2初等数学类
一线串通的初等数学
一线串通的初等数学
初等数学是高校的核心课程之一，它是数学科学的基础。
它是学习更高等数学
课程，如微积分、实变函数等的基础。
从数学概念上讲，初等数学可以分为三大类：数论、代数学和几何学，它们对学习和实践更高级数学课程都至关重要。
数论是用数学形式分析和探究自然界的实际情况，学习数论，需要基本熟练掌
握各种数学基本概念、定理和方法，如正整数、质数、平方数、平方根以及求幂、整除、素数分解法，哥德巴赫猜想等。
代数学是用数学语言对变量进行描述和推理，学习代数学，要掌握以下概念：
有理算式、多项式、集合、一次函数、二次函数、指数函数、乘方函数、关系和函数、实体和不等式等。
几何学是利用图形和几何图形来描述客观事物的一种数学方法，学习几何学，
需要熟悉直线、圆、椭圆和抛物线，以及其相关的到圆、四边形、正多边形等多边形的面积、周长计算公式，以及相关的三角形的面积、周长和角度计算公式，这是学习更高级几何课程的必备知识点。
初等数学是学习数学科学以及理解和指导其它科学和技术发展所必备的基础知识，在高校中它是影响学生思维能力和学习方法发展的重要基础课程，也是提高学生数学能力和创新能力，结合现实实践有效学习的重要环节。
中小学图书馆图书分类方法
中小学图书馆图书分类方法《中国图书馆分类法》5大部分，22个基本大类中国图书馆分类法，简称《中图法》。
包括“马列主义、毛泽东思想，哲学，社会科学，自然科学，综合性图书五大部类，22个基本大类，具体如下：A马克思主义、列宁主义、毛泽东思想、邓小平理论B哲学、宗教C社会科学总论D 政治、法律E军事F经济G 文化、科学、教育、体育H 语言、文字I 文学J 艺术K 历史、地理N 自然科学总论O 数理科学和化学P 天文学、地球科学Q 生物科学R 医药、卫生S 农业科学T 工业技术U 交通运输V 航空、航天X 环境科学、安全科学Z 综合性图书图书馆中的图书资料经过分类，将它们合理科学地组织起来，不仅有理论上的阐述，而且有许多图书馆长期工作积累的实践经验。
这些宝贵的经验，经过概括总结，已形成了图书分类规则。
遵守和掌握这些规则，就可以正确地使用分类法，保证图书分类的一致性，以提高分类质量。
第一节图书分类工作的基本规则图书分类工作的基本规则是贯穿于整个过程中通用的原则和方法。
它主要包括下述三个方面。
一、揭示图书的内容要确切。
在类分图书时，要先考虑图书内容属性，根据图书内容在科学体系中的位置给出类号，这样才能将学科内容相同的图书放在一起，便于读者选择和利用。
只有在不适于以学科内容归类时，再考虑其它因素为分类标准(如体裁、地域、时代、语言等)。
二、图书必须归入最大用途和最切合其内容的类。
类分图书时，除首先考虑该书所反映的学科内容外，还应结合本馆的性质和任务，使图书归入对完成本馆任务最有利的类、本馆读者最需要的类。
例如，有时碰到一本内容性质多方面的图书，可归入几个不同的类。
这时就要考虑本馆任务和读者需要，归入一个主要的类目，必要时在几个相关的类予以反映。
三、确保图书分类的一致性。
这就是要防止和杜绝一书两入或同类异入。
一书两入就是同一种书的复本或不同版本，由于不是同一时间购入或不是同一人分类而分入不同的类。
要杜绝这种情况，唯一的办法是坚持查重。
一次函数 二次函数
一次函数与二次函数一次函数和二次函数是初等数学中最基本的函数类型，它们在现实生活中有着广泛的应用。
本文将对一次函数和二次函数的定义、性质、图像以及应用进行详细的介绍。
一、一次函数1. 定义：一次函数是指形如y = ax + b（a≠0）的函数，其中a和b为常数，x为自变量，y为因变量。
一次函数又称为线性函数。
2. 性质：（1）一次函数的图像是一条直线，且斜率为a，截距为b。
（2）当a>0时，一次函数的图像从左到右呈上升趋势；当a<0时，一次函数的图像从左到右呈下降趋势。
（3）当a>0且b>0时，一次函数的图像在第一象限；当a>0且b<0时，一次函数的图像在第四象限；当a<0且b>0时，一次函数的图像在第二象限；当a<0且b<0时，一次函数的图像在第三象限。
3. 图像：一次函数的图像是一条直线，其斜率和截距可以通过公式y = ax + b计算得出。
4. 应用：一次函数在实际生活中有很多应用，例如速度与时间的关系、距离与时间的关系、价格与数量的关系等。
二、二次函数1. 定义：二次函数是指形如y = ax² + bx + c（a≠0）的函数，其中a、b、c为常数，x为自变量，y为因变量。
二次函数又称为抛物线函数。
2. 性质：（1）二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标为（-b/2a, f(-b/2a)），对称轴为x = -b/2a。
（2）当a>0时，二次函数的图像开口向上；当a<0时，二次函数的图像开口向下。
（3）当Δ= b² - 4ac > 0时，二次函数有两个不相等的实根；当Δ= b² - 4ac = 0时，二次函数有两个相等的实根；当Δ= b² - 4ac < 0时，二次函数没有实根。
3. 图像：二次函数的图像是一个抛物线，其顶点坐标、对称轴和判别式可以通过公式y = ax² + bx + c计算得出。
24年专升本考试大纲
24年专升本考试大纲
（一）外语类
英语
1.词汇
能听、说、读、写常用英语单词、短语、句型和日常交际用语，并能理解初、中级英语文章。
2.语法
掌握英语基本语法知识，了解英语语言习惯。
3.阅读
