北京一模 题代数综合及答案
2024北京朝阳区初三一模数学试卷和答案
2024北京朝阳初三一模数 学考生须知1．本试卷共6页，共三道大题， 28道小题， 满分100分．考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上认真填写学校名称、班级、姓名和考号．3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上， 在试卷上作答无效．4．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答．5．考试结束， 请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回．一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1. 2024年1月21日北京市第十六届人民代表大会第二次会议开幕，在政府工作报告中提到，2023年北京向天津、河北输出技术合同成交额74870000000元，将74870000000用科学记数法表示应为（ ）A. 974.8710⨯ B. 107.48710⨯ C. 97.48710⨯ D. 110.748710⨯2. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3. 如图，直线AB ，CD 相交于点O ，若50AOC ∠=︒，15DOE ∠=︒，则∠BOE 的度数为（ ）A. 15︒B. 30︒C. 35︒D. 65︒4. 如果一个几何体的三视图都是矩形，那么这个几何体可能是（ ）A. 三棱柱B. 长方体C. 圆柱D. 圆锥5. 若a b <，则下列结论正确的是（ ）A. a b-<- B. 2a a b<+ C. 11a b-<- D. 2121a b +>+6. 正十边形的内角和为（ ）A. 144︒B. 360︒C. 1440︒D. 1800︒7. 掷一枚质地均匀的骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，向上一面的点数为5的概率是（ ）A.23B. 12C.13D.168. 如图，四边形ABCD 是正方形， 点E F ，分别在AB BC ，的延长线上， 且BE CF =，设AD a AE b AF c ===，，． 给出下面三个结论：①a b c +>；②22ab c <；2a >．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ）A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题 （共16分，每题2分）9. x 的取值范围是______．10. 分解因式：3x 2+6xy+3y 2＝_____．11. 方程21345x x =-的解为______．12. 关于x 的一元二次方程250x x m ++=有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是_____．13. 某种植户种植了1000棵新品种果树，为了解这1000棵果树的水果产量，随机抽取了50棵进行统计，获取了它们的水果产量（单位：千克），数据整理如下：水果产量50x <5075x ≤<75100x ≤<100125x ≤<125x ≥果树棵数11520122根据以上数据，估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为_____．14. 在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点C 处的镜子中看到教学楼的顶部D 时，测得小南的眼睛与地面的距离 1.6m AB =，同时测得 2.4m BC =，9.6m CE =，则教学楼高度DE =_____m ．15. 如图，O 是Rt ABC △的外接圆，OE AB ⊥于点D ，交O 于点E ，若8AB =，2DE =，则BC 的长为_____．16. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作A B C D 、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲9568乙7793（1）如果按照A B C D →→→的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为_______分钟；（2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是_______．三、解答题（共68分， 第17-19题， 每题5分， 第20-21题， 每题6分， 第22-23题， 每题5分，第24题6分， 第25题5分， 第26题6分， 第27-28题， 每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17. ()012π2sin45--︒18. 解不等式组：()2431432x x x x ⎧-<-⎪⎨--<⎪⎩，．19. 已知220x y ++=，求代数式 2422yxx x x y ⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭的值．20. 如图，在ABCD Y 中，AB AC =，过点D 作AC 的平行线与BA 的延长线相交于点 E ．（1）求证： 四边形ACDE 是菱形；（2）连接CE ，若5tan 2AB B ==，，求CE 的长．21. 燕几（即宴几）是世界上最早的一套组合桌，设计者是北宋进士黄伯思．全套燕几一共有七张桌子，每张桌子高度相同．其桌面共有三种尺寸，包括2张长桌、2张中桌和3张小桌，它们的宽都相同．七张桌面可以拼成一个大的长方形，或者分开组合成不同的图形，其方式丰富多样，燕几也被认为是现代七巧板的前身．右图给出了《燕几图》中列出的名称为“函三”和“回文”的两种桌面拼合方式．若全套七张桌子桌面的总面积为61.25平方尺，则长桌的长为多少尺？22. 在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数()0y mx m =≠的图象和反比例函数 ()0ky k x=≠的图象都经过点()24A ，．（1）求该正比例函数和反比例函数的解析式；（2）当3x >时， 对于x 的每一个值， 函数()0y mx n m =+≠的值都大于反比例函数 ()0k y k x=≠的值，直接写出n 的取值范围．23. 某广场用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度 （单位：cm ），数据整理如下：a ．两批月季花树高度的频数： 131135136140144148149第一批13422第二批12351b ．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数（结果保留整数）： 平均数中位数众数第一批140140n 第二批141m144（1）写出表中m ，n 的值；（2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是 （填“第一批”或“第二批”）；（3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为135cm 和149cm 的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是 cm 和 cm ．24. 如图，AB 是O 的直径，点C 在O 上，D 是 BC的中点，AD 的延长线与过点B 的切线交于点E ，AD 与BC 的交点为F ．（1）求证：BE BF =；（2）若O 的半径是2，3BE =，求AF 的长．25. 某款电热水壶有两种工作模式：煮沸模式和保温模式，在煮沸模式下将水加热至100C ︒后自动进入保温模式，此时电热水壶开始检测壶中水温，若水温高于50C ︒水壶不加热；若水温降至50C ︒，水壶开始加热，水温达到100C ︒时停止加热……此后一直在保温模式下循环工作．某数学小组对壶中水量a （单位：L ），水温T （单位： C ︒）与时间t （单位：分）进行了观测和记录，以下为该小组记录的部分数据．表1从20C ︒开始加热至100C ︒水量与时间对照表a0.51 1.522.53t4.5811.51518.522表2 1L 水从20C ︒开始加热，水温与时间对照表煮沸模式保温模式t036m 101214161820222426…T 205080100898072666055505560对以上实验数据进行分析后，该小组发现，水壶中水量为1L 时，无论在煮沸模式还是在保温模式下，只要水壶开始加热，壶中水温T 就是加热时间t 的一次函数．（1）写出表中m 的值；（2）根据表2中的数据，补充完成以下内容：①在下图中补全水温与时间的函数图象；②当60t =时，T = ；（3）假设降温过程中，壶中水温与时间的函数关系和水量多少无关．某天小明距离出门仅有30分钟，他往水壶中注入2.5L 温度为 20C ︒的水，当水加热至100C ︒后立即关闭电源．出门前，他 （填“能”或“不能”）喝到低于50C ︒的水．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线 ()20y ax bx a =+>上有两点()()1122,,x y x y ，， 它的对称轴为直线x t =．（1）若该抛物线经过点()40，，求t 的值；（2）当()101x <<时，①若1t >， 则1y 0； （填“>”“=”或“<” ）②若对于122x x +=，都有120y y >，求t 的取值范围．27. 如图，在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，E 是CD 边上一点（不与点C ，D 重合）．将线段AE 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AF ，连接DF ，连接BF 交AC 于点G ．（1）依据题意，补全图形；（2）求证：GB GF =；（3）用等式表示线段BC ，CE ，BG 之间的数量关系．28. 在平面直角坐标系xOy 中，O 的半径为1，对于直线l 和线段PQ ，给出如下定义：若线段PQ 关于直线l 的对称图形是O 的弦P Q ''（P '，Q '分别为P ，Q 的对应点），则称线段PQ 是O 关于直线l 的“对称弦”（1）如图，点1A ，2A ，3A ，1B ，2B ，3B 的横、纵坐标都是整数．线段11A B ，22A B ，33A B 中，是O 关于直线1y x =+的“对称弦”的是 ；（2）CD 是O 关于直线()0y kx k =≠的“对称弦”，若点C 的坐标为()1,0-，且1CD =，求点D 的坐标；（3）已知直线y x b =-+和点(3,M ，若线段MN 是O 关于直线y b =-+的“对称弦”，且1MN =，直接写出b 的值．参考答案一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，其中符合题意的选项只有一个．1. 【答案】B【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为10n a ⨯的形式，其中110a ≤<，n 为整数，解题的关键要正确确定a 的值以及n 的值．【详解】解：10748700000007.48710=⨯；故选：B ．2. 【答案】D【分析】本题考查了中心对称图形以及轴对称图形，根据中心对称图形是指图形绕着某个点旋转180°能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合；逐项分析即可得出答案．【详解】解：A 、正三角形是轴对称图形不是中心对称图形，A 不符合题意；B 、等腰直角三角形是轴对称图形不是中心对称图形，B 不符合题意；C 、正五边形是轴对称图形不是中心对称图形，C 不符合题意；D 、正六边形既是轴对称图形又是中心对称图形，D 符合题意；故选：D ．3. 【答案】C【分析】本题考查了对顶角相等，角的运算；根据对顶角的性质得50BOD AOC ∠=∠=︒，根据BOE BOD DOE ∠=∠-∠即可求解．【详解】解：∵直线AB ，CD 相交于点O ，50AOC ∠=︒，∴50BOD AOC ∠=∠=︒，∵15DOE ∠=︒，∴501535BOE BOD DOE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故选：C ．4. 【答案】B【分析】本题考查了简单几何图的三视图，根据几何体的三视图逐项判断即可求解．【详解】解：三棱柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项A 不符合题意；长方体的三视图都是矩形，故选项B 符合题意；圆柱的两个底面是三角形，所以不可能三视图都是矩形，故选项C 不符合题意；正立的圆锥的主视图和左视图都是等腰三角形，俯视图是带圆心的圆，故选项D 不符合题意．故选：B ．5. 【答案】B【分析】本题主要考查不等式的基本性质，解题的关键是根据不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变逐项判定．【详解】解：A 、若a b <，则a b ->-，故不合题意；B 、若a b <，则2a a b <+，故符合题意；C 、若a b <，则11a b ->-，故不合题意；D 、若a b <，则2121a b +<+，故不合题意，故选：B ．6. 【答案】C【分析】本题主要考查多边形的内角和，解题的关键是利用多边形的内角和公式进行计算即可．【详解】解：正十边形的内角和为180(102)︒⨯-1808=︒⨯1440=︒．故选C ．7. 【答案】D【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据概率公式求解，随机事件A 的概率()P A =事件A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．【详解】解：∵骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，∴向上一面的点数为5的概率是16，故选：D ．8. 【答案】A【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，证明DAE BAF △≌△，结合三角形的三边关系判断①；完全平方公式结合勾股定理判定②；勾股定理判断③．【详解】解：∵正方形ABCD ，∴,90AD AB BC DAB ABC ==∠=∠=︒，∵BE CF =，∴AE BF =，∴DAE BAF △≌△，∴AF DE c ==，∵AD AE DE +>，∴a b c +>；故①正确；∵222AD AE DE +=，即：222+=a b c ，∴()2222220b a a ab b c ab -=-+=->，∴22ab c <；故②正确；c =，且,E F 为动点，∴无法确定c 和2a 的关系，故③错误；故选A ．二、填空题 （共16分，每题2分）9. 【答案】14x ≥【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，根据被开方数不小于零列出不等式，解不等式即可．∴140x -≥，解得：14x ≥．故答案为：14x ≥．10. 【答案】3（x+y ）2．【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．【详解】3x 2+6xy +3y 2=3（x 2+2xy +y 2）=3（x +y ）2．故答案为3（x +y ）2．【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．11. 【答案】2x =【分析】本题考查了解分式方程，根据去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解方程，然后检验即可得出答案．【详解】解：21345x x =-去分母得：()2453x x -=，去括号得：8103x x -=，移项得：8310x x -=，合并同类项得：510x =，系数化为1得：2x =．检验：当2x =时，()3450x x -≠，∴原分式方程的解为2x =．故答案为：2x =．12. 【答案】254m <【分析】根据有两个不相等的实数根，直接得到判别式＞0，即可求解本题．【详解】解：∵方程250x x m ++=有两个不相等的实数根，∴25410＞∆=-⨯⨯m ，解得：254m <；故答案为：254m <．【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根．13. 【答案】680【分析】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．用1000乘以水果产量不低于75千克的果树的百分比即可求解．【详解】解：估计这1000棵果树中水果产量不低于75千克的果树棵数为20122100068050++⨯=（棵）．故答案为：680．14. 【答案】6.4【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据相似三角形的判定和性质列出比例式，即可求解．【详解】解：由题意可知，AB DE ∥，∴ABC DEC ∽△△，∴AB BCDE CE=，即1.62.49.6DE =，解得 6.4DE =，则教学楼高度 6.4m DE =，故答案为：6.4．15. 【答案】6【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理和中位线定理，由垂径定理得142AD BD AB ===，90ADO BDO ∠=∠=︒，则可得OD 是ABC 的中位线，设半径为r ，由勾股定理得222OA OD AD =+，求出=5r 即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．【详解】解：∵OE AB ⊥，∴142AD BD AB ===，90ADO BDO ∠=∠=︒，∵OA OC =，∴OD 是ABC 的中位线，∴12OD BC =，即2BC OD =，设半径为r ，则2OD OE DE r =-=-，在Rt AOD 中，由勾股定理得：222OA OD AD =+，∴()22224r r =-+，解得=5r ，∴23OD r =-=，∴26BC OD ==．16. 【答案】 ①. 35 ②. B C A D→→→【分析】本题主要考查最优化时间的使用的有理数加减运算，()1根据甲乙各自的拼装和上色所需时间进行分解，求出对应的用时再求得总时长即可；()2由于甲乙开始都需要时间，为甲选择B ，再结合各自所需时间排序即可．【详解】解：（1）甲先拼装A 需9分钟，乙开始上色A ，与此同时甲可以拼装B 和2分钟的C ，乙给B 上色时，甲可以继续拼装C 和3分钟D ，乙为C 上色5分钟时甲可以完成D 的拼装，此时乙还需要4分钟为C 上色，接着为D 上色3分钟，时间分解如图，（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间）故总时长最少为97754335+++++=分钟，故答案为35；（2）甲先拼装B 需5分钟，乙开始上色B ，与此同时甲可以拼装C 和1分钟的A ，乙给C 上色时，甲可以继续拼装A 和1分钟D ，乙为A 上色7分钟时甲可以完成D 的拼装，此时乙还需要3分钟为D 上色，时间分解如图，选择B C A D →→→这种方案即可用时最少．（其中字母表示制作的游戏道具，数字表示相应的时间）故答案为B C A D→→→．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．17.【答案】【分析】此题主要考查了实数运算，解题的关键是直接利用二次根式的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零整数指数幂的性质分别化简得出答案．()012π2sin45+---︒112=-+-11=+-+=18. 【答案】12x-<<【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．【详解】解：()2431432x xxx⎧-<-⎪⎨--<⎪⎩①②，解不等式①得，1x>-，解不等式②得，2x<，∴不等式组的解集为12x-<<．19. 【答案】24x y+，4-【分析】本题考查了分式的化简求值，先根据分式的混合运算化简所求式子，再根据220x y++=，可以得到22+=-x y，代入化简后的式子计算即可．【详解】解：2422y xxx x y⎛⎫-⋅⎪-⎝⎭22422x y x x x y -=⋅-()()2222x y x y xxx y-+=⋅-()22x y =+24x y =+，∵220x y ++=，∴22+=-x y ，∴原式()()22422x y ==⨯-=-+．20. 【答案】（1）见解析 （2）【分析】（1）由平行四边形的性质得AB CD =，AB CD ∥，再证明四边形ACDE 是平行四边形，进而证明CD AC =，然后由菱形的判定即可得出结论；（2）设AD 与CE 交于点F ，证明FAC ACB B ∠=∠=∠，再由菱形的性质得AF DF =，CF EF =，AD CE ⊥，进而由锐角三角函数定义得CF 2AF =，设CF x =，则2CF x =，然后在Rt AFC △中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【小问1详解】证明： 四边形ABCD 是平行四边形，AB CD ∴=，AB CD ∥，DE AC ∥ ，∴四边形ACDE 是平行四边形，AB AC = ，CD AC ∴=，∴平行四边形ACDE 是菱形；【小问2详解】如图，设AD 与CE 交于点F ，5AB AC == ，B ACB ∴∠=∠，四边形ABCD 是平行四边形，AD BC ∴∥，FAC ACB B ∴∠=∠=∠，由（1）可知，四边形ACDE 是菱形，AB CD AE ∴==，AD BC ∥，AD CE ⊥，90BCE AOE ∴∠=∠=︒，在Rt BCE △中，tan 2CEB BC==，设BC x =，则2CE x =，∵AB =5∴BE =2AB =10∵222BC CE BE += ，222(2)10x x ∴+=，解得12)x x ==-舍即CE 的长为【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、锐角三角函数定义以及勾股定理等知识．21. 【答案】7【分析】本题考查了一元二次方程的应用，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．设每张桌面的宽为x 尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，根据题意列出方程，解方程即可求解．【详解】解：设每张桌面的宽为x 尺，根据图形可得：小桌的长为2x 尺，中桌的长为3x 尺，长桌的长为4x 尺，故可得22224233261.25x x x ⨯+⨯+⨯=，解得：174x =，274x =-（舍去），∴47x =，答：长桌的长为7尺．