人教版高一数学下期中复习题

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高一数学期中复习题

高一数学期中复习题一、代数部分1. 代数基础- 理解实数的概念，包括有理数和无理数。

- 掌握数的四则运算，包括加、减、乘、除。

- 熟练掌握乘方和开方的运算。

2. 代数表达式- 理解代数表达式的概念，包括多项式和单项式。

- 掌握同类项和合并同类项的方法。

- 理解多项式的加减法则。

3. 代数方程- 理解一元一次方程的解法，包括移项、合并同类项、系数化为1。

- 掌握一元二次方程的解法，包括直接开平方法、因式分解法、配方法和公式法。

4. 不等式- 理解不等式的概念，包括不等式的解集和解不等式的方法。

- 掌握一元一次不等式的解法。

5. 指数与对数- 理解指数的概念，包括幂的运算法则。

- 掌握对数的定义，包括对数的运算法则。

二、几何部分1. 平面几何- 理解平面图形的基本性质，包括点、线、面、角、圆等。

- 掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理。

- 理解相似三角形的性质和判定方法。

2. 空间几何- 理解空间图形的基本性质，包括立体图形和空间角。

- 掌握空间图形的表面积和体积的计算方法。

3. 坐标几何- 理解坐标系的概念，包括直角坐标系和极坐标系。

- 掌握点的坐标表示方法，以及点与点之间的距离公式。

三、函数部分1. 函数的基本概念- 理解函数的概念，包括函数的定义、定义域和值域。

- 掌握函数的表示方法，包括解析法、列表法和图像法。

2. 函数的性质- 理解函数的单调性、奇偶性、周期性等基本性质。

- 掌握判断函数性质的方法。

3. 基本初等函数- 理解幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的性质和图像。

4. 三角函数- 掌握正弦、余弦、正切等三角函数的定义和性质。

- 理解三角函数的图像和周期性。

5. 函数的应用- 理解函数在实际问题中的应用，包括最值问题、优化问题等。

四、解析几何部分1. 直线与圆- 理解直线的方程，包括点斜式、斜截式和一般式。

- 掌握直线的斜率、截距的概念和计算方法。

- 理解圆的方程，包括标准式和一般式。

高一数学期中考试题及答案

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，不是一次函数的是（）A. y = 2x + 1B. y = 3x^2 + 5C. y = 1/xD. y = -4x2. 已知集合A={1, 2, 3}，B={2, 3, 4}，则A∪B等于（）A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}3. 若sinα=0.6，则cosα的值是（）A. 0.8B. -0.8C. -0.4D. 0.44. 函数f(x) = |x - 2| + |x + 3|的最小值是（）A. 5B. 2C. 1D. 45. 不等式x^2 - 4x + 3 ≤ 0的解集是（）A. (1, 3)B. (-∞, 3]C. [1, 3]D. (-∞, 1] ∪ [3, +∞)6. 已知数列1, 3, 5, 7, ...，其第n项an等于（）A. 2n - 1B. 2n + 1C. 2nD. n + 17. 若a + b + c = 0，则a^2 + b^2 + c^2 =（）A. 0B. 2abC. 2bcD. 2ac8. 函数y = x^3 - 6x^2 + 12x - 4的极大值点是（）A. x = 1B. x = 2C. x = 3D. x = 49. 已知tanθ = 2，求sin^2θ + cos^2θ的值是（）A. 1B. 5C. 3D. 410. 下列哪个选项是二元一次方程（）A. x^2 + y = 7B. 3x + 2y = 10C. x^2 - y = 0D. 2x/3 + y/4 = 1二、填空题（每题4分，共20分）11. 等差数列的首项是5，公差是3，则其第10项是_________。

12. 若函数f(x) = x^2 - 2x在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) = ________。

13. 已知三角形ABC中，∠A = 90°，a = 3，b = 4，则c=_________。

高一数学期中考试题及答案

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 已知集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，求A∪B的值。

A. {1,2,3}B. {1,2,3,4}C. {2,3}D. {1,4}2. 函数f(x)=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值是多少？A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知等差数列的首项a1=3，公差d=2，求第10项的值。

A. 23B. 25C. 27D. 294. 一个圆的半径为5，求其面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π5. 已知直线y=-3x+5与x轴的交点坐标是什么？A. (0, 5)B. (1, 2)C. (5/3, 0)D. (0, 0)6. 已知sin(α)=3/5，α∈(0,π)，求cos(α)的值。

A. 4/5B. -4/5C. √(1-(3/5)^2)D. -√(1-(3/5)^2)7. 一个函数f(x)是奇函数，且f(1)=2，求f(-1)的值。

A. 2B. -2C. 0D. 18. 已知一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度。

A. 5B. 7C. 8D. 99. 已知一个函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(2)的值。

A. -2B. 0C. 2D. 410. 已知一个等比数列的首项a1=2，公比q=3，求第5项的值。

A. 162B. 243C. 486D. 729二、填空题（每题4分，共20分）11. 已知函数f(x)=x^2-4x+3，求对称轴的方程。

___________________________12. 已知等比数列的前n项和为S_n=3^n-1，求首项a1。

___________________________13. 已知正弦定理公式为a/sinA=b/sinB=c/sinC，求三角形ABC的面积，已知a=5，sinA=3/5。

___________________________14. 已知某函数的导数f'(x)=6x^2-4x+1，求f'(1)的值。

高一数学期中考试题及答案

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 无理数集D. 复数集C2. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1在区间[0, 2]上的最大值是：A. 1B. 5C. 7D. 93. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∩B的元素个数。

A. 1B. 2C. 3D. 44. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是：A. 正B. 负C. 零D. 不确定5. 下列哪个不等式是正确的？A. √2 < πB. e < 2.72C. √3 > √2D. log2(3) > log3(2)6. 已知等差数列的首项为a1 = 3，公差为d = 2，第5项a5的值是：A. 9B. 11C. 13D. 157. 函数y = x^3 - 6x^2 + 9x + 2的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(x)的最小值。

A. 0B. 4C. 8D. 169. 抛物线y = x^2 - 2x - 3与x轴的交点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 310. 已知等比数列的首项为a1 = 2，公比为r = 3，求第4项a4的值。

A. 162B. 486C. 729D. 1458二、填空题（每题2分，共20分）11. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0，其中d^2 + e^2 - 4f > 0时，表示______。

12. 若函数f(x) = 3x - 2在区间[1, 4]上是增函数，则f(1) =______。

13. 已知集合M = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则M的补集∁_R M = {x | ______ }。

14. 函数y = log_2(x)的定义域是{x | x > ______ }。

高一数学期中考试题及答案

高一数学期中考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列函数中，为奇函数的是：A. y = x^2B. y = |x|C. y = x^3D. y = sin(x)2. 函数f(x) = x^2 - 2x + 1的零点是：A. 1B. -1C. 0D. 23. 集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，则A∩B等于：A. {1}B. {2, 3}C. {4}D. {1, 2, 3, 4}4. 已知数列{a_n}的通项公式为a_n = 2n + 1，那么a_5等于：A. 11B. 9C. 13D. 155. 若函数f(x) = 3x - 5，则f(2)等于：A. 1B. -1C. 7D. 36. 直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标是：A. (0, 3)B. (1, 5)C. (-3/2, 0)D. (3/2, 0)7. 圆的一般方程为x^2 + y^2 + 2x - 4y + 5 = 0，其圆心坐标是：A. (-1, 2)B. (1, -2)C. (-1, -2)D. (1, 2)8. 函数y = x^2 - 4x + 3的最小值是：A. -1B. 0C. 1D. 39. 已知三角形ABC的三边长分别为a, b, c，且满足a^2 + b^2 = c^2，那么三角形ABC是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定10. 函数y = √(x - 2)的定义域是：A. x ≥ 2B. x > 2C. x < 2D. x ≠ 2二、填空题（每题3分，共30分）1. 若函数f(x) = x^2 - 4x + 3的最大值为2，则x的值为______。

2. 已知数列{a_n}满足a_1 = 1，a_n = 2a_{n-1} + 1，那么a_3等于______。

3. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的对称轴方程是______。

4. 集合A = {x | x^2 - 5x + 6 = 0}，则A的元素个数为______。

高一下册期中考试数学试题及答案(人教版)

高一下学期期中质量调查数学试题第Ⅰ卷（选择题共24分）一、选择题:本大题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列命题正确的是A.若0a b <<，则 ac bc <B. 若,a b c d >>，则 ac bd >C.若a b >，则1a b <D.若22,0a bc c c>≠，则a b > 2.在数列{}n a 中，111,3n n a a a +=-=-，则4a = A. 10- B. 7- C. 5- D. 113.若13,24a b <<<<，则ab的范围是A. 1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 3,42⎛⎫ ⎪⎝⎭C. 13,42⎛⎫⎪⎝⎭D.()1,44.在ABC V中，已知,24c A a π===，则角C =A.3π B. 23π C. 3π或23π D.12π或512π5.已知数列{}n a 为等比数列，有51374a a a -=，{}n b 是等差数列，且77a b =，则59b b +=A. 4B. 8C. 16D. 0或86.在ABC V 中，已知sin 2cos sin A B C =，则ABC V 的形状时 A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.不确定7.设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若3613S S =，则612SS = A. 13 B. 18 C. 19 D.3108.已知数列{}n a 前n 项和21nn S =-，则此数列奇数项和前n 项和是A. ()21213n -B. ()11213n +-C. ()21223n -D. ()11223n +-第Ⅱ卷（非选择题共76分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.9.在数列{}n a 中，223n a n =-，则125是这个数列的第项.10.在ABC V 中，三边,,a b c 成等比数列，222,,a b c 成等差数列，则三边,,a b c 的关系为 .11.对于任意实数x ，不等式23204mx mx +-<恒成立，则实数m 的取值范围是 . 12.在等差数列{}n a 中，已知11a =，前5项和535,S =则8a 的值是 .13.在ABC V 中，若120,5,7,A AB BC ===o，则ABC V 的面积S = .14.已知数列{}n a 满足，11232,2nn n a a a +=+⋅=，则数列{}n a 的通项公式是 .三、解答题：本大题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分8分)已知不等式2320ax x -+>的解集为{}|x 1x b x <>或.（1）求,a b 的值；（2）解关于x 的不等式()2220ax b a x b ---<.16.(本小题满分8分)已知等比数列{}n a 中，11a =，公比为q ，且()1.n n n b a a n N *+=-∈ （1）判断数列{}n b 是否为等比数列?请说明理由. （2）求数列{}n b 的通项公式.17.(本小题满分8分)已知数列{}n a 的前项和22 4.n n S +=-（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设等差数列{}n b 满足，73154,b a b a ==，求数列{}n b 的前项和.n T18.(本小题满分12分)若等比数列{}n a 的前n 项和1.2n n n S a =- （1）求实数a 的值；（2）求数列{}n na 的前n 项和.n T19.(本小题满分10分)在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知45,cos .5b c A == （1）求sin C 的值；（2）若ABC V 的面积为3sin sin ,2ABC S B C =V 求a 的值.20.(本小题满分10分)已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足11110,2,.n n n n n n n n a a S a S a a n N -*+++≠-=∈ （1）求证：12;n n n S a -=（2）设1nn n a b a +=，求数列{}n b 的前n 项和.n T。

人教版高一年级第二学期期中考试数学试卷与答案解析(共五套)

