卓越联盟自主招生数学试题及答案(2013年)

合集下载

2013年三大联盟自主招生数学试题及答案

ak al am an ．设 an a1 n 1 d ，则
ak al am an
a1 k 1 d a1 l 1 d a1 m 1 d a1 n 1 d k l mn k l mn ≥ mn 2 2 因此命题得证，
b2013 0 ，进而易得 a1 a2
b2013 mx m 2013 x m 2x 2013 ．
a2013 0 ．
（理科第 9 题，文科第 9 题）对任意，求 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2 的值．【解析】 32cos6 cos6 6cos 4 15cos 2
1 2 【解析】 B．
AB BC CA 的模等于（ A BC
）
A．
B． 1
C． 3
D．不能确定
A B C A B C
A B C A B C

3 AB AC BA BC C A CB
AB BC CA AB BC CA
（理科第 7 题，文科第 8 题）至多可以找到多少个两两不同的正整数使得它们中任意三个的和都是质数？证明你的结论．【解析】至多可以找到 4 个，如 1, 3 , 7 , 9 ．下面证明不能找到 5 个符合题意的正整数．考虑它们模 3 的余数，设余数为 0 、 1 、 2 的分别有 a 、 b 、 c 个，则 1° 若 a 、 b 、 c 均不为零，则存在三个数，它们的和为 3 的倍数，一定不是质数； 2° 若 a 、 b 、 c 中有零，则根据抽屉原理，至少存在三个数，它们的余数相同．此时它们的和为 3 的倍数，一定不是质数．综上，不能找到 5 个符合题意的正整数．（理科第 8 题，文科第 10 题）实数 a1 , a2 ,

2013高中自主招生考试选拔试题(含答案)

（每写出一个得1分）
（2）根据对对阵形式的分析可以知道：天忌赢得比赛的概率为（得4分）
解(115、（本小题满分10分）
解：解：（1）集合不是好的集合，是好的集合。（每个判断正确得2分）
（2）集合、、、等都可以举。（每举出一个得3分）
16、（本小题满分10分）
证明：，且为三等分点，为中点
我们观察操作，将某次操作前的三个数记为．因为对称，不妨设操作．则操作后的三个数为，，．不难发现
也就是说，操作前后平方和不改变，所以经过有限此操作后，三个数的平方和为10不为2014．（得4分）
A．20分钟Ｂ．22分钟
Ｃ．24分钟D．26分钟
5.二次函数的图象如何移动就得到的图象（）
A. 向左移动1个单位，向上移动3个单位。
B. 向右移动1个单位，向上移动3个单位。
C. 向左移动1个单位，向下移动3个单位。
D. 向右移动1个单位，向下移动3个单位。
6．下列名人中：①比尔盖茨②高斯③刘翔④诺贝尔⑤陈景润⑥陈省身⑦高尔基⑧爱因斯坦，其中是数学家的是（）
13．如果有2007名学生排成一列，按1、2、3、4、5、4、3、2、1、2、3、4、5、4、3、2、1……的规律报数，那么第2007名学生所报的数是．
三、解答题：（本题有4个小题，共38分）解答应写出文字说明,证明过程或推演步骤。
14．（本小题满分8分）【田忌赛马】
齐王和他的大臣田忌均有上、中、下马各一匹，每场比赛三匹马各出场一次，共赛三次，以胜的次数多者为赢．已知田忌的马较齐王的马略有逊色，即：田忌的上马不敌齐王的上马，但胜过齐王的中马；田忌的中马不敌齐王的中马，但胜过齐王的下马；田忌的下马不敌齐王的下马. 田忌在按图1的方法屡赛屡败后，接受了孙膑的建议，用图2的方法，结果田忌两胜一负，赢了比赛.假如在不知道齐王出马顺序的情况下：

2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷(带答案)

