【数学】河北省武邑中学2018届高三下学期第一次模拟考试试题(理)(扫描版)
河北省武邑中学2018届高三下学期第一次模拟考试数学(理)试题Word版含答案.doc
河北武邑中学 2018 届高三下学期第一次模拟考试数学试题（理）第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题 , 每小题 5 分 , 共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合 A x x1 0 ， Bx ln x 1 ，则 A IB （）A ．,1 B．,eC ．0,1D． 0,e2．若 z z 2 ，其中 z 为复数 z 的共轭复数， 且 z 在复平面上对应的点在射线y x x 0 上，则 z（）A ． 1 i B． 1 i 或 1 i C ． 1 i D ． 1 i 或 1 i3．甲乙两名同学 6 次考试的成绩统计如下图，甲乙两组数据的平均数分别为x 甲、x 乙 ，标准差分别为甲、乙 ，则（）A ． x 甲 x 乙 ， 甲 乙C ． x 甲x 乙 ，甲 乙B ． x 甲 x 乙 ， 甲 乙D． x 甲x 乙 ，甲 乙x 2 y 04．设不等式组x y 2 0 表示的平面区域为，则（）x 0A ．原点 O 在内B． 的面积是 1C ． 内的点到 y 轴的距离有最大值 D．若点 P x 0 , y 0，则 x 0 y 0 05．设 Ax, y 0 x m,0 y1 ， s 为 e ne 为自然对数的底1 的展开式的第一项（数）， m n s ，若任取 a, bA ，则满足 ab 1 的概率是（）A．2B．1C．1 2 D．1 1 e e e e6．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为（）A．12 2 B．12 3C．62 D ． 6 37．已知函数 f x2 sin x ，其中f x 为函数 f x 的导数，求1e xf 2018 f 2018 f 2019 f 2019 （）A．2B ． 2019 C ． 2018 D ．08．执行如图的程序框图，当输入的n 351 时，输出的k（）A． 355 B ． 354 C ． 353 D ．3529．过抛物线C : y2 4x 的焦点 F 的直线交抛物线 C 于A x1, y1 、 B x2 , y2 两点，以线段AB 为直径的圆的圆心为O1，半径为 r .点 O1到C的准线l的距离与 r 之积为25，则r x1 x2 （）A． 40 B ． 30 C ． 25 D ． 2010．中国古代十进制的算筹计数法，在世界数学史上是一个伟大的创造，算筹实际上是一根根同样长短的小木棍，如图，算筹表示数1~9 的方法的一种 .例如： 163 可表示为“ ”， 27 可表示为“ ” . 问现有 8 根算筹可以表示三位数的个数（算筹不能剩余）为（ ） A ． 48B ．60C．96D ．12011．偶函数 f x 定义域为,0 U 0,，其导函数是 f x ，当 0 x时，有222fx cosx f x sin x0 ，则关于 x 的不等式 fx2 fcos x 的解集为（）4A ．4 , B．,U 4 ,22 42C ．,0U0,44D ．,0 U , 44 212．在 ABC 中，角 A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c . D 、 E 是线段 AB 上满足条件uuur 1 uur uuruur 1 uur uuuruuur uur2，则当角 C 为钝角时，CD2CB CE ，CE CA CD的点，若 CD CEc2的取值范围是（）A ．12B．12C ．1 1D ．1 136 ,,9 36 ,18 ,91899第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13．已知随机变量:N1,2，若P30.2 ，则 P1．3 n14．若x展开式的各项系数绝对值之和为1024 ，则展开式中 x 项的系数x为．ur ur ur ur ur ur ur15．若平面向量 e 1 ,e 2 满足 e 1 3e 1 e 2 2，则e 1 在 e 2 方向上投影的最大值是．16．在四面体 SABC 中， SA平面 ABC ， BAC 120 ， SA AC AB 2 ，若动点在该四面体的外接球内运动，则此点落在四面体SABC 内部的概率为．三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17． 已知等差数列a n 中，公差 d 0 ， S 7 35 ，且 a 2 , a 5 , a 11成等比数列 .（ 1）求数列 a n 的通项公式；（ 2）若 T n 为数列1的前 n 项和，且存在 n N * ，使得 T na n 1 0 成立，求实数a nan 1的取值范围 .18． 据统计， 2017 年国庆中秋假日期间，石家庄动、植物园共接待游客 590.23 万人次，实现旅游收入 48.67 亿元，同比分别增长 44.57%、55.22%. 旅游公司规定： 若公司导游接待旅客，旅游年总收入不低于40（单位：百万元） ，则称为优秀导游 . 经验表明，如果公司的优秀导游率越高，则该公司的影响度越高. 已知甲、乙两家旅游公司各有导游100 名，统计他们一年内旅游总收入，分别得到甲公司的频率分布直方图和乙公司的频数分布表如下：（ 1）求 a,b 的值，并比较甲、乙两家旅游公司，哪家的影响度高?2y （单位：万元） ，与其一年内旅游总收入 x（单位：百万元）之间的关（ ）若导游的奖金1, x20 系为 y2, 20x 40 ，求甲公司导游的年平均奖金；3, x40（ 3）从甲、乙两家公司旅游收入在50,60 的总人数中，随机的抽取 3 人进行表彰，设来自乙公司的人数为 ，求 的分布列及数学期望.19．如图，在四棱锥P ABCD 中，平面PAB 平面ABCD ， AB BC ，AD ∥ BC ，AD 3， PA BC 2 AB 2，PB 3 .（ 1）求证：BC PB ；（ 2）求二面角P CD A 的余弦值；（ 3）若点E在棱PA上，且BE∥平面PCD，求线段BE的长 .20．已知椭圆C :x2 y2 1 a b 0 的左、右焦点分别为F1, F2， B 为椭圆的上顶点，a2 b2BF1 F2为等边三角形，且其面积为 3 ，A为椭圆的右顶点.（ 1）求椭圆C的方程；（ 2）若直线l : y kx m 与椭圆 C 相交于 M , N 两点（ M , N 不是左、右顶点），且满足MA NA ，试问：直线l 是否过定点？若过定点，求出该定点的坐标，否则说明理由.21．已知函数 f x2e x3x22x 1 b ，x R 的图象在x0 处的切线方程为y ax 2 .（ 1）求函数 f x 的单调区间与极值；（ 2）若存在实数x ，使得 f x2x23x 2 2k 0 成立，求整数k 的最小值.请考生在22、 23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．选修 4-4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOyx 1 2 cos为参数），以该直角坐标中，曲线 C 的参数方程是（y 2 sin系的原点 O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为3 sin cos m 0 .（ 1）写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程；（ 2）设点P m,0 ，直线 l 与曲线 C 相交于 A, B 两点，且PA PB 1 ，求实数 m 的值. 23．选修 4-5 ：不等式选讲已知函数 f x 3x 1 3x k ， g x x 4 .（ 1）当k 3 时，求不等式 f x 4 的解集；21 ，且当xk,时，都有f xg x，求 k 的取值范围.（）设 k 13 3。
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河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 . 15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EFD '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n)1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列， ∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //，∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ， ∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1(),0,3,4(=-==，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0'011AD n n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ.20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ， 由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （）∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk .∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减.（2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ，不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a 上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m 令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ，所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。
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）
3
B．
5 6
C．
6
D．
2 3
6．执行如图的程序框图，如果输入的 a, b, k 分别为 1,2,3 ，输出的 M
15 ，那么判断框中应填入的 8
条件为（
）
A． n k
B． n k
C． n k 1
D． n k 1
7．总体由编号为 01，02，…，19，20 的 20 个个体组成，利用下面的随机数表选取 5 个个体，选取方 法是从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第 5 个个 体编号为
0
11．已知在 RtABC 中，两直角边 AB 1 ， AC 2 ， D 是 ABC 内一点，且 DAB 60 ，设
