等腰三角形和最短路径

等腰三角形和最短路径

温故知新

1．在以下回收、绿色食品、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）

A．B．C．D．

2．如图，△ABC与△DEF关于直线MN轴对称，则以下结论中错误的是（）

A．AB∥DF B．∠B=∠E C．AB=DE D．AD的连线被MN垂直平分

3．如图，在△ABC中，AB=14厘米，BC=9厘米，E为AC的中点，DE⊥AC，则△BDC 的周长是（）

A．23厘米B．16厘米C．19厘米D．无法确定

4．如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A、B、C都是格点．

（1）画出△ABC关于直线BM对称的△A1B1C1；

（2）写出AA1的长度．

课前热身

一、等腰三角形性质与判定

1、一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm，一边等于10cm，则另一边等于（）A．5cm B．10cm C．15cm D．12cm

2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC垂足为D，∠A=40°，∠DBC=（）

A．40°B．30°C．20°D．50°

3、下列条件中，不能得到等边三角形的是（）

A．有两个内角是60°的三角形

B．三边都相等的三角形

C．有一个角是60°的等腰三角形

D．有两个外角相等的等腰三角形

4、已知a、b、c是三角形的三边长，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，那么这个三角形一定是（）A．直角三角形B．等边三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

5、等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

6、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，AB=12cm，则BC边的长为（）

A．6 cm B．12 cm C．24 cm D．无法确定

二、最短路径问题

7、如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是．

8、要在燃气管道L上修建一个泵站P，分别向A，B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？在图上画出P点位置，保留作图痕迹．

遗漏分析

1、等腰三角形 ①等腰三角形的性质 ②等边三角形的性质与判定

2、最短路径问题

知识精讲

精讲一 等腰三角形

分类：等腰三角形⎩

⎨⎧等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰

一、等腰三角形

1、概念：有两边相等的三角形是等腰三角形；

2、性质（如图1）:

性质1、等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；

性质2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合

（简写成“三线合一”）； （1）AC AB C B =⇒∠=∠，

（2）AD 是BC 边上的高，也是∠BAC 的角平分线， 也是线段BC 的中线。

图1

3、判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）；

例1-1、一个三角形有两条边相等，这个三角形一边等于5cm ，一边等于10cm ，则另一边等于（ ）

A ．5cm

B ．10cm

C ．15cm

D ．12cm

1-2、如图所示，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC垂足为D，∠A=40°，∠DBC=（）

A．40°B．30°C．20°D．50°

二、等边三角形

1、概念：等边三角形就是三边都相等的特殊的等腰三角形；

2、等边三角形的性质和判定方法：

（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每个角都等于60°；

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形；

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；

3、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

例2-1、下列条件中，不能得到等边三角形的是（）

A．有两个内角是60°的三角形

B．三边都相等的三角形

C．有一个角是60°的等腰三角形

D．有两个外角相等的等腰三角形

2-2、已知a、b、c是三角形的三边长，且满足（a﹣b）2+|b﹣c|=0，那么这个三角形一定是（）

A．直角三角形B．等边三角形

C．钝角三角形D．等腰直角三角形

2-3、等边三角形两条中线相交所成的锐角的度数为（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

2-4、在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，AB=12cm，则BC边的长为（）

A．6 cm B．12 cm C．24 cm D．无法确定

精讲二最短路径问题

1、根据“两点的所有连线中，线段最短”“连直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题。

2、在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变化把已知问题转化为容易解决

的问题，从而做出最短路径的选择。

例3-1、如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是．

3-2、如图,要在公路MN旁修建一个货物中转站P,分别向A、B两个开发区运货.

(1)若要求货站到A、B两个开发区的距离相等,那么货站应建在那里?

(2)若要求货站到A、B两个开发区的距离和最小,那么货站应建在那里?

巩固练习

1、等腰三角形两条边长分别为1

2、15，则这个三角形的周长为（）

A．27 B．39 C．42 D．39或42

2、以下叙述中不正确的是（）

A．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线

B．有一内角为60°的等腰三角形是等边三角形

C．等腰三角形一定是锐角三角形

D．在一个三角形中，如果两条边不相等，那么它们所对的角也不相等；反之，如果两个角不相等，那么它们所对的边也不相等

3、如图是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，BC的长是8m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是（）

A．m B．4 m C．4m D．8 m