(19)13.3.1等腰三角形 1
13.3.1 第2课时 等腰三角形的判定
第十三章 轴对称等腰三角形.1 等腰三角形课时 等腰三角形的判定.. ...B 、C 两处的两艘救生船接到A 处遇险船只的报警，当时测能不能同时赶到出事地点（不考虑B建立数学模型：已知：如图，在△ABC 中, ∠B=∠C,那么它们所对的边AB 和AC 有什么数量关系?做一做：画一个△ABC ，其中∠B=∠C=30°，请你量一量AB 与AC 的长度，它们之间有什么数量关系，你能得出什么结论？ AB_______AC.结论：___________________________________________________________________. 证明：要点归纳：如果一个三角形有两个角相等,那么这个三角形是等腰三角形（简写成“等角对等边”）.应用格式：在△ABC 中，∵∠B=∠C ， ( 已知 )∴ AC=_____. ( )即△ABC 为等腰三角形.例1： 已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC.求证：AB=AD.方法总结:平分角+平行=等腰三角形例2：如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 是AB 边上的高，AE 是∠BAC 的平分线，AE 与CD 交于点F ，求证：△CEF是等腰三角形．方法总结：“等角对等边”是判定等腰三角形的重要依据，是先有角相等再有边相等，只限于在同一个三角形中，若在两个不同的三角形中，此结论不一定成立．B例3： 如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点O.过O 作EF ∥BC 交AB 于E ，交AC 于F.探究EF 、BE 、FC 之间的关系.想一想：若AB ≠AC ，其他条件不变，图中还有等腰三角形吗？结论还成立吗？方法总结：判定线段之间的数量关系，一般做法是通过全等或利用“等角对等边”，运用转化思想，解决问题.A B O E F 等角对等边结合等腰三角形的性质4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.第4题图 第5题图 5.如图，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM ＋CN ＝9，则线段MN 的长为_____. 6.如图,上午10 时，一条船从A 处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B 处，从A 、B 望灯塔C ，测得∠NAC=40°∠NBC=80°求从B 处到灯塔C 的距A B CD A。
13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
A．BD＝CE C．DA＝DE
图 13-3-8 B．AD＝AE D．BE＝CD
6．[2017·天津]如图 13-3-9，在△ABC 中，AB＝AC，AD，CE 是△ABC 的两
条中线，P 是 AD 上的一个动点，则下列线段的长等于 BP＋EP 最小值的是( B )
A．BCBΒιβλιοθήκη CEC．ADD．AC
图 13-3-9
类型之二 运用方程思想进行等腰三角形的角度计算 如图 13-3-1，在△ABC 中，D 是 BC 边上一点，AD＝BD，AB＝AC＝
CD，求∠BAC 的度数．
图 13-3-1
解：∵AD＝BD，∴设∠BAD＝∠DBA＝x°. ∵AB＝AC＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA＝∠BAD＋∠DBA＝2x°， ∠C＝∠DBA＝x°，∴∠BAC＝3x°. ∵∠ABC＋∠BAC＋∠C＝180°，∴5x°＝180°， 解得 x°＝36°， ∴∠BAC＝3x°＝108°. 【点悟】 根据等腰三角形的性质与三角形内角和定理，得到各角之间的关 系式，再列方程求解，是解决等腰三角形的角度计算问题的基本方法．
2．运用等腰三角形的概念及性质解决相关问题．
如图，把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开， 得到的△ABC 有什么特点？
1．等腰三角形的概念
知识管 理
定 义：有 两边相等的三角形叫做等腰三角形．
相关定义：(1)相等的两条边叫做等腰三角形的 腰 ，另一条边叫做 底边；
(2)两腰所夹的角叫做等腰三角形的 顶角 ，底边与腰的夹角叫做 底角 ．
9．如图 13-3-12，在△ABC 中，AB＝AC，AD 是 BC 边上的中线，BE⊥AC 于点 E.求证：∠CBE＝∠BAD.