AD AB AC ( , R) ，则
2 3 3 3 3
（
C．3
）
A．
B．
D． 2 3
12．已知函数 f ( x ) 的定义域为 D ，若对于 a, b D, f ( a ), f (b), f (c ) 分别为某个三角形的边长，则 称 f ( x ) 为“三角形函数”.给出下列四个函数： ① f ( x ) ln x (e x e ) ；② f ( x ) 4 cos x ；③ f ( x ) x 2 (1 x 4) ；④ f ( x ) 为“三角形函数”的个数是（ A．1 B．2 ） C．3 D．4
2
）
2．已知实数 m , n 满足 ( m ni )( 4 2i ) 3i 5 ，则 m n （ A．
9 5
B．
11 5
C．
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(精)河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学(理)试卷(含答案)
河北省武邑中学2018届高三下学期期中考试数学（理）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合},06|{2N x x x x A ∈>++-=，}2,1,0,1{-=B ，则=B A （ ） A ．}2,1{ B ．}2,1,0{ C ．}1,0{ D ．}2,1,0,1{- 2．已知实数n m ,满足53)24)((+=-+i i ni m ，则=+n m （ ） A ．59 B ．511 C ．49 D ．4113．给出下列命题：①已知R b a ∈,，“1>a 且1>b ”是“1>ab ”的充分条件；②已知平面向量,，“1||,1||>>”是“1||>+”的必要不充分条件； ③已知R b a ∈,，“122≥+b a ”是“1||||≥+b a ”的充分不必要条件； ④命题p ：“R x ∈∃0，使100+≥x ex 且1ln 00-≤x x ”的否定为p ⌝：“R x ∈∀，都有1+<x e x 且1ln ->x ”.其中正确命题的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若定义在R 上的偶函数)(x f 满足)()2(x f x f =+，且当]1,0[∈x 时，x x f =)(，则函数||log )(3x x f y -=的零点个数是（ ）A ．6个B ．4个C ．3个D ．2个 5．设函数)3cos()(ϕ+=x x f ，其中常数ϕ满足0<<-ϕπ.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于（ ） A ．3π-B ．65π-C ．6π-D ．32π- 6．执行如图的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为3,2,1，输出的815=M ，那么判断框中应填入的条件为（ ）A ．k n <B ．k n ≥C ．1+<k nD ．1+≥k n 7．总体由编号为01，02，…，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体编号为A ．08B ．07C ．02D ．018．已知R k ∈，点),(b a P 是直线k y x 2=+与圆32222+-=+k k y x 的公共点，则ab 的最大值为（ ） A.15B.9C.1D. 35-9．若不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤-+≤+-≥+-08010502y x y x y x 所表示的平面区域存在点),(00y x ，使0200≤++ay x 成立，则实数a 的取值范围是（ ）A ．1-≤aB ．1-<aC ．1>aD ．1≥a10．北京某大学为第十八届四中全会招募了30名志愿者（编号分别是1，2，…，30号），现从中任意选取6人按编号大小分成两组分配到江西厅、广电厅工作，其中三个编号较小的人在一组，三个编号较大的在另一组，那么确保6号、15号与24号同时入选并被分配到同一厅的选取种数是（ ） A ．25 B ．32 C ．60 D ．10011．已知在ABC Rt ∆中，两直角边1=AB ，2=AC ，D 是ABC ∆内一点，且060=∠DAB ，设),(R ∈+=μλμλ，则=μλ（ ） A ．332 B ．33C ．3D ．32 12．已知函数)(x f 的定义域为D ，若对于)(),(),(,,c f b f a f D b a ∈∀分别为某个三角形的边长，则称)(x f 为“三角形函数”.给出下列四个函数：①)(ln )(32e x e x xf ≤≤=；②x x f cos 4)(-=；③)41()(21<<=x x x f ；④1)(+=x xe e xf .其中为“三角形函数”的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥+≥32320y x y x x ，则y x z -=的最小值是 .14．若5)1(-ax 的展开式中3x 的系数是80，则实数a 的值是 .15．已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 .16．若函数)(x f 的图象上存在不同的两点),(11y x A ，),(22y x B ，其中2211,,,y x y x 使得222221212121||y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数)(x f 是“柯西函数”. 给出下列函数：①)30(ln )(<<=x x x f ；②)0(1)(>+=x xx x f ；③82)(2+=x x f ；④82)(2-=x x f .其中是“柯西函数”的为 .三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且满足*),1(34N n a S n n ∈-=. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）令n n a b 2log =，记数列})1)(1(1{+-n n b b 的前n 项和为n T ，证明：2131<≤n T . 18．高二某班共有20名男生，在一次体检中这20名男生被平均分成两个小组，第一组和第二组男生的身高（单位：cm ）的茎叶图如下：（1）根据茎叶图，分别写出两组学生身高的中位数；（2）从该班身高超过180cm 的7名男生中随机选出2名男生参加篮球队集训，求这2名男生至少有1人来自第二组的概率；（3）在两组身高位于)180,170[（单位：cm ）的男生中各随机选出2人，设这4人中身高位于)180,175[（单位：cm ）的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望.19．菱形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，6,2==AC AB ，点F E ,分别在CD AD ,上，45==CF AE ，EF 交BD 于点H ，将D E F ∆沿EF 折到EF D '∆位置，10'=OD .（1）证明：⊥H D '平面ABCD ； （2）求二面角C A D B --'的正弦值.20．设抛物线)0(42>=m mx y 的准线与x 轴交于1F ，抛物线的焦点2F ，以21,F F 为焦点，离心率21=e 的椭圆与抛物线的一个交点为)362,32(E ；自1F 引直线交抛物线于Q P ,两个不同的点，设F F 11λ=. （1）求抛物线的方程椭圆的方程； （2）若)1,21[∈λ，求||PQ 的取值范围. 21．已知函数21)ln(21)(2+--=ax a x x a x f . （1）设xx f x g 1)()(+=，求函数)(x g 的单调区间； （2）若0>a ，设))(,()),(,(2211x f x B x f x A 为函数)(x f 图象上不同的两点，且满足1)()(21=+x f x f ，设线段AB 中点的横坐标为0x ，证明：10>ax . 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ααsin cos t y t m x （t 为参数，πα<≤0），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θρcos 4=，射线)44(πϕπϕθ<<-=，4πϕθ+=，4πϕθ-=分别与曲线C交于C B A ,,三点（不包括极点O ）. （1）求证：||2||||OA OC OB =+；（2）当12πϕ=时，若C B ,两点在直线l 上，求m 与α的值.23．选修4-5：不等式选讲已知函数|12|||)(-++=x m x x f . （1）当1=m ，解不等式3)(≥x f ； （2）若41<m ，且当]2,[m m x ∈时，不等式|1|)(21+≤x x f 恒成立，求实数m 的取值范围.数 学（理科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.13．3- 14．2 15．23224++ 16．①④三、解答题：本大题共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．解：(1)当1=n 时，有)1(34111-==a S a ，解得41=a ， 当2≥n 时，有)1(3411-=--n n a S ，则 )1(34)1(3411---=-=--n n n n n a a S S a 整理得41=-n na a ∴数列}{n a 是以4=q 为公比，以41=a 为首项的等比数列∴)(444*1N n a n n n ∈=⨯=-. （2）由（1）有n a b nn n 24log log 22===，则)12(1121(21)12)(12(1)1)(1(1+--=-+=-+n n n n b b n n∴)12)(12(1531311+-++⨯+⨯=n n T n )121121()5131()311[(21+--++-+-=n n )1211(21+-=n 易知数列}{n T 为递增数列，∴211<≤n T T ，即2131<≤n T .18．(1) 第一组学生身高的中位数为1742176172=+， 第二组学生身高的中位数为5.1742175174=+； （2）记“这2名男生至少有1人来自第二组”为事件A ，761)(2723=-=C C A P ，∴这2名男生至少有1人来自第二组的概率为76； （3）X 的所有可能取值是0，1，2，3101)0(23252223===C C C C X P ，52)1(23251223221213=+==C C C C C C C X P ，3013)2(23251213122222=+==C C C C C C C X P ，151)3(23251222===C C C C X P X 的分布列为15153302521)(=⨯+⨯+⨯=X E . 19．