高中数学易错题集锦

高中数学易错题集锦

指导教师：任宝安

参加学生：路 栋 胡思敏

李 梅 张大山

高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。 忽视等价性变形，导致错误。

⎩⎨⎧ x >0 y >0 ⇔ ⎩⎨⎧ x + y >0 xy >0 ，但 ⎩⎨⎧ x >1 y >2 与 ⎩⎨⎧ x + y >3 xy >2

不等价。 【例1】已知f(x) = a x + x

b ，若,6)2(3,0)1(3≤≤≤≤-f f 求)3(f 的范围。

错误解法 由条件得⎪⎩

⎪

⎨⎧≤+≤≤+≤-62230

3b

a b a ②① ②×2－① 156≤≤a ③ ①×2－②得 32

338-≤≤-

b ④ ③+④得 .3

43

)3(310,34333310≤≤≤+≤f b a 即

错误分析 采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数b

x

ax x f +

=)(，其值是同时受b a 和制约的。当a 取最大（小）值时，b 不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。

正确解法 由题意有⎪⎩

⎪

⎨⎧+=+=22)2()1(b a f b a f , 解得：

)],2()1(2[3

2

)],1()2(2[31f f b f f a -=-=

).1(95)2(91633)3(f f b a f -=+=∴ 把)1(f 和)2(f 的范围代入得 .3

37

)3(316≤≤f

在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。只有牢固

地掌握基础知识，才能反思性地看问题。

●忽视隐含条件，导致结果错误。 【例2】解下列各题

(1) 设βα、是方程0622=++-k kx x 的两个实根，则2

2)1()1(-+-βα的最小值是

不存在)D (18)C (8)B (4

49)A (-

思路分析 本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。 利用一元二次方程根与系数的关系易得：,6,2+==+k k αββα

.

4

49

)43(42)(22)(1

212)1()1(222222--=++--+=+-++-=-+-∴

k βααββαββααβα

有的学生一看到4

49

-

，常受选择答案（A ）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏反思性的体现。如果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。

原方程有两个实根βα、

∴0)6k (4k 42

≥+-=∆ ⇒

.3k 2k ≥-≤或

当3≥k 时，2

2

)1()1(-+-βα的最小值是8； 当2-≤k 时，2

2

)1()1(-+-βα的最小值是18 这时就可以作出正确选择，只有（B ）正确。 (2)

已知(x+2)2+

y 2

4 =1, 求x 2+y 2

的取值范围。

错解 由已知得 y 2=－4x 2－16x －12，因此 x 2+y 2=－3x 2－16x －12=－3(x+38)2+3

28 ∴当x=－83 时，x 2+y 2有最大值283 ，即x 2+y 2的取值范围是(－∞, 28

3 ]。 分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。

事实上，由于(x+2)2+ y 24 =1 ⇒ (x+2)2=1－ y 24 ≤1 ⇒ －3≤x ≤－1，

从而当x=－1时x 2+y 2有最小值1 ∴ x 2+y 2的取值范围是[1, 28

3 ]。

注意有界性：偶次方x 2≥0，三角函数－1≤sinx ≤1，指数函数a x >0，圆锥曲线有界性等。

●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。

【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+ 1a )2+(b+ 1

b )2的最小值。 错解 (a+

a 1)2+(b+

b 1)2=a 2+b 2+21a +21b

+4≥2ab+ab 2+4≥4ab

ab 1

•

+4=8,

∴(a+

a 1)2+(b+b

1

)2的最小值是8. 分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2≥2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=2

1

,第二次等号成立的条件是ab=ab

1

，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。

原式= a 2+b 2+

21a +21b +4=( a 2+b 2)+(21a +2

1b )+4=[(a+b)2－2ab]+[(a 1+b 1)2－ab 2]+4

= (1－2ab)(1+221

b

a )+4，

由ab ≤(2b a +)2=41 得：1－2ab ≥1－21=21, 且221b a ≥16，1+221

b a ≥17，

∴原式≥21×17+4=225 (当且仅当a=b=21

时，等号成立)，

∴(a + a 1)2 + (b + b

1)2的最小值是25

2 。

●不进行分类讨论，导致错误

【例4】已知数列{}n a 的前n 项和12+=n

n S ，求.n a

错误解法 .22

2)12()12(11

11----=-=+-+=-=n n n n n n n n S S a 错误分析 显然，当1=n 时，12

31

111=≠==-S a 。

错误原因：没有注意公式1--=n n n S S a 成立的条件是。

因此在运用1--=n n n S S a 时，必须检验1=n 时的情形。即：⎩⎨

⎧∈≥==)

,2()

1(1N n n S n S a n n 。

●以偏概全，导致错误

以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出思维的不严密性。

【例5】(1)设等比数列{}n a 的全n 项和为n S .若9632S S S =+，求数列的公比q .

错误解法 ,2963S S S =+ q q a q q a q q a --⋅=--+--∴1)

1(21)1(1)1(916131，

.012(363）＝整理得

--q q q

1q 2

4

q ,0)1q )(1q 2(.01q q 20q 3

3

3

3

6

=-

=∴=-+∴=--≠或得方程由。