2013届高三数学全国高校自主招生模拟试卷（带答案）2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四一、选择题(本题满分36分，每小题6分)1．已知△ABC，若对任意t∈R，→BA－t→BC≥→AC，则△ABC一定为A．锐角三角形B．钝角三角形C．直角三角形D．答案不确定2．设logx(2x2＋x－1)＞logx2－1，则x的取值范围为A．12＜x＜1B．x＞12且x≠1C．x＞1D．0＜x＜13．已知集合A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞0}，a，b∈N，且A∩B∩N ＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为A．20B．25C．30D．424．在直三棱柱A1B1C1－ABC中，∠BAC＝π2，AB＝AC＝AA1＝1．已知G与E分别为A1B1和CC1的中点，D与F分别为线段AC和AB上的动点(不包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为A．15，1)B．15，2)C．1，2)D．15，2)5．设f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)，则对任意实数a，b，a＋b≥0是f(a)＋f(b)≥0的A.充分必要条件B.充分而不必要条件C.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件6．数码a1，a2，a3，…，a2006中有奇数个9的2007位十进制数－2a1a2…a2006的个数为A．12(102006＋82006)B．12(102006－82006)C．102006＋82006D．102006－82006二、填空题(本题满分54分，每小题9分)7.设f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x，则f(x)的值域是．8.若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为．9．已知椭圆x216＋y24＝1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－3y＋8＋23＝0上.当∠F1PF2取最大值时，比|PF1||PF2|的值为．10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个半径为12cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切.现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水cm3．11．方程(x2006＋1)(1＋x2＋x4＋…＋x2004)＝2006x2005的实数解的个数为．12.袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好取完所有红球的概率为．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13.给定整数n≥2，设M0(x0，y0)是抛物线y2＝nx－1与直线y＝x的一个交点.试证明对任意正整数m，必存在整数k≥2，使(x0m，y0m)为抛物线y2＝kx－1与直线y＝x的一个交点．14．将2006表示成5个正整数x1，x2，x3，x4，x5之和．记S＝1≤i ＜j≤5Σxixj．问：⑴当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最大值；⑵进一步地，对任意1≤i，j≤5有xi－xj≤2，当x1，x2，x3，x4，x5取何值时，S取到最小值.说明理由．15．设f(x)＝x2＋a.记f1(x)＝f(x)，fn(x)＝f(fn－1(x))，n＝1，2，3，…，M＝{a∈R|对所有正整数n，fn(0)≤2}．证明，M＝－2，14]．2013年全国高校自主招生数学模拟试卷四参考答案一、选择题(本题满分36分，每小题6分)答C．解：令∠ABC＝α，过A作AD⊥BC于D，由→BA－t→BC≥→AC，推出→BA2－2t→BA•→BC＋t2→BC2≥→AC2,令t＝→BA•→BC→BC2，代入上式，得→BA2－2→BA2cos2α＋→BA2cos2α≥→AC2，即→BA2sin2α≥→AC2,也即→BAsinα≥→AC．从而有→AD≥→AC．由此可得∠ACB＝π2．答B．解：因为x＞0，x≠12x2＋x－1＞0，解得x＞12且x≠1．由logx(2x2＋x －1)＞logx2－1，＋x2－x)＞＜x＜1，2x3＋x2－x＜2或x＞1，2x3＋x2－x＞2．解得0＜x＜1或x＞1．所以x的取值范围为x＞12且x≠1．答C．解：5x－；6x－b＞＞b6．要使A∩B∩N＝{2，3，4}，则1≤b6＜2，4≤a5＜5，即6≤b＜12，20≤a＜25．所以数对(a，b)共有C61C51＝30个．答A．解：建立直角坐标系，以A为坐标原点，AB为x轴，AC为y轴，AA1为z轴，则F(t1，0，0)(0＜t1＜1)，E(0，1，12)，G(12，0，1)，D(0，t2，0)(0＜t2＜1)．所以→EF＝(t1，－1，－12)，→GD＝(－12，t2，－1)．因为GD⊥EF，所以t1＋2t2＝1，由此推出0＜t2＜12．又→DF＝(t1，－t2，0)，→DF＝t12＋t22＝5t22－4t2＋1＝5(t2－25)2＋15，从而有15≤→DF＜1．答A．解：显然f(x)＝x3＋log2(x＋x2＋1)为奇函数，且单调递增．于是若a＋b≥0，则a≥－b，有f(a)≥f(－b)，即f(a)≥－f(b)，从而有f(a)＋f(b)≥0．反之，若f(a)＋f(b)≥0，则f(a)≥－f(b)＝f(－b),推出a≥－b，即a＋b≥0．答B．解：出现奇数个9的十进制数个数有A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059．又由于(9＋1)2006＝k＝0Σ2006C2006k92006－k以及(9－1)2006＝k＝0Σ2006C2006k(－1)k92006－k从而得A＝C2006192005＋C2006392003＋…＋C200620059＝12(102006－82006)．填0，98]．解：f(x)＝sin4x－sinxcosx＋cos4x＝1－12sin2x－12sin22x．令t＝sin2x，则f(x)＝g(t)＝1－12t－12t2＝98－12(t＋12)2．因此－1≤t≤1ming(t)＝g(1)＝0，－1≤t≤1maxg(t)＝g(－12)＝98．故，f(x)∈0，98]．填－55，55]．解：依题意，得＋cosθ)2＋(2a－－2sinθ)≤3－5a2．－25asin(θ－φ)≤3－5a2(φ＝arcsin55)对任意实数θ成立．－，故a的取值范围为－55，55]．填3－1．.解：由平面几何知，要使∠F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于点P．直线l交x轴于A(－8－23，0)，则∠APF1＝∠AF2P，即∆APF1∽∆AF2P，即|PF1||PF2|＝|AP||AF2|⑴又由圆幂定理，|AP|2＝|AF1|•|AF2|⑵而F1(－23，0)，F2(23，0)，A(－8－23，0)，从而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋43．代入⑴，⑵得，|PF1||PF2|＝|AF1||AF2|＝88＋43＝4－23＝3－1．填(13＋22)π．解：设四个实心铁球的球心为O1，O2，O3，O4，其中O1，O2为下层两球的球心，A，B，C，D分别为四个球心在底面的射影．则ABCD是一个边长为22的正方形。

2013年自主招生卓越试题(精析版宋书华)

f (− ) = 0 6
∴ sin(ϕ − ) = 0 3
π
π
0 <ϕ < ∴ϕ =
π
2
π
3
∴ f ( x) = sin(2 x + ) 3
易得如下变换 y = sin x → y = sin( x + 故选 B.
π
π
) → y = sin(2 x + ) 3 3
π
3.如图,在 A, B, C , D, E 五个区域中栽种 3 种植物,要求同一区域中只种 1 种植物,相邻两区域所种植物不同,则不同的栽种方法的总数为( ) (A) 21 (B) 24 (C) 30 (D) 48
(3)易得 A(0, −2)
∴ k AC ⋅ k AD =
y1 + 2 y2 + 2 (kx1 + 3)(kx2 + 3) k 2 x1 x2 + 3k ( x1 + x2 ) + 9 ⋅ = = x1 x2 x1 x2 x1 x2
3k ( x1 + x2 ) 9 + x1 x2 x1 x2
∴ k AC ⋅ k AD = k 2 + x1 + x2 = −
证明:记不同的染色方案数为 an ,因为区域1 的颜色已经指定,所以可从区域 2 的颜色证明开始考虑,在不考虑区域 n 和区域 1 的染色是否相同的情况下,可知区域 i (2 ≤ i ≤ n) 均有 m − 1 种染色方案,故 an = ( m − 1)
n −1
− an −1 ,下面给出求 an 的过程.
∴| OA + 2OB + 3OC |= 2 .
7.设曲线 y =

