【步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：8.2求指定项与求和.doc

合集下载

2017版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题8 概率与统计第34练含解析

第34练“排列、组合”常考问题［题型分析·高考展望] 该部分是高考数学中相对独特的一个知识板块，知识点并不多，但解决问题的方法十分灵活,主要内容是分类计数原理和分步计数原理、排列与组合、二项式定理等,在高考中占有特殊的位置．高考试题主要以填空题的方式呈现，考查排列、组合的应用．体验高考1．（2015·四川改编)用数字0，1，2，3,4，5组成没有重复数字的五位数，其中比40 000大的偶数共有________个．答案120解析由题意，首位数字只能是4,5，若万位是5，则有3×A错误!＝72(个）;若万位是4，则有2×A错误!＝48（个)，故比40 000大的偶数共有72＋48＝120（个)．2．（2015·广东）某高三毕业班有40人,同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了________条毕业留言．（用数字作答)答案 1 560解析依题意两两彼此给对方写一条毕业留言相当于从40人中任选两人的排列数，所以全班共写了A错误!＝40×39＝1 560（条）毕业留言．3．(2016·四川改编）用数字1，2，3,4，5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为________．答案72解析由题意可知,五位数要为奇数，则个位数只能是1，3,5;分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C错误!，再将剩下的4个数字排列得到A错误!，则满足条件的五位数有C错误!·A错误!＝72（个)．4．(2016·课标全国甲改编)如图,小明从街道的E处出发,先到F处与小红会合,再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为________．答案18解析从E点到F点的最短路径有6种，从F点到G点的最短路径有3种，所以从E点到G点的最短路径为6×3＝18(种）．高考必会题型题型一排列问题例1 (1）在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子,它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为________．(2）即将毕业的6名同学排成一排照相留念，个子较高的明明同学既不能站最左边，也不能站最右边,则不同的站法种数为________．答案(1）1 200 （2）480解析(1)由已知，第一颗棋子有5×5＝25（种）放法，由于放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，所以第二颗棋子有4×4＝16（种)放法，第三颗棋子有3×3＝9(种)放法，第四颗棋子有2×2＝4(种)放法,第五颗棋子有1种放法，又由于黑子、白子分别相同，所以不同的排列方法种数为错误!＝1 200.（2）方法一（位置分析法)先从其他5人中安排2人分别站在最左边和最右边，再安排余下4人的位置,分为两步:第1步,从除明明外的5人中选2人分别站在最左边和最右边,有A错误!种站法；第2步,余下4人（含明明）站在剩下的4个位置上，有A错误!种站法．由分步计数原理，知共有A错误!A错误!＝480(种）不同的站法．方法二(元素分析法）先安排明明的位置，再安排其他5人的位置，分为两步：第1步，将明明排在除最左边、最右边外的任意位置上，有A14种站法；第2步，余下5人站在剩下5个位置上，有A错误!种站法．由分步计数原理,知共有A错误!A错误!＝480（种）不同的站法．方法三（反面求解法)6人没有限制的排队有A错误!种站法，明明站在最左边或最右边时6人排队有2A错误!种站法，因此符合条件的不同站法共有A错误!－2A错误!＝480(种)．点评求解排列问题的常用方法（1)特殊元素(特殊位置)优先法；（2）相邻问题捆绑法；(3）不相邻问题插空法；（4）定序问题缩倍法；(5)多排问题一排法．变式训练1 (1)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为________．（2)(2016·宜春奉新一中月考)有甲、乙、丙、丁、戊5位同学，求：①5位同学站成一排，有________种不同的方法；②5位同学站成一排，要求甲乙必须相邻，丙丁不能相邻，有________种不同的方法．答案(1）24 (2)①120②24解析（1）剩余的3个座位共有4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A错误!＝4×3×2＝24.(2)①A错误!＝120。

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：2.3如何让“线性规划”不失分(含答案解析)

第5练如何让“线性规划”不失分[题型分析·高考展望] “线性规划”是高考每年必考的内容，主要以填空题的形式考查，题目难度稍高．二轮复习中，要注重常考题型的反复训练，注意研究新题型的变化点，争取在该题目上做到不误时，不丢分．体验高考1．(2015·天津改编)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2≥0，x －y ＋3≥0，2x ＋y －3≤0，则目标函数z ＝x ＋6y 的最大值为______．答案 18解析画出约束条件的可行域如图中阴影部分，作直线l ：x ＋6y ＝0，平移直线l 可知，直线l 过点A 时，目标函数z ＝x ＋6y 取得最大值，易得A (0,3)，所以z max ＝0＋6×3＝18.2．(2015·陕西改编)某企业生产甲、乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元.