22. 【答案】（1）2y x =，8y x=（2）103n ≥-【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是：（1）将A 点坐标代入两个函数解析式求出,m k 值即可；（2）当3x =时，26y mx n x n n =+=+=+，883y x ==，根据题意863n +>，解出不等式解集即可．【小问1详解】解： 正比例函数(0)y mx m =≠的图象和反比例函数(0)kyk x=≠的图象都经过点(2,4)A ，422m ∴==，428k =⨯=，∴正比例函数解析式为：2y x =；反比例函数解析式为：8y x=；【小问2详解】当3x =时，26y mx n x n n =+=+=+，883y x ==， 当3x >时，对于x 的每一个值，函数(0)ymx n m =+≠的值都大于反比例函数(0)ky k x=≠的值，863n ∴+≥，解得103n ≥-．23. 【答案】（1）140n =，142m = （2）第二批 （3）131，135【分析】本题考查了众数，中位数，平均数等．（1）根据众数和中位数的定义直接进行解答即可；（2）从平均数，众数和中位数三个方面进行分析，即可得出答案；（3）根据表中给出的数据，分别进行分析，即可得出答案．【小问1详解】解：∵在第一批中，140出现了4次，出现的次数最多，∴众数是140cm ，即140n =；把第二批花的高度从小到大排列，中位数是第6、第7个数的平均数，则中位数是1401441422+=（cm ），即142m =；【小问2详解】（2）第一批的方差是：112×[（131-140）2+3×（135-140）2+4×（140-140）2+2×（144-140）2+2×（148-140）2]=793，第二批的方差是：112×[（135-141）2+2×（136-141）2+3×（140-141）2+5×（144-141）2+（149-141）2]=16.5，则在这两批花树中，高度的整齐度更好的是第二批；故答案为：第二批；【小问3详解】解：第二批去掉了高度为135cm 和149cm 的两棵花树后的平均数为：14112135149140.810⨯--=（cm ），第一批花树的平均数为140cm ，去掉的两棵且使高度尽可能接近平均高度，则需要去掉高度最小的两颗，即去掉的两棵花树的高度分别是131cm ，135cm ；故答案为：131，135．24. 【答案】（1）证明见解析 （2）75【分析】（1）根据在同圆中等弧所对的圆周角相等得出BAD CAD ∠=∠，根据直径所对的圆周角是直角可得90C ∠=︒，根据直角三角形中两个锐角互余可得90CAD AFC ∠+∠=︒，根据对顶角相等可得90CAD EFB ∠+∠=︒，根据圆的切线垂直于经过切点的半径可得90ABE ∠=︒，根据直角三角形中两个锐角互余可得90E BAD ∠+∠=︒，根据等角的余角相等可得EEFB ∠=∠，根据等角对等边即可证明；（2）连接BD ，根据直径所对的圆周角是直角可得90ADB ∠=︒，根据直角三角形中两个锐角互余可得90EAB ABD ∠+∠=︒，根据等角的余角相等可得EAB EBD ∠=∠，根据题意可得4AB =，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方求得5AE =，根据锐角三角形函数的定义可求得95ED =，根据等腰三角形底边上的高与底边上的中点重合可得185EF =，即可求解．【小问1详解】证明：∵D 是 BC的中点，∴ BDCD =，∴BAD CAD ∠=∠，∵AB 是O 的直径，∴90C ∠=︒，∴90CAD AFC ∠+∠=︒，∵AFC EFB ∠=∠，∴90CAD EFB ∠+∠=︒，∵BE 与O 相切于点B ，∴90ABE ∠=︒，∴90E BAD ∠+∠=︒，∴EEFB ∠=∠，∴BE BF =．【小问2详解】解：连接BD ，如图：∵AB 是O 的直径，∴90ADB ∠=︒，∴90EAB ABD ∠+∠=︒，∵90ABE EBD ABD ∠=∠+∠=︒，∴EAB EBD ∠=∠，∵O 的半径是2， ∴4AB =，∵3BE =，在Rt ABE △中，5AE ===，∴3sin sin 5DE BE EBD EAB BE AE ====∠∠，∴39sin 355ED BE EBD =⋅=⨯=∠，∵BE BF =，BD EF ⊥，∴9182255EF DE ==⨯=，∴187555AF AE EF =-=-=．【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，切线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，锐角三角形函数的定义，等角的余角相等等，熟练掌握圆周角定理、等腰三角形的性质和勾股定理是解题的关键．25. 【答案】（1）8（2）①图见解析；②60℃ （3）不能【分析】本题考查了一次函数的应用，理解题意并分析表格中数据变化的规律是解题的关键．（1）在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，从而计算出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程并求解即可；（2）①描点并连线即可；②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，从而求出每增加1分钟水上升的温度，据此列方程求出t ，再计算出剩下的时间，根据表2，得到在剩下的时间内水温可以变化到多少；（3）由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，此时离出门还剩3018.511.5-=（分）；根据表2，计算水温从100℃降到50℃需要的时间，将这个时间与21.5分比较，在关闭电源的基础上即可得到结论．【小问1详解】解：在煮沸模式下，加热时间每增加3分钟，水温就上升30℃，30310÷=（℃），∴在煮沸模式下，加热时间每增加1分钟，水温就上升10℃，∴()10610080m -=-，∴8m =．【小问2详解】解：①补全水温与时间的函数图象如图所示：②当时间从26分开始，设时间为t 时，水温加热到100℃．在这个过程中每2分钟，水温升高5℃，则每1分钟水温升高52 2.5÷=（℃），由此得()2.52610060t -=-，解得42t =，604218-=（分），根据表2的数据可知，100T =℃经过18分后水温降到了60℃，∴当60t =时，60T =℃．故答案为：60℃；【小问3详解】解：由表1可知，2.5L 的水从20℃加热到100℃需要18.5分，3018.511.5-=（分），由表2可知，水温从100℃降到50℃需要22814-=（分），∵11.513<，且电源已关闭，∴出门前，他不能喝到低于50℃的水．故答案为：不能．26. 【答案】（1）2t = （2）①<，②1t ≤或0t ≤【分析】本题主要考查二次函数的性质，()1将点代入抛物线求得4b a =-，结合对称轴定义即可求得；()2①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，即可得10y<；②由已知求得212x <<，结合120y y >恒成立，则有点()()1122,,x y x y ，在x 的同侧即可．【小问1详解】解：将点()40，代入()20y ax bx a =+>得1640a b +=，解得4b a =-，∴4222b a x a a-=-=-=，则2t =；【小问2详解】①根据题意得抛物线开口向上，且过原点，∵1t >，101x <<，∴10y <；②∵122x x +=， 101x <<，∴212x <<，∵有120y y >恒成立，∴点()()1122,,x y x y ，在x 的同侧，则1t ≤或0t ≤．27. 【答案】（1）图见解析（2）证明见解析 （3）22234BC CE BG +=【分析】（1）根据题意连线即可；（2）连接BD ，与AC 相交于点O ，根据旋转的性质可得60EAF ∠=︒，AE AF =，根据菱形的性质可得AB BC =，1602BAC CAD BAD ∠=∠=∠=︒，BO OD =，根据等边三角形的判定和性质可得AC AD =，60ACD ∠=︒，根据全等三角形的的判定和性质可得60ADF ACD ==︒∠∠，根据平行线的判定得出DF AC ∥，根据平行线分线段成比例定理即可证明；（3）根据勾股定理可得2224BD DF BG +=，根据等边三角形的性质可得30OBC ∠=︒，根据锐角三角函数可求得BC =，推得223BC BD =，即可求解．【小问1详解】解：如图：【小问2详解】证明：连接BD ，与AC 相交于点O ，如图：∵线段AE 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AF ，∴60EAF ∠=︒，AE AF =，∵在菱形ABCD 中，120BAD ∠=︒，∴AB BC =，1602BAC CAD BAD ∠=∠=∠=︒，BO OD =，∴ABC 、ACD 是等边三角形，∴AC AD =，60ACD ∠=︒，∴CAE DAF ∠=∠,∴ACE ADF ≌，∴60ADF ACD ==︒∠∠，∴DF AC ∥，∴BGBOGF OD =，∵BO OD =，∴GB GF =；【小问3详解】解：22234BC CE BG +=，理由如下：∵DF AC ∥，BD AC ⊥，∴DF BD ⊥，在Rt BFD 中，()2222224BD DF BF BG BG +===，∵ABC 是等边三角形，BO AC ⊥，∴1302OBC ABC ==︒∠，cos30cos OB OBC BC ︒===∠，∴BC =，则2243BC BO =，则()2222342BC BO BO BD ===，∴2222234BC CE BD DF BG +=+=，即22234BC CE BG +=．【点睛】本题考查了旋转的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理，解直角三角形等，解题的关键是根据全等三角形的性质和平行线的判定推得DF AC ∥．28. 【答案】（1）11A B（2）1,2⎛- ⎝或12⎛- ⎝（3【分析】（1）根据题中定义即可画图得出；（2）根据题意可得直线()0y kx k =≠垂直平分CC '，DD '，结合点C 的坐标，推得点D 在O 上，即可得出点D 是C 与O 交点，根据等边三角形的性质和勾股定理即可求得点1D 、2D 的坐标；（3）结合（2）可得点1N 是点1M 与O 交点，先求出直线y x b =-+与x ，y 轴的交点坐标，结合三角形的面积求得OH 的值，根据锐角三角函数可求得点O '的坐标3,2b ⎫⎪⎪⎭，根据两点间的距离公式即可列出方程，解方程即可．【小问1详解】解：如图所示：∴O 关于直线1y x =+的“对称弦”的是线段11A B ；【小问2详解】解：设点C ，D 关于直线()0y kx k =≠的对称点为C ',D ¢，∴直线()0y kx k =≠垂直平分CC '，DD '，∵CD 是O 关于直线()0y kx k =≠的“对称弦”，∴C ',D ¢在O 上，∵点C 的坐标为()1,0-，即点C 在O 上，∵直线()0y kx k =≠经过圆心O ，∴点D 也在O 上，∵1CD =，故点D 在以点C 为圆心，CD 为半径的圆上，如图：C 与O 交于点1D 与点2D ；∵11OC CD OD ==，即1OCD △是等边三角形，故点1D 的横坐标为12-，点1D同理，点2D 的横坐标为12-，点2D 的纵坐标为-，综上，点D 的坐标为1,2⎛- ⎝或12⎛- ⎝；【小问3详解】解：设点M 关于直线y x b =-+的对称点为1M ,∴直线y x b =-+垂直平分1MM ，∵线段MN 是O 关于直线y x b =-+的“对称弦”， ∴1M 在O 上，由（2）可得点1N 在以点1M 为圆心，MN 为半径的圆上，又∵1MN =，即11OM =；令直线y x b =-+与x ，y 轴交于点P ，Q ，过点O 作OO '⊥直线y x b =-+交于点H ，点O '作O E x '⊥轴交于点E ，如图：令0x =，则y b =，即点()0,Q b ，OQ b =,令0y =，则x =，即点),0P ，OP =，则2PQ b ===，则OQ OP OH PQ ⋅===，∴2OO OH =='，∵90OQP QOH ∠+∠=︒，90OQP QPO ∠+∠=︒，∴QOH QPO ∠=∠，∵OQ O E ' ，∴OO E QOH QPO ∠=∠=∠'，∵1sin 2OQ QPO PQ ∠==，cos OP QPO PQ ∠==，∴1sin 2OE OO E OO ∠==''，cos O E OO E OO ''=='∠∴sin OE OO OO E ''=⋅∠=，3cos 2O E OO OO E b ='∠'⋅='，即点O '的坐标为3,2b ⎫⎪⎪⎭，∵(3,M ，11O M OM '==；∴1O M '==，整理得：23200b -+=，解得：b =或b =，故b 的值为【点睛】本题考查了轴对称的性质，一次函数与坐标轴的交点问题，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定和性质等，正确理解新定义的含义，灵活应用数形结合思想是解题的关键．。
2018北京中考数学一模代数综合
2018西城一模26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线G ：221(0)y mx mx m m =++-≠与y 轴交于点C ，抛物线G 的顶点为D ，直线l ：1(0)y mx m m =+-≠．（1）当1m =时，画出直线l 和抛物线G ，并直接写出直线l 被抛物线G 截得的线段长． （2）随着m 取值的变化，判断点C ，D 是否都在直线l 上并说明理由．（3）若直线l 被抛物线G 截得的线段长不小于2，结合函数的图象，直接写出m 的取值范围．x2018石景山一模26．在平面直角坐标系xOy 中，将抛物线21G y mx =+：（0m ≠）向右平移位长度后得到抛物线2G ，点A 是抛物线2G 的顶点．（1）直接写出点A 的坐标；（2）过点0（且平行于x 轴的直线l 与抛物线2G 交于B ，C 两点． ①当=90BAC ∠°时，求抛物线2G 的表达式；②若60120BAC <∠<°°，直接写出m 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线223y x bx =-+-的对称轴为直线x =2．（1）求b 的值；（2）在y 轴上有一动点P （0，m ），过点P 作垂直y 轴的直线交抛物线于点A （x 1，y 1），B （x 2 ，y 2），其中 12x x <．①当213x x -=时，结合函数图象，求出m 的值；②把直线PB 下方的函数图象，沿直线PB 向上翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象W ，新图象W 在0≤x ≤5 时，44y -≤≤，求m 的取值范围．26.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=nx 2-4nx+4n-1(n ≠0)，与x 轴交于点C ，D(点C 在点D 的左侧)，与y 轴交于点A ．(1)求抛物线顶点M 的坐标；(2)若点A 的坐标为（0，3），AB ∥x 轴，交抛物线于点B ，求点B 的坐标；(3)在(2)的条件下，将抛物线在B ，C 两点之间的部分沿y 轴翻折，翻折后的图象记为G ，若直线m x y +=21与图象G 有一个交点，结合函数的图象，求m 的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线22y x ax b =-+的顶点在 x 轴上，1(,)P x m ，2(,)Q x m （12x x <）是此抛物线上的两点．（1）若1a =，①当m b =时，求1x ，2x 的值；②将抛物线沿y 轴平移，使得它与x 轴的两个交点间的距离为4，试描述出这一变化过程；（2）若存在实数c ，使得11x c ≤-，且27x c ≥+成立，则m 的取值范围是 ．26. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2440y ax ax a =--≠与y 轴交于点A ，其对称轴与x 轴交于点B .（1）求点A ，B 的坐标；（2）若方程有两个不相等的实数根，且两根都在1，3之间（包括1，3），结合函数的图象，求a 的取值范围.()244=00ax ax a --≠26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线()02342≠-+-=aaaxaxy与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时，求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含a的代数式表示）；（3）当AB≤4时，求实数a的取值范围．26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243y ax ax a =-+的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x ≤4之间的部分记为图象G 1，将图象G 1沿直线x = 1翻折，翻折后的图象记为G 2，图象G 1和G 2组成图象G ．过(0，b )作与y 轴垂直的直线l ，当直线l 和图象G 只有两个公共点时，将这两个公共点分别记为P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，求b 的取值范围和x 1 + x 2的值．26.抛物线2y ax bx =+x 轴于点A （－1,0），C （3，0），交y 轴于点B ，抛物线的对称轴与x 轴相交于点D . 点P 为线段OB 上的点，点E 为线段AB 上的点，且PE ⊥AB.（1）求抛物线的表达式；（2）计算PE PB的值； （3）请直接写出12PB +PD 的最小值为 .26.有一个二次函数满足以下条件： ①函数图象与x 轴的交点坐标分别为(1,0)A ，22(,)B x y (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是3x =；③该函数有最小值是-2.（1）请根据以上信息求出二次函数表达式；（2）将该函数图象2x x ＞的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G ”，平行于x 轴的直线与图象“G ”相交于点33(,)C x y 、44(,)D x y 、55(,)E x y （345x x x <<），结合画出的函数图象求345x x x ++的取值范围.2018大兴一模26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线22(31)2(0)y x m x m m m =-+++>，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 1(,0)x ,B 2(,0)x ，且12x x <.（1）求1223-+x x 的值；（2）当m=1223-+x x 时，将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位，使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包括△ABC 的边），求n 的取值范围（直接写出答案即可）．2018顺义一模26．在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线2y x bx c =++顶点A 的横坐标是-1，且与y 轴交于点B （0，-1），点P 为抛物线上一点．（1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线2y x bx c =++向下平移4个单位，点P 平移后的对应点为Q ．如果OP =OQ ，求点Q 的坐标．2018通州一模26. 在平面直角坐标系xOy 中，点C 是二次函数2441y mx mx m =+++的图象的顶点，一次函数4+=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于点A ，B .（1）请你求出点A ,B ,C 的坐标；（2）若二次函数2441y mx mx m =+++与线段AB 恰有一个公共点，求m 的取值范围.。
(完整版)2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——代几综合题;