解：(1)∵45==CF AE ， ∴CDCFAD AE =，∴AC EF //， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴BD AC ⊥，∴BD EF ⊥，∴DH EF ⊥，∴H D EF '⊥ ∵6=AC ，∴3=AO ；又5=AB ，OB AO ⊥，∴4=OB ，∴1=⋅=OD AOAEOH ，∴3'==H D DH ， ∴222|'||||'|H D OH OD +=，∴H D OH '⊥，又∵H EF OH = ， ∴⊥H D '平面ABCD .（Ⅱ）建立如图所示的空间直角坐标系：)0,3,1(),3,0,0('),0,3,1(),0,0,5(-A D C B ，)0,6,0(),3,3,1('),0,3,4(=-==AC AD AB ，设平面'ABD 的一个法向量为),,(1z y x n =，由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n AB n 得⎩⎨⎧=++-=+033034z y x y x ，取⎪⎩⎪⎨⎧=-==543z y x ， ∴)5,4,3(1-=n ，同理可得平面C AD '的法向量为)1,0,3(2=n ，∴25571025|59||||||cos |2121=⨯+==n n θ，∴25952sin =θ. 20.解：(1)设椭圆的标准方程为)0(12222>>=+b a by ax ，由题意得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+211924942222a b a a c b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧==3422b a∴椭圆的方程为13422=+y x ∴点2F 的坐标为)0,1(，∴1=m ，∴抛物线的方程是x y 42=(2)由题意得直线PQ 的斜率存在，设其方程为)0)(1(≠+=k x k y ，由⎩⎨⎧=+=xy x k y 4)1(2消去x 整理得0442=+-k y ky （） ∵直线PQ 与抛物线交于两点， ∴016162>-∆k ，设),(),,(2211y x Q y x P ，则421=y y ①，ky y 421=+②， ∵F F 11λ=，)0,1(1-F ∴),1(),1(2211y x y x +=+λ ∴21y y λ=，③由①②③消去21,y y 得22)1(4+=λλk . ∴||PQ 22221221222121616)11(4))[(11())(11(k k ky y y y ky y k-+=-++=-+=441616k k -=，即=2||PQ 441616k k -，将22)1(4+=λλk 代入上式得， =2||PQ 16)21(16)12(16)4(222224-++=-++=-+λλλλλλλ，∵λλλ1)(+=f 在)1,21[∈λ上单调递减，∴)21()()1(f f f ≤<λ，即2512≤+<λλ， ∴<041716)21(2≤-++λλ， ∴217||0≤<PQ ，即||PQ 的取值范围为]217,0(. 21．解：(1) 21)ln(2)(2+-=ax a x a x g ,xax a x a a x g )2(2)('2-=-= ①0>a 时， )(x g 定义域为),0(+∞当)2,0(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)2,0(a上单调递减； 当),2(+∞∈a x 时，0)('>x g ，故)(x g 在),2(+∞a上单调递增； ②0<a 时，)(x g 定义域为)0,(-∞当)2,(a x -∞∈时，0)('>x g ，故)(x g 在)2,(a-∞上单调递增； 当)0,2(a x ∈时，0)('<x g ，故)(x g 在)0,2(a上单调递减. （2）10>ax 2121212x ax a x x ->⇔>+⇔0)1(21)('222≥-=-+=a xx ax a x f ，故)(x f 在定义域),0(+∞上单调递增， 只需证：1)()1(2=+x f x f ，21)1(=af ， 不妨设2110x ax <<< axa x x a ax x ax a a x f x a f x F ln 21)2ln(221)2(1)()2()(22--+-----=-+-=则0)2()1(4222)2(1)('2232222≤---=-+---=ax x ax ax a x a ax a x x F ax 1≥∀， 从而)(x F 在),1[+∞a上单调递减，故0)1()(2=<aF x F ，即（）式. 22.解：(1)证明：依题意，ϕcos 4||=OA ，)4cos(4||πϕ+=OB ，)4cos(4||πϕ-=OC ，则=+||||OC OB ++)4cos(4πϕ||2cos 24)4cos(4OA ==-ϕπϕ（2）当12πϕ=时，C B ,两点的极坐标分别为)6,32(),3,2(ππ-，化为直角坐标)3,1(B ，)3,3(-C ， 经过点C B ,的直线方程为)2(3--=x y ， 又直线l 经过点)0,(m ，倾斜角为α，故2=m ，32πα=. 23.解：(1) 当1=m 时，|12||1|)(-++=x x x f ，则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>≤≤---<-=)21(3)211(2)1(3)(x x x x x x x f由3)(≥x f 解得1-≤x 或1≥x ，即原不等式的解集为),1[]1,(+∞--∞ . （2）|1|)(21+≤x x f ，即|1||12|21||21+≤-++x x m x ，又]2,[m m x ∈且41<m 所以410<<m ，且0>x 所以|12|21|1|221--+≤+x x m x 即|12|2--+≤x x m令|12|2)(--+=x x x t ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥-<<+=)21(3)210(13)(x x x x x t ， 所以]2,[m m x ∈时， 13)()(min +==m m t x t ， 所以13+≤m m ，解得21-≥m ， 所以实数m 的取值范围是)41,0(.欢迎访问“高中试卷网”——。
【100所名校】河北省武邑中学2018届高三下学期第一次质量检测数学(理)试题(解析版)
河北省武邑中学2018届高三下学期第一次质量检测数学（理）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题）一、单选题 1．已知集合，则等于（ ）A.B.C.D.2．设复数满足，则 （ ）A.B. 2C.D.3．中国古代第一部数学专著《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆内的概率是（ ）A.B.C.D.4．执行如右图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）A. 7B. 6C. 5D. 35．5．已知直线l 的方程为230ax y a +-+=，则“直线l 平分圆()()22231x y -++=的周长”是“1a =”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 6．已知，点为斜边的中点，，则等于 （ ）A. -14B. -9C. 9D. 14 7．已知，则展开式中的系数为（ ）A. 24B. 32C. 44D. 56 8．定义运算：单位，所得图象对应的函数为偶函数，则ω的最小值是（ ）A.B.C. D. 9．设,x y 满足约束条件1,{1, 22,x y x y x y +≥-≥--≤若目标函数3z ax y =+仅在点()1,0处取得最小值，则a 的取值范围为（ ）A. ()6,3-B. ()6,3--C. ()0,3D. (]6,0- 10．已知双曲线的实轴长为16，左焦点为，是双曲线的一条渐近线上的点，且为坐标原点，若，则双曲线的离心率为（）A.B.C. D.11．某简单凸多面体的三视图如图所示，其中俯视图和左视图都是直角三角形，主视图是直角梯形，则其所有表面（含底面和侧面）中直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4 12．已知函数的定义域为，且满足，其导函数，当时，，且，则不等式的解集为 （） A.B.C.D.好教育云平台 名校精编卷 第3页（共4页） 好教育云平台 名校精编卷 第4页（共4页）第II 卷（非选择题）二、填空题13．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若 4b =， sin 2sin A C =，则ABC ∆的面积为__________．14．已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为__________．15．已知0x >， 0y >，280m m x y ---<恒成立，则m 的取值范围是__________．（答案写成集合或区间格式） 16．在四面体中，，二面角的大小为150°，则四面体外接球的半径为__________．三、解答题 17．已知等比数列的公比，且成等比数列. （1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前的前项和.18．如图所示，该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组合而成，其中.（1）证明：平面；（2）若四棱锥的高2，求二面角的余弦值.19．2017年9月，国务院发布了《关于深化考试招生制度改革的实施意见》.某地作为高考改革试点地区，从当年秋季新入学的高一学生开始实施，高考不再分文理科.每个考生，英语、语文、数学三科为必考科目，并从物理、化学、生物、政治、历史、地理六个科目中任选三个科目参加高考.物理、化学、生物为自然科学科目，政治、历史、地理为社会科学科目.假设某位考生选考这六个科目的可能性相等.（1）求他所选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率；（2）已知该考生选考的三个科目中有一个科目属于社会科学科目，两个科目属于自然科学科目.若该考生所选的社会科学科目考试的成绩获等的概率都是0.8，所选的自然科学科目考试的成绩获等的概率都是0.75，且所选考的各个科目考试的成绩相互独立.用随机变量表示他所选的三个科目中考试成绩获等的科目数，求的分布列和数学期望.20．已知是抛物线的焦点，关于轴的对称点为，曲线上任意一点满足；直线和直线的斜率之积为.（1）求曲线的方程； （2）过且斜率为正数的直线与抛物线交于两点，其中点在轴上方，与曲线交于点，若的面积为的面积为，当时，求直线的方程.21．已知函数．（1）求的单调区间；（2）若在上恒成立，求正整数的最小值.22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数）以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆的普通方程；（2）直线的极坐标方程是，射线与圆的交点为，与直线的交点为，求线段的长.23．