平行线的判定和性质

平行线的判定和性质一、选择题1.如图，下列条件：①∠1=∠3，②∠2+∠4=180°，③∠4=∠5，④∠2=∠3，⑤∠6=∠2+∠3中能判断直线l1∥l2的有（）A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个2.如图，已知∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是（）A. B.C. D.3.下列条件中，能说明AD∥BC的条件有（）个①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠1+∠2=∠3+∠4④∠A+∠C=180°⑤∠A+∠ABC=180°⑥∠A+∠ADC=180°．A. 1B. 2C. 3D. 44.如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）A. ∠ ∠B. ∠ ∠C. ∠ ∠D. ∠ ∠5.将一直角三角板与两边平行的纸条如图放置．若∠1=60°，则∠2的度数为（）A. B. C. D.6.如图，直线a∥b，若∠1=50°，∠3=95°，则∠2的度数为（）A.B.C.D.7.如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（）A.B.C.D.8.如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）A.B.C.D.9.如图，已知∠1=∠2，∠3=30°，则∠B的度数是( )A. B. C. D.10.如图，已知AB//CD//EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A的度数是（）A.B.C.D.11.如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，则∠4等于（）A.B.C.D.12.已知直线m//n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）A. B. C. D.13.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A. B. C. D.14.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）A. B. C. D.15.如图，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB=32°，则下列结论正确的有（）（1）∠C′EF=32°（2）∠AEC=116°（3）∠BGE=64°（4）∠BFD=116°．A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个16.如图，已知AB∥CD，∠EBF=2∠ABE，∠EDF=2∠CDE，则∠E与∠F之间满足的数量关系是（）A. ∠ ∠B. ∠ ∠C. ∠ ∠D. ∠ ∠二、填空题17.如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1=______ ．18.已和，如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2，请说明∠AED=∠C．根据提示填空．∵BE平分∠ABC（已知）∴∠1=∠3 （______）又∵∠1=∠2（已知）∴______=∠2 （______）∴______∥______（______）∴∠AED=______（______）．19.如图，一个上下边平行的纸条按如图所示方法折叠一下，则∠1= ______ ．20.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=110°，∠2=40°，则∠3=______°．21.如图，已知AB∥EF，∠C=90°，则α、β与γ的关系是______ ．22.如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交所形成的锐角分别为α、β，则α+β= .23.如图，已知AB∥CD，∠ABP=34°，∠DCP=27°，那么∠BPC=______．24.如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么∠2=______°．三、计算题25.如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，（1）求∠ACD的度数．（2）求∠EDC的度数．26.如图，AB∥DG，∠1+∠2=180°，（1）求证：AD∥EF；（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2=150°，求∠B的度数．27.已知：如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，请说明∠E=∠F的理由．28.（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，可以发现∠B+∠C=∠BEC．请把下面的证明过程补充完整：证明：过点E作EF∥AB，∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法）．∴EF∥DC（______）．∴∠C=∠CEF（______）∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理）．∴∠B+∠C=______（等量代换）即∠B+∠C=∠BEC．（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠B+∠C=360°-∠BEC，请说明理由．（3）解决问题：如图③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，请直接写出∠A的度数．29.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2．（1）试说明DG∥BC的理由；（2）如果∠B=54°，且∠ACD=35°，求的∠3度数．细观察，找规律下列各图中的MA1与NA n平行．（1）图①中的∠A1+∠A2= ______ 度，图②中的∠A1+∠A2+∠A3= ______ 度，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= ______ 度，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= ______ 度，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A11= ______ 度（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1= ______（3）请你证明图②的结论．30.如图：已知：AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠E=∠3，∠1与∠2相等吗？试说明理由．31.（1）如图①，∠CEF=90°，点B在射线EF上，AB∥CD．若∠ABE=130°，求∠C的度数；（2）如图②，把“∠CEF=90°”改为“∠CEF=120°”，AB∥CD．