对中学数学中函数概念教学的思考

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初中函数的重要性

初中函数的重要性函数在初中数学教学过程中的主线作用。

函数在初中阶段起着重要的作用，对学生初中数学知识的掌握的好坏有着极大的影响。

函数概念是中学数学一个重要的基本概念，标志着常量数学向变量数学的迈进，其核心的意义是反映出了在某一个变化过程中，两个变量之间的依赖关系，即一个量随另一个量的变化而变化，因此，原本静止的数的概念之间便产生了一种动感的联系。

函数之所以能在整个初中阶段数学学科中起着主线的作用，是有其自身所包含的各种数学思想与方法分不开的。

下面我就简单谈一下初中阶段函数中渗透的重要数学思想。

1、数形结合“数形结合”是数学知识体系中的一个重要思想，可广泛应用于数学领域中的解题环节，以便于在数量关系与图形的转化中深入发掘数学的直观性与细微性，从而提高学生分析问题的敏锐性与解题效率。

教师教学中应充分认识到函数概念在初中数学教学中的重要作用．时刻注意函数概念的渗透。

其实从数轴上的点与实数的对应关系开始，就蕴含了函数的概念。

而在学习函数概念后，这种表现的明朗化是将函数与方程的解、不等式的解紧密联系在一起。

可以说七年级学习的实数绝对值的意义、八年级学习一元一次不等式解集的几何表示对于研究函数的图象及其性质起着重要的奠基作用。

函数关系可用“形”这一特殊方法来表现，一次函数的图象是一条直线，二次函数的图象是一条抛物线，其变化的趋势有升也有降，反比例函数的图象是双曲线，它可以无限接近x 轴，也可以无限接近y轴。

数缺形时少直观，形少数时难入微。

“形”的引入不仅给研究函数问题带来了直观上的感受，更重要的是深化了学生最直接的理性认识。

2、发挥教材功能教材本身的主导思想是引导学生从生活中的某一个变化过程里两个存在特殊关系的变量中提炼出函数的概念，留绐师生很大的运作空间。

3、渗透模型思想理解函数一个重要方法，就是在头脑中留住一批具体函数的模型。

在初中阶段，学生应掌握的基本函数模型应该把函数概念的整体理解与每一个具体的模型有机地结合起来。

对概念教学在中学数学中如何进行的几点思考

层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动力。因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，是形成数学直觉、发展数学思维、获得数学发现的基
这三个概念的内涵是不同的，我们要引
导学生讨论，师生共同归纳出它们的内涵：等腰三角形的高具有与底边垂直的特性，中线具有过底边中点的特性，顶
作者简介：王招英（１９８２～），女，江西安福人，江西省安福县第二中学中级教师，研究方向：中学数学教育。
东北师范大学出版社，２０００．
因此，在讲解新概念时，我们教师可以改变自己讲、学生听的传统做法，引导
学生动手做实验，从实验中理解抽象数学概念。学生动手实验，可在脑海中留
对不同概念的教学，在采用不同的
（作者单位：江西省安福县第二中学）
以用电脑来演示。我想要做到上述几个
方面，必须改变传统的单一的 “ 传授一接受 ”的教学模式，要留给学生思维的空间，同时要鼓励学生提出不同的想法和问题，提倡课堂师生的交流和学生与学生间的交流，因为交流可令学生积极投入和充分参与课堂教学活动。通过交
那么，作为教师应如何进行数学概念的
教学呢？
１．注重概念的引入，发挥学生的主
观能动性
概念引入时教师要鼓励学生猜想，即让学生依据已有的材料和知识进行符
合一定经验与事实的推测性想象，让
学生经历数学家发现新概念的最初阶

基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析以初中《函数的概念》的教学为例

基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析以初中《函数的概念》的教学为例一、本文概述本文旨在探讨基于核心素养的数学概念教学案例设计与分析，以初中《函数的概念》的教学为例。

在当前的教育背景下，培养学生的核心素养已成为教育改革的重要目标。

数学作为基础教育的重要学科，其核心素养的培养尤为重要。

函数是初中数学的重要概念之一，它不仅是数学学科的基础，也是培养学生逻辑思维、抽象思维、数学建模等核心素养的重要途径。

如何设计有效的函数概念教学案例，以培养学生的核心素养，成为当前数学教育研究的热点问题。

本文将首先介绍核心素养的概念及其在数学教育中的重要性，然后分析初中《函数的概念》的教学目标及其核心素养要求。

接着，将详细阐述基于核心素养的函数概念教学案例设计，包括教学内容的选择、教学方法的运用、教学评价的设计等方面。

将通过具体的教学实践案例分析，探讨如何有效地将核心素养培养融入函数概念教学中，以提高学生的数学素养和综合能力。

本文的研究旨在为初中数学教师提供有益的参考和启示，推动数学教育的改革与发展。

二、核心素养理念下的数学概念教学注重概念的形成过程。

在教授函数的概念时，我们不应仅仅停留在定义的陈述上，而应引导学生通过实例、观察、实验等方式，自己发现、总结函数的本质特征。

例如，可以通过让学生观察一些生活中的现象，如气温随时间的变化、汽车行驶距离随时间的变化等，来感受变量之间的关系，从而引出函数的概念。

强化概念的内在联系。

函数的概念与其他数学概念如方程、不等式、图象等有着密切的联系。

在教学中，我们应引导学生发现这些联系，形成完整的知识网络。

例如，可以通过对比函数与方程的关系，让学生理解函数是一种特殊的对应关系，而方程则是函数等于某个特定值时的特殊情况。

再次，注重概念的应用与拓展。

数学概念的最终目的是为了解决实际问题。

在教授函数的概念后，我们应引导学生将函数概念应用到实际生活中去，如通过函数模型预测未来的天气、规划行程等。

抓住关键螺旋上升——谈初中阶段函数概念的教学

材方面．教师应多在深度上下工夫
５湖北教育・４教育教学ＨＢＩＩＯＵＵＥＪＹＡ
数这使学生在数学知识、维能力思
责任编辑
何
昕
数学教苑
得出火柴棒的总数为４３一）＋化规律教师创设的情境要紧密联系＋１、
让学生列表探究正方形个数为１２、、
函数概念在认知上对学生的辩３４时火柴棒的总数，后合情推理、然
其一．分挖掘素材学习数学该课中教师用４个较大数将关于自充
获得发展的同时又上了一个台
虽然还没有出现与函数有关的一些字词让学生反复观察比较．复分析反
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三、出函数思想。函数的应突在
概念．学生的心中已接受了这些观两个变量问的关系．别是要让学生用中实现对函数概念的升华但特
高、生最难把握的一个概念。基于方程、等式以及几何知识中的有效学不
但在教学实践中．们发现学生上述困难．们认为函数概念的教学资源．提前渗透变化和对应的思想．我我对函数概念的理解困难较大．碍较应该贯穿于整个初中数学教学生让学生的思维逐步从静止走向运动．障学多学生的思维往往还停留在对常量对函数概念的理解与认识是一个随从离散走向连续的认识上．直以来．们处理仅含着知识基础与生活经验不断增加而一他

初中数学“函数教学”实践与思考

初中数学“函数教学”的实践与思考函数是中学数学课程中代数的核心知识,也是数学教学中数形结合思想的一个典型案例。

把握好这一内容的教学,对培养学生形成良好的数学素养,提升学生的思维能力、运算能力、解决实际问题的能力,意志、情感、态度价值观以及创新意识的培养,意义非凡。

本文就函数教学谈四个方面的体会。

一、规范数学语言,突出符号语言、图表语言函数概念的产生到完善,经历了漫长而曲折的过程,伴随着函数概念的不断发展,数学思维方式也发生重要转折:思维从静止走向了运动、从离散走向了连续、从运算转向了关系,实现了数与形的有机结合,在函数的研究中,思维超越了形式逻辑的界限,进入了辩证逻辑思维。

与常量数学相比,函数概念的抽象性更强、形式化程度更高。

这其中数学的“符号语言”与“图表语言”间转换有不可替代的作用。

因此,教学中要重视“数学语言”的信息作用。

理解函数概念时,需要学生在头脑中建构一个情景,使得函数的概念能够得到形象的、动态的反映;但是,学生的思维发展水平还处于辩证思维很不成熟的阶段,看问题往往是局部的、静止的、割裂的,还不善于把抽象的概念与具体事例联系起来,往往把各个不同的概念进行胡乱地联系在一起。