能读懂和理解有关生活、工作和社会问题等方面的散文、新闻报道和科技文献。
4.写作与翻译
能够用英语简单地写信、写便条，翻译中文短文为英文。
（二）数学类
1.初等数学
掌握初等代数、初等几何和初等函数的基本概念、基本原理和基本方法。
2.高等数学
掌握微积分、数学分析和线性代数的基本概念、基本原理和基本方法。
（三）政治类
1.毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系
2.马克思列宁主义基本原理、理论和路线
3.中国革命和建设的理论和实践经验
4.中国共产党的基本路线和纲领
5.中国特色社会主义道路、理论、制度和文化建设的基本经验
6.国际共产主义运动的历史和实践经验
（四）专业课
具体可根据不同专业而有所不同。
（五）综合素质
1.思想道德素质
诚信、自律、尊重、理解、同情、友爱、关心、爱国、团结、进取等。
2.审美素质
对音乐、美术、文学、戏剧、影视等方面艺术的鉴赏和欣赏能力。
3.文化素质
中华文化的认同与传承、文言文阅读和翻译能力、文学、历史等学科基本知识。
4.科学素质
基础科学知识、理性思维、科学探究、科技创新和应用能力。
5.身心健康素质
合理饮食、养生保健、身体锻炼等方面的养成和提高身体素质、心理健康、发展社交能力等方面的提升。
数字的分类将数字按照奇偶性进行分类
数字的分类将数字按照奇偶性进行分类数字的分类——将数字按照奇偶性进行分类数字是我们日常生活中不可或缺的一部分，我们经常使用数字来计算、衡量和描述各种事物。
在数学中，数字可以按照不同的性质进行分类，其中一种常见的分类方法是按照数字的奇偶性进行分类。
在本文中，我们将讨论奇偶性的概念以及如何将数字进行奇偶性分类。
奇数和偶数是数字的两个基本分类，了解它们的定义和特性对于理解数字的奇偶性分类至关重要。
首先，我们来定义奇数和偶数：奇数：能够被2整除余1的整数，如1、3、5等；偶数：能够被2整除余0的整数，如2、4、6等。
这个定义告诉我们，奇数是不能被2整除的数，而偶数则恰恰相反。
现在，我们可以将数字按照它们的奇偶性进行分类了。
一、奇数分类奇数是最简单的分类，我们只需要将所有不能被2整除的整数归为一类即可。
例如，1、3、5、7等都是奇数。
奇数具有以下一些特性：1. 奇数加奇数等于偶数，例如，1 + 3 = 4；2. 奇数加偶数等于奇数，例如，1 + 2 = 3；3. 奇数乘以奇数等于奇数，例如，3 × 3 = 9；4. 奇数乘以偶数等于偶数，例如，3 × 2 = 6。
通过这些特性，我们可以更好地理解奇数之间以及奇数与其他数字之间的关系。
二、偶数分类偶数的分类相对复杂一些，因为偶数包含了所有能够被2整除的整数。
我们可以将偶数按照被2整除的次数进行细分。
具体来说，我们可以将偶数分为以下几类：1. 2的倍数：2、4、6、8等都是2的倍数，即被2整除1次；2. 4的倍数：4、8、12、16等都是4的倍数，即被2整除2次；3. 6的倍数：6、12、18、24等都是6的倍数，即被2整除3次；4. ...以此类推。
根据这种分类方法，我们可以更准确地描述和理解不同类别的偶数。
例如，4的倍数除以2余数为0，而6的倍数除以2余数也为0，但是4的倍数除以4余数为0，而6的倍数除以4余数为2，这样可以更清晰地区分不同类别的偶数。
考研数学一二三区别详细解读_考研数学复习资料
考研数学一二三区别详细解读_考研数学复习资料考研数学依据各学科、专业对硕士讨论生入学所应具备的数学学问和力量的不同要求,硕士讨论生入学统考数学试卷分为3种。
下面是我整理的考研数学一二三区分具体解读，欢迎大家阅读共享借鉴。
更多考研相关内容推举↓↓↓考研上岸阅历方法考研励志文章精选考研胜利祝愿语精选100句关于考研的励志名言100句考研数学一二三区分具体解读考研数学和高等数学不是一个概念，考研之前肯定要分清晰否则白学。
考研数学分为数学一、数学二、数学三、数学基础四个类别。
四个类别的考研数学分别对应不同的一级学科和二级学科。
一、考研数学包含的科目首先来看考研数学一：考研数学一是考研数学中难度最大，范围最广的。
数学一的考试科目包括高等数学、线性代数、概率统计三科。
请记住，这里考的是三科可不只是高等数学哦!其中高等数学占比百分之五十六;线性代数占比百分之二十二;概率统计占比百分之二十二;其次来看考研数学二：考研数学二是考研数学中考试范围最小，但是高等数学占比最高的。
考研数学二的考试科目包括高等数学和线性代数其中高等数学占比百分之七十八;线性代数占比百分之二十二。
发觉了吗?考研数学二考的也不只是高等数学哦。
但是比较庆幸的是考研数学二不考概率统计。
再次来看考研数学三：考研数学三是考研数学中考试难度最简洁的(个人观点)。
考研数学三的考试科目与数学一完全一样，各科目的分值占比也与考研数学一完全一样。
但是考试难度相对于考研数学一而言较为简洁。
最终来看数学基础：看到这里许多考生可能要疑问了，考研数学还包括初等数学吗?回答是：不仅有，而且涵盖的专业还很热门。
在专业硕士的考试中工商管理硕士也就是我们耳熟能详的MBA以及会计专硕MPAcc的考试科目中的《管理类联考综合力量》科目代码199，其中初等数学的考试分值为75分。
考试科目有算术、代数、几何、数据分析。
这一科是不包含高等数学的。
金融硕士、应用统计硕士、税务硕士、国际商务硕士、保险硕士、资产评估硕士所考试的科目中《经济类联考综合力量》中初等数学的考试分值为70分。
近世代数ppt
第4讲 基本概念之与代数运算发生关系的映射 ——同态映射