图 13-3-12
13.3.1等腰三角形(1)课件2024—2025学年人教版数学八年级上册
13.3.1 等腰三角形（1）
人教版八年级(上)
复习回顾：
1.三角形全等的判定方法：
(1)
;(2)
;(3)
;(4)
;(5)
。
2. 我们学习三角形分类时，按边分可以把三角形分成哪几类？
3.等腰三角形的有关概念：
，叫做等腰三角形,
相等的两条边叫做
，另一条边叫做
，
两腰所夹的角叫做
，底边与腰的夹角叫做
(2) 如图(2)是屋架的一种形式，在△ABC 中，AB = AC，点 B，C 在横梁 MN 上，现有一把等腰直角三 角形尺(底边的中点处有一颗钉子)一个端点挂有铅锤 的线绳(足够长)、一卷皮尺(足够长)，如果要判断横 梁 MN 是否水平，你会选择哪两个工具?如何使用?请 用数学知识解释你的方法(忽略测量人员的人数).
在 Rt△ABD 与 Rt△ACD 中，
AB＝AC (已知)，
B
D
C
AD＝AD (公共边)， ∴ Rt△ABD≌Rt△ACD (HL). ∴∠B＝∠C.
方法3：作顶角的角平分线 AD.
A
∵ AD 是 ∠BAC 的角平分线，
∴∠BAD＝∠CAD.
在 △ABD 与 △ACD 中，
AB＝AC (已知)，
底边上的中线、高线、顶角角平分线有什么特点？
完全重合.
A
A
A
B
D
CB
D
CB
D
C
任务三：猜一猜 猜想2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、 底边上的高相互重合.
已知：如图，在△ABC 中，AB = AC，BD = DC，求证
AD⊥BC，DA 平分∠BAC.
A
人教版八上数学13.3.1等腰三角形(第1课时)教学设计
13.3.1等腰三角形（第1课时）教学设计一、教材分析1.地位作用：等腰三角形对于学生学习和研究图形的轴对称性具有重要意义，由等腰三角形揭示的“等边对等角”和“等角对等边”的几何事实，是边与角相互联系和转化的基本依据，是平面几何体系中重要定理之一；本节内容起到了重要的承上启下作用，既用它作为运用全等三角形的判定和性质进行推理论证的载体，又由此对三角形的研究呈现出从特殊到一般的过程，随着等腰三角形性质的学习和研究的深入，学生的逻辑推理的能力将有所增强；实验与论证相辅相成，帮助学生从实验几何向论证几何过渡.2、教学目标：1、知识技能：①掌握等腰三角形的性质；②运用等腰三角形的性质进行有关计算和证明.2、数学思考：①观察等腰三角形的对称性，发展形象思维；②通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，发展学生合情推理能力和演绎推理能力.3、解决问题：①通过观察等腰三角形的对称性，培养学生观察、分析、归纳问题的能力.②通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展运用意识.4、情感态度：引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.3、教学重、难点教学重点：①探究等腰三角形的性质；②运用等腰三角形的性质解决简单问题.教学难点：等腰三角形性质的证明.突破难点的方法：通过折叠纸片突破难点.二、教学准备：多媒体课件、导学案、长方形纸片三、教学过程2.等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为------------------------------。
3.等腰三角形有一个外角为100°，它的三个内角分别为---------------------------。
活动3：再探性质证明、渐进升华思考：添加辅助线后，在这两个全等三角形中，1.当作底边BC边上的中线AD 时，由全等，AD是顶角的平分线吗？AD是底边上的高吗？引导学生利用现成的结论继续证明，归纳小结。
03-第十三章13.3.1等腰三角形
例3 如图13-3-1-2,在△ABC中,AB=AC,D为BC上一点,∠B=30°,连接 AD.若∠BAD=45°,求证:△ACD为等腰三角形.
图13-3-1-2 证明 ∵AB=AC,∠B=30°, ∴∠B=∠C=30°,∴∠BAC=180°-30°-30°=120°, ∵∠BAD=45°,∴∠CAD=∠BAC-∠BAD=120°-45°=75°,∠ADC=∠B+ ∠BAD=75°,∴∠ADC=∠CAD,∴AC=CD, 即△ACD为等腰三角形.
∵EF∥BC, ∴∠EOB=∠OBC,∠FOC=∠OCD, ∴∠EBO=∠EOB,∠FOC=∠FCO, ∴BE=OE,CF=OF, ∴EF=OE-OF=BE-CF. 点拨 本题运用平行线性质以及角平分线的定义证明角之间的关系,进 而运用等腰三角形的判定定理(等角对等边)得出线段之间的关系,这是 证几何题中常用的方法.
