人教A版高中数学必修二空间点、直线、平面之间的位置关系学案新(3)

第三节．空间点、直线、平面之间的位置关系

一.考试要求:

理解空间直线、平面位置关系的定义，并了解以下可以作为理论推理依据的公理和定理： 公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且仅有一条过该点的公共直线。 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。

二.基础知识

1. 平面的基本性质

公理1：如果一条直线上的 在一个平面内，那么这条直线在此平面内。

公理2：过 ，有且仅有一个平面。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们

.

2. 空间中直线与直线的位置关系

(1) 空间两条直线的位置关系有且只有三种:

⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧有公共点。

：不在任何平面内，没有公共点；

：在同一个平面内，没且仅有一个公共点；：在同一个平面内，有__________________________________________ (2)公理4：平行于同一条直线的 . 这一性质称为空间平行线的 .

(3)定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角 。

（4）已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ，b '∥b ，我们把a '与b '所成的 叫做异面直线a 与b 所成的角（或夹角）。如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说 。

3. 空间中直线与平面的位置关系

直线与平面的位置关系有且只有三种：

直线在平面内：——有 个公共点；

直线在平面外：直线与平面相交—— 公共点

直线与平面平行—— 公共点

4. 空间中平面与平面的位置关系

两个平面之间的位置关系有且只有两种：

两个平面平行—— ；

两个平面相交—— ；

三．典型例题

例１ 如图所示，已知空间四边形ABCD 中，E 、H 分别是边AB 、AD 的中点，F 、G 分

别是边BC 、CD 上的点，且

CB CF =CD CG =3

2．求证：三条直线EF 、GH 、AC 交于一点.

变式练习：已知正方体ABCD -1A 1B 1C 1D 中，E 、F 分别为1D 1C 、1B 1C 的中点，AC ∩BD =P ，1A 1C ∩EF =Q.

求证:(1)D 、B 、F 、E 四点共面;

(2)若1A C 交平面DBFE 于R 点,则P 、Q 、R 三点共线.

例2如图所示，在直棱柱ABC-1A 1B 1C 中， AC=3，BC=4，AB=5,，A 1A ＝４，点

D 是AB 的中点．

(1)求证AC ⊥B 1C ;

(2) 求证A 1C ∥平面ＣＤ1B ;

（3）求异面直线A 1C 与1B C 所成角的余弦值.

变式练习：在三棱锥P-ABC 中，平面PAC ⊥平面ABC ，且AP ⊥PC ， BC ⊥A C ．

(1) 求证：平面PA Ｂ⊥平面ＰBC ；

(2) 若∠PAC=45°,∠BAC=30°, 求异面直线PB 与AC 所成角的余弦值.