广东省六校2019届高三第三次联考理科数学含答案解析
2019年5月2019届高三第三次全国大联考(新课标Ⅲ卷)-理数(全解全析)
分）
（3）因为 X ~ N(110,144) ，所以 110 ， 144 12 ，
理科数学 第 6页（共 10页）
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，
消去
y
，整理得 k 2 x2
(2k 2
4)x k2
0 ，设 M (x1, y1), N (x2 , y2 ) ，则
x1 +x2
2k 2 k2
4
=2+
4 k2
，
x1 x2
1，
|
MF
|
|
NF
|
(1
k2
)
|
x1
1|
|
x2
1|
=
(1
k2)
|
x1x2
(x1
x2
)
1|
=
4(1
1 k2
)
．因为
|
MF
(a, a
2) 的长度不小于
3T 4
（其中 T
为函数
f
(x) 的最小正周期），即 2
3 4
2π
，即
3π 4
，故选
A．
12．【答案】C
【解析】由 (a 1)x ln x b 2 0 ，得 ln x (a 1)x b 2 ，若存在唯一实数 x0 ，使得 f (x0 ) 0 ，则
直线 y (a 1)x b 2 与曲线 y ln x 相切，设切点为 P(t,ln t) ，则切线方程为 y ln t 1 (x t) ，即 t
5
5
∴ CD AC cosC 7 5 7 5 ，∴ BC 2CD 14 5 ，（3 分）
55
5
∴ BE2 BC2 EC2 2BC EC cosC 196 22 2 14 5 2 5 32 ，
2019届广东省六校高三第三次联考理科数学(含解析)
广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|y=lg（1-x）}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.若复数z=2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A. B. C. D. 23.等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9-的值是（）A. 14B. 15C. 16D. 174.已知函数y=sin（ωx+）向右平移个单位后，所得的图象与原函数图象关于x轴对称，则ω的最小正值为（）A. 1B. 2C.D. 35.在的展开式中，x2的系数是224，则的系数是（）A. 14B. 28C. 56D. 1126.函数f（x）=e x•ln|x|的大致图象为（）A.B.C.D.7.已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A. 3B. 2C.D.8.如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A. B. C. D.10.设F为抛物线y2=2px的焦点，斜率为k（k＞0）的直线过F交抛物线于A、B两点，若|FA|=3|FB|，则直线AB的斜率为（）A. B. 1 C. D.11.已知f（x）=log a（a-x+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数，则（）A. 且B. 且C. 且D. 且12.已知函数f（x）=|xe x+1|，关于x的方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个不等实根，sinα-cosα≥λ恒成立，则实数λ的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinθ+cosθ=，则tan=______．14.已知向量=（1，），=（3，m），且在上的投影为3，则向量与夹角为______．15.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是______．16.数列b n=a n cos的前n项和为S n，已知S2017=5710，S2018=4030，若数列{a n}为等差数列，则S2019=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin A sin B+b cos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．18.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回答以下问题．（1）从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M的概率；（2）现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M 流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．20.如图，设点A，B的坐标分别为（-，0），（，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-．（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．21.已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax++1+2x cosx，当x∈[0，1]时，（Ⅰ）若函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行，求实数a的值；（Ⅱ）求证：1-x≤f（x）≤；（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，求实数α的值．23.已知函数f（x）=2|x+a|+|x-|（a≠0）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＜4；（2）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵1-x＞0，∴x＜1，∴A=（-∞，1），∵2x＞0，∴B=（0，+∞），∴A∩B=（0，1）．故选：C．求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合A、B，然后根据交集定义求结果．本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵复数z=2i+=2i+=2i+1-i=1+i，∴|z|==，故选：B．利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z，再根据复数的模的定义求得复数z的模．本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24，所以a 9-=（3a9-a 11）=（a9+a7+a11-a11）=（a9+a7）==16故选：C．先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a8，再用性质求解．本题主要考查等差数列的性质．4.【答案】D【解析】解：函数y=sin（ωx+）向右平移个单位后得到y=sin[ω（x-）+]=sin （ωx -ω+）的图象，∵所得的图象与原函数图象关于x轴对称，∴sin（ωx -ω+）=-sin（ωx+）=sin （ωx++π），∴-ω+=+π+2kπ，k∈Z，解得ω=-6k-3，∴当k=-1时，ω取最小正数3，故选：D．由三角函数图象变换可得后来函数的解析式，由诱导公式比较可得ω的方程，解方程给k取值可得．本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象变换，属基础题．5.【答案】A【解析】解：因为在的展开式中，，令2n-2r=2，r=n-1，则22C2n n-1=224，∴C2n n-1=56．∴n=4．再令8-2r=-2，∴r=5．，则为第6项．∴．则的系数是14．故选：A．首先分析题目已知在的展开式中，x2的系数是224，求的系数，首先求出在的展开式中的通项，然后根据x2的系数是224，求出次数n的值，再根据通项求出为第几项，代入通项求出系数即可得到答案．此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求一系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．同学们需要很好的掌握．6.【答案】A【解析】解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当x→+∞，f（x）→+∞，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，故外接球半径为．所以表面积为8π．故选：C．由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为．本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题．9.【答案】A【解析】解：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故选：A．利用“调日法”进行计算，即可得出结论．本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础．10.【答案】D【解析】解：假设A在第一象限，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=3|BF|，∴|AD|=|CE|=3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|=m，则|BC|=2m，|AF|=3m，|AB|=4m，即|AC|===m=2m，则tan∠ABC===，即直线AB的斜率k=故选：D．根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可．本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键．11.【答案】C【解析】解：∵f（x）=log a（a-x+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即log a（a x+1）-bx=log a（a-x+1）+bx，∴log a（a x+1）-bx=log a（a x+1）+（b-1）x，∴-b=b-1，∴b=，∴f（x）=log a（a-x+1）+x，函数为增函数，∵a+＞2=，∴f（a+）＞f（）．故选：C．利用函数的偶函数，求出b，确定函数单调递增，即可得出结论．本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：f（x）=|xe x+1|=，当x≥0时，f′（x）=e x+1+xe x+1≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=-e x+1-xe x+1=-e x+1（x+1），由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e x+1（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e x+1（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x+1|的极大值为f（-1）=|（-1）e0|=1，极小值为：f（0）=0，令f（x）=m，由韦达定理得：m1+m2=-2sinα，m1•m2=cosα，此时若sinα＞0，则当m1＜0，且m2＜0，此时方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0至多有两个实根，若sinα＜0，则当m1＞0，且m2＞0，要使方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个实数根，则方程m2+2sinαm+cosα=0应有两个不等根，且一个根在（0，1）内，一个根在（1，+∞）内，再令g（m）=m2+2sinαm+cosα，因为g（0）=cosα＞0，①△=4sin2α-4cosα＞0，则1-cos2α-cosα＞0，②则只需g（1）＜0，即1+2sinα+cosα＜0，所以0＜cosα＜-1-2sinα，③由①②解得：0＜cosα＜，④由③④得到：sinα＜，＜cosα＜，所以sinα-cosα＜-=-，∴λ≤-．故选：A．函数f（x）=|xe x+1|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解α的取值范围．本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．13.【答案】-4【解析】解：∵sinθ+cosθ=，∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=-．则tan=．故答案为：-4．把已知等式两边平方可得sinθcosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．14.【答案】【解析】解：∵在方向上的投影为3，且||==2，•=3+m；∴||×cosθ=||×==3；解得m=，∴||=2；∴cosθ==，由θ∈[0，π]，∴、的夹角θ为．故答案为：．根据在方向上的投影是||×cosθ，列出方程求出m的值，再计算、的夹角θ的值．本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目．15.【答案】2-【解析】解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影=12×（×πR2-×R2×sin60°）=（2π-3）R2，又圆的面积为S圆=πR2，利用几何概型的概率公式计算所求的概率为P===2-．故答案为：．由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．16.【答案】666【解析】解：设数列{a n}为公差d的等差数列，a1cos+a2cos+a3cosπ+a4cos+a5cos+a6cos2π=（a1-a2）+（a5-a4）-a3+a6=-a3+a6．…．由S2017=5710，S2018=4030，可得5710=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a 2016）+a2017，4030=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a 2016）+a2017-a2018，两式相减可得a2018=3360，由5710=1008d+（3360-d），解得d=4，则a n=a2018+（n-2018）×4=4n-4712，可得S2019=4030-a2019=4030-（4×2019-4712）=666．故答案为：666．求得数列{b n}的前6项之和，再由S2017=5710，S2018=4030，表示数列{a n}的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和．本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，，…（3分）即，故，所以．…（6分）（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．即c=7t．…（9分）由余弦定理得．所以．…（12分）【解析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，又EF⊂平面EFA，BC不包含于平面EFA，∴BC∥面EFA，又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC=l，∴BC∥l，又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，∴l⊥面PAC．（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），E（，，），F（，，），，，，，，，设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，，，则，取z=，得，，，，，，|cos＜，＞|==，|cos＜，＞|==，依题意，得|cos＜，＞|=|cos＜，＞|，∴y=±1．∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．【解析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA，从而得到BC∥l，再由已知条件推导出BC⊥面PAC，由此证明l⊥面PAC．（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.【答案】解：（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M ”为事件D ，依题意，P （D ）=（0.0008+0.0022）×100=0.3， 从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M 的人数为X ，则X ～B （3，0.3）， ∴从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M 的概率为：P （X =0）+P （X =1）= =0.784．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L ∈（300，500]的概率为：（0.0025+0.0035）×100=0.6， L ∈（500，700]的概率为：（0.0008+0.0002）×100=0.1， 当学校订购A 套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X 元，则X 的所有可能取值为20，35，50，且P （X =20）=0.3，P （X =35）=0.6，P （X =50）=0.1， ∴X 的分布列为：∴E （X ）=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32（元）． 当学校订购B 套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Y 元，则Y 的可能取值为30，45，且P （Y =30）=0.3+0.6=0.9，P （Y =45）=0.1， ∴Y 的分布列为： E （Y ）=30×0.9+45×0.1=31.5，当学校订购C 套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z 元， 则Z 的所有可能取值为38，且P （Z =38）=1，E （Z ）=38×1=38， ∵E （Y ）＜E （X ）＜E （Z ）， ∴学校订购B 套餐最经济． 【解析】（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D ，依题意，P （D ）=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M 的人数为X ，则X ～B （3，0.3），由此能求出从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M 的概率．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L ∈（300，500]的概率为0.6，L ∈（500，700]的概率为0.1，分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B 套餐最经济．本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题． 20.【答案】（1）解：由已知设点P 的坐标为（x ，y ），由题意知（x ），化简得P 的轨迹方程为（x ）…（5分）（2）证明：由题意M ，N 是椭圆C 上非顶点的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ， 则直线AP ，BP 斜率必存在且不为0，又由已知k AP k BP =-． 因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM k ON =-…（6分） 设直线MN 的方程为x =my +t ，代入椭圆方程，得（3+2m 2）y 2+4mty +2t 2-6=0…①，…（7分）设M ，N 的坐标分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=- ，y 1y 2=…（8分）所以k OM k ON ==-，得2t 2=2m 2+3…（10分） 又S △MON =|t ||y 1-y 2|==， 即△MON 的面积为定值…（12分）【解析】（1）由题意知（x），可求P 的轨迹方程；（2）设直线MN 的方程为x=my+t ，代入椭圆方程，利用k OM k ON ==-，得2t 2=2m 2+3，即可证明结论．本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率、面积的计算，属于中档题． 21.【答案】解：（I ）g ′（x ）=a +x 2+2（cos x -x sinx ），函数g （x ）在x =0处的切线与x 轴平行，则g ′（0）=a +2=0， 得a =-2．（II ）证明：①当x ∈[0，1）时，（1+x ）e -2x ≥1-x ⇔（1+x ）e -x≥（1-x ）e x ， 令h （x ）=（1+x ）e -x-（1-x ）e x ，则h ′（x ）=x （e x -e -x ）．当x ∈[0，1）时，h ′（x ）≥0， ∴h （x ）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1-x．②当x∈[0，1）时，f（x）≤⇔e x≥1+x，令u（x）=e x-1-x，则u′（x）=e x-1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）≤，综上可知：1-x≤f（x）≤；（Ⅲ）解：设G（x）=f（x）-g（x）=（1+x）e-2x-（ax+x3+1+2x cosx）≥1-x-ax-1-x3-2x cosx=-x（a+1++2cos x）．令H（x）=+2cos x，则H′（x）=x-2sin x，令K（x）=x-2sin x，则K′（x）=1-2cos x．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）-g（x）≤-（1+ax+x3+2x cosx）=-x（+a++2cos x）．令v（x）=+a++2cos x=+a+H（x），则v′（x）=+H′（x）．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞-3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（-∞，-3]．【解析】（I）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值即可；（Ⅱ）①当x∈[0，1）时，（1+x）e-2x≥1-x⇔（1+x）e-x≥（1-x）e x，令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，f（x ）≤⇔e x≥1+x，令u（x）=e x-1-x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论得到f（x）≥1-x，于是G（x）=f（x）-g（x）≥-x（a+1++2cosx）．再令H（x）=+2cosx，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力．22.【答案】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x-2）2+y2=4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴ρ2=4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2=4y，整理，得x2+（y-2）2=4．（Ⅱ）曲线C1：（x-2）2+y2=4化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，∴|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin（）|=4，∴sin（）=±1，∵0＜α＜π，∴＜＜，∴，解得．【解析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin（）|=4，进而sin（）=±1，由此能求出结果．本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）＜4，即为2|x+1|+|x-1|＜4，当x≥1时，2（x+1）+x-1＜4，解得x∈∅；当x≤-1时，-2（x+1）+1-x＜4，解得-＜x≤-1；当-1＜x＜1时，2x+2+1-x＜4，解得-1＜x＜1；则原不等式的解集为（-，1）；（2）函数g（x）=f（x）+f（-x）=2|x+a|+|x-|+2|x-a|+|x+|≥2|x+a-x+a|+|x--x-|=4|a|+||≥2=4，当且仅当（x+a）（x-a）≤0，且（x-）（x+）≤0，且4|a|=||时，取得等号，则g（x）的最小值为4．【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出g（x）的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
【数学】广东省肇庆市2019届高三第三次统一检测试题(理科)(解析版)