1 同态映射 2 同态满射 3 同构映射 4 自同构映射 5 举例
9
第5讲 基本概念之等价关系与集合的分类 ——商集
1 商集 2 等价关系 3 集合的分类 4 集合A上的等价关系与 集合A的分类之间的联系
10
第三章 群
11
第1讲 代数系统
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第一章 绪 论
1
第1讲 绪 论
一 关于代数的观念 二 数学史的发展阶段 三 代数发展的阶段(数学发展史) 四 代数学发展的四个阶段 五 几类与近世代数的应用有关的实际
问题
2
第二章 基本概念
3
特权福利
特权说明
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集合与元素的相关概念
集合的相关概念
集合的运算及运算律
集合的补充及说明
6
第2讲 基本概念之集合及其之间的关系 —对应关系(映射)(人造关系)
1 映射概念回忆
2 映射及相关定义 3 映射的充要条件
4 映射举例
5 符号说明
6 映射的合成及相关结论
7 映射及其映射相等概念的推广
8 集合及其之间的关系——特殊
二次函数积分题分类精选---45度角
二次函数积分题分类精选---45度角在初等数学中，二次函数是一个非常重要的概念。
而在微积分中，对二次函数进行积分是经常用到的技巧。
本文将会介绍二次函数积分中的一个特殊情况：角度为45度。
我们将挑选出几个典型的题目，并根据题目的特点进行分类讲解。
类型一：$ax^2+2bx+a$型当被积函数为$ax^2+2bx+a$型时，可以采用配方法进行积分，即利用配方法将其化为$(px+q)^2$的形式，然后代入积分公式，最后通过代数运算计算出积分的结果。
例如：$$\int (2x^2+4\sqrt{2}x+2) dx$$解：$2x^2+4\sqrt{2}x+2=2(x^2+2\sqrt{2}x+1)=2(x+\sqrt{2})^2$所以，$$\begin{aligned} \int (2x^2+4\sqrt{2}x+2) dx & =2\int(x+\sqrt{2})^2 dx \\ & = \frac{4}{3}(x+\sqrt{2})^3+C \end{aligned}$$ 类型二：$ax^2+bx+c$型当被积函数为$ax^2+bx+c$型时，可以采用换元法进行积分，即令$t=x+\frac{b}{2a}$，将被积函数化为关于$t$的一次方程，然后代入积分公式进行计算。
例如：$$\int (x^2-x-2) dx$$解：$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$所以，$$\begin{aligned} \int (x^2-x-2) dx & =\int (x+1)(x-2) dx \\ & = \frac{1}{3}(x+1)^3-\frac{1}{2}(x-2)^2+C \end{aligned}$$类型三：$\sqrt{ax^2+bx+c}(a>0)$型当被积函数为$\sqrt{ax^2+bx+c}(a>0)$型时，采用三角代换进行积分是一种有效的方法，即令$x=\frac{1}{\sqrt{a}}\tan t$，然后将被积函数化为三角函数的形式，代入积分公式进行计算。
实数基本定理
第一章绪论重点：实数基本定理（戴德金实数连续性定理）。
§1绪论1.初等数学:主要是离散量的运算体系(加,减,乘,除)数学分析：连续量的运算体系及其数学理论(微积分)。
2.两种体系的区别：初等数学主要是恒等变形技巧;而数学分析则更多地应用用不等式及极限来刻划事物。
3.微分问题和积分问题微分问题：一个连续量随着另一个连续量变化的“瞬时”变化率.例:“瞬时”速度。
积分问题：计算一个连续量在连续量的作用下的总和成或积累。
例：质点受力作用的位移，求力作用的功。
微分问题和积分问题问题互为逆运算。
4微积分的发展历史开普勒(Kepler,1571-1630)行星三大定律伽利略(Galileo,1564-1642)落体速度的变化惯性定律在以落体和行星为典型的机械运动中提出的两个基本问题：已知运动，求力（速度与加速度）；已知力，求运动。
在笛卡儿（Descartes1596-1650）和费儿玛（Fermat1601-1665）创立的解析几何中，问题转化为求（1）曲线的切线；（2）曲线下的面积。
牛顿（Newton1642-1727）和莱布尼兹（Leibniz1646-1716）在前人的基础上建立了微积分及其演算体系。
从形式演算−→严格的科学体系哥西(Cauchy，1789-1857)、波尔察诺（Bolzano，1781-1848）、维尔斯特拉斯（Weierstrass，1815-1897）等用用极限的概念把微积分的概念澄清。
戴德金（Dedekind，1831-1916）、康托（Cantor，1845-1918）、维尔斯特拉斯等又给出了连续量的数学表示，建立了实数连续统的理论。
§2．实数连续统离散量：有最小的单位，可数。
例如正整数。
连续量：不能分解成最小的单位。
不是不可分，而是可分，无限可分，分不完。
例如线段，时间等。
问题：离散量可用整数表示，连续量的数学表示是什么？长度是最基本的量，也是最直观的量。
常用初等数学公式及例题
