高三理科数学周测2试卷
高三一轮复习周测卷
……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………湛江一中2019届高三理科数学周二测试卷命题：何敏华 做题：李小林 审题：柯梅清一、单选题（共12题，每题5分，满分60分）1．如图所示的几何体，关于其结构特征，下列说法不．正确的是( ) A ． 该几何体是由两个同底的四棱锥组成的几何体 B ． 该几何体有12条棱、6个顶点C ． 该几何体有8个面，并且各面均为三角形D ． 该几何体有9个面，其中一个面是四边形，其余均为三角形2．设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ） A ． 若α⊥β，m ⊂α，n ⊂β，则m⊥n B ． 若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β C ． 若m⊥n，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥β D ． 若α∥β，m ⊂α，n ⊂β，则m∥n3．“九章算术”是我国古代数学名著，在“九章算术”中将底面为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该“阳马”的表面积为（ ） A ．21+B ．221+C ．22+D ．222+4．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑，若三棱锥P ABC -为鳖臑， PA ⊥平面,3,4,5ABC PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ） A ． 17π B ． 25π C ． 34π D ． 50π5．已知三棱锥S ﹣ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SA⊥平面ABC ，AB⊥BC 且AB=BC=1，2，则球O 的表面积是（ ） A ． 4π B ．34π C ． 3π D ． 43π 6．三棱锥S-ABC 中，SA BC ⊥,SC AB ⊥则S 在底面ABC 的投影一定在三角形ABC 的（ ） A ． 内心 B ． 外心 C ． 垂心 D ． 重心……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………A ．623 B ． 27 C ．67D ．4 8．下列各图是正方体或正四面体，P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，这四个点中不．共面．．的一个图是（ ）A. B. C. D. 9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为A ．B ．C ．D ．10．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=900，点D 1和F 1分别是A 1B 1和A 1C 1的中点，若BC=CA=CC 1，则BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．B ．C ．D ．11．下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为（ ） A ．37 B ．38 C ．39 D ．310……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线………… A ．451π B ．241πC ． π41D ．π31二、填空题（共4题，每题5分，满分20分）13．设m,n 是两条不重合的直线，βα，是两个不同的平面，有下列四个命题： ①若m βαβα//,，⊂⊂n ，则m//n ；②若n m n m //,,βα⊥⊥则βα//； ③若,,,n m n m ⊥⊥⊥βα则βα⊥； ④若α⊂n n m ,//,则α//m .则正确的命题(序号)为____________.14．已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=3，AC=4，AB ⊥AC ，AA 1=2，则该三棱柱内切球的表面积与外接球的表面积的和为______ ．15．如图，已知三棱锥O-ABC ，OA=OB=OC=1，︒=∠=∠60BOC AOB ，︒=∠90COA ，M 、N 分别是棱OA 、BC 的中点，则直线MN 与AC 所成的角的余弦值为__________．16．一个正方体纸盒展开后如图所示， 在原正方体纸盒中有如下结论 ①AB ⊥EF ；②AB 与CM 所成的角为60°； ③EF 与MN 是异面直线； ④MN ∥CD ．以上四个命题中，正确命题的序号是 _________三．解答题（共3题，每题12分，满分36分）17．在直角坐标系xOy 中，已知直线⎩⎨⎧===ααsin cos 1t y t x l （t 为参数），⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+==)4sin()4cos(2παπαt y t x l （t 为参数），其中)43,0(πα∈，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为．……○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________……○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………(1)写出l 1，l 2的极坐标方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设l 1，l 2分别与曲线C 交于点A ，B(非坐标原点)，求|AB|的值．18．如图，已知四棱锥P-ABCD 中，平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，E 为PB 上任意一点，O 为菱形ABCD 对角线的交点。
广东省深圳市2020届高三年级第二次调研考试数学(理科)试题含答案
2020年深圳市高三年级第二次调研考试数学(理科)2020．6一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。
1．设21(1)iz i +=-则|z|=（ ）A ．12B C ．1D2．已知集合{}{}023,22<+-===x x x B y y A x ，则（ ） A ．A∩B=AB ．A ∪B=RC ．A ⊆BD ．B ⊆A3．设α为平面，m ，n 为两条直线,若m ⊥α,则“m ⊥n ”是”n ⊂α”的 A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件4．已知双曲线2222:10,0)(y x C a b a b-=>>的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率为（ ）A B ．2 C D ．35．已知定义在R 上的函数f(x)满足()()2,f x f x +=当01x ≤≤时，13()f x x =，则178f ⎛⎫⎪⎝⎭= A ．12 B ．2 C.18D ．8 6.若x 1，x 2，…，x n 的平均数为a ，方差为b ，则1223,23,23n x x x +++L 的平均数和方差分别为 A ．2a ，2bB ．2a ，4bC ．2a+3，2bD ．2a+3，4b7．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若244,2,S S ==则6S = A ．-6B ．-4C ．-2D ．08．函数()()14sin 2xxx f x -=的部分图象大致为9已知椭圆C ：22213x y a +=的右焦点为F ，O 为坐标原点，C 上有且只有一个点P 满足|OF|=|FP|,则C 的方程为A ．221123x y += B.22183x y += C ．22163x y += D.22143x y += 10．下面左图是某晶体的阴阳离子单层排列的平面示意图其阴离子排列如下面右图所示，右图中圆的半径均为1，且相邻的圆都相切，A ，B ，C ，D 是其中四个圆的圆心，则AB CD ⋅=u u u r u u u rA ．24B ．26C ．28D ．3211．意大利数学家斐波那契(1175年—1250年)以兔子繁殖数量为例，引入数列：1，1，2，3，5，8，…，该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即()21,n n n a a a n +++=+∈N 故此数列称为斐波那契数列，又称“兔子数列”，其通项公式为.n n n a ⎡⎤=-⎥⎦(设n是不等式(1211x x x ->+的正整数解，则n 的最小值为A ．10B ．9C ．8D ．712．已知直线y ω=与函数()()()sin 01x f x ϕωω=+<<的图象相交，将其中三个相邻交点从左到右依次记为A ，B ，C ，且满足()*.N AC nBC n =∈u u u r u u u r 有下列结论：①n 的值可能为2②当n=3，且|φ|<π时，f(x)的图象可能关于直线x=-φ对称③当φ=6π时，有且仅有一个实数ω，使得(),11f x ππωω⎡⎤-⎢⎥++⎣⎦在上单调递增; ④不等式n ω>1恒成立 其中所有正确结论的编号为 A ．③B ．①②C ．②④D ．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13．曲线y=xlnx 在点(1,0)处的切线方程为 ▲14.若x ，y 满足约束条件20,0,30,y x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则y z x =的最大值为 ▲15．2020年初，湖北成为全国新冠疫情最严重的省份，面临医务人员不足和医疗物资紧缺等诸多困难，全国人民心系湖北，志愿者纷纷驰援若将4名医生志愿者分配到两家医院(每人去一家医院，每家医院至少去1人)，则共有 ▲ 种分配方案16．已知正方形ABCD 边长为3，点E ，F 分别在边AB ，AD 上运动(E 不与A ，B 重合，F 不与A ，D 重合)，将△AEF 以EF 为折痕折起，当A ，E ，F 位置变化时，所得五棱锥A-EBCDF 体积的最大值为 ▲ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
四川省攀枝花市2023届高三第二次统一考试理科数学试题
四川省攀枝花市2023届高三第二次统一考试理科数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{1,2,3}M =，{3,4}N =，则()()U U M N ⋃=（ ） A ．{3} B ．{5,6} C ．{1,2,3,4}D ．{1,2,4,5,6}2．已知复数z 满足i(1)12i z +=-+（其中i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i - B ．1i + C ．3i --D ．3i -+3．已知等比数列{an }满足a 1a 6＝a 3，且a 4+a 5＝32，则a 1＝（ ）A ．18B ．14C ．4D ．84．某国有企业响应国家关于进一步深化改革，加强内循环的号召，不断自主创新提升产业技术水平，同时积极调整企业旗下的甲、乙、丙、丁、戊等5种系列产品的结构比例，近年来取得了显著效果．据悉该企业2021年5种系列产品年总收入是2020年的2倍，其中5种系列产品的年收入构成比例如下图所示．则以下说法错误的是（ ）A ．2021年甲系列产品收入和2020年的一样多B ．2021年乙和丙系列产品收入之和比2020年的企业年总收入还多C ．2021年丁系列产品收入是2020年丁系列产品收入的13D ．2021年戊系列产品收入是2020年戊系列产品收入的2倍还多5．将一直角三角形绕其一直角边旋转一周后所形成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是A ．2π3B ．2πCD ．3π6．我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”，在数学的学习和研究中，有时可凭借函数的图象分析函数解析式的特征．已知函数()f x 的部分图象如图所示，则函数()f x 的解析式可能为（ ）A ．()2e1ln ||()2exxx f x -⋅=B ．()()2e1ln 2exxx f x +⋅=C ．()22e ()e 1ln ||xxf x x =-⋅D ．22e 1()ex x f x x -=7．已知四边形ABCD 中，2AB DC =，0AD AB ⋅=，|||2|2AB AD ==，E 为BC 的中点，则AC DE ⋅=（ ）A ．14B ．34C ．1D ．28．一排11个座位，现安排甲、乙2人就座，规定中间的3个座位不能坐，且2人不能相邻，则不同排法的种数是（ ） A ．28B ．32C ．38D ．449．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 是1A D 的中点，给出下列结论： ①1//PB D C ；①//PB 平面11B D C ①1PB B C ⊥；①PB ⊥平面11AC D 其中正确的结论个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n a S a =+，设12log n n nS b S +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则满足2n T ≥的n 的最小正整数解为（ ） A ．15B ．16C ．3D ．411．已知函数π()sin cos 22x f x x ⎛⎫=+⋅ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（ ）A ．()y f x =是奇函数B ．()y f x =的图象关于直线πx =对称C ．()f x 在3π,2π2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减 D ．()f x 是最小正周期为2π的周期函数12．已知2a =，32e 2b =，88ln2c =-，则（ ）A ．b a c <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c<a<b二、填空题13．已知平面向量(2,1)a =，(,2)b x =-，若a b ⊥，则||b =_________．14．()241(1)ax x -+的展开式中3x 的系数为12，则=a _________．15．已知边长为3的正ABC 的三个顶点都在球O （O 为球心）的表面上，且OA 与平面ABC 所成的角为30，则球O 的体积为___________．16．已知函数()()()ln 1,111,1x x f x k x x ⎧->⎪=⎨-+<⎪⎩，若存在非零实数0x ，使得()()0011f x f x -=+成立，则实数k 的取值范围是_________．三、解答题17．攀枝花市地处川滇交界处，攀西大裂谷中段，这里气候条件独特，日照充足，盛产芒果、石榴、枇杷、甘蔗等热带亚热带水果．根据种植规模与以往的种植经验，产自某种植基地的单个“红玉软籽”石榴质量()g 在正常环境下服从正态分布()602,625N ． (1)10000个产自该基地的“红玉软籽”石榴，估计有多少个质量()g 在(]577,652内； (2)2023年该基地考虑增加人工投入，现有以往的人工投入增量x （人）与年收益增量y （万元）的数据如下：该基地为了预测人工投入增量与年收益增量的关系，建立了y 与x 的回归模型，试根据表中统计数据，求出y 关于x 的线性回归方程y bx a =+并预测人工投入增量为10人时的年收益增量． 参考数据：若随机变量()2,XN μσ，则()0.6827P X μσμσ-<≤+≈，(22)0.9545P X μσμσ-<≤+≈，(33)0.9973P X μσμσ-<≤+≈，回归直线ˆˆˆybxa =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()1122211ˆn ni iii i nniiii i x y nx y x x y y bxnxx x ====-⋅--==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 18．在①ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos sin b b A B -=． (1)求A ；(2)线段BC 上一点D 满足1AD BD ==，3CD =，求①ADC 的面积．19．如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，14AA =，2AB =，60BAD ∠=︒，E 为AD 的中点，112D F FC =．(1)证明：B ，E ，F ，1C 四点共面； (2)求1D C 与平面1BEFC 所成角的正弦值． 20．已知抛物线2:2(0)E y px p =>与双曲线22134x y -=的渐近线在第一象限的交点为P ，且点P 的横坐标为3． (1)求抛物线E 的标准方程；(2)点A 、B 是第一象限内抛物线E 上的两个动点，点(,0)C t 为x 轴上的动点，若ABC 为等边三角形，求实数t 的取值范围． 21．已知函数2()ln ()f x x a x x a =-+∈R ． (1)当3a =时，求函数()f x 的极值；(2)设函数()()g x f x x =-，若()g x 有两个零点1x ，()212x x x <，且0x 为()g x 的唯一极值点，求证：1202x x x +>．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为12x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2(cos sin )ρθθ=-．(1)求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； (2)设曲线1C 与曲线2C 交于P 、Q 两点，求||||OP OQ ⋅的值． 23．已知()|2||2|()f x x ax a =++-∈R ． (1)当2a =时，解不等式()12f x <；(2)若1x ∀≥，不等式2()3f x x x ≤++恒成立，求a 的取值范围．。
2023年四川省广安市、眉山市、遂宁市、自贡市高考数学二诊试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年四川省广安市、眉山市、遂宁市、自贡市高考数学二诊试卷（理科）1. 已知，则( )A. B. C. D.2. 设全集为R，集合，，则( )A. B.C. D.3. 某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物.为了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，其高度单位：均在区间内，按照分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为( )A. 20B. 40C. 60D. 884. 数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，而是由多种波叠加而成的复合音.如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为( )A. B.C. D.5. 已知，则( )A. B. C. D.6. 一个四棱台的三视图如图所示，其中正视图和侧视图均为上底长为2，下底长为4，腰长为2的等腰梯形，则该四棱台的体积为( )A. B. C. D. 567. 已知实数a，b满足，则下列各项中一定成立的是( )A. B. C. D.8.已知四棱柱的底面是正方形，，，点在底面ABCD的射影为BC中点H，则直线与平面ABCD所成角的正弦值为( )A. B. C. D.9. 已知函数给出下列结论：①是的最小值；②函数在上单调递增；③将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象.其中所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③10. 已知直线l：与抛物线交于点A、B，以线段AB为直径的圆经过定点，则( )A. 4B. 6C. 8D. 1011. 在菱形ABCD中，，，将绕对角线BD所在直线旋转至BPD，使得，则三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.12. 若存在，使不等式成立，则a的取值范围是( )A. B. C. D.13. 已知，，，则实数______ .14. 已知的展开式中含项的系数为，则______ .15. 已知O为坐标原点，直线与双曲线的两条渐近线从左往右顺次交于A，B两点.若，则双曲线C的离心率为______ .16. 中，角A、B、C所对的边分别为a、b、若，且，则周长的最大值为______ .17. 某商店销售某种产品，为了解客户对该产品的评价，现随机调查了200名客户，其评价结果为“一般”或“良好”，并得到如下列联表：一般良好合计男20100120女305080合计50150200通过计算判断，有没有的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系？该商店在春节期间开展促销活动，该产品共有如下两个销售方案.方案一：按原价的8折销售；方案二：顾客购买该产品时，可在一个装有4张“每满200元少80元”，6张“每满200元少40元”共10张优惠券的不透明箱子中，随机抽取1张，购买时按照所抽取的优惠券进行优惠.已知该产品原价为元/件顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付的金额；你认为顾客甲选择哪种购买方案较为合理？附表及公式：其中，18. 已知数列是公差为2的等差数列，是公比大于0的等比数列，，求数列和的通项公式；若数列满足，求的前n项和19. 如图，在三棱锥中，H为的内心，直线AH与BC交于M，，证明：平面平面ABC；若，，，求二面角的余弦值.20. 已知椭圆经过，两点，M，N是椭圆E上异于T的两动点，且，若直线AM，AN的斜率均存在，并分别记为，求证：为常数；求面积的最大值.21. 已知函数有两个极值点，求a的取值范围；若，求的取值范围.22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求C的直角坐标方程；设直线l与曲线C交于A，B，求23. 设函数解不等式；令的最小值为T，正数x，y，z满足，证明：答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，，则，故选：利用复数的四则运算法则即可得出．本题考查了复数的四则运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，又，故故选：求出集合A中元素范围，再结合交集、补集的定义，即可求解．本题主要考查补集、交集的定义，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由频率分布直方图知，高度不低于16cm的频率为，所以选取的农作物样本苗中“优质苗”株数为故选：根据频率分布直方图求高度不低于16cm的频率和频数即可．本题考查了利用频率分布直方图求频率和频数的应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：对于A，函数，定义域为R，因为，所以函数为奇函数，又，故A符合图象；对于B，函数，定义域为R，因为，所以函数为奇函数，又，故B不符题意；对于C，函数，定义域为R，因为，故C不符题意；对于D，当时，，故D不符题意．故选：根据函数的奇偶性，再利用特殊值法，逐一判断即可．本题主要考查了三角函数的图象和性质，属于中档题．5.【答案】C【解析】解：，可得，，，又，故选：由已知利用二倍角公式可得，进而根据同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由三视图知，该四棱台的上、下底面都是正方形，且正方形的边长分别为2和4，高为所以四棱台的体积为故选：由三视图得出该四棱台的上、下底面都是正方形，且正方形的边长分别为2和4，求出高，再计算四棱台的体积．本题考查了三视图、四棱台的体积计算问题，是基础题．7.【答案】D【解析】解：因为，所以，则，故A错误；当时，，所以，故B错误；因为，所以，所以，即，故C错误；因为，所以，，即，故D正确．故选：由，可得，根据不等式的性质即可判断A；根据正弦函数的单调性即可判断B；根据对数函数的单调性即可判断C；根据指数函数及幂函数的单调性即可判断本题主要考查了不等式的性质，考查了正弦函数、对数函数和指数函数的单调性，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：点在底面ABCD的射影为BC中点H，则平面ABCD，又四边形ABCD为正方形，以点H为坐标原点，、、的方向分别为、y、z轴正方向，建系如图，平面ABCD，平面ABCD，，，，，、、、，，易知平面ABCD的一个法向量为，，直线与平面ABCD所成角的正弦值为故选：由已知可得平面ABCD，然后以点H为坐标原点，、、的方向分别为x、y 、z轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线与平面ABCD所成角的正弦值．本题考查向量法求解线面角问题，化归转化思想，属中档题．9.【答案】B【解析】解：，对于①，，是的最小值，故①正确；对于②，当时，，所以函数在区间上不具有单调性，故②错误；对于③，将函数的图象上的所有点向左平移个单位长度，得，故③正确，所以正确的有①③．故选：先利用辅助角公式化简，再根据正弦函数的性质即可判断①②，根据平移变换的原则即可判断③．本题主要考查了三角函数的恒等变形，考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题．10.【答案】C【解析】解：记，则直线l的方程可表示为，设点、，联立，整理得，，则，由韦达定理得，，，，又，则，解得，故选：记，则直线l的方程可表示为，设点、，将直线l的方程与抛物线的方程联立，利用韦达定理，结合以及可求得的值，再利用弦长公式，即可得出答案．本题考查抛物线的性质和直线与抛物线的综合应用，考查转化思想和方程思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：如图，取BD的中点M，连接PM，AM，在菱形ABCD中，，则，都是等边三角形，则，因为平面平面，所以即为二面角的平面角，因为，所以，即，所以平面平面ABD，如图，设点E为的外接圆的圆心，则E在AM上，且，设点O为三棱锥的外接球的球心，则平面ABD，外接球的半径为R，设，则，解得，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为故选：如图，取BD的中点M，连接的PM，AM，利用勾股定理证明，则有平面平面ABD，设点E为的外接圆的圆心，则E在AM上，设点O为三棱锥的外接球的球心，外接球的半径为R，利用勾股定理求出外接球的半径，再根据球的表面积公式即可得解．本题主要考查了三棱锥的外接球问题，考查了学生的空间想象能力，属于中档题．12.【答案】D【解析】解：因为成立，即，即，即，令，即有，因为，所以，令，则原问题等价于存在，使得成立，因为，令，即，解得，令，即，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，又因为，，而，所以当时，，若存在，使得成立，只需且，解得且，所以，故a的取值范围为故选：由成立，可得，令，构造函数，从而问题转化为存在，使得成立，求导判断单调性求得当时，，，进而得到且，即可求解．本题考查了转化思想、导数的综合运用，构造函数是解答本题的关键，属于中档题．13.【答案】2【解析】解：由已知得，，解得故答案为：先求出向量的坐标，再利用模的坐标运算列方程求解即可．