已知函数()1122f x x x m =--的最大值为4. （1）求实数m 的值； （2）若0,02mm x ><<，求222x x +-的最小值.河北省武邑中学2018届高三下学期第一次质量检测数学（理）答 案1．B 【解析】,故选.2．D 【解析】,故选. 3．A【解析】依题意知斜边为,设内切圆半径为,由三角形面积公式得,解得,故落在圆外的概率为,所以选.4．B【解析】,,判断否,,,判断否,,判断是,输出,故选.5．B【解析】因为()()22231x y -++=的圆心为()2,3-， ()2,3-总在直线230ax y a +-+=上，所以对任意实数a ，直线230ax y a +-+=都平分圆()()22231x y -++=的周长，所以“直线l 平分圆()()22231x y -++=的周长”是“1a =”的必要不充分条件，故选B. 6．C【解析】以为原点分别为轴建立平面直角坐标系,则,所以.故选.7．A【解析】,中系数为.故选.8．D【解析】函，()f x的的图象向左平单位，所得图象对应的函数，又因为函数为y 偶函数， ，解得，当1k =时， ω取得最小值是 D. 9．A【解析】作出约束条件1,{1, 22,x y x y x y +≥-≥--≤表示的可行域如图所示，将3z ax y =+化当仅在点()1,0处取得最小值，即目标函数3z ax y =+仅在点()1,0AA. 【方法点晴】本题主要考查可行域、含参数约束条件，属于难题.含参变量的线性规划问题是近年来高考命题的热点，由于参数的引入，提高了思维的技巧、增加了解题的难度， 此类问题的存在增加了探索问题的动态性和开放性，此类问题一般从目标函数的结论入手，对目标函数变化过程进行详细分析，对变化过程中的相关量的准确定位，是求最优解的关键. 10．A【解析】由于焦点到渐近线的距离为,故,依题意有,所以离心率为.【点睛】本小题主要考查直线和双曲线的位置关系,考查双曲线渐近线的几何性质,考查三角形的面积公式和双曲线离心率的求法.设双曲线的焦点为,双曲线的渐近线为,故双曲线焦点到渐近线的距离为,故焦点到渐近线的距离为.11．A好教育云平台 名校精编卷答案 第3页（共10页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第4页（共10页）【解析】由三视图可知，该凸多面体是如图所示的三棱锥A BCD - ，由图可知，三棱锥的三个面中，只有ADB ∆ 是直角三角形，即直角三角形的个数为1 ，故选A.【方法点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.12．D【解析】构造函数,,当时,,所以当时,,则在上递增. 由于所以函数关于点中心对称.所以函数关于原点中心对称,为奇函数.令,则是上的偶函数,且在上递增,在上递减.,故原不等式等价于,等价于,解得或.故选.【点睛】本小题主要考查函数单调性与奇偶性,考查函数图像的对称性的表示形式,考查构造函数法判断函数的单调性与奇偶性.首先构造函数,利用上题目所给含有导数的不等式可以得到函数的单调性.对于题目所给条件由于,所以函数图象是关于中心对称的.13【解析】sin 2sin ,C A = ，由正弦定理可得2c a = ，由余弦定理可得2222cosb ac ac B =+-，，与2c a =，联立解得2,4a c ==， ，，则ABC ∆14．2【解析】根据等比中项有即,化简得..15．()1,9-【解析】因为0x>， 0y >，（当且仅当3,6x y ==时取等号），9x y +≥，不等式280m m x y ---<恒成立，即：28m m x y -<+只需2289,890m m m m -<--<，则19m -<<，则m 的取值范围是()1,9-.【点睛】关于利用基本不等式求最值问题，需要掌握一些基本知识和基本方法，利用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，当两个正数的积为定值时，这两个数的和取得最小值；当两个正数的和为定值时，这两个数的积取得最大值；利用基本不等式求最值的技巧方法有三种：第一是“１的妙用”，第二是“做乘法”，第三是“等转不等”. 16．【解析】画出图象如下图所示,其中为等边三角形边的中点,为等边三角形的中心(等边三角形四心合一);球心在点的正上方,也在点的正上方.依题意知,在中,所以外接圆半径.17．（1）；（2）.【解析】【试题分析】(1)根据基本元的思想,将已知条件转化为 ,列方程组解出,由此得到数列的通项公式.(2)利用错位相减法求得数列的前项和.【试题解析】（1）∵，∴，∴，又成等差数列，∴，∴，∴，∴；（2），①②-②：，，∴.18．（1）见解析；（2）.【解析】【试题分析】(1)根据直棱柱的性质有,结合已知可得平面.(2)以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系,通过计算平面和平面的法向量来求得面面角的余弦值.【试题解析】（1）证明：直三棱柱中，平面，所以，又，所以平面；（2）由（1）知平面，以为原点，方向为轴建立空间直角坐标系（如图所示），，则，，，，，，，设平面的一个法向量，则，取，则，所以.设平面的一个法向量，则，取，则.所以，所以，因为二面角的平面角是锐角，所以所求二面角的余弦值为. 19．（1）；（2）见解析.【解析】试题分析：(1)由题意结合对立事件计算公式可知该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为；(2)由题意可知，随机变量的所有可能取值有0, 1，2，3.计算相应的概率值为,，，，据此可得分布列，然后计算数学期望为.试题解析：（1）记“某位考生选考的三个科目中至少有一个科目是自然科学科目”为事件，则，所以该位考生选考的三个科目中，至少有一个自然科学科目的概率为.（2）随机变量的所有可能取值有0, 1，2，3.因为,，好教育云平台 名校精编卷答案 第7页（共10页） 好教育云平台 名校精编卷答案 第8页（共10页），，所以的分布列为所以.20．（1）；（2）.【解析】【试题分析】(1)根据焦点求得的值和的坐标,设利用建立方程,化简后得到曲线的轨迹方程,注意排除分母为零的点.(2)设出直线的方程,将直线方程代入曲线的方程,求得的坐标,根据面积比求得点的坐标,将点的坐标代入抛物线方程,可求得直线的斜率,即求出直线的方程. 【试题解析】 （1）由题意可知：，设曲线上任意一点坐标，则：，又，∴，整理得：，所以曲线的方程为：；（2）是抛物线的焦点，∴，则抛物线的方程为，设直线的方程为，将直线的方程代入曲线方程，整理得：，∴，∴，∴，又因为，可得：，∴，又因为在抛物线上，，整理得：，又，∴，∴直线的方程为：，【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系,考查直线和椭圆的位置关系,考查直线与曲线交点坐标的求法,和三角形面积比的转化.首先题目给定抛物线焦点的坐标,由此可以求得抛物线的方程和对称点的坐标,设出所求轨迹方程上任一点的坐标后代入题目所给斜率乘积的条件,化简即可得到轨迹方程. 21．（1）的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）1.【解析】【试题分析】(1)求出函数的定义域,求导后利用函数的单调性得到函数的单调区间.(2)将原不等式转化为,构造函数,利用导数求得函数的最大值,由此求得的取值范围,最后求得正整数的最小值. 【试题解析】（1）函数的定义域为，由于在上是减函数，所以当时，；当时，；所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）由在上恒成立，整理得：在上恒成立即可，令，当时，，以及在上，得在上恒成立，由（1）知的单调递增区间为，单调递减区间为.所以有，即恒成立，所以正整数的最小值为1.【点睛】本小题主要考查函数导数与单调性,考查利用导数解决不等式恒成立的问题.要求函数的单调区间,首先要求函数的定义域,一定要在定义域内研究函数的单调性,求导后根据导函数的单调性和导函数的零点,可得到函数的单调区间,这里需要对函数的单调性有较强的理解. 22．（1）；（2）1.【解析】【试题分析】(1)利用消掉参数,得到圆的普通方程.(2)写出圆的极坐标方程,分别联立圆与射线,直线与射线的极坐标方程,求得的极坐标,利用极坐标的几何意义求得线段的长. 【试题解析】（1）∵ 圆的参数方程为（为参数）∴圆的普通方程为；（2）化圆的普通方程为极坐标方程得，设，则由，解得，设，则由，解得，∴23．（1）4±；（2）4. 【解析】【试题分析】(1)利用绝对值不等式,消去x ,可求得实数m 的值.(2)由(1)得4m =.利用配凑法,结合基本不等式可求得最小值. 【试题解析】 （1）由11112222x x m x x m m ⎛⎫--≤--= ⎪⎝⎭， 当且仅当11022x x m ⎛⎫-≥ ⎪⎝⎭且当1122x x m ≥-时取等号，此时()f x 取最大值4m =，即4m =±； （2）由（1）及0m >可知4m =，∴02x <<，则()22111111222222422222x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫-⎛⎫⎛⎫+=+=+=++-=++≥+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-----⎝⎭⎝⎭⎝⎭，（当且仅当2x x -=，即1x =时，取“=”） ∴222x x +-的最小值为4.。
河北省武邑中学高三下学期一模考试数学(理)试题 Word版含答案
河北省武邑中学2017届高三下学期一模考试数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|M x y ==，(){}2|log 2N x y x ==-，则()R C MN =（ ）A ．[)1,2B ．()[),12,-∞+∞ C ．[]0,1 D ．()[),02,-∞+∞2.设复数z 满足()1|1|i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i - CD3.下列函数中，既是偶函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ） A ．cos y x = B ．2y x =- C ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．|sin |y x =4. sin 2xdx ππ⎰的值为（ ）A ．2π B ．π C ．12D ．1 5.若变量,x y 满足不等式组21y x y x y a ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，且3z x y =-的最大值为7，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．7 C. -1 D ．-76.甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ）A ． 144种B ．180种 C. 288种 D ．360种 7.