2019年北京市各区一模数学试题分类汇编——代几综合题（海淀）26． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y ax bx c =++(0)a >经过点(03)A ，-和(30)B ，． （1）求c 的值及a b ，满足的关系式；（2）若抛物线在A ，B 两点间，从左到右上升，求a 的取值范围；（3）结合函数图象判断：抛物线能否同时经过点(1)(4)M m n N m n ，，，-+-？若能，写出一个符合要求的抛物线的表达式和n 的值；若不能，请说明理由．（西城）26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线2y x mx n =-+．（1）当2m =时， ①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示顶点的纵坐标；②若点1(2,)A y -，22(,)B x y 都在抛物线上，且21y y >，则2x 的取值范围是_______； （2）已知点P (－1,2)，将点P 向右平移4个单位长度，得到点Q ．当n ＝3时，若抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求m 的取值范围．（东城）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2691(0)y mx mx m m =-++≠（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线与x 轴的两个交点分别为A 和B （点A 在点B 的左侧），且AB =4，求m 的值；（3）已知四个点C （2,2），D （2,0），E （5,-2），F （5,6），若抛物线与线段CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出m 的取值范围．（朝阳）26.在平面直角坐标系xOy 中抛物线y =x 2-2x +a -3,当a =0时,抛物线与y 轴交于点A 将点A 向右平移4个单位长度,得到点B. (1)求点B 的坐标；(2)将抛物线在直线y =a 上方的部分沿直线y =a 翻折,图象的其他部分保持不变得到一个新的图象记为图形M ,若图形M 与线段AB 恰有两个公共点，结合函数的图象,求a 的取值范围.（石景山）26．在平面直角坐标系xOy 中，直线1y kx =+(0)k ≠经过点(2,3)A ，与y 轴交于点B ，与抛物线2y ax bx a =++的对称轴交于点(,2)C m .（1）求m 的值；（2）求抛物线的顶点坐标；（3）11(,)N x y 是线段AB 上一动点，过点N 作垂直于y 轴的直线与抛物线交于点22(,)P x y ,33(,)Q x y （点P 在点Q 的左侧）．若213x x x <<恒成立，结合函数的图象，求a 的取值范围．（丰台）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线c bx ax y ++=2过原点和点A （-2，0）. （1）求抛物线的对称轴；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点B （0，），记抛物线与直线AB 围成的封闭区域（不含边界）为W ．①当=1a 时，求出区域W 内的整点个数；①若区域W 内恰有3个整点，结合函数图象，直接写出a 的取值范围．（房山）26．在平面直角坐标系xOy中，二次函数2=++的图象经过点A(−1，a)，B(3，y x mx na)，且顶点的纵坐标为-4．（1）求m，n和a的值；（2）记二次函数图象在点A，B间的部分为G (含点A和点B)，若直线2=+与图象G有y kx公共点，结合函数图象，求k的取值范围．Array（门头沟）26．在平面直角坐标系xOy中，一次函数4=+的图象与x轴交于点A，与过点y x（0，5）平行于x轴的直线l交于点B，点A关于直线l的对称点为点C．（1）求点B和点C坐标；（2）已知某抛物线的表达式为22=-+-．y x mx m m2①如果该抛物线顶点在直线4=+上，求m的值；y x②如果该抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围．（密云）26．已知抛物线2224y x mx m =-+-，抛物线的顶点为P . （1）求点P 的纵坐标．（2）设抛物线x 轴交于A 、B 两点，1122(,),(,)A x y B x y ，21x x >. ①判断AB 长是否为定值，并证明．②已知点M （0，-4），且MA ≥5，求21-x x m +的取值范围．（平谷）26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线3222-+-=m mx x y 与y 轴交于点A ，过A 作AB ∥x 轴与直线x =4交于B 点．（1）抛物线的对称轴为x = （用含m 的代数式表示）； （2）当抛物线经过点A ，B 时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段AB 下方的部分图象为G （包含A ，B 两点），点P （m ,0）是x 轴上一动点，过P 作PD ⊥x 轴于P ，交图象G 于点D ，交AB 于点C ，若CD ≤1，求m 的取值范围．（通州）26. 已知二次函数2y x ax b =-+在0x =和4x =时的函数值相等． （1）求二次函数2y x ax b =-+的对称轴；（2）过P （0，1）作x 轴的平行线与二次函数2y x ax b =-+的图象交于不同的两点M 、N . ①当2MN =时，求b 的值；②当=4PM PN +时，请结合函数图象，直接写出b 的取值范围．（延庆）26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2432y ax ax a =-+-（0a ≠）的对称轴与x 轴交于点A ，将点A 向右平移3个单位长度，向上平移2个单位长度，得到点B ． （1）求抛物线的对称轴及点B 的坐标；（2）若抛物线与线段AB 有公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．（燕山）26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线223(0)=--≠的顶点为D，与x轴交y ax ax a a于A，B两点(A在B的左侧)．a=时，求点A，B，D的坐标；(1) 当1(2) 横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域内(不含边界)恰有7个整点，结合函数图象，求a的取值范围．Array（顺义）26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线2(3)3=+--（0y mx m xm>）与x轴交于A、B 两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C, 4=AB，点D为抛物线的顶点.（1）求点A和顶点D的坐标；（2）将点D向左平移4个单位长度，得到点E,求直线BE的表达式；（3）若抛物线26y ax与线段DE恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围.=-（怀柔）26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线222++-=a ax x y 2的顶点C ，过点B （0，t ）作与y 轴垂直的直线l ，分别交抛物线于E ，F 两点，设点E （x 1，y 1），点F （x 2，y 2）（x 1＜x 2）．（1）求抛物线顶点C 的坐标；（2）当点C 到直线l 的距离为2时，求线段EF 的长；（3）若存在实数m ，使得x 1≥m -1且x 2≤m +5成立，直接写出t 的取值范围．。
2021年北京市各城区中考一模数学 - 代数综合题汇总
2021年北京市各城区中考一模数学 - 代数综合题汇总2021年北京市各城区中考一模数学――代数综合题汇总（2021石景山一模）27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?mx2?2mx?3(m?0)与x 轴交于A(3,0)，B两点．（1）求抛物线的表达式及点B的坐标；（2）当?2?x?3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C(4,2)的直线y?kx?b(k?0)与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．y87654321-4-3-2-1O-1-2-3-4-51234567x -6-7（2021朝阳一模）27．如图，将抛物线M1: y?ax2?4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线y?x与M1 的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是－3. （1）求a的值及M2的表达式；（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF. ①当点C的横坐标为2时，直线y?x?n 恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；②在点C的运动过程中，若直线y?x?n与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围（直接写出结果）.（2021燕山一模）27．抛物线C1:y?交于点A(2，0)．（1）求抛物线C1的解析式；12x?bx?c与y轴交于点C(0，3)，其对称轴与x轴 2（2）将抛物线C1适当平移，使平移后的抛物线C2的顶点为D(0，k)．已知点B(2，2)，若抛物线C2与△OAB的边界总有两个公共点，请结合函数图象，求k的取值范围．（2021东城一模）27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线于点C．yC21O1BAxy?ax2?bx?1?a?0?过点A??1,0?，B?1,1?,与y轴交（1）求抛物线y?ax?bx?1?a?0?的函数表达式；2（2）若点D在抛物线y?ax?bx?1?a?0?的对称轴上，当△ACD的周长最小时，求点D 的坐标;2（3）在抛物线y?ax?bx?1?a?0?的对称轴上是否存在点P,使△ACP成为以AC为直角边的直角三角形？2若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由.（2021房山一模）27. 在平面直角坐标系中，抛物线y?ax2?bx?3与x轴的两个交点分别为A（-3，0）, B（1，0），顶点为C.(1) 求抛物线的表达式和顶点坐标；(2) 过点C作CH⊥x轴于点H，若点P为x轴上方的抛物线上一动点（点P与顶点C不重合），PQ⊥AC于点Q，当△PCQ与△ACH相似时，求点P的坐标.（2021海淀一模）27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?12x?x?2与y轴交于点A，顶点为点B，点C与点27654321�C5�C4�C3�C2�C1O�C1�C2�C3�C4�C5�C612345A关于抛物线的对称轴对称．（1）求直线BC的解析式；（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t?0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．（2021门头沟一模）27．已知：关于x的一元二次方程－x2+(m+1)x+(m+2)=0（m＞0）．（1）求证：该方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)经过点（3，0），求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，记抛物线y=－x2+(m+1)x+(m+2)在第一象限之间的部分为图象G，如果直线 y=k(x+1)+4与图象G有公共点，请结合函数的图象，求直线y=k(x+1)+4与y轴交点的纵坐标t的取值范围．Oyyx�C7x1)、B（2021通州一模）27．二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象与一次函数y1?x?bk的图象交于A(0，两点，C(1,0)为二次函数图象的顶点.（1）求二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的表达式；（2）在所给的平面直角坐标系中画出二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象和一次函数y1?x?bk的图象；（3）把（1）中的二次函数y?ax2?bx?c(a?0)的图象平移后得到新的二次函数y2?ax2?bx?c?m(a?0,m为常数)的图象,.定义新函数f：“当自变量x任取一值时，x对应的函数值分别为y1或y2，如果y1≠y2，函数f的函数值等于y1、y2中的较小值;如果y1=y2，函数f的函数值等于y1（或y2）.” 当新函数f的图象与x轴有三个交点时,直接写出m的取值范围.x2（2021西城一模）27．已知二次函数y1?x?bx?c的图象C1经过(?1,0)，(0,?3)两点．（1）求C1对应的函数表达式；（2）将C1先向左平移1个单位，再向上平移4个单位，得到抛物线C2，将C2对应的函数表达式记为y2?x2?mx?n，求C2对应的函数表达式；（3）设y3?2x?3，在（2）的条件下，如果在?2≤x≤a内存在某一个x的值，使得y2≤y3成立，利用函数．．图象直接写出a的取值范围．?（2021延庆一模）27. 二次函数y??x2?mx?n的图象经过点A（��1，4），B（1，0），y?点B，且与二次函数y??x2?mx?n交于点D．过点D作DC⊥x轴，垂足为点C．（1）求二次函数的表达式；（2）点N是二次函数图象上一点（点N在BD上方），过N作NP⊥x轴，垂足为点P，交BD于点M，求MN的最大值.1x?b2经过2（2021怀柔一模）27．在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=（a-1）x+2x+1与x轴有交点，a为正整数. （1）求a的值.2（2）将二次函数y=（a-1）x+2x+1的图象向右平移m个单位，2向下平移m+1个单位，当 -2≤x≤1时，二次函数有最小值-3，求实数m的值.（2021平谷一模）27．已知抛物线y=ax2+x+c（a≠0）经过A（?1，0），B（2，0）两点，与y轴相交于点C，点D为该抛物线的顶点．（1）求该抛物线的解析式及点D的坐标；（2）点E是该抛物线上一动点，且位于第一象限，当点E到直线BC的距离为2时，求点E的坐标； 2（3）在（2）的条件下，在x轴上有一点P，且∠EAO+∠EPO=∠α，当tanα=2时，求点P的坐标．27题图yy1O1xOx（2021丰台一模）27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?2x2?mx?n经过点A（-1，a ），B（3，a），且最低点的纵坐标为-4. （1）求抛物线的表达式及a的值；（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）.如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围.（2021顺义一模）27．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y?两点（点A在点B左侧），且点A的横坐标为-1．（1）求a的值；（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P'，求点P'的坐标；432y43211O12341234x12ax?2x?a?1与y轴交于C点，与x轴交于A，B2（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A， B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m （m?0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G与直线PP'无交点，求m的取值范围．y2-2O-22x感谢您的阅读，祝您生活愉快。
2023北京初三一模数学汇编：代数综合(第26题)
2023北京初三一模数学汇编代数综合（第26题）一、解答题1.（2023·北京西城·统考一模）已知抛物线24y ax bx =++的对称轴为直线x =t.（1）若点（2，4）在抛物线上，求t 的值；（2）若点12(,3),(,6)x x 在抛物线上，①当t =1时，求a 的取值范围；②若12t x x ≤<，且211x x −≥，直接写出a 的取值范围.2．（2023·北京朝阳·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+（2m -6）x+1经过点()124m −，.（1）求a 的值；（2）求抛物线的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）点()1m y −，，()2m y ，，()32m y +，在抛物线上，若231y y y ＜≤，求m 的取值范围.3．（2023·北京海淀·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，点0()A x m ,，0(4)B x n +,在抛物线 221y x bx =−+上. （1）当5b =，03x =时，比较m 与n 的大小，并说明理由；（2）若对于034x ≤≤，都有m <n <1，求b 的取值范围. 4．（2023·北京房山·统考一模）已知抛物线22=−+y x ax b 经过点（1，1）.（1）用含a 的式子表示b 及抛物线的顶点坐标；（2）若对于任意1−a ≤x ≤2+a ，都有y ≤1，求a 的取值范围.5. （2023·北京丰台·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，点A （-3，y 1），B （a +1，y 2）在抛物线221y x ax =−+ 上.（1）当2=a 时，求抛物线的顶点坐标，并直接写出y 1和y 2的大小关系；（2）抛物线经过点C （m ，y 3）.①当4=m 时，若y 1= y 3，则a 的值为________； ②若对于任意的4≤m ≤6都满足y 1＞y 3＞y 2，求a 的取值范围.6．（2023·北京门头沟·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2240y ax ax a a =−+−≠． （1）求该抛物线的顶点坐标；（2）当抛物线()2240y ax ax a a =−+−≠经过点()3,0时， ①求此时抛物线的表达式；②点()12,M n y −，()223,N n y +在抛物线上，且位于对称轴的两侧，当12y y >时，求n 的取值范围．7．（2023·北京顺义·统考一模）已知：抛物线y=ax 2-4ax -3(a >0)．（1）求此抛物线与y 轴的交点坐标及抛物线的对称轴；（2）已知点A （n ，y 1），B （n +1，y 2）在该抛物线上，且位于对称轴的同侧．若21−y y ≤4，求a 的取值范围．8．（2023·北京通州·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()()1,,2,n p −在二次函数22y x bx =−++的图象上．（1）当n p =时，求b 的值；（2）当()()20n n p −−>，求b 的取值范围．9.（2023·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，点A (4，m )在抛物线y=x 2−2bx +1上.（1）当m =1时，求b 的值；（2）点(x 0，n )在抛物线上，若存在0＜x 0＜b ，使得m = n ，直接写出b 的取值范围.10．（2023·北京燕山·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线245(0)y ax ax a =−+≠与y 轴交于点C ．(1) 求点C 的坐标及抛物线的对称轴；(2) 已知点(－1，1y )，(2，2y )，(6，3y )在该抛物线上，且1y ，2y ，3y 中有且只有一个小于0，求a 的取值范围．参考答案1．解：（1）∵ 点（2，4）在抛物线24y ax bx =++上，∴ 4a ＋2b ＋4＝4．∴ b ＝－2a ．∴ 12b t a=−=． ······································································· 2分 （2）①当t ＝1时，b ＝-2a ，所以224y ax ax =−+．∵ 点（1x ，3），（2x ，6）在抛物线上，∴ 当a ＞0时，有a -2a ＋4≤3．得4-a ≤3，得a ≥1．当a ＜0时，有a -2a ＋4≥6．得4-a ≤6，得a ≤-2．综上，a 的取值范围是a ≤-2或a ≥1． ············································· 4分 ②a 的取值范围是0＜a ≤3．2．解：（1）∵抛物线y=ax 2+（2m -6）x+1经过点()124m −，， ∴2m -4=a +（2m -6）+1.∴a=1（2）由（1）得抛物线的表达式为y=x 2+（2m -6）x+1.∴抛物线的对称轴为3.x m =−（3）①当m ＞0时，可知点()1m y −，，()2m y ，，()32m y +，从左至右分布.根据23y y ＜可得232m m m ++−＜. ∴ 1.m ＞根据31y y ≤可得232m m m −++−≥. ∴ 2.m ≤∴1 2.m ＜≤②当m ≤0时，∵3m m m +≤-＜-，∴21y y ≥，不符合题意.综上，m 的取值范围为1 2.m ＜≤3.（本题满分6分）（1）m =n . …………………………………………………………………………………1分 理由如下：∵ b =5，∴ 抛物线解析式为y =x 2−10x +1，∴ 对称轴为x =5.∵ x 0=3，∴ A （3，m ），B （7，n ）关于直线x =5对称.∴ m =n . ………………………………………………………………………………2分 （2）当03x =时，∵ ()0A x m ，，()04B x n +，在抛物线221y x bx =−+上，∴ 106m b =−，5014n b =−.∵ 1m n <<，∴ 10650141b b −<−<.∴752b <<. 当04x =时， ∵ ()0A x m ，，()04B x n +，在抛物线221y x bx =−+上，∴ 178m b =−，6516n b =−.∵ 1m n <<，∴ 17865161b b −<−<.∴ 46b <<.∵ 对于034x ≤≤，都有1m n <<，∴ 45b <<.当45b <<时，设点()04x n +，关于抛物线的对称轴x b =的对称点为()1x n ，，∵ 点()04x n +，在抛物线上，∴ 点()1x n ，在抛物线上.由014x b b x +−=−，得1024x b x =−−.∵ 034x ≤≤，45b <<，∴ 103x <<.∵ 抛物线221y x bx =−+，∴ 抛物线与y 轴交于（0，1）.当x b <时，y 随x 的增大而减小.∵ 点（0，1），()1x n ，，()0x m ，在抛物线上，且100x x b <<<，∴ 1m n <<.综上所述，45b <<. ………………………………………………………………6分4.（1）把（1,1）代入表达式得，112a b =−+，∴a b 2= ……………………1分 抛物线为22222()2y x ax a x a a a =−+=−−+抛物线顶点坐标为2(,2)a a a −+ ……………………2分（2）∵抛物线关于x =a 对称，开口向上，∴当1−a ≤x ≤2+a 时，由对称性得，x =2+a 时函数y 有最大值： y 最大=(a+2－a )2－a 2+2a=－a 2+2a+4. ……………………3分 ∵对于任意1−a ≤x ≤2+a ,都有y ≤1，∴－a 2+2a+4≤1 ……………………4分 即a 2－2a －3≥0∴ a ≤－1或a ≥3 ……………………6分5.解：（1）当a =2时，223y x ，顶点坐标为（2,-3）； ……1分12y y . ……2分 （2）①12； ……3分 ②∵对于任意的4≤m ≤6都满足y 1＞y 3＞y 2，∴点A 、B 、C 存在如下情况：情况1，如示意图，当31a m 时， 可知32m a ， ∴312m a m ， 解得332a. 情况2，如示意图，当31m a 时 可知12m a a ， ∴11a m a m ， ∴1a m ，解得7a .综上所述，332a 或7a . ……6分（其它解法酌情给分）∴EF =2510533−=．…………………………………………………………………6分m ,y 3),y 2)A (-3,y 1A (-3,y 1,y 2)C (m ,6．（本小题满分6分）解：（1）212a x a−=−=，244y a a a =−+−=−，顶点为（1，4−）.……………………2分 （2）①∵抛物线224y ax ax a =−+−（0a ≠）经过点（3，0），∴0964a a a =−+−． 解得：1a =．∴此时抛物线的表达式为：223y x x =−−．