数列专题1(学生)

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数列大题压轴练-高考数学重点专题冲刺演练(原卷版)

【一专三练】专题01数列大题压轴练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·云南曲靖·宣威市第七中学校考模拟预测）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，n T 为数列{}n S 的前n 项和，已知2n n S T +=．(1)求证：数列{}n S 是等比数列；(2)求数列{}n na 的前n 项和n A ．2．（2023·辽宁铁岭·校联考模拟预测）已知数列{}n a 中，11a =，214a =，且1(1)(2,3,4,)n n na n n a n a +=-=⋅⋅⋅-．(1)设*111()n n b n N a +=-∈，试用n b 表示1n b +，并求{}n b 的通项公式；(2)设*1sin 3()cos cos n n n n c N b b +=∈，求数列{}n c 的前n 项和n S ．3．（2023·湖南株洲·统考一模）数列{}n a 满足13a =，212n n n a a a +-=.(1)若21n b n a =+，求证：{}n b 是等比数列.(2)若1n nn c b =+，{}n c 的前n 项和为n T ，求满足100n T <的最大整数n .4．（2023·河北衡水·河北衡水中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足21n n n a xa ya ++=+()N n +∈，11a =，22a =，n S 为数列{}n a 前n 项和.(1)若2x =，1y =-，求n S 的通项公式；(2)若1x y ==，设n T 为n a 前n 项平方和，证明：214n n n T S S -<恒成立.5．（2023·山西朔州·怀仁市第一中学校校考二模）已知数列{}n a 满足13a =，且12,1,n n na n a a n +⎧=⎨-⎩是偶数是奇数．(1)设221n n nb a a -=+，证明：{}3n b -是等比数列；(2)设数列{}n a 的前n 项和为n S ，求使得不等式2022n S >成立的n 的最小值．6．（2022春·河北衡水·高三校联考阶段练习）已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，23a =，2132n n n a a a ++=-，数列{}n c 满足()22221232341n c c c n c n +++++= ．(1)求出{}n a ，{}n c 的通项公式；(2)设数列()()1221log 1n n c n a +⎧⎫⋅+⎪⎪⎨⎬+⎡⎤⎪⎪⎣⎦⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：516<n T ．7．（2022秋·河北衡水·高三河北衡水中学校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足36S =，2n n S n na =+，*n ∈N ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b ，{}n c ，{}n d 满足()21211n n n a b a +=+-，12121n n n n n c b b b b --= ，且2n n nc d n =⋅，求数列{}n d 的前n 项和n T ．8．（2023·广东·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且312323n S S S nS n +++⋅⋅⋅+=．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若n n b na =，且数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：当3n ≥时，()311421n n n T n +≤+--．9．（2022秋·山东青岛·高三山东省莱西市第一中学校考阶段练习）对于项数为m 的数列{}n a ，若满足：121m a a a ≤<<< ，且对任意1i j m ≤≤≤，i j a a ⋅与j i a a 中至少有一个是{}n a 中的项，则称{}n a 具有性质P ．(1)如果数列1a ，2a ，3a ，4a 具有性质P ，求证：11a =，423a a a =⋅；(2)如果数列{}n a 具有性质P ，且项数为大于等于5的奇数，试判断{}n a 是否为等比数列？并说明理由．10．（2022秋·山东青岛·高三统考期末）记数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，______.给出下列两个条件：条件①：数列{}n a 和数列{}1n S a +均为等比数列；条件②：1121222n n n n a a a na -+++⋅⋅⋅+=.试在上面的两个条件中任选一个，补充在上面的横线上，完成下列两问的解答：（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)记正项数列{}n b 的前n 项和为n T ，12b a =，23b a =，14n n n T b b +=⋅，求211(1)ni i i i b b +=⎡⎤-⎣⎦∑.11．（2022·湖北·黄冈中学校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足0n a ≠，*N n ∈.(1)若2210n n n a a ka ++=>且0n a >.（ⅰ）当{}lg n a 成等差数列时，求k 的值；（ⅱ）当2k =且11a =，4a =2a 及n a 的通项公式.(2)若21312n n n n a a a a +++=-，11a =-，20a <，[]34,8a ∈.设n S 是{}n a 的前n 项之和，求2020S 的最大值.12．（2022秋·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭（n *∈N ），数列{}n b 满足2n n n b a =．(1)求证：数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n c 满足()()131n n n n a c n λ--=-（λ为非零整数，n *∈N ），问是否存在整数λ，使得对任意n *∈N ，都有1n n c c +>．13．（2022秋·湖南衡阳·高三衡阳市一中校考期中）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，25a =，14n n n S S a +=++;{}n b 是等比数列，29b =，1330b b +=，公比1q >．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；(2)数列{}n a 和{}n b 的所有项分别构成集合A ，B ，将A B ⋃的元素按从小到大依次排列构成一个新数列{}n c ，求2012320T c c c c =++++ ．14．（2022·浙江·模拟预测）已知正项数列{}n a 满足11a =，当2n ≥时，22121n n a a n --=-，{}n a 的前n 项和为n S .(1)求数列{}n a 的通项公式及n S ；(2)数列{}n b 是等比数列，q 为数列{}n b 的公比，且13b q a ==，记21n n n nS a c b -+=，证明：122733n c c c ≤++⋅⋅⋅+<15．（2022秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12a =，132n n S S +=+，数列{}n b 满足()1122,n n n b b b n++==，其中*n ∈N .(1)分别求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)在n a 与1n a +之间插入n 个数，使这2n +个数组成一个公差为n c 的等差数列，求数列{}n n b c 的前n 项和nT 16．（2023·辽宁朝阳·校联考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为()+N 1=∈+n n S n n ，数列{}n b 满足11b =，且()1+N 2+=∈+n n n b b n b (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n b 的通项公式；(3)对于N n +∈，试比较1n b +与n a 的大小.17．（2022秋·广东深圳·高三校考阶段练习）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知{}12,32n n a a S =-是公差为2的等差数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若{}11,n n n n n a b b a a ++=的前n 项和为n T ，求证：14n T <.18．（2022秋·江苏常州·高三常州市第一中学校考阶段练习）已知正项数列{}n a满足)1,2n n a a n n -+-∈≥N ，11a =.数列{}n b 满足各项均不为0，14b =，其前n项的乘积112n n n T b -+=⋅.(1)求数列{}n a 通项公式；(2)设2log n n c b =，求数列{}n c 的通项公式；(3)记数列(){}1n n a -的前2m 项的和2m S ，求使得不等式21210m S c c c ≥+++L 成立的正整数m 的最小值.19．（2022秋·江苏宿迁·高三沭阳县建陵高级中学校考期中）已知数列{}n a 满足2123n n n a a a ++=+，112a =，232a =．(1)证明：数列{}1n n a a ++为等比数列，求{}n a 的通项公式．(2)若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()*127N 4n S n n λ⎛⎫+≥-∈ ⎪⎝⎭恒成立，求实数λ的取值范围．20．（2022秋·江苏南通·高三江苏省如东高级中学校考阶段练习）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4224,21n n S S a a ==+.数列{}n b 的前n 项和为n T ，且112n n na T ++=(1)求数列{}{},n n a b 的通项公式；(2)数列{}n c 满足cos ,,n n n a n n c b n π⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求21n i i c =∑.21．（2023秋·广东·高三校联考期末）已知数列1:A a ，2a ，…，n a ，…满足10a =，11i i a a +=+（1,2,,,i n = ），数列A 的前n 项和记为n S ．(1)写出3S 的最大值和最小值；(2)是否存在数列A ，使得20221011S =如果存在，写出此时2023a 的值；如果不存在，说明理由．22．（2023秋·山东日照·高三校联考期末）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，其前n 项和为(0)n n S S ≠，且21n n n n S a S a ++⋅=⋅.(1)若32S =，求3a 的值；(2)若1a a =，20232023a a =，求证：数列{}n a 是等差数列，并求其前n 项和.23．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）已知数列{}{},n n a b 满足222,1n n n n n a b a b +=-=.(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)记数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，证明：11121n n S n +≤-+-.24．（2023春·湖南长沙·高三湖南师大附中校考阶段练习）已知数列{}n a 各项都不为0，12a =，24a =，{}n a 的前n 项和为n S ，且满足14n n n a a S +=.(1)求{}n a 的通项公式；(2)若12311231C C C C C n n n n n n n n n nb a a a a a --=+++⋅⋅⋅++，求数列112n n n n b b b ++⎧⎫+⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .25．（2023春·江苏南京·高三校联考阶段练习）已知数列{}n a 中11a =，其前n 项和记为n S ，且满足()()1232n n S S S n S ++⋅⋅⋅+=+．(1)求数列()1n S n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的通项公式；(2)设无穷数列1b ，2b ，…n b ，…对任意自然数m 和n ，不等式1m n m n nb b b m a +--<+均成立，证明：数列{}n b 是等差数列．26．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）在如图所示的平面四边形ABCD 中，ABD △的面积是CBD △面积的两倍，又数列{}n a 满足12a =，当2n ≥时，()()1122n n n n BD a BA a BC --=++- ，记2n n n a b =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求证：2221211154n b b b +++< ．27．（2022秋·湖北·高三校联考开学考试）已知数列{}n a 满足11a =，1n a +=中*N n ∈）(1)判断并证明数列{}n a 的单调性；(2)记数列{}n a 的前n 项和为n S ，证明：20213522S <<．28．（2022秋·山东潍坊·高三统考阶段练习）定义：对于任意一个有穷数列，在其每相邻的两项间都插入这两项的和，得到的新数列称为一阶和数列，如果在一阶和数列的基础上再在其相邻的两项间插入这两项的和，得到二阶和数列，以此类推可以得到n 阶和数列，如{}2,4的一阶和数列是{}2,6,4，设n 阶和数列各项和为n S ．(1)试求数列{}2,4的二阶和数列各项和2S 与三阶和数列各项和3S ，并猜想{}n S 的通项公式（无需证明）；(2)设()()()()331321log 3log 3n n n n S n b S S +-+=-⋅-，{}n b 的前m 项和m T ，若20252m T >，求m 的最小值29．（2022秋·湖北黄冈·高三统考阶段练习）已知数列{}1,1,n n a a S =为数列{}n a 的前n 项和，且1(2)3n n S n a =+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求证：sin 0n n a a -<；(3)证明：212311111sin 1sin 1sin 1sin e n a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++< ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ．30．（2023·浙江温州·统考二模）设n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，满足222n n n S a a =+-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若不等式214na n a t ⎛⎫+ ⎪+⎝≥⎭对任意正整数n 都成立，求实数t 的取值范围；（3）设3ln(1)4n a n n b e +=（其中e 是自然对数的底数），求证：123426n n b b b b b b ++++<….。

高三一轮复习数列专题

欢迎阅读数列专题复习第一节等差数列n n n －1122080，则x 5＋x 16＝________.7.数列中，若11a =，1223(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = . 8.（2013年重庆）若2、a 、b 、c 、9成等差数列,则c a -=____________. 9．（2013年上海）在等差数列{}n a 中,若123430a a a a +++=,则23a a +=____.}{n a10.（2013年大纲）等差数列{}n a 中,71994,2,a a a == 则该数列的通项n a = .11.（2015陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________。

12.若lg2，lg(2x －1)，lg(2x+3)成等差数列，则x 等于________考点二等差数列的性质11a 19a +=________.3. 在等差数列n 中，若25，求数列32}n -的前n 项和n 。

考点三等差数列的前n 项和公式公式1：1()2n n n a a S +=公式2：1(1)2n n n d S na -=+ 变形：1.（2015高考新课标）已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（） A.172 B.192C.10D.12 2.(2015高考安徽)已知数列}{n a 中，11=a ，211+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9, A. 18 B. 24 C. 60 D. 909.在等差数列中，2238380,29n a a a a a <++=，那么10S 等于_______.考点四等差数列的前n 项和的性质性质1：设S n 是公差为d 等差数列{a n }的前n 项和，则数列232,,,m m m m m S S S S S --构成公差为__________的等差数列．1．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若369,36S S ==则789a a a ++={}n aA.18B.27C.36D.452.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4S 8＝13，则S 8S 16＝( )A.18B.13C.19D.3103．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若S 1＝1，S 4S 2＝4，则S 6S 4的值为( )}n2.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则n S = ________． 3．已知等差数列{a n }的前三项为1,4,2a a -，记前n 项和为S n ，（1）若420k S =，求a 和k 的值。

高考数学专题知识点系列复习训练题及答案解析(珍藏版)：01数列真题汇编与预赛典型例题

专题01数列真题汇编与预赛典型例题1．【2018年全国联赛】设整数数列满足，且，则这样的数列的个数为.2．【2017年全国联赛】设两个严格递增的正整数数列满足,对任意正整数n,有。

则的所有可能值为___________。

3．【2016年全国联赛】设为1，2，…，100中的四个互不相同的数，满足.则这样的有序数组的个数为________. 4．【2014年全国联赛】已知数列满足.则___________. 5．【2013年全国联赛】已知数列共有九项，其中，，且对每个，均有.则这样的数列的个数为______.6．【2011年全国联赛】已知.则数列中整数项的个数为______. 7．【2010年全国联赛】已知是公差不为0的等差数列，是等比数列，其中，，且存在常数使得对每一个正整数都有.则________.8．【2019年全国联赛】设整数满足.记.求f的最小值.并确定使f=f0成立的数组的个数.9．【2018年全国联赛】已知实数列满足：对任意正整数n，有，其中S n表示数列的前n项和，证明：（1）对任意正整数n，有；（2）对任意正整数n，有.10．【2018年全国联赛】数列定义如下：a1是任意正整数，对整数n≥1，a n+1是与互素，且不等于的最小正整数.证明：每个正整数均在数列中出现.11．【2017年全国联赛】设数列定义为求满足的正整数r的个数。

12．【2016年全国联赛】设p与p + 2均为素数，p > 3.定义数列，其中，表示不小于实数x的最小整数.证明对，均有.13．【2014年全国联赛】已知数列满足.求正整数m使得.14．【2013年全国联赛】给定正数数列满足，，其中，.证明：存在常数，使得.15．【2013年全国联赛】给定正整数.数列定义如下：，对整数，.记.证明：数列中有无穷多项是完全平方数.16．【2012年全国联赛】已知数列的各项均为非零实数，且对于任意的正整数都有.(1)当时，求所有满足条件的三项组成的数列.(2)是否存在满足条件的无穷数列，使得若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由.17．【2011年全国联赛】已知数列满足：，.（1）求数列的通项公式；（2）若，试比较与的大小. 18．【2011年全国联赛】证明：对任意整数，存在一个次多项式具体如下性质：（1）均为正整数；（2）对任意的正整数及任意个互不相同的正整数，均有.19．【2011年全国联赛】设是给定的正实数，.对任意正实数，满足的三元数组的个数记为.证明：.20．【2010年全国联赛】证明：方程恰有一个实数根，且存在唯一的严格递增正整数数列，使得.21．【2010年全国联赛】给定整数，设正实数满足，记.求证：.22．【2009年全国联赛】已知是实数，方程有两个实根，数列满足）．（1）求数列的通项公式（用表示）；（2）若，求的前项和．{}n a ()123,1a t t R t =-∈≠±()()()112321121n n n n n n t a t t a n N a t +++-+--=∈+-{}n a 0t >1n a +n a23．【2009年全国联赛】在非负数构成的数表中，每行的数互不相同，前六列中每列的三数之和为1，均大于1．如果的前三列构成的数表满足下面的性质：对于数表中的任意一列）均存在某个使得．①求证：（1）最小值）一定去自数表的不同列；（2）存在数表中唯一的一列）使得数表仍然具有性质（）．1．【2018年湖南预赛】如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫.设是第n次挖去的小三角形面积之和（如是第1次挖去的中间小三角形面积，是第2次挖去的三个小三角形面积之和），则前n次挖去的所有小三角形面积之和的值为____________________.2．【2016年吉林预赛】在公差不为0的等差数列中，，且成等比数列．则数列的通项公式为________.3．【2016年上海预赛】数列定义如下:，则____ _______。

2020届高三(文理)数学一轮复习《等比数列及前n项和》专题测试(学生版)