在Rt ABC ∆中，90A ∠=，点D 是边BC 上的动点，且3AB =,4AC =,()0,0AD AB AC λμλμ=+>>，则当λμ取得最大值时，AD 的值为( ) A ．72 B ． 3 C. 52 D ．1258.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为17,14，则输出的a =( )A ． 4B ．3 C. 2 D ．19.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则该几何体的表面积为（ ）A ．2448π+B ．2490π++ 4848π+ D ．2466π++ 10.在区间[],ππ-内随机取两个数分别记为,a b ,则函数()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率（ ） A ．18π-B ．14π-C.34 D ．4π11.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C y px p =>交于点,,O A B ,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为（ ）A ．32B C. D12.定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足，()()()1f b f a f x b a-'=-，()()()2f b f a f x b a -'=-则称函数()f x 是[],a b 上的“中值函数”.已知函数()321132f x x x m =-+是[]0,m 上的“中值函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知角a 的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线()4300x y x -=≤上,则cos sin a a -= ．14.8x y ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答） 15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8......,该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()222132243354a aa a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅()2201520172016a a a +-=．16.已知()42,4,a x x a x f x x x a x ⎧⎛⎫-+< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≥⎪⎩①当1a =时，()3f x =,则x = . 当1a ≤-时，若()3f x =有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a =___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 中，11a =其前n 项和为n S ，且满足()21n n S n a =+，()n N *∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围.18. 某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间(]0,50内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按(]0,10，(]10,20，(]20,30，(]30,40，(]40,50分组，整理如下图：(1)写出频率分布直方图（图乙）中a 的值：记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售的方差分别为21S ，22S ，试比较21S 与22S 的大小（只需写出结论）；(2)从甲种酸奶机日销量在区间(]0,20的数据样本中抽取3个，记在(]0,10内的数据个数为X ，求X 的分布列；(3)估计1200个日销售量数据中，数据在区间(]0,10中的个数.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=.（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值： （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,1.（1）求椭圆E 的方程； （2）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.21.设函数()()2ln 11f x x ax x =-+++，()()21x g x x e ax =-+，a R ∈. （1）当1a =时，求函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程；（2）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （3）证明()()f x g x ≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为cos 4p πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标. 23.选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|3|||2x x m m +++≥的解集为R . （1）求m 的最大值；（2）已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=,求222234a b c ++的最小值及此时a ，b ，c 的值.试卷答案一、选择题1-5:BDDDA 6-10:CCDDB 11、12：CB二、填空题13.15 14.70 15.1 16. 4，116- 三、解答题17.解：（1）()21n n S n a =+，()1122n n S n a ++=+∴，()121n n a n a +=+∴，11n na a n n+=+∴， 11111n n a a a n n -==⋅⋅⋅==-∴()n a n nN *=∈∴. （2）23n n b n λ=-，()()()21213132321n n n n n b b n n n λλλ++-=-+--=⋅-+，数列{}n b 为递增数列，()23210nn λ⋅-+>∴，即2321n n λ⋅<+.令2321nn c n ⋅=+，则112321631232323n n n n c n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+， {}n c ∴为递增数列，12c λ<=∴，即λ的取值范围为(),2-∞.18.解（1）由图（乙）知，()100.020.030.0250.0151a ++++=解得0.01a =，2212s s >.（2）X 的所有可能取值1，2，3.则()124236115C C P X C ===，()214236325C C P X C ===，()304236135C C P X C ===， 其分布列如下：(1)由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2345620++++=个，其中有4个数据在区间(]0,10内，又因为分层抽样共抽取了1200560%=⨯个数据， 乙种酸奶的数据共抽取602040-=个，由（I ）知，乙种酸奶的日销量数据在(]0,10内的频率为0.1, 故乙种酸奶的日常销量数据在区间(]0,10内有400.14⨯=个. 故抽取的60个数据，共有448+=个数据在区间(]0,10内. 所以，在1200个数据中，在区间(]0,10内的数据有160个.19.（1）因为四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥.又PAAC A =，所以BD ⊥平面PAC.（2）设AC BD O =.因为60BAD ∠=,2PA AB ==.所以1BO =，AO CO ==以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,P ，()0,A ，()1,0,0B ，()C 所以，()2PB =-，()AC =.设PB 与AC 所成角为θ，则cos ||||||2PB AC PB AC θ⋅===.（3）由（2）知()BC =-，设()()0,0P t >.则()1,BP t =-，设平面PBC 的法向量(),y,z m x =，则0,0BC m BP m ⋅=⋅=，所以0x x tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令y =，则3x =，6z t =，所以6m t ⎛⎫= ⎪⎝⎭.同理，平面PDC 的法向量63,3,n t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以0m n ⋅=，即23660t -+=，解得t =所以PA 20.解：（1）设椭圆的半焦距为c .因为点()0,1在椭圆E 上，所以1b =.故221a c +=.又因为c e a ==c =，2a =.所以椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,C x y ，线段AC 中点为()00,y M x . 联立12y x m =+ 和22440x y +-=，得：222220x mx m ++-=.由()()2222422840m m m ∆=--=->，可得m <<.所以122x x m +=-，21222x x m =-. 所以AC 中点为1,2M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.弦长AC =又直线l 与x 轴的交点()2,0N m -，所以MN =.所以222221542BN BM MN AC MN =+=+=.所以B 、N . 21.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()1,+∞，()()2211x ax a f x x -+'=-.当1a =时，()2426f a '=+=，()2437f a =+=.所以函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程为()762y x -=-. 即65y x =-.（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()()2x g x x e a '=+. ①当0a =时，函数()()1x g x x e =-只有一个零点； ②当0a >，因为20x e a +>，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>. 