因此,在函数概念的教学中,要求加强符号语言与图表语言的灵活训练。

如,我们在指导评析一次函数解析式与一元一次方程、二次函数解析式与一元二次方程、反比例函数与分式之间相似的地方与不同的地方,让学生真正掌握数学语言、数学符号、图表语言的真实意义。

学生通过上述活动,可以丰富感性认识,通过有条理地“说”活动的操作过程,可以把外部物质操作活动转化为内部思维活动,以掌握事物的本质属性,使数学语言得到强化。

二、彰显数学思想,体味万变不离其宗教师如果加强对学生进行方法指导,并且对学生将数学思想进行潜移默化地培养,其学习效率一定会大大提高。

教学时,我让学生做了如下实验:每人点燃一柱长度为26cm的“香”,一段时间后,让学生回答观察到的实验现象。

注重学生思维参与和感悟的函数概念教学

注重学生思维参与和感悟的函数概念教学陶维林函数与函数概念的教学是大家所熟悉的，但本文从教学设计的立意入手，凸显函数概念本质、分析学生认知基础、如何更好地把握教学规律，以问题串为线索的教学过程设计（尤其是例子的选择和提出的相关问题）、注重学生的思维参与和感悟的教学过程设计。

特别是本文第二部分“课后与任课教师的互动交流”对于我们应该如何去思考和进行函数概念的教学会有很好的启迪。

第三部分“在实践基础上理性反思”对于如何进行教学设计、提高自身把握中学数学教学的规律的能力具有理论价值和现实意义。

为了推进高中课标教材的实验工作，使广大教师更好地理解新教材的编写意图，把握新教材的教学，提高教学效益，我们组织实施了“中学数学核心概念、思想方法结构体系及教学设计的理论与实践”课题研究，就高中数学中的一些核心概念的教学开展深入研究，并以“人教A版”高中数学课标教材为蓝本，进行课堂教学实践研究，制作成课例光盘供广大教师观摩．众所周知，函数概念是中学数学中的最重要概念之一，函数的思想和方法贯穿高中数学课程的始终．理解函数概念及由其反映的数学思想方法，学会用函数的观点和方法解决数学问题和现实问题，是高中阶段最重要的数学学习任务之一．因此，搞好函数概念的教学至关重要．另一方面，函数概念因为其高度的抽象性而成为最难把握的概念之一，无论是教师的教还是学生的学，都存在很大困难．有鉴于此，我们选择了“函数概念”单元，内容包括函数的概念、表示和性质（单调性），请“人教A版”高中数学课标实验教材作者、南京师范大学附中陶维林老师授课，制作成一个关于“函数概念”单元的完整课例（三课时）．本文是对函数概念这节课的教学如何注重学生思维参与和感悟，从课堂教学设计、课堂教学反思与评析等几个方面介绍这一实践活动的反思和总结（“函数的表示”和“函数的性质”两课的教学设计，有兴趣的读者可以从人教网的“高中数学”栏目中查阅），敬请读者批评指正．第一部分教学设计一、基于教材编写意图的教学设计立意为了更好地说明问题，我们这里结合“人教A版”中函数单元的教材编写意图，阐述本教学设计的立意．（一）对本单元教学内容的总体认识高中的函数学习在初中已学的“变量说”基础上展开，函数定义采用“对应说”，引进抽象符号f(x)表示函数；较全面地学习函数的表示与性质；强调函数是刻画现实事物变化规律的一种数学模型，因此强调函数的背景、思想和应用；强调与方程、不等式的联系，注重用函数观点理解和解决方程、不等式的有关问题；用导数为工具研究函数性质，使思想方法和研究手段都上升到一个全新高度．具体安排强调螺旋上升，先从一般性角度研究函数概念，使学生在宏观上了解函数的内容和方法，起到先行组织者的作用；然后通过基本初等函数的学习，以具体函数为载体，感受建立函数模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的应用，学会用函数思想解决简单实际问题．定义抽象、符号抽象、具体函数类型多复杂性提高（连续的、离散的）、相关知识的联系性增强、用更多的工具（实数运算、导数）讨论函数性质等是高中阶段函数学习的特点．特别是，引入具有一般性的抽象函数符号f(x)，使学生能通过建立模型刻画现实问题的数量关系，并通过讨论函数的性质而获得现实问题的解释，认识和把握现实问题的规律．（二）教学设计的立意基于上述认识，在教学设计中，我们特别强调了如下几个方面，这也是为了体现教材编写意图．1．突出函数概念的本质和建构过程我们认为，函数概念的本质是：函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系；函数概念所反映的思想方法是：自变量、因变量都取实数值（这样才有可能用数及其运算的知识来考察现实问题的变化规律）；因变量的取值有唯一性；用数以外的符号f(x)表示函数（具体表示形式可以是解析式、图象或表格）．为了让学生在经历函数概念的概括过程中，更好地体会其本质和思想方法，我们遵循教材编写意图，在教学设计中强调通过一些具有真实背景的典型实例，从“变量说”出发，引导学生用集合与对应的语言分析它们的共同特征，再概括出“对应说”．这样既衔接了初中阶段将函数看成变量间依赖关系的认识，又使学生在用集合与对应的语言刻画函数概念的过程中形成对函数概念本质的切身体验．2．为学生概括和领悟函数概念搭建“脚手架”函数概念是中学阶段最难理解的概念之一，其原因主要是：由f(x)的形式化表达方式所带来的高度抽象性；变量的概念涉及到用运动、变化的观点看待和思考问题，具有辩证思维特征；有许多下位概念（如自变量、因变量、定义域、值域、单调性、奇偶性……），是派生数学概念的强大“固着点”；具有广泛应用性，建立函数模型不仅需要具备较强的数学能力，而且与学生的人生阅历有关；等．其中最根本的还是其高度抽象性．众所周知，越是基础性的概念，其统摄性就越强，应用范围就越广，学生从中领悟到的数学就越本质，所形成的思维方式、养成的思维习惯对学生的终身发展也就越有根本性影响．所以，对这些概念就越要强调理解的深刻性、基础的稳固性．但事物总有两面性，这些概念的理解和掌握往往难度大、时间长，需要更多的经验积累．“是非经过故知难”，亲身经历过的事情感悟才会深刻．因此，这些概念的教学要非常讲究从简单到综合地组织内容，要特别耐心地进行循序渐进的渗透和提高，要特别强调让学生经历从具体到抽象的概括过程．中学数学中，扮演这种奠基角色的概念不是很多（如数及其运算、空间观念、数形结合、向量、导数、统计观念、随机思想等），但函数概念是当之无愧的一员．因此，教学设计中，我们以教材提供的概念概括过程和素材为依据，特别注意以具体例证为载体化解函数的抽象性，为学生搭建理解的平台，铺设概括的路线和阶梯，以帮助学生感悟函数概念的“本来面目”．其中特别注重典型实例、表格和图像直观等的作用，并强调在思想方法上给予明确、具体的指导．（1）铺设概括路线．教材在简要回顾初中函数概念的基础上，以三个有真实背景的实例为载体，先从“变量说”出发，并用集合与对应的语言详细讲解第一个实例的对应关系，再引导学生模仿叙述后两个实例的对应关系，然后以“你能概括一下这三个实例的共同特征吗？”为引导，使学生概括实例的本质而形成“对应说”．接着，在函数的表示、函数的性质等内容中，不断强化对函数这一类特殊“对应关系”的认识，强化对函数所研究的问题和思想方法的理解．教材铺设的这一概括路线符合学生的认知规律，是设计教学过程的基本依据．（2）选择典型、丰富的实例．教材提供的实例是精雕细琢的，特别强调了典型性和丰富性，我们相信这些例子在学生理解函数概念中能起到奠基性的“参照物”作用．因此，在函数概念的引入、表示、性质和应用等各阶段的教学中，都应用好书中的例子，为学生提供思考、探究、交流的机会，使学生在好例子的支持下开展思维，形成函数概念理解活动的强大背景支撑．（3）强调只能用图像、表格表示的函数例子的作用．表格、函数图像不仅是“表示法”的一种，从学生学习的角度看，它们使抽象的函数符号形象化，为学生提供了直观的机会．例如图像的种种形象和基本性质使得学生直观地“看到”、想象到函数的定义域、值域、单调性等种种性质，看到a的取值是如何决定y＝a x的特性的，看到y＝sin(2x+)什么时候取正值或负值等．所以，图像、表格是帮助学生理解函数概念的重要载体．另外，用函数图像分析和解决问题时体现出的数形结合思想，是培养学生数学能力的重要载体．教材充分注意到了图像、表格的作用，其中特别强调了只能用图象、表格表示的函数例子的使用．我们体会，教材这样做既是为了提升学生对函数概念的认识层次，同时也是为了帮助学生更全面、深刻地领悟“对应关系”的本质．因此，教学中应特别注意利用教材的这些例子，让学生指出其中的“对应关系”，这是非常重要的．（4）思想方法的明确和具体指导．从知识分类角度看，“内容所反映的数学思想方法”属“隐性知识”，是人类在认识客观世界中的“数量关系”“空间形式”和“随机性中的规律性”的过程中产生的，是指导人们研究数、形规律时需要遵循的规则和程序，与人的世界观有紧密联系．因为数学思想方法的这种“隐蔽性”“默会性”及其高层次性，而中学生的认识能力、智慧水平尚在发展过程中，因此数学思想方法的学习，一方面要强调让学生在亲身体验中获得内心感悟，另一方面还要依靠明确具体的语言指引，这也是加速学生领悟过程的需要．我们认为，教材既充分注意了数学思想方法的地位作用，对学生理解数学思想方法的规律也有准确把握，因此对思想方法的明确和指导也是到位的．例如，在具体讨论函数性质之前，教材有这样一段话：“变化之中保持的‘不变性’‘规律性’就是性质．函数是描述现实事物运动变化规律的数学模型．现实事物的某些变化会随着时间的推移而有增有减、有快有慢，有时达到最大值有时处于最小值……这些现象反映到函数中，就是函数值随自变量的增加而增加或减少、什么时候函数值最大、什么时候函数值最小……这就是我们要研究的函数性质，知道了函数性质也就把握了事物的变化规律．”其目的就是要让学生明确函数性质的内容、研究方法和意义．因此，教学中应认真贯彻教材的这一意图，筹划好函数思想方法的领悟过程．3．加强建立函数模型的活动，深化函数概念理解前已述及，为了有利于学生理解函数概念，教材采用“归纳式”安排学习内容，使学生在分析、归纳、概括实例共同本质属性的基础上，感悟函数概念及其蕴含的思想方法．在学生初步领悟函数概念，知道了函数是对客观现实数量关系的抽象以后，教材安排了建立实际问题的函数模型的内容，给学生提供建立模型、求解模型，再用模型描述、解释实际问题的学习机会．古人云，“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”．在用函数建模的过程中，不但可以使学生更深入地感悟函数，而且还可以使学生形成用函数解决问题的真实体验．对于函数这样抽象程度极高的概念，只有设法使学生卷入其中，强化亲身体验，启发内心感悟，激发心理共鸣，才能真正转化为学生认识客观规律、解决实际问题的强大武器．教学中，应认真体会教材的这种设计思路，一有机会就要安排函数建模活动，让学生有机会用函数概念解释各种变化现象，解决相关问题．二、“函数的概念”教学设计1．内容和内容解析“函数”是中学数学的核心概念．学生在初中学习了函数概念．