A． B． C． D．2
8．已知 ,且，则（）
A．4B．3C． D．
9．在△ 中，为边上的中线，为的中点，则
A． B．
C． D．
10．△ABC的内角A、B、C的对边分别为、b、c.已知，，，则b=
A． B． C．2D．3
11．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）
解得（舍去），故选D.
11．已知向量，是不平行于轴的单位向量，且，则（）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】设，其中，则 .
由题意得，解得，即 .
故选：B.
12．若非零向量满足，且，则的夹角为
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵ ，所以，即，
即，∴
，又，故，故选A.
A．3B．2C． D．
【答案】D
【解析】点是所在平面上一点，过作，如下图所示：
由，
故，
所以与的面积之比为，
故选：D．
7．设复数z满足(1＋i)z＝2i，则|z|＝（）
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】题意，，所以 .故选：C.
8．已知 ,且，则（）
A．4B．3C． D．
（2）因为为三角形内角，
所以，
，
由正弦定理得：，
又∵ ．
，解得或（舍）．
．
22．在中，角所对的边分别为，已知 .
(1)求角的大小；
(2)若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）∵ ，
∴ ，
即，
∵ ，∴ ，∴ ．

人教版高一下学期期中考试数学试卷及答案解析(共五套)

人教版高一下学期期中考试数学试卷（一）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为312.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a 的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.点C是线段AB靠近点B的三等分点，下列正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【分析】根据共线向量的定义即可得结论．【解答】解：由题，点C是线段AB靠近点B的三等分点，＝3＝﹣3，所以选项A错误；＝2＝﹣2，所以选项B和选项C错误，选项D正确．故选：D．【知识点】平行向量（共线）、向量数乘和线性运算2.已知复数z满足z（3+i）＝3+i2020，其中i为虚数单位，则z的共轭复数的虚部为（）A．B．C．D．【答案】D【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭复数的概念得答案．【解答】解：∵z（3+i）＝3+i2020，i2020＝（i2）1010＝（﹣1）1010＝1，∴z（3+i）＝4，∴z＝，∴＝，∴共轭复数的虚部为，故选：D．【知识点】复数的运算3.如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则•的值为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．【答案】C【分析】利用图形，求出数量积的向量，然后转化求解即可．【解答】解：由题意，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，可知＝+＝，＝﹣＝﹣2，所以•＝（）•（﹣2）＝﹣2﹣2＝1．故选：C．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算4.设i是虚数单位，则2i+3i2+4i3+……+2020i2019的值为（）A．﹣1010﹣1010i B．﹣1011﹣1010iC．﹣1011﹣1012i D．1011﹣1010i【答案】B【分析】利用错位相减法、等比数列的求和公式及其复数的周期性即可得出．【解答】解：设S＝2i+3i2+4i3+ (2020i2019)∴iS＝2i2+3i3+ (2020i2020)则（1﹣i）S＝i+i+i2+i3+……+i2019﹣2020i2020．＝＝i+＝＝﹣2021+i，∴S＝＝．故选：B．【知识点】复数的运算5.如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线A1B与CD所成的角为（）A．30°B．45°C．60°D．135°【答案】B【分析】易知∠ABA1即为所求，再由△ABA1为等腰直角三角形，得解．【解答】解：因为AB∥CD，所以∠ABA1即为异面直线A1B与CD所成的角，因为△ABA1为等腰直角三角形，所以∠ABA1＝45°．故选：B．【知识点】异面直线及其所成的角6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），△ABC的面积为a2sin，则C＝（）A．B．C．D．【答案】C【分析】先利用正弦定理将已知等式中的边化角，再结合两角和公式与三角形的内角和定理，可推出sin B＝2sin A；然后利用三角形的面积公式、正弦定理，即可得解．【解答】解：由正弦定理知，＝＝，∵（a﹣2b）cos C＝c（2cos B﹣cos A），∴（sin A﹣2sin B）cos C＝sin C（2cos B﹣cos A），即sin A cos C+sin C cos A＝2（sin B cos C+cos B sin C），∴sin（A+C）＝2sin（B+C），即sin B＝2sin A．∵△ABC的面积为a2sin，∴S＝bc sin A＝a2sin，根据正弦定理得，sin B•sin C•sin A＝sin2A•sin，化简得，sin B•sin cos＝sin A•cos，∵∈（0，），∴cos＞0，∴sin＝＝，∴＝，即C＝．故选：C．【知识点】正弦定理、余弦定理7.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，下列四个结论中错误的是（）A．直线B1C与直线AC所成的角为60°B．直线B1C与平面AD1C所成的角为60°C．直线B1C与直线AD1所成的角为90°D．直线B1C与直线AB所成的角为90°【答案】B【分析】连接AB1，求出∠ACB1可判断选项A；连接B1D1，找出点B1在平面AD1C上的投影O，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，由cosθ＝可判断选项B；利用平移法找出选项C和D涉及的异面直线夹角，再进行相关运算，即可得解．【解答】解：连接AB1，∵△AB1C为等边三角形，∴∠ACB1＝60°，即直线B1C与AC所成的角为60°，故选项A正确；连接B1D1，∵AB1＝B1C＝CD1＝AD1，∴四面体AB1CD1是正四面体，∴点B1在平面AD1C上的投影为△AD1C的中心，设为点O，连接B1O，OC，则OC＝BC，设直线B1C与平面AD1C所成的角为θ，则cosθ＝＝＝≠，故选项B错误；连接BC1，∵AD1∥BC1，且B1C⊥BC1，∴直线B1C与AD1所成的角为90°，故选项C正确；∵AB⊥平面BCC1B1，∴AB⊥B1C，即直线B1C与AB所成的角为90°，故选项D正确．故选：B．【知识点】直线与平面所成的角、异面直线及其所成的角8.如图，四边形ABCD为正方形，四边形EFBD为矩形，且平面ABCD与平面EFBD互相垂直．若多面体ABCDEF的体积为，则该多面体外接球表面积的最小值为（）A．6πB．8πC．12πD．16π【答案】A【分析】由题意可得AC⊥面EFBD，可得V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD，再由多面体ABCDEF 的体积为，可得矩形EFBD的高与正方形ABCD的边长之间的关系，再由题意可得矩形EFBD的对角线的交点为外接球的球心，进而求出外接球的半径，再由均值不等式可得外接球的半径的最小值，进而求出外接球的表面积的最小值．【解答】解：设正方形ABCD的边长为a，矩形BDEF的高为b，因为正方形ABCD，所以AC⊥BD，设AC∩BD＝O'，由因为平面ABCD与平面EFBD互相垂直，AC⊂面ABCD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以AC⊥面EFBD，所以V ABCDEF＝V C﹣EFBD+V A﹣EFBD＝2V A﹣EFBD＝2•S EFBD•CO'＝•a•b•a ＝a2b，由题意可得V ABCDEF＝，所以a2b＝2；所以a2＝，矩形EFBD的对角线的交点O，连接OO'，可得OO'⊥BD，而OO'⊂面EFBD，而平面ABCD⊥平面EFBD，平面ABCD∩平面EFBD＝BD，所以OO'⊥面EFBD，可得OA＝OB＝OE＝OF都为外接球的半径R，所以R2＝（）2+（a）2＝+＝+＝++≥3＝3×，当且仅当＝即b＝时等号成立．所以外接球的表面积为S＝4πR2≥4π•3×＝6π．所以外接球的表面积最小值为6π．故选：A．【知识点】球的体积和表面积二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2+bc，则角A可为（）A．B．C．D．【答案】BC【分析】由已知利用余弦定理整理可得cos A＝，对于A，若A＝，可得b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得b＝＞0，对于C，若A＝，可得b＝＞0，对于D，若A＝，可得c＝0，错误，即可得解．【解答】解：因为在△ABC中，a2＝b2+bc，又由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bc cos A，所以b2+bc＝b2+c2﹣2bc cos A，整理可得：c＝b（1+2cos A），可得：cos A＝，对于A，若A＝，可得：﹣＝，整理可得：b＝＜0，错误；对于B，若A＝，可得：＝，整理可得：b＝＞0，对于C，若A＝，可得：cos＝＝，整理可得：b＝＞0，对于D，若A＝，可得：cos＝﹣＝，整理可得：c＝0，错误．故选：BC．【知识点】余弦定理10.如图，四边形ABCD为直角梯形，∠D＝90°，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为AB，CD的中点，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】ABC【分析】由向量的加减法法则、平面向量基本定理解决【解答】解：由，知A正确；由知B正确；由知C正确；由N为线段DC的中点知知D错误；故选：ABC．【知识点】向量数乘和线性运算、平面向量的基本定理11.下列说法正确的有（）A．任意两个复数都不能比大小B．若z＝a+bi（a∈R，b∈R），则当且仅当a＝b＝0时，z＝0C．若z1，z2∈C，且z12+z22＝0，则z1＝z2＝0D．若复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的最大值为3【答案】BD【分析】通过复数的基本性质，结合反例，以及复数的模，判断命题的真假即可．【解答】解：当两个复数都是实数时，可以比较大小，所以A不正确；复数的实部与虚部都是0时，复数是0，所以B正确；反例z1＝1，z2＝i，满足z12+z22＝0，所以C不正确；复数z满足|z|＝1，则|z+2i|的几何意义，是复数的对应点到（0，﹣2）的距离，它的最大值为3，所以D正确；故选：BD．【知识点】复数的模、复数的运算、虚数单位i、复数、命题的真假判断与应用12.如图，已知ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，E，F分别是BC，A1C的中点，则（）A．B．C．向量与向量的夹角是60°D．异面直线EF与DD1所成的角为45°【答案】ABD【分析】在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立合适的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，根据空间向量的坐标运算，以及异面直线所成角的向量求法，逐项判断即可．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则A（0，0，0），A1（0，0，2），B（2，0，0），B1（2，0，2），C （2，2，0），D（0，2，0），D1（0，2，2），所以，故，故选项A正确；又，又，所以，，则，故选项B正确；，所以，因此与的夹角为120°，故选项C错误；因为E，F分别是BC，A1C的中点，所以E（2，1，0），F（1，1，1），则，所以，又异面直线的夹角大于0°小于等于90°，所以异面直线EF与DD1所成的角为45°，故选项D正确；故选：ABD．【知识点】异面直线及其所成的角三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知正方形ABCD的边长为2，点P满足＝（+），则||＝；•＝．【分析】根据向量的几何意义可得P为BC的中点，再根据向量的数量积的运算和正方形的性质即可求出．【解答】解：由＝（+），可得P为BC的中点，则|CP|＝1，∴|PD|＝＝，∴•＝•（+）＝﹣•（+）＝﹣2﹣•＝﹣1，故答案为：，﹣1．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算14.若虛数z1、z2是实系数一元二次方程x2+px+q＝0的两个根，且，则pq＝．【答案】1【分析】设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R），根据两个复数相等的充要条件求出z1，z2，再由根与系数的关系求得p，q的值．【解答】解：由题意可知z1与z2为共轭复数，设z1＝a+bi，则z2＝a﹣bi，（a，b∈R 且b≠0），又，则a2﹣b2+2abi＝a﹣bi，∴（2a+b）+（a+2b）i＝1﹣i，∴，解得．∴z1＝+i，z2＝i，（或z2＝+i，z1＝i）．由根与系数的关系，得p＝﹣（z1+z2）＝1，q＝z1•z2＝1，∴pq＝1．故答案为：1．【知识点】复数的运算15.已知平面四边形ABCD中，AB＝AD＝2，BC＝CD＝BD＝2，将△ABD沿对角线BD折起，使点A到达点A'的位置，当A'C＝时，三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．【分析】由题意画出图形，找出三棱锥外接球的位置，求解三角形可得外接球的半径，再由棱锥体积公式求解．【解答】解：记BD的中点为M，连接A′M，CM，可得A′M2+CM2＝A′C2，则∠A′MC＝90°，则外接球的球心O在△A′MC的边A′C的中垂线上，且过正三角形BCD的中点F，且在与平面BCD垂直的直线m上，过点A′作A′E⊥m于点E，如图所示，设外接球的半径为R，则A′O＝OC＝R，，A′E＝1，在Rt△A′EO中，A′O2＝A′E2+OE2，解得R＝．故三棱锥A﹣BCD的外接球的体积为．故答案为：．【知识点】球的体积和表面积16.已知一圆锥底面圆的直径为3，圆锥的高为，在该圆锥内放置一个棱长为a的正四面体，并且正四面体在该几何体内可以任意转动，则a的最大值为．【分析】根据题意，该四面体内接于圆锥的内切球，通过内切球即可得到a的最大值．【解答】解：依题意，四面体可以在圆锥内任意转动，故该四面体内接于圆锥的内切球，设球心为P，球的半径为r，下底面半径为R，轴截面上球与圆锥母线的切点为Q，圆锥的轴截面如图：则OA＝OB＝，因为SO＝，故可得：SA＝SB＝＝3，所以：三角形SAB为等边三角形，故P是△SAB的中心，连接BP，则BP平分∠SBA，所以∠PBO＝30°；所以tan30°＝，即r＝R＝×＝，即四面体的外接球的半径为r＝．另正四面体可以从正方体中截得，如图：从图中可以得到，当正四面体的棱长为a时，截得它的正方体的棱长为a，而正四面体的四个顶点都在正方体上，故正四面体的外接球即为截得它的正方体的外接球，所以2r＝AA1＝a＝a，所以a＝．即a的最大值为．故答案为：．【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．（1）若AB＝，求BC；（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．【分析】（1）直接利用余弦定理的应用求出结果；（2）利用余弦定理的应用建立等量关系式，进一步求出结果．