广东省肇庆市2019届高三第三次统一检测数学试题（理）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合{|1}A x x =>，2{|4}B x x =≤，则A B ⋂=（ ） A. {|2}x x ≥- B. {|12}x x <<C. {|12}x x <≤D. {|2}x x ≥【答案】C【解析】∵集合{|1}A x x =>， 2{|4}{|22}B x x x x =≤=-≤≤， ∴{|12}AB x x =<≤.故选：C ．2.已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位，则m 的值为（ ） A. 1 B.1-C.2D.2-【答案】A【解析】∵()()2243,m i i i +-=+ ∴()2m 2443m i i ++-=+，∴22443m m +=⎧⎨-=⎩，即m 1=故选：A.3.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，公差2d =，1a ，3a ，4a 成等比数列，则8S =（ ） A. -20 B. -18 C. -10 D. -8【答案】D【解析】等差数列{}n a 的公差2d =，1a ，3a ，4a 成等比数列，可得2314a a a =，即为2111(4)(6)a a a +=+，解得18a =-，则818(8)87282S =⨯-+⨯⨯⨯=-.故选：D ． 由等比数列的中项性质和等差数列的通项公式和求和公式，计算可得所求和． 4.如图所示，程序框图(算法流程图)的输出结果是( )A.16B.2524C.34D.1112【答案】D【解析】模拟程序图框的运行过程，得 S=0,n =2,n <8满足条件，进入循环：S=1,4,2n =满足条件，进入循环： 11,6,24s n =+=进入循环：111,8,246s n =++=不满足判断框的条件，进而输出s 值，该程序运行后输出的是计算：11111S 24612=++=．故选：D ．5.若x ，y 满足约束条件220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，则z x y =-的取值范围是（ ）A. [2,2]-B. (,2]-∞C. [1,2]-D.[2,)-+∞【答案】A【解析】x ，y 满足约束条件220210320x y x y x y -+≥⎧⎪++≥⎨⎪+-≤⎩，表示的平面区域，如图所示：其中(0,2)A ，(1,1)B -，由图易得目标函数在(1,1)-处，取最大值2，在(0,2)处，取得最小值为-2， ∴目标函数z x y =-的取值范围是[2,2]-. 故选：A ．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是（ ）A.3B.C. 3πD.【答案】B【解析】根据几何体的三视图，该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的． 故：该几何体的外接球为正方体的外接球，所以：球的半径22r ==，则：343V π=⋅⋅=⎝⎭. 故选：B ．7.=（ ） A. 2cos2B. 2sin 2C. 4sin 22cos2+D. 2sin 24cos2+【答案】Bsin 2cos 2===+2cos 2====-2sin 22cos 22cos 22sin 2∴=+-=本题正确选项：B8.已知双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点为A ，右焦点为F ，O 是坐标系原点，过A 且与x轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M ，N 两点，若四边形OMFN 是菱形，则C 的离心率为（ ）A. 2B.C.D.12【答案】A【解析】双曲线C ：22221x y a b-=的右顶点为(,0)A a ，右焦点为(,0)F c ，O 是坐标系原点，过A 且与x 轴垂直的直线交双曲线的渐近线于M ，N 两点，若四边形OMFN 是菱形， 可得2c a =，可得2e =． 故选：A ． 9.设23451111log log log log a ππππ=+++，y x a =-，x N ∈，当y 取最小值时的x 的值为（ ） A. 2 B. 3C. 4D. 5【答案】C 【解析】23451111log log log log a ππππ=+++log 2log 3log 4log 5log 120πππππ=+++=，∵481π≈，5243π≈.45a a ∴-<-∴y x a =-，x N ∈，当y 取最小值时的x 的值为4．故选：C ．10.相关变量,x y 的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析，方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程11y b x a =+，相关系数为1r ；方案二：剔除点(10,21)，根据剩下数据得到线性回归直线方程：22y b x a =+，相关系数为2r .则（ ）A. 1201r r <<<B. 2101r r <<<C. 1210r r -<<<D. 2110r r -<<< 【答案】D【解析】由散点图得负相关，所以12,0r r <，因为剔除点()10,21后，剩下点数据更具有线性相关性，r 更接近1，所以2110r r -<<<.选D. 11.已知函数()2xm f x xe mx =-+（e为自然对数的底数）在(0,)+∞上有两个零点，则m 的范围是（ ） A. (0,)eB. (0,2)eC. (,)e +∞D.(2,)e +∞【答案】D【解析】由()02xm f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 当12x =时，方程不成立，即12x ≠，则12xxe m x =-，设()12xxe h x x =-（0x >且12x ≠）， 则()222111'222'()1122xxx xe x xee x x h x x x ⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭==⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭21(1)(21)212x e x x x -+=⎛⎫- ⎪⎝⎭， ∵0x >且12x ≠，∴由'()0h x =得1x =， 当1x >时，'()0h x >，函数为增函数，当01x <<且12x ≠时，'()0h x <，函数为减函数， 则当1x =时函数取得极小值，极小值为(1)2h e =， 当102x <<时，()0h x <，且单调递减，作出函数()h x 的图象如图： 要使12xxe m x =-有两个不同的根，则2m e >即可，即实数m 的取值范围是(2,)e +∞.方法2：由()02xm f x xe mx =-+=得1()22x m xe mx m x =-=-， 设()xg x xe =，1()()2h x m x =-，'()(1)x x x g x e xe x e =+=+，当0x >时，'()0g x >，则()g x 为增函数，设1()2h x m x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()x g x xe =，相切时的切点为(,)aa ae ，切线斜率(1)a k a e =+，则切线方程为(1)()a ay ae a e x a -=+-，当切线过1(,0)2时，1(1)()2a aae a e a -=+-，即21122a a a a -=+--，即2210a a --=，得1a =或12a =-（舍），则切线斜率(11)2k e e =+=，要使()g x 与()h x 在(0,)+∞上有两个不同的交点，则2m e >， 即实数m 的取值范围是(2,)e +∞. 故选：D ．12.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为1AA 的中点，M 在侧面11AA B B 上，有下列四个命题：①若1D M CP ⊥，则BCM ∆面积的最小值为10； ②平面1A BD 内存在与11D C 平行的直线；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，则这样的平面α有4个；④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β． 则上述四个命题中，真命题的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】对于①，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，如图1所示；过M 作MG ⊥平面ABCD ，G 是垂足，过G 作GH BC ⊥，交BC 于H ，连结MH ， 则(0,0,0)D ，(0,1,0)C ，(1,0,0)A ，1(1,0,)2P ，(0,1,0)C ，1(0,0,1)D ，(1,1,0)B ， 设(1,,)M a b ，则1(1,,1)D M a b =-，1(1,1,)2CP =-， ∵1D M CP ⊥， ∴1111022D M CP a b ⋅=-+-=，解得21a b -=， ∴1CH a =-，21MG b a ==-，MH ===，∴11122BCM S BC MH ∆=⨯⨯=⋅112210=≥=，当35a =时，min ()BCM S ∆=，①正确；对于11//D C DC ，DC 平面1A BD D =，所以11D C 也与平面1A BD 相交．故②错；③过A 作平面α，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，因为11//D C AB ，且11D C AB =，故11D C 在平面α的正投影的长度等于AB 在平面α的正投影的长度，使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等，即使得使得棱AD ，1AA ，AB 面α的正投影的长度相等，若棱AD ，1AA ，AB 面α的同侧，则α为过A 且与平面1A BD 平行的平面，若棱AD ，1AA ，AB 中有一条棱和另外两条棱分别在平面α的异侧，则这样的平面α有3个，故满足使得棱AD ，1AA ，11D C 在平面α的正投影的长度相等的平面α有4个；③正确．④过A 作面β与面1A BD 平行，则正方体1111ABCD A B C D -在面β的正投影为一个正六边形，其中1AC ⊥平面β，而1AC 分别垂直于正三角形1A BD 和11CB D ，所以根据对称性，正方体的8个顶点中，1AC 在平面β内的投影点重合与正六边形的中心，其它六个顶点投影恰是正六边形的六个顶点，且正六边形的边长等于正三角形1A BD 的外接圆半径（投影线与正三角形1A BD 、11CB D 垂直），所以正六边形的边长为sin 602a =÷︒=，所以投影的面积为2266443a ⎛⎫⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭故选：C ．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13.已知数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+，则9a =______． 【答案】10000【解析】数列{}n a 满足11a =，11lg lg 2n n a a +=+， 可得11lg2n n a a +=，可得1n na a +=则89110000a q =⨯=.故答案为：10000．14.在ABC ∆中，3AB =，2BC =，AC =BA BC ⋅=______．【答案】3【解析】在ABC ∆中，3AB =，2BC =，AC =，可得9471cos 2322B +-==⨯⨯，则13232BA BC ⋅=⨯⨯=.故答案为：3．15.()()52x y x y +-的展开式中33x y 的系数为_______（用数字填写答案）. 【答案】40【解析】555()(2)(2)(2)x y x y x x y y x y +-=-+-，由5(2)x y -展开式的通项公式515(2)()r r r r T C x y -+=-可得：当r=3时，5(2)x x y -展开式中33x y 的系数为32352(1)40C ⨯⨯-=-； 当r=2时，5(2)y x y -展开式中33x y 的系数为23252(1)80C ⨯⨯-=，则33x y 的系数为80-40=40. 故答案为：40．16.已知椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，则过点A ，B且与直线m ：43x =相切的圆的方程为______． 【答案】2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 【解析】椭圆C ：2212x y +=，直线l ：1y x =-与椭圆C 交于A ，B 两点，联立可得：22121x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消去y 可得，2225848y xy x xy x +--+，解得0x =或43x =，可得(0,1)A -，41(,)33B ， 过点A ，B 且与直线m ：43x =相切的圆切点为B ，圆的圆心1(0,)3，半径为：43． 所求圆的方程为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 故答案为：2211639x y ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分BAC ∠，sin 2sin C B =. （1）求BDCD； （2）若1AD AC ==，求BC 的长． 解：（1）由正弦定理可得在ABD ∆中，sin sin AD BDB BAD=∠， 在ACD ∆中，sin sin AD CDC CAD=∠， 又因为BAD CAD ∠=∠，sin 2sin BD CCD B==. （2）sin 2sin C B =，由正弦定理得22AB AC ==，设DC x =，则2BD x =，则222254cos cos 24AB AD BD x BAD CADAB AD +--∠==∠⋅，2222222AC AD CD x AC AD +--==⋅. 因为BAD CAD ∠=∠，所以2254242x x --=，解得x =.3BC x ==. 18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 是菱形，160BAA ∠=︒，E 是棱1BB 的中点，CA CB =，F 在线段AC 上，且2AF FC =.（1）证明：1//CB 面1A EF ；（2）若CA CB ⊥，面CAB ⊥面11ABB A ，求二面角1F A E A --的余弦值． （1）证明：连接1AB 交1A E 于点G ，连接FG ． 因为11AGA B GE ∆∆，所以1112AA AG GB EB ==，又因为2AF FC=，所以1AF AG FC GB =，所以1//FG CB ，又1CB ⊄面1A EF ，FG ⊂面1A EF ，所以1//CB 面1A EF .（2）解：过C 作CO AB ⊥于O ，因为CA CB =，所以O 是线段AB 的中点． 因为面CAB ⊥面11ABB A ，面CAB面11ABB A AB =，所以CO ⊥面1ABA ．连接1OA ，因为1ABA ∆是等边三角形，O 是线段AB 的中点，所以1OA AB ⊥.如图以O 为原点，OA ，1OA ，OC 分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标， 不妨设2AB =，则(1,0,0)A，1A ，(0,0,1)C ，(1,0,0)B -，12(,0,)33F ， 由11AA BB =，得(B -，1BB的中点3(2E -，13(,2A E =-，112(,)33A F =-.设面1A FE 的一个法向量为1111(,,)n x y z =，则111100A E n A F n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11112033302x z x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得方程的一组解为11115x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩1(1n =-.面1ABA 的一个法向量为2(0,0,1)n =，则121212529cos ,n n n n n n ⋅<>==， 所以二面角1F A E A --.19.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，O 是坐标原点．（1）若直线l 过点F 且8AB =，求直线l 的方程；（2）已知点(2,0)E -，若直线l 不与坐标轴垂直，且AEO BEO ∠=∠，证明：直线l 过定点．解：（1）法一：焦点(1,0)F ，当直线l 斜率不存在时，方程为1x =，与抛物线的交点坐标分别为(1,2)，(1,2)-， 此时4AB =，不符合题意，故直线的斜率存在．设直线l 方程为(1)=-y k x 与24y x =联立得()2222220k x k x k -+-=，当0k =时，方程只有一根，不符合题意，故0k ≠()212222k x x k++=，抛物线的准线方程为1x =-，由抛物线的定义得()()12||||||11AB AF BF x x =+=+++()222228k k+=+=，解得1k =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+.法二：焦点(1,0)F ，显然直线l 不垂直于x 轴，设直线l 方程为1x my =+,与24y x =联立得2440y my --=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，124y y m +=，124y y =..||AB ==()241m ==+，由8AB =，解得1m =±，所以l 方程为1y x =-或1y x =-+. （2）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 方程为(0)x my b m =+≠与24y x =联立得：2440y my b --=， 可得124y y m +=，124y y b =-由AEO BEO ∠=∠得EA EB k k =，即121222y yx x =-++. 整理得121122220y x y x y y +++=，即121122()2()20y my b y my b y y +++++=， 整理得12122(2)()0my y b y y +++=， 即84(2)0bm b m -++=，即2b =.故直线l 方程为2x my =+过定点(2,0). 20. （本小题满分13分）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 ①顾客所获的奖励额为60元的概率②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望;（2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由.解：(1)设顾客所获的奖励为X. ①依题意,得1113241(60)2C C P X C ===.即顾客所获得的奖励.的额为60元的概率为12. ②依题意,得X 的所有可能取值为20,60.232411(60),(20)22C P X P X C =====.即X 的分布列为所以顾客所获得的奖励额的期望为()200.5600.540E X =⨯+⨯=（元）.(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励为60元.所以先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以数学期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励为1X ,则1X 的分布列为1X 的期望为1121()206010060636E X =⨯+⨯+⨯=,1X 的方差为22211211600()(2060)(6060)(10060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励为2X ,则2X 的分布列为2X 的期望为2()40608060636E X =⨯+⨯+⨯=,2X 的方差为2222121400()(4060)(6060)(8060)6363D X =-⨯+-⨯+-⨯=.由于两种方案的奖励额都符合要求,但方案2奖励的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.21.已知函数ln ()()x af x a R x+=∈，2()2x g x e =-. （1）求()f x 的单调区间；（2）若()()f x g x ≤在(0,)+∞上成立，求a 的取值范围． 解：（1）21ln '()x af x x--=， 当10a x e -<<时，'()0f x >，()f x 单调递增； 当1a x e -≥时，'()0f x ≤，()f x 单调递减，故()f x 单调递增区间为1(0,)ae -，单调递减区间为1[,)a e -+∞.（2）法一：由()()f x g x ≤得2ln 2x x ae x+≤-，即2(2)ln x a x e x ≤--， 令2()(2)ln xh x x ex =--，22121'()(21)(21)xx x h x x e x e x x +⎛⎫=+-=+- ⎪⎝⎭， 21()(0)x F x e x x =->，221'()20x F x e x=+>，()F x 在(0,)+∞单调递增，又1404F ⎛⎫=<⎪⎝⎭，1202F e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭， 所以()F x 有唯一的零点011(,)42x ∈，且当0(0,)x x ∈时，31x +<，即'()0h x <，()h x 单调递减， 当0(,)x x ∈+∞时，()0F x >，即'()0h x >，()h x 单调递增， 所以()()2min 000()2ln x h x h x x ex ==--，又因为0()0F x =所以()0000020112ln 1221x h x x x x x e ⎛⎫⎛⎫=--=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以1a ≤，a 的取值范围是(,1]-∞. 法二：由()()f x g x ≤得2ln 2x x ae x+≤-， 即2ln 22ln (2ln )xx x a xex x e x x +≤--=-+，令()2ln x x x ϕ=+，因为12()10e eϕ=-<，(1)20ϕ=>， 所以()x ϕ存在零点1x ；令()x G x e x =-，则'()1xG x e =-，当(,0)x ∈-∞时，'()0G x <，()G x 单调递减， 当(0,)x ∈+∞时，'()0G x >，()G x 单调递增． 所以min ()(0)1G x G ==， 所以()11ln 2ln 211(2ln )2ln 1x x x xex x e x x ++-+≥-+=，所以a 的取值范围是(,1]-∞．22.在直角坐标系xOy 中，直线1l ：2x =，曲线C ：2cos 22sin x y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为(3,)6π.（1）求直线1l 和曲线C 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知射线2l ：(0)2πθαα=<<与1l ，C 的公共点分别为A ，B ，且OA OB ⋅=MOB ∆的面积．解：（1）∵cos {sin x y ρθρθ==，∴直线2x =的极坐标方程是cos 2ρθ=，曲线C 的普通方程为22(2)4x y +-=，即2240x y y +-=. 所以曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.（2）将θα=分别代入cos 2ρθ=，4sin ρθ=得：2cos A OA ρα==，4sin B OB ρα==.∴8tan OA OB α⋅==tan α=. ∵02πα<<，∴3πα=.∴OB =3OM =，6MOB π∠=.所以1sin 2MOB S OM OB MOB ∆=∠113222=⨯⨯=.即AOB ∆23.已知函数()22()f x x a x a R =-+-∈. （1）当2a =时，求不等式()2f x >的解集；（2）若[2,1]x ∈-时不等式()32f x x ≤-成立，求实数a 的取值范围． 解：（1）不等式()2f x >，即2222x x -+->.可得22222x x x ≥⎧⎨-+->⎩，或122222x x x <<⎧⎨-+->⎩或12222x x x ≤⎧⎨--+>⎩，解得23x <或2x >，所以不等式的解集为2{|2}3x x x <>或. （2）当[2,1]x ∈-时，220x -<，所以()22f x x a x =-+-， 由()32f x x ≤-得1x a -≤，即11a x a -≤≤+，则1211a a -≤-⎧⎨+≥⎩，该不等式无解，所以实数a取值范围是空集（或者∅）.的。
2019届广东省六校高三第三次联考理科数学试题及解析
广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题,共60.0分）1.设集合A={x|y=lg（1-x）},B={y|y=2x},则A∩B=（）A. B. C. D.2.若复数z=2i+,其中i是虚数单位,则复数z的模为（）A. B. C. D. 23.等差数列{a n}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-的值是（）A. 14B. 15C. 16D. 174.已知函数y=sin（ωx+）向右平移个单位后,所得的图象与原函数图象关于x轴对称,则ω的最小正值为（）A. 1B. 2C.D. 35.在的展开式中,x2的系数是224,则的系数是（）A. 14B. 28C. 56D. 1126.函数f（x）=e x•ln|x|的大致图象为（）A.B.C.D.7.已知x,y满足约束条件,若z=ax+y的最大值为4,则a=（）A. 3B. 2C.D.8.如图是某几何体的三视图,其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a,b,c,d∈N*）,则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道π=3.14159…,若令＜π＜,则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即＜π＜,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A. B. C. D.10.设F为抛物线y2=2px的焦点,斜率为k（k＞0）的直线过F交抛物线于A、B两点,若|FA|=3|FB|,则直线AB的斜率为（）A. B. 1 C. D.11.已知f（x）=log a（a-x+1）+bx（a＞0,a≠1）是偶函数,则（）A. 且B. 且C. 且D. 且12.已知函数f（x）=|xe x+1|,关于x的方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个不等实根,sinα-cosα≥λ恒成立,则实数λ的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题,共20.0分）13. 已知sinθ+cosθ=,则tan=______.14. 已知向量 =（1, ）, =（3,m ）,且 在 上的投影为3,则向量 与 夹角为______.15. 我国传统的房屋建筑中,常会出现一些形状不同的窗棂,窗棂上雕刻有各种花纹,构成种类繁多的图案.如图所示的窗棂图案,是将半径为R 的圆六等分,分别以各等分点为圆心,以R 为半径画圆弧,在圆的内部构成的平面图形.现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖,飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是______.16. 数列b n =a n cos的前n 项和为S n ,已知S 2017=5710,S 2018=4030,若数列{a n }为等差数列,则S 2019=______. 三、解答题（本大题共7小题,共82.0分）17. △ABC 的三个内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a sin A sin B +b cos 2A =a .（I ）求；（Ⅱ）若c 2=a 2+,求角C .18. 如图,C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ,B 的点,平面PAC ⊥平面ABC ,PA =PC =AC =2,BC =4,E ,F 分别是PC ,PB 的中点,记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l . （Ⅰ）求证：直线l ⊥平面PAC ；（Ⅱ）直线l 上是否存在点Q ,使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余？若存在,求出|AQ |的值；若不存在,请说明理由.19. 某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师伴侣流量套餐,为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L （单位：M ）的数据,其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量,并将频率为概率,回答以下问题.