答案 18解析设甲，乙的产量分别为x 吨，y 吨，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2y ≤12，x ＋2y ≤8，x ≥0，y ≥0，目标函数z ＝3x ＋4y ，线性约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示：可得目标函数在点A 处取到最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝8，3x ＋2y ＝12，得A (2,3)．则z max ＝3×2＋4×3＝18(万元)．3．(2015·课标全国Ⅱ)若x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋1≥0，x －2y ≤0，x ＋2y －2≤0，则z ＝x ＋y 的最大值为____________．答案 32解析画出约束条件表示的可行域如图中阴影部分(△ABC )所示：作直线l 0：x ＋y ＝0，平移l 0到过点A 的直线l 时，可使直线y ＝－x ＋z 在y 轴上的截距最大，即z 最大，解⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＝0，x ＋2y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝12，即A ⎝⎛⎭⎫1，12，故z 最大＝1＋12＝32. 4．(2016·山东改编)若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0，则x 2＋y 2的最大值是________．答案 10解析满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0的可行域如图中阴影部分(包括边界)，x 2＋y 2是可行域上动点(x ，y )到原点(0,0)距离的平方，显然，当x ＝3，y ＝－1时，x 2＋y 2取最大值，最大值为10.5．(2016·浙江改编)若平面区域⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3≥0，2x －y －3≤0，x －2y ＋3≥0夹在两条斜率为1的平行直线之间，则这两条平行直线间的距离的最小值是________．答案 2解析已知不等式组所表示的平面区域如图所示的阴影部分，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －2y ＋3＝0，x ＋y －3＝0，解得A (1,2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －3＝0，2x －y －3＝0，解得B (2,1)．由题意可知，当斜率为1的两条直线分别过点A 和点B 时，两直线的距离最小，即AB ＝(1－2)2＋(2－1)2＝ 2.高考必会题型题型一已知约束条件，求目标函数的最值例1 (2016·北京改编)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ≤0，x ＋y ≤3，x ≥0，则2x ＋y 的最大值为________．答案 4解析不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．令z ＝2x ＋y ，则y ＝－2x ＋z ，作直线2x ＋y ＝0并平移，当直线过点A 时，截距最大，即z 取得最大值，由⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －y ＝0，x ＋y ＝3，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝2，所以A 点坐标为(1,2)，可得2x ＋y 的最大值为2×1＋2＝4.变式训练1 已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≥0，x ＜2，x ＋y －1≥0，则z ＝|4x －4y ＋3|的取值范围是________．答案 [53，15)解析根据题意画出不等式所表示的可行域，如图所示，z ＝|4x－4y ＋3|＝|4x －4y ＋3|42×42表示的几何意义是可行域内的点(x ，y )到直线4x －4y ＋3＝0的距离的42倍，结合图象易知点A (2，－1)，B (13，23)到直线4x －4y ＋3＝0的距离分别为最大和最小，此时z 分别取得最大值15与最小值53，故z ∈[53，15)．题型二解决参数问题例2 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤1，x －y ≤1，x ≥a ，若x ＋2y ≥－5恒成立，则实数a 的取值范围为________．答案 [－1,1]解析由题意作出不等式组所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，则x ＋2y ≥－5恒成立可转化为图中的阴影部分在直线x ＋2y ＝－5的上方，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋2y ＝－5，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2，由⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＝1，x ＋y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，则实数a 的取值范围为[－1,1]．点评所求参数一般为对应直线的系数，最优解的取得可能在某点，也可能是可行域边界上的所有点，要根据情况利用数形结合进行确定，有时还需分类讨论．变式训练2 已知a ＞0，x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x ＋y ≤3，y ≥a (x －3)，若z ＝2x ＋y 的最小值为1，则a ＝________. 答案 12解析作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．