《等比数列及其前n 项和》专题题型一等比数列基本量的运算 1、在等比数列{a n }中，如果a 1＋a 4＝18，a 2＋a 3＝12，那么这个数列的公比为2、已知S n 是各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和，若a 2·a 4＝16，S 3＝7，则a 8＝3、在等比数列{a n }中，a 1＝2，公比q ＝2，若a m ＝a 1a 2a 3a 4(m ∈N ＋)，则m ＝4、在等比数列{a n }中，已知a 3＝6，a 3＋a 5＋a 7＝78，则a 5＝5、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ，S n 为{a n }的前n 项和．若S n ＝126，则n ＝________．6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝a 2＋10a 1，a 5＝9，则a 1＝7、设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝8、在9与243中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列，则这两个数为9、设{a n }是公比为正数的等比数列，S n 为{a n }的前n 项和，若a 1＝1，a 5＝16，则数列{a n }的前7项和为10、已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 5·a 7＝4a 24，a 2＝1，则a 1＝11、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列，若a 1＝1，则S 4＝12、已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝13、在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于________．14、在各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 2＝1，a 8＝a 6＋2a 4，则a 6的值是________．15、已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2等于 16、等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n ，已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________． 17、若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝m ·5n ＋1，则实数m ＝________．18、已知各项均为正数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝3S 2，a 3＝2，则a 7＝________.19、已知等比数列{a n }满足a 1＝1，a 3a 7＝16，则该数列的公比为20、已知递增的等比数列{a n }中，a 2＝6，a 1＋1，a 2＋2，a 3成等差数列，则该数列的前6项和S 6等于21、已知等比数列{a n }的公比为－2，且S n 为其前n 项和，则S 4S 2等于22、数列{a n }中，已知对任意n ∈N ＋，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n等于23、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2 018，a 2＋a 4＝－2a 3，则S 2 019＝________.24、已知各项均为正数的等比数列{a n }满足a 1＝12，且a 2a 8＝2a 5＋3，则a 9＝________. 25、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3a 11＝2a 25，且S 4＋S 12＝λS 8，则λ＝________.26、等比数列{a n }中，a 1＝1，a 5＝4a 3.(1)求{a n }的通项公式；(2)记S n 为{a n }的前n 项和，若S m ＝63，求m .题型二等比数列的性质类型一等比数列项的性质1、已知各项不为0的等差数列{a n }满足a 6－a 27＋a 8＝0，数列{b n }是等比数列，且b 7＝a 7，则b 2b 8b 11＝2、在正项等比数列{a n }中，已知a 1a 2a 3＝4，a 4a 5a 6＝12，a n －1a n a n ＋1＝324，则n 等于3、等比数列{a n }各项均为正数，a 3a 8＋a 4a 7＝18，则1＋2＋…＋10＝ _____4、已知数列{a n }为等比数列，若a 4＋a 6＝10，则a 7(a 1＋2a 3)＋a 3a 9的值为5、等比数列{a n }的各项均为正数，且a 10a 11＋a 9a 12＝2e 5，则ln a 1＋ln a 2＋…＋ln a 20＝________.6、等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＞0，q ＞1，a 3＋a 5＝20，a 2a 6＝64，则S 5＝________.7、在等比数列{a n }中，a 3，a 15是方程x 2＋6x ＋2＝0的根，则a 2a 16a 9的值为 8、已知数列{a n }是递增的等比数列，a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9、递增的等比数列{a n }中，已知a 1＋a n ＝34，a 3·a n －2＝64，前n 项和S n ＝42，则n 等于类型二等比数列前n 项和的性质1、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6＝ 2、设各项都是正数的等比数列{a n }，S n 为前n 项和，且S 10＝10，S 30＝70，那么S 40等于3、设S n 是等比数列{a n }的前n 项和，若S 4S 2＝3，则S 6S 4＝________． 4、已知数列{a n }是等比数列，S n 为其前n 项和，若a 1＋a 2＋a 3＝4，a 4＋a 5＋a 6＝8，则S 12等于5、设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝－1，S 4＝－5，则S 6等于6、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3S 6＝89，则a n ＋1a n －a n －1＝________(n ≥2，且n ∈N). 题型三等比数列的判定与证明1、已知数列{a n }满足对任意的正整数n ，均有a n ＋1＝5a n －2·3n ，且a 1＝8.(1)证明：数列{a n －3n }为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝a n 3n ，求数列{b n }的前n 项和T n .2、设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝1，S n ＋1＝4a n ＋2.设b n ＝a n ＋1－2a n ，证明：数列{b n }是等比数列；3、已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝a n ＋a n ＋12，n ∈N ＋. (1)令b n ＝a n ＋1－a n ，证明：{b n }是等比数列；(2)求数列{a n }的通项公式.题型四等差、等比数列的综合问题1、在等比数列{a n }中，a 2＝3，a 5＝81.(1)求a n ；(2)设b n ＝log 3a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .2、设数列{a n }(n ＝1,2,3，…)的前n 项和S n 满足S n ＝2a n －a 1，且a 1，a 2＋1，a 3成等差数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，求使得|T n －1|＜11 000成立的n 的最小值．3、在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝n ＋12n a n(n ∈N ＋)． (1)证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n 4n －a n，若数列{b n }的前n 项和是T n ，求证：T n <2．。

专题：数列试题1[学生版]

专题数列第1讲数列的基本概念1．已知数列{a n }对任意的p ，q ∈N *满足a p ＋q ＝a p ＋a q ，且a 2＝－6，那么a 10等于( )A ．－165B ．－33C ．－30D ．－212．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝n 2＋2n －1，则( ) A ．a n ＝2n ＋1(n ∈N *) B ．a n ＝2n －1(n ∈N *)C ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2，(n ＝1)，2n ＋1，(n ≥2，n ∈N *) D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，(n ＝1)，2n －1，(n ≥2，n ∈N *) 3．在数列{a n }中，已知a 1＝1，且当n ≥2时，a 1a 2…a n ＝n 2，则a 3＋a 5等于( ) A.73 B.6116 C.3115 D.1144．(2010年安徽)设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．645．(2011年江西)已知数列(a n )的前n 项和S n 满足：S n ＋S m ＝S n ＋m ，且a 1＝1，那么a 10＝( )A ．1B ．9C ．10D ．556．已知数列{a n }满足：a 4n －3＝1，a 4n －1＝0，a 2n ＝a n ，n ∈N *，则a 2 009＝________，a 2014＝________.7．我们可以利用数列{a n }的递推公式a n ＝2,n n n a n ⎧⎪⎨⎪⎩，为奇数时，为偶数时，(n ∈N *)求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数．则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．8．(2011年浙江)若数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n (n ＋4)(23)n 中的最大项是第k 项，则k ＝__________.9．(2011年广东广州)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1)，求{a n }的通项公式．第2讲等差数列1．(2011年重庆)在等差数列{a n}中，a2＝2，a3＝4，则a10＝()A．12 B．14 C．16 D．182．(2011届广东汕头)在等差数列{a n}中，a2＋a12＝32，则2a3＋a15的值是()A．24 B．48 C．96 D．无法确定3．(2011年广东湛江测试)等差数列{a n}前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝()A．3 B．6 C．17 D．514．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＋a7＋a13是一确定的常数，下列各式：①a21；②a7；③S13；④S14；⑤S8－S5.其结果为确定常数的是()A．②③⑤ B．①②⑤ C．②③④ D．③④⑤5．(2010年福建)设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当S n 取最小值时，n等于()A．6 B．7 C．8 D．96．(2011年全国)设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，S k＋2－S k＝24，则k＝()A．8 B．7 C．6 D．57．等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n，T n.若S nT n＝7n＋14n＋27(n∈N*)，则a7b7＝________.8．(2011年辽宁)S n为等差数列{a n}的前n项和，S2＝S6，a4＝1，则a5＝______.9．(2011年福建)已知等差数列{a n}中，a1＝1，a3＝－3.(1)求数列{a n}的通项公式；(2)若数列{a n}的前k项和S k＝－35，求k的值．10．已知S n为等差数列{a n}的前n项和，S n＝12n－n2.求数列的通项公式。

数列专题练习

数列（专题练习）（一）等差数列1.设等差数列{a n }的前n 项和是S n ，公差d 不等于零．若a 1，a 2，a 5成等比数列，则（）A ．a 1d ＞0，dS 3＞0B ．a 1d ＞0，dS 3＜0C ．a 1d ＜0，dS 3＞0D ．a 1d ＜0，dS 3＜0 2.记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6=16，S 5=35，则{a n }的公差为（）A ．-3B ．-2C ．3D ．2 3.已知数列{a n }满足2a n+1=a n +a n+2．若a 7+a 5=12，且a 7=7，则a 8=（）A ．6B ．12C ．10D ．84.我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲、乙、丙三人来分，他们分得的白米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为（）A ．96石B ．78石C ．60石D ．42石 5.在a ，b 中插入n 个数，使它们和a 、b 组成等差数列a ，a 1，a 2，…a n ，b ，则a 1+a 2+…+a n =（） A ．n （a+b ） B ．2b a n ）（+ C ．2b a 1n ））（（++ D ．2b a 2n ））（（++ 6.在等差数列{a n }中，a 1011=5，a 1+2a 4=9则a 2019=（）A ．9B ．8C ．7D ．6 7.数列{a n }满足a n +a n+2＝2a n+1(n∈N*)，且a 1+a 2+a 3=9，a 4=8，则a 5=（） A ．221 B ．9 C ．217D ．7 8.已知等差数列{a n }的公差为d ，若b n ＝2an ，且b 1+b 3=17，b 2+b 4=68，则d=（）A ．1B ．2C ．3D ．49.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，首项a 1＞0，公差d ＜0，a 10•S 21＜0，则S n 最大时，n 的值为（） A ．11 B ．10 C ．9 D ．810.已知数列{a n }、{b m }的通项公式分别为a n =4n -2（1≤n≤100，n∈N *），b m =6m -4（m∈N*），由这两个数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新的数列，求新数列的各项和（）A ．6788B ．6800C ．6812D ．6824 11.已知函数f （x ）（x∈R ）满足f （2-x ）=2-f （x ），若函数y=1-x 1x +与y=f （x ）图象的交点为（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x m ，y m ），则∑=+m1i i i y x ）（=（）A ．0B ．mC ．2mD ．4m 12.等差数列a 1，a 2…，a n (n∈N *)，满足|a 1|+|a 2|+…+|a n |=|a 1+1|+|a 2+1|+…+|a n +1|=|a 1+2|+|a 2+2|+…+|a n +2|=|a 1+3|+|a 2+3|+…+|a n +3|=2010，则（） A ．n 的最大值是50 B ．n 的最小值是50 C ．n 的最大值是51 D ．n 的最小值是5113.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=-3，S 5=-10，则a 5=__________，S n 的最小值为__________． 14.已知数列{a n }与{na 2n }均为等差数列（n∈N*），且a 1=1，则a 10=__________．15.若数列{a n }满足a 1=2，a n+1=a n -2，则a 2019=__________．16.等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若1n 22-n 3n n +=T S ，则99b a=__________．17.设{a n }是等差数列，a 1=-10，且a 2+10，a 3+8，a 4+6成等比数列．（1）求{a n }的通项公式；（2）记{a n }的前n 项和为S n ，求S n 的最小值．18.在等差数列{a n }中，已知a 1+a 3=12，a 2+a 4=18，n∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）求a 3+a 6+a 9+…+a 3n ．19.等差数列{a n }中，公差d ＜0，a 2+a 6=-8，a 3a 5=7．（1）求{a n }的通项公式；（2）记T n 为数列{b n }前n 项的和，其中b n =|a n |，n∈N *，若T n ≥1464，求n 的最小值．20.在等差数列{a n }中，a 15+a 16+a 17=-45，a 9=-36，S n 为其前n 项和．（1）求S n 的最小值，并求出相应的n 值；（2）求T n =|a 1|+|a 2|+…+|a n |．21.设{a n }为递增等差数列，S n 为其前n 项和，满足a 1a 3-a 5=S 10，S 11=33．（1）求数列{a n }的通项公式a n 及前n 项和S n ；（2）试求所有的正整数m ，使2m 3m 1m a aa +++为正整数．22.数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1=1，a n+1=2S n +1（n≥1）．（1）求a 2，a 3；（2）求数列{a n }的通项公式；（3）等差数列{b n }的前n 项和T n 有最大值，且T 3=15，又a 1+b 1，a 2+b 2，a 3+b 3成等比数列，求T n ．（二）等比数列1.在等比数列{a n }中，a 4、a 12是方程x 2+3x+1=0的两根，则a 8=（）A ．1B ．-1C ．±1D ．±32.已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 1008a 1011+a 1009a 1010=8，则log 2a 1+log 2a 2+…+log 2a 2018等于（） A ．2016 B ．2017 C ．2018 D ．20193.正项等比数列{a n }中，存在两项a m ，a n ，使得n m a a ＝1a 3，且a 7=a 6+6a 5，则n4m 1+的最小值是（） A ．3 B ．23 C ．625 D ．37 4.若a ，b 是方程x 2-px+q=0（p ＜0，q ＞0）的两个根，且a ，b ，2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p+q 的值为（）A ．-4B ．-3C ．-2D ．-1 5.已知数列{a n }是公比为2的正项等比数列，若a m ，a n 满足2a n ＜a m ＜1024a n ，则（m -1）2+n 的最小值为（） A ．3 B ．5 C ．6 D ．10 6.已知各项为正的等比数列{a n }，其公比为q ，且对任意n∈N *有a n+2=a n+1+2a n ，则q=（） A ．2 B ．23C ．2D ．1 7.设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列等式中一定成立的是（）A ．S n +S 2n =S 3nB ．S 22n =S n S 3nC ．S 22n =S n +S 2n -S 3nD ．S 2n +S 22n =S n （S 2n +S 3n ）8.《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长三尺，莞生一日，长1尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？意思是：今有蒲第一天长高3尺，莞第一天长高1尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的2倍．若蒲、莞长度相等，则所需时间为（）（结果精确到0.1．参考数据：lg2=0.3010，lg3=0.4771．）A ．2.2天B ．2.4天C ．2.6天D ．2.8天 9.一个放射性物质不断衰变为其他物质，每经过一年就有43的质量发生衰变．若该物质余下质量不超过原有的1%，则至少需要的年数是（）A ．6B ．5C ．4D ．3 10.设{a n }为等比数列，给出四个数列：∈{2a n }；∈{a n2}；∈{2a n }；∈{log 2|a n |}，一定为等比数列的是（） A ．∈∈ B ．∈∈ C ．∈∈ D ．∈∈11.记S n 为数列{a n }的前n 项和；已知{a n }和{S n -k}（k 为常数）均为等比数到，则k 的值可能为（） A ．a 1 B ．a 2 C ．a 3 D ．a 1+a 3 12.若存在等比数列{a n }，使得a 1（a 2+a 3）=6a 1-9，则公比q 的最大值为（）A ．451+ B ．251+ C ．451-+ D ．251-+ 13.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列结论中一定成立的（）A ．若a 5＞0，则S 2019＜0B ．若a 5＞0，则S 2019＞0C ．若a 6＞0，则S 2018＜0D ．若a 6＞0，则S 2018＞014.已知无穷等比数列{a n }满足：对任意的n∈N *，sin a n =1，则数列{a n }公比q 的取值集合为__________．15.已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ．若S 9=S 3+2S 6，则S 6+31S 取得最小值时，S 9的值为__________．16.设S n 是等比数列{a n }的前n 项的和，若63a a ＝−21，则63S S =__________． 17.设无穷等比数列{a n }的公比为q ，若{a n }的各项和等于q ，则首项a 1的取值范围是__________．18.已知单调递增的等比数列{a n }满足：a 2+a 3+a 4=28，且a 3+2是a 2，a 4的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =a n log 21a n ，S n =b 1+b 2+b 3+…+b n ，对任意正整数n ，S n +（n+m ）a n+1＜0恒成立，试求m 的取值范围．19.设数列{a n }的首项a 1为常数，且a n+1=3n -2a n （n∈N *）．（1）判断数列{a n −53n}是否为等比数列，请说明理由；（2）S n 是数列{a n }的前n 项的和，若{S n }是递增数列，求a 1的取值范围．20.已知数列{a n }的前n 项和S n =n （n+1）+2，其中n∈N *．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若a 2，a k+2，a 3k+2（k∈N *）为等比数列{b n }的前三项，求数列{b n }的通项公式．21.已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n −a n ＝2n +1，且S n +T n ＝2n+1+n 2−2．（1）求T n -S n ；（2）求数列{nn2b }的前n 项和R n ．22.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n =2a n -n ，（n∈N *）（1）证明：{a n +1}是等比数列；并求数列{a n }的通项公式；（2）若b n =（2n+1）a n +2n+1，求数列{b n }的前n 项和为T n ；（3）若c n =3n +（-1）n -1λ•（a n +1）（λ为非零常数，n∈N *），问是否存在整数λ，使得对任意n∈N *，都有c n+1＞c n ？专题（三）数列的递推式1.设a ，b∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n+1=a n 2+b ，n∈N *，则（） A ．当b=21时，a 10＞10 B ．当b=41时，a 10＞10 C ．当b=-2时，a 10＞10 D ．当b=-4时，a 10＞102.在数列{a n }中，a 1=-41，a n =1-1-a 1n （n ＞1），则a 2019的值为（） A ．41-B ．54C ．5D ．以上都不对 3.在数列{a n }中，已知a 1=1，a n+1-a n =2n ，则a n =（）A ．2n -1B ．2n -1C ．2n+1-3D ．2n+1-1 4.已知数列{a n }满足a 1＝21，a n+1＝a n +nn 12+，则a n =（） A ．n 1-23 B ．2-1n 3+ C ．1−1n 1+ D ．n123+5.已知等比数列{a n }满足：a 1=4，S n =pa n+1+m （p ＞0），则p −m 1取最小值时，数列{a n }的通项公式为（）A ．a n =4•3n -1B ．a n =3•4n -1C ．a n =2n+1D ．a n =4n 6.数列{a n }满足a n+2=a n+1+2a n ，且a 1=1，a 2=2，则a 6=（）A ．24B ．25C ．26D ．277.已知数列{a n }满足（n+1）a n =na n+1，a 2=4，等比数列{b n }满足b 1=a 1，b 2=a 2，则{b n }的前6项和为（） A ．-63 B ．-126 C ．63 D ．126 8.各项均正的数列{a n }满足a 1=4，a n+1＝2a n +2n+1，则a n 等于（）A ．n •2n -1B ．（n+1）•2nC ．n •2n+1D ．（n -1）•2n 9.已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n+1=S n +a n +1，a 2+a 6=10，则S 7=（）A ．20B ．25C ．30D ．35 10.已知数列{a n }满足2a n ≤a n -1+a n+1（n ∈N *，n ≥2），则（）A ．a 5≤4a 2-3a 1B ．a 2+a 7≤a 3+a 6C ．3（a 7-a 6）≥a 6-a 3D ．a 2+a 3≥a 6+a 711.设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=2，a n +a n+1=2n （n ∈N *），则S 13=（）A ．34213-B ．32213+C ．34214-D ．32214+12.若数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a 2=2，（S n +1）（S n+2+1）=（S n+1+1）2，则S n =（）A ．21n n ）（+ B ．2n+1 C ．2n -1 D ．2n+1+1专题（四）数列与三角、向量综合1.在平面四边形ABCD 中，∈ACD 面积是∈ABC 面积的2倍，数列{a n }满足a 1=3，且CA =（a n+1-3）CB +（a n -2）CD ，则a 5=（）A ．31B ．33C ．63D ．652.已知数列{a n }为等差数列，且满足OA =a 1OB +a 2107OC ，若AB =λAC （λ∈R ），点O 为直线BC 外一点，则a 1009=（）A ．3B ．2C ．1D ．21 3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设A （a 1009，1），B （2，-1），C （2，2）为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若向量OA 与OB 在向量OC 方向上的投影相同，则S 2017为（） A ．-2016 B ．-2017 C ．2017 D ．04.如图，已知点E 为平行四边形ABCD 的边AB 上一点，AE =2EB ，F n （n ∈N *）为边DC 上的一列点，连接AF n 交BD 于G n ，点G n （n ∈N *）满足D G n =31a n+1A G n -（3a n +2）E G n ，其中数列{a n }是首项为1的正项数列，则a 4的值为（）A ．45B ．51C ．53D ．615.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB =a 7OA +a 2006OC ，且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 2012等于（）A ．1006B ．2012C ．22012D ．2-2012 6.设a k ＝(cos6πk ，sin 6πk +cos 6πk )，k∈Z ，则a 2015 • a 2016 =（） A ．3 B ．213-C ．132-D ．2 7.在等差数列{a n }中，a n ≠0（n ∈N *）．角α顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点（a 2，a 1+a 3），则ααααcos sin cos 2sin -+=（）A ．5B ．4C ．3D ．28.已知函数f （x ）=sin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜2π）的部分图象如图，则∑=20191n 6n ）（πf =（）A ．-1B ．21C ．0D ．19.设等差数列{a n }满足）（）（）（65247274sin cos sin cos sin a a a a a a +-=1，公差d∈（-1，0），则d=（）A ．-4π B ．-5π C ．-6π D ．-7π10.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A （3，1），B （-1，3）若点C 满足OC ＝a 1OA +a 2012OB ，其中{a n }为等差数列，且a 1006+a 1007=1，则点C 的轨迹方程为（）A ．3x+2y -11=0B ．（x -1）2+（y -2）2=5C ．2x -y=0D ．x+2y -5=011.将向量a 1=（x 1，y 1），a 2=（x 2，y 2），…a n =（x n ，y n ）组成的系列称为向量列{a n }，并定义向量列{a n }的前n 项和S n ＝a 1+a 2+…+a n ．如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都等于同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列．若向量列{a n }是等差向量列，那么下述四个向量中，与S 21一定平行的向量是（）A ．a 10B ．a 11C ．a 20D ．a 21 12.设函数f （x ）=2x -cosx ，{a n }是公差为8π的等差数列，f （a 1）+f （a 2）+…+f （a 5）=5π，则[f(a 3)]2−a 2a 3=（）A ．0B ．161π2 C ．81π2 D ．1613π2 13.已知A ，B ，C 为∈ABC 的三个内角，向量m 满足|m |＝26，且m ＝(2sin 2C B +，cos 2CB -)，若A 最大时，动点P 使得|PB |，|BC |，|PC |||BC PA 的最大值是__________．14.已知点集L ＝{(x ，y)|y ＝m •n }，其中m ＝(x−2b ，2)，n ＝(1，b+1)，点P n （a n ，b n ）∈L ，P 1=L∩{（x ，y ）|x=1}，且a n+1-a n =1，则数列{b n }的通项公式为__________．15.已知向量a ，b 满足a =（-2sinx ，3（cosx+sinx ）），b=（cosx ，cosx -sinx ），函数f （x ）=a •b （x∈R ）．（1）求f （x ）的单调区间；（2）已知数列a n ＝n 2f(24112n ππ-)(n∈N *)，求{a n }前2n 项和为S 2n ．16.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a -b sin -sin 3C B =csin +sin BA ．（1）求角A 的大小；（2）若等差数列{a n }的公差不为零，a 1sinA=1，且a 2，a 4，a 8成等比数列；若b n =1n n a a 1+，求数列{b n }的前n 项和S n ．专题（五）数列求和1.已知数列{a n }满足：a n ≠1，a n+1=2-n a 1（n∈N *），数列{b n }中，b n =1a 1n -，且b 1，b 2，b 4成等比数列；（1）求证：{b n }是等差数列；（2）S n 是数列{b n }的前n 项和，求数列{n1S }的前n 项和T n ．2.在数列{a n }中，a 1＝23，a n+1＝4a n −））（（2n 1n n 8n 3+++(n ∈N *)．（1）设b n ＝a n −）（1n n 1+，求证：数列{b n }是等比数列；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ．3.已知正项数列{a n }的前n 和为S n ，且2a 1S n ＝a n 2+a n ．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）若b n ＝(31)n •a n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．4.设{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列（d ≠0），S n 是前n 项和．记b n =cn n 2n+S ，n ∈N *，其中c 为实数．（1）若数列{c n }满足c n =nnS ，证明：数列{c n }等差数列；（2）若c=0，且b 1，b 2，b 4成等比数列，证明：S nk =n 2S k （k ，n ∈N *）；（3）若{b n }是等差数列，证明：c=0．。