本题主要考查了向量的坐标表示，属于基础题．14.【答案】【解析】解：，又的展开式通项为，的展开式通项为，，解得故答案为：求出的展开式通项，然后利用含项的系数为列方程求解．本题主要考查二项式定理，属于基础题．15.【答案】【解析】解：双曲线的渐近线方程为，由题意可得，则，联立，解得，联立，解得，因为两条渐近线从左往右顺次交于A，B两点，且，所以，，，所以，因为，所以，整理得，则，解得或舍去，所以离心率故答案为：分别联立直线与双曲线渐近线的方程，求出A，B两点的坐标，再根据A在B的右侧，可得，再根据，求得a，b的齐次式，由此求出，进而可得答案．本题主要考查双曲线的性质，考查方程思想与运算求解能力，属于中档题．16.【答案】【解析】解：因为，由正弦定理可得，所以，，因为A、，则，所以，，故，由余弦定理可得，所以，，即，故，当且仅当时，等号成立，故周长的最大值为故答案为：利用正弦定理结合两角和的正弦公式可求得的值，结合角B的取值范围可求得角B的值，利用余弦定理结合基本不等式可求得的最大值，即可得出周长的最大值．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．17.【答案】解：，所以有的把握认为客户对该产品的评价结果与性别有关系；若甲顾客按方案二购买一件产品，设需要出X元，则X可取180，220，，所以元，所以顾客甲若想采用方案二的方式购买一件产品，估计顾客甲需支付204元，若甲顾客按方案一购买一件产品，则需要元，因为，所以顾客甲选择方案二购买较为合理．【解析】根据公式求出，再对照临界值表即可得出结论；设甲顾客按方案二购买一件产品需要出X元，写出X的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求出期望即可，再求出选择方案一所需的金额，即可得出结论．本题主要考查了独立性检验的应用，考查了离散型随机变量的期望，属于中档题．18.【答案】解：数列是公差为2的等差数列，，得，，是公比大于0的等比数列，，设公比为q，，，解得负值舍去，；由得，①，②，①-②得，【解析】由等差数列的求和公式解方程可得首项，进而得到；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到；由等比数列的求和公式，结合数列的错位相减法求和，可得所求和．本题考查等差数列与等比数列的通项公式的求解，错位相减法求和，属中档题．19.【答案】解：证明：设平面ABC，垂足为N，作于E，于F，连接PE，PF，因为平面ABC，AB，平面ABC，所以，，又，，NE，平面PNE，所以平面PNE，又平面PNE，所以，因为，，NF，平面PNF，所以平面PNF，又平面PNF，所以，在和中，因为，，所以，所以，在和中，，，所以，所以，即点N到AB，AC的距离相等，同理点N到BC，AC的距离相等，所以点N为的内心，所以N，H两点重合，所以平面ABC，又因平面PAM，所以平面平面ABC；如图，以点B为原点建立空间直角坐标系，则，，，设内切圆的半径为r，则，即，解得，故，则，，则，设平面AHP的法向量，则，即，可取，设平面ACP的法向量，则，即，可取，则，由图可得二面角为锐角，所以二面角的余弦值为【解析】设平面ABC，垂足为N，作于E，于F，连接PE，PF，先证明，从而可证得，从而可得点N为的内心，即N，H 两点重合，再根据面面垂直的判定定理即可得证；以点B为原点建立空间直角坐标系，利用等面积法求得内切圆的半径，再利用勾股定理求得PH，即可得P，H的坐标，再利用向量法求解即可．本题考查面面垂直的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．20.【答案】证明：设直线AM，AT，AN的倾斜角分别为，，，因为，所以，即，故，因为，，所以，所以，所以，则，所以为常数1；解：椭圆经过，两点，代入得，解得，所以椭圆方程为，设，，，由得，则AM的方程为，，AN的方程为，联立，消y得，则，同理可得，则，令，则，当且仅当，即时取等号，所以面积的最大值为【解析】设直线AM，AT，AN的倾斜角分别为，，，根据，可得，即，求出，从而可得出结论；利用待定系数法求出椭圆方程，设，，，联立方程求出，，再根据，化简计算结合基本不等式即可得解．本题主要考查椭圆的性质，直线与椭圆的综合，圆锥曲线中最值的求法，考查运算求解能力，属于难题．21.【答案】解：，由题意得方程有两个不同的实数根，即有两个不同的实数根，设，对其求导得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以时，函数取得极大值，极大值为，又因为时，，时，，且时，，所以方程有两个不同的实数根时，可得，即函数有两个极值点时，a的取值范围是；由知，函数的两个极值点，是方程的两根，且，则有，两式相除，可得，可得，又由，可得，所以，令，则，令，，原不等式可转化为恒成立，因为，令，则，令，易得在上单调递增，又由，，则存在，使得，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增，又，，所以存在，使得当时，，则单调递减，当时，，则单调递增，又，所以当时，，则，单调递减，当时，，则，单调递增，所以当时，，所以，故实数的取值范围为【解析】根据题意转化为方程有两个不同的实根，设，求得，求得函数的单调性和极大值，进而求得a的取值范围；由得到，得出，令，得到，求得，令，取得，再令，利用导数求得的单调性，进而得出单调递性和最小值，即可求解．本题主要考查了函数极值存在条件的应用，还考查了由不等式恒成立求解参数范围，体现了转化思想的应用，属于中档题．22.【答案】解：曲线C的极坐标方程为，，，化简整理可得，，故曲线C的直角坐标方程为；直线l的方程可改写为为参数，将其代入曲线C的方程，化简整理可得，，设点A，B对应的参数为，，由韦达定理可知，，，故【解析】根据已知条件，结合极坐标公式，即可求解；根据已知条件，将直线l进行变形，再结合参数方程的几何意义，即可求解．本题主要考查极坐标公式，以及参数方程的几何意义，属于中档题．23.【答案】解：当时，，解得；当时，，解得；当时，，解得，综上所述，不等式的解集为；证明：由题，当且仅当即时取“等号”，故的最小值，即，则，所以，当且仅当，即，时取等号，所以【解析】分，，三种情况讨论，去绝对值符号，从而可得答案；根据绝对值的三角不等式求出的最小值，再根据基本不等式中“1”的整体代换结合基本不等式即可得证．本题主要考查了绝对值不等式的解法，考查了基本不等式的应用，属于中档题．。
2021-2022学年黑龙江省大庆市高三上学期第二次质检数学试卷(理科)(含答案解析)
2021-2022学年黑龙江省大庆市高三上学期第二次质检数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.(1−2i)2−(1+i)2=()A. −3−2iB. −3−6iC. 3−2iD. 3−6i2.设集合P={x|x2−4x≤5}，Q={x|2<x<8}，则图中阴影部分表示的集合为()A. {x|2<x≤5}B. {x|2<x<8}C. {x|−1≤x<2}D. {x|5<x<8}3.若向量a⃗=(2,3)，b⃗ =(8,m)，则()A. ∃m∈Z，a⃗⊥b⃗B. ∃m∈Z，a⃗//b⃗C. ∀m∈R，a⃗⋅b⃗ ≠mD. ∃m∈R，|a⃗|=|b⃗ |4.若P(0,1)为圆x2+2x+y2−15=0的弦MN的中点，则直线MN的方程为()A. y=−x+1B. y=x+1C. y=2x+1D. y=−2x+15.若数列{f(n)}(n∈N∗)为等比数列，则称f(x)为等比函数．下列函数中，为等比函数的是()A. f(x)=x2B. f(x)=√2xC. f(x)=5x+1−5xD. f(x)=x⋅5x+16.已知α，β，γ是三个不同的平面，且α∩γ=m，β∩γ=n，则“m⊥n”是“α⊥β”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件7.将函数f(x)=sin(4x−π4)+cos(4x−π4)的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数g(x)的图象，则g(x)=()A. −√2sin(4x−π3) B. √2sin(4x+π3)C. √2sin(4x+π6) D. sin(4x+2π3)8. 已知f(x)为偶函数，且函数g(x)=xf(x)在[0,+∞)上单调递减，则不等式(1−x)f(x −1)+2xf(2x)>0的解集为( )A. (−∞,13)B. (−∞,−1)C. (13,+∞)D. (−1,+∞)9.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，且P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α=( )A. −79B. −89C. 79D. 8910. 为了更好地研究双曲线，某校高二年级的一位数学老师制作了一个如图所示的双曲线模型．已知该模型左、右两侧的两段曲线(曲线AB 与曲线CD)为某双曲线(离心率为2)的一部分，曲线AB 与曲线CD 中间最窄处间的距离为30cm ，点A 与点C ，点B 与点D 均关于该双曲线的对称中心对称，且|AB|=36cm ，则|AD|=( )A. 12√10cmB. 6√38cmC. 38cmD. 6√37cm11. 在三棱锥P −ABC 中，PA ⊥底面ABC ，PA =AB =2，BC =3，AC =√7，则三棱锥P −ABC 外接球的表面积为( )A.38π3B.40π3C. 14πD.44π312. 已知a =log 32，b =log 43，c =log 4√3，则( )A. b >a >cB. c >b >aC. a >b >cD. b >c >a二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 写出一个最小正周期为4，且最大值也为4的函数：f(x)=______． 14. 函数f(x)=f′(1)x+1+lnx 的图象在点(2,f(2))处的切线的斜率为______．15. 一个等差数列共有n 项，若该数列的前3项和为3，最后3项和为156，公差为3，则n =______，该数列的前n2项和为______．16. 已知P 为抛物线y =112x 2上的动点，M(0,3)，N(4,3)，则|PM|+|PN|的最小值为 ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选取与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D.现测得∠BCD=α=35°，∠BDC=β=100°，CD=400m.在点C测得塔顶A的仰角为50.5°．(1)求B与D两点间的距离(结果精确到1m)；(2)求塔高AB(结果精确到1m)．参考数据：取√2sin35°=0.811，√2sin80°=1.393，tan50.5°=1.2．18.已知数列{a n}的前n项积T n=2n2−2n．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=(3n−1)a n，求数列{b n}的前n项和S n．19.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面PCD⊥底面ABCD，且BC=2，AB=4，BD=2√5．(1)证明：BC⊥PD；(2)若PC=PD=√13，求二面角A−PB−C的余弦值．20.已知函数f(x)=(x−2)e x．(1)若a∈(0,+∞)，讨论f(x)在(0,a)上的单调性；(2)若函数g(x)=f(x)−m(x−1)2在[1,2]上的最大值小于−2e3，求m的取值范围．21.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为4，且C经过点(√3,1)．(1)求C 的方程；(2)过点D(2,0)的直线l 交C 于P ，Q 两点，过点P 作直线x =3的垂线，垂足为G ，过原点O 作OM ⊥QG.垂足为M.证明：存在定点N ，使得|MN|为定值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =|sinα|y =1+cosα(α为参数)． (1)求C 的直角坐标方程，并说明C 是什么曲线；(2)以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标，若点A(A 异于极点)为射线θ=5π12与C 的交点，求点A 的极坐标．23. 已知函数f(x)=|x|+|x −3a|． (1)若f(x)≥6，求a 的取值范围；(2)若a >0，求关于x 的不等式f(x)<5a 的解集．参考答案及解析1.答案：B解析：(1−2i)2−(1+i)2=1−4i−4−(1+2i−1)=−3−4i−2i=−3−6i．故选：B．根据复数的基本运算法则进行化简即可．本题考查了复数代数形式的运算问题，是基础题．2.答案：D解析：由题意可得：集合P={x|x2−4x≤5}={x|−1≤x≤5}，Q={x|2<x<8}，∴P∩Q={x|2<x≤5}，由题意，图中阴影部分表示Q中去掉P∩Q后剩下的部分，∴图中阴影部分表示的集合为{x|5<x<8}，故选：D．首先化简集合P，然后根据韦恩图的意义可以得到图中阴影部分表示的集合．本题考查Venn图的综合应用，熟练掌握Venn图的意义及不等式的求解是解题关键，属于基础题．3.答案：B解析：∵a⃗=(2,3)，b⃗ =(8,m)，∉Z，∴A错误，A：若a⃗⊥b⃗ ，则16+3m=0，∴m=−163B：若a⃗//b⃗ ，则2m=24，∴m=12∈Z，∴B正确，C：若a⃗⋅b⃗ =16+3m=m，则m=−8，∴m=−8时，a⃗⋅b⃗ =m，∴C错误，D：若|a⃗|=|b⃗ |，则22+32=82+m2，∴m2=−51不成立，∴D错误，故选：B．利用平面向量的垂直判断A，利用平面向量的平行判断B，利用平面向量的数量积运算判断C，利用平面向量的求模公式判断D．本题考查了平面向量的坐标表示，涉及垂直，平行，数量积，求模公式等，是基础题．4.答案：A解析：x2+2x+y2−15=0化为标准方程为(x+1)2+y2=16，∵P(0,1)为圆(x+1)2+y2=16的弦MN的中点，=1，∴圆心与点P确定的直线斜率为1−00−(−1)∴弦MN所在直线的斜率为−1，∴弦MN所在直线的方程为y−1=−1(x−0)，即x+y−1=0．故选：A．由题意，根据垂径定理的逆定理得到此连线与弦MN垂直，由圆心与P坐标求出其确定直线的斜率，利用两直线垂直时斜率的乘积为−1，求出弦MN所在直线的斜率，从而可得弦MN所在直线的方程．本题考查了直线与圆相交的性质，考查垂径定理，以及直线的点斜式方程，其中根据题意得到圆心与点P连线垂直于弦MN所在的直线是解本题的关键．5.答案：C解析：对于A，∵12，22，32，⋅⋅⋅不是等比数列，∴f(x)=x2不是等比函数，故A错误；对于B，∵√2,√4,√6,⋅⋅⋅不是等比数列，∴f(x)=√2x不是等比函数，故B错误；对于C，∵5x+2−5x+15x+1−5x=5，∴f(x)=5x+1−5x是等比函数，故C正确；对于D，∵(x+1)⋅5x+2x⋅5x+1=5x+5x=5+5x不是常数，∴f(x)=x⋅5x+1不是等比函数，故D错误．故选：C．利用等比数列的性质直接求解．本题考查等比函数的判断，考查等比数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：D解析：解：如图正方体ABCD−A1B1C1D1中，平面ABC1D1为α，平面BB1D1D为β，平面ABB1A1为γ，则α∩γ=m=AB，β∩γ=n=BB1，显然AB⊥BB1，平面ABC1D1与平面BB1D1D不垂直，即充分性不成立；又平面ABCD为α，平面ABB1A1为β，平面A1B1CD为γ，则α∩γ=m=CD，β∩γ=n=A1B1，显然平面ABCD⊥平面ABB1A1，但A1B1与CD不垂直，即必要性不成立；所以“m⊥n”是“α⊥β”的既不充分也不必要条件．故选：D．结合题意，利用正方体中的各个面之间的关系，判断是否为充分必要条件即可．本题考查了空间中的线面位置关系应用问题，也考查了空间想象能力与推理判断能力，是基础题．7.答案：A解析：将函数f(x)=sin(4x−π4)+cos(4x−π4)=√2sin(4x−π4+π4)=√2sin4x的图象向左平移π6个单位长度后，得到函数g(x)=√2sin(4x+2π3)=√2sin(π3−4x)=−√2sin(4x−π3)的图象，故选：A．由题意，利用诱导公式、两角和差的三角公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．本题主要考查诱导公式、两角和差的三角公式的应用，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，属于中档题．8.答案：B解析：由f(x)为偶函数，可得函数g(x)=xf(x)为奇函数，由g(x)在[0,+∞)上单调递减，可得g(x)在(−∞,0]上单调递减，可得g(x)在R上单调递减．不等式(1−x)f(x−1)+2xf(2x)>0即为(x−1)f(x−1)<2xf(2x)，即有g(x−1)<g(2x)，由g(x)在R上单调递减，可得x−1>2x，解得x<−1，则原不等式的解集为(−∞,−1)．故选：B．由题意可得g(x)=xf(x)为奇函数，且g(x)在R上单调递减，原不等式可化为g(x−1)<g(2x)，即为x−1>2x，解不等式可得所求解集．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．9.答案：C解析：因为角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，且P(8,3cosα)为α终边上一点，所以cosα=√82+(3cosα)2，可得：cos2α=6464+9cos2α，整理可得：9cos4α+64cos2α−64=0，解得：cos2α=89，或−8(舍去)，可得cos2α=2cos2α−1=2×89−1=79．故选：C．由已知结合任意角的三角函数的定义求得cosα=8√82+(3cosα)2，整理可得9cos4α+64cos2α−64=0，解方程即可得解．本题主要考查了任意角的三角函数的定义及同角三角函数基本关系式的应用，考查了方程思想，属于基础题．10.答案：D解析：解：以双曲线的对称中心为坐标原点建立平面直角坐标系，因为双曲线的离心率为2，不妨设双曲线方程为x2a2−y23a2=1(a>0)，所以2a=30，则a=15，即双曲线方程为x2152−y23×152=1，因为|AB|=36，所以A的纵坐标为18，代入x2152−y23×152=1可得x=±3√37，故|AD|=6√37，故选：D．依题意以双曲线的对称中心为坐标原点建系，设双曲线方程为x2a2−y23a2=1(a>0)，根据已知求得a，A点纵坐标代入计算即可得到其横坐标．本题考查双曲线的方程求解，考查双曲线的性质，数形结合思想，属于中档题．11.答案：B解析：∵PA⊥底面ABC，可将三棱锥P−ABC置于圆柱O1O2内，其中圆O2为△ABC的外接圆，由余弦定理可得cos∠ABC=AB2+BC2−AC22AB⋅BC =4+9−72×2×3=6 12=12，∵0<∠ABC<π，则∠ABC=π3，则△ABC外接圆的直径2r=AC sin∠ABC=√7√32=2√7√3，则r=√7√3，所以三棱锥P−ABC外接球的半径R=√ r2+OO22=√73+1=√103，故三棱锥P−ABC外接球的表面积为4πR2=40π3．。
2023年青海省西宁市大通县高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年青海省西宁市大通县高考数学二模试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B. C. D.2.已知i是虚数单位，若，，则在复平面内的对应点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知向量满足，则与所成角为( )A. B. C. D.4. 使“”成立的一个充分不必要条件是( )A. B.C. ，D. ，5. 已知函数的部分图象如图所示，则图象的一个对称中心是( )A.B.C.D.6. 已知实数，函数若，则a的值为( )A. B. C. D.7. 有2男2女共4名大学毕业生被分配到A，B，C三个工厂实习，每人必须去一个工厂且每个工厂至少去1人，且A工厂只接收女生，则不同的分配方法种数为( )A. 12B. 14C. 36D. 728. 已知图1对应的函数为，则图2对应的函数是( )A. B. C. D.9. 在和中，若，，，则( )A. 与均是锐角三角形B.与均是钝角三角形C.是钝角三角形，是锐角三角形D. 是锐角三角形，是钝角三角形10. 已知函数，则下列说法错误的是( )A. 当时，函数不存在极值点B. 当时，函数有三个零点C. 点是曲线的对称中心D. 若是函数的一条切线，则11. 已知矩形ABCD的顶点都在球心为O的球面上，，，且四棱锥的体积为，则球O的表面积为( )A. B. C. D.12. 设，分别是双曲线的左、右焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为( )A. B. C. D.13. 已知函数且的图像过定点A，若抛物线也过点A，则抛物线的准线方程为______ .14. 已知为锐角，且，则______.15. 关于正方体有如下说法：①直线与所成的角为；②直线与所成的角为；③直线与平面所成的角为；④直线与平面ABCD所成的角为其中正确命题的序号是______ .16. 设为随机变量，从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，；当两条棱平行时，的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，为两条棱上两点不在同一条棱上间距离的最小值，则随机变量的数学期望为______ .17. 造林绿化对生态发展特别是在防风固沙、缓解温室效应、净化空气、涵养水源等方面有着重要意义.某苗木培养基地为了对某种树苗的高度偏差单位：与树干最大直径偏差单位：之间的关系进行分析，随机挑选了8株该品种的树苗，得到它们的偏差数据偏差是指个别测定值与测定的平均值之差如下：树苗序号12345678高度偏差x20151332直径偏差y若x与y之间具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；若这种树苗的平均高度为120cm，树干最大直径平均为，试由的结论预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为多少毫米.参考数据：，参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计：，18.已知数列的前n项和为，且求数列的通项公式；若数列满足，设…，求19. 如图，在直角梯形ABCD中，，，四边形CDEF为平行四边形，平面平面ABCD，，证明：平面ABE；若，，求二面角的正弦值.20. 已知椭圆C：过点，直线l：与C交于M，N 两点，且线段MN的中点为H，O为坐标原点，直线OH的斜率为求C的标准方程；已知直线与C有两个不同的交点A，B，P为x轴上一点.是否存在实数k，使得是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出k的值及点P的坐标；若不存在，请说明理由.21. 已知函数若，讨论的单调性；当，，有两个不同的实数根，，证明：22. 在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为为参数以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为求C的直角坐标方程；设点M的直角坐标为，l与曲线C的交点为A，B，求的值．23. 已知函数解不等式；若对任意实数x都成立，求的最大值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：，则，解得，则，，故选：根据对数函数的单调性与定义域得出集合M，即可根据集合的交集运算得出答案．本题主要考查交集及其运算，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：由，，得，则z在复平面内的对应点的坐标为：，位于第四象限．故选：由求出，然后把，，代入，利用复数代数形式的乘法运算化简，求出z在复平面内的对应点的坐标，则答案可求．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】A【解析】解：因为向量满足，所以，解得，所以，因为，所以，即与所成角为故选：根据向量模的运算得，进而结合向量夹角公式求解即可．本题主要考查平面向量的夹角公式，考查转化能力，属于中档题．4.【答案】B【解析】解：对于A，若，当时，成立，所以“”不能推出“”，A不满足条件；对于B，，则，即，充分性成立，所以“”“”，若，则不妨取，，，则，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，B满足条件；对于C，若，则，使得，即，即“”“，”，所以“，”是“”的充分条件，C不满足条件；对于D，若，，则，即，当且仅当时，等号成立，所以“，”不能推出“”，D不满足条件．故选：根据不等式的关系结合充分不必要条件分别进行判断即可．本题主要考查充分条件、必要条件的定义，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：由题图可知图象的一个对称中心是，的最小正周期，故图象的对称中心为，，结合选项可知，当时，图象的一个对称中心是故选：先根据函数图象得到函数图象的一个对称中心与的最小正周期，进而利用函数的性质即可求解．本题主要考查余弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由题意，函数，当时，由可得，即，解得；当时，由可得，即，此时方程无解，综上可得，实数a的值为故选：根据分段函数的解析式，结合分段条件分和两种情况讨论，即可求解．本题主要考查分段函数及其应用，考查分类讨论思想与运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：根据题意，将2男2女分为三组，有男男、女、女、男、男、女女、男女、男、女三种情况，由此分3种情况讨论：①分为男男、女、女的三组，男男这一组只能安排在B或C工厂，有种安排方法；②分为男、男、女女的三组，女女这一组只能安排在A工厂，有种安排方法；③分为男女、男、女的三组，有种安排方法；则有种安排方法，故选：根据题意，先分析将2男2女分为三组的可能情况，由此分3种情况讨论，由加法原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分类、分步计数原理的应用，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：根据函数图象知，当时，所求函数图象与已知函数相同，当时，所求函数图象与时图象关于y轴对称，即所求函数为偶函数且时与相同，故BD不符合要求，当时，，，故A正确，C错误．故选：根据两函数图象的关系知，所求函数为偶函数且时两函数解析式相同，即可得解．本题主要考查函数的图象与图象的变换，属于基础题．9.【答案】D【解析】解：在和中，若，，，对于A：当为锐角三角形时，，，，所以A、B、C都为锐角，即为锐角三角形，另一方面，，可得，或，即，所以为锐角或钝角，同理，为锐角或钝角，但是，，中必然有一个钝角，否则不成立，所以是钝角三角形，故A错误；对于B：当为钝角三角形时，假设A为钝角，则，故，由于，不满足条件，故B错误；对于C：当为钝角三角形时，假设A为钝角，则，故，由于，不满足条件，故C错误；对于D：当为锐角三角形时，则，，，所以A、B、C都为锐角，即为锐角三角形，另一方面，，可得，或，即，所以为锐角或钝角，同理，为锐角或钝角，但是，，中必然有一个钝角，否则不成立，所以是钝角三角形，故D正确；故选：直接利用三角函数的值判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：三角函数的值，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题和易错题．10.