湖南省湘潭市2015届高三第三次模拟考试数学理试题 扫描版含答案
湖南省2015届高三高考仿真数学试题(理)含答案(PDF版)
!"#$届高考仿真试题 副卷科目 数学 理科试题卷策划 制作 湖南炎德文化实业有限公司注意事项#%答题前 考生务必将自己的姓名 准考证号写在答题卡和本试题卷的封面上 并认真核对答题卡条形码上的姓名 准考证号和科目!%选择题和非选择题均须在答题卡上作答 在本试题卷和草稿纸上答题无效 考生在答题卡上按如下要求答题# 选择题部分请按题号用!&铅笔填涂方框 修改时用橡皮擦干净 不留痕迹! 非选择题部分请按题号用"'$毫米黑色墨水签字笔书写 否则作答无效( 请勿折叠答题卡 保持字体工整 笔迹清晰 卡面清洁(%本试题卷共)页 如缺页 考生须及时报告监考老师 否则后果自负*%考试结束后 将本试题卷和答题卡一并交回 姓!!名!!!!!!!!!!准考证号!!!!!!!!!!祝你考试顺利绝密"启封并使用完毕前!"#$届高考仿真试题!副卷"数!学!理科"!!本试题卷包括选择题$填空题和解答题三部分%共)页'时量#!"分钟'满分#$"分'一$选择题#本大题共 小题%每小题 分%共 分!在每小题给出的四个选项中%只有一项是符合题目要求的!#!集合"+## #$)*)%$+## #!,(#%)*"%则"&$+-'(%*%)*$&'*%$%)*).'#('#$)*)/'#($#')*)!!下列命题中%真命题是-'(#"#%使得0#"$"&'123!#4!123#)(!#*%%%# ".'函数&!#"+!#,#!有两个零点/''%#%(%#是'(%#的充分不必要条件(!已知三棱柱的三视图如下图所示%其中俯视图为正三角形%则该三棱柱的体积为槡槡槡-'#!(&'!5(.'()(/')*!&!#"+"123! #4 "!"%"% %""在#+#处取最大值%则-'&!#,#"一定是奇函数&'&!#,#"一定是偶函数.'&!#4#"一定是奇函数/'&!#4#"一定是偶函数$!已知函数&!#"+671 #)%集合)+#%!%(%*%$%)%5%8%)*9%现从)中任取两个不同的元素*%+%则&!*"+&!+"+"的概率为-'$#!&'5#!.'5#8/'59)!运行如下图所示的程序框图%则输出的结果,为-'#""8&'!"#$.'#""5/',#""55!已知抛物线-#.!+*#%点/!*%""%0为坐标原点%若在抛物线-上存在一点1%使得+01/+9":%则实数*的取值范围是-'!*%8"&'!*%4;".'!"%*"/'!8%4;"8!设函数.+&!#"在 上有定义%对于任一给定的正数2%定义函数&2!#"+&!#"%&!#"$22%&!#"%,-.2%则称函数&2!#"为&!#"的,2界函数-若给定函数&!#"+#!,!#,#%2+!%则下列结论不成立的是-'&2.&!""/+&.&2!""/&'&2.&!#"/+&.&2!#"/.'&2.&2!!"/+&.&!!"//'&2.&2!("/+&.&!("/9!已知函数3!#"+',#!#0$#$0%0!"为自然对数的底数与4!#"+!<3#的图象上存在关于#轴对称的点%则实数'的取值范围是-'#%#0!./4!&'#%0!./,!.'#0!4!%0!./,!/'0!,!%4;./#"!如图%已知双曲线-##!'!,.!(!+#!'%"%(%""的右顶点为"%0为坐标原点%以"为圆心的圆与双曲线-的某渐近线交于两点/%1!若+/"1+)":且/001+(/00/%则双曲线-的离心率为-'槡!((&'槡5!.'槡(9)槡/'(二$填空题#本大题共 小题%考生作答 小题%每小题 分%共 分!把答案填在答题卡中对应题号后的横线上!!一"选做题!请考生在第##%#!%#(三题中任选两题作答%如果全做%则按前两题计分"##!如图%$5是半圆0的直径%"在$5的延长线上%"-与半圆相切于点6%"-1$-%若"5槡+!(%"6+)%则6-+!!!!!#!!在直角坐标系#0.中%以原点0为极点%#轴的正半轴为极轴建立极坐标系!若点/为直线 671 , 123 ,*+"上一点%点1为曲线#+7%.+#*7,-.!!7为参数"上一点%则2/12的最小值为!!!!!#(!已知函数&!#"+2#,%242#,!%2%若对任意的## %&!#")&!("+&!*"都成立%则%的取值范围为!!!!!!二"必做题!#* #)题"#*!设'+3"123#4671!"#=#%则二项式槡'#,#槡!"#)的展开式的常数项是!!!!!#$!如果实数'%(满足条件#'4(,!)"(,',#$"'$,-.#%则'4!(!'4(的最大值是!!!!!#)!平面向量 % % 满足2 2+#% + +#% + +!%2 , 2+!%则 + 的最小值为!!!!!三$解答题#本大题共 小题%共 分!解答应写出文字说明%证明过程或演算步骤!#5!!本题满分#!分"一个袋子装有大小形状完全相同的9个球%其中$个红球编号分别为#%!%(%*%$%*个白球编号分别为#%!%(%*%从袋中任意取出(个球!!#"求取出的(个球编号都不相同的概率'!!"记8为取出的(个球中编号的最小值%求8的分布列与数学期望!#8!!本题满分#!分"已知函数&!#"+*123#槡4!671#!*%""的最大值为!!!#"求函数&!#"在."%/上的单调递减区间'!!"4"$-中%&", !"*4&$, !"*槡+*)123"123$%角"$$$-所对的边分别是'$($9%且-+)":%9+(%求4"$-的面积!如图%在四棱锥/,"$-5中%/51平面"$-5%底面"$-5是菱形%+$"5+)":%0为"-与$5的交点%6为/$上任意一点!!#"证明#平面6"-1平面/$5'!!"若/55平面6"-%并且二面角$,"6,-的大小为*$:%求/5>"5的值!!"!!本题满分#(分"已知数列)'+*中%'#+#%'+4#+#('+4+%+为奇数%'+,(+%+为偶数,-.!!#"求证#数列'!+,)*(!是等比数列'!!"若,+是数列')*+的前+项和%求满足,+%"的所有正整数+!已知离心率为槡!!的椭圆#!'!4.!(!+#!'%(%""的右焦点;是圆!#,#"!4.!+#的圆心%过椭圆上的动点/作圆的两条切线分别交.轴于)%<!与/点不重合"两点!!#"求椭圆方程'!!"求线段)<长的最大值%并求此时点/的坐标!!!!!本题满分#(分"设函数&!#"+#<3#,'#!!#"若函数&!#"在!#%4;"上为减函数%求实数'的最小值'!!"若存在##%#!#.0%0!/%使&!##"$&=!#!"4'成立%求实数'的取值范围!#$%&届高考仿真试题!副卷"数学!理科"参考答案一#选择题题!号%#'(&)*+"%$答!案,-.-/-,,,,%$!$解析%双曲线的一条渐近线方程为"0#$%&右顶点&到双曲线"0#$%的距离为'0$#$#1#槡#0$#(&又")&*0)$2&所以圆&的半径#)�#槡''0#$#槡'(&又$%+*0'$%+)&#)�#)*#&所以#)*#0#)�#$#槡'(&#+)#0%##)*#0$#槡'(&#+*#0'$#槡'(&所以由圆的切割线定理知#+)# #+*#0#+&#!#$#槡'!"(#+#$#槡'!"(&即$###(#0#+&##!($###'(#&*$###'(#0$#&所以##(#0'*&%!$#(#0'*&(#$#0*(&,0($0槡*#!二#填空题%%!'!%#!槡'##!%'!'#&'(!%(!!%)$!%&!*&!%)!&($解析%由题意设 0!%&$"& 0!%&"%"& 0!#&"#"!所以 ! 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湖南省三湘名校高考数学三模试卷（理科）含答案解析
湖南省三湘名校联盟高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|3x+3＜1}，B={x|x2﹣4x﹣12＞0}，则（∁R A）∩B=（）A．[﹣3，﹣2）B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣3，﹣2）∪（6，+∞）D．（﹣3，﹣2）∪（6，+∞）2．已知命题p：△ABC中，若A＞B，则cosA＞cosB，则下列命题为真命题的是（）A．p的逆命题B．p的否命题C．p的逆否命题D．p的否定3．已知函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，则f（2）+f（）=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．24．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为1，输出n的值为N，则在区间[﹣1，4]上随机选取一个数M，M≥N﹣1的概率为（）A．B．C．D．5．欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i 表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．7．在（x2﹣4）（x+）9的展开式中x5的系数为（）A．36 B．﹣144 C．60 D．﹣608．如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（）A．B．4πC．πD．8π9．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p ≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）10．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项11．如图，抛物线y2=2px（p＞0）和圆x2+y2﹣px=0，直线l经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A，B，C，D四点，|AB|•|CD|=2则p的值为（）A． B．1 C．D．212．已知函数f（x）=ax3+（3﹣a）x在[﹣1，1]上的最大值为3，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，3]B．[﹣，12]C．[﹣3，3]D．[﹣3，12]二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=40，则a3•a8的最大值为．14．已知实数x，y满足，则z=ax+y的最小值为1，则a=．15．以40km/h向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3min后气球上升到1km处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度是km/h．16．已知平面向量，满足||=||=2，存在单位向量，使得（﹣）•（﹣）=0，则|﹣|的取值范围是．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）已知函数f（x）=sinωx﹣sin（ωx+）（ω＞0）．（1）若f（x）在[0，π]上的值域为[﹣，1]，求ω的取值范围；（2）若f（x）在[0，]上单调，且f（0）+f（）=0，求ω的值．18．（12分）为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：y=C1x2+C2与模型②：y=e作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．温度x/℃20222426283032产卵数y/个610212464113322t=x24004845766767849001024Z=lny 1.79 2.30 3.04 3.18 4.16 4.73 5.772669280 3.571157.540.430.320.00012其中t i=x i2，=，z i=lny i，=，附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=，α=﹣β．（1）分别画出y关于t的散点图、z关于x的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）．（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数．（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02）（3）若模型①、②的相关指数计算分别为R12=0.82，R22=0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．19．（12分）已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=4，AC=2A1C1=2，AA1=CC1=1，平面AA1B1B⊥平面AA1C1C．（1）求证：BB1⊥平面AA1C1C；（2）点D为AB上一点，二面角D﹣CC1﹣B的大小为30°，求BC与平面DCC1所成角的正弦值．20．（12分）一张半径为4的圆形纸片的圆心为F1，F2是圆内一个定点，且F1F2=2，P是圆上一个动点，把纸片折叠使得F2与P重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与半径PF1的交点为Q，当P在圆上运动时，则Q点的轨迹为曲线E，以F1F2所在直线x为轴，F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与x轴的交点为A1，A2（A1在A2左侧），与x轴不重合的动直线l过点F2且与E交于M、N两点（其中M在x轴上方），设直线A1M、A2N交于点T，求证：动点T恒在定直线l′上，并求l′的方程．21．（12分）已知函数f（x）=2xlnx﹣（x﹣a）2．（1）若f（x）在定义域上为单调递减函数，求函数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零点，若存在，求出满足a∈（n，n+1），n∈Z的n的值；若不存在，请说明理由．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知曲线（α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线C3：ρ=2sinθ．（l）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；（2）设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．五、选修4-5：不等式选讲23．（10分）已知函数f（x）=|2x﹣a|﹣|x﹣1|．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）存在x∈[0，2]时，使得不等式f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．湖南省三湘名校联盟高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．已知集合A={x|3x+3＜1}，B={x|x2﹣4x﹣12＞0}，则（∁R A）∩B=（）A．[﹣3，﹣2）B．（﹣∞，﹣3]C．[﹣3，﹣2）∪（6，+∞）D．（﹣3，﹣2）∪（6，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】先分别求出集合A，B，从而求出C R A，由此能求出（∁R A）∩B．【解答】解：∵集合A={x|3x+3＜1}={x|x＜﹣3}，B={x|x2﹣4x﹣12＞0}={x|x＜﹣2或x＞6}，∴C R A={x|x≥﹣3}，（∁R A）∩B=[﹣3，﹣2）∪（6，+∞）．故选：C．【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．2．已知命题p：△ABC中，若A＞B，则cosA＞cosB，则下列命题为真命题的是（）A．p的逆命题B．p的否命题C．p的逆否命题D．p的否定【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】判断命题p是假命题，得出它的否定是真命题．【解答】解：命题p：△ABC中，若A＞B，则cosA＞cosB，是假命题，所以它的否定是真命题，逆否命题是假命题，∴D正确、C错误；命题p的否命题是：△ABC中，若A≤B，则cosA≤cosB，是假命题，所以它的逆命题也是假命题，A、B错误．故选：D．【点评】本题考查了四种命题之间的关系与应用问题，是基础题．3．已知函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，则f（2）+f（）=（）A．1 B．﹣1 C．0 D．2【考点】函数的值．【分析】利用函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f（x）=log2x，求出相应函数值，即可得出结论．【解答】解：∵函数f（x）是定义在R上周期为4的奇函数，当0＜x＜2时，f （x）=log2x，∴f（2）=f（﹣2）=﹣f（2），∴f（2）=0，f（）=f（﹣）=﹣f（）=log22=1，∴f（2）+f（）=1，故选：A．【点评】本题考查函数值的计算，考查函数的奇偶性，比较基础．4．执行如图所示的程序框图，若输入x的值为1，输出n的值为N，则在区间[﹣1，4]上随机选取一个数M，M≥N﹣1的概率为（）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】计算循环中不等式的值，当不等式的值大于0时，不满足判断框的条件，退出循环，输出结果N，再以长度为测度求概率即可．【解答】解：第一次循环，1﹣4+3=0≤0，x=2，n=1；第二次循环，﹣1≤0，x=3，n=2；第三次循环，0≤0，x=4，n=3；第四次循环，3＞0，不满足条件，输出n=3，故N=3，则M≥2，故满足条件的概率p==，故选：B．【点评】本题考查循环结构的应用，注意循环的结果的计算，考查计算能力，考查概率的计算，确定N的值是关键．5．欧拉公式e ix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i 表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算；复数代数形式的混合运算．【分析】e2i=cos2+isin2，根据2∈，即可判断出．【解答】解：e2i=cos2+isin2，∵2∈，∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查了复数的欧拉公式、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．函数的图象大致是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先判断函数的奇偶性，再判断当﹣1＜x＜1时，得到y＞0，即可判断．【解答】解：y=f（﹣x）===f（x），且定义域为{x|x≠±1}∴f（x）为偶函数，当﹣1＜x＜1时，cosx＞0，ln|x|＜0，∴y＞0，故选：D【点评】本题考查了函数的图象的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值的变化趋势，属于基础题．7．在（x2﹣4）（x+）9的展开式中x5的系数为（）A．36 B．﹣144 C．60 D．﹣60【考点】二项式定理的应用．【分析】把（x+）9 按照二项式定理展开，即可求得（x2﹣4）（x+）9的展开式中x5的系数．【解答】解：∵（x2﹣4）（x+）9 =（x2﹣4）（•x9+•x7+x5+•x3+…+•x ﹣9），故展开式中x5的系数为﹣4=84﹣144=﹣60，故选：D．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．8．如图是一个四面体的三视图，三个正方形的边长均为2，则四面体外接球的体积为（）A．B．4πC．πD．8π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据题意可得它的外接球与原正方体是同一个，由此算出外接球的半径R，结合球的体积公式即可算出该几何体外接球的体积，得到答案．【解答】解：∵三视图中的三个四边形都是边长为2的正方形∴题中的几何体与正方体有相同的外接球∴该外接球的直径2R=2，得R=，因此，该几何体外接球的体积为V==4，故选B．【点评】本题给出由正方体切出的多面体，在已知它的三视图的情况求其外接球的体积．着重考查了三视图的理解、正方体的外接球和球体积公式等知识，属于中档题．9．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p （p ≠0），发球次数为X，若X的数学期望EX＞1.75，则p的取值范围是（）A．（0，）B．（，1）C．（0，）D．（，1）【考点】相互事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差．【分析】根据题意，首先求出X=1、2、3时的概率，进而可得EX的表达式，由题意EX＞1.75，可得p2﹣3p+3＞1.75，解可得p的范围，结合p的实际意义，对求得的范围可得答案．【解答】解：根据题意，学生发球次数为1即一次发球成功的概率为p，即P（X=1）=p，发球次数为2即二次发球成功的概率P（X=2）=p（1﹣p），发球次数为3的概率P（X=3）=（1﹣p）2，则Ex=p+2p（1﹣p）+3（1﹣p）2=p2﹣3p+3，依题意有EX＞1.75，则p2﹣3p+3＞1.75，解可得，p＞或p＜，结合p的实际意义，可得0＜p＜，即p∈（0，）故选C．【点评】本题考查期望的计算，注意解题的最后要结合概率的意义对求出的答案范围进行取舍．10．一个等比数列前三项的积为2，最后三项的积为4，且所有项的积为64，则该数列有（）A．13项B．12项C．11项D．10项【考点】等比数列的性质．【分析】先设数列的通项公式为a1q n﹣1，则前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得即a12q n﹣1=2，又根据所有项的积为64，进而求出n．【解答】解析：设数列的通项公式为a1q n﹣1则前三项分别为a1，a1q，a1q2，后三项分别为a1q n﹣3，a1q n﹣2，a1q n﹣1．∴前三项之积：a13q3=2，后三项之积：a13q3n﹣6=4两式相乘得：a16q3（n﹣1）=8，即a12q n﹣1=2又a1•a1q•a1q2…a1q n﹣1=64，∴=64，即（a12q n﹣1）n=642，∴2n=642，∴n=12故选B【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．11．如图，抛物线y2=2px（p＞0）和圆x2+y2﹣px=0，直线l经过抛物线的焦点，依次交抛物线与圆于A，B，C，D四点，|AB|•|CD|=2则p的值为（）A． B．1 C．D．2【考点】圆与圆锥曲线的综合．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，圆的圆心和半径，设A（x1，y1），D （x2，y2），讨论若直线的斜率不存在，则直线方程为x=，求出A，B，C，D 的坐标，求得AB，CD的长，解方程可得p；若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x﹣），代入抛物线的方程，运用韦达定理，结合抛物线的定义和圆的定义，可得p的方程，即可得到所求值．【解答】解：抛物线y2=2px焦点F（，0），准线方程为x=﹣，圆（x﹣）2+y2=p2的圆心是（，0）半径r=，设A（x1，y1），D（x2，y2），过抛物线y2=4px的焦点F的直线依次交抛物线及圆（x﹣）2+y2=p2于点A，B，C，D，A，D在抛物线上，B，C在圆上①．若直线的斜率不存在，则直线方程为x=，代入抛物线方程和圆的方程，可直接得到ABCD四个点的坐标为（，p），（，），（，﹣）（，﹣p），所以|AB|•|CD|=p•p=2，解得p=2；②．若直线的斜率存在，设为k，则直线方程为y=k（x﹣），因为直线过抛物线的焦点（，0），不妨设A（x1，y1），D（x2，y2），由抛物线的定义，|AF|=x1+，|DF|=x2+，把直线方程与抛物线方程联立，消去y可得k2x2﹣（pk2+2p）x+p2k2=0，由韦达定理有x1x2=p2，而抛物线的焦点F同时是已知圆的圆心，所以|BF|=|CF|=r=p，从而有|AB|=|AF|﹣|BF|=x1，|CD|=|DF|﹣|CF|=x2，由|AB|•|CD|=2，即有x1x2=2，由p2=2，解得p=2．故选：D．【点评】本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，属于中档题．12．已知函数f（x）=ax3+（3﹣a）x在[﹣1，1]上的最大值为3，则实数a的取值范围是（）A．[﹣，3]B．[﹣，12]C．[﹣3，3]D．[﹣3，12]【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；函数的最值及其几何意义．【分析】分析四个选项，可发现C，D选项中a可以取﹣3，故代入a=﹣3，可排除选项；再注意A、C选项，故将a=12代入验证即可；从而得到答案．【解答】解：当a=﹣3时，f（x）=﹣3x3+6x，x∈[﹣1，1]，y′=﹣9x2+6=0，可得x=±，x∈[﹣1，﹣），（，1]，y′＜0，函数是减函数，x=﹣1时，f（﹣1）=﹣3，f（x）极大值为：f（）=＞3，a=﹣3，不满足条件，故排除C，D．当a=12时，f（x）=12x3﹣9x，x∈[﹣1，1]，y′=36x2﹣9=0，可得x=±，x∈[﹣1，﹣），（，1]，y′＞0，函数是增函数，x=时，极大值为：=6＞3，排除B．故选：A．【点评】本题考查了函数的最值的求法及排除法的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=40，则a3•a8的最大值为16．【考点】等差数列的前n项和．【分析】利用等差数列的前n项和公式求出a3+a8=8，由此利用基本不等式的性质能求出a3•a8的最大值．【解答】解：∵正项等差数列{a n}的前n项和为S n，S10=40，∴，∴=16．∴当且仅当a3=a8时，a3•a8的最大值为64．故答案为：16．【点评】本题考查等差数列中两项积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质及基本等式的合理运用．14．已知实数x，y满足，则z=ax+y的最小值为1，则a=1．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，确定目标取最优解的条件，即可求出a的取值范围．【解答】解：作出不等式，对应的平面区域，由z=ax+y得y=﹣ax+z，若a=0，则y=z，此时z=ax+y的最小值为0，不满足条件．若a＞0，则y=﹣ax+z的斜率﹣a＜0．此时直线经过点B（1，0）时取得最小值1，此时a+0=1，解得a=1，满足条件．若a＜0，则y=﹣ax+z的斜率﹣a＞0．要是目标函数取得最小值1，则满足，此时不等式无解，不满足条件．综上：a=1，故答案为：1．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．根据条件目标函数z=ax+y的最小值为2，确定直线的位置是解决本题的关键．15．以40km/h向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3min后气球上升到1km处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度是20km/h．【考点】解三角形的实际应用．【分析】如图，船从A航行到C处，气球飘到D处．由题知，BD=1千米，AC=2千米，利用余弦定理求出AB，即可求气球的水平飘移速度．【解答】解：如图，船从A航行到C处，气球飘到D处．