精品人教A版选修1-1教案：3.1函数的单调性与导数(含答案)
2018版高中数学人教版A版选修1-1学案：3.3.1 函数的单调性与导数
3.3.1函数的单调性与导数[学习目标] 1.结合实例，直观探索并掌握函数的单调性与导数的关系.2.能利用导数研究函数的单调性，并能够利用单调性证明一些简单的不等式.3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).知识点一函数的单调性与导数的关系(1)在区间(a，b)内函数的导数与单调性有如下关系：导数函数的单调性f′(x)>0单调递增f′(x)<0单调递减f′(x)＝0常函数(2)在区间(a，b)函数的单调性导数单调递增f′(x) ≥0单调递减f′(x)≤0常函数f′(x)＝0思考在区间(a，b)内，函数答案必要不充分条件.知识点二利用导数求函数的单调区间求可导函数单调区间的基本步骤：(1)确定定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解不等式f ′(x )＞0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f ′(x )＜0，解集在定义域内的部分为单调递减区间.题型一 利用导数判断函数的单调性例1 证明：函数f (x )＝sin x x在区间⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减. 证明 f ′(x )＝x cos x －sin x x 2，又x ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 则cos x <0，∴x cos x －sin x <0，∴f ′(x )<0，∴f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π上是减函数.反思与感悟 关于利用导数证明函数单调性的问题：(1)首先考虑函数的定义域，所有函数性质的研究必须保证在定义域内这个前提下进行.(2)f ′(x )>0(或<0)，则f (x )为单调递增(或递减)函数；但要特别注意，f (x )为单调递增(或递减)函数，则f ′(x )≥0(或≤0).跟踪训练1 证明：函数f (x )＝ln x x在区间(0，e)上是增函数. 证明 ∵f (x )＝ln x x ，∴f ′(x )＝x ·1x －ln x x 2＝1－ln x x 2. 又0<x <e ，∴ln x <ln e ＝1.∴f ′(x )＝1－ln x x 2>0， 故f (x )在区间(0，e)上是增函数.题型二 利用导数求函数的单调区间例2 求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝2x 3＋3x 2－36x ＋1；(2) f (x )＝sin x －x (0<x <π)；(3)f (x )＝3x 2－2ln x ；(4) f (x )＝x 3－3tx .解 (1) f ′(x )＝6x 2＋6x －36.。
高中数学人教版选修1-1 3.3.1函数的单调性与导数 教案2
导数与函数的单调性 (教案)教学目标：(1)知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求函数的单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
(2)能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
(3)情感目标：通过在教学过程中让学生多观察、多动手、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
教学重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求函数的单调区间。
教学难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
教学方法：“诱思探究”法 教学手段：多媒体课件等辅助手段 教学过程：一、回顾与思考 提问：1．到目前为止，我们学过判断函数的单调性有哪些方法？ （引导学生回答“定义法”，“图象法”。
） 2．比如，要判断23,y x =-2y x =的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。
） 3．还有没有其它方法？那如果遇到函数： 我们用这两种方法能否很容易地判断出它的单调性吗？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。
）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的另外一种判断函数单调性的方法——导数法。
这时，老师板书课题——导数与函数的单调性。
以问题形式复习相关的旧知识，同时引出新问题：像上述这种三次函数，判断它的单调性，定义法、图象法很不方便，有没有捷径？通过创设问题情境，使学生产生强烈的问题意识，积极主动地参与到学习中来。
二、观察与表达借助多媒体，出示表格1（见下页），所给函数都是学生特别熟悉的一次函数（初中已32()233616f x x x x =--+经学过）。
让学生自己填写表格中的相关内容，目的是让学生探索函数的单调性和导数正负的关系。
老师问：通过表格，我们能否发现函数的这些性质之间有何关系？学生很自然的就回答出：当导数为正时，函数在整个定义域上是增加的，当导数为负时，函数在整个定义域上是减少的。
人教版高中数学选修1-1教案：3.3.1函数的单调性与导数
3.3.1函数的单调性与导数1、教材分析“函数单调性与导数”是人教版《普通高中课程标准实验教科书数学》选修1－1第三章《导数及其应用》的内容。
本节的教学内容属导数的应用，是在学生学习了导数的概念、计算、几何意义的基础上学习的内容，学好它既可加深对导数的理解，又可为后面研究函数的极值和最值打好基础。
由于学生在高一已经掌握了单调性的定义，并能用定义判定在给定区间上函数的单调性。
通过本节课的学习，应使学生体验到，用导数判断单调性要比用定义判断简捷得多（尤其对于三次和三次以上的多项式函数，或图象难以画出的函数而言），充分展示了导数解决问题的优越性。
根据新课标要求和教材的分析，并结合学生的认知特点，确定如下几个方面为本课的教学目标：2、教学目标知识与技能：1.探索函数的单调性与导数的关系。
2.会利用导数判断函数的单调性并求函数的单调区间。
过程与方法：1.通过本节的学习，掌握用导数研究单调性的方法。
2.在探索过程中培养学生的观察、分析、概括的能力渗透数形结合思想、转化思想。
情感态度与价值观：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，培养学生的探索精神，引导学生养成自主学习的学习习惯。
对于函数单调性与导数，学生的认知困难主要体现在：用准确的数学语言描述函数单调性与导数的关系，这种由数到形的翻译，从直观到抽象的转变，对学生是比较困难的。
根据以上的分析和教学大纲的要求，我确定了本节课的重点和难点。
3．教学的重点和难点教学重点：探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间。
教学难点：探索函数的单调性与导数的关系。
4、教学方法：为还课堂于学生，突出学生的主体地位，本节课拟运用“问题--- 解决”课堂教学模式，采用发现式、启发式的教学方法。
通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与教学实践活动，在教师的指导下发现、分析和解决问题，总结规律，培养积极探索的科学精神。
5、教学手段：本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结合，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生的理解。
新版高中数学人教A版选修1-1课件3.3.1函数的单调性与导数
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3.3.1 函数的单调性与导数
首页
课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
【做一做1】 若函数f(x)的导数f'(x)=x(x-2),则f(x)在区间 上
单调递减.
解析:令f'(x)=x(x-2)<0,解得0<x<2,
所以f(x)在区间(0,2)上单调递减.
答案:(0,2)
【做一做2】 若g(x)=ex+4x,则g(x)的单调递增区间是
π,
3π 2
上是单调递增函数.
思路点拨:(1)判断在哪个区间上 f'(x)<0 即可;(2)证明在区间
π,
3π 2
上总有 f'(x)>0.
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3.3.1 函数的单调性与导数
首页
课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
探究一
探究二
探究三
思维辨析
(1)解析:由于 f'(x)=(1+ln������)'·������������-2(1+ln������)·������' = -l������n2������, 当 x∈(1,e)时,f'(x)<0,所以 f(x)在(1,e)上单调递减,故选 C.
3.3.1 函数的单调性与导数
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3.3.1 函数的单调性与导数
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课前预习案 新知导学
课堂探究案 答疑解惑
当堂检测
学习目标
1.理解函数的单调性与 其导数之间的关系; 2.掌握利用导数判断或 证明函数单调性的方法; 3.掌握利用导数求函数 单调区间的方法; 4.理解函数图象与其导 函数图象之间的关系.
