数学理卷届建省泉州市普通中学高中毕业班单科质量检查扫描版
2020届福建省泉州市普通高中毕业班单科质量检查数学(理)试题及答案
绝密★启用前2020届福建省泉州市普通高中毕业班单科质量检查数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．已知集合{}{}2|0,|1M x x x N x x =-<=>，则（）A ．M N ⊆B ．N M ⊆C ．M N =RD ．M N ⋂=∅答案：D解一元二次不等式求得集合M ，由此判断出正确选项. 解：由()210x x x x -=-<解得01x <<，故{}|01M x x =<<，由于{}|1N x x =>，所以M N ⋂=∅.故选：D. 点评：本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的包含关系，考查集合的运算，属于基础题. 2．若复数z 满足(1)23z i i -=+，则z =（） A ．1522i -- B ．15i 22-+ C ．5122i - D ．5122i + 答案：A根据复数的除法运算,求得z .再根据共轭复数的概念即可求得z . 解：()123z i i -=+，223(23)(1)253151(1)(1)222i i i i i z i i i i +++++∴====-+--+.因此，1522z i =--. 故选：A. 点评：本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，属于基础题.3．若,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则42z x y =+的最小值为（）A ．-17B ．-13C ．163D ．20答案：B根据线性约束条件画出可行域，将目标函数化为直线22zy x =-+，由直线的平移即可求得该直线在y 轴截距最小时对应的最优解，代入42z x y =+计算即可. 解：,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,由此可得可行域如下图所示:该可行域是一个以1,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(4,2)B ,37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域（包括边界）.目标函数42z x y =+可化为22z y x =-+当动直线22z y x =-+过点37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，z 取得最小值， 此时min 37421322z ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B. 点评：本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题. 4．已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面.给出下列四个命题：①若//,m αββ⊂，则//m α；②若//,m n n α⊂，则//m α； ③若,m αβα⊥⊂，则m β⊥；④若//,m m αβ⊥，则αβ⊥. 其中为真命题的编号是（） A ．①②④ B ．①③C ．①④D ．②④答案：C由面面平行的性质可判断①；对于②,m 可能在α内；对于③,由面面垂直无法判断线面的位置关系；在平面α内找到直线1m 使得1//m m ,即可判断④ 解：①中,若//αβ,则β内任一直线与α平行,①为真命题；②中,若//,m n n α⊂,则m 可能平行于α,也可能在α内,②为假命题；③中,若,m αβα⊥⊂,则m 可能垂直于β,也可能平行于β,也可能与β相交但不垂直,③为假命题；④中,若//m α,则可在α内作一直线1m 使1//m m ,又因为m β⊥,所以1m β⊥,又1m α⊂,则αβ⊥,④为真命题；综上,①④为真命题, 故选:C 点评：本题考查线面、面面的空间位置关系的判定,属于基础题 5．函数()2ln f x x x =的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．答案：D首先求出函数的定义域，判定函数的奇偶性及单调性即可得解. 解： 解：()2ln f x x x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()()()22ln ln f x x x x xf x ∴-=--=-=-即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，由0x ≠，()f x 为奇函数，排除B ；又120e e f ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，排除C ； 当0x >时，()2ln 2f x x '=+，令()2ln 20f x x '=+=，解得1ex =， 所以函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，排除A ； 故选：D 点评：本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题.6．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（）A ．22123x y -=B ．22143x y -= C ．22149x y -=D ．221169x y -= 答案：C根据实轴得到a 的值，然后表示出渐近线，表示出焦点到渐近线的方程，得到b ，从而得到C 的方程. 解：因为实轴长24a =，所以2a =，(),0F c -，由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等，不妨取渐近线为b y xa=，即0bx ay-=，点(),0F c-到渐近线的距离()22b c bcd bca b⋅--===+，所以3b=，所以C的方程为22149x y-=，故选：C.点评：本题考查点到直线的距离，利用双曲线的几何性质求双曲线的方程，属于简单题.7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．-1010 B．-1009 C．1009 D．1010答案：D根据程序框图,先计算出N和T的含义,再根据S N T=-即可求得输出值.或利用等差数列的求和公式求解.解：依题意：得1352019N=+++⋯+,02462018T=++++⋯+.解法一：(10)(32)(54)(20192018)1010S N T=-=-+-+-++-=,故选:D.解法二：(12019)1010101010102N+⨯==⨯,(02018)1010100910102T+⨯==⨯,所以10101010101010091010(10101009)1010S N T=-=⨯-⨯=⨯-=,故选:D. 点评：本题考查了程序框图的简单应用,数列求和公式的应用,属于中档题.8．明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕，大吕，太簇{}n a 中，k a =（）A ．n k -B ．n -C ．D ．答案：C根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 解：因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=故选：C. 点评：本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.9．已知抛物线E ：28x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与x 轴交于点C .若A 为线段CF 的中点，则AB =（） A ．9 B ．12C ．18D ．72答案：A解法一：根据A 为线段CF 的中点，得到A 坐标，从而得到直线AF ，与抛物线联立得到12x x +，从而得到12y y +，利用抛物线焦点弦公式，得到AB 的长；解法二：延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，由DMA DNB ∆∆∽，得到AM AD BNDB=，得到BF ，再根据3AF AM ==，得到AB 的长.解：依题意得4p =，焦点()0,2F ， 如图，因为A 为线段CF 的中点，所以1A y =，代入抛物线方程得到A x =-所以()A -，解法一：4AF k ==，所以直线AF 的方程为2y x =+，将其代入28x y =，得2160x --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则12x x +=，()121212224454444y y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12549AB y y p =++=+=， 故选：A.解法二：（几何法）延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ， 过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，FDH ∆中原点O 是线段FH 的中点，所以点C 是线段DF 的中点.易得4FH =，3AM AF AC ===，39AD AC ==，设BF BN k ==， 因为DMA DNB ∆∆∽，所以AM AD BNDB=，即3912k k=+， 解得6k =，因此369AB =+=， 故选：A.点评：本题考查抛物线的几何性质，求抛物线的焦点弦的长，属于中档题. 10．已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（） A ．a b c << B ．b c a <<C ．b a c <<D ．c b a <<答案：B因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可. 解：解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B . 点评：本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.11．在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：40kx y k -+=与曲线y =A ，B 两点，且2AO AB ⋅=，则k =（）AB．2C ．1D答案：C根据直线方程得到l 过定点()4,0P -，过圆心O 作OM l ⊥于M ，由2AO AB ⋅=，得到2AB =，再利用弦长公式，得到k 的值，从而得到答案. 解：直线40kx y k -+=，即()40k x y ++=， 所以直线l 过定点()4,0P -，曲线y =3r =的上半圆. 过圆心O 作OM l ⊥于M ， 即122AO AB AM AB AB AB ⋅=⋅=⋅=， 所以2AB =， 圆心到直线l的距离d ==22AB ===， 解得1k =±，因为曲线y =0k >， 所以1k =. 故选C.点评：本题考查向量的数量积的几何意义，根据弦长求参数的值，考查数形结合的思想，属于中档题. 12．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都为3，D 是11B C 的中点，E 是线段1A D 上的动点.若三棱锥E ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 表面积的取值范围为（） A ．218,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．27316,16ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．273,2116ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[16,21]ππ答案：D由题可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,设球O 的半径为R ,1O E x =,1O O y =,则222222R OA O A O O ==+且222211R OE O E O O ==+,易得23O A =,则222R x y =+,()()22233R y =+-,可得2126x y =-,代入222R x y=+中,则()2233R y =-+,由x 的范围可得y 的范围,即可得到2R 的范围,进而求得球的表面积的范围解：如图所示,依题意可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,连接OA 、OE ,设OA OE R ==,1O E x =,1O O y =；在1Rt OO E ∆中,22211OE O E O O =+得222R x y =+；在2Rt AOO ∆中,2233O A ==23OO R =-, 由22222OA O A O O =+得222(3)R y =+-；由222R x y =+和222(3)R y =+-得2222(3)y x y +-=+整理得2126x y =-,所以222612(3)3R y y y =-+=-+,又因为0x ≤≤322y ≤≤；当2y =时,2R 的最小值为4；当32y =时,2R 的最小值为214；所以22144R ≤≤,由球O 的表面积24S R π=得1621S ππ≤≤, 故选:D 点评：本题考查棱锥的外接球的表面积问题,考查空间想象能力 二、填空题13．已知向量(),2a x =，()2,1b =，且//a b ，则a =______答案：根据向量共线的公式求解得4x =,再根据模长公式求解即可. 解：由//a b 得，1220x ⋅-⨯=，即4x =，所以2||42a =+==故答案为：点评：本题主要考查了向量的平行公式与模长公式,属于基础题型.14．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若120n n a a +-=，593S =，则5a =______. 答案：3由题意可知，数列{}n a 是以12为公比的等比数列，利用593S =结合等比数列求和公式可求出1a 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出5a 的值. 解：120n n a a +-=，112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为公比的等比数列，1551113129311612a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴===-，解得148a =，因此，45111483216a a ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：3. 点评：本题考查等比数列中的项的计算，同时也涉及了等比数列的定义以及等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()13f x f x +=；当(]0,1x ∈时，()()ln 2f x x =+，则()()0e f f +-=__________.答案：9-由()f x 是定义在R 上的奇函数()()f e f e -=-，()00f =，再依题意求出()f e 即可得解. 解：解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f e f e -=-，()00f =，又23e <<，021e <-<，所以()()()()31929ln 229f e f e f e e =-=-=-+=， 故()()09f f e +-=-. 故答案为：9- 点评：本题考查函数值的计算，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16．若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在(,)2ππ单调，且在(0,)3π存在极值点，则ω的取值范围为___________ 答案：413ω<≤先通过函数()f x 在(0,)3π存在极值点，求出ω的范围，再根据在(,)2ππ单调，求出k 和ω之间的不等关系，再结合已求出的ω的范围，得最终ω的范围. 解：解：因为函数()f x 在(0,)3π存在极值点，所以362πππω+>，即1ω>， 当,,,26266x x ππωππππωωπ⎛⎫⎛⎫∈+∈++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(,)2ππ单调，所以3,,() 26622kk k Nωπππππωπππ⎛⎫⎛⎫++⊆++∈⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即262362kkωππππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得24233k kω+≤≤+，只能取0k=，即2433ω≤≤，综上，413ω<≤，故答案为：413ω<≤.点评：本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于k和ω之间的不等关系，是中档题.三、解答题17．如图，四棱锥P ABCD-的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，AE PD⊥.（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）若AP AB=，求二面角B PC D--的余弦值.答案：（1）证明见解析（2）12-（1）由PA⊥平面ABCD及底面ABCD是正方形可证得CD⊥平面PAD,则CD AE⊥,又由AE PD⊥,即可求证；（2）以A为原点,分别以AB AD AP、、所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A xyz-,由（1）可知AE为平面PCD的一个法向量,求得平面PBC的一个法向量m,进而利用数量积求解即可解：（1）证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA CD⊥,因为底面ABCD是正方形,所以AD CD⊥,又PA AD A ⋂=,所以CD ⊥平面PAD , 因为AE ⊂平面PAD ,所以CD AE ⊥,又因为,AE PD CD PD D ⊥⋂=,,CD PD ⊂平面PCD , 所以AE ⊥平面PCD（2）因为PA ⊥平面ABCD ,底面ABCD 为正方形,所以,,PA AB PA AD AB AD ⊥⊥⊥,以A 为原点,分别以AB AD AP 、、所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系A xyz -（如图所示）,设1==PA AB ,则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P ,因为AE PD ⊥,所以E 为PD 中点,所以110,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以11(1,0,1),(1,1,1),0,,22PB PC AE ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭, 由（1）得110,,22AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭为平面PCD 的一个法向量, 设平面PBC 的一个法向量为(),,m x y z =,由00PB m PC m ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即00x z x y z -=⎧⎨+-=⎩,令1x =,则1,0z y ==,所以()1,0,1m =,因此112cos ,2122m AE m AE m AE⋅〈〉===⋅⨯, 由图可知二面角B PC D --的大小为钝角,故二面角B PC D --的余弦值为12- 点评：本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识,考查空间想象能力及运算能力18．记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2634n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .答案：（1）31n a n =+（2）()92434n nT n n =++（1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差可得2211633n n n n n a a a a a --=+--，再对其因式分解，即可得到13n n a a --=，最后根据等差数列的通项公式计算可得. （2）由（1）可得n b 的通项公式，再用分组求和及裂项相消法求和. 解：解：（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）. 因为2634n n n S a a =+-①，所以当2n 时，2111634n n n S a a ---=+-②，由①－②得2211633n n n n n a a a a a --=+--， 所以()()1130n n n n a a a a --+--=. 又0n a >，所以13n n a a --=.因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 故()43131n a n n =+-=+.（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++， 所以333333222471031347n T n n =+-++-+++-++ ()333333922477103134434nn n n n n ⎛⎫=+-+-++-=+ ⎪+++⎝⎭点评：本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注.19．ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为23. （1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,EF 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值.答案：（1）23;（2）633- （1）利用1sin 2ABCAB B SBC =⋅⋅⋅求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可； （2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值. 解：解：（1）因为60,2,B AB ==所以1133sin 222ABCAB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯⨯⋅=， 又23ABCS=，所以4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以23AC =；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()23sin 60θ︒=+，所以()3sin 60DE =+，在CDF 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFSDE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅==当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP Sθ︒+===-故DEF 的面积的最小值为6-. 点评：本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题.20．已如椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，点2A ⎫⎪⎪⎭，在E 上. （1）求E 的方程：（2）斜率不为0的直线l 经过点1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，且与E 交于P ，Q 两点，试问：是否存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标：若不存在，请说明理由答案：（1）22143x y +=（2）存在x 轴上的定点()8,0C ，使得PCB QCB ∠=∠（1）根据椭圆离心率和过的点，得到关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）设存在定点C ，对称性可知设(),0C m ，根据PCB QCB ∠=∠，得到0PC QC k k +=，即得12120y y x m x m +=--，直线l 的方程为：12x ty =+与椭圆联立，得到12y y +，12y y ，从而得到m 和t 的关系式，根据对t ∈R 恒成立，从而得到m 的值.解：（1）因为椭圆E 的离心率12e a ==，所以2234a b =①，点A⎭在椭圆上，所以223314a b+=②，由①②解得24a=，23b=.故E的方程为22143x y+=.（2）假设存在定点C，使得PCB QCB∠=∠.由对称性可知，点C必在x轴上，故可设(),0C m.因为PCB QCB∠=∠，所以直线PC与直线QC的倾斜角互补，因此0PC QCk k+=. 设直线l的方程为：12x ty=+，()11,P x y，()22,Q x y由221,2143x tyx y⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x，得()22121612450t y ty++-=，()()()()222212412164514418012160t t t t∆=-⨯+⨯-=+⨯+>，所以t∈R，所以122121216ty yt+=-+，122451216y yt=-+，因为0PC QCk k+=，所以1212y yx m x m+=--，所以()()1221y x m y x m-+-=，即12211122y ty m y ty m⎛⎫⎛⎫+-++-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.整理得()12121202ty y m y y⎛⎫+-+=⎪⎝⎭，所以224511220121621216tt mt t-⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()21901221216t m tt⎛⎫-+--⎪⎝⎭=+. 所以1901202t t m⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即1901202m t⎡⎤⎛⎫+-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对t∈R恒成立，即()96120m t-=对t∈R恒成立，所以8m=.所以存在定点()8,0C，使得PCB QCB∠=∠.点评：本小题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题，属于中档题. 21．已知函数()()21e xf x x ax =++.（1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()21e 1xg x x mx =+--在[)1,-+∞有两个零点，求m 的取值范围.答案：（1）答案不唯一，具体见解析（2）211em -< （1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e xf x a x x =++'+，再对参数a 分类讨论可得； （2）依题意可得()()21e x g x m x =+'-，当0m 函数在定义域上单调递增，不满足条件； 当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m '=-，()00g =.再对1m =，1m ，01m <<三种情况讨论可得.解：解：（1）因为()()21xf x x ax e =++，所以()()221e xf x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+，即()()()11e xf x a x x =++'+.由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.①当0a =时，()()21e 0x f x x =+'，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-，由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数.③当0a <时，()11a -+>-，由()0f x >′得()1x a >-+或1x <-，由()0f x <′得()11x a -<<-+； 所以()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. 综上，当0a =时，()f x 在为(),-∞+∞增函数；当0a >时，()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数； 当0a <时，()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. （2）因为()()21e 1xg x x mx =+--，所以()()21e x g x m x =+'-，①当0m 时，()0g x '，()g x 在[)1,-+∞为增函数，所以()g x 在[)1,-+∞至多一个零点. ②当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数. 