函数定义采用“变量说”；介绍了三种表示法；以一次函数（包括正比例函数）、反比例函数和二次函数为具体函数模型，借助图像讨论了这些函数的一些简单性质；要求用所学函数知识解决简单实际问题；不涉及抽象符号f(x)，不强调定义域、值域；等．初中所学的函数知识，与代数式、方程等联系紧密，而对“变量”“变化”“对应关系”等涉及函数本质的内容，要求是初步的．高中阶段要建立函数的“对应说”，虽然它比“变量说”更具一般性，但两者的本质一致．不同的是：表述方式不同，高中用集合与对应语言表述；明确了定义域、值域；引入了抽象符号f(x)表示集合B中与x 对应的那个数，当x确定时，f(x)也唯一确定．函数概念的核心是“对应关系”：两个非空数集A，B间有一种确定的对应关系f，即对于数集A中每一个x，数集B中都有唯一确定的y和它对应．这里的关键词是“每一个”，“唯一确定”．集合A，B 及对应关系f是一个整体，是两个集合的元素间的一种对应关系，这种“整体观”很重要．根据上述分析，确定教学重点为：在研究已有函数实例的过程中，感受在两个数集A，B之间所存在的对应关系f，进而用集合、对应的语言刻画这一关系，获得函数概念．2．目标和目标解析（1）通过丰富实例，建立函数概念的背景，使学生体会函数是描述两个变量间依赖关系的重要数学模型；（2）能用集合与对应的语言刻画函数，了解构成函数的三个要素；（3）会用恰当的方式描述一个具体函数的对应关系；（4）会判断两个函数是否为同一函数，会求一些简单函数的定义域和值域；（5）通过从实例中抽象概括函数概念的活动，培养学生的抽象概括能力．3．教学问题诊断分析（1）由于学生在初中接触的主要是用解析式表示的函数，他们对图像、表格表示的函数，因为其对应关系“说不出来”，所以往往认为不是函数．因此，为了帮助学生认识“对应关系”这一函数概念的核心，应当特别重视“图像、表格表示的对应关系是什么”的教学．（2）从以往的经验看，学生对解析式表示的函数对应关系的认识往往也不清晰，为此，应当加强用“等值语言”叙述函数解析式的训练．例如，函数y＝的对应关系是“非负数与它的算术平方根对应”，或者“正方形的面积与它的边长对应”等．（3）对函数概念中的“每一个”、“唯一确定”等关键词关注不够，领会不深．教学中，可以通过反例帮助学生理解，当然，真正达到理解还需要有个过程．因此，本课的难点主要是对抽象符号y＝f(x)的理解，尤其是对f的意义的理解．教学中应利用具体函数例证，特别是图像、表格表示的函数，使学生逐步体会对应关系f的意义．4．教学过程设计（1）用集合、对应语言定义函数问题1 同学们在初中已学过“函数”，请你举几个函数的例子．设计意图：通过举例来回顾“变量说”．教师根据学生所举例子，引导他们明确分别用解析式、图象、表格表示对应关系的函数．如果学生所举例子都是用解析式表示的，教师则问：“函数关系都是可以用解析式表示的吗？”引导学生开阔思路，再举一些用图象、表格表示对应关系的函数．教师也可以参与举例，但是，让学生来判断教师举出的例子是否能够表示一个函数，并要求说明理由．例1图1中的曲线记录的是2009年2月20日自上午9：30至下午3：00上海证券交易所的股票指数的情况．这是一个函数吗？为什么？（此例的功能与教科书中“臭氧层空洞面积关于时间的变化曲线”相同，但更贴近日常生活．）图1例2下面是某运动员在一次训练中射击序号与中靶环数的对应表：环数是序号的函数吗？学生正确说明后，再追问：“如果第三次脱靶，还表示函数吗？”例3（教科书第15页例1）如图2，一枚炮弹发射后，经过26s落到地面击中目标．炮弹的射高为845m，且炮弹距地面高度h（单位：m）随时间t（单位：s）变化的规律是h＝130t－5t2．（*）炮弹距地面高度h是时间t的函数吗？为什么？图2教师演示：在线段OD上画一点M，过M作x轴的垂线，并作出与图象的交点P，度量点M的横坐标与点P的纵坐标．随着点M位置的改变，点M的横坐标x与点P纵坐标y都在变化，但无论点M在哪个位置，点M的横坐标x总对应唯一的点P纵坐标y．由此，使学生体会，函数值y的变化依赖于自变量x的变化，而且由x的值唯一确定．炮弹飞行时间t的变化范围是数集A＝{t|0≤t≤26}，炮弹距地面的高度的变化范围是数集B＝{h|0≤h≤845}，从问题的实际意义可知，对于数集A中的任意一个时间t，按照对应关系（*），在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应．问题2 （追问举例的同学）你凭什么说自己举的例子表示一个函数？其他同学也思考一下，他们所举的是函数的例子吗？为什么？设计意图：让学生用概念解释问题，了解他们对函数本质的理解状况．要注意突出“两个变量x，y”，对于变量x的“每一个”确定的值，另一个变量y 有“唯一”确定的值与x对应，“y是x的函数”．特别要求学生指出对应关系是什么？x取哪些数？即取值范围，感受数集A的存在，y值的构成情况，为引入两个数集做准备．问题3 前面我们学习了“集合”，你能用“集合”和对应的语言描述函数概念吗？设计意图：引导学生把初中学过的函数概念与高一刚学的集合知识联系起来，用集合的观点解释已有概念，获得对函数概念的新认识．在学生用集合与对应语言解释“变量说”后，让学生看书上的“对应说”．（2）认识函数的定义域、值域、对应关系例1 填写下列表格：例2 函数y＝x2是的对应关系是什么？你能用一个具体背景说明这一对应关系吗？例3 已知函数f(x)＝＋．求f(－)；f(x－4)的定义域．例4 下列函数中哪个是与y＝x相同的函数，为什么？（A）y＝（）2；（B）y＝（）3；（C）y＝；（D）y＝．设计意图：及时巩固概念，学习用函数概念作判断的“基本操作”．上述例题都采用让学生先独立完成再师生共同讲评的方式完成．练习1 请举出对应关系f只能用图象或表格表示的函数例子，并用函数定义说明你举的函数的确是函数．练习2 图3表示一个函数吗？为什么？图3练习3 课本第19页练习2、3．设计意图：进一步认识函数概念中“三要素”的整体性．两函数相同，当且仅当三要素相同．练习2是一个反例，目的是认识“对应关系”的特点．（3）自学“区间”概念在研究函数时，常常需要用到“区间”概念．请大家阅读课本第17页，了解这个概念．（4）小结通过本节课的学习，你对函数概念有了哪些新的认识？还有哪些收获？要点：“对应说”的概括过程；如何理解“对应关系f”；等．设计意图：回顾函数概念的概括过程，体会通过归纳具体事例的共同本质特征得出数学概念的方法；体会用函数概念描述变量之间依赖关系的过程与方法；体会抽象符号f：A→B的含义．5．目标检测设计（1）教科书第24页习题1.2，A组，第1，2，3，4题．（2）给定函数y＝x(x+2)（x＞0），请你用尽量多的具体情境解释这个函数的对应关系．（3）联系自己的生活经历和实际问题，举出一些函数的实例．希望包括一些只能用图象或表格表示的函数．设计意图：第（2）（3）题的目的是加深对“对应关系”的理解．学生能举出丰富的函数例子，是理解函数概念的重要标志．第二部分课后与任课教师的互动交流为了及时对照课堂中发生的情况（“生成”）与教学设计（“设计”）的差异，增强教学反思的时效性，在本节课的教学结束后，我和陶老师进行了互动交流．章：对这个单元的教学目标你是怎么认识的？你心中的核心目标是什么？陶：这个单元的教学目标，“课标”规定的是“能用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用”、“了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域”、“了解映射的概念”、“会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数”、“通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用”．我以为，核心是理解“对应关系”．通过教学要使学生体会到函数的对应法则、定义域、值域是一个整体，这样才能准确、完整地刻画两个变量之间的数量关系；函数的各种表示法、性质等，都是围绕函数概念展开的．当然，这个核心目标不是一节课能完成的．章：你认为高中生理解函数概念的认知基础有哪些？陶：必须注意到，高中生不是首次接触函数．在初中，学生已学过函数概念，认识到函数研究的是变量之间的依赖关系；学习过函数的表示法；函数的图象；并学过几个具体的函数（正比例、反比例、一次、二次），对函数已有不少认识．定义域、值域虽然没有作为一个概念提出，但学生已从具体函数的应用中体验到自变量有取值范围的限制，相应地，因变量也有一定的取值范围．这些都是重要的学习基础．初中物理、化学等学科的学习，也为学生用运动、变化观点刻画事物变化规律奠定了较好的知识和思想方法基础．另外，随着学生年龄增长、生活经验的增加，抽象逻辑思维能力的发展，他们抽象概括事物本质的能力也得到很大增长．这些都为学习函数的“对应说”提供了认知基础．章：你认为学生理解函数概念的难点在哪里？可以怎样突破？陶：我以为，难点在于对抽象符号“f：A→B，y＝f(x)，x∈A，f(x)∈B”的理解，主要是符号太抽象了，尤其是对应关系f到底是什么含义？突破的方法是，在学生已有认知基础上，充分利用初中学过的函数和生活实例，通过师生共同举例、分析，让学生领悟对应关系f的含义（这是重中之重），体会限定变量x，y的变化范围的必要性，体会在其变化范围内变量的依赖关系，进而逐步使学生学会用数量关系刻画两个变量的依赖关系．为了认识抽象符号f(x)，应当特别注意采用从具体到抽象、从特殊到一般的方法，以大量的、形式多样的实际问题为依托，使抽象符号f(x)具有坚实的具体背景，使学生更好地体会它所包含的具体信息：数集A中的数x在对应法则f 的作用下所对应的数集B中的一个数．章：在教学设计中，你考虑最多的问题是什么？你认为把握好哪些就可以使学生理解好函数概念了？陶：我考虑最多的是，应充分利用学生已有的知识基础，找准“变量说”与“对应说”间的观点差异，为学生设计适当的认知过程，顺利实现从“变量说”到“对应说”的螺旋上升．要围绕“对应关系”这一核心展开教学，要设法让学生理解它的特点，特别是领悟“任意”“唯一”这些关键词，这也是难点．难点的突破不是靠“定义+解释”，也不仅是教师举例、学生说明．教师要千方百计找好例子，也要让学生举例，并让他们用函数定义分析、讨论．让学生在“说理——反驳”的过程中引发思维碰撞；在用定义对实例的抽丝剥茧过程中，感悟“对应关系”的本质特征．学习是学生自己的体验与感受，因此，我十分注重把学生引导到概念定义的过程中来，让他们“卷入”到函数概念中去．这里我特别想说说“好例子”的重要性．就像你说过的，“一个好例子胜过一千次说教”．我在教学设计中，例子的选择确实下了大功夫．从学生的课堂表现看，股票指数图、射击命中表、让学生构建具体背景解释y＝x2的对应关系等，在学生感悟“对应关系”中起了关键作用．章：我注意到，你在课堂中特别重视让学生自己举例，而且问了许多“为什么”“凭什么”，请谈谈这样做的用意．。