9.(2018广西桂林中考)如图13-3-1-8,在△ABC中,∠A=36°,AB=AC,BD平
分∠ABC,则图中等腰三角形的个数是
.
答案 3
图13-3-1-8
解析 因为AB=AC,所以△ABC为等腰三角形;因为∠A=36°,所以∠ABC =∠C=72°,因为BD平分∠ABC,所以∠ABD=∠DBC=36°,因为∠DBA=∠A =36°,所以△ABD为等腰三角形;又因为∠BDC=∠A+∠ABD=72°,所以 ∠BDC=∠C,所以△BDC为等腰三角形,故答案为3.
题型三 等腰三角形判定与性质的综合应用 例3 如图13-3-1-5所示,已知△ABC中,AB=AC,BD和CE分别是∠ABC和 ∠ACB的平分线,且相交于O点.
图13-3-1-5 (1)试说明△OBC是等腰三角形; (2)连接OA,试判断直线OA与线段BC的关系,并说明理由.
13.3.1 等腰三角形--八年级上册数学人教版
则BD=CD.
在△BAD和△CAD中
AB=AC ( 已知 )， BD=CD ( 已作 )， AD=AD (公共边)，
B DC
∴ △BAD≌ △CAD (SSS). ∴ ∠B= ∠C (全等三角形的对应角相等).
还有其他 的证法吗？
探究新知
方法二：作顶角的平分线
已知： 如图，在△ABC中，AB=AC.
素养考点 2 等腰三角形的分类讨论问题
例2 等腰三角形的一个内角是50°，则这个三角形的底角
的大小是( A )
A．65°或50°
B．80°或40°
C．65°或80°
D．50°或80°
方法点拨：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角， 则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．
巩固练习 等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个角为 7_5_°__,_3_0_°； 等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为 _7_0_°__,4_0_°__或__5_5_°__,_5_5_°_； 等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为_3_5_°__,3_5_°_.
探究新知
素养考点 3 利用等腰三角形的性质证明线段间的关系
例3 已知点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC. (1)如图①，若AD＝AE，求证：BD＝CE； (2)如图②，若BD＝CE，F为DE的中点，求证：AF⊥BC.
图①
图②
探究新知
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G. ∵AB＝AC，AD＝AE， ∴BG＝CG，DG＝EG， ∴BG–DG＝CG–EG， ∴BD＝CE； (2)∵BD＝CE，F为DE的中点， ∴BD＋DF＝CE＋EF， ∴BF＝CF. ∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
13.3.1等腰三角形的性质(2)
A
D
F
∟
B
E
C
二、应用举例
15．已知：如图、在△ABC 中，AB＝AC，AD是高、P 是AD上任意一点，并且 PE⊥AB、PF⊥AC，垂足分 别为E、F. 求证：PE=PF.
A
E
F
P
B
D
等腰三角形底边的高上的任意一点到两腰的距离相等
∟
C
二、应用举例
16．如图，已知△ABC中，AB=AC,F在AC上，在BA 的延长线上截取AE=AF, 连接EF并延长交BC于D, 求 证：ED⊥BC。
二、应用举例
3．已知等腰三角形有两边的长分别为3，6，则这个等 15 腰三角形的周长是 。 4．已知等腰三角形的周长为24，一边长为6，则另外两 9和9 边的长是 。 5、已知等腰三角形的周长为24，一边长为10，则另外 10， 7, 7 。 4或 两边的长是
注意： 涉及三角形边的运算一定要检验是否能构成三角形
二、应用举例
9、如图， ∠A =18°，AB=BC=CD=DE=EF，则 ∠DEF= 。
E
C A
B
D
F
二、应用举例
10、如图， ∠DEF =36°，AB=BC=CD=DE=EF，则 ∠A= 。 E
C A
B
D
F
二、应用举例
11、如图所示，AB=AC，BC=BD=ED=EA，求∠A 的度数.
A
E D B
3、等腰三角形性质3： 等腰三角形是轴对称图形.对称轴是底边上的中线 (顶角平分线,底边上的高)所在直线。
二、应用举例
1．已知等腰三角形的一个内角是80°，则它的另外两 个内角是 50,50或80, 20 。 2．已知等腰三角形的一个内角是100°，则它的另外两 个内角是 40, 40 。
初中数学13.3.1等腰三角形
角的形两叫条做边等叫腰做三腰角，形。
另一条边叫做底边.