因为()01g m '=-，()00g =.（ⅰ）当1m =时，()00g '=，0x >时，()0g x '>，10x -<<时，()0g x '<； 所以()g x 在[)1,0-为减函数，在[)0,+∞为增函数，()()min 00g x g ==. 故()g x 在[)1,-+∞有且只有一个零点.（ⅱ）当1m 时，()00g '<，()()210m g m e m m '=+->，()00,x m ∃∈，使得()00g x '=， 且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数.所以()()000g x g <=，又()()()22221e 1110mg m m m m m =+-->+--=，根据零点存在性定理，()g x 在()0,x m 有且只有一个零点. 又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0. 故当1m 时，()g x 在[)1,-+∞有两个零点.（ⅲ）当01m <<时，()01g m -'=-<，()00g '>，()01,0x ∃∈-，使得()00g x '=， 且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数. 因为()g x 在()0,x +∞有且只有一个零点0，若()g x 在[)1,-+∞有两个零点，则()g x 在[)01,x -有且只有一个零点.又()()000g x g <=，所以()10g -即()2110e g m -=+-，所以21e m -， 即当211em -<时()g x 在[)1,-+∞有两个零点. 综上，m 的取值范围为211em -< 点评：本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.22．在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2,x x y y''=⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C . （1）求2C 的参数方程；（2）设()2,1A ，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值，及此时P 的坐标．答案：（1）2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）或( （1）先利用伸缩变换求得曲线2C 的普通方程，再将普通方程转化为参数方程；（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，再利用点到直线的距离公式，求得距离的最大值，结合面积的最大值，求得点P 的坐标.解：（1）由伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得到1,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'……① 将①代入221x y +=，得到221+=12x y ''（），整理得222:+=14x C y ''. 所以2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）． （2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，直线:20OA x y -=，则P到直线OA的距离为π22sin()2cos2sin224555dααα--==≤，所以111225522225OAPS OA d d=⋅=⋅⋅⋅⋅=△≤.当3π=4α或7π=4α时，OAP△面积的最大值为2，此时P的坐标为2(2,)2-或2(2,)2-.点评：本题考查伸缩变换、曲线普通方程与参数方程的互化、点的参数设法，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力.23．已知函数1()||||f x x a xa=++-．（1）证明：()2f x≥；（2）当12a=时，()f x x b+≥，求b的取值范围．答案：（1）证明见解析；（2）1(,]2-∞.（1）利用绝对值不等式直接进行证明；（2）将函数()f x写成分段函数的形式，作出函数的图象，并观察图象求b的取值范围.解：（1）1111()||||||||||2||||2f x x a x a a aa a a a=++-+=+⋅=≥≥；（2）312,,22151()2=,2,22232,2,2x xf x x x xx x⎧-+≤-⎪⎪⎪=++--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出()f x的图象，如图由图，可知()f x x b +≥，当且仅当(2)2f b +≥，解得12b =， 故b 的取值范围为1(,]2-∞．点评： 本题考查绝对值不等式的证明、参数取值范围的求解，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.。
福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查(理科)数学试题(带答案解析)
福建省泉州市普通高中2019-2020学年毕业班第一次质量检查（理科)数学试题1．已知集合{}012M =,,，{}2|20N x x x =∈+-≤Z ，则M N =I （ ） A ．{}1,0,1- B ．{}0,1 C ．{}0,1,2 D ．{}2,1,0,1-- 2．若x yi +(,)x y ∈R 与31i i +-互为共轭复数，则x y +=（ ） A ．0 B ．3C ．－1D ．4 3．某旅行社调查了所在城市20户家庭2019年的旅行费用，汇总得到如下表格：则这20户家庭该年的旅行费用的众数和中位数分别是（ ）A ．1.4，1.4B ．1.4，1.5C ．1.4，1.6D ．1.62，1.6 4．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知25a =-，416S =-，则6S =（ ） A ．－14 B ．－12 C ．－17 D ．125．5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为（ ）A ．10B ．38C ．70D ．2406．已知函数41()2x x f x -=，()0.32a f =，()0.30.2b f =，()0.3log 2c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 7．松、竹、梅经冬不衰，因此有“岁寒三友”之称.在我国古代的诗词和典籍中有很多与松和竹相关的描述和记载，宋代刘学箕的《念奴娇·水轩沙岸》的“缀松黏竹，恍然如对三绝”描写了大雪后松竹并生相依的美景；宋元时期数学名著《算学启蒙》中亦有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.现欲知几日后，竹长超过松长一倍.为了解决这个新问题，设计下面的程序框图，若输入的5x =，2y =，则输出的n 的值为（ ）A ．4B ．5C ．6D ．78．若[]0,1x ∈时，|2|0x e x a --≥，则a 的取值范围为（ ）A ．[]1,1-B ．[]2,2e e --C ．[]2e,1-D ．[]2ln 22,1- 9．已知函数()sin 2cos 2f x a x b x =-，0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤⎪⎝⎭，则下列结论错误．．的是（ ） A．a B ．012f π⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭10．将正整数20分解成两个正整数的乘积有120⨯，210⨯，45⨯三种，其中45⨯是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称45⨯为20的最佳分解.当p q ⨯（p q ≤且*,p q ∈N ）是正整数n 的最佳分解时我们定义函数()f n q p =-，则数列(){}5n f ()*n N ∈的前2020项的和为（ ） A ．101051+ B ．1010514- C ．1010512- D ．101051- 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则（ ）A ．直线1//BC 平面1A BDB ．11BC BD ⊥ C ．三棱锥11C B CE -的体积为13 D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒12．若双曲线C ：221x y m n+=(0)mn <绕其对称中心旋转3π可得某一函数的图象，则C 的离心率可以是（ ）A ．3B ．43CD ．213．已知向量(1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r ，则a b +=r r _________.14．在数列{}n a 中，11a =，23a =，21n n a a +=，则20192020a a +=____________. 15．设F 是抛物线E ：23y x =的焦点，点A 在E 上，光线AF 经x 轴反射后交E 于点B ，则点F 的坐标为___________，||4||AF BF +的最小值为__________.16．直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，1AA =点M 是侧面11BCC B 内的动点（不含边界），AM MC ⊥，则1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围为__________.17．在平面四边形ABCD 中，2ABC π∠=，2DAC ACB ∠=∠，3ADC π∠=.（1）若6ACB π∠=，BC =BD ；（2）若DC =，求cos ACB ∠.18．如图1，四边形ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=︒，E 为CD 的中点，以BE 为折痕将BCE ∆折起到PBE ∆的位置，使得平面PBE ⊥平面ABED ，如图2.（1）证明：平面PAB ⊥平面PBE ；（2）求二面角B PA E --的余弦值.19．已知(1,0)F 是椭圆C ：22221x y a b+=(0)a b >>的焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上. （1）求C 的方程；（2）斜率为12的直线l 与C 交于()11,A x y ，()22,B x y 两点，当1212340x x y y +=时，求直线l 被圆224x y +=截得的弦长.20．冬天的北方室外温度极低，若轻薄保暖的石墨烯发热膜能用在衣服上，可爱的医务工作者行动会更方便.石墨烯发热膜的制作：从石墨中分离出石墨烯，制成石墨烯发热膜.从石墨分离石墨烯的一种方法是化学气相沉积法，使石墨升华后附着在材料上再结晶.现在有A 材料、B 材料供选择，研究人员对附着在A 材料、B 材料上再结晶各做了50次试验，得到如下等高条形图.（1）根据上面的等高条形图，填写如下列联表，判断是否有99%的把握认为试验成功与材料有关？（2）研究人员得到石墨烯后，再制作石墨烯发热膜有三个环节：①透明基底及UV 胶层；②石墨烯层；③表面封装层.第一、二环节生产合格的概率均为12，第三个环节生产合格的概率为23，且各生产环节相互独立.已知生产1吨的石墨烯发热膜的固定成本为1万元，若生产不合格还需进行修复，第三个环节的修复费用为3000元，其余环节修复费用均为1000元.如何定价，才能实现每生产1吨石墨烯发热膜获利可达1万元以上的目标？ 附：参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.21．已知函数2()sin 2x f x e x ax x =+--.（1）当0a =时，求()f x 的单调区间；（2）若0x =为()f x 的极小值点，求a 的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩（t 为参数），圆C 的方程为22(1)1y x +-=，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求l 和C 的极坐标方程；（2）过O 且倾斜角为α的直线与l 交于点A ，与C 交于另一点B ，若5612ππα≤≤，求||||OB OA 的取值范围. 23．记函数1()212f x x x =++-的最小值为m . （1）求m 的值；（2）若正数a ，b ，c 满足abc m =，证明：9ab bc ca a b c++≥++.参考答案1．B【解析】【分析】用列举法写出集合N ，再根据交集的定义写出M N ⋂．【详解】解：因为{}2|20N x x x =∈+-≤Z所以{}2,1,0,1N =--， 又{}012M =,, {}0,1M N ∴=I故选：B【点睛】本题考查了交集的运算问题，属于基础题．2．C【解析】【分析】 计算3121i i i+=+-，由共轭复数的概念解得,x y 即可. 【详解】3121i i i+=+-Q ，又由共轭复数概念得：x 1,y 2==-， 1x y ∴+=-.故选：C【点睛】本题主要考查了复数的运算，共轭复数的概念.3．B【解析】【分析】根据众数和中位数的定义解答即可；【详解】解：依题意可得则组数据分别为：1.2，1.2，1.2，1.2，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.4，1.6，1.6，1.6，1.8，1.8，1.8，1.8，1.8，2，2；故众数为：1.4，中位数为：1.5，故选：B【点睛】本题考查求几个数的众数与中位数，属于基础题.4．B【解析】【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意列出方程组，再根据前n 项和公式计算可得；【详解】解：设等差数列{}n a 的公差为d ，则()14154414162a d S a d +=-⎧⎪⎨⨯-=+=-⎪⎩解得172a d =-⎧⎨=⎩，所以()616616122S a d ⨯-=+=- 故选：B【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于基础题.5．A【解析】【分析】首先求出二项式5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，再令53r -=，54-=r 分别求出系数，由555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-即可得到展开式中4x 的系数.【详解】解：因为555(3)(2)(2()3)2x x x x x +--=+-，而5(2)x -展开式的通项为()5152rr r r T C x -+=-，当54-=r 即1r =时，()114425210T C x x =-=-，当53r -=即2r =时，()223335240T C x x =-=故5(3)(2)x x +-的展开式中4x 的系数为()4031010+⨯-= 故选：A【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．A【解析】【分析】首先判断函数的奇偶性与单调性，再根据指数函数、对数函数的性质得到0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<，即可得解；【详解】 解：因为41()222x x x x f x --==-，定义域为R ，()()22x x f x f x --=-=- 故函数是奇函数，又2x y =在定义域上单调递增，2xy -=在定义域上单调递减，所以()22x x f x -=-在定义域上单调递增，由0.321>，0.300.21<<，0.3log 20<所以()()()0.30.30.320.2log 2f f f >> 即a b c >>故选：A【点睛】本题考查指数函数、对数函数的性质的应用，属于基础题.7．A【解析】【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量b 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【详解】解：当1n =时，152x =，4y =，满足进行循环的条件，当2n =时，454x =，8y =满足进行循环的条件， 当3n =时，1358x =，16y =满足进行循环的条件， 当4n =时，40516x =，32y =不满足进行循环的条件， 故输出的n 值4．故选：A ．【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答，属于基础题．8．D【解析】【分析】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+，然后分别求出()()max min ，f xg x 即可得a 的取值范围.【详解】由题得22x x x e a x e -≤≤+对[]0,1x ∀∈恒成立，令()()2g 2，x xf x x e x x e =-=+， ()2x f x e '=-Q 在[]0,1单调递减，且()ln 20f '=，()f x ∴在()0,ln 2上单调递增，在()ln 2,1上单调递减，()()max ln 22ln 22a f x f ∴≥==-，又()g 2xx x e =+在[]0,1单调递增，()()min 01a g x g ∴≤==， ∴a 的取值范围为[]2ln 22,1-.故选：D【点睛】本题主要考查了不等式恒成立问题，导数的综合应用，考查了转化与化归的思想.求解不等式恒成立问题，可采用参变量分离法去求解.9．D 【解析】 【分析】依题意，利用辅助角公式得到()()2f x x ϕ=-，且3f π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 的最大值，从而sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ，即可得到()2sin 26f x b x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，从而一一验证可得； 【详解】解：因为()()sin 2cos 22f x a x b x x ϕ=-=-，其中sin ϕ=，cos ϕ=0ab ≠.当x ∈R 时()3f x f π⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，所以3x π=是图象的对称轴，此时，函数取得最大值sin 213πϕ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，取6π=ϕ；则1sin 2ϕ==，cos ϕ==，所以a ，故A 正确；()2sin 26f x b x π⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭，则2sin 2012126f b πππ⎛⎫⎛⎫=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确； 17172sin 22sin 22sin 2sin 556563030f b b b b πππππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴-=⨯--=⨯--=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，221317172sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故2515f f ππ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即C 正确； 22192sin 22sin 55630f b b ππππ⎛⎫⎡⎤∴=⨯-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4421332sin 22sin 2sin 2sin 151********f b b b b πππππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯--=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦故42155f f ππ⎛⎫⎛⎫-≠- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即D 错误； 故选：D 【点睛】本题考查辅助角公式及三角函数的性质的应用，属于中档题. 10．D 【解析】 【分析】首先利用信息的应用求出关系式的结果，进一步利用求和公式的应用求出结果． 【详解】解：依题意，当n 为偶数时，22(5)550nnn f =-=； 当n 为奇数时，111222(5)5545n n n n f +--=-=⨯，所以01100920204(555)S =++⋯+，101051451-=-g ，101051=-．故选：D 【点睛】本题考查的知识要点：信息题的应用，数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 11．ABD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法一一验证即可； 【详解】解：如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫ ⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-u u u u r ，()11,1,1BD =-u u u u r ，()1,1,0BD =-u u u r ，()11,0,1BA =-u u u r所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r u g ，即11BC BD ⊥u u u r u u ur u ，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=u u u r u u u r g，1B C =u u u rBD =u u u r，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BD θ==u u u r u u u u ur g u u u r r g u ，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =r ，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =r ，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=r u u u r g ，即1C n B ⊥r u u u r，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选：ABD【点睛】本题考查空间向量法在立体几何中的应用，属于中档题. 12．AD 【解析】 【分析】利用双曲线旋转后是函数的图象，求出渐近线的斜率，然后求解双曲线的离心率即可．【详解】解：当0m >，0n <时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，所以斜率为：3，可得：13m n =-，所以双曲线的离心率为：2e ==．当0m <，0n >时，由题意可知双曲线的渐近线的倾斜角为：6π，=3n m =-，所以双曲线的离心率为：e ==． 故选：AD ． 【点睛】本题考查双曲线的简单性质的应用，属于中档题. 13．2 【解析】 【分析】由a b ⊥r r得0a b ⋅=r r ，算出1k=，再代入算出a b +r r即可.【详解】Q (1,1)a =r ，(1,)b k =-r ，a b ⊥r r，10a b k ∴⋅=-+=r r ，解得：1k =，()0,2a b ∴+=r r，则2a b +=r r .故答案为：2 【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算，向量垂直的性质，向量的模的计算. 14．43【解析】 【分析】由递推公式可以先计算出前几项，再找出规律，即可得解； 【详解】解：因为11a =，23a =，21n n a a +=，所以131a a =，即31a =，241a a =，所以413a =351a a =，所以51a =， 461a a =，所以63a =L L由此可得数列{}n a 的奇数项为1，偶数项为3、13、3、13L L 所以2019202014133a a +=+= 故答案为：43【点睛】本题考查由递推公式研究函数的性质，属于基础题. 15．3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭ 274【解析】 【分析】首先由抛物线的解析式直接得到焦点坐标，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立直线与抛物线方程，可得根与系数的关系，利用1233||4||444AF BF x x ⎛⎫+=+++ ⎪⎝⎭以及基本不等式计算可得； 【详解】解：因为23y x =，23p =，所以32p =，故焦点F 的坐标为3,04⎛⎫⎪⎝⎭，根据抛物线的性质可得B 点关于x 轴对称的点1B 恰在直线AF 上，且1||||B F BF =，设()11,A x y ，()122,B x y ，则()22,B x y -，当直线1AB 的斜率存在时，设直线1AB 的方程为34y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，联立得2343y k x y x⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，化简的22223930216k x k x k ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭， 所以12916x x =，所以121233151527||4||4444444AF BF x x x x ⎛⎫+=+++=++≥= ⎪⎝⎭ 当且仅当124x x =时取等号，当直线1AB 的斜率不存在时，A 点与B 点重合，15||4||52AF BF p +==，综上可得||4||AF BF +的最小值为274故答案为：3,04⎛⎫ ⎪⎝⎭；274. 【点睛】本题考查抛物线的定义标准方程及其性质，直线与抛物线相交问题，焦点弦的相关性质与基本不等式的应用，属于中档题.16．⎤⎥⎝⎦【解析】如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<，由AM MC ⊥，则0AM MC =u u u u r u u u u rg ，即可得到动点M 的轨迹方程，连接1A M ，1B M ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B 所成角，从而11111tan A B A MB MB ∠=，即可求出1A M 与平面111BCC B 所成角的正切值的取值范围；【详解】解：如图建立空间直角坐标系，(A ，()14,0,0A，(C ，设(),4,M x z，(0z <<则(4,4,AM x z =--u u u u r，(,0,CM x z =-u u u u r，因为AM MC ⊥，所以0AM MC =u u u u r u u u u rg ，()(240x x z -+-=，即()(2224x z -+-=，(0z <<，连接1A M ，1B M，则12B M ≤<以111142MB <≤， 依题意可得11A B ⊥面11BCC B ，则11A MB Ð为1A M 与平面11BCC B所成角，1111114tan 27A B A MB MB MB ⎛⎤∠==∈ ⎥ ⎝⎦故答案为：27⎛⎤⎥ ⎝⎦本题考查空间向量法解决立体几何问题，线面角的计算，属于中档题. 17．（1）BD =2）3cos 4ACB ∠=【解析】 【分析】（1）在Rt ABC ∆中，由已知条件求出相关的边与角，由倍角关系推导求出ADC ∆为等边三角形，再利用余弦定理即求出BD =.（2）由题目已知条件2DAC ACB ∠=∠，可将所要的角转化到ACD ∆中，再将AC 用Rt ABC ∆中边角来表示，利用正弦定理及三角恒等变换求解即可得.【详解】解：（1）在Rt ABC ∆中，由6ACB π∠=，BC =1AB =，3BAC π∠=，2AC =又23DAC ACB π∠=∠=，3ADC π∠=，所以ADC ∆为等边三角形，所以2AD =在ABD ∆中，由余弦定理得，2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⨯⨯∠， 即222212212cos73BD π=+-⨯⨯⨯=，解得BD =（2）设ACB θ∠=，AB x =， 则2DAC θ∠=，DC =,在Rt ABC ∆中，sin sin AB xAC θθ==， 在ACD ∆中，根据正弦定理得，sin sin ACDAC D A CC D =∠∠，sin sin 3xθπ=，sinsin 23sin x πθθ⋅=⋅2sin cos sin xθθθ=⋅解得3cos 4θ=，即3cos 4ACB ∠=【点睛】本小题主要考查解三角形、三角恒等变换等基础知识，考查推理论证能力和运算求解能力等，考查数形结合思想和化归与转化思想等，体现综合性与应用性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算及数学建模等核心素养的关注.18．