由题知，BD=1千米，AC=2千米，∵∠BCD=30°，∴BC=千米，设AB=x千米，∵∠BAC=90°﹣30°=60°，∴由余弦定理得22+x2﹣2×2xcos60°=（）2，∴x2﹣2x+1=0，∴x=1．∴气球水平飘移速度为=20（千米/时）．故答案为20．【点评】本题考查利用数学知识解决实际问题，考查学生的计算能力，属于中档题．16．已知平面向量，满足||=||=2，存在单位向量，使得（﹣）•（﹣）=0，则|﹣|的取值范围是[﹣1， +1] ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用已知条件求出向量+1=（+）•，两边取模，再由|（+）•|≤|+|，再两边平方，求得的范围，再求|﹣|的平方的范围，即可得到所求范围．【解答】解：∵（﹣）•（﹣）=0，∴+1=（+）•，两边取模可得|+1|=|（+）•|，而|（+）•|≤|+|，即有|+1|≤|+|，两边平方可得，（ +1）2≤（+）2，即为（）2≤2+2﹣1=4+4﹣1=7，即﹣≤≤，则|﹣|2=2+2﹣2，8﹣2=（﹣1）2≤|﹣|2≤8+2=（+1）2，即有﹣1≤|﹣|≤+1，故答案为：[﹣1， +1]．【点评】本题考查向量数量积的性质，向量的平方即为模的平方，考查转化思想和不等式的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共5小题，共70分）17．（12分）（•湖南三模）已知函数f（x）=sinωx﹣sin（ωx+）（ω＞0）．（1）若f（x）在[0，π]上的值域为[﹣，1]，求ω的取值范围；（2）若f（x）在[0，]上单调，且f（0）+f（）=0，求ω的值．【考点】三角函数的最值．【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用正弦函数的定义域、值域、单调性、周期性求得ω的取值范围．（2）利用正弦函数的单调性、周期性求得ω的取值范围，根据函数的一个对称中心为（，0），故有﹣=kπ，k∈Z，由此ω的值．【解答】解：（1）函数f（x）=sinωx﹣sin（ωx+）=sinωx﹣sinωxcos﹣cosωxsin=sinωx﹣cosωx=sin（ωx﹣），在[0，π]上，ωx﹣∈[﹣，ωπ﹣]，sin（ωx﹣）∈[﹣，1]，∴ωπ﹣∈[，]，ω∈[，]．（2）∵f（x）在[0，]上单调，∴﹣0≤=，∴0＜ω≤3．∵f（0）+f（）=0，∴f（）=0，故函数的一个对称中心为（，0），故有﹣=kπ，k∈Z，∴ω=2k+2，∴ω=2．【点评】本题主要考查正弦函数的定义域、值域、单调性、周期性以及图象的对称性，属于中档题．18．（12分）（•湖南三模）为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：y=C1x2+C2与模型②：y=e作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．温度x/℃20222426283032产卵数y/个610212464113322 t=x24004845766767849001024Z=lny 1.79 2.30 3.04 3.18 4.16 4.73 5.772669280 3.571157.540.430.320.00012其中t i=x i2，=，z i=lny i，=，附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=，α=﹣β．（1）分别画出y关于t的散点图、z关于x的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）．（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数．（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02）（3）若模型①、②的相关指数计算分别为R12=0.82，R22=0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．【考点】变量间的相关关系；用样本的频率分布估计总体分布．【分析】（1）画出y关于t的散点图和z关于x的散点图，结合图形判断模型②更适宜作为回归方程类型；（2）计算模型①的回归系数，写出回归方程，求出x=30时的值；计算模型②的回归系数，写出回归方程，求出x=30时的值即可；（3）根据＜判断模型②的拟合效果更好．【解答】解：（1）画出y关于t的散点图如图1，画出z关于x的散点图如图2；根据散点图可以判断模型②更适宜作为回归方程类型；（2）对于模型①，设t=x2，则y=C1x2+C2=C1t+C2，计算C1==0.43，C2=﹣C1=80﹣0.43×692=﹣217.56，∴所求回归方程为=0.43x2﹣217.56，当x=30时，估计温度为=0.43×302﹣217.56=169.44；对于模型②，设y=，则z=lny=C3x+C4，计算C3==0.32，C4=﹣C3=3.57﹣0.32×26=﹣4.75，∴所求回归方程为=0.32x﹣4.75，即=e0.32x﹣4.75；当x=30时，估计温度为=e0.32×30﹣4.75≈127.74；（3）∵R12=0.82，R22=0.96，∴＜，∴模型②的拟合效果更好．【点评】本题考查了散点图以及回归方程和相关指数的应用问题，也考查了分析与判断能力的应用问题，是综合性题目．19．（12分）（•湖南三模）已知三棱台ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=4，AC=2A1C1=2，AA1=CC1=1，平面AA1B1B⊥平面AA1C1C．（1）求证：BB1⊥平面AA1C1C；（2）点D为AB上一点，二面角D﹣CC1﹣B的大小为30°，求BC与平面DCC1所成角的正弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）延长AA1，BB1，CC1交于点O，证明OB⊥CO，OB⊥AO，即可证明BB1⊥平面AA1C1C（2）以O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建立坐标系O﹣xyz．，求出平面ODC、OBC的法向量，利用二面角D﹣CC1﹣B的大小为30°．确定点D的位置，再利用向量求BC与平面DCC1所成角θ的正弦值【解答】解：（1）延长AA1，BB1，CC1交于点O，∵AC=2A1C1=2，AA1=CC1=1，∴OA=OC=2，∴OA⊥OC；∵平面AA1B1B⊥平面AA1C1C．平面AA1B1B∩平面AA1C1C=OA．OC⊂平面AA1C1C，∴OC⊥平面AA1B1B，OB⊂平面AA1B1B，∴OB⊥OC，又∵△AOB≌△BOC，∴OB⊥OA，∵OA∩OC=O，∴BB1⊥平面AA1C1C；（2）∵AB=BC=4，由（1）知OA，OB，OC相互垂直，∴OB=2OB1=2，以O为原点，OA，OB，OC为x，y，z轴建立坐标系O﹣xyz．A1（1，0，0），A（2，0，0），B1（0，，0），B（0，2，0），C1（0，0，1），C（0，0，2）设，则，设平面ODC的法向量为，可取．是平面OBC的法向量，∵二面角D﹣CC1﹣B的大小为30°，∴|cos＜＞|=．所以点D为AB的中点，，∴BC与平面DCC1所成角θ的正弦值sinθ=|cos|=，【点评】本题考查了线面垂直的判定，向量法处理动点问题、线面角问题、面面角问题，属于中档题．20．（12分）（•湖南三模）一张半径为4的圆形纸片的圆心为F1，F2是圆内一个定点，且F1F2=2，P是圆上一个动点，把纸片折叠使得F2与P重合，然后抹平纸片，折痕为CD，设CD与半径PF1的交点为Q，当P在圆上运动时，则Q 点的轨迹为曲线E，以F1F2所在直线x为轴，F1F2的中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图．（1）求曲线E的方程；（2）曲线E与x轴的交点为A1，A2（A1在A2左侧），与x轴不重合的动直线l过点F2且与E交于M、N两点（其中M在x轴上方），设直线A1M、A2N交于点T，求证：动点T恒在定直线l′上，并求l′的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由题意可知：丨QF1丨+丨QF2丨=丨PF1丨＞R＞丨F1F2丨，由椭圆的定义及性质，即可求得曲线E的方程；（2）将直线方程代入椭圆方程，由韦达定理，利用直线的斜率公式，即可求得x T，即可求得l′的方程．【解答】解：（1）由题意CD垂直平分PF2，则丨QF1丨+丨QF2丨=丨QF1丨+丨QP丨=丨PF1丨＞R＞丨F1F2丨，∴Q的轨迹为以F1，F2为焦点，长轴长2a=4的椭圆，焦距2c=2，c=1，b2=a2﹣c2=3，∴动点Q的轨迹方程为：；（2）由A1（﹣2，0），A2（2，0），设直线l方程为x=my+1，M（x1，y1），N（x2，y2），T（x T，y T），由，整理得：（3m2+4）y2+6my﹣9=0，则y1+y2=﹣，y1y2=﹣，由M在x轴上方，y1＞0＞y2，则y1﹣y2==，则A1M，A2N的方程是y=（x+2），y=（x+2），x T====，=，==4，∴动点T恒在定直线l′上，直线l′的方程为：x=4【点评】本题考查椭圆的标准方程及椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，考查转化思想，属于中档题．21．（12分）（•湖南三模）已知函数f（x）=2xlnx﹣（x﹣a）2．（1）若f（x）在定义域上为单调递减函数，求函数a的取值范围；（2）是否存在实数a，使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零点，若存在，求出满足a∈（n，n+1），n∈Z的n的值；若不存在，请说明理由．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．【分析】（1）求导，由题意可知：f′（x）≤0恒成立，构造辅助函数，求导，利用函数的单调性与导数的关系，即可求得函数a的取值范围；（2）求导，当a≤0时，f（x）在[1，+∞）单调递减，则f（1）≤f（1）=﹣（x ﹣a）2＜0无零点，当a＞0时，构造辅助函数，求导，利用导数与函数单调性的关系及函数零点的判断，即可求得存在n=0即a∈（0，1），使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零点．【解答】解：（1）由已知，函数f（x）的定义域为（0，+∞），求导f′（x）=2（lnx﹣x+1+a），则f（x）在定义域上单调递减，则f′（x）≤0恒成立，则g（x）=f′（x）=2（lnx﹣x+1+a），则g′（x）=﹣2=，当x∈（0，1），g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x∈（1，+∞），g′（x）＜0，g（x）单调递减，即f′（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）单调递减，∴f′（x）≤f′（1）≤0，则a≤0，函数a的取值范围（﹣∞，0]；（2）当x∈（0，1），xlnx＜0，∴f（x）=2xlnx﹣（x﹣a）2＜0恒成立，当x∈（1，+∞），由（1）可知，f′（x）在[1，+∞）单调递减，①当a≤0时，由（1）可知，f（x）在[1，+∞）单调递减，则f（1）≤f（1）=﹣（x﹣a）2＜0，f（x）无零点，不符合题意；②当a＞0时，设p（x）=e x﹣2x，（x＞0），p′（x）=e x﹣2，则p（x）＞p（ln2）=2﹣lnx2＞0，∴f′（e a+1）=2（a+1）﹣e a+1＜0，由f′（1）＞0，∴存在x0∈（1，e a+1），使得f′（x0）=0，即a=x0﹣1﹣lnx0，①故当且仅当x∈（1，x0）时，f′（x0）＞0，当x∈（x0，+∞），f′（x0）＜0，∴f（x）在（1，x0）内单调递增，在（x0，+∞）内单调递减，由f（x）≤0恒成立，且f（x）有唯一的零点，∴f（x0）=2x0lnx0﹣（x0﹣a）2=0，②由①②可知：，③联立2x0lnx0﹣（x0﹣a）2=2x0lnx0﹣[x0﹣（x0﹣1﹣lnx0）]2=2x0lnx0﹣（1+lnx0）2，设φ（x）=2xlnx﹣（1+lnx）2，则φ（1）=1＞0，φ（e）=2（2﹣e）＜0，当且x≥1时，φ′（x）=2（lnx+1）（1﹣）≥0，则φ（x）在（1，e）上有唯一零点x0，即满足方程组③的x0唯一，且x0∈（1，e），设u（x）=x﹣1﹣lnx（x＞1），则u′（x）=1﹣≥0，则u（x）在（1，+∞）上单调递增，则0=u（1）＜a=u（x0）＜u（e）=e﹣2＜1，即满足方程组③的a∈（0，1），则n=0，综上所述，存在n=0即a∈（0，1），使得f（x）≤0恒成立且f（x）有唯一零点．【点评】本题考查导数的综合应用，导数与函数的单调性的关系，函数零点的判断，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题．四、选修4-4：坐标系与参数方程22．（10分）（•湖南三模）在直角坐标系xOy中，已知曲线（α为参数），在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，曲线C3：ρ=2sinθ．（l）求曲线C1与C2的交点M的直角坐标；（2）设点A，B分别为曲线C2，C3上的动点，求|AB|的最小值．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（l）求出曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程，联立方程组能求出曲线C1与C2的交点M的直角坐标．（2）曲线C3是以C（0，1）为圆心，半径r=1的圆，求出圆心C，点B到直线x+y+1=0的距离d，d'，由此能求出|AB|的最小值．【解答】解：（l）曲线，消去参数α，得：y+x2=1，x∈[﹣1，1]，①∵曲线，∴ρcosθ+ρsinθ+1=0，∴曲线C2：x+y+1=0，②，联立①②，消去y可得：x2﹣x﹣2=0，解得x=﹣1或x=2（舍去），∴M（﹣1，0）．…（2）曲线C3：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，∴曲线C3：x2+（y﹣1）2=1，是以C（0，1）为圆心，半径r=1的圆设圆心C，点B到直线x+y+1=0的距离分别为d，d'，则：，，∴|AB|的最小值为．…（10分）【点评】本题考查曲线的交点的直角坐标的求法，考查线段的最小值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．五、选修4-5：不等式选讲23．（10分）（•湖南三模）已知函数f（x）=|2x﹣a|﹣|x﹣1|．（1）当a=1时，求f（x）的最小值；（2）存在x∈[0，2]时，使得不等式f（x）≤0成立，求实数a的取值范围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【分析】（1）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|=，利用函数的单调性，即可求f（x）的最小值；（2）不等式f（x）≤0，可化为（3x﹣a﹣1）（x﹣a+1）≤0，分类讨论，即可求实数a的取值范围．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=|2x﹣1|﹣|x﹣1|=．∴f（x）在（﹣∞，]上单调递减，在[，+∞）上单调递增，∴x=时，f（x）取得最小值﹣；（2）不等式f（x）≤0，可化为（3x﹣a﹣1）（x﹣a+1）≤0．a=2时，f（x）≤0，即x=1∈[0，2]，符合题意；a＜2时，a﹣1＜，f（x）≤0的解集为[a﹣1，]，∴[a﹣1，]∩[0，2]≠∅，∴a﹣1≤2且≥0，∴﹣1≤a＜2；a＞2时，a﹣1＞，f（x）≤0的解集为[，a﹣1]，∴[，a﹣1]∩[0，2]≠∅，∴a﹣1≥0且≤2，∴2＜a≤5；综上所述﹣1≤a≤5．【点评】本题考查绝对值不等式，考查函数的单调性与最值，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．。
湖南省湘潭市2020届高三第三次模拟考试数学(理)试题含答案
科目：数学（理科）（试题卷）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名写在答题卡和本试题卷的封面上，并认真核对答题卡条形码上的姓名和相关信息．2．选择题和非选择题均须在答题卡上作答，在本试题卷和草稿纸上作答无效．考生在答题卡上按如下要求答题：（1）选择题部分请按题号用2B 铅笔填涂方框，修改时用橡皮擦干净，不留痕迹． （2）非选择题部分请按题号用0.5毫米黑色墨水签字笔书写． （3）请勿折叠答题卡．保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁．3．本试题卷共4页．如缺页，考生须及时报告监考老师，否则后果自负． 4．考试结束后，将答题卡交回．姓名_________________ 准考证号______________祝你考试顺利！2020届高三模拟考试数学（理科）本试题卷分为第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分，共23小题，时量120分钟，满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{|10}A x x =-…，{}2|20B x x x =--<，则A B ⋂=（ ） A ．[1,2)B ．(1,1]-C ．(1,1)-D ．(2,1]-2．计算4312ii-=-（ ） A ．2i +B ．2i --C ．12i --D ．12i -+3．已知直线a ∥平面α，则“平面α⊥平面β”是“直线a ⊥平面β”的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足236n n S a =-，则6a =（ ） A ．623⨯B ．723⨯C ．662⨯D ．762⨯5．下表是鞋子的长度与对应码数的关系． 长度()cm 25 25.5 26 26.5 27 27.5 码数404142434445如果人的身高()y cm 与脚板长()x cm 呈线性相关且回归直线方程为ˆ77.6yx =-．若某人的身高为180cm ，据此模型，估计其穿的鞋子的码数为（ ） A ．42B ．43C ．44D ．456．已知实数x ，y 满足约束条件20,250,1,x y x y y -+⎧⎪+-≤⎨⎪⎩……则3y z x=+的最大值为（ ）A ．35 B ．45 C ．34 D ．327．更相减损术出自《九章算术》，它原本是为约分而设计的，原文如下：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之．如图所示的程序框图的算法思路就源于“更相减损术”若执行该程序框图，则输出的a 的值为（ ）A ．14B ．12C ．7D ．68．已知向量a r ，b r 是两个夹角为3π的单位向量，且35OA a b =+u u u r r r ，47OB a b =+u u u r r r ，OC a mb =+u u u r r r ，若A ，B ，C 三点共线，则OA OC ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．12B ．14C ．16D ．189．函数(||1)ln ||y x x =-的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在[,2](0)x a a ∈<上的最大值为1且单调递增，则2a -的最大值为（ ） A ．6B ．7C ．9D ．811．在直角坐标系xOy 中，1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，位于第一象限上的点()00,P x y 是双曲线C 上的一点，满足120PF PF ⋅=u u u r u u u r，若点P 的纵坐标0y 的取值范围是24,35c c ⎛⎫⎪⎝⎭，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ） A ．2,2) B ．(2,4) C ．(3,5)D ．3,5)12．已知对任意实数x 都有()3()xf x e f x '=+，(0)1f =-，若不等式()(2)f x a x <-（其中1a <）的解集中恰有两个整数，则a 的取值范围是（ ） A ．41,32e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ B ．4,13e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．274,43e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．271,42e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．若直线240x y m ++=经过抛物线22y x =的焦点，则m =________．14．51x x ⎫⎪⎭的展开式中x 的系数为________．15．已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，且1S ，2S ，4S 成等比数列．令11n n n b a a +=，则数列{}n b 的前50项和50T =_________．16．在三棱锥P ABC -中，5PC =，底面ABC △是以C 为直角顶点的直角三角形，且5BC =，12AC =，点P 到ABC △三边的距离相等，且点P 在平面ABC 上的射影落在ABC △内，则CP 与平面ABC 所成角的正切值为________．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分．17．如图，已知四棱锥P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 为矩形，3AB =，4AP =，E 为PD 的中点，AE PC ⊥．（1）求线段AD 的长（2）若M 为线段BC 上一点，且1BM =，求二面角M PD A --的余弦值． 18．ABC△的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知cos2cos22sin sin 1cos2A B A B C ++=+．（1）求角C ．（2）设D 为边AB 的中点，ABC △的面积为2，求2CD 的最小值．19．高三年级某班50名学生的期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，成绩分组区间为[80,90)，[90,100)，[100,110)，[110,120)，[120,130)，[130,140)，[140,150]，其中,,a b c 成等差数列且2c a =．物理成绩统计如下表．（说明：数学满分150分，物理满分100分）分组 [50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数6920105（1）根据频率分布直方图，请估计数学成绩的平均分； （2）根据物理成绩统计表，请估计物理成绩的中位数；（3）若数学成绩不低于140分的为“优”，物理成绩不低于90分的为“优”，已知本班中至少有一科为“优”的同学共有6人，从这6人中随机抽取3人，记X 为抽到两科为“优”的学生人数，求X 的分布列和数学期望．20．椭圆2222:1(1)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，椭圆E 上两动点P ，Q 使得四边形12PFQF 为平行四边形，且平行四边形12PFQF 的周长和最大面积分别为8和3 （1）求椭圆E 的标准方程；（2）设直线2PF 与椭圆E 的另一交点为M ，当点1F 在以线段PM 为直径的圆上时，求直线2PF 的方程．21．已知函数2()2ln 2(0)f x x x ax a =+->． （1）讨论函数()f x 的单调区间；（2）若()f x 存在两个极值点1x ，2x ，证明：()()1212f x f x a x x ->--．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．[选修4-4：坐标系与参数方程]已知在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2,1x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线1C 的方程为220x y x +-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （1）求直线l 和曲线1C 的极坐标系方程； （2）曲线2:0,02C πθαρα⎛⎫=><< ⎪⎝⎭分别交直线l 和曲线1C 于M ，N ，求3||||ON OM +的最大值．23．[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()|1|f x x =+．（1）求不等式()|2|f x x x +>-的解集；（2）设函数()(3)y f x f x =+-的最小值为m ，已知222a b c m ++=，求ab bc +的最大值．2020届高三模拟考试 数学参考答案（理科）1．B 由题意{|10}{|1}A x x x x =-=厔，{|12}B x x =-<<，则(1,1]A B ⋂=-． 2．A 由复数的运算法则可得43(43)(12)105212(12)(12)5i i i i i i i i --++===+--+． 3．B 若直线a ∥平面α，平面α⊥平面β，此时直线β与平面β可能平行、相交或a β⊂，所以充分性不成立；若直线a ∥平面α，直线a ⊥平面β，则平面α⊥平面β，所以必要性成立，故选B ．4．A 由已知236n n S a =-，可得11236n n S a ++=-．两式相减得11233n n n a a a ++=-，即13n n a a +=．∵11236S a =-∴16a =，∴{}n a 是首项为6，公比为3的等比数列，从而5666323a =⨯=⨯．5．C 由77.6180x -=，解得26.8x =，所以脚板长为26.8()cm ，查表得，穿的鞋子的码数应为44．6．C 根据约束条件20,250,1,x y x y y -+⎧⎪+-⎨⎪≥⎩…„，画出可行域图中阴影部分为可行域．目标函数3yz x =+，表示可行城中的点(,)x y 与(3,0)-连线的斜率，由图可知点(1,3)P 与(3,0)-连线的斜率最大，故z 的最大值为34．7．A 196,126,1a b i ===；98,63,2;986335;633528a b i a b ====-==-=； 35287;28721;21714;1477a b b b =-==-==-==-=． 2a a =⨯，输出14a =．8．A 由,,A B C 三点共线，得(1)(4)(72)OC xOA x OB x a x b =+-=-+-u u u r u u u r u u u r r r，故41,72,x x m -=⎧⎨-=⎩解得1m =，则22(35)()38512OA OC a b a b a a b b ⋅=+⋅+=+⋅+=u u u r u u u r r r r r r r r r ． 9．C 由题易知函数(||1)ln ||y x x =-为偶函数，排除A 选项；当01x <<时，ln ||0,||10x x <-<，所以(||1)ln ||0y x x =->，排除B 选项；当1x >时，(1)ln y x x =-，1ln 0x y x x-'=+>，所以函数(||1)ln ||y x x =-在(1,)+∞上单调递增，排除D 选项． 10．D 由题意可知，[,2],22a ππωω⎡⎤⊆-⎢⎥⎣⎦，(2)2sin 21f ω==，26πω=，12πω=，则min 6a =-，max (2)8a -=．11．