（1）从该校教师中随机抽取3人,求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M 的概率； （2）现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下：这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取,手机使用一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值200M 流量,资费20元；如果又超出充值流量,系统就再次自动帮用户充值200M 流量,资费20元/次,依此类推,如果当流量有剩余,系统将自动清零,无法转入次月使用.学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的75%,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.20.如图,设点A,B的坐标分别为（-,0）,（,0）,直线AP,BP相交于点P,且它们的斜率之积为-.（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C,点M、N是轨迹为C上不同于A,B的两点,且满足AP∥OM,BP∥ON,求证：△MON 的面积为定值.21.已知函数f（x）=（1+x）e-2x,g（x）=ax++1+2x cosx,当x∈[0,1]时,（Ⅰ）若函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行,求实数a的值；（Ⅱ）求证：1-x≤f（x）≤；（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立,求实数a的取值范围.22.在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为（φ为参数）,以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ=α,0＜α＜π,ρ∈R,点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点,且A,B均异于原点O,且|AB|=4,求实数α的值.23.已知函数f（x）=2|x+a|+|x-|（a≠0）.（1）当a=1时,解不等式f（x）＜4；（2）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的最小值.答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵1-x ＞0,∴x ＜1,∴A=（-∞,1）, ∵2x＞0,∴B=（0,+∞）, ∴A∩B=（0,1）. 故选：C .求对数函数的定义域,求指数函数的值域,确定集合A 、B ,然后根据交集定义求结果. 本题考查了交集及其运算,考查了对数函数的定义域,指数函数的值域,是基础题. 2.【答案】B【解析】解：∵复数z=2i+=2i+=2i+1-i=1+i ,∴|z|==,故选：B .利用了两个复数相除,分子和分母同时乘以分母的共轭复数,求得复数z ,再根据复数的模的定义求得复数z 的模.本题主要考查两个复数代数形式的除法,虚数单位i 的幂运算性质,求复数的模,属于基础题. 3.【答案】C【解析】解：依题意,由a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120,得a 8=24, 所以a 9-=（3a 9-a 11）=（a 9+a 7+a 11-a 11）=（a 9+a 7）==16故选：C .先由等差数列的性质a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120得a 8,再用性质求解. 本题主要考查等差数列的性质. 4.【答案】D【解析】解：函数y=sin （ωx+）向右平移个单位后得到 y=sin[ω（x-）+]=sin （ωx -ω+）的图象,∵所得的图象与原函数图象关于x 轴对称, ∴sin （ωx -ω+）=-sin （ωx+）=sin （ωx++π）,∴-ω+=+π+2kπ,k ∈Z ,解得ω=-6k-3,∴当k=-1时,ω取最小正数3, 故选：D .由三角函数图象变换可得后来函数的解析式,由诱导公式比较可得ω的方程,解方程给k 取值可得.本题考查三角函数的图象和性质,涉及图象变换,属基础题.5.【答案】A【解析】解：因为在的展开式中,,令2n-2r=2,r=n-1,则22C 2n n-1=224,∴C 2n n-1=56.∴n=4. 再令8-2r=-2,∴r=5.,则为第6项.∴.则的系数是14.故选：A .首先分析题目已知在的展开式中,x 2的系数是224,求的系数,首先求出在的展开式中的通项,然后根据x 2的系数是224,求出次数n 的值,再根据通项求出为第几项,代入通项求出系数即可得到答案.此题主要考查二项式系数的性质问题,其中涉及到二项式展开式中通项的求法,及用通项公式求一系列的问题.有一定的技巧性,属于中档题目.同学们需要很好的掌握.6.【答案】A【解析】解：函数f（x）为非奇非偶函数,图象不关于y轴对称,排除C,D,当x→+∞,f（x）→+∞,排除B,故选：A.判断函数的奇偶性和对称性的关系,利用极限思想进行求解即可.本题主要考查函数图象的识别和判断,利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键.7.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）.则A（2,0）,B（1,1）,若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2,此时,目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z,平移直线y=-2x+z,当直线经过A（2,0）时,截距最大,此时z最大为4,满足条件,若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+1=4,解得a=3,此时,目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z,平移直线y=-3x+z,当直线经过A（2,0）时,截距最大,此时z最大为6,不满足条件,故a=2,故选：B.作出不等式组对应的平面区域,利用目标函数的几何意义,利用数形结合确定z的最大值.本题主要考查线性规划的应用,结合目标函数的几何意义,利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法,确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.8.【答案】C【解析】解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥,故球心在最长棱的中点上,故外接球半径为.所以表面积为8π.故选：C.由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥,故外接球半径为.本题考查三视图和空间想象和空间计算能力,属于简单题.9.【答案】A【解析】解：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即＜π＜,第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即＜π＜,第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值,即＜π＜,故选：A.利用“调日法”进行计算,即可得出结论.本题考查“调日法”,考查学生的计算能力,比较基础.10.【答案】D【解析】解：假设A在第一象限,过A,B分别向抛物线的准线作垂线,垂足分别为D,E,过A作EB的垂线,垂足为C,则四边形ADEC为矩形.由抛物线定义可知|AD|=|AF|,|BE|=|BF|,又∵|AF|=3|BF|,∴|AD|=|CE|=3|BE|,即B为CE的三等分点,设|BF|=m,则|BC|=2m,|AF|=3m,|AB|=4m,即|AC|===m=2m,则tan∠ABC===,即直线AB的斜率k=故选：D.根据抛物线的定义得到如图的抛物线,得到B为CE的三等分点,在直角三角形ACB中,结合正切的定义进行求解即可.本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用,根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键.11.【答案】C【解析】解：∵f（x）=log a（a-x+1）+bx（a＞0,a≠1）是偶函数,∴f（-x）=f（x）,即log a（a x+1）-bx=log a（a-x+1）+bx,∴log a（a x+1）-bx=log a（a x+1）+（b-1）x,∴-b=b-1,∴b=,∴f（x）=log a（a-x+1）+x,函数为增函数,∵a+＞2=,∴f（a+）＞f（）.故选：C.利用函数的偶函数,求出b,确定函数单调递增,即可得出结论.本题考查函数的奇偶性、单调性,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.12.【答案】A【解析】解：f（x）=|xe x+1|=,当x≥0时,f′（x）=e x+1+xe x+1≥0恒成立,所以f（x）在[0,+∞）上为增函数；当x＜0时,f′（x）=-e x+1-xe x+1=-e x+1（x+1）,由f′（x）=0,得x=-1,当x∈（-∞,-1）时,f′（x）=-e x+1（x+1）＞0,f（x）为增函数,当x∈（-1,0）时,f′（x）=-e x+1（x+1）＜0,f（x）为减函数,所以函数f（x）=|xe x+1|的极大值为f（-1）=|（-1）e0|=1,极小值为：f（0）=0,令f（x）=m,由韦达定理得：m1+m2=-2sinα,m1•m2=cosα,此时若sinα＞0,则当m1＜0,且m2＜0,此时方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0至多有两个实根,若sinα＜0,则当m1＞0,且m2＞0,要使方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个实数根,则方程m2+2sinαm+cosα=0应有两个不等根,且一个根在（0,1）内,一个根在（1,+∞）内,再令g（m）=m2+2sinαm+cosα,因为g（0）=cosα＞0,①△=4sin2α-4cosα＞0,则1-cos2α-cosα＞0,②则只需g（1）＜0,即1+2sinα+cosα＜0,所以0＜cosα＜-1-2sinα,③由①②解得：0＜cosα＜,④由③④得到：sinα＜,＜cosα＜,所以sinα-cosα＜-=-,∴λ≤-.故选：A . 函数f （x ）=|xex+1|是分段函数,通过求导分析得到函数f （x ）在（0,+∞）上为增函数,在（-∞,-1）上为增函数,在（-1,0）上为减函数,求得函数f （x ）在（-∞,0）上,当x=-1时有一个最大值,所以,要使方程f 2（x ）+tf （x ）+1=0（t ∈R ）有四个实数根,f （x ）的值一个要在（0,）内,一个在（,+∞）内,然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解α的取值范围.本题考查了根的存在性及根的个数的判断,考查了利用函数的导函数分析函数的单调性,考查了学生分析问题和解决问题的能力,解答此题的关键是分析出方程f 2（x ）+2sinα•f （x ）+cosα=0有四个实数根时f （x ）的取值情况,此题属于中高档题. 13.【答案】-4【解析】解：∵sinθ+cosθ=, ∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=,∴sinθcosθ=-.则tan=.故答案为：-4.把已知等式两边平方可得sinθcosθ的值,再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果. 本题考查同角三角函数的基本关系的应用,属于基础题.14.【答案】【解析】解：∵在方向上的投影为3,且||==2,•=3+m ；∴||×cosθ=||×==3；解得m=, ∴||=2； ∴cosθ==,由θ∈[0,π],∴、的夹角θ为.故答案为：.根据在方向上的投影是||×cosθ,列出方程求出m 的值,再计算、的夹角θ的值.本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式,向量夹角的应用问题,是基础题目.15.【答案】2-【解析】解：连接A 、B 、O ,得等边三角形OAB ,则阴影部分的面积为S 阴影=12×（×πR 2-×R 2×sin60°）=（2π-3）R 2,又圆的面积为S 圆=πR 2,利用几何概型的概率公式计算所求的概率为P===2-.故答案为：.由题意知,阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积,由此求出阴影部分的面积,利用几何概型的概率公式计算概率值.本题考查了几何概型的概率计算问题,是基础题. 16.【答案】666【解析】解：设数列{a n }为公差d 的等差数列, a 1cos+a 2cos +a 3cosπ+a 4cos +a 5cos +a 6cos2π=（a1-a2）+（a5-a4）-a3+a6=-a3+a6.….由S2017=5710,S2018=4030,可得5710=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a2016）+a2017,4030=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a2016）+a2017-a2018,两式相减可得a2018=3360,由5710=1008d+（3360-d）,解得d=4,则a n=a2018+（n-2018）×4=4n-4712,可得S2019=4030-a2019=4030-（4×2019-4712）=666.故答案为：666.求得数列{b n}的前6项之和,再由S2017=5710,S2018=4030,表示数列{a n}的项的和,结合等差数列的通项公式,解方程即可得到所求通项公式,进而得到所求和.本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值,考查推理能力与计算能力,属于中档题.17.【答案】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得,,…（3分）即,故所以.…（6分）（II）设b=5t（t＞0）,则a=3t,于是.即c=7t.…（9分）由余弦定理得.所以.…（12分）【解析】（I）由正弦定理化简已知等式,整理即可得解.（II）设b=5t（t＞0）,由（I）可求a=3t,由已知可求c=7t,由余弦定理得cosC的值,利用特殊角的三角函数值即可求解.本题主要考查了正弦定理,余弦定理,同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.18.【答案】（Ⅰ）证明：∵E,F分别是PB,PC的中点,∴BC∥EF,又EF⊂平面EFA,BC不包含于平面EFA,∴BC∥面EFA,又BC⊂面ABC,面EFA∩面ABC=l,∴BC∥l,又BC⊥AC,面PAC∩面ABC=AC,面PAC⊥面ABC,∴BC⊥面PAC,∴l⊥面PAC.（2）解：以C为坐标原点,CA为x轴,CB为y轴,过C垂直于面ABC的直线为z轴,建立空间直角坐标系,A（2,0,0）,B（0,4,0）,P（1,0,）,E（）,F（）,,设Q（2,y,0）,面AEF的法向量为,则,取z=,得,|cos＜＞|==,|cos＜＞|==,依题意,得|cos＜＞|=|cos＜＞|,∴y=±1.∴直线l上存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余,|AQ|=1.【解析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA,从而得到BC∥l,再由已知条件推导出BC⊥面PAC,由此证明l⊥面PAC.（2）以C 为坐标原点,CA 为x 轴,CB 为y 轴,过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法求出直线l 上存在点Q ,使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余,|AQ|=1.本题考查直线与平面垂直的证明,考查满足条件的点是否存在的判断与求法,解题时要认真审题,注意向量法的合理运用.19.【答案】解：（1）记“从该校随机抽取一名教师,该教师手机月使用流量不超过300M ”为事件D ,依题意,P （D ）=（0.0008+0.0022）×100=0.3, 从该校教师中随机抽取3人,设这3人中手机月使用流量不超过300M 的人数为X ,则X ～B （3,0.3）, ∴从该校教师中随机抽取3人,至多有一人手机月使用流量不300M 的概率为：P （X =0）+P （X =1）= =0.784.（2）依题意,从该校随机抽取一名教师,该教师手机月使用流量L ∈（300,500]的概率为：（0.0025+0.0035）×100=0.6, L ∈（500,700]的概率为：（0.0008+0.0002）×100=0.1, 当学校订购A 套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为X 元,则X 的所有可能取值为20,35,50,且P （X =20）=0.3,P （X =35）=0.6,P （X =50）=0.1, ∴X 的分布列为：∴（）（元）. 当学校订购B 套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为Y 元, 则Y 的可能取值为30,45,且P （Y =30）=0.3+0.6=0.9,P （Y =45）=0.1, ∴Y 的分布列为： E （Y ）=30×0.9+45×0.1=31.5,当学校订购C 套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为Z 元, 则Z 的所有可能取值为38,且P （Z =38）=1,E （Z ）=38×1=38, ∵E （Y ）＜E （X ）＜E （Z ）, ∴学校订购B 套餐最经济. 【解析】（1）记“从该校随机抽取一名教师,该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D ,依题意,P （D ）=0.3,从该校教师中随机抽取3人,设这3人中手机月使用流量不超过300M 的人数为X ,则X ～B （3,0.3）,由此能求出从该校教师中随机抽取3人,至多有一人手机月使用流量不300M 的概率. （2）依题意,从该校随机抽取一名教师,该教师手机月使用流量L ∈（300,500]的概率为0.6,L ∈（500,700]的概率为0.1,分别求出三各套餐的数学期望,能得到学校订购B 套餐最经济.本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识,考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力,考查应用意识、创新意识,考查统计与概率思想、分类与整合思想,是中档题.20.【答案】（1）解：由已知设点P 的坐标为（x ,y ）,由题意知（x ）,化简得P 的轨迹方程为（x ）…（5分）（2）证明：由题意M ,N 是椭圆C 上非顶点的两点,且AP ∥OM ,BP ∥ON , 则直线AP ,BP 斜率必存在且不为0,又由已知k AP k BP =-. 因为AP ∥OM ,BP ∥ON ,所以k OM k ON =-…（6分） 设直线MN 的方程为x =my +t ,代入椭圆方程,得（3+2m 2）y 2+4mty +2t 2-6=0…①,…（7分）设M ,N 的坐标分别为M （x 1,y 1）,N （x 2,y 2）,则y 1+y 2=- ,y 1y 2=…（8分）所以k OM k ON ==-,得2t 2=2m 2+3…（10分） 又S △MON =|t ||y 1-y 2|==, 即△MON 的面积为定值…（12分）【解析】（1）由题意知（x）,可求P 的轨迹方程；（2）设直线MN 的方程为x=my+t ,代入椭圆方程,利用k OM k ON ==-,得2t 2=2m 2+3,即可证明结论.本题考查轨迹方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查斜率、面积的计算,属于中档题.21.【答案】解：（I）g′（x）=a+x2+2（cos x-x sinx）,函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行,则g′（0）=a+2=0,得a=-2.（II）证明：①当x∈[0,1）时,（1+x）e-2x≥1-x⇔（1+x）e-x≥（1-x）e x,令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）e x,则h′（x）=x（e x-e-x）.当x∈[0,1）时,h′（x）≥0,∴h（x）在[0,1）上是增函数,∴h（x）≥h（0）=0,即f（x）≥1-x.②当x∈[0,1）时,f（x）≤⇔e x≥1+x,令u（x）=e x-1-x,则u′（x）=e x-1. 当x∈[0,1）时,u′（x）≥0,∴u（x）在[0,1）单调递增,∴u（x）≥u（0）=0,∴f（x）≤,综上可知：1-x≤f（x）≤；（Ⅲ）解：设G（x）=f（x）-g（x）=（1+x）e-2x-（ax+x3+1+2x cosx）≥1-x-ax-1-x3-2x cosx=-x（a+1++2cos x）.令H（x）=+2cos x,则H′（x）=x-2sin x,令K（x）=x-2sin x,则K′（x）=1-2cos x.当x∈[0,1）时,K′（x）＜0,可得H′（x）是[0,1）上的减函数,∴H′（x）≤H′（0）=0,故H（x）在[0,1）单调递减,∴H（x）≤H（0）=2.∴a+1+H（x）≤a+3.∴当a≤-3时,f（x）≥g（x）在[0,1）上恒成立.下面证明当a＞-3时,f（x）≥g（x）在[0,1）上不恒成立.f（x）-g（x）≤-（1+ax+x3+2x cosx）=-x（+a++2cos x）.令v（x）=+a++2cos x=+a+H（x）,则v′（x）=+H′（x）.当x∈[0,1）时,v′（x）≤0,故v（x）在[0,1）上是减函数,∴v（x）∈（a+1+2cos1,a+3].当a＞-3时,a+3＞0.∴存在x0∈（0,1）,使得v（x0）＞0,此时,f（x0）＜g（x0）.即f（x）≥g（x）在[0,1）不恒成立.综上实数a的取值范围是（-∞,-3].【解析】（I）求出函数的导数,得到关于a的方程,求出a的值即可；（Ⅱ）①当x∈[0,1）时,（1+x）e-2x≥1-x⇔（1+x）e-x≥（1-x）e x,令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）e x,利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0,1）时,f（x）≤⇔e x≥1+x,令u（x）=e x-1-x,利用导数得出h（x）的单调性即可证明.（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论得到f（x）≥1-x,于是G（x）=f（x）-g（x）≥-x（a+1++2cosx）.再令H（x）=+2cosx,通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围.本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能,考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力.22.【答案】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数）,消去参数得曲线C1的普通方程为（x-2）2+y2=4.∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ,∴ρ2=4ρsinθ,∴C2的直角坐标方程为x2+y2=4y,整理,得x2+（y-2）2=4.（Ⅱ）曲线C1：（x-2）2+y2=4化为极坐标方程为ρ=4cosθ,设A（ρ1,α1）,B（ρ2,α2）,∵曲线C3的极坐标方程为θ=α,0＜α＜π,ρ∈R,点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点,且A,B均异于原点O,且|AB|=4,∴|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin（）|=4,∴sin（）=±1,∵0＜α＜π,∴＜＜,∴,解得.【解析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2=4ρsinθ,由此能求出C2的直角坐标方程.（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ=4cosθ,设A（ρ1,α1）,B（ρ2,α2）,从而得到|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin（）|=4,进而sin （）=±1,由此能求出结果.本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法,考查角的求法,涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化,考查推理论证能力、运算求解能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想,是中档题.23.【答案】解：（1）当a=1时,f（x）＜4,即为2|x+1|+|x-1|＜4,当x≥1时,2（x+1）+x-1＜4,解得x∈∅；当x≤-1时,-2（x+1）+1-x＜4,解得-＜x≤-1；当-1＜x＜1时,2x+2+1-x＜4,解得-1＜x＜1；则原不等式的解集为（-,1）；（2）函数g（x）=f（x）+f（-x）=2|x+a|+|x-|+2|x-a|+|x+|≥2|x+a-x+a|+|x--x-|=4|a|+||≥2=4,当且仅当（x+a）（x-a）≤0,且（x-）（x+）≤0,且4|a|=||时,取得等号,则g（x）的最小值为4.【解析】（1）通过讨论x的范围,求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出g（x）的最小值即可.本题考查了解绝对值不等式问题,考查绝对值不等式的性质,考查分类讨论思想,转化思想,是一道中档题.11。
2019届广东省六校高三第三次联考理科数学(解析版)