浅谈初中数学教学中的概念教学

3.数学概念理解的层次性
首先，根据数学概念发展的抽象性，都有一个按层次递进的过程；其次，不同的数学概念表征在一定程度上反映个体对概念的不同理解. 直接由感知得到的概念称为初级概念，由初级概念再抽象之后得到的概念称为二级概念. 具体化的概念；过程性的概念；形式化的概念. 具体期；确认期；分类期；产生期；形式期.数学概念理解的层次性除了有数学本身的特点所决定外，也与学习者个体的心理发展水平有关. 依据数学概念理解层次来探讨合适的学习序列，一直是数学教育工作者致力研究的方向.
数学概念是什么? 数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式. 在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础.正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提.
4.数学概念联结的系统性
数学概念的前三个特征直接导致了它的第四个特征：数学概念具有广泛的联系.这里的联系既包括概念与其背景的联系，也包括概念之间的联系；既有纵向的联系，也有横向的联系. 概念的系统化程度也是评价学生概念理解的一条重要指标.学生要理解一个数学概念，就必须围绕这个概念逐步建立一个概念网络，这个网络越丰富越复杂，这个学生的理解也就越深刻.
二.数学概念的基本特征
从数学本身的发展来看，数学概念的来源一般认为有两方面：一是直接从客观事物的数量关系和空间形式反映而得，二是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象所获. 所以，数学概念既有抽象性，也有它的具体内容. 也就是说，一方面，数学概念是感官对外在经验的活动或思考，经由抽象之后所得的数、量、形的性质，或者是历代数学家把前代的概念结果更加抽象化、一般化而得来的.

