初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第16讲 锐角三角函数

第十六讲 锐角三角函数

古希腊数学家和古代中国数学家为了测量的需要，他们发现并经常利用下列几何结论：在两个大小不同的直角三角形中，只要有一个锐角相等，那么这两个三角形的对应边的比值一定相等．正是古人对天文观察和测量的需要才引起人们对三角函数的研究，1748年经过瑞士的著名数学家欧拉的应用，才逐渐形成现在的sin 、cos 、tg 、ctg 的通用形式． 三角函数揭示了直角三角形中边与锐角之间的关系，是数形结合的桥梁之一，有以下丰富的性质：

1．单调性；

2．互余三角函数间的关系； 3．同角三角函数间的关系． 平方关系：sin 2α+cos 2α=1； 商数关系：tg α=

ααcos sin ，ctg α=α

α

sin cos ； 倒数关系：tg αctg α=1．

【例题求解】

【例1】 已知在△ABC 中，∠A 、∠B 是锐角，且sinA ＝13

5

，tanB=2，AB=29cm ， 则S △ABC = ．

思路点拨 过C 作CD ⊥AB 于D ，这样由三角函数定义得到线段的比，sinA=13

5

=AC CD ，tanB=

2=BD

CD

，设CD=5m ，AC ＝13m ，CD ＝2n ，BD ＝n ，解题的关键是求出m 、n 的值．

注：设△ABC 中，a 、b 、c 为∠A 、∠B 、∠C 的对边，R 为△ABC 外接圆的半径，不难证明：与锐角三角函数相关的几个重要结论： (1) S △ABC =C ab B ac A bc sin 2

1

sin 21sin 2

1==； （2）

R C

c

B b A a 2sin sin sin ===． 【例2】 如图，在△AB

C 中．∠ACB ＝90°，∠ABC ＝15°，BC=1，则AC=( ) A ．32+ B ．32- C ．0.3

D ．23-

思路点拨 由15°构造特殊角，用特殊角的三角函数促使边角转化．

注：（1）求(已知)非特角三角函数值的关是构造出含特殊角直角三角形．

（2）求(已知)锐角角函数值常根据定转化为求对应线段比，有时需通过等的比来转换．

【例3】 如图，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，过BC 的中点D 作DE ⊥AB 于E ，连结CE ，求sin ∠ACE 的值．

思路点拨 作垂线把∠ACE 变成直角三角形的一个锐角，将问题转化成求线段的比．

【例4】 如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，tanB=cos ∠DAC ， (1)求证：AC ＝BD ； (2)若sinC=

13

12

，BC=12，求AD 的长． 思路点拨 (1)把三角函数转化为线段的比，利用比例线段证明；

(2) sinC=AC

AD

=

1312，引入参数可设AD=12k ，AC ＝13k ．

【例5】 已知：在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA 、sinB 是方程02=++q px x 的两个根． (1)求实数p 、q 应满足的条件；

(2)若p 、q 满足(1)的条件，方程02=++q px x 的两个根是否等于Rt △ABC 中两锐角A 、B 的正弦?

思路点拨 由韦达定理、三角函数关系建立p 、q 等式，注意判别式、三角函数值的有界性，建立严密约束条件的不等式，才能准确求出实数p 、q 应满足的条件．

学历训练

1．已知α为锐角，下列结论①sin α+cos α=l ；②如果α>45°，那么sin α>cos α；③如

果cos α>

2

1

，那么α<60°； ④αsin 11)-(sin 2-=α．正确的有 ．

2．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，BC=1，cosB

13

5

，则这个菱形的面积为 ． 3．如图，∠C=90°，∠DBC=30°，AB ＝BD ，利用此图可求得tan75°= ．

4．化简

(1)263tan 27tan 22-+ = ．

(2)sin 2l °+sin 22°+…+sin 288°+sin 289°= ．

5．身高相等的三名同学甲、乙、丙参加风筝比赛．三人放出风筝线长、线与地面夹角如下表(假设风筝线是拉直的)，则三人所放的风筝中( )

A ．甲的最高

B ．丙的最高

C ．乙的最低

D ．丙的最低

6．已知 sin αcos α=8

1

，且0°<α<45°则co α-sin α的值为( )

A ．

23 B ．2

3

- C ．43 D ．43-

7．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，D 是AC 的中点，则ctg ∠DBC 的值

是( )

A ．3

B ．32

C ．

23 D ．4

3 8．如图，在等腰Rt △ABC 中．∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA=5

1

，

则AD 的长为( )

A ．2

B ．2

C ． 1

D ．22

9．已知关于x 的方程0)1(242=++-m x m x 的两根恰是某直角三角形两锐角的正弦，求m 的值．

10．如图，D 是△ABC 的边AC 上的一点，CD=2AD ，AE ⊥BC 于E ，若BD ＝8，sin ∠CBD=4

3，求AE 的长． 11．若0°<α<45°，且sin αcon α=

16

7

3，则sin α= ．

12．已知关于x 的方程0)cos 1(2sin 423=-+⋅-ααx x 有两个不相等的实数根，α为锐角，那么α的取值范围是 ．

13．已知是△ABC 的三边，a 、b 、c 满足等式))((4)2(2a c a c b -+=，且有035=-c a ，则sinA+sinB+sinC 的值为 ．

14．设α为锐角，且满足sin α=3cos α，则sin αcos α等于( ) A ．

61 B ．5

1 C ．9

2 D ．10

3 15．如图，若两条宽度为1的带子相交成30°的角，则重叠部分(图中阴影部分)的面积是

( ) A ．2 B ．2

3

C ．1

D ．21

16．如图，在△ABC 中，∠A ＝30°，tanB=

2

3

，AC=32，则AB 的长是( ) A ．33+ B ．322+ C ．5 D ．

2

9 17．己在△ABC 中，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，且c=35，若关于x 的方程

0)35(2)35(2=-+++b ax x b 有两个相等的实根，又方程0sin 5)sin 10(22=+-A x A x 的两实

根的平方和为6，求△ABC 的面积．

18．如图，已知AB=CD=1，∠ABC ＝90°，∠CBD °=30°，求AC 的长．

19．设 a 、b 、c 是直角三角形的三边，c 为斜边，n 为正整数，试判断n n b a +与n c 的关系，并证明你的结论．

20．如图，已知边长为2的正三角形ABC 沿直线l 滚动．

(1)当△ABC 滚动一周到△A l B 1C 1的位置，此时A 点所运动的路程为 ，约为 (精确到0.1，π=3.14)

(2)设△ABC 滚动240°，C 点的位置为C ˊ，△ABC 滚动480°时，A 点的位置在A ˊ，