7.已知x , y 满足约束条件 ，若z=ax+y 的最大值为 4,贝U a=（ ）广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）（2 月份）一、选择题（本大题共 12小题，共60.0分）x1.设集合 A={x|y=lg （1-x ） }, B={ yy=2 }，则 A AB=（）A. B. C.D.2.若复数z=2i+一，其中i 是虚数单位，则复数 z 的模为（）A. -B. _C. -D. 23.等差数列{ a n }中，若 a 4+a 6+a 8+a io +a i2=12O ，贝a 9--的值是（）A. 14B. 15C. 16D.174.已知函数y=sin （曲+-）向右平移-个单位后，所得的图象与原函数图象关于x 轴对称，则3的最小正值为（） 5.在 一的展开式中，x 2的系数是224，则一的系数是（）A. 14B. 286.函数f (x ) =e x ?ln|x|的大致图象为()9. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法， 其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为-和- （a ，b ，c ，d €N *），则 —— 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道n =3.14159…，若令一V nv-，则第一次用“调日法”后得 一是n 的更为精确的过剩近似值，即 一V nv —，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得 n 的近似分数为（）A. —B. -C. -D.—210. 设F 为抛物线y =2px 的焦点，斜率为k （ k >0）的直线过F 交抛物线于A 、B 两点，若|FA|=3|FB|，则直线AB 的斜率为（）A. -B. 1C. -D.-11. 已知 f （x ） =log a （a - +1） +bx （a >0，a 工1 是偶函数，则（）A. -且—B. -且—C. _且 __D. _且 __12. 已知函数 f （x ） =|xe x+11，关于 x 的方程f 2 （x ） +2sin a f （x ） +cos a =0有四个不等实根，sin «cos成立，则实数 入的最大值为（）A. 3B. 2C.8.如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为 2的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为（）A. B. C. D.A. 1B. 2C.-D. 3C. 56D.112F 分别是PC , PB 的中点，记平面 AEF 与平面ABC 的交线为直线l .（I ）求证：直线l 环面PAC ;（n ）直线l 上是否存在点 Q ,使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余？若存在，求出|AQ| 的值；若不存在，请说明理由.14.已知向量=（1, 一）， __________________________________________ = （3, m ）,且在 上的投影为3，则向量 与 夹角为15. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有 各种花纹，构成种类繁多的图案•如图所示的窗棂图案，是将半径为 R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形•现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落 在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是 __________________________ •16. _______________________________________________________________________________________ 数列b n =a n COS —的前n 项和为S n,已知S 2017=571O ,2018=4030,若数列｛a n ｝为等差数列，则S 2019=__________________________________________________________________________________________18.如图，C 是以AB 为直径的圆 O 上异于 A , B 的点，平面 PAC 丄平面ABC , PA=PC=AC=2 , BC=4, E ,部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.、填空题（本大题共4小题，共20.0 分） 13.已知 sin 0 +cos 」二则 tan19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用 情况，通过抽样，得到 100位教师近2年每人手机月平均使用流量L （单位：M ）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回 答以下问题.三、解答题（本大题共 7小题，共82.0分）17. △ABC 的三个内角 A , B , C 所对的边分别为2a ,b ,c , 且 asinAsinB+bcosA=—a .（I ）求一;(n )若 c 2=a 2+-，求角 C .套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M ）A 20 300B 30 500 C38700这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮 用户充值200M 流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值 200M 流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用. 学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余（1） 从该校教师中随机抽取 3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过 300 M 的概率;（2） 现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：20. 如图，设点A, B的坐标分别为(-一，0),( 一，0),直线AP, BP相交于点P，且它们的斜率之积为--.22. 在直角坐标系xOy中，曲线C i的参数方程为(0为参数)，以原点Q为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为p =4sin 0(I )求曲线C i的普通方程和C2的直角坐标方程；(n )已知曲线C3的极坐标方程为0 =a 0< av n, p€R,点A是曲线C3与C i的交点，点C3与C2的交点，且A, B均异于原点O,且|AB|=4 —，求实数a的值.(1)求P的轨迹方程;(2)设点P的轨迹为C,点M、N是轨迹为C上不同于A, B的两点，且满足AP IOM , BP/QN，求23. 已知函数f (x) =2|x+a|+|x-1 (a工0 .(1)当a=1时，解不等式f (x)< 4;(2)求函数g (x) =f (x) +f (-x)的最小值.证：A MON的面积为定值._ 2x21. 已知函数f (x) =(1 + x) e-, g (x) =ax+—+1+2xcosx，当x€[0, 1]时,(I )若函数g (x)在x=0处的切线与x轴平行，求实数a的值;(n )求证：1-x<f (x)冬(川)若f (x)词(x)恒成立，求实数a的取值范围.x轴的正半B是曲线答案和解析1. 【答案】C【解析】解：'.1-x >0, -'x v 1, .'A= -x, 1),••2x>0, /B= 0, +x),••A n B= 0, 1).故选:C.求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合A、B，然后根据交集定义求结果. 本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题.2. 【答案】B【解析】解: ••复数z=2i+ =2i+ =2i+1-i=1+i , 1+/11+汕I - J • •|z|=d + L =:,故选：B.利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z,再根据复数的模的定义求得复数z的模.本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幕运算性质，求复数的模，属于基础题.3.【答案】C【解析】解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120,得a8=24, j [ i i ?所以a9- 二.3a9-a11) =. a9+a7+a11-a11) =. a9+a7) = . =164 J J J J f 故选:C.先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a g，再用性质求解.本题主要考查等差数列的性质. 解：函数y=sin © x+ )向右平移个单位后得到$ 4.1y=sin[ 4- )+ ]=sin ©x ©+ )的图象，1J 1f 1J1J••所得的图象与原函数图象关于x轴对称，JI J| JI /I•'sin ©x ©+ )=-sin © x+ )=sin © x+ + n ,1 J -I J 4 J 1 JJI J I II•'- ©+ = + n +2k, n €Z，解得©二6k-3,1| 1 J 4 J.•当k=-1时，©取最小正数3,故选:D.由三角函数图象变换可得后来函数的解析式，由诱导公式比较可得©的方程，解方程给k取值可得.本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象变换，属基础题.5.【答案】A【解析】解：因为在的展开式中，•^ ,■令2n-2r=2, r= n-1,则22C2n n-1=224, .92n n-1=56. /n=4.再令8-2r=-2, /r=5.,则京为第6项.C? 144 £■则弟的系数是14.故选:A.首先分析题目已知在的展开式中，X2的系数是224,求"的系数，首先求出在陡4宵侮的展开式中的通项，然后根据x2的系数是224,求出次数n的值，再根据通项求出右为第几项，代入通项求出系数即可得到答案.此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求4.【答案】D一系列的问题.有一定的技巧性，属于中档题目.同学们需要很好的掌握.5.【答案】D解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，故外解：函数f X）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C,D, 当X—+x,f X）f +X,排除B, 故选:A.判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可. 本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键.7. 【答案】B 【解析】则 A 2,0)，1,1),若z=ax+y过A时取得最大值为4,则2a=4,解得a=2, 此时，目标函数为z=2x+y,即y=-2x+z,平移直线y=-2x+z，当直线经过A 2,0）时，截距最大，此时z最大为4,满足条件, 若z=ax+y过B时取得最大值为4,则a+仁4,解得a=3, 此时，目标函数为z=3x+y,即y=-3x+z,平移直线y=-3x+z，当直线经过A 2,0）时，截距最大，此时z最大为6,不满足条件, 故a=2,故选：B.由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为」.本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题.解：第一次用调日法”后得謬是n的更为精确的过剩近似值，即V*』47 47 1 （I 第二次用调日法”后得是n的更为精确的过剩近似值，即I N第三次用调日法”后得’’是n的更为精确的过剩近似值，即=V nV'',Ml I 1 [J 三I}第四次用调日法”后得’是n的更为精确的过剩近似值，即V nV ',i丄』f故选:A.利用调日法”进行计算，即可得出结论.本题考查调日法”考査学生的计算能力，比较基础.10.【答案】D【解析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值. 本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此解：假设A在第一象限,类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键. 过A ,B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D ,E, 过A作EB的垂线，垂足为C,则四边形ADEC为矩形.由抛物线定义可知|AD|=|AF|, |BE|=|BF|,6.【答案】A【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）9.【答案】A 【解析】又・.|AF|=3|BF|,J AD|=|CE|=3|BE|，即B为CE的三等分点,设|BF|=m,则|BC|=2m, |AF|=3m, |AB|=4m ,即|AC|= 曲仁忒平=h . = j m=2 , m,则tan Z ABC= =l"「l 2“即直线AB的斜率k=,故选：D.11.【答案】C【解析】解：\f X)=log a a-x+1)+bx a>0, a^1 是偶函数，••f (x)=f X),§lOg a a X+1)-bx=log a a-X+1)+bx,•■Iog a a x+1)-bx=log a a x+1)+ b-1)x,l•■-b=b-1,「b=,.■f x)=log a a-x+1) + . x,函数为增函数,••a+ >2= ,f a+.)> ().故选:C.利用函数的偶函数，求出b,确定函数单调递增，即可得出结论.本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题. 解:f x)=|x e x+1|= ，当x》O寸，f'x)=e x+1+xe x+1恒成立，所以f x)在0,+〜上为增函数；当x v0 时，f'x)=-e x+1-xe x+1=-e x+1 x+1),由f'x)=0,得x=-1，当x € 0,-1)时，「x)=-e x+1 x+1 )»,f x)为增函数,当x € -1,0)时，f'x )=-e"+1 x+1 )<0,f x)为减函数,所以函数f x)=|xe"+1|的极大值为f -1)=| -1)e°|=1,极小值为：f 0)=0,令f x)=m，由韦达定理得：m1+m2=-2sin a m1?m2=cos a此时若sin >0,则当m1v0,且m2v0,此时方程f2 x)+2sin a ?x)+cos a =至多有两个实根，若sin v 0,则当m1>0,且m2>0,要使方程f2 x)+2sin a ?x)+COS a =有四个实数根,则方程m2+2sin a m+cos a应有两个不等根，且一个根在(0, 1 )内，一个根在1,+x)内，再令g m)=m2+2sin a m+cos a因为g 0)=cos a> 0,①△=4sin2 a-4cos > 0,贝U 1-cos2 a-cos a> 0,②则只需g 1)<0，即1+2sin a +cos v0,所以0v cos v-1-2sin a ③由①②解得:0<cos< —-，④1 3 v 5 - 1由③④得到:sin v , , v cos v ,所以sin -cos av -=-,根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可. 本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键.12.【答案】A 【解析】共11页12.【答案】A【解析】为增函数，在（1,0）上为减函数，求得函数f x）在-g,o）上，当（=-1时有一个最大值，所以,if 要使方程f2 x）+tf x）+仁o t€R）有四个实数根，f X）的值一个要在（0，）内，一个在（，+〜内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解a的取值范围. 本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2 x）+2sin a硃）+COS a =0 有四个实数根时f X）的取值情况，此题属于中高档题.13.【答案】-4【解析】解: '.sin 0 +cos 0=，故答案为：•b根据在密■方向上的投影是| | X cos B列出方程求出m的值，再计算、的夹角B的值. 本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目.15.【答案】2-【解析】解：连接A、B、0,得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为I 2 2 2S 阴影=12X（ XnR X R X si n60）=2n3 ；）R，又圆的面积为S圆=nR,/. Sin 0+cO s=0+2sin 0 cos 0，「sin 0 cos- 0 =故答案为:-4.把已知等式两边平方可得sin 0 cos的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果. 本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题.14.【答案】- 【解析】解:'在方向上的投影为3，且| |= ■丨=2，? =3+、, : m;一一帚-b、爲“•I X cos 0 =X = . =3;| n I x | [r | 2解得m= ■，•| |=2••cos 0==，故答案为：二.j I由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值. 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题.16.【答案】666【解析】解：设数列｛a n｝为公差d的等差数列，订2^4育5n-a1cos +a2cos +a3cos n ^cos +a5cos +a6cos2 nI I=.a1-a2) + . a5-a4)-a3+a6=-a3+a6 . '^.则tan(XHiO 1SmO COfiOfilTlB利用几何概型的概率公式计算所求的概率为可得5710=-龟+电+…+a2013)+ a6+a12+…+a2010+a2016)+二a2017,本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了4030=-鈍+*9 +…+a2013)+ a6+a12+…+a2010+a2016)+启a2017-^ a2018，两式相减可得§018=3360，由5710=1008d+ 3360-d)，解得d=4，则3n=a2018+ *-2018)^=4n-4712,可得S2o19=4O3O-a2o19=4O3O- 4^019-4712)=666.故答案为：666.求得数列｛b n｝的前6项之和，再由S2017=571O, S2018=4O3O,表示数列｛a n｝的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和.本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考査推理能力与计算能力，属于中档题.17.【答案】(本题满分为12分)解：(I)由正弦定理得，- ，…(3分)即- ，故- ，所以--.…(6分)(II )设b=5t (t> 0)，贝U a=3t，于是- -即c=7t.…(9分)由余弦定理得 ------- -------------- -.所以一.…(12分)【解析】()由正弦定理化简已知等式，整理即可得解.(I)设b=5t (>0)，由I )(可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，禾U用特殊角的三角函数值即可求解.••直线I上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余, AQ|=1.(I)利用三角形中位戋定理推导出BC/面EFA，从而得到BC//，再由已知条件推导出BC1面计算能力和转化思想，属于中档题.18.【答案】(I )证明：・.E，F分别是PB，PC 的中点，「BC/EF，又EF?平面EFA，BC不包含于平面EFA，••BC 面EFA，又BC?面ABC，面EFA 门面ABC=I，••BC /，又BC _bAC，面PAC 门面ABC=AC，面PAC 1面ABC，/BC _L面PAC，• 1面PAC.(2)解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A (2，0, 0)，B ( 0, 4, 0)，P (1, 0，_), E( -，, —)，F ( -， ,—)，设Q ( 2, y, 0)，面AEF的法向量为则_ _ ,取z=—得—|cos v , > |= -= ----------------- ,|cos v , > |= -= ------------------ ,依题意，得|cos v , > |=|cos v , > |, •■y=±1.【解析】PAC，由此证明11面PAC .2) 以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线I上存在点Q,使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余, |AQ|=1.本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用.19. 【答案】解：(1 )记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P ( D) = ( 0.0008+0.0022) X100=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X〜B (3，0.3)，••从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率为：P (X=0) +P (X=1) = =0.784. (2)依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L €( 300，500］的概率为：(0.0025+0.0035) X100=0.6，L €( 500，700］的概率为：(0.0008+0.0002 ) X100=0.1，当学校订购A套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X元，则X 的所有可能取值为20，35，50,且P (X=20) =0.3，P (X=35) =0.6，P (X=50) =0.1，••X的分布列为：• () 仁(元).当学校订购B套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为丫元，则丫的可能取值为30，45,且P (Y=30) =0.3+0.6=0.9，P (Y=45) =0.1，••丫的分布列为：D)=0.3, 从亥校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X , 则X〜B 0,0.3)，由此能求出从亥校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率.2) 依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L €300,500］的概率为0.6, L €500,700］的概率为0.1,分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B套餐最经济.本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考査统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题.20. 【答案】(1 )解：由已知设点P的坐标为(x, y),由题意知一=—= -(x ■),化简得P的轨迹方程为一一 (x —)•••( 5分)(2)证明：由题意M , N是椭圆C上非顶点的两点，且AP /OM , BP/QN ,则直线AP, BP斜率必存在且不为0，又由已知k Ap k BP=--.因为AP /QM , BP/ON，所以k oM k oN=--・・・(6分)设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程一一，得(3+2m2) y2+4mty+2『-6=0 ••©,•••( 7分) 设M , N 的坐标分别为M (X1, yj, N(X2, y2),贝U y什y2= ------- ,yy2= --------- ••( 8 分)2 2所以k oM k oN= ---------- =h，得2t =2m +3•••( 10 分)又S^VION h|t||y1-y2| ------------- j ,即A MON的面积为定值—…(12分)【解析】E Y=30 X0.9+45 .1=31.5当学校订购C套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z元，则Z的所有可能取值为38,且P (Z=38) =1，E ( Z) =38X1=38，•E (Y)v E (X)v E ( Z),••学校订购B套餐最经济.【解析】If 2 L1) 由题意知• x,U；)，可求3的轨迹方程；厂丄1广■-—fi q2) 设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程,，利用k OM k O N=「二，得J * jf・一liw2t2=2m2+3，即可证明结论.本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率、面积的计算，属于中档题.1)记从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M为事件D，依题意，P2 21. 【答案】解：(I) g'(x) =a+-x+2 (cosx-xsinx),函数g (x)在x=0处的切线与x轴平行，则g'( 0) =a+2=0 , 得a=-2. (II)证明：①当x€[0, 1)时，(1+x) e"2x>-x? (1+x) e-x>( 1-x) e x,令h (x) = (1+x) e-x_ (1-x) e x,则h'(x) =x (e x-e-x).当x€[0, 1)时，h '( x) >0••h (x)在[0, 1)上是增函数，:h (x) >1 (0) =0,即f (x) >lx.x x x②当x€[0, 1)时，f (x) <—? e > 1+,令u (x) =e -1-x，贝u'( x) =e -1. 当x€[0,1)时，u'(x) >0•'u (x)在[0 , 1)单调递增，「u (x) >J (0) =0,• (x) <—,综上可知：1-x夸(x) ^―；2 v 3(川)解：设G (x) =f (x) -g (x) = (1+x) e - (ax+-x+1+2xcosx)3>!-x-ax-1--x -2xcosx=-x (a+1 + —+2cosx)令H (x) =—+2cosx，则H '( x) =x-2sinx, 令K (x) =x-2sinx,贝V K'( x) =1-2cosx.当x€[0, 1)时，K'( x)v 0,可得H '( x)是[0 , 1)上的减函数，••H '(x)哥'(0) =0，故H (x)在[0 , 1)单调递减，••H (x) 哥(0) =2. /a+1 + H (x)它+3 .••当a =3 时，f (x) (x)在[0, 1) 上恒成立.下面证明当a>-3时，f (x)司(x)在[0, 1)上不恒成立.3f (x) -g (x) <—-(1 + ax+_x+2xcosx) =-x (—+a+一+2cosx)22. 【答案】解：(I)由曲线C1的参数方程为(0为参数)，消去参数得曲线C1的普通方程为(x-2) 2+y2=4 .••曲线C2的极坐标方程为p =4sin ,2•'•p =4 p sin, 0•C2的直角坐标方程为x2+y2=4y,整理，得x2+ (y-2) 2=4.2 2(n )曲线C1 : (x-2) +y =4化为极坐标方程为p =4cos, 0设A ( P1, a1), B ( p, a2),••曲线C3的极坐标方程为0 =a 0v av n p€R,点A是曲线C3与C1的交点,点B是曲线C3与C2的交点，且A, B均异于原点O,且|AB|=4 —,•■|AB|=| 1pp|=|4sin -4a os a |=4 |sin ( 一)|=4 -,/sin ( -) =±1,'•0 V aV n •. 一v v—,•- _,解得—.【解析】令v (x) =—+a+—+2cosx=—+a+H (x)，贝y v'( x) =------------------ +H ' (x)当x€[0, 1)时，v' ( x) <0,故v (x)在[0 , 1)上是减函数，:v (x) € (a+1+2cos1, a+3].当a> -3 时，a+3 > 0. ••存在x o€ (0, 1)，使得v (x o)> 0,此时，f (x o)v g (x o). 即f (x) (x)在[0 , 1)不恒成立. 综上实数a的取值范围是(-a, -3]. 【解析】(I)由线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为p=4 p sin, 0由此能求出C2的直角坐标方程.(U)线C1化为极坐标方程为p =4cos,0设A p, a),B p, a)，从而得到-TT|AB|=| p p|=|4sin -4cos a |=4? |sin ( 〔)|=4\宀,进而sin ( 〔)= ±，由此能求出结果. 本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐I)求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值即可;(U ① 当x €[0,1)时,1(+x)e'2x>-x? 1+x)e-x >Q-x)e x，令h * )= (l+x)e-x- (l-x )e x，利用导数得到h x)的单调性即可证明；②当x €0,1)时，f x )< 1? e x> 1+x令u * )=e x-1-x，利用导数得出h %)的单调性即可证明.I + JT(川)利用(U)结论得到 f x)>-x，于是G x)=f x)-g x)>x a+1+ +2cosx).再令d x)=+2cosx,通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围.本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力.标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题.23. 【答案】解：(1 )当a=1时，f (x)v 4, 即为2|x+1|+|x-1|V 4，当x》l时，2 (x+1 ) +x-1 V 4，解得x€?；当x^1 时，-2 (x+1) +1-x v 4，解得V x<-1 ；当-1 V x v 1 时，2x+2+1-x v 4，解得-1 V x v 1 ；则原不等式的解集为(一，1);(2)函数g (x) =f (x) +f (-x)=2|x+a|+|x--|+2|x-a|+|x+-|> 2x+a-x+a|+|x-_-x-_|=4|a|+|—|—=4 ，当且仅当(x+a) (x-a) <0,且(x--)(x+_) <0,且4|a|=|-|时，取得则g (x)的最小值为4 一. 【解析】1）通寸讨论x的范围，求出不等式的解集即可；2）根据&对值不等式的性质求出g x）的最小值即可. 本题考查了解绝对值不等式问题，考査绝对值不等式的性质, 是一道中档题. 等号，考査分类讨论思想，转化思想,。