（1）证明见解析（2）7【解析】 【分析】（1）依题意可得PE BE ⊥，由面面垂直的性质可得PE ⊥平面ABCD ，从而得到PE AB ⊥，再证AB BE ⊥，即可得到AB ⊥平面PBE ，从而得证；（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，利用空间向量求二面角的余弦值； 【详解】解：（1）依题意知，因为CD BE ⊥，所以PE BE ⊥， 当平面PBE ⊥平面ABED 时，平面PBE ⋂平面ABCD BE =，PE ⊂平面PBE ， 所以PE ⊥平面ABCD ，因为AB Ì平面ABCD ，所以PE AB ⊥，由已知，BCD ∆是等边三角形，且E 为CD 的中点， 所以BE CD ⊥，//AB CD ，所以AB BE ⊥，又PE BE E ⋂=，PE ⊂平面PBE ，BE ⊂平面PBE ，所以AB ⊥平面PBE ，又AB Ì平面PAB ，所以平面PAB ⊥平面PBE .（2）以E 为原点，分别以ED u u u r ，EB u u u r ，EP u u u r的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则(0,0,0)E ，(0,0,1)P，B，A ，(0,0,1)EP =u u u r，EA =u u u r ，(2,0,0)BA =u u u r，1)PA =-u u u r，设平面PAB 的一个法向量()111,,m x y z =u r ，平面PAE 的一个法向量()222,,n x y z =r由00BA m PA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得11112020x x z =⎧⎪⎨+-=⎪⎩；令11y =，解得1z =10x =，所以m =u r，由00EP n EA n ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v vu u u v v得222020z x =⎧⎪⎨+=⎪⎩；令22y =-，解得2x =，20z =，所以2,0)n =-r，cos ,7m n m n m n ⋅====-⋅u r ru r r u r r .. 【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识，考查空间想象能力、推理论证及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等，体现基础性、综合性与应用性，导向对发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等核心素养的关注.19．（1）22143x y +=（2【解析】 【分析】（1）由已知可得221a b -=，再点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上得到方程组，解得即可； （2）设直线l 的方程为12y x t =+，联立直线与椭圆，列出韦达定理，由1212340x x y y +=，解得22t =，再由点到线的距离公式及勾股定理计算可得； 【详解】解：（1）由己知得221a b -=， 因点31,2P ⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆上，所以221914a b += 所以24a =，23b =所以椭圆C 的方程为：22143x y +=（2）设直线l 的方程为12yx t =+， 联立2212143y x t x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，消去y 得2230x tx t ++-=， ()222431230t t t ∆=--=->，解得24t <，12x x t +=-，2123x x t =-，由1212340x x y y +=，即12121134022x x x t x t ⎛⎫⎛⎫+++=⎪⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()21212220x x t x x t +++=（*）.将12x x t +=-，2123x x t =-代入（*）式，解得22t =，由于圆心O到直线l的距离为d==，所以直线l被圆O截得的弦长为5l===.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力等，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想等，体现基础性、综合性与创新性，导向对发展逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养的关注. 20．（1）填表见解析；有99%的把握认为试验成功与材料有关（2）定价至少为2.2万元/吨【解析】【分析】（1）写出列联表，根据列联表求出2K的观测值，结合临界值表可得；（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X万元，易知X可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5，然后根据独立重复事件的概率公式计算概率，写出分布列后求出期望即可．【详解】解：（1）根据所给等高条形图，得列联表：2K的观测值2100(4520530)1250507525k⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯，由于12 6.635>，故有99%的把握认为试验成功与材料有关.（2）生产1吨的石墨烯发热膜，所需的修复费用为X 万元. 易知X 可取0，0.1，0.2，0.3，0.4，0.5.202122(0)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，212124(0.1)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 222122(0.2)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，202111(0.3)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 212112(0.4)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭，222111(0.5)2312P X C ⎛⎫==⨯= ⎪⎝⎭， 则X 的分布列为：修复费用的期望：111111()00.10.20.30.40.50.263612612E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 所以石墨烯发热膜的定价至少为0.211 2.2++=万元/吨，才能实现预期的利润目标. 【点睛】本小题主要考查等高条形图、独立性检验、分布列与期望等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识等，考查统计与概率思想等，考查数学抽象、数学建模、数据分析等核心素养，体现基础性、综合性与应用性.21．（1）递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞（2）12a ≤ 【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数()cos 2x f x e x '=+-，记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，分析()g x 的单调性，即可求出函数的单调性；（2）依题意可得(0)0f '=，记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-，利用导数分析()h x '的单调性，即可得到()cos x h x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点，即()sin 2x g x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-，再对a 分类讨论可得；【详解】解：（1）当0a =时，()cos 2xf x e x '=+-， 记()()g x f x '=，则()sin xg x e x '=-，当0x >时，e 1x >，1sin 1x -≤≤，所以()sin 0xg x e x '=->，()g x 在(0,)+∞单调递增，所以()(0)0g x g >=，因为()()0f x g x '=>，所以()f x 在(0,)+∞为增函数；当0x <时，1x e <，1cos 1x -≤≤，所以()cos 20xf x e x '=+-<， 所以()f x 在(0,)+∞为减函数.综上所述，()f x 的递增区间为(0,)+∞，递减区间为(0,)+∞.·（2）由题意可得()cos 22xf x e x ax '=+--，(0)0f '=. 记()()g x f x '=，则()sin 2xg x e x a '=--.再令()()h x g x '=，则()cos xh x e x '=-.下面证明()cos xh x e x '=-在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭有零点：令()()x h x ϕ'=，则()sin xx e x ϕ'=+在,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭是增函数，所以()(0)2x πϕϕϕ⎛⎫'''-<< ⎪⎝⎭.又02πϕ⎛⎫'-< ⎪⎝⎭，(0)0ϕ'>， 所以存在1,02x π⎛⎫∈-⎪⎝⎭，()10x ϕ'=，且当1,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()0x ϕ'<，()1,0x x ∈，()0x ϕ'>，所以()x ϕ，即()h x '在1,2x π⎛⎫- ⎪⎝⎭为减函数，在()1,0x 为增函数，又02h π⎛⎫'-> ⎪⎝⎭，(0)0h '=，所以()10h x '<， 根据零点存在性定理，存在01,2x x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，()00h x '= 所以当()0,0x x ∈，()0h x '<，又0x >，()cos 0xh x e x '=->，所以()h x ，即()sin 2xg x e x a '=--在()0,0x 单调递减，在(0,)+∞单调递增，所以0()(0)sin 0212g x g e a a ''≥=--=-. ①当120a -≥，12a ≤，()0g x '≥恒成立，所以()g x ，即()f x '为增函数， 又(0)0f '=，所以当()0,0x x ∈，()0f x '<，()f x 为减函数，(0,)x ∈+∞，()0f x '>，()f x 为增函数，0x =是()f x 的极小值点，所以12a ≤满足题意. ②当12a >，(0)120g a '=-<，令()1xx e x =--，0x > 因为0x >，所以()10xu x e '=->，故()u x 在(0,)+∞单调递增，故()(0)0u x u >=，即有1x e x >+ 故2(2)sin 2221sin 220ag a ea a a a a '=-->+--≥，又()sin 2x g x e x a '=--在(0,)+∞单调递增，由零点存在性定理知，存在唯一实数(0,)m ∈+∞，()0g m '=，当(0,)x m ∈，()0g x '<，()g x 单调递减，即()f x '递减，所以()(0)0f x f ''<=，此时()f x 在(0,)m 为减函数，所以()(0)0f x f <=，不合题意，应舍去. 综上所述，a 的取值范围是12a ≤. 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.22．（1cos sin 40θρθ+-=；2sin ρθ=（2）13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）直接利用转换公式，把参数方程，直角坐标方程与极坐标方程进行转化； （2）利用极坐标方程将||||OB OA 转化为三角函数求解即可. 【详解】（1）因为,4x t y =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以l40y +-=，又cos x ρθ=，sin y ρθ=，222x y ρ+=，lcos sin 40θρθ+-=，C 的方程即为2220x y y +-=，对应极坐标方程为2sin ρθ=.（2）由己知设()1,A ρα，()2,B ρα，则1ρ=22sin ρα=，所以，)21||12sin sin ||4OB OA ραααρ==⨯+12cos 214αα⎤=-+⎦ 12sin 2146πα⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦又5612ππα≤≤，22663πππα≤-≤， 当266ππα-=，即6πα=时，||||OB OA 取得最小值12； 当262ππα-=，即3πα=时，||||OB OA 取得最大值34.所以，||||OB OA 的取值范围为13,24⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查了直角坐标方程，参数方程与极坐标方程的互化，三角函数的值域求解等知识，考查了学生的运算求解能力. 23．（1）1m =（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）将函数()f x 转化为分段函数或利用绝对值三角不等式进行求解； （2）利用基本不等式或柯西不等式证明即可. 【详解】解法一：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩当12x ≤-时，1()22f x f ⎛⎫≥-= ⎪⎝⎭， 当1122x -<≤，1()12f x f ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭， 当12x >时，1()12f x f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭， 所以min ()1m f x ==解法二：（1）113,22311(),222113,22x x f x x x x x ⎧-+≤-⎪⎪⎪=-+-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩如图当12x =时，min ()1m f x == 解法三：（1）111()222f x x x x =++-+-111222x x x ⎛⎫⎛⎫≥+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 1112x =+-≥ 当且仅当11022102x x x ⎧⎛⎫⎛⎫+-≤ ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎪-=⎪⎩即12x =时，等号成立.当12x =时min ()1m f x == 解法一：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，因为111()9a b c c a b ⎛⎫++++≥=⎪⎝⎭成立，所以原不等式成立.解法二：（2）因为0a >，0b >，0c >，所以0ab bc ca ++≥>，0a b c ++≥>，又因为1abc =，所以()()9a b c ab bc ac ++++≥=，()()9ab bc ac a b c ++++≥所以9ab bc ca a b c++≥++，原不等式得证.补充：解法三：（2）由题意可知，111ab bc ca c a b++=++， 因为0a >，0b >，0c >，所以要证明不等式9ab bc ca a b c++≥++，只需证明111()9a b c a b c ⎛⎫++++≥⎪⎝⎭，由柯西不等式得：2111()9a b ca b c ⎛⎫++++≥= ⎪⎝⎭成立， 所以原不等式成立. 【点睛】本题主要考查了绝对值函数的最值求解，不等式的证明，绝对值三角不等式，基本不等式及柯西不等式的应用，考查了学生的逻辑推理和运算求解能力.。
泉州市2025届高中毕业班质量监测(一)高三数学试卷(参考答案)(1)
泉州市2025届高中毕业班质量监测（一）2024.08高 三 数 学本试卷共19题，满分150分，共8页。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。
请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{4}A x =∈<，{0,1,4,9,16}B =，则A B = A ．{0,1} B ．{0,1,4} C ．{0,1,4,9} D ．{1,4,9,16}【命题意图】本小题主要考查集合的运算、不等式等知识；考查运算求解能力等；考查函数与方程思想、化归与转化思想等；体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（排除法）因0=x 符合题意，排除D ；因为9=x 符合题意，排除A ，B ；故选C ．解法二：因为{4}{016}A x x x =∈=∈R ≤＜，所以{0,1,4,9}A B ，故选C ．2．若复数z 满足(1i)1i z -=+，则4z =A ．1B ．1-C ．iD ．16 【命题意图】本小题主要考查复数的概念、四则运算等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力；考查化归与转化思想、函数与方程思想；体现基础性，导向对数学运算等核心素养的关注．保密★使用前【试题解析】解法一：设i(,=+∈z a b a b R )，则(i)(1i)()i 1i +-=++-=+a b a b b a ，解得0=a ，1=b ，所以i z =，所以41=z ，故选A ．解法二：因为(1i)1i z -=+，所以21+i (1i)2i i 1i (1i)(1i)2+====--+z ，41z =，故选A ． 解法三：方程两边同时平方，有2(2i)2i z ⋅-=，所以21z =-，41=z ，故选A ．3．已知向量,,a b c 满足||||=a b ，a 与b 的夹角为π3，0++=a b c ，则a 与c 的夹角为 A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6【命题意图】本小题主要考查向量的数量积等基础知识，考查运算求解等能力，考查化归与转化，数形结合等思想，体现基础性，导向对发展数学运算等核心素养的关注.【试题解析】解法一：设||||1==a b ，由题得=--c a b ，所以22π13()||||||cos 1322⋅=⋅--=--⋅=--⋅=--=-a c a a b a a b a a b ，2222()23=--=+⋅+=c a b a a b b ，所以||=c ，所以cos ,||||⋅<>==⋅a c a c a c ,[0,π]<>∈a c ，所以5π,6<>=a c ， 故选D ．解法二：建立直角坐标系，设||||1==a b ，则(1,0)=a ，1(2=b ，所以3(,2=--=-c a b ，所以32⋅=-a c ，||=c所以cos ,||||2⋅<>==-⋅a c a c a c ，又,[0,π]<>∈a c ，所以5π,6<>=a c ， 故选D ．解法三：运用向量运算的几何表示，构造平面图形，观察图形可快速得解.4．若sin 2θθ=，则tan θ=A ．B ．CD 【命题意图】本小题主要考查三角函数的定义、三角恒等变换等知识，考查运算求解能力等，考查函数与方程思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养的关注.【试题解析】解法一：（特殊法）由题知1sin 2θ=，cos θ=满足条件，所以tan θ． 故选C ． 解法二：由题得1sin 12θθ=，所以πsin()13θ+=， 所以ππ2π32Z k k θ+=+∈，，所以π2π6Z k k θ=+∈，ππtan tan(2π)tan 663k θ=+==C ． 解法三：由题得22sin cos 3cos 4θθθθ++=，所以223sin cos cos 0θθθθ-+=，即2cos )0θθ-=，cos 0θθ-=，即tan θ故选C ． 解法四：由题得sin 2θθ=，所以22(2)cos 1θθ-+=，所以24cos 30θθ-+=，即2(2cos 0θ=，所以cos θ=，1sin 22θθ==，所以tan θ=．故选C ． 解法五：观察sin 2θθ=，知sin ,cos θθ同正，θ为第一象限角，其正切值为正，排除A ，B ．若tan θ=3θπ=，则sin θθ=不符合已知条件，排除D ，故应选C ．5．若函数31,4,(),4x a x x f x xa x -⎧+-⎪=⎨⎪<⎩在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是 A. (0,1) B ．(1,4] C ．(1,8] D ．(1,16]【命题意图】本小题主要考查分段函数、基本初等函数、函数的单调性等知识，考查运算求解能力、抽象概括能力等，考查函数与方程思想、转化和化归的思想等，体现基础性和综合性，导向对发展数学运算、逻辑推理、数学抽象等核心素养的关注．【试题解析】由指数函数的底数要求只讨论0a >且1a ≠，由题意得4,()3a x f x x x=+-为单调递增，故016a <≤， 又4x <时，3()x f x a -=为单调递增，故1a >， 再由1414+-≤a a ，即得4≤a ，综上，14<≤a ， 故选B ．63，则该球的表面积为A ．40πB ．20πC ．16πD 【命题意图】本小题主要考查多面体、球的表面积等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力等，考查数形结合、转化和化归的思想等，体现基础性和综合性，导向对发展直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养的关注．【试题解析】解法一：正四棱台的对角面的外接圆为其外接球球O 的大圆（如下图），对角面为等腰梯形''AA C C ，其上下底边长分别为2,4，高为3，由正四棱台的对称性可知，球O 的球心O 在梯形上下底的中点连线12O O 所在直线上，设1OO d =，则2|3|O O d =-，设球O 半径为'OC R OC ==，再由1Rt 'OO C △，2Rt OO C △可得22222|3|21R d d =-+=+，解得2,d = R =O 的表面积为24π20πR =．解法二：下底的外接圆不大于球的大圆，故球半径2R ≥（下底对角线长的一半），表面积24π16πR ≥，排除D ；对角面等腰梯形''AA C C 的对角线长，故球半径2R >，表面积24π>18πR ，排除C ；若24π=40πR ，则R =．易求球心到A C ''的距离为13d =，球心到AC 的距离为2d =12||3d d h +==，或12||3d d h -==，故A 不正确．故选B ．7．已知函数()f x 满足()()()2f x y f x f y xy +=++，若(1)1f =，则(25)f =A ．25B ．125C ．625D ．15625【命题意图】本小题主要考查函数的基本性质、递推数列等基础知识；考查推理论证、运算求解等能力；考查化归与转化、特殊与一般的函数思想；体现基础性，综合性，导向对逻辑推理、数学运算等核心素养的关注．【试题解析】解法一：由题意取(),1N x n n y =∈=，可得(1)()(1)2f n f n f n +=++(1)2(1)2(1)2(2)3(1)2(2)2(1)21)(1)2(12)1)(1)()f n f n nf n f n n nn f n n f n n =-++-+=-++-+-+=⋅⋅⋅=++++⋅⋅⋅+=+++((1即知2()(1)(1)(1)f n nf n n n n n n =+-=+-=，则(25)625f =．故选C ．解法二：令2()=(),g x f x x -则2()()()g x y f x y x y +=+-+2()()2()f x f y xy x y =++-+22()()()()f x f y x y g x g y =+--=+，所以2()(1)(1)(1)((1)1)0g n g n g ng n f =-+=⋅⋅⋅==-=，即2()()0g n f n n =-=，所以2()f n n =，则(25)625f =．故选C ．解法三：由()()()2f x y f x f y xy +=++可构造满足条件的函数2()=f x x ，可以快速得到(25)625f =．故选C ．8．已知函数11()cos cos 2cos323f x x x x =++，则 A ．π是()f x 的一个周期B ．πx =是()f x 图象的一条对称轴C ．π(,0)2是()f x 图象的一个对称中心 D ．()f x 在区间(0,π)内单调递减 【命题意图】本小题主要考查三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识；考查推理论证能力、运算求解能力等，考查特殊与一般思想、函数与方程思想、化归与转化思想等；体现基础性、综合性，导向对发展直观想象、逻辑推理、数学运算、数学抽象等核心素养的关注．【试题解析】解法一：（排除法）因为11115(π)cos πcos 2πcos3π123236f =++=-+-=-，111111(0)cos0cos0cos0123236f =++=++=，所以(π)(0)f f ≠，故A 错误； 同理(π)(0)f f ≠-，故C 错误； 因为ππ113π1()cos cos πcos 222322f =++=-，2π2π14π16π5()cos cos cos 33233312f =++=- 所以π2π()()23f f <，故D 错误． 故选B ．解法二：因为11(π)cos(π)cos 2(π)cos3(π)23f x x x x +=+++++，11cos cos 2cos323x x x =-+- 所以(π)()f x f x +≠，故A 错误； 因为11(π)cos(π)cos 2(π)cos3(π)23f x x x x -=-+-+-11cos cos 2cos323x x x =-+-，所以(π)(π)f x f x +=-，故B 正确； 因为11()cos()cos 2()cos3()23f x x x x -=-+-+-11cos cos 2cos323x x x =++， 所以()(π)f x f x --≠+，故C 错误；因为()sin sin 2sin3[sin(2)sin(2)]sin 2f x x x x x x x x x '=---=--++-2sin 2cos sin 2sin 2(2cos 1)x x x x x =-⋅-=-⋅+ 所以当π(0,)2x ∈时，sin 20x >，2cos 10x +>，此时()0f x '<； 同理当π2π()23x ∈，时，()0f x '>；当2π(,π)3x ∈时，()0f x '<； 所以()f x 在π(0,)2上单调递减，在π2π(,)23上单调递增，在2π(,π)3上单调递减，故D错误；故选B．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
2024福建省泉州市高三高中毕业班质量监测数学试题与解析
保密★使用泉州市2024届高中毕业班质量监测（一）2023.08数学考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合(){}30A x x x =∈-<Z ，{}1,2,3B =-，则A B = （）A.{}2 B.{}2,3 C.{}1,1,2,3- D.∅2.已知复数21iz =-，则2i z +=（）A.C. D.103.已知2sin 21cos 2αα=+，,22ππα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，则tan α=（）A.2-B.12-C.12D.24.已知函数()2f x x =，()22x x g x -=-，如图是下列四个函数中某个函数的大致图象，则该函数是（）A.()()f xg x + B.()()f xg x ⋅ C.()()g x f x D.()()f xg x5.已知双曲线222:16x y C a -=的焦距为C 的渐近线方程是（）A.y x =±B.y =C.3y x =±D.7y x =±6.记等比数列{}n a 的前n 项和为n S .若33S =，8596S S -=-，则6S =（）A.3- B.6- C.21- D.24-7.已知函数())2sin 04f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在[]0,2内有且仅有3个零点，则ω的值可以是（）A.3B.5C.7D.98.方程2y xx y x y x=满足x y ≤的正整数解的组数为（）A.0B.1C.2D.无数组二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9.已知函数()22,1,log ,1,x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩则下列结论正确的是（）A.()()03f f <B.()f x 为增函数C.()f x 的值域为()0,+∞ D.方程()f x a =最多有两个解10.某市组织全市高中学生进行知识竞赛，为了解学生知识掌握情况，从全市随机抽取了100名学生，将他们的成绩（单位：分）分成5组：[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[]90,100，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中未知的数据a ，b ，c 成等差数列，成绩落在[)60,70内的人数为40.从分数在[)70,80和[)80,90的两组学生中采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3人，记3人中成绩在[)80,90内的人数为ξ，设事件A =“至少1人成绩在[)80,90内”，事件B =“3人成绩均在[)70,80内”.则下列结论正确的是（）A.0.03b =B.()65E ξ=C.A 与B 是互斥事件，但不是对立事件D.估计该市学生知识竞赛成绩的中位数不高于72分11.已知圆柱12OO 的轴截面是正方形ABCD ，AB 为底面圆1O 的直径，点E 在圆1O 上，点F 在圆2O 上，且E ，F 不在平面ABCD 内.若A ，E ，C ，F 四点共面，则（）A.直线BE ∥平面ADFB.直线BD ⊥平面AECFC.平面ADF ∥平面BCED.平面BEF ⊥平面AECF12.已知ABP △的顶点P 在圆()()22:3481C x y -+-=上，顶点A ，B 在圆22:4O x y +=上.若AB =）A.ABP △的面积的最大值为B.直线PA 被圆C截得的弦长的最小值为C.有且仅有一个点P ，使得ABP △为等边三角形D.有且仅有一个点P ，使得直线PA ，PB 都是圆O 的切线泉州市2024届高中毕业班质量监测（一）2023.08数学三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
