平行线的判定和性质

平行线的判定和性质
一、选择题
1.如图，下列条件：①∠1=∠3，②∠2+∠4=180°，③∠4=∠5，
④∠2=∠3，⑤∠6=∠2+∠3中能判断直线l1∥l2的有（）
A. 5个
B. 4个
C. 3个
D. 2个
2.如图，已知∠1=∠2，其中能判定AB∥CD的是（）
A. B.
C. D.
3.下列条件中，能说明AD∥BC的条件有（）个
①∠1=∠4 ②∠2=∠3 ③∠1+∠2=∠3+∠4
④∠A+∠C=180°⑤∠A+∠ABC=180°⑥∠A+∠ADC=180
°．
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
4.如图，∠BCD=90°，AB∥DE，则∠α与∠β满足（）
A. ∠ ∠
B. ∠ ∠
C. ∠ ∠
D. ∠ ∠
5.将一直角三角板与两边平行的纸
条如图放置．若∠1=60°，则∠2的
度数为（）
A. B. C. D.
6.如图，直线a∥b，若∠1=50°，∠3=95°，则∠2的度数为（）
A.
B.
C.
D.
7.如图，直线a∥b，∠1=75°，∠2=35°，则∠3的度数是（）
A.
B.
C.
D.
8.如图，直线l1∥l2，∠A=125°，∠B=85°，则∠1+∠2=（）
A.
B.
C.
D.
9.如图，已知∠1=∠2，∠3=30°，则∠B的度数是( )
A. B. C. D.
10.如图，已知AB//CD//EF，FC平分∠AFE，∠C=25°，则∠A
的度数是（）
A.
B.
C.
D.
11.如图，直线a，b被直线c所截，a∥b，∠1=∠2，若∠3=40°，
则∠4等于（）
A.
B.
C.
D.
12.已知直线m//n，将一块含30°角的直角三角板ABC按如
图方式放置（∠ABC=30°），其中A，B两点分别落在直
线m，n上，若∠1=20°，则∠2的度数为（）
A. B. C. D.
13.如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且
a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）
A. B. C. D.
14.如图，AB∥CD，AE平分∠CAB交CD于点E，若∠C=50°，则∠AED=（）
A. B. C. D.
15.如图，把一张对面互相平行的纸条折成如图所示那样，EF是折痕，若∠EFB=32°，
则下列结论正确的有（）
（1）∠C′EF=32°（2）∠AEC=116°（3）∠BGE=64°（4）∠BFD=116°．
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
16.如图，已知AB∥CD，∠EBF=2∠ABE，∠EDF=2∠CDE，则∠E
与∠F之间满足的数量关系是（）
A. ∠ ∠
B. ∠ ∠
C. ∠ ∠
D. ∠ ∠
二、填空题
17.如图，直线AB∥CD，∠C=44°，∠E为直角，则∠1=
______ ．
18.已和，如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2，请说明∠AED=∠C．根
据提示填空．
∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠1=∠3 （______）
又∵∠1=∠2（已知）
∴______=∠2 （______）
∴______∥______（______）
∴∠AED=______（______）．
19.如图，一个上下边平行的纸条按如图所示方法折叠一下，
则∠1= ______ ．
20.如图，直线a，b被直线c所截，若a∥b，∠1=110°，∠2=40°，
则∠3=______°．
21.如图，已知AB∥EF，∠C=90°，则α、β与γ的关系是______ ．
22.如图，m∥n，直角三角板ABC的直角顶点C在两直线之间，两直角边与两直线相交
所形成的锐角分别为α、β，则α+β= .