【答案】B【解析】解：对于A，当时，，此时函数在R上单调递增，所以当时，函数不存在极值点，故A对；对于B，当时，，，由，可得，由，可得或，所以函数的增区间为、，减区间为，所以函数的极大值为，极小值为，又因为，由零点存在定理可知，函数在区间有一个零点，当时，，所以当时，函数有一个零点，故B错；对于C，对任意的，，所以点是曲线的对称中心，故C对；对于D，设是函数的一条切线，设切点坐标为，又，由题意，可得，①所以曲线在处的切线方程为，即，则，②联立①②可得，故D对．故选：当时，判断函数的单调性，可判断A；利用导数得到函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断B；利用函数对称性的定义可判断C；利用导数的几何意义可判断本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值，函数的零点和切线方程，考查了转化思想，属中档题．11.【答案】A【解析】解：由题可知矩形ABCD所在截面圆的半径即为ABCD的对角线长度的一半，，，，由矩形ABCD的面积，则O到平面ABCD的距离为h满足：，解得，故球的半径，故球的表面积为：故选：由题意求出矩形的对角线的长，即截面圆的直径，根据棱锥的体积计算出球心距，进而求出球的半径，代入球的表面积公式，可得答案．本题主要考查球的表面积的求法，棱锥体积的运算，考查运算求解能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：由双曲线的方程可得双曲线渐近线方程：，右焦点，到渐近线的距离，由渐近线的对称性，设渐近线为①，则直线方程为：②，由①②可得，，则，左焦点，所以，由，有，得，即，，则C的离心率为故选：由双曲线的方程可得两焦点的坐标及渐近钱的方程，由题意求出的方程，与渐近线联立求出P 的坐标，进而求出的值，由点到直线的距离公式，求的值，由求出a，c的关系，进而求出离心率．本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．13.【答案】【解析】解：因为函数经过定点，所以函数经过定点，将它代入抛物线方程得，解得，所以其准线方程为；故答案为：先求出A点的坐标，再求出p即可．本题主要考查抛物线的性质，考查运算求解能力，属于基础题．14.【答案】【解析】解：为锐角，，，又，，故答案为：先判断的范围，再利用平方关系，再利用展开代值计算得解．本题主要考查和差角公式及同角三角函数基本关系的运用，注意角的范围的确定，考查计算能力，属于基础题．15.【答案】①④【解析】解：连接，BD，因为与平行，所以是异面直线与所成的角，因为为等边三角形，所以直线与所成的角为，故①正确；连接交于点O，取的中点为F，连接，FD，FO，因为O为的中点，所以FO平行，则或其补角为直线与所成的角，易知，所以，即直线与所成的角为，故②错误；连接，BD，，直线交于点E，连接BE，设正方体的棱长为2，易知，，由线面垂直的判定可知，平面，则为直线与平面所成的角，又，，则，即，故③错误；由平面ABCD，易知为直线与平面ABCD所成的角，又，则，故④正确．故答案为：①④．由与平行，结合等边三角形的性质判断①；由FO平行，结合等腰三角形的性质判断②；由平面，平面ABCD结合线面角的定义判断③④．本题考查线线角的求解，线面角的求解，化归转化思想，属中档题．16.【答案】【解析】解：在棱长为1的正方体中，如下图所示：当两条棱相交时，，与每条棱相交的棱有4条，即；当两条棱平行时，这两条棱之间的距离为1或，其中与棱平行且距离为1的棱为、，与棱平行且距离为的棱为；当两条棱异面时，，与棱异面的棱为BC、CD、、所以，，因此故答案为：作出图形，分析可知随机变量的可能取值有0、1、，求出随机变量在不同取值下的概率，进而可求得的值．本题主要考查离散型随机变量的期望，考查运算求解能力，属于中档题．17.【答案】解：，，，，故y关于x的线性回归方程为当树干高度为128cm时，高度偏差，，所以树干直径约为，即预测高度为128cm的这种树苗的树干最大直径为34毫米．【解析】根据最小二乘法公式求出，即可得出线性回归方程；利用回归直线方程代入，求解即可．本题主要考查线性回归方程，考查运算求解能力，属于中档题．18.【答案】解：由题意，当时，，解得，当时，由，可得，两式相减，可得，整理，得，数列是以为首项，为公比的等比数列，，由可得，，则令，即，解得，令，即，解得，令，即，解得，当时，，，当时，，【解析】先将代入题干表达式计算出的值，当时，由，可得，两式相减进一步推导即可发现数列是以为首项，为公比的等比数列，即可计算出数列的通项公式；先根据第题的结果计算出数列的通项公式，再将数列的通项公式与0比较大小并计算出对应的n的取值范围，然后分和两种情况求的表达式，最后综合即可得到本题主要考查数列求通项公式，以及绝对值数列求和问题．考查了分类讨论思想，整体思想，转化与化归思想，分组求和法，等差数列求和公式的运用，对数的运算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．19.【答案】解：证明：连接CE交DF于H，取BE中点G，连接AG，四边形CDEF为平行四边形，为CE的中点，，，，，，，四边形ADHG为平行四边形，，即，又平面ABE，平面ABE，平面ABE；平面平面ABCD，，以D为原点，DA，DC为x，y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面EBD的一个法向量为，则，令，则，，平面EBD的一个法向量为，设平面BDF的一个法向量为，，令，则，，平面BDF的一个法向量为，，二面角的正弦值为【解析】连接CE交DF于H，取BE中点G，连接AG，证明四边形ADHG为平行四边形，可得，进而可证平面ABE；以D为原点，DA，DC为x，y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，求得两平面的一个法向量，利用向量法可求二面角的余弦值，可求正弦值．本题考查线面平行的证明，考查面面角的求法，属中档题．20.【答案】解：设，，则，则又，则两式相减得，即，又，所以，即又，解得，，所以椭圆C的标准方程为联立，消y整理得：因为直线与椭圆交于A，B两点，故，解得设，，则设AB中点，则，故假设存在k和点，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形，则，故，所以，解得，故又因为，所以，所以，即，整理得所以，代入，整理得，即，所以或，即存在k使得是以P为顶点的等腰直角三角形．当时，P点坐标为；当时，P点坐标为此时，是以P为直角顶点的等腰直角三角形．【解析】根据中点弦点差法得，再根据，得，再结合椭圆C过点解方程即可得答案；设AB中点，假设存在k和点，使得是以P为直角顶点的等腰直角三角形，进而将问题转化为，，再联立，结合韦达定理讨论，同时成立的情况．本题考查椭圆的标准方程及其性质，考查直线与椭圆的综合运用，考查运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：，，当，即时，，即在上单调递增；当时，若，则或；若，则；即函数在上单调递减，在，上单调递增．综上，当时，在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在，上单调递增．证明：有两个不同的根，，则，是方程的两个根，，，，，，，令，，，在单调递增，，令，，在上单调递增，，，即【解析】分类讨论，两种情况，结合导数得出的单调性；将有两个不同的实数根，转化为，是方程的两个根，利用韦达定理得，进而通过换元，将转化为关于t的函数，利用导数研究其最值即可．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，不等式的证明，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于难题．22.【答案】解：由，得将代入得，，所以C的直角坐标方程为设A，B所对应的参数分别为，，因为直线l的参数方程为为参数，所以在l上，把l的参数方程代入，可得，所以，所以，故【解析】直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的进行转换．利用一元二次次方程根和系数的关系式的应用求出结果．本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，直线和圆的位置关系，以及直线的参数方程的参数的几何意义等基础知识，考查学生的逻辑推理能力，化归与转化能力．考查的核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．23.【答案】解：，不等式等价于或或，解得或，即不等式的解集为，当且仅当，即时取等号，对任意实数x都成立，即恒成立，由，则，即，当且仅当时等号成立，所以得最大值为【解析】通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，解出即可；由绝对值三角不等式可得，则恒成立，利用基本不等式即可求的最大值．本题主要考查绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，基本不等式的应用，考查运算求解能力，属于中档题．。
2023年内蒙古呼和浩特市高考数学第二次质检试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年内蒙古呼和浩特市高考数学第二次质检试卷（理科）1. 已知全集，集合，则( )A. B. C.D. 2. 已知复数z 满足，则z 的虚部为( )A.B. 2iC.D. 23. 如图是近十年来全国城镇人口、乡村人口的折线图数据来自国家统计局根据该折线图，下列说法错误的是( )A. 城镇人口与年份呈现正相关B. 乡村人口与年份的相关系数r 接近1C. 城镇人口逐年增长率大致相同D. 可预测乡村人口仍呈现下降趋势4. 函数在上的图象大致为( )A. B.C. D.5. 执行如图所示的程序框图，若输入k 的值为1，则输出n 的值( )A. 3B. 2C. 5D. 46. 若双曲线：的右焦点与抛物线；的焦点重合，则实数( )A. B. C. 3 D.7. 意大利数学家斐波那契，以兔子繁殖为例，引入“兔子数列”：即1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144、233、…，在实际生活中，很多花朵如梅花，飞燕草，万寿简等的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在物理及化学等领域也有着广泛的应用.已知斐波那契数列满足：，，，若，则( )A. 2025B. 2026C. 2028D. 20248. 已知向量，，若，且，则实数( )A. 3B.C. 5D.9. 已知角，且点在直线上，则( )A.B.C.D.10. 已知三棱锥中，，，，，且平面平面ABC ，则该三棱锥的外接球的表面积为( )A. B. C. D.11. 用五种不同颜色颜色可以不全用完给三棱柱的六个顶点涂色，要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色，则不同的涂色种数有( )A. 840B. 1200C. 1800D. 192012. 已知函数，若关于x的方程恰有3个不同的实数解，则实数m的取值范围是( )A. B.C. D.13. 若的展开式中的系数为，则______.14. 已知和均为等差数列，，，，则数列的前60项的和为______ .15. 一组数的分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有的数据不大于该值，且至少有的数据不小于该值.直观来说，一组数的分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于位置的数.例如：中位数就是一个分位数年3月，呼和浩特市为创建文明城市，随机从某小区抽取10位居民调查他们对自己目前生活状态的满意程度，该指标数越接近10表示满意程度越高.他们的满意度指标数分别是8，4，5，6，9，8，9，7，10，10，则这组数据的分位数是______ .16. 2021年3月30日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新如图所示，设计师的灵感来源于曲线C：当，，时，下列关于曲线的判断正确的有______ .①曲线C关于x轴和y轴对称；②曲线C所围成的封闭图形的面积小于8；③曲线C上的点到原点O的距离的最大值为；④设，直线交曲线C于P、Q两点，则的周长小于8.17.如图，在直三棱柱中，，，，点D为AB的中点.求证平面；求二面角的余弦值.18. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知外接圆的半径为1，且求角A；若，AD是的内角平分线，求AD的长度.19. 文化月活动中，某班级在宣传栏贴出标语“学好数学好”，可以不同断句产生不同意思，“学/好数学/好”指要学好的数学，“学好/数学/好”强调数学学习的重要性，假设一段时间后，随机有N个字脱落.若，用随机变量X表示脱落的字中“学”的个数，求随机变量X的分布列及期望；若，假设某同学捡起后随机贴回，求标语恢复原样的概率.20. 已知函数，若，判断函数的单调性；当时，求函数的最小值，并证明：21. 已知抛物线T：和椭圆C：，过抛物线T的焦点F的直线l 交抛物线于A，B两点，线段AB的中垂线交椭圆C于M，N两点.若F恰是椭圆C的焦点，求p的值；若，且MN恰好被AB平分，求的面积.22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；设直线l：为参数与曲线，的交点从上到下依次为P，M，N，Q，求的值．23. 已知函数求不等式的解集；设的最小值为M，若正实数a，b满足，证明：答案和解析1.【答案】B【解析】解：，，所以故选：先化简集合A，再求其补集即可．本题主要考查补集及其运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：，则，其虚部为故选：根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．3.【答案】B【解析】解：对于A选项，由折线图可知，城镇人口与年份呈现正相关，故A正确；对于B选项，因为乡村人口与年份呈负线性相关关系，且线性相关性很强，所以r接近，故B错误；对于C选项，城镇人口与年份呈现正相关，且线性相关性很强，相关系数r接近1，故城镇人口逐年增长率大致相同，故C正确；对于D选项，由折线图可知，乡村人口与年份呈负线性相关关系，可预测乡村人口仍呈现下降趋势，故D正确．故选：根据折线图判断乡村人口与年份、城镇人口与年份的相关关系以及线性相关关系的强弱，逐项判断可得出合适的选项．本题主要考查折线图的应用，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，，，则，则函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除D，，排除B，在区间上，，，有，函数图象在x轴上方，排除A，故选：根据题意，先分析函数的奇偶性排除D，求出的值排除B，进而可得在区间上，有，排除A，即可得答案．本题考查函数的图象分析，一般用间接法分析，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：模拟执行程序框图的运行过程，如下：，，，，，，，，，，，，终止循环，输出故选：模拟执行程序框图的运行过程，即可得出程序运行后输出n的值．本题考查了程序框图的应用问题，模拟执行程序框图的运行过程是解题的常用方法，是基础题．6.【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合知的焦点在x轴上，对双曲线表达式进行变形，求出，再令即可求解．本题主要考查双曲线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．【解答】解：双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，所以双曲线的方程可化为，所以，，所以，所以，所以平方得故选：7.【答案】D【解析】解：已知斐波那契数列满足：，，，则，即故选：先阅读题意，然后结合数列的递推式求解即可．本题考查了数列的递推式，重点考查了阅读理解能力，属基础题．8.【答案】B【解析】解：，，则，解得故选：计算，根据垂直得到，解得答案．本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．9.【答案】A【解析】解：点在直线上，将坐标代入直线方程得：，即，可得，解得，又，，则故选：由点在直线上，将点的坐标代入直线方程，再利用二倍角公式，将所求式子分母“1”利用同角三角函数间的基本关系化为，分子利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，分子分母同时除以，利用同角三角函数间的基本关系弦化切，可求的值，进而根据两角和的正切公式即可求解．此题考查了二倍角公式，两角和的正切公式以及同角三角函数间的基本关系在三角函数求值中的应用，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：在中，由余弦定理得，又，为直角三角形，，又平面平面ABC且交于AB，平面PAB，设的外接圆的圆心为M，半径为r，则，，且三棱锥的外接球的球心在过点M的平面PAB的垂线上，如图所示：，因为平面PAB，所以几何体的外接球的球心到平面PAB的距离为，即，设几何体的外接球半径为R，在中，则，所求外接球的表面积，故选：先求出AB，得到为直角三角形，所以平面PAB，所以几何体的外接球的球心到平面PAB的距离为，再利用正弦定理求出的外接圆半径为r，利用勾股定理即可求出几何体的外接球半径为R，从而得到外接球的表面积．本题主要考查了三棱柱的外接球，是中档题．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查排列组合的基础知识与分类讨论思想，涉及棱柱的几何结构，属于基础题．根据题意，分3种情况讨论：①若5种颜色都用上；②若5种颜色只用4种；③若5种颜色只用3种这三种情况，分别求得结果，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分3种情况讨论：①，若5种颜色都用上，先涂A、B、C，有种选法，再涂D、E、F中的两个点，有种选法，最后剩余的一个点只有2种涂法，故此时方法共种涂色方法；②，若5种颜色只用4种，首先选出4种颜色，有种选法，先涂A、B、C，有种选法，再涂D、E、F中的1个点，有3种选法，最后剩余的2个点只有3种涂法，故此时方法共种涂色方法；③，若5种颜色只用3种，首先选出4种颜色，有种选法，先涂A、B、C，有种选法，再涂D、E、F，方法有2种，故此时方法共种涂色方法；则不同涂色方案共有种；故选：12.【答案】A【解析】解：因为，所以，令，则，所以当时，，单调递增；当时，，递减；所以当时，取得极大值，图象如图所示：方程，即为，解得或，由函数的图象知：只有一个解，所以有两个解，所以，解得故选：先利用导数画出图象，由方程，解得或，根据题意，由有两个解求解．本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，作出图象是关键，属于中档题．13.【答案】【解析】解：的展开式的通项公式为，令，求得，可得展开式中的系数为，则，故答案为：先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于3，求得r的值，即可求得展开式中的系数，再根据展开式中的系数为，求得a的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．14.【答案】7260【解析】解】和均为等差数列，则是等差数列，首项为，公差为，故前60项的和为故答案为：确定是等差数列，计算首项和公差，求和得到答案．本题主要考查了等差数列的性质及求和公式的应用，属于基础题．15.【答案】6【解析】解：依题意这10个数据从小到大排列为4、5、6、7、8、8、9、9、10、10，又，所以这组数据的分位数是第3个数故答案为：首先将数据从小到大排列，再根据百分位数计算规则计算可得．本题主要考查百分位数的定义，属于基础题．16.【答案】①②③【解析】解：曲线C：，对①：取曲线上点，则，在曲线上，故曲线C关于x轴和y轴对称，正确；对②：取，，取，，故曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，故其面积小于，正确；对③：设曲线上一点为，则，设，M 到原点的距离的平方为，，，当时，距离平方有最大值为，故距离的最大值为，正确．对④：对于曲线和椭圆，设点在上，点在上，，故，所以，设点在上，点在上，，所以，即，故椭圆在曲线内除四个交点外，如图：设直线交椭圆于A ，B 两点，交x 轴于，M ，N 为椭圆的两个焦点，由椭圆的定义可知：，，所以的周长为8，由图可知，的周长不小于8，错误；故答案为：①②③．确定，在曲线上，①正确，曲线在一个长为4，宽为2的矩形内部，②正确，利用三角换元计算得到③正确，确定椭圆在曲线内，④错误，得到答案．本题考查了超椭圆的概念，对称性，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，其中确定椭圆在曲线内，再利用椭圆的知识求解是解题的关键．17.【答案】解：证明：三棱柱为直三棱柱，平面ABC ，，，，，，，又，平面，平面，，又四边形为正方形，，，AC，平面，平面；以C为坐标原点，直线CA，CB，分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，则，令，则，，平面的一个法向量为，，，二面角的余弦值为【解析】确定，，可得平面，得到，再根据，可得结论成立；建立空间直角坐标系，计算各点坐标，确定平面和平面的法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案．本题考查了空间位置关系、空间角、法向量的应用、数量积运算性质、向量夹角公式、向量共线定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18.【答案】解：，则，即，则由余弦定理可得，所以又，，所以，即，又，所以由正弦定理可得：，解得，，，故B为锐角，，在中，，AD是的内角平分线，故，，故【解析】根据正弦定理和余弦定理得到，整理得到，得到答案．根据正弦定理得到，，计算角度得到，得到答案．本题主要考查三角形中的几何计算，正余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．19.【答案】解：随机变量X的可能取值为0，1，2，，，，随机变量X的分布列如下表：X012P随机变量X的期望为设脱落一个“学”为事件A，脱落一个“好”为事件B，脱落一个“数”为事件C，事件M为脱落两个字，，，，，，所以某同学捡起后随机贴回，标语恢复原样的概率为【解析】随机变量X的可能取值为0，1，2，，求出对应的概率，即可求解分布列及数学期望；根据掉落的两个字的不同情况进行分类讨论求解．本题主要考查离散型随机变量分布列及其数学期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于中档题．20.【答案】解：，即，因为，所以在上成立，令，得，当时，，单调递增，当时，，单调递减．所以在上单调递增，在上单调递减．证明：当时，，，由可得在上单调递增，在上单调递减，，，所以，即，即，即，要证明，只需证在上恒成立，令，则，所以单调递减，所以，所以恒成立，所以，原不等式得证．【解析】求导得，由，得在上成立，分析的符号，的单调性．当时，，，由单调性可得，即，即，要证明，只需证在上恒成立，即可得出答案．本题题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．21.【答案】解：在椭圆中，，所以，由，得；设直线l：，，，联立方程，消去x得，，则，设AB的中点，则，，设，，则直线MN的斜率为，，，相减得到，即，即，解得，由点G在椭圆内，得，解得，因为，所以p值是1，所以面积【解析】计算焦点得到，解得答案；设直线l：，联立方程得到根与系数的关系，设AB的中点，代入计算得到，由点G在椭圆内，得到，确定，再计算面积得到答案．本题主要考查了椭圆和抛物线方程，面积问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应用能力，属于中档题．22.【答案】解：将曲线的参数方程为为参数中的参数消去，可得由，得，又，，得曲线的直角坐标方程为；将代入，得解得，；由t的几何意义可得：；同理将代入，得，解得，故【解析】直接把曲线的参数方程中的参数消去，可得曲线的普通方程；由极坐标与直角坐标的互化公式，可得曲线的直角坐标方程；把直线l的参数方程分别代入曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程，利用此时t的几何意义求解与，再由求解．本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，考查运算求解能力，是中档题．23.【答案】解：，当时，原不等式等价于，解得；当时，原不等式等价于，解得；当时，，解得；综上，所求不等式的解集为；证明：由可知的最小值为，正实数a，b满足，即，所以，，当且仅当时取等号．所以【解析】将函数化为分段函数的形式，再分类讨论解不等式即可；分析可知的最小值为1，进而可得，再由基本不等式转化求证即可．本题考查绝对值不等式的解法以及不等式的证明，考查分类讨论思想及推理论证能力，属于中档题．。
2020届内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷(理)(有答案)