人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2-专题1 数列通项的求法

【讲评】已知 an ＋ 1 ＝ g(n)·an ，通常利用 an ＝ aan－n 1·aann－－12·…·aa21·a1，求出通项 an.
探究 2 累乘法就是利用以下变形来求通项 an 的方法，an＝ a1·aa12·aa32·…·aan－n 1.
例如，在等比数列{an}中，由于aa12＝aa32＝aa43＝…＝aan－n 1＝q，所以对 n≥2 且 n∈N*，有 an＝a1·aa21·aa32·…·aan－n1＝a1·q·q·…·q ＝a1qn－1，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝a1qn－1(n∈N*)．
(1)设 bn＝an＋1－2an(n∈N*)，求证：{bn}是等比数列； (2)设 cn＝2ann(n∈N*)，求证：{cn}是等差数列； (3)求数列{an}的通项公式及前 n 项和公式．
【解析】 (1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，① ∴Sn＋2＝4an＋1＋2.② ②－①式，得 Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n∈N*)，即 an＋2＝4an＋1 －4an. an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)． ∵bn＝an＋1－2an(n∈N*)，∴bn＋1＝2bn. 由此可知，数列{bn}是公比为 2 的等比数列．由 S2＝a1＋a2＝4a1＋2，又 a1＝1，得 a2＝5. ∴b1＝a2－2a1＝3，∴bn＝3·2n－1.
专题研究一数列通项的求法
专题讲解
题型一累加法
例 1 在数列{an}中，已知 a1＝1，an＋1＝an＋2n，求 an. 【解析】 ∵a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2×(n －1)(n≥2 且 n∈N*)， ∴an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1) ＝1＋(2×1)＋(2×2)＋…＋[2×(n－1)] ＝1＋2(1＋2＋…＋n－1) ＝1＋2·（n－21）·n＝n2－n＋1(n≥2 且 n∈N*)，把 n＝1 代入上式也成立，故 an＝n2－n＋1(n∈N*)．