2013卓越联盟自主招生试题及答案

2013卓越联盟自主招生试题及答案新高考新题目2013-08-25 20502013卓越联盟自主招生试题及答案新一轮卓越联盟自主招生开始了，小编整理卓越联盟试题及答案供大家分享学习语文1.语文的古文阅读选取的是《左传》中的篇章。

一道现代文阅读，内容是关于“科学研究的范式”，即常规科学赖以运作的理论基础和规范。

文章偏于科学哲学范围，考察逻辑思维和理解能力。

2.小作文要求选取一个汉字来盘点2011年，并做阐述，篇幅不超过150字3.大作文作题目大意为在“见、贤、思、齐”这四个字中，任选一个字作为作文的主题，题目不限，文体不限，字数为800字左右。

英语1.完型填空是乔布斯，这篇完型填空是以一名“果粉”的身份，表达了对乔布斯的怀恋，比较抒情。

2.阅读短文三篇第一篇阅读讲小镇居民对树的感情，思想性比较强。

第二篇阅读材料的内容是及“有机食品的研究”，主要讲的是有机食品问题，包括有机食品和常规食品的优缺点比较等第三篇阅读材料与“关于科学发展对教育的影响和作用”。

阅读内容偏向于社会时事。

3.完形填空的文章，谈到现代技术对教育的影响。

4..英语作文题的大意为“回顾过去与展望未来一样重要”。

英语写作内容与“回忆过去，展望未来”有关，并根据自己的理解进行写作，其字数要求120字左右。

数学1.数学6道填空题2.6道大题，涉及平面几何、立体几何、抛物线、等比数列、抛物线，导数等知识点。

化学则都是大题1.一道说明题要求考生比较碳元素和硅元素的差异2.大题为根据铁元素的性质，进行沉淀实验验证。

3.一道辩证推理题.4.最难的一道有机题.物理1.大题涉及到速度与电路问题。

2013年卓越联盟自主招生笔试试题2013-03-16 1407 来源中国教育在线16日上午9点，卓越联盟自主招生笔试结束，以下为考生对自主招生试题的回忆记录，供参考！语文作文题目小作文，35分400到500字是否认可煎饼人，煎饼人是指掌握多个领域的技能和知识的人，有人说煎饼人“面面会，面面松”，有人说煎饼人是复合型人才，谈谈对此的观点。

卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案1

清北学长精心打造——卓越自主招生数学模拟试题及参考答案(一)一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。

1．已知△ABC 的三边a ，b ，c 成等比数列，a ，b ，c 所对的角依次为A ，B ，C.则sinB+cosB 的取值范围是（） A ．(1，1+]23 B ．[21，1+]23 C ．（1，]2 D ．[21，]2 2.一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率是( ) A 1/2 B 2/5 C 3/5 D 4/73．正四棱锥ABCD S -中，侧棱与底面所成的角为α，侧面与底面所成的角为β，侧面等腰三角形的底角为γ，相邻两侧面所成的二面角为θ，则α、β、γ、θ的大小关系（）（A ）θγβα<<<（B ）γθβα<<<（C ）βγαθ<<<（D ）θβγα<<< 4. 已知f (x )＝|x ＋1|＋|x ＋2|＋…＋|x ＋2007|＋|x －1|＋|x －2|＋…＋|x －2007|（x ∈R ），且f (a 2－3a ＋2)＝f (a －1)．则a 的值有（）.（A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个5.平面上满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤--≤+≥01002y x y x x 的点（x ，y ）形成的区域为D ，区域D 关于直线y=2x对称的区域为E ，则区域D 和区域E 中距离最近的两面三刀点的距离为（）A ．556 B ．5512 C ．538 D ．53166. 若m 、n ∈{x |x ＝a 2×102＋a 1×10＋a 0}，其中a i ∈{1，2，3，4，5，6，7}，i ＝0，1，2，并且m ＋n ＝636，则实数对(m ，n )表示平面上不同点的个数为（）．（A ）60个（B ）70个（C ）90个（D ）120个 7．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,2+++===-++n n n na a a a n n 201122012>+m a ，则正整数m 的最小值为( ). A 4025 B 4250 C 3650 D 4425 8. 用红、黄、蓝三种颜色之一去涂途中标号为9,,2,1的9个小正方形（如图），使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号数字涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )A 96B 108C 112 D120 9．设a n =2n ，b n =n ，（n=1，2，3，。