腰
腰
底
角：等腰三角形中,两腰
的夹角叫做顶角，腰和底 边的夹角叫做底角.
顶角
腰
腰
底角 底
理解定义
1、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长
是
10 cm
；
2、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为4cm,
A
① ∠BAD =∠CAD，② AD ⊥ BC，③ BD = CD 中已知任意一个都可以得其它两个条件.
B
D
C
性质应用
⒈等腰三角形一个底角为75°,它的另外两个 角为__7_5_°_ , 30°__；
⒉等腰三角形一个角为70°,°__,5_5_°_；
则它的周长是 10 cm 或 11 cm
；
3、等腰三角形的一边长为3cm,另一边长为8cm,
则它的周长是 19 cm
。
重合的线段 AB＝AC BD＝CD AD＝AD
重合的角
∠B ＝ ∠C.
A
∠BAD ＝ ∠CAD
∠ADB ＝ ∠ADC
大胆猜想
B
等腰三角形除了两腰相等以外, 你还能发现它的其他性质吗?
⒊等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角 为__3_5_°__,35°__。
例1、如图，在△ABC中 ，AB=AC，点D在AC上，且 BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。
A
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
⌒
x
∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD
（等边对等角)
D
设∠A=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,
13.3.1等腰三角形(第二课时) 教案 人教版数学八年级上册
13.3.1等腰三角形(第二课时) 教案人教版数学八年级上册一、教材分析本节课位于人教版第十三章轴对称的第二课时。
等腰三角形是一类特殊的三角形，因而它比一般的三角形在理论和实际中的应用更为广泛。
等腰三角形的判定是初中数学一个重要定理，也是本章的重点内容。
本节内容是在学生已有的平行线性质判定、全等三角形判定以及等腰三角形性质等知识的基础上进一步研究的问题。
该判定的特点之一是揭示了同一个三角形的边、角关系；特点之二是它与等腰三角形的性质定理互为逆定理；特点之三是它为我们提供了证明线段相等的新方法，为以后学习提供了证明和计算的依据，有助于培养学生思维的灵活性和广阔性。
二、教学目标1.会阐述、推证等腰三角形的判定定理。
2.通过学习等腰三角形的判定，进一步发展学生的抽象概括能力。
3.经历综合应用等腰三角形性质定理和判定定理的过程，体验数学的应用价值。
三、教学重、难点1.重点：等腰三角形的判定定理的探索。
2.难点：“等角对等边”的证明四、教学方法“实验——发现——归纳——论证”法五、教学过程1、知识回顾：等腰三角形的相关知识师生共同回顾：（1）定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。
注意：等腰三角的定义既是性质又是判定（2）等腰三角形性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“等边对等角”。
（3）等腰三角形性质2：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”设计意图：复习等腰三角形的定义及性质为判定作铺垫。
2、欣赏生活中美丽的图片：教师提出问题：（1）图中有哪些你熟悉的图形吗？（2）如何证明一个三角形是等腰三角形？设计意图：结合生活中的图片，目的是为了唤起学生的好奇，激发学生兴趣和探究欲，体会生活中处处都有数学，并能自然地过渡到本节课的课题。
3、探索新知、发现猜想：教师提出问题：假设一个三角形有两条边相等，那么它们所对的角相等。
反过去，假设一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边有什么关系？师生活动：教师提出问题，学生自由交流，大胆猜想。
2013年八年级新人教版数学13.3.1等腰三角形的性质(1)【修订版】
B 底边
C
等腰三角形中，相等的两边都叫做腰，另一边叫做底 边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
探究:探索等腰三角形性 质
上面剪出的等腰三角形是轴 对称图形吗? 把剪出的等腰三角形ABC沿 折痕AD对折,找出其中相等 的线段和角,填入下表
B
A C
D
重合的线段 AB=AC DB=DC
AB AC, AD BD CD
练习巩固
3、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B， ∠C的度数。 解： AB AD, BAD 26