对中学数学函数教学的几点思考

对中学数学函数教学的几点思考作者：吴晓彬来源：《中国教研交流》2013年第01期【摘要】函数的概念及相关内容是高中和职业类教材中非常重要的部分，许多学生认为这些内容比较抽象、难懂、图象多，方法灵活多样，以致部分学生对函数知识产生恐惧感。

函数是一种重要的数学概念。

解决函数的问题要求学生基础知识扎实，抽象思维能力、综合应用数学能力较高。

【关键词】中学数学函数教学思考在教学中教师要让学生做课堂的主人，做知识掌握和运用知识解决具体问题的主人，让学生活起来，动起来。

通过情景创设、，例证辨析，主动质疑等课堂环节让学生掌握函数的概念的内涵和外延，并能运用函数的概念理解和解决其他数学问题。

本文就教学过程中学生的反应情况和自己的反思，淡几点自己的思考。

一、中学数学中函数概念教学的原则概念是一种数学知识。

任何知识的获得和掌握都应遵循一定的原则，要符合学生的年龄特征、认知水平、认知习惯等。

在学生的学法指导上，我们应按规律办事，不能逆原则来指导学生的学法。

一般来说，函数概念的形成应遵循以下四个原则：在体验函数概念产生的过程中认识概念的原则；在挖掘函数概念的内涵和外延的基础上理解概念的原则；在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念的原则；在运用函数概念解决问题的过程中巩固概念的原则。

二、教学中注重函数概念的实际应用抽象的函数概念必须经过具体的应用才能得到深刻理解，生活中的许多问题都是通过建立函数模型而解决的。

因此，在函数概念教学中，可以通过函数性质比较大小，求解方程、不等式，证明不等式等活动加强理解，同时引入具体的函数生活实例，如：列出银行的利率表、数学用表、股市走势图；让学生记录一周的天气预报，列出最高气温与日期的函数关系……这样，学生既受到思想方法的训练，又对函数概念有了正确的认识，从而使他们相应的数学能力得到充分的培养与发展。

三、教学过程事需要加强数形方面的结合数学是人们对客观世界定性把握和抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。

初中数学函数教学存在的困难及教学对策研究

初中数学函数教学存在的困难及教学对策研究初中数学函数教学是中学数学教学中的重要内容之一，也是学生数学学习的难点和痛点之一。

初中数学函数教学存在的困难主要有以下几个方面：一、抽象概念理解困难。

函数是数学的一种基本概念，它比较抽象，学生往往很难理解函数的含义以及函数与实际问题的联系。

二、符号运算和函数性质掌握困难。

函数的符号运算和性质掌握对数学的进一步学习至关重要，但学生往往对函数的符号运算和性质的掌握有一定的困难。

三、问题解题能力不足。

函数是数学中应用较广泛的内容，学生在解决实际问题时往往容易陷入计算的迷失，无法很好地将实际问题转化为函数的表达形式。

针对上述问题，我认为可以采取以下教学对策：一、启发性教学法。

通过启发式的教学方法，引导学生从实际问题中发现函数的概念，逐步理解函数代表的变化关系，并将函数的概念与实际问题相联系，帮助学生建立起函数的认知框架。

二、具体化教学法。

在教学过程中，将抽象的函数概念具体化，例如通过实例或图形的方式展示函数的运算和性质，使学生更容易理解和掌握函数的符号运算和性质。

四、巩固训练与拓展拔高相结合。

通过反复的练习巩固学生对函数的基本知识和操作技能的掌握，同时鼓励学生进行拓展性的学习，开展一些拔高活动，提高学生对函数的深入理解和应用能力。

五、多媒体辅助教学。

利用多媒体技术，例如使用数学软件或展示实例来辅助教学，使学生更加直观地理解函数的概念和性质，提高学生学习的主动性和积极性。

六、个性化教学。

根据学生的学习特点和能力水平，采用不同的教学策略和方法，帮助学生更好地理解和掌握函数的知识，提高学生成绩。

解决初中数学函数教学存在的困难需要针对性的教学对策，通过启发性教学、具体化教学、问题导入教学、巩固训练与拓展拔高相结合等方法，帮助学生更好地理解和掌握函数的基本概念、符号运算和性质，提高学生的问题解题能力和数学学习兴趣，使数学函数教学取得更好的效果。

中学数学课程与教学中的函数及其思想

中学数学课程与教学中的函数及其思想---史宁中教授访谈录20 世纪以来, 世界各国中学数学中关于代数的内容逐渐从以解方程为中心转到以研究函数为中心。

[1 ] 现在, 函数概念已经成为中学数学中最为重要的概念之一。

因此, 在中学数学课程改革中, 理解函数思想, 把握函数本质, 处理好函数的教学是很重要的。

针对上述问题, 我对史宁中教授进行了访谈, 下面是经过整理后的访谈记录。

一、函数及其思想问: 函数概念是中学数学中最重要的概念之一, 函数定义的形成经历了较长的演变过程,您可以谈谈函数定义的发展历史吗?▲史教授: 是的, 函数定义的形成确实经历了较长的时间。

即使在今天, 在我们数学教科书中, 函数的定义在初中、高中、大学还是有所不同的, 这也从一个侧面反映了函数定义的发展历史。

最初, 是德国数学家莱布尼茨(Leibniz)在他的一部手稿中, 用到了Function 一词。

是用来表示任何一个随着曲线上的点变动而变动的量, 例如, 切线、法线、次切线等的长度和纵坐标等, 那是在17 世纪(1673 年) 。

[2 ]到了18 世纪(1718 年) ,贝努利(Bernoulli)给出了函数的解析定义: 是由变量x 和常数组成的式子。

欧拉( Euler) 首先给出了函数的变量定义(1755 年) : “如果某变量以如下方式依赖于另一些变量, 即当后者变化时, 前者本身也发生变化, 则称前一个变量是后一些变量的函数。

”可以看到, 我国初中数学教科书中关于函数的定义就采用了这一说法。

后来, 黎曼(Riemann) 给出了函数的对应定义(1851 年) : “我们假定Z 是一个变量, 如果对它的每一个值, 都有未知量W 的一个值与之对应, 则称W 是Z 的函数。

”这可以被看作我国高中数学教科书中关于函数定义的雏形。

到了上个世纪(1939 年) , 布尔巴基学派认为, 函数的定义应当强调关系, 于是借用了笛卡儿积: 若X 、Y 是两个集合, 二者的笛卡儿积是指集合{ ( x , y | x ∈X , y ∈Y) } , 笛卡儿积中的子集F 被称为x 与y 之间的一种关系。

从初高中衔接的角度浅析初中数学中函数概念的教学word精品文档4页

从初高中衔接的角度浅析初中数学中函数概念的教学函数是高中数学中极为重要的内容，函数的观点和方法贯穿了整个高中数学的全过程。

这部分知识对学生来说，无论是学习掌握，还是实际运用都是一个难点，不少高一学生在学习这部分知识时，一方面由于还不适应高中的教学方式和教学节奏，另一方面由于知识本身的难度，学起来尤为困难。

其实学生在初中阶段时，从初二上期就开始学习函数，从整个初中数学阶段看，学生学习的范围已涉及到函数的概念及性质、函数的图象及平移、函数与方程、不等式的关系等，应该说高中阶段函数这部分的学习，是初中的延伸和加深，但许多学生在理解掌握时，衔接得并不是很好。

我想如果在初中阶段的函数教学中，教师在某些地方知识上不必加深，但可以多给学生一点提醒点拨，使他们能更加透彻地理解这部分知识，这对他们升入高中的后续学习应该是有帮助的。

而从初高中的函数学习中，我们可以发现，函数概念及其应用是中学数学知识的基础，也是初高中数学教学衔接的关键。

下面谈一些我个人在教学初中函数概念时的体会。

我们都知道，初高中数学中都给出了函数的定义。

高中数学中给出的是函数的传统定义和近代定义，而初中数学只给出了函数的传统定义，这两个定义从本质上说是一致的，只是叙述时的出发点不同。

比较而言，传统定义更易为初中生所理解，近代定义从集合的观点来定义函数则比较抽象，学生理解起来较困难。

在高中阶段学习函数定义时，定义中包含了函数的三个要素：定义域、值域和对应法则，并且由此可知道，一个函数由它的定义域和对应法则所确定，而在初中学习函数定义时虽然也涉及到函数的取值范围，但没有明确提出函数的定义域和对应法则，但为了让学生在高中的后续学习中不感到陌生，我们可以通过习题让学生认识到这一点，例如：初中阶段我们做过这样一道填空题：“在（1）?y=x与y=x?2 （2）y=x?2 与y=（x）?2 （3）y=x+1与y=x?2-1x-1 （4）y=x?0 与y=1 （5）y=|x|与 y=x?2这五组函数中，表示同一函数的有”教师通过分析这五组函数，可以充分让学生体会到两个函数相同的必要条件，即必须自变量的取值范围（定义域）相同，同时函数解析式（对应法则）相同，为后续学习埋下伏笔。