高中数学人教A版选修(1-1) 3.3 教学设计 《函数的单调性与导数》(人教)
《函数的单调性与导数》
本课教学函数的单调性与导数。
让学生学会用已知探究未知，用逼近的思想考虑问题。
【知识与能力目标】
1．了解可导函数的单调性与其导数的关系；
2．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三次；
【过程与方法目标】
在教师指导下，让学生积极主动地探索导数概念的形成过程，锻炼运用分析、抽象、归纳、总结形成数学概念的能力
【情感态度价值观目标】
体会数学知识在现实生活中的广泛应用
【教学重点】
利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
【教学难点】
利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
多媒体课件
（一） 复习引入
（出示课件第2页）
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会导数在研究函数中的作用．
（二）新课讲授
1. 函数的单调性与导数的关系
（出示课件第4-5页）
结论： 在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；
如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．。
人教A版高中数学选修1-1 3-3-1 函数的单调性与导数 教
函数的单调性与导数一、教学目标：1、知识目标：能探索并应用函数的单调性与导数的关系求单调区间，能由导数信息绘制函数大致图象。
2、能力目标：培养学生的观察能力、归纳能力，增强数形结合的思维意识。
3、情感目标：通过在教学过程中让学生多动手、多观察、勤思考、善总结，引导学生养成自主学习的学习习惯。
二、教学重点.难点重点：探索并应用函数单调性与导数的关系求单调区间。
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象。
三、学情分析有利因素：1、已经学习了函数的单调性，会用图像法、定义法求函数的单调性；2、在物理学瞬时速度的辅助下掌握了导数概念及几何意义，会求简单函数的导函数；3、学生好奇心强，探究导数与函数单调性关系对他们而言是一个挑战，更能激发他们学习兴趣。
不利因素：学生发现能力欠缺，对于这两个知识板块的整合，学生存在很大兴趣，但却容易无从下手，所以本节课教师要注意引导学生数形结合去发现规律，总结结论。
四、教学方法发现式、启发式五、教学过程新课引入1．判断函数的单调性有哪些方法？（引导学生回答“定义法”，“图象法”。
）2．比如，要判断y=x2 +1的单调性，如何进行？（引导学生回顾分别用定义法、图象法完成。
）3．还有没有其它方法？如果遇到函数：y=x3－x判断单调性呢？（让学生短时间内尝试完成，结果发现：用“定义法”，作差后判断差的符号麻烦；用“图象法”,图象很难画出来。
）4．有没有捷径？（学生疑惑,由此引出课题）这就要用到我们今天要学的导数法。
六、自主学习问：函数的单调性和导数有何关系呢？教师仍以y=x2为例，借助几何画板动态演示，让学生记录结果在课前发的表格第二行中：问：有何发现？（学生回答）问：这个结果是否具有一般性呢？我们来考察两个一般性的例子：（教师指导学生动手实验：把准备好的牙签放在表中曲线y=f(x)的图象上，作为曲线的切线，移动切线并记录结果在上表第三、四行中。
）问：能否得出什么规律？让学生归纳总结，教师简单板书：在某个区间(a，b)内，若f ' (x)>0，则f(x)在(a，b)上是增函数；若f ' (x)<0，则在f(x)(a，b)上是减函数。
高中数学人教A版选修1-1课件3-3-1函数的单调性与导数1
(2)导数与函数图象的关系
函数值增加得越来越快 函数值增加得越来越慢 f′x＞0且越来越大 f′x＞0且越来越小
函数值减少得越来越快 函数值减少得越来越慢
f′x＜0且越来越小 f′x＜0且越来越大
绝对值越来越大
绝对值越来越小
变式训练
已知函数 y＝xf′(x)的图象如图 3－3－2 所示(其中 f′(x) 是函数 f(x)的导函数，下列四个图象中，y＝f(x)的图象大致是
【解析】 由 y＝4x2＋1x，得 y′＝8x－x12.
令 8x－x12＞0，得 x＞12.
【答案】 C
3．函数 y＝2－3x2 在区间(－1,1)上的增减性为( )
A．增函数
B．减函数
C．先增后减
D．先减后增
【解析】 y′＝－6x，故当 x∈(－1,0)时，y′＞0；当 x ∈(0,1)时，y′＜0，所以原函数在区间(－1,1)上先增后减．
教学重难点
重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多 项式函数的单调区间．
难点：利用导数信息绘制函数的大致图象． 采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量，通过数形结 合，图、表并用，使抽象的知识直观化，形象化，以促进学生 的理解，以达到突破重点、难点的目的．
为使学生积极参与课堂学习，宜采取以下学习方法： 1．合作学习：引导学生分组讨论，合作交流，共同探讨问 题； 2．自主学习：引导学生通过亲身经历，动口、动脑、动手 参与数学活动； 3．探究学习：引导学生发挥主观能动性，主动探索新知．
(2)此函数的定义域为 R. y′＝3x2－4x＋1， 令 3x2－4x＋1＞0，解得 x＞1 或 x＜13. 因此 y＝x3－2x2＋x 的单调递增区间为(1，＋∞)，(－∞，13)． 再令 3x2－4x＋1＜0，解得13＜x＜1. 因此 y＝x3－2x2＋x 的单调递减区间为(13，1)．
优质课教学设计：函数的单调性与导数 Word版含答案
教学设计普通高中课程标准实验教科书《数学》选修1-1 （人教A版）函数的单调性与导数（第一课时）《函数的单调性与导数》教学设计课题:函数的单调性与导数教材:人教A版《数学》选修1-1课时:1课时教材分析:函数的单调性与导数是人教A版选修1-1第三章第三课第一节的内容、《数学课程标准》中与本节课相关的要求是：结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间、函数的单调性是函数的重要性质之一、在必修一中学习了利用函数单调性的定义、函数的图象来研究函数的单调性,学习了导数以后,利用导数来研究函数的单调性,是导数在研究处理函数性质问题中的一个重要应用、在前几节课中,学生学习了平均变化率,瞬时变化率,导数的定义和几何意义等内容,在本节课中,学生将要在此基础上学习通过导数来研究函数的单调性,掌握研究函数单调性的更一般方法,进而为后面学习函数的极值,最值等作出知识铺垫,打下能力基础,进行方法指导,因此,本节课可以起到承上启下,完善建构,拓展提升的作用、学生学情分析:课堂学生为高二年级的学生,学生基础普遍比较好,但是学习单调性的概念是在高一第一学期学过,因此对于单调性概念的理解不够准确,同时导数是高中学生新接触的概念,如何将导数与函数的单调性联系起来是一个难点、在本节课之前学生已经学习了导数的概念、导数的几何意义和导数的四则运算,初步接触了导数在几何中的简单应用,但对导数的应用还仅停留在表面上、本节课应着重让学生通过探究来研究利用导数判定函数的单调性、教学目标:结合实例,借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系：能利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间、重点：利用导数研究函数的单调性,会求不超过三次的多项式函数的单调区间、难点：探索并了解函数的单调性与导数的关系、借助几何直观,通过实例探索并了解函数的单调性与导数的关系；理解并掌握利用导数判断函数单调性的方法,会用导数求函数的单调区间；体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性,同时感受和体会数学发展的一般规律、教学策略分析:根据新课程标准的要求,本节课的知识目标定位在以下三个方面：一是能探索函数的单调性与导数的关系；二是掌握判断函数单调性的方法；三是能由导数信息绘制函数大致图象、本节课的教学设计也是围绕这些目标,让学生自主探究,充分参与课堂,并从中体会学习的成功和快乐、本节课时学习过导数的概念和运算后,首次运用导数解决函数相关问题的一节课,如何激发学生的兴趣,使其探索和运用新的工具即导数解决单调性问题是本节课的关键,利用手边胡工具,更好的分析这个过程,运用信息技术确认加深理解、充分利用学生已有的基础,分析原函数的单调性与导数正负之间的关系,本着由形到数,由数到形,数形结合的思想、（一）创设情境,引发冲突、师：在北方,进入十月,就能感觉到阵阵寒意,今天我们就从一个气温的实际问题开始数学之旅、师：我市气象站对冬季某一天气温变化的数据统计显示,从2时到5时的气温与时间可近似的用函数拟合,问：这段气温随时间的变化趋势如何？