【解答】解：（1）在四边形ABCD中，AD＝BD＝CD＝1．若AB＝，所以：cos∠ADB＝＝，由于AB∥CD，所以∠BDC＝∠ABD，即cos∠BDC＝cos∠ABD＝，所以BC2＝BD2+CD2﹣2•BD•CD•cos∠BDC＝＝，所以BC＝．（2）设BC＝x，则AB＝2BC＝2x，由余弦定理得：cos∠ADB＝＝，cos∠BDC＝＝＝，故，解得或﹣（负值舍去）．所以．【知识点】余弦定理18.（1）已知z1=1﹣2i，z2=3+4i，求满足=+的复数z．（2）已知z，ω为复数，（1+3i）﹣z为纯虚数，ω=，且|ω|=5．求复数ω．【分析】（1）把z1，z2代入=+，利用复数代数形式的乘除运算化简求出，进一步求出z；（2）设z=a+bi（a，b∈R），利用复数的运算及（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，可得，又ω==i，|ω|=5，可得，即可得出a，b，再代入可得ω．【解答】解：（1）由z1=1﹣2i，z2=3+4i，得=+==，则z=；（2）设z=a+bi（a，b∈R），∵（1+3i）•z=（1+3i）（a+bi）=a﹣3b+（3a+b）i为纯虚数，∴．又ω===i，|ω|=5，∴．把a=3b代入化为b2=25，解得b=±5，∴a=±15．∴ω=±（i）=±（7﹣i）．【知识点】复数的运算19.如图，墙上有一壁画，最高点A离地面4米，最低点B离地面2米．观察者从距离墙x（x＞1）米，离地面高a（1≤a≤2）米的C处观赏该壁画，设观赏视角∠ACB＝θ．（1）若a＝1.5，问：观察者离墙多远时，视角θ最大？（2）若tanθ＝，当a变化时，求x的取值范围．【分析】（1）首项利用两角和的正切公式建立函数关系，进一步利用判别式确定函数的最大值；（2）利用两角和的正切公式建立函数关系，利用a的取值范围即可确定x的范围．【解答】解：（1）如图，作CD⊥AF于D，则CD＝EF，设∠ACD＝α，∠BCD＝β，CD＝x，则θ＝α﹣β，在Rt△ACD和Rt△BCD中，tanα＝，tanβ＝，则tanθ＝tan（α﹣β）＝＝（x＞0），令u＝，则ux2﹣2x+1.25u＝0，∵上述方程有大于0的实数根，∴△≥0，即4﹣4×1.25u2≥0，∴u≤，即（tanθ）max＝，∵正切函数y＝tan x在（0，）上是增函数，∴视角θ同时取得最大值，此时，x＝＝，∴观察者离墙米远时，视角θ最大；（2）由（1）可知，tanθ＝＝＝，即x2﹣4x+4＝﹣a2+6a﹣4，∴（x﹣2）2＝﹣（a﹣3）2+5，∵1≤a≤2，∴1≤（x﹣2）2≤4，化简得：0≤x≤1或3≤x≤4，又∵x＞1，∴3≤x≤4．【知识点】解三角形20.如图，已知复平面内平行四边形ABCD中，点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，对应的复数为4﹣4i．（Ⅰ）求D点对应的复数；（Ⅱ）求平行四边形ABCD的面积．【分析】（I）利用复数的几何意义、向量的坐标运算性质、平行四边形的性质即可得出．（II）利用向量垂直与数量积的关系、模的计算公式、矩形的面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）依题点A对应的复数为﹣1，对应的复数为2+2i，得A（﹣1，0），＝（2，2），可得B（1，2）．又对应的复数为4﹣4i，得＝（4，﹣4），可得C（5，﹣2）．设D点对应的复数为x+yi，x，y∈R．得＝（x﹣5，y+2），＝（﹣2，﹣2）．∵ABCD为平行四边形，∴＝，解得x＝3，y＝﹣4，故D点对应的复数为3﹣4i．（Ⅱ）＝（2，2），＝（4，﹣4），可得：＝0，∴．又||＝2，＝4．故平行四边形ABCD的面积＝＝16．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义21.如图所示，等腰梯形ABFE是由正方形ABCD和两个全等的Rt△FCB和Rt△EDA组成，AB＝1，CF＝2．现将Rt△FCB沿BC所在的直线折起，点F移至点G，使二面角E﹣BC﹣G的大小为60°．（1）求四棱锥G﹣ABCE的体积；（2）求异面直线AE与BG所成角的大小．【分析】（1）推导出GC⊥BC，EC⊥BC，从而∠ECG＝60°．连接DG，推导出DG⊥EF，由BC⊥EF，BC⊥CG，得BC⊥平面DEG，从而DG⊥BC，进而DG⊥平面ABCE，DG是四棱锥G ﹣ABCE的高，由此能求出四棱锥G﹣ABCE的体积．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．由此能求出异面直线AE与BG所成角的大小．【解答】解：（1）由已知，有GC⊥BC，EC⊥BC，所以∠ECG＝60°．连接DG，由CD＝AB＝1，CG＝CF＝2，∠ECG＝60°，有DG⊥EF①，由BC⊥EF，BC⊥CG，有BC⊥平面DEG，所以，DG⊥BC②，由①②知，DG⊥平面ABCE，所以DG就是四棱锥G﹣ABCE的高，在Rt△CDG中，．故四棱锥G﹣ABCE的体积为：．（2）取DE的中点H，连接BH、GH，则BH∥AE，故∠GBH既是AE与BG所成角或其补角．在△BGH中，，，则．故异面直线AE与BG所成角的大小为．【知识点】异面直线及其所成的角、棱柱、棱锥、棱台的体积22.如图，四边形MABC中，△ABC是等腰直角三角形，AC⊥BC，△MAC是边长为2的正三角形，以AC为折痕，将△MAC向上折叠到△DAC的位置，使点D在平面ABC内的射影在AB上，再将△MAC向下折叠到△EAC的位置，使平面EAC⊥平面ABC，形成几何体DABCE．（1）点F在BC上，若DF∥平面EAC，求点F的位置；（2）求直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【分析】（1）点F为BC的中点，设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，取AC 的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，得DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，从而OF∥平面EAC，平面DOF∥平面EAC，由此能证明DF∥平面EAC．（2）连接OH，由OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB与平面EBC所成角的余弦值．【解答】解：（1）点F为BC的中点，理由如下：设点D在平面ABC内的射影为O，连接OD，OC，∵AD＝CD，∴OA＝OC，∴在Rt△ABC中，O为AB的中点，取AC的中点H，连接EH，由题意知EH⊥AC，又平面EAC⊥平面ABC，平面EAC∩平面ABC＝AC，∴EH⊥平面ABC，由题意知DO⊥平面ABC，∴DO∥EH，∴DO∥平面EAC，取BC的中点F，连接OF，则OF∥AC，又OF⊄平面EAC，AC⊂平面EAC，∴OF∥平面EAC，∵DO∩OF＝O，∴平面DOF∥平面EAC，∵DF⊂平面DOF，∴DF∥平面EAC．（2）连接OH，由（1）可知OF，OH，OD两两垂直，以O为坐标原点，OF，OH，OD所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，则B（1，﹣1，0），A（﹣1，1，0），E（0，1，﹣），C（1，1，0），∴＝（2，﹣2，0），＝（0，2，0），＝（﹣1，2，﹣），设平面EBC的法向量＝（a，b，c），则，取a＝，则＝（，0，﹣1），设直线与平面EBC所成的角为θ，则sinθ＝＝＝．∴直线AB与平面EBC所成角的余弦值为cosθ＝＝．【知识点】直线与平面平行、直线与平面所成的角人教版高一下学期期中考试数学试卷（二）注意事项：本试卷满分150分，考试时间120分钟，试题共22题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．14.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．25.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．96.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R27.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π8.已知半球O与圆台OO'有公共的底面，圆台上底面圆周在半球面上，半球的半径为1，则圆台侧面积取最大值时，圆台母线与底面所成角的余弦值为（）A．B．C．D．二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，选对得分，选错、少选不得分）9.下列有关向量命题，不正确的是（）A．若||＝||，则＝B．已知≠，且•＝•，则＝C．若＝，＝，则＝D．若＝，则||＝||且∥10.若复数z满足，则（）A．z＝﹣1+i B．z的实部为1 C．＝1+i D．z2＝2i11.如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别为线段AD，CD的中点，AF∩CE＝G，则（）A．B．C．D．12.已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，棱长为2，E为线段B1C上的动点，O为AC的中点，P 为棱CC1上的动点，Q为棱AA1的中点，则以下选项中正确的有（）A．AE⊥B1CB．直线B1D⊥平面A1BC1C．异面直线AD1与OC1所成角为D．若直线m为平面BDP与平面B1D1P的交线，则m∥平面B1D1Q三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）13.已知向量＝（m，1），＝（m﹣6，m﹣4），若∥，则m的值为．14.将表面积为36π的圆锥沿母线将其侧面展开，得到一个圆心角为的扇形，则该圆锥的轴截面的面积S＝．15.如图，已知有两个以O为圆心的同心圆，小圆的半径为1，大圆的半径为2，点A 为小圆上的动点，点P，Q是大圆上的两个动点，且•＝1，则||的最大值是．16.如图，在三棱锥A﹣BCD的平面展开图中，已知四边形BCED为菱形，BC＝1，BF＝，若二面角A﹣CD﹣B的余弦值为﹣，M为BD的中点，则CD＝，直线AD与直线CM所成角的余弦值为．四、解答题（本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知，．（1）若与同向，求；（2）若与的夹角为120°，求．18.已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，a＝4，b＝6，cos A＝﹣．（1）求c；（2）求cos2B的值．19.已知：复数z1与z2在复平面上所对应的点关于y轴对称，且z1（1﹣i）＝z2（1+i）（i为虚数单位），|z1|＝．（Ⅰ）求z1的值；（Ⅱ）若z1的虚部大于零，且（m，n∈R），求m，n的值．20.（Ⅰ）在复数范围内解方程|z|2+（z+）i＝（i为虚数单位）（Ⅱ）设z是虚数，ω＝z+是实数，且﹣1＜ω＜2．（1）求|z|的值及z的实部的取值范围；（2）设，求证：μ为纯虚数；（3）在（2）的条件下求ω﹣μ2的最小值．21.如图，直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB＝AC＝1，，A1A＝4，点M为线段A1A 的中点．（1）求直三棱柱A1B1C1﹣ABC的体积；（2）求异面直线BM与B1C1所成的角的大小．（结果用反三角表示）22.如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点G在棱D1C1上，且D1G＝D1C1，点E、F、M分别是棱AA1、AB、BC的中点，P为线段B1D上一点，AB＝4．（Ⅰ）若平面EFP交平面DCC1D1于直线l，求证：l∥A1B；（Ⅱ）若直线B1D⊥平面EFP．（i）求三棱锥B1﹣EFP的表面积；（ii）试作出平面EGM与正方体ABCD﹣A1B1C1D1各个面的交线，并写出作图步骤，保留作图痕迹．设平面EGM与棱A1D1交于点Q，求三棱锥Q﹣EFP的体积．答案解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（2﹣i）z对应的点位于虚轴的正半轴上，则复数z对应的点位于（）1.已知复平面内，A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】B【分析】直接利用复数的运算和几何意义的应用求出该点所表示的位置．【解答】解：设z＝a+bi（a，b∈R），所以（2﹣i）（a+bi）＝2a+b+（2b﹣a）i，由于对应的点在虚轴的正半轴上，所以，即，所以a＜0，b＞0．故该点在第二象限．故选：B．【知识点】复数的代数表示法及其几何意义2.平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，点F是BC的一个三等分点（靠近B），则＝（）A．B．C．D．【答案】D【分析】利用平行四边形的性质以及向量相等的概念，再利用平面向量基本定理进行转化即可．【解答】解：因为ABCD为平行四边形，所以，故．故选：D．【知识点】平面向量的基本定理3.已知向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），若（+）∥（﹣），则t＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．1【答案】B【分析】根据平面向量的坐标表示和共线定理，列方程求出t的值．【解答】解：向量＝（6t+3，9），＝（4t+2，8），所以+＝（6t+3，11），﹣＝（4t+2，5）．又（+）∥（﹣），所以5（6t+3）﹣11（4t+2）＝0，解得t＝﹣．故选：B．【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示4.已知矩形ABCD的一边AB的长为4，点M，N分别在边BC，DC上，当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝0．若+＝x+y，x+y＝3，则线段MN的最短长度为（）A．B．2 C．2D．2【答案】D【分析】先根据M，N满足的条件，将（+）•＝0化成的表达式，从而判断出矩形ABCD为正方形；再将+＝x+y，左边用表示出来，结合x+y ＝3，即可得NC+MC＝4，最后借助于基本不等式求出MN的最小值．【解答】解：当M，N分别是边BC，DC的中点时，有（+）•＝＝＝，所以AD＝AB，则矩形ABCD为正方形，设，，则＝．则x＝2﹣λ，y＝2﹣μ．又x+y＝3，所以λ+μ＝1．故NC+MC＝4，则MN＝＝（当且仅当MC＝NC＝2时取等号）．故线段MN的最短长度为2．故选：D．【知识点】平面向量数量积的性质及其运算5.若z∈C且|z+3+4i|≤2，则|z﹣1﹣i|的最大和最小值分别为M，m，则M﹣m的值等于（）A．3 B．4 C．5 D．9【答案】B【分析】由题意画出图形，再由复数模的几何意义，数形结合得答案．【解答】解：由|z+3+4i|≤2，得z在复平面内对应的点在以Q（﹣3，﹣4）为圆心，以2为半径的圆及其内部．如图：|z﹣1﹣i|的几何意义为区域内的动点与定点P得距离，则M＝|PQ|+2，m＝|PQ|﹣2，则M﹣m＝4．故选：B．【知识点】复数的运算6.已知球的半径为R，一等边圆锥（圆锥母线长与圆锥底面直径相等）位于球内，圆锥顶点在球上，底面与球相接，则该圆锥的表面积为（）A．R2B．R2C．R2D．R2【答案】B【分析】设圆锥的底面半径为r，求得圆锥的高，由球的截面性质，运用勾股定理可得r，由圆锥的表面积公式可得所求．【解答】解：如图，设圆锥的底面半径为r，则圆锥的高为r，则R2＝r2+（r﹣R）2，解得r＝R，则圆锥的表面积为S＝πr2+πr•2r＝3πr2＝3π（R）2＝πR2，故选：B．【知识点】球内接多面体、旋转体（圆柱、圆锥、圆台）7.农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（）A．πB．πC．πD．π【答案】A【分析】先根据题意求得正四面体的体积，进而得到六面体的体积，再由图形的对称性得，内部的丸子要是体积最大，就是丸子要和六个面相切，设丸子的半径为R，则，由此求得R，进而得到答案．【解答】解：由题意可得每个三角形面积为，由对称性可知该六面体是由两个正四面体合成的，可得该四面体的高为，故四面体的体积为，∵该六面体的体积是正四面体的2倍，。