猜想∠ABE与∠C 的数量关系，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，作GC⊥CE，垂足为C，反向延长CD至H，若∠GCH=θ，则∠ABE= ______ （请用含θ的式子表示）．32.如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．解：猜想∠BPD+∠B+∠D=360°理由：过点P作EF∥AB，∴∠B+∠BPE=180°（两直线平行，同旁内角互补）∵AB∥CD，EF∥AB，∴EF∥CD，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．）∴∠EPD+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°∴∠B+∠BPD+∠D=360°（1）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．（2）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．33.（1）如图1，已知，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，EG、EH分别平分∠AEF、∠BEF交CD于G、H，则EG与EH的位置关系是______ ，∠EGH与∠EHG关系是______ ；（2）如图2，已知：AB∥CD∥EF，BE、DE分别平分∠ABD、∠BDC，求证：BE⊥ED．34.如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．（1）试证明：∠O=∠BEO+∠DFO．（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．（3）如果将折一次改为折三次，如图3，则∠BEO、∠O、∠P、∠Q、∠QFD之间会满足怎样的数量关系（直接写出结果不需证明）答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查的是平行线的判定有关知识，根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可．【解答】解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；⑤∵∠6=∠2+∠1=∠2+∠3，∴∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．正确的有①②③⑤共4个．故选B．2.【答案】D【解析】【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据相等的角得出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角，找出平行的直线是关键.由∠1=∠2结合“内错角（同位角）相等，两直线平行”得出两平行的直线，由此即可得出结论.【解答】解：A、∵∠1=∠2，∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；B、∵∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，∴不能得出两直线平行；C、∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，∴不能得出两直线平行；D、∵∠1=∠2，∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.故选D.3.【答案】B【解析】解：①∠1=∠4，可得AB∥DC，错误；②∠2=∠3，可得AD∥BC，正确；③∠1+∠2=∠3+∠4，不能判断AD∥BC，错误；④∠A+∠C=180°，不能判断AD∥BC，错误；⑤∠A+∠ABC=180°，可得AD∥BC，正确；⑥∠A+∠ADC=180°，可得AB∥DC，错误；故选：B．根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案．此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．4.【答案】B【解析】解：过C作CF∥AB，∵AB∥DE，∴AB∥CF∥DE，∴∠1=∠α，∠2=180°-∠β，∵∠BCD=90°，∴∠1+∠2=∠α+180°-∠β=90°，∴∠β-∠α=90°，故选：B．过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠α，∠2=180°-∠β，于是得到结论．本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．5.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查的是平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位角相等．先根据∠1=60°，∠FEG=90°，求得∠3=30°，再根据平行线的性质，求得∠2的度数．【解答】解：如图，∵∠1=60°，∠FEG=90°，∴∠3=30°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=30°．故选D．6.【答案】C【解析】解：根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°，∵a∥b，∴∠2=∠4=45°．故选：C．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．7.【答案】C【解析】解：∵直线a∥b，∠1=75°，∴∠4=∠1=75°，∵∠2+∠3=∠4，∴∠3=∠4-∠2=75°-35°=40°．故选：C．根据平行线的性质得出∠4=∠1=75°，然后根据三角形外角的性质即可求得∠3的度数．本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．8.【答案】A【解析】解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，∴∠3=∠1，∠4=∠2，∵l1∥l2，∴AC∥BD，∴∠CAB+∠ABD=180°，∴∠3+∠4=125°+85°-180°=30°，∴∠1+∠2=30°．故选：A．过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，∠4=∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CAB+∠ABD=180°，然后计算即可得解．本题考查了平行线的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．9.【答案】B【解析】【分析】本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．由“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CE，再根据“两直线平行，同位角相等”得到∠B=∠3=30°.【解答】解：如图，∵∠1=∠2，∴AB∥CE，∴∠B=∠3．又∵∠3=30°，∴∠B=30°．故选B．10.