D 由120PF PF ⋅=u u u r u u u r ，可得222000x c y -+=，又2200221x y a b -=，解得4202b y c=，由于024,35y c c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以222435b c <<，即2214135e <-<，211153e <<，解得35e <<．12．C 由()3()xf x e f x '=+，(0)1f =-，解得()(31)xf x x e =-， 故()(32)x f x x e '=+，()f x 在23x =-处取得极小值．根据图象，欲使解集中恰有两个整数，则比较点(2,0)与四个点(1,2)e ，(0,1)-，41,e ⎛⎫--⎪⎝⎭，272,e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭连线的斜率，由27412432e e e -<<<，可得274,43a e e ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭． 13．12-22y x =可化为212x y =，焦点坐标为10,8⎛⎫ ⎪⎝⎭，故12m =-． 14．5- 二项式51x x ⎫⎪⎭的展开通项为53521551()(1)kkk k k kk T C x C x x --+⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，当1k =时，1125(1)5T C x x =-=-，所以x 的系数为5-． 15．50101 因为11S a =，2112122222S a a ⨯=+⨯=+，41143424122S a a ⨯=+⨯=+，由题意得()()211122412a a a +=+，解得11a =，所以21n a n =-，则1111(21)(21)22121n b n n n n ⎛⎫==- ⎪-+-+⎝⎭，则501111111150 123355799101101T⎛⎫=-+-+-+⋯+-=⎪⎝⎭．16．344如图，设点P在平面ABC上的射影为点O，因为点P到ABC△三边的距离相等，则点O到ABC△三边的距离相等，又点P在平面ABC上的射影落在ABC△内，所以点O为ABC△的内心．设ABC△的内切圆与直角边BC，AC分别相切于E，D，易知四边形OECD是正方形．因为AC BC⊥，且5BC=，12AC=，所以13AB=，则ABC△的内切圆半径5121322OE OD+-===，所以22OC=PO⊥平面ABC，所以PCO∠为CP与平面ABC所成的角．因为5PC=，所以225(22)17PO=-=以CP与平面ABC所成角的正切值为1734422POOC==．17．解：（1）分别以,,AB AP AD所在直线为,,x y z轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz-．设AD t=，则(0,0,0),0,2,,(3,0,),(0,4,0)2tA E C t P⎛⎫⎪⎝⎭．所以0,2,2tAE⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，(3,4,)PC t=-u u u r．因为AE PC⊥，所以0AE PC⋅=u u u r u u u r，即2160t-=，解得4t=，所以AD的长为4．（2）因为1BM=，所以(3,0,1)M，又(0,4,0)P，(0,0,4)D，故(0,4,4)DP =-u u u r ，(3,0,3)DM =-u u u u r．设(,,)n x y z =r 为平面DMP 的法向量，则,,n DP n DM ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩r u u u rr u u u u r ，即440,330,y z x z -=⎧⎨-=⎩ 取1z =，解得1y =，1x =，所以(1,1,1)n =r为平面DMP 的一个法向量． 显然，(3,0,0)AB =u u u r为平面PDA 的一个法向量，则3cos,3||||3111n AB n AB n AB ⋅〈〉===++r u u u rr u u u r r u u u r ， 据图可知，二面角M PD A --的余弦值为3．18．解：（1）由已知可得22212sin 12sin 2sin sin 112sin A B A B C -+-+=+-， 得222ab a b c =+-，所以2221cos 22a b c C ab +-==，所以3C π=． （2）由1sin 2ABC S ab C =△，即1322ab =，所以83ab =．由1()2CD CA CB =+u u u r u u r u u u r ，所以()222124CD CA CB CA CB =++⋅u u u r u u r u u u r u u r u u u r ， 则()()222221112cos (2)23444CD b a ab C b a ab ab ab =++=+++=u u u r …当且仅当a b=时取等号，所以2CD的最小值为19．解：（1）根据频率分布直方图得(20.0240.0200.004)101a b c +++++⨯=， 又2,2a c b c a +==，解得0.008a =，0.012b =，0.016c =，故数学成绩的平均分850.04950.121050.161150.21250.241350.161450.08117.8x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（分）．（2）总人数为50，由物理成绩统计表知，中位数在区间[70,80)内，所以物理成绩的中位数约为75分．（3）数学成绩为“优”的同学有4人，物理成绩为“优”的有5人，因为至少有一科为“优”的同学共有6名，所以两科均为“优”的人数为3，故X 的可能取值为0，1，2，3．3336C 1(0)C 20P X ===， 123336C C 9(1)C 20P X ===， 213336C C 9(2)C 20P X === 3336C 1(3)C 20P X ===． 所以X 的分布列为X0 1 2 3 P 120 920 920 120 199130123202020202EX =⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．解：（1）由平行四边形12PFQF 的周长为8，可知48a =，即2a =．由平行四边形的最大面积为23，可知3bc =， 又1a b >>，解得3b =，1c =．所以椭圆方程为22143x y +=． （2）注意到直线2PF 的斜率不为0，且过定点2(1,0)F ．设2:1PF l x my =+，()11,P x y ，()22,M x y ，由221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩消x 得()2234690m y my ++-=， 所以1221226,349.34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩因为()1112,F P my y =+u u u r ，()1222,F M my y =+u u u u r ，所以()()()()2111212121222124F P F M my my y y m y y m y y ⋅=+++=++++u u u r u u u u r()2222229112794343434m m m m m m +-=--+=+++． 因为点1F 在以线段PM 为直径的圆上，所以110F P F M ⋅=u u u r u u u u r ，即73m =±， 所以直线2PF 的方程3730x y +-=或3730x y --=．21．（1）解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞，()221()x ax f x x -+'=，令210x ax -+=，则24a ∆=-．①当02a <„时，0∆„，()0f x '…恒成立，函数的()f x 单调递增区间为(0,)+∞．②当2a >时，0∆>，方程210x ax -+=有两根，12a x -=22a x +=， 当()10,x x ∈时，()0f x '>；当()12,x x x ∈时，()0f x '<；当()2,x x ∈+∞，()0f x '>．()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭、⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭． （2）证明：由（1）知，当2a >时，()f x 存在两个极值点1x ，2x ，函数()f x 在()12,x x 上单调递减，则12x x a +=，121x x =，不妨设12x x <，则21x >．由于()()()()221212121212122ln ln 2f x f x x x x x a x x x x x x --+---=-- ()()()121212122ln ln 2x x x x x x a x x -+-+-=- ()12212122ln ln 4ln x x x a a x x x x --=-=---， 且122,1x x x <>，所以()()12212124ln 0f x f x x a x x x x --+=>--， 则()()1212f x f x a x x ->--． 22．解：（1）由题可知直线l 的普通方程为30x y +-=，直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=．曲线1C 的普通方程为22x y x +=，因为cos ,sin x y ρθρθ==，所以1C 的极坐标方程为cos ρθ=．（2）直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=，令θα=， 则3||cos sin OM ραα==+，所以3cos sin ||OM αα=+． 又||cos ON α=，所以3||sin 2cos )(tan 2)||ON OM αααϕϕ+=+=+=，因为02πα<<，则3||||ON OM +． 23．解：（1）由已知不等式()|2|f x x x +>-，得|2||1|x x x -<++， 当2x ≥时，不等式为21x x x -<++，解得3x >-，所以2x ≥；当12x -<<时，不等式为21x x x -<++，解得13x >，所以123x <<； 当1x -„时，不等式为21x x x -<--，解得3x >，此时无解． 综上，原不等式的解集为1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）因为()(3)|1||2||12|3f x f x x x x x +-=++-+-+=…， 所以2223a b c ++=，又222222222b b a b c a c ++=++++，则2ab bc +„，所以ab bc +的最大值为2．。
2015年高三三模试卷理科数学附答案
O ππ3π6112015年高三三模试卷理科数学一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.)1、设复数11221,2,z z i z ai z =+=+若为纯虚数，则实数a =（ ）A ．-2B ．2C ．-1D ．12、 已知命题x x R x p lg 2,:>-∈∃，命题:1,ln(1)x q x e x ∀>->+，则（ ） A.命题q p ∨是假命题 B.命题q p ∧是真命题 C.命题)(q p ⌝∧是真命题 D.命题)(q p ⌝∨是假命题3、已知某随机变量X 的概率密度函数为P (x )=⎩⎨⎧>≤-0,0,0x e x x ,则随机变量X 在区间(1,2)内的概率为( )A ．e 2+eB ．21e e + C ．e 2-e D ．21ee - 4．下列命题中正确的是（ ）A.如果两条直线都平行于同一个平面，那么这两条直线互相平行B.过已知平面的一条斜线有且只有一个平面与已知平面垂直C.平面α不垂直平面β，但平面α内存在直线垂直于平面βD.若直线l 不垂直于平面α，则在平面α内不存在与l 垂直的直线 5．设0>ω，函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后，得到下面的图像，则ϕω,的值为（ ）（A ）32,1πϕω== （B ）32,2πϕω== （C ）3,1πϕω-== （D ）3,2πϕω-==6、ABCDEF 6个同学和1个数学老师站成一排合影留念，数学老师穿白色文化衫，A,B 和C,D 同学分别穿着白色和黑色文化衫，E 和F 分别穿着红色和橙色的文化衫.若老师站中间，穿着白色文化衫的不相邻，则不同的站法种数为( )A.72B.192C. 112D.1607、 设函数)(x f 的导函数为)(x f '，对任意∈x R 都有)()(x f x f >'成立，则（ ）A ．3(ln 2)2(ln3)f f > B.3(ln 2)2(ln 3)f f =C ．3(ln 2)2(ln3)f f < D.3(ln 2)2(ln3)f f 与的大小不确定8、过双曲线2222x y a b-=1（a >0，b >0）的左焦点F 引圆x 2+y 2=a 2的切线，切点为T ，延长FT 交双曲线右支于点P ，若T 为线段FP 的中点，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．x ±y =0B ．2x ±y =0C ．4x ±y =0D ．x ±2y =09、已知,40,tan 12sin sin 22πθθθθ<<=++k 则)4sin(πθ-的值( ) A ．随着k 的增大而增大 B ．有时随着k 的增大而增大，有时随着k 的增大而减小 C ．随着k 的增大而减小 D ．是一个与k 无关的常数10、已知符号函数1,0sgn()0,01,0x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数1()sgn(ln )(23)x f x x -=--的零点个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.411、平面α、β、γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β、γ的距离都是3，P 是α内的动点，P 到β的距离是到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是( ) A ． 3－ 3B ．3+ 3C ．1D ．312、定义在R 上的函数)(x f y = 是增函数，且函数)3(-=x f y 的图像关于（3，0）成中心对称，若t s ,满足不等式22(2)(2)0f s s f t t -+-≥，则当14s ≤≤时，3t s +的取值范围是( ) A ．]10,2[- B ．[4，16] C ．]10,4[ D ．]16,2[-第II 卷二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分).13、右面程序框图中，已知f 0(x)=xe x ，则输出的结果是___ __；14、已知{x 1, x 2, x3, x 4}⊆{x >0|(x -3)sinπx =1}, 则x 1+x 2+x 3+x 4的最小值为___ __；15、ABC ∆内接于以O 为圆心，1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则该ABC ∆的面积___ __；16、某几何体的三视图如图，若该几何体的各顶点都在一个球面上，则此球的表面积为___ __；（2sin aR A=，其中R 为三角形外接圆半径）三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 17、（本小题满分12分）在各项均为正数的等比数列{}n a 中, 已知3212+=a a , 且23a ,4a ,35a 成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设n n a b 3log =,求数列{}n n b a 的前n 项和n S ．18.（本小题满分12分）已知某几何体直观图和三视图如下图所示，其正视图为矩形，侧视图为等腰直角三角形，俯视图为直角梯形，60°3388主视图侧视图（1）求证：BN 11C B N ⊥平面； （2）11sin C N CNB θθ设为直线与平面所成的角,求的值； （3）设M 为AB 中点，在BC 边上找一点P ，使MP //平面1CNB 并求BPPC的值 19、（本小题满分12分）一个盒子装有六张卡片，上面分别写着如下六个函数：31()f x x =,2()5xf x =,3()2f x =，421()21x xf x -=+，5()sin()2f x x π=+，6()cos f x x x =. （Ⅰ）从中任意拿取2张卡片，若其中有一张卡片上写着的函数为奇函数。
2015年湖南省高考数学试卷(理科)及答案
2015年湖南省高考数学试卷（理科）一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i2．（5分）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．4．（5分）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．25．（5分）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数6．（5分）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣67．（5分）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．47728．（5分）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．99．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．10．（5分）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（x﹣1）dx=．12．（5分）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是．13．（5分）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．14．（5分）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=．15．（5分）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是．三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．选修4-5：不等式选讲18．设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．20．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．21．如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．22．（13分）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．2015年湖南省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题，共10小题，每小题5分，共50分1．（5分）（2015•湖南）已知=1+i（i为虚数单位），则复数z=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得z的值．【解答】解：∵已知=1+i（i为虚数单位），∴z===﹣1﹣i，故选：D．2．（5分）（2015•湖南）设A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】直接利用两个集合的交集，判断两个集合的关系，判断充要条件即可．【解答】解：A、B是两个集合，则“A∩B=A”可得“A⊆B”，“A⊆B”，可得“A∩B=A”．所以A、B是两个集合，则“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件．故选：C．3．（5分）（2015•湖南）执行如图所示的程序框图，如果输入n=3，则输出的S=（）A．B．C．D．【分析】列出循环过程中S与i的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：判断前i=1，n=3，s=0，第1次循环，S=，i=2，第2次循环，S=，i=3，第3次循环，S=，i=4，此时，i＞n，满足判断框的条件，结束循环，输出结果：S===故选：B4．（5分）（2015•湖南）若变量x、y满足约束条件，则z=3x﹣y的最小值为（）A．﹣7 B．﹣1 C．1 D．2【分析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，最优解为A，联立，解得C（0，﹣1）．由解得A（﹣2，1），由，解得B（1，1）∴z=3x﹣y的最小值为3×（﹣2）﹣1=﹣7．故选：A．5．（5分）（2015•湖南）设函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），则f（x）是（）A．奇函数，且在（0，1）上是增函数B．奇函数，且在（0，1）上是减函数C．偶函数，且在（0，1）上是增函数D．偶函数，且在（0，1）上是减函数【分析】求出好的定义域，判断函数的奇偶性，以及函数的单调性推出结果即可．【解答】解：函数f（x）=ln（1+x）﹣ln（1﹣x），函数的定义域为（﹣1，1），函数f（﹣x）=ln（1﹣x）﹣ln（1+x）=﹣[ln（1+x）﹣ln（1﹣x）]=﹣f（x），所以函数是奇函数．排除C，D，正确结果在A，B，只需判断特殊值的大小，即可推出选项，x=0时，f（0）=0；x=时，f（）=ln（1+）﹣ln（1﹣）=ln3＞1，显然f（0）＜f（），函数是增函数，所以B错误，A正确．故选：A．6．（5分）（2015•湖南）已知（﹣）5的展开式中含x的项的系数为30，则a=（）A．B．﹣C．6 D．﹣6【分析】根据所给的二项式，利用二项展开式的通项公式写出第r+1项，整理成最简形式，令x的指数为求得r，再代入系数求出结果．【解答】解：根据所给的二项式写出展开式的通项，T r+1==；展开式中含x的项的系数为30，∴，∴r=1，并且，解得a=﹣6．故选：D．7．（5分）（2015•湖南）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C为正态分布N（0，1）的密度曲线）的点的个数的估计值为（）附“若X﹣N=（μ，a2），则P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826．p（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544．A．2386 B．2718 C．3413 D．4772【分析】求出P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，即可得出结论．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）=×0.6826=0.3413，∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413，故选：C．8．（5分）（2015•湖南）已知A，B，C在圆x2+y2=1上运动，且AB⊥BC，若点P 的坐标为（2，0），则||的最大值为（）A．6 B．7 C．8 D．9【分析】由题意，AC为直径，所以||=|2+|．B为（﹣1，0）时，|2+|≤7，即可得出结论．【解答】解：由题意，AC为直径，所以||=|2+|所以B为（﹣1，0）时，|2+|≤7．所以||的最大值为7．故选：B．9．（5分）（2015•湖南）将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，有|x1﹣x2|min=，则φ=（）A． B．C．D．【分析】利用三角函数的最值，求出自变量x1，x2的值，然后判断选项即可．【解答】解：因为将函数f（x）=sin2x的周期为π，函数的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的可知，两个函数的最大值与最小值的差为2，有|x1﹣x2|min=，不妨x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最小值，sin（2×﹣2φ）=﹣1，此时φ=，不合题意，x1=，x2=，即g（x）在x2=，取得最大值，sin（2×﹣2φ）=1，此时φ=，满足题意．故选：D．10．（5分）（2015•湖南）某工件的三视图如图所示．现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率=）（）A． B． C．D．【分析】根据三视图可判断其为圆锥，底面半径为1，高为2，求解体积．利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形，高为x，利用轴截面的图形可判断得出n=（1﹣），0＜x＜2，求解体积式子，利用导数求解即可，最后利用几何概率求解即．【解答】解：根据三视图可判断其为圆锥，∵底面半径为1，高为2，∴V=×2=∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，∴此长方体底面边长为n的正方形，高为x，∴根据轴截面图得出：=，解得；n=（1﹣），0＜x＜2，∴长方体的体积Ω=2（1﹣）2x，Ω′=x2﹣4x+2，∵，Ω′=x2﹣4x+2=0，x=，x=2，∴可判断（0，）单调递增，（，2）单调递减，Ω最大值=2（1﹣）2×=，∴原工件材料的利用率为=×=，故选：A二、填空题，共5小题，每小题5分，共25分11．（5分）（2015•湖南）（x﹣1）dx=0．【分析】求出被积函数的原函数，代入上限和下限求值．【解答】解：（x﹣1）dx=（﹣x）|=0；故答案为：0．12．（5分）（2015•湖南）在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示．若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号，再用系统抽样方法从中抽取7人，则其中成绩在区间[139，151]上的运动员人数是4．【分析】根据茎叶图中的数据，结合系统抽样方法的特征，即可求出正确的结论．【解答】解：根据茎叶图中的数据，得；成绩在区间[139，151]上的运动员人数是20，用系统抽样方法从35人中抽取7人，成绩在区间[139，151]上的运动员应抽取7×=4（人）．故答案为：4．13．（5分）（2015•湖南）设F是双曲线C：﹣=1的一个焦点．若C上存在点P，使线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为．【分析】设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将中点M的坐标代入双曲线方程，结合离心率公式，计算即可得到．【解答】解：设F（c，0），P（m，n），（m＜0），设PF的中点为M（0，b），即有m=﹣c，n=2b，将点（﹣c，2b）代入双曲线方程可得，﹣=1，可得e2==5，解得e=．故答案为：．14．（5分）（2015•湖南）设S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，则a n=3n﹣1．