2013卓联高校自主招生数学试题及解答

2013卓联一、选择题1.已知()f x 是定义在实数集上的偶函数，且在(0,)+∞上递增，则（A ）0.72(2)(log 5)(3)f f f <-<- (B) 0.72(3)(2)(log 5)f f f -<<-(C) 0.72(3)(log 5)(2)f f f -<-< (D) 0.72(2)(3)(log 5)f f f <-<-2.已知函数()sin()(0,0)2f x x πωϕωϕ=+><<的图象经过点(,0)6B π-，且()f x 的相邻两个零点的距离为2π，为得到()y f x =的图象，可将sin y x =图象上所有点（A ）先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (B) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的12倍，纵坐标不变 (C) 先向左平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 (D) 先向右平移3π个单位长度，再将所得点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变 3.如图，在,,,,A B C D E 五个区域中栽种3种植物，要求同一区域中只种1种植物，相邻两区域所种植物不同，则不同的栽种方法的总数为（A ）21 (B)24 (C)30 ( D)484.设函数()f x 在R 上存在导数()f x '，对任意的x R ∈，有2()()f x f x x -+=，且在(0,)+∞上()f x x '>．若(2)()22f a f a a --≥-，则实数a 的取值范围为（A ）[1,)+∞ (B) (,1]-∞ (C) (,2]-∞ (D) [2,)+∞二、填空题5.已知抛物线22(0)y px p =>的焦点是双曲线2218x y p -=的一个焦点，则双曲线的渐近线方程为． 6.设点O 在ABC ∆的内部，点D ，E 分别为边AC ，BC 的中点，且21OD DE +=u u u r u u u r ，则23OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r ．7.设曲线22y x x =-与x 轴所围成的区域为D ，向区域D 内随机投一点，则该点落入区域22{(,)2}x y D xy ∈+<内的概率为．8.如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）．三、解答题 9.在ABC ∆中，三个内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ．已知()(sin sin )()sin a c A C a b B -+=-．（1）求角C 的大小；（2）求sin sin A B ⋅的最大值．10.设椭圆2221(2)4x y a a +=>的离心率为3，斜率为k 的直线l 过点(0,1)E 且与椭圆交于,C D 两点．（1）求椭圆方程；（2）若直线l 与x 轴相交于点G ，且GC DE =u u u r u u u r ，求k 的值；（3）设A 为椭圆的下顶点，AC k 、AD k 分别为直线AC 、AD 的斜率，证明对任意的k 恒有2AC AD k k ⋅=-．11.设0x >，（1）证明：2112x e x x >++；（2）若2112x y e x x e =++，证明：0y x <<． 12.已知数列{}n a 中，13a =，2*1,,n n n a a na x n N x R +=-+∈∈．（1）若2n a n ≥对*n N ∀∈都成立，求x 的取值范围；（2）当2x =-时，证明*121112()222n n N a a a +++<∈---L ． ##Answer##1.A ；2.B ；3.【简解】A 与C 相同时，ABC 有23A 种，此时D 与B 可以相同，也可以不同，各有1种情况，共23A (1+1)=12种情况；A 与C 不同时，ABC 有33A 种，当D 与B 相同时，E 有一种情况，D 与B 不同时,E 有2种情况，共33A (1+2)=18种情况；总之共有12+18=30。

2013年“卓越联盟”自主招生数学试卷评析

Ｂ．先向左平移个单位长度，再将所得点的横
２０１４年第１、２期
福建中学数学
９
坐标变为原来的去倍，纵坐标不变
Ｃ．先向左平移个单位长度，再将所得点的横
参考．
１
解析由１＋壶 …老＜２（一
１
，
＋＋ … ＋
及对数函数性质，易得ｌｏｇ６＞１，
．
０＜ｌｏｇ６＜１，ｌｏｇａ＜０
Ｄ
故有ｌ０ｇａ＜ｌｏｇ臼＜ｌｏｇｂ，
Ｄ
行，这意味着考试时间将与两大联盟“ 北约” 、 “ 华约” 再一次撞车．对于占据“ 半壁江山” 的数学学科而言，三大联盟的考查方式则显得颇有些耐人寻味． “ 华约” 不分文理科， “ 北约” 文理仅一题不同，而“ 卓越 ” 则相当于文理分科，同题一般不超过四题．本文将就２０１３年“ 卓越联盟” 自主招生数学试卷作相关评析，仅供广大师生
答案为Ａ．评析本题主要考查考生对于函数基本性质的灵活运用，突出数形结合思想．此类题型是考生平
题１（理科）已知Ｓ（ｘ）是定义在Ｒ上的偶函数，
且在区间（０，＋ｏ。）上是增函数，则（）
．
的图象经过点Ｂｃ一詈，。），且，（ｘ）的相邻两个零点的
象上所有的点（）Ａ．先向右平移个单位长度，再将所得点的横

2013年自招数学模拟

数，所以此数必为首项且等于 3，此时数列只能是 3，11，19； (2)若这三个数中有一个完全平方数和两个质数：因为完全平方数除以 3 余 1 或 0，若余 1，其余两个数中必有一个是 3 的倍数，又是质数，所以为 3，但此情况在(1)中讨论过；若余 0，因为是质数的完全平方数, 故此数为 9，含 9 的数列为 1,9,17 和 9,17,25 都满足题意（但这两个数列都不满足此种情况，有两个完全平方数） (3)若这三个数中有两个完全平方数和一个质数：因为公差 8，所以这两个完全平方相差 8 或 16，所以只能是 1、9 和 9、25，对应数列分别是 1,9,17 和 9,17,25 都在上一种情况里提到了。 (4)若这三个数全是完全平方数，显然不存在。综上，有三个满足题意的数列：3,11,19；1,9,17；9,17,25.
因为边长为 2，对角线为此行中必存在两个相邻格子一黑一白，分别让两只跳蚤跳入其中各自颜色的格子即可相邻，需跳两次；
②若两个跳蚤不同行或列，则白跳蚤所在行与黑跳蚤所在列必相交，相交处的格子若为黑色则由黑跳蚤跳入，为白色则由白跳蚤跳入，经一次即可变为同行或列；
2013 年自主招生模拟（北约二）胡源命题
2013 年自主招生模拟（北约二）参考答案
一、选择题 AAA DDC
二、解答题 7．解：调整法，3 点在顶点时周长最大
任取 M、N 两点固定，以这两点为焦点做一个与正五边形有交点最大的椭圆，则那个交点一定是五边形顶点，将 K 点移动至这个顶点，三角形周长增加；再分别固定 M、K，N、K 重复上述过程，此时三角形 KMN 顶点都是正五边形的顶点，再移动任意一个顶点都会导致周长变小，故此时周长最大。
试题卷第 2 页共 2 页
由①②可知，至多跳 3 次可以相邻。