【答案】D【解析】解：∵CD//EF，∠C=∠CFE=25°，∵FC平分∠AFE，∴∠AFE=2∠CFE=50°，又∵AB//EF，∴∠A=∠AFE=50°，故选：D．先根据平行线的性质以及角平分线的定义，得到∠AFE的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A的度数．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．11.【答案】C【解析】解：∵∠1=∠2，∠3=40°，∴∠1=×（180°-∠3）=×（180°-40°）=70°，∵a∥b，∴∠4=∠1=70°．故选：C．根据平角的定义求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等解答．本题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质并求出∠1是解题的关键．12.【答案】D【解析】解：∵直线m//n，∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，故选：D．根据平行线的性质即可得到结论．本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．13.【答案】C【解析】解：过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°-∠1=90°-60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°-30°=60°．故选：C．首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．14.【答案】B【解析】解：∵AB∥CD，∴∠C+∠CAB=180°，∵∠C=50°，∴∠CAB=180°-50°=130°，∵AE平分∠CAB，∴∠EAB=65°，∵AB∥CD，∴∠EAB+∠AED=180°，∴∠AED=180°-65°=115°，故选：B．根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，注意：平行线的性质有：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．15.【答案】D【解析】解：∵AC′∥BD′，∴∠C′EF=∠EFB=32°，所以（1）正确；∵∠C′EF=∠FEC，∴∠C′EC=2×32°=64°，∴∠AEC=180°-64°=116°，所以（2）正确；∴∠BFD=∠EFD′-∠BFE=180°-2∠EFB=180°-64°=116°，所以（4）正确；∠BGE=∠C′EC=2×32°=64°，所以（3）正确．故选D．根据平行线的性质由AC′∥BD′，得到∠C′EF=∠EFB=32°；根据折叠的性质得∠C′EF=∠FEC，则∠C′EC=2×32°=64°，利用平角的定义得到∠AEC=180°-64°=116°；再根据折叠性质有∠BFD=∠EFD′，利用平角的定义得到∠BFD=∠EFD′-∠BFE=180°-2∠EFB=180°-64°=116°；根据平行线性质可得∠BGE=∠C′EC=2×32°．本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．16.【答案】C【解析】解：过点E作EN∥DC，∵AB∥CD，∴AB∥EN∥DC，∴∠ABE=∠BEN，∠CDE=∠NED，∴∠ABE+∠CDE=∠BED，∵∠EBF=2∠ABE，∠EDF=2∠CDE，∴设∠ABE=x，则∠EBF=2x，设∠CDE=y，则∠EDF=2y，∵2x+2y+∠BED+∠F=360°，∴2∠BED+∠BED+∠F=360°，∴3∠BED+∠F=360°．故选：C．直接利用平行线的性质得出∠ABE+∠CDE=∠BED，进而利用四边形内角和定理得出2∠BED+∠BED+∠F=360°，即可得出答案．此题主要考查了平行线的性质以及四边形内角和定理，正确得出∠ABE+∠CDE=∠BED是解题关键．17.【答案】134°【解析】【分析】本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．过E 作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．【解答】解：过E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF，∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，∵∠C=44°，∠AEC为直角，∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°-44°=46°，∴∠1=180°-∠BAE=180°-46°=134°，故答案为134°．18.【答案】角平分线的定义；∠3；等量代换；DE；BC；内错角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，同位角相等【解析】【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．先根据角平分线的定义，得出∠1=∠3，再根据等量代换，得出∠3=∠2，最后根据平行线的判定与性质得出结论．【解答】证明：∵BE平分∠ABC（已知）∴∠1=∠3 （角平分线的定义）又∵∠1=∠2（已知）∴∠3=∠2 （等量代换）∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）故答案为角平分线的定义；∠3，等量代换；DE，BC，内错角相等，两直线平行；∠C，两直线平行，同位角相等.解：根据题意得∠DMN=∠ANM，即2∠1=130°，解得：∠1=65°．故答案为65°．根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系即可求出∠1的度数．本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．20.【答案】70【解析】解：∵a∥b，∴∠4=∠1=110°，∵∠3=∠4-∠2，∴∠3=110°-40°=70°，故答案为：70．先根据平行线的性质求出∠4的度数，故可得出∠4+∠2的度数．由对顶角相等即可得出结论．本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等．21.【答案】α+β-γ=90°【解析】解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，∵AB∥EF，∴AB∥CM∥DN∥EF，∴∠BCM=α，∠DCM=∠CDN，∠EDN=γ，∵β=∠CDN+∠EDN=∠CDN+γ①，∠BCD=α+∠CDN=90°②，由①②相减整理得：α+β-γ=90°．故答案为：α+β-γ=90°．首先过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，由AB∥EF，即可得AB∥CM∥DN∥EF，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．解：过C作CE∥m，∵m∥n，∴CE∥n，∴∠1=∠α，∠2=∠β，∵∠1+∠2=90°，∴∠α+∠β=90°，故答案为：90°．根据平行线的性质即可得到结论．本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质即可得到结论．