【分析】利用已知条件列出方程求出公比，然后求解等比数列的通项公式．【解答】解：设等比数列的公比为q，S n为等比数列{a n}的前n项和，若a1=1，且3S1，2S2，S3成等差数列，可得4S2=S3+3S1，a1=1，即4（1+q）=1+q+q2+3，q=3．∴a n=3n﹣1．故答案为：3n﹣1．15．（5分）（2015•湖南）已知函数f（x）=若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则a的取值范围是{a|a＜0或a＞1} ．【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点，∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由x3=x2可得，x=0或x=1①当a＞1时，函数f（x）的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故a＞1满足题意②当a=1时，由于函数f（x）在定义域R上单调递增，故不符合题意③当0＜a＜1时，函数f（x）单调递增，故不符合题意④a=0时，f（x）单调递增，故不符合题意⑤当a＜0时，函数y=f（x）的图象如图所示，此时存在b使得，y=f（x）与y=b 有两个交点综上可得，a＜0或a＞1故答案为：{a|a＜0或a＞1}三、简答题，共1小题，共75分，16、17、18为选修题，任选两小题作答，如果全做，则按前两题计分选修4-1：几何证明选讲16．（6分）（2015•湖南）如图，在⊙O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F，证明：（1）∠MEN+∠NOM=180°（2）FE•FN=FM•FO．【分析】（1）证明O，M，E，N四点共圆，即可证明∠MEN+∠NOM=180°（2）证明△FEM∽△FON，即可证明FE•FN=FM•FO．【解答】证明：（1）∵N为CD的中点，∴ON⊥CD，∵M为AB的中点，∴OM⊥AB，在四边形OMEN中，∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°，∴O，M，E，N四点共圆，∴∠MEN+∠NOM=180°（2）在△FEM与△FON中，∠F=∠F，∠FME=∠FNO=90°，∴△FEM∽△FON，∴=∴FE•FN=FM•FO．选修4-4：坐标系与方程17．（6分）（2015•湖南）已知直线l：（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ．（1）将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程；（2）设点M的直角坐标为（5，），直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|•|MB|的值．【分析】（1）曲线的极坐标方程即ρ2=2ρcosθ，根据极坐标和直角坐标的互化公式得x2+y2=2x，即得它的直角坐标方程；（2）直线l的方程化为普通方程，利用切割线定理可得结论．【解答】解：（1）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，故它的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1；（2）直线l：（t为参数），普通方程为，（5，）在直线l上，过点M作圆的切线，切点为T，则|MT|2=（5﹣1）2+3﹣1=18，由切割线定理，可得|MT|2=|MA|•|MB|=18．选修4-5：不等式选讲18．（2015•湖南）设a＞0，b＞0，且a+b=+．证明：（ⅰ）a+b≥2；（ⅱ）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【分析】（ⅰ）由a＞0，b＞0，结合条件可得ab=1，再由基本不等式，即可得证；（ⅱ）运用反证法证明．假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．结合条件a＞0，b＞0，以及二次不等式的解法，可得0＜a＜1，且0＜b＜1，这与ab=1矛盾，即可得证．【解答】证明：（ⅰ）由a＞0，b＞0，则a+b=+=，由于a+b＞0，则ab=1，即有a+b≥2=2，当且仅当a=b取得等号．则a+b≥2；（ⅱ）假设a2+a＜2与b2+b＜2可能同时成立．由a2+a＜2及a＞0，可得0＜a＜1，由b2+b＜2及b＞0，可得0＜b＜1，这与ab=1矛盾．a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．（Ⅰ）证明：B﹣A=；（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．【解答】解：（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）又B为钝角，∴+A∈（，π），∴B=+A，∴B﹣A=；（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A=﹣2（sinA﹣）2+，∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤∴sinA+sinC的取值范围为（，]20．（2015•湖南）某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖，若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件A2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，利用A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，然后求出所求概率即可．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，判断X～B．求出概率，得到X的分布列，然后求解期望．【解答】解：（1）记事件A1={从甲箱中摸出一个球是红球}，事件A2={从乙箱中摸出一个球是红球}，事件B1={顾客抽奖1次获一等奖}，事件B2={顾客抽奖1次获二等奖}，事件C={顾客抽奖1次能获奖}，由题意A1，A2相互独立，，互斥，B1，B2互斥，且B1=A1A2，B2=+，C=B1+B2，因为P（A1）=，P（A2）=，所以，P（B1）=P（A1）P（A2）==，P（B2）=P（）+P（）=+==，故所求概率为：P（C）=P（B1+B2）=P（B1）+P（B2）=．（2）顾客抽奖1次可视为3次独立重复试验，由（1）可知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为：所以．X～B．于是，P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．故X的分布列为：X0123PE（X）=3×=．21．（2015•湖南）如图，已知四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，AA1=6，且AA1⊥底面ABCD，点P、Q分别在棱DD1、BC上．（1）若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ；（2）若PQ∥平面ABB1A1，二面角P﹣QD﹣A的余弦值为，求四面体ADPQ的体积．【分析】（1）首先以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求出一些点的坐标，Q在棱BC上，从而可设Q（6，y1，0），只需求即可；（2）设P（0，y2，z2），根据P在棱DD1上，从而由即可得到z2=12﹣2y2，从而表示点P坐标为P（0，y2，12﹣2y2）．由PQ∥平面ABB1A1便知道与平面ABB1A1的法向量垂直，从而得出y1=y2，从而Q点坐标变成Q（6，y2，0），设平面PQD的法向量为，根据即可表示，平面AQD的一个法向量为，从而由即可求出y2，从而得出P点坐标，从而求出三棱锥P﹣AQD的高，而四面体ADPQ 的体积等于三棱锥P﹣AQD的体积，从而求出四面体的体积．【解答】解：根据已知条件知AB，AD，AA1三直线两两垂直，所以分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则：A（0，0，0），B（6，0，0），D（0，6，0），A1（0，0，6），B1（3，0，6），D1（0，3，6）；Q在棱BC上，设Q（6，y1，0），0≤y1≤6；∴（1）证明：若P是DD1的中点，则P；∴，；∴；∴；∴AB1⊥PQ；（2）设P（0，y2，z2），y2，z2∈[0，6]，P在棱DD1上；∴，0≤λ≤1；∴（0，y2﹣6，z2）=λ（0，﹣3，6）；∴；∴z2=12﹣2y2；∴P（0，y2，12﹣2y2）；∴；平面ABB1A1的一个法向量为；∵PQ∥平面ABB1A1；∴=6（y1﹣y2）=0；∴y1=y2；∴Q（6，y2，0）；设平面PQD的法向量为，则：；∴，取z=1，则；又平面AQD的一个法向量为；又二面角P﹣QD﹣A的余弦值为；∴；解得y2=4，或y2=8（舍去）；∴P（0，4，4）；∴三棱锥P﹣ADQ的高为4，且；∴V四面体ADPQ =V三棱锥P﹣ADQ=．22．（13分）（2015•湖南）已知抛物线C1：x2=4y的焦点F也是椭圆C2：+=1（a＞b＞0）的一个焦点．C1与C2的公共弦长为2．（Ⅰ）求C2的方程；（Ⅱ）过点F的直线l与C1相交于A、B两点，与C2相交于C、D两点，且与同向．（ⅰ）若|AC|=|BD|，求直线l的斜率；（ⅱ）设C1在点A处的切线与x轴的交点为M，证明：直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．【分析】（Ⅰ）根据两个曲线的焦点相同，得到a2﹣b2=1，再根据C1与C2的公共弦长为2，得到=1，解得即可求出；（Ⅱ）设出点的坐标，（ⅰ）根据向量的关系，得到（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，设直线l的方程，分别与C1，C2构成方程组，利用韦达定理，分别代入得到关于k的方程，解得即可；（ⅱ）根据导数的几何意义得到C1在点A处的切线方程，求出点M的坐标，利用向量的乘积∠AFM是锐角，问题得以证明．【解答】解：（Ⅰ）抛物线C1：x2=4y的焦点F的坐标为（0，1），因为F也是椭圆C2的一个焦点，∴a2﹣b2=1，①，又C1与C2的公共弦长为2，C1与C2的都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以=1，②，联立①②得a2=9，b2=8，故C2的方程为+=1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），（ⅰ）因为与同向，且|AC|=|BD|，所以=，从而x3﹣x1=x4﹣x2，即x1﹣x2=x3﹣x4，于是（x1+x2）2﹣4x1x2=（x3+x4）2﹣4x3x4，③设直线的斜率为k，则l的方程为y=kx+1，由，得x2﹣4kx﹣4=0，而x1，x2是这个方程的两根，所以x1+x2=4k，x1x2=﹣4，④由，得（9+8k2）x2+16kx﹣64=0，而x3，x4是这个方程的两根，所以x3+x4=，x3x4=﹣，⑤将④⑤代入③，得16（k2+1）=+，即16（k2+1）=，所以（9+8k2）2=16×9，解得k=±．（ⅱ）由x2=4y得y′=x，所以C1在点A处的切线方程为y﹣y1=x1（x﹣x1），即y=x1x﹣x12，令y=0，得x=x1，M（x1，0），所以=（x1，﹣1），而=（x1，y1﹣1），于是•=x12﹣y1+1=x12+1＞0，因此∠AFM是锐角，从而∠MFD=180°﹣∠AFM是钝角，故直线l绕点F旋转时，△MFD总是钝角三角形．23．（13分）（2015•湖南）已知a＞0，函数f（x）=e ax sinx（x∈[0，+∞]）．记x n为f（x）的从小到大的第n（n∈N*）个极值点．证明：（Ⅰ）数列{f（x n）}是等比数列；（Ⅱ）若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．【分析】（Ⅰ）求出导数，运用两角和的正弦公式化简，求出导数为0的根，讨论根附近的导数的符号相反，即可得到极值点，求得极值，运用等比数列的定义即可得证；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），求出导数，求得最小值，由恒成立思想即可得证．【解答】证明：（Ⅰ）f′（x）=e ax（asinx+cosx）=•e ax sin（x+φ），tanφ=，0＜φ＜，令f′（x）=0，由x≥0，x+φ=mπ，即x=mπ﹣φ，m∈N*，对k∈N，若（2k+1）π＜x+φ＜（2k+2）π，即（2k+1）π﹣φ＜x＜（2k+2）π﹣φ，则f′（x）＜0，因此在（（m﹣1）π﹣φ，mπ﹣φ）和（mπ﹣φ，（m+1）π﹣φ）上f′（x）符号总相反．于是当x=nπ﹣φ，n∈N*，f（x）取得极值，所以x n=nπ﹣φ，n∈N*，此时f（x n）=e a（nπ﹣φ）sin（nπ﹣φ）=（﹣1）n+1e a（nπ﹣φ）sinφ，易知f（x n）≠0，而==﹣e aπ是常数，故数列{f（x n）}是首项为f（x1）=e a（π﹣φ）sinφ，公比为﹣e aπ的等比数列；（Ⅱ）由sinφ=，可得对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．即为nπ﹣φ＜e a（nπ﹣φ）恒成立⇔＜，①设g（t）=（t＞0），g′（t）=，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）递减，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）递增．t=1时，g（t）取得最小值，且为e．因此要使①恒成立，只需＜g（1）=e，只需a＞，当a=，tanφ==，且0＜φ＜，可得＜φ＜，于是π﹣φ＜＜，且当n≥2时，nπ﹣φ≥2π﹣φ＞＞，因此对n∈N*，ax n=≠1，即有g（ax n）＞g（1）=e=，故①亦恒成立．综上可得，若a≥，则对一切n∈N*，x n＜|f（x n）|恒成立．。
湖南省湘潭市数学高三理数第三次模拟考试试卷
湖南省湘潭市数学高三理数第三次模拟考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）(2017·渝中模拟) 已知集合A={x|x2+x﹣6＜0}，B={﹣2，﹣1，0，1，2}，那么A∩B=（）A . {﹣2，﹣1，0，1}B . {﹣2，﹣1，1}C . {﹣1，1，2}D . {﹣1，0，1，2}2. （2分） (2017高二下·荔湾期末) 在复平面内，复数（ + i）2所对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分）某校女子篮球队7名运动员身高（单位：厘米）分布的茎叶图如图，已知记录的平均身高为175cm，但有一名运动员的身高记录不清楚，其末位数记为，那么的值为（）A . 1B . 2C . 3D . 44. （2分）已知等差数列的前项和为，且,则（）A .B .C .D . 45. （2分） (2018高三上·重庆期末) 执行如下图所示的程序框图，若输入的值为9，则输出的结果是（）A .B . 0C .D . 16. （2分）已知点P为双曲线右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I 为的内心，若成立，则的值为（）A .B .C .D .7. （2分）已知tanα=2（α∈（0，π）），则cos（+2α）=（）A .B .C . -D . -8. （2分）(2017·鹰潭模拟) 如图是某几何体挖去一部分后得到的三视图，其中主视图和左视图相同都是一个等腰梯形及它的内切圆，俯视图中有两个边长分别为2和8的正方形且图中的圆与主视图圆大小相等并且圆心为两个正方形的中心．问该几何体的体积是（）A .B .C .D .9. （2分）函数y=xlnx的单调递减区间是（）A .B .C .D .10. （2分）抛物线x2=y的焦点坐标是（）A .B .C .D .11. （2分）若一个正三棱柱的高为1，体积为2 ，则一条侧棱到与它相对的面之间的距离为（）A . 1B .C .D .12. （2分） (2016高二下·晋中期中) 若函数f（x）=x3﹣ax2+1在（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围为（）A . a≥3B . a=3C . a≤3D . 0＜a＜3二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2018高三上·沧州期末) 设，，，若 ,则 ________．14. （1分） (2020高三上·泸县期末) 若x，y满足约束条件，则的最大值为________．15. （1分）已知在二项式（x2+ ）5的展开式中，含x4的项的二项式系数是________．16. （1分） (2018高二下·葫芦岛期中) 某种平面分形图如图所示，一级分形图是由一点出发的三条线段，长度相等，两两夹角为120°；二级分形图是在一级分形图的每条线段末端出发再生成两条长度为原来的线段，且这两条线段与原线段两两夹角为120°，……，依此规律得到n级分形图．则n级分形图中共有________条线段.三、解答题 (共7题；共35分)17. （5分）(2017·邹平模拟) 已知函数．（I）求函数f（x）的最小正周期和最小值；（II）在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，求a，b的值．18. （5分）(2018·陕西模拟) 如图，在三棱柱中，侧面底面 .（1）求证：平面；（2）若 ,求二面角的余弦值.19. （5分） (2019高二下·新城期末) 某基地蔬菜大棚采用水培、无土栽培方式种植各类蔬菜.过去50周的资料显示，该地周光照量X(小时)都在30小时以上，其中不足50小时的周数有5周，不低于50小时且不超过70小时的周数有35周，超过70小时的周数有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y(百斤)与使用某种液体肥料x(千克)之间对应数据为如图所示的折线图．附：相关系数，参考数据：，，，（1）依据数据的折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算相关系数r并加以说明(精确到0.01)(若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合)（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪最多可运行台数受周光照量X限制，并有如表关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪最多可运行台数321若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以过去50周的周光照量的频率作为周光照量发生的概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？20. （5分） (2018高二上·吉林期中) 已知椭圆，过点，的直线倾斜角为，原点到该直线的距离为．（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）斜率大于零的直线过与椭圆交于E ， F两点，若，求直线EF的方程．21. （5分）(2020·秦淮模拟) 已知函数g（x）＝ex﹣ax2﹣ax，h（x）＝ex﹣2x﹣lnx．其中e为自然对数的底数．（1）若f（x）＝h（x）﹣g（x）．①讨论f（x）的单调性；②若函数f（x）有两个不同的零点，求实数a的取值范围．（2）已知a＞0，函数g（x）恰有两个不同的极值点x1，x2，证明：．22. （5分） (2016高三上·山西期中) 已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1 ， C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）过曲线C2的左顶点且倾斜角为的直线l交曲线C1于A，B两点，求|AB|．23. （5分） (2016高三上·成都期中) 已知关于x的不等式|x+1|+|x﹣1|＜4的解集为M．（1）设Z是整数集，求Z∩M；（2）当a，b∈M时，证明：2|a+b|＜|4+ab|．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共35分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、23-1、23-2、。
2015年高考湖南理科数学试题及答案(详解纯word版)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学（理科）本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，时量120分钟，满分150分一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知i zi +=-1)1(2(i 是虚数单位)，则复数z=A. i +1B. i -1C. i +-1D. i --12. 设A 、B 是两个集合，则“A B A = ”是“B A ⊆”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 3. 执行如图所示的程序框图，如果输入的3=n ，则输出的S ＝A.76 B. 73C. 98D. 944. 若变量x, y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则yx z -=3的最小值为A. 7-B. 1-C. 1D. 2 5. 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是A. 奇函数，且在)1,0(是增函数B. 奇函数，且在)1,0(是减函数C. 偶函数，且在)1,0(是增函数D. 偶函数，且在)1,0(是减函数 6. 已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=aA. 3B. 3-C. 6D. 6- 7. 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为A. 2386B. 2718C. 3413D. 4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P.8. 已知点A, B, C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ . 若点P 的坐标为)0,2(, 则||PC PB PA ++的最大值为A. 6B. 7C. 8D. 9 9. 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||min 21π=-x x ，则=ϕA. 125πB. 3πC.4π D. 6π 10. 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=） A. π98 B. π916C.π2124）－（ D.π21212）－（二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11.⎰=-20)1(dx x __________.12. 在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________.13. 设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________.14.设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________.15. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤=.,,,)(23a x x a x x x f 若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________.俯视图侧视图正视图三、解答题：本大题共6小题，共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题作答，并将解答过程写在答题纸中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分. Ⅰ.（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ，证明：（i ） 180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅. Ⅱ.（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=.（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值. Ⅲ.（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲 设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： （i ） 2≥+b a ；（ii ）22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.F17. (本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角. (Ⅰ) 证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围.18. (本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖. 每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球. 在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖. (Ⅰ) 求顾客抽奖1次能获奖的概率； (Ⅱ) 若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望.19. (本小题满分13分)如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上. (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1； (Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积.BDQ20. (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62. (Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且与同向.（i ） 若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax ，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点. 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立.2015年高考湖南卷理科数学参考答案一、选择题D C B A A D C B D A 二、填空题 11. 0 12. 4 13.5 14. 