23.如图，已知AB∥CD，∠ABP=34°，∠DCP=27°，那么∠BPC=______．
24.如图，把一块等腰直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1=40°，那么
∠2=______°．
三、计算题
25.如图，CD平分∠ACB，DE∥BC，∠AED=80°，
（1）求∠ACD的度数．
（2）求∠EDC的度数．
26.如图，AB∥DG，∠1+∠2=180°，
（1）求证：AD∥EF；
（2）若DG是∠ADC的平分线，∠2=150°，求∠B的度
数．
27.已知：如图，AB∥CD，∠ABE=∠DCF，请说明∠E=∠F的理由．
28.（1）问题发现：如图①，直线AB∥CD，E是AB与AD之间的一点，连接BE，CE，
可以发现∠B+∠C=∠BEC．
请把下面的证明过程补充完整：
证明：过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC（已知），EF∥AB（辅助线的作法）．
∴EF∥DC（______）．
∴∠C=∠CEF（______）
∵EF∥AB，∴∠B=∠BEF（同理）．
∴∠B+∠C=______（等量代换）
即∠B+∠C=∠BEC．
（2）拓展探究：如果点E运动到图②所示的位置，其他条件不变，进一步探究发现：∠B+∠C=360°-∠BEC，请说明理由．
（3）解决问题：如图③，AB∥DC，∠C=120°，∠AEC=80°，请直接写出∠A的度数．
29.如图，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D，点E在BC上，EF⊥AB，垂足为F，∠1=∠2．
（1）试说明DG∥BC的理由；
（2）如果∠B=54°，且∠ACD=35°，求的∠3度数．
细观察，找规律
下列各图中的MA1与NA n平行．
（1）图①中的∠A1+∠A2= ______ 度，
图②中的∠A1+∠A2+∠A3= ______ 度，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4= ______ 度，
图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5= ______ 度，
…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A11= ______ 度
（2）第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1= ______
（3）请你证明图②的结论．
30.如图：已知：AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，∠E=∠3，∠1与∠2相
等吗？试说明理由．
31.（1）如图①，∠CEF=90°，点B在射线EF上，AB∥CD．若∠ABE=130°，求∠C的
度数；
（2）如图②，把“∠CEF=90°”改为“∠CEF=120°”，AB∥CD．猜想∠ABE与∠C 的数量关系，并说明理由；（3）如图③，在（2）的条件下，作GC⊥CE，垂足为C，反向延长CD至H，若∠GCH=θ，则∠ABE= ______ （请用含θ的式子表示）．
32.如图（1），AB∥CD，猜想∠BPD与∠B、∠D的关系，说出理由．
解：猜想∠BPD+∠B+∠D=360°
理由：过点P作EF∥AB，
∴∠B+∠BPE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵AB∥CD，EF∥AB，
∴EF∥CD，（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．）∴∠EPD+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∴∠B+∠BPE+∠EPD+∠D=360°
∴∠B+∠BPD+∠D=360°
（1）依照上面的解题方法，观察图（2），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，并说明理由．
（2）观察图（3）和（4），已知AB∥CD，猜想图中的∠BPD与∠B、∠D的关系，不需要说明理由．
33.（1）如图1，已知，AB∥CD，EF分别交AB、CD于点E、F，EG、EH分别平分∠AEF、
∠BEF交CD于G、H，则EG与EH的位置关系是______ ，∠EGH与∠EHG关系是______ ；
（2）如图2，已知：AB∥CD∥EF，BE、DE分别平分∠ABD、∠BDC，求证：BE⊥ED．
34.如图1，AB∥CD，EOF是直线AB、CD间的一条折线．
（1）试证明：∠O=∠BEO+∠DFO．
（2）如果将折一次改为折二次，如图2，则∠BEO、∠O、∠P、∠PFC之间会满足怎样的数量关系，证明你的结论．
（3）如果将折一次改为折三次，如图3，则∠BEO、∠O、∠P、∠Q、∠QFD之间会满足怎样的数量关系（直接写出结果不需证明）
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查的是平行线的判定有关知识，根据平行线的判定定理对各小题进行
逐一判断即可．
【解答】
解：①∵∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确；
②∵∠2+∠4=180°，∴l1∥l2，故本小题正确；
③∵∠4=∠5，∴l1∥l2，故本小题正确；
④∠2=∠3不能判定l1∥l2，故本小题错误；
⑤∵∠6=∠2+∠1=∠2+∠3，∴∠1=∠3，∴l1∥l2，故本小题正确．
正确的有①②③⑤共4个．
故选B．
2.【答案】D
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的判定，解题的关键是根据相等的角得出平行的直线．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角，找出平行的直线是关键.