(完整版)高中数学数列专题复习

高中数学数列专题目录高中数学数列专题 (2)第1讲数列的概念及其表示 (2)第2讲等差数列及前n项和 (17)第3讲等比数列及前n项和 (32)第4讲数列求和、数列的综合应用 (47)第四年末的住房面积为 (67)第五年末的住房面积为 (67)高中数学数列专题第1讲数列的概念及其表示考点一数列的概念及其表示方法知识点1数列的定义(1)按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为这个数列的第一项，也叫首项．(2)数列与函数的关系从函数观点看，数列可以看成：以正整数集N*或N*的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．2数列的表示方法列表法列表格表达n与a n的对应关系图象法把点(n，a n)画在平面直角坐标系中公式法通项公式把数列的通项用公式表达的方法递推公式使用初始值a1和a n＋1＝f(a n)或a1，a2和a n＋1＝f(a n，a n－1)等表达数列的方法3数列的分类分类原则类型满足条件按项数分类有穷数列项数有限无穷数列项数无限按项与项间的大小关系分类递增数列a n＋1>a n其中n∈N*递减数列a n＋1<a n常数列a n＋1＝a n摆动数列从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项注意点数列图象是一些孤立的点数列作为一种特殊的函数，由于它的定义域为正整数集N*或它的有限子集，所以它的图象是一系列孤立的点.入门测1．思维辨析(1)数列{a n}和集合{a1，a2，a3，…，a n}表达的意义相同．()(2)所有数列的第n项都能使用公式表达．()(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．()(4)数列：1,0,1,0,1,0，…，通项公式只能是a n＝1＋(－1)n＋12.()答案(1)×(2)×(3)√(4)×2．数列13，18，115，124，…的一个通项公式为()A．a n＝12n＋1B．a n＝1n＋2C．a n＝1n(n＋2)D．a n＝12n－1答案 C解析观察知a n＝1(n＋1)2－1＝1n(n＋2).3．若数列{a n}中，a1＝3，a n＋a n－1＝4(n≥2)，则a2015的值为()A．1 B．2C．3 D．4答案 C解析因为a1＝3，a n＋a n－1＝4(n≥2)，所以a1＝3，a2＝1，a3＝3，a4＝1，…，显然当n是奇数时，a n＝3，所以a2015＝3.解题法[考法综述]利用归纳法求数列的通项公式，或给出递推关系式求数列中的项，并研究数列的简单性质．命题法数列的概念和表示方法及单调性的判断典例(1)已知数列{a n}的通项公式为a n＝n2－2λn(n∈N*)，则“λ<1”是“数列{a n}为递增数列”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)写出下面各数列的一个通项公式：①3,5,7,9，…；②1,3,6,10,15，…；③－1，32，－13，34，－15，36，…；④3,33,333,3333，….[解析](1)若数列{a n}为递增数列，则有a n＋1－a n>0，即2n＋1>2λ对任意的n∈N*都成立，于是有3>2λ，λ<32.由λ<1可得λ<32，但反过来，由λ<32不能得到λ<1，因此“λ<1”是“数列{a n }为递增数列”的充分不必要条件，故选A.(2)①各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1. ②将数列改写为1×22，2×32，3×42，4×52，5×62，…因而有a n ＝n (n ＋1)2，也可逐差法a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，…，a n －a n －1＝n ，各式累加得a n ＝n (n ＋1)2.③奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含因子(－1)n ；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn.④将数列各项改写为93，993，9993，99993，…，分母都是3，而分子分别是10－1,102－1,103－1,104－1，…，所以a n ＝13(10n －1)．[答案] (1)A (2)见解析【解题法】归纳法求通项公式及数列单调性的判断(1)求数列的通项公式实际上是寻找数列的第n 项与序号n 之间的关系，常用技巧有：①借助于(－1)n 或(－1)n ＋1来解决项的符号问题．②项为分数的数列，可进行恰当的变形，寻找分子、分母各自的规律以及分子、分母间的关系．③对较复杂的数列的通项公式的探求，可采用添项、还原、分割等方法，转化为熟知的数列，如等差数列、等比数列等来解决．④根据图形特征写出数列的通项公式，首先，要观察图形，寻找相邻的两个图形之间的变化；其次，要把这些变化同图形的序号联系起来，发现其中的规律；最后，归纳猜想出通项公式．(2)数列单调性的判断方法①作差比较法：a n ＋1－a n >0⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1－a n <0⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1－a n ＝0⇔数列{a n }是常数列．②作商比较法：当a n >0时，则a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n<1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．当a n <0时，则a n ＋1a n >1⇔数列{a n }是单调递减数列；a n ＋1a n <1⇔数列{a n }是单调递增数列；a n ＋1a n＝1⇔数列{a n }是常数列．③结合相应函数的图象直观判断数列的单调性．对点练1．设等差数列{a n }的公差为d ，若数列{2a 1a n }为递减数列，则( ) A ．d <0 B ．d >0 C ．a 1d <0 D ．a 1d >0答案 C解析 ∵数列{2a 1a n }为递减数列，∴2 a 1a n >2 a 1a n ＋1，n ∈N *，∴a 1a n >a 1a n ＋1，∴a 1(a n ＋1－a n )<0.∵{a n }为公差为d 的等差数列，∴a 1d <0.故选C.2．下列可以作为数列{a n }：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A ．a n ＝1B ．a n ＝(－1)n ＋12C ．a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2D ．a n ＝(－1)n －1＋32答案 C解析 A 项显然不成立；n ＝1时，a 1＝－1＋12＝0，故B 项不正确；n ＝2时，a 2＝(－1)2－1＋32＝1，故D 项不正确．由a n ＝2－⎪⎪⎪⎪sin n π2可得a 1＝1，a 2＝2，a 3＝1，a 4＝2，…，故选C. 3.下列关于星星的图案构成一个数列，该数列的一个通项公式是( )A ．a n ＝n 2－n ＋1B ．a n ＝n (n －1)2C ．a n ＝n (n ＋1)2D ．a n ＝n (n ＋2)2答案 C解析解法一：令n ＝1,2,3,4，验证选项知选C.解法二：a 1＝1，a 2＝a 1＋2，a 3＝a 2＋3，a 4＝a 3＋4，…，a n ＝a n －1＋n . ∴(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＝n ＋(n －1)＋…＋3＋2. 因此a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.考点二数列的通项公式知识点1 a n 与S n 的关系若数列{a n }的前n 项和为S n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).2 已知递推关系式求通项一般用代数的变形技巧整理变形，然后采用累加法、累乘法、迭代法、构造法或转化为基本数列(等差数列或等比数列)等方法求得通项公式．注意点已知S n 求a n 时应注意的问题(1)应重视分类讨论思想的应用，分n ＝1和n ≥2两种情况讨论，特别注意a n ＝S n －S n －1中需n ≥2.(2)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1也适合“a n 式”，则需统一“合写”． (3)由S n －S n －1＝a n 推得a n ，当n ＝1时，a 1不适合“a n 式”，则数列的通项公式应分段表示(“分写”)，即a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).入门测1．思维辨析(1)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) (2)在数列{a n }中，对于任意正整数m ，n ，a m ＋n ＝a mn ＋1，若a 1＝1，则a 2＝2.( ) (3)若已知数列{a n }的递推公式为a n ＋1＝12a n －1，且a 2＝1，则可以写出数列{a n }的任何一项．( )答案 (1)√ (2)√ (3)√ 2．数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1，则a 4等于( )A.53B.43 C ．1 D.23答案 A解析由a 1＝1，a n ＝1a n －1＋1得，a 2＝1a 1＋1＝2，a 3＝1a 2＋1＝12＋1＝32，a 4＝1a 3＋1＝23＋1＝53.故选A.3．在正项数列{a n }中，若a 1＝1，且对所有n ∈N *满足na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0，则a 2015＝( ) A ．1011 B ．1012 C ．2014 D ．2015答案 D解析由a 1＝1，na n ＋1－(n ＋1)a n ＝0可得a n ＋1a n ＝n ＋1n ，得到a 2a 1＝21，a 3a 2＝32，a 4a 3＝43，…，a n ＋1a n＝n ＋1n ，上述式子两边分别相乘得a 2a 1×a 3a 2×a 4a 3×…×a n ＋1a n ＝a n ＋1＝21×32×43×…×n ＋1n ＝n ＋1，故a n ＝n ，所以a 2015＝2015，故选D.解题法[考法综述] 高考以考查a n 与S n 的关系为主要目标以求通项公式a n 为问题形式，特别是给出递推公式如何构造数列求通项公式作为一个重难点和命题热点．命题法由S n 求a n 或由递推关系式求a n典例 (1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋3n ，则此数列的通项公式为a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和为S n 满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2，n ∈N *)，a 1＝12，求S n .[解析] (1)当n ＝1时， a 1＝S 1＝2×12＋3×1＝5；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2＋3n )－[2(n －1)2＋3(n －1)]＝4n ＋1.当n ＝1时，4×1＋1＝5＝a 1，∴a n ＝4n ＋1.(2)∵当n ≥2，n ∈N *时，a n ＝S n －S n －1， ∴S n －S n －1＋2S n S n －1＝0，即1S n －1S n －1＝2，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是公差为2的等差数列，又S 1＝a 1＝12，∴1S 1＝2，∴1S n ＝2＋(n －1)·2＝2n ， ∴S n ＝12n.[答案] (1)4n ＋1 (2)见解析【解题法】求通项公式的方法 (1)由S n 求a n 的步骤 ①先利用a 1＝S 1求出a 1.②用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n的表达式．③对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．(2)由递推公式求通项公式的常见类型与方法①形如a n ＋1＝a n ＋f (n )，常用累加法．即利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n－1)求通项公式．②形如a n ＋1＝a n f (n )，常用累乘法，即利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1求通项公式．③形如a n ＋1＝ba n ＋d (其中b ，d 为常数，b ≠0,1)的数列，常用构造法．其基本思路是：构造a n ＋1＋x ＝b (a n ＋x )⎝⎛⎭⎫其中x ＝db －1，则{a n ＋x }是公比为b 的等比数列，利用它即可求出a n .④形如a n ＋1＝pa n qa n ＋r (p ，q ，r 是常数)的数列，将其变形为1a n ＋1＝r p ·1a n ＋qp .若p ＝r ，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列，且公差为q p ，可用公式求通项；若p ≠r ，则采用③的办法来求．⑤形如a n ＋2＝pa n ＋1＋qa n (p ，q 是常数，且p ＋q ＝1)的数列，构造等比数列．将其变形为a n ＋2－a n ＋1＝(－q )·(a n ＋1－a n )，则{a n －a n －1}(n ≥2，n ∈N *)是等比数列，且公比为－q ，可以求得a n－a n －1＝f (n )，然后用累加法求得通项．⑥形如a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )的式子，由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝f (n )，①得a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝f (n －1)，② 再由①－②可得a n .对点练1．设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和为________．答案2011解析由a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)得，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，则1a n ＝2n (n ＋1)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 前10项的和S 10＝2⎝⎛⎭⎫1－12＋12－13＋…＋110－111＝2⎝⎛⎭⎫1－111＝2011. 2．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝2·3n －1－1解析 ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)． ∴a n ＋1＋1a n ＋1＝3，∴数列{a n ＋1}是等比数列，公比q ＝3. 又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －1， ∴a n ＝2·3n －1－1.3.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．答案 a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －1，n ≥2.4.S n 为数列{a n }的前n 项和，已知a n >0，a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和．解 (1)由a 2n ＋2a n ＝4S n ＋3，可知a 2n ＋1＋2a n ＋1＝4S n ＋1＋3. 可得a 2n ＋1－a 2n ＋2(a n ＋1－a n )＝4a n ＋1，即 2(a n ＋1＋a n )＝a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )．由于a n >0，可得a n ＋1－a n ＝2.又a 21＋2a 1＝4a 1＋3，解得a 1＝－1(舍去)或a 1＝3.所以{a n }是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为a n ＝2n ＋1. (2)由a n ＝2n ＋1可知 b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n ＋1)(2n ＋3)＝12⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3. 设数列{b n }的前n 项和为T n ，则 T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1－12n ＋3 ＝n3(2n ＋3).5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－12n 2＋kn ，k ∈N *，且S n 的最大值为8.试确定常数k ，并求数列{a n }的通项公式．解因为S n ＝－12n 2＋kn ＝－12(n －k )2＋12k 2，其中k 是常数，且k ∈N *，所以当n ＝k 时，S n取最大值12k 2，故12k 2＝8，k 2＝16，因此k ＝4，从而S n ＝－12n 2＋4n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝－12＋4＝72；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n 2＋4n －⎣⎡⎦⎤－12(n －1)2＋4(n －1)＝92－n . 当n ＝1时，92－1＝72＝a 1，所以a n ＝92－n .微型专题数列中的创新题型创新考向以数列为背景的新定义问题是高考命题创新型试题的一个热点，考查频次较高．命题形式：常见的有新定义、新规则等．创新例题把1,3,6,10,15,21，…这些数叫做三角形数，这是因为以这些数目的点可以排成一个正三角形(如图)．则第7个三角形数是()A．27 B．28C．29 D．30答案 B解析由图可知，第7个三角形数是1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＝28.创新练习1．将石子摆成如图所示的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为“梯形数”．根据图形的构成，此数列的第2014项与5的差，即a2014－5＝()A．2018×2012 B．2020×2013C．1009×2012 D．1010×2013答案 D解析观察图中的“梯形数”可得：a2－a1＝4，a3－a2＝5，a4－a3＝6…a2014－a2013＝2016，累加得：a2014－a1＝4＋5＋6＋…＋2016＝2013×20202＝2013×1010，即a2014－5＝2013×1010.2．在一个数列中，如果∀n∈N*，都有a n a n＋1a n＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{a n}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________.答案28解析依题意得数列{a n}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28.3．对于E＝{a1，a2，...，a100}的子集X＝{a i1，a i2，...，a ik}，定义X的“特征数列”为x1，x2，...，x100，其中x i1＝x i2＝...＝x ik＝1，其余项均为0，例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________．(2)若E的子集P的“特征数列”为p1，p2，…，p100满足p1＝1，p i＋p i＋1＝1,1≤i≤99.E的子集Q的“特征数列”为q1，q2，…，q100满足q1＝1，q j＋q j＋1＋q j＋2＝1,1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．答案(1)2(2)17解析(1)据“特征数列”定义知子集{a1，a3，a5}的特征数列为1,0,1,0,1,0，…，0，故其前三项和为2.(2)由定义知p1＝1，p2＝0，p3＝1，p4＝0…故集合P＝{a1，a3，a5，…，a99}＝{a i|i＝2k＋1，k∈N且k≤49}，又q1＝1，q2＝q3＝0，q4＝1，q5＝q6＝0，q7＝1，…，∴集合Q＝{a1，a4，a7，a10…}＝{a i|i＝3k＋1，k∈N且k≤33}．若a k∈P∩Q，则k＝2k1＋1＝3k2＋1，k1，k2∈N，k1≤49，k2≤33.即2k1＝3k2，不妨设6k3＝2k1＝3k2，所以k1＝3k3，k2＝2k3,0≤3k3≤49,0≤2k3≤33，k3∈N，得k3∈{0,1,2,3，…，16}，k ＝6k3＋1，共有17个，P∩Q中元素个数为17.创新指导1．准确转化：解决数列新定义问题时，一定要读懂新定义的本质含义，将题目所给定义转化成题目要求的形式，切忌同已有概念或定义相混淆．2．方法选取：对于数列新定义问题，搞清定义是关键，仔细认真地从前几项(特殊处、简单处)体会题意，从而找到恰当的解决方法．已知数列{a n}中，a n＝n2－kn(n∈N*)，且{a n}单调递增，则k的取值范围是________．[错解][错因分析]在解答的过程中虽然注意了数列的定义域为正整数集，但是不能用二次函数对称轴法来判断数列的单调性．因为数列的图象不是连续的，而是离散的点．[正解]由题意得a n＋1－a n＝2n＋1－k，又{a n}单调递增，故2n＋1－k>0恒成立，即k<2n ＋1(n∈N*)恒成立，解得k<3.[答案]k<3[心得体会]课时练基础组1.数列{a n}的通项a n＝nn2＋90，则数列{a n}中的最大值是()A．310 B．19C.119 D.1060答案 C解析因为a n＝1n＋90n，运用基本不等式得，1n＋90n≤1290，由于n∈N*，不难发现当n＝9或10时，a n＝119最大，故选C.2．数列{a n}的前n项积为n2，那么当n≥2时，{a n}的通项公式为() A．a n＝2n－1 B．a n＝n2C．a n＝(n＋1)2n2D．a n＝n2(n－1)2答案 D解析设数列{a n}的前n项积为T n，则T n＝n2，当n≥2时，a n＝T nT n－1＝n2 (n－1)2.3．已知数列{a n}的前n项和S n满足：S n＋S m＝S n＋m，且a1＝1，那么a10等于() A．1 B．9C．10 D．55答案 A解析∵S n＋S m＝S n＋m，a1＝1，∴S1＝1.可令m＝1，得S n＋1＝S n＋1，∴S n＋1－S n＝1.即当n≥1时，a n＋1＝1，∴a10＝1.4．已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2a n－1(n∈N*)，则a5等于()A．－16 B．16C．31 D．32答案 B解析当n＝1时，S1＝2a1－1，∴a1＝1.当n≥2时，S n－1＝2a n－1－1，∴a n＝2a n－2a n－1，∴a n＝2a n－1.∴{a n}是等比数列且a1＝1，q＝2，故a5＝a1×q4＝24＝16.5．已知数列{a n}满足a0＝1，a n＝a0＋a1＋…＋a n－1(n≥1)，则当n≥1时，a n等于()A ．2n B.12n (n ＋1) C ．2n －1 D ．2n －1答案 C解析由题设可知a 1＝a 0＝1，a 2＝a 0＋a 1＝2. 代入四个选项检验可知a n ＝2n －1.故选C.6. 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n，则当a n 取得最大值时，n 等于( ) A ．5 B ．6 C ．5或6 D ．7答案 C解析由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n －1，a n≥a n ＋1，∴⎩⎨⎧(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋1)⎝⎛⎭⎫78n －1，(n ＋2)⎝⎛⎭⎫78n≥(n ＋3)⎝⎛⎭⎫78n ＋1.∴⎩⎪⎨⎪⎧n ≤6，n ≥5.∴n ＝5或6. 7．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n ＋1，则数列的通项a n ＝________. 答案 n 2解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n ＋1.∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －1)＋(2n －3)＋…＋5＋3＋1＝n 2(n ≥2)．当n ＝1时，也适用a n ＝n 2.8．已知数列{a n }的首项a 1＝2，其前n 项和为S n .若S n ＋1＝2S n ＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2解析由S n ＋1＝2S n ＋1，则有S n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，两式相减得a n ＋1＝2a n ，又S 2＝a 1＋a 2＝2a 1＋1，a 2＝3，所以数列{a n }从第二项开始成等比数列，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，3·2n －2，n ≥2.9．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N *，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝________.答案 91解析 ∵⎩⎪⎨⎪⎧S n ＋1＋S n －1＝2S n ＋2，S n ＋2＋S n ＝2S n ＋1＋2，两式相减得a n ＋2＋a n ＝2a n ＋1(n ≥2)，∴数列{a n }从第二项开始为等差数列，当n ＝2时，S 3＋S 1＝2S 2＋2，∴a 3＝a 2＋2＝4，∴S 10＝1＋2＋4＋6＋…＋18＝1＋9(2＋18)2＝91. 10. 如图所示的图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n 个图形中小正方形的个数是________．答案n (n ＋1)2解析由已知，有a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10， ∴a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，…，a n －a n －1＝n ，各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ，即a n ＝1＋2＋…＋n ＝n (n ＋1)2，故第n 个图形中小正方形的个数是n (n ＋1)2. 11．已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N *，n ≥2)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及以后各项均小于11000？解 (1)n ≥2时，a n a n －1＝⎝⎛⎭⎫12n －1，故a n ＝a n a n －1·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝⎝⎛⎭⎫12n －1·⎝⎛⎭⎫12n －2·…·⎝⎛⎭⎫122·⎝⎛⎭⎫121 ＝⎝⎛⎭⎫121＋2＋…＋(n －1)＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2，当n ＝1时，a 1＝⎝⎛⎭⎫120＝1，即n ＝1时也成立． ∴a n ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2.(2)∵y ＝(n －1)n 在[1，＋∞)上单调递增， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2在[1，＋∞)上单调递减．当n ≥5时，(n －1)n 2≥10，a n ＝⎝⎛⎭⎫12(n －1)n 2 ≤11024. ∴从第5项开始及以后各项均小于11000.12．已知数列{a n }满足a n ＋1＝⎩⎨⎧2a n ，0<a n ≤12，2a n－1，12<a n<1，且a 1＝67，求a 2015.解 ∵a 1＝67∈⎝⎛⎭⎫12，1，∴a 2＝2a 1－1＝57. ∵a 2∈⎝⎛⎭⎫12，1，∴a 3＝2a 2－1＝37. ∵a 3∈⎝⎛⎭⎫0，12，∴a 4＝2a 3＝67＝a 1， ∴{a n }是周期数列，T ＝3，∴a 2015＝a 3×671＋2＝a 2＝57.能力组13.已知数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n ＋1 B ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14(n ＝1)2n ＋1(n ≥2)C ．a n ＝2nD ．a n ＝2n ＋2答案 B解析由题意可知，数列{a n }满足条件12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋5，则12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n －1a n －1 ＝2(n －1)＋5，n >1，两式相减可得：a n2n ＝2n ＋5－2(n －1)－5＝2，∴a n ＝2n ＋1，n >1，n ∈N *. 当n ＝1时，a 12＝7，∴a 1＝14，综上可知，数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧14(n ＝1)，2n ＋1(n ≥2).故选B.14．在如图所示的数阵中，第9行的第2个数为________．答案 66解析每行的第二个数构成一个数列{a n }，由题意知a 2＝3，a 3＝6，a 4＝11，a 5＝18，则a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5，a 5－a 4＝7，…，a n －a n －1＝2(n －1)－1＝2n －3，各式两边同时相加，得 a n －a 2＝(2n －3＋3)×(n －2)2＝n 2－2n ，即a n ＝n 2－2n ＋a 2＝n 2－2n ＋3(n ≥2)，故a 9＝92－2×9＋3＝66. 15．已知数列{a n }满足前n 项和S n ＝n 2＋1，数列{b n }满足b n ＝2a n ＋1，且前n 项和为T n ，设c n ＝T 2n ＋1－T n .(1)求数列{b n }的通项公式； (2)判断数列{c n }的增减性．解 (1)a 1＝2，a n ＝S n －S n －1＝2n －1(n ≥2)．∴b n＝⎩⎨⎧23(n ＝1)1n (n ≥2).(2)∵c n ＝b n ＋1＋b n ＋2＋…＋b 2n ＋1 ＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ＋1， ∴c n ＋1－c n ＝12n ＋2＋12n ＋3－1n ＋1＝12n ＋3－12n ＋2＝－1(2n ＋3)(2n ＋2)<0， ∴{c n }是递减数列．16．已知数列{a n }中，a 1＝12，a n ＋1＝3a na n ＋3.(1)求a n ；(2)设数列{b n }的前n 项和为S n ，且b n ·n (3－4a n )a n ＝1，求证：12≤S n <1.解 (1)由已知得a n ≠0则由a n ＋1＝3a n a n ＋3，得1a n ＋1＝a n ＋33a n ，即1a n ＋1－1a n ＝13，而1a 1＝2，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以2为首项，以13为公差的等差数列．∴1a n ＝2＋13(n －1)＝n ＋53，∴a n ＝3n ＋5. (2)证明：∵b n ·n (3－4a n )a n ＝1，由(1)知a n ＝3n ＋5，∴b n ＝a n n (3－4a n )＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1，又∵n ≥1，∴n ＋1≥2，∴0<1n ＋1≤12. ∴12≤S n <1. 第2讲等差数列及前n 项和考点一等差数列的概念及运算知识点1 等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示，定义的表达式为a n ＋1－a n ＝d ，d 为常数．2 等差中项如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，且A ＝a ＋b2. 3 等差数列的通项公式及其变形通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ，其中a 1是首项，d 是公差．通项公式的变形：a n ＝a m ＋(n －m )d ，m ，n ∈N *.4 等差数列的前n 项和等差数列的前n 项和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d . 5 等差数列的单调性当d >0时，数列{a n }为递增数列；当d <0时，数列{a n }为递减数列；当d ＝0时，数列{a n }为常数列．注意点定义法证明等差数列时的注意事项(1)证明等差数列时，切忌只通过计算数列的a 2－a 1，a 3－a 2，a 4－a 3等有限的几个项的差后，发现它们都等于同一个常数，就断言数列{a n }为等差数列．(2)用定义法证明等差数列时，常采用a n ＋1－a n ＝d ，若采用a n －a n －1＝d ，则n ≥2，否则n ＝1时无意义.入门测1．思维辨析(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( )(2)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.( ) (3)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )(4)数列{a n }为等差数列的充要条件是其通项公式为n 的一次函数．( ) (5)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)×2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3答案 C 解析因为S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4.所以a 1＝0，所以d ＝a 3－a 12＝2. 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，S 3＝12，则a 6等于( ) A ．8 B ．10 C ．12 D ．14答案 C解析 ∵S 3＝3(a 1＋a 3)2＝3a 2＝12，∴a 2＝4.∵a 1＝2，∴d ＝a 2－a 1＝4－2＝2. ∴a 6＝a 1＋5d ＝12.故选C.[考法综述] 等差数列的定义，通项公式及前n 项和公式是高考中常考内容，用定义判断或证明等差数列，由n ，a n ，S n ，a 1，d 五个量之间的关系考查基本运算能力．命题法1 等差数列的基本运算典例1 等差数列{a n }的前n 项和记为S n .已知a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242，求n .[解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d ，a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50.解得a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝2n ＋10； (2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，S n ＝242，得方程12n ＋n (n －1)2×2＝242，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．【解题法】等差数列计算中的两个技巧(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．命题法2 等差数列的判定与证明典例2 数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2. (1)设b n ＝a n ＋1－a n ，证明{b n }是等差数列； (2)求{a n }的通项公式．[解] (1)证明：∵a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2， ∴b n ＋1－b n ＝a n ＋2－a n ＋1－(a n ＋1－a n ) ＝2a n ＋1－a n ＋2－2a n ＋1＋a n ＝2.∴{b n }是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)由(1)得b n ＝1＋2(n －1)，即a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝5， …，a n －a n －1＝2n －3，累加法可得 a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)＝(n －1)2， ∴a n ＝n 2－2n ＋2.【解题法】等差数列的判定方法(1)定义法：对于n ≥2的任意自然数，验证a n －a n －1为同一常数． (2)等差中项法：验证2a n －1＝a n ＋a n －2(n ≥3，n ∈N *)成立． (3)通项公式法：验证a n ＝pn ＋q . (4)前n 项和公式法：验证S n ＝An 2＋Bn .1．在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．6答案 B解析设数列{a n }的公差为d ，由a 4＝a 2＋2d ，a 2＝4，a 4＝2，得2＝4＋2d ，d ＝－1，∴a 6＝a 4＋2d ＝0.故选B.2.已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，前n 项和是S n .若a 3，a 4，a 8成等比数列，则( ) A ．a 1d >0，dS 4>0 B ．a 1d <0，dS 4<0 C ．a 1d >0，dS 4<0 D ．a 1d <0，dS 4>0 答案 B解析由a 24＝a 3a 8，得(a 1＋2d )(a 1＋7d )＝(a 1＋3d )2，整理得d (5d ＋3a 1)＝0，又d ≠0，∴a 1＝－53d ，则a 1d ＝－53d 2<0，又∵S 4＝4a 1＋6d ＝－23d ，∴dS 4＝－23d 2<0，故选B.3．设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．答案－12解析由已知得S 1＝a 1，S 2＝a 1＋a 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，而S 1，S 2，S 4成等比数列，所以(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，整理得2a 1＋1＝0，解得a 1＝－12.4.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数． (1)证明：a n ＋2－a n ＝λ；(2)是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．解 (1)证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1. 两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1. 由于a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.(2)由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得a 2＝λ－1. 由(1)知，a 3＝λ＋1. 令2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4. 故a n ＋2－a n ＝4，由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3； {a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1. 所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．考点二等差数列的性质及应用知识点等差数列及其前n 项和的性质已知{a n }为等差数列，d 为公差，S n 为该数列的前n 项和．(1)有穷等差数列中与首末两项等距离的两项的和相等，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝….(2)等差数列{a n }中，当m ＋n ＝p ＋q 时，a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．特别地，若m ＋n ＝2p ，则2a p ＝a m ＋a n (m ，n ，p ∈N *)．(3)相隔等距离的项组成的数列是等差数列，即a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等差数列，公差为md (k ，m ∈N *)．(4)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…也成等差数列，公差为n 2d .(5)⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }的公差的12.(6)在等差数列{a n }中，①若项数为偶数2n ，则S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝n (a n ＋a n ＋1)；S 偶－S 奇＝nd ；S 奇S 偶＝a na n ＋1.②若项数为奇数2n －1，则S 2n －1＝(2n －1)a n ；S 奇－S 偶＝a n ；S 奇S 偶＝nn －1.(7)若数列{a n }与{b n }均为等差数列，且前n 项和分别是S n 和T n ，则S 2m －1T 2m －1＝a mb m. (8)若数列{a n }，{b n }是公差分别为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n }，{a n ＋p }，{pa n ＋qb n }都是等差数列(p ，q 都是常数)，且公差分别为pd 1，d 1，pd 1＋qd 2.注意点前n 项和性质的理解等差数列{a n }中，设前n 项和为S n ，则S n ，S 2n ，S 3n 的关系为2(S 2n －S n )＝S n ＋(S 3n －S 2n )不要理解为2S 2n ＝S n ＋S 3n .入门测1．思维辨析(1)等差数列{a n }中，有a 1＋a 7＝a 2＋a 6.( )(2)若已知四个数成等差数列，则这四个数可设为a －2d ，a －d ，a ＋d ，a ＋2d .( ) (3)若三个数成等差数列，则这三个数可设为：a －d ，a ，a ＋d .( )(4)求等差数列的前n 项和的最值时，只需将它的前n 项和进行配方，即得顶点为其最值处．( )答案 (1)√ (2)× (3)√ (4)×2．若S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 2＋a 10＝4，则S 11的值为( ) A ．12 B ．18 C ．22 D ．44答案 C解析由题可知S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(a 2＋a 10)2＝11×42＝22，故选C.3．在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝90，则a 10－13a 14的值为( )A ．12B ．14C ．16D ．18答案 A解析由题意知5a 8＝90，a 8＝18，a 10－13a 14＝a 1＋9d －13(a 1＋13d )＝23a 8＝12，选A 项．[考法综述] 等差数列的性质是高考中的常考内容，灵活应用由概念推导出的重要性质，在解题过程中可以达到避繁就简的目的．命题法1 等差数列性质的应用典例1 等差数列{a n }中，如果a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }前9项的和为( )A ．297B ．144C ．99D ．66[解析] 由a 1＋a 4＋a 7＝39，得3a 4＝39，a 4＝13. 由a 3＋a 6＋a 9＝27，得3a 6＝27，a 6＝9. 所以S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×(13＋9)2＝9×11＝99，故选C. [答案] C【解题法】应用等差数列性质应注意(1)要注意等差数列通项公式及前n 项和公式的灵活应用，如a n ＝a m ＋(n －m )d ，d ＝a n －a mn －m，S 2n －1＝(2n －1)a n ，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (a 2＋a n －1)2(n ，m ∈N *)等．(2)如果{a n }为等差数列，m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ( m ，n ，p ，q ∈N *)．一般地，a m＋a n ≠a m ＋n ，必须是两项相加，当然也可以是a m －n ＋a m ＋n ＝2a m .因此，若出现a m －n ，a m ，a m ＋n 等项时，可以利用此性质将已知条件转化为与a m (或其他项)有关的条件．命题法2 与等差数列前n 项和有关的最值问题典例2 等差数列{a n }中，设S n 为其前n 项和，且a 1>0，S 3＝S 11，则当n 为多少时，S n最大？[解] 解法一：由S 3＝S 11得3a 1＋3×22d ＝11a 1＋11×102d ，则d ＝－213a 1.从而S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ＝－a 113(n －7)2＋4913a 1，又a 1>0，所以－a 113<0.故当n ＝7时，S n 最大．解法二：由于S n ＝an 2＋bn 是关于n 的二次函数，由S 3＝S 11，可知S n ＝an 2＋bn 的图象关于n ＝3＋112＝7对称．由解法一可知a ＝－a 113<0，故当n ＝7时，S n 最大．解法三：由解法一可知，d ＝－213a 1.要使S n 最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，即⎩⎨⎧a 1＋(n －1)⎝⎛⎭⎫－213a 1≥0，a 1＋n ⎝⎛⎭⎫－213a 1≤0，解得6.5≤n ≤7.5，故当n ＝7时，S n 最大．解法四：由S 3＝S 11，可得2a 1＋13d ＝0，即(a 1＋6d )＋(a 1＋7d )＝0，故a 7＋a 8＝0，又由a 1>0，S 3＝S 11可知d <0，所以a 7>0，a 8<0，所以当n ＝7时，S n 最大．【解题法】求等差数列前n 项和的最值的方法(1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n 项和的最值，但要注意n ∈N *. (2)图象法：利用二次函数图象的对称性来确定n 的值，使S n 取得最值．(3)项的符号法：当a 1>0，d <0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1≤0的项数n ，使S n 取最大值；当a 1<0，d >0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤0，a n ＋1 ≥0的项数n ，使S n 取最小值，即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使S n 取最值的n 有两个．1．设{a n }是等差数列．下列结论中正确的是( ) A ．若a 1＋a 2>0，则a 2＋a 3>0 B ．若a 1＋a 3<0，则a 1＋a 2<0 C ．若0<a 1<a 2，则a 2>a 1a 3 D ．若a 1<0，则(a 2－a 1)(a 2－a 3)>0 答案 C解析若{a n }是递减的等差数列，则选项A 、B 都不一定正确．若{a n }为公差为0的等差数列，则选项D 不正确．对于C 选项，由条件可知{a n }为公差不为0的正项数列，由等差中项的性质得a 2＝a 1＋a 32，由基本不等式得a 1＋a 32>a 1a 3，所以C 正确． 2．在等差数列{a n }中，a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，则使S n >0成立的最大自然数n 是( )A ．4025B ．4024C ．4023D ．4022答案 B解析 ∵等差数列{a n }的首项a 1>0，a 2012＋a 2013>0，a 2012·a 2013<0，假设a 2012<0<a 2013，则d >0，而a 1>0，可得a 2012＝a 1＋2011d >0，矛盾，故不可能． ∴a 2012>0，a 2013<0. 再根据S 4024＝4024(a 1＋a 4024)2＝2012(a 2012＋a 2013)>0，而S 4025＝4025a 2013<0，因此使前n 项和S n >0成立的最大自然数n 为4024.3.已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a nb n ＝( )A.23 B.2n －13n －1 C.2n ＋13n ＋1D.2n －13n ＋4答案 B解析 a n b n ＝2a n2b n ＝2n －12(a 1＋a 2n －1)2n －12(b 1＋b 2n －1)＝S 2n －1T 2n －1＝2(2n －1)3(2n －1)＋1＝2n －13n －1.故选B.4．在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. 答案 10解析由a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，得5a 5＝25，所以a 5＝5，故a 2＋a 8＝2a 5＝10.5．中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为________．答案 5解析设等差数列的首项为a 1，根据等差数列的性质可得，a 1＋2015＝2×1010，解得a 1＝5.6．在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．答案 ⎝⎛⎭⎫－1，－78 解析由题意知d <0且⎩⎪⎨⎪⎧ a 8>0，a 9<0，即⎩⎪⎨⎪⎧7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78.7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．答案 8解析根据题意知a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，即a 8>0.又a 8＋a 9＝a 7＋a 10<0，∴a 9<0，∴当n ＝8时，{a n }的前n 项和最大．8．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22. (1)求通项a n ； (2)求S n 的最小值；(3)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S nn ＋c，求非零常数c . 解 (1)因为数列{a n }为等差数列，所以a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22. 又a 3·a 4＝117，所以a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两实根，又公差d >0，所以a 3<a 4，所以a 3＝9，a 4＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4.所以通项a n ＝4n －3. (2)由(1)知a 1＝1，d ＝4. 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2×d ＝2n 2－n ＝2⎝⎛⎭⎫n －142－18. 所以当n ＝1时，S n 最小，最小值为S 1＝a 1＝1. (3)由(2)知S n ＝2n 2－n ，所以b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－n n ＋c，所以b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 因为数列{b n }是等差数列，所以2b 2＝b 1＋b 3，即62＋c ×2＝11＋c ＋153＋c，所以2c 2＋c ＝0，所以c ＝－12或c ＝0(舍去)，故c ＝－12.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＝9，S 5＝15，则使其前n 项和S n 取得最小值时的n ＝________.[错解][错因分析] 等差数列的前n 项和最值问题，可以通过找对称轴来确定，本题只关注到n ∈N *，并未关注到n ＝1与n ＝2时，S 1＝S 2，导致错误．[正解] ∵a 5＝9，S 5＝15，∴a 1＝－3，d ＝3. ∴a n ＝3n －6，S n ＝32n 2－92n .把S n 看作是关于n 的二次函数，其对称轴为n ＝32.∴当n ＝1或n ＝2时，S 1＝S 2且最小． [心得体会]课时练基础组1.已知等差数列{a n }中，a 7＋a 9＝16，S 11＝992，则a 12的值是( )A ．15B ．30C ．31D ．64答案 A解析由题意可知2a 8＝a 7＋a 9＝16⇒a 8＝8，S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11×2a 62＝11a 6＝992，a 6＝92，则d ＝a 8－a 62＝74，所以a 12＝a 8＋4d ＝15，故选A. 2．已知S n 表示数列{a n }的前n 项和，若对任意的n ∈N *满足a n ＋1＝a n ＋a 2，且a 3＝2，则S 2014＝( )A ．1006×2013B ．1006×2014C ．1007×2013D ．1007×2014答案 C解析在a n ＋1＝a n ＋a 2中，令n ＝1，则a 2＝a 1＋a 2，a 1＝0，令n ＝2，则a 3＝2＝2a 2，a 2＝1，于是a n ＋1－a n ＝1，故数列{a n }是首项为0，公差为1的等差数列，S 2014＝2014×20132＝1007×2013.故选C.3．在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 A解析由已知式2a n＋1＝1a n＋1a n＋2可得1a n＋1－1a n＝1a n＋2－1a n＋1，知⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n是首项为1a1＝1，公差为1a2－1a1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n＝n，即a n＝1n.4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S3＝9，S6＝36，则a7＋a8＋a9＝()A．63 B．45C．36 D．27答案 B解析S3＝9，S6－S3＝36－9＝27，根据S3，S6－S3，S9－S6成等差数列，S9－S6＝45，S9－S6＝a7＋a8＋a9＝45，故选B.5．已知等差数列{a n}中，前四项和为60，最后四项和为260，且S n＝520，则a7＝() A．20 B．40C．60 D．80答案 B解析前四项的和是60，后四项的和是260，若有偶数项，则中间两项的和是(60＋260)÷4＝80.S n＝520,520÷80不能整除，说明没有偶数项，有奇数项，则中间项是(60＋260)÷8＝40.所以共有520÷40＝13项，因此a7是中间项，所以a7＝40.6．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S4S2＝4，则S6S4＝()A.94 B.32C.53D．4答案 A解析由S4S2＝4，可设S2＝x，S4＝4x.∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，∴2(S4－S2)＝S2＋(S6－S4)．则S6＝3S4－3S2＝12x－3x＝9x，因此，S6S4＝9x4x＝94.7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝－3，a k＋1＝32，S k＝－12，则正整数k＝______.答案13解析由S k＋1＝S k＋a k＋1＝－12＋32＝－212，又S k＋1＝(k＋1)(a1＋a k＋1)2＝(k＋1)⎝⎛⎭⎫－3＋322＝－212，解得k＝13.8.设正项数列{a n }的前n 项和是S n ，若{a n }和{S n }都是等差数列，且公差相等，则a 1＝________.答案14解析设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n ，∴S n ＝d 2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ，数列{S n }是等差数列，则S n 是关于n 的一次函数(或者是常数)，则a 1－d2＝0，S n ＝d2n ，从而数列{S n }的公差是d2，那么有d 2＝d ，d ＝0(舍去)或d ＝12，故a 1＝14.9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝10，S 5＝55，则a 10＝________. 答案 39解析设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＝10，5a 1＋5×42d ＝55，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋d ＝10，a 1＋2d ＝11，解得a 1＝3，d ＝4，a 10＝a 1＋(10－1)d ＝39. 10设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若a 1<a 2，b 1<b 2，且b i ＝a 2i (i ＝1,2,3)，则数列{b n }的公比为________．答案 3＋2 2解析设a 1，a 2，a 3分别为a －d ，a ，a ＋d ，因为a 1<a 2，所以d >0，又b 22＝b 1b 3，所以a 4＝(a －d )2(a ＋d )2＝(a 2－d 2)2，则a 2＝d 2－a 2或a 2＝a 2－d 2(舍)，则d ＝±2a .若d ＝－2a ，则q ＝b 2b 1＝⎝⎛⎭⎫a 2a 12＝(1－2)2＝3－22<1，舍去；若d ＝2a ，则q ＝⎝⎛⎭⎫a 2a 12＝3＋2 2. 11．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4. (1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数，又S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0,10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n . (2)b n ＝1(13－3n )(10－3n )＝13⎝⎛⎭⎫110－3n －113－3n .于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎫17－110＋⎝⎛⎭⎫14－17＋…＋⎝⎛ 110－3n －⎭⎫113－3n。