易知直线z ＝2x ＋y 过交点A 时，z 取最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝a (x －3)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－2a ，∴z min ＝2－2a ＝1，解得a ＝12.题型三简单线性规划的综合应用例3 (1)(2016·浙江改编)在平面上，过点P 作直线l 的垂线所得的垂足称为点P 在直线l 上的投影．由区域⎩⎪⎨⎪⎧x －2≤0，x ＋y ≥0，x －3y ＋4≥0中的点在直线x ＋y －2＝0上的投影构成的线段记为AB ，则AB ＝________.(2)(2016·课标全国乙)某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A 需要甲材料1.5kg ，乙材料1kg ，用5个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5kg ，乙材料0.3kg ，用3个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元．该企业现有甲材料150kg ，乙材料90kg ，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A 、产品B 的利润之和的最大值为________元．答案 (1)32 (2)216000解析 (1)已知不等式组表示的平面区域如图中△PMQ 所示．因为l 与直线x ＋y ＝0平行．所以区域内的点在直线x ＋y －2上的投影构成线段AB ，则AB ＝PQ .由⎩⎪⎨⎪⎧x －3y ＋4＝0，x ＋y ＝0，解得P (－1,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，x ＋y ＝0，解得Q (2，－2)．所以AB ＝PQ ＝(－1－2)2＋(1＋2)2＝3 2.(2)设生产A 产品x 件，B 产品y 件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，得线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧1.5x ＋0.5y ≤150，x ＋0.3y ≤90，5x ＋3y ≤600，x ≥0，y ≥0，x ∈N *，y ∈N *，目标函数z ＝2100x ＋900y .作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为(60,100)，(0,200)，(0,0)，(90,0)，在(60,100)处取得最大值，z max ＝2100×60＋900×100＝216000(元)．点评若变量的约束条件形成一个区域，如圆、三角形、带状图形等，都可考虑用线性规划的方法解决，解决问题的途径是：集中变量的约束条件得到不等式组，画出可行域，确定变量的取值范围，解决具体问题．变式训练3 (名师改编)设点P (x ，y )是不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，x －2y ＋1≥0，x ＋y ≤3所表示的平面区域内的任意一点，向量m ＝(1,1)，n ＝(2,1)，点O 是坐标原点，若向量OP →＝λm ＋μn (λ，μ∈R)，则λ－μ的取值范围是________．答案 [－6,2]解析画出不等式组所表示的可行域，如图中阴影部分所示．由题意，可得(x ，y )＝λ(1,1)＋μ(2,1)＝(λ＋2μ，λ＋μ)，故⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ＋2μ，y ＝λ＋μ.令z ＝λ－μ＝－2(λ＋2μ)＋3(λ＋μ)＝－2x ＋3y ，变形得y ＝23x ＋z3.当直线y ＝23x ＋z 3过点A (－1,0)时，z 取得最大值，且z max ＝2；当直线y ＝23x ＋z3过点B (3,0)时，z 取得最小值，且z min ＝－6.高考题型精练1．(2015·安徽改编)已知x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥1，则z ＝－2x ＋y 的最大值是________．答案－1解析约束条件下的可行域如图所示，由z ＝－2x ＋y 可知y ＝2x ＋z ，当直线y ＝2x ＋z 过点A (1,1)时，截距最大，此时z 最大为－1. 2．在平面直角坐标系中，点P 是由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，x ＋y ≥1所确定的平面区域内的动点，Q 是直线2x ＋y ＝0上任意一点，O 为坐标原点，则|OP →＋OQ →|的最小值为________．答案55解析在直线2x ＋y ＝0上取一点Q ′，使得Q ′O →＝OQ →，则|OP →＋OQ →|＝|OP →＋Q ′O →|＝|Q ′P →|≥|P ′P →|≥|BA →|，其中P ′，B 分别为点P ，A 在直线2x ＋y ＝0上的投影，如图．因为|AB →|＝|0＋1|12＋22＝55，因此|OP →＋OQ →|min ＝55.3．若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y －1≥0，2x －y －1≥0，x ＋y ≤m ，若目标函数z ＝x －y 的最小值为－2，则实数m 的值为________．答案 8解析画出x ，y 满足的可行域如图．可得直线y ＝2x －1与直线x ＋y ＝m 的交点使目标函数z ＝x －y 取得最小值，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，x ＋y ＝m ，解得x ＝m ＋13，y ＝2m －13，代入x －y ＝－2得m ＋13－2m －13＝－2⇒m ＝8.4．已知圆C ：(x －a )2＋(y －b )2＝1，平面区域Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －7≤0，x －y ＋3≥0，y ≥0.若圆心C ∈Ω，且圆C 与x 轴相切，则a 2＋b 2的最大值为________．