由∠1=∠2结合“内错角（同位角）相等，两直线平行”得出两平行的直线，由此即可得出结论.
【解答】
解：A、∵∠1=∠2，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
B、∵∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
C、∠1=∠2，∠1、∠2不是同位角和内错角，
∴不能得出两直线平行；
D、∵∠1=∠2，
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）.
故选D.
3.【答案】B
【解析】
解：①∠1=∠4，可得AB∥DC，错误；②∠2=∠3，可得AD∥BC，正确；
③∠1+∠2=∠3+∠4，不能判断AD∥BC，错误；④∠A+∠C=180°，不能判断
AD∥BC，错误；⑤∠A+∠ABC=180°，可得AD∥BC，正确；⑥∠A+∠ADC=180°，可得AB∥DC，错误；
故选：B．
根据平行线的判定定理逐一判断，排除错误答案．
此题考查平行线的判定，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，
只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
4.【答案】B
【解析】
解：过C作CF∥AB，
∵AB∥DE，
∴AB∥CF∥DE，
∴∠1=∠α，∠2=180°-∠β，
∵∠BCD=90°，
∴∠1+∠2=∠α+180°-∠β=90°，
∴∠β-∠α=90°，
故选：B．
过C作CF∥AB，根据平行线的性质得到∠1=∠α，∠2=180°-∠β，于是得到结论．本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键．
5.【答案】D
【解析】
【分析】
本题主要考查的是平行线的性质，解决问题的关键是掌握：两直线平行，同位
角相等．先根据∠1=60°，∠FEG=90°，求得∠3=30°，再根据平行线的性质，求
得∠2的度数．
【解答】
解：如图，
∵∠1=60°，∠FEG=90°，
∴∠3=30°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=30°．
故选D．
6.【答案】C
【解析】
解：根据三角形外角性质，可得∠3=∠1+∠4，
∴∠4=∠3-∠1=95°-50°=45°，
∵a∥b，
∴∠2=∠4=45°．
故选：C．
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得到∠4的度数，再根据平行线的性质，即可得出∠2的度数．
本题考查了平行线的性质，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】
解：∵直线a∥b，∠1=75°，
∴∠4=∠1=75°，
∵∠2+∠3=∠4，
∴∠3=∠4-∠2=75°-35°=40°．
故选：C．
根据平行线的性质得出∠4=∠1=75°，然后根据三角形外角的性质即可求得∠3的度数．
本题考查了平行线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．
8.【答案】A
【解析】
解：如图，过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行
线，
∴∠3=∠1，∠4=∠2，
∵l1∥l2，
∴AC∥BD，
∴∠CAB+∠ABD=180°，
∴∠3+∠4=125°+85°-180°=30°，
∴∠1+∠2=30°．
故选：A．
过点A作l1的平行线，过点B作l2的平行线，根据两直线平行，内错角相等可得∠3=∠1，∠4=∠2，再根据两直线平行，同旁内角互补求出
∠CAB+∠ABD=180°，然后计算即可得解．
本题考查了平行线的性质，熟记性质并作辅助线是解题的关键．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的判定与性质，解答此题的关键是注意平行线的性质和判定定理的综合运用．
由“内错角相等，两直线平行”推知AB∥CE，再根据“两直线平行，同位角相等”
得到∠B=∠3=30°.