回答这个问题,我们需要了解这个函数的什么性质？生：函数的单调性、师：如何判断这个函数的单调性呢？生：画图象,用定义、师：有的同学说画图象,有的说用单调性的定义,我们动手来做一下吧生：动手操作、师：选择画图的同学们,可以画出图象么？生：不可以、师：哪位同学来说一下如何用单调性的定义来解决、21t t ，tt CC 1ln 4)(--=t t t C生：在区间2到5上,任意选取且 ,我们需要判断 的符号,师：可以判断么？生：不可以、师：好,请坐,也就是我们已有的方法都遇到了困难,如何解决这个单调性问题呢？设计意图：通过学生熟悉的生活情景,激发学生迫切知晓函数单调性的欲望,尝试运用所学知识解决非初等函数的单调性,引发学生的认知冲突,思考如何将未知化为已知,激发了学生主动学习新知识的热情、（二）回归定义,寻求方法、师：追本溯源,我们重新回到定义、请一位同学回答单调性的定义、生:在函数)(x f 的定义域内的某区内,满足对于任意的且,都有 ,是增函数、 师：很好,也就是我们要需要判断 的符号,我们把这个形式变形,判断的符号,结果为:生：大于0、师：即函数值的改变量与自变量改变量的比值:生：大于0师：函数)(x f 在区间 内是减函数,满足对于任意的且 ,都有 ,也就是 生：小于0、即函数值的改变量与自变量改变量的比值:生：小于0、1212)()(x x x f x f --1212)()(x x x f x f --21t t <),(b a ),(,21b a x x ∈21x x <)()(21x f x f >)()(21x f x f <)()(21x f x f -21x x <),(b a ),(,21b a x x ∈)()(21t C t C -师：我们发现,函数的单调性与这样一个比值的符号相关,在本章的学习中,我们知道这叫做----生：函数的平均变化率、师：我们运用无限趋近于的方式,可以由平均变化率得到瞬时变化率,反过来,瞬时变化率可以刻画函数在该点附近的变化情况,我们知道瞬时变化率,即----生：导数、师：非常棒！我们这节课就试着用导数来研究函数的单调性、板书：3、3、1函数的单调性与导数、设计意图：注意到知识的联系,尝试在学生原有认知的基础上建立新知,通过回顾函数单调性的定义,将其形式改变,联想平均变化率,运用无限趋近于的方式,得到瞬时变化率,即导数,引发学生思考导数与单调性的关系,这个过程由浅入深,层层深入,合乎学生的逻辑思维、（三）观察发现,探索规律、师：要研究函数的单调性与导数的关系,我们来观察,函数单调递增时,平均变化率大于0,函数单调递减时,平均变化率小于0,那么,导数的符号是否与函数的单调性有关呢？师：我们从最熟悉的函数开始研究,我们都学过哪些基本初等函数呢？生：幂函数,指数函数,对数函数,三角函数、师：对于这些函数,我们都是通过函数的形,也就画出图像的方式来研究,同样的,导数的形,也就是导数的几何意义是什么呢？生：函数的图像在该点处切线的斜率、师：根据导数的几何意义,我们一起来看研究的方法、师：给出函数的图像,指出其单调区间,用牙签靠近图像,使其作为该点处的切线,移动牙签,观察斜率即导数的正负情况、师：拿出坐标纸,作出你研究的函数图像,利用牙签,得出结论,并填写下面的表格、师：可以进行讨论,到前面展示你的结果、师：我们一起来看同学们的展示,可以得到什么结论呢？生：导数为负数时函数单调递减,导数为正数时单调递增、师：熟悉的初等函数,得到这样的结论,数学来源于生活,我们再来看生活中的例子:h t给出高台跳水运动员的高随时间变化的函数,来研究运动员运动状态的变化情况、生：可以画出这个二次函数的图像,得到高度的变化情况,从),0(a 时刻,高度上升,)a时刻高度下降、,(b师：也就是高度函数先单调递增,而后单调递减,运动状态除了高度,还有速度,我们进一步研究、师：给出导函数即速度函数的图像,有什么结论？生：导函数即速度图像在x轴的上方时高度函数单调递增,导函数图像在x轴下方时函数单调递减、设计意图：从基本初等函数入手,让学生动手操作,通过观察、归纳,提炼,激发学生的自主探究欲望、让学生发现导数的符号与函数的单调性之间的联系、培养学生共同解决问题、探讨问题的能力和合作意识,从而培养学生的探究意识和探究能力、引导学生从形的角度来验证,降低了学生的思维难度,又能体会导数研究单调性的一般性、生活实例高台跳水是我们从导数概念就开始使用,把抽象的概念与物理背景结合,能迅速的突破难点,高度函数的单调性与速度函数的关系,再次确认了结论、（四）结论总结,揭示本质、师：我们一起来总结一下函数的单调性与导数的关系、一般地,函数)(x f y =在某个区间),(b a 内1)如果恒有)(x f '>0,那么)(x f y =在这个区间),(b a 内单调递增；2)如果恒有)(x f '<0,那么)(x f y =在这个区间),(b a 内单调递减、导函数值的正负与单调性之间存在这样的关系,这个结论也印证了我们本节课一开始的思考和分析、若恒有)(x f '=0呢？思考一下板书：结论内容师：有结果了么？生：常函数、设计意图：由观察、猜想到归纳、总结,让学生体会知识的发现的过程,使学生的思维、行动积极主动地参与课堂教学、从猜想到验证的发现过程,使自主探究成为学生的一种学习习惯、（五）自主分析,多维验证、师：这里我们分析了我们熟悉的函数,其他的函数呢？我们不妨来分析一下我们遇到困难的函数)(x f 、师：运用我们探究出的结论,求出函数)(x f 的单调区间,如何运用导数知识来解决呢？生：先给出定义域,求出导函数,导函数大于0的部分为增区间,小于0的部分为减区间、师：非常好！我们把完整的过程展示出来,发现利用导数这个工具,可以便捷的解决这个单调性问题、借助于作图工具,我们来看、师：做出函数的图像,在图像上任意选取一点,移动该点,我们可以观察到什么？生：函数单调递减然后单调递增、师：这个函数的单调性与导数之间有我们刚才得到的关系么？利用导数的几何意义,做出该点处的切线,显示其斜率即导数值,让点运动起来、师：有什么发现？生：导数值为正数时函数单调递增,函数值为负数时函数单调递减、师：我们可以做出导数点,动态生成导函数图像,再次印证了我们的结论作出该点出的切线,观察斜率即导数值得变化、作出导数点,观察导函数的形成过程、对比函数和导函数的图像,得出函数的单调性和导数正负的关系、设计意图：让学生见证导数在研究函数单调性问题上的威力,感受数学来源于生活又服务于生活、教师使用GGB来动态演示,引导学生从“形”的角度验证,实现多维验证,降低学生思维的难度,体现了导数方法在研究单调性问题中的一般性和优越性、（六）数学应用,体会价值、例：求函数233)(x x x f -=的单调区间,并画出函数的大致图像、师：一起解决,并进行板书、展示学生的绘图、生:共同回答、练习：求函数x x x x f ()()())(23++=的单调区间、师：用GGB 展示结果、设计意图：开放函数系数,激发学生自我挑战的学习欲望,为学生创设“应用导数研究函数单调性”的自由平台,感受到书法的通用性和优越性,充分展现导数在研究函数问题中的强大工具作用,同时高效重温二次不等式的解法,避免因解不等式的障碍冲淡核心知识的学习,起到一题多用的效果、（七）方法小结,课堂提升、师：通过本节课的学习,思考下面的问题生：学习了函数的单调性与导数的关系,能够用利用导数求函数的单调区间,研究中体现了数形结合的思想、师：我们从一个无法解决的实际问题出发,回归定义寻求方法,从熟悉的函数到实际生活,得出结论,并能运用到陌生的函数中,探究过程中体现了数形结合的思想、设计意图：作为本节课的总结,从知识、方法、思想三个角度进行总结,对整节课探究过程进行回顾,体会数学研究问题的方式和其中的数学思想、尝试学生回顾本节的学习,培养“学习-总结-反思”的良好习惯、（八）回归生活,感悟数学、师：最后我们放松一下,一起来坐过山车生：过山车时视线向上时高度上升,视线向下时高度下降、师：这如同函数的单调性与切线斜率即导数正负的关系、师：人生犹如过山车,站在人生的每个瞬间的点上,我们都能向上看,人生轨迹就会是持续上升趋势；相反,如果我们被负面情绪萦绕,我们就会走下坡路、只要饱含正能量,脚踏实地走好每一步,相信同学们的前途会一片光明！