福建省泉州市(新版)2024高考数学人教版质量检测(评估卷)完整试卷
福建省泉州市（新版）2024高考数学人教版质量检测(评估卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，，，则下列选项中是“”的一个充分不必要条件的是（）A．B．C．D．第(2)题若的最大值和最小值分别为，，则（）A．0B．1C．2D．4第(3)题已知数列满足，则下列说法正确的是（）A．数列不可能为等差数列B．对任意正数t，是递增数列C．若，则D．若，数列的前n项和为，则第(4)题若，（），则（）A．B．C．0D．第(5)题已知随机变量服从二项分布，则（ ）A．B．C．D．第(6)题记是公差不为0的等差数列的前项和，若，，则数列的公差为（）A．B．C．2D．4第(7)题随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展，据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数(单位：百万)折线图如图所示，则下列结论不正确的是（）A．近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数B．近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差C．近十年，农村居民国内游客人数的中位数为1240D．2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加第(8)题如图，在正方体中，，P是正方形ABCD内部（含边界）的一个动点，则（）A．有且仅有一个点P，使得B．平面C ．若，则三棱锥外接球的表面积为D．M为的中点，若MP与平面ABCD所成的角为，则点P的轨迹长为二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知双曲线：的一条渐近线过点，点F为双曲线C的右焦点，那么下列结论中正确的是（）A．双曲线C的离心率为B．双曲线C的一条渐近线方程为C．若点F到双曲线C的渐近线的距离为，则双曲线C的方程为D．设O为坐标原点，若，则第(2)题给出下列命题，其中错误的命题为（）A．若样本数据的方差为3，则数据的方差为6．B．具有相关关系的两个变量x，y的相关系数为r，那么越接近于0，x，y之间的线性相关程度越高；C．在一个列联表中，根据表中数据计算得到的观测值k，若k的值越大，则认为两个变量间有关的把握就越大；D．甲同学所在的某校高三共有5003人，先剔除3人，再按简单随机抽样的方法抽取容量为200的一个样本，则甲被抽到的概率为．第(3)题函数（其中）的图像如图所示，则下列说法正确的是（）A．函数的最小正周期是B．C．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度D．为了得到的图像，只需将的图像向左平移个单位长度三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知事件A和B独立，，则____________．第(2)题函数在区间上的最大值是________．第(3)题已知集合，，则________．四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题已知椭圆：的左、右顶点分别为，，点（）在椭圆上，若点，分别在直线，上.(1)求的值；(2)连接并延长交椭圆于点，求证：，，三点共线.第(2)题已知各项均不为0的递增数列的前项和为，且（，且）．(1)求数列的前项和；(2)定义首项为2且公比大于1的等比数列为“-数列”．证明：①对任意且，存在“-数列”，使得成立；②当且时，不存在“-数列”，使得对任意正整数成立．第(3)题设椭圆，椭圆的右焦点恰好是抛物线的焦点．椭圆的离心率为．（1）求椭圆E的标准方程；（2）设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合），证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值．第(4)题选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标中,直线的方程为,曲线的方程为.（1）求直线与极轴的交点到极点的距离；（2）若曲线上恰好有两个点到直线的距离为,求实数的取值范围.第(5)题在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线与椭圆相切．（1）求椭圆的方程；（2）已知M，N为椭圆C的上、下端点，点T的坐标为，且直线TM、TN分别与椭圆交于两点C，D（M，N，C，D四点互不相同），求点M到直线CD距离的取值范围．。
福建省泉州市届普通中学高中毕业班月质量检测数学理
泉州市2014届普通中学高中毕业班质量检测理科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分．1．C 2．B 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9. B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11、i -； 12、16； 13、65； 14、200； 15、4.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．本小题主要考查组合数公式、概率、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分13分．解：（Ⅰ）依题意，得0.6a b c ++=，即0.10.20.6a a a ++++=，解得0.1a =，…2分 所以0.2,0.3b c ==.………………3分故该队员射击一次，击中目标靶的环数ξ的分布列为:60.170.280.390.36100.048.04E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. ………………6分（Ⅱ）记事件A ：“该队员进行一次射击，击中9环”，事件B ：“该队员进行一次射击，击中10环”，则事件“该队员进行一次射击，击中9环以上（包括9环）”为A B +.………7分 因为A 与B 互斥，且()0.36,()0.04P A P B ==，所以()()()0.4P A B P A P B +=+=. …………8分所以，该射击队员在10次的射击中，击中9环以上（含9环）的次数为k 的概率1010()0.40.6(0,1,2,,10)k k k P X k C k -==⨯⨯=. ………………10分当1k ≥,*k ∈N 时，101011101100.40.6()2(11)(1)0.40.63k k k k k k C P X k k P X k C k ----+⨯⨯=-===-⨯⨯. 令()1(1)P X k P X k =>=-，解得225k <. ………………12分 所以当14k ≤≤时，(1)()P X k P X k =-<=；当510k ≤≤时，(1)()P X k P X k =->=.综上，可知当4k =时，()P X k =取得最大值.………………13分17．本小题主要考查平面向量、三角恒等变换、三角函数性质以及解三角形等基础知识，考查运算求解能力与推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想等．满分13分．解：（Ⅰ）()sin 222sin(2)3f x x x x π=⋅==-m n ， ………………2分 由222232k x k πππππ-+≤-≤+，得51212k x k ππππ-+≤≤+，k ∈Z .……3分 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k ∈Z .………………4分 （Ⅱ）由()02A f =，得2sin()03A π-=， 因为0A π<<，所以3A π=.…………5分 （ⅰ）由正弦定理，知cos cos sin a B b A c C +=可化为2sin cos sin cos sin A B B A C +=，……6分故2sin()sin A B C +=，………………7分又因为A B C π+=-，所以2sin()sin C C π-=即2sin sin C C =， 因为sin 0C ≠，所以sin 1C =，又由于0C π<<，所以2C π=，………………8分 所以()6B A C ππ=-+=.………………9分（ⅱ）AB AC λ+2222cos AB AB AC A AC λλ==+⋅+，…10分 又3AB AC ==，3A π=，所以AB AC λ+2(1AB ==12分故当12λ=-时，()g AB AC λλ=+的值取得最小值.………………13分 另解：记AB AC AP λ+=，则P 是过B 且与AC 平行的直线l 上的动点，()||g AP λ=，…………12分所以()g λ的最小值即点A 到直线l …………13分 18．本小题主要考查椭圆的标准方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分． 解：（Ⅰ）因为(4,0)A 为椭圆G 的一个长轴端点，所以可设椭圆G 的方程为222116x y b+=，………………1分 因为当直线l 垂直x 轴时，6BC =，所以椭圆G 过点(2,3)，……2分所以249116b+=，解得212b =. ………………3分 故所求椭圆的方程为2211612x y +=.………………4分 （Ⅱ）方法1：设直线l 的方程为2x my =+，联立方程组2223448x my x y =+⎧⎨+=⎩，消去x ，得22(34)12360m y my ++-=，……5分 设1122(,),(,)B x y C x y ，则1221234,m m y y +=-+……①1223634y m y ⋅=-+.……② …………6分又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ,………………7分故2112(4)(2)0x y x y --+=,即2112(2)(4)0my y my y --+=,即122y y =-.………③ …………9分 由①②③得22212183434m m m ⎛⎫= ⎪⎝⎭++，所以245m =.…………11分 当245m =时，0∆>，所以m =，…………12分 所以直线l的方程为2x y =+,即5100x --=或5100x +-=.…………13分方法2：①当直线l 的斜率不存在时，AC 与BF 不平行；………………5分②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为(2)y k x =-，联立方程组22(2),3448.y k x x y =-⎧⎨+=⎩消去y ，整理得2222(34)1616480k x k x k +-+-=，…………6分设1122(,),(,)B x y C x y ，则12221634x k x k=++，…………① 2221164834x k k x -=+⋅…………② …………7分 又2211(4,),(2,)AC x y FB x y =-=+，且AC BF ， ………………8分故2112(4)(2)0x y x y --+=，即2112(4)(2)(2)(2)0k x x k x x ---+-=，即1226x x +=…………③ …………9分 由①③得2122228183481834k x k k x k ⎧-=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩， 代入②得2222228188181648343434k k k k k k-+-=+++………………11分 化简，得254k =， 当254k =时，0∆>，故k =，…………12分 所以直线l的方程为5100x --=或5100x +-=.……13分19．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想等.满分13分.解：（Ⅰ）在正方形ABCD 中，AB AD ⊥，又PA AB ⊥ ，PA AD A =，∴AB ⊥平面PAD ，…………2分又PD ⊂平面PAD ，AB PD ∴⊥………………3分（Ⅱ）点E 、F 分别是棱AD 、BC 的中点,连结PE ，EF ，则,PE AD EFAB ⊥，又由（Ⅰ）知AB ⊥平面PAD ，∴EF ⊥平面PAD ，又,AD PE ⊂平面PAD ，∴,EF AD EF PE ⊥⊥，………………4分 如图，以点E 为坐标原点，分别以,,AD EF EP 所在直线为为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系O xyz -.由题设可知： PA PD AB AD ===，故不妨设2AB =，则(1,0,0),(1,0,0),(1,2,0),(1,2,0),(0,2,0),A D B C F P --(1,2,PB =，(1,2,PC =-，………………5分AB ⊥平面PAD ， ∴平面PAD 的一个法向量为(0,2,0)AB =，…………6分设平面PBC 的一个法向量为(,,)x y z =n ，,PB PC ⊥⊥n n ，∴00PB PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n，即2020x y x y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得020x y =⎧⎪⎨=⎪⎩，令2z =，得y =∴平面PBC的一个法向量为2)=n .………………7分设平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为θ,则cos cos ,7AB AB AB θ⋅=<>====n n n∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的余弦值为7……………8分 （Ⅲ）由（Ⅱ）已证得PE EF ⊥，则截面PEF ∆为直角三角形.111,22PEF PAD S EF EP AD EP S ∆∆=⋅=⋅== 2.EF EP ∴⋅=………………9分设PEF ∆的内切圆半径为,r 则1()12PEF S PE EF FP r ∆=++⋅=2r PE EF PF ∴==++≤=1,==………………10分∴当且仅当EF EP =时，PEF ∆有最大内切圆，其半径 1.r =此时EF EP ==2.PF =………………11分12PAB PCD S S PA AB ∆∆==⋅==11222PBC S BC PF ∆=⋅==1PAD S ∆=，2 2.ABCD S AD EF =⋅==设PEF ∆的内切圆圆心O 到侧面PAB 、侧面PCD 的距离为d ， 则1111()3333P ABCD PAD PBC ABCD PAB PCD ABCD V r S S S d S d S EP S -∆∆∆∆∆=⋅+++⋅+⋅=⋅， 即()2PAD PBC ABCD PAB ABCD r S S S d S EP S ∆∆∆∆⋅+++⋅=⋅，所以(1)12+=解得1.d r =>=………………12分 ∴在四棱锥P ABCD -的内部放入球心O 在截面PEF 中的球，其最大半径R 是1,该最大半径的球只能与四棱锥P ABCD -的三个面相切. ………13分20．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等．满分14分. 解：（Ⅰ）当23a =且1x >-时，22()ln(1)3f x x x =+-，214443(23)(21)'()133(1)3(1)x x x x f x x x x x --++-=-==-+++，…………2分令'()0f x >，因为1x >-，所以(23)(21)0x x +-<，解得112x -<<， 所以函数()f x 的递增区间为1(1,)2-.…………4分 （Ⅱ）当0a =时，()ln 1f x x =+， 不等式()11f x x ≤+-即ln 1110x x +-++≤， …………5分令1t x =+，则0t >，此时不等式ln 1110x x +-++≤等价于不等式ln 10(0)t t t -+≤>. 令()ln 1t t t ϕ=-+，则11'()1tt t tϕ-=-=. …………7分 令'()0t ϕ=，得1t =.(),'()t t ϕϕ随t 的变化情况如下表由表可知，当0t >时，()(1)0t ϕϕ≤=即ln 10t t -+≤.所以()11f x x ≤+-成立. …………9分 （Ⅲ）当1x >-时，2()ln(1)f x x ax =+-，1'()21f x ax x =-+，所以直线l 的斜率'(0)1k f ==，又(0)0f =，所以直线l 的方程为y x =.令2()ln 1g x x ax x =+--，则命题“函数()y f x =的图象上存在点在直线l 的上方”可等价转化为命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”……10分当1x >-时，2()ln(1)g x x ax x =+--,1'()211g x ax x =--+， 当1x <-时，2()ln(1)g x x ax x =----,1'()211g x ax x =--+，所以，对(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，都有212(1)2(21)2'()11ax x ax a xa g x x x -++--+==++. ……11分令'()0g x =，解得0x =或212a x a+=-.①当0a >时，211a +-<-，(),'()g x g x 随x 的变化情况如下表：又因为(1)ln ,(0)0224g a g a a a--=+-=，所以，为使命题“存在(,1)(1,)x ∈-∞--+∞，使得()0g x >.”成立，只需111(1)ln 0224g a a a a --=+->. 令12t a =，则111(1)ln 222g t t a t--=+-，令11()ln (0)22h t t t t t =-+>，因为2111'()022h t t t =++>，所以()h t 在(0,)+∞上为增函数，又注意到(1)0h =， 所以当且仅当112t a =>，即102a <<时，()0h t >， 故关于a 的不等式11ln024a a a +->的解集为102a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；…………13分 ②当0a ≤时，因为存在1x e =--使得2(1)2(1)0g e e a e --=+-+>恒成立，所以，总存在点(1,e --21(1))a e -+在直线l 的上方. 综合①②，可知a 的取值范围为12a a ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭. …………14分 21．（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换解：(Ⅰ)由题意，可知存在实数(0)λλ≠，使得10200k k m λ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，………1分即0k kmk λ=⎧⎨=⎩， ………2分又因为0k ≠，所以10m λ=⎧⎨=⎩， ………3分所以0m =，特征向量0k ⎛⎫ ⎪⎝⎭相应的特征值为1. …………4分(Ⅱ)因为1=-B ，所以11223--⎛⎫=⎪-⎝⎭B ， …………6分故1121014230226---⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭B A . …………7分（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)将12,l l 的方程化为普通方程，得1:l y x =，2l ：220x y -+=，2分联立方程组220y xx y =⎧⎨-+=⎩，解得22x y =⎧⎨=⎩，所以A 的坐标为(2,2)，………3分故点A 的极坐标)4π. …………4分（Ⅱ）将曲线C 的方程化为普通方程得228x y +=，…………5分所以曲线C 是圆心为(0,0)O ，半径为A (2,2)在曲线C 上.因为1OA k =，所以曲线C 过点A 的切线l 的斜率1l k =-， 所以l 的方程为40x y +-=，……6分故l 的极坐标方程为cos sin 40ρθρθ+-=. …………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）由已知得()2max326t t m m +--≤-………………1分因为323(2)5t t t t +--≤+--=（当且仅当2t ≥时取等号）………3分 所以265m m -≥，解得15m ≤≤，所以实数m 的取值范围是1 5.m ≤≤………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知5λ=，所以3455x y z ++=.由柯西不等式， 可得()()()222222234534525x y zx y z ++++≥++=, …5分所以22212x y z ++≥， 当且仅当345x y z ==即321,,1052x y z ===时等号成立. ………6分故222x y z ++的最小值为1.2………………7分。
福建省泉州市普通中学高中数学毕业班质量检查试题 理
2012年泉州市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =，其中x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1. 复数()1i i +等于A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i -2. 已知集合{}13A x x =<<，{}21log 2B x x =<<，则AB 等于A.{}03x x << B.{}23x x << C.{}13x x << D.{}14x x << 3. 已知(2,1),(1,3)a b ==--，则||a b -等于 ABC ．5D ．254. 执行右侧框图所表达的算法，如果最后输出的S 值为12012，那么判断框中实数a 的取值范围是 A ．20112012a ≤< B ．20112012a <≤ C ．20112012a ≤≤ D ．20122013a ≤<5. 下列四个条件：①x ，y ，z 均为直线； ②x ，y 是直线，z 是平面；③x 是直线，y ，z 是平面；④x ，y ，z 均为平面. 其中，能使命题“,x y yz x z ⊥⇒⊥”成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 已知实数,x y 满足2220,0,4,x y x y x y ⎧-+≥⎪+≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值是 A ．5 B ．-1 C ．2D.7. 已知二次函数2()f x ax bx =+，则“(2)0f ≥”是“函数()f x 在()1,+∞单调递增”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件8. 已知12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为A ．49 B ．23 C ．59 D9. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法： （1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3， (100)（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是A.88%B. 90%C. 92%D.94%10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线2y x =的图象绕原点沿逆时针方向旋转90就得到函数2y x =的图象.若把双曲线2213x y -=绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是A ．30 B ．45 C ．60 D ．90第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知等差数列}{n a 中, 51a =,322a a =+,则11S = . 12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为 .123侧视图正视图13. 在ABC V中，60,B AC =ABC V 周长的最大值为 . 14. 已知{}()(),min ,a b a a b a b b ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，设()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线x e =所围成的封闭图形的面积为 .15. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：10位的回文数总共有 个.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离. （Ⅰ）试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程.（Ⅱ）是否存在过(4,2)N 的直线m ，使得直线m 被截得的弦AB 恰好被点N 所平分？17.（本小题满分13分）将边长为1的正三角形ABC 按如图所示的方式放置，其中顶点A 与坐标原点重合.记边AB 所在直线的倾斜角为θ，已知0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）试用θ表示BC 的坐标（要求将结果化简为形如(cos ,sin )αα的形式）；（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点()11,P x y 、()22,Q x y ，称1212x x y y -+-为P 、Q 两点间的“taxi 距离” ，并用符号PQ 表示.试求BC 的最大值.18.（本小题满分13分）已知12310,,,,A A A A 等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12. （Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；（Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同学决定按12310,,,,A A A A 顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用ξ的分布列及数学期望.19. （本小题满分13分）如图，侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，13AA AB AC ++=，(0)AB AC t t ==>，P 是侧棱1AA 上的动点.C 11C（Ⅰ）当1AA AB AC ==时，求证：11AC ABC ⊥平面； （Ⅱ）试求三棱锥1P BCC -的体积V 取得最大值时的t 值；（Ⅲ）若二面角1A BC C --的平面角的余弦值为10，试求实数t 的值. 20.（本小题满分14分）已知()0xf x x e =⋅，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x -'=（n N *∈）.(Ⅰ)请写出()n f x 的表达式（不需证明）； (Ⅱ)设()n f x 的极小值点为(),n n n P x y ，求n y ；(Ⅲ)设()()22188n g x x n x n =--+-+， ()n g x 的最大值为a ，()n f x 的最小值为b ，试求a b -的最小值.21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换若二阶矩阵M 满足127103446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求二阶矩阵M ；（Ⅱ）把矩阵M 所对应的变换作用在曲线223861x xy y ++=上，求所得曲线的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y θθ=⎧⎨=⎩（t 为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()4πρθ-=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数t ，使得直线l 与曲线C 有两个不同的公共点A 、B ，且10OA OB ⋅=（其中O 为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由.