平行线的判定和性质

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七年级下册数学平行线的判定及性质

重要知识点：

在几何学中，判定两条直线是否平行有三种方法：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

典型例题：

⑴不相交的两条直线不一定是平行线。

⑵在同一平面内不相重合的两条直线，如果它们不平行，则它们不一定相交。

⑶过一点可以且只可以画一条直线与已知直线平行。

典型例题：

根据图中条件，可以判定BF与EC平行，根据同位角相等的方法。

平行线的性质：

两条平行线之间有三个重要性质：同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

两条平行线之间的距离可以用垂直于这两条线的线段长度来表示。

命题：

命题是用来判断一件事情的语句，由题设和结论两部分组成。在几何学中，命题常常用“如果……，那么……”的形式来表达。其中，用“如果”开始的部分是题设，用“那么”开始的部分是结论。

5、平行线的性质与判定

平行线的性质与判定是互逆的关系。如果两条直线平行，那么它们的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。如果两条直线的角度关系满足同位角相等、内错角相等、同旁内角互

补，那么它们是平行线。在典型例题中，如果已知∠1＝∠B，那么可以求证∠2＝∠C。

6、平移变换

平移变换是将一个图形整体沿某一方向移动，得到一个形状和大小完全相同的新图形。新图形的每一点都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点，连接各组对应点的线段平行且相等。平移变换的特征是，经过平移之后的图形与原来的图形的对应线段平行且相等，对应角相等，图形的形状和大小都没有发生变化。在典型例题中，如果△XXX经过

平移之后成为△DEF，那么可以求出点A的对应点是点D，

平行线的判定与性质

平行线的判定与性质
公理
1、两点确定一条直线。 2、两点之间线段最短。 3、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 4、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行. 5、同位角相等，两条直线平行． 6、两边及其夹角对应相等的两个三角形全等． 7、两角及其夹边对应相等的两个三角形全等． 8、三边对应相等的两个三角形全等．
2、已知：b∥a，c∥a
求证：b∥c
d
1 2
证明：∵ b∥a （已知） 3 ∴ ∠1=∠2（两直线平行，同位角相等） ∵ c∥a（已知） ∴ ∠1=∠3 （两直线平行，同位角相等） ∴ ∠2=∠3（等量代换） ∴ b∥c ，（同位角相等，两直线平行）
a b c
3、已知，如图∠1+∠2=180°
9、等量代换
定理：
同角的补角相等；
等角的补角相等；
同角的余角相等；等角的余角相等；
三角形的任意两边之和大于第三边；
平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行-----公理内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行
平行线的性质定理： 3 两直线平行，同位角相等； 8 5 7 6 两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补。
练习：已知：如图∠1=∠2，
A G C 1
E 2 F

平行线的判定及性质

授课主题平行线

教学目的1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；

2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理

3.掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；

教学重点平行线的判定及性质

教学内容

【知识梳理】

要点一、平行线

1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．

要点诠释：

(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；

(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．

(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．

2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点二、直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠4＋∠2＝180°

平行线的性质与判定

不成立，两直线平行。
应用：在实际问题中，该定理常常用于判断两条线是否平行，或者在已知某直线与某直线平行时，判断另一条
直线是否与该直线平行。
04
平行线的应用
平行线在几何证明中的应用
利用平行线证明等腰三角形
利用平行线证明直角三角形
利用平行线证明相似三角形
利用平行线证明线段的比例关系
性质证明：通过平行线与两条相交的直线形成的两个三角形，利用三角形的高相等来证明平行线间的距离相等。
性质应用：在几何学中，平行线间的距离相等是重要的性质，用于解决各种几何问题。
性质的意义：平行线间的距离相等是几何学中的基本性质之一，对于理解空间结构和解决几何问题具有重要意义。
03
平行线的判定
同位角相等则两直线平行
0
0
0
0பைடு நூலகம்
1
2
3
4
平行线在日常生活中的应用
建筑学：在建筑设计时，利用平行线的性质确定建筑物的位置和方向，保证
建筑物的稳定性。
交通工具：汽车、火车等交通工具的轨道线都是平行的，这样可以保证车辆
安全、稳定地行驶。
电子设备：电视、电脑等显示器的屏幕线都是平行的，这样可以保证图像的
清晰度和稳定性。
性质进行推导和证明。
平行线的同旁内角互补
定义：同旁内角互补，即同旁内角的和等于180度。性质：平行线被一条横截线所截，同旁内角互补。证明：根据平行线的性质，两直线平行时，同旁内角互补。应用：在几何证明中，常常利用同旁内角互补的性质来证明两直线平行。