【解答】
解：如图，
∵∠1=∠2，
∴AB∥CE，
∴∠B=∠3．
又∵∠3=30°，
∴∠B=30°．
故选B．
10.【答案】D
【解析】
解：∵CD//EF，
∠C=∠CFE=25°，
∵FC平分∠AFE，
∴∠AFE=2∠CFE=50°，
又∵AB//EF，
∴∠A=∠AFE=50°，
故选：D．
先根据平行线的性质以及角平分线的定义，得到∠AFE的度数，再根据平行线的性质，即可得到∠A的度数．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．
11.【答案】C
【解析】
解：∵∠1=∠2，∠3=40°，
∴∠1=×（180°-∠3）=×（180°-40°）=70°，
∵a∥b，
∴∠4=∠1=70°．
故选：C．
根据平角的定义求出∠1，再根据两直线平行，内错角相等解答．
本题考查了平行线的性质，平角等于180°，熟记性质并求出∠1是解题的关键．
12.【答案】D
【解析】
解：∵直线m//n，
∴∠2=∠ABC+∠1=30°+20°=50°，
故选：D．
根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．
13.【答案】C
【解析】
解：过点D作DE∥a，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ADC=90°，
∴∠3=90°-∠1=90°-60°=30°，
∵a∥b，
∴DE∥a∥b，
∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，
∴∠2=90°-30°=60°．
故选：C．
首先过点D作DE∥a，由∠1=60°，可求得∠3的度数，易得∠ADC=∠2+∠3，继而求得答案．
此题考查了矩形的性质以及平行线的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．
14.【答案】B
【解析】
解：∵AB∥CD，
∴∠C+∠CAB=180°，
∵∠C=50°，
∴∠CAB=180°-50°=130°，
∵AE平分∠CAB，
∴∠EAB=65°，
∵AB∥CD，
∴∠EAB+∠AED=180°，
∴∠AED=180°-65°=115°，
故选：B．
根据平行线性质求出∠CAB的度数，根据角平分线求出∠EAB的度数，根据平行线性质求出∠AED的度数即可．
本题考查了角平分线定义和平行线性质的应用，注意：平行线的性质有：①两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，②两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，③两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补．
15.【答案】D
【解析】
解：∵AC′∥BD′，
∴∠C′EF=∠EFB=32°，所以（1）正确；
∵∠C′EF=∠FEC，
∴∠C′EC=2×32°=64°，
∴∠AEC=180°-64°=116°，所以（2）正确；
∴∠BFD=∠EFD′-∠BFE=180°-2∠EFB=180°-64°=116°，所以（4）正确；
∠BGE=∠C′EC=2×32°=64°，所以（3）正确．
故选D．
根据平行线的性质由AC′∥BD′，得到∠C′EF=∠EFB=32°；根据折叠的性质得∠C′EF=∠FEC，则∠C′EC=2×32°=64°，利用平角的定义得到
∠AEC=180°-64°=116°；再根据折叠性质有∠BFD=∠EFD′，利用平角的定义得到∠BFD=∠EFD′-∠BFE=180°-2∠EFB=180°-64°=116°；根据平行线性质可得∠BGE=∠C′EC=2×32°．
本题考查的是平行线的性质及翻折变换的性质，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
16.【答案】C
【解析】
解：过点E作EN∥DC，
∵AB∥CD，
∴AB∥EN∥DC，
∴∠ABE=∠BEN，∠CDE=∠NED，
∴∠ABE+∠CDE=∠BED，
∵∠EBF=2∠ABE，∠EDF=2∠CDE，
∴设∠ABE=x，则∠EBF=2x，设∠CDE=y，则∠EDF=2y，