13-n 15. ),1()0,(∞+-∞三、解答题 16. Ⅰ. 证明：(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即90=∠=∠ONE OME ，因此 180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于 360，故 180=∠+∠NOM MEN .(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅.Ⅱ.解： (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=，将222y x +=ρ，x =θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x .(ii ) 将⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235t y t x 代入0222=-+x y x 得018352=++t t .设这个方程的 两个实根分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t tⅢ.证明： 由abb a b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab （i ）由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a .(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 可同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理 10<<b ，从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立.17. 解：（Ⅰ）由A b a ta n =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π. 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B .(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A . 于是)22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(s i n2s i n 21s i n 22+--=-+=A A AF因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A .由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(.18. 解：（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}.由题意1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥，且 211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=. 又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ，所以 512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ， )()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P , 故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P .(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验，由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ，于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KK KX 的数学期望为553)(=⨯=X E . 19. 解法一： （Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,, 因为1AA ,1DD是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //，于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面. 由题设知 AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以⊥BC 平面11A ABB , ⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥.因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠,所以11AB A ABR ∠=∠，因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BABABR , 于是 1ABBR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC ,显然有⊂PQ 平面BRPC , 故 PQ AB ⊥1.DB(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ， 因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ，过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，PNM ∠是二面角A QD P --的平面角. 所以 73cos =∠PNM ，即 73=PN MN ，从而340=MN PM . 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知，平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6. 设MD ＝t ，则.366222ttMD MQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形，所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE . 于是21==DEED MD PM , 所以t MD PM 22==，从而t t t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM . 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D , )0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m .(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m PQ ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅, 所以AB ⊥1，即PQ AB ⊥1.(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n 即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=. 又平面AQD 的一个法向量是BD)1,0,0(2=n ，所以45)6(336)6(3||||,cos 2222212121+-=++-=⋅>=<m m n n n n ，而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q . 再设)10(1≤<=λλDD ，而)6,3,0(1-=DD ，由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=. 因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn ，32=λ，从而)4,4,0(P .于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ .20. 解：(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为（0，1），因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba （2） 联立（1）（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y . (Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D .(i )因AC 与同向，且 ||||BD AC =，所以 =，从而 2413x x x x -=-，即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+. （3） 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y .由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12 得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x （4）由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以2212438964,8916kx x k k x x +-=+-=+ （5）将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+， 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±. (ii )由 y x 42=得 2'xy =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1x M ，所以)1,2(1-=x ，而)14,(211-=x x ，于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x ，因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠ 180是钝角. 故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形.21. 解：(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<. 令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ.对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f . 因此，在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反，于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ. 此时，)(1)()1()sin()(ϕπϕπϕπ-+--=-=n a n n a n e n e x f ，易知0)(≠n x f ，且πϕπϕπa n a n n a n n n e ee xf x f -=--=-+-+++)(1])1[(21)1()1()()(是常数，故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a e x f ，公比为πa e -的等比数列.(Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立，即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a>0）. 设)0()(>=t t e t g t ，则0)1()('2=-=t t e t g t 得1=t ，当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增.从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(. 因此，要使（*）式恒成立，只需e g a a =<+)1(12，即只需112->e a . 而当112-=e a 时，由311t a n 2>-==e a ϕ且由20πϕ<<知，23πϕπ<<. 于是1322-<<-e πϕπ，第11页 共11页且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ，因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以a a e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立. 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立.。
(全优试卷)湖南省湘潭市高考数学三模试卷(理科) Word版含解析
2017年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）等于（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）2．若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．1 D．3．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．4．“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件5．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．6．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C． D．7．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．6πB．7πC．8πD．12π9．已知T n为数列的前n项和，若n＞T10+1013恒成立，则整数n的最小值为（）A．1026 B．1025 C．1024 D．102310．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b（bmodm）．若，a=b（bmod10），则b的值可以是（）A．2011 B．2012 C．2013 D．201411．如图，A1，A2为椭圆长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2=（）A．14 B．12 C．9 D．712．已知函数f（x）=aln（x+1）﹣x2，若对∀p，q∈（0，1），且p≠q，有恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，18）B．（﹣∞，18] C．[18，+∞） D．（18，+∞）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若（1+2x）5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5，则a0+a2+a4=．14．已知点M（1，m）（m＞1），若点N（x，y）在不等式组表示的平面区域内，且（O为坐标原点）的最大值为2，则m=．15．将函数f（x）=sin2x的图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则当φ取最小的值时，g （0）=．16．数列{a n}满足a1+a2+a3+…a n=2n﹣a n（n∈N+）．数列{b n}满足b n=，则{b n}中的最大项的值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，2cos2A+3=4cosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．18．在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．19．某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三 年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．20．已知点F （1，0），点A 是直线l 1：x=﹣1上的动点，过A 作直线l 2，l 1⊥l 2，线段AF 的垂直平分线与l 2交于点P ． （Ⅰ）求点P 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）若点M ，N 是直线l 1上两个不同的点，且△PMN 的内切圆方程为x 2+y 2=1，直线PF 的斜率为k ，求的取值范围．21．已知函数f （x ）=ln （2ax +1）+﹣x 2﹣2ax （a ∈R ）．（1）若x=2为f （x ）的极值点，求实数a 的值；（2）若y=f （x ）在[3，+∞）上为增函数，求实数a 的取值范围； （3）当a=﹣时，方程f （1﹣x ）=有实根，求实数b 的最大值．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．2017年湖南省湘潭市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合M={x||x|＜1}，N={y|y=2x，x∈R}，则集合∁U（M∪N）等于（）A．（﹣∞，﹣1]B．（﹣1，2）C．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）D．[2，+∞）【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】分别求出集合M，N，由此求出M∪N，从而能求出C U（M∪N）．【解答】解：∵M={x||x|＜1}={x|﹣1＜x＜1}，N={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}．又∵U=R，M∪N={x|x＞﹣1}，∴C U（M∪N）=（﹣∞，﹣1]．故选：A．2．若z（1﹣i）=|1﹣i|+i（i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A．B．C．1 D．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵，∴，则z的虚部为，故选：D．3．如图所示的阴影部分是由x轴，直线x=1及曲线y=e x﹣1围成，现向矩形区域OABC内随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】求出阴影部分的面积，以面积为测度，即可得出结论．【解答】解：由题意，阴影部分的面积为==e﹣2，∵矩形区域OABC的面积为e﹣1，∴该点落在阴影部分的概率是．故选D．4．“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充要条件，结合集合的包含关系判断即可．【解答】解：若直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切，则（1，1）到x+y﹣m=0的距离是，故=，故|2﹣m|=2，2﹣m=±2，解得：m=0或m=4，故“m=0”是“直线x+y﹣m=0与圆（x﹣1）2+（y﹣1）2=2相切”的充分不必要条件，故选：B．5．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】两条渐近线互相垂直的双曲线是等轴双曲线，由a=b，c=a，可求出该双曲线的离心率．【解答】解：∵双曲线的两条渐近线互相垂直，∴双曲线是等轴双曲线，∴a=b，c=a，∴e===．故选D．6．函数f（x）=（x2﹣2x）e x的图象大致是（）A．B．C． D．【考点】函数的图象．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．【解答】解：由f（x）=0，解得x2﹣2x=0，即x=0或x=2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）=（x2﹣2）e x，由f'（x）=（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）=（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x=﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B7．执行如图所示的程序框图，如果运行结果为720，那么判断框中应填入（）A．k＜6？B．k＜7？C．k＞6？D．k＞7？【考点】程序框图．【分析】由题意，模拟程序框图的运行过程，即可得出判断框中应填写的条件是什么．【解答】解：由题意可知，输出结果为S=720，通过第1次循环得到S=1×2=2，k=3；通过第2次循环得到S=1×2×3=6，k=4；通过第3次循环得到S=1×2×3×4=24，k=5；通过第4次循环得到S=1×2×3×4×5=120，k=6；通过第6次循环得到S=1×2×3×4×5×6=720，k=7；此时执行输出S=720，结束循环，所以判断框中的条件为k＞6？．故选：C．8．某几何体的三视图如图所示，则其表面积为（）A．6πB．7πC．8πD．12π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，根据所给数据，即可求出表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体上半部分为半球，下面是一个圆柱，所以其表面积为．故选B．9．已知T n为数列的前n项和，若n＞T10+1013恒成立，则整数n的最小值为（）A．1026 B．1025 C．1024 D．1023【考点】数列的求和．【分析】利用等比数列的求和公式可得T n，即可得出．【解答】解：∵，∴，∴T10+1013=11﹣+1013=1024﹣，又n＞T10+1013，∴整数n最小值为1024．故选C．10．中国南北朝时期的著作《孙子算经》中，对同余除法有较深的研究．设a，b，m（m＞0）为整数，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a=b（bmodm）．若，a=b（bmod10），则b的值可以是（）A．2011 B．2012 C．2013 D．2014【考点】二项式定理的应用．【分析】由题意a=（10﹣1）10，按照二项式定理展开，可得它除以10的余数，再结合a=b（bmod10），可得b的值．【解答】解：∵=（1+2）20=320=910=（10﹣1）10=•1010﹣•109+•108+…﹣•10+，∴a被10除得的余数为1，而2011被10除得的余数是1，故选：A．11．如图，A1，A2为椭圆长轴的左、右端点，O为坐标原点，S，Q，T为椭圆上不同于A1，A2的三点，直线QA1，QA2，OS，OT围成一个平行四边形OPQR，则|OS|2+|OT|2=（）A．14 B．12 C．9 D．7【考点】直线与椭圆的位置关系．【分析】利用椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、两点之间的距离公式即可得出．【解答】解：设Q（x，y），T（x1，y1），S（x2，y2），QA1，QA2斜率分别为k1，k2，则OT，OS的斜率为k1，k2，且，所以，同理，因此=．故选：A．12．已知函数f （x ）=aln （x +1）﹣x 2，若对∀p ，q ∈（0，1），且p ≠q ，有恒成立，则实数a 的取值范围为（ ）A ．（﹣∞，18）B ．（﹣∞，18]C ．[18，+∞）D ．（18，+∞）【考点】对数函数的图象与性质．【分析】恒成立恒成立⇔'f （x +1）≥2恒成立，即恒成立，分离参数，求最值，即可求出实数a 的取值范围．【解答】解：因为f （x ）=aln （x +1）﹣x 2，所以f （x +1）=aln [（x +1）+1]﹣（x +1）2，所以．因为p ，q ∈（0，1），且p ≠q ，所以恒成立恒成立⇔'f （x +1）≥2恒成立，即恒成立，所以a ＞2（x +2）2（0＜x ＜1）恒成立，又因为x ∈（0，1）时，8＜2（x +2）2＜18，所以a ≥18． 故选：C ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若（1+2x ）5=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4+a 5x 5，则a 0+a 2+a 4= 121 ． 【考点】二项式定理的应用．【分析】在所给的式子中，分别令x=1、x=﹣1，可得则a 0+a 2+a 4的值．【解答】解：令x=1，则；再令x=﹣1，则a 0﹣a 1+a 2﹣a 3+a 4﹣a 5=﹣1，∴，故答案为：121．14．已知点M（1，m）（m＞1），若点N（x，y）在不等式组表示的平面区域内，且（O为坐标原点）的最大值为2，则m=．【考点】简单线性规划．【分析】利用向量的数量积化简表达式，得到目标函数，画出可行域，利用最优解求解即可．【解答】解：，令x+my=z，作出不等式组表示的可行域，由解得A（，），当m≥0时，目标函数在A处取得最大值2．分析知当时，z max=2．所以，解之得或（舍去），所以．故答案为：．15．将函数f（x）=sin2x的图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则当φ取最小的值时，g（0）=﹣1．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性求得g（x）的解析式，从而求得g（0）的值．【解答】解：将函数f（x）=sin2x的图象沿x轴向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）=sin（2x﹣2φ）的图象，若函数g（x）的图象关于y轴对称，则2φ=2kπ+，k∈Z，∴φ的最小值为，g（x）=sin（2x﹣2φ）=sin（2x﹣）=﹣cos2x，∴g（0）=﹣1，故答案为：﹣1．16．数列{a n}满足a1+a2+a3+…a n=2n﹣a n（n∈N+）．数列{b n}满足b n=，则{b n}中的最大项的值是．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式可得，数列{a n﹣2}构成以为公比的等比数列，求出其通项公式后代入b n=，再由数列的函数特性求得{b n}中的最大项的值．【解答】解：由a1+a2+a3+…a n=2n﹣a n，得S n=2n﹣a n，取n=1，求得a1=1；由S n=2n﹣a n，得S n﹣1=2（n﹣1）﹣a n﹣1（n≥2），两式作差得a n=2﹣a n+a n﹣1，即（n≥2），又a1﹣2=﹣1≠0，∴数列{a n﹣2}构成以为公比的等比数列，则，则b n==，当n=1时，，当n=2时，b2=0，当n=3时，，而当n≥3时，，∴{b n}中的最大项的值是．故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，2cos2A+3=4cosA．（1）求角A的大小；（2）若a=2，求△ABC的周长l的取值范围．【考点】正弦定理的应用．【分析】（1）由2cos2A+3=4cosA，利用倍角公式可得，化简解出即可得出．