大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一

大学自主招生测评题真题及答案解析——数学一一、选择题1、（北约2014年）设扇形的圆心角为3π，面积为6π，将它围成一个圆锥，求圆锥的表面积______（A ）132π （B ）7π （C ）152π （D ）8π答案：B6/660360ππ=，扇形弧长为60262360ππ=，故圆锥底面半径为1，圆锥的表面积等于67πππ+=2、（北约2013和为两根的有理系数多项式的最高次数最小为( )A. 2B.C. D. 答案：C解析：由,可知,同理由可知; 所以方程的次数最小,其次数为5,故选C.3、（华约2012年）红蓝两色车、马、炮棋子各一枚，将这6枚棋子排成一列，其中对对同字的棋子中，均为红棋子在前，蓝棋子在后，满足这种条件的不同的排列方式共有（）(A) 36种 (B) 60种 (C) 90种 (D)120种答案：C4、（华约2010年）设向量,a b ，满足||||1,==⋅=a b a b m ，则||+a tb ()t R ∈的最小值为（）（A ）2 （B （C ）1 （D 答案：D5、（华约2010年）设复数2()1a i w i+=+，其中a 为实数，若w 的实部为2，则w 的虚部为（）（A ）32- （B ）12- （C ）12 （D ）32答案：A二、填空题6、（卓越2014年）不等式32210x x -+<的解集为_____________。

13561x =22x =1x 3(1)2x -=23(2)[(1)2]0x x ---=答案：1515112⎛⎫⎛++-, ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭解析：22x x =，把原式视作x 的三次多项式分解因式即可。

7、（卓越2013年）如图，AE 是圆O 的切线，A 是切点，AD 与OE 垂直，垂足是D ，割线EC 交圆O 于,B C ，且,ODC DBC αβ∠=∠=，则OEC ∠= （用,αβ表示）。

答案：βα-三、综合题8、（北约2014年）证明：tan 3是无理数。

卓越联盟自主招生数学模拟试题及参考答案(3)

绝密★启用前清北学长精心打造——卓越联盟自主招生数学模拟试题(三)考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（5*6=30分）1.已知函数()()432,,,f x x a x b x c x d a b c d =++++为实常数的图象经过三点12,2A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，13,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，14,4C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()()15f f +的值等于（） A ．0 B ．1C ．265D ．252.函数f 定义在正整数有序对的集合上，并满足(,),(,)(,),f x x x f x y f y x ==()(,)(,)x y f x y yf x x y +=+，则(14,52)f 的值为（）A ．364B ．182C ．91D ．无法计算3.二次函数c bx ax y ++=2的图象的一部分如图，则a 的取值范围是（）A ．01<≤-aB ．1->aC ．01<<-aD ．1-≤a4.关于x 、y 的方程20071111=++xy y x 的正整数解（x ，y ）的个数为（）A ．16B ．24C ．32D ．48第II 卷（非选择题）二、填空题（6*6=36分）5.定义: 区间[](),c d c d <的长度为d c -. 已知函数3log y x =的定义域为[],a b , 值域为[]0,2，则区间[],a b 长度的最大值与最小值的差等于________.6. 平面上给定ΔA 1A 2A 3及点p 0，定义A s =A s-3,s ≥4，构造点列p 0,p 1,p 2,…,使得p k+1为绕中心A k+1顺时针旋转1200时p k 所到达的位置，k=0,1,2,…,若p 1986=p 0.则ΔA 1A 2A 3为三角形。