B ADB 180 BAD 2 180 26 77 2 DC AD
C DAC ADB 2 38.5
180 A 180 120 B C 30 2 2
练习巩固
2、如图△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，∠BAC=90°， AD是底边BC边上的高，标出∠B，∠C，∠BAD， ∠CAD的 度数，并写出图中所有相等线段。
B C BAD CAD 45
13.3.1等腰三角形的性质(1)
探究：实践观察,认识等腰三角形
如图.把一张长方形纸片按图中的虚线对折,并剪 去阴影部分,再把它展开,得到的△ABC有什么特 点？
B
A C
D
因为△ABC中，AB=AC，所以△ABC是等腰三角形
认识等腰三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
A
顶 角
腰
腰
底角
底角
重合的角 ∠B= ∠ C ∠BAD= ∠ CAD ∠ADB= ∠ADC
你能发现等腰三角形有什么性质吗?说一说你
的猜想
13.3.1等腰三角形(第1课时)教学设计
13.3.1等腰三角形（第1课时）教学设计一、教材分析1、地位作用：等腰三角形对于学生学习和研究图形的轴对称性具有重要意义，由等腰三角形揭示的“等边对等角”和“等角对等边”的几何事实，是边与角相互联系和转化的基本依据，是平面几何体系中重要定理之一；本节内容起到了重要的承上启下作用，既用它作为运用全等三角形的判定和性质进行推理论证的载体，又由此对三角形的研究呈现出从特殊到一般的过程，随着等腰三角形性质的学习和研究的深入，学生的逻辑推理的能力将有所增强；实验与论证相辅相成，帮助学生从实验几何向论证几何过渡.2、目标和目标解析：（1）目标①探索并证明等腰三角形的两个性质。
②能利用等腰三角形的性质证明两个角相等或两条线段相等。
③结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用。
（2）目标解析达成目标①的标志是：学生能借助实验发现等腰三角形的两个性质；能正确理解两个性质的含义（会区分命题的条件和结论，能用数学语言准确表述性质的含义，特别是“重合”和“三线合一”的含义，会将性质“三线合一”分解成三个命题）；能利用三角形全等证明两个性质。
达成目标②的标志是：学生能在等腰三角形的情境中利用两个性质证明两个角相等或两条线段相等。
达成目标③的标志是：学生知道等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在的直线就是它的对称轴；能借助轴对称发现等腰三角形的性质，并获得添加辅助线证明性质的方法。
3、教学重、难点教学重点：①探究等腰三角形的性质；②运用等腰三角形的性质解决简单问题.教学难点：等腰三角形性质的证明.突破难点的方法：通过折叠纸片突破难点.二、教学准备：多媒体课件、导学案、长方形纸片三、教学过程。
13.3.1 第1课时 等腰三角形的性质
13.3.1第1课时等腰三角形的性质知识点1等腰三角形的性质(等边对等角)图13－3－11．如图13－3－1，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝125°，则∠C的度数是() A．55°B．45°C．35°D．65°2．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为()A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°3．如图13－3－2，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠B＝70°，则∠C的度数为()图13－3－2A．35°B．40°C．45°D．50°4．在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，则∠B＝________°.5．如图13－3－3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝________°.图13－3－36．如图13－3－4，在△ABC中，AB＝AC，D是△ABC内的一点，且BD＝CD.求证：∠ABD＝∠ACD.图13－3－47．如图13－3－5，在△ABC中，AB＝AC，∠CAD是外角，AE是∠CAD的平分线．求证：AE∥BC.图13－3－5知识点2等腰三角形的性质(三线合一)8．如图13－3－6，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边的中点，下列结论中不正确的是()图13－3－6A．∠B＝∠C B．AD⊥BCC．AD平分∠BAC D．AB＝2BD9．如图13－3－7，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D.若AB＝6，CD＝4，则△ABC 的周长是________．图13－3－710．