（2）利用正弦定理、和差公式、三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（1）因为2cos2A+3=4cosA，所以，所以4cos2A﹣4cosA+1=0，所以．又因为0＜A＜π，所以．（2）因为，，a=2，所以，所以．因为，所以．又因为，所以，所以l∈（4，6]．18．在四边形ABCD中，对角线AC，BD垂直相交于点O，且OA=OB=OD=4，OC=3．将△BCD沿BD折到△BED的位置，使得二面角E﹣BD﹣A的大小为90°（如图）．已知Q为EO的中点，点P在线段AB上，且．（Ⅰ）证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）求直线BD与平面ADE所成角θ的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）证明PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，可得平面PQR∥平面ADE，即可证明：直线PQ∥平面ADE；（Ⅱ）由等体积法可得点O到平面ADE的距离，即可求直线BD与平面ADE 所成角θ的正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：如图，取OD的中点R，连接PR，QR，则DE∥RQ，由题知，又，故AB：AP=4：1=DB：DR，因此AD∥PR，因为PR，RQ⊄平面ADE，且AD，DE⊂平面ADE，故PR∥平面ADE，RQ∥平面ADE，又PR∩RQ=R，故平面PQR∥平面ADE，从而PQ∥平面ADE．…6分（Ⅱ）解：由题EA=ED=5，，设点O到平面ADE的距离为d，则由等体积法可得，故，因此．…12分．19．某届奥运会上，中国队以26金18银26铜的成绩称金牌榜第三、奖牌榜第二，某校体育爱好者在高三 年级一班至六班进行了“本届奥运会中国队表现”的满意度调查（结果只有“满意”和“不满意”两种），从被调查的学生中随机抽取了50人，具体的调查结果如表：（1）在高三年级全体学生中随机抽取一名学生，由以上统计数据估计该生持满意态度的概率；（2）若从一班至二班的调查对象中随机选取4人进行追踪调查，记选中的4人中对“本届奥运会中国队表现”不满意的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列及数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列． 【分析】（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人，即可得出持满意态度的频率．（2）ξ的所有可能取值为O ，1，2，3．利用超几何分布列的概率计算公式与数学期望计算公式即可得出．【解答】解：（1）因为在被抽取的50人中，持满意态度的学生共36人， 所以持满意态度的频率为，据此估计高三年级全体学生持满意态度的概率为．（2）ξ的所有可能取值为O ，1，2，3.；；；．ξ的分布列为：．20．已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，求的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x0＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，∴曲线C的方程为y2=4x．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，∴=，由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，有，∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的两根，∴m+n=，mn=，∴|MN|=|m﹣n|==，∵，|y0|=2，∴|MN|==2，直线PF的斜率，则k=||=，∴==，∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，∴，∴，∴0＜＜．∴的取值范围是（0，）．21．已知函数f（x）=ln（2ax+1）+﹣x2﹣2ax（a∈R）．（1）若x=2为f（x）的极值点，求实数a的值；（2）若y=f（x）在[3，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当a=﹣时，方程f（1﹣x）=有实根，求实数b的最大值．【考点】函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）先对函数求导，由x=2为f（x）的极值点，可得f'（2）=0，代入可求a（2）由题意可得在区间[3，+∞）上恒成立，①当a=0时，容易检验是否符合题意，②当a≠0时，由题意可得必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，则a＞0，从而2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x ∈[3，+∞0上恒成立．考查函数g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），结合二次函数的性质可求（3）由题意可得．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．方法1：构造函数g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），对函数h（x）求导，利用导数判断函数h（x）的单调性，进而可求方法2：对函数g（x）=x（lnx+x﹣x2）求导可得g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．由导数知识研究函数p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，的单调性可求函数g（x）的零点，即g'（x0）=0，从而可得函数g（x）的单调性，结合，可知x→0时，lnx+＜0，则g （x）＜0，又g（1）=0可求b的最大值【解答】解：（1）=．…因为x=2为f（x）的极值点，所以f'（2）=0．…即，解得a=0．…又当a=0时，f'（x）=x（x﹣2），从而x=2为f（x）的极值点成立．…（2）因为f（x）在区间[3，+∞）上为增函数，所以在区间[3，+∞）上恒成立．…①当a=0时，f'（x）=x（x﹣2）≥0在[3，+∞）上恒成立，所以f（x）在[3，+∞）上为增函数，故a=0符合题意．…②当a≠0时，由函数f（x）的定义域可知，必须有2ax+1＞0对x≥3恒成立，故只能a＞0，所以2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2）≥0对x∈[3，+∞）上恒成立．…令g（x）=2ax2+（1﹣4a）x﹣（4a2+2），其对称轴为，…因为a＞0所以，从而g（x）≥0在[3，+∞）上恒成立，只要g（3）≥0即可，因为g（3）=﹣4a2+6a+1≥0，解得．…因为a＞0，所以．由①可得，a=0时，符合题意；综上所述，a的取值范围为[0，]．…（3）若时，方程x＞0可化为，．问题转化为b=xlnx﹣x（1﹣x）2+x（1﹣x）=xlnx+x2﹣x3在（0，+∞）上有解，即求函数g（x）=xlnx+x2﹣x3的值域．…以下给出两种求函数g（x）值域的方法：方法1：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），令h（x）=lnx+x﹣x2（x＞0），则，…所以当0＜x＜1，h′（x）＞0，从而h（x）在（0，1）上为增函数，当x＞1，h′（x）＜0，从而h（x'）在（1，+∞上为减函数，…因此h（x）≤h（1）=0．而x＞1，故b=x•h（x）≤0，因此当x=1时，b取得最大值0．…方法2：因为g（x）=x（lnx+x﹣x2），所以g'（x）=lnx+1+2x﹣3x2．设p（x）=lnx+1+2x﹣3x2，则．当时，p'（x）＞0，所以p（x）在上单调递增；当时，p'（x）＜0，所以p（x）在上单调递减；因为p（1）=0，故必有，又，因此必存在实数使得g'（x0）=0，∴当0＜x＜x0时，g′（x）＜0，所以g（x）在（0，x0）上单调递减；当x0＜x＜1，g′（x）＞0，所以，g（x）在（x0，1）上单调递增；又因为，当x→0时，lnx+＜0，则g（x）＜0，又g（1）=0．因此当x=1时，b取得最大值0．…请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为（θ为参数），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系．（1）求圆C的极坐标方程；（2）若直线l的极坐标方程是，射线与圆C的交点为O、P，与直线l的交点为Q．求线段PQ的长．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）利用cos2φ+sin2φ=1，即可把圆C的参数方程化为直角坐标方程．（2）求出点P、Q的极坐标，利用|PQ|=|ρ1﹣ρ2|即可得出．【解答】解：（1）利用cos2φ+sin2φ=1，把圆C的参数方程（θ为参数），化为（x﹣1）2+y2=1，∴ρ2﹣2ρcosθ=0，即ρ=2cosθ．（2）设（ρ1，θ1）为点P的极坐标，则P（1，）．由直线l的极坐标方程是，可得Q（3，），∴|PQ|=|ρ1﹣ρ2|=2．[选修4-5：不等式选讲]（共1小题，满分0分）23．已知函数f（x）=|x﹣a|+2|x+b|（a＞0，b＞0）的最小值为1．（1）求a+b的值；（2）若恒成立，求实数m的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）写出分段函数，得出f（x）min=a+b，即可求a+b的值；（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，利用“1”的代换，求最值，根据恒成立，求实数m的最大值．【解答】解：（1）f（x）在区间（﹣∞，﹣b]上递减，在区间[﹣b，+∞）上递增，所以f（x）min=a+b．所以a+b=1．（2）因为a＞0，b＞0，且a+b=1，所以，又因为，当且仅当时，等号成立，所以时，有最小值．所以，所以实数m的最大值为．2017年4月17日。
湖南省湘潭市凤凰中学2015高三12月模拟考试数学理试卷
湖南省湘潭市凤凰中学2015高三12月模拟考试数学理试卷（考试内容：全部内容）总分：150分，考试时间：120分钟．一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目的要求的．1．i 是虚数单位，若复数z 满足(1)1z i i +=-，则复数z 的实部与虚部的和是 （ ）A ．0B ．-1C ．1D ．22. 已知随机变量ξ服从正态分布2(4,)N σ，若(8)0.4P ξ>=，则(0)P ξ<= （ ） A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6 D ．0.7 3．设,x y R ∈，则“22x y ≥≥且”是“224x y +≥”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知2sin 3α=，则cos(32)πα-等于 （ ）A．B ．19C ．19-D5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 ( )A.16+8πB.8+8πC.16+16πD.8+16π6．已知平面上三个点A 、B 、C 满足||3,||4,||5AB BC CA ===，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于（ ）A ．25B ．24C ．-25D ．-247.设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z=ax+by （a>0，b>0）的最大值为12，则23a b+的最小值为( ).A.38 B. 625 C. 311 D. 4 8.已知函数f (x )＝ 2x (x ≥2) 则f (log 45)等于( )f(x+2)(x<2)，A. 5B.25C.3 5D.4 5 9.设m ∈N *，F （m ）表示log 2m 的整数部分，则F （210＋1）＋F （210＋2）＋F （210＋3）＋…＋F （211）的值为（ ） A ．10×210 B ．10×210＋1 C ．10×210＋2 D ．10×210－110. 形如45132这样的数称为“波浪数”，即十位数字，千位数字均比它们各自相邻的数字大，则由1、2、3、4、5可构成的数字不重复的五位“波浪数”的概率为( )A.16B.320C.11120D.215第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题（本大题共6个小题，考生作答5个小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡．．．中对应号后的横线上。
湖南省高考数学模拟试卷(三)理(含解析)-人教版高三全册数学试题
2016年某某省高考数学模拟试卷（理科）（三）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．22．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4） B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，925．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当S n取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．86．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．27．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B．C．D．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是（用数字作答）14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）=．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X 的分布列和数学期望E（X）19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．21．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值X围．2016年某某省高考数学模拟试卷（理科）（三）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若a为实数且（2+ai）（a﹣2i）=8，则a=（）A．﹣1 B．0 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，由复数相等的条件列式求得a值．【解答】解：由（2+ai）（a﹣2i）=8，得4a+（a2﹣4）i=8，∴，解得a=2．故选：D．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，是基础题．2．已知集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}，则A∪B=（）A．（0，4） B．（﹣3，4）C．（0，3） D．（3，4）【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】利用并集的性质求解．【解答】解：∵集合A={x|﹣3＜x＜3}，B={x|x（x﹣4）＜0}={x|0＜x＜4}，∴A∪B={x|﹣3＜x＜4}=（﹣3，4）．故选：B．【点评】本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题．3．“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】计算题；综合法；不等式的解法及应用；简易逻辑．【分析】由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，即可判断出结论．【解答】解：由|x﹣2|＜1，解得1＜x＜3，∴“﹣1＜x＜2”是“|x﹣2|＜1”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点评】本题考查了不等式的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是（）A．91，91.5 B．91，92 C．91.5，91.5 D．91.5，92【考点】茎叶图．【专题】计算题；概率与统计．【分析】根据茎叶图中的数据，计算这组数据的中位数与平均数即可．【解答】解：把茎叶图中的数据按大小顺序排列，如下；87、88、90、91、92、93、94、97；∴这组数据的中位数为=91.5，平均数是（87+88+90+91+92+93+94+97）=91.5．故选：C．【点评】本题考查了利用茎叶图中的数据求中位数与平均数的应用问题，是基础题目．5．设等差数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=﹣9，a2+a8=﹣2，当S n取得最小值时，n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】等差数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列的通项公式，可求得公差d=2，从而可得其前n项和为S n的表达式，配方即可求得答案．【解答】解：等差数列{a n}中，a1=﹣9，a2+a8=2a1+8d=﹣18+8d=﹣2，解得d=2，所以，S n=﹣9n+=n2﹣10n=（n﹣5）2﹣25，故当n=5时，S n取得最小值，故选：A．【点评】本题考查等差数列的性质，考查其通项公式与求和公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．6．执行如图所示的程序框图，输出S的值为时，k是（）A．5 B．3 C．4 D．2【考点】循环结构．【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环k的值，当k=5时，大于4，计算输出S的值为，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得每次循环的结果依次为：k=2，k=3，k=4，k=5，大于4，可得S=sin=，输出S的值为．故选：A．【点评】本题主要考查了循环结果的程序框图，模拟执行程序正确得到k的值是解题的关键，属于基础题．7．函数y=sin（2x+φ），的部分图象如图，则φ的值为（）A．或 B．C．D．【考点】y=Asin（ωx+φ）中参数的物理意义；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】计算题；三角函数的图像与性质．【分析】由已知中函数的图象，通过坐标（，0）代入解析式，结合φ求出φ值，得到答案．【解答】解：由已知中函数y=sin（2x+φ）（φ）的图象过（，0）点代入解析式，结合五点法作图，sin（+φ）=0，+φ=π+2kπ，k∈Z，∵φ，∴k=0，∴φ=，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，特殊点是解答本题的关键．8．如图，质点P在半径为2的圆周上逆时针运动，其初始位置为P0（，﹣），角速度为1，那么点P到x轴距离d关于时间t的函数图象大致为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】本题的求解可以利用排除法，根据某具体时刻点P的位置到到x轴距离来确定答案．【解答】解：通过分析可知当t=0时，点P到x轴距离d为，于是可以排除答案A，D，再根据当时，可知点P在x轴上此时点P到x轴距离d为0，排除答案B，故应选C．【点评】本题主要考查了函数的图象，以及排除法的应用和数形结合的思想，属于基础题．9．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为1的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，分别计算正方体和四棱锥的体积，相减可得答案．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个正方体，挖去一个四棱锥所得的组合体，正方体的体积为1，四棱锥的体积为：×1×1×=，故组合体的体积V=1﹣=，故选：A【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．10．设G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a+b+c=，则角A=（）A．90° B．60° C．45° D．30°【考点】余弦定理；平面向量的基本定理及其意义．【专题】计算题；平面向量及应用．【分析】根据三角形重心的性质得到，可得．由已知向量等式移项化简，可得=，根据平面向量基本定理得到，从而可得a=b=c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．【解答】解：∵G是△ABC的重心，∴，可得．又∵，∴移项化简，得．由平面向量基本定理，得，可得a=b=c，设c=，可得a=b=1，由余弦定理得cosA===，∵A为三角形的内角，得0°＜A＜180°，∴A=30°．故选：D【点评】本题给出三角形中的向量等式，求角A的大小，着重考查了三角形重心的性质、平面向量基本定理和利用余弦定理解三角形等知识，属于中档题．11．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB=90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC 体积的最大值为36，则球O的表面积为（）A．36π B．64π C．144πD．256π【考点】球的体积和表面积．【专题】计算题；空间位置关系与距离．【分析】当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，利用三棱锥O﹣ABC体积的最大值为36，求出半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：如图所示，当点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时V O﹣ABC=V C﹣AOB===36，故R=6，则球O的表面积为4πR2=144π，故选C．【点评】本题考查球的半径与表面积，考查体积的计算，确定点C位于垂直于面AOB的直径端点时，三棱锥O﹣ABC的体积最大是关键．12．已知A、B为双曲线E的左右顶点，点M在E上，AB=BM，三角形ABM有一个角为120°，则E的离心率为（）A．B．C．D．2【考点】双曲线的简单性质．【专题】计算题；方程思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由题意画出图形，过点M作MN⊥x轴，得到Rt△BNM，通过求解直角三角形得到M 坐标，代入双曲线方程可得a与b的关系，结合隐含条件求得双曲线的离心率．【解答】解：设双曲线方程为（a＞0，b＞0），如图所示，|AB|=|BM|，∠AMB=120°，过点M作MN⊥x轴，垂足为N，则∠MBN=60°，在Rt△BMN中，∵BM=AB=2a，∠MBN=60°，∴|BN|=a，，故点M的坐标为M（2a，），代入双曲线方程得a2=b2，即c2=2a2，∴．故选：B．【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是10 （用数字作答）【考点】二项式定理．【专题】计算题；转化思想；二项式定理．【分析】由展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r即可得出．【解答】解：展开式的通项公式T r+1==2﹣r，令=8，解得r=2，∴（x3+）5的展开式中x8的二项式系数是=10．故答案为：10．【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．已知函数f（x）=，且f（a）=﹣3，则f（6﹣a）= ﹣．【考点】分段函数的应用．【专题】计算题；分类讨论；方程思想；分类法．【分析】由函数f（x）=且f（a）=﹣3，求出a值，可得答案．【解答】解：∵函数f（x）=，∴当a≤1时，2a﹣2﹣2=﹣3，无解；当a＞1时，﹣log2（a+1）=﹣3，解得a=7，∴f（6﹣a）=f（﹣1）=2﹣1﹣2﹣2=﹣，故答案为：﹣【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数求值，分类讨论思想，方程思想，难度中档．15．若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为 1 ．【考点】简单线性规划．【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用．【分析】作出可行域，变形目标函数，平移直线y=﹣x数形结合可得结论．【解答】解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x可知，当直线经过点A（4，﹣1）时，目标函数取最大值，代值计算可得z的最大值为：2×4﹣3=1，故答案为：1．【点评】本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．16．已知函数f（x）是定义在R上的可导函数，其导函数记为f′（x），若对于任意的实数x，有f（x）＞f′（x），且y=f（x）﹣1是奇函数，则不等式f（x）＜e x的解集为（0，+∞）．【考点】函数奇偶性的性质．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据条件构造函数令g（x）=，由求导公式和法则求出g′（x），根据条件判断出g′（x）的符号，得到函数g（x）的单调性，再由奇函数的结论：f（0）=0求出g（0）的值，将不等式进行转化后，利用g（x）的单调性可求出不等式的解集．【解答】解：由题意令g（x）=，则=，∵f（x）＞f′（x），∴g′（x）＜0，即g（x）在R上是单调递减函数，∵y=f（x）﹣1为奇函数，∴f（0）﹣1=0，即f（0）=1，g（0）=1，则不等式f（x）＜e x等价为＜1=g（0），即g（x）＜g（0），解得x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞），故答案为：（0，+∞）．【点评】本题主要考查导数与函数的单调性关系，奇函数的结论的灵活应用，以及利用条件构造函数，利用函数的单调性解不等式是解决本题的关键，考查学生的解题构造能力和转化思想．三、解答题：本大题共5小题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知△ABC的面积．（Ⅰ）求sinA与cosA的值；（Ⅱ）设，若tanC=2，求λ的值．【考点】余弦定理；两角和与差的余弦函数．【专题】计算题；转化思想；分析法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由三角形面积公式及余弦定理化简已知等式可得，解得：sinA+2cosA=2，又sin2A+cos2A=1，从而解方程组即可得解．（Ⅱ）由tanC=2，可得sinC，cosC的值，可得，从而由正弦定理即可解得．