2007.4.10合情推理与演绎推理(二)

练习2
作业:课本 P A 组第 5 题， P B 组第 1、2 题. 93 94
练习2:把四面体与三角形作类比,由平面中的 余弦定理猜想空间中的结论
平面内,三角形ABC中，
2 2 2
a b c 2bc cos A
A
四面体A-BCD中， 如图,在空间 设二面角B-AC-D，C-AD-B， B b D-AB-C的大小依次为 1 , b 2 , b 3
C
D
2 2 2 2 S BCD S ABC S ACD S ABD 2 S ABC S ACD cos b1
2 S ACD S ABD cos b 2 2 S ABD S ABC cos b 3
例3.利用等差数列性质类比得等比数列性质
等差数列 定义 an an1 d（n 2) 通项公 式 a 等比数列
an q n ≥ 2) （ a n 1
an a1 ( n 1)d
n
an a1q
n 1
am ( n m )d
an am q
nm
n(a1 an ) (q 1) na1 Sn 2 S n a1 (1 q n ) 前n项和 n( n 1) 1 q ( q 1) na1 d 2
2.人们仿照鱼类的外型和它们在水中沉浮的原理,发明 了潜水艇. 3.科学家对火星进行研究,发现火星与地球有许多类似 的特征; 1)火星是绕太阳运行、绕轴自转的行星; 2)有大气层,在一年中也有季节变更; 3)火星上大部分时间的温度适合地球上某些已知生物 的生存,等等.
科学家猜想;火星上也可能有生命存在.
⑥ a b a1b1 a2 b2 0 ⑥ a b a b a b a b 0 1 1 2 2 3 3
⑦ | a | a12 a 22
⑦ | a | a12 a22 a32
什么是类比呢？ 就是这种:在两类不同事物之间进行对比,找 出若干相同或相似点之后,推测在其他方面也可以 存在相同或相似之处的一种推理模式,称为类比推 理.(简称:类比) 类比推理的几个特点:
④
⑤ a // b a1 b1 , a2 b2 ( R) ⑤ a // b a b , a b , a b ( R) 1 1 2 2 3 3
a b a1b1 a2 b2
④ a பைடு நூலகம்b a1b1 a2 b2 a3 b3
① a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ) ② a b (a1 b1 , a2 b2 ) ② a b (a b , a b , a b ) 1 1 2 2 3 3 ③ a ( a1 , a2 )( R ) ③ a ( a1 , a2 , a3 )( R)
合情推理与演绎推理(二)
每当理智缺乏可靠认证的思路时，类比这个方法 能指引我们前进。 ──康德 我珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖 的老师，它能揭示自然界的秘密，在几何学中它是最 不容忽视的。 ──开普勒 类比是一个伟大的引路人，求解立体几何问题往 往有赖于平面几何中的类比。 ──波利亚
1.工匠鲁班类比带齿的草叶和蝗虫的牙齿,发明了锯;
SPAB PA PB 由图(1)有面积关系: SPAB PA PB
VP ABC PA PB PC 则由图(2)有体积关系: VP ABC PA PB PC
B B
B
A
B
C
P
C
A
图(1)
P
A 图(2)
A
归纳推理和类比推理的共同点
从具体问 题出发
观察、分析、 比较、联想
归纳、 类比
提出 猜想
合情推理
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实, 经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、 类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称 为合情推理.
作业:课本 P A 组第 5 题， P B 组第 1、2 题. 93 94
课外思考:
1.(2001年上海)已知两个圆①x2+y2=1:与② x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆 的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的 情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命 题,而已知命题应成为所推广命题的一个特例, 设圆的方程为① 推广的命题为----------------------------(x-a)2+(y-b)2=r2与②(x-c)2+(y-d)2=r2（a≠c或 ---------------------------------------------------------b≠d),则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴 ---------------------------------------------------------方程. --------.