所以函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增. 又()01g =-，()1g a =，因为0x <，所以10x -<，1x e <所以()11x e x x ->-，所以()21g x ax x >+-取0x 00x <且()00g x >所以()()010g g <，()()000g x g <.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.③当0a <时，由()()20x g x x e a '=+=，得0x =，或()12x n a =-. )i 当12a <-，则()120n a ->.当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.)ii 当12a =-，则()120n a -=，()g x 在(),-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.若12a >-，则()120n a -≤.当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到当0x <，0a <时，()()210x g x x e ax =-+<，()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.综上，a 的取值范围是()0,+∞.（Ⅲ）证明：()()()()1111x g x f x x e n x x -=-----.设()()()1111x h x x e n x x =-----，其定义域为()1,+∞，则证明()0h x ≥即可.因为()111t x x x h x xe x e x x ⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭，取311X e -=+，则()()1310x t h x x e e =-<，且()20t h >.又因为()()()21101tt x h x x e x =++>-，所以函数()t h x 在()1,+∞上单增.所以()0t h x =有唯一的实根()01,2x ∈，且0011x e x =-. 当01x x <<时，()0t h x <；当0x x >时，()0t h x >. 所以函数()h x 的最小值为()0h x .所以()()()()00000001111110x h x h x x e n x x x x ≥=-----=+--=. 所以()()f x g x ≤.22.解：（1）1C 的普通方程为2213y x +=，2C 的直角坐标方程为60x y +-=.（2）由题意，可设点P的直角坐标为()cos αα，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()36d παα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭.当且仅当()23k k Z παπ=+∈时，PQ取得最小值，最小值为P 的直角坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 23.解：（1）因为()()333x x m x x m m +++≥+-+=-， 当3x m -≤≤-或3m x -≤≤-时取等号， 令32m m -≥所以32m m -≥或32m m -≤-. 解得3m ≤-或1m ≤， m ∴的最大值为1.（2）1a b c ++=.由柯西不等式，()()22221112341234a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭，2221223413a b c ++≥∴，等号当且仅当234a b c ==，且1a b c ++=时成立.即当且仅当613a =，413b =，313c =时，2222342a b c ++的最小值为1213.精品文档试卷。
河北省武邑中学高三数学下学期第一次模拟考试试题理
河北武邑中学2018-2019学年下学期高三第一次模拟考试 数 学 （理工）试 题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，满足，，若，则集合( )A.B.C.D.2.在复平面内，复数z 满足(1)2z i -=，则z 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、如图所示,水平放置的圆柱形物体的三视图是( )A. B.C. D.4．函数1ln(1)y x x =-+的图象大致为:A B C D5.函数()()log 3101a y x a a =+->≠且的图象恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则11m n+的最小值为:; A3- B 5 C 3+ D 3+6.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别别为a ，b ，c ，且2cos (cos cos ).C a B+b A c =1,3a b ==则c =（ ）A ．6B ．7 C.8 D ．97．《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（ ）A ．2π15B ．3π20C ．1－2π15D ．1－3π208.已知函数的图象经过点，且关于直线对称，则下列结论正确的是( )A. 在上是减函数 B. 若是的一条对称轴，则一定有C.的解集是，D.的一个对称中心是9.从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是（ ） A. 32 B. 53 C. 21 D. 5210.一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是（ ）A ．4B ．3C ．4D ．1211.设12、F F 分别为双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点，点P 在双曲线C 的右支上，若122130,60∠=∠=︒PF F PF F ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．1 B ．2+ D ．4+12.对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是( )A.B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.向量，，若向量，共线，且，则的值为__________．14．在)5111x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中常数项等于 .15.数列{}n a 满足：12,111+==+n n a a a :{}n a 的前n 项和为n S ，则=n S _______.16.已知在直三棱柱中，，，若棱在正视图的投影面内，且与投影面所成角为.设正视图的面积为，侧视图的面积为，当变化时，的最大值是__________．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本大题满分12分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2sin cos )b c A A =+.（I ）求sin C ； （II）若a =34B π=，求ABC ∆的面积.18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，平面平面，点为棱的中点．（Ⅰ）在棱上是否存在一点，使得平面，并说明理由； （Ⅱ）当二面角的余弦值为时，求直线与平面所成的角．19. 有一个同学家开了一个奶茶店，他为了研究气温对热奶茶销售杯数的影响，从一季度中随机选取5天，统计出气温与热奶茶销售杯数，如表：（Ⅰ）求热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程a x b y ˆˆˆ+=（b ˆ精确到0.1），若某天的气温为15oC ，预测这天热奶茶的销售杯数；（Ⅱ）从表中的5天中任取一天，若已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120，求所选取该天热奶茶销售杯数大于130的概率.参考数据：125027191242222=+++，6602942710419130121324=⨯+⨯+⨯+⨯. 参考公式：2121ˆ∑-∑-===ni i n i i i xn x yx n y x b，x by a ˆˆ-= 20.已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（1）求椭圆的标准方程；（2）若不过原点的直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，并且点是线段的中点，求面积的最大值.21. 已知()ln f x x =,设1122(,ln ),(,ln )A x x B x x ,且12x x <,记1202x x x +=; （1）设()(1)g x f x ax =+-,其中a R ∈,试求()g x 的单调区间; （2）试判断弦AB 的斜率AB k 与0()f x '的大小关系,并证明; （3）证明：当1x >时,11ln xe x x x->+. 选做题（请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.） 22.选修4-4：坐标系与参数方程（本大题满分10分）已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O 处，极轴与x 轴的非负半轴重合，且长度单位相同，直线l 的极坐标方程为sin 56πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，曲线:2x C y αα⎧=⎪⎨=-⎪⎩(α为参数).其中[)0,2a π∈. （Ⅰ）试写出直线l 的直角坐标方程及曲线C 的普通方程； （Ⅱ）若点P 为曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值. 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知()32f x x =+. (Ⅰ)求()1f x ≤的解集；(Ⅱ)若()2f x a x ≥恒成立，求实数a 的最大值.高三第一次模拟考试理数答案1.CDAAC 6-10:CBCDC 11-12:A B 13.-814， 9 15， 221--+n n16..17．