2013年自招数学答案

2013年高中自主招生考试数学试卷参考答案及评分标准一、选择题：（每小题3分，共24分）ABDC CABC 二、填空题：（每小题4分，共32分）9. 0 10. 161 11. 26 12. ﹙0，1﹚ 13. 1 14.28 15. 22 16. 6, n (n +1) 三、解答题：（10大题，共94分）17. （5分）解：原式=919)3(2)3()9)(9(2+•-+•++-a a a a a a =32+a ………………………………………3分当33-=a 时，原式=332 …………………………………………………………5分 18.（5分）解：由|1-a |+2+b =0，得a =1，b =-2. ……………………………………………2分由方程x 1-2x =1得2x 2+x -1=0解之，得x 1=-1，x 2=21.…………………………………………4分经检验，x 1=-1，x 2=21是原方程的解. …………………………………………………………5分 19.（6分）(1) 被抽查的居民中，人数最多的年龄段是21~30岁 ……………………………1分(2)总体印象感到满意的人数共有400×83%=332 (人)31~40岁年龄段总体印象感到满意的人数是：332(5412653249)66-++++=(人) 图略 ……………………………………………………3分(3) 31~40岁年龄段被抽人数是2040080100⨯=(人) 总体印象的满意率是66100%82.5%83%80⨯=≈ ； 41~50岁被抽到的人数是1540060100⨯=人,满意人数是53人, 总体印象的满意率是5388.3%88%60=≈ ； ∴41~50岁年龄段比31~40岁年龄段对博览会总体印象的满意率高. ………………………6分20.（6分）解：过D 作DE ⊥BC 于E ，作DF ⊥AB 于F ，设AB =x 米，在Rt △DEC 中，∠DCE =30°，CD =200，∴DE =100，CE =1003.在Rt △ABC 中，∠ACB =45°，∴BC=x 米.则AF =AB －BF =AB －DE =x －100，DF =BE =BC ＋CE =x ＋1003.在Rt △AFD 中，∠ADF =30°，tan30°=FD AF ， ∴333100100=+-x x . ∴473)33(100≈+=x （米）.……………………………………5分答：山AB 的高度约为473米.……………………………………………6分21．（6分）解：（1）画树状图得：∴点Q 所有可能的坐标有6个：（0，﹣2），（0，0），（0，1），（﹣2，，﹣2），（﹣2，0），（﹣2， 1）.………………………2分（2）∵点Q 在y 轴上的有：（0，﹣2），（0，0），（0，1），∴点Q 在y 轴上的概率为：21.…4分（3）∵⊙O 的半径是2，∴在⊙O 外的有（﹣2，1），（﹣2，﹣2），在⊙O 上的有（0，﹣2），（﹣2，0）. ∴过点Q 能作⊙O 切线的概率为：3264=.…………………………………………………6分 22．（7分）解：（1）由图象知：线段BC 经过点（20，500）和（40，600），∴设解析式为：Q =kt +b ， ∴⎩⎨⎧=+=+6004050020b k b k ，解得⎩⎨⎧==4005b k ，∴解析式为：Q =5t +400（20＜t ＜40）……………2分（2）设乙水库的供水速度为x 万m3/h ，甲为y 万m 3/h ， ∴⎩⎨⎧-=--=-600400)2(40500600)(20y x y x ，解得⎩⎨⎧==1015y x ， ∴乙水库供水速度为15万m 3/h 和甲水库一个排灌闸的灌溉速度10万m 3/h ；………… 5分（3）∵正常水位的最低值为a =500-15×20=200，∴（400-200）÷（2×10）=10h ，∴10小时后降到了正常水位的最低值．……………………………………………………… 7分23．（8分）（1）∵∠B 、∠F 同对劣弧AP ，∴ ∠B =∠F∵BO =PO ，∴∠B =∠BPO ∴∠F =∠BPF ，∴AF ∥BE …………………………3分（2）∵∠C PE = ∠B PO =∠B =∠EA P ，∠C =∠C ，∴△P C E ∽△ACP ，∴APAC PE PC =. ∵∠EA P =∠B ，∠E P A =∠A P B =90°，∴△EA P ∽△A B P ， ∴APAB PE AE =. 又∵AC =AB ，∴PEAE PE PC = ∴CP =AE ． …………………………………………………8分 24.（8分）解：（1）BE ＝GH ； ……………………………………………………………………1分（2）EF ＝GH ； …………………………………………………………………………………………2分（3）过点A 作m 的平行线交BC 于点F ′，过点D 作n 的平行线交AB 于点G ′．∵ABCD 是正方形， ∴AD ∥BC ，AB ∥CD ，∠DAB ＝∠ABC ＝90°．∴四边形AEFF ′是平行四边形，四边形DHGG ′是平行四边形，∴EF ＝AF ′，GH ＝DG ′，且EF ∥AF ′，GH ∥DG ′，又∵EF ⊥GH ∴AF ′⊥DG ′．∴∠BAF ′＋∠AG ′D ＝90°．又∵∠BAF ′＋∠AF ′B ＝90°，∴∠AG ′D ＝∠AF ′B ．………………………………………………5分在△ADG ′和△ABF ′中，⎪⎩⎪⎨⎧='∠='∠︒=∠=∠AB AD B F A D G A ABC DAB 90∴△ADG ′≌△ABF ′ ，∴AF ′＝DG ′ ，∴EF ＝GH ．…8分25.（9分）解：（1）()227.5 2.70.90.30.9 4.5y x x x x x x =-++=-+．…………………………2分（2）当4.55.49.02=+-x x 时，即0544592=+-x x ，21=x ，32=x .从投入、占地与当年收益三方面权衡，应建议修建2公顷大棚． ………………………5分（3）方法一：设3年内每年的平均收益为Z （万元）()()2227.50.90.30.30.3 6.30.310.533.075Z x x x x x x x =-++=-+=--+………………………8分∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益．………………9分方法二：设三年的收益为W （万元）W =225.99)5.10(9.09.189.0)3.039.07.2(5.73222+--=+-=⨯---⨯x x x x x x ………8分 ∴不是面积越大收益越大．当大棚面积为10.5公顷时可以得到最大收益． ……………9分26. （12分）解：（1）∵抛物线y =ax 2+bx +c 经过点O 、A 、C ，可得c =0，∴⎩⎨⎧=+=+1242b a b a ，解得a =，b =，∴抛物线解析式为x x y 27232+-=．（2）设点P 的横坐标为t ，∵PN ∥CD ，∴△OPN ∽△OCD ，可得PN =2t ，∴P （t ，2t ）， ∵点M 在抛物线上，∴M （t ，t t 27232+-）．如解答图1，过M 点作MG ⊥AB 于G ，过P 点作PH ⊥AB 于H ，AG =y A ﹣y M =2-（t t 27232+-）=227232+-t t ，BH =PN =2t ．当AG =BH 时，四边形ABPM 为等腰梯形，∴227232+-t t =2t ，化简得3t 2﹣8t +4=0，解得t 1=2（不合题意，舍去），t 2=32， ∴点P 的坐标为（32，31），∴存在点P （32，31），使得四边形ABPM 为等腰梯形．（3）如解答图2，△AOB 沿AC 方向平移至△A ′O ′B ′，A ′B ′交x 轴于T ，交OC 于Q ，A ′O ′交x 轴于K ，交OC 于R ．求得过A 、C 的直线为y =﹣x +3，可设点A ′的横坐标为a ，则点A ′（a ，﹣a +3），易知△OQT ∽△OCD ，可得QT =2a ， ∴点Q 的坐标为（a ，2a ）．解法一：设A B 与OC 相交于点J ，∵△ARQ ∽△AOJ ，相似三角形对应高的比等于相似比，∴AJQ A OB HT /=. ∴HT =a a a OB AJ Q A -=⨯---=⋅21212213/， KT =)3(2121/a T A -=， a a a y y Q A Q A 2332)3(//-=-+-=-=． S 四边形RKTQ =S △A ′KT ﹣S △A ′RQ =KT •A /T ﹣A /Q •HT=)2)(233(21)3(2321+----⋅-⋅a a a a =83)23(2143232122+--=-+-a a a ∵＜0，∴在线段AC 上存在点A /（，），能使重叠部分面积S 取到最大值，最大值为．解法二：过点R作RH⊥x轴于H，则由△ORH∽△OCD，得①由△RKH∽△A′O′B′，得②由①，②得KH=OH，OK=OH，KT=OT﹣OK=a﹣OH③则KT=④由△A′KT∽△A′O′B′，得，由③，④得=a﹣OH，即OH=2a﹣2，RH=a﹣1，∴点R的坐标为R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△QOT﹣S△ROK=•OT•QT﹣•OK•RH=a•a﹣（1+a﹣）•（a﹣1）=a2+a﹣=（a﹣）2+.∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．解法三：∵AB=2，OB=1，∴tan∠O′A′B′=tan∠OAB=，∴KT=A′T•tan∠O′A′B′=（﹣a+3）•=a+，∴OK=OT﹣KT=a﹣（a+）=a﹣，过点R作RH⊥x轴于H，∵tan∠OAB=tan∠RKH==2，∴RH=2KH又∵tan∠OAB=tan∠ROH===，∴2RH=OK+KH=a﹣+RH，∴RH=a﹣1，OH=2（a﹣1），∴点R坐标R（2a﹣2，a﹣1）S四边形RKTQ=S△A′KT﹣S△A′RQ=•KT•A′T﹣A′Q•（x Q﹣x R）=••（3﹣a）﹣•（3﹣a）•（﹣a+2）=a2+a﹣=（a﹣）2+∵＜0，∴在线段AC上存在点A′（，），能使重叠部分面积S取到最大值，最大值为．。