目录初等数学常用公式 (1)第一章绝对值比和比例平均值 (2)第一节条件充分性判断 (2)第二节绝对值 (2)第三节比和比例 (5)第四节平均值 (8)课后练习 (9)第二章方程与不等式 (11)课后练习 (22)第三章数列 (26)第一节基本概念 (26)第二节等差数列 (27)第三节等比数列 (29)课后练习 (31)初等数学常用公式乘法公式与二项式定理（1）222222()2;()2a b a ab b a b a ab b +=++-=-+（2）3322333223()33;()33a b a a b ab b a b a a b ab b +=+++-=-+-（3）01122211()n n n n k n k k n n n nn n n n n n a b C a C a b C a b C a b C ab C b -----+=++++++（4）()abc c b a bc ac ab c b a c b a 3)(333222-++=---++++；（5）()2222222a b c a b c ab ac bc +-=+++--二、因式分解（1）22()()a b a b a b -=+-（2）()()()()33223322;a b a b a ab b a b a b a ab b +=+-+-=-++； （3）()()121...n nn n n a ba b aa b b ----=-+++三、分式裂项 （1）111(1)1x x x x =-++ （2）1111()()()x a x b b a x a x b=-++-++四、指数运算（1）1(0)nn aa a -=≠ （2）01(1)a a =≠ （3）0)mn a a =≥ （4）mnm na a a+= （5）m n m na a a-÷= （6）()m n mn a a =（7）()(0)n n n b b a a a=≠ （8）()n n nab a b = （9a =五、对数运算 （1）log N aaN = （2）log log nb ba an = （3）1log n bb a a n= （4）log 1aa = （5）1log 0a = （6）log log log MNM Naa a=+ （7）loglog log N MMN a aa =- （8）1log log ba ab=（9）10lg log ,ln log a ae a a == 六、排列组合 （1）[]!(1)(1)()!mn n P n n n m n m =---=- （约定0!1=）（2）!!!()!m m n n P n C m m n m ==- （3）m n mn n C C -= （4）11m m m n n n C C C -++= （5）0122n nn n n n C C C C ++++=第一章 绝对值 比和比例平均值 二项式定理第一节 条件充分性判断定义：对于两个命题A 和B ，若有A ⇒B ，则称A 为B 的充分条件。
古堡朝圣初等数学解法
古堡朝圣初等数学解法一、什么是古堡朝圣问题呀。
古堡朝圣这个问题可有趣啦。
就像是在一个充满神秘的场景里，有着特定的条件和要求，然后我们要用初等数学的知识去找到答案呢。
想象一下，我们就像是古代聪明的学者，在解决一个很有挑战性但又超级好玩的谜题。
比如说，可能会涉及到距离、速度、角度之类的东西，这些都是我们初等数学里常见的元素哦。
二、距离相关的解法。
在古堡朝圣的问题里呀，距离常常是一个关键的因素。
比如说，我们知道从一个点到古堡的距离，又知道另一个相关地点到古堡的距离，这时候我们可能就会用到简单的几何知识啦。
像勾股定理，那可是很厉害的工具呢。
如果是一个直角三角形的情况，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
我们就可以根据这个定理来算出两点之间的准确距离。
比如说，我们知道一个人从A点出发，A点到古堡的水平距离是3米，垂直距离是4米，那根据勾股定理，A点到古堡的直线距离就是5米啦。
这就像是在玩一个数字的游戏，把实际的距离问题转化成数学公式来解决。
三、速度与时间的联系。
速度和时间在这个问题里也很重要哦。
如果我们知道一个人前往古堡的速度，又知道他行走的时间，那就能算出他走了多远啦。
就像我们平时走路或者跑步一样，如果我们每小时能走5公里，走了2个小时，那我们就走了10公里呀。
在古堡朝圣的情境里也是这样的道理。
而且呀，有时候速度可能会发生变化，这时候就需要我们更加灵活地运用数学知识了。
比如说，开始的时候速度快一点，后来因为路不好走速度慢了下来，我们就要分别计算不同速度下行走的距离，然后加起来得到总的距离呢。
四、角度的巧妙运用。
角度在这个问题里也有着不可忽视的作用。
比如说，我们要找到一条最快捷到达古堡的路，可能就需要考虑角度的问题。
如果有两条路可以选择，一条路和水平方向的夹角是30度，另一条是60度，那不同的角度可能会影响我们行走的距离和难度。
我们可以用三角函数来计算在不同角度下的距离关系。
像正弦、余弦、正切这些函数，就像是魔法咒语一样，可以帮助我们把角度和距离联系起来。
基本不等式题型20种
基本不等式题型20种基本不等式是初等数学中的重要内容，涉及到多种类型的问题。
以下是一些常见的基本不等式题型：1. 一元一次不等式，例如 2x + 3 > 7。
2. 一元二次不等式，例如 x^2 4x + 3 > 0。
3. 绝对值不等式，例如 |2x 1| < 5。
4. 有理不等式，例如 (x-1)/(x+2) > 0。
5. 混合不等式，例如 2x + 3 < 5 或 3x 2 > 7。