∵2x+2y+∠BED+∠F=360°，
∴2∠BED+∠BED+∠F=360°，
∴3∠BED+∠F=360°．
故选：C．
直接利用平行线的性质得出∠ABE+∠CDE=∠BED，进而利用四边形内角和定理得出2∠BED+∠BED+∠F=360°，即可得出答案．
此题主要考查了平行线的性质以及四边形内角和定理，正确得出
∠ABE+∠CDE=∠BED是解题关键．
17.【答案】134°
【解析】
【分析】
本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键．过E 作EF∥AB，求出AB∥CD∥EF，根据平行线的性质得出∠C=∠FEC，
∠BAE=∠FEA，求出∠BAE，即可求出答案．
【解答】
解：过E作EF∥AB，
∵AB∥CD，
∴AB∥CD∥EF，
∴∠C=∠FEC，∠BAE=∠FEA，
∵∠C=44°，∠AEC为直角，
∴∠FEC=44°，∠BAE=∠AEF=90°-44°=46°，
∴∠1=180°-∠BAE=180°-46°=134°，
故答案为134°．
18.【答案】角平分线的定义；∠3；等量代换；DE；BC；内错角相等，两直线平行；∠C；两直线平行，同位角相等
【解析】
【分析】
本题主要考查了平行线的判定与性质，解题时注意：内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等．先根据角平分线的定义，得出∠1=∠3，再根据等量代换，得出∠3=∠2，最后根据平行线的判定与性质得出结论．
【解答】
证明：∵BE平分∠ABC（已知）
∴∠1=∠3 （角平分线的定义）
又∵∠1=∠2（已知）
∴∠3=∠2 （等量代换）
∴DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
∴∠AED=∠C（两直线平行，同位角相等）
故答案为角平分线的定义；∠3，等量代换；DE，BC，内错角相等，两直线平行；∠C，两直线平行，同位角相等.
解：根据题意得∠DMN=∠ANM，即2∠1=130°，
解得：∠1=65°．
故答案为65°．
根据两直线平行内错角相等，以及折叠关系即可求出
∠1的度数．
本题考查了矩形的性质，平行线的性质，折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
20.【答案】70
【解析】
解：∵a∥b，
∴∠4=∠1=110°，
∵∠3=∠4-∠2，
∴∠3=110°-40°=70°，
故答案为：70．
先根据平行线的性质求出∠4的度数，故可得出∠4+∠2的度数．由对顶角相等即可得出结论．
本题考查的是平行线的性质，三角形的外角的性质，用到的知识点为：两直线
平行，同位角相等．
21.【答案】α+β-γ=90°
【解析】
解：过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，
∵AB∥EF，
∴AB∥CM∥DN∥EF，
∴∠BCM=α，∠DCM=∠CDN，∠EDN=γ，
∵β=∠CDN+∠EDN=∠CDN+γ①，∠BCD=α+∠CDN=90°②，
由①②相减整理得：α+β-γ=90°．
故答案为：α+β-γ=90°．
首先过点C作CM∥AB，过点D作DN∥AB，由AB∥EF，即可得
AB∥CM∥DN∥EF，然后由两直线平行，内错角相等，即可求得答案．
此题考查了平行线的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
解：过C作CE∥m，
∵m∥n，
∴CE∥n，
∴∠1=∠α，∠2=∠β，
∵∠1+∠2=90°，
∴∠α+∠β=90°，
故答案为：90°．
根据平行线的性质即可得到结论．
本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质即可得到结论．
23.【答案】61°
【解析】
解：如图，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∵∠ABP=34°，∠DCP=27°，
∴∠1=∠ABP=34°，∠2=∠DCP=27°，
∴∠BPC=∠1+∠2=34°+27°=61°．
故答案为：61°．