六校第三次联考理科数学试题参考答案与评分标准
2019届高三六校第三次联考理科数学参考答案与评分标准13. 4- 14.6π 15.332 16.666 17.解（1）由正弦定理得：225sin sin sin cos sin 3A B B A A += 即225sin (sin cos )sin 3B A A A +=， ……………………………………2分 所以5sin sin 3B A =， ……………………………………4分 即53b a =.……………………………………6分（2）设5,3(0)b k a k k ==>，代入原式得2249c k =，即7c k =. ……………………………………8分由余弦定理得：222925491cos 2352k k k C k k +-==-⋅⋅.……………………………………10分 因为0C π<<，所以23C π=. ……………………………………12分18.解：(1)证明: E 、F 分别为PC , PB 的中点,//,BC EF ∴又,EF EFA BC EFA ⊂⊄面面//BC EFA ∴平面. ……………………………………3分又,,BC ABC EFA ABC l ⊂⋂=平面平面平面//BC l ∴.……………………………4分 又,,BC AC PAC ABC AC ⊥⋂=平面平面PAC ABC ⊥平面平面,BC PAC l PAC ∴⊥∴⊥平面平面. ……………………………6分(2)以C 为坐标原点, CA 所在的直线为x 轴, CB 所在的直线为y 轴，过C 垂直平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系. 则(2,0,0)A ，(0,4,0)B ，(1,3)P ，1(,2E ，13(,)2F ， 33(,2AE =-(0,2,0)EF =， ……………………………7分设平面AEF 的一个法向量为(,,)m x y z =,则330220m AE xz m EF y ⎧⋅=-=⎪⎨⎪⋅==⎩令z =(1,3)m =，……………………………8分 设直线PQ 与平面AEF 所成的角为α， 则sin cos ,PQ m PQ m PQ mα⋅=<>=⋅…………9分设0(2,,0)Q y ，0(1,,3)PQ y =， 设直线PQ 与直线EF 所成的角为β，则cos cos ,PQ EF PQ EF PQ EFβ⋅=<>=⋅……………………………10分依题意得sin α=cos β，即PQ m PQ EF PQ mPQ EF⋅⋅=⋅⋅，代入整理得：01y =，01y =±，即1AQ =……………………………12分 ∴在l 上存在点Q ，1AQ =使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余.19.解：（1）依题意，从该大型公司员工中随机抽取1名员工，其手机月流量不超过300M 的概率为(0.00080.0022)1000.3p =+⨯=………………2分 设从该大型公司员工中随机抽取3名员工中手机月流量不超过300M 的人数为X ，则(3,0.3)X B ……………………………3分则“从该大型公司员工中随机抽取3人，求这3人中至多有1人手机月流量不超过300M”为(1)(0)(1)P X P X P X ≤==+=003112330.3(10.3)0.3(10.3)0.784C C =⨯⨯-+⨯⨯-=…………………5分（2）依题意，从公司中随机抽取一名员工的手机使用流量在(300,500]和(500,700]的概率分别为0.6，0.1……………………………6分①当订购A 套餐时，设公司为一位员工承担的月费用为Y ，则Y 的可能取值为20，35，50，且(20)0.3P Y ==，(35)0.6P Y ==，(50)0.1P Y ==，所以Y 的分布列为：且()200.3350.6500.132E Y =⨯+⨯+⨯=（元）……………………………8分 ②当订购B 套餐时，设公司为一位员工承担的月费用为Z ，则Z 的可能取值为30，45， 且(Z 30)0.30.60.9P ==+=，(Z 45)0.1P ==，所以Z 的分布列为：且(Z)300.9450.131.5E =⨯+⨯=（元）……………………………11分 ③当订购C 套餐时，设公司为一位员工承担的月费用为38元； 因为31.5<32<38，所以订购B 套餐最经济……………………………12分 20.解：（1）设点(,)P x y ，由题意知2333AP BP k k x x ⋅==-+-，化简得点P 的轨迹方程为221(3)32x y x +=≠…………………………5分 （2）证明：由题意M 、N 是椭圆C 上不同于,A B 的两点， 由题意知，直线AP ，BP 斜率存在且不为0，又由已知23AP BP k k ⋅=-． 由//,//AP OM BP ON ，所以23OM ON k k ⋅=-…………………………6分 设直线MN 的方程为x my t =+，代入椭圆方程得222(23)4260m y mty t +++-=①…………………7分 设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122423mt y y m +=-+，21222623t y y m -=+………………………………8分 又212122222121212262()363OM ONy y y y t k k x x m y y mt y y t t m -⋅====-+++-………………9分 得22223t m =+………………………………10分所以221222261148247216222322MONt m t S t y y m t ∆-+=-===+ 即MON ∆的面积为定值6212分21.（I ）()()232cos sin 2g x a x x x x '=++-，……………1分 函数()g x 在0x =处的切线与x 轴平行，则()020g a '=+=……………2分 得2a =-.……………3分 （II ）证明：①要证[]0,1x ∈时，()211xx e x -+≥-，只需证明()1(1)x x x e x e -+≥-记()()1(1)xx h x x ex e -=+--，[]0,1x ∈，则()()0x x h x x e e -'=-≥，所以()h x 在[]0,1上是增函数，故()(0)0h x h ≥=，所以()1f x x ≥-；……………5分 ②要证[]0,1x ∈时，()2111xx ex-+≤+，只需证明1xe x ≥+ 记()1x k x e x =--，[]0,1x ∈，则()10x k x e '=-≥所以()k x 在[]0,1上是增函数，故()(0)0k x h ≥=，所以1()1f x x≤+； 综上，()111x f x x-≤≤+，[]0,1x ∈……………7分（III ）法一：()()3112cos 2x f x g x x ax x x ⎛⎫-≥--+++ ⎪⎝⎭2(12cos )2x x a x =-+++记2()2cos 2x G x x =+，[]0,1x ∈，则()2sin G x x x '=-，()12cos G x x ''=-， 当[]0,1x ∈时，()12cos 0G x x ''=-<，于是()G x '在[]0,1上单调递减， 从而()(0)0G x G ''≤=，所以()G x 在[]0,1上单调递减，有()(0)2G x G ≤=，212cos 32x a x a +++≤+，所以当3a ≤-时，()()f x g x ≥恒成立；…………………………9分 下证当3a >-时，()()f x g x ≥在[]0,1上不恒成立()()321112cos 2cos 1212x x f x g x ax x x x a x x x ⎛⎫⎛⎫-≤-+++=-+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭记211()2cos ()121x H x a x a G x x x=+++=++++， 则21()()0(1)H x G x x ''=-+<+，所以()H x 在[]0,1上单调递减，从而()H x 在[]0,1上的值域为[12cos 1,3]a a +++，当3a >-时，存在0(0,1)x ∈，使得0()0H x >，此时()()00f x g x <，即()()f x g x ≥在[]0,1上不恒成立.综上，实数a 的取值范围].3,(--∞………………………………12分 （III ）法二：令()()()32()112cos 2xx h x f x g x x eax x x -⎛⎫=-=+-+++ ⎪⎝⎭，注意到(0)0h =，故存在0(0,1)x ∈，当0[0,)x x ∈时，()h x 递增，从而必有(0)0h '≥， 而()()223()122cos sin 2xh x x ea x x x x -⎛⎫'=-+-++- ⎪⎝⎭，故(0)303h a a '=--≥⇒≤-…………………………9分关于3a ≤-的充分性与法一同.22.解：（1）由22cos ,2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩消去参数ϕ可得1C 的普通方程为22(2)4x y -+=.4sin ρθ=， ∴24s i n ρρθ=，……………………………3分由cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，得曲线2C 的直角坐标方程为22(2)4x y +-=；………………………5分 （2）由（1）得曲线1C ：22(2)4x y -+=，其极坐标方程为4cos ρθ=，……………………………6分 由题意设1(,)A ρα，2(,)B ρα，则12||||4|sin cos |AB ρραα=-=-42sin()|424πα=-=…………………8分∴sin()14πα-=±，∴42k ππαπ-=+()k Z ∈，0απ<<，∴34πα=.……………………………10分23. 解：（1）1a =，∴原不等式为2|1||1|4x x ++-<，∴12214x x x <-⎧⎨---+<⎩，或11,2214,x x x -≤≤⎧⎨+-+<⎩或1,2214,x x x >⎧⎨++-<⎩∴513x -<<-或11x -≤<或∅，∴原不等式的解集为5(,1)3-.……………………………5分（2）由题意得()()()g x f x f x =+-=112(||||)(||||)x a x a x x a a++-+++- 222|2|4||||||a a a a ≥+=+42≥ 当且仅当12||||a a =，计22a =±，且22x -≤≤时，()g x 取最小值42……………………………10分。
广东省六校2018-2019学年高三(下)第三次联考数学试卷(理科)(2月份)解析版
广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）（2月份）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|y=lg（1-x）}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A. B. C. D.2.若复数z=2i+，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A. B. C. D. 23.等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9-的值是（）A. 14B. 15C. 16D. 174.已知函数y=sin（ωx+）向右平移个单位后，所得的图象与原函数图象关于x轴对称，则ω的最小正值为（）A. 1B. 2C.D. 35.在的展开式中，x2的系数是224，则的系数是（）A. 14B. 28C. 56D. 1126.函数f（x）=e x•ln|x|的大致图象为（）A.B.C.D.7.已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（）A. 3B. 2C.D.8.如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D. 9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为和（a，b，c，d∈N*），则是x的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令＜π＜，则第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（）A. B. C. D.10.设F为抛物线y2=2px的焦点，斜率为k（k＞0）的直线过F交抛物线于A、B两点，若|FA|=3|FB|，则直线AB的斜率为（）A. B. 1 C. D.11.已知f（x）=log a（a-x+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数，则（）A. 且B. 且C. 且D. 且12.已知函数f（x）=|xe x+1|，关于x的方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个不等实根，sinα-cosα≥λ恒成立，则实数λ的最大值为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知sinθ+cosθ=，则tan=______．14.已知向量=（1，），=（3，m），且在上的投影为3，则向量与夹角为______．15.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是______．16.数列b n=a n cos的前n项和为S n，已知S2017=5710，S2018=4030，若数列{a n}为等差数列，则S2019=______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a sin A sin B+b cos2A=a．（I）求；（Ⅱ）若c2=a2+，求角C．18.如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA=PC=AC=2，BC=4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．（Ⅰ）求证：直线l⊥平面PAC；（Ⅱ）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由．19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回答以下问题．（1）从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M的概率；（2）现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．20.如图，设点A，B的坐标分别为（-，0），（，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-．（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．21.已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax++1+2x cosx，当x∈[0，1]时，（Ⅰ）若函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行，求实数a的值；（Ⅱ）求证：1-x≤f（x）≤；（Ⅲ）若f（x）≥g（x）恒成立，求实数a的取值范围．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（φ为参数），以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，求实数α的值．23.已知函数f（x）=2|x+a|+|x-|（a≠0）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＜4；（2）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵1-x ＞0，∴x ＜1，∴A=（-∞，1），∵2x＞0，∴B=（0，+∞），∴A∩B=（0，1）． 故选：C ．求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合A 、B ，然后根据交集定义求结果． 本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题． 2.【答案】B【解析】解：∵复数z=2i+=2i+=2i+1-i=1+i ，∴|z|==，故选：B ．利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z ，再根据复数的模的定义求得复数z 的模．本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i 的幂运算性质，求复数的模，属于基础题． 3.【答案】C【解析】解：依题意，由a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120，得a 8=24， 所以a 9-=（3a 9-a 11）=（a 9+a 7+a 11-a 11）=（a 9+a 7）==16故选：C ．先由等差数列的性质a 4+a 6+a 8+a 10+a 12=120得a 8，再用性质求解． 本题主要考查等差数列的性质． 4.【答案】D【解析】解：函数y=sin （ωx+）向右平移个单位后得到 y=sin[ω（x-）+]=sin （ωx -ω+）的图象，∵所得的图象与原函数图象关于x 轴对称，∴sin （ωx -ω+）=-sin （ωx+）=sin （ωx++π），∴-ω+=+π+2kπ，k ∈Z ，解得ω=-6k-3，∴当k=-1时，ω取最小正数3， 故选：D ．由三角函数图象变换可得后来函数的解析式，由诱导公式比较可得ω的方程，解方程给k 取值可得．本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象变换，属基础题．5.【答案】A【解析】解：因为在的展开式中，，令2n-2r=2，r=n-1，则22C 2n n-1=224，∴C 2n n-1=56．∴n=4． 再令8-2r=-2，∴r=5．，则为第6项．∴．则的系数是14．故选：A ．首先分析题目已知在的展开式中，x 2的系数是224，求的系数，首先求出在的展开式中的通项，然后根据x 2的系数是224，求出次数n 的值，再根据通项求出为第几项，代入通项求出系数即可得到答案．此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求一系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．同学们需要很好的掌握． 6.【答案】A【解析】解：函数f （x ）为非奇非偶函数，图象不关于y 轴对称，排除C ，D ，当x→+∞，f （x ）→+∞，排除B ， 故选：A ．判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，故外接球半径为．所以表面积为8π．故选：C．由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为．本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题．9.【答案】A【解析】解：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故选：A．利用“调日法”进行计算，即可得出结论．本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础．10.【答案】D【解析】解：假设A在第一象限，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=3|BF|，∴|AD|=|CE|=3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|=m，则|BC|=2m，|AF|=3m，|AB|=4m，即|AC|===m=2m，则tan∠ABC===，即直线AB的斜率k=故选：D．根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可．本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键．11.【答案】C【解析】解：∵f（x）=log a（a-x+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即log a（a x+1）-bx=log a（a-x+1）+bx，∴log a（a x+1）-bx=log a（a x+1）+（b-1）x，∴-b=b-1，∴b=，∴f（x）=log a（a-x+1）+x，函数为增函数，∵a+＞2=，∴f（a+）＞f （）．故选：C．利用函数的偶函数，求出b，确定函数单调递增，即可得出结论．本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：f（x）=|xe x+1|=，当x≥0时，f′（x）=e x+1+xe x+1≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=-e x+1-xe x+1=-e x+1（x+1），由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e x+1（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e x+1（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x+1|的极大值为f（-1）=|（-1）e0|=1，极小值为：f（0）=0，令f（x）=m，由韦达定理得：m1+m2=-2sinα，m1•m2=cosα，此时若sinα＞0，则当m1＜0，且m2＜0，此时方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0至多有两个实根，若sinα＜0，则当m1＞0，且m2＞0，要使方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个实数根，则方程m2+2sinαm+cosα=0应有两个不等根，且一个根在（0，1）内，一个根在（1，+∞）内，再令g（m）=m2+2sinαm+cosα，因为g（0）=cosα＞0，①△=4sin2α-4cosα＞0，则1-cos2α-cosα＞0，②则只需g（1）＜0，即1+2sinα+cosα＜0，所以0＜cosα＜-1-2sinα，③由①②解得：0＜cosα＜，④由③④得到：sinα＜，＜cosα＜，所以sinα-cosα＜-=-，∴λ≤-．故选：A．函数f（x）=|xe x+1|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解α的取值范围．本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．13.【答案】-4【解析】解：∵sinθ+cosθ=，∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=-．则tan=．故答案为：-4．把已知等式两边平方可得sinθcosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题． 14.【答案】【解析】解：∵在方向上的投影为3，且||==2，•=3+m ； ∴||×cosθ=||×==3；解得m=， ∴||=2； ∴cosθ==，由θ∈[0，π]， ∴、的夹角θ为．故答案为：．根据在方向上的投影是||×cosθ，列出方程求出m 的值，再计算、的夹角θ的值．本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目．15.【答案】2-【解析】解：连接A 、B 、O ，得等边三角形OAB ，则阴影部分的面积为 S 阴影=12×（×πR 2-×R 2×sin60°）=（2π-3）R 2，又圆的面积为S 圆=πR 2，利用几何概型的概率公式计算所求的概率为P===2-．故答案为：．由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值． 本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题． 16.【答案】666【解析】解：设数列{a n }为公差d 的等差数列， a 1cos+a 2cos+a 3cosπ+a 4cos+a 5cos+a 6cos2π=（a 1-a 2）+（a 5-a 4）-a 3+a 6=-a 3+a 6．…． 由S 2017=5710，S 2018=4030，可得5710=-（a 3+a 9+…+a 2013）+（a 6+a 12+…+a 2010+a 2016）+a 2017，4030=-（a 3+a 9+…+a 2013）+（a 6+a 12+…+a 2010+a 2016）+a 2017-a 2018， 两式相减可得a 2018=3360，由5710=1008d+（3360-d ），解得d=4， 则a n =a 2018+（n-2018）×4=4n-4712，可得S 2019=4030-a 2019=4030-（4×2019-4712）=666． 故答案为：666．