浅析函数思想和函数应用教学

状态。
求方程的近似解。我们今天来玩个猜数字游戏，我手中这支钢笔的价格标签是１～０中的某个整数，们来０３元你猜它的准确价格，我将对你们的答案做 “ 高 ” “ 低 ” 偏、偏或者“ 正确 ” ｌ的提示，能既准确又迅速回答出这支钢笔谁
【专题研讨】
浅析函数思想和函数应用教学
李红保（疆维吾尔自治区伊犁市农四师一中，新新疆伊犁８５０）３００
摘要：函数的学习在整个中学数学学习中，占有重要的地位，函数概念是中学数学中的核心概念。函数思想贯穿中学教材的始终，而函数概念的学习是初中数学学习的一个重难点。
数与每个人都息息相关。如一个人的身高、体重等都是时间（年龄）的函数；电话费、水电费是时间的函数；多许科学知识只有用函数才能表达清楚。如物理学中的自
由落体运动、生物学中的细胞繁殖速度等也是时间的函数；生产成本的核算、生产工效的提高等都是相应自
关键字函数概念；函数恩想；函数应用．
函数概念教学中，视函数思想方法的教学，透重渗函数思想，一思想是通过对函数概念的教学来实现。这
一
将函数思想方法与方程思想方法有机结合在一起，而从
样可以加深学生对有关知识的理解和灵活运用的程度。如，剪一块面积为１０５平方厘米的长方形铁片，使它的长比宽多５厘米，这块铁片应如何剪？这个问题我们用反比例函数和一个一次函数的图像即可解决。用函数来

高中课标课程“函数概念”的教学分析与思考

充分暗示出来时，其内容也不难掌握．如数学符号
“ ，上，，ｏ”等，不仅为我们提供了符号形／／式，从其形象上我们也可以了解符号内容．但是当内容不能由形式充分、明确的表示出来时，符号形式和符号内容的联结，就需要进行更多的心智转换
“ 函数概念”具有多种表示法，如解析法、列表法、图象法、箭头法；定义式中“ Ｙ是Ｘ的函数，记作
２ｘ
２ｙ
２ｚ
ｂ＋Ｃ
Ｃａ＋ａ
＝
去去＋＋ｃ＋卜＋去＋ｃ
１ｌ１三：＋＋一三
．
＋Ｄ２
可见，两道题是等价性，可互推，笔者和同
学们一起探讨得出的这个结果，赢得了大家的阵阵
２２
这种解法避开了柯西不等式和排序不等式，而
＋
≥
半
，问两题什必的系请这道有么然联
吗？ ”
这个问题提得太突然了，连笔者都没有做好思
想准备．确实，这两个题目的结构非常相似，对以
前讲过的这个题目，用柯西不等式证明是很容易的，但是笔者以前对 “ 两道题目是否有联系” 作这未任何研究，一下子不知道如何回答学生的提问，但
学反思里写道：在平时教学中，积极、适宜地进行
一
在笔者对第三种解法作了总结后，生ｃ站起学来了，他问道：“ 师，这个题目我觉得很面熟，老好像和我们以前做过的一道题在结构上非常相似，

利用函数教学,培养学生数学地学习数学意识的几点思考

Ａ到集合Ｂ的映射厂满足Ａ（＋厂（）（）则这样的映射有ａ）６＝厂ｃ，
个．
多从自己的身上找原因，师常对学生说：老我们
不能控制别人，我们可以控制自己．但把这句话
对自己说说，自己听听，当学生在学习过程中出
前缴了枪对自信心打击很大．在进入第二个班级后，我对本题作了修改：
１当， ≥２时，￣ｓ＝口＋，２由２／１知 √ｓ＝ｓ一ｓ一１＋１移项得（／，１。＝，￣ｓ一）（，￣／），口｝由｛为正数数列及ｎ＝ｌｓ知
领悟的成份这一背景，了高中如何帮助学生到
加强对概念的学习，如何帮助学生理解概念、领
悟概念，关键在于指导学生突出概念的本质特性，抓住概念中最能体现本质特征的关键词语，努力培养学生揭示概念本质的意识，以此帮助学生强化基础．例如在函数概念教学中，首先指导学生从一些不同情境的实际问题中概括出这
２
．
厂ｃ，（）请你写出一个这样的映射．最多能写你出几个这样的映射？
站在更高的高度认识ｎ＝
ｆ，＝】．
ｓ一ｌ＞１可以灵活地把握解题方，一 ” 一 … 一～～ “
．
稍等片刻，即有许多学生写了出来，同学之间互相讨论，互相启发，互通有无，在得出一定
ｎ为Ｓ，化它表达的是。与Ｓ的关系，什为
对学生的打击却是沉重的．些学生根本就无一

关于初中新课程函数概念教学的调查与分析

《数学》八年级上册¨ ．函数概念的教学，ｊ在初中
采用 “ 变量说 ” 在高中采用 “ ，对应说 ”，种安排基这
本上是遵循函数概念历史发展的本来顺序，符合也人们对于函数概念认识过程上的发展性、阶段性，但即便如此，学生形成和理解函数概念的水平仍旧很低．已有的教学实践表明，函数概念是学生数学学
查．此次调查时间是他们刚学完函数概念，析结分果发现：４的学生认为函数是一种特殊的数，有％
函数概念从产生到完善，经历了漫长而曲折的过程．这不但因为函数概念系统复杂、涉及因素众多，重要的是伴随着函数概念的不断发展，更数学思维方式也发生了重要转折：维从静止走向了运动、思从离散走向了连续、运算转向了关系，从实现了数与形的有机结合，符号语言与图表语言之间可以灵在活转换．与常量数学相比，函数概念的抽象性更强、
关于初中新课程函数概念教学的调查与分析
四川师范大学数学与软件科学学院
１现状调查
６０６１０６
简冬梅
的基础，这一章的内容对高中数学中各种初等函数的学习以至高等数学中函数概念及性质的研究也奠
在现行中学数学新课标教材中，函数 ”这个概 “
形式化程度更高．
１％的学生认为函数是方程，７％的学生认为函９有７数是变量．说明变量定义函数还没有被所有的学这生接受．有７％的学生只愿意用解析式表示函数，２

初中函数概念的教学思路和设计探讨

初中函数概念的教学思路和设计探讨发表时间：2019-12-09T09:27:25.717Z 来源：《中小学教育》2019年11月2期作者：刘玉香[导读] 函数是中学数学教学的核心内容之一，掌握函数思想对整个中学阶段的数学学习至关重要，但函数却是学生普遍觉得较难的内容。

函数概念的引入与数形结合思想的使用，是数学教育工作者们深入研究的课题。

新课程改革理念的指导下，函数的抽象性与内涵应得到深层次剖析，重点关注学生知识技能的掌握程度，并将基础知识运用到实际问题的解决过程中。

刘玉香广东省河源市东源县黄田中学广东东源 517500【摘要】函数是中学数学教学的核心内容之一，掌握函数思想对整个中学阶段的数学学习至关重要，但函数却是学生普遍觉得较难的内容。

函数概念的引入与数形结合思想的使用，是数学教育工作者们深入研究的课题。

新课程改革理念的指导下，函数的抽象性与内涵应得到深层次剖析，重点关注学生知识技能的掌握程度，并将基础知识运用到实际问题的解决过程中。

【关键词】初中函数概念；教学思路；设计探讨中图分类号：G623 文献标识码：A 文章编号：ISSN1001-2982（2019）11-169-01初中函数概念的教学需要从认知阶段过渡到应用阶段，尤其是实践层面的教学设计研究。