【解答】（本题满分为14分）解：（Ⅰ）由题意可得：，…所以解得：sinA+2cosA=2，又因为sin2A+cos2A=1，解方程组可得．…（Ⅱ）∵tanC=2，C为三角形的内角，∴易得，…∴…∴．…【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，三角形内角和定理，同角三角函数关系式的应用，考查了三角函数恒等变换的应用，属于中档题．18．为了解甲、乙两个班级某次考试的数学成绩（单位：分），从甲、乙两个班级中分别随机抽取5名学生的成绩作标本，如图是样本的茎叶图，规定：成绩不低于120分时为优秀成绩．（1）从甲班的样本中有放回的随机抽取 2 个数据，求其中只有一个优秀成绩的概率；（2）从甲、乙两个班级的样本中分别抽取2名同学的成绩，记获优秀成绩的人数为X，求X 的分布列和数学期望E（X）【考点】离散型随机变量的期望与方差；茎叶图．【专题】概率与统计．【分析】（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，由此利用等可能事件概率计算公式能求出其中只有一个优秀成绩的概率．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望E（X）．【解答】解：（1）甲班抽取的5名学生的成绩为102，112，117，124，136，从中有放回地抽取两个数据，基本事件总数n=52=25，其中只有一个优秀成绩，包含的基本事件个数m=2×3+3×2=12，∴其中只有一个优秀成绩的概率p==．（2）由茎叶图知甲班抽取的5名学生中有2名学生成绩优秀，乙班抽取的5名学生中有1名学生成绩优秀，由此得X的可能取值为0，1，2，3，P（X=0）==，P（X=1）=+=，P（X=2）=+=，P（X=3）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3PEX==．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．19．已知在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，AD⊥AB，PD⊥CD，PD⊥PB，AB=BC=2AD=2．（Ⅰ）求证：①平面PAD⊥平面PBC；②RS∥平面PAD；（Ⅱ）若点Q在线段AB上，且CD⊥平面PDQ，求二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【专题】空间位置关系与距离；空间角．【分析】（Ⅰ）①由已知得AD⊥平面APB，从而PB⊥AD，由此能证明平面PAD⊥平面PBC．②取PB中点M，连结RM，SM，由已知推导出平面PAD∥平面SMR，由此能证明RS∥平面PAD．（Ⅱ）由已知得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PQ﹣D的余弦值．【解答】（Ⅰ）①证明：∵在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形，平面PAB⊥平面ABCD，AD⊥AB，∴AD⊥平面APB，又PB⊂平面APB，∴PB⊥AD，∵PD⊥PB，AD∩PD=D，∴PB⊥平面PAD，∵PB⊂平面PBC，∴平面PAD⊥平面PBC．②证明：取PB中点M，连结RM，SM，∵R、S分别是棱AB、PC的中点，AD∥BC，∴SM∥CB∥AD，RM∥AP，又AD∩AP=A，∴平面PAD∥平面SMR，∵RS⊂平面SMR，∴RS∥平面PAD．（Ⅱ）解：由已知得，解得AP=1，BP=，PQ=，AQ=，BQ=，以Q为原点，QP为x轴，QB为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则Q（0，0，0），P（），D（0，﹣，1），C（0，，2），∴，， =（0，，2），设平面PDQ的法向量，则，取y=2，得，设平面PCQ的法向量，则，取b=4，得=（0，4，﹣3），设二面角C﹣PQ﹣D的平面角为θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴二面角C﹣PQ﹣D的余弦值为．【点评】本题考查平面与平面垂直的证明，考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．20．已知函数f（x）=2lnx﹣ax+a（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，证明：当0＜x1＜x2时，．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的性质．【专题】导数的综合应用．【分析】（I）利用导数的运算法则可得f′（x），对a分类讨论即可得出其单调性；（II）通过对a分类讨论，得到当a=2，满足条件且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．利用此结论即可证明．【解答】解：（Ⅰ）求导得f′（x）=，x＞0．若a≤0，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上递增；若a＞0，当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x∈（，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，若a≤0，f（x）在（0，+∞）上递增，又f（1）=0，故f（x）≤0不恒成立．若a＞2，当x∈（，1）时，f（x）递减，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若0＜a＜2，当x∈（1，）时，f（x）递增，f（x）＞f（1）=0，不合题意．若a=2，f（x）在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减，f（x）≤f（1）=0，合题意．故a=2，且lnx≤x﹣1（当且仅当x=1时取“=”）．当0＜x1＜x2时，f（x2）﹣f（x1）=2ln﹣2（x2﹣x1）＜2（﹣1）﹣2（x2﹣x1）=2（﹣1）（x2﹣x1），∴＜2（﹣1）．【点评】熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值、等价转化、分类讨论的思想方法等是解题的关键．21．已知椭圆C1： +x2=1（a＞1）与抛物线C：x2=4y有相同焦点F1．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知直线l1过椭圆C1的另一焦点F2，且与抛物线C2相切于第一象限的点A，设平行l1的直线l交椭圆C1于B，C两点，当△OBC面积最大时，求直线l的方程．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（Ⅰ）求出抛物线的F1（0，1），利用椭圆的离心率，求出a、b即可求解椭圆方程．（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，联立方程组，利用相切求出k，然后利用直线的平行，设直线l的方程为y=x+m联立方程组，通过弦长公式点到直线的距离求解三角形的面积，然后得到所求直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵抛物线x2=4y的焦点为F1（0，1），∴c=1，又b2=1，∴∴椭圆方程为： +x2=1．…（Ⅱ）F2（0，﹣1），由已知可知直线l1的斜率必存在，设直线l1：y=kx﹣1由消去y并化简得x2﹣4kx+4=0∵直线l1与抛物线C2相切于点A．∴△=（﹣4k）2﹣4×4=0，得k=±1．…∵切点A在第一象限．∴k=1…∵l∥l1∴设直线l的方程为y=x+m由，消去y整理得3x2+2mx+m2﹣2=0，…△=（2m）2﹣12（m2﹣2）＞0，解得．设B（x1，y1），C（x2，y2），则，．…又直线l交y轴于D（0，m）∴…=当，即时，．…所以，所求直线l的方程为．…【点评】本题主要考查椭圆、抛物线的有关计算、性质，考查直线与圆锥曲线的位置关系，考查运算求解能力及数形结合和化归与转化思想．选修4-1几何证明选讲22．如图，AB为圆O的直径，CB是圆O的切线，弦AD∥OC．（Ⅰ）证明：CD是圆O的切线；（Ⅱ）AD与BC的延长线相交于点E，若DE=3OA，求∠AEB 的大小．【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明．【专题】选作题；推理和证明．【分析】（Ⅰ）连接OD，由弦AD∥OC，易证得∠COB=∠COD，继而证得△COB≌△COD（SAS），即可得∠ODC=∠OBC，然后由BC与⊙O相切于点B，可得∠ODC=90°，即可证得CD是⊙O的切线．（Ⅱ）利用射影定理，求出AD，即可求∠AEB 的大小．【解答】（Ⅰ）证明：连接OD∵AD∥OC，∴∠A=∠COB，∠ADO=∠COD，∵OA=OD，∴∠A=∠ADO，∴∠COB=∠COD，在△COB和△COD中，OB=OD，∠COB=∠COD，OC=OC，∴△COB≌△COD（SAS），∴∠ODC=∠OBC，∵BC与⊙O相切于点B，∴OB⊥BC，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°，即OD⊥CD，∴CD是⊙O的切线；（Ⅱ）解：设OA=1，AD=x，则AB=2，AE=x+3，由AB2=AD•AE得x（x+3）=4，∴x=1，∴∠OAD=60°，∠AEB=30°．【点评】此题考查了切线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及射影定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．选修4-4坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）．（Ⅰ）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；（Ⅱ）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），利用sin2t+cos2t=1即可化为普通方程；C2：（θ为参数），利用cos2θ+sin2θ=1化为普通方程．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，利用点到直线的距离公式与三角函数的单调性即可得出．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1：（t为参数），化为（x+4）2+（y﹣3）2=1，∴C1为圆心是（﹣4，3），半径是1的圆．C2：（θ为参数），化为．C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．（Ⅱ）当t=时，P（﹣4，4），Q（8cosθ，3sinθ），故M，直线C3：ρ（cosθ﹣2sinθ）=7化为x﹣2y=7，M到C3的距离d==|5sin（θ+φ）+13|，从而当cossinθ=，sinθ=﹣时，d取得最小值．【点评】本题考查了参数方程化为普通方程、点到直线的距离公式公式、三角函数的单调性、椭圆与圆的参数与标准方程，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．选修4-5不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣2|，g（x）=﹣|x+3|+m．（1）解关于x的不等式f（x）+a﹣1＞0（a∈R）；（2）若函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，求m的取值X围．【考点】绝对值不等式的解法；函数恒成立问题．【专题】计算题；压轴题．【分析】（1）不等式转化为|x﹣2|+|a﹣1＞0，对参数a进行分类讨论，分类解不等式；（2）函数f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，可转化为不等式|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，利用不等式的性质求出|x﹣2|+|x+3|的最小值，就可以求出m的X围．【解答】解：（Ⅰ）不等式f（x）+a﹣1＞0即为|x﹣2|+a﹣1＞0，当a=1时，解集为x≠2，即（﹣∞，2）∪（2，+∞）；当a＞1时，解集为全体实数R；当a＜1时，解集为（﹣∞，a+1）∪（3﹣a，+∞）．（Ⅱ）f（x）的图象恒在函数g（x）图象的上方，即为|x﹣2|＞﹣|x+3|+m对任意实数x恒成立，即|x﹣2|+|x+3|＞m恒成立，又由不等式的性质，对任意实数x恒有|x﹣2|+|x+3|≥|（x﹣2）﹣（x+3）|=5，于是得m ＜5，故m的取值X围是（﹣∞，5）．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，分类讨论的方法，以及不等式的性质，涉及面较广，知识性较强．。
湖南2015届十三校数学试题联考理数——答案
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湖南省湘潭市xx高中高三第三次模拟考试试卷数学(理)
湖南省湘潭市xx 高中高三第三次模拟考试试卷数 学（理科）本试卷分第一卷（选择题、填空题）和第二卷（解答题）两部分，共150分，考试时量120分钟.第Ⅰ卷（选择题40分，填空题35分，共75分）注意事项：请将选择题、填空题答案填在第Ⅱ卷解答题前的答题卡内．一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)1. 下列函数中，周期为2π的是 A ．sin 2x y = B ．sin 2y x = C ．cos 4xy = D ．cos 4y x =答案选D,没什么好讲的2.双曲线方程为2221x y -=，则它的右焦点坐标为A ．,02⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B ．⎫⎪⎪⎝⎭C ．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D ．)2131,22c c =+==，答案选C 3．函数21()log f x x x =-的零点所在区间是A ．1(0,)2B ．1(,1)2C ．(1,2)D ．（2，3）答案为C,直接画图即可4.下列说法中，正确的是A ．命题“若22am bm <，则a b <”的逆命题是真命题 错，m=0呢？B ．命题“x R ∃∈，02>-x x ”的否定是：“x R ∀∈，02≤-x x ” 对C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题 错，有一个即可D ．已知R x ∈，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件 错，刚好反过来答案选B5．求曲线2y x =与y x =所围成图形的面积，其中正确的是A ．120()S xx dx =-⎰ B ．120()S x x dx =-⎰C ．12()S y y dy =-⎰ D．10(S y dy =⎰还是画图，在x=0,1处有交点，此时，x>x^2 ,故答案为B6．在数列{}n a 中，11=a ，n a a n n =--1，*∈N n ，则8a 的值为A ．35B ．36C ．37D ．3882345678,123,336,6410,10515,15621.21728,28836a a aa a a a a =+==+==+==+==+==+==+=才直接写都可以。
2015年湖南省高考理科数学试卷和答案(分开
2015年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）理科数学本试题包括选择题，填空题和解答题三部分，共6页，时间120分钟，满分150分．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，贼每小题给出的四个选项中，只有一项是复合题目要求的．1．已知2(1)1i i z-=+（i 为虚数单位），则复数z =( ) A ．1i + B ．1i - C ．1i -+ D ．1i --2．设A ，B 是两个集合，则“A B A =”是“A B ⊆”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．执行如图1所示的程序框图，如果输入3n =，则输出的S =( ) A ．76B ．73C ．98D ．944．若变量x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤--≥+1121y y x y x ，则y x z -=3的最小值为( )A ．7-B ．1-C ．1D ．25． 设函数)1ln()1ln()(x x x f --+=，则)(x f 是( )A ． 奇函数，且在)1,0(是增函数B ． 奇函数，且在)1,0(是减函数C ． 偶函数，且在)1,0(是增函数D ． 偶函数，且在)1,0(是减函数 6．已知5)(xa x -的展开式中含23x 的项的系数为30，则=a ( )A ．3B ．3-C ．6D ．6-7． 在如图2所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 为正态分布)1,0(N 的密度曲线）的点的个数的估计值为( )A ．2386B ．2718C ．3413D ．4772附：若),(~2σμN X ，则6826.0)(=+≤<-σμσμX P , 9544.0)22(=+≤<-σμσμX P ．8． 已知点A ，B ，C 在圆122=+y x 上运动，且BC AB ⊥ ． 若点P 的坐标为)0,2(, 则||PC PB PA ++的最大值为( ) A ．6 B ．7C ．8D ．99． 将函数x x f 2sin )(=的图象向右平移ϕ)20(πϕ<<个单位后得到函数)(x g 的图象，若对满足2|)()(|21=-x g x f 的1x ，2x ，有3||min 21π=-x x ，则=ϕ( )A ．125πB ．3πC ．4πD ．6π10． 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率原工件的体积新工件的体积=）( )A ．π98B ．π916C ．π2124）－（D ．π21212）－（二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11．⎰=-2)1(dx x __________．12．在一次马拉松比赛中，35名运动员的成绩（单位：分钟）茎叶图如图所示．若将运动员按成绩由好到差编为1－35号，再用系统抽样的方法从中抽取7人，则其中成绩在区间]151,139[上的运动员的人数是_________．13．设F 是双曲线C 1:2222=-by a x 的一个焦点，若C 上存在点P ，使线段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为________．14．设n S 为等比数列}{n a 的前n 项和，若11=a ，且321,2,3S S S 成等差数列，则=n a ___________．15．已知函数32,,(),x x a f x x x a⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ ，若存在实数b ，使函数b x f x g -=)()(有两个零点，则a 的取值范围是___________．三、解答题：本大题共6小题，共75分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16． (本小题满分12分)本小题有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三个选做题，请考生任选两题．．．．作答，并将解答过程写在答题卡中相应题号的答题区域内，如果全做，则按所做的前两题计分． Ⅰ．（本小题满分6分）选修4－1 几何证明选讲如图，在⊙O 中，相交于点E 的两弦AB ，CD 的中点分别是M ，N ，直线MO 与直线CD 相交于点F ．证明：（i ）180=∠+∠NOM MEN ； （ii ）FO FM FN FE ⋅=⋅．FⅡ．（本小题满分6分）选修4－4 坐标系与参数方程已知直线l ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=.213,235:t y t x （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 2=．（i ）将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（ii ）设点M 的直角坐标为)3,5(，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求||||MB MA ⋅的值． Ⅲ．（本小题满分6分）选修4－5 不等式选讲 设0,0>>b a ，且ba b a 11+=+，证明： （i ）2≥+b a ；（ii ）22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．17．(本小题满分12分)设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，A b a tan =，且B 为钝角． (Ⅰ)证明：2π=-A B ；(Ⅱ) 求C A sin sin +的取值范围．18．(本小题满分12分)某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖．每次抽奖都是从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球．在摸出的2球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．(Ⅰ)求顾客抽奖1次能获奖的概率；(Ⅱ)若某顾客有3次抽奖的机会，记该顾客在3次抽奖中获一等奖的次数为X ，求X 的分布列和数学期望．19． (本小题满分13分) 如图，在四棱台1111D C B A ABCD -的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，61=AA ，且⊥1AA 底面ABCD ，点P ，Q 分别在棱1DD ，BC 上． (Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，证明：PQ AB ⊥1；(Ⅱ) 若//PQ 平面11A ABB ，二面角A QD P --的余弦值为73，求四面体ADPQ 的体积．20． (本小题满分13分)已知抛物线1C y x 4:2=的焦点F 也是椭圆2C )0(1:2222>>=+b a bx a y 的一个焦点，1C 与2C 的公共弦长为62． (Ⅰ) 求2C 的方程；(Ⅱ) 过点F 的直线l 与1C 相交于A ，B 两点，与2C 相交于C ，D 两点，且与BD 同向． （i ） 若||||BD AC =，求直线l 的斜率；（ii ）设1C 在点A 处的切线与x 轴的交点为M ，证明：直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．21． (本小题满分13分)已知0>a ，函数)),0[(sin )(∞+∈=x x e x f ax，记n x 为)(x f 的从小到大的第n *)(N n ∈个极值点． 证明: (Ⅰ) 数列)}({n x f 是等比数列； (Ⅱ) 若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立．BD1.【解析】由题意得，得2(1)2111i iz i i i--===--++．故选D ． 考点：复数的运算．2.【解析】由题意得，A B A A B =⇒⊆，反之，A B A B A =⇒⊆ ，故为充要条件．故选C ． 考点：集合的关系．3.【解析】由题意得，输出的S 为数列1(21)(21)n n ⎧⎫⎨⎬-+⎩⎭的前三项和，而1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+，所以11(1)22121n n S n n =-=++，从而337S =．故选B ． 考点：程序框图，裂项相消求数列的和．4.【解析】如图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，从而可知当2x =-，1y =时，y x z -=3的最小值是7-．故选A ．考点：线性规划．5.【解析】试题分析：显然，()f x 定义域为(1,1)-，关于原点对称，又∵()ln(1)ln(1)()f x x x f x -=--+=-，∴()f x 为奇函数，显然()f x 在(0,1)上单调递增．故选A ． 考点：函数的性质． 6.【解析】5215(1)r r rrr T C a x -+=-，令1r =，可得530a -=，从而6a =-．故选D ．考点：二项式定理．7.【解析】根据正态分布的性质，1(01)(11)0.34132P x P x <<=-<<=．故选C ． 考点：正态分布．8.【解析】由题意得AC 为圆的直径，故可设(,)A m n ，(,)B m n --，(,)C x y ，∴(6,)PA PB PC x y ++=-，而22(6)371249x y x -+=-≤，∴||PC PB PA ++的最大值为7．故选B ． 考点：圆的9.【解析】向右平移ϕ个单位后，得到)22sin()(ϕ-=x x g ，又∵2|)()(|21=-x g x f ，∴不妨设ππk x 2221+=，ππϕm x 22222+-=-，∴πϕπ)(221m k x x -+-=-，又∵12min 3x x π-=，∴632πϕπϕπ=⇒=-．故选D ．考点：三角函数的图象和性质．10.【解析】问题等价于圆锥的内接长方体的体积，如下图所示，则有212x h-=，∴22h x =-， ∴长方体的体积为22(2)(22)x h x x =-4(22)x x x =-3224()3x x x ++-≤3227=，当且仅当2223x x x =-=即时，等号成立， ∴利用率为232162719123ππ=．故选A ． 考点：圆锥内接长方体，基本不等式求最值． 11.【解析】⎰=-2)1(dx x 2201|02x x -=．考点：定积分的计算． 12.13.【解析】根据对称性，不妨设(,0)F c ，短轴端点为(0,)b ，从而可知点(,2)c b -在双曲线上，∴222241c b a b -=，从而ce a==．考点：双曲线的标准方程及其性质．14.【解析】等比数列}{n a 中2111S a a q q =+=+，231S q q =++，∴24(1)31q q q +=+++，解得3q =，∴13n n a -=．考点：等比、等比数列的通项公式及其前n 项和．15.【解析】分析题意可知问题等价于方程)(3a xb x ≤=与方程)(2a xb x >=的根的个数为2，俯视图侧视图正视图若两个方程各有一个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤->≤a b a b a b 31有解，从而1>a ；若方程)(3a xb x ≤=无解，方程)(2a xb x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab ab 31有解，从而0<a ； 综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ ． 考点：函数与方程，分类讨论的数学思想．16.Ⅰ．【解析】(i )如图，因为M ，N 分别是两弦AB ，CD 的中点，所以AB OM ⊥, CD ON ⊥，即90=∠=∠ONE OME ，因此180=∠+∠ONE OME ，又四边形的内角和等于360，故 180=∠+∠NOM MEN ．