首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，即可得PE∥AB∥CD，然后根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠1与∠2的度数，继而求得∠BPC的度数．
此题考查了平行线的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意辅助线的作法．
24.【答案】50
【解析】
解：解：∵∠1+∠3=90°，∠1=40°，
∴∠3=50°，
∵AB∥CD，
∴∠2=∠3=50°．
故答案为50．
由把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，∠1=40°，可求得∠3的度数，又由AB∥CD，根据“两直线平行，同位角相等“即可求得∠2的度数．
本题考查了平行线的性质．解题的关键是注意掌握两直线平行，同位角相等定理的应用．
25.【答案】解：（1）∵DE∥BC，
∴∠ACB=AED，
而∠AED=80°，
∴∠ACB=80°，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠ACB=40°；
（2）∵∠ADE=∠ACD+∠EDC，
∴∠EDC=80°-40°=40°．
【解析】
（1）根据平行线的性质得∠ACB=AED=80°，再根据角平分线的定义得∠ACD=
∠ACB=40°；
（2）根据三角形外角性质得∠ADE=∠ACD+∠EDC，然后把∠AED=80°，
∠ACD=40°代入计算即可．
本题考查了平行线的性质：；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等．也看出了三角形外角的性质．
26.【答案】证明：（1）∵AB∥DG，
∴∠BAD=∠1，
∵∠1+∠2=180°，
∴∠2+∠BAD=180°，
∴AD∥EF；
（2）∵∠1+∠2=180°，∠2=150°，
∴∠1=30°，
∵DG是∠ADC的平分线，
∴∠GDC=∠1=30°，
∵AB∥DG，
∴∠B=∠GDC=30°．
【解析】
（1）根据平行线的性质和判定证明即可；
（2）根据角平分线的定义和平行线的性质解答即可．
本题考查了平行线的判定与性质，熟记性质与判定方法并判断出EF∥AD是解题的关键．
27.【答案】解：∵AB∥CD（已知），
∴∠ABC=∠BCD（两直线平行内错角相等），
∵∠ABE=∠DCF（已知），
∴∠EBC=∠FCB，
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），
∴∠E=∠F（两直线平行内错角相等）．
【解析】
根据两直线平行内错角相等可得，∠ABC=∠BCD结合已知又可知
∠EBC=∠FCB，所以BE∥CF（内错角相等，两直线平行）从而证两角相等．
本题主要利用平行线的性质和判定及图中角的和差关系来证明．
28.【答案】解：（1）平行于同一条直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；∠BEF+∠CEF
（2）过点E作EF∥AB，
∵AB∥DC，EF∥AB，
∴EF∥DC，
∴∠C+∠CEF=180°，∠B+∠BEF=180°，
∴∠B+∠C+∠AEC=360°，
∴∠B+∠C=360°-∠BEC；
（3）连接BE，
由（2）可知：∠B+∠C=360°-∠BEC；
∴∠B+∠BEC=360°-120°=240°，
∴∠B+∠AEB+∠AEC=240°，
∴∠B+∠AEB=160°，
∴∠A=180°-（∠B+∠AEB）=20°
【解析】
【分析】
本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是灵活运用平行公理以及平行线的性质．
（1）根据平行公理，平行线的性质即可求证出答案．
（2）类比（1），过点E作EF∥AB，然后根据平行公理、平行线的性质即可求证出答案．
（3）根据（2）的结论即可求出∠A的度数；
【解答】
解：（1）根据平行公理，平行线的性质可知；
平行于同一直线的两直线平行，
两直线平行，内错角相等，
∠BEF+∠CEF；
故答案为平行于同一直线的两直线平行；两直线平行，内错角相等；
∠BEF+∠CEF；
（2）见答案；
（3）见答案.