答案 37解析由已知得平面区域Ω为△MNP 内部及边界． ∵圆C 与x 轴相切，∴b ＝1.显然当圆心C 位于直线y ＝1与x ＋y －7＝0的交点(6,1)处时，a max ＝6. ∴a 2＋b 2的最大值为62＋12＝37. 5．设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －2≤0，x －y ≥0，x ≥0，y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)的最大值为4，则ab 的取值范围是________．答案 (0,4]解析作出不等式组表示的区域如图中阴影部分所示，由图可知，z ＝ax ＋by (a ＞0，b ＞0)过点A (1,1)时取最大值，∴a ＋b ＝4，ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝4，∵a ＞0，b ＞0， ∴ab ∈(0,4]．6．已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≥1，x －y ≤1，y －1≤0，若z ＝x －2y 的最大值与最小值分别为a ，b ，且方程x 2－kx ＋1＝0在区间(b ，a )上有两个不同实数解，则实数k 的取值范围是________．答案 (－103，－2)解析作出可行域，如图所示，则目标函数z ＝x －2y 在点(1,0)处取得最大值1，在点(－1,1)处取得最小值－3， ∴a ＝1，b ＝－3，从而可知方程x 2－kx ＋1＝0在区间(－3，1)上有两个不同实数解．令f (x )＝x 2－kx ＋1，则⎩⎪⎨⎪⎧f (－3)＞0，f (1)＞0，－3＜k2＜1，Δ＝k 2－4＞0，⇒－103＜k ＜－2.7．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m ，若目标函数z ＝2x ＋y 的最大值与最小值的差为2，则实数m 的值为________．答案 2解析 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ≥0，x ＋y －4≤0，y ≥m表示的可行域如图中阴影部分所示．将直线l 0：2x ＋y ＝0向上平移至过点A ，B 时，z ＝2x ＋y 分别取得最小值与最大值．由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1－y ＝0，y ＝m 得A (m －1，m )，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －4＝0，y ＝m 得B (4－m ，m )，所以z min ＝2(m －1)＋m ＝3m －2， z max ＝2(4－m )＋m ＝8－m ，所以z max －z min ＝8－m －(3m －2)＝2，解得m ＝2. 8．设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，y －m ＞0表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2，求得m 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎭⎫－∞，－23 解析当m ≥0时，若平面区域存在，则平面区域内的点在第二象限，平面区域内不可能存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0＝2，因此m ＜0. 如图所示的阴影部分为不等式组表示的平面区域．要使可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需可行域边界点(－m ，m )在直线y ＝12x －1的下方即可，即m ＜－12m －1，解得m ＜－23.9．(2016·江苏)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋4≥0，2x ＋y －2≥0，3x －y －3≤0，则x 2＋y 2的取值范围是________．答案 ⎣⎡⎦⎤45，13 解析已知不等式组所表示的平面区域如下图：x 2＋y 2表示原点到可行域内的点的距离的平方．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x －y －3＝0，x －2y ＋4＝0，得A (2,3)．由图可知(x 2＋y 2)min ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫|－2|22＋122＝45， (x 2＋y 2)max ＝OA 2＝22＋32＝13.10．4件A 商品与5件B 商品的价格之和不小于20元，而6件A 商品与3件B 商品的价格之和不大于24，则买3件A 商品与9件B 商品至少需要________元．答案 22解析设1件A 商品的价格为x 元，1件B 商品的价格为y 元，买3件A 商品与9件B 商品需要z 元，则z ＝3x ＋9y ，其中x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 4x ＋5y ≥20，6x ＋3y ≤24，x ≥0，y ≥0，作出不等式组表示的平面区域，如图所示，其中A (0,4)，B (0,8)，C (103，43)．当y ＝－13x ＋19z 经过点C 时，目标函数z 取得最小值．所以z min ＝3×103＋9×43＝22. 因此当1件A 商品的价格为103元，1件B 商品的价格为43元时，可使买3件A 商品与9件B 商品的费用最少，最少费用为22元．11．给定区域D ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，x ≥0，令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，y 0)是z ＝x ＋y 在D上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．