内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．96．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．187．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．29．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．211．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有种．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？．（只需写出一个答案即可）16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．内蒙古呼和浩特市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知复数z满足=i，则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算求得z，则答案可求．【解答】解：由=i，得z﹣i=zi，即（1﹣i）z=i，∴．∴z在复平面内对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B2．已知集合A={y|y=2x+1}，B={x|x2+x＞0}，A∩B=（）A．{x|x＞0} B．{x|﹣1＜x＜1} C．{x|x＞1} D．{x|x＞0或x＜﹣1}【考点】交集及其运算．【分析】求出A中y的范围确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可．【解答】解：由A中y=2x+1＞1，得到A={y|y＞1}，由B中不等式变形得：x（x+1）＞0，解得：x＜﹣1或x＞0，即B={x|x＜﹣1或x＞0}，则A∩B={x|x＞1}，故选：C．3．函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（）A．（，1） B．（1，e﹣1）C．（e﹣1，2）D．（2，e）【考点】函数零点的判定定理．【分析】函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间需满足的条件是函数在区间端点的函数值符号相反．【解答】解：∵f（e﹣1）=lne﹣=1﹣=＜0，f（2）=ln3﹣1＞lne﹣1=0，∴函数f（x）=ln（x+1）﹣的零点所在区间是（e﹣1，2），故选C．4．阅读程序框图，若输出S的值为﹣14，则判断框内可填写（）A．i＜6？B．i＜8？C．i＜5？D．i＜7？【考点】程序框图．【分析】设计循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决．【解答】解：第一次执行循环体时，S=1，i=3；第二次执行循环时，S=﹣2，i=5；第三次执行循环体时，S=﹣7，i=7，第四次执行循环体时，S=﹣14，i=8，所以判断框内可填写“i＜8？”，故选B．5．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，a2+a3=6a1，则等于（）A．5 B．6 C．8 D．9【考点】等比数列的前n项和．【分析】利用等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．【解答】解：设正项等比数列{a n}的公比为q＞0，∵a2+a3=6a1，∴，化为q2+q﹣6=0，解得q=2．则===9．故选：D．6．不等式组表示的平面区域的整点（即横、纵坐标均为整数的点）的总数是（）A．23 B．21 C．19 D．18【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，分别令x=0，1，2，3，4解不等式组即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；当x=0时，不等式组等价为，即0≤y≤6，此时y=0，1，2，3，4，5，6，有7个整点，当x=1时，不等式组等价为，即1≤y≤，此时y=1，2，3，4，5，有5个整点，当x=2时，不等式组等价为，即2≤y≤5，此时y=2，3，4，5，有4个整点，当x=3时，不等式组等价为，即3≤y≤，此时y=3，4，有2个整点，当x=4时，不等式组等价，即y=4，此时y有1个整点，当x≥5时，不等式组无解，综上共有7+5+4+2+1=19个，故选：C7．某几何体的三视图如图所示，则其侧面积为（）A．B．C．D．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】从三视图可以推知，几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面，易求侧面积．【解答】解：几何体是四棱锥，底面是一个直角梯形，一条侧棱垂直底面．且底面直角梯形的上底为1，下底为2，高为1，四棱锥的高为1．四个侧面都是直角三角形，其中△PBC的高PB===故其侧面积是S=S△PAB+S△PBC+S△PCD+S△PAD==故选A8．||=1，||=2，•=0，点D在∠CAB内，且∠DAB=30°，设=λ+μ（λ，μ∈R），则等于（）A．3 B．C．D．2【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】•=0，∴，⊥，建立平面直角坐标系，分别写出B、C点坐标，由于∠DAB=30°，设D 点坐标为（y，y），由平面向量坐标表示，可求出λ和μ．【解答】解：由•=0，∴，⊥，以A为原点，以所在的直线为x轴正半轴，以所在的直线为y轴的正半轴，则B点坐标为（1，0），C点坐标为（0，2），∠DAB=30°设D点坐标为（y，y），=λ+μ（λ，μ∈R），即（y，y）=（λ，2μ），，，=2．故选：D．9．已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象如图所示，f（）=﹣，则f（）=（）A．﹣ B．﹣C．D．【考点】余弦函数的图象．【分析】由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用诱导公式求得f（）的值．【解答】解：由函数f（x）=Acos（ωx+φ）的图象，可得==﹣，∴ω=3，∵f（）=Acos（3•+φ）=Asinφ=﹣，∴f（）=Acos（+φ）=﹣Asinφ=，故选：C．10．已知点A（0，2），抛物线C：y2=mx（m＞0）的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，若|FM|：|MN|=1：，则三角形OFN的面积为（）A．2 B．2C．4 D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】作出M在准线上的射影K，根据|KM|：|MN|确定|KN|：|KM|的值，进而列方程求得m，再由三角形的面积公式，计算即可得到所求值．【解答】解：抛物线C：y2=mx的焦点F（，0），设M在准线上的射影为K，由抛物线的定义知|MF|=|MK|，由|FM|：|MN|=1：，可得|KM|：|MN|=1：，则|KN|：|KM|=2：1，k FN==﹣，又k FN=﹣=﹣2即有=2，求得m=4，则三角形OFN的面积为•y N•|OF|=×4×1=2．故选：A．11．已知平面α截一球面得圆M，过圆心M与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N，若该球的表面积为64π，圆M的面积为4π，则圆N的半径为（）A．B．3 C． D．【考点】球的体积和表面积．【分析】先求出圆M的半径，球面的半径，然后根据勾股定理求出求出OM的长，找出二面角的平面角，从而求出ON的长，最后利用垂径定理即可求出圆N的半径．【解答】解：球的表面积为64π，可得球面的半径为4．∵圆M的面积为4π∴圆M的半径为2根据勾股定理可知OM=2∵过圆心M且与α成60°二面角的平面β截该球面得圆N∴∠OMN=30°，在直角三角形OMN中，ON=，∴圆N的半径为．故选：D．12．已知a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是（）A．∃x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0B．∃x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0C．∀x∈R，ax2﹣bx≥ax﹣bx0D．∀x∈R，ax2﹣bx≤ax﹣bx0【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．配方=﹣．利用二次函数的单调性即可判断出结论．【解答】解：∵a＜0，x0满足关于x的方程ax=b，则x0=．=﹣．∵a＜0，∴当x=时，有最大值，∴≤﹣bx0．∴a＜0，则x0满足关于x的方程ax=b的充要条件是≤﹣bx0．故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．双曲线x2﹣4y2=2的虚轴长是．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求出双曲线的标准方程，求出b，即可求出双曲线的虚轴长为2b．【解答】解：双曲线的标准方程为=1，则b2=，则b=，即虚轴长2b=2×=，故答案为：，14．从5台甲型和4台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有70种．【考点】计数原理的应用．【分析】任意取出三台，其中至少要有甲型和乙型电视机各1台，有两种方法，一是甲型电视机2台和乙型电视机1台；二是甲型电视机1台和乙型电视机2台，分别求出取电视机的方法，即可求出所有的方法数．【解答】解：甲型2台与乙型电视机1台共有4•C52=40；甲型1台与乙型电视机2台共有C42•5=30；不同的取法共有70种故答案为：70．15．《孙子算经》卷下第二十六题：今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？23，或105k+23（k为正整数）．．（只需写出一个答案即可）【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据“三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二”找到三个数：第一个数能同时被3和5整除；第二个数能同时被3和7整除；第三个数能同时被5和7整除，将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加即可求出答案．【解答】解：我们首先需要先求出三个数：第一个数能同时被3和5整除，但除以7余1，即15；第二个数能同时被3和7整除，但除以5余1，即21；第三个数能同时被5和7整除，但除以3余1，即70；然后将这三个数分别乘以被7、5、3除的余数再相加，即：15×2+21×3+70×2=233．最后，再减去3、5、7最小公倍数的整数倍，可得：233﹣105×2=23．或105k+23（k为正整数）．故答案为：23，或105k+23（k为正整数）．16．已知数列{a n}的各项均为正整数，对于n∈N*有a n+1=（其中k为使a n+1为奇数的正整数）．a1=11时，a65=31．【考点】数列递推式．【分析】由已知数列递推式求出数列的前几项，发现数列从第三项开始是周期为6的周期数列，故a65=a3+ =a5=31．（6×10+2）【解答】解：由a n+1=，且a1=11，得a2=3×11+5=38，，a4=3×19+5=62，，a6=3×31+5=98，，a8=3×49+5=152，，∴数列{a n}从第三项开始是周期为6的周期数列．=a5=31．则a65=a3+（6×10+2）答案为：31．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知函数f（x）=．（Ⅰ）若f（a）=，求tan（a+）的值；（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a﹣c）cosB=bcosC，若f（A）=，试证明：a2+b2+c2=ab+bc+ca．【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．【分析】（Ⅰ）由三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=sin（+）+，由f（a）=，解得：sin（+）=1，进而可求α，tanα，由两角和的正切函数公式即可得解tan（a+）的值．（Ⅱ）结合三角形的内角和定理及诱导公式可得sin（C+B）=sinA，再对已知（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简可求B，由f（A）=，及A的范围可得A，进而解得C=A=B，即a=b=c，即可证明得解a2+b2+c2=ab+bc+ca．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）==sin+cos+=sin（+）+，∴f（a）==sin（+）+，解得：sin（+）=1，∴+=2kπ+，k∈Z，解得：α=4kπ+，k∈Z，∴tanα=tan（4kπ+）=tan=﹣，∴tan（a+）==0．（Ⅱ）证明：∵A+B+C=π，即C+B=π﹣A，∴sin（C+B）=sin（π﹣A）=sinA，将（2a﹣c）cosB=bcosC，利用正弦定理化简得：（2sinA﹣sinC）cosB=sinBcosC，∴2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA，在△ABC中，0＜A＜π，sinA＞0，∴cosB=，又0＜B＜π，则B=，∵f（A）==sin（+）+，解得：sin（+）=，∵0＜A＜π，＜+＜，∴+=，解得：A=，C=π﹣A﹣B=，∴a=b=c，∴a2+b2+c2=ab+bc+ca．得证．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，∠DAB=60°，PD⊥平面ABCD，PD=AD=1，点E，F分别为AB和PD中点．（Ⅰ）求证：直线AF∥平面PEC；（Ⅱ）求PC与平面PAB所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）首先利用中点引出中位线，进一步得到线线平行，再利用线面平行的判定定理得到结论．（Ⅱ）根据直线间的两两垂直，尽力空间直角坐标系，再求出平面PAB的法向量，最后利用向量的数量积求出线面的夹角的正弦值．【解答】解：（Ⅰ）证明：作FM∥CD交PC于M．∵点F为PD中点，∴．∵点E为AB的中点．∴，又AE∥FM，∴四边形AEMF为平行四边形，∴AF∥EM，∵AF⊄平面PEC，EM⊂平面PEC，∴直线AF∥平面PEC．（Ⅱ）已知∠DAB=60°，进一步求得：DE⊥DC，则：建立空间直角坐标系，则P（0，0，1），C（0，1，0），E（，0，0），A（，﹣，0），B（，，0）．所以：，．设平面PAB的一个法向量为：，．∵，则：，解得：，所以平面PAB的法向量为：∵，∴设向量和的夹角为θ，∴cosθ=，∴PC平面PAB所成角的正弦值为．19．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18，（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下两种方案：方案1：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；方案2：不采取措施，此时，当两条河流都发生洪水时损失为60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．（Ⅰ）试求方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望；（Ⅱ）试比较哪一种方案好．【考点】离散型随机变量的期望与方差；概率的意义；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，由此能求出方案2中损失费ξ（随机变量）的分布列及期望．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，求出该方案中可能的花费，从而得到方案1最好．【解答】解：（Ⅰ）在方案2中，记“甲河流发生洪水“为事件A，“乙河流发生洪水“为事件B，则P（A）=0.25，P（B）=0.18，∴有且只有一条河流发生洪水的概率为：P（A+B）=P（A）P（）+P（）P（B）=0.25×（1﹣0.18）+（1﹣0.25）×0.18=0.34，两河流同时发生洪水的概率为P（AB）=0.25×0.18=0.045，都不发生洪水的概率为P（）=（1﹣0.25）（1﹣0.18）=0.615，设损失费为随同变量ξ，则ξ的分布列为：ξ10000 60000P 0.34 0.045 0.615E（ξ）=10000×0.34+60000×0.045+0×0.615=6100（元）．（Ⅱ）对方案1来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，但当两河流都有发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为p=0.25×0.18=0.045，∴该方案中可能的花费为1000+56000×0.045=3520．对于方案2，由（1）知损失费的数学期望为6100元，比较知方案1最好．20．在直角坐标系xOy中，已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E的离心率为，且过点M（2，3）．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设P是椭圆E上一点，过P作两条斜率之积的直线l1，l2．以椭圆E的右焦点C为圆心为半径作圆，当直线l1，l2都与圆C相切时，求P的坐标．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解出即可得出．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），利用直线l1与圆C相切的充要条件可得：+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，因此k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．可得k1k2==，又+=1．联立解出即可得出．【解答】解：（I）设椭圆E的方程为：+=1（a＞b＞0），由题意可得：=，=1，又a2=b2+c2，联立解得c=2，a=4，b2=12．∴椭圆E的方程为+=1．（II）由（I）可知：圆心C（2，0），半径为．设P（x0，y0），直线l1，l2的斜率分别为k1，k2．则l1的方程为：y﹣y0=k1（x﹣x0），l2的方程为：y﹣y0=k2（x﹣x0），由直线l1与圆C相切时，=，∴+2（2﹣x0）y0k1+=0，同理可得：+2（2﹣x0）y0k2+=0，∴k1，k2是方程：k2+2（2﹣x0）y0k+=0的两个实数根．∴，且k1k2==，∵+=1．∴﹣8x0﹣36=0，解得x0=﹣2或．由x0=﹣2，解得y0=±3；由x0=，解得y0=，满足条件．∴点P的坐标分别为：（﹣2，±3），．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+（a﹣1）x，其中a∈R．（Ⅰ）当a≤0时，讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2，＞﹣1恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数f（x）的导函数f′（x），再分类讨论，当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）由已知条件不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增，由g（x）求导得，则在x∈（1，∞）恒成立，即在x∈（1，∞）恒成立，令，由x∈（1，∞），则（0，1）得到h（x）max=﹣4，从而可求出a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f′（x）==，∴当﹣1＜a≤0时，x∈（0，﹣a）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（﹣a，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．当a≤﹣1时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，x∈（1，﹣a）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，x∈（﹣a，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数；（Ⅱ）∵＞﹣1对任意x1，x2∈（1，∞），且x1≠x2恒成立，不妨设x2＞x1，则上式等价于f（x2）+x2﹣[f（x1）+x1]＞0在x∈（1，∞）恒成立，构造辅助函数g（x）=f（x）+x，则y=g（x）在x∈（1，∞）单调递增．∵，则在x∈（1，∞）恒成立，∴在x∈（1，∞）恒成立，令，∵x∈（1，∞），∴（0，1）．∴h（x）max=﹣4．∴a＞﹣4．请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲] 22．已知△ABC中，AB=AC，D为△ABC外接圆劣弧上的点（不与点A，C重合），延长BD至E，延长AD交BC的延长线于F（1）求证：∠CDF=∠EDF；（2）求证：AB•AC•DF=AD•FC•FB．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（I）根据A，B，C，D 四点共圆，可得∠ABC=∠CDF，AB=AC可得∠ABC=∠ACB，从而得解．（II）证明△BAD∽△FAB，可得AB2=AD•AF，因为AB=AC，所以AB•AC=AD•AF，再根据割线定理即可得到结论．【解答】证明：（I）∵A，B，C，D 四点共圆，∴∠ABC=∠CDF又AB=AC∴∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，对顶角∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF；（II）由（I）得∠ADB=∠ABF，∵∠BAD=∠FAB，∴△BAD∽△FAB，∴=，∴AB2=AD•AF，∵AB=AC，∴AB•AC=AD•AF，∴AB•AC•DF=AD•AF•DF，根据割线定理DF•AF=FC•FB，∴AB•AC•DF=AD•FC•FB．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ．（Ⅰ）求射线OM的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l的极坐标方程是2ρsin（θ+）=3，射线OM与曲线C的交点为O、P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM 与x轴的正半轴成60°的角，即可得出射线OM的极坐标方程．（II）设P（ρ1，θ1），联立，解得P的极坐标．同理可得Q的极坐标，即可得出．【解答】解：（I）射线OM的参数方程为（t为参数，t≥0），化为普通方程：y=x，可知：射线OM与x轴的正半轴成60°的角，可得：射线OM的极坐标方程为：．（II）设P（ρ1，θ1），由，解得．设Q（ρ2，θ2），由，解得．∴θ1=θ2，|PQ|=ρ2﹣ρ1=2．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，x∈R，a≠0（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2（2）若b∈R，证明：f（b）≥f（a），并求在等号成立时的范围．【考点】绝对值不等式的解法．【分析】（1）由条件利用绝对值的意义求得不等式的解集．（2）由条件利用绝对值三角不等式证得f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，再由（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即﹣3+2≤0，求得的范围．【解答】解：（1）当a=1时，解不等式：f（x）＞2，即|x﹣2|+|x﹣1|＞2，|x﹣2|+|x﹣1|表示数轴上的x对应点到2、1对应点的距离之和，而0.5和2.5对应点到2、1对应点的距离之和正好等于2，故不等式的解集为{x|x＜0.5，或x＞2.5}．（2）证明：∵f（x）=|x﹣2a|+|x﹣a|，故f（a）=f（a），f（b）=|b﹣2a|+|b﹣a|=|2a﹣b|+|b﹣a|≥|2a﹣b+b﹣a|=|a|，即f（b）≥f（a），当且仅当b﹣2a与b﹣a同号，或它们中至少有一个为0时，取等号，∴（2a﹣b）（b﹣a）≥0，即3ab﹣2a2﹣b2≥0，即﹣3×+2≤0，求得1≤≤2．。
2020年四川省大数据精准教学高考数学第二次监测试卷(理科) (解析版)
2020年高考数学第二次监测试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．87．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．18．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD ＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U＝R，集合A＝{x|x2﹣4x+3＞0}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则（∁U A）∪B＝（）A．（﹣1，1]B．[1，2）C．[1，3]D．（﹣1，3]【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．解：由x2﹣4x+3＞0解得x＜1或x＞3，则A＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），所以（∁U A）∪B＝[1，3]∪（﹣1，2）＝（﹣1，3]．故选：D．2．若复数z在复平面内对应的点的坐标为（1，2），则＝（）A．B．C．1+3i D．﹣1﹣3i【分析】由已知求得z，代入，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1+2i，得．故选：B．3．已知向量＝（1+λ，2），＝（3，4），若∥，则实数λ＝（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出4（1+λ）﹣2×3＝0，然后解出λ即可．解：∵，∴4（1+λ）﹣2×3＝0，解得．故选：C．4．若，则sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】法一：结合诱导公式及二倍角的余弦公式即可求解；法二：由已知结合两角差的余弦公式展开后，利用同角平方关系即可求解．解：法一：根据已知，有．法二：由得，两边平方得，所以，即．故选：A．5．函数f（x）＝的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先根据函数奇偶性的概念可知f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；再对比选项C和D，比较f（x）与x的大小即可作出选择．解：因为f（﹣x）＝＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数，排除选项A和B；当x＞0时，，排除选项C．故选：D．6．若（2x+）6展开式的常数项为160，则a＝（）A．1B．2C．4D．8【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于160求得实数a的值．解：二项式（2x+）6的展开式的通项公式为T r+1＝•26﹣r•a r•x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3；故二项式展开式的常数项为，解得a＝1．故选：A．7．若过点P（，1）的直线l是圆C：（x﹣2）2+y2＝4的一条对称轴，将直线l绕点P旋转30°得到直线l'，则直线l'被圆C截得的弦长为（）A．4B．C．2D．1【分析】由已知可得点P在圆C上，且圆心C在直线l上，求得PC＝2．画出图形，利用勾股定理求得半弦长，则直线l'被圆C截得的弦长可求．解：由题意知，点P在圆C上，且圆心C在直线l上，∴PC＝2．如图，设l'与圆交于P，Q两点，线段PQ的中点为H，则在Rt△PHC中，，故直线l'被圆C截得的弦长．故选：B．8．如图，已知圆锥底面圆的直径AB与侧棱SA，SB构成边长为的正三角形，点C是底面圆上异于A，B的动点，则S，A，B，C四点所在球面的面积是（）A．4πB．C．16πD．与点C的位置有关【分析】如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，可得SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理可得R．解：如图，设底面圆的圆心为O，S，A，B，C四点所在球面的球心为O1，连接SO，则SO⊥平面ABC，且O1在线段SO上．易知SO＝3，．设球O1的半径为R，在Rt△O1AO中，由勾股定理得（3﹣R）2+＝R2，解得R ＝2．故球面面积为4πR2＝16π．故选：C．9．甲、乙、丙、丁4名学生参加体育锻炼，每人在A，B，C三个锻炼项目中恰好选择一项进行锻炼，则甲不选A项、乙不选B项的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，可得每位学生选择三个锻炼项目有种，则总的选择方式有种，其中甲、乙的选择方式有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为或．解：法一：每位学生选择三个锻炼项目有种，则4人总的选择方式共有种，其中甲、乙的选择方式有种，其余两人仍有种，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．