受到传统考试制度的影响，部分教师在函数知识的讲解过程中，过分追求题目量和基础知识引导，导致实际的概念掌握过程与解题过程相互脱节。

实际上函数本身是一种数学观念，问题解决的过程更加重要，如何针对基础概念进行合理设计，成为了未来研究中的核心思想。

1初中函数概念教学的现状1.1教与学的分析从总体调查结果来看，大部分教师倾向于概念学习过程中，以问题导入和设计的方式，引导学生展开思考，且大部分教师都认可学生有效思考的基础。

在主要知识点讲解过后，借助应用题和配套练习进行巩固，必要时通过实际问题导入新的概念内容。

由此可见，教师在一定程度上能够认可概念与问题之间的联系，但一些具有难度的地方还需要进行研究。

HPM视角下《函数的概念(第一课时)》的教学与感悟(1)

HPM 视角下《函数的概念（第一课时）》的教学与感悟宋瑛福建师范大学附属中学（350007）函数概念是描述客观世界变化规律的重要数学模型，也是中学数学的核心内容之一，然而，国内多项调查表明，学生对函数概念的理解水平较低．究其原因，教师往往把过多的精力放在函数定义域、值域等知识清单，而对函数概念的本质及其形成过程关注不足．HPM（数学史与数学教学关系的国际工作组）视角下数学教学设计将改变这种状况，该教学设计的主要理论依据为“发生教学法”．“发生教学法”是一种借鉴历史、呈现知识自然发生过程的教学方法．该理论旨在激发学生的学习兴趣、促进对数学本质的理解．荷兰著名数学教育家弗赖登塔尔认为，数学学习主要是进行“再创造”，只有让学生经历了知识的“再创造”过程，才能将知识以它最初被发现时的样子表现出来，才能将数学冰冷的美丽转变成火热的思考．因此，数学教学的任务是要通过“发生教学法”，按照知识的创造过程引导和帮助学生进行这种再创造的工作，而不是把现成的知识灌输给学生．本文将以“函数概念的第一课时”为例展示HPM 视角下数学教学设计的理念和实践，敬请指正．1教材与学情分析函数的概念是人教版《必修1》第一章的第二节，之前学生学习了集合的概念，之后要学习函数的性质，本节起着承上启下的作用．初中教科书里是以物体运动变化方式描述函数的概念，即用变量的观点描述函数比较生动、直观，学生容易接受．刚进入高一年级的学生的抽象思维逻辑虽然有了很大的发展，但是仍然以形象的感性思维为主，绝大多数同学还属于经验型，他们的逻辑思维需要通过形象的感性的经验来支持，而高中的函数概念中的集合语言及“对应”、“任意一个”、“唯一一个”等数学术语需要他们具备较强的抽象、逻辑思维能力来学习，故对函数学习学生感到有难度．同时学生不理解为什么将函数的概念用集合和对应的语言抽象描述，十分拗口，心理上有抵触．教师应该让学生感知数学知识建立的必要性和合理性．通过历史发生法，引导学生“沿着数学家的足迹去探寻函数概念所走过的路，经历“一次次提出概念、一次次地推翻或修正或完善概念”的探究过程，使学生对函数概念的发展、内涵与外延的认识更为深刻．2教学目标与重、难点2.1教学目标（1）帮助学生在已有认识的基础上，学会用集合与对应的语言刻画函数概念，认识到函数是描述客观世界的重要数学模型．（2）引领学生在感受函数概念的发生、发展过程中，体验数学的人文、应用和科学价值，领会数学学科的理性精神，提升学生的数学文化素养．2.2教学重点帮助理解函数概念的发展过程及对函数概念的辨析．2.3教学难点如何引领学生理解用集合和对应语言描述的函数概念．3教学过程实录3.1函数概念的第一次抽象认识教师：同学们，初中已学过函数概念，下面先请一位同学来回顾一下初中的函数概念．学生：…沉默了一会儿，有学生举手回答：对一个实数x ，有实数y 与之对应，称y 是x 的函数．教师：有不同意见吗？或是补充？学生：…沉默．教师：看来同学们对函数的概念还是比较模糊．下面就先让我们一起来经历函数概念的几次抽象过程，帮助同学们理解函数概念的来龙去脉，回头再来辨析这位同学所表述的函数概念．教师：十六世纪，随着欧洲过渡到新的资本主义生产方式，迫切需要天文知识和力学原理．当时，自然科学研究的中心转向对运动和变化着的量之间依赖关系的研究．数学研究也从常量数学转向了变量数学．这个转折主要是由法国数学家笛卡尔完成的，他在《几何学》一文中首先引入变量思想，称为“未知和未定的量”，同时引入了两个变量之间的相依关系．这便是函数概念的萌芽．十七世纪，在对各种各样运动的研究中，人们愈来愈感到需要有一个能准确表示各种量之间关系的数学概念．教师：请同学们来看看当时数学家们研究的物理现象中运动变化的例子．（展示第一张PPT）案例1 汽车的行驶速度v 一定时，路程s 与时间t 的关系；案例2 气体质量m 一定时，它的体积v 与密度ρ之间的关系；思考1 上述的每个问题在变化过程中，谁是常量，谁是变量？都涉及几个变量？思考2 两个变量之间的关系是通过什么来刻画民生活质量的高低．恩格尔系数越低，生活质量越高．下表中恩格尔系数随时间（年）变化的情况表明，“八五”计划以来，我国城镇居民的生活质量发生了显著变化．表1 “八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数变化情况表的？思考3 综合思考1 和思考2 的解答，总结上述例子中变量间关系的共同特点？学生：v =s ，速度v 是常量，路程s 与时间t 是t变量，变量之间的关系是通过关系式（即解析式）来刻画；m =ρv，气体质量m 是常量，体积v 与密度ρ是变量，变量之间的关系是通过关系式（即解析式）来刻画．教师：十八世纪初，约翰⋅伯努利给函数一个抽象的不用几何形式的定义：“一个变量的函数是指由这个变量和常量的任何一种方式构成的一个量．”在《无穷分析引论》中，欧拉则更明确地说：“一个变量的函数是该变量和常数以任何一种方式构成的解析表达式．”在伯努利和欧拉看来，具有解析表达式是函数概念的关键所在．这个时期是数学家们对函数概念的第一次抽象认识，主要观点是：函数就是解析式，简称函数的“解析说”．3.2函数概念的第二次抽象认识教师：十八世纪中期，随着生活和科技的发展，新的问题出现了：并不是所有的变量关系都能用解析式表示．下面请同学们一起来看课本15 页到16 页的两个案例并思考几个问题．（展示第二张PPT）案例3 近几十年来，大气层中的臭氧迅速减少，因而出现了臭氧层空洞问题．图1 中曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积从1979-2001 年的变化情况．图1案例4 国际上常用恩格尔系数反映一个国家人思考1 统计图（或表格）中有变量吗？有几个变量？是什么？思考2 当时间确定时，相应的臭氧空洞面积（或恩格尔系数）是否确定？你能写出臭氧空洞面积（或恩格尔系数）随时间变化的关系式吗？思考3 综合上述思考题的解答，总结上述例子中变量间关系的共同特点．学生：统计图中的变量为时间t 和臭氧空洞面积S ；表格中的变量为时间t 和恩格尔系数e 当时间确定时，相应的臭氧空洞面积（或恩格尔系数）也是确定的，但我们无法写出臭氧空洞面积（或恩格尔系数）随时间变化的关系式．综上所述，上述变化过程，一个量的变化引起另一个量的变化．教师：同学们还可以举出这样的例子吗？学生：一天之内的气温图、一个月内的销售量的变化、股市的行情…教师：同学们举的例子很好．十八世纪中期，这些例子引起了数学家们的广泛争论，迫使数学家修正了对函数概念的理解，接受一个更广泛的概念．1755 年欧拉在《微分学原理》的序言中给函数下了一个新的定义：如果某些量这样地依赖于另一些量，当后者改变时它经常变化，那么称前者为后者的函数．时间（年）恩格尔系数（%）1991 53.81992 52.91993 50.11994 49.91995 49.91996 48.61997 46.41998 44.51999 41.92000 39.22001 37.9这个时期是数学家们对函数概念的第二次抽象认识，主要观点是：函数是指两个变量的依赖关系，简称函数的“依赖说”．3.3函数概念的第三次抽象认识教师：过了不久，新的问题又出现了：并不是所有的变化过程中的两个变量都具有依赖关系．下面请同学们来看一个生活中的例子．（展示第三张PPT）案例5 乘公共汽车时，到达第3 个站点与第6 个站点的票价是多少？思考1 上述问题有变量吗？有几个变量？分别是什么？思考2 上述两个变量是否一定具有依赖关系？思考3 综合上述思考题的解答，总结上述例子中变量间关系的特点．学生：上述问题中变量为：第x 个站点与票价y 元；随着x 变化，y 没有变化，都是一元，不具备依赖关系，这是不是函数呢？……（学生开始嘀咕，开始讨论）学生感到疑惑，这和他们观念中对函数的理解有差异，变量y 不是要随着x 的变化而变化吗？y = 1 这是不是函数呢？学生无法总结这两个变量间关系的特点．教师：生活中还有许多这样的例子．比如：出租汽车规定3km 以内包含3km 收费10 元，超过3km 的路程2 元/公里收费；商场的T 恤10 件以上包含10 件打8 折等等．十九世纪20 年代，柯西认识到函数是变量与变量之间的一种关系，同时指出，函数不一定要有解析式，不过他仍然认为函数关系可以用多个解析式来表示，这是一个很大的局限性．突破这一局限的是杰出数学家狄利克莱．1837 年，狄利克莱认为，怎样去建立x 与y 之间的关系无关紧要，他拓广了函数概念，指出：“对于在某区间上的每一个确定的x 值，y 都有一个确定的值，那么y 叫做x 的函数．”狄利克莱的函数定义出色地避免了以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受．至此，我们已可以说，函数概念的本质定义已经形成，这就是人们常说的经典函数定义—函数的“对应说”．3.4函数概念的第四次抽象认识教师：19 世纪康托尔创立了集合论，集合语言作为近现代数学的“基本语言”广泛应用在数学各个分支学科中．如何利用集合语言描述函数的对应说的相关观点，给出基于集合语言的函数定义呢？（展示第四张PPT）思考1 函数对应说中的两个变量如何用集合语言描述？思考2 函数对应说中的变量对应关系如何用集合语言描述？这种对应遵循什么规律？思考3 结合上述几个思考题，概括函数的本质属性，并给出基于集合语言的函数概念．学生：……沉默．教师：同学们觉得有困难是很正常的事．下面请同学们对照思考题重新阅读课本15 页到16 页的三个案例．在教师的帮助下，学生把三个案例抽象概括为：变量x 的变化范围为数集A ，变量y 的变化范围为数集B ．对于数集A 中每一数x ，按照某种对应关系（可以是解析式，也可以是图象或表格），在数集B 中都有唯一确定的数y 与之对应，则称y 是x 的函数．教师：1930 年，新的近代函数定义为：若对集合M 的任意元素x ，总有集合N 中唯一确定的元素y 与之对应，则称在集合M 上定义一个函数，记为y =f (x) ．元素x 称为自变元，元素y 称为因变元．这个时期是数学家们对于函数概念的第四次抽象认识．至此完成了近代函数概念建构的全过程．函数概念的定义经过多年的锤炼、变革，形成了函数的近代定义形式，但这并不意味着函数概念发展的历史终结，目前函数的概念已经发展到“关系说”，随着以数学为基础的其他学科的发展，函数的概念还会继续扩展．3.5函数概念的辨析教师：下面我们来阅读课本16 页的定义，拿出笔将定义的要点作记号．同学们应该明确以下四点：（1）课本中函数定义是建立在非空数集上，比近代函数定义的范围要小；（2）定义域、值域和对应关系是决定函数的三要素；（3）理解函数记号y =f (x) 的内涵．符号中f 指对应法则，x 是被f 作用的对象，不能理解成f 与x的乘积；（4）初中的函数定义与高中的函数定义本质上是一样，只不过叙述的出发点不同．初中给出的定义是从运动变化的观点出发，高中给出的定义是从集合、对应的观点出发，更具一般性．教师：请同学们思考：下列对应关系是否是从集合A 到集合B 的函数呢？（展示第五张PPT）思考1 已知自然数集A ，正数集B ，对应关系f ：求集合A 中元素的倒数；思考2 已知正数集A ，实数集B ，对应关系f ：求集合A 中元素的平方根；思考3表2 某户居民一月份到五月份所缴纳水费的情况表份的水费，即集合A = {1，2，3，4，5}，集合B = {38，45，42，43}，上述表格表示从集合A 到集合B 的对应关系f ．学生回答的情况较好，能注意到概念中“任意性” 与“唯一性”，并能指出定义域与值域．3.6回顾与反思教师：今天我们一起感受了函数概念的发生、发展过程，同学们有什么收获吗？学生：人们对事物的认识是曲折的、数学家们勇于承认自己的错误……教师：纵观300 年来函数概念的发展，经历了一次次提出概念、一次次地推翻概念、一次次修正概念．众多数学家从不同角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展．说明对一个事物的认识不是一蹴而就，同学们在今后的学习中还要不断完善和深化对函数概念的认识．今天课后的一项作业是上网搜索“函数概念的历史”及“狄利克莱函数”．4教学感悟4.1数学史有机地融入课堂教学，激发了学生学习兴趣从教学过程看，学生课堂回答问题的主动性、积极性比原来高．尤其第三次抽象认识时，学生的讨论非常激烈．课后关于数学史是否融入课堂教学的问卷调查显示约92 人（两个教学班）赞同课堂适当融入数学史，认为能激发学习兴趣，活跃课堂气氛．约13 人反对融入数学史，认为在浪费时间，不如多练几道题．4.2数学史有机地融入课堂教学，促进了对概念本质的理解课后与部分学生访谈，学生反映：原来不理解为什么要建立函数的概念及如何建立函数的概念？为什么在初中的基础上重新给出函数的另一定义方式？了解了函数概念的历史，这些疑惑便迎刃而解．通过前、后测试卷（关于函数概念教学前与教学后的理解水平）的结果反映：教学前约四分之三的学生对函数概念的理解停留在“解析说”，约四分之一的学生停留在“依赖说”，只有少数几名学生认为y = 1是函数，其余则不认同；教学后，绝大多数同学的函数概念理解水平为“对应说”水平，只有少数仍停留在“依赖说”．4.3数学史为教师提供预测学生认知障碍的工具“发生教学法”告诉我们：个体的数学理解的发展遵循数学思想的历史发展；学生的错误和认知障碍与数学史上的错误和认知障碍息息相关．教师可预见学生的认知障碍为：学生对函数概念的理解大都停留在“解析说”，因此，教师在教学过程中对函数关系也可以用图象或图表表示，对y = 1 这样的函数的理解就需要浓墨重彩，不仅自己举例，还让学生也举例，加深学生对概念的理解，改变原有错误观念．参考文献[1][美]伊夫斯著，欧阳绛译．数学史概论[M]．哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2009[2]吴骏，汪晓勤．数学史融入数学教学的实践：他山之石[J]．数学通报，2014（2）：13-16[3]郭宗雨．HPM教学模式案例[J]．中学数学教学参考，2014（8）：6-9。