人教版高一年级下学期期中考试数学试卷与答案解析(共三套)

人教版高一年级下学期期中考试数学试卷（一）（本卷满分150分，考试时间120分钟）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

4．测试范围：人教A 版第二册：第六章平面向量及其应用、第七章复数、第八章立体几何初步一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1．已知平面向量)4(-=，m a ，)31(+-=m b ，，若存在实数0<λ，使得b a λ=，则实数m 的值为( )。

A 、4-B 、512- C 、1-D 、12．下列说法中错误的是( )。

A 、两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行B 、平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变C 、平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴D 、斜二测坐标系取的角可能是 1353．在下列命题中，正确命题的个数为( )。

①两个复数不能比较大小；②若i x x x )23()1(22+++-是纯虚数，则实数1±=x ；③z 是虚数的一个充要条件是R z z ∈+；④若a 、b 是两个相等的实数，则i b a b a )()(++-是纯虚数；⑤R z ∈的一个充要条件是z z =；⑥1||=z 的充要条件是z z 1=。

A 、1B 、2C 、3D 、4 4．设α、β是两个不同的平面，则β⊥α的充要条件是( )。

A 、平面α内任意一条直线与平面β垂直B 、平面α、β都垂直于同一条直线C 、平面α、β都垂直于同一平面D 、平面α内存在一条直线与平面β垂直5．如图，在长方体D C B A ABCD ''''-中，用截面截下一个棱锥D D A C ''-，则棱锥D D A C ''-的体积与剩余部分的体积之比为( )。

2017—2018学年人教版高一数学下学期期中考试试卷题库(共10套)

2017—2018学年人教版高一数学下学期期中考试试卷（一）（考试时间120分钟满分150分）一、单项选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分1．若b＜0＜a，d＜c＜0，则（）A．bd＜ac B．C．a+c＞b+d D．a﹣c＞b﹣d2．已知△ABC中，a=4，b=4，A=30°，则B等于（）A．30°B．30°或150°C．60°D．60°或120°3．已知{a n}是公差为1的等差数列；S n为{a n}的前n项和，若S8=4S4，则a10=（）A．B．C．10 D．124．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinAsinC+sin2C﹣sin2A=sinBsinC，则sinA=（）A．B．C．D．5．已知不等式ax2﹣5x+b＞0的解集为{x|﹣3＜x＜2}，则不等式bx2﹣5x+a＞0的解集为（）A．{x|﹣＜x＜}B．{x|x＜﹣或x＞}C．{x|﹣3＜x＜2}D．{x|x＜﹣3或x＞2}6．设等比数列{a n}中，前n项之和为S n，已知S3=8，S6=7，则a7+a8+a9=（）A．B．C．D．7．若x，y满足且z=2x+y的最大值为6，则k的值为（）A．﹣1 B．1 C．﹣7 D．78．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜c，则b=（）A．3 B．2C．2 D．9．若两个正实数x，y满足+=1，且不等式x+＜m2﹣3m有解，则实数m的取值范围（）A．（﹣1，4）B．（﹣∞，﹣1）∪（4，+∞）C．（﹣4，1）D．（﹣∞，0）∪（3，+∞）10．两个等差数列{a n}和{b n}，其前n项和分别为S n，T n，且，则等于（）A．B．C．D．11．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（）A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0C．若0＜a1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞012．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（）A．方程①有实根，且②有实根B．方程①有实根，且②无实根C．方程①无实根，且②有实根D．方程①无实根，且②无实根二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知等差数列{a n}中，a1+a3+a8=，那么cos（a3+a5）=______．14．若x，y满足约束条件，则z=3x+y的最小值为______．15．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=2，cosC=﹣，3sinA=2sinB，则c=______．16．在a＞0，b＞0的情况下，下面三个结论：①；②；③；④．其中正确的是______．三、解答题：本大题共6小题，共70分。

高一数学期中复习题2

高一数学期中复习题（2）一、填空题：1、设θ为第二象限角，则点(sin ,cos )P θθ在第象限2、终边落在第二、四象限角平分线上的角的集合可以表示为3327x ≤≤，则x 的取值范围是 4、函数2y x -=（0x <）的反函数是5、若3484log 4log 8log log 14m ⋅⋅=，则实数m =6、使得对数式1log (3)x x --有意义的x 的取值范围是7、若tan 3α=，4tan 3β=，则tan()αβ-= 8、方程3log (123)21x y x =-⋅=+的解为 9、已知3sin cos 5αβ-=，4cos sin 5αβ+=，则sin()αβ-= 10、以下四个命题：①若log 33x =，则9x =；②41l o g 2x =，则2x =；③l o g 0x =，则x ④若15log 3x =-，则125x =，其中真命题的序号是二、选择题：11、给出下列命题：①75- 是第四象限角；②225 是第三象限；③195π是第一象限角；④526k ππ-（k Z ∈）是第二象限角. 其中正确命题的个数是（）A 、1B 、2C 、3D 、412、已知1a b c >>>，则下列不等式成立的是（）A 、log log a a b c >B 、11log log a a b c >C 、11log log a ab c > D 、1111log log a a b c < 13、已知函数23(0)()log (0)x x f x y x x ⎧≤=⎨=>⎩，那么1()4f f ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ A 、9 B 、19 C 、9- D 、19-三、解答题：14、解方程：222log (3)log (610)1xx -=--15、已知1cos 7α=，13cos()14αβ-=，且02πβα<<<，求sin β的值.16、已知tan()24πα+=，（1）求tan α；（2）求2sin 3sin cos 3ααα--.17、设{}2242(log )14log 30D x x x =-+≤，（1）求2log x 的值；（2）求()f x =2(log )2x ⋅（x D ∈）的最大值和最小值。