求得数列{b n }的前6项之和，再由S 2017=5710，S 2018=4030，表示数列{a n }的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和．本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，，…（3分）即，故，所以．…（6分）（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是．即c=7t．…（9分）由余弦定理得．所以．…（12分）【解析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）证明：∵E，F分别是PB，PC的中点，∴BC∥EF，又EF⊂平面EFA，BC不包含于平面EFA，∴BC∥面EFA，又BC⊂面ABC，面EFA∩面ABC=l，∴BC∥l，又BC⊥AC，面PAC∩面ABC=AC，面PAC⊥面ABC，∴BC⊥面PAC，∴l⊥面PAC．（2）解：以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，A（2，0，0），B（0，4，0），P（1，0，），E（，，），F（，，），，，，，，，设Q（2，y，0），面AEF的法向量为，，，则，取z=，得，，，，，，|cos＜，＞|==，|cos＜，＞|==，依题意，得|cos＜，＞|=|cos＜，＞|，∴y=±1．∴直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．【解析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC∥面EFA，从而得到BC∥l，再由已知条件推导出BC⊥面PAC，由此证明l⊥面PAC．（2）以C为坐标原点，CA为x轴，CB为y轴，过C垂直于面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.【答案】解：（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P（D）=（0.0008+0.0022）×100=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），∴从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率为：P（X=0）+P（X=1）==0.784．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L∈（300，500]的概率为：（0.0025+0.0035）×100=0.6，L∈（500，700]的概率为：（0.0008+0.0002）×100=0.1，当学校订购A套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X元，则X的所有可能取值为20，35，50，且P（X=20）=0.3，P（X=35）=0.6，P（X=50）=0.1，当学校订购B套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Y元，则Y的可能取值为30，45，且P（Y=30）=0.3+0.6=0.9，P（Y=45）=0.1，（），当学校订购C套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z元，则Z的所有可能取值为38，且P（Z=38）=1，E（Z）=38×1=38，∵E（Y）＜E（X）＜E（Z），∴学校订购B套餐最经济．【解析】（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P （D）=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），由此能求出从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L∈（300，500]的概率为0.6，L∈（500，700]的概率为0.1，分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B套餐最经济．本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题．20.【答案】（1）解：由已知设点P的坐标为（x，y），由题意知（x），化简得P的轨迹方程为（x）…（5分）（2）证明：由题意M，N是椭圆C上非顶点的两点，且AP∥OM，BP∥ON，则直线AP，BP斜率必存在且不为0，又由已知k AP k BP=-．因为AP∥OM，BP∥ON，所以k OM k ON=-…（6分）设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，得（3+2m2）y2+4mty+2t2-6=0…①，…（7分）设M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），则y1+y2=-，y1y2=…（8分）所以k OM k ON==-，得2t2=2m2+3…（10分）又S△MON=|t||y1-y2|==，即△MON的面积为定值…（12分）【解析】（1）由题意知（x），可求P的轨迹方程；（2）设直线MN的方程为x=my+t，代入椭圆方程，利用k OM k ON==-，得2t2=2m2+3，即可证明结论．本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率、面积的计算，属于中档题．21.【答案】解：（I）g′（x）=a+x2+2（cos x-x sinx），函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行，则g′（0）=a+2=0，得a=-2．（II）证明：①当x∈[0，1）时，（1+x）e-2x≥1-x⇔（1+x）e-x≥（1-x）e x，令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）e x，则h′（x）=x（e x-e-x）．当x∈[0，1）时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，1）上是增函数，∴h（x）≥h（0）=0，即f（x）≥1-x．②当x∈[0，1）时，f（x）≤⇔e x≥1+x，令u（x）=e x-1-x，则u′（x）=e x-1．当x∈[0，1）时，u′（x）≥0，∴u（x）在[0，1）单调递增，∴u（x）≥u（0）=0，∴f（x）≤，综上可知：1-x≤f（x）≤；（Ⅲ）解：设G（x）=f（x）-g（x）=（1+x）e-2x-（ax+x3+1+2x cosx）≥1-x-ax-1-x3-2x cosx=-x（a+1++2cos x）．令H（x）=+2cos x，则H′（x）=x-2sin x，令K（x）=x-2sin x，则K′（x）=1-2cos x．当x∈[0，1）时，K′（x）＜0，可得H′（x）是[0，1）上的减函数，∴H′（x）≤H′（0）=0，故H（x）在[0，1）单调递减，∴H（x）≤H（0）=2．∴a+1+H（x）≤a+3．∴当a≤-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上恒成立．下面证明当a＞-3时，f（x）≥g（x）在[0，1）上不恒成立．f（x）-g（x）≤-（1+ax+x3+2x cosx）=-x（+a++2cos x）．令v（x）=+a++2cos x=+a+H（x），则v′（x）=+H′（x）．当x∈[0，1）时，v′（x）≤0，故v（x）在[0，1）上是减函数，∴v（x）∈（a+1+2cos1，a+3]．当a＞-3时，a+3＞0．∴存在x0∈（0，1），使得v（x0）＞0，此时，f（x0）＜g（x0）．即f（x）≥g（x）在[0，1）不恒成立．综上实数a的取值范围是（-∞，-3]．【解析】（I）求出函数的导数，得到关于a的方程，求出a的值即可；（Ⅱ）①当x∈[0，1）时，（1+x）e-2x≥1-x⇔（1+x）e-x≥（1-x）e x，令h（x）=（1+x）e-x-（1-x）e x，利用导数得到h（x）的单调性即可证明；②当x∈[0，1）时，f（x）≤⇔e x≥1+x，令u（x）=e x-1-x，利用导数得出h（x）的单调性即可证明．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论得到f（x）≥1-x，于是G（x）=f（x）-g（x）≥-x（a+1++2cosx）．再令H（x）=+2cosx，通过多次求导得出其单调性即可求出a的取值范围．本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力．22.【答案】解：（Ⅰ）由曲线C1的参数方程为（φ为参数），消去参数得曲线C1的普通方程为（x-2）2+y2=4．∵曲线C2的极坐标方程为ρ=4sinθ，∴ρ2=4ρsinθ，∴C2的直角坐标方程为x2+y2=4y，整理，得x2+（y-2）2=4．（Ⅱ）曲线C1：（x-2）2+y2=4化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），∵曲线C3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且|AB|=4，∴|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin（）|=4，∴sin（）=±1，∵0＜α＜π，∴＜＜，∴，解得．【解析】（Ⅰ）由曲线C1的参数方程消去参数能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C1化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin（）|=4，进而sin （）=±1，由此能求出结果．本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（1）当a=1时，f（x）＜4，即为2|x+1|+|x-1|＜4，当x≥1时，2（x+1）+x-1＜4，解得x∈∅；当x≤-1时，-2（x+1）+1-x＜4，解得-＜x≤-1；当-1＜x＜1时，2x+2+1-x＜4，解得-1＜x＜1；则原不等式的解集为（-，1）；（2）函数g（x）=f（x）+f（-x）=2|x+a|+|x-|+2|x-a|+|x+|≥2|x+a-x+a|+|x--x-|=4|a|+||≥2=4，当且仅当（x+a）（x-a）≤0，且（x-）（x+）≤0，且4|a|=||时，取得等号，则g（x）的最小值为4．【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出g（x）的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
广东六校2019年高三第三次联考试题(数学理)
广东六校2019年高三第三次联考试题（数学理）高三数学〔理科〕试题 2018. 2.8本试卷共4页，21小题，总分值150分、考试用时120分钟、 参考公式：锥体体积公式13V Sh=，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高、 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每题5分，共40分、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的、 1、,A B 是非空集合，命题甲：AB B =，命题乙：A B ⊂≠，那么〔〕A.甲是乙的充分不必要条件B.甲是乙的必要不充分条件C.甲是乙的充要条件D.甲是乙的既不充分也不必要条件 2.复数21ii =-〔〕A.1i -B.1i -+C.1i +D.1i -- 3.点(,)N x y 在由不等式组002x y x y x +≥⎧⎪-≥⎨⎪≤⎩确定的平面区域内，那么(,)N x y 所在平面区域的面积是〔〕A 、1B 、2C 、4D 、84.等差数列{a n }中，35a =，2512a a +=，29n a =，那么n 为〔〕A.13B.14C.15D.16 5.函数21log 1x y x+=-的图像〔〕A 、关于原点对称B.关于主线y x =-对称 C.关于y 轴对称D.关于直线y x =对称6.假设某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的体积是〔〕A.B.C.3D.37.平面,,αβγ，直线,m l ，点A ，有下面四个命题：ONMBAA.假设l α⊂，m A α=那么l 与m 必为异面直线；B.假设,l l m α那么m α；C.假设 , , ,l m l m αββα⊂⊂那么 αβ；D.假设 ,,,m l l m αγγαγβ⊥==⊥，那么l α⊥.其中正确的命题是〔〕8.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱和为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 动身沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规那么：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完2018段、黄“电子狗”爬完2017段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是〔〕 A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷【二】填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分、 〔一〕必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答、9.0-=⎰. 10.函数2()sin cos 2f x x x =+,x R ∈的最小正周期为 11.在直角ABC ∆中， 90=∠C ， 30=∠A ，1=BC ，D 为斜边AB 的中点，那么CD AB ⋅=.12.假设双曲线22219x y a -=(0)a >的一条渐近线方程为320x y -=，那么以双曲线的顶点和焦点分别为焦点和顶点的椭圆的离心率为__________.13.将“杨辉三角”中的数从左到右、从上到下排成一数列：1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，右图所示程序框图用来输出此数列的前假设干项并求其和，假设输入m=4那么相应最后的输出S 的值是__________.〔二〕选做题：第14、15题是选做题，考生只能从中选做一题、 14、〔坐标系与参数方程选做题〕曲线1C 、2C 的极坐标方程分别为2cos()2πρθ=-+，cos()104πθ-+=，那么曲线1C 上的点与曲线2C 上的点的最远距离为________.15、〔几何证明选讲选做题〕图1图2如图，点M 为O 的弦AB 上的一点，连接MO .MN OM ⊥，MN 交圆于N ，假设2MA =，4MB =，那么MN =.【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤、 16、〔本小题总分值12分〕 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 是该三角形的面积， 〔1〕假设(2sin cos ,sin cos )2B a B B B =-，(sin cos ,2sin )2B b B B =+，//a b ，求角B的度数； 〔2〕假设8a =，23B π=，S =b 的值. 17〔本小题总分值12分〕甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是32和43假设两人射击是否击中目标，相互之间没有妨碍；每人各次射击是否击中目标，相互之间也没有妨碍⑴求甲射击3次，至少1次未击中．．．目标的概率； ⑵假设某人连续2次未击中．．．目标，那么停止射击，问：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是多少？⑶设甲连续射击3次，用ξ表示甲击中目标时射击的次数，求ξ的数学期望E ξ. 〔结果能够用分数表示〕 18.〔本小题总分值14分〕如图，四边形ABCD 中〔图1〕，E 是BC的中点，1,DC =BC =，AB AD ==将〔图1〕沿直线BD 折起，使二面角A BD C --为060〔如图2〕 〔1〕求证：AE ⊥平面BDC ；〔2〕求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值；〔3〕求点B 到平面ACD 的距离.19〔本小题总分值14分〕函数()241(12)ln(21)22x a f x a x x +=-+++.〔1〕设1a =时，求函数()f x 极大值和极小值;〔2〕a R ∈时讨论函数()f x 的单调区间.20.〔本小题总分值l4分〕如图，P 是抛物线C ：212y x=上横坐标大于零的一点，直线l 过点P 并与抛物线C 在点P 处的切线垂直，直线l 与抛物线C 相交于另一点Q . 〔1〕当点P 的横坐标为2时，求直线l 的方程； 〔2〕假设0OP OQ ⋅=，求过点,,P Q O 的圆的方程. 21.〔本小题总分值l4分〕数列{}na的前n 项和为n S ，正数数列{}n b 中 ,2e b =(e 为自然对数的底718.2≈)且*N n ∈∀总有12-n 是n S 与na 的等差中项，11++n n n b b b 与是的等比中项.(1)求证:*N n ∈∀有n n n a a 21<<+；(2)求证：*N n ∈∀有13ln ln ln )1(2321-<+++<-n n n a b b b a .2018届第三次六校联考 高三数学〔理科〕试题答案2018.2.8一、选择题：1、B ；2、A ；3、C ；4、C ；5、A ；6、B ；7、D ；8、D【二】填空题：9.4π；10.π；11.-1；13.15；选做题：115.【三】解答题： 16.解：〔1〕//a b24cos sin cos 202BB B ∴⋅+= 21cos 4cos 2cos 102B B B -∴⋅+-=1cos 2B ∴=0(0,180)B ∠∈60B ∴∠=……………………6分〔2〕83S=1sin 2ac B =7分得4c =……………………8分2222cos b a c ac B =+-22084284cos120=+-⋅⋅……………………10分b ∴=12分17.解：〔1〕记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P 〔A 1〕=1-P 〔1A 〕=1-32()3=1927答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为1927；……………………4分(2)记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A 2，由于各事件相互独立，故P 〔A 2〕=41×41×43×41+41×41×43×43=364，答：乙恰好射击4次后，被中止射击的概率是364……………………8分〔3〕依照题意ξ服从二项分布，2323E ξ=⨯=……………………12分 〔3〕方法二：03311(0)()327p C ξ==⋅=123216(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=22132112(2)()()3327p C ξ==⋅⋅=3303218(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=161280123227272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………12分 说明：〔1〕，〔2〕两问没有文字说明分别扣1分，没有答，分别扣1分。
2019六校第三次联考理科数学答案
2019届第三次六校联考高三数学（理科）试题答案 2019. 2.8一．选择题：1、B ；2、A ；3、C ；4、C ；5、A ；6、B ；7、D ；8、D二、填空题：9.4π； 10. π ； 11. -1 ； 12. ； 13. 15；选做题：14. 1 15.三、解答题： 16.解：（1）//a b 24c o s s i n c o s 202BB B ∴⋅+= 21cos 4cos 2cos 102B B B -∴⋅+-= 1cos 2B ∴=0(0,180)B ∠∈ 60B ∴∠=……………………6分（2）83S = 1sin 2ac B ∴=7分得 4c =……………………8分2222cos b a c ac B =+-22084284cos120=+-⋅⋅……………………10分b ∴=12分17.解：（1）记“甲连续射击3次，至少1次未击中目标”为事件A 1，由题意，射击3次，相当于3次独立重复试验，故P （A 1）=1- P （1A ）=1-32()327答：甲射击3次，至少1次未击中目标的概率为1927；……………………4分(2) 记“乙恰好射击4次后，被中止射击”为事件A 2，由于各事件相互独立，故P （A 2）=41×41×43×41+41×41×43×43 =364， 答：乙恰好射击464……………………8分（3）根据题意ξ服从二项分布，2323E ξ=⨯=……………………12分（3）方法二：03311(0)()327p C ξ==⋅=123216(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=22132112(2)()()3327p C ξ==⋅⋅=3303218(1)()()3327p C ξ==⋅⋅=161280123227272727E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=……………………12分 说明：（1），（2）两问没有文字说明分别扣1分，没有答，分别扣1分。
广东省六校2019届高三数学第三次联考试题理(含解析)
广东省六校2019届高三数学第三次联考试题理（含解析）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合,则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合，然后根据交集定义求结果【详解】解：则故选：C【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题2.若复数，其中是虚数单位，则复数的模为( )A. B. C. D. 2【答案】B【解析】试题分析：，所以复数z的模为考点：本题考查复数的运算点评：解决本题的关键是会复数的运算，知道复数的模为3.等差数列中，若，则的值是（）A. 14B. 15C. 16D. 17【答案】C【解析】【分析】先由等差数列的性质得，再用性质求解【详解】解：依题意，由，得，即所以故选：C【点睛】本题主要考查等差数列的性质，根据题意结合等差数列的等差中项进行化简求出结果，较为基础4.已知函数向右平移个单位后，所得的图像与原函数图像关于轴对称，则的最小正值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：原函数向右平移个单位后所得函数为其与原函数关于轴对称，则必有，由三角函数诱导公式可知的最小正值为，故本题的正确选项为D.考点：函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.5.在的展开式中，的系数是224，则的系数是（）A. 14B. 28C. 56D. 112【答案】A【解析】【分析】首先求出在的展开式中的通项，然后根据的系数是224，求出次数n的值，再根据通项求出为第几项，代入通项求出系数即可得到答案【详解】解：因为在的展开式中，，令则，∴，再令，则为第6项．∴则的系数是14．故选：A【点睛】此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求一系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．6.函数的大致图象为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可【详解】解：函数，，，，则函数为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当，排除B，故选：A【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键7.已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝ ( )A. 3B. 2C. －2D. －3【答案】B【解析】试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则，，若过点A时取得最大值4，则．此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为4，符合题意．若过点B时取到最大值4，则，此时目标函数为，即，平移直线，当直线过点A时截距最大，此时z的最大值为6，不符合题意．．考点：简单的线性规划．【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．8.如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为.【详解】解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，由三视图可得外接球半径为．所以表面积为．故选：C【点睛】本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题.9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数的不足近似值和过剩近似值分别为和（，，，），则是的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道…，若令，则第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得的近似分数为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析：由题意：第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即，第二次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第三次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,第四次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值，即,故选A.考点：合情推理.【易错点晴】本题主要考查了合情推理这个知识点,属于中档题. 本题易错的地方:没有读懂题意,题目中“第一次用“调日法”后得是的更为精确的过剩近似值”的等于，那第二次第三次第四次都是用这个公式计算的.在2016年高考考纲中增加了“数学文化”.考查了学生的读题和计算能力,属于基础题.10.设F为抛物线的焦点，斜率为的直线过F交抛物线于A、B两点，若，则直线AB的斜率为（）A. B. 1 C. D.【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可【详解】解：假设A在第一象限，过分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形为矩形由抛物线定义可知,又∵，∴，即B为的三等分点，设即则，即直线AB的斜率故选：D【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键11.已知是偶函数，则（）A. 且B. 且C. 且D. 且【答案】C【解析】【分析】利用函数的偶函数，求出b，确定函数单调递增，即可得出结论【详解】解：∵是偶函数，∴∴∴∴，函数为增函数，∵，∴故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题12.