答案 6解析线性区域为图中阴影部分，取得最小值时点为(0,1)，最大值时点为(0,4)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(4,0)，故共可确定6条不同的直线．12．(2015·浙江)若实数x ，y 满足x 2＋y 2≤1，则|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是________．答案 3解析满足x 2＋y 2≤1的实数x ，y 表示的点(x ，y )构成的区域是单位圆及其内部．f (x ，y )＝|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |＝|2x ＋y －2|＋6－x －3y＝⎩⎪⎨⎪⎧4＋x －2y ，y ≥－2x ＋2，8－3x －4y ，y <－2x ＋2. 直线y ＝－2x ＋2与圆x 2＋y 2＝1交于A ，B 两点，如图所示，易得B ⎝⎛⎭⎫35，45.设z 1＝4＋x －2y ，z 2＝8－3x －4y ，分别作直线y ＝12x 和y ＝－34x 并平移，则z 1＝4＋x －2y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，z 2＝8－3x －4y 在点B ⎝⎛⎭⎫35，45取得最小值为3，所以|2x ＋y －2|＋|6－x －3y |的最小值是3.。

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：技巧篇第二篇(含答案解析)

[题型解读] 解答题是高考试卷中的一类重要题型，通常是高考的把关题和压轴题，具有较好的区分层次和选拔功能．目前的高考解答题已经由单纯的知识综合型转化为知识、方法和能力的综合型解答题．要求考生具有一定的创新意识和创新能力．解答题综合考查运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力和分析问题、解决问题的能力．[模板和细则] “答题模板”是指针对解答数学解答题的某一类型，分析解题的一般思路，规划解题的程序和格式，拟定解题的最佳方案，实现答题效率的最优化；评分细则是阅卷的依据，通过认真研读评分细则，重视解题步骤的书写，规范解题过程，做到会做的题得全分；对于最后的压轴题也可以按步得分，踩点得分，一分也要抢．模板1 三角函数与解三角形例1 (14分)(2016·济宁模拟)已知函数f (x )＝cos x sin(x －π6)．(1)当x ∈[0，π2]时，求函数f (x )的值域；(2)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A )＝14，a ＝3且sin B ＝2sin C ，求△ABC 的面积．评分细则 (1)化简f (x )的过程中，和差公式的应用，二倍角公式的应用，辅助角公式的应用各给1分；中间只缺一步且结果正确者不扣分； (2)求f (x )值时无2x －π6的范围扣1分；(3)求角A 时没有用上条件0<A <π的扣1分；(4)利用余弦定理求b 、c 时公式正确，计算错误给2分．变式训练1 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋32sin2x .(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若f (A2)＝3，△ABC 的面积为33，求a 的最小值．解 (1)f (x )＝32－32cos2x ＋32sin2x ＝3sin(2x －π6)＋32.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋3π2，k ∈Z ，解得k π＋π3≤x ≤k π＋5π6，k ∈Z ，∴f (x )的单调递减区间为[k π＋π3，k π＋5π6](k ∈Z)．(2)∵f (A 2)＝3sin(A －π6)＋32＝3，∴sin(A －π6)＝12，∵0＜A ＜π，∴A ＝π3.又∵12bc sin π3＝33，∴bc ＝12.∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－bc ≥bc ＝12，∴a ≥23(当且仅当b ＝c ＝23时取“＝”)． ∴a 的最小值是2 3.模板2 空间中的平行与垂直关系例2 (14分)如图，四棱锥P －ABCD 的底面为正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，P A ⊥AD ，点E ，F ，H 分别为AB ，PC ，BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面P AD ； (2)求证：平面P AH ⊥平面DEF .则四边形AEFM为平行四边形，∴AM∥EF.4分∵EF⊄平面P AD，AM⊂∴EF∥平面P AD.6分评分细则 1.第(1)问证出AE 綊FM ，给2分；通过AM ∥EF 证线面平行时，缺1个条件扣1分；利用面面平行证明EF ∥平面P AD ，同样给分；2．第(2)问，证明P A ⊥底面ABCD 时缺少条件扣2分；证明DE ⊥AH 时，只要指明点E ，F 分别为正方形边AB 、BC 中点，得DE ⊥AH ，不扣分；证明DE ⊥平面P AH ，只要写出DE ⊥AH ，DE ⊥P A ，缺少条件不扣分．变式训练2 (2015·北京)如图，在三棱锥VABC 中，平面VAB ⊥平面ABC ，△VAB 为等边三角形，AC ⊥BC 且AC ＝BC ＝2，O ，M 分别为AB ，VA 的中点．(1)求证：VB ∥平面MOC ； (2)求证：平面MOC ⊥平面VAB ； (3)求三棱锥VABC 的体积．(1)证明因为O ，M 分别为AB ，VA 的中点，所以OM ∥VB ，又因为VB ⊄平面MOC ，OM ⊂平面MOC ，所以VB ∥平面MOC .(2)证明因为AC ＝BC ，O 为AB 的中点，所以OC ⊥AB .又因为平面VAB ⊥平面ABC 且相交于AB ，又OC ⊂平面ABC ，所以OC ⊥平面VAB . 又OC ⊂平面MOC ，所以平面MOC ⊥平面VAB .(3)解在等腰直角三角形ACB 中，AC ＝BC ＝2，所以AB ＝2，OC ＝1，所以等边三角形VAB 的面积S △VAB ＝ 3. 