法二：只考虑甲、乙的选择，不加限制均为3种，受到限制后均为2种，而甲乙的选择相互独立，故甲不选A、乙不选B项目的概率为．故选：B．10．若函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的图象上相邻三个最值点为顶点的三角形是直角三角形，则A•ω＝（）A．4πB．2πC．πD．【分析】作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，结合图象求出△MNP 为等腰直角三角形，即可求解结论．解：作出函数y＝A sinωx（A＞0，ω＞0，x＞0）的大致图象，不妨取如图的相邻三个最值点．设其中两个最大值点为M，N，最小值点为P．根据正弦函数图象的对称性，易知△MNP为等腰直角三角形，且斜边上的高PQ＝2A，所以斜边MN＝4A，则y＝A sinωx周期T＝4A．由，有，所以．故选：D．11．若函数，且f（2a）+f（a﹣1）＞0，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．C．D．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：由题知f（x）的定义域为（﹣1，1），且，所以f（﹣x）＝ln＝﹣ln+x＝﹣f（x），所以f（x）为奇函数且在（﹣1，1）上单调递减．由f（2a）+f（a﹣1）＞0，可知f（2a）＞﹣f（a﹣1）＝f（1﹣a），于是有，解得．故选：C．12．已知O为直角坐标系的原点，矩形OABC的顶点A，C在抛物线x2＝4y上，则直线OB的斜率的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）B．（﹣∞，﹣4]∪[4，+∞）C．D．【分析】画出图形，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），通过，推出直线OB的斜率的表达式，利用基本不等式求解即可．解：如图，设A（x1，y1），C（x2，y2），则B（x1+x2，y1+y2），依题意，四边形OABC为矩形，则，即x1x2+y1y2＝0，所以，即x1x2＝﹣16，从而，直线OB的斜率＝，．当且仅当，即时等号成立，故．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．若实数x，y满足，则z＝2x+y的最小值为3．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解真假，得到目标函数的最小值即可．解：不等式组表示的可行域是以（2，0），A（1，1），（3，1）为顶点的三角形及其内部，如图：当目标函数z＝2x+y过点A（1，1）时，目标函数在y轴是的的截距取得最小值，此时z取得最小值，z取得最小值3．故答案为：3．14．已知平面α⊥平面β，直线l⊂α，且l不是平面α，β的交线．给出下列结论：①平面β内一定存在直线平行于平面α；②平面β内一定存在直线垂直于平面α；③平面β内一定存在直线与直线l平行；④平面β内一定存在直线与直线l异面．其中所有正确结论的序号是①②④．【分析】利用直线与平面的位置关系结合图形、逐个判断，即可得出答案．解：设平面α∩β＝a，①存在b⊂平面β，且b∥a，所以a∥平面α，故正确，②存在c⊂平面β，且c⊥a，所以c⊥平面α，故正确，③若l与两平面的交线相交，则平面β内不存在直线与直线l平行，则③错误；④由以上图可知存在平面β内一定存在直线与直线l异面．故④正确，故答案：①②④．15．阿波罗尼奥斯是古希腊时期与阿基米德、欧几里得齐名的数学家，以其姓氏命名的“阿氏圆”，是指“平面内到两定点的距离的比值为常数λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹”．设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，顶点C在以A，B为定点，λ＝2的一个阿氏圆上，且，△ABC的面积为，则c＝．【分析】直接利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．解：由已知，不妨设b＝2a，由，，解得a＝1，则b＝2，据余弦定理有，所以．故答案为：16．若关于x的不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，则ab的最大值是e．【分析】由不等式lnx≤﹣bx+1恒成立，且x＞0，可化为．设，求导可得f'（x）＝，令f'（x）＝0可得x＝e2，可得在（0，e2）和（e2，+∞）函数f（x）的单调性，求出函数f（x）的最大值．结合图象可得f（x）在的图象的下面恒成立，则的图象与函数f（x）的图象相切时，ab取到最大值，进而求出ab的最大值．解：由a≠0，x＞0，原不等式可化为恒成立，设，则，当x∈（0，e2）时，f'（x）＞0，f（x）递增；x∈（e2，+∞），f'（x）＜0，f（x）递减．所以，f（x）在x＝e2处取得极大值，且为最大值；且x＞e时，f（x）＞0．结合图象可知，的图象恒在f（x）的图象的上方，显然a＜0不符题意；当a＞0时，ab为直线的横截距，其最大值为f（x）的横截距，再令f（x）＝0，可得x＝e，所以ab取得最大值为e．此时a＝e2，，直线与f（x）在点（e，0）处相切，ab的最大值为e．故答案为：e．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知数列{a n}的前n项和是S n，且S n＝2a n﹣2，等差数列{b n}中，b1＝20，b3＝16．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）定义：a*b＝．记c n＝a n*b n，求数列{c n}的前10项的和T10．【分析】（1）对于数列{a n}：当n＝1时，由题设条件求出a1，再由当n≥2时，由S n ＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，进而说明数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，从而求得a n；对于数列{b n}：先设出等差数列{b n}的公差d，再由题设条件求出d，即可求得b n．（2）先由（1）求得c n，再求出T10即可．解：（1）对于数列{a n}，当n＝1时，由S n＝2a n﹣2得a1＝2；当n≥2时，由S n＝2a n﹣2，S n﹣1＝2a n﹣1﹣2两式相减整理得a n＝2a n﹣1，所以数列{a n}是首项为2，公比也为2的等比数列，所以数列{a n}的通项公式．设等差数列{b n}的公差为d，则b3﹣b1＝16﹣20＝4＝2d，解得d＝﹣2，所以数列{b n}的通项公式b n＝22﹣2n．综合以上知：a n＝2n，b n＝22﹣2n；（2）由（1）知：c n＝a n*b n＝＝，所以T10＝a1+a2+a3+b4+b5+b6+…+b10＝＝．18．某学校课外兴趣小组利用假期到植物园开展社会实践活动，研究某种植物生长情况与温度的关系．现收集了该种植物月生长量y（cm）与月平均气温x（℃）的8组数据，并制成如图1所示的散点图．根据收集到的数据，计算得到如表值：（x i﹣）21812.325224.04235.96（1）求出y关于x的线性回归方程（最终结果的系数精确到0.01），并求温度为28℃时月生长量y的预报值；（2）根据y关于x的回归方程，得到残差图如图2所示，分析该回归方程的拟合效果．附：对于一组数据（ω，v1），（ω2，v2），…，（ωn，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，＝﹣．【分析】（1）根据表中数据求出线性回归方程的系数，写出线性回归方程，利用回归方程计算x＝28时的值；（2）根据残差图中对应点分布情况判断该回归方程的拟合效果．解：（1）设月生长量y与月平均气温x之间的线性回归方程为，计算，所以，所以y关于x的线性回归方程为；当x＝28时，＝1.05×28﹣6.63＝22.77（cm），所以，在气温在28℃时，该植物月生长量的预报值为22.77cm．（2）根据残差图，残差对应的点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度窄，所以该回归方程的预报精度相应会较高，说明拟合效果较好．19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，∠ABE＝30°，∠BEC＝90°，AD＝2，E是AD的中点．现将△ABE沿BE翻折，使点A移动至平面BCDE外的点P．（1）若，求证：DF∥平面PBE；（2）若平面PBE⊥平面BCDE，求平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）法一：在线段PB上取靠近点P的四等分点G，可得，由此证明四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG，进而得证；法二：在线段BC上取靠近点B的四等分点H，可得HF∥PB，由此证明HF∥平面PBE，再证明四边形DEBH为平行四边形，可得DH∥平面PBE，综合可得平面DFH∥平面PBE，再利用面面平行的性质定理得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面PBE及平面PCD的法向量，利用向量的夹角公式直接求解即可．解：（1）法一：依题意得BE＝2，BC＝4，．…………………………（1分）如图，在线段PB上取靠近点P的四等分点G，连接FG，EG，因为，所以．所以．……………………………………所以四边形DEGF为平行四边形，可得DF∥EG．…………………………又DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，．………………………………所以DF∥平面PBE．………………………………法二：如图，在线段BC上取靠近点B的四等分点H，连接FH，DH，因为，所以HF∥PB．又HF⊄平面PBE，PB⊂平面PBE，所以HF∥平面PBE．……………………………………依题意得BE＝2，BC＝4，，而，所以．所以四边形DEBH为平行四边形．所以DH∥EB．又DH⊄平面PBE，EB⊂平面PBE，所以DH∥平面PBE．………………………………而DH⊂平面DFH，FH⊂平面DFH，DH∩FH＝H，所以平面DFH∥平面PBE．因为DF⊂平面DFH，所以DF∥平面PBE．………………………………（2）由∠BEC＝90°，得BE⊥EC．又因为平面PBE⊥平面BCDE，平面PBE∩平面BCDE＝BE，所以EC⊥平面PBE．……………………………………以E为原点，建立如图所示空间直角坐标系E﹣xyz，则E（0，0，0），，，B（2，0，0），由，得．…………………………………………则，．设平面PCD的法向量为，则，令y＝1，则，故可取．………………………………又EC⊥平面PBE，可取平面PBE的一个法向量为，．…………………………则＝．所以，平面PBE与平面PCD所成锐二面角的余弦值为．………………………………20．在直角坐标系内，点A，B的坐标分别为（﹣2，0），（2，0），P是坐标平面内的动点，且直线PA，PB的斜率之积等于．设点P的轨迹为C．（1）求轨迹C的方程；（2）某同学对轨迹C的性质进行探究后发现：若过点（1，0）且倾斜角不为0的直线l 与轨迹C相交于M，N两点，则直线AM，BN的交点Q在一条定直线上．此结论是否正确？若正确，请给予证明，并求出定直线方程；若不正确，请说明理由．【分析】（1）利用，求解轨迹方程即可．（2）设直线MN的方程为：x＝my+1，联立直线与椭圆方程，M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，通过直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．转化求解即可．解：（1）由，得4y2＝4﹣x2，即．故轨迹C的方程为：．（2）根据题意，可设直线MN的方程为：x＝my+1，由，消去x并整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0．其中，△＝4m2+12（m2+4）＝16m2+48＞0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则，．因直线l的倾斜角不为0，故x1，x2不等于±2（y1，y2不为0），从而可设直线AM的方程为①，直线BN的方程为②，所以，直线AM，BN的交点Q（x0，y0）的坐标满足：．而＝，因此，x0＝4，即点Q在直线x＝4上．所以，探究发现的结论是正确的．21．已知函数f（x）＝．（1）若曲线y＝f（x）在x＝﹣1处切线的斜率为e﹣1，判断函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明x1+x2＞0，并指出a的取值范围．【分析】（1）求出原函数的导函数，得到f'（﹣1）＝ea﹣1由已知列式求得a值，求出导函数的零点，再由导函数的零点对定义域分段，关键导函数在本题区间段内的符号，可得原函数的单调性；（2）当a＞0时，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．结合f（﹣1）＞0，f （﹣2）＜0，可得f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，利用导数研究其单调性可知f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，利用导数求其极小值，根据极小值大于0，可得f（x）最多只有一个零点，不符合题意．当a＜0时，利用导数证明f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f （﹣x），再求导数证明f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，即x1+x2＞0．解：（1）由题，则f'（﹣1）＝ea﹣1＝e﹣1，得a＝1，此时，由f'（x）＝0，得x＝0．则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，且f'（0）＝0，所以f（x）为R上的增函数；证明：（2）①当a＞0时，由f'（x）＝0，得x＝0或x＝lna，若a＝1，由（1）知，f（x）为R上的增函数．由，f（﹣2）＝﹣e2+2＜0，∴f（x）只有一个零点，不符合题意．若0＜a＜1，则x＜lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；lna＜x＜0时，f'（x）＜0，f （x）为减函数；x＞0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数．而f（x）极小＝f（0）＝a＞0，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．若a＞1时，则x＜0时，f'（x）＞0，f（x）为增函数；0＜x＜lna时，f'（x）＜0，f（x）为减函数；x＞lna时，f'（x）＞0，f（x）为增函数，得，故f（x）最多只有一个零点，不符合题意．②当a＜0时，由f'（x）＝0，得x＝0，由x≤0，得f'（x）≤0，f（x）为减函数，由x＞0，得f'（x）＞0，f（x）为增函数，则f（x）极小＝f（0）＝a＜0．又x→﹣∞时，f（x）＞0，x→+∞时，f（x）＞0，∴当a＜0时，f（x）始终有两个零点x1，x2，不妨令x1＜0，x2＞0，构造函数F（x）＝f（x）﹣f（﹣x），∴，由于x＞0时，e x﹣e﹣x＞0，又a＜0，则F'（x）＝ax（e x﹣e﹣x）＜0恒成立，∴F（x）为（0，+∞）的减函数，则F（x）＜F（0）＝f（0）﹣f（0）＝0，即f（x）＜f（﹣x），故有f（x2）＜f（﹣x2）．又x1，x2是f（x）的两个零点，则f（x1）＝f（x2），∴f（x1）＜f（﹣x2）．结合f（x）的单调性得x1＞﹣x2，∴x1+x2＞0，且a的取值范围是（﹣∞，0）．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1：（t为参数），曲线C2：，（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系．（1）求曲线C1，C2的极坐标方程；（2）射线y＝x tanα（x≥0，0＜α＜）分别交C1，C2于A，B两点，求的最大值．【分析】（1）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）消去参数t，得曲线C1的直角坐标方程为，则曲线C1的极坐标方程为．消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为（x﹣1）2+y2＝1，即x2+y2﹣2x＝0，所以曲线C2的极坐标方程为ρ2﹣2ρcosθ＝0，即ρ＝2cosθ．（2）射线的极坐标方程为，．联立，得，所以；由，得ρB＝2cosα，则|OB|＝2cosα，因此＝．由，得．所以，当，即时，．故的最大值为．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+3|+2|x|．（1）求f（x）的值域；（2）记函数f（x）的最小值为M．设a，b，c均为正数，且a+b+c＝M，求证：．【分析】（1）化分段函数，求出每段的值域即可求出函数f（x）的值域；（2）根据（1）求出M＝3，再根据基本不等式即可证明．解：（1）当x＜﹣3时，f（x）＝﹣x﹣3﹣2x＝﹣3x﹣3，此时f（x）∈（6，+∞）；当﹣3≤x≤0时，f（x）＝x+3﹣2x＝﹣x+3，此时f（x）∈[3，6]；．当x＞0时，f（x）＝x+3+2x＝3x+3，此时f（x）∈（3，+∞），综上，函数f（x）的值域为[3，+∞）．（2）由（1）知，函数f（x）的最小值为3，则M＝3，即a+b+c＝3．因为≥36．其中，当且仅当，b＝1，取“＝”．又因为a+b+c＝3，所以．。
江西省南昌市高三数学二模试卷(理)
江西省南昌市2008—2009学年度高三第二次模拟测试数学试题（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分。
第Ⅰ卷考生注意：1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上，考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答，若在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B)=P(A)+P(B) 24r S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ， 334R V π=那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）．1．已知集合P ＝{2|23,y y x x x R =-+∈}, Q={|ln(2)x y x =+},则P Q =（ ）A ．RB ．(-2,+∞)C ．[)2,+∞D ．(]2,2-2．已知a R ∈，则“2a >”是“22a a >”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．若复数z 满足对应关系f (1-z )=2z -i ，则(1+i)·f (1-i)= （ ）A ．2B ． 1i -+C ．1i +D ．04．函数()sin f x x =在区间[],a b 上是增函数,且()1,()1f a f b =-=,则cos 2a b+的值为（ ）A ．0B ．2C ．1D ．-15．数列{a n }满足a 1+ 3·a 2+ 32·a 3+…+ 3n-1·a n =2n，则a n = （ ） A ．1231-∙n B ．1321-∙n C ．n 21 D ．nn36．已知α、β是平面，m 、n 是直线，给出下列命题:①若m α⊥，m β⊂，则αβ⊥．②如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，那么n 不与α相交．③若m αβ=，n ∥m ，且,n n αβ⊄⊄，则n ∥α且n ∥β．其中真命题的个数是 （ ）A ．3B ．2C ．1D ．07． 已知函数y =sin A (wx φ+)+k 的最大值是4，最小值是0，最小正周期是2π，直线3x π=是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式是 （ ） A ．4sin(4)6y x π=+ B ．2sin(2)23y x π=++C ．2sin(4)23y x π=++D ．2sin(4)26y x π=++8．已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的偶函数，且在]0,(-∞上是增函数，设)7(log 4f a =，)3(log 21f b =，)2.0(6.0-=f c ，则c b a ,,的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．c b a <<9．点P(-3,1)在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左准线上，过点P 且方向向量为(2,5)a =-的光线，经直线y=-2反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为 （ ）A ．13B ．12C ．2D ．10．已知)(1x f y -=是函数⎩⎨⎧∈-∈=-]2,1(,12]1,0(,log )(12x x x x f x 的反函数，则)0(1-f 的值是 （ ）A ．0B ．21 C ．43 D ．111．已知点,A B 是双曲线2212y x -=上的两点，O 为坐标原点，且满足0OA OB ⋅=，则点O 到直线AB 的距离等于（ ）ABC ．2D ．12．若对任意,x A y B ∈∈，（,A RB R ⊆⊆）有唯一确定的(,)f x y 与之对应，则称(,)f x y为关于,x y 的二元函数。
山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）含答案解析
13．给定两个单位向量 ， ，它们的夹角为60°．点C在以O为圆弧 上运动，若 =x +y ，其中x，y∈R，则xy的最大值为________．
对于C，根据平面与平面平行的判定定理，可知不正确；
对于D，根据平面与平面垂直的判定定理，可知正确．
故选：D．
7．看函数f（x）在定义域内满足条件：①f（x）+f（﹣x）=0；②f（x）﹣f（x+t）＜0（其中t＞0），则函数f（x）的解析式可以是（ ）
A．y=x+ B．y=tanx C．y= D．y=x3
【考点】函数解析式的求解及常用方法．
【分析】根据已知条件即可判断出f（x）满足定义域为R，为奇函数，增函数，判断每个选项中的函数是否满足f（x）的上面几个条件即可找出正确选项．
【解答】解：∵f（x）+f（﹣x）=0；
∴ห้องสมุดไป่ตู้（x）为奇函数；
f（x）﹣f（x+t）＜0，即f（x+t）＞f（x），t＞0；
∴f（x）在R上为增函数；
山东省烟台市高考数学二模试卷（理科）
一、选择题：本大题共10小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，把正确选项的代号涂在答题卡上．
1．已知i是虚数单位，若复数z满足 =i，则|z|（ ）
A．2 B． C． D．
2．设全集U=R，若集合A={x|y=log2（4﹣x2）}，集合B={y|y=2x﹣1，x∈R}，则集合∁U（A∩B）=（ ）
14．已知圆C：（x﹣2）2+（y﹣3）2=1，（0，3）且斜率为k的直线l与圆C有两个不同的交点M，N，且 • = ，则实数k的值为________．
内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）含答案解析
内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3}B．{﹣3，﹣1，1}C．{﹣3，5} D．{3，5}2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．43．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．46．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm37．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．98．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=111．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是______．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）=______．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于______．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e=______．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1213 1415数学成绩114 106 115 77 86 90 95 86 97 79 100 78 77 113 60物理成绩72 49 51 29574962 226329422137 46 21学号16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30数学成绩89 74 82 95 64 87 56 65 43 64 64 85 66 5651物理成绩65 4533 28 29 28 39 34 45 35 35 34 20 29 39 将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=性检验临界值表（部分）P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．内蒙古包头市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．已知集合A={x|x2﹣2x﹣8＞0}，B={﹣3，﹣1，1，3，5}，则A∩B=（）A．{﹣1，1，3}B．{﹣3，﹣1，1}C．{﹣3，5} D．{3，5}【考点】交集及其运算．【分析】通过不等式的解法求出集合A，然后求解交集即可．【解答】解：由x2﹣2x﹣8＞0，得到（x﹣4）（x+2）＞0，解得x＞4或x＜﹣2，∴A=（﹣∞，2）∪（4，+∞），又B={﹣3，﹣1，1，3，5}，∴A∩B={﹣3，5}．故选C．2．若复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数（b∈R），则|z|=（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】复数求模．【分析】用纯虚数的定义：实部为0，虚部不为0，求出a；利用复数模的公式求出复数的模．【解答】解：z=（3+bi）（1+i）﹣2=1﹣b+（3+b）i，∵复数z=（3+bi）（1+i）﹣2是纯虚数，∴1﹣b=0，即b=1，∴z=4i，∴|z|=4，故选：D．3．设D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D．【考点】向量在几何中的应用．【分析】利用向量加法的三角形法则，将，分解为+和+的形式，进而根据D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，结合数乘向量及向量加法的平行四边形法则得到答案．【解答】解：∵D，E，F分别为△ABC的三边BC，CA，AB的中点，∴+=（+）+（+）=+=（+）=，故选：A4．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC，且a＞c，cosB=，则=（）A．