平行线的判定和性质

a b

c 1

武汉龙文教育学科辅导教案

学生教师学科

时间星期时间段【知识点复习讲解】

一、平行线的判定

公理:同位角相等,两直线平行.∵∠1=∠2, ∴a∥b.

判定定理1:内错角相等,两直线平行.∵∠1=∠2, ∴a∥b.

判定定理2:同旁内角互补,两直线平行.∵∠1+∠2=180 , ∴a∥b.

二、平行线的性质

公理:两直线平行,同位角相等.∵a∥b, ∴∠1=∠2.

性质定理1:两直线平行,内错角相等.∵a∥b, ∴∠1=∠2.

性质定理2:两直线平行,同旁内角互补.∵a∥b, ∴∠1+∠2=1800

a b

1 a

一、平行线的判定

例1．如图１，若∠A=∠3，则 ∥ ；若∠2=∠E ，则 ∥ ；

若∠ +∠ = 180°，则 ∥ ．

练习：

1.若a⊥c，b⊥c，则a b ．

2．如图２，写出一个能判定直线l 1∥l 2的条件：．

3.如图３，若∠1 +∠2 = 180°，则 ∥ 。

4．在四边形ABCD 中，∠A +∠B = 180°，则 ∥ （）．

5．如图４，∠1、∠2、∠3、∠4、∠5中，同位角有；内错角有；同旁内角有．

A C

B 4 1 2 3 5 图４ a b c d 1 2 3 图３ A B

C E

D 1 2 3 图１图２ 4 3 2 1 5 a b

例2．如图５，填空并在括号中填理由：

（1）由∠ABD =∠CDB 得 ∥ （）；（2）由∠CAD =∠ACB 得 ∥ （）；

（3）由∠CBA +∠BAD = 180°得 ∥ （）

练习：

1．如图６，尽可能多地写出直线l 1∥l 2的条件：．

平行线的判定及性质

授课主题平行线

教学目的1.理解平行线的概念;掌握平行公理及其推论；

2.掌握平行线的判定方法及性质;并能进行简单的推理

3. 掌握命题的定义;知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成;对于给定的命题;能找出它的题设和结论；

教学重点平行线的判定及性质

教学内容

知识梳理

要点一、平行线

1．定义：在同一平面内;不相交的两条直线叫做平行线;如果直线a与b平行;记作a∥b．

要点诠释：

1平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交;三者缺一不可；

2有时说两条射线平行或线段平行;实际是指它们所在的直线平行;两条线段不相交并不意味着它们就平行．3在同一平面内;两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地;重合的直线视为一条直线;不属于上述任何一种位置关系．

2．平行公理：经过直线外一点;有且只有一条直线与这条直线平行．

3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行;那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

1平行公理特别强调“经过直线外一点”;而非直线上的点;要区别于垂线的第一性质．

2公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

3“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点二、直线平行的判定

判定方法1：同位角相等;两直线平行.如上图;几何语言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD同位角相等;两直线平行

判定方法2：内错角相等;两直线平行.如上图;几何语言：

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD内错角相等;两直线平行

判定方法3：同旁内角互补;两直线平行.如上图;几何语言：

∵∠4＋∠2＝180°

∴AB∥CD同旁内角互补;两直线平行

初一几何平行线的性质及判定.