又因为OC ⊥平面VAB ，所以三棱锥CVAB 的体积等于13·OC ·S △VAB ＝33.又因为三棱锥VABC 的体积与三棱锥CVAB 的体积相等，所以三棱锥VABC 的体积为33.模板3 空间角的计算例3 (14分)如图，AB 是圆O 的直径，点C 是圆O 上异于A ，B 的一个动点，DC 垂直于圆O 所在的平面，DC ∥EB ，CD ＝EB ＝1，AB ＝4.(1)求证：DE ⊥平面ACD ；(2)若AC ＝BC ，求平面AED 与平面ABE 所成的锐二面角的余弦值．∴AC ＝BC ＝2 2.如图，以点C 为原点建立空间直角坐标系，则A (22，0,0)，D (0,0,1)，AB →＝(－22，22，0)，BE →评分细则 1.第(1)问中证明CD⊥BC和AC⊥BC各给2分；证明DE∥BC给1分；证明BC⊥平面ACD时缺少AC∩DC＝C，AC，DC⊂平面ACD，不扣分．2．第(2)问中，建系给1分；两个法向量求出1个给2分；没有最后结论扣1分；法向量取其他形式同样给分．变式训练3(2016·山师大附中模拟)如图，四边形ABCD是菱形，ACEF是矩形，平面ACEF⊥平面ABCD.AB＝2AF＝2，∠BAD＝60°，点G是BE的中点．(1)证明：CG∥平面BDF；(2)求二面角E－BF－D的余弦值．(1)证明设AC∩BD＝O，BF的中点为H，连结GH.∵G是BE的中点，GH∥EF∥AC，GH ＝12AC ＝OC ，∴四边形OCGH 是平行四边形． ∴CG ∥OH ，又∵CG ⊄平面BDF ，OH ⊂平面BDF ， CG ∥平面BDF .(2)解设EF 的中点为N ，AC ∩BD ＝O ，ACEF 是矩形，ON ⊥AC ，平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，ON ⊂平面ACEF ， ∴ON ⊥平面ABCD ， ∴ON ⊥AC ，ON ⊥BD ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∴以点O 为原点，OB 所在直线为x 轴，OC 所在直线为y 轴，ON 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系．∵AB ＝2，AF ＝1，∠BAD ＝60°，∴B (1,0,0)，C (0，3，0)，F (0，－3，1)，E (0，3，1)， D (－1,0,0)，DB →＝(2,0,0)，BF →＝(－1，－3，1)， EF →＝(0，－23，0)，设平面BEF 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，平面BDF 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 1·EF →＝0，n 1·BF →＝0⇒⎩⎨⎧－23y 1＝0，－x 1－3y 1＋z 1＝0，令z 1＝1，n 1＝(1,0,1)，由⎩⎪⎨⎪⎧n 2·DB →＝0，n 2·BF →＝0⇒⎩⎨⎧2x 2＝0，－x 2－3y 2＋z 2＝0令y 2＝1，n 2＝(0,1，3)，设二面角E －BF －D 的大小为θ，则cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|32×2|＝64.∴二面角E －BF －D 的余弦值为64.模板4离散型随机变量的概率分布例4(14分)2015年12月10日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为x，y，z，并对它们进行量化：0表示不合格，1表示临界合格，2表示合格，再用综合指标ω＝x＋y＋z的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若ω≥4，则长势为一级；若2≤ω≤3，则长势为二级；若0≤ω≤1，则长势为三级．为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了10块青蒿人工种植地，得到如下结果：(1)在这10块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标z相同的概率；(2)从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为m，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为n，记随机变量X＝m－n，求X的概率分布及其均值．评分细则 1.第(1)问列出空气湿度相同的全部情况给2分；计算概率时式子正确，只有结果错误扣1分．2．第(2)问列出长势等级为一级的和不是一级的给2分；只要所列结果正确无过程不扣分；计算概率时3个式子给1分；概率分布正确给2分．变式训练4甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道备选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是23.(1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的概率分布及均值．解 (1)设甲、乙闯关成功分别为事件A 、B ，则P (A )＝C 14·C 22C 36＝420＝15，P (B )＝(1－23)3＋C 13·23(1－23)2＝127＋29＝727，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P (A ·B )＝1－P (A )·P (B )＝1－15×727＝128135.(2)由题意知ξ的可能取值是1,2.P (ξ＝1)＝C 14C 22C 36＝15，P (ξ＝2)＝C 24C 12＋C 34C 36＝45，则ξ的概率分布为∴E (ξ)＝1×15＋2×45＝95.模板5 数列的通项与求和例5 (14分)(2016·潍坊模拟)下表是一个由n 2个正数组成的数表，用a ij 表示第i 行第j 个数(i ，j ∈N *)，已知数表中第一列各数从上到下依次构成等差数列，每一行各数从左到右依次构成等比数列，且公比都相等．