高中数学《数列》复习专题

检验：当n 1时, a1 1 12 2 满足已知条件.
1 n 1 练1.若an an 1 1 ( ) , a1 0, 求通项公式. 2 解：
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 2.累乘型 an an1 f ( n)
n 1个 an 1 q an 2 an q a
例3.数列 {an }满足an 3an1 1, a1 1, 求 {an }的通项公式 .
解：设为待定系数， an 3an 1 1
1 1 n 1 那么an =(a1 )3 2 2 an 3an1 1 1 1 n 1 即an = 3 1 2 2 an 3(an 1 ) n 1 3 3 +1 也即an = 1 1 2 则令， 2 3 1 1 即an 3(an 1 ) 2 2 1 1 {an }是以a1 为首项， 2 2 3为公差的等比数列.
练1.an
1 4n 1
2
, 求S n .
1 1 练 2.an 2 , 证明Sn . 4n 4n 3 3
1 1 1 例2.求和： 2+ 3 3+ 4 4+ 5
1 99+ 100
1 1 1 练3.求和： + 1+ 3 2+ 4 3+ 5
1 n + n+2
2 an an1 an1
专题2：求通项公式 1.累加型 an an1 f ( n) 回顾：求等差数列的通项公式：— —累加法
由递推公式 an an1 d (n 2)可知， a2 a1 d 当n 2时， a3 a2 d a4 a3 d n 1个 a n 1 a n 2 d a n a n 1 d