2 B．C．3 D．【考点】正弦定理．【分析】由正弦定理将sin2B=2sinAsinC，转换成b2=2ac，根据余弦定理化简得：，同除以c2，设c2=t，解得t的值，根据条件判断的值．【解答】解：三角形ABC中，sin2B=2sinAsinC，由正弦定理：，得：b2=2ac，由余弦定理：b2=a2+c2﹣2accosB，即：，等号两端同除以c2，得：，令=t，∴2t2﹣5t+2=0，解得：t=2，t=，a＞c，∴t=2，则=2，故答案选：A．5．对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图．下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（）个．①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分．A．1 B．2 C．3 D．4【考点】频率分布折线图、密度曲线．【分析】根据折线图分别判断①②③④的正误即可．【解答】解：①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，最高分是130分，故而平均成绩小于130分，①错误；②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间[110，120]内，②正确；③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关，③正确；④乙同学在这连续九次测验中的最高分大于130分，最低分小于90分，差超过40分，故④正确；故选：C．6．某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则这个几何体的体积为（）A．16cm3B．20cm3C．24cm3D．30cm3【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图可知该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，四棱柱的体积为V=底面积×高，即可求得V．【解答】解：三视图可知令该几何体就是以俯视图为底面的四棱柱，则四棱柱的体积为V=底面积×高=（3×3+×1×3×2）×2=24（cm3）故答案选：C7．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=0.02，则输出的n=（）A．6 B．7 C．8 D．9【考点】程序框图．【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，依次写出每次循环得到的s，m，n的值，可知当s=时，不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．【解答】解：模拟执行程序，可得t=0.02，s=1，n=0，m=，执行循环体，s=，m=，n=1满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=2满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=3满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=4满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=5满足条件s＞0.02，执行循环体，s=，m=，n=6不满足条件s＞0.02，退出循环，输出n的值为6．故选：A．8．已知函数f（x）=x3﹣3ax+，若x轴为曲线y=f（x）的切线，则a的值为（）A．B．﹣C．﹣D．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】设切点为（m，0），代入函数的解析式，求出函数的导数，可得切线的斜率，解方程即可得到m，a的值．【解答】解：设切点为（m，0），则m3﹣3am+=0，①f（x）=x3﹣3ax+的导数为f′（x）=3x2﹣3a，由题意可得3m2﹣3a=0，②由①②解得m=，a=．故选：D．9．实数x，y满足，若3x﹣2y≤m恒成立，则实数m的取值范围是（）A．[9，+∞）B．[﹣，+∞）C．[﹣，+∞）D．[﹣，9]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，从而利用线性规划求3x﹣2y的最大值，从而求恒成立问题．【解答】解：由题意作平面区域如下，结合图象可知，当过点A（3，0）时，3x﹣2y有最大值9，故m≥9，故选：A．10．已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的简单性质；双曲线的标准方程．【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②由①②解得：a2=5，b2=4∴该双曲线的方程为故选A11．在正三棱锥S﹣ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MN⊥AM，若侧棱SA=2，则此正三棱锥S﹣ABC的外接球的体积是（）A．12πB．32πC．36πD．48π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意推出MN⊥平面SAC，即SB⊥平面SAC，∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°，将此三棱锥补成正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径，求出直径即可求出球的体积．【解答】解：∵M，N分别为棱SC，BC的中点，∴MN∥SB∵三棱锥S﹣ABC为正棱锥，∴SB⊥AC（对棱互相垂直）∴MN⊥AC又∵MN⊥AM，而AM∩AC=A，∴MN⊥平面SAC，∴SB⊥平面SAC∴∠ASB=∠BSC=∠ASC=90°以SA，SB，SC为从同一定点S出发的正方体三条棱，将此三棱锥补成以正方体，则它们有相同的外接球，正方体的对角线就是球的直径．∴2R=SA=6，∴R=3，∴V=πR3=36π．故选：C．12．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，f（0）=2，f′（x）﹣f（x）＞e x，则使得f（x）＞xe x+2e x成立的x的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（﹣∞，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】根据f′（x）﹣f（x）＞e x，构造g（x）=e﹣x f（x）﹣x，求导，求出函数的单调增函数，只需将求g（x）的最小值大于2，即可求得x的取值范围．【解答】解：构造辅助函数g（x）=e﹣x f（x）﹣x，g′（x）=﹣e﹣x f（x）+f′（x）e﹣x﹣1=e﹣x[f′（x）﹣f（x）]﹣1，由f′（x）﹣f（x）＞e x，g′（x）＞0恒成立．∴g（x）在定义域上是单调递增函数，要使f（x）＞xe x+2e x，即：e﹣x f（x）﹣x＞2，只需将g（x）的最小值大于2，∵g（0）=2，g（x）在定义域上是单调递增函数；故x＞0，即x的取值范围是（0，+∞）．故答案选：A二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（1+x）3（1+y）4的展开式中x2y2的系数是18．【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项式定理展开即可得出．【解答】解：∵（1+x）3（1+y）4=（1+3x+3x2+x3）（1+4y+6y2+4y3+y4），∴3×6=18，故答案为：18．14．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则此函数的解析式为f（x）=2sin（2x+）．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据图象可得周期T=π，利用周期公式可求ω，利用将点（，A）代入y=Asin （2x+φ）及φ的范围可求φ的值，将（0，），y=Asin（2x+）即可求得A的值，即可确定函数解析式．【解答】解：根据图象可得，=，T==π，则ω=2，将点（，A）坐标代入y=Asin（2x+φ），sin（+φ）=1，|φ|＜，∴φ=，将点（0，）代入得=Asin，∴A=2，∴f（x）=2sin（2x+），故答案为：2sin（2x+）．15．一条斜率为1的直线与曲线：y=e x和曲线：y2=4x分别相切于不同的两点，则这两点间的距离等于．【考点】抛物线的简单性质．【分析】利用导数求出切点的坐标，再利用两点间的距离公式，即可得出结论．【解答】解：∵y=e x，∴y′=e x=1，∴x=0，y=1，即切点坐标为（0，1），∵y=2，∴y′==1，∴x=1，y=2，即切点坐标为（1，2），∴两点间的距离等于．故答案为：．16．已知椭圆E的中心为原点，F（3，0）是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB中点为（2，﹣1），则E的离心率e=．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设椭圆E的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．A（x1，y1），B（x2，y2），利用斜率公式可得：k l=1，利用中点坐标公式可得：x1+x2=4，y1+y2=﹣2，由于=1，+=1，相减可得a，b的关系式，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：设椭圆E的标准方程为： +=1（a＞b＞0）．A（x1，y1），B（x2，y2），k l===1，x1+x2=4，y1+y2=﹣2，∵=1， +=1，相减可得： +=0，∴﹣=0，解得=．∴椭圆的离心率e===．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=2，a n≠0，a n a n+1=pS n+2，其中p为常数．（1）证明：a n+2﹣a n=p；（2）是否存在p，使得|a n|为等差数列？并说明理由．【考点】等差数列的性质；数列递推式．【分析】（1）a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，相减可得：a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，利用a n+1≠0，可得a n+2﹣a n=p．（2）由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．因此a n+2﹣a n=2，数列{a2n﹣1}，数列{a2n}都是公差为2的等差数列，即可得出．【解答】（1）证明：∵a n a n+1=pS n+2，a n+1a n+2=pS n+1+2，∴a n+1（a n+2﹣a n）=pa n+1，∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=p．（2）解：由a n a n+1=pS n+2，令n=1时，a1a2=pa1+2，a1=2，可得：a2=p+1，同理可知：a3=p+2，令2a2=a1+a3，解得p=2．∴a n+2﹣a n=2，∴数列{a2n﹣1}是首项为2，公差为2的等差数列，且a2n﹣1=2+2（n﹣1）=2n．数列{a2n}是首项为3，公差为2的等差数列，且a2n=3+2（n﹣1）=2n+1．∴a n=n+1．∴a n+1﹣a n=1．因此存在p=2，使得数列|a n|为等差数列．18．如图1，已知矩形ABCD中，AB=2，AD=2，E，F分别是AD，BC的中点，对角线BD与EF交于O点，沿EF将矩形ABFE折起，使平面ABFE与平面EFCD所成角为60°．在图2中：（1）求证：BO⊥DO；（2）求平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系．【分析】（1）先求出OD=，OB=，连结BD，求出BD=，由勾股定理逆定理得OD ⊥OB．（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面DOB与平面BFC所成角的余弦值．【解答】证明：（1）由题设知OD==，OB==，连结BD，在Rt△BCD中，BD===，∴OD2+OB2=BD2=6，由勾股定理逆定理得OD⊥OB．解：（2）以F这原点，在平面BFC中过F作FC的垂线为x轴，FC为y轴，FE作z轴，建立空间直角坐标系，则O（0，0，1），B（），D（0，，2），F（0，0，0），∴=（，﹣1），=（0，，1），=（0，0，1），设平面OBD的法向量=（x，y，z），则，令y=﹣，得=（，﹣，2），平面FBC的法向量=（0，0，1），cos＜＞===，∴平面DOB与平面BFC所成角的余弦值为．19．如表是某班（共30人）在一次考试中的数学和物理成绩（单位：分）学号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1413 15 数学成绩114 106 115 77 86 90 95 86 97 79 100 78 77 113 60物理成绩72 49 51 29574962 226329422137 46 21学号16 1718 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30数学成绩89 74 82 95 64 87 56 65 43 64 64 85 66 5651物理成绩65 4533 28 29 28 39 34 45 35 35 34 20 29 39 将数学成绩分为两个层次：数学Ⅰ（大于等于80分）与数学Ⅱ（低于80分），物理也分为两个层次：物理Ⅰ（大于等于59分）与物理Ⅱ（低于59分）．（1）根据这次考试的成绩完成下面2×2列联表，并运用性检验的知识进行探究，可否有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”？物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4数学Ⅱ15合计30（2）从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩，记ξ为数学与物理成绩都达到Ⅰ层次的人数，求ξ的分布列与数学期望．可能用到的公式和参考数据：K2=性检验临界值表（部分）P（K2≥k0）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635【考点】性检验的应用．【分析】（1）根据考试成绩填写列联表，利用公式计算K2，根据所给参数即可得出结论；（2）由题意知ξ满足超几何分布，计算对应的概率，写出ξ的分布列与数学期望值．【解答】解：（1）根据这次考试的成绩填写2×2列联表，如下；物理Ⅰ物理Ⅱ合计数学Ⅰ 4 11 15数学Ⅱ0 15 15合计 4 26 30假设数学成绩与物理成绩无关，由公式得K2===≈4.61＞3.841，根据所给参数可知数学成绩与物理成绩无关的概率小于5%，即有95%的把握认为“数学成绩与物理成绩有关”；（2）由题意知ξ满足超几何分布，从该班这次考试成绩中任取两名同学的成绩共有=435种可能，抽取的两人均达到Ⅰ层次的概率是==，抽取的两人仅有1人同时达到Ⅰ层次的概率是=，抽取的两人同时到达层次Ⅰ的概率是1﹣﹣==，所以ξ的分布列为：ξ0 1 2P（ξ）ξ的数学期望为Eξ=0×+1×+2×=．20．已知抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F，直线x=4与x轴的交点为H，与C的交点为Q，且|QF|=|HQ|．（1）求C的方程；（2）过F的直线l与C相交于A、B两点，分别过A，B且与C相切的直线l1，l2相交于点R，求S△RAB的最小值．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求得抛物线的焦点和准线方程，求得H，Q的坐标，运用抛物线的定义和解方程可得p，进而得到抛物线方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线的方程，运用韦达定理和弦长公式，求得抛物线对应函数的导数，可得切线的斜率和方程，求得交点R的坐标，再求R 到直线l的距离，运用三角形的面积公式，化简整理，即可得到所求最小值．【解答】解：（1）抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点为F（0，），准线方程为y=﹣由题意可得H（4，0），Q（4，），则|HQ|=，|QF|=+，由|QF|=|HQ|，可得+=•，解得p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），l：y=kx+，代入抛物线x2=4y，消去y，可得x2﹣4kx﹣8=0，则x1+x2=4k，x1x2=﹣8，由y=x2的导数为y′=x，即有l1：y﹣y1=x1（x﹣x1），由x12=4y1，可得l1：y=x1x﹣x12，同理可得l2：y=x2x﹣x22，解得交点R（，x1x2），即为R（2k，﹣），即有R到l的距离为d==2，又|AB|=•=•=4（1+k2），则S△RAB=|AB|•d=•4（1+k2）•2=8（1+k2），当k=0时，S△RAB取得最小值8．21．已知函数f（x）=2mlnx﹣x2，g（x）=e x﹣2mlnx（m∈R），ln2=0.693．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在最大值M，g（x）存在最小值N，且M≥N，求证：m＞．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，构造函数u（x）=xe x﹣2m，求出M，N的表达式，构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，根据函数的单调性证出结论．【解答】解：（1）由题意x＞0，f′（x）=，m≤0时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）递减，m＞0时，令f′（x）＞0，解得：0＜x＜，令f′（x）＜0，解得：x＞，∴f（x）在（0，）递增，在（，+∞）递减；（2）证明：g′（x）=，m≤0时，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，无最小值，由（1）得f（x）无最大值，故m＞0，令u（x）=xe x﹣2m，u′（x）=e x+xe x＞0，u（0）=﹣2m＜0，u（2m）=2m（e2m﹣1）＞0，故唯一存在x0∈（0，2m），使得u（x0）=0，即m=，列表如下：x （0，x0）x0（x0，+∞）u（x）﹣0 +g′（x）﹣0 +g（x）递减最小值递增由（1）得：M=f（）=mlnm﹣m，且N=g（x0）=﹣2mlnx0，由题设M≥N，即mlnm﹣m≥﹣2mlnx0，将m=代入上式有：ln﹣≥﹣2（）lnx0，化简得：x0lnx0+﹣（ln2+1）﹣1≥0，（*），构造函数h（x）=xlnx+﹣（ln2+1）﹣1，h′（x）=（lnx+1）+x﹣（ln2+1），而h′（x）递增，h′（1）=（4﹣ln2）＞0，当x＞0，h′（）=﹣5ln2＜0，则唯一存在t∈（0，1），使得h′（t）=0，则当x∈（0，t），h′（x）＜0，h（x）递减，x∈（t，+∞），h′（x）＞0，h（x）递增，又h（1）=﹣ln2﹣1＜0，故h（x）≥0只会在（t，+∞）有解，而h（2）=3ln2+2﹣（ln2+1）﹣1=2ln2＞0，故（*）的解是x0＞1，则m=＞．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，A，B是圆O上两点，延长AB至点C，满足AB=2BC=2，过C作直线CD与圆O相切于点D，∠ADB的平分线交AB于点E．（1）证明：CD=CE；（2）求的值．【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质．【分析】（1）利用弦切角定理，角平分线的性质，即可证明：CD=CE；（2）证明△CDB∽△CAD，即可求的值．【解答】（1）证明：∵CD是圆O的切线，∴∠CDB=∠DAB，∵∠ADB的平分线交AB于点E，∴∠EDA=∠EDB，∵∠CED=∠DAE+∠EDA，∠EDC=∠EDB+∠BDC，∴∠CED=∠EDC，∴CD=CE；（2）解：∵CD是圆O的切线，∴CD2=CB•CA=3，∴CD=，∵∠CDB=∠DAC，∴△CDB∽△CAD，∴==．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=1．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C1的参数方程（t为参数），利用cos2t+sin2t=1消去参数t化为普通方程．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立可得交点坐标，再化为极坐标即可得出．【解答】解：（1）曲线C1的参数方程（t为参数），消去参数t化为普通方程：（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，展开为：x2+y2﹣2x﹣2y﹣1=0．把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入可得极坐标方程：ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣1=0．（2）曲线C2的极坐标方程为ρ=1，化为直角坐标方程：x2+y2=1．联立，j解得，或，化为极坐标，．∴C1与C2交点的极坐标分别为：，．[选修4-5：不等式选讲]24．（1）设a≥b＞0，证明：3a3+2b3≥3a2b+2ab2；（2）已知|a|＜1，|b|＜1，证明|1﹣ab|＞|a﹣b|．【考点】绝对值三角不等式；不等式的证明．【分析】（1）直接利用作差法，再进行因式分解，分析证明即可．（2）直接利用作差法，结合平方、开方，然后分析证明即可．【解答】证明：（1）3a3+2b3﹣（3a2b+2ab2）=3a3﹣3a2b+2b3﹣2ab2=3a2（a﹣b）+2b2（b﹣a）=（3a2﹣2b2）（a﹣b）．因为a≥b＞0，所以a﹣b≥0，3a2﹣2b2≥0，从而（3a2﹣2b2）（a﹣b）≥0，即3a3+2b3≥3a2b+2ab2．（2）∵|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2=1+a2b2﹣a2﹣b2=（a2﹣1）（b2﹣1）．∵|a|＜1，|b|＜1，∴a2﹣1＜0，b2﹣1＜0．∴|1﹣ab|2﹣|a﹣b|2＞0，故有|1﹣ab|＞|a﹣b|．9月22日21 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四川省凉山州2023届高三下学期第二次诊断性考试数学(理)试卷(PDF版)
第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题,每题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.）1.已知复数z =3+2i 1+i，则z 的虚部是（）A.-12iB.-52iC.-12D.522.集合A ={x y =log (1-2x )｝，B =｛y y =2x ，x <1｝，则A ∩B =（）A.{x |x <12｝B.{x |0<x <12｝C.{x |x ≤12｝D.{x |0<x ≤12｝3.已知x ，y 满足约束条件x+y -1≥0x-y+1≥02x -y-2≤0⎧⎩⏐⏐⏐⏐⏐⎨⏐⏐⏐⏐⏐.则目标函数z =x+2y 的最小值是（）A.1B.2C.11D.无最小值4.C 0表示生物体内碳14的初始质量,经过t 年后碳14剩余质量C （t ）=C 0（12t >0，h 为碳14半衰期).现测得一古墓内某生物体内碳14含量为0.4C 0，据此推算该生物是距今约多少年前的生物(参考数据:lg2≈0.301).正确选项是（）A.1.36h B.1.34hC.1.32hD.1.30h5.执行如图所示程序框图，则输出的S 的值是（）A.45B.56C.67D.78凉山州2023届高中毕业班第二次诊断性检测数学（理科）本试卷分选择题和非选择题两部分.第Ⅰ卷（选择题），第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上，并检查条形码粘贴是否正确.2.选择题使用2B 铅笔涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3.考试结束后，将答题卡收回.数学（理科）试卷第1页（共4页）t h结束开始S =0n =1S =S +1n （n +1）n =n +1n >5否是输出S 2||6.小明买了4个大小相同颜色不同的冰墩墩（北京冬奥会吉祥物）随机放入3个不同袋子中，则每个袋子至少放入一个冰墩墩的概率是（）A.34B .227C .916 D.497.已知f （x ）是定义域为｛x x ≠0｝的偶函数且f （x ）=lnxx -1e2（x >0），则函数f （x ）零点个数是（）A.6 B.5 C.4 D.38.已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，点A (3,2)，点P 为该抛物线上一动点，则△PAF 周长的最小值是（）A.3+22√ B.3 C.4+22√ D.2+22√+23√9.在△ABC 中,角A ，B ，C 对边分别为a ,b ,c .命题p ∶1-tan 2A21+tan 2A2+b cos （A +C ）a =0,命题q ∶△A BC 为等腰三角形.则p 是q 的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件10.如图，在直角梯形PA BC 中，AB ∥PC ，∠C =π2，A B =BC =12PC =1，D 为PC 边中点，将△PAD 沿AD 边折到△QAD.连接QB ，QC 得到四棱锥Q-ABCD,记二面角Q-AD-C 的平面角为θ，下列说法中错误的是（）A.若θ=π2，则四棱锥Q-ABCD 外接球表面积3πB.无论θ为何值，在线段QB 上都存在唯一一点H 使得DH =1C.无论θ为何值，平面QBC ⊥平面QCD D.若θ=π3，则异面直线AC ，BQ 所成角的余弦值为1411.已知a =tan 20232022，b=e ，c=20232022，则a ,b ,c 大小关系是（）A.c <b<a B.a<c<b C.c<a<b D.b<c<a12.如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1棱长为2，点P 为正方形BCC 1B 1内(不含边界)一动点,∠BPC角平分线交BC 于点Q ，点P 在运动过程中始终满足BQ QC=2.①直线BC 1与点P 的轨迹无公共点;②存在点P 使得PB ⊥PC ;③三棱锥P-BCD 体积最大值为89;④点P 运动轨迹长为4π9.上述说法中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.4第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知(x +2x)的展开式中二项式系数和为32，则x 3项系数是____________.数学（理科）试卷第2页（共4页）12023n|14.已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1（a>0，b>0）的右焦点F （2,0）,点F 到该双曲线渐进线的距离为3√，则双曲线的离心率是____________.15.已知正实数a,b ，称v =a+b 2为a,b 的算术平均数，u =ab √为a,b 的几何平均数，H =23v +13u 为a,b 的希罗平均数.D 为△ABC 的BC 边上异于B ，C 的动点，点P 满AP 13AD AP =a 18AB +b 18AC ，则正数a ，b 的希罗平均数H 的最大值是____________.16.已知函数f （x ）=4sin x cos x -2sin 2x +2cos 2x +1,则下列说法中正确的是____________①f （x ）一条对称轴为x =π8；②将f （x ）图象向右平移π4个单位，再向下平移1个单位得到的新函数为奇函数；③若f （x 2）=5√+1，则tan x =4±15√；④若函数y =f （ωx 2）（ω>0）在区间[π3，π]上恰有2个极大值点，则实数ω的取值范围是[174，254).三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17.（本小题12分）已知对于任意n ∈N*函数f （x ）=x 2+2x 在点（n ，f （n ））处切线斜率为a n ，正项等比数列｛b n ｝的公比q ∈（0,1），且b 1b 5+2b 3b 5+b 2b 8=25，又b 3与b 5的等比中项为2.（1）)求数列｛a n ｝，｛b n ｝的通项公式；（2）求数列｛a n b n ｝的前n 项和S n .18.（本小题12分）如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,点E ，F 分别是BC ，A 1C 1中点，平面ABB 1A 1∩平面A EF=l.（1）证明：l ∥EF ；（2）若AB=A C =22√，平面A CC 1A 1⊥平面ABB 1A 1，且AB 1⊥EF ，求直线l 与平面A 1B 1E 所成角的余弦值.19.（本小题12分）2022年12月6日全国各地放开对新冠疫情的管控，在强大的祖国庇护下平稳抗疫三年的中国人民迎来了与新冠变异毒株奥密克戎的首次正面交锋.某市为了更好的了解全体中小学生感染新冠感冒后的情况,以便及时补充医疗资源.从全市中小学生中随机抽取了100名抗原检测为阳性的中小学生监测其健康状况，100名中小学生感染奥密克戎后的疼痛指数为X ，并以此为样本得到了如下图所示的表格：数学（理科）试卷第3页（共4页）′其中轻症感染者和重症感染者统称为有症状感染者。