人教版高一下学期数学期中考试试卷

(C) 8
(D) 7
2、若 A ＝ y | y x 2 2 x 3 ，B x | x 4 a 2 4 a 3 ，则正确的是（）
(A) A B (B) A B (C) A ＝ B (D) A B
3、设U ＝{1，2，3，4，5}， A
∩（ ðU B ）等于（ (A)
） (B) {4}
2
所以当 x 3 0 0 时， f ( x )最大值＝25000
8 分
当 x 4 0 0 时， f ( x ) 60000 100 x 是减函数，
所以 f ( x )最大值＜60000－100×400＝25000。综上所述，当 x 3 0 0 时， f ( x )最大值＝25000。 ∴每月生产 300 个时利润最大，最大利润为 25000 元。分
m 4
要(A∩B) C，即要：（4，5） C，
m0
∴必须要有：
m
4
5 m4
2
m
5
2
故所求 m 的范围为
5 m4
2
5 2m
9 分
12 分 13 分
22、解：①∵对于任意的 x, y （0，＋∞）都有 f ( xy ) f ( x ) f ( y ) ，
∴ f (8) f (4 2) f (4) f (2) ＝ f (2 2) f (2) 3 f (2)
2
4
a 3 或 a 2 。而此两个取值均不符合要求，故舍去。
6 分
②当 a 0 ，即 a 0 时， y 在［0,1］上是减函数， 2
故 y最大值＝ f (0) ＝ a 1 ＝2 a 6 ，满足条件。 42
③当 a 1 ，即 a 2 时， y 在［0,1］上是增函数， 2

人教版_高一数学下册期中考试题三

13.某地区有 300 家商店，其中大型商店 30 家，中型商
店 75 家，小型商店 195 家，为了掌握各商店的营业
情况，要从中抽取一个容量为 20 的样本，若采用分
层抽样的方法，抽取的中型商店数是
.
14.在右图给出的程序中，若输入 a=333，k=5，
则输出的 b 为
.
INPUT “a，k=”；a，k b=0 i=0 DO
9分
45 f1 55 f2 65 f3 75 f4 85 f5 95 f6
＝ 45 0.1 55 0.15 65 0.15 75 0.3 85 0.25 95 0.05
＝71，估计这次考试的平均分是 71 分.
12 分
21.解：（1）设抽到不相邻两组数据为事件 A ，因为从 5 组数据中选取 2 组数据共有 10
新疆源头学子小屋
/wxc/
特级教师王新敞 wxckt@
20．（Ⅰ）因为各组的频率和等于 1,故第四组的频率：
f4 1 (0.025 0.015 2 0.01 0.005) 10 0.3
频率组距
12 分
，频率 0.3 0.03 ，直方图如图所示组距 10
率，当 a、b∈Z，且 a＜－1，b≥1 时，设集合 A＝{x∈Z|a＜x＜0}，集合 B＝{x∈Z|
－b＜x＜b}.给出以下判断：
2
1
①当 a＝－4，b＝2 时 P(E)＝3，P(F)＝3；
②总有 P(E)＋P(F)＝1 成立；
③若 P(E)＝1，则 a＝－2，b＝1；
④P(F)不可能等于 1.
其中所有正确判断的序号为_____________.
种情况，每种情况都是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有 4 种，

人教版高一数学第二学期期中考试试卷(含参考答案)

人教版高一数学第二学期期中考试试卷（试卷共100分，时间120分钟）一、选择题(本大题共12个小题，每小题3分，共36分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的)。

1．设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x ＋3)<0}，B ＝{x |x <－1}，则图中阴影部分表示的集合为（）。

A ．{x |－3<x <－1}B ．{x |－3<x <0}C ．{x |－1≤x ＜0}D ．{x |x <－3}2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，△B ＝45°，S △ABC ＝2，则c 等于（）。

A ．2B ．22C ．4D ．423．若向量a ＝(1，1)，b ＝(－1，1)，c ＝(4，2)，则c ＝（）。

A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b 4．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝8，a 4＝7，则a 5＝（）。

A ．11B ．10C ．7D ．35．已知函数()14x f x a -=+的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是（）。

A ．(1，5)B ．(1，4)C ．(0，4)D ．(4，0)6. 为了得到函数y ＝sin(x ＋2)的图象，只需把函数y ＝sin x 的图象上所有的点（）。

A ．向左平行移动2个单位长度B ．向右平行移动2个单位长度C ．向上平行移动2个单位长度D ．向下平行移动2个单位长度 7. 在等比数列{a n }中，a 2 017＝8a 2 014，则公比q 的值为（）。

A ．2B ．3C ．4D ．88．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)＝（）。

A ．512 B ．1213 C ．±1213 D ．－12139．已知x ，y 满足241y xx y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则z ＝2x ＋y 的最大值是（）。

人教版_高一数学下册期中考试(15)

知 cos C 0 C 90
2分
由 b c sin A sin B sin C sin A sin A
知a b
2分
∴△ABC 是等腰直角三角形
1分
19．（本题共 12 分）
由题易知，△ABC 是正三角形，∠BDC=45°，∠BCD=75°
3分
所以∠CBD=60°，∠ACB=135°
。
8．已知等差数列{an } 前 10 项和为 40，前 20 项的和为 100，则前 30 项的和为
。
9．已知 x 2 y 1 ，则 2 x 4 y 的最小值为
。
10．已知等比数列{a n } 的首项为 3，前三项的和为 21，则 a 3 a 4 a 5 =
。
11．若关于 x 的不等式 ax 2 bx 2 0 的解集为 ( 1 , 1 ) ，则不等式 ax 2 bx 2 0 的解 23
。
x 1
4．某种菌类生长很快，长度每天增加 1 倍，在 20 天中长成 4 米，则长成 1 米需要 4
5．当 a 2, b 4 时，下方左图所示的这段伪代码运行的结果为
。
∠ABD=30°，CD=6，则线段
AD=
。
7．下方中间的流程图最后输出的 n 的值是
（2）求 S n 的最小值及此时 n 的值。
16．（本题共 3 小题，共 16 分）给出下面一段伪代码（1）画出上面这段伪代码所应用的流程图；（2）将上述伪代码改写成“For”语句；（3）求上面这段伪代码运行后的结果。
参考答案
1．10， 1 10
2．60°
3．（1， 3 ） 2
4．16
5．-2，2
（1） a n S n S n 1 2 n （n=1 时也符合）

〖人教版〗高一数学下册试卷第二学期期中测试

〖人教版〗高一数学下册试卷第二学期期中测试创作人：百里灵明创作日期：2021.04.01审核人：北堂正中创作单位：北京市智语学校第Ⅰ卷（本卷共40分）一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. sin600︒的值是（）A ．32B ．12-C ．12D ．32- 2. 若(3,2), (5,1)OM ON =-=--，则12MN 等于（） A ．(8,1)B ．(8,1)-C ．1(8,)2-D ．1(4,)2-3. 函数2sin()3y x π=+的一条对称轴为（）A ．2x π=-B ．0x =C ．6x π=D ．6x π=-4. 已知3cos 25θ=，则44sin cos θθ-的值为（） A ．45B ．35C ．35-D ．45-5. 若||4, ||6m n ==，m 与n 的夹角为135︒，则m n ⋅等于（）A ．12B ．122C ．122-D ．12-6. 圆22420x y x y +-+=的圆心和半径分别是（）A ．(2, 1), 5-B ．(2, 1), 5-C ．(2, 1), 5-D ．(2, 1), 5-7. 直线1y x =+与圆221x y +=的位置关系为（）A ．相切B ．相交但直线不过圆心C ．直线过圆心D ．相离 8. 在ABC ∆中，3, 2, 2AB BC A π==∠=，且||||BA t BC AC -⋅，则实数t 的取值范围是（）A ．[1, )+∞B ．1[, 1]2C ．1(, ][1, )2-∞+∞D ．(, 0][1, )-∞+∞第Ⅱ卷（本卷共计110+15分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9. 函数2sin y x =的最小正周期为． 10. 设1cos 13y x =-的最大值和最小值分别为, u v ，则u v +=． 11. 若(1,3), (,1)a b x =-=-，且//a b ，则x 的值为． 12. tan 70tan 503tan 70tan 50︒+︒-︒︒的值为．13. 以点(2,1)-为圆心且与直线6x y +=相切的圆的方程为． 14. 设0ω>，函数sin()23y x πω=++的图像向右平移43π个单位后与原图像重合，则ω的最小值为．三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15. （本小题12分）已知tan 2α=，求下列各式的值：（1）4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+；（2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-．16. （本小题满分12分）已知(1,2), (3,2)a b ==-．（1）求|2|a b -的值；（2）若2ka b +与24a b -垂直，求实数k 的值．17. （本小题满分14分）已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切．（1）求圆O 的方程；（2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长．18. （本小题满分14分）已知sin()y A x B ωϕ=++的一部分图像如图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><．（1）求()f x 的解析式；（2）若[0, ]2x π∈，求()f x 的最值．19. （本小题满分14分）已知312sin(2), sin , (, ),(, 0)51322ππαββαπβ-==-∈∈-，求sin α的值．20. （本小题满分14分）如图在ABC ∆中，11, 42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于M 点．设, OA a OB b ==．（1）用, a b 表示OM ；（2）已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OE pOA =，OF qOB =，则13p q+是否为定值，如果是定值，这个定值是什么？附加题21. （本题满分15分）已知圆C 过点(1, 1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于, A B ，且直线PA 和PB 直线的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行，并说明理由．高级—2第二学期期中测试高一数学答题卷一、选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）第Ⅱ卷（本卷共计110+15分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．______________ 10．______________ 11．______________ 12．______________ 13． ______________ 14．______________三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15．（本小题12分） 16．（本小题12分） 17．（本小题14分） 18．（本小题14分） 19．（本小题14分） 20．（本小题14分）附加题：21．（本小题15分）参考答案一．选择题：（本大题共8题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案DDCCCABC第Ⅱ卷（本卷共计110分）二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．π 10. 2- 11. 13 12．3- 13. 2225(2)(1)2x y -++= 14. 32三、解答题：（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）15.（本小题12分）已知tan 2α=，求下列各式的值：（1）4sin 2cos 5sin 3cos αααα-+；（2）223sin 3sin cos 2cos αααα+-．解：（1）4tan 24226==5tan 352313αα-⨯-=+⨯+原式；………………………………6分（2）2222223sin 3sin cos 2cos 3tan 3tan 216==sin cos tan 15ααααααααα+-+-=++原式．………12分 16.（本小题满分12分）已知(1,2), (3,2)a b ==-．（1）求|2|a b -的值；（2）若2ka b +与24a b -垂直，求实数k 的值．解：（1）22|2|=44204(322)1329a b a a b b --⋅+=--+⨯+=； (6)分（2）由题意得(2)(24)0ka b a b +⋅-=，即222(44)80ka k a b b +-⋅-=，5010448130, 3k k k +--⨯==． ………………………………………………………12分 17.（本小题满分14分）已知圆O 以原点为圆心，且与圆22:68210C x y x y ++-+=外切．（1）求圆O 的方程；（2）求直线230x y +-=与圆O 相交所截得的弦长．解：（1）设圆O 方程为222x y r+=．圆22:(3)(4)4C x y ++-=，||2r OC =-22(3)423=-+-=，所以圆O方程为229x y +=．…………………………7分（2）O 到直线a 的距离为3514d ==+，……………………………………10分故弦长22912522955l r d =-=-=．…………………………………………14分 18.（本小题满分14分）已知sin()y A x B ωϕ=++的一部分图像如图所示，如果0,0,||2A πωϕ>><．（1）求()f x 的解析式；（2）若[0,]2x π∈，求()f x 的最值．解：（1）由图可知函数图像过2(, 1.5),(, 0.5)63ππ-，则 1.5(0.5)12A --==，………………………………………………………………2分1.510.5B =-=，……………………………………………………………………4分22T==2()=36ππππω-，2ω=，…………………………………………………6分把(, 1.5)6π代入解析式得sin(2)0.5 1.56πϕ⨯++=，解得6πϕ=．所以，1()sin(2)62f x x π=++．………………………………………………………7分（2）70, 22666x x ππππ+，……………………………………………………10分所以，min ()0f x =，max 3()2f x =．………………………………………………14分19.（本小题满分14分）已知312sin(2), sin , (, ),(, 0)51322ππαββαπβ-==-∈∈-，求sin α的值．解：, 22, 0<,22ππαππαπβ<<<<-<5<22ππαβ∴-<．由3sin(2)05αβ-=>，得52<22ππαβ-<，4cos(2)5αβ∴-=．……………………………………………………3分又<02πβ-<，由12sin 13β=-得5cos 13β=．………………………………………………………6分由2cos 212sin αα=-，得29sin 130α=，………………………………………12分又2παπ<<，所以3130sin 130α=．………………………………………………14分 20.（本小题满分14分）如图在ABC ∆中，11, 42OC OA OD OB ==，AD 与BC 交于M 点．设, OA a OB b ==．（1）用, a b 表示OM ；（2）已知线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ．设OE pOA =，OF qOB =，则13p q+是否为定值，如果是定值，这个定值是什么？解：（1）设OM ma nb =+，则(1)AM OM OA ma nb a m a nb =-=+-=-+，1122AD OD OA OB OA a b =-=-=-+．∵A M D 、、三点共线， ∴AM与AD 共线，故存在实数t ，使得 AM t AD =，即1(1)()2m a nb t a b -+=-+，(1)2tm a nb ta b -+=-+，MDOABF∴1,.2m t tn -=-⎧⎪⎨=⎪⎩，消去t 得12m n -=-，即21m n +=． ①…………………3分 ∵11()44CM OM OC ma nb a m a nb =-=+-=-+，14CB OB OC b a =-=-，又C M 、、B 三点共线∴CM 与CB 共线，同理可得41m n +=． ②…………………………………6分联立①②，解得13, 77m n ==．故1377OM a b =+．………………………………………………7分（2）137p q+=． ∵1313()7777EM OM OE a b pOA p a b =-=+-=-+， EF OF OE qOB pOA pa qb =-=-=-+，又EM 与EF 共线，故存在实数k ，使得EM kEF =，即13()()77p a b k pa qb kpa kqb -+=-+=-+. 1737p pk kq⎧-=-⎪⎪∴⎨⎪=⎪⎩，消去k 得1377p p q -=-⋅，整理得137p q +=． (14)分附加题21.（本题满分15分）已知圆C 过点(1, 1)P ，且与圆222:(2)(2)(0)M x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称．（1）求圆C 的方程；（2）设Q 为圆C 上一个动点，求PQ MQ ⋅的最小值；（3）过点P 作两条相异直线分别与圆C 相交于,A B ，且直线PA 和PB 直线的倾斜角互补，O 为坐标原点，试判断直线OP 和AB 是否平行，并说明理由．。