高中数学《求数列的通项习题课一》专题突破含解析

习题课一　求数列的通项题型一　利用累加、累乘法求数列的通项公式【例1】　(1)数列{a n }满足a 1＝1，对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，求数列{a n }的通项公式；(2)已知数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋1a n ，求a n .解　(1)∵a n ＋1＝a n ＋n ＋1，∴a n ＋1－a n ＝n ＋1，即a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，a n －a n －1＝n (n ≥2).等式两边同时相加得a n －a 1＝2＋3＋4＋…＋n (n ≥2)，即a n ＝a 1＋2＋3＋4＋…＋n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）2，n ≥2.又a 1＝1也适合上式，∴a n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *.(2)由条件知a n ＋1a n ＝nn ＋1，分别令n ＝1，2，3，…，n －1，代入上式得(n －1)个等式，累乘，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝12×23×34×…·n －1n (n ≥2).∴a na 1＝1n ，又∵a 1＝23，∴a n ＝23n ，n ≥2.又a 1＝23也适合上式，∴a n ＝23n ，n ∈N *.规律方法　(1)求形如a n ＋1＝a n ＋f (n )的通项公式.将原来的递推公式转化为a n ＋1－a n ＝f (n )，再用累加法(逐差相加法)求解，即a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝a 1＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (n －1).(2)求形如a n ＋1＝f (n )a n 的通项公式.将原递推公式转化为a n ＋1a n＝f (n )，再利用累乘法(逐商相乘法)求解，即由a 2a 1＝f (1)，a 3a2＝f (2)，…，a na n －1＝f (n －1)，累乘可得a na1＝f (1)f (2)…f (n －1).【训练1】　数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ，求{a n }的通项公式.解　因为a 1＝2，a n ＋1－a n ＝2n ，所以a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝22，a 4－a 3＝23，…，a n －a n －1＝2n －1，n ≥2，以上各式累加得，a n －a 1＝2＋22＋23＋…＋2n －1，故a n＝2（1－2n－1）1－2＋2＝2n，当n＝1时，a1也符合上式，所以a n＝2n.题型二　构造等差(比)数列求通项公式【例2】　(1)在数列{a n}中，a1＝13，6a n a n－1＋a n－a n－1＝0(n≥2，n∈N*).①证明：数列{1a n}是等差数列；②求数列{a n}的通项公式.(2)已知数列{a n}中，a1＝2，a n＋1＝2a n－3，求a n.(1)①证明　由6a n a n－1＋a n－a n＋1＝0，整理得1a n－1a n－1＝6(n≥2)，故数列{1a n}是以3为首项，6为公差的等差数列.②解　由①可得1a n＝3＋(n－1)×6＝6n－3，所以a n＝16n－3，n∈N*.(2)解　由a n＋1＝2a n－3得a n＋1－3＝2(a n－3)，所以数列{a n－3}是首项为a1－3＝－1，公比为2的等比数列，则a n－3＝(－1)·2n－1，即a n＝－2n－1＋3.规律方法　(1)课程标准对递推公式要求不高，故对递推公式的考查也比较简单，一般先构造好等差(比)数列让学生证明，再在此基础上求出通项公式，故同学们不必在此处挖掘过深. (2)形如a n＋1＝pa n＋q(其中p，q为常数，且pq(p－1)≠0)可用待定系数法求得通项公式，步骤如下：第一步　假设递推公式可改写为a n＋1＋t＝p(a n＋t)；第二步　由待定系数法，解得t＝qp－1；第三步　写出数列{a n＋q p－1}的通项公式；第四步　写出数列{a n}的通项公式.【训练2】　已知各项均为正数的数列{b n}的首项为1，且前n项和S n满足S n－S n－1＝S n＋S n－1(n≥2).试求数列{b n}的通项公式.解　∵S n－S n－1＝S n＋S n－1(n≥2)，∴(S n＋S n－1)(S n－S n－1)＝S n＋S n－1(n≥2).又S n >0，∴S n －S n －1＝1.又S 1＝1，∴数列{S n }是首项为1，公差为1 的等差数列，∴S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，故S n ＝n 2.当n ≥2时，b n ＝S n －S n －1＝n 2－(n －1)2＝2n －1.当n ＝1时，b 1＝1符合上式.∴b n ＝2n －1.题型三　利用前n 项和S n 与a n 的关系求通项公式【例3】　(1)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，若S n ＝2a n －4，n ∈N *，则a n 等于( )A.2n ＋1 B.2n C.2n －1D.2n －2(2)已知数列{a n }中，前n 项和为S n ，且S n ＝n ＋23·a n ，则a n a n －1的最大值为( )A.－3B.－1C.3D.1解析　(1)因为S n ＝2a n －4，所以n ≥2时，S n －1＝2a n －1－4，两式相减可得S n －S n －1＝2a n －2a n －1，即a n ＝2a n －2a n －1，整理得a n ＝2a n －1，所以a n a n －1＝2.因为S 1＝a 1＝2a 1－4，即a 1＝4，所以数列{a n }是首项为4，公比为2的等比数列，则a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，故选A.(2)由S n ＝n ＋23a n 得，当n ≥2时，S n －1＝n ＋13a n －1，两式作差可得：a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n a n －1＝n ＋1n －1＝1＋2n －1，由此可得，当n ＝2时，a n a n －1取得最大值，其最大值为3.答案　(1)A (2)C规律方法　已知S n ＝f (a n )或S n ＝f (n )的解题步骤：第一步　利用S n 满足条件p ，写出当n ≥2时，S n －1的表达式；第二步　利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求出a n 或者转化为a n 的递推公式的形式；第三步　若求出n ≥2时的{a n }的通项公式，则根据a 1＝S 1求出a 1，并代入n ≥2时的{a n }的通项公式进行验证，若成立，则合并；若不成立，则写出分段形式.如果求出的是{a n }的递推公式，则问题化归为例2形式的问题.【训练3】　在数列{a n }中，a 1＝1，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式a n .解　由a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝n ＋12a n ＋1，得当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝n2a n ，两式作差得na n ＝n ＋12a n ＋1－n 2a n ，得(n ＋1)a n ＋1＝3na n (n ≥2)，即数列{na n }从第二项起是公比为3的等比数列，且a 1＝1，a 2＝1，于是2a 2＝2，故当n ≥2时，na n ＝2×3n －2.于是a n ＝{1，n ＝1，2×3n －2n，n ≥2，n ∈N *.一、素养落地1.通过学习数列通项公式的求法，提升数学运算与逻辑推理素养.2.求数列通项的方法有：(1)公式法，(2)累加、累乘法，(3)构造法等，但总的思想是转化为特殊的数列(一般是等差或等比数列)求解.二、素养训练1.数列1，3，6，10，15，…的递推公式可能是( )A.a n ＝{1（n ＝1）a n ＋1＋n －1（n ∈N *，n ≥2）B.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n （n ∈N *，n ≥2）C.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n －1（n ∈N *，n ≥2）D.a n＝{1（n ＝1）a n －1＋n ＋1（n ∈N *，n ≥2）解析　由题意可得，a 1＝1，a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4，a 5－a 4＝5，……∴a n －a n －1＝n (n ≥2)，故数列的递推公式为a n ＝{1（n ＝1）a n －1＋n （n ∈N *，n ≥2）故选B.答案　B2.数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 9＝( )A.1 024B.1 023C.510D.511解析　由题意可得a n ＋1－a n ＝2n ，则a 9＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a 9－a 8)＝1＋21＋22＋…＋28＝29－1＝511.故选D.答案　D3.已知数列{a n }的各项均为正数，且a 2n －a n －n 2－n ＝0，则a n＝________.解析　由a 2n －a n －n (n ＋1)＝0，得[a n －(n ＋1)](a n ＋n )＝0.又a n >0，所以a n＝n ＋1.答案　n ＋14.已知数列{a n }中，a 1＝1，对于任意的n ≥2，n ∈N *，都有a 1a 2a 3…a n ＝n 2，则a 10＝________.解析　由a 1a 2a 3…a n ＝n 2，得a 1a 2a 3…a n －1＝(n －1)2(n ≥2)，所以a n ＝n 2（n －1）2(n ≥2)，所以a 10＝10081.答案　100815.已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式.解　由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝2an ＋1，所以1an ＋1＋1＝2(1a n＋1).又a 1＝1，所以1a 1＋1＝2，所以数列{1a n＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以1a n ＋1＝2×2n －1＝2n ，所以a n ＝12n －1.基础达标一、选择题1.已知数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n (n ∈N *)，则a 100的值是( )A.9 900 B.9 902 C.9 904D.11 000解析　a 100＝(a 100－a 99)＋(a 99－a 98)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝2(99＋98＋…＋2＋1)＋2＝2×99×（99＋1）2＋2＝9 902.答案　B2.已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n1＋2a n，则这个数列的第n 项为( )A.2n －1B.2n ＋1C.12n －1D.12n ＋1解析　∵a n ＋1＝a n 1＋2an，a 1＝1，∴1a n ＋1－1a n ＝2.∴{1a n}为等差数列，公差为2，首项1a1＝1.∴1a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案　C3.若数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，则a 2 021的值为( )A.1 B.2 C.3D.4解析　∵a 1＝3，a n ＋a n －1＝4(n ≥2)，∴a n ＋1＋a n ＝4，∴a n ＋1＝a n －1，∴a n ＝a n ＋2，即奇数项、偶数项构成的数列均为常数列，又∵a 1＝3，∴a 2 021＝3.答案　C4.已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且满足a n ＋1＝12a n ＋12n ，则此数列的通项公式a n 等于( )A.2nB.n (n ＋1)C.n2n －1D.n （n ＋1）2n解析　∵a n ＋1＝12a n ＋12n ，∴2n ＋1a n ＋1＝2n a n ＋2，即2n ＋1a n ＋1－2n a n ＝2.又21a 1＝2，∴数列{2n a n }是以2为首项，2为公差的等差数列，∴2n a n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，∴a n ＝n 2n －1.答案　C5.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2，S n ＋1＝4a n ＋2，则a 12＝( )A.20 480B.49 152C.60 152D.89 150解析　由题意得S 2＝4a 1＋2，所以a 1＋a 2＝4a 1＋2，解得a 2＝8，故a 2－2a 1＝4，又a n ＋2＝S n ＋2－S n ＋1＝4a n ＋1－4a n ，于是a n ＋2－2a n ＋1＝2(a n ＋1－2a n )，因此数列{a n ＋1－2a n }是以a 2－2a 1＝4为首项，2为公比的等比数列，即a n ＋1－2a n ＝4×2n －1＝2n ＋1，于是a n ＋12n ＋1－a n2n ＝1，因此数列{a n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，得a n2n ＝1＋(n －1)＝n ，即a n ＝n ·2n .所以a 12＝12×212＝49 152，故选B.答案　B 二、填空题6.在等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3中的任何两个数不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818则数列{a n }的通项公式为________.解析　当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意；当a 1＝10时，不合题意.因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3，故a n ＝2×3n －1.答案　a n ＝2×3n －17.在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝n ＋1na n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析　当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝nn －1·n －1n －2·…·32·21＝n ，当n ＝1时，a 1＝1也符合此式，∴a n ＝n .答案　n8.已知数列{a n }满足ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n 3n ＝3n 2(n ∈N *)，则a 10＝________.解析　∵ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n 3n ＝3n2(n ∈N *)，∴ln a 13·ln a 26·ln a 39·…·ln a n －13（n －1）＝3（n －1）2(n ≥2)，∴ln a n ＝3n 2n －1(n ≥2)，∴a n ＝e 3n 2n －1(n ≥2)，∴a 10＝e 1003.答案　e1003三、解答题9.设f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n ，求数列{a n }的通项公式.解　∵f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，f (2an )＝2n ，∴log 22an －log 2an 4＝2n ，由换底公式得log 22an －log 24log 22an ＝2n ，即a n －2a n ＝2n ，∴a 2n －2na n －2＝0，解得a n ＝n ±n 2＋2.又0<x <1，∴0<2an <1，∴a n <0，∴a n ＝n －n 2＋2，∴数列{a n }的通项公式是a n ＝n －n 2＋2.10.设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式.解　(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，因为T 1＝S 1＝a 1，所以a 1＝2a 1－1，所以a 1＝1.(2)当n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2，则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1，因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ≥1)，①当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，②①－②，得a n ＝2a n －2a n －1－2，所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2·(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0，所以数列{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＋2＝3×2n －1，所以a n ＝3×2n －1－2.能力提升11.已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝13，若a n (a n －1＋2a n ＋1)＝3a n －1·a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.解析　由题意知a n a n －1＋2a n a n ＋1＝3a n －1a n ＋1，∴1a n ＋1＋2a n －1＝3a n ，∴1a n ＋1－1a n ＝2(1a n －1a n －1)，即1a n ＋1－1a n1a n －1a n －1＝2，∴数列{1an ＋1－1a n}是首项为2，公比为2的等比数列，∴1a n ＋1－1a n ＝2×2n －1＝2n .利用累加法，得1a 1＋(1a 2－1a 1)＋(1a 3－1a 2)＋…＋(1a n －1a n －1)＝1＋2＋22＋…＋2n －1，即1a n ＝2n －12－1＝2n －1，∴a n ＝12n －1.答案　12n －112.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 1＝1，nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式.(2)是否存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列？若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.解　(1)法一　由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，得S n ＋1n ＋1－S nn ＝12，∴数列{S nn}是首项为S 11＝1，公差为12的等差数列，∴S nn ＝1＋12(n －1)＝12(n ＋1)，∴S n ＝n （n ＋1）2.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n （n ＋1）2－（n －1）n2＝n .而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n .法二　由nS n ＋1－(n ＋1)S n ＝n （n ＋1）2，得n (S n ＋1－S n )－S n ＝n （n ＋1）2，∴na n ＋1－S n ＝n （n ＋1）2.①当n ≥2时，(n －1)a n －S n －1＝n （n －1）2，②①－②，得na n ＋1－(n －1)a n －a n ＝n （n ＋1）2－n （n －1）2，∴na n ＋1－na n ＝n ，∴a n ＋1－a n ＝1，∴数列{a n }是从第2项起的等差数列，且首项为a 2＝2，公差为1，∴a n ＝2＋(n －2)×1＝n (n ≥2).而a 1＝1适合上式，∴a n ＝n .(2)由(1)，知a n ＝n ，S n ＝n （n ＋1）2.假设存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列，则S 22k ＝a k ·a 4k ，即[2k （2k ＋1）2]2＝k ·4k .∵k 为正整数，∴(2k ＋1)2＝4.得2k ＋1＝2或2k ＋1＝－2，解得k ＝12或k ＝－32，与k 为正整数矛盾.∴不存在正整数k ，使a k ，S 2k ，a 4k 成等比数列.创新猜想13.(多选题)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a 2＝2，且对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，则( )A.a 9＝17 B.a 10＝18C.S 9＝81D.S 10＝91解析　∵对于任意n >1，n ∈N *，满足S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)，∴S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，∴a n ＋1－a n ＝2.∴数列{a n }在n ≥2时是等差数列，公差为2.又a 1＝1，a 2＝2，则a 9＝2＋7×2＝16，a 10＝2＋8×2＝18，S 9＝1＋8×2＋8×72×2＝73，S 10＝1＋9×2＋9×82×2＝91.故选BD.答案　BD14.(多空题)设S n是数列{a n}的前n项和，且满足a2n＋1＝2a n S n，且a n>0，则S n＝________，a100＝________.解析　由S n是数列{a n}的前n项和，且满足a2n＋1＝2a n S n，则当n＝1时，a21＋1＝2a1S1，即S21＝1；当n≥2时，(S n－S n－1)2＋1＝2(S n－S n－1)S n，整理得S 2n－S2n－1＝1.所以数列{S2n}是以1为首项，1为公差的等差数列，则S2n＝n.由于a n>0，所以S n＝n，故a100＝S100－S99＝100－99＝10－311.答案　n　10－311。