2021年安徽省马鞍山市高考数学第二次教学(二模)质量监测试卷(理科)(解析版)
2021年安徽省马鞍山市高考数学第二次教学质量监测试卷（理科）（二模）一、选择题（每小题5分）.1．已知集合M＝{y|y＝﹣x2，x∈R}，N＝{x|﹣1＜x≤2}，则M∩N＝（）A．（﹣1，2]B．[0，2]C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）2．已知复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对称，且（2﹣i）z1＝|4﹣3i|，则z2＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i3．设a，b为两条直线，则a∥b的充要条件是（）A．a，b垂直于同一条直线B．a，b垂直于同一个平面C．a，b平行于同一个平面D．a，b与同一个平面所成角相等4．函数f（x）＝x cos x﹣在（﹣π，π）上的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知sin（﹣α）＝，则cos（+2α）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣6．若（x+）n的展开式中存在常数项，则n可以是（）A．8B．7C．6D．57．2020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、早涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y＝拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据：x2023252730z2 2.433 4.6由上表可得线性回归方程＝0.2x+a，则c1＝（）A．﹣2B．e﹣2 C．3D．e38．小明去文具店购买中性笔，现有黑色、红色、蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元．小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有（）A．10种B．15种C．21种D．28种9．我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效．蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成．经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为4mm，菱形边长约为4.242mm，则该菱形较小角的余弦值约为（）（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．0.333B．0.4C．0.5D．0.66710．已知△ABC中，∠ACB＝，，AC⊥CD，则sin A的值为（）A．B．C．D．11．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AF，BF的中点在y轴上的射影分别为点M，N，若△AFM与△BFN的面积之比为4，则直线AB的斜率为（）A．±1B．±C．±2D．±212．已知a＞0，b＞0，下列说法错误的是（）A．若0＜a＜b＜1，则B．若2ae a＝3be b，则a＞bC．a b+b a＞1恒成立D．∃a∈（0，1），使得ae﹣a＝二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量＝（1，），＝（3，λ），若∥（﹣），则实数λ的值为．14．设变量x，y满足，则目标函数z＝3x+2y的最小值为．15．曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为R＝a2b2．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为．16．球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式V＝，其中R为球的半径，h为球缺的高．若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝5，且a n+1a n＝4S n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为T n.若∀n∈N*，T n＜﹣m2+2m（m为奇数），求m 的值．18．如图，六面体ABCDEFG中，BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG，DG∥EF，ED＝DG＝GF ＝1，AB＝BC＝CA＝EF＝2．（1）求证：DF⊥平面ABED；（2）若二面角A﹣DG﹣E的余弦值为﹣，求点C到面BDF的距离．19．为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》．某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点、汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业．政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人．若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训．假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第i天选择汽修培训的概率是p i（i＝1，2，3，…，7）．（1）求p3；（2）证明：{p i﹣0.5}（i＝1，2，3，…，7）为等比数列；（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望（0.27近似看作0）．20．已知双曲线＝1（b≠1）的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，直线AP与双曲线的左支交于点B．（1）设O为坐标原点，求线段OP的长度；（2）求证：PF平分∠BFA．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x+a，其中a为常数．（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a≥时，求证：对∀x1＜x2，且x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，α∈[0，π）），且直线C2与曲线C1交于A，B两点．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）当|AB|最小时，求α的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+4|+|x|．（1）解不等式f（2x﹣1）≤6；（2）记函数f（x）的最小值为a，且m2+n2＝，其中m，n均为正实数，求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知集合M＝{y|y＝﹣x2，x∈R}，N＝{x|﹣1＜x≤2}，则M∩N＝（）A．（﹣1，2]B．[0，2]C．（﹣1，0]D．（﹣1，0）解：∵M＝{y|y≤0}，N＝{x|﹣1＜x≤2}，∴M∩N＝（﹣1，0]．故选：C．2．已知复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对称，且（2﹣i）z1＝|4﹣3i|，则z2＝（）A．﹣2﹣i B．﹣2+i C．2﹣i D．2+i解：因为（2﹣i）z1＝|4﹣3i|，所以，因为复数z1与z2在复平面内对应的点关于原点对称，所以z2＝﹣2﹣i．故选：A．3．设a，b为两条直线，则a∥b的充要条件是（）A．a，b垂直于同一条直线B．a，b垂直于同一个平面C．a，b平行于同一个平面D．a，b与同一个平面所成角相等解：A：若a，b都垂直同一直线，则a，b可能相交，平行，异面，故A错误，B：由a∥b，得a，b垂直于同一个平面，是充分条件，若a，b垂直于同一个平面，则a∥b，是必要条件，∴正B确，C：若a，b平行于同一平面，则a，b可能相交，平行，异面，故C错误，D：若a，b与同一平面所成角相等，则a，b可能相交，故D错误，故选：B．4．函数f（x）＝x cos x﹣在（﹣π，π）上的图象大致为（）A．B．C．D．解：因为函数f（x）＝x cos x﹣，所以f（﹣x）＝﹣x cos x+＝﹣（x cos x﹣）＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，故选项A，B错误；当x→0时，x cos x→0，﹣→﹣∞，故选项C错误，选项D正确．故选：D．5．已知sin（﹣α）＝，则cos（+2α）的值为（）A．B．C．﹣D．﹣解：∵sin（﹣α）＝，∴sin[﹣（+α）]＝cos（+α）＝，∴cos（+2α）＝2﹣1＝2×﹣1＝．故选：C．6．若（x+）n的展开式中存在常数项，则n可以是（）A．8B．7C．6D．5解：∵（x+）n的通项公式为T r+1＝•2r•，若展开式中存在常数项，则n﹣＝0能成立，即3n＝4r，r＝0，1，2，…n，∴n＝4，8，12，16，…，故选：A．7．2020年初，从非洲蔓延到东南亚的蝗虫灾害严重威胁了国际农业生产，影响了人民生活．世界性与区域性温度的异常、早涝频繁发生给蝗灾发生创造了机会．已知蝗虫的产卵量y与温度x的关系可以用模型y＝拟合，设z＝lny，其变换后得到一组数据：x2023252730z2 2.433 4.6由上表可得线性回归方程＝0.2x+a，则c1＝（）A．﹣2B．e﹣2 C．3D．e3解：由已知可得，，，代入＝0.2x+a，得a＝3﹣0.2×25＝﹣2，∴z＝lny＝ln（）＝c2x+lnc1，则lnc1＝﹣2，即．故选：B．8．小明去文具店购买中性笔，现有黑色、红色、蓝色三种中性笔可供选择，每支单价均为1元．小明只有6元钱，且全部用来买中性笔，则不同的选购方法有（）A．10种B．15种C．21种D．28种解：根据题意，小明只有6元钱且要求全部花完，则小明需要买6支中性笔，将6支中性笔看成6个相同的小球，原问题可以转化为将6个小球用2个相同的挡板分成3组，每组对应一种颜色的中性笔，6个小球、2个挡板共8个位置，在其中任选6个安排小球，剩下2个安排挡板，有C86＝28种；故选：D．9．我国的古代医学著作《神农本草经》中最早记录了蜜蜂蜂巢的药用功效．蜜蜂的蜂巢是由数千个蜂房组成的，如图是一个蜂房的结构示意图，它的几何结构是正六棱柱形，其一端是正六边形开口，另一端则由三个全等的菱形组成．经过测量，某蜂巢一个蜂房的正六边形的边长约为4mm，菱形边长约为4.242mm，则该菱形较小角的余弦值约为（）（参考数据：≈1.414，≈1.732）A．0.333B．0.4C．0.5D．0.667解：如图所示：EF∥AC且EF＝AC，在△EGF中，∠EGF＝120°，EG＝EF＝4，∴EF＝4，∵AB＝BC＝4.242，在△ABC中，cos∠ABC＝≈﹣0.333，所以菱形较小角的余弦值为0.333．故选：A．10．已知△ABC中，∠ACB＝，，AC⊥CD，则sin A的值为（）A．B．C．D．解：因为，所以D为AB的一个三等分点，且靠近B点，所以AD＝2BD，因为∠ACB＝，AC⊥CD，所以∠ACD＝，∠BCD＝，在△ACD中，由正弦定理可得＝，在△BCD中，由正弦定理可得＝，所以＝＝，即sin B＝sin A，又在△ABC中，A+B＝π﹣∠ACB＝，所以sin B＝sin（﹣A）＝cos A﹣sin A＝sin A，整理可得cos A＝sin A，即cos A＝3sin A，又sin2A+cos2A＝1，所以10sin2A＝1，解得sin A＝±，因为0＜A＜，所以sin A＝．故选：B．11．过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，线段AF，BF的中点在y轴上的射影分别为点M，N，若△AFM与△BFN的面积之比为4，则直线AB的斜率为（）A．±1B．±C．±2D．±2解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F为（，0），由于直线AB过点F，设直线AB的方程为y＝k（x﹣），∵△AFM∽△BFN，且＝4，∴|AF|＝2|BF|，由抛物线的性质可得，设直线AB的倾斜角为θ，则k AB＝tanθ，由抛物线的焦点弦推论可得：AF＝，所以，故cos，所以sin，则tanθ＝，当|AF|＞|BF|时，tan，故选：D．12．已知a＞0，b＞0，下列说法错误的是（）A．若0＜a＜b＜1，则B．若2ae a＝3be b，则a＞bC．a b+b a＞1恒成立D．∃a∈（0，1），使得ae﹣a＝解：对于A：0＜a＜b＜1，所以1﹣a＞1﹣b，因为b＞a，所以b1﹣a＞a1﹣b，所以，故A正确；对于B：设f（x）＝x•e x，则f′（x）＝（x+1）•e x，所以x∈（0，+∞）上单调递增，因为2ae a＝3be b，所以，所以ae a＞be b，所以a＞b，故B正确；对于C：已知a＞0，b＞0，所以，当且仅当a＝b时，等号成立，当0＜a＜1时，成立，故C正确；对于D：令y＝x•e﹣x，则y′＝e﹣x﹣x•e﹣x＝（1﹣x）•e﹣x，因为x∈（0，1），所以y＝x•e﹣x单调递增，则不存在ae﹣a＝，故D错误．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知平面向量＝（1，），＝（3，λ），若∥（﹣），则实数λ的值为．解：根据题意，向量＝（1，），＝（3，λ），则﹣＝（﹣2，﹣λ），若∥（﹣），则有﹣2＝﹣λ，解可得λ＝，故答案为：．14．设变量x，y满足，则目标函数z＝3x+2y的最小值为8．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，1），由z＝3x+2y，得y＝﹣，由图可知，当直线y＝﹣过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为8．故答案为：8．15．曲率半径可用来描述曲线上某点处曲线弯曲变化程度，曲率半径越大，则曲线在该点处的弯曲程度越小．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）上点P（x0，y0）处的曲率半径公式为R＝a2b2．若椭圆C上所有点相应的曲率半径的最大值是最小值的8倍，则椭圆C的离心率为．解：因为点P在椭圆上，则，即y，所以＝＝＝，因为x]，所以，则（），所以R，因为曲率半径最大值是最小值的8倍，所以，即a3＝8b3，所以a＝2b，则椭圆的离心率为e＝，故答案为：．16．球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺的体积公式V＝，其中R为球的半径，h为球缺的高．若一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，则该球与该正四棱锥的公共部分的体积为．解：如图，取BC的中点E，AC的中点F，ABCD的中心为O，连接OP，OE，OF，一球与一所有棱长为6的正四棱锥的各棱均相切，可得OP＝OC＝OA＝OB＝OD＝3，OE＝OF＝3，所以P﹣ABCD的球O的半径为3，△PBC是正三角形，边长为6，中心为G，连接PE，PG＝，EG＝＝，OG＝＝，所以球缺的高为：3，该球与该正四棱锥的公共部分的体积为：＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3＝5，且a n+1a n＝4S n﹣1（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记数列的前n项和为T n.若∀n∈N*，T n＜﹣m2+2m（m为奇数），求m 的值．解：（1）设数列{a n}的公差为d，令n＝2，则a2a3＝4S2﹣1，由a3＝5，得5（5﹣d）＝4（10﹣3d）﹣1，解得d＝2，所以a n＝2n﹣1．（2），可知恒成立，．又m是奇数，所以m＝1．18．如图，六面体ABCDEFG中，BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG，DG∥EF，ED＝DG＝GF ＝1，AB＝BC＝CA＝EF＝2．（1）求证：DF⊥平面ABED；（2）若二面角A﹣DG﹣E的余弦值为﹣，求点C到面BDF的距离．解：（1）证明：因为BE⊥面ABC且BE⊥面DEFG，所以DE⊥BE且AB⊥BE，于是，在面ABDE中，DE∥AB，同理，EF∥BC，所以∠DEF＝∠ABC＝60°，又EF＝2DE，所以DF⊥DE，由BE⊥面DEFG，知DF⊥BE，又因为ED∩BE＝E，所以DF⊥面ABED．（2）取AB中点O，由题可知，DE∥OB且DE＝OB，所以四边形OBED为平行四边形，所以OD∥BE，于是OD⊥面ABC，又△ABC为正三角形，所以OC，OA，OD两两垂直．以O为坐标原点，OC，OA，OD分别为x，y，z正半轴，建立空间直角坐标系O﹣xyz，设BE＝a（a＞0），则O（0，0，0），A（0，1，0），B（0，﹣1，0），C（，0，0），D（0，0，a），G（，a），F（，0，t），设面ADG的法向量为，则有，不妨设，得．又BE与面DEFG垂直，故面DEFG的法向量不妨设为，由，解得a＝2．设面BDF的法向量为，则有，不妨设y＝2，得．于是，点C到面BDF的距离．19．为保护长江流域渔业资源，2020年国家农业农村部发布《长江十年禁渔计划》．某市为了解决禁渔期渔民的生计问题，试点推出面点、汽修两种职业技能培训，一周内渔民可以每天自由选择其中一个进行职业培训，七天后确定具体职业．政府对提供培训的机构有不同的补贴政策：面点培训每天200元/人，汽修培训每天300元/人．若渔民甲当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训．假定渔民甲七天都参与全天培训，且第一天选择的是汽修培训，第i天选择汽修培训的概率是p i（i＝1，2，3，…，7）．（1）求p3；（2）证明：{p i﹣0.5}（i＝1，2，3，…，7）为等比数列；（3）试估算一周内政府渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望（0.27近似看作0）．解：（1）因为当天选择了某种职业培训，第二天他会有0.4的可能性换另一种职业培训，所以p1＝1，p2＝0.6，p3＝0.6×0.6+0.4×0.4＝0.52；（2）当第i﹣1天选择汽修培训时，第i天选择汽修培训的概率为0.6p i﹣1，当第i﹣1天选择面点培训时，第i天选择汽修培训的概率为0.4（1﹣p i﹣1），则p i＝0.6p i﹣1+0.4（1﹣p i﹣1）＝0.2p i﹣1+0.4，而p i﹣0.5＝0.2（p i﹣1﹣0.5），所以{p i﹣0.5}是以0.5为首项，0.2为公比的等比数列；（3）设第i天政府的补贴费为a i，则a i＝300p i+200（1﹣p i）＝100p i+200，而，所以，故一周内政府因渔民甲对培训机构补贴总费用的数学期望为a1+a2+…+a7＝≈1812.5元．20．已知双曲线＝1（b≠1）的左焦点为F，右顶点为A，过点F向双曲线的一条渐近线作垂线，垂足为P，直线AP与双曲线的左支交于点B．（1）设O为坐标原点，求线段OP的长度；（2）求证：PF平分∠BFA．【解答】（1）解：不妨设P在第二象限，则渐近线OP的方程为y＝﹣bx，于是直线PF 的方程为，联立得，于是，；（2）证明：设直线PF的倾斜角为θ，则，，又A（1，0），所以直线AP的斜率为，直线AP的方程为，与双曲线联立得：（c2+2c）x2+2x﹣（c2+2c+2）＝0，于是，，又F（﹣c，0），因此直线BF的斜率为，故PF平分∠BFA．21．已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2+（2a﹣1）x+a，其中a为常数．（1）当a＝0时，求f（x）的极值；（2）当a≥时，求证：对∀x1＜x2，且x1，x2∈（0，+∞），不等式恒成立．【解答】（1）解：当a＝0时，f（x）＝xlnx﹣x，f'（x）＝lnx，∴当x∈（0，1）时，f'（x）＜0，即f（x）在（0，1）上单调减；当x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，即f（x）在（1，+∞）上单调增．∴f（x）的极小值为f（1）＝﹣1，无极大值．（2）证明：根据题意，要证明对∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，等价于证明．设，由单调性的定义得要证明原不等式等价于证明在（0，+∞）上单调递减．即证在（0，+∞）上恒成立，即证，∵，∴，∴只需证明等价于证明．设，令，则t＞1，，只需证当t＞1时，g（t）≤0．因为，所以g（t）单调递减，所以g（t）＜g（1）＝0，故原不等式成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为θ＝α（ρ∈R，α∈[0，π）），且直线C2与曲线C1交于A，B两点．（1）求曲线C1的极坐标方程；（2）当|AB|最小时，求α的值．解：（1）由题，，故（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4，即x2+y2﹣2x﹣2y ﹣2＝0，则ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ﹣2＝0，即．（2）法一：设A（ρ1，α），B（ρ2，α），由（1），，ρ1⋅ρ2＝﹣2则，当且仅当时，|AB|最小，此时，（k∈Z）因为α∈[0，π），故．法二：设圆心C1到直线C2的距离为d，则，又，当且仅当OC1与直线C2垂直时等号成立，此时|AB|最小，因为，α∈[0，π），故．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+4|+|x|．（1）解不等式f（2x﹣1）≤6；（2）记函数f（x）的最小值为a，且m2+n2＝，其中m，n均为正实数，求证：．【解答】（1）解：令g（x）＝f（2x﹣1）＝|2x+3|+|2x﹣1|，①当时，g（x）＝﹣（2x+3）﹣（2x﹣1）＝﹣4x﹣2≤6⇒x≥﹣2，则，②当时，g（x）＝（2x+3）﹣（2x﹣1）＝4≤6，则，③当时，g（x）＝（2x+3）+（2x﹣1）＝4x+2≤6⇒x≤1，则，综上：不等式的解集为[﹣2，1]．（2）证明：因为f（x）＝|x+4|+|x|≥|x+4﹣x|＝4，则a＝4，m2+n2＝1，则，又1＝m2+n2≥2mn（当且仅当时取等号），则，则，故得证．。
陕西省渭南市2022年高三第二次教学质量检测 理科数学试题
(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；
(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；
(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.
6.下列说法中，正确的个数为（）
①将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，方差不变；
②设有一个线性同归方程 ，变量x增加1个单位时， 平均增加5个单位；
【9题答案】
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图还原为几何体的直观图，利用割补法和锥体的体积公式计算即可求出几何体的体积.
【详解】根据三视图可知，该多面体为正方体中的四棱锥 ，如图，
正方体棱长为2，所以该多面体的体积为 .
故选：C
10.若圆O： 上存在点P，直线 上存在点Q，使得 ，则实数k的取值范围为（）
∴ 为等边三角形，
设△APD外接圆半径为r，则根据正弦定理得， ，
如图所示，将四棱锥补为直三棱柱，则该直三棱柱的外接球即为四棱锥的外接球.
设直三棱柱ADP－BCE上下底面外接圆圆心为 、 ，
则 ＝AB＝3为直三棱柱的高，
则 中点O即为外接球球心，设外接球半径为R，
则如图在Rt△ 中， ，
∴四棱锥P—ABCD外接球的表面积为 .
显然夏至到大雪的日晷长依次排成一列是递增等差数列，首项为1.5尺，末项为12.5尺，共12项，
所以一年中夏至到大雪的日晷长的和为 (尺).
故答案为：84
15.写出一个同时满足以下三个条件的函数 ___________.
① 是偶函数；② 的值域为 ；③ 在 上递增
【15题答案】
【答案】 （答案不唯一）
【详解】设椭圆方程为 （ ）
黑龙江省大庆市大庆中学2022届高三第二次模拟数学(理)试题(原卷版)
A.3B.4C.5D.6
2.已知复数 ，则 的虚部是（）
A. B. C.1D.i
3.在空间中，已知命题 三个顶点到平面 的距离相等且不为零，命题 ：平面 平面 ，则 是 的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
4.已知数列{an}是首项为 ，公差为d的等差数列，前n项和为Sn，满足 ，则S9=（ ）
A. B. C. D.
6.已知平面向量 ， 满足 ， ，且 与 的夹角为 ，则 （）
A. B. C. D.3
7.设 ，若 ， ， ，则（）
A. B. C. D.
8.已知函数 ，若 ，则实数 的值为（）
A. B. C.1D.2
9.西安中学抗疫志愿者小分队中有3名男同学，2名女同学，现随机选派2名同学前往社区参加志愿服务活动，在已知抽取的1名志愿者是女同学的情况下，2名都是女同学的概率是（）
A.35B.40C.45D.50
5.在流行病学中，基本传染数是指每名感染者平均可传染的人数.当基本传染数高于1时，每个感染者平均会感染1个以上的人，从而导致感染这种疾病的人数呈指数级增长.当基本传染数持续低于1时，疫情才可能逐渐消散.接种新冠疫苗是预防新冠病毒感染､降低新冠肺炎发病率和重症率的有效手段.已知新冠病毒的基本传染数 ，若1个感染者在每个传染期会接触到 个新人，这 人中有 个人接种过疫苗（ 称为接种率），那么1个感染者新的传染人数为 ，为了有效控制新冠疫情（使1个感染者传染人数不超过1），我国疫苗的接种率至少为（）
A B. C. D.