6. 复合不等式，例如 2 < x < 5。
7. 线性不等式组，例如 {2x + y > 3, x y < 1}。
8. 二元二次不等式，例如 x^2 + y^2 < 25。
9. 分式不等式，例如 (x+1)/(x-2) > 0。
10. 绝对值分式不等式，例如 |(x-1)/(x+2)| < 1。
11. 参数不等式，例如若 a > 0, 则 ax < 5。
12. 根式不等式，例如√(x+1) > 2。
13. 指数不等式，例如 2^x > 16。
14. 对数不等式，例如 log(x) < 3。
15. 三角不等式，例如 sin(x) < 1。
16. 求最值问题，例如求函数 f(x) = x^2 4x + 3 的最小值。
17. 区间问题，例如求不等式 2 < x < 5 的解集。
18. 图形法解不等式，例如用图形法解不等式 2x + 3 < 7。
19. 实际问题，例如某商品的售价要高于成本价的 20%。
20. 复杂不等式的综合运用，例如将多种不等式类型结合运用解决问题。
这些是基本不等式的一些常见题型，涵盖了初等数学中常见的不等式问题。
希望这些例子可以帮助您更好地理解基本不等式。
学初等数学比较好的书
学初等数学比较好的书摘要：一、引言二、适合初学者的数学书籍推荐1.《数学分析》2.《高等数学》3.《线性代数》4.《概率论与数理统计》5.《微积分》三、针对不同需求的数学书籍推荐1.面向考试的数学辅导书2.提高数学思维的趣味数学书籍3.专业领域内的数学教材四、结语正文：一、引言数学作为基础学科之一，在各个领域都有着广泛的应用。
对于初学者来说，选择一本适合的数学书籍至关重要。
本文将为大家推荐一些适合初学者的数学书籍，希望能对大家的数学学习有所帮助。
二、适合初学者的数学书籍推荐1.《数学分析》《数学分析》是一门研究函数、极限、微积分、级数等概念和性质的学科。
这本书适合初学者深入学习数学分析的基本概念和方法，为后续学习打下坚实的基础。
2.《高等数学》《高等数学》涵盖了微积分、线性代数、概率论与数理统计等内容，适合工科类和理科类学生作为教材。
通过学习本书，初学者可以全面了解高等数学的基本知识，为专业课程的学习打下基础。
3.《线性代数》《线性代数》主要研究线性方程组、矩阵、线性空间等概念和性质。
这本书适合初学者深入学习线性代数的基本概念和方法，为后续学习提供帮助。
4.《概率论与数理统计》《概率论与数理统计》主要研究随机现象的规律性、概率分布、假设检验等概念和性质。
这本书适合初学者深入学习概率论与数理统计的基本概念和方法，为后续学习提供帮助。
5.《微积分》《微积分》是高等数学的一个重要分支，主要研究函数的极限、连续、微分、积分等概念和性质。
这本书适合初学者深入学习微积分的基本概念和方法，为后续学习打下坚实的基础。
三、针对不同需求的数学书籍推荐1.面向考试的数学辅导书针对各类数学考试，市面上有很多优秀的辅导书籍。
这类书籍通常涵盖了考试所需的知识点和解题技巧，帮助学生提高考试成绩。
2.提高数学思维的趣味数学书籍一些趣味数学书籍通过生动的案例和丰富的题型，帮助读者提高数学思维能力和解决问题的技巧。
这类书籍适合对数学有兴趣的初学者阅读。
初等数列的求和公式
初等数列的求和公式数列是数学中常见的概念，它由一系列按照一定次序排列的数所组成。
在初等数学中，求解数列的和是一个重要的问题。
本文将介绍初等数列的求和公式，并通过几个例子来说明其应用。
一、等差数列的求和公式等差数列是最为常见的数列之一，它的每一项与前一项之差都相等。
求解等差数列的和可以通过等差数列的求和公式来进行。
对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其中$a_1$为首项，$d$为公差，$n$为项数，求和公式为：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$其中，$S_n$表示前$n$项的和。
例如，考虑等差数列1, 4, 7, 10, ..., 其中首项$a_1 = 1$，公差$d = 3$，求前$n$项的和$S_n$。
根据等差数列的求和公式，可以得到：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n) = \frac{n}{2}(1 + (1 + (n-1)3)) =\frac{n}{2}(3n + 1)$二、等比数列的求和公式等比数列是另一种常见的数列，它的每一项与前一项之比都相等。
求解等比数列的和可以通过等比数列的求和公式来进行。
对于等比数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其中$a_1$为首项，$q$为公比，$n$为项数，求和公式为：$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1}$其中，$S_n$表示前$n$项的和。
例如，考虑等比数列2, 4, 8, 16, ..., 其中首项$a_1 = 2$，公比$q = 2$，求前$n$项的和$S_n$。
根据等比数列的求和公式，可以得到：$S_n = \frac{a_1(q^n - 1)}{q - 1} = \frac{2(2^n - 1)}{2 - 1} = 2(2^n -1)$三、其他类型数列的求和公式除了等差数列和等比数列之外，还存在其他类型的数列，如等差-等比混合数列等。
初等数学类