23.【答案】61°【解析】解：如图，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∵∠ABP=34°，∠DCP=27°，∴∠1=∠ABP=34°，∠2=∠DCP=27°，∴∠BPC=∠1+∠2=34°+27°=61°．故答案为：61°．首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得PE∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠1与∠2的度数，继而求得∠BPC的度数．此题考查了平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意辅助线的作法．24.【答案】50【解析】解：解：∵∠1+∠3=90°，∠1=40°，∴∠3=50°，∵AB∥CD，∴∠2=∠3=50°．故答案为50．由把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=40°，可求得∠3的度数，又由AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等“即可求得∠2的度数．本题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．25.【答案】解：（1）∵DE∥BC，∴∠ACB=AED，而∠AED=80°，∴∠ACB=80°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ACB=40°；（2）∵∠ADE=∠ACD+∠EDC，∴∠EDC=80°-40°=40°．【解析】（1）根据平行线的性质得∠ACB=AED=80°，再根据角平分线的定义得∠ACD=∠ACB=40°；（2）根据三角形外角性质得∠ADE=∠ACD+∠EDC，然后把∠AED=80°，∠ACD=40°代入计算即可．本题考查了平行线的性质：；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．也看出了三角形外角的性质．26.【答案】证明：（1）∵AB∥DG，∴∠BAD=∠1，∵∠1+∠2=180°，∴∠2+∠BAD=180°，∴AD∥EF；（2）∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，∴∠1=30°，∵DG是∠ADC的平分线，∴∠GDC=∠1=30°，∵AB∥DG，∴∠B=∠GDC=30°．【解析】（1）根据平行线的性质和判定证明即可；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可．本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法并判断出EF∥AD是解题的关键．27.【答案】解：∵AB∥CD（已知），∴∠ABC=∠BCD（两直线平行内错角相等），∵∠ABE=∠DCF（已知），∴∠EBC=∠FCB，∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），∴∠E=∠F（两直线平行内错角相等）．【解析】根据两直线平行内错角相等可得，∠ABC=∠BCD结合已知又可知∠EBC=∠FCB，所以BE∥CF（内错角相等，两直线平行）从而证两角相等．本题主要利用平行线的性质和判定及图中角的和差关系来证明．28.【答案】解：（1）平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF（2）过点E作EF∥AB，∵AB∥DC，EF∥AB，∴EF∥DC，∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，∴∠B+∠C+∠AEC=360°，∴∠B+∠C=360°-∠BEC；（3）连接BE，由（2）可知：∠B+∠C=360°-∠BEC；∴∠B+∠BEC=360°-120°=240°，∴∠B+∠AEB+∠AEC=240°，∴∠B+∠AEB=160°，∴∠A=180°-（∠B+∠AEB）=20°【解析】【分析】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用平行公理以及平行线的性质．（1）根据平行公理，平行线的性质即可求证出答案．（2）类比（1），过点E作EF∥AB，然后根据平行公理、平行线的性质即可求证出答案．（3）根据（2）的结论即可求出∠A的度数；【解答】解：（1）根据平行公理，平行线的性质可知；平行于同一直线的两直线平行，两直线平行，内错角相等，∠BEF+∠CEF；故答案为平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF；（2）见答案；（3）见答案.29.【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴CD∥EF，∴∠2=∠BCD．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BCD，∴DG∥BC．（2）解：在Rt△BEF中，∠B=54°，∴∠2=180°-90°-54°=36°，∴∠BCD=∠2=36°．又∵BC∥DE，∴∠3=∠ACB=∠ACD+∠BCD=35°+36°=71°．【解析】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）找出∠1=∠BCD；（2）找出∠3=∠ACB=∠ACD+∠BCD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角证出两直线平行是关键．（1）由CD⊥AB，EF⊥AB即可得出CD∥EF，从而得出∠2=∠BCD，再根据∠1=∠2即可得出∠1=∠BCD，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出DG∥BC；（2）在Rt△BEF中，利用三角形内角和为180°即可算出∠2度数，从而得出∠BCD的度数，再根据BC∥DE即可得出∠3=∠ACB，通过角的计算即可得出结论．30.【答案】（1）180；360；540；720；1800；（2）180n°（3）证明：过A2作BA2平行MA1，如图所示．∵MA1∥NA3，∴BA2∥NA3，∴∠A1+∠BA2A1=180°，∠BA2A3+∠A3=180°，∴∠A1+∠A2+∠A3=∠A1+∠BA2A1+∠BA2A3+∠A3=360°．【解析】解：（1）图①中的∠A1+∠A2=180°，图②中的∠A1+∠A2+∠A3=180°×2=360°，图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=180°×3=540°，图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=180°×4=720°，…，第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A11=180°×10=1800°，故答案为：180；360；540；720；1800．（2）根据（1）即可得出：第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1=180n°．故答案为：180n°．