2013年自主招生数学试题及答案

2013年自主招生数学试题一.选择题：（本大题共12个小题，每个4分，共48分，将所选答案填涂在机读卡上） 1、下列因式分解中，结果正确的是（）A.2322()x y y y x y -=-B.424(2)(x x x x -=+C.211(1)x x x x x--=--D.21(2)(1)(3)a a a --=--2、“已知二次函数2y ax bx c =++的图像如图所示，试判断a b c ++与 0的大小.”一同学是这样回答的：“由图像可知：当1x =时0y <，所以0a b c ++<.”他这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）A.换元法B.配方法C.数形结合法D.分类讨论法 3、已知实数x 满足22114x x x x ++-=，则1x x-的值是（）A.-2B.1C.-1或2D.-2或14、若直线21y x =-与反比例函数k y x =的图像交于点(2,)P a ，则反比例函数ky x=的图像还必过点（）A. (-1,6)B.(1,-6)C.(-2,-3)D.(2,12)5、现规定一种新的运算：“*”：*()m nm n m n -=+，那么51*22＝（）A.54B.5C.3D.96、一副三角板，如图所示叠放在一起，则AOB COD ∠+∠＝（）A.180°B.150°C.160°D.170°7、某中学对2005年、2006年、2007年该校住校人数统计时发现，2006年比2005年增加20%，2007年比2006年减少20%，那么2007年比2005年（）A.不增不减B.增加4％C.减少4％D.减少2％8、一半径为8的圆中，圆心角θ为锐角，且θ=，则角θ所对的弦长等于（）A.8B.10C. D.169、一支长为13cm 的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4cm 、3cm 、16cm 的长方体水槽中，那么水槽至少要放进（）深的水才能完全淹没筷子。

2013、2014年华约北约卓越自主招生数学试题

2013年“华约”自主招生数学试题1. 已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件：（a ）数字两两不等;(b)任意两个数字之和不等于9;试求：（1）B 中有多少个两位数？多少个三位数？（2）B 中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？ 2. 已知实数,x y 满足sin x +sin y =13， cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos().x y +3. 已知0k >，从直线y kx =和y kx =-上分别选取点(,),(,)A A B B A x y B x y ，0A B x x >，满足21OA OB k =+，其中O 为坐标原点，AB 中点M 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程；(2)抛物线22(0)x py p =>与曲线C 相切于两点，求证：两点在两条定直线上，并求出两条切线方程.4. 有7个红球8个黑球，从中任取四个. ⑴求恰有一个红球的概率；⑵设四个球中黑球个数为X ，求X 的分布列及数学期望Ex ； ⑶求当四个球均为一种颜色时，这种颜色为黑色的概率. 5. 已知数列{}n a 满足10a >，21n n n a a ca +=+，1,2...n =,，其中0c >， ⑴证明：对任意的0M >，存在正整数N ，使得对于n N >，n a M >；⑵设11n n b ca =+，n S 为n b 前n 项和，证明:{}n S 有界，且对0d >，存在正整数k ，当n k >时，110.n S d ca <-< 6. 已知,,x y z 是三个大于1的正整数，且xyz 整除(1)(1)(1),xy yz xz ---求,,x y z 的所有可能值.7. 已知()(1)1xf x x e =--， ⑴证明：当0x >时，()0f x <； ⑵若数列{}n x 满足11x =，11n n x x n x ee +=-.证明:数列{}n x 递减,且12nn x ⎛⎫> ⎪⎝⎭.2013年“华约”自主招生数学试题解析1.【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。