• 例1：甲每 天进城一次，乙每 天进城一次，丙每 天进城一次， 天进城一次， ：甲每5天进城一次 乙每9天进城一次 12天进城一次，某天三人在城里相遇，则下次相 天进城一次， 天进城一次 某天三人在城里相遇， 遇至少要: 遇至少要 A.60天 B.180天 C.540天 D.1620天 天 天 天 天 • 解析：下次相遇要多少天，也即求 ，9，12的最 解析：下次相遇要多少天，也即求5， ， 的最 小公倍数，可用代入法，也可直接求。显然5， ， 小公倍数，可用代入法，也可直接求。显然 ，9， 12的最小公倍数为 ×3×3×4＝180。 的最小公倍数为5× × × ＝ 的最小公倍数为 。 • 例2：赛马场的跑马道 ：赛马场的跑马道600m长，现有甲、乙、丙三 长 现有甲、 匹马， 分钟跑2圈 分钟跑3圈 匹马，甲1分钟跑 圈，乙1分钟跑 圈，丙1分钟跑 分钟跑 分钟跑 分钟跑 4圈。若这三匹马并排在起跑线上，同时往一个方 圈 若这三匹马并排在起跑线上， 向跑，请问经过几分钟， 向跑，请问经过几分钟，这三匹马自出发后第一 次并排在起跑线上?( ) 次并排在起跑线上 A.1/2 B.1 C.6 D.12 • 解析： “1分钟跑 圈”和“2分钟跑 圈”是不同 解析： 分钟跑2圈 分钟跑1圈 分钟跑 分钟跑 概念，不要等同于去求最小公倍数的题。显然1分 概念，不要等同于去求最小公倍数的题。显然 分 钟之后，无论甲、 钟之后，无论甲、乙、丙跑几圈都回到了起跑线 上。
小王登山，上山的速度是4km 小王登山，上山的速度是4km ， 到达山顶后 原路返回，速度为6km/h 设山路长为9km 6km/h， 9km， 原路返回，速度为6km/h，设山路长为9km，小 王的平均速度为( )km/h（09年湖南真题 年湖南真题） 王的平均速度为( )km/h（09年湖南真题） A.5 B.4.8 C.4.6 D.4.4
式的定义及分类
式的定义及分类在初等数学中,数学符号大致包括五类:数(0,32-,2,π,…),字母(a,b,x,y,A,…),运算符号(+,-,×,÷,n,…),关系符号(>,=,∈,⊆,…),结合符号((,),[,],…)等.从广义的角度看,式是具有数学意义的有限符号序列. 根据式中是否含有关系符号,式可以分为两类:⑴含有关系符号的式.例如2+3=5,2x=x+3,sin(x+1)>1,a 2+1≤0,A ⊆B ∪C,其中,含等号或不等号的式子为等式或不等式.⑵不含关系符号的式.例如2,x+y, log a x,sinx,2+2ba c +等.通常称这类式子为解析式.本章中我们所确定的式指的是解析式.在初等数学中,所涉及到的运算可分为两大类:⑴代数运算:加、减、乘、除、指数是有理数的乘方;⑵初等超越运算:指数是无理数的乘方、对数、三角、反三角运算.在一个解析式中,如果对字母只进行有限次代数运算,那么这个解析式就称为代数式;如果对字母进行了有限次的初等超越运算(不管是否含有对字母的代数运算),那么这个解析式就称为初等超越式,简称超越式. 对于代数式还可以进一步分类:只含有加、减、乘、除、指数为整数的乘方运算的代数式称为有理式;其余的代数式称为无理式.在有理式中,只含有加、减、乘(包括指数为自然数的乘方)运算的称为整式(或称多项式),其余的有理式称为分式.这样,初等数学中的解析式的分类如下:⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧初等超越式无理式分式（多项式）整式有理式代数式解析式 关于这种分类方法的说明:⑴解析式的分类是就它们的形式来说的.如tanx •cotx 虽然恒等于1,但我们仍把它看作三角式或初等超越式;1)1(222++x x 恒等于x 2+1,我们仍把它看作分式. ⑵解析式的分类是针对所考察的字母涉及的运算而言的.如式子132+x 中,尽管有开方运算和除法运算,但对字母x 而言,只有乘法运算,所以它是字母x 的多项式,式子y zx32+是关于字母x 的整式,也是关于字母y 的整式,同时还是关于字母x,y 的整式,但它是关于字母z 的分式.式的定义域及式的值设f(x 1,x 2,…x n )是含字母x 1、x 2、…、x n 的一个解析式,用具体的数a 1、a 2、…、a n 依次代替x 1、x 2、…、x n ,然后按式中指定的顺序进行运算,算得结果b,则b 叫做式f(x 1、x 2、…、x n )对应于有序数组(a 1、a 2、…、a n )的值.例如,式)2)(1(3+-y x 对应于数组(0,-1)的值是)21)(10(3+--=-3,对应于数组(2,1)的值是1.但是,并非所有的数组都能使所给的解析式有确定的值.例如,当x=1或者y=-2时,上式都没有相应的值.我们把使得式f(x 1,x 2,…x n )有确定值的所有有序数组的集合称为式f(x 1,x 2,…x n )的定义域.例如上式的定义域是()}{R y x y x y x ∈-≠≠,,2,1|,,有时为了某种需要,也可人为地限定它的子集为其定义域.。
高次不等式
高次不等式
高次不等式是：二次以上的不等式。
解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，其类型通常为一元高次不等式。
常用的解法有化为不等式组法、列表法和根轴法（串根法或穿针引线法）来求解。
高次不等式的计算：
简单不等式我们可以直接计算来求解，分式不等式，我们先整理右侧为0，然后判断分子分母的正负情况，考虑需不需要变不等号，二次不等式，引用函数方程的思想，通过根的判别式计算求解。
