目标函数和约束条件
压力供水时的目标函数
W p 1 100 t
a bDij
L ij
0.01
8.76E
gQ
H0
h ij
将上式简化，只取其变量部分，得年费用折算值或目标函数如下：
100W p 100 t
aL ij
p
100 t
bDij Lij
8.76E
gQH0
p 100 b
t
mPk p 100 b t
1
则A
fk
m
m ，
f
m
Ak m 。将f
m
Ak m 带入Dij
1
1
k m Am
x
ij
n ij
1 m
m k m
Ax
ij
n ij
m
1
则 有 ：D ij
fx
ij
n ij
Lingo-中各项的含义
Lingo solution report中各项的含义（一）优化模型的组成优化模型包括以下3部分：l Objective Function：目标函数是一个能准确表达所要优化问题的公式。
l Variables：Decision variables（决策变量），在模型中所使用的变量。
l Constraints：约束条件。
（二）Lingo软件使用的须知（1）LINGO中不区分大小写字母，变量（和行名）可以使用不超过32个字符表示，且必须以字母开头。
（2）在命令方式下（Command Window中），必须先输入MODEL：表示开始输入模型。
LINGO中模型以“MODEL:”开始，以“END”完毕。
对简单的模型，这两个语句也可以省略。
（3）LINGO中的语句的顺序是不重要的，因为LINGO总是根据“MAX=”或“MIN=”语句寻找目标函数，而其它语句都是约束条件（当然注释语句和TITLE 除外）。
（4）LINGO模型是由一系列语句组成，每个语句以分号“;”完毕。
（5）LINGO中以感叹号“!”开始的是说明语句（说明语句也需要以分号“;”完毕）。
（6）LINGO中解优化模型时假定所有变量非负（除非用限定变量函数free 或sub或slb另行说明）。
（三）Solution Report各项的含义例1 将以下模型粘贴到Lingo中求解，其中第一行MODEL和最后一行END在Lingo Model 窗口下可以不要。
MODEL:min = 2*x1 + 3*x2;x1 + x2 >= 350;x1 >= 100;2*x1 + x2 <= 600;END得到如下的结果报告Global optimal solution found.Objective value: 800.0000Infeasibilities: 0.000000 ！指矛盾约束的数目；Total solver iterations: 2Model Class: LPTotal variables: 2Nonlinear variables: 0Integer variables: 0Total constraints: 4Nonlinear constraints: 0Total nonzeros: 7Nonlinear nonzeros: 0Variable Value Reduced CostX1 250.0000 0.000000X2 100.0000 0.000000Row Slack or Surplus Dual Price1 800.0000 -1.0000002 0.000000 -4.000000 ! 模型第一行表示目标函数，第二行对应第一个约束;3 150.0000 0.0000004 0.000000 1.000000下面对Solution Report（LINGO的结果报告窗口）的各个部分进行说明：Global optimal solution found 表示全局最优解找到.Objective value: 800.0000 表示最优目标值为800.0000.Total solver iterations: 2 表示用单纯行法进行了两次迭代.Variable 表示变量, 此问题中有两个变量X1, X2.Value 给出最优解中各变量(Variable)的值: X1=250.0000, X2=100.0000.Reduced Cost 实际上是与最优单纯形表中的检验数相差一个负号的一个数。
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决策变量 (decision variable)
x1 , x2 , , x8
数学规划 问题
在某些约束条件下，求解目标 函数达到极大或极小的问题
线性规划 问题（Linear Programming , LP. ） 约束条件是变量的线性方程或不等式组，目标 函数也是变量的线性函数的数学规划问题
线性规划的基本任务
第2节 线性规划
运筹学（operation research）
如何帮助管理者科学地决定其策略和行动
◆
对情况作出客观的分析
◆
◆
对各种可能发生的后果作出科学的估计
对所面临的问题提出有科学依据的解决途径和方法
数学规划（mathematical programming）
研究在所给条件下，如何求解所给实函数的极 大或极小问题
xi 0, i 1, 2, , 8
（1 ）
（2 ）
余料总长度为
s 5x1 6 x2 23x3 5x4 24 x5 6 x6 23x7 5x8 (3)
基本概念
约束条件 (constraint conditions) 目标函数 (objective function)
s.t.