29.【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，EF⊥AB，
∴CD∥EF，
∴∠2=∠BCD．
又∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
∴DG∥BC．
（2）解：在Rt△BEF中，∠B=54°，
∴∠2=180°-90°-54°=36°，
∴∠BCD=∠2=36°．
又∵BC∥DE，
∴∠3=∠ACB=∠ACD+∠BCD=35°+36°=71°．
【解析】
本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是：（1）找出∠1=∠BCD；（2）找出∠3=∠ACB=∠ACD+∠BCD．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据相等（或互补）的角证出两直线平行是关键．
（1）由CD⊥AB，EF⊥AB即可得出CD∥EF，从而得出∠2=∠BCD，再根据∠1=∠2即可得出∠1=∠BCD，依据“内错角相等，两直线平行”即可证出DG∥BC；（2）在Rt△BEF中，利用三角形内角和为180°即可算出∠2度数，从而得出
∠BCD的度数，再根据BC∥DE即可得出∠3=∠ACB，通过角的计算即可得出结论．
30.【答案】（1）180；360；540；720；1800；
（2）180n°
（3）证明：过A2作BA2平行MA1，
如图所示．
∵MA1∥NA3，
∴BA2∥NA3，
∴∠A1+∠BA2A1=180°，
∠BA2A3+∠A3=180°，
∴∠A1+∠A2+∠A3=∠A1+∠BA2A1+∠BA2A3+∠A3=360°．
【解析】
解：（1）图①中的∠A1+∠A2=180°，
图②中的∠A1+∠A2+∠A3=180°×2=360°，
图③中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4=180°×3=540°，
图④中的∠A1+∠A2+∠A3+∠A4+∠A5=180°×4=720°，
…，
第⑩个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A11=180°×10=1800°，
故答案为：180；360；540；720；1800．
（2）根据（1）即可得出：第n个图中的∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1=180n°．
故答案为：180n°．
（3）见答案
分析：（1）根据图形结合平行线的性质即可得出结论；
（2）根据图①、②、③、④中角的和的变化，即可找出变化规律
“∠A1+∠A2+∠A3+…+∠A n+1=180n°”，此题得解；
（3）过A2作BA2平行MA1，根据平行线的性质即可得出∠A1+∠BA2A1=180°、∠BA2A3+∠A3=180°，再根据角的计算即可证出结论．
本题考查了平行线的性质，牢记平行线的性质定理是解题的关键．
31.【答案】解：∠1与∠2相等，理由如下：
∵AD⊥BC于D，EF⊥BC于F，
∴AD∥EF，
∴∠1=∠E，∠2=∠3，
∵∠E=∠3，
∴∠1=∠2．
【解析】
由条件可先证明AD∥EF，再由平行线的性质可求得∠1=∠2．
本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平
行⇔同旁内角互补．
32.【答案】150°-θ
【解析】
解：（1）如图①，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1=180°，
∴∠1=180°-∠ABE=50°，
∵∠CEF=90°，
∴∠2=90°-∠1=40°，
∵AB∥CD，EK∥AB，
∴EK∥CD，
∴∠C=∠2=40°；
（2）∠ABE-∠C=60°，
理由：如图②，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1=180°，
∴∠1=180°-∠ABE，
∵AB∥CD，EK∥AB，
∴EK∥CD，
∴∠C=∠2，
∵∠CEF=∠1+∠2=120°，即180°-∠ABE+∠C=120°，
∴∠ABE-∠C=180°-120°=60°；
（3）如图③，过E作EK∥AB，则∠ABE+∠KEB=180°，
∵AB∥CD，EK∥AB，
∴EK∥CD，
∴∠DCE+∠KEC=180°，
∴∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°，
又∵GC⊥CE，∠GCH=θ，∠CEF=120°，
∴∠ABE+120°+90°+θ=360°，
∴∠ABE=150°-θ．
故答案为：150°-θ．
（1）过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1=180°，根据AB∥CD，EK∥AB，即可得到
EK∥CD，再根据平行线的性质，即可得到∠C的度数；
（2）过E作EK∥AB，则∠ABE+∠1=180°，根据AB∥CD，EK∥AB，即可得到