已知函数，关于x的方程有四个不等实根，恒成立，则实数的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】函数是分段函数，通过求导分析得到函数的单调性，并求出当时有一个最大值，所以，要使方程有四个实数根，的值一个要在内，一个在内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解. 【详解】解：，当时，恒成立，所以在上为增函数；当时，，由，得，当时，，为增函数，当时，，为减函数，所以函数的极大值为，极小值为：，令，由韦达定理得：此时若，则当,此时方程至多有两个实根，若，则当要使方程有四个实数根，则方程应有两个不等根，且一个根在内，一个根在内，再令，因为，①，则，②则只需，即，所以，③由①②解得：，④由③④得到：，，所以∴.故选：A.【点睛】本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程有四个实数根时的取值情况，此题属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知，则=______．【答案】-4【解析】【分析】把已知等式两边平方可得的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果【详解】解：∵，∴，∴则故答案为：-4【点睛】本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题14.已知向量，且在上的投影为3，则与角为______.【答案】【答案】.【解析】试题解析：在上的投影为3，，，，向量与夹角为考点：平面向量15.我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是__________．【答案】【解析】∵阴影部分面积为∴飞镖落在黑色部分的概率为故答案为点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性．基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的区域都是有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率．16.数列的前n项和为，已知，，若数列为等差数列，则=______．【答案】666【解析】【分析】求得数列的前6项之和，再由，，表示数列的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和【详解】解：设数列为公差d的等差数列，由，，可得两式相减可得，由，解得，则可得故答案为：666【点睛】本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.的三个内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，求角.【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（2）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．试题解析：（1）由正弦定理得，,即，故，所以.（2）设，则，于是.即.由余弦定理得.所以.考点：正弦定理；余弦定理；同角三角函数基本关系18.如图，是以为直径的圆上异于的点，平面平面，,，分别是的中点，记平面与平面的交线为直线．（Ⅰ）求证：直线平面；（Ⅱ）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）直线l上存在点Q满足题意，|AQ|=1【解析】【分析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出面，从而得到，再由已知条件推导出面，由此证明平面．（Ⅱ）以坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余. 【详解】（Ⅰ）证明：∵分别是的中点，又平面，不包含于平面，∴面，又面，面面，∴，又，面面，面面，∴面,∴直线平面．．（Ⅱ）坐标原点，为轴，为轴，过垂直于面的直线为轴，建立空间直角坐标系，设，面的法向量为则取，得，,|,依题意，得∴∴直线上存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余，．【点睛】本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.某学校为鼓励家校互动,与某手机通讯商合作,为教师办理流量套餐.为了解该校教师手机流量使用情况,通过抽样,得到位教师近年每人手机月平均使用流量(单位:)的数据,其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分别视为其手机月使用流量,并将频率为概率,回答以下问题.(Ⅰ) 从该校教师中随机抽取人,求这人中至多有人月使用流量不超过的概率；(Ⅱ) 现该通讯商推出三款流量套餐,详情如下:这三款套餐都有如下附加条款:套餐费月初一次性收取,手机使用一旦超出套餐流量,系统就自动帮用户充值流量,资费元；如果又超出充值流量,系统就再次自动帮用户充值流量,资费元/次,依次类推,如果当月流量有剩余,系统将自动清零,无法转入次月使用. 学校欲订购其中一款流量套餐,为教师支付月套餐费,并承担系统自动充值的流量资费的,其余部分由教师个人承担,问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由.【答案】(1)0.784.(2) 学校订购套餐最经济.【解析】【分析】(Ⅰ)先求得该教师手机月使用流量不超过的概率为.利用互斥事件的概率和独立重复试验的概率求这人中至多有人月使用流量不超过的概率. (Ⅱ)先分别求出三种套餐的期望，再比较它们的大小即得解.【详解】(Ⅰ)由直方图可知,从该校中随机抽取一名教师,该教师手机月使用流量不超过的概率为.设“从该校教师中随机抽取人,至多有人月使用流量不超过”为事件,则.(Ⅱ)依题意,,.当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为的所有可能取值为,,, 且,,,所以(元)当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为的所有可能取值为,,且,,所以(元)当学校订购套餐时,设学校为一位教师承担的月费用为的所有可能取值为,且,(元)因为,所以学校订购套餐最经济.【点睛】(1)本题主要考查概率的计算，考查互斥事件的概率和独立重复试验的概率，考查随机变量的期望，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)…… 为的均值或数学期望．20.如图，设点A，B的坐标分别为（-，0），()，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-．（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON的面积为定值．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）直接法求动点轨迹方程：先设动点坐标，根据条件斜率之积为列方程：，化简整理得标准方程，注意变形过程中的等价性，即纯粹性（2）解决解析几何中定值问题，一般方法为以算代证，即计算出的面积，由平行条件得斜率关系：由得，即得坐标关系；设直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，代入可得，而三角形面积可表示为，将代入化简得试题解析：（1）由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为5分（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，则直线斜率必存在且不为0，又由已知．因为，所以6分设直线的方程为，代入椭圆方程，得．①，．．7分设的坐标分别为，则8分又，．9分所以，得 10分又，所以，即的面积为定值．．12分考点：直接法求动点轨迹方程，圆锥曲线中定值问题【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.21.已知函数（I）求证（II）若取值范围.【答案】（I）见解析（II）【解析】试题分析：（1）将问题转化为证明与，从而令、，然后利用导数求得的单调性即可使问题得证；（2）由（1）中的结论得≥，从而令，通过多次求导得出其单调性即可求出的取值范围．试题解析：（1）要证时，，只需证明.记，则，当时，，因此在上是增函数，故，所以.要证时，，只需证明，记，则，当时，，因此在上是增函数，故，所以，.综上，，.（2）（解法一）.设，则，记，则，当时，，于是在上是减函数，从而当时，，故在上是减函数，于是，从而，所以，当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，. 记，则，当时，，故在上是减函数.于是在上的值域为.因为当时，，所以存在，使得此时，即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.（解法二）先证当时，.记，则，记，则，当时，，于是在上是增函数，因此当时，，从而在上是增函数，因此. 所以当时，.同理可证，当时，.综上，当时，.因为当时，，所以当时，在上恒成立.下面证明，当时，在上不恒成立，因为.所以存在（例如取和中的较小值）满足.即在上不恒成立.综上，实数的取值范围是.考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题．【方法点睛】求证不等式，一种常见思路是用图像法来说明函数的图像在函数图像的上方，但通常不易说明．于是通常构造函数，通过导数研究函数的性质，进而证明欲证不等式．22.在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2的极坐标方程为.（1）求曲线1的普通方程和极坐标方程；（2）已知曲线C3的极坐标方程为，点A是曲线C3与C1的交点，点B是曲线C3与C2的交点，且A，B均异于原点O，且｜AB｜＝4，求的值.【答案】(Ⅰ) x2 + (y -2 )2 =4.( Ⅱ ) α =.【解析】【分析】（1）直接消去参数可得普通方程，由，可得极坐标方程；（2）设，则，列方程求解即可.【详解】由消去参数可得的普通方程为即，所以的极坐标方程为设，则所以，因为，所以.【点睛】本题主要考查了参数方程与极坐标方程的表示，及极坐标的应用求解线段长度，属于基础题.23.已知函数f（x）=2|x+a|+|x-|（a≠0）．（1）当a=1时，解不等式f（x）＜4；（2）求函数g（x）=f（x）+f（-x）的最小值．【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：(1)零点分段可得原不等式的解集为.(2)利用绝对值不等式的性质结合均值不等式的结论可得最小值为.试题解析：（1），原不等式为，，或或或或，原不等式的解集为.（2）由题意得，当且仅当，计，且时，取最小值.绝对值不等式的解法点睛：|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．2020届高三模拟考试试卷2020届高三模拟考试试卷。
2019届广东省六校高三第三次联考理科数学-含答案解析
广东省六校2018-2019学年高三（下）第三次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|y=lg（1-x）}，B={y|y=2x}，则A∩B=（）A. (0,+∞)B. [−1,0)C. (0,1)D. (−∞,1)2.若复数z=2i+21+i，其中i是虚数单位，则复数z的模为（）A. √22B. √2C. √3D. 23.等差数列{a n}中，若a4+a6+a8+a10+a12=120，则a9-13a11的值是（）A. 14B. 15C. 16D. 174.已知函数y=sin（ωx+π3）向右平移π3个单位后，所得的图象与原函数图象关于x轴对称，则ω的最小正值为（）A. 1B. 2C. 52D. 35.在(2x+12x )2n的展开式中，x2的系数是224，则1x2的系数是（）A. 14B. 28C. 56D. 1126.函数f（x）=e x•ln|x|的大致图象为（）A. B.C. D.7. 已知x ，y 满足约束条件{x −y ≥0x +y ≤2y ≥0，若z =ax +y 的最大值为4，则a =（ ）A. 3B. 2C. −2D. −38. 如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为2的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A. 4πB. 6πC. 8πD. 16π9. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实数x 的不足近似值和过剩近似值分别为ba 和dc （a ，b ，c ，d ∈N *），则b+da+c 是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值．我们知道π=3.14159…，若令3110＜π＜4915，则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值，即3110＜π＜165，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为（ ）A. 227B. 6320C. 7825D.1093510. 设F 为抛物线y 2=2px 的焦点，斜率为k （k ＞0）的直线过F 交抛物线于A 、B 两点，若|FA |=3|FB |，则直线AB的斜率为（ ）A. 12B. 1C. √2D. √311. 已知f （x ）=log a （a -x +1）+bx （a ＞0，a ≠1）是偶函数，则（ ）A. b =12且f(a)>f(1a ) B.b =−12且f(a)<f(1a ) C.b =12且f(a +1a )>f(1b )D. b =−12且f(a +1a )<f(1b )12. 已知函数f （x ）=|xe x +1|，关于x 的方程f 2（x ）+2sinα•f （x ）+cosα=0有四个不等实根，sinα-cosα≥λ恒成立，则实数λ的最大值为（ ）A. −75B. −12C. −√2D. −1二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 已知sinθ+cosθ=√22，则tan θ+1tanθ=______．14. 已知向量a ⃗ =（1，√3），b ⃗ =（3，m ），且b ⃗ 在a ⃗ 上的投影为3，则向量a ⃗ 与b ⃗ 夹角为______．15. 我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不同的窗棂，窗棂上雕刻有各种花纹，构成种类繁多的图案．如图所示的窗棂图案，是将半径为R 的圆六等分，分别以各等分点为圆心，以R 为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形区域内的随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在黑色部分（忽略图中的白线）的概率是______．16. 数列b n =a n cos nπ3的前n 项和为S n ，已知S 2017=5710，S 2018=4030，若数列{a n }为等差数列，则S 2019=______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. △ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a sin A sin B +b cos 2A =53a ．（I ）求ba ；（Ⅱ）若c 2=a 2+85b 2，求角C ．18. 如图，C 是以AB 为直径的圆O 上异于A ，B 的点，平面PAC ⊥平面ABC ，PA =PC =AC =2，BC =4，E ，F 分别是PC ，PB 的中点，记平面AEF 与平面ABC 的交线为直线l ． （Ⅰ）求证：直线l ⊥平面PAC ；（Ⅱ）直线l 上是否存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余？若存在，求出|AQ |的值；若不存在，请说明理由．19.某学校为鼓励家校互动，与某手机通讯商合作，为教师伴侣流量套餐，为了解该校教师手机流量使用情况，通过抽样，得到100位教师近2年每人手机月平均使用流量L（单位：M）的数据，其频率分布直方图如下：若将每位教师的手机月平均使用流量分布视为其手机月使用流量，并将频率为概率，回答以下问题．（1）从该校教师中随机抽取3人，求这3人中至多有1人月使用流量不超过300M的概率；（2）现该通讯商推出三款流量套餐，详情如下：套餐名称月套餐费（单位：元）月套餐流量（单位：M）A20300B30500C38700这三款套餐都有如下附加条款：套餐费月初一次性收取，手机使用一旦超出套餐流量，系统就自动帮用户充值200M流量，资费20元；如果又超出充值流量，系统就再次自动帮用户充值200M流量，资费20元/次，依此类推，如果当流量有剩余，系统将自动清零，无法转入次月使用．学校欲订购其中一款流量套餐，为教师支付月套餐费，并承担系统自动充值的流量资费的75%，其余部分由教师个人承担，问学校订购哪一款套餐最经济？说明理由．20.如图，设点A，B的坐标分别为（-√3，0），（√3，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为-2．3（1）求P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹为C，点M、N是轨迹为C上不同于A，B的两点，且满足AP∥OM，BP∥ON，求证：△MON 的面积为定值．21.已知函数f（x）=（1+x）e-2x，g（x）=ax+x3+1+2x cosx，当x∈[0，1]时，2（Ⅰ）若函数g（x）在x=0处的切线与x轴平行，求实数a的值；（Ⅱ）求证：1-x≤f（x）≤1；1+x（Ⅲ）若f （x ）≥g （x ）恒成立，求实数a 的取值范围．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{y =2sinϕx=2+2cosϕ（φ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ （Ⅰ）求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |=4√2，求实数α的值．23. 已知函数f （x ）=2|x +a |+|x -1a |（a ≠0）．（1）当a =1时，解不等式f （x ）＜4； （2）求函数g （x ）=f （x ）+f （-x ）的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵1-x＞0，∴x＜1，∴A=（-∞，1），∵2x＞0，∴B=（0，+∞），∴A∩B=（0，1）．故选：C．求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合A、B，然后根据交集定义求结果．本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题．2.【答案】B【解析】解：∵复数z=2i+=2i+=2i+1-i=1+i，∴|z|==，故选：B．利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，求得复数z，再根据复数的模的定义求得复数z的模．本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，求复数的模，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：依题意，由a4+a6+a8+a10+a12=120，得a8=24，所以a9-=（3a9-a11）=（a9+a7+a11-a11）=（a9+a7）==16故选：C．先由等差数列的性质a4+a6+a8+a10+a12=120得a8，再用性质求解．本题主要考查等差数列的性质．4.【答案】D【解析】解：函数y=sin（ωx+）向右平移个单位后得到y=sin[ω（x-）+]=sin（ωx-ω+）的图象，∵所得的图象与原函数图象关于x轴对称，∴sin（ωx-ω+）=-sin（ωx+）=sin（ωx++π），∴-ω+=+π+2kπ，k∈Z，解得ω=-6k-3，∴当k=-1时，ω取最小正数3，故选：D．由三角函数图象变换可得后来函数的解析式，由诱导公式比较可得ω的方程，解方程给k取值可得．本题考查三角函数的图象和性质，涉及图象变换，属基础题．5.【答案】A【解析】解：因为在的展开式中，，令2n-2r=2，r=n-1，则22C2n n-1=224，∴C2n n-1=56．∴n=4．再令8-2r=-2，∴r=5．，则为第6项．∴．则的系数是14．故选：A．首先分析题目已知在的展开式中，x2的系数是224，求的系数，首先求出在的展开式中的通项，然后根据x2的系数是224，求出次数n的值，再根据通项求出为第几项，代入通项求出系数即可得到答案．此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求一系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．同学们需要很好的掌握．6.【答案】A【解析】解：函数f（x）为非奇非偶函数，图象不关于y轴对称，排除C，D，当x→+∞，f（x）→+∞，排除B，故选：A．判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键．7.【答案】B【解析】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．则A（2，0），B（1，1），若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，此时，目标函数为z=2x+y，即y=-2x+z，平移直线y=-2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，此时，目标函数为z=3x+y，即y=-3x+z，平移直线y=-3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，故a=2，故选：B．作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．8.【答案】C【解析】解：由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故球心在最长棱的中点上，故外接球半径为．所以表面积为8π．故选：C．由三视图知该几何体是4个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为．本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题．9.【答案】A【解析】解：第一次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第二次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜；第三次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，第四次用“调日法”后得是π的更为精确的过剩近似值，即＜π＜，故选：A．利用“调日法”进行计算，即可得出结论．本题考查“调日法”，考查学生的计算能力，比较基础．10.【答案】D【解析】解：假设A在第一象限，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为D，E，过A作EB的垂线，垂足为C，则四边形ADEC为矩形．由抛物线定义可知|AD|=|AF|，|BE|=|BF|，又∵|AF|=3|BF|，∴|AD|=|CE|=3|BE|，即B为CE的三等分点，设|BF|=m，则|BC|=2m，|AF|=3m，|AB|=4m，即|AC|===m=2m，则tan∠ABC===，即直线AB的斜率k=故选：D．根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到B为CE的三等分点，在直角三角形ACB中，结合正切的定义进行求解即可．本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键．11.【答案】C【解析】解：∵f（x）=log a（a-x+1）+bx（a＞0，a≠1）是偶函数，∴f（-x）=f（x），即log a（a x+1）-bx=log a（a-x+1）+bx，∴log a（a x+1）-bx=log a（a x+1）+（b-1）x，∴-b=b-1，∴b=，∴f（x）=log a（a-x+1）+x，函数为增函数，∵a+＞2=，∴f（a+）＞f（）．故选：C．利用函数的偶函数，求出b，确定函数单调递增，即可得出结论．本题考查函数的奇偶性、单调性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．12.【答案】A【解析】解：f（x）=|xe x+1|=，当x≥0时，f′（x）=e x+1+xe x+1≥0恒成立，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数；当x＜0时，f′（x）=-e x+1-xe x+1=-e x+1（x+1），由f′（x）=0，得x=-1，当x∈（-∞，-1）时，f′（x）=-e x+1（x+1）＞0，f（x）为增函数，当x∈（-1，0）时，f′（x）=-e x+1（x+1）＜0，f（x）为减函数，所以函数f（x）=|xe x+1|的极大值为f（-1）=|（-1）e0|=1，极小值为：f（0）=0，令f（x）=m，由韦达定理得：m1+m2=-2sinα，m1•m2=cosα，此时若sinα＞0，则当m1＜0，且m2＜0，此时方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0至多有两个实根，若sinα＜0，则当m1＞0，且m2＞0，要使方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个实数根，则方程m2+2sinαm+cosα=0应有两个不等根，且一个根在（0，1）内，一个根在（1，+∞）内，再令g（m）=m2+2sinαm+cosα，因为g（0）=cosα＞0，①△=4sin2α-4cosα＞0，则1-cos2α-cosα＞0，②则只需g（1）＜0，即1+2sinα+cosα＜0，所以0＜cosα＜-1-2sinα，③由①②解得：0＜cosα＜，④由③④得到：sinα＜，＜cosα＜，所以sinα-cosα＜-=-，∴λ≤-．故选：A．函数f（x）=|xe x+1|是分段函数，通过求导分析得到函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，在（-∞，-1）上为增函数，在（-1，0）上为减函数，求得函数f（x）在（-∞，0）上，当x=-1时有一个最大值，所以，要使方程f2（x）+tf（x）+1=0（t∈R）有四个实数根，f（x）的值一个要在（0，）内，一个在（，+∞）内，然后运用二次函数的图象及二次方程根的关系列式求解α的取值范围．本题考查了根的存在性及根的个数的判断，考查了利用函数的导函数分析函数的单调性，考查了学生分析问题和解决问题的能力，解答此题的关键是分析出方程f2（x）+2sinα•f（x）+cosα=0有四个实数根时f（x）的取值情况，此题属于中高档题．13.【答案】-4【解析】解：∵sinθ+cosθ=，∴（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，∴sinθcosθ=-．则tan=．故答案为：-4．把已知等式两边平方可得sinθcosθ的值，再利用同角三角函数的基本关系化简求得结果．本题考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．14.【答案】π6【解析】解：∵在方向上的投影为3，且||==2，•=3+m；∴||×cosθ=||×==3；解得m=，∴||=2；∴cosθ==，由θ∈[0，π]，∴、的夹角θ为．