(ii ) 由（i ）知， O ，M ，E ，N 四点共圆，故由割线定理即得FO FM FN FE ⋅=⋅．17.【解析】（Ⅰ）由A b a tan =及正弦定理，得BAb a A A sin sin cos sin ==，所以A B cos sin =，即)2sin(sin A B +=π． 又B 为钝角，),2(2πππ∈+A ，故A B +=2π，即2π=-A B ．(Ⅱ) 由（Ⅰ）知 022)(>-=+-=A B A C ππ, 所以)4,0(π∈A ． 于是 )22sin(sin sin sin A A C A -+=+πA A 2cos sin +=.89)41(sin 2sin 21sin 22+--=-+=A A A因为40π<<A ，所以 22sin 0<<A ，因此8989)41(sin 2222≤+--<A ． 由此可得C A sin sin +的取值范围是]89,22(． 16.Ⅱ．【解析】 (i )θρcos 2=等价于 θρρcos 22=，将 222y x +=ρ，x=θρcos 代入上式即得曲线C 的直角坐标方程是0222=-+x y x ．(ii )将5,12x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入0222=-+x y x 得018352=++t t ．设这个方程的两个实根16.Ⅲ．【解析】 由abba b a b a +=+=+11，0,0>>b a 得 1=ab (i )由基本不等式及1=ab ，有22=≥+ab b a ，即2≥+b a ．(ii ) 设22<+a a 与22<+b b 同时成立，则由22<+a a 及0>a 可得10<<a ，同理10<<b ，从而10<<ab 这与1=ab 相矛盾，故22<+a a 与22<+b b 不可能同时成立．分别为21,t t ，则由参数t 的几何意义知||||MB MA ⋅＝.18||21=t t18.【解析】（Ⅰ）记事件1A ={从甲箱中摸出的一个球是红球}，2A ={从乙箱中摸出的一个球是红球}，1B ＝{顾客抽奖一次获一等奖}，2B ＝{顾客抽奖一次获二等奖}，C ＝{顾客抽奖一次能获奖}．由题意1A 与2A 相互独立，21A A 与21A A 互斥，1B 与2B 互斥， 且211A A B =，2B =21A A +21A A ，21B B C +=．又因为52104)(1==A P ，21105)(2==A P ， 所以512152)()()()(21211=⨯===A P A P A A P B P ，)()()()(212121212A A P A A P A A A A P B P +=+=2121)521()211(52)()()()(2121=⨯-+-⨯=+=A P A P A P A P ,故所求概率为1072151)()()()(2121=+=+=+=B P B P B B P C P ．(Ⅱ) 顾客抽奖3次可视为3次独立重复实验． 由（Ⅰ）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为51，所以)51,3(~B X ， 于是 )3,2,1,0()54()51()(33===-K C K X P KKK．X 的数学期望为553)(=⨯=X E ．19.【解析】 解法一：（Ⅰ）如图，取1AA 的中点R ，连结PR BR ,,因为1AA ,1DD 是梯形D D AA 11的两腰，点P 是1DD 的中点，所以AD PR //， 于是由BC AD //知，BC PR //，所以C B R P ,,,四点共面．由题设知AB BC ⊥，1AA BC ⊥，A AA AB =1 ,所以 ⊥BC 平面11A ABB , 又⊂1AB 平面11A ABB ，因此 1AB BC ⊥．因为11111tan 63tan AB A AA B A AB AR ABR ∠====∠, 所以11AB A ABR ∠=∠，因此901111=∠+∠=∠+∠BAB AB A BAB ABR , 于是 1AB BR ⊥, 又已证得1AB BC ⊥，所以⊥1AB 平面BRPC ,显然有⊂PQ平面BRPC , 故PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 如下图，过点P 作1//AA PM 交AD 于点M ，则//PM 平面11A ABB ，D因为⊥1AA 底面ABCD ，所以⊥PM 底面ABCD ， 过点M 作QD MN ⊥于点N ，连结PN ，则QD PN ⊥，从而PNM ∠是二面角A QD P --的平面角．所以73cos =∠PNM ，即73=PN MN ，从而340=MN PM ． 连结MQ ，由//PQ 平面11A ABB 及//PM 平面11A ABB 知， 平面//PQM 平面11A ABB ，所以AB MQ //，又ABCD 是正方形，所以ABQM 是矩形，故MQ=AB=6． 设MD ＝t ，则.366222ttMDMQ MD MQ MN +=+⋅=过点1D 作A A E D 11//交AD 于点E ，则E D AA 11是矩形，所以 611==AA E D ，311==D A AE ，因此 3=-=AE AD DE ．于是21==DE ED MD PM , 所以t MD PM 22==， 从而tt t MN PM 63623402+⨯==，解得2=t ，所以4=PM ． 故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．解法二：由题设知AB AD AA ,,1G 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图，则相关各点的坐标为)0,0,0(A ，)6,0,3(1B ，)0,6,0(D ，)6,3,0(1D ,)0,,6(m Q ，其中m BQ =，60≤≤m ．(Ⅰ) 若点P 是1DD 的中点，则)3,29,0(P ，)3,29,6(--=m ，又)6,0,3(1=AB ，于是018181=-=⋅, 所以AB ⊥1，即PQ AB ⊥1．(Ⅱ) 由题设知，)0,6,6(-=m , )6,3,0(1-=DD 是平面PQD 内两个不共线的向量，设),,(1z y x n =是平面PQD 的一个法向量，则 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0,0111DD n DQ n即⎩⎨⎧=+-=-+063,0)6(6z y y m x 取6=y ，得)3,6,6(1m n -=． 又平面AQD 的一个法向量是)1,0,0(2=n ， 所以 45)6(336)6(3||||,cos 2222212121+-=++-=⋅>=<m m n n n n ，而二面角A QD P --的余弦值为73，所以7345)6(32=+-m ，解得m=4或m=8(舍去)，此时)0,4,6(Q ．BD再设)10(1≤<=λλDD DP ，而)6,3,0(1-=DD ， 由此得到)6,36,0(λλ-P ，)6,23,6(λλ--=PQ ．因为//PQ 平面11A ABB ，且平面11A ABB 的一个法向量是)0,1,0(3=n ，所以 0233=-=⋅λn ，32=λ，从而)4,4,0(P ． 于是，将四面体ADPQ 视为ADQ ∆为底面的三棱锥ADQ P -，其高4=h ，故四面体ADPQ 的体积 24466213131=⨯⨯⨯⨯=⋅=∆PM S V ADQ ．20.【解析】(Ⅰ) 由1C y x 4:2=知其焦点F 的坐标为(0,1)，因为F 也是椭圆2C 的一个焦点，所以 122=-b a （1）又1C 与2C 的公共弦长为62，1C 与2C 都关于y 轴对称，且1C 的方程为y x 42=，由此易知1C 与2C 的公共点坐标为)23,6(±，所以164922=+ba （2） 联立（1）、（2）得8,922==b a ，故2C 的方程为18922=+x y ． (Ⅱ) 如图，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(33y x C ，),(44y x D ．(i )因与BD 同向，且||||BD AC =， 所以 BD AC =，从而 2413x x x x -=-， 即4321x x x x -=-，于是43243212214)(4)(x x x x x x x x -+=-+． （3） 设直线l 的斜率为k ，则l 的方程为1+=kx y ．由⎩⎨⎧=+=yx kx y 4,12 得0442=--kx x ，而21,x x 是这个方程的两根，所以 4,42121-==+x x k x x （4） 由⎪⎩⎪⎨⎧=++=189,122x y kx y 得06416)89(22=-++kx x k ，而43,x x 是这个方程的两根，所以2212438964,8916k x x k k x x +-=+-=+ （5） 将(4)(5)代入(3)得 22222289644)89(16)1(16k k k k +⨯++=+，即22222)89()1(916)1(16k k k ++⨯=+， 所以 916)89(22⨯=+k ，解得 46±=k ，即直线l 的斜率为46±． (ii )由 y x 42=得 2'x y =，所以1C 在点A 处的切线方程为)(2111x x x y y -=-，即42211x x x y -=，令0=y 得21x x =，即)0,2(1xM ， 所以)1,2(1-=x ，而)14,(211-=x x ，2015年湖南省高考理科数学试卷和答案(分开11 / 11 于是014)14(2212121>+=--=⋅x x x ， 因此AFM ∠总是锐角，从而AFM MFD ∠-=∠ 180是钝角．故直线l 绕点F 旋转时，MFD ∆总是钝角三角形．21.【解析】(Ⅰ) )cos sin (cos sin )('x x a e x e x ae x f ax ax ax +=+=)sin(12ϕ+⋅+=x e a ax ，其中a 1tan =ϕ，20πϕ<<． 令 0)('=x f ，由0≥x 得 πϕm x =+，即*,N m m x ∈-=ϕπ．对N k ∈，若πϕπ)12(2+<+<k x k ，即ϕπϕπ-+<<-)12(2k x k ，则0)('>x f ;若πϕπ)22()12(+<+<+k x k ，即ϕπϕπ-+<<-+)22()12(k x k ，则0)('<x f ． 因此，在区间),)1((ϕππ--m m 与),(πϕπm m -上，)('x f 的符号总相反，于是，当*,N m m x ∈-=ϕπ时，)(x f 取得极值，所以*,N n n x n ∈-=ϕπ．此时，()1()()sin()(1)sin a n n a n n f x e n e πφπφπφϕ-+-=-=-，易知0)(≠n x f ， 且2[(1)]11()()(1)sin ()(1)sin n a n a n n a n n f x e e f x e πφππφϕϕ++-++--==--是常数， 故数列)}({n x f 是首项为ϕϕπsin )()(1-=a ex f ，公比为πa e -的等比数列． (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，11sin 2+=a ϕ，于是对一切*N n ∈，|)(|n n x f x <恒成立， 即)(211ϕπϕπ-+<-n a e a n 恒成立，等价于)(1)(2ϕπϕπ-<+-n a e a a n a （*）恒成立（因为a >0）． 设)0()(>=t t e t g t ，则2(1)'()t e t g t t -=，由'()0g t =得1=t ， 当10<<t 时，0)('<t g ，所以)(t g 在)1,0(上单调递减；当1>t 时，0)('>t g ，所以)(t g 在),1(∞+上单调递增．从而当1=t 时，函数)(t g 取得最小值e g =)1(．因此，要使（*）式恒成立，只需e g aa =<+)1(12，即只需112->e a ． 而当112-=e a 时，由311tan 2>-==e a ϕ且20πϕ<<知，23πϕπ<<． 于是1322-<<-e πϕπ，且当2≥n 时，12322->>-≥-e n πϕπϕπ， 因此，对一切*N n ∈，112≠--=e n ax n ϕπ，所以a a e g ax g n 1)1()(2+==>，故（*）式也恒成立． 综上所述，若112-≥e a ，则对一切*N n ∈，|)(|n n xf x <恒成立．。
2015届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题 Word版含答案
2015年普通高等学校招生全国统一考试理 科 数 学一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}06|2<-+∈=x x R x M ，{}2|1||≤-∈=x R x N . 则N M = A ．(-3，-2] B ． B ． C ． D ． 7．执行如图所示的程序框图,则输出的结果为A ．2B ．1C ．21D ．1- 8．变量X 与Y 相对应的一组数据为（10，1）， （11.3，2），（11.8，3），（12.5，4），（13，5） 变量U 与V 相对应的一组数据为（10，5）， （11.3，4），（11.8，3），（12.5，2），（13，1），1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数，2r表示变量V 与U 之间的线性相关系数，则 A ．210r r << B ． 210r r <<C ． 210r r <<D ．21r r =9．在ABC ∆中,角A 、B 、C 的对边分别是c b a ，，.若223sin 2sin ,2B C a b bc =-=,则角A 等于 A ．6π B ．3π C ．32π D ．65π 10. 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的表面积为（单位：m 2）A.π）（2411+ B. π）（2412+ C.π）（2413+ D. π）（2414+ 11．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为(2,0)F ，设A ，B 为双曲线上关于原点对称的两点，AF 的中点为M ，BF 的中点为N ，若原点O 在以线段MN 为直径的圆上，直线AB的斜率为7，则双曲线的离心率为A. 4B. 2C.D.12．已知函数,cos sin 3sin )(2R x x x x f ∈⋅+=αωωω，又 ,21)(-=αf 21)(=βf .若βα-的最小值为43π，则正数ω的值为 A.21 B. 31 C. 41D. 51二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知向量=（1），=（0，-1），=（k.若2-与共线，则k=______________. 14．若曲线）（R 1∈+=ααx y 在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________. 15．已知)(x f 是定义在R 上的奇函数．当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)(的解集用区间表示为________________.16．如图，在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两垂直，且PA ＝3，PB ＝2，PC ＝1.设M 是底面ABC 内的一点，定义f (M )＝(m ，n ，p )，其中m 、n 、 p 分别是三棱锥M —PAB 、三棱锥M —PBC 、三棱锥M —PCA 的 体积．若),,21()(y x M f =，且81≥+yax 恒成立，则正实数a 的最小值为________．三、解答题:解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17.（本小题满分12分）已知等差数列{}n a 的首项13,0a d =≠公差,其前n 项和为n S ,且1413,,a a a 分别是等比数列{}n b 的第2项,第3项,第4项.(I)求数列{}n a 与{}n b 的通项公式; (II)证明1211113.34n S S S ≤++⋅⋅⋅+< 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面是边长为32的菱形， 且∠BAD ＝120°，且PA ⊥平面ABCD ，PA ＝2 6，M ，N 分 别为PB ，PD 的中点．(1)证明：MN ∥平面ABCD ；(2) 过点A 作AQ ⊥PC ，垂足为点Q ，求二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值．19．（本小题满分12分）甲、乙、丙三位同学一起参加某高校组织的自主招生考试,考试分笔试和面试两部分,笔试和面试均合格者将成为该校的预录取生(可在高考中加分录取),两次考试过程相互独立.根据甲、乙、丙三位同学的平时成绩分析,甲、乙、丙三位同学能通过笔试的概率分别是0.6,0.5,0.4,能通过面试的概率分别是0.5,0.6,0.75.(1)求甲、乙、丙三位同学中至少有两位同学通过笔试的概率;(2)设经过两次考试后,能被该高校预录取的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望)(X E .20．（本小题满分12分）已知椭圆）（012222>>=+b a by a x 的一个焦点与抛物线x y 342=的焦点F 重合，且椭圆短轴的两个端点与点F 构成正三角形．(1)求椭圆的方程；(2)若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同的两点P ，Q ，试问在x 轴上是否存在定点E (m,0)，使PE →·QE →恒为定值？若存在，求出E 的坐标，并求出这个定值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分12分）已知函数2ln )(x x a x f += (a 为实常数) .(1)当4-=a 时,求函数)(x f 在[]1,e 上的最大值及相应的x 值; (2)当[]e x ,1∈时,讨论方程()0=x f 根的个数.(3)若0>a ,且对任意的[]12,1,x x e ∈,都有()()212111x x x f x f -≤-,求实数a 的取值范围.请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.22.（本小题满分10分）选修4—1；几何证明选讲．如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CE CB =（1）证明：E D ∠=∠;（2）设AD 不是圆O 的直径，AD 的中点为M ， 且MC MB =，证明：△ADE 为等边三角形.23.（本小题满分10分）选修4—4: 坐标系与参数方程．极坐标系与直角坐标系xOy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴。
(优辅资源)湖南省湘潭市高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题Word版含答案
2018届高三第三次模拟考试数学理科试题 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.的元素个数为（ ）A2. ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D．第四象限3.，则 （） A4. 数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打结的方法来记数，并以绳结的大小来表示野兽的大小，即“结绳计数”，图2所示的是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左一次排列的不用绳子上打结，右边绳子上的结每满7个的左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段时间内所擒获的猎物总数为（ ） A5.）A6.则该双曲线的方程是（）A7.（）A8.（）A9.值为（）A10. 某几何体的三视图如图所示，其正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（）A11.一个单调递增区间为（）A12.的取值范围是（）A 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.2b a =，则向量的夹角为 ．14.上方的概率为 ．15.．16.的表面积 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（1（2.18. 殖，我国分布很广，北起鸭绿江，南至海南岛，沿海皆可产生蚝，生蚝乃软体有壳，衣服寄生的动物，咸淡水交界所产尤为肥美，因此生蚝称为了一年四季不可或缺的一类美食，某饭店从某水产养殖厂购进一批生蚝，并随机抽取了40只统计质量，得到结果如下表所示：（1）且同一组数据用该组区间的中点值代表，试估计这批生蚝的数量（所得结果保留整数）；（2）以频率估计概率，若在本次购买的生蚝中随机挑选4.19..（1（2.20..（1（2）探究：请求出定点坐标；若不是，请说明理由.21.（1（2请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系中，以坐标原（1（2.23.（1（2取值范围.精品文档试卷答案一、选择题1-5: BBDCB 6-10: ADDCA 11、B 12：A二、填空题三、解答题17.（2，18.解：（1）由表中的数据可以估算妹纸生蚝的质量为；（219.解：（11Rt FA E∆A FE∠=∠（2）由（12n m n=⨯⋅20.解：（1（2当两直线的斜率存在且不为0，当两直线的斜率分别为021.（2）由（122.解：（1），（2的距离23.解：（1）由题意知，原不等式等价于（2。
湖南省湘潭市数学高考理数三模考试试卷
湖南省湘潭市数学高考理数三模考试试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·宝安模拟) 已知为实数集，集合，则（）A .B .C .D .2. （2分）(2018·榆社模拟) 复数在复平面内对应的点位于（）A . 第一象限B . 第二象限C . 第三象限D . 第四象限3. （2分） (2016高一下·东莞期中) 已知平面向量 =（﹣6，2）， =（3，m），若⊥ ，则m的值为（）A . ﹣9B . ﹣1C . 1D . 94. （2分）(2014·重庆理) 对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是（）A . a1 ， a3 ， a9成等比数列B . a2 ， a3 ， a6成等比数列C . a2 ， a4 ， a8成等比数列D . a3 ， a6 ， a9成等比数列5. （2分）给出以下四个说法：①绘制频率分布直方图时，各小长方形的面积等于相应各组的组距；②线性回归直线一定经过样本中心点，；③设随机变量ξ服从正态分布N（1，32）则p（ξ＜1）=；④对分类变量X与Y它们的随机变量K2的观测值k越大，则判断“与X与Y有关系”的把握程度越小．其中正确的说法的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 46. （2分）(2018·茂名模拟) 某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（）A .B .C .D .7. （2分） (2017高一下·衡水期末) 某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的值是（）A . 0B . ﹣1C . ﹣2D . ﹣88. （2分）(2017·成都模拟) 若实数x，y满足不等式，且x﹣y的最大值为5，则实数m的值为（）A . 0B . ﹣1C . ﹣2D . ﹣59. （2分）(2017·四川模拟) 函数f（x）=sinωx（ω＞0），对任意实数x有，且，那么 =（）A . aB .C .D . ﹣a10. （2分）已知双曲线与椭圆的离心率互为倒数，则双曲线的渐近线方程为（）A .B .C .D .11. （2分）将所有的自然数按以下规律排列：0123456789101112…那么从2012到2014的顺序为（）A . →↑B . ↑→C . ↓→D . →↓12. （2分） (2017高一下·鸡西期末) 已知一个四棱锥的正视图、侧视图如图所示，其底面梯形的斜二测画法直观图是一个如图所示的等腰梯形，且该等腰梯形的面积为，则该四棱锥的体积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2016·河北模拟) 设（1﹣2x）n=a0+a1x+a2x2+…+anxn（x∈N*），若a1+a2=30，则n=________．14. （1分） (2017高二下·中原期末) 已知函数f（x）是R上的偶函数，g（x）是R上的奇函数，且g（x）=f（x﹣1），若f（﹣2）=2，则f（2018）=________．15. （1分）(2013·江苏理) 双曲线的两条渐近线方程为________．16. （1分） (2015高一下·太平期中) 已知{an}的前n项和为Sn ，且Sn=2an﹣2，则a2=________三、解答题 (共7题；共70分)17. （10分） (2016高一下·长春期中) 已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A是锐角，且b=2a•sinB．（1）求∠A的度数；（2）若a=7，△ABC的面积为10 ，求b2+c2的值．18. （10分） (2017高二下·资阳期末) 当今信息时代，众多高中生也配上了手机．某校为研究经常使用手机是否对学习成绩有影响，随机抽取高三年级50名理科生的一次数学周练成绩，并制成下面的2×2列联表：及格不及格合计很少使用手机20626经常使用手机101424合计302050（1）判断是否有97.5%的把握认为经常使用手机对学习成绩有影响？（2）从这50人中，选取一名很少使用手机的同学记为甲和一名经常使用手机的同学记为乙，解一道数学题，甲、乙独立解出此题的概率分别为P1，P2，且P2=0.5，若|P1﹣P2|≥0.4，则此二人适合结为学习上互帮互助的“学习师徒”，记X为两人中解出此题的人数，若X的数学期望E（X）=1.4，问两人是否适合结为“学习师徒”？参考公式及数据：，其中n=a+b+c+d．P（K2≥K0）0.100.050.0250.010K0 2.706 3.841 5.024 6.63519. （5分） (2017高二下·温州期末) 已知菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于一点 O，∠A=60°，将△BDC 沿着 BD 折起得△BDC'，连结 AC'．（Ⅰ）求证：平面AOC'⊥平面 ABD；（Ⅱ）若点 C'在平面 ABD 上的投影恰好是△ABD 的重心，求直线 CD 与底面 ADC'所成角的正弦值．20. （15分） (2015高二上·昌平期末) 抛物线y2=2px（p＞0）与直线y=x+1相切，A（x1 ， y1），B（x2 ，y2）（x1≠x2）是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，且|AF|+|BF|=8．（1）求p的值；（2）线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（3）求直线l的斜率的取值范围．21. （10分）综合题（1）已知函数f（x）=mlnx与函数h（x）= （x＞0）的图象有且只有一条公切线，求实数m的值．（2）已知函数y=lnx﹣（ax+b）有两个不同的零点x1，x2，求证：＜x1x2＜．22. （10分） (2018高二下·虎林期末) 已知曲线的参数方程为 (为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为。