2023届高考一轮复习数列专题数列求和常用方法(学生版)

数列专题数列求和常用方法（学生版）一、公式法1．等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2．推导方法：倒序相加法．2．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q，q ≠1. 例1已知等比数列{a n }的公比q >1，a 1＝2，且a 1，a 2，a 3－8成等差数列．(1)求出数列{a n }的通项公式；(2)设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，任意n ∈N *，S n ≤m 恒成立，求实数m 的最小值．跟踪练习1、已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 2＝0，a 4＝1，则S 4＝( )A ．12B ．1C ．2D ．32、等差数列{a n }的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }的前6项的和为( )A ．－24B ．－3C ．3D ．83、(2022·天津模拟)设1＋2＋22＋23＋…＋2n －1>128(n ∈N *)，则n 的最小值为( )A ．6B ．7C ．8D ．94、设数列{a n }(n ∈N *)的各项均为正数，前n 项和为S n ，log 2a n ＋1＝1＋log 2a n ，且a 3＝4，则S 6＝( )A ．128B ．65C ．64D ．635、已知数列{a n }的前n 项和S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b ＝( )A ．－1B ．0C ．1D ．46、已知等比数列{a n }，a 1＝1，a 4＝18，且a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1<k ，则k 的取值范围是( ) A ．⎣⎡⎦⎤12，23 B ．⎣⎡⎭⎫12，＋∞C ．⎣⎡⎭⎫12，23D ．⎣⎡⎭⎫23，＋∞ 7、(多选)已知数列{a n }满足a 1＝1，且对任意的n ∈N *都有a n ＋1＝a 1＋a n ＋n ，则下列说法中正确的是( )A ．a n ＝n (n ＋1)2B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前2 020项的和为2 0202 021 C ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前2 020项的和为4 0402 021 D ．数列{a n }的第50项为2 5508、(多选)设数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2n S 4n为常数，则称数列{a n }为“吉祥数列”．则下列数列{b n }为“吉祥数列”的有( )A ．b n ＝nB ．b n ＝(－1)n (n ＋1)C ．b n ＝4n －2D ．b n ＝2n9、在数列{a n }中，2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＝10，a 5＝－5．(1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 的最大值．10、数列{a n }满足：a 1＝1，点(n ，a n ＋a n ＋1)在函数y ＝kx ＋1的图象上，其中k 为常数，且k ≠0．(1)若a 1，a 2，a 4成等比数列，求k 的值；(2)当k ＝3时，求数列{a n }的前2n 项的和S 2n ．11、已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1＝b 1＝1，a 2＋a 4＝10，b 2b 4＝a 5.(1)求{a n }的通项公式；二、分组转化法一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成的，则求和时可用分组转化法，分别求和后再相加减．例2(2022·北京模拟)已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝20，a 3是a 2，a 5的等比中项，数列{b n }满足对任意的n ∈N *，S n ＋b n ＝2n 2．(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；(2)设c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n －n 2，n 为偶数，2a n ，n 为奇数，求数列{c n }的前2n 项的和T 2n ．跟踪练习1、已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋n ，若数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 8＝( )A ．546B ．582C ．510D ．5482、(2022·珠海模拟)已知等差数列{a n }中，a 3＋a 5＝a 4＋7，a 10＝19，则数列{a n cos n π}的前2 020项和为( )A ．1 009B ．1 010C ．2 019D ．2 0203、若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫1n ＋…＋f ⎝⎛⎭⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为__ _____．4、(2022·衡水质检)已知各项都不相等的等差数列{a n }，a 6＝6，又a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n a ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和T 2n .5、已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1，n 为奇数，a n ＋2，n 为偶数. (1)记b n ＝a 2n ，写出b 1，b 2，并求数列{b n }的通项公式；(2)求{a n }的前20项和．6、已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝2n ＋a ．(1)求a n ；(2)定义[x ]为取整数x 的个位数，如[1]＝1，[32]＝2，[143]＝3，求[a 1]＋[a 2]＋[a 3]＋…＋[a 100]的值．7、已知公比大于1的等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＝8.(1)求{a n }的通项公式；(2)记b m 为{a n }在区间(0，m ](m ∈N *)中的项的个数，求数列{b m }的前100项和S 100.8、(2022·重庆质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝9，S 5＝25.(1)求数列{a n }的通项公式及S n ；(2)设b n ＝(－1)n S n ，求数列{b n }的前n 项和T n .9、已知在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，且a 3＝5，S 7＝49.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝2n a＋a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ≥1 000，求n 的取值范围．10、(2022·青岛模拟)从“①S n ＝n ⎝⎛⎭⎫n ＋a 12；②S 2＝a 3，a 4＝a 1a 2；③a 1＝2，a 4是a 2，a 8的等比中项．”三个条件中任选一个，补充到下面的横线处，并解答．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差d ≠0，________，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝122n n S S ＋－，数列{b n }的前n 项和为W n ，求W n .注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．11、(2022·株洲质检)由整数构成的等差数列{a n }满足a 3＝5，a 1a 2＝2a 4.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，将数列{a n }，{b n }的所有项按照“当n 为奇数时，b n 放在前面；当n 为偶数时，a n 放在前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列{c n }，b 1，a 1，a 2，b 2，b 3，a 3，a 4，b 4，…，求数列{c n }的前(4n ＋3)项和T 4n ＋3.三、裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和．(1)1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1； (2)1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2； (3)1(2n －1)(2n ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1； (4)1n ＋n ＋1＝n ＋1－n ．例3(2022·南京质检)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －1，数列{b n }是等差数列，且b 1＝a 1，b 6＝a 5．(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；(2)若c n ＝1b n b n ＋1，记数列{c n }的前n 项和为T n ，证明：3T n ＜1．跟踪练习1、(2022·北京模拟)数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋n ＋1 ，若{a n }的前n 项和为9，则n的值为( )A ．576B ．99C ．624D ．625 2、(多选)已知数列{a n }满足a 1＝32，a n ＝a 2n －1＋a n －1(n ≥2，n ∈N *)．记数列{a 2n }的前n 项和为A n ，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1的前n 项和为B n ，则下列结论正确的是( ) A ．A n ＝a n ＋1－32B ．B n ＝23－1a n ＋1C ．A n B n ＝32a nD ．A n B n <32n ＋143、在数列{a n }中，a n ＝1n (n ＋1)，若{a n }的前n 项和为2 0222 023，则项数n ＝____ ____. 4、已知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1(2n －1)(2n ＋1)的前n 项和为T n ，若对任意的n ∈N *，不等式12T n <a 2－a 恒成立，则实数a 的取值范围是__ __．5、(2022·本溪模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．6、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋1＝4a n ，n ∈N *，a 1＝1．(1)在下列三个结论中选择一个进行证明，并求{a n }的通项公式； ①数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是等差数列； ②数列{}a n ＋1－2a n 是等比数列；③数列{}S n ＋1－2S n 是等比数列．(2)记b n ＝S n ＋2S n S n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个结论分别解答，则按第一个解答计分．7、给出以下三个条件：①4a 3,3a 4,2a 5成等差数列；②∀n ∈N *，点(n ，S n )均在函数y ＝2x －a 的图象上，其中a 为常数；③S 3＝7．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设{a n }是一个公比为q (q >0，且q ≠1)的等比数列，且它的首项a 1＝1，________．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2log 2a n ＋1(n ∈N *)，证明：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1b n b n ＋1的前n 项和T n <12．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．8、设{a n }是各项都为正数的单调递增数列，已知a 1＝4，且a n 满足关系式：a n ＋1＋a n ＝4＋2a n ＋1a n ，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝1a n －1，求数列{b n }的前n 项和S n .9、设数列{a n }的前n 项和为S n ，且2S n ＝3a n －1.(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，求{b n }的前n 项和T n ，证明：38≤T n ＜34.10、已知数列{a n }满足a 1＝4，且当n ≥2时，(n －1)a n ＝n (a n －1＋2n －2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是等差数列； (2)记b n ＝2n ＋1a 2n，求数列{b n }的前n 项和S n .11、(2022·合肥模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋2n .(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝log 2a n ，T n ＝1b 1b 2＋1b 2b 3＋…＋1b n b n ＋1，求T n .12、已知数列{a n }，{b n }，{c n }满足a 1＝b 1＝c 1＝1，c n ＝a n ＋1－a n ，c n ＋1＝b n b n ＋2c n，n ∈N *. (1)若{b n }为等比数列，公比q >0，且b 1＋b 2＝6b 3，求q 的值及数列{a n }的通项公式；(2)若{b n }为等差数列，公差d >0，证明：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1＋1d，n ∈N *.13、已知数列{a n }满足a 1＝12，1a n ＋1＝1a n＋2(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求证：a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n <12.14、若S n 是公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和，且S 1，S 2，S 4成等比数列，S 2＝4. ①求数列{a n }的通项公式；②设b n ＝3a n a n ＋1，T n 是数列{b n }的前n 项和，求使得T n <m 20对所有n ∈N *都成立的最小正整数m .四、错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n 项和即可用错位相减法求解．例4(2022·江门模拟)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋n －1．(1)证明：数列{a n ＋n }是等比数列并求数列{a n }的前n 项和S n ；(2)设b n ＝(2n －1)·(a n ＋n )，求数列{b n }的前n 项和T n ．跟踪练习1、(2022·广东模拟)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a n －2a n a n ＋1．(1)求{a n }的通项公式；(2)若b n ＝3na n，求数列{b n }的前n 项和S n ．2、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，对任意正整数n ，均有S n ＋1＝3S n －2n ＋2成立，a 1＝2．(1)求证：数列{a n －1}为等比数列，并求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．3、(2022·湖南模拟)某同学在复习数列时，发现曾经做过的一道题目因纸张被破坏，导致一个条件看不清(即下题中“已知”后面的内容看不清)，但在(1)的后面保留了一个“答案：S 1，S 3，S 2成等差数列”的记录，具体如下：记等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知_____________．①判断S 1，S 2，S 3的关系；(答案：S 1，S 3，S 2成等差数列)②若a 1－a 3＝3，记b n ＝n 12|a n |，求证：b 1＋b 2＋…＋b n <43． (1)请在本题条件的“已知”后面补充等比数列{a n }的首项a 1的值或公比q 的值(只补充其中一个值)，并说明你的理由；(2)利用(1)补充的条件，完成②的证明过程．4设{a n }是公比不为1的等比数列，a 1为a 2，a 3的等差中项．(1)求{a n }的公比；(2)若a 1＝1，求数列{na n }的前n 项和．5、已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝－94，且4S n ＋1＝3S n －9(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }满足3b n ＋(n －4)a n ＝0(n ∈N *)，记{b n }的前n 项和为T n .若T n ≤λb n ，对任意n ∈N *恒成立，求实数λ的取值范围．6、设数列{a n }满足a 1＝3，a n ＋1＝3a n －4n .(1)计算a 2，a 3，猜想{a n }的通项公式；(2)求数列{2n a n }的前n 项和S n .7、(2022·济宁模拟)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1,3a 2的等差中项，a 4＝16.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(－1)n log 2a 2n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .8、(2022·重庆调研)在等差数列{a n}中，已知a6＝12，a18＝36.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若________，求数列{b n}的前n项和S n，在①b n＝4a n a n＋1，②b n ＝(－1)n·a n，③b n＝2n ana 这三个条件中任选一个补充在第(2)问中，并对其求解．9、(2022·沈阳模拟)已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且a2n＋1＝2S n＋n＋1，a2＝2.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若b n＝a n·2n，数列{b n}的前n项和为T n，求使T n>2 022的最小的正整数n的值．。

高中数学专题复习1数列定义

第三章数列课题：数列（1）——数列的通项表示教学目标：1.理解数列的概念，数列的通项公式的概念；2.能由通项公式求项，并能判断某个数是否为数列中的项；3.能根据数列的前几项写出它的一个通项公式。

教学重、难点：理解数列的概念，数列的通项公式的概念，并会求数列的通项公式。

教学过程：一、引入：1.关于国际象棋的传说：棋盘第1格放1粒麦粒，第2格放2粒，第3格放4粒，依次类推，每格放的麦粒数都是前一格放的麦粒数的2倍，直到第64格子……从第一格开始麦粒数依次为1，2，22，32，……，6322.堆放7层的钢管，自上而下各层的钢管数排列成一列数： 4，5，6，7，8，9，10.①3．正整数1，2，3，4，……的倒数排列成一列数：1，12，13，14，……41，0.1，0.01，0.001，……排列成一列数：1，1.4，1.41，1.414，……5．1-，1，1-，1，……6． 3，3，3，3，……二、新课讲解：1．数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列。

数列中的每个数都叫这个数列的项。

记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ．数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a ．2．通项公式的定义：如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。

例如，数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈），数列②的通项公式是n a =1n（n N +∈）说明：（1）{}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式；（2）同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。

例如，n a = (1)n -=1,21()1,2n k k Z n k-=-⎧∈⎨+=⎩；（3）不是每个数列都有通项公式。

(完整版)数列求通项专题(总复习专题,方法全面,有答案)

求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。

解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。

)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下：由得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。

专题01 数列大题拔高练(原卷版)