不等式问题在咱们的管理类联考的数学中占有很大的比重，而且逐年仍有题量加多、题型变难的趋势。
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• 例2 某次考试有 道判断题，每做对一 某次考试有30道判断题 道判断题， 道题得4分 做错一道题倒扣2分 道题得 分，做错一道题倒扣 分，小周 共得96分 问他做错了多少道题？ 共得 分，问他做错了多少道题？ • A.12 B.4 C.2 D.5
• 解析：法一，假设某人在做题时前面24道题都做对了， 解析：法一，假设某人在做题时前面 道题都做对了 道题都做对了， 这时他应该得到96分 后面还有6道题 道题， 这时他应该得到 分，后面还有 道题，如果让这最后 6道题的得分为 即可满足题意。这6道题的得分怎么才 道题的得分为0即可满足题意 道题的得分为 即可满足题意。 道题的得分怎么才 能为0分呢？根据规则只要做对2道做错 道即可，据此 能为 分呢？根据规则只要做对 道做错4道即可， 分呢 道做错 道即可 我们可知做错的题为4道 做对的题为26道 我们可知做错的题为 道，做对的题为 道。 • 法二，做对一道可得 分，如果没做对反而扣 分,这一 法二，做对一道可得4分 如果没做对反而扣2分 这一 正一负差距就变成了6分 道题全做对可得120分 正一负差距就变成了 分。30道题全做对可得 分， 道题全做对可得 而现在只得到了96分 意味着差踞为24分 而现在只得到了 分，意味着差踞为 分，用24÷6＝ ÷ ＝ 4即可得到做错的题，可知选 。 即可得到做错的题， 即可得到做错的题 可知选B。
• 例题 ：小红前几次数学测验平均成绩是 分, 例题2：小红前几次数学测验平均成绩是90分 这一次测验要考98分 才能把平均成绩提到92 这一次测验要考 分，才能把平均成绩提到 这一次是第几次测验？ 分，这一次是第几次测验？ A．3 ． B.4 C.5 D.6 • 解析：若这一次考 分，就比前几次的平均成 解析：若这一次考98分 绩多（ 绩多（98-90）分，这（98-90）分要平均添补 ） ） 在每次成绩上，使得每一次成绩正好提高 在每次成绩上， 由此可求出答案。 （92-90）分，由此可求出答案。 ） • （98-90）÷（92-90）=4，所以选择 。 ） ） ，所以选择B。
（2）平均数问题 ）
平均数问题经常在公考的数学运算部分经常出 现。解答平均数问题的基本思路是求出总数量 和总份数，基本公式是：总数量÷总份数= 和总份数，基本公式是：总数量÷总份数=平 均数。 均数。 解答平均数问题还可以在总量保持不变的情况 下，把几个不相等的数量通过移多补少使它们 成为相等的几份， 成为相等的几份，其中的一份就是这几个数量 的平均数量。 的平均数量。
114.甲乙两辆汽车都由北京经长沙开往广州， 114.甲乙两辆汽车都由北京经长沙开往广州， 甲乙两辆汽车都由北京经长沙开往广州 出发时两车共有乘客160 160人 出发时两车共有乘客160人，在长沙站甲车增 17人 已车减23 23人 这样在开往广州时， 17人，已车减23人，这样在开往广州时，两车 的乘客人数正好相等，问甲车原车( )人 的乘客人数正好相等，问甲车原车( )人.（09 年湖南题） 年湖南题） A.60 B.75 C.90 D.100
• 例3 河东小学画展上展出了许多幅画，其 中有16幅画不是六年级的，有15幅画不 是五年级的，现知道五、六年级共有25 幅画，求其它年级的画共有多少幅? • 解： 设六年级有x幅画，那么五年级有 x+(16－15)，则可列方程： x +(16－15)+x=25，x=12 即六年级有12幅画， 五年级有x+（16－15）=13幅画。 其他年级有16-13=3幅
（二）、初等数学类： ）、初等数学类： 初等数学类
1.和差问题 1.和差问题 2.平均数问题 2.平均数问题 3.做对或做错题 3.做对或做错题 4.整除或求余问题 4.整除或求余问题 5.年龄问题 5.年龄问题
（1）、和、差问题 ）、和
差问题是已知大小两个数的和（或差） 和、差问题是已知大小两个数的和（或差） 与它们的倍数关系，求大小两个数的值。 与它们的倍数关系，求大小两个数的值。 （和+差）÷2=较大数 2=较大数 2=较小数 （和－差）÷2=较小数 较大数较大数-差＝较小数 这一题型应作为一个基本常识掌握， 这一题型应作为一个基本常识掌握，以加快解 题的速度。 题的速度。
Hale Waihona Puke • 例2 549是甲、乙、丙、丁4个数的和。 若甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2， 丁数除以2以后，则4个数相等。求4个数 各是多少? • 解析 设相等的数为 ，则甲为 ，乙为 设相等的数为x，则甲为x-2， x+2，，丙为 ÷2，丁为 。则可列方程： ，，丙为 ，，丙为x÷ ，丁为2x 则可列方程： x+2+x-2+x÷2+2x=549，x=122。 ÷ ， 。 • 则: 甲为 甲为122-2=120，乙为 ，乙为122+2=124， ， ，丙为122÷2=61，丁为 丙为 ÷ ，丁为122×2=244 。 ×
(4)整除及求余问题 整除及求余问题