（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()24f x x x =-+-的最小值为m ，实数,,,,,a b c n p q 满足222222a b c n p q m++=++=. （Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求证：4442222n p q a b c++≥．参考解答及评分标准一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1． A 2．B 3．C 4．A 5．C6． D 7．C 8．D 9．B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．33 12．1 13. ．5415．90000三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，所以点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线1x =-为准线的抛物线， ………………2分 其方程为24y x =. ………………5分（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分①当直线m 的斜率不存在时，不合题意. ………………7分②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为2(4)y k x -=-，………8分联立方程组22(4)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去y ，得2222(844)(24)0k x k k x k --++-=，（*） ………………9分∴21228448k k x x k-++==，解得1k =. ………………10分 此时，方程（*）为2840x x -+=，其判别式大于零， ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分 且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分解法二：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分易判断直线m 不可能垂直y 轴， ………………7分 ∴设直线m 的方程为4(2)x a y -=-，………8分联立方程组24(2)4x a y y x-=-⎧⎨=⎩，消去x ，得248160y ay a -+-=， ………………9分∵216(1)480a ∆=-+>,∴直线与轨迹C 必相交. ………………10分 又1244y y a +==，∴1a =. ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分解法三：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分∵1122(,),(,)A x y B x y 在轨迹C 上，∴有2112224142y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩（）（），将(1)(2)-，得2212124()y y x x -=-. ………8分当12x x =时，弦AB 的中点不是N ，不合题意， ………9分 ∴12121241y y x x y y -==-+，即直线AB 的斜率1k =, ………10分注意到点N 在曲线C 的张口内（或：经检验，直线m 与轨迹C 相交）…11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分17. 本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：（Ⅰ）解法一：因为()cos ,sin B θθ，cos ,sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……2分 所以cos cos ,sin sin 33BC ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭………3分 22cos ,sin 33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………7分 解法二：平移BC 到AD （B 移到A ，C 移到D ），………2分由BC 的坐标与AD 的坐标相等，都等于点D 的坐标. ………3分 由平几知识易得直线AD 的倾斜角为23πθ+， ∵||1AD =，∴根据三角函数的定义可得22cos ,sin 33D ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以22cos ,sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………7分（Ⅱ）解法一：22cos sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………8分∵0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22[,]33ππθπ+∈， ………9分 ∴22cos sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭………11分 512πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………12分所以当12πθ=时，BC ………13分解法二： cos cos sin sin 33BC ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………8分 ∵03πθ≤≤，∴2333πππθπ≤+≤<，即03πθθπ≤<+<， ∴cos cos cos cos()33ππθθθθ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭. ………9分 ∵03πθ≤≤，∴()232πππθθ-≥+-，∴sin sin sin sin 33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ………10分 ||||BC =cos cos()3πθθ-++sin sin 3πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭5sin()cos())6612πππθθθ=+++=+, ………12分所以当12πθ=时，BC ………13分18. 本题主要考查概率与统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因为该同学通过各校考试的概率均为12，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为2821011122P C ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭451024=. ………4分（Ⅱ）设该同学共参加了i 次考试的概率为i P （110,i i Z ≤≤∈）.∵91,19,21,102i i i i Z P i ⎧≤≤∈⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴所以该同学参加考试所需费用ξ的分布列如下：………7分 所以2991111(12910)2222E a ξ=⨯+⨯++⨯+⨯， ………8分 令29111129222S =⨯+⨯++⨯, …（1） 则2391011111128922222S =⨯+⨯++⨯+⨯, …（2） 由（1）-（2）得291011111922222S =+++-⨯，所以2891111192222S =++++-⨯， ………11分所以289911111191022222E a ξ⎛⎫=++++-⨯+⨯ ⎪⎝⎭911122a ⎛⎫=+++⎪⎝⎭10112112a -=-101212a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1023512a =(元). ………13分 19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.解：（Ⅰ）证法一：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵1AA AC =，∴四边形11AAC C 是正方形， ∴11AC AC ⊥. ………1分∵11111,,,,AB AC AB AA AA AC AAC C AA AC A ⊥⊥⊂=平面，∴11AB AAC C ⊥平面. ………2分又∵111AC AAC C ⊂平面, ∴1AB AC ⊥. ………3分 ∵111,,AB AC ABC ABAC A ⊂=平面,∴11AC ABC ⊥平面. ………4分 证法二：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵AB AC ⊥，∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. ……1分 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ，11(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==， ∴1110,0AC AC AC AB ⋅=⋅=， …2分 ∴111,AC AC AC AB ⊥⊥. …3分 又∵111,,AB AC ABC ABAC A ⊂=平面∴11AC ABC ⊥平面. …4分 证法三：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥.又∵AB AC ⊥，∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. ……1分 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ,11(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==. 设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =，则100n AC y z n AB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得0x y z =⎧⎨=-⎩.令1z =，则(0,1,1)n =-， ……3分∵1AC n =-, ∴11AC ABC ⊥平面. ……4分 （Ⅱ）∵111AA BB C C 平面，∴点P 到平面11BB C C 的距离等于点A 到平面11BB C C 的距离 ∴1112231113(32)(0)6232P BCC A BCC C ABC V V V V t t t t t ---====-=-<<, …5分 '(1)V t t =--，令'0V =，得0t =（舍去）或1t =，∴当1t =时，max 6V =. …8分 （Ⅲ）分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(0,,32),(,0,0),(0,,0),(0,0,32)A C t t B t C t A t --,11(0,,23),(0,,32),(,0,0)AC t t AC t t AB t =-=-=， 1(0,0,32)CC t =-，(,,0)BC t t =-. ……9分设平面1ABC 的法向量1111(,,)n x y z =，则111111(32)00n AC ty t z n AB tx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩，解得111023x t y z t =⎧⎪⎨-=⎪⎩,令1z t =，则1(0,23,)n t t =-. …10分 设平面1BCC 的法向量2222(,,)n x y z =，则2222120(32)0n BC tx ty n CC t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩. 由于302t <<，所以解得2220x y z=⎧⎨=⎩.令21y =，则2(1,1,0)n =. …11分 设二面角1A BC C --的平面角为θ，则有1212|||cos |||||2n n n n θ⋅===⋅.化简得2516120t t -+=,解得2t =（舍去）或65t =. 所以当65t =时，二面角1A BC C --的平面角的余弦值为10. …13分 20. 本题主要考查函数、导数、数列以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．满分14分．解：(Ⅰ)()()xn f x x n e =+⋅ （n N *∈）. ……4分(Ⅱ)∵()()1xn f x x n e '=++⋅，∴当()1x n >-+时，()0n f x '>；当()1x n <-+时，()0n f x '<. ∴当()1x n =-+时，()n f x 取得极小值()()()11n n f n e -+-+=-，即()1n n y e -+=-（n N *∈）. ……8分 (Ⅲ) 解法一：∵()()()()2213n g x x n n =-+++-，所以()2((1))3n a gn n =-+=-.……9分 又()()()11n n b f n e -+=-+=-，∴()()213n a b n e-+-=-+，令()()()()2130x h x x ex -+=-+≥，则()()()123x h x x e -+'=--. ……10分∵()h x '在[)0,+∞单调递增，∴()()106h x h e -''≥=--， ∵()430h e-'=-<，()5420h e -'=->，∴存在()03,4x ∈使得()00h x '=. ……12分 ∵()h x '在[)0,+∞单调递增，∴当00x x ≤<时，()00h x '<；当0x x >时，()00h x '>， 即()h x 在[)0,x +∞单调递增，在[)00,x 单调递减，∴()()()0minh x h x =，又∵()43h e -=，()541h e -=+，()()43h h >， ∴当3n =时，a b -取得最小值4e -. ……14分 解法二： ∵()()()()2213n g x x n n =-+++-，所以()2((1))3n a g n n =-+=-.……9分又()()()11n n b f n e -+=-+=-， ∴()()213n a b n e -+-=-+，令()()213n n c n e-+=-+，则1211125n n n n c c n e e +++-=-+-，……10分当3n ≥时，1211125n n n n c c n ee+++-=-+-，又因为3n ≥，所以251n -≥，210n e+>，1101n e+<<，所以2111250n n n e e ++-+->，所以1n n c c +>.……12分又1232341114,1,c c c e e e=+=+=，123c c c >>，∴当3n =时，a b -取得最小值4e -. ……14分21.（1）选修4—2:矩阵与变换本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）记矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2A =-，故1213122A --⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭. ……2分 由已知得121710710123146461122M A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……3分 （Ⅱ）设二阶矩阵M 所对应的变换为1211x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy x y '=+⎧⎨'=+⎩， 解得2x x y y x y ''=-+⎧⎨''=-⎩， ……5分又223861x xy y ++=，故有223(2)8(2)()6()1x y x y x y x y ''''''''-++-+-+-=，化简得2221x y ''+=.故所得曲线的方程为2221x y +=. ……7分（2）选修4—4:坐标系与参数方程 本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）∵0t ≠，∴可将曲线C 的方程化为普通方程：2224x y t+=. ……1分①当1t =±时，曲线C 为圆心在原点，半径为2的圆； ……2分 ②当1t ≠±时，曲线C 为中心在原点的椭圆. ……3分 （Ⅱ）直线l 的普通方程为：40x y -+=. ……4分联立直线与曲线的方程，消y 得222(4)4x x t++=，化简得2222(1)8120t x t x t +++=.若直线l 与曲线C 有两个不同的公共点，则422644(1)120t t t ∆=-+⋅>，解得23t >. ……5分又22121222812,,11t t x x x x t t+=-=++ ……6分 故12121212(4)(4)OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++121224()1610x x x x =+++=.解得23t =与23t >相矛盾. 故不存在满足题意的实数t . ……7分（3）选修4—5；不等式选讲本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）法一： 26(4)()242(24)26(2)x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-+≤⎩，……2分 可得函数的最小值为2.故2m =. ……3分法二：()24(2)(4)2f x x x x x =-+-≥---=， ……2分 当且仅当24x ≤≤时，等号成立，故2m =. ……3分（Ⅱ） 222222222[()()()]()n p q a b c a b c++⋅++2222()n p q a b c a b c ≥⋅+⋅+⋅ ……5分即：444222()2n p q a b c ++⨯≥2222()4n p q ++=,故4442222n p q a b c++≥. ……7分。
福建省泉州市2021届高三数学毕业班单科质量检查试题 理(含解析)
福建省泉州市2021届高三数学毕业班单科质量检查试题 理（含解析）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时，将答案答在答题卡上.请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效.3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚.4.保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}2|0,|1M x x x N x x =-<=>，则（ ）A. M N ⊆B. N M ⊆C. M N =RD.M N ⋂=∅【答案】D 【解析】 【分析】解一元二次不等式求得集合M ，由此判断出正确选项.【详解】由()210x x x x -=-<解得01x <<，故{}|01M x x =<<，由于{}|1N x x =>，所以M N ⋂=∅. 故选：D.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查集合的包含关系，考查集合的运算，属于基础题.2.若复数z 满足(1)23z i i -=+，则z =（ ） A. 1522i -- B. 15i 22-+ C.5122i - D.5122i + 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算,求得z .再根据共轭复数的概念即可求得z .【详解】()123z i i -=+，223(23)(1)253151(1)(1)222i i i i i z i i i i +++++∴====-+--+. 因此，1522z i =--. 故选：A.【点睛】本题考查了复数的除法运算，共轭复数的概念，属于基础题.3.若,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则42z x y =+的最小值为（ ）A. -17B. -13C.163D. 20【答案】B 【解析】 【分析】根据线性约束条件画出可行域，将目标函数化为直线22zy x =-+，由直线的平移即可求得该直线在y 轴截距最小时对应的最优解，代入42z x y =+计算即可.【详解】,x y 满足约束条件203102x y x y y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩,由此可得可行域如下图所示:该可行域是一个以1,23A ⎛⎫ ⎪⎝⎭,(4,2)B ,37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭为顶点的三角形区域（包括边界）.目标函数42z x y =+可化为22z y x =-+当动直线22z y x =-+过点37,22C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭时，z 取得最小值， 此时min 37421322z ⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 故选：B.【点睛】本题考查了线性规划的简单应用，线性目标函数最值的求法，属于基础题. 4.已知,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不重合的平面.给出下列四个命题： ①若//,m αββ⊂，则//m α；②若//,m n n α⊂，则//m α； ③若,m αβα⊥⊂，则m β⊥；④若//,m m αβ⊥，则αβ⊥. 其中为真命题的编号是（ ） A. ①②④ B. ①③C. ①④D. ②④【答案】C 【解析】 【分析】由面面平行的性质可判断①；对于②, m 可能在α内；对于③,由面面垂直无法判断线面的位置关系；在平面α内找到直线1m 使得1//m m ,即可判断④ 【详解】①中,若//αβ,则β内任一直线与α平行,①为真命题； ②中,若//,m n n α⊂,则m 可能平行于α,也可能在α内,②为假命题；③中,若,m αβα⊥⊂,则m 可能垂直于β,也可能平行于β,也可能与β相交但不垂直,③假命题；④中,若//m α,则可在α内作一直线1m 使1//m m ,又因为m β⊥,所以1m β⊥,又1m α⊂,则αβ⊥,④为真命题； 综上,①④为真命题, 故选:C【点睛】本题考查线面、面面的空间位置关系的判定,属于基础题 5.函数()2ln f x x x =的图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】D 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，判定函数的奇偶性及单调性即可得解. 【详解】解：()2ln f x x x =定义域为()(),00,-∞⋃+∞()()()()22ln ln f x x x x xf x ∴-=--=-=-即函数()f x 是奇函数，图象关于原点对称，由0x ≠，()f x 为奇函数，排除B ；又120e ef ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，排除C ； 当0x >时，()2ln 2f x x '=+，令()2ln 20f x x '=+=，解得1ex =， 所以函数在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，排除A ； 故选：D【点睛】本题考查函数图象的识别，关键是函数的奇偶性，单调性的应用，属于基础题.6.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的实轴长为4，左焦点F 到C 的一条渐近线的距离为3，则C 的方程为（ ）A. 22123x y -=B. 22143x y -= C. 22149x y -=D.221169x y -=【答案】C 【解析】 【分析】根据实轴得到a 的值，然后表示出渐近线，表示出焦点到渐近线的方程，得到b ，从而得到C 的方程.【详解】因为实轴长24a =，所以2a =，(),0F c -， 由对称性，双曲线的一个焦点到两条渐近线的距离相等， 不妨取渐近线为by x a=，即0bx ay -=， 点(),0F c -到渐近线的距离()220b c bcd b ca b ⋅--===+， 所以3b =，所以C 的方程为22149x y -=，故选：C.【点睛】本题考查点到直线的距离，利用双曲线的几何性质求双曲线的方程，属于简单题. 7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A. -1010B. -1009C. 1009D. 1010【答案】D 【解析】 【分析】根据程序框图,先计算出N 和T 的含义,再根据S N T =-即可求得输出值.或利用等差数列的求和公式求解.【详解】依题意：得1352019N =+++⋯+,02462018T =++++⋯+. 解法一：(10)(32)(54)(20192018)1010S N T =-=-+-+-++-=,故选:D. 解法二：(12019)1010101010102N +⨯==⨯,(02018)1010100910102T +⨯==⨯,所以10101010101010091010(10101009)1010S N T =-=⨯-⨯=⨯-=, 故选:D.【点睛】本题考查了程序框图的简单应用,数列求和公式的应用,属于中档题.8.明代朱载堉创造了音乐学上极为重要的“等程律”．在创造律制的过程中，他不仅给出了求解三项等比数列的等比中项的方法，还给出了求解四项等比数列的中间两项的方法．比如，若已知黄钟、大吕、太簇、夹钟四个音律值成等比数列，则有大吕大吕太簇据此，可得正项等比数列{}n a 中，k a =（ ）A. n k -B. n -C.D.【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可得三项等比数列的中项可由首项和末项表示，四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示，从而类比出正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示. 【详解】因为三项等比数列的中项可由首项和末项表示， 四项等比数列的第2、第3项均可由首项和末项表示， 所以正项等比数列{}n a 中的k a 可由首项1a 和末项n a 表示，因为11n n a a q -=，所以=q所以11=k k a a -⎛ ⎝1111=k n n a a a --⎛⎫ ⎪⎝⎭1111=n k k n n na a ----⋅=.故选：C.【点睛】本题以数学文化为背景，考查类比推理能力和逻辑推理能力，求解时要先读懂题目的文化背景，再利用等比数列的通项公式进行等价变形求解.9.已知抛物线E ：28x y =的焦点为F ，过F 的直线l 与E 交于A ，B 两点，与x 轴交于点C .若A 为线段CF 的中点，则AB =（ ） A. 9 B. 12C. 18D. 72【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据A 为线段CF 的中点，得到A 坐标，从而得到直线AF ，与抛物线联立得到12x x +，从而得到12y y +，利用抛物线焦点弦公式，得到AB 的长；解法二：延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ，过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，由DMA DNB ∆∆∽，得到AM AD BNDB=，得到BF ，再根据3AF AM ==，得到AB 的长.【详解】依题意得4p =，焦点()0,2F ， 如图，因为A 为线段CF 的中点，所以1A y =，代入抛物线方程得到A x =-所以()A -， 解法一：4AF k ==， 所以直线AF的方程为2y x =+， 将其代入28x y =，得2160x --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1222x x +=，()12121222222242245y y x x x x ⎛⎫⎛⎫+=+++=++=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以12549AB y y p =++=+=， 故选：A.解法二：（几何法）延长BC 交准线2y =-于D ，过点A 作AM 垂直准线交准线于M ， 过点B 作BN 垂直准线交准线于N ，准线与y 轴交于点H ，FDH ∆中原点O 是线段FH 的中点，所以点C 是线段DF 的中点.易得4FH =，3AM AF AC ===，39AD AC ==，设BF BN k ==， 因为DMA DNB ∆∆∽， 所以AM AD BNDB=，即3912k k=+， 解得6k =，因此369AB =+=， 故选：A.【点睛】本题考查抛物线的几何性质，求抛物线的焦点弦的长，属于中档题.10.已知log e a π=，ln eb π=，2e lnc π=，则（ ）A. a b c <<B. b c a <<C. b a c <<D.c b a <<【答案】B 【解析】 【分析】因为1b c +=，分别与中间量12做比较，作差法得到12b c <<，再由211log e log e 22a ππ==>，最后利用作差法比较a 、c 的大小即可.