人教版_高一数学下册期中考试(4)

所以 P(A)= 3 10
（2）设事件 B 为“取到一件正品一件次品”
P(B)= 3 2 = 3 10 5
（3）设事件 C 为“取到的两件都是次品”，只有一种取法
1 P(C)=
10
20：解：（1） x 5 6 7 8 9 10 7.5 6
（2）所有的结果有下面 15 种
（5，6）（5，7）（5，8）（5，9）（5，10）（6，7）（6，8）（6，9）（6，10）（7，8）（7，9）（7，10）（8，9）（8，10）（9，10）满足条件的有 7 种（5，9）（5，10）（6，8）（6，9）（6，10）（7，8）（7，9）
即 (1 16 q 3) (1 16 q 3) 0
解得 20 q 12
t 8
⑵
当
8
t
10 8 时，即 0
t
6
时，
f
( x ) 的值域为：
f
(8),
f
(t) ，
t
0
即 q 61, t 2 16t q 3 ∴ t 2 16t q 3 (q 61) t 2 16t 64 12 t
(13) —4 或 4 三：解答题
(14 ) 0
( 15) 2 3 (16) a= 2 ,b=1
17：解：（1）原式 ( sin )( cos )( sin )( sin ) sin
( cos ) sin sin cos
cos
1 sin
2
3 cos
2
1 原式 2 3
形 ABCD 为菱形， D A B 60 ， P 为 AD 的中点， Q 为 SB 的中点. S
（1）求证： PQ // 平面 SCD ；
（2）求二面角 B P C Q 的正切值．

2022-2023学年人教A版高一下数学期中试卷(含解析)