第二级（上）·第1讲·基础-提高-尖子班·教师版

定义

示例剖析

平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示．

∥a b ，∥AB CD 等．

平行线的性质：

两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补． b

a 43

若∥a b ，则12∠=∠；若∥a b ，则23∠=∠；

若∥a b ，则34180∠+∠=︒．

平行线的判定：

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． b

a 43

若12∠=∠，则∥a b ；若23∠=∠，则∥a b ；

若34180∠+∠=︒，则∥a b ．

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(c )b a

过直线a 外一点A 做∥b a ，∥c a ，则b 与c 重合．

平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．

c b a

若∥，∥b a c a ，则∥b c ．

模块一平行的定义、性质及判定

知识导航

平行的性质及判定

【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（）

A ．同位角相等

B ．内错角相等

C ．同旁内角互补

D ．以上都不对

⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定

⑶ 如图，下面推理中，正确的是（）

A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥

平行线的判定及性质

授课主题平行线

教学目的1.理解平行线的概念，掌握平行公理及其推论；

2.掌握平行线的判定方法及性质，并能进行简单的推理

3. 掌握命题的定义，知道一个命题是由“题设”和“结论”两部分组成，对于给定的命题，能找出它的题设和结论；

教学重点平行线的判定及性质

教学内容

【知识梳理】

要点一、平行线

1．定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，如果直线a与b平行，记作a∥b．

要点诠释：

(1)平行线的定义有三个特征：一是在同一个平面内；二是两条直线；三是不相交，三者缺一不可；

(2)有时说两条射线平行或线段平行，实际是指它们所在的直线平行，两条线段不相交并不意味着它们就平行．

(3)在同一平面内，两条直线的位置关系只有相交和平行两种．特别地，重合的直线视为一条直线，不属于上述任何一种位置关系．

2．平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

3．推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

要点诠释：

(1)平行公理特别强调“经过直线外一点”，而非直线上的点，要区别于垂线的第一性质．

(2)公理中“有”说明存在；“只有”说明唯一．

（3）“平行公理的推论”也叫平行线的传递性.

要点二、直线平行的判定

判定方法1：同位角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠3＝∠2

∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）

判定方法2：内错角相等，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠1＝∠2

∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）

判定方法3：同旁内角互补，两直线平行.如上图，几何语言：

∵∠4＋∠2＝180°

平行线的三个性质

平行线的知识点

平行线的定义：在同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线。

平行线的三个性质：

1、两直线平行，同位角相等。

2、两直线平行，内错角相等。

3、两直线平行，同旁内角互补。

平行线的判定方法：

1.在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。

2.如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。.

3.同位角相等，两直线平行。

4.内错角相等，两直线平行。

5.同旁内角互补，两直线平行。

6.在同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行。

平行线的性质和判定

平行线的性质

一、知识归纳

性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；

性质2 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等；

性质3 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.

简单说成：

两直线平行，同位角相等；

两直线平行，内错角相等；

两直线平行，同旁内角互补.

平行线的判定和平行线的性质的区别

直线平行的条件平行线的特征

同位角相等，两直线平行两直线平行，同位角相等

内错角相等，两直线平行两直线平行，内错角相等

同旁内角互补，两直线平行两直线平行，同旁内角互补

由数量关系确定图形的位置关系由图形的位置关系决定数量关系

二、例题讲解

例1、（1）如图，AB//CD，直线EF与AB、CD分别相交于G、H，∠AGE=60°，则∠EHD的度数是（）

A．30°B．60°C．120°D．150°

（2）如图，直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=34°，那么∠2的度数是________.

（3）如图，已知∠1=∠2，∠3=80°，则∠4等于（）

A．80°B．70°C．60°D．50°

（4）如图，是明明养的小乌龟上的一块花纹，DE//FG，BC//DE，EF//DC，DC//AB，则∠B与∠F的关系是_____________.