【详解】解：因为1b c +=，分别与中间量12做比较，2223111ln ln e ln 022e 2e b ππ⎛⎫-=-=< ⎪⎝⎭，432211e 1e ln ln e ln 0222c ππ⎛⎫-=-=> ⎪⎝⎭，则12b c <<，211log e log e 22a ππ==>，()112ln ln 20ln ln a c ππππ-=--=+->，所以b c a <<， 故选：B .【点睛】本题考查作差法比较大小，对数的运算及对数的性质的应用，属于中档题.11.在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：40kx y k -+=与曲线y =A ，B 两点，且2AO AB ⋅=，则k =（ ）B.2C. 1【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程得到l 过定点()4,0P -，过圆心O 作OM l ⊥于M ，由2AO AB ⋅=，得到2AB =，再利用弦长公式，得到k 的值，从而得到答案.【详解】直线40kx y k -+=，即()40k x y ++=，所以直线l过定点()4,0P-，曲线29y x=-是圆心为原点，半径3r=的上半圆.过圆心O作OM l⊥于M，即122AO AB AM AB AB AB⋅=⋅=⋅=，所以2AB=，圆心到直线l的距离()222411kdkk==++-，2222422921kAB r dk⎛⎫=-=⨯-=⎪+⎝⎭，解得1k=±，因为曲线29y x=-是上半圆，结合图像可得0k>，所以1k=.故选C.【点睛】本题考查向量的数量积的几何意义，根据弦长求参数的值，考查数形结合的思想，属于中档题.12.已知正三棱柱111ABC A B C-的所有棱长都为3，D是11B C的中点，E是线段1A D上的动点.若三棱锥E ABC-的四个顶点都在球O的球面上，则球O表面积的取值范围为（）A.218,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.27316,16ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.273,2116ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.[16,21]ππ【答案】D【解析】由题可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,设球O 的半径为R ,1O E x =,1O O y =,则222222R OA O A O O ==+且222211R OE O E O O ==+,易得23O A =,则222R x y =+,()()22233R y =+-,可得2126x y =-,代入222R x y =+中,则()2233R y =-+,由x 的范围可得y 的范围,即可得到2R 的范围,进而求得球的表面积的范围【详解】如图所示,依题意可知,三棱锥E ABC -的外接球的球心O 在上底面等边111A B C ∆的中心1O 与下底面等边ABC ∆的中心2O 的连线的线段12O O 上,连接OA 、OE ,设OA OE R ==,1O E x =,1O O y =；在1Rt OO E ∆中,22211OE O E O O =+得222R x y =+；在2Rt AOO ∆中,2233332O A =⨯=23OO R =-, 由22222OA O A O O =+得2223)(3)R y =+-；由222R x y =+和2223)(3)R y =+-得22223)(3)y x y +-=+整理得2126x y =-,所以222612(3)3R y y y =-+=-+,又因为03x ≤≤322y ≤≤； 当2y =时,2R 的最小值为4；当32y =时,2R 的最小值为214；所以22144R ≤≤, 由球O 的表面积24S R π=得1621S ππ≤≤,【点睛】本题考查棱锥的外接球的表面积问题,考查空间想象能力 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量(),2a x =，()2,1b =，且//a b ，则a =______【答案】【解析】 【分析】根据向量共线的公式求解得4x =,再根据模长公式求解即可.【详解】由//a b 得，1220x ⋅-⨯=，即4x =，所以2||42a =+==故答案为：【点睛】本题主要考查了向量的平行公式与模长公式,属于基础题型.14.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.若120n n a a +-=，593S =，则5a =______. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可知，数列{}n a 是以12为公比的等比数列，利用593S =结合等比数列求和公式可求出1a 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出5a 的值.【详解】120n n a a +-=，112n n a a +∴=，所以，数列{}n a 是以12为公比的等比数列， 1551113129311612a S a ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴===-，解得148a =，因此，45111483216a a ⎛⎫=⨯=⨯= ⎪⎝⎭.故答案为：3.【点睛】本题考查等比数列中的项的计算，同时也涉及了等比数列的定义以及等比数列求和公式的应用，考查计算能力，属于基础题.15.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()13f x f x +=；当(]0,1x ∈时，()()ln 2f x x =+，则()()0e f f +-=__________.【答案】9- 【解析】 【分析】由()f x 是定义在R 上的奇函数()()f e f e -=-，()00f =，再依题意求出()f e 即可得解. 【详解】解：因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()()f e f e -=-，()00f =， 又23e <<，021e <-<，所以()()()()31929ln 229f e f e f e e =-=-=-+=， 故()()09f f e +-=-. 故答案为：9-【点睛】本题考查函数值的计算，函数的奇偶性的应用，属于基础题. 16.若函数()sin()(0)6f x x πωω=+>在(,)2ππ单调，且在(0,)3π存在极值点，则ω的取值范围为___________ 【答案】413ω<≤ 【解析】 【分析】先通过函数()f x 在(0,)3π存在极值点，求出ω的范围，再根据在(,)2ππ单调，求出k 和ω之间的不等关系，再结合已求出的ω的范围，得最终ω的范围.【详解】解：因为函数()f x 在(0,)3π存在极值点，所以362πππω+>，即1ω>，当,,,26266x x ππωππππωωπ⎛⎫⎛⎫∈+∈++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又()f x 在(,)2ππ单调，所以3,,()26622k k k N ωπππππωπππ⎛⎫⎛⎫++⊆++∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即262362k k ωππππππωππ⎧+≥+⎪⎪⎨⎪+≤+⎪⎩，解得24233k k ω+≤≤+，只能取0k =，即2433ω≤≤， 综上，413ω<≤，故答案为：413ω<≤.【点睛】本题考查三角函数的单调性和极值问题，关键是要建立关于k和ω之间的不等关系，是中档题.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，四棱锥P ABCD-的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，AE PD⊥.（1）证明：AE⊥平面PCD；（2）若AP AB=，求二面角B PC D--的余弦值. 【答案】（1）证明见解析（2）12-【解析】【分析】（1）由PA⊥平面ABCD及底面ABCD是正方形可证得CD⊥平面PAD,则CD AE⊥,又由AE PD⊥,即可求证；（2）以A为原点,分别以AB AD AP、、所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A xyz-,由（1）可知AE为平面PCD的一个法向量,求得平面PBC的一个法向量m,进而利用数量积求解即可【详解】（1）证明:因为PA⊥平面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA CD⊥,因为底面ABCD是正方形,所以AD CD⊥,又PA AD A⋂=,所以CD⊥平面PAD,因为AE⊂平面PAD,所以CD AE⊥,又因,AE PD CD PD D⊥⋂=,,CD PD⊂平面PCD,所以AE⊥平面PCD（2）因为PA⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形,所以,,PA AB PA AD AB AD⊥⊥⊥,以A为原点,分别以AB AD AP、、所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系A xyz-（如图所示）,设1==PA AB ,则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,1,0),(0,0,1)A B C D P,因为AE PD⊥,所以E为PD中点,所以110,,22E⎛⎫⎪⎝⎭,所以11(1,0,1),(1,1,1),0,,22PB PC AE⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭,由（1）得110,,22AE⎛⎫= ⎪⎝⎭为平面PCD的一个法向量,设平面PBC的一个法向量为(),,m x y z=,由PB mPC m⎧⋅=⎨⋅=⎩,即x zx y z-=⎧⎨+-=⎩,令1x=,则1,0z y==,所以()1,0,1m=,因此112cos,2122m AEm AEm AE⋅〈〉===⋅⨯,由图可知二面角B PC D--的大小为钝角,故二面角B PC D--的余弦值为12-【点睛】本小题考查线面垂直的判定与性质、二面角的求解及空间向量的坐标运算等基础知识,考查空间想象能力及运算能力18.记n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知0n a >，2634n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）设2211n n n n n a a b a a +++=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）31n a n =+（2）()92434n nT n n =++【解析】 【分析】 （1）根据11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，作差可得2211633n n n n n a a a a a --=+--，再对其因式分解，即可得到13n n a a --=，最后根据等差数列的通项公式计算可得. （2）由（1）可得n b 的通项公式，再用分组求和及裂项相消法求和.【详解】解：（1）当1n =时，2111634S a a =+-，所以14a =或1-（不合，舍去）. 因为2634n n n S a a =+-①，所以当2n 时，2111634n n n S a a ---=+-②，由①－②得2211633n n n n n a a a a a --=+--， 所以()()1130n n n n a a a a --+--=. 又0n a >，所以13n n a a --=.因此{}n a 是首项为4，公差为3的等差数列. 故()43131n a n n =+-=+.（2）由（1）得()()()()22313433231343134n n n b n n n n +++==+-++++， 所以333333222471031347n T n n =+-++-+++-++ ()333333922477103134434nn n n n n ⎛⎫=+-+-++-=+ ⎪+++⎝⎭【点睛】本小题主要考查递推数列、等差数列的通项公式与数列求和等基础知识，考查推理论证能力与运算求解能力等，考查化归与转化思想、特殊与一般思想等，体现基础性，导向对发展逻辑推理、数学运算等核心素养的关注. 19.ABC ∆中，60,2,B AB ABC ==∆的面积为23. （1）求AC（2）若D 为BC 的中点，,E F 分别为边,AB AC 上的点（不包括端点），且120EDF ∠=，求DEF ∆面积的最小值.【答案】（1）23;（2）633- 【解析】 【分析】 （1）利用1sin 2ABCAB B SBC =⋅⋅⋅求出BC ，再利用余弦定理求AC 即可； （2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，在BDE 中，利用正弦定理表示出DE ，在CDF 中，利用正弦定理表示出DF ，再将DEF 的面积表示出来，利用三角函数的性质求其最小值.【详解】解：（1）因为60,2,B AB ==所以1133sin 222ABCAB BC B BC B S C =⋅⋅⋅=⨯⨯⋅=， 又23ABCS=，所以4BC =，由余弦定理得：2222212cos 24224122AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=， 所以23AC =；（2）设(),0,60BDE θθ︒︒∠=∈，则60CDF θ︒∠=-，在BDE 中，由正弦定理得：sin sin BD DEBED B=∠，即()2sin 60θ︒=+，所以sin 60DE =+， 在CDF 中，由正弦定理得：sin sin CD DFCFD C=∠，由（1）可得22260,,30B BC AC AB C ︒=∴=+=，则()21sin 902DFθ︒+=，所以1cos DF θ=，所以()13sin 24sin 60cos DEFSDE DF EDF θθ︒=⋅⋅⋅∠=+⋅==当15θ︒=时，()()min sin 2601,6DEP Sθ︒+===-故DEF 的面积的最小值为6-.【点睛】本题考查正余弦定理的应用，三角形的面积公式以及三角函数性质的应用，是中档题.20.已如椭圆E ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为12，点2A ⎫⎪⎪⎭，在E 上. （1）求E 的方程：（2）斜率不为0的直线l 经过点1,02B ⎛⎫⎪⎝⎭，且与E 交于P ，Q 两点，试问：是否存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠？若存在，求C 的坐标：若不存在，请说明理由【答案】（1）22143x y +=（2）存在x 轴上的定点()8,0C ，使得PCB QCB ∠=∠【解析】 【分析】（1）根据椭圆离心率和过的点，得到关于a ，b 的方程组，解得a ，b 的值，从而得到椭圆的方程；（2）设存在定点C ，对称性可知设(),0C m ，根据PCB QCB ∠=∠，得到0PC QC k k +=，即得12120y y x m x m +=--，直线l 的方程为：12x ty =+与椭圆联立，得到12y y +，12y y ，从而得到m 和t 的关系式，根据对t ∈R 恒成立，从而得到m 的值.【详解】（1）因为椭圆E的离心率12e ==，所以2234a b =①，点2A ⎭椭圆上，所以223314a b+=②， 由①②解得24a =，23b =.故E 的方程为22143x y +=.（2）假设存在定点C ，使得PCB QCB ∠=∠. 由对称性可知，点C 必在x 轴上，故可设(),0C m .因为PCB QCB ∠=∠，所以直线PC 与直线QC 的倾斜角互补，因此0PC QC k k +=. 设直线l 的方程为：12x ty =+，()11,P x y ，()22,Q x y 由221,2143x ty x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去x ，得()22121612450t y ty ++-=， ()()()()222212412164514418012160t t t t ∆=-⨯+⨯-=+⨯+>，所以t ∈R ，所以122121216t y y t +=-+，122451216y y t =-+， 因为0PC QC k k +=，所以12120y y x m x m+=--， 所以()()12210y x m y x m -+-=，即122111022y ty m y ty m ⎛⎫⎛⎫+-++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 整理得()12121202ty y m y y ⎛⎫+-+=⎪⎝⎭，所以224511220121621216tt mt t-⎛⎫⎛⎫⨯-+-⨯=⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，即()21901221216t m tt⎛⎫-+--⎪⎝⎭=+.所以1901202t t m⎛⎫+-=⎪⎝⎭，即1901202m t⎡⎤⎛⎫+-=⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，对t∈R恒成立，即()96120m t-=对t∈R恒成立，所以8m=.所以存在定点()8,0C，使得PCB QCB∠=∠.【点睛】本小题主要考查椭圆的几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题，属于中档题.21.已知函数()()21e xf x x ax=++.（1）讨论()f x的单调性；（2）若函数()()21e1xg x x mx=+--在[)1,-+∞有两个零点，求m的取值范围.【答案】（1）答案不唯一，具体见解析（2）211em-<【解析】【分析】（1）首先求出函数的导函数因式分解为()()()11e xf x a xx=++'+，再对参数a分类讨论可得；（2）依题意可得()()21e xg x mx=+'-，当0m函数在定义域上单调递增，不满足条件；当0m>时，由（1）得()g x'在[)1,-+∞为增函数，因为()01g m'=-，()00g=.再对1m=，1m，01m<<三种情况讨论可得.【详解】解：（1）因为()()21xf x x ax e =++，所以()()221e xf x x a x a ⎡⎤=+++⎣⎦'+，即()()()11e xf x a x x =++'+.由()0f x '=，得()11x a =-+，21x =-.①当0a =时，()()21e 0x f x x =+'，当且仅当1x =-时，等号成立. 故()f x 在(),-∞+∞为增函数. ②当0a >时，()11a -+<-，由()0f x >′得()1x a <-+或1x >-，由()0f x <′得()11a x -+<<-； 所以()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数. ③当0a <时，()11a -+>-，由()0f x >′得()1x a >-+或1x <-，由()0f x <′得()11x a -<<-+； 所以()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. 综上，当0a =时，()f x 在为(),-∞+∞增函数；当0a >时，()f x 在()(),1a -∞-+，()1,-+∞为增函数，在()()1,1a -+-为减函数； 当0a <时，()f x 在(),1-∞-，()()1,a -++∞为增函数，在()()1,1a --+为减函数. （2）因为()()21e 1xg x x mx =+--，所以()()21e x g x m x =+'-，①当0m 时，()0g x '，()g x 在[)1,-+∞为增函数，所以()g x 在[)1,-+∞至多一个零点. ②当0m >时，由（1）得()g x '在[)1,-+∞为增函数. 因为()01g m '=-，()00g =.（ⅰ）当1m =时，()00g '=，0x >时，()0g x '>，10x -<<时，()0g x '<； 所以()g x 在[)1,0-为减函数，在[)0,+∞为增函数，()()min 00g x g ==. 故()g x 在[)1,-+∞有且只有一个零点.（ⅱ）当1m 时，()00g '<，()()210m g m e m m '=+->，()00,x m ∃∈，使得()00g x '=，且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数.所以()()000g x g <=，又()()()22221e 1110mg m m m m m =+-->+--=，根据零点存在性定理，()g x 在()0,x m 有且只有一个零点. 又()g x 在[)01,x -上有且只有一个零点0. 故当1m 时，()g x 在[)1,-+∞有两个零点.（ⅲ）当01m <<时，()01g m -'=-<，()00g '>，()01,0x ∃∈-，使得()00g x '=， 且()g x 在[)01,x -为减函数，在()0,x +∞为增函数. 因为()g x 在()0,x +∞有且只有一个零点0，若()g x 在[)1,-+∞有两个零点，则()g x 在[)01,x -有且只有一个零点. 又()()000g x g <=，所以()10g -即()2110eg m -=+-，所以21e m -，即当211em -<时()g x 在[)1,-+∞有两个零点. 综上，m 的取值范围为211em -< 【点睛】本小题主要考查导数的综合应用，利用导数研究函数的单调性、最值和零点等问题，考查抽象概括、推理论证、运算求解能力，考查应用意识与创新意识，综合考查化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想、有限与无限思想以及特殊与一般思想，考查数学抽象、逻辑推理、直观想象、数学运算、数学建模等核心素养.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.在同一平面直角坐标系xOy 中，经过伸缩变换2,x x y y''=⎧⎨=⎩后，曲线221:1C x y +=变为曲线2C .（1）求2C 的参数方程；（2）设()2,1A ，点P 是2C 上的动点，求OAP △面积的最大值，及此时P 的坐标．【答案】（1）2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）；（2）或(【解析】 【分析】（1）先利用伸缩变换求得曲线2C 的普通方程，再将普通方程转化为参数方程；（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，再利用点到直线的距离公式，求得距离的最大值，结合面积的最大值，求得点P 的坐标.【详解】（1）由伸缩变换2,x x y y ''=⎧⎨=⎩得到1,2.x x y y ⎧=⎪⎨⎪='⎩'……①将①代入221x y +=，得到221+=12x y ''（），整理得222:+=14x C y ''. 所以2C 的参数方程为2cos ,sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）．（2）设()()2cos ,sin 02πP ααα<≤，直线:20OA x y -=，则P 到直线OA的距离为d ==，所以111222OAP S OA d d =⋅==△≤当3π=4α或7π=4α时，OAP △， 此时P的坐标为2-或(2. 【点睛】本题考查伸缩变换、曲线普通方程与参数方程的互化、点的参数设法，考查转化与化归思想、数形结合思想的运用，考查运算求解能力. 23.已知函数1()||||f x x a x a=++-． （1）证明：()2f x ≥； （2）当12a =时，()f x x b +≥，求b 的取值范围．【答案】（1）证明见解析；（2）1(,]2-∞.【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式直接进行证明；（2）将函数()f x写成分段函数的形式，作出函数的图象，并观察图象求b的取值范围. 【详解】（1）1111()||||||||||2||||2f x x a x a a aa a a a=++-+=+⋅=≥≥；（2）312,,22151()2=,2,22232,2,2x xf x x x xx x⎧-+≤-⎪⎪⎪=++--<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩作出()f x的图象，如图由图，可知()f x x b+≥，当且仅当(2)2f b+≥，解得12b=，故b的取值范围为1(,]2-∞．【点睛】本题考查绝对值不等式的证明、参数取值范围的求解，考查数形结合思想的运用，考查运算求解能力.。
福建省泉州市普通中学2020届高中数学毕业班质量检查试题 理
泉州市普通高中毕业班质量检查理 科 数 学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），第Ⅱ卷第21题为选考题，其它题为必考题.本试卷共6页，满分150分.考试时间120分钟. 参考公式：样本数据1x 、2x 、…、n x 的标准差：s =x 为样本平均数； 柱体体积公式：V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高；锥体体积公式：13V Sh =，其中S 为底面面积，h 为高； 球的表面积、体积公式：24S R π=，343V R π=，其中R 为球的半径.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1. 复数()1i i +等于A ．1i -+B ．1i +C ．1i --D ．1i -2. 已知集合{}13A x x =<<，{}21log 2B x x =<<，则A B I 等于A.{}03x x << B.{}23x x << C.{}13x x << D.{}14x x <<3. 已知(2,1),(1,3)a b ==--r r ，则||a b -r r等于ABC ．5D ．254. 执行右侧框图所表达的算法，如果最后输出的S 值为12012，那么判断框中实数a 的取值范围是 A ．20112012a ≤< B ．20112012a <≤ C ．20112012a ≤≤ D ．20122013a ≤<5. 下列四个条件：①x ，y ，z 均为直线； ②x ，y 是直线，z 是平面；③x 是直线，y ，z 是平面；④x ，y ，z 均为平面. 其中，能使命题“,x y y z x z ⊥⇒⊥P ”成立的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个6. 已知实数,x y 满足2220,0,4,x y x y x y ⎧-+≥⎪+≥⎨⎪+≤⎩则2z x y =+的最大值是 A ．5 B ．-1 C ．2D.7. 已知二次函数2()f x ax bx =+，则“(2)0f ≥”是“函数()f x 在()1,+∞单调递增”的A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件8. 已知12,A A 分别为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12,A A 的点P 恒满足1249PA PA k k ⋅=-，则椭圆C 的离心率为A ．49 B ．23 C ．59D．39. 为调查某校学生喜欢数学课的人数比例，采用如下调查方法：（1）在该校中随机抽取100名学生，并编号为1,2,3， (100)（2）在箱内放置两个白球和三个红球，让抽取的100名学生分别从箱中随机摸出一球，记住其颜色并放回；（3）请下列两类学生举手：（ⅰ）摸到白球且号数为偶数的学生；（ⅱ）摸到红球且不喜欢数学课的学生.如果总共有26名学生举手，那么用概率与统计的知识估计，该校学生中喜欢数学课的人数比例大约是A.88%B. 90%C. 92%D.94%10. 函数的图象与方程的曲线有着密切的联系，如把抛物线2y x =的图象绕原点沿逆时针方向旋转90o就得到函数2y x =的图象.若把双曲线2213x y -=绕原点按逆时针方向旋转一定角度θ后，能得到某一个函数的图象，则旋转角θ可以是A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．将答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知等差数列}{n a 中, 51a =,322a a =+,则11S = . 12. 一个三棱锥的正视图和侧视图及其尺寸如图所示，则该三棱锥俯视图的面积为 .123侧视图正视图13. 在ABC V中，60,B AC ==oABC V 周长的最大值为 .14. 已知{}()(),min ,a b a a b a b b ≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，设()31min ,f x x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，则由函数()f x 的图象与x 轴、直线x e =所围成的封闭图形的面积为 .15. 数学与文学之间存在着许多奇妙的联系. 诗中有回文诗，如：“云边月影沙边雁，水外天光山外树”，倒过来读，便是“树外山光天外水，雁边沙影月边云”，其意境和韵味读来真是一种享受！数学中也有回文数，如：88，454，7337，43534等都是回文数，无论从左往右读，还是从右往左读，都是同一个数，称这样的数为“回文数”，读起来还真有趣！二位的回文数有11，22，33，44，55，66，77，88，99，共9个；三位的回文数有101，111，121，131，…，969，979，989，999，共90个； 四位的回文数有1001，1111，1221，…，9669，9779，9889，9999，共90个； 由此推测：10位的回文数总共有 个.