2022-2023学年高中高一下数学期中试卷学校：____________ 班级：____________ 姓名：____________ 考号：____________考试总分：110 分考试时间： 120 分钟注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I （选择题）一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1. 复数的共轭复数（）A.B.C.D.2. 如图，点是圆上的一个动点，点是直线上的一个动点，为坐标原点，则向量在向量上的射影的数量的最大值是（）A.B.C.D.3. 已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，，则实数的值为( )A.B.C.D.4. 在中，若，则等于（）z =i +1=z ¯1+i i −11−i −i −1P C :+(y −2=1x 22–√)2Q l :x −y =0O OP −→−OQ −→−32+2–√232–√1x +y =a +=4x 2y 2A B O |+|=|−|OA −→−OB −→−3–√OA −→−OB −→−a ±2±2–√±3–√±6–√△ABC =2BD −→−DC −→−AD −→−1−→−2−→−A.B.C.D.5. 已知在极坐标系中，点，，，则为（）A.正三角形B.直角三角形C.等腰锐角三角形D.等腰直角三角形6. 已知，，均为锐角，则( )A.B.C.D.7. 函数在上的最小值为( )A.B.C.D.8. 在中，，，点，分别为，的中点，与相交于点，且满足，则( )+13AB −→−23AC −→−+23AB −→−13AC −→−+2AB −→−AC −→−2+AB −→−AC −→−A(2,)π2B(,)2–√3π4O(0,0)△ABO cos α=，sin(β−α)=−5–√510−−√10αβsin 2β=122–√23–√21f (x)=2sin x −3x −cos x −2sin 2x +3cos 2[0,]π2−32−3–√2−54−1△ABC AB =5–√CB =1M N CA CB AN BM G 3⋅AG −→−MB −→−=+CA −→−2CB −→−2cos B =2–√A.B.C.D.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9. 下列关于平面向量的说法中正确的是( )A.已知，均为非零向量，若，则存在唯一的实数，使得B.已知非零向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是C.若且，则D.若点为的重心，则10. 已知复数，是的共轭复数，则（）A.B.C.复数在复平面内所对应的点在第一象限D.11. 已知函数的图象的一条对称轴方程为，其中，则以下结论正确的是（）A.函数的最小正周期为B.将函数的图象向左平移所得图象关于原点对称C.函数在区间上单调递增25–√5−25–√55–√5−5–√5a →b →//a →b →λ=λa →b→=(1,2)a →=(1,1)b →a →+λa →b →λ(−,+∞)53⋅=⋅a →c →b →c →≠c →0→=a →b →G △ABC ++=GA −→−GB −→−GC −→−0→z =2+1−i 1+i z ¯¯¯z =+i z¯¯¯z 3545z =3z ¯¯¯z¯¯¯zz ≥4z ¯¯¯f (x)=2sin(ωx −)π6x =πω∈(0,1)f (x)3πf (x)π6f (x)[−,]π6π2,]5πD.函数在区间上的最小值为12. 已知为所在平面内一点，则下列结论正确的是（）A.若，则在直线上B.若，则为的垂心C.若，，，则的最小值为D.若，则，，的面积比为卷II （非选择题）三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13. 若复数是纯虚数，则________.14. 已知向量，，若，则向量与的夹角为________．15. 海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞．若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则两点的距离为________．16. 如图，在中，，，，，则________．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）f (x)[,]π25π43–√P △ABC =−+AP −→−13AB −→−23AC −→−P BC ⋅=⋅=⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−PC −→−PA −→−P △ABC ⊥AB −→−AP −→−=λBC −→−BP −→−||=AP −→−λ+2−−−−−√⋅AC −→−AP −→−−1+3+2=PA −→−PB −→−PC −→−0→△APB △APC △BPC 2∶3∶1(a ∈R)3−ai1−2i|2a +i|==(−1,3)a =(1,t)b (−2)⊥a b a a b A B C D CD =450m ∠ADB =135∘∠BDC =∠DCA =15∘∠ACB =120∘AB m △ABC 3BD =DC AB =3AC =2∠BAC =60∘⋅=AD −→−BC −→−17.已知复数在复平面内对应的点在第二象限，，且，求；已知复数为纯虚数，求实数的值．18. 如图，在平行四边形中，点，，分别在边，，上，且满足，，，设，用，表示，；若，，求角的值． 19. 计算：；；．20. 已知函数＝的部分图象如图所示．Ⅰ求，的值；Ⅱ求函数在上的单调区间；Ⅲ若对任意，都有，求实数的取值范围．21. 在中，，，分别是内角，，的对边，且．求角的大小；若，且，求的面积．22. 已知函数．（1）求的单调递增区间(1)z |z|=2z +=−2z¯¯¯z (2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i m ABCD E F G AB AD BC AE =AB 13AF =AD 13BG =BC 23=AB −→−a →=.AD −→−b →(1)a →b →EF −→−EG −→−(2)EF ⊥EG ⋅=2⋅AB −→−EG −→−a →b →A (1)⋅a 2a 8(2)−a ⋅(−a)3(3)⋅x n−1x 2n+1(4)⋅(a −b)2(b −a)3f(x)2sin(ωx +φ)(ω>0,−<φ<)π2π2()ωφ()f(x)[0,π]()x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|<m x 1x 2m △ABC a b c A B C (a +c)2=+3ac b 2(1)B (2)b=2sin B +sin(C −A)=2sin 2A △ABC f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276f(x)(A)=3（2）已知的外接圆半径为，，，的对边分别为，，，若，，求的取值范围．△ABC R A B C a b c f(A)=32sin B +sin C =2Ra参考答案与试题解析2022-2023学年高中高一下数学期中试卷一、选择题（本题共计 8 小题，每题 5 分，共计40分）1.【答案】C【考点】共轭复数【解析】运用共轭复数的定义求解即可.【解答】解：∵复数，∴其共轭复数 .故选2.【答案】A【考点】向量的投影【解析】设夹角为，则向量上的投影等于．分析出应为锐角，设，不妨取，转化为求的最小值问题，可以用圆的参数方程或线性规划的方法求解．【解答】解：设夹角为，则向量上的投影等于，若取得最大值则首先为锐角．设，不妨取，则根据向量数量积的运算得出①由于是圆上的一个动点，设②z =i +1=1−i z¯¯¯C.，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θ=OP |−→−−||OQ −→−˙θP(x,y)Q(1,1)x +y ，OP −→−OQ −→−θ在向量OP −→−OQ −→−|cos θOP |−→−−θP(x,y)Q(1,1)|cos θ==OP |−→−−||OQ −→−˙x +y2–√P C ：+(y −2=1x 22–√)2{x =cos αy =2+sin α2–√cos θ=(cos α+sin α+2)−→−−–√将②代入①得出，而的最大值为，所以故选．3.【答案】D【考点】直线和圆的方程的应用向量的模数量积表示两个向量的夹角【解析】根据已知条件得到为等边三角形，进而求得到直线的距离，即可求解结论．【解答】解：已知直线与圆交于，两点，为坐标原点，所以，因为，所以，整理得，所以，所以，此时为等边三角形，则到直线的距离为：，解得.故选．4.【答案】A【考点】向量在几何中的应用向量的线性运算性质及几何意义【解析】|cos θ=(cos α+sin α+2)OP |−→−−2–√22–√cos α+sin α2–√|cos θ≥×3=3OP |−→−−2–√22–√A △AOB O AB x +y =a +=4x 2y 2A B O ||=||=2OA −→−OB −→−|+|=|−|OA −→−OB −→−3–√OA −→−OB −→−++2⋅=3(+−2⋅)OA −→−2OB −→−2OA −→−OB −→−OA −→−2OB −→−2OA −→−OB −→−⋅=2OA −→−OB −→−cos ∠AOB =12∠AOB =60∘△AOB O AB d =|OA|==3–√23–√|0−0+a|2–√a =±6–√D无【解答】解：．故选．5.【答案】D【考点】三角形的形状判断【解析】利用余弦定理可得，再利用勾股定理的逆定理即可得出．【解答】解：，可得，∴．又，∴为等腰直角三角形．故选．6.【答案】D【考点】二倍角的正弦公式两角和与差的正弦公式【解析】此题暂无解析【解答】解：，因为，均为锐角，所以，所以，=+=+(−)=+AD −→−AB −→−23BC −→−AB −→−23AC −→−AB −→−13AB −→−23AC −→−A |AB ||AB |==+(−2××2×cos 222–√)22–√π4−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√2–√|AB +|OB =|OA |2|2|2AB ⊥OB ∠AOB =π4△ABO D sin β=sin[α+(β−α)]=sin αcos(β−α)+cos αsin(β−α)αββ−α∈(−,)π2π2cos(β−α)=,sin α=310−−√1025–√5β=，cos β=–√–√所以，所以．故选．7.【答案】C【考点】二倍角的正弦公式二倍角的余弦公式三角函数的最值三角函数的恒等变换及化简求值【解析】本题考查三角函数的性质与函数的最值．【解答】解：依题意,．令，因为时，是增函数，所以．因为，所以，故最小值为．故选．8.【答案】C【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用sin β=，cos β=2–√22–√2sin 2β=2sin βcos β=1D f(x)=2sin x −3(1−x)−cos x −4sin x cos x +3sin 2=2sin x +3x −cos x −4sin x cos xsin 2=2sin x −cos x +4x −4sin x cos x +x −1sin 2cos 2=+(2sin x −cos x)−1(2sin x −cos x)22sin x −cos x =t x ∈[0,]π2g(x)=2sin x −cos x t ∈[−1,2]y =+t −1=−t 2(t +)12254y ∈[−,5]54−54C利用向量关系列式求得，即得，求得，再利用余弦定理求解即可.【解答】解：由题可得，点是三条中线的交点，∴点是的重心，∵重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为，，.∵，，∴.∵，∴,∴，即，则，∴，在中，.故选.二、多选题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）9.【答案】A,D【考点】三角形五心向量的共线定理平面向量数量积的性质及其运算律数量积的坐标表达式数量积表示两个向量的夹角【解析】由向量共线定理可判断选项；由向量夹角的的坐标表示可判断选项；由数量积的运算性质可判断选项；由三角形的重心性质即可判断选项．⋅=0CB −→−CA −→−∠C =90∘AC G △ABC G △ABC 2:1∴AG :GN =2:1AG =AN 23=−AB −→−CB−→−CA −→−∴=−AN −→−AB −→−12CB −→−=−12CB −→−CA −→−==−AG −→−23AN −→−13CB −→−23CA −→−=−MB −→−CB −→−CM −→−=−CB −→−12CA −→−3⋅=(−2)(−)AG −→−MB −→−CB −→−CA −→−CB −→−12CA −→−=+−⋅=+CB −→−2CA −→−252CB −→−CA −→−CB −→−2CA −→−2⋅=0CB −→−CA −→−CB ⊥CA ∠C =90∘AC ==2A −B B 2C 2−−−−−−−−−−√Rt △ABC cos B ==BC AB 5–√5C A B C D解：，由向量共线定理知正确；，，因为与的夹角为锐角，所以，解得，当与共线时，，解得，此时，此时与夹角为，不符合题意，所以实数的取值范围是，故错误；，若，则，因为，则或与垂直，故错误；，若点为的重心，如图，延长交于，则为的中点，所以，所以，故正确．故选.10.【答案】A,C,D【考点】复数代数形式的乘除运算复数的运算复数的代数表示法及其几何意义复数代数形式的混合运算共轭复数【解析】无【解答】A AB +λ=(1,2)+λ(1,1)=(1+λ,2+λ)a ¯¯¯b ¯¯a →+λa →b →⋅(+λ)=1+λ+2(2+λ)=5+3λ>0a →a →b →λ>−53a →+λa →b →2+λ=2(1+λ)λ=0+λ=(1,2)a →b →a →+λa →b →0λ(−,0)∪(0,+∞)53BC ⋅=⋅a →c →b →c →⋅(−)=0c →a →b →≠c →0→−=a →b →0→c →−a →b →CD G △ABC AG BC M M BC =2=2××(+)=+AG −→−GM −→−12GB −→−GC −→−GB −→−GC −→−++=GA −→−GB −→−GC −→−0→D AD =2+=2+=2−i2解：因为，所以，则，，则，，正确，错误．故选．11.【答案】A,C【考点】正弦函数的单调性正弦函数的周期性正弦函数的对称性函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换【解析】先由条件得，从而求得，再逐项验证即可.【解答】解：由函数的图象的一条对称轴为，得，因为，所以，，则.所以周期，项正确；将函数的图象向左平移，得，显然的图象不关于原点对称，项错误；由．取，得，即函数的一个单调递增区间，又所以函数在区间单调递增，项正确；z =2+=2+=2−i 1−i 1+i (1−i)22=2+i z ¯¯¯==z ¯¯¯z 2+i 2−i 3+4i 5z =(2−i)(2+i)=4−=5z ¯¯¯i 2A C D B ABD ωπ−=kπ+(k ∈Z)π6π2ω=23f (x)=2sin(ωx −)π6x =πωπ−=kπ+(k ∈Z)π6π2ω∈(0,1)k =0ω=23f (x)=2sin(x −)23π6T ==3π2π23A f(x)π6g(x)=f (x +)π6=2sin[(x +)−]=23π6π62sin(x −)23π18g(x)B 2kπ−≤x −≤2kπ+(k ∈Z)π223π6π2k =0−≤x ≤ππ2[−,π]π2f(x)[−,]⊆[−,π],π6π2π2f(x)[−,]π6π2C ∈[,]5π−∈[,]22π，则，所以，所以，故在区间的最小值为，选项错误.故选.12.【答案】B,C,D【考点】向量在几何中的应用平面向量数量积的运算直线与平面垂直的判定向量的线性运算性质及几何意义【解析】无【解答】解：．∵，∴、、三点不共线，即不在直线上，故选项错误；．∵，∴，∴，同理，，∴为的垂心，故选项正确；．∵，又且，即且，∴当时，取得最小值，故选项正确；x ∈[,]π25π4x −∈[,]23π6π62π3sin(x −)∈[,1]23π6122sin(x −)∈[1,2]23π6f(x)[,]π25π41D AC A −+≠11323P B C P BC A B ⋅=⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−⋅−⋅PA −→−PB −→−PB −→−PC −→−=⋅(−)=⋅=0PB −→−PA −→−PC −→−PB −→−CA −→−PB ⊥CA PC ⊥AB PA ⊥CB P △ABC B C ⋅=(+)⋅AC −→−AP −→−AB −→−BC −→−AP −→−=(+λ)⋅AB −→−BP −→−AP−→−=[+λ(−)]⋅AB −→−AP −→−AB −→−AP −→−=[(1−λ)+λ]⋅AB −→−AP −→−AP−→−=(1−λ)⋅AB −→−+λAP −→−AP −→−2=λ(λ+2)=(λ+1−1)2λ+2>0λ≠0λ>−2λ≠0λ=−1⋅AC −→−AP −→−−1C 3+2=0−→−−→−−→−．∵，∴，∴，即．如图可知，，，∴，∴，故选项正确.故选．三、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.【答案】【考点】复数的模复数代数形式的混合运算【解析】此题暂无解析【解答】解：因为为纯虚数，则，，即，所以故答案为：.14.D +3+2=0PA −→−PB −→−PC −→−+3(−)+PA −→−AB −→−AP −→−2(−)=AC −→−AP −→−0→+3+2−5=0PA −→−AB −→−AC −→−AP −→−=+AP −→−12AB −→−13AC −→−=S △APB 13S △ABC =S △APC 12S △ABC =S △BPC 16S △ABC ∶∶=∶∶S △APBS △APC S △BPC 131216=2∶3∶1D BCD 10−−√=3−ai 1−2i (3−ai)(1+2i)5=3+2a +(6−a)i 53+2a =06−a ≠0a =−32|2a +i|=|−3+i|=.10−−√10−−√【答案】【考点】数量积表示两个向量的夹角数量积判断两个平面向量的垂直关系【解析】利用向量的坐标运算，通过向量垂直，然后求解，即可求解向量的夹角．【解答】向量，，．，，解得所以向量，，则向量与的夹角为，．所以：向量与的夹角为：．15.【答案】【考点】解三角形正弦定理余弦定理【解析】【解答】解：由题知，在中，，得，在中，，得，在中，，即 .故答案为：.16.【答案】π4t =(−1,3)a =(1,t)b −2=(−3,3−2t)a b (−2)⊥a b a3+3(3−2t)=0t=(2)=(−1,3)a =(1,2)b a b θcos θ==−1+6∗10−−√5–√2–√2a b π44505–√△ADC ∠ADC =150∘AD =DC =450=a △DCB =BD sin 135∘450sin 30∘BD =450=a 2–√2–√△ADB A =+2−2cos =5B 2a 2a 22–√a 2135∘a 2AB =a =4505–√5–√4505–√17【考点】平面向量数量积的运算向量在几何中的应用【解析】无【解答】解：由图可得，，，.，，，．故答案为：．四、解答题（本题共计 6 小题，每题 5 分，共计30分）17.【答案】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．【考点】复数的模复数代数形式的混合运算复数的代数表示法及其几何意义−174=−BC −→−AC −→−AB −→−=+=+AD −→−AB −→−14BC −→−34AB −→−14AC−→−∴⋅AD −→−BC−→−=(+)⋅(−)34AB −→−14AC −→−AC −→−AB −→−=+⋅−14AC −→−212AC −→−AB −→−34AB −→−2∵AB =3AC =2∠BAC =60∘∴⋅=×4+×2×3×−×9=−AD −→−BC −→−14121234174−174(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2复数的基本概念【解析】此题暂无解析【解答】解：设，由题意得解得，．复数在复平面内对应的点在第二象限，．．．由题意得解得．18.【答案】解：因为，.若，则，即，即，所以．，即,所以，所以.又，所以．【考点】(1)z =a +bi(a,b ∈R){+=4，a 2b 22a =−2，a =−1b =±3–√∵z ∴b =3–√∴z =−1+i 3–√(2)z =−(1+2i)m −3(2+i)2m 21−i =(−m −6)+(−2m −3)i m 2m 2{−m −6=0，m 2−2m −3≠0，m 2m =−2(1)=+EF −→−EA −→−AF −→−=−+=−+13AB −→−13AD −→−13a →13b →=+EG −→−EB −→−BG −→−=+=+23AB −→−23BC −→−23a →23b →(2)EF ⊥EG ⋅=0EF −→−EG −→−(−+)⋅(+)13a →13b →23a →23b →=−+=029a →229b →2=a →2b →2||=||a →b →⋅AB −→−EG −→−=⋅(+)=+⋅=2⋅a →23a →23b →23a →223a →b →a →b→=2⋅a →2a →b →|=2|⋅cos A a →|2a →|2cos A =12A ∈(0,π)A =π3向量加减混合运算及其几何意义向量的线性运算性质及几何意义数量积判断两个平面向量的垂直关系数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】解：因为，.若，则，即，即，所以．，即,所以，所以.又，所以．19.【答案】解：．．．．【考点】平面向量数量积的运算【解析】此题暂无解析(1)=+EF −→−EA −→−AF −→−=−+=−+13AB −→−13AD −→−13a →13b →=+EG −→−EB −→−BG −→−=+=+23AB −→−23BC −→−23a →23b →(2)EF ⊥EG ⋅=0EF −→−EG −→−(−+)⋅(+)13a →13b →23a →23b →=−+=029a →229b →2=a→2b →2||=||a →b →⋅AB −→−EG −→−=⋅(+)=+⋅=2⋅a →23a →23b →23a →223a →b →a →b→=2⋅a →2a →b →|=2|⋅cos A a →|2a →|2cos A =12A ∈(0,π)A =π3(1)⋅==a 2a 8a 2+8a 10(2)−a ⋅===(−a)3(−a)1+3(−a)4a 4(3)x n−1⋅==x 2n+1x n−1+2n+1x 3n (4)⋅=⋅=(a −b)2(b −a)3(b −a)2(b −a)3=(b −a)2+3(b −a)5【解答】解：．．．．20.【答案】（1）设函数的最小正周期为，由图可知，，所以＝；又，，所以；又，所以．因为，所以，所以，所以；（2）由Ⅰ知，，因为当时，，所以当，即时，单调递增；当，即时，单调递减；当，即时，单调递增；所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为；Ⅲ由Ⅱ可知，函数在的最大值为，最小值为，所以对任意，，都有＝，且当，时，取到最大值．因为对任意，，都有成立，所以，即的取值范围是．【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式【解析】Ⅰ根据三角函数的部分图象求出、和的值；Ⅱ由Ⅰ写出函数的解析式，再求函数在上的单调递增区间和单调递减区间；Ⅲ由Ⅱ求出函数在的最大值和最小值，得出的最大值，从而求得的取值范围．(1)⋅==a 2a 8a 2+8a 10(2)−a ⋅===(−a)3(−a)1+3(−a)4a 4(3)x n−1⋅==x 2n+1x n−1+2n+1x 3n (4)⋅=⋅=(a −b)2(b −a)3(b −a)2(b −a)3=(b −a)2+3(b −a)5f(x)T T =−(−)=34π35π123π4T πT =2π|ω|ω>0ω==22πT f()=2π3sin(+φ)=12π3−<φ<π2π2<+φ<π62π37π6+φ=2π3π2φ=−π6()f(x)=2sin(2x −)π6x ∈[0,π]2x −∈[−,]π6π611π62x −∈[−,]π6π6π2x ∈[0,]π3f(x)2x −∈(,]π6π23π2x ∈(,]π35π6f(x)2x −∈(,]π63π211π6x ∈(,π]5π6f(x)f(x)[0,]π3(,π]5π6(,]π35π6()()f(x)[0,π]f()=2π3f()=−25π6x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|≤|2−(−2)|x 1x 24=x 1π3=x 25π6|f()−f()|x 1x 24x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|<m x 1x 2m >4m {m |m >4}()T ωφ()()f(x)x ∈[0,π]()()f(x)[0,π]|f()−f()|x 1x 2m【解答】（1）设函数的最小正周期为，由图可知，，所以＝；又，，所以；又，所以．因为，所以，所以，所以；（2）由Ⅰ知，，因为当时，，所以当，即时，单调递增；当，即时，单调递减；当，即时，单调递增；所以函数单调递增区间为和，单调递减区间为；Ⅲ由Ⅱ可知，函数在的最大值为，最小值为，所以对任意，，都有＝，且当，时，取到最大值．因为对任意，，都有成立，所以，即的取值范围是．21.【答案】解：∵，即，由余弦定理，得.又，∴．∵，∴，∴，即，∴或.当时，，∴，∴；f(x)T T =−(−)=34π35π123π4T πT =2π|ω|ω>0ω==22πT f()=2π3sin(+φ)=12π3−<φ<π2π2<+φ<π62π37π6+φ=2π3π2φ=−π6()f(x)=2sin(2x −)π6x ∈[0,π]2x −∈[−,]π6π611π62x −∈[−,]π6π6π2x ∈[0,]π3f(x)2x −∈(,]π6π23π2x ∈(,]π35π6f(x)2x −∈(,]π63π211π6x ∈(,π]5π6f(x)f(x)[0,]π3(,π]5π6(,]π35π6()()f(x)[0,π]f()=2π3f()=−25π6x 1∈[0,π]x 2|f()−f()|≤|2−(−2)|x 1x 24=x 1π3=x 25π6|f()−f()|x 1x 24x 1∈[0,π]x2|f()−f()|<m x1x 2m >4m {m |m >4}(1)(a +c)2=+3ac b 2+−a 2c 2b 2=ac cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2ac 12B ∈(0,π)B =π3(2)sin B +sin(C −A)=2sin 2A sin(C +A)+sin(C −A)=2sin 2A sin C cos A +cos C sin A+sin C cos A −cos C sin A =4sin A cos A cos A(sin C −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin Acos A=0A =π2c ==b tan B 23–√=b ⋅c =×2×=S △ABC 121223–√23–√3sin C 2sin A当时，由正弦定理，得，由余弦定理，得，解得，，∴．综上所述，的面积为．【考点】余弦定理正弦定理三角函数的恒等变换及化简求值【解析】整理已知等式可得，由余弦定理可得，结合范围，可求的值；由三角函数恒等变换的应用化简已知可得：，可得，或，分类讨论，利用三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：∵，即，由余弦定理，得.又，∴．∵，∴，∴，即，∴或.当时，，∴，∴；当时，由正弦定理，得，由余弦定理，得，解得，，∴．综上所述，的面积为．22.【答案】sin C =2sin A c=2a 4=+−ac a 2c 2=+4−2a 2a 2a 2=3a 2a =23–√3c =43–√3=ac sin B S △ABC 12=×××=1223–√343–√33–√223–√3△ABC 23–√3(1)+−a 2c 2b 2=ac cos B =12B ∈(0,π)B (2)cos A(sinC −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin A (1)(a +c)2=+3ac b 2+−a 2c 2b 2=ac cos B ===+−a 2c 2b 22ac ac 2ac 12B ∈(0,π)B =π3(2)sin B +sin(C −A)=2sin 2A sin(C +A)+sin(C −A)=2sin 2A sin C cos A +cos C sin A+sin C cos A −cos C sin A =4sin A cos A cos A(sin C −2sin A)=0cos A=0sin C =2sin A cos A=0A =π2c ==b tan B 23–√=b ⋅c =×2×=S △ABC 121223–√23–√3sin C =2sin A c=2a 4=+−ac a 2c 2=+4−2a 2a 2a 2=3a 2a =23–√3c =43–√3=ac sin B S △ABC 12=×××=1223–√343–√33–√223–√3△ABC 23–√3(x)=2x −sin(2x −π)7函数．，令，解得，所以单调递增区间为．由（1）得：，则：，由于：，解得：，所以：．由于：，所以：，即：．所以：则：，解得：，因为故：的取值范围是：．【考点】正弦函数的单调性三角函数的恒等变换及化简求值【解析】（1）直接利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成余弦形函数，进一步求出函数的单调区间．（2）利用（1）的结论，首先求出的值，进一步利用正弦定理和余弦定理的应用，及基本关系式求出结果．【解答】函数．，f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276=cos 2x +1+sin(2x −)π6=cos 2x +sin 2x +1123–√2=cos(2x −)+1π32kπ−π≤2x −≤2kπ(k ∈Z)π3kπ−≤x ≤kπ+(k ∈Z)π3π6[kπ−,kπ+](k ∈Z)π3π6f(A)=32cos(2A +)=π3120<A <π<2A +<π3π37π3A =2π3sin B +sin C =2R 2R sin B +2R sin C =4b +c =4bc ≤(=4b +c 2)2=+−2bc cos A =++bc ≥(b +−(a 2b 2c 2b 2c 2c)2b +c 2)2a ≥23–√a <b +c =4a [2,4)3–√A f(x)=2x −sin(2x −π)cos 276=cos 2x +1+sin(2x −)π6=cos 2x +sin 2x +1123–√2=cos(2x −)+1π3kπ−π≤2x −≤2kπ(k ∈Z)π令，解得，所以单调递增区间为．由（1）得：，则：，由于：，解得：，所以：．由于：，所以：，即：．所以：则：，解得：，因为故：的取值范围是：．2kπ−π≤2x −≤2kπ(k ∈Z)π3kπ−≤x ≤kπ+(k ∈Z)π3π6[kπ−,kπ+](k ∈Z)π3π6f(A)=32cos(2A +)=π3120<A <π<2A +<π3π37π3A =2π3sinB +sinC =2R 2R sin B +2R sin C =4b +c =4bc ≤(=4b +c 2)2=+−2bc cos A =++bc ≥(b +−(a 2b 2c 2b 2c 2c)2b +c 2)2a ≥23–√a <b +c =4a [2,4)3–√。