设计意图：体会数学可以回归生活、再次加深对本节课的感性认识,体会数学的人文精神、（九）分层作业,因材施教、必做题：教材98页,习题3、3A组1、2题、选做题：结合所学知识,举几个函数实例,比较定义法、图像法、导数法求单调区间的特点、设计意图：学生巩固所学知识,为学有余力的同学留进一步探索、发展的空间、。
高中数学人教A版选修1-1课件：3.3.1《函数的单调性与导数》
（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间 t的增加而减少,
即h(t)是减函数.相应地,v(t) h(t) 0 ．
函数的单调性可简单的认为是：
若 f (x2 ) f (x1) 0,则函数f (x)为增函数 x2 x1
通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的 变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函 数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函 数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的 联系呢?
复习引入：
问题1：函数单调性的定义怎样描述的? 一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于 区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，有 (1)若f(x1)<f (x2) ，那么f(x)在这个区间上是增函数. (2)若f(x1)>f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.
可把 f (x2 ) f (x1) 看作 y f (x2 ) f (x1)
x2 x1
x
x2 x1
说明函数的变化率可以反映函数的单调性， 即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.
上述情况是否具有一般性呢?导数的几何意 义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象 上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么 函数的单调性与导数有什么关系呢?
若f(x)在区间(a,b)上是增函数,
则转化为 f '(x) 0 在(a,b)上恒成立;
若f(x)在区间(a,b)上是减函数,
则转化为 f '(x) 0 在(a,b)上恒成立.
利用导函数判断原函数大致图象 例1、已知导函数的下列信息：
试画出函数f(x)图象的大致形状。
【数学】3.3.1《函数的单调性和导数》教案(新人教A版选修1-1)
§3.3.1函数的单调性与导数【成功细节】严俏华谈导数的计算的方法本节主要是用函数的导数研究函数的单调性，学习过程中要深刻理解相关的结论以及方法，要学好本节内容，我认为应注意以下几个细节入手：（1）函数在某点处的单调性与该点处的切线的斜率（即函数在该点处的导数值）的符号相关；若导数值大于零，则函数在此处为增函数；（2）若函数在某个闭区间上的导数值恒为零，则该函数为常数函数；（3）在求函数的单调区间时，可直接解关于导数的不等式；（4）深刻理解函数的单调性与函数的导数之间的关系，包括连个方面：导数的符号说明函数的单调性，某区间内，导数值为正，则函数为增函数；导数绝对值得大小反映了函数图象的变化速度，绝对值越大，函数图象越陡峭。
如 这个题主要考查导数的基本运算以及应用导数解决函数的单调性，是一个简单题，可直接求解即可.1()ln ln 1f x x x x x'=+⨯=+，令()0f x '>可解得1x e>，所以函数的单调递增区间是1(,)e +∞.【高效预习】（核心栏目）“要养成学生阅读书籍的习惯就非教他们预习不可”。
——叶圣陶【精读·细化】1.用10分钟的时间阅读教材89～91页, 函数的单调性与导函数正负之间有怎样关系？某个区间内函数的平均变化率的几何意义与导数之间的联系呢？如果在某个区间恒有()f x '=0，那么函数有什么特征？细节提示:把握住单调性定义中y 的变化量与x 的变化量的比值与导数的定义之间的关系。
【提升·解决】1.在某个开区间内，导数值大于零，则函数在这个区间内单调递增，导数值小于零，则函数在这个区间内单调递减；若函数在某个区间内恒有导数值等于零，则函数为常数函数.【关注·思考】2.阅读课本92～93页，理解函数变化的快慢程度与函数导数值的绝对值的大小之间的关系.细节提示:函数图象，不仅体现函数的增减，还可以体现函数值变化的快慢.【提炼·发现】2.函数导数的绝对值较大，则函数在这个范围内变化得快，函数的图象就比较“陡峭”，反之就“平缓”一些.（2007年广东 文12）函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是＿＿＿＿． 2007年广东省文科状元严俏华【学习细节】（核心栏目）A ．基础知识导数的应用知识点1 函数的单调性与导数之间的关系【情景引入】函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的，那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系吗?【思考】 如图（1），它表示跳水运动中高度h 随时间t 变化的函数2() 4.9 6.510h t t t =-++的图像，图（2）表示高台跳水运动员的速度v 随时间t 变化的函数'()()9.86.5v t h t t ==-+的图像．运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？【引导】 随着时间的变化，运动员离水面的【探究】通过观察图像，我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点，离水面的高度h 随时间t 的增加而增加，即()h t 是增函数．相应地，'()()0v t h t =>．（2）从最高点到入水，运动员离水面的高度h 随时间t 的增加而减少，即()h t 是减函数．相应地，'()()0v t h t =<．【思考】 导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率，函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的，那么函数的单调性与导数有什么关系呢？ 【引导】可先分析函数的单调性与导数的符号之间的关系.【探究】函数的单调性可简单的认为是:若2121()()f f x x xx-->0则函数f(x)为增函数.可把2121()()f f x x x x--看作y x∆∆=2121()()f f x x x x--.说明函数的变化率可以反映函数的单调性.即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.观察下面函数的图象，探讨函数的单调性与其导数正负的关系．（1）函数y x =的定义域为R ，并且在定义域上是增函数，其导数10y '=>； （2）函数2y x =的定义域为R ，在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增； 而2()2y x x ''==，当0x <时，0y '<；当0x >时，0y '>；当0x =时，0y '=。