故答案为：．根据在方向上的投影是||×cosθ，列出方程求出m的值，再计算、的夹角θ的值．本题考查向量在另一个向量上的投影定义及计算公式，向量夹角的应用问题，是基础题目．15.【答案】2-3√3π【解析】解：连接A、B、O，得等边三角形OAB，则阴影部分的面积为S阴影=12×（×πR2-×R2×sin60°）=（2π-3）R2，又圆的面积为S圆=πR2，利用几何概型的概率公式计算所求的概率为P===2-．故答案为：．由题意知，阴影部分是由12个全等的弓形组成的面积，由此求出阴影部分的面积，利用几何概型的概率公式计算概率值．本题考查了几何概型的概率计算问题，是基础题．16.【答案】666【解析】解：设数列{a n}为公差d的等差数列，a1cos+a2cos+a3cosπ+a4cos+a5cos+a6cos2π=（a1-a2）+（a5-a4）-a3+a6=-a3+a6．…．由S2017=5710，S2018=4030，可得5710=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a2016）+a2017，4030=-（a3+a9+…+a2013）+（a6+a12+…+a2010+a2016）+a2017-a2018，两式相减可得a2018=3360，由5710=1008d+（3360-d），解得d=4，则a n=a2018+（n-2018）×4=4n-4712，可得S2019=4030-a2019=4030-（4×2019-4712）=666．故答案为：666．求得数列{b n}的前6项之和，再由S2017=5710，S2018=4030，表示数列{a n}的项的和，结合等差数列的通项公式，解方程即可得到所求通项公式，进而得到所求和．本题考查等差数列的通项公式与求和公式、三角函数求值，考查推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（I）由正弦定理得，sin2AsinB+sinBcos2A=53sinA，…（3分）即sinB(sin2A+cos2A)=53sinA，故sinB=53sinA，所以ba=53．…（6分）（II）设b=5t（t＞0），则a=3t，于是c2=a2+85b2=9t2+85⋅25t2=49t2．即c=7t．…（9分）由余弦定理得cosC=a2+b2−c22ab =9t2+25t2−49t22⋅3t⋅5t=−12．所以C=2π3．…（12分）【解析】（I）由正弦定理化简已知等式，整理即可得解．（II）设b=5t（t＞0），由（I）可求a=3t，由已知可求c=7t，由余弦定理得cosC的值，利用特殊角的三角函数值即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.【答案】（Ⅰ）证明：∵E ，F 分别是PB ，PC 的中点，∴BC ∥EF ，又EF ⊂平面EFA ，BC 不包含于平面EFA ， ∴BC ∥面EFA ，又BC ⊂面ABC ，面EFA ∩面ABC =l ， ∴BC ∥l ，又BC ⊥AC ，面PAC ∩面ABC =AC ， 面PAC ⊥面ABC ，∴BC ⊥面PAC ， ∴l ⊥面PAC ．（2）解：以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，A （2，0，0），B （0，4，0），P （1，0，√3）， E （12，0，√32），F （12，2，√32），AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−32，0，√32)，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，2，0)， 设Q （2，y ，0），面AEF 的法向量为m ⃗⃗⃗ =(x ，y ，z)，则{AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =−32x +√32z =0EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =2y =0，取z =√3，得m ⃗⃗⃗ =(1，0，√3)，PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1，y ，−√3)， |cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|2y2√4+y 2|=|y|√4+y 2， |cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞|=|1−32√4+y 2|=1√4+y 2，依题意，得|cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，EF ⃗⃗⃗⃗⃗ ＞|=|cos ＜PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ ，m ⃗⃗⃗ ＞|， ∴y =±1． ∴直线l 上存在点Q ，使直线PQ 分别与平面AEF 、直线EF 所成的角互余，|AQ |=1． 【解析】（Ⅰ）利用三角形中位线定理推导出BC ∥面EFA ，从而得到BC ∥l ，再由已知条件推导出BC ⊥面PAC ，由此证明l ⊥面PAC ．（2）以C 为坐标原点，CA 为x 轴，CB 为y 轴，过C 垂直于面ABC 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法求出直线l上存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、直线EF所成的角互余，|AQ|=1．本题考查直线与平面垂直的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．19.【答案】解：（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P（D）=（0.0008+0.0022）×100=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），∴从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率为：P（X=0）+P（X=1）=C30(0.3)0(0.7)3+C31(0.3)(0.7)2=0.784．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L∈（300，500]的概率为：（0.0025+0.0035）×100=0.6，L∈（500，700]的概率为：（0.0008+0.0002）×100=0.1，当学校订购A套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为X元，则X的所有可能取值为20，35，50，且P（X=20）=0.3，P（X=35）=0.6，P（X=50）=0.1，∴X的分布列为：X 20 35 50P 0.3 0.6 0.1∴E（X）=20×0.3+35×0.6+50×0.1=32（元）．当学校订购B套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Y元，则Y的可能取值为30，45，且P（Y=30）=0.3+0.6=0.9，P（Y=45）=0.1，∴Y的分布列为：Y 30 45P 0.9 0.1E（Y）=30×0.9+45×0.1=31.5，当学校订购C套餐时，设学校为一位教师承担的月费用为Z元，则Z的所有可能取值为38，且P（Z=38）=1，E（Z）=38×1=38，∵E（Y）＜E（X）＜E（Z），∴学校订购B套餐最经济．【解析】（1）记“从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量不超过300M”为事件D，依题意，P（D）=0.3，从该校教师中随机抽取3人，设这3人中手机月使用流量不超过300M的人数为X，则X～B（3，0.3），由此能求出从该校教师中随机抽取3人，至多有一人手机月使用流量不300M的概率．（2）依题意，从该校随机抽取一名教师，该教师手机月使用流量L ∈（300，500]的概率为0.6，L ∈（500，700]的概率为0.1，分别求出三各套餐的数学期望，能得到学校订购B 套餐最经济．本题考查频率分布直方图、独立重复试验、数学期望等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查统计与概率思想、分类与整合思想，是中档题． 20.【答案】（1）解：由已知设点P 的坐标为（x ，y ），由题意知yx+√3⋅yx−√3=−23（x ≠±√3），化简得P 的轨迹方程为x 23+y 22=1（x ≠±√3）…（5分）（2）证明：由题意M ，N 是椭圆C 上非顶点的两点，且AP ∥OM ，BP ∥ON ， 则直线AP ，BP 斜率必存在且不为0，又由已知k AP k BP =-23． 因为AP ∥OM ，BP ∥ON ，所以k OM k ON =-23…（6分） 设直线MN 的方程为x =my +t ，代入椭圆方程x 23+y 22=1，得（3+2m 2）y 2+4mty +2t 2-6=0…①，…（7分）设M ，N 的坐标分别为M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），则y 1+y 2=-4mt3+2m 2，y 1y 2=2t 2−63+2m 2…（8分）所以k OM k ON =2t 2−63t 2−6m2=-23，得2t 2=2m 2+3…（10分） 又S △MON =12|t ||y 1-y 2|=2√6|t|√t 24t2=√62， 即△MON 的面积为定值√62…（12分）【解析】（1）由题意知（x），可求P 的轨迹方程；（2）设直线MN 的方程为x=my+t ，代入椭圆方程，利用k OM k ON ==-，得2t 2=2m 2+3，即可证明结论．本题考查轨迹方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查斜率、面积的计算，属于中档题． 21.【答案】解：（I ）g ′（x ）=a +32x 2+2（cos x -x sinx ），函数g （x ）在x =0处的切线与x 轴平行，则g ′（0）=a +2=0， 得a =-2．（II ）证明：①当x ∈[0，1）时，（1+x ）e -2x ≥1-x ⇔（1+x ）e -x ≥（1-x ）e x ， 令h （x ）=（1+x ）e -x -（1-x ）e x ，则h ′（x ）=x （e x -e -x ）． 当x ∈[0，1）时，h ′（x ）≥0，∴h （x ）在[0，1）上是增函数， ∴h （x ）≥h （0）=0，即f （x ）≥1-x ．②当x ∈[0，1）时，f （x ）≤11+x ⇔e x ≥1+x ，令u （x ）=e x -1-x ，则u ′（x ）=e x -1． 当x ∈[0，1）时，u ′（x ）≥0，∴u （x ）在[0，1）单调递增，∴u （x ）≥u （0）=0， ∴f （x ）≤11+x ，综上可知：1-x ≤f （x ）≤11+x ；（Ⅲ）解：设G （x ）=f （x ）-g （x ）=（1+x ）e -2x -（ax +12x 3+1+2x cosx ） ≥1-x -ax -1-12x 3-2x cosx=-x （a +1+x 22+2cos x ）．令H （x ）=x 22+2cos x ，则H ′（x ）=x -2sin x ，令K （x ）=x -2sin x ，则K ′（x ）=1-2cos x ． 当x ∈[0，1）时，K ′（x ）＜0， 可得H ′（x ）是[0，1）上的减函数，∴H ′（x ）≤H ′（0）=0，故H （x ）在[0，1）单调递减， ∴H （x ）≤H （0）=2．∴a +1+H （x ）≤a +3． ∴当a ≤-3时，f （x ）≥g （x ）在[0，1）上恒成立．下面证明当a ＞-3时，f （x ）≥g （x ）在[0，1）上不恒成立． f （x ）-g （x ）≤11+x -（1+ax +12x 3+2x cosx ）=-x （11+x +a +x 22+2cos x ）．令v （x ）=11+x +a +x 22+2cos x =11+x +a +H （x ），则v ′（x ）=−1(1+x)2+H ′（x ）．当x ∈[0，1）时，v ′（x ）≤0，故v （x ）在[0，1）上是减函数， ∴v （x ）∈（a +1+2cos1，a +3]． 当a ＞-3时，a +3＞0．∴存在x 0∈（0，1），使得v （x 0）＞0，此时，f （x 0）＜g （x 0）． 即f （x ）≥g （x ）在[0，1）不恒成立． 综上实数a 的取值范围是（-∞，-3]． 【解析】（I ）求出函数的导数，得到关于a 的方程，求出a 的值即可；（Ⅱ）①当x ∈[0，1）时，（1+x ）e -2x ≥1-x ⇔（1+x ）e -x ≥（1-x ）e x ，令h （x ）=（1+x ）e -x -（1-x ）e x ，利用导数得到h （x ）的单调性即可证明； ②当x ∈[0，1）时，f （x ）≤⇔e x ≥1+x ，令u （x ）=e x -1-x ，利用导数得出h （x ）的单调性即可证明．（Ⅲ）利用（Ⅱ）的结论得到f （x ）≥1-x ，于是G （x ）=f （x ）-g （x ）≥-x （a+1++2cosx ）．再令H （x ）=+2cosx ，通过多次求导得出其单调性即可求出a 的取值范围．本题综合考查了利用导数研究函数的单调性、等价转化、作差比较大小、放缩法等基础知识与基本技能，考查了推理能力、计算能力和分析问题、解决问题的能力． 22.【答案】解：（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程为{y =2sinϕx=2+2cosϕ（φ为参数），消去参数得曲线C 1的普通方程为（x -2）2+y 2=4． ∵曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ， ∴ρ2=4ρsinθ，∴C 2的直角坐标方程为x 2+y 2=4y ，整理，得x 2+（y -2）2=4． （Ⅱ）曲线C 1：（x -2）2+y 2=4化为极坐标方程为ρ=4cosθ， 设A （ρ1，α1），B （ρ2，α2），∵曲线C 3的极坐标方程为θ=α，0＜α＜π，ρ∈R ，点A 是曲线C 3与C 1的交点， 点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，且|AB |=4√2， ∴|AB |=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4√2|sin （α−π4）|=4√2， ∴sin （α−π4）=±1， ∵0＜α＜π，∴−π4＜α＜3π4，∴α−π4=π2，解得α=3π4．【解析】（Ⅰ）由曲线C 1的参数方程消去参数能求出曲线C 1的普通方程；曲线C 2的极坐标方程化为ρ2=4ρsinθ，由此能求出C 2的直角坐标方程．（Ⅱ）曲线C 1化为极坐标方程为ρ=4cosθ，设A （ρ1，α1），B （ρ2，α2），从而得到|AB|=|ρ1-ρ2|=|4sinα-4cosα|=4|sin （）|=4，进而sin （）=±1，由此能求出结果． 本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．23.【答案】解：（1）当a =1时，f （x ）＜4，即为2|x +1|+|x -1|＜4，当x≥1时，2（x+1）+x-1＜4，解得x∈∅；当x≤-1时，-2（x+1）+1-x＜4，解得-53＜x≤-1；当-1＜x＜1时，2x+2+1-x＜4，解得-1＜x＜1；则原不等式的解集为（-53，1）；（2）函数g（x）=f（x）+f（-x）=2|x+a|+|x-1a|+2|x-a|+|x+1a|≥2|x+a-x+a|+|x-1a-x-1a|=4|a|+|2a|≥2√4|a|⋅2|a|=4√2，当且仅当（x+a）（x-a）≤0，且（x-1a）（x+1a）≤0，且4|a|=|2a|时，取得等号，则g（x）的最小值为4√2．【解析】（1）通过讨论x的范围，求出不等式的解集即可；（2）根据绝对值不等式的性质求出g（x）的最小值即可．本题考查了解绝对值不等式问题，考查绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学III卷(附带答案及详细解析)
绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科III卷数学试题卷本试卷共5页，23题(含选考题)。
全卷满分150分。
考试用时120 分钟。
★祝考试顺利★注意事项:1.答题前，先将白己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2. 选择题的作答:每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3. 非选择题的作答:用黑色签字笔直接答在答题卡.上对应的答题区域内。
写在试卷、草稿纸和答题卡，上的非答题区域均无效。
4.选考题的作答: 先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。
答案写在答题卡.上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡.上的非答题区域均无效。
.5.考试结束后，请将本试卷和答题卡-并上交。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
（共12题；共60分）1.已知集合A={-1，0，1，2}，B={x|x2≤1}，则A∩B=（）A. {-1，0，1}B. {0，1}C. {-1，1}D. {0，1，2}2.若z（1+i）=2i，则z=（）A. -1-iB. -1+iC. 1-iD. 1+i3.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著。
某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A. 0.5B. 0.6C. 0.7D. 0.84.(1+2x2)(1+x)4的展开式中x3的系数为（）A. 12B. 16C. 20D. 245.已知各项均为正数的等比数列{a n}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=（）A. 16B. 8C. 4D. 26.已知曲线y=ae x+xlnx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则（）A. a=e，b=-1B. a=e，b=1C. a=e-1，b=1D. a=e-1，b=-17.函数y=2x3，在[-6,6]的图像大致为（）2+2A. B.C. D.8.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（）A.BM=EN，且直线BM、EN是相交直线B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线C. BM=EN，且直线BM、EN是异面直线D. BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线9.执行下边的程序框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于（）A. 2−124 B. 2−125C. 2−126D. 2−12710.双曲线 C:x 24−y 22=1 的右焦点为F,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点,若|PO|=|PF|,则△PFO 的面积为（ ） A. 3√24 B. 3√22C. 2√2D. 3√2 11.设f （x ）是定义域为R 的偶函数，且在（0，+∞）单调递减，则（ ）A. f （log 3 14 ）＞ f （ 2−32 ）＞ f （ 2−23 ）B. f （log 3 14 ）＞ f （ 2−23 ）＞ f （ 2−32 ）C. f （ 2−32 ）＞ f （ 2−23 ）＞ f （log 3 14 ）D. f （ 2−23 ）＞ f （ 2−32 ）＞ f （log 3 14 ）12.设函数f （x ）=sin （ωx+ π5 ）（ω>0），已如f （x ）在[0，2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：①f （x ）在（0，2π）有且仅有3个极大值点②f （x ）在（0，2π）有且仅有2个极小值点③f （x ）在（0， π10 ）单调递增④ω的取值范围[125 ， 2910 ）其中所有正确结论的编号是（ ）A. ①④B. ②③C. ①②③D. ①③④二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.（共4题；共20分）13.已知a ，b 为单位向量，且a-b=0，若c=2a- √5 b ，则cos<a ，c>=________。
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,第三次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似
值，即
,第四次用“调日法”后得
考点：合情推理.
是 的更为精确的过剩近似值，即
,故选 A.
【易错点晴】本题主要考查了合情推理这个知识点,属于中档题. 本题易错的地方:没有读懂题意,题目中“第一
次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似值”的 等于
，那第二次第三次第四次都是用 这
的值是（ ） D. 17
得 ，再用性质求解
【详解】解：依题意，由
，得
，即
所以 故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的性质，根据题意结合等差数列的等差中项进行化简求出结果，较为基础
4.已知函数 （）
向右平移 个单位后，所得的图像与原函数图像关于 轴对称，则 的最小正值为
A.
B.
C.
D.
【答案】D
剩近似值．我们知道
…，若令
，则第一次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近
似值，即
，若每次都取最简分数，那么第四次用“调日法”后可得 的近似分数为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意：第一次用“调日法”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即
，第二次用“调日
法”后得 是 的更为精确的过剩近似值，即
6.函数
的大致图象为（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】A
【解析】
【分析】 判断函数的奇偶性和对称性的关系，利用极限思想进行求解即可
【详解】解：函数
，
函数，图象不关于 y 轴对称，排除 C，D，当
，
பைடு நூலகம்
，
，排除 B，
，则函数 为非奇非偶
故选：A
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数的对称性以及极限思想是解决本题的关键
【解析】
试题分析：原函数向右平移 个单位后所得函数为
其与原函数关于 轴对称，则必有
，由三角函数诱导公式可知 的最小正值为 ，故本题的正确选项为 D. 考点：函数的平移，对称，以及三角函数的诱导公式.
5.在 A. 14
的展开式中， 的系数是 224，则 的系数是（ ）
B. 28
C. 56
【答案】A
【解析】
【分析】
D. 112
首先求出在
的展开式中的通项，然后根据 的系数是 224，求出次数 n 的值，再根据通项求出
为第几项，代入通项求出系数即可得到答案
【详解】解：因为在
的展开式中，
， 令
则
，∴
，
再令
，则 为第 6 项．
∴
2
则 的系数是 14． 故选：A 【点睛】此题主要考查二项式系数的性质问题，其中涉及到二项式展开式中通项的求法，及用通项公式求一 系列的问题．有一定的技巧性，属于中档题目．
A.
且
C.
且
【答案】C
【解析】
6
B.
且
D.
且
【分析】 利用函数的偶函数，求出 b，确定函数单调递增，即可得出结论
【详解】解：∵
是偶函数，
∴
∴
∴
∴
，函数为增函数，
2.若复数
A. 【答案】B 【解析】
，其中 是虚数单位，则复数 的模为( )
B.
C.
D. 2
试题分析： 考点：本题考查复数的运算
，所以复数 z 的模为
点评：解决本题的关键是 会复数的运算，知道复数的模为
3.等差数列 A. 14
中，若
【答案】C
【解析】
【分析】
先由等差数列的性质
B. 15
1
，则 C. 16
个公式计算的.在 2016 年高考考纲中增加了“数学文化”.考查了学生的读题和计算能力,属于基础题.
10.设 F 为抛物线
的焦点，斜率为
的直线过 F 交抛物线于 A、B 两点，若
，则直线
AB 的斜率为（ ）
A.
B. 1
C.
D.
5
【答案】D 【解析】 【分析】 根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到 B 为 CE 的三等分点，在直角三角形 ACB 中，结合正切的定义进 行求解即可 【详解】解：假设 A 在第一象限，
过 分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 D，E，
过 A 作 EB 的垂线，垂足为 C，则四边形 为矩形
由抛物线定义可知
,
又∵
，
∴
，即 B 为 的三等分点，
设
即
则
，
即直线 AB 的斜率
故选：D
【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系的应用，根据转化求直角三角形的正切值是解决本题的关键
11.已知
是偶函数，则（ ）
7.已知 x，y 满足约束条件
若 z＝ax＋y 的最大值为 4，则 a＝ ( )
A. 3 C. －2 【答案】B 【解析】
B. 2 D. －3
试题分析：作出不等式组对应的平面区域，如图（阴影部分），则
取得最大值 4，则
．此时目标函数为
，即
线过点 A 时截距最大，此时 z 的最大值为 4，符合题意．若
，
，若
过点 A 时
，平移直线
，当直
过点 B 时取到最大值 4，则
3
，此时目标函数为
，即
最大，此时 z 的最大值为 6，不符合题意．
．
，平移直线
，当直线过点 A 时截距
考点：简单的线性规划． 【名师点睛】本题主要考察线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此 类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．线性规划类问题的解题关键是先正确画出 不等式组所表示的平面区域，然后确定目标函数的几何意义，通过数形结合确定目标函数何时取得最值．画 不等式组所表示的平面区域时要通过特殊点验证，防止出现错误．
广东省六校 2018-2019 学年高三（下）第三次联考
数学试卷（理科）（2 月份）
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1.设集合
,则
（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求对数函数的定义域，求指数函数的值域，确定集合 ，然后根据交集定义求结果
【详解】解：
则 故选：C 【点睛】本题考查了交集及其运算，考查了对数函数的定义域，指数函数的值域，是基础题
8.如图是某几何体的三视图，其俯视图是斜边长为 2 的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】
4
由三视图知该几何体是 4 个面均为直角三角形的三棱锥，故外接球半径为 【详解】解：由三视图知该几何体是 4 个面均为直角三角形的三棱锥，
故球心在最长棱的中点上，由三视图可得外接球半径为 ．所以表面积为 ． 故选：C 【点睛】本题考查三视图和空间想象和空间计算能力，属于简单题 9.我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法，其理论依据是：设实
数 的不足近似值和过剩近似值分别为 和 （ ， ， ，
），则 是 的更为精确的不足近似值或过