EK∥CD，再根据平行线的性质，即可得到180°-∠ABE+∠C=120°，据此可得∠ABE与∠C的数量关系
（3）过E作EK∥AB，则∠ABE+∠KEB=180°，再根据AB∥CD，EK∥AB，可得EK∥CD，根据∠ABE+∠BEC+∠DCE=360°，可得∠ABE+120°+90°+θ=360°，进
而得到∠ABE=150°-θ．
本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．解决问题的关键是作辅助线构造同旁内角以及内错
角．
33.【答案】解：（1）∠BPD=∠B+∠D．
理由：如图2，过点P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠1=∠B，∠2=∠D，
∴∠BPD=∠1+∠2=∠B+∠D；
（2）如图（3）：∠BPD=∠D-∠B．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠D，
∵∠1=∠B+∠P，
∴∠D=∠B+∠P，
即∠BPD=∠D-∠B；
如图（4）：∠BPD=∠B-∠D．
理由：∵AB∥CD，
∴∠1=∠B，
∵∠1=∠D+∠P，
∴∠B=∠D+∠P，
即∠BPD=∠B-∠D．
【解析】
（1）首先过点P作PE∥AB，由AB∥CD，可得PE∥AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等，即可得∠1=∠B，∠2=∠D，则可求得∠BPD=∠B+∠D．
（2）由AB∥CD，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得∠BPD与∠B、∠D的关系．
此题考查了平行线的性质与三角形外角的性质．此题难度不大，解题的关键是注意掌握两直线平行，内错角相等定理的应用，注意辅助线的作法．
34.【答案】垂直；互余
【解析】
（1）解：EG与EH垂直，∠EGH与∠EHG互余，
理由是：∵EG、EH分别平分∠AEF、∠BEF，
∴∠GEF=∠AEF，∠HEF=∠BEF，
∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠GEF+∠HEF=90°，
∴EG与EH垂直，∠EGH与∠EHG互余，
故答案为：垂直，互余；
（2）证明：∵AB∥CD，
∴∠ABD+∠BDC=180°，
又∵BE、DE分别平分∠ABD、∠BDC，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDE=∠BDC，
∵AB∥CD∥EF，
∴∠ABE=∠BEF，∠FED=∠CDE，
∴∠BED=∠BEF+∠FED=∠ABE+∠CDE=∠ABD+∠BDC
=（∠ABD+∠BDC）
=×180°=90°，
∴BE⊥ED．
（1）根据角平分线定义得出∠GEF=∠AEF，∠HEF=∠BEF，求出
∠GEF+∠HEF=90°，即可得出答案；
（2）根据平行线的性质得出∠ABD+∠BDC=180°，根据角平分线定义得出
∠ABE=∠ABD，∠CDE=∠BDC，根据平行线的性质得出∠ABE=∠BEF，
∠FED=∠CDE，求出∠BED=90°即可．
本题考查了平行线的性质和角平分线定义的应用，能灵活运用性质进行推理是解此题的关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．
35.【答案】（1）证明：作OM∥AB，如图1，
∴∠EOM=∠BEO，
∵AB∥CD，
∴OM∥CD，
∴∠FOM=∠DFO，
∴∠EOM+∠FOM=∠BEO+∠DFO，
即：∠EOF=∠BEO+∠DFO；
（2）∠O+∠PFC=∠BEO+∠P，
证明：作OM∥AB，PN∥CD，如图2，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，
∴∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4，
∴∠O+∠PFC=∠BEO+∠P；
（3）解：∠O+∠Q=∠BEO+∠P+∠QFD，
理由是：
作OM∥AB，PN∥CD，QR∥AB，如图3，
∵AB∥CD，
∴OM∥PN∥∥QR∥AB∥CD，
∴∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠DFQ，
∴∠1+∠2+∠5+∠6=∠BEO+∠3+∠4+∠DFQ，
∴∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPQ．
【解析】
（1）根据平行线的性质求出∠EOM=∠BEO，∠FOM=∠DFO，即可得出答案；（2）根据平行线的性质得出∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠PFC，相加即可得出答案；（3）根据平行线的性质得出∠1=∠BEO，∠2=∠3，∠4=∠5，∠6=∠DFQ，相加即可得出答案．
本题考查了平行线的性质的应用，能正确作出辅助线是解此题的关键，注意：两直线平行，内错角相等．。