如图13－3－8所示，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，P是AD上任意一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F.求证：PE＝PF.图13－3－811．2018·凉山州如图13－3－9，在△ABC 中，按以下步骤作图：①分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 长为半径作弧，两弧相交于M ，N 两点；②作直线MN 交BC 于点D ，连接AD.若AD ＝AC ，∠B ＝25°，则∠C 的度数为( )图13－3－9A ．70°B ．60°C ．50°D ．40°12．如图13－3－10，在△ABC 中，D 为AB 上一点，E 为BC 上一点，且AC ＝CD ＝BD ＝BE ，∠A ＝50°，则∠CDE 的度数为( )图13－3－10A．50°B．51°C．51.5°D．52.5°13．如图13－3－11，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于()图13－3－11A．60°B．70°C．75°D．90°14．已知：如图13－3－12，AB＝AC，D是BC的中点，AD＝AE，AE⊥BE，垂足为E.AB平分∠DAE吗？请说明理由．图13－3－1215．如图13－3－13所示，已知AB＝AC，AD＝AE，求证：BE＝CD.(要求：请用两种不同的方法证明)图13－3－1316．在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上任意一点，过点D分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F.(1)如图13－3－14①，当点D在BC的什么位置时，DE＝DF？并证明你的结论．(2)如图②，过点C作AB边上的高CG，则DE，DF，CG之间存在怎样的等量关系？并加以证明．图13－3－14教师详解详析1．A[解析] ∵DE∥BC，∠1＝125°，∴∠B＝180°－125°＝55°. ∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝55°.2．C[解析] 如图所示，在△ABC中，AB＝AC.有两种情况：①顶角∠A＝50°；②若底角是50°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝50°.∵∠A＋∠B＋∠C＝180°，∴∠A＝180°－50°－50°＝80°.∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°.3．A4．405．18[解析] 由AB＝AC，∠A＝36°得∠C＝180°－36°2＝72°.所以在Rt△BCD中，∠CBD＝90°－∠C＝90°－72°＝18°，故填18.6．证明：如图．∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵BD＝CD，∴∠1＝∠2.∴∠ABC－∠1＝∠ACB－∠2，即∠ABD＝∠ACD.7．证明：由三角形外角与内角的关系知∠CAD＝∠B＋∠C.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C(等边对等角)．∵AE是∠CAD的平分线，∴∠DAE＝∠CAE(角平分线的定义)．∵∠CAD＝∠DAE＋∠CAE＝2∠DAE，∴∠DAE＝∠B.∴AE∥BC.8．D[解析] 由“等边对等角”可得∠B＝∠C，故选项A正确；由等腰三角形“三线合一”的性质，可得AD⊥BC，AD平分∠BAC，故选项B，C都正确；只有选项D不能得出，故选D.9．20[解析] ∵在△ABC中，AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形．又∵AD⊥BC于点D，∴BD＝CD.∵AB＝6，CD＝4，∴△ABC的周长＝6＋4＋4＋6＝20.10．证明：∵AB＝AC，D是BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴PE＝PF.11．C [解析] 由作图可知MN 为线段AB 的垂直平分线， ∴AD ＝BD.∴∠DAB ＝∠B ＝25°.∵∠CDA 为△ABD 的一个外角， ∴∠CDA ＝ ∠DAB ＋∠B ＝50°.∵AD ＝AC ，∴∠C ＝∠CDA ＝50°.故选C. 12．D [解析] ∵AC ＝CD ， ∴∠ADC ＝∠A ＝50°. ∵CD ＝BD ，∴∠B ＝∠BCD.又∵∠ADC ＝∠B ＋∠BCD ，∴∠B ＝25°. ∵BD ＝BE ，∴∠BDE ＝∠BED ＝12(180°－∠B)＝12×(180°－25°)＝77.5°.∵∠ADC ＋∠CDE ＋∠BDE ＝180°， ∴∠CDE ＝180°－50°－77.5°＝52.5°. 13．