（3）见答案分析：（1）根据图形结合平行线的性质即可得出结论；（2）根据图①、②、③、④中角的和的变化，即可找出变化规律“∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1=180n°”，此题得解；（3）过A2作BA2平行MA1，根据平行线的性质即可得出∠A1+∠BA2A1=180°、∠BA2A3+∠A3=180°，再根据角的计算即可证出结论．本题考查了平行线的性质，牢记平行线的性质定理是解题的关键．31.【答案】解：∠1与∠2相等，理由如下：∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∴AD∥EF，∴∠1=∠E，∠2=∠3，∵∠E=∠3，∴∠1=∠2．【解析】由条件可先证明AD∥EF，再由平行线的性质可求得∠1=∠2．本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．32.【答案】150°-θ【解析】解：（1）如图①，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1=180°，∴∠1=180°-∠ABE=50°，∵∠CEF=90°，∴∠2=90°-∠1=40°，∵AB∥CD，EK∥AB，∴EK∥CD，∴∠C=∠2=40°；（2）∠ABE-∠C=60°，理由：如图②，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1=180°，∴∠1=180°-∠ABE，∵AB∥CD，EK∥AB，∴EK∥CD，∴∠C=∠2，∵∠CEF=∠1+∠2=120°，即180°-∠ABE+∠C=120°，∴∠ABE-∠C=180°-120°=60°；（3）如图③，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠KEB=180°，∵AB∥CD，EK∥AB，∴EK∥CD，∴∠DCE+∠KEC=180°，∴∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°，又∵GC⊥CE，∠GCH=θ，∠CEF=120°，∴∠ABE+120°+90°+θ=360°，∴∠ABE=150°-θ．故答案为：150°-θ．（1）过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1=180°，根据AB∥CD，EK∥AB，即可得到EK∥CD，再根据平行线的性质，即可得到∠C的度数；（2）过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1=180°，根据AB∥CD，EK∥AB，即可得到EK∥CD，再根据平行线的性质，即可得到180°-∠ABE+∠C=120°，据此可得∠ABE与∠C的数量关系（3）过E作EK∥AB，则∠ABE+∠KEB=180°，再根据AB∥CD，EK∥AB，可得EK∥CD，根据∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°，可得∠ABE+120°+90°+θ=360°，进而得到∠ABE=150°-θ．本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错角．33.【答案】解：（1）∠BPD=∠B+∠D．理由：如图2，过点P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠1=∠B，∠2=∠D，∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；（2）如图（3）：∠BPD=∠D-∠B．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠D，∵∠1=∠B+∠P，∴∠D=∠B+∠P，即∠BPD=∠D-∠B；如图（4）：∠BPD=∠B-∠D．理由：∵AB∥CD，∴∠1=∠B，∵∠1=∠D+∠P，∴∠B=∠D+∠P，即∠BPD=∠B-∠D．【解析】（1）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．（2）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意辅助线的作法．34.【答案】垂直；互余【解析】（1）解：EG与EH垂直，∠EGH与∠EHG互余，理由是：∵EG、EH分别平分∠AEF、∠BEF，∴∠GEF=∠AEF，∠HEF=∠BEF，∵∠AEF+∠BEF=180°，∴∠GEF+∠HEF=90°，∴EG与EH垂直，∠EGH与∠EHG互余，故答案为：垂直，互余；（2）证明：∵AB∥CD，∴∠ABD+∠BDC=180°，又∵BE、DE分别平分∠ABD、∠BDC，∴∠ABE=∠ABD，∠CDE=∠BDC，∵AB∥CD∥EF，∴∠ABE=∠BEF，∠FED=∠CDE，∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠ABE+∠CDE=∠ABD+∠BDC=（∠ABD+∠BDC）=×180°=90°，∴BE⊥ED．（1）根据角平分线定义得出∠GEF=∠AEF，∠HEF=∠BEF，求出∠GEF+∠HEF=90°，即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC=180°，根据角平分线定义得出∠ABE=∠ABD，∠CDE=∠BDC，根据平行线的性质得出∠ABE=∠BEF，∠FED=∠CDE，求出∠BED=90°即可．本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．35.【答案】（1）证明：作OM∥AB，如图1，∴∠EOM=∠BEO，∵AB∥CD，∴OM∥CD，∴∠FOM=∠DFO，∴∠EOM+∠FOM=∠BEO+∠DFO，即：∠EOF=∠BEO+∠DFO；（2）∠O+∠PFC=∠BEO+∠P，证明：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥AB∥CD，∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，∴∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4，∴∠O+∠PFC=∠BEO+∠P；（3）解：∠O+∠Q=∠BEO+∠P+∠QFD，理由是：作OM∥AB，PN∥CD，QR∥AB，如图3，∵AB∥CD，∴OM∥PN∥∥QR∥AB∥CD，∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠DFQ，∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠BEO+∠3+∠4+∠DFQ，∴∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPQ．【解析】（1）根据平行线的性质求出∠EOM=∠BEO，∠FOM=∠DFO，即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，相加即可得出答案；（3）根据平行线的性质得出∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠DFQ，相加即可得出答案．本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．。