2013年12月第2次直升班考试自主招生数学答案

评分标准（1）写出结论2分，证明过程4分（2）解方程正确4分，结论2分。

共12分 18、（1）证法（一）过D 作DN//AB 交AC 于N 点∵ ∠CAD+∠CDA=∠EDB+∠CDA=90°，∴∠CAD=∠EDB ，又∠AND=∠DBE=135°， AN=BD ，∴△AND ≌△DBE,∴DA=DE （6分）证法（二）证A 、D 、B 、E 四点共圆(2)过E 作EM//BC 交AB 于M 点，则∠BME=∠MBD=45°，∴△BME 为等腰Rt △,设CD=a,则AC=BD=3a ，AB=a 23，BE=a 2,ME=2a,可证△MEF ≌△BDF,所以MF=BF=2a2，AM=225a，AM=5BF. （12分）19、评分标准：写出m的取值范围3分，原方程根的取值范围对一个给3分，共12分。

20、方法一：证出相似给6分，共12分。

方法二：得出MD的长6分，共12分。

21、（1）证明：∵ 2360a b c ++=，∴12362366b a b c c a a aa++==-=-．2分∵ a ＞0，c ＜0， ∴ 0c a<，0c a->．∴1023b a+>． 4分（2）解：∵ 抛物线经过点P 1(,)2m ，点Q (1,)n ，∴ 11 ,42.a b c m a b c n ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩① ∵ 2360a b c ++=，a ＞0，c ＜0，∴ 223a b c +=-，223a b c =--． ∴ 1112111()42424312b c m a b c a a a a +=++=+=+-=-＜0． 6分2(2)33a a n abc a c c c =++=+--+=-＞0． 8分∴ 0m n <． 10分 ② 由a ＞0知抛物线2y ax bx c =++开口向上．∵ 0m <，0n >，∴ 点P 1(,)2m 和点Q (1,)n 分别位于x 轴下方和x 轴上方．∵ 点A ，B 的坐标分别为A 1(,0)x ，B 2(,0)x （点A 在点B 左侧），∴ 由抛物线2y ax bx c =++的示意图可知，对称轴右侧的点B 的横坐标2x 满足2112x <<．（如图） 12分∵ 抛物线的对称轴为直线2b x a=-，由抛物线的对称性可1222x x b a+=-，由（1）知123b a -<，∴12123x x +<．∴ 12221332x x <-<-，即116x <． 14分。

2013年华约自主招生数学试题

2013年华约自主招生数学试题1.已知集合A={x|x≥10,x∈N}，B⊆A，且B中的每个元素同时满足：（a）各数位上的数字互不相同；（b）任意两个数位上的数字之和不为9。

求：（1）B中有多少个两位数?多少个三位数？（2）B中是否有五位数？是否有六位数？（3）将B中的元素从小到大排列后，第1081个元素是多少？2.已知实数x,y满足{sin x+sin y=13cos x+cos y=15,求sin(x−y),cos(x−y).3.已知k>0,在y轴的同侧的两点A,B分别在直线y=kx, y=-kx上，且满足|OA|•|OB|=1+k²，其中O是坐标原点.设线段AB的中点M的轨迹为曲线C(1)求曲线C的方程；(2)若抛物线x²=2px(p>0)与曲线C相切于两点，求证：这两点各在一条定直线上，并求出两条切线的方程。

4.有7个红球和8个黑球，从中任取4个.(1)求恰有一个红球的概率；(2)设取出的4个球中黑球的个数为X，求X的分布列及数学期望E（X）;(3)求当取出的4个球同色时，颜色为黑色的概率.5.已知数列{a n}满足a1>0,a n+1=a n+ca n2，n=1,2,…,其中c>0.(1)求证：∀M>0,∃N∗∈N，使得当n>N∗时，a n>M；(2)设b n=1ca n+1，S n是数列{b n}的前n项和，证明：S n有界，且∀d>0,∃k∈N，当n>k时，0<|S n−1ca1+1|<d6.设x,y,z是三个两两不等且都大于1的正整数，若xyz整除（xy-1）•(xz-1)•(yz-1),求x,y,z的所有可能值.7.(1)设f(x)=(1-x)e x-1,求证：当x>0时，f(x)<0;(2)若数列{x n}满足x1=1,x n e x n=e x n−1，求证：数列{x n} 单调递减，且x n>12n。

卓越联盟自招考题模拟试题(三)

A．S为定值，不为定值B．S不为定值，为定值
C．S与均为定值D．S与均不为定值
6.记集合将M中的元素按从大到小的顺序排列，则第2005个数是（）
A． B．
C． D．
7．设p是给定的奇质数，正整数k使得也是一个正整数，则k=；
8．已知数列a0，a1，a2，…，an，…满足关系式(3－an+1)(6+an)=18，且a0=3，则的值是；
A．B．C．D．
3．空间四点A、B、C、D满足则的取值（）
A．只有一个B．有二个C．有四个D．有无穷多个
4．内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于、、。则的值为（）
A．2 B．4 C．6 D．8
5．如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体的每个面都有公共点，记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为 .则（）
自招模拟考题（三）
1．设三位数n=，若以a，b，c为三条边长可以构成一个等腰(含等边)三角形，则这样的三位数n有( )
A．45个B．81个C．165个D．216个
2．顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆周上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，AB⊥OB，垂足为B，OH⊥PB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥O－HPC的体积最大时，OB的长为( )
9．在平面直角坐标系xOy中，给定两点M(－1，2)和N(1，4)，点P在x轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标为；
10.如果自然数的各位数字之和等于7，那么称为“吉祥数”.将所有“吉祥数”从小到大排成一列若则 __________________.
11．已知，是方程4x2－4tx－1=0(t∈R)的两个不等实根，函数f(x)=的定义域为[，]．