已知a 11＝1，a 31＋a 61＝9，a 35＝48.a 11 a 12 a 13 … a 1n a 21 a 22 a 23 … a 2n a 31 a 32 a 33 … a 3n … … … … … a n 1 a n 2 a n 3 … a nn(1)求a n 1和a 4n ；(2)设b n ＝a 4n(a 4n －2)(a 4n －1)＋(－1)n ·a n 1(n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n .评分细则(1)求出d给1分，求a n1时写出公式，结果错误给1分；求q时没写q>0扣1分；(2)b n 写出正确结果给1分，正确进行裂项再给1分；缺少对b n 的变形直接计算S n ，只要结论正确不扣分；当n 为奇数时求S n 中间过程缺一步不扣分．变式训练5 已知数列{a n }是各项均不为0的等差数列，公差为d ，S n 为其前n 项和，且满足a 2n ＝S 2n －1，n ∈N *，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1，n ∈N *，T n 为数列{b n }的前n 项和． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)若对任意的n ∈N *，不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，求实数λ的取值范围．解 (1)a 21＝S 1＝a 1，∵a 1≠0，∴a 1＝1.∵a 22＝S 3＝a 1＋a 2＋a 3，∴(1＋d )2＝3＋3d ，解得d ＝－1或2.当d ＝－1时，a 2＝0，不满足条件，舍去，∴d ＝2. ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1. (2)∵b n ＝1a n a n ＋1＝1(2n －1)(2n ＋1)＝12(12n －1－12n ＋1)， ∴T n ＝12(1－13＋13－15＋…＋12n －1－12n ＋1)＝n 2n ＋1. ①当n 为偶数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n ＋8)(2n ＋1)n ＝2n ＋8n ＋17恒成立即可．∵2n ＋8n ≥8，等号在n ＝2时取得，∴λ<25.②当n 为奇数时，要使不等式λT n <n ＋8·(－1)n 恒成立，只需不等式λ<(n －8)(2n ＋1)n ＝2n －8n －15恒成立即可．∵2n －8n 随n 的增大而增大，∴当n ＝1时，2n －8n 取得最小值－6，∴λ<－21.综合①②可得，λ的取值范围是(－∞，－21)．模板6 直线与圆锥曲线的位置关系例6 (16分)(2015·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，左、右焦点分别是F 1、F 2.以F 1为圆心、以3为半径的圆与以F 2为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C 上． (1)求椭圆C 的方程；(2)设椭圆E ：x 24a 2＋y 24b 2＝1，P 为椭圆C 上任意一点，过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q . (ⅰ)求OQOP的值；(ⅱ)求△ABQ 面积的最大值．评分细则 1.第(1)问无a 2－c 2＝b 2关系式，直接得b ＝1扣2分；2．第(2)问求OQOP 时，写出P 、Q 的坐标时每个给1分；无“Δ>0”和“Δ≥0”者，每处扣1分；联立方程消元得出关于x 的一元二次方程给2分；根与系数的关系写出后再给1分；求最值时，不指明最值取得的条件扣1分．变式训练6 已知中心在原点O ，焦点在x 轴上，离心率为32的椭圆过点(2，22)． (1)求椭圆的方程；(2)设不过原点O 的直线l 与该椭圆交于P ，Q 两点，满足直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，求△OPQ 面积的取值范围．解 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，则c a ＝32(其中c 2＝a 2－b 2，c >0)，且2a 2＋12b 2＝1，故a ＝2，b ＝1.所以椭圆的方程为x 24＋y 2＝1.(2)由题意可知，直线l 的斜率存在且不为0. 故可设直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0且m ≠0)，设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2＋4y 2＝4，消去y 得(1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，则Δ＝64k 2m 2－16(1＋4k 2)(m 2－1) ＝16(4k 2－m 2＋1)>0，且x 1＋x 2＝－8km1＋4k 2，x 1x 2＝4(m 2－1)1＋4k 2，故y 1y 2＝(kx 1＋m )(kx 2＋m ) ＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2.因为直线OP 、PQ 、OQ 的斜率依次成等比数列，所以y 1x 1·y 2x 2＝k 2x 1x 2＋km (x 1＋x 2)＋m 2x 1x 2＝k 2，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0.又m ≠0，所以k 2＝14，即k ＝±12.由于直线OP 、OQ 的斜率存在，且Δ>0，得0<m 2<2，且m 2≠1，设d 为点O 到直线l 的距离，则d ＝|2m |5，PQ ＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝5(2－m 2)，所以S ＝12PQ ·d＝m 2(2－m 2)<m 2＋2－m 22＝1(m 2≠1)，故△OPQ 面积的取值范围为(0,1)．