初中数学教学论文函数概念两种定义的教学体会

函数概念两种定义的教学体会
函数是中学数学中最重要的内容之一，它揭示了事物运动变化的规律和相互关系的本质，作为一条主线贯穿于中学数学的始终。

初中阶段采用传统定义把函数看成变量之间的依赖关系，在教学中多采用学生熟悉的具体实例，引导学生认识其中的变量关系，在探索过程中，学生可以获得变量之间相互依赖关系的切身感受，由此体验函数关系的产生过程，为后面的抽象概念学习打下基础。

高中阶段多采用近代定义用集合、对应的语言来刻画函数，通过具体实例让学生体会两个数集之间的一种特殊对应关系（映射），在用映射来定义函数。

本文通过对函数两种定义的教学谈谈体会。

一、拓广对函数的子概念变量、对应等的理解。

教学实践证明函数是中学生感到最难理解的概念之一，函数涉及较多的子概念：变量（包括自变量、因变量）、定义域、值域、非空数集、象、原象、对应、对应法则、映射等，这些子概念抽象性很强，其中能揭示函数概念本质属性的主要是变量和对应。

由于学生的思维发展水平还比较低，不善于从大量事物的不同例证中剖析他们共同的特征，然后把具体的事例与抽象的概念联系在一起，因此拓广对函数的子概念的理解，有助于学生对函数概念从整体上进行迁移和同化。