初中几何模型胡不归最值模型上课讲义

初中几何模型胡不归
最值模型
几何模型：胡不归最值模型
在前面的最值问题中往往都是求某个线段最值或者形如PA +PB 最值，除此之外我们还可能会遇上形如“PA +kP ”这样的式子的最值，此类式子一般可以分为两类问题：（1）胡不归问题；（2）阿氏圆． 【故事介绍】
从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家．根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A 到家B 之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭．邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归？…”（“胡”同“何”）
而如果先沿着驿道AC 先走一段，再走砂石地，会不会更早些到家？
V 1
2
V 1
驿道
砂石地
A
B
C
【模型建立】
如图，一动点P 在直线MN 外的运动速度为V 1，在直线MN 上运动的速度为V 2，且V 1<V 2，A 、B 为定点，点C 在直线MN 上，确定点C 的位置使
21
AC BC
V V +
的值最小． V 2
V 1
M
N
C
B
A
【问题分析】
121121=V AC BC BC AC V V V V ⎛
⎫++ ⎪⎝⎭
，记12V k V =，即求BC +kAC 的最小值．
【问题解决】构造射线AD 使得sin ∠DAN =k ，即CH
k AC
=，CH =kAC ．
M
将问题转化为求BC +CH 最小值，过B 点作BH ⊥AD 交MN 于点C ，交AD 于H 点，此时BC +CH 取到最小值，即BC +kAC 最小．
M
【模型总结】
在求形如“PA +kPB ”的式子的最值问题中，关键是构造与kPB 相等的线段，将“PA +kPB ”型问题转化为“PA +PC ”型．而这里的PB 必须是一条方向不变的线段，方能构造定角利用三角函数得到kPB 的等线段．
典题探究 启迪思维 探究重点
例题 1. 如图，△ABC 中，AB =AC =10，tan A =2，BE ⊥AC 于点E ，D 是线段BE 上的一个动点，则CD +
的最小值是_______． A
B
C
D
E
H
E
D
C
B
A
A
B
C
D
E
H
【分析】本题关键在于处理“
5
BD ”，考虑tan A =2，△ABE 三边之比为1:2:5，5sin ABE
∠，故作DH ⊥AB 交AB 于H 点，则5DH BD =．问题转化为CD +DH 最小值，故C 、D 、H 共线时值最小，此时45CD DH CH BE +===．
【小结】本题简单在于题目已经将BA 线作出来，只需分析角度的三角函数值，作出垂线DH ，即可解决问题，若稍作改变，将图形改造如下：则需自行构造α，如下图，这一步正是解决“胡不归”问题关键所在．
αsin α=
55
H
E
D
C B
A
E
D
C
B
变式练习>>>
1．如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB =60°，AB =6，BC =2，P 为边CD 上的一动点，则3
PB PD +的最小值等于________．
A
B
C
D
P
M
H
P
D
C
B
A
A
B
C
D
P H
M
【分析】考虑如何构造“
3PD ”，已知∠A =60°
，且sin60°=3
，故延长AD ，作PH ⊥AD 延长线于H 点，即可得3
PH PD =
，将问题转化为：求PB +PH 最小值．当B 、P 、H 三点共线时，可得PB +PH 取到最小值，即BH 的长，解直角△ABH 即可得BH 长．
例题2. 如图，AC 是圆O 的直径，AC ＝4，弧BA ＝120°，点D 是弦AB 上的一个动点，那么OD +BD 的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵的度数为120°，∴∠C＝60°，
∵AC是直径，∴∠ABC＝90°，∴∠A＝30°，
作BK∥CA，DE⊥BK于E，OM⊥BK于M，连接OB．
∵BK∥AC，∴∠DBE＝∠BAC＝30°，
在Rt△DBE中，DE＝BD，∴OD+BD＝OD+DE，
根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD+BD的值最小，最小值为OM，
∵∠BAO＝∠ABO＝30°，∴∠OBM＝60°，
在Rt△OBM中，