【一专三练】专题01 数列大题拔高练-新高考数学复习分层训练（新高考通用）1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校联考模拟预测）数列{}n a 满足11a =，1113n n a a n +=+．(1)设27n nn n b a -=，求{}n b 的最大项；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．2．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知数列{}n a 满足11a =，2121n n a a +=+，2212n n a a -=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设12111n nT a a a =+++ ，求证：23n T <.3．（2023·吉林通化·梅河口市第五中学校考模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，1,,,;n n na n n a a n n ++⎧=⎨-⎩为奇数为偶数数列nb 满足2n n b a =．(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．4．（2023·广东广州·统考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且221n n n S a +=+(1)求1a ，并证明数列2nn a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列：(2)若222k k a S <，求正整数k 的所有取值.5．（2023·湖南岳阳·统考二模）已知数列{}n a 的前n 项和为111,1,22n n n n S a S S ++==+(1)证明数列2n n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)设3n n n b S =，若对任意正整数n ，不等式21827n m m b -+<恒成立，求实数m 的取值范围.6．（2023·广东深圳·深圳中学校联考模拟预测）在数列{}n a 中，149a =，()()()2313912n n n n a n a ++⋅+=+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设{}n a 的前n 项和为n S ，证明：525443n nn S +<-⋅.7．（2023·山西·校联考模拟预测）在①n b =②11n n n b a a +=；③2n n n b a =，这三个条件中任选一个补充在下面横线上，并解答问题．已知数列{}n a 的前n 项和23322n n S na n n =-+．(1)证明：数列{}n a 是等差数列；(2)若12a =，设___________，求数列{}n b 的前n 项和n T ．8．（2023·吉林长春·校联考一模）已知等差数列{}n a 的首项11a =，记{}n a 的前n 项和为n S ，4232140S a a -+=.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n a 公差1d >，令212n n nn n a c a a ++=⋅⋅，求数列{}n c 的前n 项和n T .9．（2023·浙江·校联考三模）已知数列{}n a 是以d 为公差的等差数列，0,n d S ≠为{}n a 的前n 项和．(1)若6336,1S S a -==，求数列{}n a 的通项公式；(2)若{}n a 中的部分项组成的数列{}n m a 是以1a 为首项，4为公比的等比数列，且214a a =，求数列{}n m 的前n 项和n T ．10．（2023·山西·统考模拟预测）已知数列{}n a 是正项等比数列，且417a a -=，238a a =.(1)求{}n a 的通项公式；(2)从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求数列{}n b 的前n 项和n S .①()21n n b n a =-；②()22121log n n b n a =+.11．（2023·辽宁沈阳·统考一模）设*n ∈N ，向量()1,1AB n =- ，()1,41AC n n =-- ，n a AB AC =⋅ ．(1)令1n n n b a a +=-，求证：数列{}n b 为等差数列；(2)求证：1211134n a a a ++⋅⋅⋅+<．12．（2023·福建厦门·厦门双十中学校考模拟预测）设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知11a =，222n n na S n n -=-，*N n ∈．(1)求证：数列{}n a 是等差数列；(2)设数列{}n b 的前n 项和为n T ，且21nn T =-，令2n n n a c b =，求数列{}n c 的前n 项和n R ．13．（2023·山东潍坊·统考一模）已知数列{}n a 为等比数列，其前n 项和为n S ，且满足()2n n S m m R =+∈.(1)求m 的值及数列{}n a 的通项公式；(2)设2log 5n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T .14．（2023·辽宁抚顺·统考模拟预测）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，n T 是等比数列{}n b 的前n 项和，且10a =，11b =，223344S T S T S T +=+=+．(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设211nn n i c a n ==⋅∑，求数列的前n 项和n P ．15．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知数列{}n a 满足()112,(1)02,N n n a n a na n n *-=-+=≥∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设n S 为数列{}n a 的前n 项和，求2023S ．16．（2023·安徽合肥·校考一模）已知数列{}n a 满足221n n n a a a ++=，13a =，23243a a =．(1)求{}n a 的通项公式；(2)若3log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求12111nS S S ++⋯+．17．（2023·辽宁葫芦岛·统考一模）设等差数列{}n a 的前项和为n S ，已知1239a a a ++=，2421a a ⋅=，等比数列{}n b 满足2334b b +=，234164b b b =．(1)求n S ；(2)设n n c =，求证：1234n c c c c ++++< ．18．（2023·山东枣庄·统考二模）已知数列{}n a 的首项13a =，且满足2122n n n a a +++=．(1)证明：{}2n n a -为等比数列；(2)已知2,log ,n n na nb a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，n T 为{}n b 的前n 项和，求10T ．19．（2023·山东聊城·统考一模）已知数列{}n a 满足1322a a a +=，13,2,n n na n a a n +⎧=⎨+⎩为奇数为偶数，数列{}n c 满足21n n c a -=．(1)求数列{}n c 和{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S ．20．（2023·江苏·二模）已知数列{}n a 满足112a =-，()1120n n n a na +++=.数列{}nb 满足11b =，1n n n b k b a +=⋅+ ．(1)求{}n a 的通项公式；(2)证明：当1k ≤时，1132n n n b -+≤- ．21．（2023·江苏·统考一模）在数列}n a 中，若()*1123N n n a a a a a d n +-⋅⋅⋅=∈，则称数列{}n a 为“泛等差数列”，常数d 称为“泛差”.已知数列{}n a 是一个“泛等差数列”，数列{}n b 满足22212123n n n a a a a a a a b =⋅++⋅⋅⋅⋅-⋅+.(1)若数列{}n a 的“泛差”1d =，且1a ，2a ，3a 成等差数列，求1a ；(2)若数列{}n a 的“泛差”1d =-，且112a =，求数列{}nb 的通项n b .22．（2023·辽宁辽阳·统考一模）某体育馆将要举办一场文艺演出，以演出舞台为中心，观众座位依次向外展开共有10排，从第2排起每排座位数比前一排多4个，且第三排共有49个座位.(1)设第n 排座位数为()1,2,,10n a n =L ，求n a 及观众座位的总个数；(2)已知距离演出舞台最远的第10排的演出门票的价格为500元/张，每往前推一排，门票单价为其后一排的1.1倍，若门票售罄，试问该场文艺演出的门票总收入为多少元？（取101.1 2.594=）23．（2023·浙江温州·统考二模）已知{}n a 是首项为1的等差数列，公差{}0,n d b >是首项为2的等比数列，4283,a b a b ==．(1)求{}{},n n a b 的通项公式；(2)若数列{}n b 的第m 项m b ，满足__________（在①②中任选一个条件），*N k ∈，则将其去掉，数列{}n b 剩余的各项按原顺序组成一个新的数列{}n c ，求{}n c 的前20项和20S ．①4log m k b a =②31m k b a =+．24．（2023·山西太原·统考一模）已知等差数列{}n a 中，11a =，n S 为{}n a 的前n 项和，且也是等差数列.(1)求n a ；(2)设()*1n n n n S b n a a +=∈N ，求数列{}n b 的前n 项和n T .25．（2023·云南红河·统考二模）已知等差数列{}n a 的公差0d >，12a =，其前n 项和为n S ，且______．在①1a ，3a ，11a 成等比数列；333S =；③221133n n n n a a a a ++-=+这三个条件中任选一个，补充在横线上，并回答下列问题．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足()11nn n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．注：如果选择多个条件分别解答，那么按第一个解答计分．26．（2023·辽宁大连·校联考模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项之积为()(1)22N n n n S n -*=∈．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)设公差不为0的等差数列{}n b 中，11b =，___________，求数列{}2log 2n b n a +的前n 项和n T ．请从①224b b =；②358b b +=这两个条件中选择一个条件，补充在上面的问题中并作答．注：如果选择多个条件分别作答，则按照第一个解答计分．27．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且413a =，672S =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，且344n n T b =-．(1)求数列{}n a ，{}n b 的通项公式．(2)记()152n n n n a b c +-⋅=，若数列{}n c 的前n 项和为n Q ，数列的前n 项和为n R ，探究：n n nQ R c +是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．28．（2023·湖南常德·统考一模）已知数列{}n a 满足1224444n n n a a a n +++=L （*n ∈N ）.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11n n n b a a +=，求{}n b 的前n 项和n S .29．（2023·山东济宁·统考一模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：*111,2(N )n n a na S n n +==+∈. (1)求证：数列1n a n +⎧⎫⎨⎬⎩⎭为常数列；(2)设3123123333n n n a a a a a a a a T =++++ ，求n T .30．（2023·湖南长沙·湖南师大附中校考一模）如图，已知曲线12:(0)1x C y x x =>+及曲线21:(0)3C y x x=>.从1C 上的点)n P n +∈N 作直线平行于x 轴，交曲线2C 于点n Q ，再从点n Q 作直线平行于y 轴，交曲线1C 于点1n P +，点n P 的横坐标构成数列{}1102n a a ⎛⎫<< ⎪⎝⎭.(1)试求1n a +与n a 之间的关系，并证明：()21212n n a a n -+<<∈N ；(2)若113a =，求n a的通项公式.。

第17课时(数列复习专题(1))

1．数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． 2．等差、等比数列的定义． 3．等差、等比数列的通项公式． 4．等差中项、等比中项．5．等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法．例题剖析（1）已知等差数列的第p n k ，，项构成等比数列的连续3项，如果这个等差数列不是常数列，则等比数列的公比为．（2）182 ，，，，z y x 成等比数列，则=x ．（3）三个数成等比数列，它们的积为512，如果中间一个数加上2，则成等差数列，这三个数是．（4）一个数列的前n 项和为n S n n1)1(4321+-++-+-= ，则=++503317S S S ．例1（5）一个数列}{n a ，当n 为奇数时，15+=n a n ，当n 为偶数时，22n n a =，则这个数列前m 2项的和为．（6）已知正项等比数列}{n a 共有m 2项，且)(94342a a a a +=⋅，++++ 321a a a)(426422m ma a a a a ++++= ，则=1a ，公比=q ．（7）设}{n a ，}{n b 都是等差数列，它们的前n 项和分别为n S ，n T ，已知1235-+=n n T S n n ，则=n n b a ；=55b a ．（8）已知方程022=++m x x和022=+-n x x 一共四个根组成一个首项为3的等差数列，则=-n m ．（9）一个直角三角形三边长组成等差数列，则它的三边长从小到大的比值为．例2 某三个互不相等的数组成等差数列，如果适当排列此三数，也可成等比数列，已知这三个数的和等于6，求这三个数．课堂小结等差、等比数列的概念和公式．课后训练班级：高一（）班姓名：____________一基础题1．若直角三角形的三边的长组成公差为3的等差数列，则三边长分别为（） A ．5，8，11 B ．9，12，15 C ．10，13，16 D ．15，18，21 2．设{}n a 是等比数列，有下列四个命题：（1）{}2n a 是等比数列；（2）{}1+n n a a 是等比数列；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1是等比数列；（4）{}||lg n a 是等比数列；其中正确命题的序号为．3．写出数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：（1）16795431，，，；（2）978756534312⨯ ⨯ ⨯ ⨯，，，；（3）11，101，1001，10001；（4）818929432- - ，，，；二提高题4．已知四个数依次成等差数列，且四个数的平方和为94，首尾两数之积比中间两数之积少18，求此等差数列．5．等差数列{}n a 中，前m 项（m 为奇数）和为77，其中偶数项之和为33，且181=-ma a ，求通项公式．6．在等差数列{}n a 中，已知)(q p p S q S q p ≠= =，，求q p S +．三能力题7．如图是第七届国际数学教育大会)7(-ICME 的会徽图案轮廓，它是由一串直角三角形组成的，其中18732211=====A A A A A A OA ，记821OA OA OA ，，，的长度所组成的数列为{}n a )81(≤≤ ∈+n N n ，,写出数列{}n a 的通项公式．8．一个正方形被分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉，再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉，如此继续下去…… （1）第三次分割时共挖掉了多少个正方形？（2）设原正方形边长为a ，第n 次分割时共挖掉了多少个正方形？这些正方形的面积和为多少？127A 8。

数列求和专题——奇数、偶数--学生版

数列求和专题——奇数、偶数19．（12分）（2016•滨州二模）已知数列{a n}的前n项和S n=．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n（a n•+），求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2015•潍坊模拟）已知等差数列{a n}的公差d≠0，首项a1=3，且a1、a4、a13成等比数列，设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N+）．（1）求a n和S n；（2）若b n=，数列{b n}的前n项和T n．求证：3≤T n＜24．19．（12分）（2015•温州二模）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=2，且a n+1=2a n+3a n﹣1（n≥2，n ∈N+）．（Ⅰ）设b n=a n+1+a n（n∈N+），求证{b n}是等比数列；（Ⅱ）（i）求数列{a n}的通项公式；（ii）求证：对于任意n∈N+都有++…++＜成立．19．（12分）（2016•山东二模）已知正数数列{a n}满足：a1=1，a n+12﹣2a n+1=a n2+2a n．数列{b n}满足b n•b n+1=3n且b2=9．（I）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）已知c n=2n a n+b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•威海一模）已知正项数列{a n}的前n项和为S n，且．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列与的前n项和为T n，求证：．19．（12分）（2016•山东模拟）已知数列{a n}的前n项和S n=a n+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=，且数列{b n}的前n项和为T n，求T2n．19．（12分）（2016•德州校级二模）已知数列{a n}的前n项和为S n，若对任意正整数n，都有a n=+2．（1）设b n=log2a n，求证：数列{b n}为等差数列；（2）在（1）的条件下，设c n=（﹣1）n+1，数列{c n}的前n项和为T n，求证：≤T n ≤．18．（12分）（2016•临沂二模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2=6，S5=45；数列{b n}前n项和为T n，且T n﹣2b n+3=0．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设c n=，求数列{c n}的前n项和Q n．19．（12分）（2016•山东三模）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n2+2n；数列{b n}是公比大于1的等比数列，且满足b1+b4=9，b2b3=8．（Ⅰ）分别求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）若c n=（﹣1）n S n+a n b n，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•江门模拟）已知{a n}是正项等差数列，∀n∈N*，数列{}的前n 项和S n=．（Ⅰ）求a n；（Ⅱ）设b n=（﹣1）n a n2，n∈N*，求数列{b n}的前n项和T n．数列求和专题——裂项相消（累乘与累加）19．（12分）（2016•威海二模）设单调数列{a n}的前n项和为S n，6S n=a n2+9n﹣4，a1，a2，a6成等比数列．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•日照一模）已知数列{a n}前n项和S n满足：2S n+a n=1（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，求证：T n＜．19．（12分）（2016•青岛二模）等差数列{a n}的前n项和为S n，a22﹣3a7=2，且成等比数列，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，数列{b n}的前n项和为T n，若对于任意的n∈N*，都有64T n＜|3λ﹣1|成立，求实数λ的取值范围．19．（12分）（2016•青岛一模）已知数列{a n}满足2a n a n+1=a n﹣a n+1，且a1=，n∈N+．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设数列{b n}的前n项和为S n，若数列{b n}满足b n=（k∈N+），求S64；（3）设T n=+++…+，是否存在实数c，使{}为等差数列，请说明理由．19．（12分）（2016•济宁二模）已知数列{a n}的前n项和为S n=n2+2n，在等比数列{b n}中，b1+b3=5．b4+b6=40．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=，设数列{c n}的前n项和为T n，求T2n．18．（12分）（2016•济宁三模）已知数列{a n}满足：++…+=（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=a n a n+1，S n为数列{b n}的前n项和，对于任意的正整数n，S n＞2λ﹣恒成立，求实数λ的取值范围．18．（12分）（2016•德州二模）已知数列{a n}满足a1=1，a1+a2+a3+…+a n=a n+1﹣1（n∈N），数列{a n}的前n项和为S n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，T n是数列{b n}的前n项和，求使得T n＜对所有n∈N，都成立的最小正整数m．20．（12分）（2016•莱芜一模）已知数列a n是公差不为零的等差数列，且a3=5，a2，a4，a12成等比数列．数列{b n}的每一项均为正实数，其前n项和为S n，且满足4S n=b n2+2b n﹣3（n∈N*）（I）数列{a n}，{b n}的通项公式（Ⅱ）令c n=，记数列{c n}的前n项和为T n，若≥对∀n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．17．（12分）（2016•衡阳三模）设函数f（x）=+（x＞0），数列{a n}满足a1=1，a n=f（），n∈N*，且n≥2（1）求数列{a n}的通项公式；（2）对n∈N*，设S n=+++…+，若S n≥恒成立，求实数t的取值范围．19．（12分）（2015•山东一模）数列{a n}中，a1=1，当n≥2时，其前n项和为S n，满足S n2=a n （S n﹣）．（1）求S n的表达式；（2）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n，不等式T n≥（m2﹣5m）对所有的n∈N*恒成立，求正整数m的最大值．20．（12分）（2016•日照二模）设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=+log2图象上任意两点，M为线段AB的中点．已知点M的横坐标为．若S n=f（）+f（）+…+f（），n∈N*，且n≥2．（Ⅰ）求S n；（Ⅱ）已知a n=，其中n∈N*，T n为数列{a n}的前n项和，若T n＜λ（S n+1）对一切n∈N*都成立，试求实数λ的取值范围．+118．（12分）（2016•泰安二模）已知正项等差数列{a n}的首项为a1=2，前n项和为S n，若a1+3，2a2+2，a6+8成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记P n=+++…+，Q n=+++…+，证明：P n≥Q n．19．（12分）（2015•茂名一模）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，且2nS n+1﹣2（n+1）S n=n （n+1）（n∈N*）．数列{b n}满足b n+2﹣2b n+1+b n=0（n∈N*）．b3=5，其前9项和为63．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）令c n=+，数列{c n}的前n项和为T n，若对任意正整数n，都有T n﹣2n∈[a，b]，求b﹣a的最小值．数列求和专题——错位相减专题19．（12分）（2016•济宁一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1=2，S5=30，数列{b n}的前n项和为T n，且T n=2n﹣1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=（﹣1）n（a n b n+lnS n），求数列{c n}的前n项和．18．（12分）（2016•平度市三模）已知数列{a n}的前n项和为S n，向量=（S n，1），=（2n ﹣1，），满足条件∥，（1）求数列{a n}的通项公式，（2）设函数f（x）=（）x，数列{b n}满足条件b1=1，f（b n+1）=．①求数列{b n}的通项公式，②设c n=，求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•平度市模拟）单调递增数列{a n}的前n项和为S n，且满足4S n=a n2+4n．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）数列{b n}满足a n+1+log2b n=log2a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•青岛一模）已知等差数列{a n}的公差d=2，其前n项和为S n，数列{b n}的首项b1=2，其前n项和为T n，满足=T n+2，n∈N*．（Ⅰ）求数列{a n}、{b n}的通项公式；（Ⅱ）求数列{|a n b n﹣14|}的前n项和W n．19．（12分）（2016•邹城市校级模拟）已知正项数列{a n}，若前n项和S n满足8S n=a n2+4a n+3，且a2是a1和a7的等比中项（1）求数列{a n}的通项公式；（2）符号[x]表示不超过实数x的最大整数，记b n=[log2（）]，求b1+b2+b3+…．19．（12分）（2016•菏泽二模）数列{a n}的前n项和为S n，且S n=n（n+1）（n∈N+）数列{b n}满足a n=+++…+（1）求数列{b n}的通项公式；（2）令c n=（n∈N+），求数列{c n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•德州一模）已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n=n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）令，写出T n关于n的表达式，并求满足T n＞时n的取值范围．19．（12分）（2016•菏泽一模）已知数列{b n}的前n项和．（Ⅰ）求数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{a n}的通项，求数列{a n}的前n项和T n．19．（12分）（2016•滨州一模）设数列{a n}的前n项和为S n，且S n=2a n﹣2（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=log2a n，c n=，求数列{c n}的前项和T n．18．（12分）（2016•临沂一模）已知正项数列{a n}的前n项和S n满足6S n=a n2+3a n+2，且a2是a1和a6的等比中项．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）符合[x]表示不超过实数x的最大整数，如[log23]=1，[log25]=2．记，求数列的前n项和T n．18．（12分）（2016•泰安一模）已知等比数列{a n}的公比q＞1，a1=1，且a1，a3，a2+14成等差数列，数列{b n}满足：a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•3n+1，n∈N．（I）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（Ⅱ）若ma n≥b n﹣8恒成立，求实数m的最小值．数列求和专题——分组求和19．（12分）（2016•济南模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a2=3，a n+2=（2+cosnπ）（a n+1）﹣3（n∈N*）．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）令b n=，T n为数列{b n}的前n项和，求T2n．数列求和专题——数学归纳法证明18．（12分）（2016•潍坊二模）已知等比数列{a n}满足a n+1+a n=10•4n﹣1（n∈N*），数列{b n}的前n项和为S n，且b n=log2a n．（I）求b n，S n；（Ⅱ）设c n=，证明：++…+＜S n+1（n∈N*）．。