人教A版高中数学选修1-1学案 3.3.1函数的单调性与导数
§3.3.1函数的单调性与导数学习目标1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；2.掌握利用导数判断函数单调性的方法学习过程一、课前准备（预习教材P89~ P93，找出疑惑之处）复习1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有＝，那么函数f(x)就是区间I上的函数.复习2：；；；；；；；；二、新课导学※学习探究探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：问题：我们知道，曲线的切线的斜率就是函数的导数.从函数的图像来观察其关系：y=f(x)=x2－4x+3 切线的斜率f′(x)(2，+∞)(－∞，2)在区间（2，）内，切线的斜率为，函数的值随着x的增大而，即时，函数在区间（2，）内为函数；在区间（，2）内，切线的斜率为，函数的值随着x的增大而，即0时，函数在区间（，2）内为函数.新知：一般地，设函数在某个区间内有导数，如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么函数在这个区间内的减函数.试试：判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）；（2）；（3）；（4）.反思：用导数求函数单调区间的三个步骤：①求函数f(x)的导数.②令解不等式，得x的范围就是递增区间.③令解不等式，得x的范围就是递减区间.探究任务二：如果在某个区间内恒有，那么函数有什么特性？※典型例题例1 已知导函数的下列信息：当时，；当，或时，；当，或时，.试画出函数图象的大致形状.变式：函数的图象如图所示，试画出导函数图象的大致形状.例2 如图，水以常速（即单位时间内注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度与时间的函数关系图象.※动手试试练1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）；（2）；（3）；（4）.练2. 求证：函数在内是减函数.三、总结提升※学习小结用导数求函数单调区间的步骤：①求函数f(x)的定义域；②求函数f(x)的导数.③令，求出全部驻点；④驻点把定义域分成几个区间，列表考查在这几个区间内的符号，由此确定的单调区间注意：列表时，要注意将定义域的“断点”要单独作为一列考虑.※知识拓展一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得快，这时，函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数的图象就“平缓”一些. 如图，函数在或内的图象“陡峭”，在或内的图象“平缓”.学习评价※自我评价你完成本节导学案的情况为（）.A. 很好B. 较好C. 一般D. 较差※当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：1. 若为增函数，则一定有（）A．B．C．D．2.函数在下面哪个区间内是增函数（）A．B．C．D．3. 若在区间内有，且，则在内有（）A．B．C．D．不能确定4.函数的增区间是，减区间是5.已知，则等于课后作业1. 判断下列函数的的单调性，并求出单调区间：（1）；（2）；（3）.1.已知汽车在笔直的公路上行驶：（1）如果函数表示时刻时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点. （2）如果函数表示时刻时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？。
高二数学3.3.1函数的单调性与导数学案新人教A版选修1-1
A． f ( x ) ＞ 0
B． f ( x ) ＜ 0 C． f ( x ) ＝ 0
D．不能确定 解析： 由 f ′（x ) ＞ 0 知， f ( x) 在 ( a， b) 上单调递增，
∴ f ( x) ＞ f ( a) ≥0，即 f ( x) ＞ 0，故选 A.
2． 函数
y ＝ x3 － 3x
的单调 增 区 间 是
(1) 确定函数 f ( x) 的定义域 ；
(2) 求导数 f ′（x) ；
(3) 解不等式 f ′ ( x) ＞ 0 或 f ′（x) ＜ 0；
(4) 写单调区间．
3．利用导数判断函数单调性和确定单调区间的注意事项．
(1) 必须首先确定函数的定义域，在具体的解决问题过程中，只能在定义域内，通过讨论导
＋∞ ) ．
答案： ( － 1， 2) ， (5 ，＋∞） 4. 设 f ( x) ＝ ln x ， g( x ) ＝ f ( x ) ＋ f ′（x) ．
求 g( x) 的单调区间．
1 解析： 由题设知 f ( x ) ＝ ln x， g( x ) ＝ ln x＋x ，
x－ 1 ∴ g′ ( x) ＝ x2 ，令 g′（x) ＝ 0，得 x＝ 1.
________________________________________________________________________
____________ ． 答案： 解析： y ′＝ 3x 2－ 3，令 y ′＞ 0，即 3x2－ 3＞ 0，解得 x ＞ 1，或 x＜－ 1，∴函数 y ＝ x3－ 3x 的单调增区间是 ( －∞，－ 1) ， (1 ，＋∞ ) ．
1 当 x≠０时， a≥－ 3x2，
高中数学人教A版选修1-1 3.3.1 函数的单调性与导数
间是
0,
5 3
.
(2)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),f'(x)=4-���1���2.
令 f'(x)>0,即 4-���1���2>0,解得 x>12或 x<-12;
令 f'(x)<0,即 4-���1���2<0,解得-12<x<12,且 x≠0.
所以函数 f(x)的单调递增区间是
-∞,-
探究一
探究二
探究三
思维辨析
变式训练 2 求下列函数的单调区间: ((12))ff((xx))==l������n���2���������+������; 4; (3)f(x)=ex-x.
探究一
探究二
探究三
思维辨析
解:(1)函数定义域为(0,+∞),f'(x)=1-������l2n������. 令 f'(x)>0,即 1-ln x>0,解得 0<x<e; 令 f'(x)<0,即 1-ln x<0,解得 x>e. 所以函数的单调递增区间是(0,e),递减区间是(e,+∞). (2)函数定义域为 R, f'(x)=(������)'·(������2(+������24+)-4������)·2(������2+4)' = (������42-+������42)2. 令 f'(x)>0,即 4-x2>0,解得-2<x<2; 令 f'(x)<0,即 4-x2<0,解得 x<-2 或 x>2; 所以函数的单调递增区间是(-2,2),递减区间是(-∞,-2)和(2,+∞). (3)函数定义域为 R,f'(x)=ex-1. 令 f'(x)>0,即 ex-1>0,解得 x>0; 令 f'(x)<0,即 ex-1<0,解得 x<0; 所以函数的单调递增区间是(0,+∞),递减区间是(-∞,0).