高一数学下学期期中试题人教版新版

—————————— 新学期新成绩新目标新方向 ——————————2019学年第二学期期中考试高一数学试题（试题卷）（总分：150分；总时量：120分钟）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12道小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知在数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝5，且21n n n a a a ++=+，则5a ＝( ) A ．13 B. 15 C ．17 D ．192、不等式(x ＋3)2＜1的解集是( )A ．{x |x ＜－2}B ．{x |x ＜－4}C ．{x |－4＜x ＜－2}D ．{x |－4≤x ≤－2} 3、若a 、b 是任意实数，且a b >，则下列不等式成立的是（）． A.1b a < B. 11a b < C. 22a b > D. 33a b > 4、在△ABC 中，a ＝15，b ＝10，A ＝60°，则sin B ＝( )A D 5、设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若1353a a a ++=，则5S =（）． A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 6、若关于x 的不等式2122x x mx -+>的解集为()0,2，则实数m 的值是（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 47、在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，a ＝3，b ＝1，则c ＝( )A ．1 B. 2 C .3－1 D. 38、已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A. 72 B ．4 C. 92D ．5 9、中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言”.题意是：把996斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（） A. 174斤 B. 184斤 C. 191斤 D. 201斤10、设对任意实数[]1,1x ∈-，不等式230x ax a +-<恒成立，则实数a 的取值范围是（） A. 12a >B. 0a >C. 0a >或12a <-D. 14a > 11、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若6312S S =，则93SS ＝（） A.23 B. 34 C. 56 D. 82512、设ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且3c o s c o s 5a Bb Ac -=，则()t an A B -的最大值为（）C. 32D. 34第II 卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4道小题，每小题5分，共20分.）13、在△ABC 中，角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，若a ∶b ∶c ＝3∶1∶1，则角A 的大小为____________14、不等式x ＋1x≤3的解集为__________________．15、数列{}n a 的通项公式为2141n a n =-，则其前n 项和为_______________.16、等差数列{}n a 中，前n 项和为n S ，10a <，170S <，180S >，则当n =________时，n S 取得最小值。

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