……………………………………4分 ②∵点M （2n −，y 1），N （23n +，y 2）在抛物线上，且位于对称轴的两侧，∴当点M 位于对称轴的左侧，点N 位于对称轴的右侧时，21,23 1.n n −<⎧⎨+>⎩， 解得：13n −＜＜．当点M 位于对称轴的右侧，点N 位于对称轴的左侧时，21,23 1.n n −>⎧⎨+<⎩， 此不等式组无解，舍去．∴点M 位于对称轴的左侧，点N 位于对称轴的右侧．∵当0a >时，抛物线开口向上，在对称轴右侧，y 的值随x 值的增大而增大， 又∵点M 关于对称轴1x =的对称点为M '（4n −，y 1），∴当12y y >时，423n n −>+． 解得：n ∴综上所述：113n −<<．………………………………………………………6分7.解：（1）与y 轴交点坐标：（0，-3），对称轴：直线x =2. ………………… 2分（2）法1：假设A (2，y 1)，B (3，y 1+4)，将A 、B 两点坐标代入函数表达式得：1148349123y a a y a a =−−⎧⎨+=−−⎩ 解得a =4. ………………………………………………………………… 4分 根据图象可知0<a ≤4. ………………………………………………… 6分 法2：把A (n ，y 1)，B (n+1，y 2)，代入函数表达式得： 212243(1)4(1)3y an an y a n a n ⎧=−−⎨=+−+−⎩ ① 当A 、B 两点在对称轴右侧，即n ≥2时, ∵214y y −≤,∴22(1)4(1)3434a n a n an an +−+−−−−≤（）, ∴432a n a+≤.∵n ≥2, ∴4322a a+≥, ∴a ≤4.∵a >0,∴0<a ≤4.② 当A 、B 两点在对称轴左侧，即n+1≤2，n ≤1时, ∵214y y −≤,∴2243(1)4(1)34an an a n a n ⎡⎤−−−+−+−≤⎣⎦（）, ∴342a n a−≥. ∵n ≤1, ∴3412a a−≤, ∴a ≤4.∵a >0,∴0<a ≤4.综上所述，0<a ≤4. ……………………………………………………… 6分8.暂缺9．（本小题满分6分）解：（1）当m =1时，点A 的坐标为(4，1) ．∵点A 在抛物线y=x 2−2bx +1上，∴1=42−2b ×4+1上.∴b =2.（2）b ＞2且b ≠4.10．(本题满分6分)解：(1) 由题意，抛物线与y 轴交于点C (0，5)． 对称轴为直线422a x a−=−=．……………………………………………3分 (2) ∵抛物线的对称轴为直线2x =，∴点(－1，1y )关于对称轴的对称点为(5，1y )，点(2，2y )在对称轴上，点(5，1y )，(6，3y )在对称轴右侧．当x ＝－1时，1y ＝45a a ++＝55a +，当x ＝2时，2y ＝485a a −+＝45a −+，当x ＝6时，3y ＝36245a a −+＝125a +．当0a >时，抛物线在对称轴右侧（即2x ≥时）y 随x 的增大而增大， ∴2y ＜1y ＜3y ．∵1y ，2y ，3y 中有且只有一个小于0， ………… 3分 ………… 6分∴2y ＜0，且1y ≥0，即450550，，a a −+<⎧⎨+≥⎩解得 54a >． 当0a <时，抛物线在对称轴右侧（即2x ≥时）y 随x 的增大而减小， ∴3y ＜1y ＜2y ． ∵1y ，2y ，3y 中有且只有一个小于0，∴3y ＜0，且1y ≥0，即1250550，，a a +<⎧⎨+≥⎩解得 5112a −≤<−． 综上所述，54a >或5112a −≤<−．…………………………………6分。
2022北京中考数学一模分类汇编《代数综合》含答案解析
2022北京市中考数学一模分类汇编——代数综合1．（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．2．（2022•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+4）x+3经过点（2，m）．（1）若m＝﹣3，①求此抛物线的对称轴；②当1＜x＜5时，直接写出y的取值范围；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在此抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．3．（2022•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴交于点A．点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+n（k≠0）经过A，B两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点C（m﹣2，a），D（m+2，b）在抛物线上，则a b（用“＜”，“＝”或“＞”填空）；（3）若对于x1＜﹣3时，总有k＜0，求m的取值范围．4．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．（1）若y1＝y2，求y3的值；（2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．5．（2022•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；（2）已知点P（﹣1，p）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m ＜p＜n，求t的取值范围．6．（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a ＞0）上．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t＜x1＜t+1，4﹣t＜x2＜5﹣t．①当时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．7．（2022•通州区一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）过A（﹣1，m），B（2，n），C （3，p）三点．（1）求n的值（用含有a的代数式表示）；（2）若mnp＜0，求a的取值范围．8．（2022•房山区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，﹣3），其顶点为P．（1）求二次函数的解析式及P点坐标；（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是﹣4≤y≤2m，求m的值．9．（2022•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2（m是常数）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式农示）；（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线y＝1的距离为1，直接写出m的取值范围；（3）如果点A（a，y1），B（a+2，y2）都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1＞y2，求a的取值范围．10．（2022•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．11．（2022•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，﹣2）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．若0＜n＜1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．12．（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+6．（1）若此二次函数图象的对称轴为x＝1．①求此二次函数的解析式；②当x≠1时，函数值y5（填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”）；（2）若a＜﹣2，当﹣2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．2022北京市中考数学一模分类汇编——代数综合参考答案与试题解析1．（2022•海淀区一模）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2﹣2ax（a≠0）的图象经过点A（﹣1，3）．（1）求该二次函数的解析式以及图象顶点的坐标；（2）一次函数y＝2x+b的图象经过点A，点（m，y1）在一次函数y＝2x+b的图象上，点（m+4，y2）在二次函数y＝ax2﹣2ax的图象上．若y1＞y2，求m的取值范围．【分析】（1）把点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得出关于a的方程，解方程求出a的值，进而求出二次函数的解析式，将二次函数的解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标；（2）先求出一次函数的解析式，把点（m，y1）代入一次函数解析式得出y1＝2m+5，把点（m+4，y2）代入二次函数解析式得出y2＝m2+6m+8，再由y1＞y2得出2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，利用二次函数的性质求出不等式的解集，即可得出m的取值范围．【解答】解：（1）将点A（﹣1，3）代入y＝ax2﹣2ax得：a+2a＝3，解得：a＝1，∴y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，∴图象顶点的坐标为（1，﹣1）；（2）∵一次函数y＝2x+b的图象经过点A，∴﹣2+b＝3，∴b＝5，∴y＝2x+5，∵点（m，y1）在一次函数y＝2x+5的图象上，∴y1＝2m+5，∵点（m+4，y2）在二次函数y＝x2﹣2x的图象上，∴y2＝（m+4）2﹣2（m+4）＝m2+6m+8，∵y1＞y2，∴2m+5＞m2+6m+8，即m2+4m+3＜0，令y＝m2+4m+3，当y＝0时，m2+4m+3＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣3，∴抛物线与x轴交点为（﹣1，0）和（﹣3，0），∵抛物线开口项上，∴m2+4m+3＜0的解为：﹣3＜m＜﹣1，∴m的取值范围是﹣3＜m＜﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，掌握待定系数法，利用二次函数的性质求一元二次不等式的解集是解决问题的关键．2．（2022•西城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣（a+4）x+3经过点（2，m）．（1）若m＝﹣3，①求此抛物线的对称轴；②当1＜x＜5时，直接写出y的取值范围；（2）已知点（x1，y1），（x2，y2）在此抛物线上，其中x1＜x2，若m＞0，且5x1+5x2≥14，比较y1，y2的大小，并说明理由．【分析】（1）①将（2，﹣3）代入解析式求解．②将二次函数解析式化为顶点式，根据抛物线开口方向及顶点坐标求解．（2）由m＞0，抛物线经过（2，m）可得a的取值范围，从而可得抛物线对称轴，由5x1+5x2≥14可得点（x1，y1），（x2，y2）到对称轴距离的大小关系，进而求解．【解答】解：（1）①将（2，﹣3）代入y＝ax2﹣（a+4）x+3得﹣3＝4a﹣2（a+4）+3，解得a＝1，∴y＝x2﹣5x+3．∴抛物线的对称轴为直线x＝；②∵y＝x2﹣5x+3＝（x﹣）2﹣，∴抛物线开口向上，顶点坐标为（，﹣），把x＝5代入y＝x2﹣5x+3得y＝3，∴当1＜x＜5时，﹣≤y＜3．（2）将（2，m）代入y＝ax2﹣（a+4）x+3得m＝4a﹣2（a+4）+3＝2a﹣5，∵m＝2a﹣5＞0，∴a＞，∵y＝ax2﹣（a+4）x+3，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝+＜，∵5x1+5x2≥14，∴x1+x2≥，∴≥＞，∵x1＜x2，∴（x1，y1）到抛物线对称轴的距离小于（x2，y2）到抛物线对称轴的距离，‘∴y1＜y2．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．3．（2022•东城区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1与y轴交于点A．点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，直线y＝kx+n（k≠0）经过A，B两点．（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的式子表示）；（2）若点C（m﹣2，a），D（m+2，b）在抛物线上，则a＝b（用“＜”，“＝”或“＞”填空）；（3）若对于x1＜﹣3时，总有k＜0，求m的取值范围．【分析】（1）将抛物线的解析式写成顶点式，即可得出答案；（2）先确定出抛物线的对称轴，再用点C，D到对称轴的距离的大小，即可得出答案；（3）先确定出n＝m2+1，得出直线AB的解析式为y＝kx+m2+1，再联立抛物线解析式，化简得x[x﹣（2m+k）]＝0，最后利用对于x1＜﹣3时，总有k＜0，即可求出答案．【解答】解：（1）∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，∴抛物线的顶点坐标为（m，1）；（2）由（1）知，抛物线的顶点坐标为（m，1），∴抛物线的对称轴为x＝m，∵|m+2﹣m|＝2，|m﹣2﹣m|＝2，∴点C和点点D到抛物线的对称轴的距离相等，∴a＝b，故答案为：＝；（3）针对于抛物线y＝x2﹣2mx+m2+1①，令x＝0，则y＝m2+1，∴A（0，m2+1），∵点A在直线y＝kx十n（k≠0）上，∴n＝m2+1，∴直线AB的解析式为y＝kx+m2+1②，联立①②整理得，x2﹣2mx+m2+1＝kx+m2+1，∴x[x﹣（2m+k）]＝0，∵y＝x2﹣2mx+m2+1＝（x﹣m）2+1，∵点B（x1，y1）是抛物线上的任意一点，且不与点A重合，∴x1≠0，∴x1＝2m+k，∵对于x1＜﹣3时，总有k＜0，∴2m+k＜﹣3，总有k＜0，∴k＜﹣2m﹣3，总有k＜0，∴﹣2m﹣3≤0，∴m≥﹣．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，直线与抛物线的交点坐标的求法，解不等式，求出x＝2m+k是解本题的关键．4．（2022•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（﹣2，0），（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）在抛物线y＝x2+bx+c上．（1）若y1＝y2，求y3的值；（2）若y2＜y1＜y3，求y3的取值范围．【分析】（1）由y1＝y2可得抛物线对称轴为y轴，由抛物线经过（﹣2，0），（2，y3）可得y3的值．（2）由抛物线经过（﹣2，0）可得4﹣2b+c＝0，分别将（﹣1，y1），（1，y2），（2，y3）代入解析式，根据y2＜y1＜y3及b的取值范围求解．【解答】解：（1）当y1＝y2时，（﹣1，y1），（1，y2）关于对称轴对称，则抛物线对称轴为y轴，∴（﹣2，0），（2，y3）关于y轴对称，∴y3＝0．（2）将（﹣2，0）代入y＝x2+bx+c得4﹣2b+c＝0，将（1，y2）代入y＝x2+bx+c得y2＝1+b+c，将（﹣1，y1）代入y＝x2+bx+c得y1＝1﹣b+c，∵y2＜y1，∴1+b+c＜1﹣b+c，∴b＜0，将（2，y3）代入y＝x2+bx+c得y3＝4+2b+c，∵y1＜y3，∴1﹣b+c＜4+2b+c，∴b＞﹣1，∵4﹣2b+c＝0，∴y3＝4+2b+c＝4b，∴﹣4＜4b＜0，即﹣4＜y3＜0．【点评】本题考查二次函数与不等式的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．5．（2022•丰台区一模）在平面直角坐标系xOy中，点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．（1）若m＝n，求该抛物线的对称轴；（2）已知点P（﹣1，p）在该抛物线上，设该抛物线的对称轴为x＝t．若mn＜0，且m ＜p＜n，求t的取值范围．【分析】（1）将点M（2，m），N（4，n）代入抛物线解析式，再根据m＝n得出b＝﹣6a，再求对称轴即可；（2）根据c＝0，可知抛物线过原点，再根据mn＜0，且m＜p＜n，可知抛物线与x轴的另一交点在2和4之间，从而确定出对称轴的取值范围．【解答】解：（1）∵点M（2，m），N（4，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上，m＝n，∴，解得：b＝﹣6a，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝﹣＝3；（2）∵y＝ax2+bx（a＞0），∴抛物线开口向上且经过原点，∵mn＜0，且m＜p＜n，∴m＜0，n＞0，∴抛物线和x轴的2个交点，一个为（0，0），另外一个点为（2t，0），∴2＜2t＜4，∴1＜t＜2，∵点P（﹣1，p），点P关于对称轴的对称点为（2t+1，p），∵m＜p＜n，∴2＜2t+1＜4，∴＜t＜．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据数形结合求解．6．（2022•石景山区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（4，2）在抛物线y＝ax2+bx+2（a ＞0）上．（1）求抛物线的对称轴；（2）抛物线上两点P（x1，y1），Q（x2，y2），且t＜x1＜t+1，4﹣t＜x2＜5﹣t．①当时，比较y1，y2的大小关系，并说明理由；②若对于x1，x2，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．【分析】（1）由抛物线解析式可得抛物线与y轴交点坐标，再由抛物线经过（4，2）可得抛物线对称轴．（2）①由t＝可得x1与x2的取值范围，从而可得点P，Q到对称轴的距离大小关系，进而求解．②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1），由y1≠y2可得x0≠x2，x1≠x2，通过解不等式求解．【解答】解：（1）将x＝0代入y＝ax2+bx+2得y＝2，∴抛物线与y轴交点坐标为（0，2），又∵抛物线经过（4，2），∴抛物线对称轴为直线x＝2．（2）①∵a＞0，∴抛物线开口向上，当t＝时，点＜x1＜，＜x2＜．∴|x1﹣2|＜，|x2﹣2|，∴点P到对称轴距离小于点Q到对称轴距离，∴y1＜y2．②设点P（x1，y1）关于直线x＝2的对称点为P'（x0，y1），则x0＝4﹣x1，∵t＜x1＜t+1，∴3﹣t＜x0＜4﹣t，∵4﹣t＜x2＜5﹣t，∴x0≠x2，当t+1≤4﹣t或5﹣t≤t时，x1≠x2，解得t≤或t≥．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程及不等式的关系．7．（2022•通州区一模）已知抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a≠0）过A（﹣1，m），B（2，n），C （3，p）三点．（1）求n的值（用含有a的代数式表示）；（2）若mnp＜0，求a的取值范围．【分析】（1）将（2，n）代入解析式求解．（2）将A（﹣1，m），B（2，n），C（3，p）代入解析式，求出m，n，p与a的关系，分类讨论a＞0，a＜0时满足mnp＜0的条件，进而求解．【解答】解：（1）将（2，n）代入y＝ax2﹣4ax+2得n＝4a﹣8a+2＝﹣4a+2．（2）∵y＝ax2﹣4ax+2，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝2，∴抛物线顶点坐标为（2，﹣4a+2），将（﹣1，m）代入y＝ax2﹣4ax+2得m＝a+4a+2＝5a+2，将（2，n）代入y＝ax2﹣4ax+2得n＝﹣4a+2，将（3，p）代入y＝ax2﹣4ax+2得p＝﹣3a+2，当a＜0时，抛物线开口向下，若mnp＜0，则n＞0，p＞0，m＜0，∴5a+2＜0，解得a＜﹣，当a＞0时，抛物线开口向上，若mnp＜0，则n＜0，p＞0，m＞0，∴，解得，综上所述，a＜﹣或．【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质．8．（2022•房山区一模）已知二次函数y＝x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点A（1，0）与点C（0，﹣3），其顶点为P．（1）求二次函数的解析式及P点坐标；（2）当m≤x≤m+1时，y的取值范围是﹣4≤y≤2m，求m的值．【分析】（1）直接利用待定系数法求二次函数得出答案；（2）分①﹣2≤m＜﹣时，②当﹣≤m≤﹣1时，两种情况分别求解即可．【解答】解：（1）∵点A、C在二次函数的图象上，∴，解得，∴二次函数的解析式为：y＝x2+2x﹣3，∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴顶点P为（﹣1，﹣4）；（2）m≤x≤m+1时，y的最小值为﹣4，∴m≤﹣1≤m+1，即﹣2≤m≤﹣1，①﹣2≤m＜﹣时，y最大值＝m2+2m﹣3，由m2+2m﹣3＝2m，解得：m＝（舍去），m＝﹣，②当﹣≤m≤﹣1时，y最大值＝（m+1）2+2（m+1）﹣3，由（m+1）2+2（m+1）﹣3＝2m，解得：m＝0（舍去），m＝﹣2（舍去），综上：m的值为﹣．【点评】此题主要考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质等知识，正确分类讨论得出m的取值范围是解题关键．9．（2022•门头沟区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2（m是常数）．（1）求该抛物线的顶点坐标（用含m代数式农示）；（2）如果该抛物线上有且只有两个点到直线y＝1的距离为1，直接写出m的取值范围；（3）如果点A（a，y1），B（a+2，y2）都在该抛物线上，当它的顶点在第四象限运动时，总有y1＞y2，求a的取值范围．【分析】（1）将抛物线解析式化为顶点式求解．（2）由抛物线开口向下可得抛物线顶点在直线y＝2与直线y＝0之间，从而列不等式求解．（3）由顶点在第四象限可得m的取值范围，由抛物线开口向下，y1＞y2，可得a与m之间的关系，进而求解．【解答】解：（1）∵y＝﹣x2+2mx﹣m2+m﹣2＝﹣（x﹣m）2+m﹣2，∴抛物线顶点坐标为（m，m﹣2）．（2）∵抛物线开口向下，∴当抛物线与直线y＝0有两个交点且与直线y＝2无交点时满足题意，∵抛物线顶点坐标为（m，m﹣2），∴0＜m﹣2＜2，解得2＜m＜4．