100 2 x1 x 2 x3 x 4 2 x 2 x3 3 x5 2 x 6 x 7 150 x3 3 x 4 2 x6 3x7 5 x8 120 x1 xi 0 , i 1, 2, 3, , 8
e. g. 2 （最大利润问题）有一家木板厂生产两种畅销
的三合板：外镶板和内镶板．前者的原材料是 2块甲
种面板和2块乙种面板，生产过程是10分钟，后者的
原材料是 4 块乙种面板，生产需要 5 分钟．厂里共有
12台压板机，每台每天运作 500分钟．另一方面，原 材料厂每天只能为该厂供应 1000 块甲种面板和 3000 块乙种面板．内、外镶板的利润分别是￥ 5 ／块和 ￥ 6／块，现在厂长的问题是： 应当怎样安排一天的
截 法 一 2 0 1 二 1 2 0 三 1 1 1 四 1 0 3 五 0 3 0 六 0 2 2 七 0 1 3 八 需要量 0 0 5 100 70 52 度 35
长
150 120
余料长
5
6
23
5
24
6
23
5
设
xi 表示第i 种截法的次数（i = 1, 2, … , 8）
2 x1 x 2 x3 x 4 100 2 x1 x3 3x5 2 x6 x7 150 x x 3x 2 x 3x 5 x 120 3 4 6 7 8 1
2 x = 1000
D C B 500 600
2x+4y=3000
1500 x
O
解 ① 由约束条件的5个 不等式，在 x y 平面 上决定出一个多边 形区域AOBCD ② 寻求使P (x, y) 最大的 点的两种方法
a) 作直线族 ( 6 x +5 y = m ) ， 让它随m 的变动而平行移 动，直线在可行域变动时， 离原点最远的点(x,y)即是 使P (x,y) 最大的点。
二、两个变量线性规划的图解法
当决策变量只有两个时，目标函数
f ( x, y) const .
可在平面上表示一条直线，可以通过对目标函数、
约束条件在图形上的形状进行分析，得到 LP 的 解．
e. g. 2 （续）
y
1200 10x+5y=6000 750 A
max P 6 x 5 y s.t. 1000 2x 2 x 4 y 3000 10 x 5 y 6000 x0, y0
2 x 4 y 3000 10 x 5 y 6000
的交点D (300, 600) 即所求
每天生产外镶板300 块，内镶板600 块时，可
取得最大利润为
Pmax 6 300 5 600 4800
b) 计算出可行域（多边形）各顶点处的P 值，进行 比较即可
在线性约束下，求出适当的决策变量使得线性 目标函数达到最大或最小
可行解（feasible sol.） 使得约束条件成立的决策变量的一组值 可行域（feasible region） 全体可行解组成的集合（经常记为S） 最优解（optimal sol.） 可行域中使目标函数达到所需最大或最小的可行解
e. g. 1中的数学模型可表示为 min s 5x1 6 x2 23x3 5x4 24 x5 6 x6 23x7 5x8
一、线性规划的基本概念
两类决策问题
▲
对给定的任务，如何用最少的
资源去完成它
▲
如何利用有限的紧缺资源产生
最大的经济或社会效益
e. g. 1 （下料问题）某车间有长度为180 cm的钢管 （数量足够多），今要将其截为三种不同长度的管 料，长度分别为70 cm，52 cm，35 cm．生产任务 规定，70 cm的管料只需100根，而52 cm 和35 cm 的管料分别不得少于150 根和120 根，问应采取怎 样的截法，才能完成任务，同时使剩的余料最少？ 解 各种截法
P( D) 6 300 5 600 4800 P(C ) 6 500 5 ห้องสมุดไป่ตู้00 4000 P( A) 750 , P( B) 500
D点为最大值点
e.g.3
求解线性规划问题
min f 2 x 4 y
s.t.
2 x y 14 x y 12 x 3 y 18 x 0 , y 0
生产，才能使这天获得最大利润？
解 配料表
甲种 (1000块) 乙种 (3000块) 压板机 (6000分钟) 利润
外镶板( x块)
内镶板( y块)
2（块）
0（块）
2（块）
4（块）
10(min)
5 (min)
￥6/块
￥5/块
LP
s.t.
max P 6 x 5 y
1000 2x 2 x 4 y 3000 10 x 5 y 6000 x0, y0