例2、（1）如图，已知AB//EF//CD，EG//DB，图中与∠1相等的角（∠1除外）共有（）

A．6个B．5个C．4个D．3个

（2）如图，是赛车跑道的一段示意图，其中AB//DE，测得∠B=140°，∠D=120°，则∠C的度数为（）

A．120°B．100°C．140°D．90°

（3）在同一平面内有两个角，它们有一条边在同一直线上，另一边互相平行，那么这两个角的关系是（）A．相等B．互补C．相等且互补D．相等或互补

平行线的判定与性质

一、平行线的判定与性质的关系

平行线的识别与性质，有不少同学由于刚刚接触，往往对其识别与性质容易混淆。下面，咱们就从它们的意义和作用上进行辨析。

1、从意义上看

平行线的识别就是要“判定”两条直线平行或不平行，也就是说从已知角相等（或角互补）的关系出发，推出两直线平行这一结论；而平行线的性质是在两直线平行的已知条件下得出角相等或互补的结论。

2、从作用上看

平行线的识别是判断两条直线平行的依据，而平行线的性质是作为判断“两个同位角相等、内错角相等、同旁内角互补”等的依据。二者所用文字完全相同，差别就是在于前后两句话的顺序的颠倒，而这个颠倒正是它们之间的本质区别。所以，我们在学习中要注意两者的因果关系。

二、解决平行线问题的方法

在解决有关平行线的问题中，我们可从下面几个方面入手.

1．寻找基本图形

在一个图形中有两组以上的平行线,先根据每一组平行线探索其

中的结论，然后再找出所得结论之间存在的关系.

2.构造基本图形

当已知的图形中没有同位角、内错角或同旁内角时，可以通过适当的辅助线构造基本图形，利用平行线的特征解题.

3. 综合运用平行线的特征与平行的条

件图3平行线的特征与平行的条件的综合运用,是解决与平行线有关的问题的常用方法.先由“形”得到“数”，即应用特征得到角相等（或互补），再利用角之间的关系进行计算，得到新的关系.然后再由“数”

到“形”得到一组新的平行.

三、借助辅助线解决问题

1．在解题过程中，有些题目由已知条件不能直接推出结论，需

要添加适当的线，帮助解决问题，像这样的线叫辅助线。添加的辅助线一般都用虚线表示，并且要说明作法。添加辅助线是解题的一种手段，一般只有当题目中因已知不易或不能直接推出结论时，才要添加辅助线. 本章的辅助线通常是作平行线，目的是构造两条直线被第三条直线所截的基本图形，以便利用平行线的判定和性质.

平行线的判定、性质公理及定理

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

平行公理推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

考点一

平行线的判定：

1．两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．2．两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行．3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．注意：证明两直线平行，关键是找到与特征结论相关的角.