∵OB＝2，∠OBM＝60°，∴OM＝OB•sin60°＝，∴DB+OD的最小值为，
故选：B．
变式练习>>>
2．如图，△ABC中，∠BAC＝30°且AB＝AC，P是底边上的高AH上一点．若AP+BP+CP的最小值为2，则BC＝﹣．
【解答】解：如图将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG．连接PG，CM．
∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠BAP＝∠CAP，
∵PA＝PA，∴△BAP≌△CAP（SAS），∴PC＝PB，
∵MG＝PB，AG＝AP，∠GAP＝60°，∴△GAP是等边三角形，∴PA＝PG，
∴PA+PB+PC＝CP+PG+GM，
∴当M，G，P，C共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为线段CM的长，
∵AP+BP+CP的最小值为2，∴CM＝2，
∵∠BAM＝60°，∠BAC＝30°，∴∠MAC＝90°，∴AM＝AC＝2，
作BN⊥AC于N．则BN＝AB＝1，AN＝，CN＝2﹣，
∴BC＝＝＝﹣．故答案为﹣．
例题3. 等边三角形ABC的边长为6，将其放置在如图所示的平面直角坐标系中，其中BC边
在x轴上，BC边的高OA在Y轴上．一只电子虫从A出发，先沿y轴到达G点，再沿GC 到达C点，已知电子虫在Y轴上运动的速度是在GC上运动速度的2倍，若电子虫走完全
程的时间最短，则点G的坐标为（0，）．
【解答】解：如图作GM⊥AB于M，设电子虫在CG上的速度为v，
电子虫走完全全程的时间t＝+＝（+CG），
在Rt△AMG中，GM＝AG，
∴电子虫走完全全程的时间t＝（GM+CG），
当C、G、M共线时，且CM⊥AB时，GM+CG最短，
此时CG＝AG＝2OG，易知OG＝•×6＝
所以点G的坐标为（0，﹣）．故答案为：（0，﹣）．
变式练习>>>
3．如图，△ABC在直角坐标系中，AB＝AC，A（0，2），C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A→D→C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（）
A．（0，）B．（0，）C．（0，）D．（0，）
解：假设P在AD的速度为3V，在CD的速度为1V，
总时间t＝+＝（+CD），要使t最小，就要+CD最小，
因为AB＝AC＝3，过点B作BH⊥AC交AC于点H，交OA于D，
易证△ADH ∽△ACO ，所以＝＝3，所以＝DH ，
因为△ABC 是等腰三角形，所以BD ＝CD ，所以要
+CD 最小，就是要DH +BD 最小，
就要B 、D 、H 三点共线就行了．因为△AOC ∽△BOD ，所以＝
，即
＝
，
所以OD ＝，所以点D 的坐标应为（0，
）．
达标检测 领悟提升 强化落实
1. 如图，在平面直角坐标系中，点()
3,3A ，点P 为x 轴上的一个动点，当OP AP 21
+最小
时，点P 的坐标为___________.
[答案]：()0,2P
2. 如图，四边形ABCD 是菱形，AB=4，且∠ABC=60°，点M 为对角线BD （不含点B ）上的一动点，则BM AM 2
1
+
的最小值为___________. [答案]：32
3. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝4，点D 、F 分别是边AB ，BC 上的动点，连接CD ，过点A 作AE ⊥CD 交BC 于点E ，垂足为G ，连接GF ，则GF +FB 的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：延长AC到点P，使CP＝AC，连接BP，过点F作FH⊥BP于点H，取AC 中点O，连接OG，过点O作OQ⊥BP于点Q，
∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝4，∴AC＝CP＝2，BP＝AB＝4
∴△ABP是等边三角形，∴∠FBH＝30°
∴Rt△FHB中，FH＝FB
∴当G、F、H在同一直线上时，GF+FB＝GF+FH＝GH取得最小值
∵AE⊥CD于点G，∴∠AGC＝90°
∵O为AC中点，∴OA＝OC＝OG＝AC
∴A、C、G三点共圆，圆心为O，即点G在⊙O上运动
∴当点G运动到OQ上时，GH取得最小值
∵Rt△OPQ中，∠P＝60°，OP＝3，sin∠P＝
∴OQ＝OP＝，∴GH最小值为
故选：C．。