高中数学选修1-1人教A教案导学案：331函数的单调性与导数5页word文档
3. 3.1函数的单调性与导数课前预习学案一、预习目标了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系，会利用导数求函数的单调区间，会利用导数画出函数的大致图象二、预习内容怎样判断函数的单调性？1、__________2、___________ 例如判断函数y=x 2的单调性：想一想：怎样判断函数y=x 3-3x 的单调性呢？ 函数单调性与导数的关系：函数及图象 单调性 导数)('x f 的正负在)0,(-∞上递减 在),0(+∞上递增在(a,b)上递增 在(a,b)上递减结论：对于函数f(x)，在某个区间（a ，b ）内，⇒>0)('x f __________________________________________ ⇒<0)('x f ___________________________________________三、提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标1.了解并掌握函数单调性的定义以及导数与函数单调性的关系2.会利用导数求函数的单调区间，会利用导数画出函数的大致图象 学习重难点：导数与函数单调性的关系。
二、学习过程 (一)知识回顾：怎样判断函数的单调性？1、__________2、___________ 例如判断函数y=x 2的单调性：想一想：怎样判断函数y=x 3-3x 的单调性呢？ 函数单调性与导数的关系：函数及图像单调性导数)('x f 的正负在)0,(-∞上递减 在),0(+∞上递增在(a,b)上递增 在(a,b)上递减结论：对于函数f(x)，在某个区间（a ，b ）内，⇒>0)('x f __________________________________________ ⇒<0)('x f ___________________________________________（二）探究一：讨论函数单调性，求函数单调区间：1、(选填:“增” ,“减” ,“既不是增函数,也不是减函数”)(1) 函数y=x －3在[－3，5]上为__________函数。
人教A版高中数学选修一3.3.1函数的单调性与导数
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知能巩固提升(二十二)/课后巩固作业(二十二)（时间：30分钟满分：50分）一、选择题（每小题4分，共16分）1.下列函数中，在区间(-1,1)上是减函数的是( )(D)y=sinx(A)y=2-3x2 (B)y=lnx (C)y=1x22.(2012·德州高二检测)f(x)是定义在（0，+∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)-f(x)≤0,对任意正数a,b，若a＜b,则必有( )(A)af(b)≤bf(a) (B)bf(a)≤af(b)(C)af(a)≤f(b) (D)bf(b)≤f(a)3.(易错题）已知函数f(x)=x3-ax-1，若f(x)在(-1,1)上单调递减，则a的取值范围为（）（A）a≥3 （B）a＞3（C）a≤3 （D）a＜34.(2011·山东高考）函数y=x2-2sinx 的图象大致是( )二、填空题（每小题4分，共8分）5.(2012·惠州高二检测）函数f(x)=xlnx 的单调减区间为__________.6.已知函数f(x)=ax 1x 2++在(-2,+∞)上单调递减，则a 的取值范围是_______. 三、解答题（每小题8分，共16分）7.已知函数f(x)=x 3-ax-1,（1）是否存在a,使f(x)的单调减区间是(-1,1)；（2）若f(x)在R 上是增函数，求a 的取值范围.8.（2011·浙江高考）设函数f(x)=a 2lnx-x 2+ax(a ＞0).（1）求f(x)的单调区间；（2）求所有的实数a ，使e-1≤f(x)≤e 2对x ∈［1,e ］恒成立．【挑战能力】（10分）已知a ＞0，函数f(x)=13 a 2x 3-ax 2+23，判断函数f(x)在［-1,1］上的单调性.答案解析1.【解析】选C.对于函数y=1x 2-，其导数y ′=()21x 2--＜0,且函数在区间(-1,1)上有意义，所以函数y=1x 2-在区间(-1,1)上是减函数，其余选项都不符合要求.2.【解析】选A.构造函数g(x)=()f x x , 则g ′(x)=()()2xf x f x x '-≤0,若g(x)=()f x x 不是常数函数，故g(x)=()f x x在(0,+∞)上递减,因0＜a ＜b,所以g(a)＞g(b),即()()f a f b a b ＞,即af(b)＜bf(a),若g(x)=f(x)x 是常数函数，则g ′(x)=0恒成立，故g(a)=g(b),即()()f a f b a b =,即af(b)=bf(a),综上af(b)≤bf(a).3.【解析】选A.∵f ′(x)=3x 2-a,又f(x)在(-1,1)上单调递减,∴f ′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,即3x 2-a ≤0在(-1,1)上恒成立．∴a ≥3x 2在(-1,1)上恒成立,又0≤3x 2＜3,∴a ≥3,经验证当a=3时,f(x)在(-1,1)上单调递减．【变式训练】函数y=ax 3-x 在R 上是减函数，则( )（A ）a ≥13 （B ）a=1 （C ）a=2 （D ）a ≤0【解析】选D.因为y ′=3ax 2-1，函数y=ax 3-x 在(-∞,+∞)上是减函数，所以y ′=3ax 2-1≤0恒成立，当x=0时，3ax 2≤1恒成立，此时a ∈R ；当x ≠0时，若21a 3x ≤恒成立，则a ≤0.综上可得a ≤0.4.【解题指南】求出函数的导函数y ′，分别解y ′＞0和y ′＜0，结合余弦函数的图象可以解决.【解析】选C.因为y ′=12-2cosx,所以令y ′=12-2cosx>0,得cosx<14,此时原函数是增函数;令y ′=12-2cosx<0,得cosx>14,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得C 正确.5.【解析】函数f(x)定义域为(0,+∞),f ′(x)=lnx+1.解f ′(x)＜0得x ＜1e ,又x ＞0,∴f(x)的减区间为(0,1e ).答案：(0,1e )6.【解题指南】已知函数的单调性求参数的取值范围，可转化为f ′(x)≤0恒成立问题，求a 的取值范围.注意端点值的验证.【解析】∵f ′(x)=()22a 1x 2-+且函数f(x)在(-2,+∞)上单调递减，∴f ′(x)≤0在(-2,+∞)上恒成立.∴a ≤12.当a=12时，f ′(x)=0恒成立,不合题意，应舍去. ∴a ＜12. 答案：a ＜12 7.【解析】f ′(x)=3x 2-a ，（1）∵f(x)的单调减区间是(-1,1),∴-1＜x ＜1是f ′(x)＜0的解，∴x=±1是方程3x2-a=0的两根，所以a=3.(2)∵f(x)在R上是增函数，∴f′(x)=3x2-a≥0对x∈R恒成立,即a≤3x2对x∈R恒成立.∵y=3x2在R上的最小值为0.∴a≤0.8.【解析】（1）∵f(x)=a2lnx-x2+ax，其中x＞0,∴f′(x)=()()2x a2x aa2x ax x-+-+=-,由于a＞0，∴f(x)的增区间为(0,a)，减区间(a,+∞). （2）由题意得，f(1)=a-1≥e-1,即a≥e,由（1）知f(x)在［1,e］上单调递增，要使e-1≤f(x)≤e2对x∈［1,e］恒成立，只要()()222f1a1e1f e a e ae e=-≥-⎧⎪⎨=-+≤⎪⎩，解得a=e.【方法技巧】由函数的单调性求参数的取值范围常用方法（1）求出函数的单调区间，使所给的区间是函数某个单调区间的子区间，转化到已知单调性求参数的取值范围；（2）从f′(x)＞0或f′(x)＜0恒成立入手，再补充端点值；（3）转化为f′(x)＞0或f′(x)＜0在给定的区间上恒成立，进一步转化为求函数在给定区间上的最值.注意验证端点值是否符合题意. 【挑战能力】【解析】f′(x)=a2x2-2ax=ax(ax-2),令f′(x)=0得x1=0,x2=2a＞0,①当2a ≥1即0＜a≤2时，y=f′(x)的草图如图①所示:在-1＜x＜0时,f′(x)＞0，f(x)递增；在0＜x＜1时,f′(x)＜0,f(x)递减.②当0＜2a＜1即a＞2时，y=f′(x)的草图如图②所示:在-1＜x＜0及2a＜x＜1时,f′(x)＞0,f(x)递增；在0＜x＜2a时,f′(x)＜0,f(x)递减.综上所述：当0＜a≤2时，增区间为（-1，0），减区间为（0，1）;当a＞2时，增区间为(-1,0),(2a ,1),减区间为(0, 2a).【误区警示】此题易忽略不讨论2a与1的大小，单纯地认为只有第②种情况.。
高中数学人教A版选修1-1课件：3.3.1《函数的单调性与导数》
动画剪纸之对称性
创设情景:
函数是客观描述世界变化规律的重要数学模 型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快 与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常 重要的.