三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分13分)已知点(1,0)F ，直线:1l x =-，动点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离. （Ⅰ）试判断点P 的轨迹C 的形状，并写出其方程.（Ⅱ）是否存在过(4,2)N 的直线m ，使得直线m 被截得的弦AB 恰好被点N 所平分？17.（本小题满分13分）将边长为1的正三角形ABC 按如图所示的方式放置，其中顶点A 与坐标原点重合.记边AB 所在直线的倾斜角为θ，已知0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）试用θ表示BC uuu r的坐标（要求将结果化简为形如(cos ,sin )αα的形式）；（Ⅱ）定义：对于直角坐标平面内的任意两点()11,P x y 、()22,Q x y ，称1212x x y y -+-为P 、Q 两点间的“taxi 距离” ，并用符号PQ 表示.试求BC 的最大值.18.（本小题满分13分）已知12310,,,,A A A A L 等10所高校举行的自主招生考试，某同学参加每所高校的考试获得通过的概率均为12. （Ⅰ）如果该同学10所高校的考试都参加，试求恰有2所通过的概率；（Ⅱ）假设该同学参加每所高校考试所需的费用均为a 元，该同学决定按12310,,,,A A A A L 顺序参加考试，一旦通过某所高校的考试，就不再参加其它高校的考试，试求该同学参加考试所需费用ξ的分布列及数学期望.19. （本小题满分13分）如图，侧棱垂直底面的三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，13AA AB AC ++=，(0)AB AC t t ==>，P 是侧棱1AA 上的动点.C 11C（Ⅰ）当1AA AB AC ==时，求证：11A C ABC ⊥平面； （Ⅱ）试求三棱锥1P BCC -的体积V 取得最大值时的t 值；（Ⅲ）若二面角1A BC C --的平面角的余弦值为10，试求实数t 的值. 20.（本小题满分14分）已知()0xf x x e =⋅，()()10f x f x '=，()()21f x f x '=，…，()()1n n f x f x -'=（n N *∈）.(Ⅰ)请写出()n f x 的表达式（不需证明）； (Ⅱ)设()n f x 的极小值点为(),n n n P x y ，求n y ；(Ⅲ)设()()22188n g x x n x n =--+-+， ()n g x 的最大值为a ，()n f x 的最小值为b ，试求a b -的最小值.21. 本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做，则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中.作（1）（本小题满分7分）选修4—2:矩阵与变换若二阶矩阵M 满足127103446M ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （Ⅰ）求二阶矩阵M ；（Ⅱ）把矩阵M 所对应的变换作用在曲线223861x xy y ++=上，求所得曲线的方程. （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 2sin x t y θθ=⎧⎨=⎩（t 为非零常数，θ为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，直线l 的方程为sin()4πρθ-=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程并说明曲线的形状；（Ⅱ）是否存在实数t ，使得直线l 与曲线C 有两个不同的公共点A 、B ，且10OA OB ⋅=u u u r u u u r（其中O 为坐标原点）？若存在，请求出；否则，请说明理由. （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数()24f x x x =-+-的最小值为m ，实数,,,,,a b c n p q 满足222222a b c n p q m ++=++=.（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）求证：4442222n p q a b c++≥．参考解答及评分标准一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分50分． 1． A 2．B 3．C 4．A 5．C6． D 7．C 8．D 9．B 10．C二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分20分.11．33 12．1 13. ．5415．90000三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 本小题考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因点P 到点F 的距离等于它到直线l 的距离，所以点P 的轨迹C 是以F 为焦点、直线1x =-为准线的抛物线， ………………2分 其方程为24y x =. ………………5分（Ⅱ）解法一：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分①当直线m 的斜率不存在时，不合题意. ………………7分②当直线m 的斜率存在时，设直线m 的方程为2(4)y k x -=-，………8分联立方程组22(4)4y k x y x-=-⎧⎨=⎩，消去y ，得2222(844)(24)0k x k k x k --++-=，（*） ………………9分∴21228448k k x x k -++==，解得1k =. ………………10分 此时，方程（*）为2840x x -+=，其判别式大于零， ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分 且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分解法二：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分易判断直线m 不可能垂直y 轴， ………………7分 ∴设直线m 的方程为4(2)x a y -=-，………8分联立方程组24(2)4x a y y x -=-⎧⎨=⎩，消去x ，得248160y ay a -+-=， ………………9分∵216(1)480a ∆=-+>,∴直线与轨迹C 必相交. ………………10分 又1244y y a +==，∴1a =. ………………11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分解法三：假设存在满足题设的直线m .设直线m 与轨迹C 交于1122(,),(,)A x y B x y ，依题意，得121284x x y y +=⎧⎨+=⎩. ………………6分∵1122(,),(,)A x y B x y 在轨迹C 上，∴有2112224142y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩L L （）（），将(1)(2)-，得2212124()y y x x -=-. ………8分当12x x =时，弦AB 的中点不是N ，不合题意， ………9分 ∴12121241y y x x y y -==-+，即直线AB 的斜率1k =, ………10分注意到点N 在曲线C 的张口内（或：经检验，直线m 与轨迹C 相交）…11分 ∴存在满足题设的直线m ………………12分且直线m 的方程为：24y x -=-即20x y --=. ………………13分17. 本小题主要考查三角函数的定义、两角和与差的三角函数公式、平面向量等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想．满分13分．解：（Ⅰ）解法一：因为()cos ,sin B θθ，cos ,sin 33C ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ……2分 所以cos cos ,sin sin 33BC ππθθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r ………3分22cos ,sin 33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ………7分解法二：平移BC uuu r 到AD u u u r（B 移到A ，C 移到D ），………2分由BC uuu r 的坐标与AD u u u r的坐标相等，都等于点D 的坐标. ………3分由平几知识易得直线AD 的倾斜角为23πθ+， ∵||1AD =u u u r ，∴根据三角函数的定义可得22cos ,sin 33D ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以22cos ,sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭u u u r . ………7分（Ⅱ）解法一：22cos sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………8分∵0,3πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴22[,]33ππθπ+∈， ………9分 ∴22cos sin 33BC ππθθ⎛⎫⎛⎫=-+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭………11分 512πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ………12分所以当12πθ=时，BC . ………13分解法二： cos cos sin sin 33BC ππθθθθ⎛⎫⎛⎫=+-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，………8分 ∵03πθ≤≤，∴2333πππθπ≤+≤<，即03πθθπ≤<+<， ∴cos cos cos cos()33ππθθθθ⎛⎫+-=-+ ⎪⎝⎭. ………9分 ∵03πθ≤≤，∴()232πππθθ-≥+-，∴sin sin sin sin 33ππθθθθ⎛⎫⎛⎫+-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ………10分 ||||BC =cos cos()3πθθ-++sin sin 3πθθ⎛⎫+- ⎪⎝⎭5sin()cos())6612πππθθθ=+++=+, ………12分所以当12πθ=时，BC . ………13分18. 本题主要考查概率与统计的基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用用意识，考查必然与或然思想、分类与整合思想等．满分13分．解：（Ⅰ）因为该同学通过各校考试的概率均为12，所以该同学恰好通过2所高校自主招生考试的概率为2821011122P C ⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭451024=. ………4分（Ⅱ）设该同学共参加了i 次考试的概率为i P （110,i i Z ≤≤∈）.∵91,19,21,102i i i i Z P i ⎧≤≤∈⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，∴所以该同学参加考试所需费用ξ的分布列如下：………7分所以2991111(12910)2222E a ξ=⨯+⨯++⨯+⨯L ， ………8分 令29111129222S =⨯+⨯++⨯L , (1)则2391011111128922222S =⨯+⨯++⨯+⨯L , …（2） 由（1）-（2）得291011111922222S =+++-⨯L ，所以2891111192222S =++++-⨯L ， ………11分所以289911111191022222E a ξ⎛⎫=++++-⨯+⨯ ⎪⎝⎭L 911122a ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭L 10112112a -=-101212a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭1023512a =(元). ………13分 19. 本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想及应用意识. 满分13分.解：（Ⅰ）证法一：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵1AA AC =，∴四边形11AAC C 是正方形， ∴11AC A C ⊥. ………1分∵11111,,,,AB AC AB AA AA AC AAC C AA AC A ⊥⊥⊂=I 平面， ∴11AB AAC C ⊥平面. ………2分又∵111AC AAC C ⊂平面, ∴1AB AC ⊥. ………3分 ∵111,,AB AC ABC AB AC A ⊂=I 平面, ∴11A C ABC ⊥平面. ………4分证法二：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥. 又∵AB AC ⊥，∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. ……1分 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ，11(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==u u u r u u u u r u u u r ， ∴1110,0AC AC AC AB ⋅=⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r ， …2分 ∴111,AC AC AC AB ⊥⊥u u u r u u u u r u u u r u u u r . …3分 又∵111,,AB AC ABC AB AC A ⊂=I 平面 ∴11A C ABC ⊥平面. …4分证法三：∵1AA ⊥面ABC ，∴1AA AC ⊥，1AA AB ⊥.又∵AB AC ⊥，∴分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. ……1分 则11(0,0,0),(0,1,1),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)A C B C A ,11(0,1,1),(0,1,1),(1,0,0)AC AC AB =-==u u u r u u u u r u u u r. 设平面1ABC 的法向量(,,)n x y z =r，则100n AC y z n AB x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩r u u u u r r u u u r，解得0x y z =⎧⎨=-⎩. 令1z =，则(0,1,1)n =-r， ……3分∵1AC n =-u u u r r , ∴11A C ABC ⊥平面. ……4分 （Ⅱ）∵111AA BB C C P 平面，∴点P 到平面11BB C C 的距离等于点A 到平面11BB C C 的距离 ∴1112231113(32)(0)6232P BCC A BCC C ABC V V V V t t t t t ---====-=-<<, …5分 '(1)V t t =--，令'0V =，得0t =（舍去）或1t =，∴当1t =时，max 6V =. …8分 （Ⅲ）分别以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系. 则11(0,0,0),(0,,32),(,0,0),(0,,0),(0,0,32)A C t t B t C t A t --,11(0,,23),(0,,32),(,0,0)AC t t AC t t AB t =-=-=u u u r u u u u r u u u r ， 1(0,0,32)CC t =-u u u u r，(,,0)BC t t =-u u u r . ……9分设平面1ABC 的法向量1111(,,)n x y z =u r，则111111(32)00n AC ty t z n AB tx ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅==⎪⎩u r u u u u r u r u u u r ，解得111023x t y z t =⎧⎪⎨-=⎪⎩,令1z t =，则1(0,23,)n t t =-u r. …10分 设平面1BCC 的法向量2222(,,)n x y z =u u r，则2222120(32)0n BC tx ty n CC t z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩u u r u u u r u u r u u u u r . 由于302t <<，所以解得2220x y z =⎧⎨=⎩.令21y =，则2(1,1,0)n =u u r. …11分设二面角1A BC C --的平面角为θ，则有1212|||cos|||||n nn nθ⋅===⋅u r u u ru r u u r.化简得2516120t t-+=,解得2t=（舍去）或65t=.所以当65t=时，二面角1A BC C--的平面角的余弦值为10. …13分20. 本题主要考查函数、导数、数列以及合情推理等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想及有限与无限思想．满分14分．解：(Ⅰ)()()xnf x x n e=+⋅（n N*∈）. ……4分(Ⅱ)∵()()1xnf x x n e'=++⋅，∴当()1x n>-+时，()0nf x'>；当()1x n<-+时，()0nf x'<.∴当()1x n=-+时，()nf x取得极小值()()()11nnf n e-+-+=-，即()1nny e-+=-（n N*∈）. ……8分(Ⅲ)解法一：∵()()()()2213ng x x n n=-+++-，所以()2((1))3na g n n=-+=-.……9分又()()()11nnb f n e-+=-+=-，∴()()213na b n e-+-=-+，令()()()()2130xh x x e x-+=-+≥，则()()()123xh x x e-+'=--. ……10分∵()h x'在[)0,+∞单调递增，∴()()106h x h e-''≥=--，∵()430h e-'=-<，()5420h e-'=->，∴存在()3,4x∈使得()00h x'=. ……12分∵()h x'在[)0,+∞单调递增，∴当0x x≤<时，()00h x'<；当x x>时，()00h x'>，即()h x在[),x+∞单调递增，在[)00,x单调递减，∴()()()0minh x h x =，又∵()43h e -=，()541h e -=+，()()43h h >， ∴当3n =时，a b -取得最小值4e -. ……14分 解法二： ∵()()()()2213n g x x n n =-+++-，所以()2((1))3n a g n n =-+=-.……9分又()()()11n n b f n e -+=-+=-，∴()()213n a b n e -+-=-+，令()()213n n c n e-+=-+，则1211125n n n n c c n e e +++-=-+-，……10分当3n ≥时，1211125n n n n c c n ee+++-=-+-，又因为3n ≥，所以251n -≥，210n e+>，1101n e+<<，所以2111250n n n e e ++-+->，所以1n n c c +>.……12分又1232341114,1,c c c e e e=+=+=，123c c c >>，∴当3n =时，a b -取得最小值4e -. ……14分21.（1）选修4—2:矩阵与变换本题主要考查矩阵、逆矩阵、曲线的线性变换等基础知识，考查运算求解能力及函数与方程思想.满分7分.解：（Ⅰ）记矩阵1234A ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故2A =-，故1213122A --⎛⎫⎪= ⎪-⎝⎭. ……2分 由已知得121710710123146461122M A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. ……3分 （Ⅱ）设二阶矩阵M 所对应的变换为1211x x y y '⎛⎫⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎪'⎝⎭⎝⎭⎝⎭，得2x x yy x y '=+⎧⎨'=+⎩， 解得2x x y y x y ''=-+⎧⎨''=-⎩， ……5分又223861x xy y ++=，故有223(2)8(2)()6()1x y x y x y x y ''''''''-++-+-+-=，化简得2221x y ''+=.故所得曲线的方程为2221x y +=. ……7分（2）选修4—4:坐标系与参数方程 本题主要考查曲线的参数方程、直线的极坐标方程等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想、分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）∵0t ≠，∴可将曲线C 的方程化为普通方程：2224x y t+=. ……1分①当1t =±时，曲线C 为圆心在原点，半径为2的圆； ……2分 ②当1t ≠±时，曲线C 为中心在原点的椭圆. ……3分 （Ⅱ）直线l 的普通方程为：40x y -+=. ……4分联立直线与曲线的方程，消y 得222(4)4x x t++=，化简得2222(1)8120t x t x t +++=.若直线l 与曲线C 有两个不同的公共点，则422644(1)120t t t ∆=-+⋅>，解得23t >.……5分又22121222812,,11t t x x x x t t+=-=++ ……6分 故12121212(4)(4)OA OB x x y y x x x x ⋅=+=+++u u u r u u u r121224()1610x x x x =+++=.解得23t =与23t >相矛盾. 故不存在满足题意的实数t . ……7分（3）选修4—5；不等式选讲 本题主要考查绝对值的几何意义、柯西不等式等基础知识，考查运算求解能力以及推理论证能力，考查函数与方程思想以及分类与整合思想.满分7分.解：（Ⅰ）法一： 26(4)()242(24)26(2)x x f x x x x x x -≥⎧⎪=-+-=<<⎨⎪-+≤⎩，……2分 可得函数的最小值为2.故2m =. ……3分法二：()24(2)(4)2f x x x x x =-+-≥---=， ……2分 当且仅当24x ≤≤时，等号成立，故2m =. ……3分（Ⅱ）Θ222222222[()()()]()n p q a b c a b c++⋅++2222()n p q a b c a b c ≥⋅+⋅+⋅ ……5分即：444222()2n p q a b c ++⨯≥2222()4n p q ++=,故4442222n p q a b c++≥. ……7分。
泉州市届普通中学高中毕业班单科质量检查理科数学
X 市202X 届一般中学高中毕业班单科质量检查理科数学一、本大题共10小题，每题 5分 ，共50分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的。
1.已知集合{11}A x x =-≤≤，2{20}B x x x =-≤，则()R A C B ⋂= 〔 〕 A.[1,0)- B.[1,0]- C.[0,1] D.(,1][2,)-∞⋃+∞2.设向量(1,2)a = ，(2,1)b =-，则以下结论中不正确的选项是( ) A ．a b a b -=+ B.()()a b a b -⊥+ C. a b = D. //a b3.阅读如下图的程序框图，运行相应的程序. 假设输出的S 为1112，则推断框中填写的内容可以是( )A. 6n =B.6n <C.6n ≤D. 8n ≤4.假设用,m n 表示两条不同的直线，用α表示一个平面，则以下命题正确的选项是 〔 〕 A.假设//,m n n α⊂，则//m α B.假设//,,m n αα⊂则//m n C.假设,,m n n α⊥⊂ 则m α⊥ D.假设,,m n αα⊥⊂ 则m n ⊥5.已知直线1:(1)20l m x y -++=，2:8(1)(1)0l x m y m +++-= ，则“3m =〞是“12//l l 〞的〔 〕A ．充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6.已知函数(1)f x -是定义在R 上的奇函数，且在[0,)+∞上是增函数，则函数()f x 的图象可能是〔 〕7.已知,m n 是满足1m n +=，且使14m n+取得最小值的正实数。
假设曲线x m y a n -=+ (01)a a >≠且恒过定点M ，则点Ｍ的坐标为 〔 〕A ．1533（，） B ．4655（，） C ．1955（，） D ．1233（，）8．在平面直角坐标系中，以点-13C （，）为圆心的圆与双曲线22221x y a bΓ-=： (0,0)a b >>的一条渐近线相切，与另一条渐近线相交于,A B 两点。
福建省泉州市高中毕业班质量检查数学理科试卷.3
泉州市高中毕业班质量检查 数学（理工农医类）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共6页 本卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名。
考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答，在试题卷上作答，答案无效。
3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回。
参考公式：样本数据22212121,,:[()()()],n n x x x s x x x x x x n---=-+-++-…的标准差… 其中x -为样本平均数；柱体体积公式：V sh =,其中s 为低面面积，h 为高; 锥体体积公式：1,3V sh s h =其中为低面面积，为高; 球的表面积公式：24S R π=,其中R 为球的半径；球的体积公式：343V R π=，其中R 为球的半径。
()()()1122211,n ni iiii i nni i i i x y nx y x x y y b a y bxx nxx x-------===---∑∑∑∑用最小二乘法求线性回归方程系数公式：第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个答案中，只有一个项是符合题目要求的，把正确的代号填在答题卡指定的位置上。
1. 已知集合{}{}211,0,A x x B x x x A B =-<=-≤则等于A.()0,1B.(]0,1C. [)0,1D. []0,1 2. ()()2i i i 为虚数单位，则复数1-1+等于.22A i -+ .22B i -- .22C i + .22D i -()23.log 21f x x x =+-函数的零点必落在区间11.,84A ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 11.,42B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1.,12C ⎛⎫⎪⎝⎭().1,2D4.sin 244y x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭将函数的图像上各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位，所得到的图形对应的函数式是().sin A f x x = ().cos B f x x = ().sin 4C f x x = ().cos4D f x x = ()()735.11x x x -+的展开式中的系数为A.-14B.14C.26D.56226.1169sin -sin sin x y ABP A B C P A BC P∆-=已知的顶点、分别为双曲线：的左右焦点，顶点在双曲线上，则的值等于4. 5A 7. 4B 54C 47. 4D 7.0,04,a b a b +=若，且则下列不等式中恒成立的是11.2A ab 11.1B a b +≤ .2C ab ≤ 2211.8D a b ≤+ 8. 5.9,x Ex a =已知某一随机变量的概率分布如下，且则是值为A.5B. 6C.7D. 89.,,,,a b a c a b c P b c b a αβαβαβ⊥=⊂⊂⊥⊥已知平面平面，直线直线、不垂直，且、、交于同一点则“”是“”的A. 既不充分也不必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 充要条件()[)()2111110.02,04,122400240022a ba f x x ax ba b a b ≤≤=++⨯已知为估计在的条件下，函数有两相异零点的概率P.用计算机产生了0，1内的两组随机数，各个，并组成了2400个有序数对，，统计这个有序数对后得到列联表的部分数据如下表：则数据表中数据计算出的概率P 的估计值为13.48A 11.24B 13.24C 7.12D第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置。
福建省泉州市高中毕业班数学理科质量检查试卷 人教版