A [解析] ∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝EF ，∴∠A ＝∠ACB ，∠CBD ＝∠CDB ，∠DCE ＝∠CED ，∠EDF ＝∠EFD. ∵∠A ＝15°，∴∠ACB ＝15°.∴∠CDB ＝∠CBD ＝∠A ＋∠ACB ＝30°.∴∠CED ＝∠DCE ＝∠A ＋∠ADC ＝15°＋30°＝45°.∴∠EFD ＝∠EDF ＝∠CED ＋∠A ＝45°＋15°＝60°.∴∠DEF ＝180°－∠EDF －∠EFD ＝60°.14．解：AB 平分∠DAE.理由：∵AB ＝AC ，D 是BC 的中点， ∴AD ⊥BC.又AE ⊥BE ，∴∠E ＝∠ADB ＝90°.在Rt △ABE 和Rt △ABD 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AD ，AB ＝AB ， ∴Rt △ABE ≌Rt △ABD(HL)．∴∠EAB ＝∠DAB ，即AB 平分∠DAE.15．证明：(证法一)∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C. ∵AD ＝AE ，∴∠ADE ＝∠AED.∴∠ADB ＝∠AEC. 又∵AB ＝AC ，∠B ＝∠C ，∴△ABD ≌△ACE.∴BD ＝CE.∴BE ＝CD.(证法二)如图所示，过点A 作AF ⊥BC 于点F. ∵AB ＝AC ，∴BF ＝CF.∵AD ＝AE ，∴DF ＝EF.∵BE ＝BF ＋EF ，CD ＝CF ＋DF ，∴BE ＝CD.(方法不唯一)16．解：(1)当D 为BC 的中点时，DE ＝DF. 证明：连接AD.∵AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∴AD平分∠BAC.∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.(2)CG＝DE＋DF.证明：连接AD. ∵S△ABC＝S△ADB＋S△ADC，∴12AB·CG＝12AB·DE＋12AC·DF.∵AB＝AC，∴CG＝DE＋DF.。
人教版八上数学13.3.1《等腰三角形》(第一课时)教学设计
13．3．1《等腰三角形》（第一课时）教学设计教学任务的分析教学目标1、理解并掌握“等边对等角”定理，能够运用“等边对等角”定理解决实际问题；2、理解并掌握“三线合一”定理，能够运用“三线合一”定理解决实际问题.重点“等边对等角”“三线合一”定理的探究过程难点“等边对等角”和“三线合一”在实际中的应用教学流程安排活动流程活动内容和目的活动一情景引入活动二复习回顾活动三互动探究活动四猜想论证活动五总结归纳活动六典例解析活动七拓展提升活动八小结梳理由生活中的实物图片引入课题，激发学生学习欲望复习等腰三角形及其相关概念，温故而知新学生通过动手操作、小组交流等活动发现性质，并进行理性思考培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力,发展学生的理性思维归纳提炼性质定理，让学生熟悉“三种语言”的相互转化应用性质解决问题，尝试“用方程计算角度”的思想方法尝试应用所学方法解决问题，在实践中体验数学的应用价值了解学生的学情，让学生逐步养成总结的好习惯.课前准备教具学具补充材料1、多媒体演示文稿.2、直角三角尺、圆规.自制纸质等腰三角形剪刀、直角三角尺实践作业、课后阅读等教学过程教学环节师生活动设计意图【活动一】情景引入出示一组含有等腰三角形的生活图片，让学生感知图片主要部分形状的共同点，引入课题。
从学生感兴趣，并与实际生活相联系的话题入手.激发学生的好奇心和求知欲.【活动二】复习回顾学生回忆等腰三角形的相关定义，进一步提出：“人们在生活中如此的喜欢等腰三角形，它到底还具有那些性质呢？”引出本节课的课题--等腰三角形的性质（板书课题）抛出问题，激发学生的兴趣【活动三】互动探究1.如图13-3-14,把一张长方形纸沿图中虚线对折,并剪去阴影部分,再把它展开铺平,得到的三角形是什么特殊三角形?它具有哪些性质?它是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？图13-3-142.请同学们拿出剪好的等腰三角形，动手折一折，通过刚才的对折过程，你发现∠B 和∠C 存在怎样的数量关系？由此你发现等腰三角形有什么性质？说说你的猜想.1.借助动手操作的过程，培养学生探究图形性质的基本能力，发展学生合情猜想的数学素养，体现“做中学”的教学理念.同时突破本节课的教学重、难点2.通过观察、思考、描述、证明,鼓励学生善于思考、勇于发现、大胆尝试,培养学生的语言表达能力、观察能力和归纳能力,养成自觉探索几何命题的良好习惯.【活动四】猜想论证①等腰三角形的两个底角相等提问：这是文字语言给出是命题，我们需要先把它转化成数学语言，写出已知、求证，画出图形。
人教版八年级上册13.3.1《等腰三角形》