解：（Ⅰ）由(2sin cos )b c A A =+得，sin 2sin sin sin cos sin()2sin sin sin cos B A C C A A C A C C A =+⇒+=+，所以1sin cos 2sin sin tan ,sin 25A C A C C C =⇒=⇒=；（Ⅱ）sin sin b B c C ===,b c ==，cos cos()cos cos sin sin A B C B C B C =-+=-+=，由余弦定理得：22225222k k k =+-⇒=，所以2b c ==， 所以ABC的面积11sin 21222S ac B ==⨯=．18.【详解】（Ⅰ）在棱上存在点，使得平面，点为棱的中点． 理由如下：取的中点，连结、，由题意，且，且，故且.所以，四边形为平行四边形. 所以，，又平面，平面，所以，平面............6分（Ⅱ）由题意知为正三角形，所以，亦即，又，所以，且平面平面，平面平面，所以平面，故以为坐标原点建立如图空间直角坐标系，设，则由题意知，，，，，， 设平面的法向量为， 则由得，令，则，， 所以取，显然可取平面的法向量，由题意：，所以.由于平面，所以在平面内的射影为，所以为直线与平面所成的角，易知在中，，从而，所以直线与平面所成的角为................................12分19. 解：（Ⅰ）由表格中数据可得，4.12=x ,122=y ............................2分∴0.24.12621250122626602ˆ2121-≈⨯-⨯-=∑-∑-===ni i ni i i xn x yx n y x b..................................5分∴8.1464.120.2122ˆˆ=⨯+=-=x b y a∴热奶茶销售杯数关于气温的线性回归方程为8.1460.2ˆ+-=x y...................6分 ∴当气温为15oC 时，由回归方程可以预测热奶茶的销售杯数为1178.1168.146150.2ˆ≈=+⨯-=y (杯) ......................8分（Ⅱ）设A 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于120”，B 表示事件“所选取该天的热奶茶销售杯数大于130”，则“已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130”应为事件A B |..................................................10分∵53)(=A P ，52)(=AB P ∴32)()()|(==A P AB P A B P ∴已知所选取该天的热奶茶销售杯数大于120时，销售杯数大于130的概率为32.....12分20.【答案】（1）椭圆的方程为；（2）面积的最大值为：.【解析】(1) 由椭圆的离心率为,点在椭圆上得解得所以椭圆的方程为. (2)易得直线的方程为.当直线的斜率不存在时，的中点不在直线上，故直线的斜率存在. 设直线的方程为,与联立消得,所以.设,则,.由,所以的中点,因为在直线上，所以,解得所以,得,且,又原点到直线的距离,所以，当且仅当时等号成立，符合,且.所以面积的最大值为：.21. 21. 解：（1）()ln(1)g x x ax =+-（1x >-），1()1g x a x '=-+若0a ≤，则1()01g x a x '=-≥+，它为(1,)-+∞上的增函数，若0a >，则增区间为1(1,1)a --，减区间为1(1,)a -+∞…………3分（2）2212122111121(ln 2)1AB x x x k x x x x x x x --=-+-+令211x t x =>，1()ln 21t h t t t -=-+，2'2212(1)()20(1)(1)t h t t t t t -=-=>++，而(1)0h =.故在(1,)+∞单调递增，故0122()AB k f x x x '>=+…………7分（3）当(1,)x ∈+∞时，原不等式等价于2ln 1x e x x >-，由（2）知1ln 21x x x ->+，即证21211x x e x x -⨯>-+，转化为21(1)2x e x >+.令21()(1)2x F x e x =-+，'()(1)0xF x e x =-+≥，(1)20F e =->，故(1,)x ∈+∞也成立. 12分22、解析：（1）5)6sin(=-πθρ ，即10cos sin 3=-θρθρ，又θρθρsin ,cos ==y x .∴直线l 的直角坐标方程为0103=+-y x .曲线⎪⎩⎪⎨⎧+-==ααsin 22,cos 2y x C ：（α为参数），消去参数α可得曲线C 的普通方程为2)2(22=++y x . （2）由（1）可知，曲线C 是以)2,0(-为圆心，2为半径的圆. 圆心)2,0(-到直线l 的距离35)1()3(10)2(3022+=-+--⨯-=d ，∴点P 到直线l 距离的最大值为235++.23. 解：(Ⅰ)由()1f x ≤得|32|1x +≤， 所以1321x -≤+≤，解得113x -≤≤-，所以，()1f x ≤的解集为113⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，. …………………………5分(Ⅱ)()2f x a x ≥恒成立，即232x a x +≥恒成立. 当0x =时，a R ∈；当0x ≠时，23223x a x x x+≤=+.因为23x x +≥当且仅当23x x =，即x =时等号成立)， 所以a ≤a 的最大值是…………………………10分。
河北省武邑中学高三下学期一模考试数学(理)试题 Word版含答案
河北省武邑中学高三下学期一模考试数学（理）试题 Word 版含答案数学（理）试题第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|M x y ==，(){}2|log 2N x y x ==-，则()R C M N =I （ ）A ．[)1,2B ．()[),12,-∞+∞UC ．[]0,1D ．()[),02,-∞+∞U 2.设复数z 满足()1|1|i z i +=-（i 为虚数单位），则z =（ ） A ．1i + B ．1i - CD3.下列函数中，既是偶函数，又在区间[]0,1上单调递增的是（ ） A ．cos y x = B ．2y x =- C ．||12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．|sin |y x =4. sin 2xdx ππ⎰的值为（ ）A ．2π B ．π C ．12D ．1 5.若变量,x y 满足不等式组21y x y x y a ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，且3z x y =-的最大值为7，则实数a 的值为（ ）A ．1B ．7 C. -1 D ．-76.甲乙和其他4名同学合影留念，站成两排三列，且甲乙两人不在同一排也不在同一列，则这6名同学的站队方法有（ ）A ． 144种B ．180种 C. 288种 D ．360种 7.在Rt ABC ∆中，90A ∠=o ，点D 是边BC 上的动点，且3AB =u u u r ,4AC =u u u r ,()0,0AD AB AC λμλμ=+>>u u u r u u u r u u u r，则当λμ取得最大值时，AD u u u r 的值为( ) A ．72 B ． 3 C. 52 D ．1258.如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入,a b 分别为17,14，则输出的a =( )A ． 4B ．3 C. 2 D ．19.已知一个简单几何的三视图如图所示，若该几何体的体积为2448π+，则该几何体的表面积为（ ）A ．2448π+B ．2490641π++ 4848π+ D ．2466641π++ 10.在区间[],ππ-内随机取两个数分别记为,a b ,则函数()2222f x x ax b π=+-+有零点的概率（ ） A ．18π-B ．14π-C.34 D ．4π11.在平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C y px p =>交于点,,O A B ,若OAB ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为（ ）A ．32B 5 C. 35 D 512.定义：如果函数()f x 在[],a b 上存在()1212,x x a x x b <<<满足，()()()1f b f a f x b a-'=-，()()()2f b f a f x b a -'=-则称函数()f x 是[],a b 上的“中值函数”.已知函数()321132f x x x m =-+是[]0,m 上的“中值函数”，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3,14⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．33,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知角a 的始边与x 轴非负半轴重合，终边在射线()4300x y x -=≤上,则cos sin a a -= ．14.8x y ⎛ ⎝的展开式中2x 的系数为 ．（用数字作答） 15.意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数:1,1,2,3,5,8......,该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数所组成的数列{}n a 称为“斐波那契数列”，则()()()222132243354a aa a a a a a a -+-+-+⋅⋅⋅()2201520172016a a a +-=．16.已知()42,4,a x x a x f x x x a x ⎧⎛⎫-+< ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎪-≥⎪⎩①当1a =时，()3f x =,则x = . 当1a ≤-时，若()3f x =有三个不等实数根，且它们成等差数列，则a =___________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列{}n a 中，11a =其前n 项和为n S ，且满足()21n n S n a =+，()n N *∈. (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记23n n n b a λ=-，若数列{}n b 为递增数列，求λ的取值范围.18. 某超市从现有甲、乙两种酸奶的日销售量（单位：箱）的1200个数据（数据均在区间(]0,50内）中，按照5%的比例进行分层抽样，统计结果按(]0,10，(]10,20，(]20,30，(]30,40，(]40,50分组，整理如下图：(1)写出频率分布直方图（图乙）中a 的值：记所抽取样本中甲种酸奶与乙种酸奶日销售的方差分别为21S ，22S ，试比较21S 与22S 的大小（只需写出结论）；(2)从甲种酸奶机日销量在区间(]0,20的数据样本中抽取3个，记在(]0,10内的数据个数为X ，求X 的分布列；(3)估计1200个日销售量数据中，数据在区间(]0,10中的个数.