在(
3a ， 3a )上为减函数 33
综上可知,当a 0时, f (x) 0, f (x)在(, )上为增函数
当a 0时,f (x)在(， 3a )，( 3a ， )上为增函数, 33
在( 3a , 3a )上为减函数. 33
1. f (x)不变,若f (x)为增函数,求实数a 的取值范围. (，0]
函数的单调性与导数的关系:
一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,
则函数在该区间 如果f´(x)>0, 则f(x)在这个区间为增函数; 如果f´(x)<0, 则f(x)在这个区间为减函数. 如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为函数,
即h(t)是增函数.相应地,v(t) h(t) 0 ．
（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间 t的增加而减少,
即h(t)是减函数.相应地,v(t) h(t) 0 ．
函数的单调性可简单的认为是：
若 f (x2 ) f (x1) 0,则函数f (x)为增函数 x2 x1
可把 f (x2 ) f (x1) 看作 y f (x2 ) f (x1)
域出发的习惯）; ②求导数f´(x); ③得结论: f´(x)>且在定义域内的为增区间; f´(x)<0且在
定义域内的为减区间．
(3)由函数在(a,b)上的单调性,求参数的取值范围: 若f(x)在区间(a,b)上是增函数, 则转化为f´(x)≥0在(a,b)上恒成立; 若f(x)在区间(a,b)上是减函数, 则转化为f´(x)≤0在(a,b)上恒成立. 然后检验参数的取值能否使f´(x)恒等于0.
人教a版数学【选修1-1】作业：3.3.1函数的单调性与导数(含答案)
§3.3导数在研究函数中的应用3.3.1 函数的单调性与导数 课时目标 掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间．1．函数的单调性与其导函数的关系：在某个区间(a ，b )内，如果__________，那么函数y ＝f (x )在这个区间内单调递增；如果________，那么函数y ＝f (x )在这个区间内______________；如果恒有__________，那么函数f (x )在这个区间内为常函数．2．一般地，如果一个函数在某一范围内的导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内____________，这时，函数的图象就比较“________”；反之，函数的图象就比较“________”．3．求函数单调区间的步骤和方法(1)确定函数f (x )的定义域；(2)求导数f ′(x )；(3)在函数定义域内解不等式f ′(x )>0和f ′(x )<0；(4)确定f (x )的单调区间．一、选择题1．命题甲：对任意x ∈(a ，b )，有f ′(x )>0；命题乙：f (x )在(a ，b )内是单调递增的．则甲是乙的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．若在区间(a ，b )内，f ′(x )>0，且f (a )≥0，则在(a ，b )内有( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )＝0D ．不能确定3．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是( )A ．sin xB ．x e xC ．x 3－xD ．ln x －x4．函数f (x )＝2x －sin x 在(－∞，＋∞)上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减D ．不确定5．定义在R 上的函数f (x )，若(x －1)·f ′(x )<0，则下列各项正确的是( )A ．f (0)＋f (2)>2f (1)B ．f (0)＋f (2)＝2f (1)C ．f (0)＋f (2)<2f (1)D ．f (0)＋f (2)与2f (1)大小不定6．函数y ＝ax －ln x 在(12，＋∞)内单调递增，则a 的取值范围为( ) A ．(－∞，0]∪[2，＋∞) B ．(－∞，0] C ．[2，＋∞) D ．(－∞，2]题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7．函数f (x )＝x 3－15x 2－33x ＋6的单调减区间是____________．8．已知f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在R上是减函数，则a的取值范围为________．9．使y＝sin x＋ax在R上是增函数的a的取值范围为____________．三、解答题10．求函数f(x)＝2x2－ln x的单调区间．11.(1)已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调减区间为[－1,2]，求b，c的值．(2)设f(x)＝ax3＋x恰好有三个单调区间，求实数a的取值范围．能力提升12．判断函数f(x)＝(a＋1)ln x＋ax2＋1的单调性．13．已知函数f(x)＝x3－ax－1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增，求实数a的取值范围；(2)是否存在实数a，使f(x)在(－1,1)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．1．利用导数的正负与函数单调性的关系可以求函数的单调区间；在求函数单调区间时，只能在定义域内讨论导数的符号．2．根据函数单调性可以求某些参数的范围．§3.3 导数在研究函数中的应用3．3.1 函数的单调性与导数答案知识梳理1．f ′(x )>0 f ′(x )<0 单调递减 f ′(x )＝02．变化得快 陡峭 平缓作业设计1．A [f (x )＝x 3在(－1,1)内是单调递增的，但f ′(x )＝3x 2≥0(－1<x <1)，故甲是乙的充分不必要条件．]2．A [因为f (x )在(a ，b )上为增函数，∴f (x )>f (a )≥0.]3．B [A 中，y ′＝cos x ，当x >0时，y ′的符号不确定；B 中，y ′＝e x ＋x e x ＝(x ＋1)e x ，当x >0时，y ′>0，故在(0，＋∞)内为增函数；C 中：y ′＝3x 2－1，当x >0时，y ′>－1；D 中，y ′＝1x－1，当x >0时，y ′>－1.] 4．A [f ′(x )＝2－cos x ，∵cos x ≤1，∴f ′(x )>0，∴f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数．]5．C [当x >1时，f ′(x )<0，f (x )是减函数，∴f (1)>f (2)．当x <1时，f ′(x )>0，f (x )是增函数，∴f (0)<f (1)．因此f (0)＋f (2)<2f (1)．]6．C [∵y ′＝a －1x，函数y ＝ax －ln x 在⎝⎛⎭⎫12，＋∞内单调递增， ∴函数在(12，＋∞)上y ′≥0，即a －1x≥0， ∴a ≥1x .由x >12得1x<2， 要使a ≥1x恒成立，只需a ≥2.] 7．(－1,11)解析 ∵f ′(x )＝3x 2－30x －33＝3(x ＋1)(x －11)．由f ′(x )<0，得－1<x <11，∴f (x )的单减区间为(－1,11)．8．(－∞，－3]解析 f ′(x )＝3ax 2＋6x －1≤0恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧ a <0Δ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a <036＋12a ≤0， ∴a ≤－3.9．[1，＋∞)解析 ∵f ′(x )＝cos x ＋a ≥0，∴a ≥－cos x ，又－1≤cos x ≤1，∴a ≥1.10．解 由题设知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)． f ′(x )＝4x －1x ＝4x 2－1x， 由f ′(x )>0，得x >12，由f ′(x )<0， 得0<x <12，∴函数f (x )＝2x 2－ln x 的单调增区间为⎝⎛⎭⎫12，＋∞，单调减区间为⎝⎛⎭⎫0，12. 11．解 (1)∵函数f (x )的导函数f ′(x )＝3x 2＋2bx ＋c ，由题设知－1<x <2是不等式3x 2＋2bx ＋c <0的解集．∴－1,2是方程3x 2＋2bx ＋c ＝0的两个实根，∴－1＋2＝－23b ，(－1)×2＝c 3， 即b ＝－32，c ＝－6. (2)∵f ′(x )＝3ax 2＋1，且f (x )有三个单调区间，∴方程f ′(x )＝3ax 2＋1＝0有两个不等的实根，∴Δ＝02－4×1×3a >0，∴a <0.∴a 的取值范围为(－∞，0)．12．