（3）∵抛物线顶点（m，m﹣2）在第四象限，∴，解得0＜m＜2，∵抛物线开口向下，∴x≥m时，y随x增大而减小，∴点A，B在对称轴右侧时，满足题意，即a≥m，当点A在对称轴左侧时，设点A（a，y1）关于对称轴对称点A'坐标为（2m﹣a，y1），∴点B在A'右侧时，满足题意，即2m﹣a＜a+2，解得a＞m﹣1，∴a＞m﹣1，∵0＜m＜2，∴a≥1．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．10．（2022•平谷区一模）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2﹣2bx．（1）当抛物线过点（2，0）时，求抛物线的表达式；（2）求这个二次函数的对称轴（用含b的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点A（b﹣1，y1）和B（b+2，y2），当y1•y2＜0时，求b的取值范围．【分析】（1）将（2，0）代入解析式求解．（2）由抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．（3）根据抛物线开口方向及点A，B到对称轴的距离可得y2＞0，y1＜0，将两点坐标代入解析式求解．【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝x2﹣2bx得0＝4﹣4b，解得b＝1，∴y＝x2﹣2x．（2）∵y＝x2﹣2bx，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝b．（3）∵y＝x2﹣2bx，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝b，∵b﹣（b﹣1）＜b+2﹣b，∴点A与对称轴距离小于点B与对称轴距离，∴y2＞y1，∵y1•y2＜0，∴y2＞0，y1＜0，将（b﹣1，y1）代入y＝x2﹣2bx得y1＝（b﹣1）2﹣2b（b﹣1）＝﹣b2+1＜0，解得b＜﹣1或b＞1，将（b+2，y2）代入y＝x2﹣2bx得y2＝（b+2）2﹣2b（b+2）＝﹣b2+4＞0，∴﹣2＜b＜2，∴﹣2＜b＜﹣1或1＜b＜2满足题意．【点评】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．11．（2022•顺义区一模）在平面直角坐标系xOy中，点（2，﹣2）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．（1）求该抛物线的对称轴；（2）已知点（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在抛物线y＝ax2+bx﹣2（a＜0）上．若0＜n＜1，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．【分析】（1）将（2，﹣2）代入解析式可得a与b的关系，根据抛物线对称轴为直线x＝﹣求解．（2）由抛物线开口向下，可得与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，进而求解．【解答】解：（1）将（2，﹣2）代入y＝ax2+bx﹣2得﹣2＝4a+2b﹣2，∴b＝﹣2a，∴抛物线对称轴为直线x＝﹣＝1．（2）∵a＜0，∴抛物线开口向下，与抛物线对称轴距离越近的点的纵坐标越大，∵0＜n＜1，∴n﹣2＜n﹣1＜1＜n+1，∵1﹣（n﹣2）＝3﹣n，1﹣（n﹣1）＝2﹣n，n+1﹣1＝n，0＜n＜1，∴3﹣n＞2﹣n＞n，∴y1＜y2＜y3．【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数与方程及不等式的关系．12．（2022•大兴区一模）在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2ax+6．（1）若此二次函数图象的对称轴为x＝1．①求此二次函数的解析式；②当x≠1时，函数值y＞5（填“＞”，“＜”，“≥”或“≤”）；（2）若a＜﹣2，当﹣2≤x≤2时，函数值都大于a，求a的取值范围．【分析】（1）①根据对称轴公式即可求得a＝1，从而求得二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+6；②根据二次函数的性质即可得到结论；（2）解析式化成顶点式，即可得到抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a，函数有最小值为﹣a2+6，根据题意﹣当﹣2≤x≤2时，原函数的函数值y随x的增大而增大，求得x＝﹣2时，y＝10十4a，则10+4a＞a，解得a＞﹣，即可得出a的取值范围是a≤﹣3．【解答】解：（1）①∵二次函数y＝x2﹣2ax+6，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣＝a，∵对称轴为x＝1，∴a＝1，∴此二次函数的解析式为y＝x2﹣2x+6；②∵y＝x2﹣2x+6＝（x﹣1）2+5，∴当x＝1时，函数有最小值5，∴当x≠1时，函数值y＞5，故答案为：＞；（2）∵y＝x2﹣2ax+6＝（x﹣a）2﹣a2+6，∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝a，函数有最小值为﹣a2+6，∵a＜﹣2，∴当﹣2≤x≤2时，原函数的函数值y随x的增大而增大，∵x＝﹣2时，y＝4十4a+6＝10十4a，∴10+4a＞a，解得a＞﹣，∴a的取值范围为﹣＜a＜﹣2．【点评】本题考查了二次函数图形与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．。
北京各区一模代数综合(26题)
2018西城一模之樊仲川亿创作时间：二O二一年七月二十九日中,抛物线：与轴交于点,抛物线的顶点为,直线：．（1）当时,画出直线和抛物线,并直接写出直线被抛物线截得的线段长．（2）随着取值的变更,判断点,是否都在直线上并说明理由．（3）若直线被抛物线截得的线段长不小于,结合函数的图象,直接写出的取值规模．2018石景山一模26．在平面直角坐标系中,将抛物线（）向右平移个单位长度后得到抛物线,点是抛物线的顶点．（1）直接写出点的坐标；（2）过点且平行于x轴的直线l与抛物线交于,两点．①当时,求抛物线的表达式；②若,直接写出m的取值规模．2018平谷一模26．在平面直角坐标系xOy中,抛物线的对称轴为直线x =2．（1）求b的值；（2）在y轴上有一动点P（0,m）,过点P作垂直y轴的直线交抛物线于点A（x1,y1）,B（x2,y2）,其中．①当时,结合函数图象,求出m的值；②把直线PB下方的函数图象,沿直线PB向上翻折,图象的其余部分坚持不变,得到一个新的图象W,新图象W在0≤x≤5时,,求m的取值规模．2018怀柔一模26.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=nx2-4nx+4n-1(n≠0),与x 轴交于点C,D(点C在点D的左侧),与y轴交于点A．(1)求抛物线顶点M的坐标；(2)若点A的坐标为（0,3）,AB∥x轴,交抛物线于点B,求点B的坐标；(3)在(2)的条件下,将抛物线在B,C两点之间的部分沿y轴翻折,翻折后的图象记为G,若直线与图象G有一个交点,结合函数的图象,求m的取值规模．2018海淀一模26．在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线的顶点在x轴上,,（）是此抛物线上的两点．（1）若,①当时,求,的值；②将抛物线沿轴平移,使得它与轴的两个交点间的距离为4,试描述出这一变更过程；（2）若存在实数,使得,且成立,则的取值规模是．2018向阳一模26. 在平面直角坐标系xOy中,抛物线与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.（1）求点A,B的坐标；（2）若方程有两个不相等的实数根,且两根都在1,3之间（包含1,3）,结合函数的图象,求a的取值规模. 2018东城一模26．在平面直角坐标系xOy中,抛物线与x 轴交于A,B两点（点A在点B左侧）．（1）当抛物线过原点时,求实数a的值；（2）①求抛物线的对称轴；②求抛物线的顶点的纵坐标（用含的代数式暗示）；（3）当AB≤4时,求实数a的取值规模．2018丰台一模26．在平面直角坐标系xOy中,抛物线的最高点的纵坐标是2．（1）求抛物线的对称轴及抛物线的表达式；（2）将抛物线在1≤x≤4之间的部分记为图象G1,将图象G1沿直线x=1翻折,翻折后的图象记为G2,图象G1和G2组成图象G．过(0,b)作与y轴垂直的直线l,当直线l和图象G只有两个公共点时,将这两个公共点辨别记为P1(x1,y1),P2(x2,y2),求b的取值规模和x1+x2的值．2018房山一模26. 抛物线辨别交x轴于点A（－1,0）,C（3,0）,交y轴于点B,抛物线的对称轴与x轴相交于点D. 点P为线段OB 上的点,点E 为线段AB 上的点,且PE⊥AB. （1）求抛物线的表达式； （2）计算PEPB的值；（3）请直接写出12PB+PD 的最小值为.2018门头沟一模26.有一个二次函数满足以下条件：①函数图象与x 轴的交点坐标辨别为, (点B 在点A 的右侧)； ②对称轴是；③该函数有最小值是-2.（1）请按照以上信息求出二次函数表达式； （2）将该函数图象的部分图象向下翻折与原图象未翻折的部分组成图象“G”,平行于x 轴的直线与图象“G”相交于点、、（）,结合画出的函数图象求的取值规模.2018大兴一模26. 在平面直角坐标系xOy 中,抛物线,与y 轴交于点C,与x 轴交于点A ,B,且.（1）求的值；（2）当m=时,将此抛物线沿对称轴向上平移n 个单位,使平移后得到的抛物线顶点落在△ABC 的内部（不包含△ABC 的yxO边）,求n的取值规模（直接写出答案即可）．2018顺义一模26．在平面直角坐标系中,若抛物线顶点A的横坐标是-1,且与y轴交于点B（0,-1）,点P为抛物线上一点．（1）求抛物线的表达式；（2）若将抛物线向下平移4个单位,点P平移后的对应点为Q．如果OP=OQ,求点Q的坐标．2018通州一模26. 在平面直角坐标系中,点C是二次函数的图象的顶点,一次函数的图象与轴、轴辨别交于点,.（1）请你求出点A,B,C的坐标；（2）若二次函数与线段恰有一个公共点,求的取值规模.时间：二O二一年七月二十九日。
北京市各城区一模试题压轴题汇编代数综合
2012年北京各城区一模试题汇编代数综合1. (12海淀一模)已知关于x 的方程()03132=+++x m mx . （1）求证：不论为m 任意实数，此方程总有实数根；（2）若抛物线()3132+++=x m mx y 与x 轴交于两个不同的整数点，且m 为正整数，试确定此抛物线的解析式； （3）若点P （1x ，1y ）与点Q （n x +1，2y ）在（2）中抛物线上，（点P 、Q 不重合），且21y y =，求代数式81651242121++++n n n x x 的值.2. （12西城一模）已知关于x 的一元二次方程210x px q +++=的一个实数根为 2． (1) 用含p 的代数式表示q ；(2) 求证：抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点；(3) 设抛物线21y x p x q =++的顶点为M ，与 y 轴的交点为E ，抛物线221y x p x q =+++顶点为N ，与y 轴的交点为F ，若四边形FEMN 的面积等于2，求p 的值．3. （12丰台一模）已知：关于x 的一元二次方程：22240x mx m -+-=. （1）求证：这个方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线2224y x mx m =-+-与x 轴的交点位于原点的两侧，且到原点的距离相等求此抛物线的解析式；（3）将（2）中的抛物线在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，其余部分保持能够不变，得到图形C 1,将图形C 1向右平移一个单位,得到图形C 2，当直线y=x b +(b <0)与图形C 2恰有两个公共点时，写出b 的取值范围.4. （12石景山一模）已知：关于x 的方程()()01342=---+m x m x 有两个不相等的实数根．（1）求m 的取值范围；（2）抛物线C ：()()1342-+---=m x m x y 与x 轴交于A 、B 两点．若1-≤m 且直线1l :12--=x my 经过点A ,求抛物线C 的函数解析式； （3）在（2）的条件下，直线1l :12--=x my 绕着点A 旋转得到直线2l ：b kx y +=，设直线2l 与y 轴交于点D ，与抛物线C 交于点M （M 不与点A 重合），当23≤AD MA 时，求k 的取值范围．5. （12昌平一模）已知关于x 的方程（k +1）x 2+(3k -1)x +2k -2=0． （1）讨论此方程根的情况；（2）若方程有两个整数根，求正整数k 的值；（3）若抛物线y =（k +1）x 2+(3k -1)x +2k -2与x 轴的两个交点之间的距离为3，求k 的值．6. （12平谷一模）已知关于x 的二次函数2212m y x mx +=-+与2222m y x mx +=--，这两个二次函数图象中的一条．．与x 轴交于A 、B 两个不同的点. （1）试判断哪个二次函数的图象经过A 、B 两点（写出判断过程）； （2）若A 点坐标为（1-,0），求点B 的坐标；（3）在（2）的条件下，设点C 是抛物线上的一点，且△ABC 的面积为10，直接写出点C的坐标7. （12延庆一模）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y 1=mx 2-（2m+3）x+m+3与x 轴交于点A 、点B(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C （其中m>0）。
2020年北京初三一模代数综合
2020 一模代数综合题（东城）在平面直角坐标系xOy 中，横，纵坐标都是整数的点叫做整点．直线y=ax 与抛物线y=ax2 -2ax-1（a≠0）围成的封闭区域（不包含边界）为W.（1）求抛物线顶点坐标（用含 a 的式子表示）；1（2）当a= 时，写出区域W 内的所有整点坐标；2（3）若区域W 内有 3 个整点，求 a 的取值范围.（西城）已知抛物线y ax2 bx a 2（a 0）与x轴交于点A（x1 ，0），点B（x2 ，0）（点 A 在点B的左侧），抛物线的对称轴为直线x 1.（1）若点 A 的坐标为（3,0 ），求抛物线的表达式及点 B 的坐标；（2）C 是第三象限的点，且点 C 的横坐标为2 ，若抛物线恰好经过点C，直接写出x2的取值范围；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点D，点P在抛物线上，且∠ DOP =45°，若抛物线上满足条件的点P恰有4个，结合图象，求 a 的取值范围.海淀）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为.（1）当时，直接写出抛物线的对称轴;（2）若点在第一象限，且，求抛物线的解析式;（3）已知点. 若抛物线与线段BC有公共点，结合函数图象，直接写出的取值范围朝阳）在平面直角坐标xOy 中，抛物线y ax2 3ax a 1 与y 轴交于点A．系1）求点 A 的坐标（用含 a 的式子表示）；2）求抛物线的对称轴；3）已知点M（， a ），N（，a）．若抛物线与线段MN 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．丰台）已知二次函数y＝ax2﹣2ax．（1）二次函数图象的对称轴是直线x＝；（2）当0≤x≤3 时，y 的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；（3）若a<0，对于二次函数图象上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），当t ≤x1 ≤t+1，x2≥3请结合函数图象，直接写出t 的取值范围．顺义）在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点A（0，- 4）和B（-2，1）求 c 的值，并用含 a 的式子表示b；2）当-2<x<0 时，若二次函数满足y 随x 的增大而减小，求 a 的取值范围；3）直线AB 上有一点C（m，5），将点 C 向右平移 4 个单位长度，得到点D，若抛物线与线段求 a 的取值范围．时，均满足y1 ≥y2，2）.CD 只有一个公共点，（房山） 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y ax 2 bx 1交 y 轴于点 P . （1）过点 P 作与 x 轴平行的直线 ，交抛物线于点 Q ，PQ 4，求 b 的值；a（2）横纵坐标都是整数的点叫做整点 . 在（ 1）的条件下，记抛物线与 x 轴所围成的封闭区域（不含边界）为 W . 若区 域 W 内恰有 4 个整点，结合函数图象，求 a 的取值范围 .（平谷） .在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y x 2 2mx 得到点 B ．（ 1）直接写出点 A 与点 B 的坐标；（ 2）求出抛物线的对称轴（用含 m 的式子表示） ； （3）若函数 y x 2 2mx 1的图象与线段 AB 恰有一个公共1 图象与 y 轴的交点为 A ，将点 A 向右平移 4 个单位长度密云）在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y=ax2- 4ax+1（a>0）（1）抛物线的对称轴为；（2）若当1≤x≤5时，y 的最小值是-1，求当1≤x≤5 时，y 的最大值；（3）已知直线y=-x+3 与抛物线y=ax2-4ax+1（a>0）存在两个交点，设左侧的交点为点P（x1，y1），当-2≤x1<-1 时，求 a 的取值范围.y54321–5–4–3–2–1o延庆）.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax2 bx +3a （a≠0）过点A（1，0）．1）求抛物线的对称轴；（2）直线y=－x+4 与y 轴交于点B，与该抛物线的对称轴交于点C，现将点 B 向左平移一个单位到点D，如果该抛物线与线段CD 有交点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．通州)在平面直角坐标系中，存在抛物线以及两点.(1) 求该抛物线的顶点坐标;( 用含的代数式表示)(2) 若该抛物线经过点, 求此抛物线的表达式;(3) 若该抛物线与线段有公共点，结合图象，求的取值范围.燕山)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y ax2bx 3a(a 0) 经过点A(－1，0)．(1) 求抛物线的顶点坐标；(用含 a 的式子表示)(2) 已知点B(3，4)，将点B向左平移 3 个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围．y石景山）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax24ax b （a 0）的顶点A在x 轴上，与y 轴交于点B.（1）用含 a 的代数式表示 b ；（2）若BAO 45°，求 a 的值；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点.若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB 所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出 a 的取值范围.。
完整版北京市各区一模数学试题分类汇编——代几综合题;