(3) a=ba2=b2;等等。 (3) a＞ba2＞b2;等等。 思考：这样猜想出的结论是否一定正确呢？ 又如,在平面内，若a⊥c,b⊥c,则a//b. 类比到空间，你会得到 什么结论？并判断正误. 猜想:在空间中，若a ⊥g，b ⊥g, 则a//b。
错误 （可能相交）
练习:（2004广东，15）
1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正 在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出 新的结果. 2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的 特殊属性. 3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,但它却有发 现的功能.
例1 例2
例1.在平面几何里,有勾股定理: “设△ABC的两边 AB、AC互相垂直，则AB2+AC2=BC2.”拓展到空 间，类比平面几何的勾股定理， “设三棱锥ABCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂 直，研究三棱锥的侧面面积与底面面积的关系,可 以得出的猜想是______________________.” A Ｂ
c2=a2+b2
c
a
D
C
2 2
Ｃ
b
Ａ
2
猜想:SBCD SABC SACD SADB
B
2
类比平面内直角三角形的勾股定理, 得空 间中四面体性质的猜想．
直角三角形
∠C＝90° 3个边的长度a，b，c 2条直角边a，b和1条斜边c
3个面两两垂直的四面体
∠PDF＝∠PDE＝∠EDF＝90°
合情推理与演绎推理(二)
名言引入
类比小故 事
类比推理
再看两个例
课堂练习
本课小结
作业:课本 P A 组第 5 题， P B 组第 1、2 题. 93 94
只要你在思考数学，你 就在分析、推理……
大家或许也有体会,我们在 解决一个问题之前,总会做出 这样或那样的推测……，有时 做归纳，有时做类比，…… ──合情推理
成等比数列
2 n m 2
Sm , S2 m Sm , S3 m S2 m Sm , S2 m Sm , S3 m S2 m
成等差数列
例4：试根据等式的性质猜想不等式的性质。 等式的性质： 猜想不等式的性质： (1) a=ba+c=b+c; (2) a=b ac=bc;
(1) a＞ba+c＞b+c; (2) a＞b ac＞bc;
圆的周长 S = 2πR 球的表面积 S = 4πR2
4
圆的面积 S =πR 2 球的体积 V = πR3 3 圆心与弦(非直径)中点的连线 球心与不过球心的截面(圆面) 的圆点的连线垂直于截面 垂直于弦 与圆心距离相等的两弦相等 与球心距离相等的两截面面积相等
与圆心距离不相等的两弦不相 与球心距离不相等的两截面面积 不相等,距球心较近的面积较大 等,距圆心较近的弦较长 以点(x0,y0)为圆心, r为半径 以点(x0,y0,z0)为球心, r为半 的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2 径的球的方程为(x-x0)2+(y= r2 y0)2+(z-z0)2 = r2
4.利用平面向量的本定理类比得到空间向量的基本定理.
5.利用平面向量的性质类比得空间向量的性质
平面向量
若 a ( a1 , a 2 ) ， b ( b1 , b2 )则
① a b (a1 b1 , a2 b2 )
空间向量
b 若a (a1 , a2 , a3 ) ， (b1 , b2 , b3 ) 则
类比推理的一般步骤
类比推理的一般步骤:
⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； ⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， 从而得出一个猜想；
⑶ 检验猜想。 即
观察、比较
联想、类推
猜想新结论
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d, B类事物具有性质a′,b′,c′, (a,b,c与a′,b′,c′相似或相同） 所以B类事物可能具有性质d′.
继续 例4
等差数列
中项
等比数列
任意实数a、b都有等 当且仅当a、b同号时才 差中项 ，为 a b 有等比中项 ，为 ab
2
下标等差,项等差 n+m=p+q时, am+an= ap+aq
性质
下标等差,项等比 n+m=p+q时, aman= apaq
an am 2a n m
2
an am a
4个面的面积S1，S2，S3和S 3个“直角面” S1，S2，S3和1个 “斜面” S
例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比. 圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的 点的集合. 球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集 合.
圆
弦 直径 周长 面积