《等腰三角形》◆教材分析本节课是在前面学习了三角形的有关概念及性质、轴对称变换、全等三角形、垂直平分线和尺规作图的基础上，研究等腰三角形的定义及其重要性质，它既是前面所学知识的延伸，也是后面直角三角形、等边三角形的知识的重要储备，我们常常利用它证明角相等、线段相等、两直线垂直，因此本节课具有承上启下的重要作用。
◆教学目标【知识与能力目标】1、理解并掌握等腰三角形的性质。
2、会运用等腰三角形的概念和性质解决有关问题。
3、观察等腰三角形的对称性、发展形象思维。
4、探索等腰三角形的判定定理【过程与方法目标】1、通过实践、观察、证明等腰三角形的性质，培养学生的推理能力。
2、通过运用等腰三角形的性质解决有关的问题，提高运用知识和技能解决问题的能力，发展应用意识。
3、探索等腰三角形的判定定理,进一步体验轴对称的特征,发展空间观念【情感态度价值观目标】1、引导学生对图形的观察、发现，激发学生的好奇心和求知欲。
2、在运用数学知识解决问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心。
3、感受图形中的动态美、和谐美、对称美，感受合作交流带来的成功感，树立自信心。
4、通过对等腰三角形的判定定理的探索,让学生体会探索学习的乐趣,并通过等腰三角形的判定定理的简单应用,加深对定理的理解.从而培养学生利用已有知识解决实际问题的能力【教学重点】1、等腰三角形的概念和性质及其应用。
2、等腰三角形的判定定理及其应用【教学难点】1、等腰三角形的性质的证明。
2、探索等腰三角形的判定定理◆教学过程一、情景导入：师：日常生活中，我们会经常看到一些美丽的图案，其中一些是平面几何图形，接下来我们观察几幅图片，说一说你们看到了什么图形？（课件向学生展示平常见到的有关等腰三角形的图片）学生观察一组图片，回答问题。
【设计意图】使学生能从实际生活中抽象出等腰三角形，初步感知等腰三角形在实际生活中的广泛应用，用美丽的画面激发学生的求知欲。
培养学生勤观察，肯思考的学习习惯。
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课 题：13．3．1等腰三角形(一)
主备人：龙华备课时间：授课人：授课时间：
教学目标：1．等腰三角形的概念．2．等腰三角形的性质．3．等腰三角形的概念及性质的应用．
教学重点：1．等腰三角形的概念及性质．2．等腰三角形性质的应用．
教学难点：等腰三角形三线合一的性质的理解及其应用．
教学过程
发现：
（1）∠ABC=∠ACB＝∠CDB＝∠A＋∠ABD；
（2）∠A＝∠ABD；
（3）∠A＋2∠C＝180°．
若设∠A＝x，则有x＋4x＝180°，得到x＝36°，进一步得到两个底角．
〔解答〕略
四、反馈练习
P77 1,2,3
五、归纳小结、布置作业
小结：等腰三角形的定义及相关概念，等腰三角形的性质和判定．
2现在请同学们画出等腰三角形ABC顶角的角平分线，沿着角平分线对折，你有什么发现呢？
（1）．等腰三角形是轴对称图形吗？请找出它的对称轴．
（2）．等腰三角形的两底角有什么关系？
(3)．顶角的平分线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？
(4)．底边上的中线所在的直线是等腰三角形的对称轴吗？底边上的高所在的直线呢？
3等腰三角形的性质：
(1)．等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．
(2)．等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．你能证明上述两个性质吗？
问题：如图（3），已知△ABC中，AB=AC，AD是底边上的中线．
（1）求证：∠B=∠C；
（2）AD平分∠A，AD⊥BC．
〔解答〕在△ABD和△ACD中
所以△ABD≌△ACD（SSS），所以∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC＝90°．
[例1]如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，
求：△ABC各角的度数．
引导学生分析图形中的关于角的数量关系（三角形的内角、外角、等腰三角形的底角）．
设计
说明
一．提出问题，创设情境
在前面的学习中，我们认识了轴对称图形，探究了轴对称的性质，并且能够作出一个简单平面图形关于某一直线的轴对称图形，还能够通过轴对称变换来设计一些美丽的图案．这节课我们就是从轴对称的角度来认识一些我们熟悉的几何图形．来研究：①三角形是轴对称图形吗？②什么样的三角形是轴对称图形？
作业：习题13.3第1～7题．
教学反思：
本节课让学生参与整个知识的学习进程，通过小组合作展开交流，培养了学生的动手能力，解决问题的能力，学困生对于“三线合一”的理解还是存在困难。
二．导入就能检查一根横梁是否水平，你知道为什么吗？
三、合作探究
1请同学们照49页探究见一个三角形。在剪的过程中发现两边是相等的，我们就得到一个等腰三角形，即△ABC如图（1），把一张长方形的纸按图中虚线对折，并剪去阴影部分，再把它展开，得到的△ABC有什么特征？你能画出具有这种特征的三角形吗？