2019 年北京市各区一模数学试题分类汇编——代几综合题2（海淀） 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = ax + bx + c( a > 0)经过点A(0，- 3)和B(30)，．（1）求c的值及a，b知足的关系式；（2）若抛物线在 A， B 两点间，从左到右上升，求a的取值范围；（3）结合函数图象判断：抛物线可否同时经过点M (- 1+ m，n)，N(4 - m，n) ？若能，写出一个吻合要求的抛物线的表达式和n 的值；若不能够，请说明原因．（西城） 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y x2mx n ．（1）当m = 2时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示极点的纵坐标；②若点 A(- 2, y1) ， B( x2 , y2 ) 都在抛物线上，且y2 > y1，则 x2的取值范围是_______；（2）已知点 P(－ 1,2)，将点 P 向右平移 4 个单位长度，获取点 Q．当 n＝3 时，若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，结合函数图像，求 m 的取值范围．（东城） 26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y mx26mx 9m 1(m 0)（1）求抛物线的极点坐标；（2）若抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A 和 B（点 A 在点 B 的左侧），且 AB=4，求 m 的值；（3）已知四个点 C（2,2）， D（2,0）， E（ 5,-2）， F（ 5,6），若抛物线与线段 CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出 m 的取值范围．（旭日） 26.在平面直角坐标系 xOy 中抛物线 y=x2-2x+a-3,当 a=0 时,抛物线与 y 轴交于点 A 将点 A 向右平移 4 个单位长度 ,获取点 B.(1)求点 B 的坐标；(2)将抛物线在直线 y=a 上方的部分沿直线 y=a 翻折 ,图象的其他部分保持不变获取一个新的图象记为图形 M,若图形 M 与线段 AB 恰有两个公共点，结合函数的图象 ,求 a 的取值范围 .（石景山） 26．在平面直角坐标系xOy 中，直线 y kx 1 ( k 0) 经过点 A(2,3) ，与y轴交于点B ，与抛物线y ax2bx a 的对称轴交于点 C(m,2) .（1）求m的值；（2）求抛物线的极点坐标；（3）N ( x1, y1)是线段AB上一动点，过点N 作垂直于 y 轴的直线与抛物线交于点P( x2, y2) ,Q( x3, y3)（点 P在点Q的左侧）．若x2x1x3恒建立，结合函数的图象，求a的取值范围．（丰台） 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax2bx c 过原点和点A（-2，0）.（1）求抛物线的对称轴；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点B（0，），记抛物线与直线AB 围成的关闭地区（不含界线）为W．①当 a=1时，求出地区W 内的整点个数；①若地区 W 内恰有 3 个整点，结合函数图象，直接写出 a 的取值范围．（房山） 26．在平面直角坐标系 xOy中，二次函数y x2mx n 的图象经过点A(-1 ， a)，B(3，a)，且极点的纵坐标为-4．（1）求 m，n 和 a 的值；（2）记二次函数图象在点A，B 间的部分为 G (含点 A 和点 B )，若直线y kx2与图象G有公共点，结合函数图象，求k 的取值范围．y54321o12345x–5 –4 –3 –2 –1–1–2–3–4–5（门头沟） 26．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x 4 的图象与x轴交于点A，与过点（0，5）平行于 x 轴的直线 l 交于点 B，点 A 对于直线 l 的对称点为点 C．（1）求点 B 和点 C 坐标；（2）已知某抛物线的表达式为y x22mx m2m ．①若是该抛物线极点在直线 y x 4 上，求m的值；②若是该抛物线与线段 BC 有公共点，结合函数图象，直接写出m 的取值范围．y12108642O2468x–10–8 –6 –4 –2–2–4–6（密云） 26．已知抛物线y x22mx m2 4 ，抛物线的极点为P.（1）求点 P 的纵坐标．（2）设抛物线 x 轴交于 A、 B 两点，A(x1, y1), B( x2, y2)，x2x1.①判断 AB 长可否为定值，并证明．②已知点 M（ 0， -4），且 MA≥5，求x2-x1m 的取值范围．y54321-5-4-3-2-112345x-1-2-3-4-5（平谷） 26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线y x22mx m2 3 与y轴交于点A，过A作AB∥x 轴与直线 x=4 交于 B 点．（1）抛物线的对称轴为 x= （用含 m 的代数式表示）；（2）当抛物线经过点 A， B 时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段 AB 下方的部分图象为 G（包含 A，B 两点），点 P（m,0）是 x 轴上一动点，过 P 作 PD⊥ x 轴于 P，交图象 G 于点 D，交 AB 于点 C，若 CD≤1，求 m 的取值范围．y654321–6–5–4–3–2–1O 1 2 3 4 5 6 x–1–2–3–4–5–6（通州） 26. 已知二次函数y x2ax b 在x0 和 x 4 时的函数值相等．（1）求二次函数y x2ax b 的对称轴；（2）过 P（ 0， 1）作x轴的平行线与二次函数y x2ax b的图象交于不同样样的两点 M 、N. ①当 MN 2 时，求 b 的值；②当 PM PN =4 时，请结合函数图象，直接写出 b 的取值范围．y4321x-3 -2 -1 O 1 2 3 4-1-2（延庆） 26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y ax24ax 3a 2 （a0 ）的对称轴与 x轴交于点 A，将点 A 向右平移 3 个单位长度，向上平移 2 个单位长度，获取点 B．（1）求抛物线的对称轴及点 B 的坐标；（2）若抛物线与线段 AB 有公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围．（燕山） 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax22ax 3a(a 0) 的极点为D，与x轴交于 A，B两点(A在 B的左侧)．(1)当 a 1 时，求点 A，B， D 的坐标；(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的地区内 (不含界线 )恰有 7 个整点，结合函数图象，求 a 的取值范围．yO 1x（顺义） 26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y mx2( m 3)x 3 （ m0）与x轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C , AB 4 ，点 D 为抛物线的极点.（1）求点A和极点D的坐标；（2）将点D向左平移 4 个单位长度，获取点E ,求直线BE的表达式；（3）若抛物线y ax2 6 与线段 DE 恰有一个公共点，结合函数图象，求 a 的取值范围.y654321O123456x-6 -5 -4 -3 -2 -1-1-2-3-4-5-6-7（怀柔） 26．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线y x22ax a2 2 的极点C，过点B（0，t）作与 y 轴垂直的直线 l ，分别交抛物线于 E，F 两点，设点 E（x1，1），点F （2，y x y2）（ x1＜ x2）．（1）求抛物线极点 C 的坐标；（2）当点 C 到直线 l 的距离为 2 时，求线段 EF 的长；（3）若存在实数 m，使得 x1≥m-1 且 x2≤m+5 建立，直接写出t 的取值范围．。
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2019 年北京市各区一模数学试题分类汇编——代几综合题2（海淀） 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = ax + bx + c( a > 0)经过点A(0，- 3)和B(30)，．（1）求c的值及a，b知足的关系式；（2）若抛物线在 A， B 两点间，从左到右上涨，求a的取值范围；（3）联合函数图象判断：抛物线可否同时经过点M (- 1+ m，n)，N(4 - m，n) ？若能，写出一个切合要求的抛物线的表达式和n 的值；若不可以，请说明原因．（西城） 26．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y x2mx n ．（1）当m = 2时，①求抛物线的对称轴，并用含n 的式子表示极点的纵坐标；②若点 A(- 2, y1) ， B( x2 , y2 ) 都在抛物线上，且y2 > y1，则 x2的取值范围是_______；（2）已知点 P(－ 1,2)，将点 P 向右平移 4 个单位长度，获得点 Q．当 n＝3 时，若抛物线与线段 PQ 恰有一个公共点，联合函数图像，求 m 的取值范围．（东城） 26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y mx26mx 9m 1(m 0)（1）求抛物线的极点坐标；（2）若抛物线与 x 轴的两个交点分别为 A 和 B（点 A 在点 B 的左边），且 AB=4，求 m 的值；（3）已知四个点 C（2,2）， D（2,0）， E（ 5,-2）， F（ 5,6），若抛物线与线段 CD 和线段EF 都没有公共点，请直接写出 m 的取值范围．（旭日） 26.在平面直角坐标系 xOy 中抛物线 y=x2-2x+a-3,当 a=0 时,抛物线与 y 轴交于点 A 将点 A 向右平移 4 个单位长度 ,获得点 B.(1)求点 B 的坐标；(2)将抛物线在直线 y=a 上方的部分沿直线 y=a 翻折 ,图象的其余部分保持不变获得一个新的图象记为图形 M,若图形 M 与线段 AB 恰有两个公共点，联合函数的图象 ,求 a 的取值范围 .（石景山） 26．在平面直角坐标系xOy 中，直线 y kx 1 ( k 0) 经过点 A(2,3) ，与y轴交于点B ，与抛物线y ax2bx a 的对称轴交于点 C(m,2) .（1）求m的值；（2）求抛物线的极点坐标；（3）N ( x1, y1)是线段AB上一动点，过点N 作垂直于 y 轴的直线与抛物线交于点P( x2, y2) ,Q( x3, y3)（点 P在点Q的左边）．若x2x1x3恒建立，联合函数的图象，求a的取值范围．（丰台） 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax2bx c 过原点和点A（-2，0）.（1）求抛物线的对称轴；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点B（0，），记抛物线与直线AB 围成的关闭地区（不含界限）为W．①当 a=1时，求出地区W 内的整点个数；①若地区 W 内恰有 3 个整点，联合函数图象，直接写出 a 的取值范围．（房山） 26．在平面直角坐标系 xOy中，二次函数y x2mx n 的图象经过点A(-1 ， a)，B(3，a)，且极点的纵坐标为-4．（1）求 m，n 和 a 的值；（2）记二次函数图象在点A，B 间的部分为 G (含点 A 和点 B )，若直线y kx2与图象G有公共点，联合函数图象，求k 的取值范围．y54321o12345x–5 –4 –3 –2 –1–1–2–3–4–5（门头沟） 26．在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y x 4 的图象与x轴交于点A，与过点（0，5）平行于 x 轴的直线 l 交于点 B，点 A 对于直线 l 的对称点为点 C．（1）求点 B 和点 C 坐标；（2）已知某抛物线的表达式为y x22mx m2m ．①假如该抛物线极点在直线 y x 4 上，求m的值；②假如该抛物线与线段 BC 有公共点，联合函数图象，直接写出m 的取值范围．y12108642O2468x–10–8 –6 –4 –2–2–4–6（密云） 26．已知抛物线y x22mx m2 4 ，抛物线的极点为P.（1）求点 P 的纵坐标．（2）设抛物线 x 轴交于 A、 B 两点，A(x1, y1), B( x2, y2)，x2x1.①判断 AB 长能否为定值，并证明．②已知点 M（ 0， -4），且 MA≥5，求x2-x1m 的取值范围．y54321-5-4-3-2-112345x-1-2-3-4-5（平谷） 26．平面直角坐标系xOy 中，抛物线y x22mx m2 3 与y轴交于点A，过A作AB∥x 轴与直线 x=4 交于 B 点．（1）抛物线的对称轴为 x= （用含 m 的代数式表示）；（2）当抛物线经过点 A， B 时，求此时抛物线的表达式；（3）记抛物线在线段 AB 下方的部分图象为 G（包括 A，B 两点），点 P（m,0）是 x 轴上一动点，过 P 作 PD⊥ x 轴于 P，交图象 G 于点 D，交 AB 于点 C，若 CD≤1，求 m 的取值范围．y654321–6–5–4–3–2–1O 1 2 3 4 5 6 x–1–2–3–4–5–6（通州） 26. 已知二次函数y x2ax b 在x0 和 x 4 时的函数值相等．（1）求二次函数y x2ax b 的对称轴；（2）过 P（ 0， 1）作x轴的平行线与二次函数y x2ax b的图象交于不一样的两点 M 、N. ①当MN 2 时，求 b 的值；②当 PM PN =4 时，请联合函数图象，直接写出 b 的取值范围．y4321x-3 -2 -1 O 1 2 3 4-1-2（延庆） 26．在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y ax24ax 3a 2 （a0 ）的对称轴与 x轴交于点 A，将点 A 向右平移 3 个单位长度，向上平移 2 个单位长度，获得点 B．（1）求抛物线的对称轴及点 B 的坐标；（2）若抛物线与线段 AB 有公共点，联合函数图象，求 a 的取值范围．（燕山） 26．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ax22ax 3a(a 0) 的极点为D，与x轴交于 A，B两点(A在 B的左边)．(1)当 a 1 时，求点 A，B， D 的坐标；(2)横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点 A，B 之间的部分与线段 AB 所围成的地区内 (不含界限 )恰有 7 个整点，联合函数图象，求 a 的取值范围．yO 1x（顺义） 26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y mx2( m 3)x 3 （ m0）与x轴交于 A 、 B 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于点 C , AB 4 ，点 D 为抛物线的极点.（1）求点A和极点D的坐标；（2）将点D向左平移 4 个单位长度，获得点E ,求直线BE的表达式；（3）若抛物线y ax2 6 与线段 DE 恰有一个公共点，联合函数图象，求 a 的取值范围.y654321O123456x-6 -5 -4 -3 -2 -1-1-2-3-4-5-6-7（怀柔） 26．在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线y x22ax a2 2 的极点C，过点B（0，t）作与 y 轴垂直的直线 l ，分别交抛物线于 E，F 两点，设点 E（x1，1），点F （2，y x y2）（ x1＜ x2）．（1）求抛物线极点 C 的坐标；（2）当点 C 到直线 l 的距离为 2 时，求线段 EF 的长；（3）若存在实数 m，使得 x1≥m-1 且 x2≤m+5 建立，直接写出t 的取值范围．。
2021北京初三一模数学汇编：代数综合(第26题)
2021北京初三一模数学汇编代数综合（第26题）一、解答题1．（2021·北京东城·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）在抛物线y ＝﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a 上，其中x 1＜x 2．(1)求抛物线的对称轴（用含a 的式子表示）；(2)①当x ＝a 时，求y 的值；②若y 1＝y 2＝0，求x 1的值（用含a 的式子表示）．(3)若对于x 1+x 2＜﹣4，都有y 1＜y 2，求a 的取值范围．2．（2021·北京西城·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221(0)y ax a x a 与y 轴交于点A ，过点A 作x 轴的平行线与抛物线交于点B ．（1）直接写出抛物线的对称轴；（2）若4AB ，求抛物线所对应的函数解析式；（3）已知点(4,1),(0,1)P a Q a ，如果抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，结合函数图象，求a 的取值范围．3．（2021·北京海淀·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线222(0)y ax ax a a ．分别过点(,0)M t 和点(2,0)N t 作x 轴的垂线，交抛物线于点A 和点B ．记抛物线在A ，B 之间的部分为图象G （包括A ，B 两点）．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）记图形G 上任意一点的纵坐标的最大值与最小值的差为m ．①当2a 时，若图形G m 的值；②若存在实数t ，使得2m ，直接写出a 的取值范围．4．（2021·北京朝阳·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线24(0)y ax bx a a 的对称轴是直线1x ．（1）求抛物线24(0)y ax bx a a 的顶点坐标；（2）当23x 时，y 的最大值是5，求a 的值；（3）在（2）的条件下，当1t x t 时，y 的最大值是m ，最小值是n ，且3m n ，求t 的值．5．（2021·北京石景山·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，点A 是抛物线22221y x mx m m 的顶点．（1）求点A 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）若射线OA 与x 轴所成的锐角为45 ，求m 的值；（3）将点(0,1)P 向右平移4个单位得到点Q ，若抛物线与线段PQ 只有一个公共点，直接写出m 的取值范围____．6．（2021·北京丰台·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2(1)y ax a x ．（1）若抛物线过点(2,0)，求抛物线的对称轴；（2）若 1122,,,M x y N x y 为抛物线上两个不同的点．①当124x x 时，12y y ，求a 的值；②若对于122x x ，都有12y y ，求a 的取值范围．7．（2021·北京通州·统考一模）已知二次函数221(0)y ax ax a ．（1）求此二次函数图象的对称轴；（2）设此二次函数的图象与x 轴交于不重合两点 1,0M x ， 2,0N x （其中12x x ），且满足1262x x ，求a 的取值范围．8．（2021·北京顺义·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线243(0)y ax ax a a 与y 轴交于点A ．（1）求点A 和抛物线顶点的坐标（用含a 的式子表示）；（2）直线3y ax a 与抛物线243y ax ax a 围成的区域（不包括边界）记作G ．横、纵坐标都为整数的点叫做整点．①当1a 时，结合函数图象，求区域G 中整点的个数；②当区域G 中恰有6个整点时，直接写出a 的取值范围．9．（2021·北京大兴·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2222(0)y x bx b b 经过点(,)A m n ．（1）用含b 的代数式表示抛物线顶点的坐标；（2）若抛物线经过点(0,2)B ，且满足03m ，求n 的取值范围；（3）若35m 时，2n ，结合函数图象，直接写出b 的取值范围．10．（2021·北京门头沟·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知关于x 的二次函数221y x tx（1）求该二次函数的对称轴；（2）若点(2,),(3,)M t m N t n 在抛物线221y x tx 上，试比较m 、n 的大小；（3） 1122,,,P x y Q x y 是抛物线221y x tx 上的任意两点，若对于113x 且23x ，都有12y y ，求t 的取值范围．11．（2021·北京房山·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)y ax ax c a 被x 轴截得的线段长度为4.（1）求抛物线的对称轴；（2）求c 的值（用含a 的式子表示）；（3）若点 1,3M x ， 2,3N x 为抛物线上不重合两点（其中12x x ），且满足 1250x x ，求a 的取值范围．12．（2021·北京平谷·统考一模）已知关于x 的二次函数223y x mx ．（1）当抛物线过点（2，-3）时，求抛物线的表达式，并求它与y 轴的交点坐标；（2）求这个二次函数的对称轴（用含m 的式子表示）；（3）若抛物线上存在两点(,)A a a 和(,)B b b ，当0,0a b 时，总有0a b ，求m 的取值范围．13．（2021·北京延庆·统考一模）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1：y ＝﹣2x +6与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ，二次函数的图象过A ，B 两点，且与x 轴的另一交点为点C ，BC ＝2；(1)求点C的坐标；(2)对于该二次函数图象上的任意两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），当x1＞x2＞2时，总有y1＞y2．①求二次函数的表达式；②设点A在抛物线上的对称点为点D，记抛物线在C，D之间的部分为图象G（包含C，D两点）．若一次函数y＝kx﹣2（k≠0）的图象与图象G有公共点，结合函数图象，求k的取值范围．参考答案1．(1)对称轴为直线x ＝a ﹣1(2)①y =0；②x 1＝a ﹣2(3)a ≥﹣1【分析】（1）根据抛物线的对称轴x ＝﹣2b a求解即可；（2）①将x ＝a 代入y ＝﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a 求解即可；②若y 1＝y 2＝0，则﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0，解方程并根据x 1＜x 2，求出x 1的值．（3）由题意得出x 1＜﹣2，则只需讨论x 1＜a ﹣1的情况，分两种情况：①当a ≥﹣1时，又有两种情况：x 1＜x 2＜a ﹣1，x 1＜a ﹣1＜x 2，分别结合二次函数的性质及x 1+x 2＜﹣4计算即可；②当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意．【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线x ＝﹣2(1)2a ＝a ﹣1；（2）解：①当x ＝a 时，y ＝﹣a 2+（2a ﹣2）a ﹣a 2+2a＝﹣a 2+2a 2﹣2a ﹣a 2+2a＝0；②当y 1＝y 2＝0时，﹣x 2+（2a ﹣2）x ﹣a 2+2a ＝0，∴x 2﹣（2a ﹣2）x +a 2﹣2a ＝0，∴（x ﹣a +2）（x ﹣a ）＝0，∵x 1＜x 2，∴x 1＝a ﹣2；（3）解：①当a ≥﹣1时，∵x 1＜x 2，x 1+x 2＜﹣4，∴x 1＜﹣2，只需讨论x 1＜a ﹣1的情况．若x 1＜x 2＜a ﹣1，∵x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，符合题意；若x 1＜a ﹣1＜x 2，∵a ﹣1≥﹣2，∴2（a ﹣1）≥﹣4，∵x 1+x 2＜﹣4，∴x 1+x 2＜2（a ﹣1）．∴x 1＜2（a ﹣1）﹣x 2．∵x ＝2（a ﹣1）﹣x 2时，y 1＝y 2，x ＜a ﹣1时，y 随着x 的增大而增大，∴y 1＜y 2，符合题意．②当a ＜﹣1时，令x 1＝a ﹣1，x 2＝﹣2，此时x 1+x 2＜﹣4，但y 1＞y 2，不符合题意；综上所述，a 的取值范围是a ≥﹣1．【点睛】本题属于二次函数的综合题，涉及二次函数的性质、求函数值、运用二次函数求不等式等知识点，灵活运用二次函数的性质成为解答本题的关键．2．（1）x a ；（2）2281y x x 或2281y x x ；（3）40a 或04a 【分析】(1)根据对称轴公式求解即可；(2)根据AB 两点坐标，求出对称轴，即可求出a ；(3)确定点P 在AB 上，结合图象，根据抛物线与线段PQ 恰有一个公共点，确定P 点与B 点的位置即可．【详解】解：(1)根据对称轴公式可得，222a x a a；（2）∵抛物线22210y ax a x a （）与y 轴的交点为A ，∴点A 的坐标为 0,1A ．