这类题往往和日期（星期几） 这类题往往和日期（星期几）问题联系在一 起，大家也要学会求余。主要表现形式有： 大家也要学会求余。主要表现形式有： 1、最小公倍数和最大公约数问题 、 2、整除求余数的问题 、 3、除数问题 、 4、星期问题 、
1、最小公倍数和最大公约数问题 、
•
例题1： 乙两地相距180米，某人从甲地到 例题 ：甲、乙两地相距 米 乙地每分钟走18米 从乙地到甲地每分钟走9米 乙地每分钟走 米，从乙地到甲地每分钟走 米， 求这个人往返两地的平均速度。 求这个人往返两地的平均速度。 A.9m/min B.10m/min C.11m/min D.12m/min
例4 有50名学生参加联欢会，第一个到会的女生同每 个男生握过手，第二个到会的女生只差1个男生没握过 手，第三个到会的女生只差2个男生没握过手，如此等 等，最后一个到会的女生和7个男生握过手，则这50名 学生中有几名男生? 解析： 不妨将女生的顺序反过来，从后往前看。 解析： 不妨将女生的顺序反过来，从后往前看。即最 后一个到会的女生同7个男生握过手 个男生握过手； 后一个到会的女生同 个男生握过手；倒数第二个到会 的女生同8个男生握过手；倒数第三个到会的女生同9 的女生同 个男生握过手；倒数第三个到会的女生同 个男生握过手 个男生握过手，如此等等，第一个到会（ 个男生握过手，如此等等，第一个到会（即倒数最后 一个）的女生同全部男生握过手。由此，立即可知， 一个）的女生同全部男生握过手。由此，立即可知， 男生人数比女生的人数多6个人 个人。 男生人数比女生的人数多 个人。 因此，男生人数为（ 因此，男生人数为（50+6）÷2=28（人） ） （
例：假设五个相异正整数的平均数是 15，中位数是18 18， 15，中位数是18，则此五个正整数的 最大数的最大值可能是（06年湖南题 年湖南题） 最大数的最大值可能是（06年湖南题） A 24 B 32 C 35 D 40
（3）做对或做错题问题 ）
某次测验有50道判断题 每做对一题得3 道判断题， 例1 某次测验有 道判断题，每做对一题得 不做或做错一题倒扣1分 某学生共得82 分，不做或做错一题倒扣 分，某学生共得 分，问答对题数和答错题数相差多少？ 问答对题数和答错题数相差多少？ A.33 B.99 C.17 D.16 解析：设做对X道 做错Y道 解析：设做对 道，做错 道，则可列如下方 程 X+Y=50 ，3X-Y=82 解得X=33 Y=17 解得 所以，正确答案为D。 所以，正确答案为 。
1.最大公约数：若一个自然数a能被自然数 整除， 最大公约数：若一个自然数 能被自然数 整除， 能被自然数b整除 最大公约数 则称a为 的倍数 的倍数， 为 的约数 的约数。 则称 为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有 的约数，叫做这几个自然数的公约数。 的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中 最大的一个公约数，称为这几个自然数的最大公 最大的一个公约数， 约数。 约数。 2.最小公倍数：若一个自然数 能被自然数 整除， 最小公倍数： 能被自然数b整除 最小公倍数 若一个自然数a能被自然数 整除， 则称a为 的倍数 的倍数， 为 的约数 的约数。 则称 为b的倍数，b为a的约数。几个自然数公有 的倍数，叫做这几个自然数的公倍数.公倍数中最 的倍数，叫做这几个自然数的公倍数 公倍数中最 小的一个大于零的公倍数， 小的一个大于零的公倍数，叫这几个数的最小公 倍数。 倍数。
•
例题3：如果四个人的平均年龄是 岁 例题 ：如果四个人的平均年龄是25岁， 四个人中没有小于20岁的 岁的， 四个人中没有小于 岁的，那么年龄最 大的人可能是多少岁？ 大的人可能是多少岁？ A.28 B.36 C.40 D.44
• 解析：因为四个人的平均年龄是25岁， 解析：因为四个人的平均年龄是 岁 所以四个人的年龄和是25× 所以四个人的年龄和是 ×4=100岁，而 岁 四个人中没有小于20岁的 岁的， 四个人中没有小于 岁的，如果四个人 中三个人的年龄都是20岁 中三个人的年龄都是 岁，则另一个人 的年龄最大可能是100-20×3=40岁。 的年龄最大可能是 × 岁 • 所以，25×4-20×3=40，选择 。 所以， × × ，选择C。
• 例3：有两个两位数，它们的最大公约数与最小公 ：有两个两位数， 倍数的和是91，最小公倍数是最大公约数的12倍 倍数的和是 ，最小公倍数是最大公约数的 倍， 求这较大的数是多少？ 求这较大的数是多少？ A.42 B.38 C.36 D.28 • 解析：最大公约数是 解析：最大公约数是91/(12+1)=7，最小公倍数是 ， 7×12=84，故两数应为 和28。 × ，故两数应为21和 。 • 例4：三采购员定期去某商店，小王每隔 天去 次， 天去1次 ：三采购员定期去某商店，小王每隔9天去 大刘每隔11天去 天去1次 老杨每隔7天去 天去1次 大刘每隔 天去 次，老杨每隔 天去 次，三人星 期二第一次在商店相会，下次相会是星期几? 期二第一次在商店相会，下次相会是星期几 A.星期一 B.星期二 C.星期三 D.星期四 星期一 星期二 星期三 星期四 • 解析： “每隔 天”也即“每10天”，是求 解析： 每隔9天 也即“ 天 10,12,8的最小公倍数。10,12,8的最小公倍数 的最小公倍数。 的最小公倍数 的最小公倍数 5*2*2*3*2=120。120/7=17余1，下一次相会是星 。 余 ， 期三。 期三。