例1．如下图，当∠1=∠3时，直线a、b平行吗？

当∠2+∠3=180°时，直线a、b平行吗？为什么？你有几种方法。

例2．请将下面的空补充完整

1．如右图，若∠1=∠2，则_______∥_______（）若∠3=∠4，则_________∥_________（）

若∠5=∠B，则_________∥_________（）

若∠D+∠DAB=180°，则______∥_______

（）

2．如右图，∠1+∠2=180°（已知）

∠3+∠2=180°（）

∴∠1=_________

∴AB∥CD（）

课堂练习：

1．如图6－21，已知∠B=142°,∠BFE=38°,∠EFD=40°,∠D=140°,求证：AB∥C D．

2．已知，如下图（1），（2），直线AB∥ED．

求证：∠ABC+∠CDE=∠BCD．

（1）（2） 3．如图，如果AB∥CD，求角α、β、γ与180º之间的关系式．

4．如图，已知CD 是∠ACB 的平分线，∠ACB = 500，∠B = 700，DE ∥BC，

求：∠EDC 和 ∠BDC 的度数。

达标训练：一．选择题

平行线的性质及判定

平行的性质及判定

定义示例剖析

平行线的概念：在同一平面内，永不相交的两条直线称为平行线．用“∥”表示．

∥

a b，∥

AB CD等．

平行线的性质：

两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．

若∥

a b，则12

∠=∠；

若∥

a b，则23

∠=∠；

若∥

a b，则34180

∠+∠=︒．

平行线的判定：

同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．

若12

∠=∠，则∥

a b；

若23

∠=∠，则∥

a b；

若34180

∠+∠=︒，则∥

a b．

思路导航

题型一：平行线的定义、性质及判定

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行．

简单说成：过一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(c )b a

过直线a 外一点A 做∥b a ，∥c a ，则b 与c 重合．

平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．

简单说成：平行于同一条直线的两条直线平行．

c b a

若∥，∥b a c a ，则∥b c ．

【例1】 ⑴ 两条直线被第三条直线所截，则（）

A ．同位角相等

B ．内错角相等

C ．同旁内角互补

D ．以上都不对

⑵ 1∠和2∠是同旁内角，若145∠=︒，则2∠的度数是（） A ．45︒ B ．135︒ C ．45︒或135︒ D. 不能确定

⑶ 如图，下面推理中，正确的是（）

A ．∵180A D ∠+∠=°，∴AD BC ∥

B ．∵180

D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ C ．∵180A D ∠+∠=°，∴AB CD ∥ D ．∵180A C ∠+∠=°，∴AB CD ∥

初中数学平行线的性质及判定知识点

学校数学平行线的性质及判定学问点1

平行线的性质及判定

平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。

性质2：两直线平行，内错角相等。

性质3：两直线平行，同旁内角互补。

平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。

判定2：内错角相等，两直线平行。

判定3：同旁内角相等，两直线平行。

通过上面对数学中平行线的性质及判定学问点的内容讲解学习，信任同学们已经能很好的把握了吧，盼望同学们会从中学习的更好。

学校数学平行线的性质及判定学问点2

相交线

1、两条直线相交，有且只有一个交点。(反之，若两条直线只有一个交点，则这两条直线相交。)

两条直线相交，产生邻补角和对顶角的概念：

邻补角：两角共一边，另一边互为反向延长线。邻补角互补。要留意区分互为邻补角与互为补角的异同。

对顶角：两角共顶点，一角两边分别为另一角两边的反向延长线。对顶角相等。

注：①、同角或等角的余角相等;同角或等角的补角相等;等角的对顶角相等。反过来亦成立。

②、表述邻补角、对顶角时，要留意相对性，即“互为”，要讲清谁是谁的邻补角或对顶角。例如：

推断对错：由于∠ABC +∠DBC = 180°，所以∠DBC是邻补角。( )

相等的两个角互为对顶角。( )

2、垂直是两直线相交的特别状况。留意：两直线垂直，是相互垂直，即：若线a垂直线b，则线b垂直线a 。

垂足：两条相互垂直的直线的交点叫垂足。垂直时，肯定要用直角符号表示出来。

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。(注：这一点可以在已知直线上，也可以在已知直线外)

3、点到直线的距离。

平行线的性质和判定是啥

平行线的性质和判定是啥平行线的性质：

性质1：两直线平行，同位角相等。性质2：两直线平行，内错角相等。性质3：两直线平行，同旁内角互补。平行线的判定：

判定1：同位角相等，两直线平行。判定2：内错角相等，两直线平行。判定3：同旁内角相等，两直线平行。

平行线的判定、性质公理及定理

你有几种方法。

1.如图 6-21,已知Z B =142

平行公理：

经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。平行公理推论：

如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

考点一

平行线的判定：

1两直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 2. 两直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.

3. 两直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 注意：证明两

直线平行，关键是找到与特征结论相关的角例1.如下图，当/

1= /时，直线a 、b 平行吗？

当/ 2+ / 3=180 °时，直线a b 平行吗？为什么?

例2 •请将下面的空补充完整

1. ___________________________ 如右图，若/ 1= / 2，

则 ____________________________________ // _______

若/ 3= Z 4,则 _______________ // ___________ ( 若/ 5= /B ,贝U __________ / _____________ ( 若 / D + Z DAB =180 ° , 贝U __

( )

如右图，Z 1+ Z 2=180。(已知)

Z 3+ Z 2=180 °

(

)

/•Z 1= _________

••• AB // CD (

)

课堂练习：

,启FE =38 ° , ZEFD =40 ° , ZD=140

2.已知，如下图(1), (2),直线AB // ED . 求证：Z