∵过A 所作x 轴的平行线与抛物线的交点为B ，4AB ，∴点B 的坐标为 4,1或 4,1 ．∴抛物线的对称轴为直线2x 或2x ．∴2a 或2a ．∴抛物线所对应的函数解析式为2281y x x 或2281y x x ．（3）∵过A 所作x 轴的平行线与抛物线22210y ax a x a （）的交点为B ，∴点B 的纵坐标为1.∴点B 的横坐标是关于x 的方程22211ax a x 的解．解得1202x x a ，．∴点B 的坐标为 2,1B a ．又∵点P 的坐标为 4,1P a ，∴点P 在直线AB 上．①如图4，当0a 时，20,11,4a a a a ．∴ 2,1B a 在 0,1A 右侧，且 0,1Q a 的y 轴上 0,1A 的上方， 4,1P a 在抛物线的对称轴右侧．∵抛物线 22210y ax a x a 与线段PQ 恰有一个公共点，∴结合图象可得，点P ，点B 的横坐标P x ，B x 满足P B x x ．∴042a a a，解得04a ．②如图5，当a<0时，20,11,4a a a a ，∴ 2,1B a 在 0,1A 左侧，且 0,1Q a 的y 轴上 0,1A 的下方， 4,1P a 在抛物线的对称轴右侧．∵抛物线 22210y ax a x a 与线段PQ 恰有一个公共点，∴结合图象可得，点P ，点A 的横坐标,P A x x 满足P A x x ，∴040a a ，解得40a ．综上所述，40a 或04a ．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解题关键是树立数形结合思想，结合图象，熟练运用二次函数相关性质解决问题．3．（1）(1,2) ；（2）①2m ；②02a ．【分析】（1）将抛物线的一般式改为顶点式即可写出其顶点坐标．（2）①由2a 可知抛物线解析式为22(1)2y x ，再由对称的性质即可求出t 的值．最后由增减性即可求出m 的值．②分四种情况讨论：t ≤-1，-1＜t ≤0，0＜t ＜1，t ≥1，根据m =2分别列出方程，由t 的范围即可求出a 的范围．．【详解】（1）抛物线的解析式为2222(1)2y ax ax a a x ，∴抛物线的顶点坐标为(1)2 ，．（2）①当2a 时，抛物线为22(1)2y x ，其对称轴为1x ．∵图象G 为轴对称图形，∴点A ，B 必关于对称轴1x 对称．∵点A 的横坐标为t ，点B 的横坐标为2t ，∴2AB ，∴0 t ，即点A 为(0)0，，点B 为(2)0，．∵当01x 时，y 随x 的增大而减小；当12x 时，y 随x 的增大而增大，∴图象G 上任意一点的纵坐标最大值为0，最小值为2 ．∴0(2)2m ．②∵过点M （t ，0）和点N （t +2，0）作x 轴的垂线，交抛物线于点A 和点B ，∴A （t ，at 2-2at +a -2），B （t +2，a （t +2）2-2a （t +2）+a -2），又a ＞0，抛物线对称轴x =1，（Ⅰ）当t +2≤1，即t ≤-1时，图象G 上A 的纵坐标的值最大，B 的纵坐标的值最小，（at 2-2at +a -2）-[a （t +2）2-2a （t +2）+a -2]=2，解得t =-12a ，∴-12a≤-1，∴a ≤12；（Ⅱ）当t ＜1＜t +2，且t +2-1≤1-t ，即-1＜t ≤0时，图象G 上A 的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，∴（at 2-2at +a -2）-（-2）=2，∴22(1)a t ，又-1＜t ≤0，∴12＜a ≤2；（Ⅲ）当t ＜1＜t +2，且t +2-1＞1-t ，即0＜t ＜1时，图象G 上B 的纵坐标的值最大，顶点纵坐标的值最小，∴a （t +2）2-2a （t +2）+a -2-（-2）=2，∴22(+1)a t ，又0＜t ＜1，∴12＜a ＜2；（四）当t ≥1时，图象G 上B 的纵坐标的值最大，A 的纵坐标的值最小，∴a （t +2）2-2a （t +2）+a -2-（at 2-2at +a -2）=2，∴t =12a，又t ≥1，∴a ≤12，综上所述，若存在实数t ，使得m =2，则0＜a ≤2．【点睛】本题考查二次函数知识的综合应用，解题的关键是分类讨论图象G 上纵坐标的最大值与最小值列方程．4．（1）（1，-4）；（2）1；（3）-1或2【分析】（1）根据对称轴可得a 与b 间的关系b =-2a ，把这个关系式代入函数解析式中，配方即可得顶点坐标；（2）首先，由于抛物线的顶点在所给自变量的范围内，若a 为负，则在所给自变量范围内，函数的最大值是相互矛盾的，故可排除a 为负的情况，所以a 为正．再由于x 轴上-2与1的距离大于3与1的距离，根据抛物线的性质，函数在x =-2处取得最大值，从而可求得a 的值．（3）分三种情况讨论：即分别考虑顶点的横坐标是在1t x t 范围内、在这个范围的左边、在这个范围的右边三种情况；对每种情况分别求出最大值和最小值，然后可求得t 的值．【详解】解：（11x ，∴12b a ．∴2b a ．∴2224(1)4 y ax ax a a x ．∴顶点坐标为 1,4 ．（2）若a <0，则抛物线的开口向下，从而y 有最大值4∵当23x 时，y 的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线x =1，∴函数此时在1x 时取得最大值5，这与y 有最大值4矛盾，从而a >0．∴抛物线的顶点为图象的最低点．∵1-（-2）>3-1∴当2x 时，5y ．代入解析式，得2(21)45,a 1a ．（3）①当11t t 时，此时0≤t ≤1，∴n 4，函数的最大值在t +1或t 处取得，即24m t 或2(1)4m t ∴m 的最大值为3 ．此时1m n ．不符合题意，舍去．②当11t ，即0t 时，22(1)4,(11)4 m t n t ．∵3m n ，∴1t ．③当1t 时，同理可得2t ．综上所述，1t 或2t ．【点睛】本题是二次函数的综合题，解决后两问的关键是分清顶点的横坐标与所给自变量的范围之间的位置关系，即它是在自变量的范围内、还是在自变量范围左边或自变量范围右边，才能确定函数的最大值与最小值，这其实就是分类讨论，这也是同学们易于忽略的．5．（1） ,21A m m ；（2）1m 或13；（3）08m 且m ≠2【分析】（1）直接将解析式配成顶点式，然后可求点A 的坐标；（2）由OA 与x 轴所成的锐角为45 ，则点A 的坐标轴距离相等，所以需要分类讨论，即横坐标与纵坐标相等，或者横坐标与纵坐标互为相反数，同时也可以发现点A 在直线21y x 上运动，然后问题可求解；（3）先由平移知识可以得到点Q 的坐标，且PQ ∥x 轴，画出草图，可以发现，顶点A 所在直线21y x 也经过点P ，并且当A 与P 重合时，此时m 取最小值，当A 沿直线21y x 向上运动时，m 值越来越大，最大值位置是当抛物线刚好经过点Q ，同时要注意排除抛物线与直线PQ 的两个交点均落在线段PQ 上的特殊情况即可．【详解】解：（1）把抛物线22221y x mx m m 配成顶点式为： 221y x m m ，∴顶点 ,21A m m ；（2）设,21x m y m ，消掉m ，可得21y x ，∴点A 在直线21y x 上运动，∴点A 所在象限可能为第一、第二、第三象限，∵射线OA 与x 轴所成的锐角为45 ，∴可以分两类讨论：①当A 在第一、第三象限时，21m m ，解得：m =-1，②当A 在第二象限时，210m m ，解得：13m ，∴综上所述：13m 或-1；（3）当点(0,1)P 向右平移4个单位得到点Q ，则有 4,1Q ，且PQ ∥x 轴，∵抛物线与线段PQ 只有一个公共点，且顶点A 在直线21y x 上运动，∴由图1可得，当顶点A 与P 重合时，符合条件，此时m =0，如图2，当顶点A 沿直线21y x 向上运动时，抛物线与直线PQ 均有两个交点，当抛物线经过点Q 时，即当x =4，y =1时， 24211m m ，解得：2m 或8，当2m 时，抛物线为 225y x ，它与线段PQ 的交点为P 和Q ，有两个交点，不符合题意，舍去，当8m 时，抛物线对称轴右侧的部分刚好经过点Q ，符合题意；∴当08m 且m ≠2时，抛物线与线段PQ 只有一个公共点；故答案为08m 且m ≠2．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，主要考查的是数形结合思想，根据题意充分挖掘题目中的数据参数是画图的关键．6．（1）抛物线的对称轴1x ；（2）①1=5a ；②105a ．【分析】（1）抛物线2(1)y ax a x 过点(2,0)，可得42(1)=0a a ，解得：1a ，抛物线为22y x x ，利用抛物线的对称轴公式求即可，（2）①又 1122,,,M x y N x y 为抛物线上两个不同的点．可得 222111222(1)1y ax a x y ax a x ；，当124x x 时，12y y ，可得， 221212(1)10ax ax a x a x ，因式分解得 121210x x a x x a ，可得 1210a x x a ，可求1=5a ，②若对于122x x ，都有12y y ，当0a 时，抛物线开口向上，抛物线对称轴，抛物线对称轴为：11022x a，在对称轴左侧，在直线x =-2的右侧可满足，而在对称轴右侧，则有122x x ，都有12y y ，故0a 不可能，当a<0， 1122,,,M x y N x y 在对称轴右侧，都有12y y ，抛物线对称轴在直线x =-2左侧，可抛物线对称轴为： 1112222a x a a，解得15a 即可．【详解】解：（1）抛物线2(1)y ax a x 过点(2,0)，则42(1)=0a a ，解得：1a ，抛物线为22y x x ，抛物线的对称轴21221b x a ，（2）①∵ 1122,,,M x y N x y 为抛物线上两个不同的点．222111222(1)1y ax a x y ax a x ；，当124x x 时，12y y ，22112212(1)14ax a x ax a x x x ， 221212(1)10ax ax a x a x ，因式分解得 121210x x a x x a ，∵12x x ，124x x ，∴ 1210a x x a ，∴410a a ，∴1=5a ，②若对于122x x ，都有12y y ，221122(1)1ax a x ax a x ，121210x x a x x a ，∵122x x ，∴120x x ，∴ 1210a x x a ，12224x x x ，当0a 时，抛物线开口向上，抛物线对称轴，抛物线对称轴为： 1110222a x a a，在对称轴左侧，在直线x =-2的右侧可满足，而在对称轴右侧，则有122x x ，都有12y y ，故0a 不可能，当a<0， 1122,,,M x y N x y 在对称轴右侧，都有12y y ，当抛物线对称轴在直线x =-2的左侧，即抛物线对称轴为： 1112222a x a a，整理得15a ，解得15a ，∴105a ．【点睛】本题考查抛物线解析式与对称轴，解一元一次方程，因式分解，抛物线的性质，解一元一次不等式，掌握抛物线解析式与对称轴，解一元一次方程，因式分解，抛物线的性质，解一元一次不等式，利用两函数值相等构造方程，利用抛物线增减性结合对称轴列不等式是解题关键．7．（1）1x ；（2）1a 或18a 【分析】（1）根据对称轴的公式2b x a代入计算即可；（2）分a ＞0，a ＜0两种情况讨论，利用二次函数图像上点的坐标特征可得到关于a 的一元一次不等式，解之即可得出a 的取值范围．【详解】（1）∵221(0)y ax ax a ，∴a a ，2a a ，∴(2)12a x a（2）∵由（1）得对称轴为1x ，∴ 12112x x ，即122x x 又∵12126226x x x x ，，即122+6x x x ，∴24x 若0a 时，当1x 时，210,1a a a 若a<0时，当4x 时，116810,8a a a所以1a 或18a 【点睛】本题考查了二次函数的对称轴，二次函数图像的性质和分类讨论的思想，熟记二次函数图像特征是解题的关键．8．(1)A 的坐标为（0，3a ），顶点为（2，﹣a ）；（2）①2个；②1.5＜a ≤2．【分析】（1）把抛物线解析式化成顶点式直接可求；（2）①由已知求出解析式，画出函数图象，观察图象可得；②确定抛物线与直线与坐标轴的交点，明确区域位置，结合函数图像求取值范围即可．【详解】解：（1）∵y ＝ax 2﹣4ax +3a ＝a （x ﹣2）2﹣a ，∴顶点为（2，﹣a ）；把x=0代入243y ax ax a 得，3y a ，点A 的坐标为（0，3a ）；（2）①∵a ＝1，∴抛物线解析式为：y ＝x 2﹣4x +3，顶点坐标为（2，-1），与y 轴交点为（0,3），当y=0时，0＝x 2﹣4x +3，解得11x ，23x ，与x 轴的两个交点分别是（1,0）和（3,0），直线解析式为：3y x ，当x=0时，y=3,当y=0时，x=3，直线与x 轴、y 轴交点分别是（3，0）和（0,3）；在平面直角坐标系中画出图象如图所示：观察图象可知，区域G 中整点的个数为2个，分别是（1,1），（2,0）；②由图象可知抛物线经过（1,0），（3,0），（0,3），直线经过（0,3）和（3,0），故区域内整点横坐标只能是1或2，如图所示当a=2时，区域内恰好有6个整点，当a ＞2时，区域内的整点多于6个，当a=1.5时，区域内恰好有5个整点，综上所述：1.5＜a ≤2．【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的综合，解题关键是熟练运用函数知识进行计算，树立数形结合思想，结合函数图象解决问题．9．(1)（b ，-2）,（2）22n ，（3）35b ．【分析】(1)把抛物线配成顶点式即可；(2)把点(0,2)B 代入解析式，求出解析式后，再根据03m ，确定n 的取值范围即可；(3)把（3，2）（5，2）代入求出b 值，画出函数图象，根据图象直接判断即可．【详解】解：(1)2222y x bx b 化成顶点式为：2()2y x b ，抛物线顶点的坐标为（b ，-2）；(2)把(0,2)B 代入解析式得，222b ，解得，12b （舍去），22b ，抛物线解析式为：2242(2)2y x x x ，因为抛物线开口向下，当2m 时，n 有最小值，最小值为-2，当0m 时，n =2，当3m 时，n =-1，所以，n 的取值范围为：22n ；(3)把（3,2）代入2222y x bx b 得，22962b b ，解得，11b ，25b ，观察图象，当5b 时，满足35m 时，2n ；把（5,2）代入2222y x bx b 得，2225102b b ，解得，13b ，27b ，观察图象，当3b 时，满足35m 时，2n ；故b 的取值范围为35b ．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，解题关键是熟练掌握二次函数性质，运用数形结合思想，直观的解决问题．10．（1）x t ；（2）m n ；（3）1t ．【分析】（1）根据抛物线对称轴方程求解即可；（2）根据抛物线图象的增减性求解即可（3）分1t 和1t 两种情况讨论求解即可．【详解】解：（1）∵22222()2y x tx x t t ∴该抛物线的对称轴为直线x t（2）∵抛物线图象开口向上∴抛物线图象上点到对称轴的距离越远，函数值越大，∵ 2,,3,M t m N t n 在抛物线上，∴点M 到对对称轴的距离为2，点N 到对称轴的距离为3，∴m n（3）当1t 时，此时1213,3x x 都有12y y ，符合题意；当1t 时，令11x 时，12y y ，不符合题意，综上所述，t 的取值范围是1t ．【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，解题的关键是需要掌握二次函数的性质．11．（1）对称轴为直线1x ；（2）3c a ；（3）a 的取值范围为104a 或314a 【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式可直接进行求解；（2）设抛物线与x 轴的交点横坐标分别为12,x x ，且1x 在2x 的右侧，由题意可得124x x ，然后根据韦达定理可进行求解；（3）由（2）及点 1,3M x ， 2,3N x 为抛物线上不重合两点（其中12x x ），可得：12,x x 即为方程2233ax ax a 的两个不相等的实数根，则根据一元二次方程根的判别式可得0a 或34a ，根据一元二次方程的公式法可得1x a，由韦达定理可得：1233x x a ，进而可分①当0a 时，由12x x 可知：11x 34a 时，由12x x 可知：11x ，然后由题意可进行求解．【详解】解：（1）由抛物线 220y ax ax c a 可得：抛物线的对称轴为直线212a x a；（2）设抛物线与x 轴的交点横坐标分别为12,x x ，且1x 在2x 的右侧，由题意可得124x x ，∴220ax ax c ，∴根据韦达定理可得12122,c x x x x a，∴ 22121212416x x x x x x ，即4416c a，解得：3c a ；（3）由（2）及点 1,3M x ， 2,3N x 为抛物线上不重合两点（其中12x x ），可得：12,x x 即为方程2233ax ax a 的两个不相等的实数根，∴ 22444330b ac a a a ，解得：0a 或34a ，∴根据一元二次方程的公式法可得1x a，由韦达定理可得：1233x x a，①当0a 时，由12x x 可知：11x ∵ 1250x x ，即21105x x x ，∴03351a a 8 ，解得：114a，∵0a ，∴104a ；②当34a 时，由12x x 可知：11x由①可得03351a a ，化简得：8 ，解得：114a，∵34a ，∴314a ；综上所述：a 的取值范围为104a 或314a ．【点睛】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系是解题的关键．12．（1）2=23y x x ，与y 轴交点 0,3 ；（2）对称轴x m ；（3）0m ．【分析】(1)根据抛物线过点（2，-3），求得1m ，即可得出抛物线的表达式；(2)对223y x mx 进行变形，得到22()(3)y x m m ，即可求出二次函数的对称轴；(3)根据函数开口向上，当0,0a b 时，总有0a b ，可知||||b a ，a b ，即A 点的函数值大于B 点的函数值，根据距离对称轴远函数值大列出不等式求解即可．【详解】（1）解：∵抛物线过点 2,3 ，∴3443m ，解得：1m ，∴抛物线的表达式为：2=23y x x ，当0x 时，=3y ，∴与y 轴的交点坐标为(0,3) ，（2）∵223y x mx ，∴22()(3)y x m m ，∴x m 时，2(3)y m ，故对称轴为x m ，（3）由函数表达式223y x mx 可知函数开口向上，∵0a b ，∴||||b a ，a b ，∴m a b m ，即20m a b 【点睛】本题主要考查了二次函数,熟练掌握求解析式，交点坐标，正确读懂题意是解题的关键．13．(1)（1，0）或（5，0）；(2)①y ＝2x 2−8x ＋6；②0＜k ≤2．【分析】（1）把y ＝0代入y ＝−2x ＋6中，可得B 的坐标，已知中BC ＝2，即可得C 的坐标；（2）①在y ＝−2x ＋6中令x ＝0，则可求A 的坐标．设二次函数解析式为y ＝ax 2＋bx ＋c ，分别把A 、B 代入抛物线解析式，求出C （1，0）和C （5，0）时抛物线解析式．由已知条件知x ＞2时，二次函数y 随x 的增大而增大，即可得抛物线表达式；②根据抛物线对称性可得D 坐标为（4，6），求出直线CD 的解析式为y ＝2x −2，可知E （0，－2）在直线CD 上，且直线y ＝kx −2过点E （0，－2），如图，直线y ＝k 2x −2过E 点且与二次函数图象只有一个交点F ，求出此时k 2的值，即可确定k 的取值范围．（1）解：令y ＝−2x ＋6中y ＝0，则x ＝3，∴B 点为（3，0），∵C 在x 轴上且BC ＝2，∴C 的坐标为（1，0）或（5，0）；（2）解：①设二次函数的表达式为：y ＝ax 2＋bx ＋c ，令y ＝−2x ＋6中x ＝0，则y ＝6，∴A 点为（0，6），把A 点（0，6）代入到二次函数中，得6＝c ，把B （3，0）代入到二次函数中得：0＝9a ＋3b ＋6，当C 为（1，0）时，代入得0＝a ＋b ＋c ＝a ＋b ＋6，解得：a ＝2，b ＝−8，∴y ＝2x 2−8x ＋6；当C 为（5，0）时，代入得0＝25a ＋5b ＋c ＝25a ＋5b ＋6，解得：a ＝25，b ＝−165，∴y ＝2216655x x ，∵任意两点P 1（x 1，y 1）P 2（x 2，y 2），当x 1＞x 2＞2时，总有y 1＞y 2，∴当x ＞2时，二次函数y 随x 的增大而增大，当二次函数解析式为y ＝2x 2−8x ＋6时，对称轴为直线x ＝824，∵a ＝2＞0，∴抛物线开口向上，∴当x ＞2时，二次函数y 随x 的增大而增大，符合要求；当二次函数解析式为y ＝2216655x x 时，对称轴为直线x ＝165445，∵a ＝25＞0，∴抛物线开口向上，∴当2＜x ＜4时，二次函数y 随x 的增大而减小，不符合要求，舍去，综上，二次函数解析式为y ＝2x 2−8x ＋6；②∵A （0，6），二次函数y ＝2x 2−8x ＋6的对称轴为x ＝824，∴D 点坐标为（4，6），设直线CD 解析式为y ＝ax ＋b ，把C （1，0）、D （4，6）代入得：046a b a b ，解得：22a b ，∴直线CD 解析式为y ＝2x −2，∴直线CD 必过点E （0，－2），∵直线y ＝kx −2必过点E （0，－2），∴如图，作直线y ＝k 1x −2过C 、D 、E 点，则k 1＝2，直线y ＝k 2x −2过E 点且与二次函数图象只有一个交点F ，联立222286y k x y x x 得：222862x x k x ，整理得： 222880x k x ，令△＝（8＋k 2）2−4×2×8＝0，解得k 2＝0，∵k 2≠0，∴当0＜k ≤2时，一次函数y ＝kx ﹣2（k ≠0）的图象与图象G 有公共点．第21页/共21页【点睛】本题考查二次函数应用，解决本题的关键是掌握待定系数法求二次函数解析式和一次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数与二次函数的交点问题等．。
2021北京中考数学一模分类汇编——代数式运算(学生版)