福建省泉州市高中毕业班数学理科质量检查试卷 人教版本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
2007年3月17日参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 24R S π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 334R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径kn kk n n P P C k P --=)1()(第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合}2|1||{≤-=x x A ，}42|{<<=x x B ，则B A ⋂为A ．}32|{≤<x xB ．}32|{<<-x xC ．}41|{≤≤-x xD ．}41|{<<-x x 2．复数i z +=31，i z -=12，则=⋅21z zA ．i 22+B ．i 22-C ．i 24+D ．i 24-3．一个田径队，有男运动员30人，女运动员20人，比赛后，立即用分层抽样的方法，从全体队员中抽出一个容量为10的样本进行尿样兴奋剂检查，其中男运动员应抽 A ．3人 B ．4人 C ．5人 D ．6人 4．要得到函数)42sin(π-=x y 的图象，需将函数x y 2sin =的图象A ．向左平移8π个单位 B ．向右平移8π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移4π个单位 5ξ 1 3 5p0．20．6aA ．1B ．31C ．1.2D ．36．已知12222=-b y a x 的一条渐近线方程为x y 43=，则双曲线的离心率为A ．35B ．34C ． 45D ．237．已知函数c x ax x f --=2)(，且0)(>x f 的解集为)1,2(-，则函数)(x f y =的图象大致是A B C D8．设l 、m 为不同的直线，α为平面，且α⊥l ，下列为假命题．．．的是 A ．若α⊥m ，则l m // B ．若l m ⊥，则α//mC ．若α//m ，则l m ⊥D ．若l m //，则α⊥m9．甲、乙、丙三位学生用计算机联网学习数学，每天上课后独立完成6道自我检测题，甲及格的概率为54，乙及格的概率为52，丙及格的概率为32，三人各自检测一次，则三人中至少一人及格的概率为A ．251B ．2524C ．7516D ．7559 10．若把英语单词“hello ”的字母顺序写错了，则可能出现的错误的种数是 A ．59 B ．60 C ．119 D ．12011．已知)(x f 是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的a ，R b ∈，)(x f 满足关系式：)()()(a bf b af b a f +=⋅，则)(x f 的奇偶性为A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既是奇函数也是偶函数12．已知1F 、2F 是椭圆1162522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的一点，若21F PF ∆的内切圆半径为1，则点P 到x 轴的距离为A ．37 B ．38 C ．3 D ．310第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卡对应题号的横线上。
福建省泉州市2021届高中数学毕业班1月单科质量检查试题理(含解析)
泉州市2021届普通高中毕业班单科质量检查理科数学试题一、选择题：本大题共12个小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1. 集合，那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】因为，应选D.2. 为复数的共轭复数，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】那么应选3. 设等差数的前项和为，假设，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】依题意应选4. 点在双曲线的渐近线上，那么的离心率等于〔〕A. B. C. D. 或【答案】B【解析】由题意得：点在直线上，那么应选5. 实数满足，那么的最大值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】由条件，可行域如右图阴影局部其中阴影区域三角形的三个顶点分别为，把三个点分别代入，检验得：当，时，取得最大值。
应选6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，那么该几何体的体积为〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】由三视图可知该几何体是一个组合体：在一个半球上叠加一个圆锥，且挖掉一个一样的圆锥，所以该几何体的体积和半球的体积相等，因此该几何体的体积，应选A.7. ?九章算术?中的“两鼠穿墙〞问题为“今有恒厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？〞可用如下图的程序框图解决此类问题，现执行该程序框图，输入的的值为，那么输出的的值为〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】，开场执行程序框图，，再执行一行，退出循环，输出，应选C.8. 以下函数中，图象关于原点对称且单调递增的是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】选项，，函数单调递减不符合条件；选项，定义域不关于原点对称，不符合条件；选项，函数图象先减后增，在时，函数取得最小值，不符合条件；选项中，因为，所以函数为奇函数，将函数式变为，随着增大函数值也增大，是单调递增函数，符合条件，应选D.9. ，那么〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】应选10. 是函数图象的最高点，是相邻的两个最低点，假设，那么的图象对称中心可以是〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】如图，取的中点，连结，那么，设，那么，由余弦定理可得，，解得，因为所以的中点、都是图象的对称中心，应选C.11. 直线，圆，假设对任意，存在被截得弦长为2，那么实数的取值范围是〔〕A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意可得，圆心到的距离即解得或故实数的取值范围是应选12. 函数恰有两个零点，那么实数的取值范围是〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】当时，，故不是函数的零点，当时，等价于，令，那么，当时，，在上递减，时，，当时，在上递减鞥，，①当时，在有两个零点，在没有零点，合题意；②当或时，在有一个零点，故在没有零点，此时不符合题意；③当时，在有没有零点，要使在有两个零点，，综上可得或，应选D.【方法点睛】此题主要考察函数的零点及分段函数的解析式和性质、利用导数研究函数的单调性、分类讨论思想. 属于难题. 分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特成效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.此题中，对分段函数进展讨论，对进展讨论都离不开分类讨论思想的应用. 二、填空题〔每题5分，总分值20分，将答案填在答题纸上〕13. 在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，那么 __________．【答案】【解析】由可得点睛：此题主要考察了三角函数的定义，三角恒等变等根底知识；考察学生的推理理论能力，运算求解的能力以及数据处理能力等；考察了化归与转化思想，数形结合思想，函数与方程思想等，考察了逻辑推理，数学建模，直观想象，数学运算等。
2024届福建省泉州市高三下学期质量监测三数学试题及答案
泉州市2024届高中毕业班质量监测（三）2024.03高三数学本试卷共19题，满分150分，共8页。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．考生作答时，将答案答在答题卡上。
请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效。
在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数z 满足1i i z -=，则||z =A ．1BC ．2D2．设集合{}||1A x x =<，{e }x B y y ==，则A B =A ．∅B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(1,1)-3．已知圆锥SO 的轴截面是边长为2的正三角形，过其底面圆周上一点A 作平面α，若α截圆锥SO 得到的截口曲线为椭圆，则该椭圆的长轴长的最小值为AB ．1CD ．24．若(0)2απ∈，，3sin2cos 2sin cos 20αααα+=，则tan α=A ．4B ．2C ．12D ．145．已知平行四边形ABCD 中，2π243AB BC B ===，，，若以C 为圆心的圆与对角线BD 相切，P 是圆C 上的一点，则()BD CP CB ⋅- 的最小值是A．8-B．4+C．12-D．6+保密★使用前6．中心极限定理是概率论中的一个重要结论．根据该定理，若随机变量(,)B n p ξ ，则当5np >且(1)5n p ->时，ξ可以由服从正态分布的随机变量η近似替代，且ξ的期望与方差分别与η的均值与方差近似相等．现投掷一枚质地均匀分布的骰子2500次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于1300的概率为附：若2(,)N ημσ ，则()0.6827P μσημσ-<<+≈，(22)0.9545P μσημσ-<<+≈，(33)0.9973P μσημσ-<<+≈．A ．0.0027B ．0.5C ．0.8414D ．0.97737．椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 且斜率为-的直线与椭圆交于A ，B 两点（A 在B 左侧），若1122()0F A F F AF +⋅= ，则C 的离心率为A ．25B ．35C ．27D ．378．已知函数()22(1)e 1x f x x =-+，()g x 满足(13)(33)0g x g x ++-=，()(2)()G x f x g x =--，若()G x 恰有21n +(N*)n ∈个零点，则这21n +个零点之和为A ．2nB ．21n +C ．4nD ．42n +二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测(一)数学试题
一、单选题二、多选题1.已知全集，集合，集合，则A．B．C．D．2. 已知，是空间中两条不同的直线，，，是空间中三个不同的平面，则下列命题中错误的是（ ）A ．若，，则B．若，，则C ．若，，，则D ．若，，，则3. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．4.已知，则的值为（ ）A．B．C．D．5. 已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为的等腰直角三角形和边长为的正方形，则该几何体外接球的体积为（）A．B．C．D ．6. 椭圆E：的左右焦点分别为，，点P 在椭圆E 上，的重心为G .若的内切圆H 的直径等于，且，则椭圆E 的离心率为（ ）A．B．C．D．7.焦点为的抛物线上有一点，为坐标原点，则满足的点的坐标为（ ）A．B．C．D．8. 为庆祝广益中学建校130周年，高二年级派出甲､乙､丙､丁､戊5名老师参加“130周年办学成果展”活动，活动结束后5名老师排成一排合影留念，要求甲、乙两人不相邻且丙、丁两人必须相邻，则排法共有（ ）种.A ．40B ．24C ．20D ．129. 已知，设，其中则（ ）A．B．C ．若，则D．10. 已知，则（ ）A ．若，则B ．若，则福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测（一）数学试题福建省泉州市2023届高三毕业班质量监测（一）数学试题三、填空题四、解答题C ．若，则D ．若，则11. 已知函数（ ）A ．在上单调递增B ．在上单调递增C ．在上有唯一零点D ．在上有最小值为12. 如图，在正方体中，O 为底面的中心，P 为所在棱的中点，M ，N 为正方体的顶点．则满足的是（ ）A．B．C．D．13. 某地以“绿水青山就是金山银山”理念为引导，推进绿色发展，现要订购一批苗木，苗木长度与售价如下表：苗木长度x （厘米）384858687888售价y （元）16.818.820.822.82425.8由表可知，苗木长度x （厘米）与售价y（元）之间存在线性相关关系，回归方程为，则当苗木长度为150厘米时，售价大约为__________．14.半径为的两圆和圆外切于点，点是圆上一点，点是圆上一点，则的取值范围为_______.15. 已知，则__________.16. 已知函数，（1）设，求函数的值域；（2）在中，角所对应的边为.若，的面积为.求的值.17. 设函数，其中.(1)当时，求函数的值域；(2)设，当时，①证明：函数恰有两个零点；②若为函数的极值点，为函数的零点，且，证明：.18. 阳马，中国古代算数中的一种几何形体，是底面为长方形，两个三角面与底面垂直的四棱锥体．如图，四棱锥P －ABCD 就是阳马结构，PD ⊥平面ABCD ，且，，．(1)证明：平面；(2)若，求三棱锥的体积．19.已知函数，其中（Ⅰ）求函数的定义域；（Ⅱ）若对任意恒有，试确定的取值范围．20. 赌徒分金问题是概率论发展史上最著名的问题之一，1651年法国著名统计学家德·梅赫将它提请著名数学家帕斯卡解决，后来大数学家费马和惠更斯也参与了讨论并给出一般性推广．以下是赌徒分金问题的例子：(1)甲乙两个选手实力相当（即每人每局胜的概率都是），约定谁先赢4局，就获胜，并赢得奖金10000元，但在甲胜3局，乙胜2局时，比赛被迫中止，请计算甲最后获胜的概率和分到奖金的数学期望．(2)甲选手每局获胜的概率为，乙选手每局获胜的概率为，现在甲胜3局，乙胜2局，给出方案一：谁率先赢4局谁赢得奖金；方案二：谁率先赢5局谁赢得奖金，如果你是甲选手，你怎样选择比赛方案，并解释其理由．21. 为进一步提升学生学习数学的热情，学校举行了数学学科知识竞赛．为了解学生对数学竞赛的喜爱程度是否与性别有关，现对高中部200名学生进行了问卷调查，得到如下2×2列联表：喜欢数学竞赛不喜欢数学竞赛合计男生70女生30合计已知在这200名学生中随机抽取1人，抽到喜欢数学竞赛的概率为0.6．（1）将2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为喜欢数学竞赛与性别有关？（2）从上述不喜欢数学竞赛的学生中男生抽取3人，女生抽取2人，再在这5人中抽取3人，调查其喜欢的活动类型，求抽取的3人中至少有一名女生的概率．参考公式及数据：．P （K 2≥k ）0.500.400.250.150.100.050.0250.010.0050.001k0.460.71 1.32 2.07 2.71 3.845.0246.6357.87910.828。
福建省泉州市(新版)2024高考数学统编版质量检测(自测卷)完整试卷
福建省泉州市（新版）2024高考数学统编版质量检测(自测卷)完整试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 (共8题)第(1)题已知，则（ ）A ．2B ．—2C．D．第(2)题如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道I 绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用2c 1和2c 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用2a 1和2a 2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子：①a 1+c 1=a 2+c 2；②a 1-c 1=a 2-c 2；③c 1a 2＞a 1c 1；④＜．其中正确式子的序号是A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④第(3)题已知菱形的边长为，对角线长为，将△沿着对角线翻折至△，使得线段长为，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A．B．C．D．第(4)题已知函数在内单调递减，是函数的一条对称轴，且函数为奇函数，则（ ）A．B．C．D．第(5)题设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）A．B．C．D．第(6)题在三棱锥，若平面，，，，，则三棱锥外接球的表面积是（ ）A ．100πB ．50πC ．144πD ．72π第(7)题已知正方体内切球的表面积为，是空间中任意一点：①若点在线段上运动，则始终有；②若是棱中点，则直线与是相交直线；③若点在线段上运动，三棱锥体积为定值；④为中点，过点，且与平面平行的正方体的截面面积为;以上命题为真命题的个数为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5第(8)题已知集合，则中元素的个数是（ ）A．2B．3C．4D．5二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 (共3题)第(1)题已知函数．下列命题中正确的是（）A．的图象是轴对称图形，不是中心对称图形B．在上单调递增，在上单调递减C．的最大值为，最小值为0D．的最大值为，最小值为第(2)题英国著名物理学家牛顿用“作切线”的方法求函数零点.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.在函数图象上横坐标为的点处作曲线的切线，切线与轴交点的横坐标为；用代替，重复以上的过程得到；一直下去，得到数列.记，且，，下列说法正确的是（）A ．（其中）B．数列是递减数列C．D．数列的前项和第(3)题已知点，直线相交于点，且它们的斜率之和是2．设动点的轨迹为曲线，则（）A．曲线关于原点对称B．的范围是的范围是C．曲线与直线无限接近，但永不相交D．曲线上两动点，其中，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 (共3题)第(1)题已知平面向量，，且，则___________．第(2)题已知一个不透明盒子中装有5个完全相同且编号依次为0，1，2，3，4的小球，现逐次有放回地从盒子中取5次球，记为第i次取出的球的编号，假设每次取球前充分搅拌均匀，则在，，，，的平均数为2的前提下，方差不超过1的事件的概率为______．第(3)题在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）（n≥2，x1，x2，…，x n不全相等）的散点图中，若所有样本点（x i，y i）（i＝1，2，…，n）都在直线上，则这组样本数据的样本相关系数为___________.四、解答题：本题共5小题，每小题15分，最后一题17分，共77分 (共5题)第(1)题如图，在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面为菱形，点在底面上的投影为的中点，且.(1)求证：；(2)求点到侧面的距离；(3)在线段上是否存在点，使得直线与侧面所成角的余弦值为？若存在，请求出的长；若不存在，请说明理由.第(2)题如图，在七面体中，四边形是菱形，其中，，，是等边三角形，且.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.第(3)题PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物.根据现行国家标准GB3095－2012, PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35~75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标.从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值频数如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）：（I）求空气质量为超标的数据的平均数与方差；（II）从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率；（III）以这12天的PM2.5日均值来估计2012年的空气质量情况，估计2012年（366天）大约有多少天的空气质量达到一级或二级.第(4)题已知函数.（1）求的单调区间；（2）若，且有两个不同的零点，证明：有唯一零点(记为)，且.第(5)题（1）若，判断函数在区间内的单调性；（2）证明：对任意，，.。
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= 3 × 3 - 2 × 1 = 7 . ………………………………………6 分 7 2 7 2 14
解法 3：在 Rt∆ABC 中， AB = 2, BC = 2 3 .
在 ∆PBC 中，由正弦定理得 PC sin α
=
PB sin 30o
，即 1 sin α
=
7, 1
2
∴ sin α = 7 . ……………………………………………………6 分 14
解法 2：在 Rt∆ABC 中， AB = 2, BC = 2 3 ，∴ ∠C=30o .
在 ∆PBC 中， BP = 7 ,
S∆ABC
=
1 ×4× 2
y1 −
y2
=2
( y1 + y2 )2 − 4 y1 ⋅ y2
( ) = 2 16 t2 + 4 = 8 t2 + 4 ,
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当 t = 0 时， S∆ABC 取得最小值16 . …………………………13 分
19．本小题主要考查三角函数、解三角形等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查 化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想、数形结合思想等，考查应用意识．满 分 13 分.
解:（Ⅰ）解法 1：在 Rt∆ABC 中， AB = 2, BC = 2 3 ，∴ ∠C=30o .
在 ∆PBC 中， BP = 7 ,由余弦定理得 BC2 +PC2 − 2BC ⋅ PC ⋅ cos 30o =BP2 ，
即12+PC2 − 2× 2 3 × PC × 3 =7 , 2
化简，得 PC2 − 6PC+5=0 ，解得 PC=1或 PC = 5 （舍去）. ………4 分
生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．
二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容
和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如
果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
由正弦定理得 BP sin 30o
=
sin
180o
BC − (α
+
30o
)
，即
7 1
=
2 sin(α
3 + 30o )
,
2
∴ sin(α + 30o )= 3 . 7
………………………………………4 分
∵ ∠BPC 为钝角，且 ∠BPC = 180o − (α + 30o ) ,
∴ 30o < α + 30o < 90o ,从而 cos(α + 30o )= 2 ， 7
∴ bn = b1 × 2n−1 = 2n−1 . ……………………………………13 分
17．本小题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、空间向量等基础知识，考查空间想象 能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想等.满分 13 分.
解：（Ⅰ）分别取 AB, AF 的中点 M , H ，连结 MF,GH , DH ，则有 AG = GM , MF P BE . ∵ AH = HF ,∴ GH P 1 MF . ……………………………………………………2 分 2 又∵ CDP 1 BE, BEP MF ,∴ CDP GH , 2 ∴四边形 CDHG 是平行四边形, CG P DH . ………………………………4 分
联立方程组
y x
2 =4 =4
x
，解得
y1
=
−4,
y2
=
4,
∴ S∆ABC
= 1×4× 2
y1 − y2
= 16 .
………………………………7 分
②当直线 l 的斜率存在时，设直线 l : y = k(x − 4)(k ≠ 0) .
联立方程组
y y
2 = 4x = k(x
−
，消去
uuur
uuur
uuur
DE = (−1,1, 0), DA = (−1, −1, 2), FA = (0, −2,1) .…8 分
r 设平面 ADF 的一个法向量 n = (x, y, z) ，则有
r uuur
nr n
⋅ ⋅
DA uuur y + z = 0
7
解法 2： Rt∆ABC 中， BA = 2, BC = 2 3, AC = BA2 + BC2 = 4 , ∠BAC=60o . 用 t （小时）表示两人出发后的时间，则由题意可知 0 ≤ t ≤ 4 . 设出发 t 小时时甲在线段 CA 上的位置为点 M ，则 AM = 4 − t . 在 ∆PBC 中，由余弦定理得 BC2 + PC 2 − 2BC ⋅ PC ⋅ cos 30o = BP2 ， 即12 + PC 2 − 2× 2 3 × PC × 3 = 7 ，化简得 PC2 − 6PC + 5 = 0 , 2 解得 PC = 1或 PC = 5 （舍去）. ①当1 ≤ t ≤ 4 时，乙在景点 B 处，甲在线段 PA 上， 甲乙间的距离 d ≤ BP = 7 < 3 ，两人可以联络得上，此时不合题意；………9分 ②当 0 ≤ t < 1 时，设出发 t 小时时乙在线段 AB 上的位置为点 Q ，则 AQ = 2t .
13、 ± 3 ； 3
14、 −x2 + 8x + 3 ；
15、 x1 = a +1, x2
= −1+
1 2
−
4a
,
x3
=
−1 −
1− 4a 2
.
三、解答题：本大题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
16．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想、 分类与整合思想等. 满分 13 分.
7
7
∴ 0 ≤ t < 8 − 15 . 7
……………………………………………………9分
②当1 < t ≤ 4 时，乙在景点 B 处. 在 ∆ABM 中，由余弦定理得，
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MB2 = (4 − t )2 + 4 − 2× 2× (4 − t )× cos 60° = t2 − 6t +12 .
①当 0 ≤ t ≤ 1时，设出发 t 小时时乙在线段 AB 上的位置为点 Q ，则 AQ = 2t .
在 ∆AMQ 中，由余弦定理得，
MQ2 = (4 − t )2 + (2t )2 − 2× 2t × (4 − t ) × cos 60° = 7t2 −16t +16 ,
令 MQ > 3 即 MQ2 > 9 ，得 7t2 −16t + 7 > 0 ，解得 t < 8 − 15 或 t > 8 + 15 ，
令 BM > 3 即 BM 2 > 9 ，得 t2 − 6t + 3 > 0 ，解得 t < 3 − 6 或 t > 3+ 6 , 均不符合1 < t ≤ 4 的要求. ………12 分 综上，当 0 ≤ t < 8 − 15 时，甲、乙间的距离大于3米.
7 又 8 − 15 ≈ 0.6 ，故两人用对讲机联络不上的时间大约为0.6小时.………………13分
=
0
，化简得
x z
= =
3 2
y y
,
r 令 y = 1，得 n = (3,1, 2) .……………10 分
r uuur 设直线 CG 与平面 ADF 所成的角为θ ，则有 sinθ = rn ⋅ DuuEur = 7 . ……13 分
n ⋅ DE 7
第 8 页 共 16 页
18．本小题主要考查抛物线的定义、标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推 理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等．满
解法 2：设直线 l : x = ty + 4 , A( x1, y1 ) ， B ( x2 , y2 ) .…………………7 分
联立方程组
y2 = 4x x = ty +
4
，消去
x
得
y2
−
4ty
−16
=
0
,
∴ y1 + y2 = 4t ， y1 ⋅ y2 = −16 .…………………10 分
4)
x
得
y2
−
4 k
y
− 16
=
0
,
∴
y1
+
y2
=
4 k
，
y1 ⋅
y2
=
−16
.
………………………………………10 分
S∆ABC
=
1 ×4× 2
y1 −
y2
=2
( y1 + y2 )2 − 4 y1 ⋅ y2
=2
16
1 k2
+
4
=
8
1 k2
+
4
> 16
.
……………12 分
综合①②可得,当直线 l 的斜率不存在时， S∆ABC 取得最小值16 .……13 分