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2AB =，60BAD ∠=o .（1）求证：BD ⊥平面PAC ；（2）若PA AB =，求PB 与AC 所成角的余弦值： （3）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.20.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>过点()0,13.（1）求椭圆E 的方程； （2）设直线1:2l y x m =+与椭圆E 交于A 、C 两点，以AC 为对角线作正方形ABCD ，记直线l 与x 轴的交点为N ，问B 、N 两点间距离是否为定值？如果是，求出定值；如果不是，请说明理由.21.设函数()()2ln 11f x x ax x =-+++，()()21x g x x e ax =-+，a R ∈.（1）当1a =时，求函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程； （2）若函数()g x 有两个零点，试求a 的取值范围； （3）证明()()f x g x ≤.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44-：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cosx y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系.曲线2C 的极坐标方程为cos 4p πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程；（2）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求PQ 的最小值及此时点P 的直角坐标. 23.选修4-5：不等式选讲已知关于x 的不等式|3|||2x x m m +++≥的解集为R . （1）求m 的最大值；（2）已知0a >，0b >，0c >，且1a b c ++=,求222234a b c ++的最小值及此时a ，b ，c 的值.试卷答案一、选择题1-5:BDDDA 6-10:CCDDB 11、12：CB二、填空题13.15 14.70 15.1 16. 4，116- 三、解答题17.解：（1）()21n n S n a =+Q ，()1122n n S n a ++=+∴，()121n n a n a +=+∴，11n na a n n+=+∴， 11111n n a a a n n -==⋅⋅⋅==-∴()n a n n N *=∈∴. （2）23n n b n λ=-，()()()21213132321n n n n n b b n n n λλλ++-=-+--=⋅-+，Q 数列{}n b 为递增数列，()23210nn λ⋅-+>∴，即2321n n λ⋅<+.令2321nn c n ⋅=+，则112321631232323n n n nc n n c n n ++⋅++=⋅=>+⋅+， {}n c ∴为递增数列，12c λ<=∴，即λ的取值范围为(),2-∞.18.解（1）由图（乙）知，()100.020.030.0250.0151a ++++=解得0.01a =，2212s s >.（2）X 的所有可能取值1，2，3.则()124236115C C P X C ===，()214236325C C P X C ===，()304236135C C P X C ===， 其分布列如下：(1)由图（甲）知，甲种酸奶的数据共抽取2345620++++=个，其中有4个数据在区间(]0,10内，又因为分层抽样共抽取了1200560%=⨯个数据， 乙种酸奶的数据共抽取602040-=个，由（I ）知，乙种酸奶的日销量数据在(]0,10内的频率为0.1, 故乙种酸奶的日常销量数据在区间(]0,10内有400.14⨯=个. 故抽取的60个数据，共有448+=个数据在区间(]0,10内. 所以，在1200个数据中，在区间(]0,10内的数据有160个.19.（1）因为四边形ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA BD ⊥.又PA AC A =I ，所以BD ⊥平面PAC.（2）设AC BD O =I .因为60BAD ∠=o ,2PA AB ==.所以1BO =，3AO CO ==，如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，则()0,3,2P -，()0,3,0A -，()1,0,0B ，()3,0C 所以，()3,2PB =-u u u r ，()0,23,0AC =u u u r .设PB 与AC 所成角为θ，则6cos ||||||2223PB AC PB AC θ⋅===⨯u u u r u u u ru u u r u u u r .（3）由（2）知()3,0BC =-u u u r ，设()()0,3,0P t t ->.则()1,3,BP t =-u u u r，设平面PBC 的法向量(),y,z m x =u r ，则0,0BC m BP m ⋅=⋅=u u u r u r u u u r u r ，所以3030x y x y tz ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩，令3y =，则3x =，6z t =，所以63,m t ⎛⎫= ⎪⎝⎭u r .同理，平面PDC 的法向量63,n t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭r .因为平面PBC ⊥平面PDC ，所以0m n ⋅=u r r ，即23660t-+=，解得6t =所以6PA 20.解：（1）设椭圆的半焦距为c .因为点()0,1在椭圆E 上，所以1b =.故221a c +=.又因为c e a ==c =，2a =.所以椭圆E 的标准方程为：2214x y +=.（Ⅱ）设()11,A x y ，()22,C x y ，线段AC 中点为()00,y M x . 联立12y x m =+ 和22440x y +-=，得：222220x mx m ++-=.由()()2222422840m m m ∆=--=->，可得m <<.所以122x x m +=-，21222x x m =-. 所以AC 中点为1,2M m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭.弦长AC =又直线l 与x 轴的交点()2,0N m -，所以MN =.所以222221542BN BM MN AC MN =+=+=.所以B 、N . 21.【解析】（Ⅰ）函数()f x 的定义域是()1,+∞，()()2211x ax a f x x -+'=-.当1a =时，()2426f a '=+=，()2437f a =+=.所以函数()f x 在点()()2,2f 处的切线方程为()762y x -=-. 即65y x =-.（Ⅱ）函数()g x 的定义域为R ，由已知得()()2x g x x e a '=+. ①当0a =时，函数()()1x g x x e =-只有一个零点； ②当0a >，因为20x e a +>，当(),0x ∈-∞时，()0g x '<；当()0,x ∈+∞时，()0g x '>. 所以函数()g x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增. 又()01g =-，()1g a =，因为0x <，所以10x -<，1x e <所以()11x e x x ->-，所以()21g x ax x >+-取01142ax a--+=，显然00x <且()00g x >所以()()010g g <，()()000g x g <.由零点存在性定理及函数的单调性知，函数有两个零点.③当0a <时，由()()20x g x x e a '=+=，得0x =，或()12x n a =-. )i 当12a <-，则()120n a ->.当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.)ii 当12a =-，则()120n a -=，()g x 在(),-∞+∞单调递增，函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.若12a >-，则()120n a -≤.当x 变化时，()g x '，()g x 变化情况如下表：注意到当0x <，0a <时，()()210x g x x e ax =-+<，()01g =-，所以函数()g x 至多有一个零点，不符合题意.综上，a 的取值范围是()0,+∞.（Ⅲ）证明：()()()()1111x g x f x x e n x x -=-----.设()()()1111x h x x e n x x =-----，其定义域为()1,+∞，则证明()0h x ≥即可. 因为()111t x x x h x xe x e x x ⎛⎫=-=- ⎪--⎝⎭，取311X e -=+，则()()1310x t h x x e e =-<，且()20t h >.又因为()()()21101tt x h x x e x =++>-，所以函数()t h x 在()1,+∞上单增.所以()0t h x =有唯一的实根()01,2x ∈，且0011x e x =-. 当01x x <<时，()0t h x <；当0x x >时，()0t h x >. 所以函数()h x 的最小值为()0h x .所以()()()()00000001111110x h x h x x e n x x x x ≥=-----=+--=. 所以()()f x g x ≤.22.解：（1）1C 的普通方程为2213y x +=，2C 的直角坐标方程为60x y +-=.（2）由题意，可设点P的直角坐标为()cos αα，因为2C 是直线，所以PQ 的最小值即为P 到2C 的距离()36d παα⎛⎫==+- ⎪⎝⎭.当且仅当()23k k Z παπ=+∈时，PQ取得最小值，最小值为P 的直角坐标为13,22⎛⎫ ⎪⎝⎭. 23.解：（1）因为()()333x x m x x m m +++≥+-+=-， 当3x m -≤≤-或3m x -≤≤-时取等号， 令32m m -≥所以32m m -≥或32m m -≤-. 解得3m ≤-或1m ≤， m ∴的最大值为1.（2）1a b c ++=Q .由柯西不等式，()()22221112341234a b c a b c ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭，2221223413a b c ++≥∴，等号当且仅当234a b c ==，且1a b c ++=时成立.即当且仅当613a =，413b =，313c =时，2222342a b c ++的最小值为1213.。