2021北京中考数学一模分类汇编——代数式运算一．选择题（共1小题）1．（2021•通州区一模）如果a﹣b＝2，那么代数式（﹣2b）•的值是（）A．2B．﹣2C．D．二．填空题（共5小题）2．（2021•海淀区一模）计算：（﹣）•＝．3．（2021•石景山区一模）若，则代数式的值是．4．（2021•大兴区一模）化简：＝．5．（2021•平谷区一模）计算1﹣＝．6．（2021•延庆区一模）如果a+2b＝﹣1时，那么代数式（+2）•的值．三．解答题（共10小题）7．（2021•海淀区一模）已知a2+a﹣1＝0，求代数式（a+2）（a﹣2）+a（a+2）的值．8．（2021•西城区一模）已知x2+3x﹣4＝0，求代数式（2x+1）（2x﹣1）﹣3x（x﹣1）的值．9．（2021•东城区一模）已知2x2﹣10x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（2x﹣1）﹣（x+1）2的值．10．（2021•朝阳区一模）已知2y2﹣y﹣1＝0，求代数式（2y+x）（2y﹣x）﹣（2y﹣x2）的值．11．（2021•丰台区一模）已知x2+x﹣1＝0，求代数式（x+1）2+（x+1）（2x﹣1）的值．12．（2021•门头沟区一模）已知x2+4x﹣1＝0，求代数式（x+2）2﹣（x+3）（x﹣3）+x2的值．13．（2021•大兴区一模）已知x2﹣3x﹣1＝0，求代数式（x+2）（x﹣2）﹣x（3x﹣6）的值．14．（2021•房山区一模）已知3x2﹣x﹣1＝0．求代数式（x﹣2）2+5x（x+1）﹣3x的值．15．（2021•平谷区一模）先化简，再求值：x2+2x﹣1＝0，求代数式（x﹣1）（x+1）+2（x ﹣3）的值．16．（2021•顺义区一模）已知a2+2a﹣1＝0，求代数式（a﹣1）（a+1）+2（a﹣1）的值．。
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教师版2016东城一模27．已知关于x 的一元二次方程mx 2+（3m +1）x +3=0． （1）当m 取何值时，此方程有两个不相等的实数根；（2）当抛物线y =mx 2+（3m +1）x +3与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数时，求此抛物线的解析式；（3）在（2）的条件下，若P （a ，y 1），Q （1，y 2）是此抛物线上的两点，且y 1＞y 2，请结合函数图象直接写出实数a 的取值范围． （1）由题意可知，2224(31)43(31)0b ac m m m ∆=-=+-⨯=->，∴当13m ≠且0m ≠时，此方程有两个不相等的实数根. …………2分（2）2b x a -==， ∴1213,x x m=-=-. ∵抛物线与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且m 为正整数， ∴m =1.∴ 抛物线的解析式为243y x x =++. …………5分（3）a >1或a <-5.2016西城一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线21C y x bx c ++：＝经过点()2,3A -，且与x 轴的一个交点为()30B ，． （1）求抛物线1C 的表达式；（2）D 是抛物线1C 与x 轴的另一个交点，点E 的坐标为()0m ，，其中0m >，ADE V 的面积为214． ①求m 的值；②将抛物线1C 向上平移n 个单位，得到抛物线2C ，若当0x m ≤≤时，抛物线2C 与x 轴只有一个公共点，结合函数的图象，求n 的取值范围． 2016朝阳一模27．27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线经过点（0，–3），（2，–3）． （1）求抛物线的表达式；（2）求抛物线的顶点坐标及与x 轴交点的坐标；（3）将（y ≤0）的函数图象记为图象A ，图象A 关于x 轴对c bx x y ++=2c bx x y ++=2称的图象记为图象B ．已知一次函数y=mx +n ，设点H 是x 轴上一动点，其横坐标为a ，过点H 作x 轴的垂线，交图象A 于点P ，交图象B 于点Q ，交一次函数图象于点 N ．若只有当1<a<3时，点Q 在点N 上方，点N 在点P 上方，直接写出n 的值．（1）把（0，–3）代入，∴把（2，–3）代入 ∴． ………………2分 （2）由（1）得2(1)4y x =--．∴顶点坐标为（1，–4）．……………3分由2230x x --=解得123,1x x ==-．∴抛物线与x 轴交点的坐标为（–1，0），（3，0）．…………………………5分（3）． .…………………………………………………………………c bx x y ++=2．3-=c ，32-+=bx x y ．2-=b 322--=x x y 6±…7分2016海淀一模27．在平面直角坐标系中，抛物线（0m ≠）的顶点为A ，与 x 轴交于B ，C 两点（点B在点C 左侧），与y 轴交于点D ． （1）求点A 的坐标； （2）若BC =4，①求抛物线的解析式；②将抛物线在C ，D 之间的部分记为图象G （包含xOy 224y mx mx m =-+-C ，D 两点）．若过点A 的直线与图象G 有两个交点，结合函数的图象，求k 的取值范围．2016丰台一模27. 已知抛物线21(2)262y x m x m =+-+-的对称轴为直线x =1，与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求m 的值；（2）求A ，B ，C 三点的坐标；（3）过点C 作直线l ∥x 轴，将该抛物线在y 轴左侧的部分沿直线l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，记为G ．请你结合图象回答：当直线b x y +21=与图象G 只有一个公共点时，求b 的取值范围．+(0)y kx b k =≠y27. 解：（1）∵抛物线的对称轴为直线1x =,∴21m -+=.∴1m =. ----------------- 1分（2）令0y =, ∴2140.2x x --=解得122, 4.x x =-= ∴(2,0),(4,0).A B - 令0x =，则 4.y =-∴(0,4).C - ----------------- 4分 （3）由图可知，①当直线过(0,4)C -时， 4.b =-∴ 4.b >- ----------------- 5分xyO –5–4–3–2–112345–7–6–5–4–3–2–11234567②当直线与抛物线只有一个交点时, ∴2114.22x x x b --=+ 整理得23820.x x b ---= ∵94(82)0,b =++=V ∴41.8b =- ∴41.8b <------------------ 6分 结合函数图象可知,b 的取值范围为4>-b 或418<-b . ------------------- 7分2016石景山一模27. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：142++=x mx y ． （1）当抛物线C 经过点()5,6-A 时，求抛物线的表达式及顶点坐标； （2）当直线1+-=x y 与直线3+=x y 关于抛物线C 的对称轴对称时，求m 的值；（3）若抛物线C ：142++=x mx y )0(>m 与x 轴的交点的横坐标都在1-和0之间（不包括1-和0）（1）∵抛物线C ：142++=x mx y 经过点()65-，A ∴120256+-=m ∴1=m ……………………………………………1分∴142++=x x y∴()322-+=x y∴抛物线的顶点坐标是()3,2--．………………………………………3分（2）∵直线1y x =-+与直线3y x =+相交于点()2,1-∴两直线的对称轴为直线1x =- ．……………………………………4分∵直线1y x =-+与直线3y x =+关于抛物线C ：142++=x mx y的对称轴对称∴124-=-m∴2=m ．………………………………………………5分（3）3≤<m．…………………………………………………………7分4 Array 2016房山一模27.如图，二次函数=2-y的图象（抛物线）与x轴交于cbxx++A(1,0), 且当0x=和2=时所对应的函x-数值相等.（1）求此二次函数的表达式；（2）设抛物线与x轴的另一交点为点B,与y轴交于点C，在这条抛物线的对称轴上是否存在点D，使得△DAC的周长最小？如果存在，求出D点的坐标；如果不存在，请说明理由.（3）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标及△MBC的面积.（1）∵二次函数c bx x ++-=2y ， 当0x =和2x -=时所对应的函数值相等，∴二次函数c bx x ++-=2y 的图象的对称轴是直线1-=x ． ∵二次函数c bx x ++-=2y 的图象经过点A （1，0），∴⎪⎩⎪⎨⎧-=++-=1210bc b ----------------------------------------1分解得⎩⎨⎧=-=32c b∴二次函数的表达式为：32y 2+--=x x ． ---------------------------------------2分 （2）存在由题知A 、B 两点关于抛物线的对称轴x=﹣1对称∴连接BC ，与x=﹣1的交于点D ，此时△DAC 周 长最小 ----------------------3分 ∵32y 2+--=x x∴C 的坐标为：（0，3）直线BC 解析式为：y=x+3 --------------------4分 ∴D （﹣1，2）； ---------- 5分（3） 设M 点（x ，322+--x x ）（﹣3＜x ＜0）作过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，则E(x,0)∵S △MBC =S 四边形BMCO ﹣S △BOC =S 四边形BMCO ﹣29，S 四边形BMCO =S △BME +S 四边形MEOC)(2121OC ME OE ME BE +⨯⨯+⨯⨯==21（x+3）（322+--x x ）+21（﹣x ）（322+--x x +3）=8272923232++⎪⎭⎫ ⎝⎛+-x∵要使△MBC 的面积最大，就要使四边形BMCO 面积最大 当x=23-时，四边形BMCO 在最大面积=82729+ ∴△BMC最大面积=8272982729=-+--------------------------------6分 当x=23-时，32y 2+--=x x =415∴点M 坐标为（23-，415 ）--------------------------------7分2016怀柔一模27．在平面直角坐标系中，二次函数y=x 2+mx+2m-7的图象经过点（1,0）． (1)求抛物线的表达式；(2)把-4<x<1时的函数图象记为H ，求此时函数的取值范围；(3)在(2)的条件下，将图象H 在x 轴下方的部分沿x 轴 翻折，图象H 的其余部分保持不变，得到一个新图象M ．若直线y=x+b 与图象M 有三个公共点，求b 的取值范围．（1）将（1,0）代入，得m=2．∴抛物线的表达式为y=x 2+2x-3． ………………………1分（2）抛物线y=x 2+2x-3开口向上，且在-4<x<1范围内有最低点,y∴当x=-1时，y有最小值为-4. …………………………2分当x=-4时，．.............. ........ . (3)分∴的取值范围是-4≤y<5．………............. .................…4分（3）当直线y=x+b经过(-3,0)时，b=3. ...............................5分变换后抛物线的表达式为y=-x2-2x+3.联立可得：-x2-2x+3=x+b,令判别式为零可得b=......................................................6分5yy 421xyO由图象可知，b 的取值范围是 ：3<b<.…................................. .....….7分2016门头沟一模27．已知关于x 的一元二次方程mx 2+(3m +1)x +3=0． （1）求证该方程有两个实数根；（2）如果抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与x 轴交于A 、B两个整数点（点A 在点B 左侧），且m 为正整数， 求此抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，抛物线y =mx 2+(3m +1)x +3与y 轴交于点C ，点B 关于y 轴的对称点为D ，设此抛物线在－3≤x ≤12之间的部分为图象G ，如果图象G 向右平移n （n ＞0）个单位长度后与直线CD 有公共点，求n 的取值范围．421（1）证明：∵△= (3m+1)2－4×m×3，=(3m－1)2.……………………………………………………………1分∵ (3m－1)2≥0，∴△≥0，∴原方程有两个实数根．………………………………………………2分（2）解：令y=0，那么mx2+(3m+1)x+3=0.解得13x=-，21xm=-.…………………………………………………3分∵抛物线与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，∴m=1.∴抛物线的表达式为243y x x=++.…………………………………………4分（3）解：∵当x=0时，y=3，∴C（0，3）.∵当y=0时，x1=－3，x2=－1.又∵点A 在点B 左侧，∴A （－3，0），B （－1，0）.∵点D 与点B 关于y 轴对称，∴D （1，0）.设直线CD 的表达式为y =kx +b .∴03k b b ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，解得33.k b =-⎧⎨=⎩，∴直线C D 的表达式为y =－3x +3. …………………………………………5分又∵当12x =-时，211543224y ⎛⎫⎛⎫=-+⨯-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. ∴A （－3，0），E （12-，54），∴平移后，点A ，E 的对应点分别为A'（－3+n ，0），E'（12n -+，54）. 当直线y =－3x +3过点A'（－3+n ，0）时，∴－3(－3+n )+3=0，∴n =4.当直线y =－3x +3过点E'（12n -+，54）时，∴153324n ⎛⎫--++= ⎪⎝⎭，∴n =1312.∴n 的取值范围是1312≤n ≤4. ………………………………………………7分2016平谷一模27．已知：直线l ：2y x =+与过点（0,﹣2），且与平行于x 轴的直线交于点A 点A 关于直线1x =-的对称点为点B ． （1）求,A B 两点的坐标；（2）若抛物线2y x bx c =-++经过A ，B 两点，求抛物线解析式；（3）若抛物线2y x bx c =-++的顶点在直线l 上移动，当抛物线与线段AB 有一个公共点时，求抛物线顶点横坐标t 的取值范围．（1）Q由题可知A点的纵坐标为2-，Q点A在直线l上，∴()4,2A--． (1)由对称性可知()2,2B-． (2)（2）Q抛物线2y x bx c=-++过点,A B，∴1642 422b cb c--+=-⎧⎨-++=-⎩解得26 bc=-⎧⎨=⎩∴抛物线解析式为226y x x=--+ (4)（3）Q抛物线2y x bx c=-++顶点在直线l上由题可知，抛物线顶点坐标为(),2t t+ (5)∴抛物线解析式可化为()22y x t t=--++．把()4,2A --代入解析式可得()2242t t -=---++解得123,4t t =-=-．∴43t -≤<-． (6)把()2,2B -代入解析式可得()2222t t --++=-．解得340,5t t == ∴05<≤t ． 综上可知t的取值范围时43t -≤<-或05<≤t ．………………………………72016顺义一模27．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax x =-的对称轴为1x =-．（1）求a 的值及抛物线22y ax x =-与x 轴的交点坐标；（2）若抛物线22y ax x m =-+与x 轴有交点，且交点都在点A （-4，0），B（1，0）之间，求m 的取值范围．（1）∵抛物线22y ax x =-的对称轴为1x =-，∴212--=-a，解得a =-1，……………………………………………….……1分∴22=--y x x ．令y =0，则220--=x x ，解得120,2==-x x ．∴抛物线与x 轴的交点为（0，0），（-2，0）．……..……………………..……3分（2）∵抛物线22y ax x =-与抛物线22y ax x=-+∴抛物线22y ax x m =-+可以由抛物线22y ax =-∵抛物线22=--y x x 的对称轴与x 轴的交点为（抛物线22=--y x x 与x 轴的交点（0，0），（-2，， 且点B （1，0）比点A （-4，0）离对称轴1x =-近． ∴把点B （1，0）代入22y x x m =--+中，得3m =，………………………..……..4分把点（-1，0）代入22y x x m =--+中，得1m =-，…………….…………………5分∴13m -≤<．…………………………………………………………………………….…7分2016通州一模27.已知二次函数2y x mx n =++的图象经过点A （1，0）和D （4，3），与x 轴的另一个交点为B ，与y 轴交于点C .（1）求二次函数的表达式及顶点坐标；（2）将二次函数2y x mx n =++的图象在点B ，C 之间的部分（包含点B ，C ）记为图象G . 已知直线l :y kx b =+经过点M （2，3），且直线l 总位于图象G 的上方，请直接写出b 的取值范围；（3）如果点()1，P x c 和点()2，Q x c 在函数2y x mx n =++的图象上，且12x x <，2PQ a =. 求21261x ax a -++的值；（1）根据题意得：1413m n m n +=-⎧⎨+=-⎩解得：43m n =-⎧⎨=⎩二次函数的表达式为243y x x =-+. ………………… 2分；顶点坐标为（2，-1） ………………… 3分；（2）39b <<. ………………… 5分；（3）∵()1，P x c 和点()2，Q x c 在函数243y x x =-+的图象上，∴PQ ∥x 轴，∵二次函数243y x x =-+的对称轴是直线2x =， 又∵12x x <，2PQ a =.∴12x a =-，22x a =+. ………………… 6分； ∴()()2212612261x ax a a a a a -++=--+++=5. ………………… 7分.2016延庆一模27. 已知：抛物线y=x2+bx+c 经过点A （2，-3）和B （4，5）.（1）求抛物线的表达式及顶点坐标；（2）将抛物线沿x 轴翻折，得到图象G 1，求图象G 1的表达式； （3）设B 点关于对称轴的对称点为E ，抛物线G 2:y ＝ax 2（a≠0）与线段EB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围（1）把A（2，-3）和B（4，5）分别代入y=x2+bx+c得：3425164b cb c-=++⎧⎨=++⎩，解得：23bc=-⎧⎨=-⎩，∴抛物线的表达式为：y=x2-2x-3. …………………………………2分.∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4.∴顶点坐标为（1，-4）. …………………………………3分.（2）∵将抛物线沿x轴翻折，得到图像G1与原抛物线图形关于x轴对称，∴图像G1的表达式为：y=-x2+2x+3. ………………………5分. （3）∵B（4，5）,对称轴：X=1∴B点关于对称轴的对称点E点坐标为（-2,5） (6)分如图，当G2过E、B点时为临界代入E（-2,5），则a=45代入B（4,5），则a=165∴45a 165〈≤………………………7分 2016燕山一模27．抛物线1C ：)3)(1(a x x a y -+=(0>a )与x 轴交于A ，B两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C (0，－3)． (1) 求抛物线1C 的解析式及A ，B 点坐标；(2) 将抛物线1C 向上平移3个单位长度，再向左平移n （0n >）个单位长度，得到抛物线2C ．若抛物线2C 的顶点在△ABC 内，求n 的取值范围．(1) ∵抛物线)3)(1(a x x a y -+=与y 轴交于点C (0，－3)，∴3)30)(10(-=-+a a ,∴332-=-a , 12=a , ∴1±=a ． ∵0>a , ∴1=a ． ∴抛物线1C 的解析式为)3)(1(-+=x x y ＝322--x x ． ………………1分在)3)(1(-+=x x y 中，令0=y ，得1-=x ，或3=x ，∴A (－1，0)，B (3，0)． ………………………3分(2) ∵322--=x x y ＝4)1(2--x ，∴抛物线1C 的顶点坐标为（1，－4）． ………………………4分将抛物线1C 向上平移3个单位长度后，得1)1(2--=x y ，其顶点为（1，－1）在△ABC内， ………………………5分再向左平移n （0n >）个单位长度，要想仍在△ABC 内，则顶点需在直线AC 的右侧．设直线AC 的解析式为b x k y +=， ∵A (－1，0)，C (0，－3)，∴⎩⎨⎧+⋅-+⋅，＝，＝－b k b k 0310 解得⎩⎨⎧-，＝，＝－33b k∴直线AC 的解析式为33-=x y －， ………………………6分当1－=y 时，32－=x ．∴35)32(1=<－－n ．∴n 的取值范围是350<<n ．2016大兴一模27．抛物线21(3)3(0)y mx m x m =+--f 与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B 的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ． （1）求这条抛物线的表达式；（2）将抛物线y 1向左平移n （n ＞0）个单位， 记平移后y 随着x 的增大而增大的部分为P ， 若点C 在直线23=-+y x t 上，E DAPB C直线2y 向下平移n 个单位，当平移后的直线 与P 有公共点时，求n 的取值范围．27．解：（1）∵抛物线)0(3)3(21>--+=m x m mx y 与y 轴交于点C ，∴(0,3)C -. ……………………………………………………………………………1分∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点，OB=OC ， ∴B (3,0)或B (-3,0).∵点A 在点B 的左侧，0m >， ∴抛物线经过点B(3,0). …………………………………………………………… 2分∴093(3)3m m =+--.∴1m=.∴抛物线的表达式为2 123y x x=--.……………………………………………3分（2）y1=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，y2=﹣3x﹣3，y1向左平移n个单位后，则表达式为：y3=（x﹣1+n）2﹣4，则当x≥1﹣n时，y随x增大而增大，…………………………………………………… 4分y2向下平移n个单位后，则表达式为：y4=﹣3x﹣3﹣n，要使平移后直线与P有公共点，则当x=1﹣n，y3≤y4，………………………………… 5分即（1﹣n﹣1+n）2﹣4≤﹣3（1﹣n）﹣3﹣n，解得：n≥1，………………………………………………………………………………… 7分。