解 由题意知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x. ①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减．③当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 时，f ′(x )>0； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞时，f ′(x )<0. 故f (x )在⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增， 在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 综上，当a ≥0时，f (x )在(0，＋∞)上单调递增；当a ≤－1时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减；当－1<a <0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫ －a ＋12a ，＋∞上单调递减． 13．解 (1)由已知，得f ′(x )＝3x 2－a .因为f (x )在(－∞，＋∞)上是单调增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈(－∞，＋∞)恒成立． 因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )在实数集R 上单调递增，所以a ≤0.(2)假设f ′(x )＝3x 2－a ≤0在(－1,1)上恒成立，则a ≥3x 2在x ∈(－1,1)时恒成立．因为－1<x <1，所以3x 2<3，所以只需a ≥3.当a ＝3时，在x ∈(－1,1)上，f ′(x )＝3(x 2－1)<0，即f (x )在(－1,1)上为减函数，所以a ≥3.故存在实数a ≥3，使f (x )在(－1,1)上单调递减．。
人教A版选修1-1教案：3.1函数的单调性与导数(含答案)
§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）【学情分析】：高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化率。
在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。
本节内容就是通过对函数导数计算，来判定可导函数增减性。
【教学目标】：（1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；（2）掌握利用导数判断函数单调性的方法（3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性【教学重点】：利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间教学环节教学活动设计意图情景引入过程从高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数：2() 4.9 6.510h t t t=-++分析运动动员的运动过程：上升→最高点→下降运动员瞬时速度变换过程：减速→0→加速从实际问题中物理量入手学生容易接受实际意义向函数意义过渡从函数的角度分析上述过程：()h t先增后减'()h t由正数减小到0，再由0减小到负数将实际的量与函数及其导数意义联系起来，过渡自然，突破理解障碍引出函数单调性与导数正负的关系通过上述实际例子的分析，联想观察其他函数的单调性与其导数正负的关系'()10f x↔=>增函数进一步的函数单调性与导数正负验证，加深两者之间的关系0'()2x<0f x∞↔=(-，)减函数(0'()2x0f x∞↔=>，+)增函数200'()3x0f x∞∞↔=>U(-,)(,+)增函数210'()<0f xx∞↔=-(-，)减函数21'()<0f xx∞↔=-(0，+)减函数我们能否得出以下结论：在某个区间（a,b）内，如果'()0f x>，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递增；如果'()0f x<，那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减答案是肯定的从导数的概念给出解释0'()0f x>表明函数在此点处的切线斜率是由左下向右用导数的几何意义理解导数正负与单调性的内在关系，帮上，因此在0x 附近单调递增0'()0f x <表明函数在此点处的切线斜率是由左上向右下，因此在0x 附近单调递减00000()()()()'()0lim00x x f x f x f x f x f x x x x x →-->⇔>⇒>--所以，若0x x <，则0()()f x f x <，f(x)为增函数 同理可说明0'()0f x <时，f(x)为减函数 助理解与记忆导数正负与函数单调性总结若y=f(x)在区间（a,b ）上可导，则（1）在（a,b ）内，'()0f x >⇔y=f(x)在（a,b ）单调递增（2）在（a,b ）内，'()0f x <⇔y=f(x)在（a,b ）单调递减抽象概括我们的心法手册（用以指导我们拆解题目）例题精讲1、根据导数正负判断函数单调性 教材例1在教学环节中的处理方式：以学生的自学为主，可以更改部分数据，让学生动手模仿。
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§1．3．1函数的单调性与导数（1课时）
【学情分析】：
高一学过了函数的单调性，在引入导数概念与几何意义后，发现导数是描述函数在某一点的瞬时变化率。
在此基础上，我们发现导数与函数的增减性以及增减的快慢都有很紧密的联系。
本节内容就是通过对函数导数计算，来判定可导函数增减性。
【教学目标】：
（1）正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
（2）掌握利用导数判断函数单调性的方法
（3）能够利用导数解释实际问题中的函数单调性
【教学重点】：
利用导数判断函数单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间
随时间t变化的函数：
增函数
↔=
f x
'()1
00
(-,)(,+)增函数
∞∞
(-，)减函数
∞↔=-
f x
0'()
课后练习：
1、函数3
y x x =+的递增区间是（ ）
A ),0(+∞
B )1,(-∞
C ),(+∞-∞
D ),1(+∞ 答案C '
2
310y x =+>对于任何实数都恒成立
2、已知函数1)(2
3
--+-=x ax x x f 在),(+∞-∞上是单调函数,则实数a 的
取值范围是（ ）
A ),3[]3,(+∞--∞
B ]3,3[-
C ),3()3,(+∞--∞
D )3,3(-
答案B '2()3210f x x ax =-+-≤在),(+∞-∞恒成立，2
4120a a ∆=-≤⇒≤≤
3、函数x
x y 1
42
+
=单调递增区间是（ ） A ),0(+∞ B )1,(-∞ C ),2
1(+∞ D ),1(+∞
答案C 令3'
2
22
181180,(21)(421)0,2
x y x x x x x x x -=-=>-++>>
4、对于R 上可导的任意函数()f x ，若满足'(1)()0x f x -≥，则必有（ ）
A (0)(2)2(1)f f f +<
B (0)(2)2(1)f f f +≤ C
(0)(2)2(1)f f f +≥ D (0)(2)2(1)f f f +>
答案C 当1x ≥时，'
()0f x ≥，函数()f x 在(1,)+∞上是增函数；当1x <时，'
()0f x ≤，()f x 在(,1)
-∞上是减函数，故()f x 当1x =时取得最小值，即有
(0)(1),(2)(1),f f f f ≥≥得(0)(2)2(1)f f f +≥
5、函数3
2
x x y -=的单调增区间为 ，单调减区间为___________________ 答案2(0,)3 2(,0),(,)3
-∞+∞ '2
2320,0,3
y x x x x =-+===或
6、函数552
3
--+=x x x y 的单调递增区间是___________________________ 答案5(,),(1,)3
-∞-+∞ '2
53250,,13
y x x x x =+-><->令得或
7、已知c bx ax x f ++=2
4)(的图象经过点(0,1)，且在1x =处的切线方程是2y x =-
（1）求)(x f y =的解析式；（2）求)(x f y =的单调递增区间
解：（1）c bx ax x f ++=2
4)(的图象经过点(0,1)，则1c =，
'3'()42,(1)421,f x ax bx k f a b =+==+=
切点为(1,1)-，则c bx ax x f ++=2
4
)(的图象经过点(1,1)- 得59
1,,22
a b c a b ++=-=
=-得 42
59()122
f x x x =
-+
（2）'
3
()1090,0,f x x x x x =-><<>
或
-+∞单调递增区间为(,0),()
1010。