10.已知 的展开式中所有项的系数之和为 ，则该展开式中 项的系数是（）
A. B. C. D.
2023年甘肃省兰州五十八中高考数学二模试卷(理科)+答案解析(附后)
2023年甘肃省兰州五十八中高考数学二模试卷（理科）1. 已知集合，，则( )A. B.C. D.2. 已知复数，则z的虚部为( )A. B. C. D.3. 已知向量满足，则( )A. 8B.C.D. 44. 在各项均为正数的等比数列中，，则的最大值是( )A. 4B. 8C. 16D. 325. 执行如图的程序框图，如果输入的，则输出的( )A. B. C. D.6. 要得到函数图象，只需把函数的图象( )A. 向右平移个单位B. 向左平移个单位C. 向右平移个单位D. 向左平移个单位7. 设m、n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则( )A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，，则D. 若，，，则8. 为庆祝党的二十大的胜利召开，某高校党委从所有的学生党员中随机抽取100名，举行“二十大”相关知识的竞赛活动，根据竞赛成绩，得到如表列联表.则下列说法正确的是( )优秀非优秀合计男203050女351550合计5545100参考公式及数据：，其中A. 有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”B. 有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”C. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别无关”D. 在犯错误的概率不超过的前提下，认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”9. 若直线与曲线恰有两个公共点，则a的取值范围是( )A. B.C. D.10. 中国古代某数学名著中有这样一个类似问题：“四百四十一里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见末日行里数，请公仔细算相还.”其意思为：有一个人一共走了441里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程是( )A. 7里B. 8里C. 9里D. 10里11. 已知函数恒有零点，则实数k的取值范围是( )A. B. C. D.12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，直线与C的左、右两支分别交于A，B两点，若四边形为矩形，则C的离心率为( )A. B. 3 C. D.13. 在的展开式中，的系数为60，则实数______ .14. 在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和为同一个常数，那么这个数列称为等和数列，这个常数称为该数列的公和.已知数列是等和数列，且，，则这个数列的前2022项的和为______ .15. 盲盒常指装有不同公仔手办，但消费者不能提前得知款式的盒装玩具，一般按系列贩售.它的随机性和一些隐藏款吸引着很多年轻人重复购买.小明购买了5个冰墩墩单只盲盒，拆开后发现有2个相同的“竹林春熙”以及“冰雪派对”、“青云出岫”、“如意东方”各1个.小明想将这5个摆件排成一排，要求相同的摆件不相邻.若相同摆件视为相同元素，则一共有______ 种摆放方法.16. 天干地支纪年法，源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2099年为己未年，那么3035年为______ 年.17. 若的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足求角A；若，求周长的取值范围.18. 随着社会的进步，科技的发展，越来越多的大学本科生希望通过保研或者考研进入更理想的大学进行研究生阶段的学习.某大学为了解准备保研或者考研的本科生每天课余学习时间，随机抽取了400名大学生进行调查，将收集到的学习时间单位：小时数据分成5组：学习时间均在内，得到如图所示的频率分布直方图.求m的值，并估计这400名大学生每天课余学习时间的平均值同一组中的数据用该组区间的中点值为代表；按分层抽样的方法从学习时间在和组中抽出8人，再从这8人中随机抽取3人，记X表示抽到的3人中学习时间在组中的人数，求X的分布列和数学期望.19. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是矩形，，，M为BC的中点.证明：求二面角的平面角的余弦值.20. 已知椭圆的短轴长为，离心率为求椭圆E的标准方程；若直线l与圆相切，与椭圆E交于不同的两点A，B，求的面积的最大值.21. 设a，b，，a，b，均不为零，且证明：；求的最小值.22. 在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为其中为参数以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为求直线l的直角坐标方程和曲线C的普通方程；设直线l与曲线C交于A，B两点，点P是曲线C上的一动点，求面积的最大值.答案和解析1.【答案】B【解析】解：因为，，所以故选：根据交集的定义计算即可．本题主要考查交集的运算，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：复数，故z的虚部为故选：直接根据虚部的概念求解即可．本题主要考查复数虚部的定义，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：因为，所以，又因为，所以，所以故选：根据模长，结合向量数量积的性质可求本题主要考查了向量数量积的性质的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：各项均为正数的等比数列中，由，则，所以，当且仅当时等号成立，故的最大值为故选：根据等比数列的性质得，再结合基本不等式即可求解．本题主要考查了等比数列的性质的应用，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：当输入的时，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，；，，，，输出，故选：根据框图结构利用循环语句求解．本题主要考查了程序框图和算法，属于基本知识的考查，比较基础．6.【答案】A【解析】解：因为，为了得到函数图象，只需把函数的图象向右平移个单位．故选：利用二倍角的正弦公式化简目标函数解析式，利用三角函数图象变换可得出结论．本题主要考查二倍角公式的应用，三角函数的图象变换，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：若，，则或或，故A错误．B.若，，则或或，故B错误．C.若，，，则，正确．D.若，，，则或或，故D错误．故选：C根据空间线线，线面，面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论．本题主要考查空间直线，平面之间的位置关系的判定，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．8.【答案】A【解析】解：因为的观测值，由临界值表知，有的把握认为“竞赛成绩是否优秀与性别有关”．故选：求得的观测值，再与临界值表对照下结论．本题主要考查了独立性检验的应用，属于基础题．9.【答案】B【解析】解：可化为且，即曲线是以为圆心，1为半径的圆的下半圆，作出曲线，如图，作直线，而直线与直线平行，当直线过时，，当直线与半圆相切时，由得舍去，由图象可知a的取值范围是故选：曲线方程变形得曲线为半圆，由直线与半圆相切得a的一个值，由直线过直径的一个端点又得一个a值，结合图象可得a的范围．本题主要考查了直线与圆位置关系的应用，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．10.【答案】A【解析】解：设第六天走的路程为，第五天走的路程为……第一天走的路程记为，根据题意每天走的路程为前一天的一半，所以公比，且，，所以，从而解得故选：由“每天走的路程为前一天的一半”可知这个人每天走的路程是等比数列，再根据等比数列求和公式得出答案．本题主要考查等比数列的前n项和公式，属于基础题．11.【答案】B【解析】解：函数的定义域为，求导得：，令，，则，即在上单调递增，，因此，当时，，当时，，则函数在上单调递增，在上单调递减，于是得当时，，函数的值域是而函数恒有零点，当且仅当，解得，所以实数k的取值范围是故选：求出函数的定义域，求出其导函数，进而求解出函数的值域，即可得到结论．本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点问题，是一道基础题．12.【答案】C【解析】解：显然直线与交于原点O，由双曲线对称性知，若四边形是矩形，则，设点，，而，由得，，解得，则，则，化简得，即，，解得，则故选：联立直线与C的方程，求出弦AB长，由求解即得．本题主要考查了双曲线的性质，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：的展开式的通项为，令，则，则在展开式中，的系数为，所以故答案为：求出二项展开式的通项，令x的指数等于2，求得r，再根据展开式中的系数为60，即可得出答案．本题主要考查了二项式定理的应用，属于基础题．14.【答案】6066【解析】解：设等和数列的公和为因为，所以，，，，…，所以，又，所以，所以故答案为：写成的通项公式，求出公和，再分组求和．本题主要考查数列的求和，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】36【解析】解：记2个相同的“竹林春熙”为A，“冰雪派对”为B，“青云出岫”为C，“如意东方”为D，要求相同的摆件不相邻．采用插空法，先摆放B，C，D，一共有种摆放方式，再将2个A插空放入，有种摆放方式，所以，一共有种摆放方式．故答案为：利用插空法计算即可．本题考查排列组合的简单应用，是中档题．16.【答案】乙未【解析】解：将天干按顺序依次排列，十个一组；将地支也一样排列十二个一组，由此可知天干地支纪年法以60年的最小公倍数为周期循环，不妨给十天干与十二地支依次标号：1，2……10；1，2……11，12，将甲子年记为，乙丑年……，则2099年可记为而，故……6，即，对应天干第二号2，即乙；……0，即地支仍是8号，即未．故答案为：乙未．分析天干与地支的相配原则可知天干地支纪年法以60为周期，依次将十天干、十二地支标序号，2099年可记为，而，由天干与地支的循环可算出对应第36年的天干与地支．本题主要考查了简单的合情推理，属于基础题．17.【答案】解：中，因为，由正弦定理得，由余弦定理得，由①②解得，又，所以；由，，根据正弦定理得，所以，，所以；又，所以，所以，所以周长的取值范围为【解析】利用正弦定理和余弦定理求得的值，从而求得A的值；由正弦定理求出b、c的表达式，再利用三角函数求的取值范围．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是中档题．18.【答案】解：根据频率分布直方图可得：，，这400名大学生每天课余学习时间的平均值为：小时；由题可知学习时间在和组的频率分别为，，按分层抽样的方法从学习时间在和组中抽出8人，其中有5名在内，3名在内，，1，2，3，又，，，，的分布列为：X 0123P【解析】根据各组数据频率之和为1即可求出图中m 的值，利用平均数计算公式即可求出结果；根据题意分析X 的可能取值为0，1，2，3，进而列出分布列求出结果．本题考查频率分布直方图的相关知识，离散型随机变量的分布列与期望的求解，属中档题．19.【答案】解：证明：以DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建系如图，则根据题意可得：，，，；设平面PAM 的法向量为，则，取，设平面PAB 的法向量为，则，取，，又由图可知：二面角的平面角为锐角，二面角的平面角的余弦值为【解析】建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积，向量垂直的性质，即可证明；建系，利用向量法，空间向量夹角公式，即可求解．本题考查利用向量法证明线线垂直，利用向量法求解二面角问题，向量夹角公式的应用，属中档题．20.【答案】解：由题意可得，解得，，故椭圆E的标准方程为：；圆的方程为，圆心为，半径为，①当直线l斜率不存在时，l的方程为或，直线与椭圆交点为，的面积为，根据对称性，直线时，的面积为；②当直线l斜率存在时，设直l方程为，由得，由，得，则，得，因为，所以，所以恒成立，设，，则，，所以，所以，令，则的面积为，令，令，，所以，因为，从而的面积的最大值为，综上，的面积的最大值为【解析】由题意可得，解方程即可得出答案；当直线l斜率不存在时，可得，当直线l斜率存在时，设直线l方程为，联立椭圆方程根据韦达定理及弦长公式可表示出，结合条件即得．本题主要考查椭圆的性质及标准方程，直线与椭圆的综合，考查运算求解能力，属于难题．21.【答案】证明：依题意，，且a，b，均不为零，则，所以解：因为，当且仅当，即，，时取等号，因此，所以的最小值为【解析】根据给定条件，利用三数和的完全平方公式变形，再结合放缩法证明作答．利用柯西不等式求解最小值作答．本题主要考查不等式的证明，柯西不等式的应用，考查逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．22.【答案】解：由得，所以直线l的直角坐标方程为，曲线C的参数方程为，消参得普通方程为；因为曲线C的圆心到直线l的距离，半径，所以，又点P到直线l距离的最大值为，所以面积的最大值为【解析】利用公式法，把极坐标方程转化为直角坐标方程；利用消参，把在参数方程化为普通方程；求出弦长，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式求出结果．本题主要考查了参数方程，极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．。
四川省大数据精准教学联盟2023届高三第二次统一监测数学(理)试题(含答案与解析)
四川省大数据精准教学联盟2023届高三第二次统一监测数学（理科）注意事项：1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、班级、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”.2．选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域答题的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效. 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数32i1i -+的虚部是（ ）A. 5-B. 52-C.52D. 52. 已知全集为实数集R ，集合{}260A x x x =+-≤，{}10B x x =+<，则()RA B =I ð（）A. (2,1)--B. (1,2]-C. [1,2]-D. [1,3]-3. 居民消费价格指数（Consumer Price Index ，简称CPI ）是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况．下图为我国2022年1月~2023年3月CPI 同比（与去年同月对比）涨跌幅统计图．下列分析中，最为恰当的一项是（ ） A. 各月CPI 同比涨跌幅的极差大于2.5% B. 各月CPI 同比涨跌幅的中位数为2.5%C. 2022年上半年CPI 同比涨跌幅的方差小于下半年CPI 同比涨跌幅的方差D. 今年第一季度各月CPI 同比涨跌幅的方差大于去年第一季度各月CPI 同比涨跌幅的方差4. 如图所示的网格中小正方形的边长均为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A. 9B. 18C. 27D. 545. 函数()()cos e ex xf x x -=--在[]22-,上的图象大致为（ ）A. B.C. D.6. 如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，若点D 是斜边AB 的中点，点P 是中线CD 上一点，且13AP AC AB λ=+，则λ=（ ）A. 1B.23C.12D.137. 若α为锐角，且π3cos 125α⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则πcos 3α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A.B.C.D. 8. 在数列{}n a 中，11a =，12n n a a n ++=，则{}n a 的通项公式为（ ） A n a n =B. ,,1,n n n a n n ⎧=⎨-⎩为奇数为偶数C. ,,1,n n n a n n ⎧=⎨+⎩为奇数为偶数D. 1,,1,n n n a n n -⎧=⎨+⎩为奇数为偶数9. 已知三棱锥-P ABC 各顶点均在以PA 为直径的球面上，4PA =，ABC 是正三角形，则该三棱锥体积的最大值为（ ） A.32B.83C.163D. 810. 抛物线有一条重要的光学性质：从焦点出发的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线2:2(0)C y px p =>，一条光线从点(4,2)P 沿平行于x 轴的方向射出，与抛物线相交于点M ，经点M 反射后与C 交于另一点N ．若34OM ON ⋅=- ，则MON △的面积为（ ）A.58B.54C.32D.5211. “勾股树”，也被称为毕达哥拉斯树，是根据勾股定理所画出来的一个可以无限重复的树形图形．如图所示，以正方形ABCD 的一边为直角三角形的斜边向外作一个等腰直角三角形，再以等腰直角三角形的两直角边为正方形的边长向外作两个正方形，如此继续，若共得到127个正方形，且8AB =，则这127个正方形的周长之和为（ ）A. 480+B. 224+C. 60+D. 56+12. 若()22e e ln (0)xx a x x x a +≥->，则a 取值范围为（ ） A. (20,e ⎤⎦B. 2e 0,2⎛⎤⎥⎝⎦C. 21,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 21e ,e 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.的二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 若x ，y 满足约束条件321x y x y x +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为________．14. 已知点1F 、2F 分别为双曲线()2222:10,0x yC a b a b-=>>左、右焦点，点A 是双曲线C 的一条渐近线上一点，且12F A F A ⊥．若12F AF2，则双曲线C 的离心率为________． 15. 为迎接大运盛会，全力争创全国文明典范城市，全面提升城市文明程度和市民文明素养现从“小区（院落）、市政基础设施、背街小巷、农贸（集贸、批发）市场、交通秩序、市民文明素养”等6项提升行动中任选3项深度调研，则选出的3项中有“市民文明素养”且没有“背街小巷”的概率是________． 16. 已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若(12)f x -，1(2)2x f x -+都为偶函数，则1011()k f k ='=∑________．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.在①cos sin a b C B =+；②3c =这两个条件中任选一个作为已知条件，补充在下面的横线上，并给出解答．注：若选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．已知ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，点D 为BC边的中点，b AD ==，且________．（1）求a 的值；（2）若ABC ∠平分线交AC 于点E ，求BCE 的周长．18. 如图所示，直角梯形ABDE 和三角形ABC 所在平面互相垂直，DB AB ⊥，ED AB ∥，222AB DE BD ===，AC BC =，异面直线DE 与AC 所成角为45︒，点F ，G 分别为CE ，BC 的中点，点H 是线段EG 靠近点G 的三等分点．的的（1）求证：A B F H ,,,四点共面； （2）求二面角H CD B --的余弦值．19. 中国茶文化源远流长，历久弥新，生生不息，某学校高中一年级某社团为了解人们喝茶习惯，利用课余时间随机对400个人进行了调查了解，得到如下列联表： 不经常喝茶 经常喝茶 合计 男 50 200 250 女 50 100 150 合计 100300400（1）通过计算判断，有没有99%的把握认为是否“经常喝茶”与性别有关系？（2）中国茶叶种类繁多，按照茶的色泽与加工方法，通常可分为红茶、绿茶、青茶、黄茶、黑茶、白茶六大茶类，每个茶类包括较多品种，现分别在绿茶与青茶中各选取了2个品种茶，甲在仅知道其所属茶类的情况下，品茶并识别茶叶具体品种，已知甲准确说出绿茶各品种的概率为23，准确说出青茶各品种的概率为12，品鉴每个品种的结果互不影响．记“甲准确说出茶叶品种数”为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望． 附表及公式： ()20P K k ≥0.15 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.84166357.87910.828其中22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>，A ，B 分别为椭圆的左、右顶点，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，点M 是以AB 为直径的圆上除去A ，B 的任意一点，直线AM 交椭圆C 于另一点N ．点N 关于x 轴的对称点为点Q ．当点N 为椭圆C 的短轴端点时，原点O 到直线2NF 的距离为1． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）求AQ BM ⋅的最小值．21. 已知函数21()e 2xf x ax x =--． （1）若()f x 单调递增，求a 的值；.（2）判断3(13)(11)121n⎛⎫+++⎪-⎝⎭（*N n ∈且2n ≥）与5e 的大小，并说明理由． （二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4—4：坐标系与参数方程]22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），[)0,πα∈．以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （1）求2C 的直角坐标方程；（2）已知点(1,1)P ，设1C 与2C 的交点为A ，B ．当22111PAPB+=时，求1C 的极坐标方程．[选修4—5：不等式选讲]23. 已知a ，b ，c 为正数，且3a b c ++=．（1）是否存在a ，b ，c ，使得2224(0,4)a b c ++∈若存在，求a ，b ，c 的值；若不存在，说明理由． （21+≥．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数32i1i -+的虚部是（ ）A. 5-B. 52-C.52D. 5【答案】B 【解析】【分析】利复数的除法法则及复数的概念即可求解.【详解】()()()()2232i 1i 32i 33i 2i 2i 15i 15i 1i 1i 1i 1i 222-⨯----+-====-++⨯--， 所以复数32i1i -+的虚部是52-. 故选：B.2. 已知全集为实数集R ，集合{}260A x x x =+-≤，{}10B x x =+<，则()RA B =I ð（）A. (2,1)--B. (1,2]-C. [1,2]-D. [1,3]-【答案】C 【解析】【分析】先求出集合,A B ，然后直接运用集合的交、补运算即可得结果.【详解】因为{}{}260|32A x x x x x =+-≤=-≤≤，{}{}10|1B x x x x =+<=<-，所以{}|1B x x =≥-R ð，(){}|12[1,2]A B x x =-≤≤=-R ð. 故选：C.3. 居民消费价格指数（Consumer Price Index ，简称CPI ）是度量居民生活消费品和服务价格水平随着时间变动的相对数，综合反映居民购买的生活消费品和服务价格水平的变动情况．下图为我国2022年1月~2023年3月CPI 同比（与去年同月对比）涨跌幅统计图．下列分析中，最为恰当的一项是（ ） A. 各月CPI 同比涨跌幅的极差大于2.5% B. 各月CPI 同比涨跌幅的中位数为2.5%C. 2022年上半年CPI 同比涨跌幅的方差小于下半年CPI 同比涨跌幅的方差D. 今年第一季度各月CPI 同比涨跌幅的方差大于去年第一季度各月CPI 同比涨跌幅的方差 【答案】D 【解析】【分析】根据统计图，判断极差范围，可判断A ；结合中位数概念可判断B ；根据统计图判断涨跌幅的变化幅度的大小，可判断C ，D.【详解】由统计图可知各月CPI 同比涨跌幅的最小值大于0.5%，最大值小于3%， 故极差不超过2.5%，A 错误；各月CPI 同比涨跌幅的中位数为将这15个数据从小到大排列的第8个数。
南海中学分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(2)试卷
南海中分校2014届高三第二学期理科数学每周一测(2)考试时间:2013年02月23日(星期日)晚上18:30～20:40★祝同学们考试顺利★本试卷共4页,20小题,满分150分.考试用时120分钟. 注意事项：1.答卷前,请填写好答题卡与答题卷上的个人信息——班级、学号以及姓名.2.考生必须保持答题卷的整洁.7:20收答题卡,8:30收答题卷.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}2,0,2,4A =-,{}2|230B x x x =--<，则A B = （ ）{}.0A {}.2B {}2,0.C {}4,2,0.D2．已知a 是实数，i1ia +-是纯虚数，则a 等于（ ） A. 1 B.1-D. 3. 函数)43(sin 212π--=x y 是（ ） A ．最小正周期为π的奇函数 B ．最小正周期为π的偶函数 C ．最小正周期为2π的奇函数 D ．最小正周期为2π的偶函数4.“||||||a b a b -=+” 是“0ab <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分又不必要条件5. 已知椭圆与双曲线221412x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于( ) A.35 B. 45 C. 54 D. 34 6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．3 7. 等比数列{}n a 共有奇数项，所有奇数项和255S =奇，所有偶数项和126S =-偶，末项是19，则首项1()a =A 、1B 、2C 、3D 、4 8. 对定义域为D 的函数，若存在距离为d 的两条平行直线侧视图ODCBA11l kx m =+和22l kx m =+，使得当x D ∈时，12()kx m f x kx m +≤≤+恒成立，则称函数()f x 在（x D ∈）有一个宽度为d 的通道。
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崇义中学2019届高三理科数学周测2试卷
组卷：黄平海审题：刘文亮
第I卷
一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 若（为虚数单位），则复数（）
A. B. C. D.
2. 设集合，，，则中的元素个数为（）
A. B. C. D.
3. 已知命题直线过不同两点、,命题直线的方程为
，则命题是命题的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
4. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五只鹿.欲以爵次分之，问各得几何？”其译文是“现有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿，要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿？”已知上造分只鹿，则公士所得鹿数为（）
A. 只
B. 只
C. 只
D. 只
5. 函数的减区间为（）
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（）
A. B. C. D.
7. 如图所示的程序框图,则满足的输出有序
实数对的概率为（）
A. B. C. D.
8. 已知关于的方程在
区间上有两个根，且，则实数
的取值范围是（）
A. B. C. D.
9. 已知一个三棱锥的三视图如图所示，主视图和
俯视图都是直角梯形，左视图是正方形，则该几
何体最长的棱长为（）
A. B. C. D.
10. 已知一袋中有标有号码、、的卡片各一张，每次从
中取出一张，记下号码后放回，当三种号码的卡片全部取
出时即停止，则恰好取次卡片时停止的概率为（）
A. B. C. D.
11. 已知向量、、为平面向量，，且使
得与所成夹角为.则的最大值为（）
A. B. C. D.
12. 已知函数（），，对任意的，关于的方程在有两个不同的实数根，则实数的取值范围(其中为自然对数的底数)为（）
A. B. C. D.
第II卷
二、填空题：本题共5个小题，每小题5分，共25分．
13. 多项式的展开式中常数项是_____________．
14. 若实数满足，则的最小值为 _____________
15. 设是过抛物线焦点的弦，其垂直平分线交轴于点，设，则的值是________
16. 在中，点、在边上，满足.若，，则的面积为________
三、解答题：本题共6小题，共75分，解答题应写出文字说明、证明过程和演算步骤．
17. 已知等差数列的公差，其前项和为，且，，成等比数列. （1）求数列的通项公式；
（2）若，数列的前项和为，求证：.
18. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，
.
（1）求证：平面平面；
（2）若，试判断棱上是否存在与点不重
合的点，使得直线与平面所成角的正弦值为，若
存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
19. 为创建文明城市，我市从年开始建立红黑榜，激励先进，鞭策后进，全力推进文明城市创建工作.为了更好地促进该项工作，我市“文明办”对全市市民抽样，进行了一次创建文明城市相关知识的问卷调查(一位市民只能参加一次).通过随机抽样，得到参加问卷调查的人的得分(满分100分)统计结果如下表所示.
组别
频数
（1）根据频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分服从正态分布，近似为这1000人得分的平均值(同一组数据用该组数据区间的中点值表示)，请用正态分布的知识求；
（2）在（1）的条件下,市“文明办”决定按如下的方案对参与调查的市民进行奖励: （ⅰ）得分不低于的可以获得2次抽奖机会，得分低于的可以获得1次抽奖机会；（ⅱ）每次抽奖所获奖券和对应的概率为：
中奖的奖券面值（单元：元）
现有市民甲要参加此次问卷调查，记 (单位：元)为该市民参加问卷调查所获得的所有奖券面值和,求的分布列与数学期望.
附：参考数据与公式
，若，则①；
②；③.
20. 已知椭圆：的离心率为，短轴为.点满足.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得
为定值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
21. 已知，.
(1)证明：；
(2)若时，恒成立，求实数的取值范围.
选做题（请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果全做，则按所做的第一题评分，作答时请写清题号）
22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，）以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（）.
（1）求曲线、的直角坐标方程.
（2）若、分别为、上的动点，且、间距离的最小值为，求实数的值.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知函数.
(Ⅰ)若不等式对恒成立，求实数的取值范围；
(Ⅱ)当时，函数的最小值为,求实数的值.
崇义中学2019届高三理科数学周测2答案
一、BCCCD ADBDB AC
二、13. 672 14. -3 15. 16.
三、17.（1）由得，，
因为成等比数列，所以，
即，
整理得，即，
因为，所以，
所以.
（2）由（1）可得，
所以，
所以，
所以.
18.（1）因为四边形是平行四边形，，所以，又，所以，所以，
又，且，所以平面，
因为平面，所以平面平面.
（2）由（1）知平面，分别以所在直线为轴、轴，平面内过点且与直线垂直的直线为轴，建立空间直角坐标系，则，
由，，可得，
所以，
假设棱上存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为，
设，
则，，
设平面的法向量为，
则,即，令，可得，
所以平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，则:
，
解得或者（舍）.
所以存在，使得直线与平面所成角的正弦值为.
19.（1）.故，，
∴，
.
∴.
综上，. （2）易知，
获奖券面值的可能取值为，，，.
；；
；
.
的分布列为：∴.
20.（1），
所以从而的方程为.
（2）当不为轴时，设：，、.
联立与的方程可得，
所以，，
. 因为为定值，所以，
解得.此时定值为.
当为轴时，，.. 综上，存在，使得为定值.
21.（1）设，则，
故在上单调递减，在上单调递增.
从而.
而当时，.
（2）设，则，
.
要求在上恒成立必须有.即.
以下证明：当时.
只要证，
只要证在上恒成立.
令，则对恒成立，
又，所以.从而不等式得证.
22.（1）消去参数可得的直角坐标方程为，
的方程即：，即，
则直角坐标方程为：.
（2）设，，
则到的距离，. 由、间距离的最小值为知：
当时，得；
当时，，得.
综上：或者.
23. (Ⅰ)可化为．
解得：或．实数的取值范围为
（Ⅱ）函数的零点为和，当时
如图可知在单调递减，在单调递增，
解得：。