模板7 圆锥曲线中的探索性问题例7 (16分)已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交抛物线C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有F A ＝FD .当点A 的横坐标为3时，△ADF 为正三角形． (1)求抛物线C 的方程；(2)若直线l 1∥l ，且l 1和C 有且只有一个公共点E ， ①证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；②△ABE 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．评分细则 1.第(1)问求出t 的值，得2分，列出关于t 的方程，求解结果错误只得1分；得出抛物线方程得2分．2．第(2)问写出直线l 1在y 轴上的截距得2分；得出直线AE 过定点得4分，只考虑当y 20≠4，且得出此时直线AE 过定点，只能得3分，只考虑当y 20＝4，且得出此时直线AE 过定点，只能得2分；求出AE 的长，且结论正确给2分，只给出弦长值而没有过程，不得分；正确得出B 到直线AE 的距离得2分；只写对结果，但没有过程只能得1分；求出面积的最小值得2分，没有指出等号成立的条件扣1分．变式训练7 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线7x －5y ＋12＝0相切． (1)求椭圆C 的方程；(2)设A (－4,0)，过点R (3,0)作与x 轴不重合的直线l 交椭圆C 于P ，Q 两点，连结AP ，AQ 分别交直线x ＝163于M ，N 两点，若直线MR ，NR 的斜率分别为k 1，k 2，试问：k 1k 2是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．解 (1)由题意得⎩⎨⎧c a ＝12，127＋5＝b ，a 2＝b 2＋c 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝23，c ＝2.故椭圆C 的方程为x 216＋y 212＝1.(2)设直线PQ 的方程为x ＝my ＋3，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x 216＋y 212＝1，x ＝my ＋3，得(3m 2＋4)y 2＋18my －21＝0， ∴y 1＋y 2＝－18m 3m 2＋4，y 1y 2＝－213m 2＋4，由A ，P ，M 三点共线可知y M 163＋4＝y 1x 1＋4，其中y M 为点M 的纵坐标， ∴y M ＝28y 13(x 1＋4)，同理可得y N ＝28y 23(x 2＋4)，∴k 1k 2＝y M 163－3×y N163－3＝9y M y N 49＝16y 1y 2(x 1＋4)(x 2＋4)，∵(x 1＋4)(x 2＋4)＝(my 1＋7)(my 2＋7) ＝m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49， ∴k 1k 2＝16y 1y 2m 2y 1y 2＋7m (y 1＋y 2)＋49＝－127，为定值．模板8 函数的单调性、极值与最值例8 (14分)(2015·课标全国Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x ＋a (1－x )． (1)讨论f (x )的单调性；(2)当f (x )有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围．评分细则(1)函数求导正确即给1分；分类讨论，每种情况给2分，结论1分；(2)求出最大值给2分；构造函数g(a)＝ln a＋a－1给2分；通过分类讨论得出a的取值范围给2分．变式训练8已知函数f(x)＝(ax2＋bx＋c)e x在[0,1]上单调递减且满足f(0)＝1，f(1)＝0.(1)求a的取值范围；(2)设g(x)＝f(x)－f′(x)，求g(x)在[0,1]上的最大值和最小值．解(1)由f(0)＝1，f(1)＝0，得c＝1，a＋b＝－1，则f(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]e x，f′(x)＝[ax2＋(a－1)x－a]e x，依题意对任意x∈(0,1)，有f′(x)<0.当a>0时，因为二次函数y＝ax2＋(a－1)x－a的图象开口向上，而f′(0)＝－a<0，所以有f′(1)＝(a－1)e<0，即0<a<1；当a＝1时，对任意x∈(0,1)有f′(x)＝(x2－1)e x<0，f (x )符合条件；当a ＝0时，对任意x ∈(0,1)，有f ′(x )＝－x e x <0， f (x )符合条件；当a <0时，因为f ′(0)＝－a >0，f (x )不符合条件．故a 的取值范围为0≤a ≤1. (2)g (x )＝(－2ax ＋1＋a )e x ， g ′(x )＝(－2ax ＋1－a )e x . ①当a ＝0时，g ′(x )＝e x >0， g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1，在x ＝1处取得最大值g (1)＝e.②当a ＝1时，对于任意x ∈(0,1)，有g ′(x )＝－2x e x <0， g (x )在x ＝0处取得最大值g (0)＝2，在x ＝1处取得最小值g (1)＝0.③当0<a <1时，由g ′(x )＝0得x ＝1－a2a >0.a ．若1－a 2a ≥1，即0＜a ≤13时，g (x )在[0,1]上单调递增，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ，在x ＝1处取得最大值g (1)＝(1－a )e. b ．若1－a 2a <1，即13<a <1时，g (x )在x ＝1－a 2a 处取得最大值g (1－a 2a )＝122e ,aa a在x ＝0或x ＝1处取得最小值，而g (0)＝1＋a ， g (1)＝(1－a )e ，则当13<a ≤e －1e ＋1时，g (x )在x ＝0处取得最小值g (0)＝1＋a ；当e －1e ＋1<a <1时， g (x )在x ＝1处取得最小值g (1)＝(1－a )e.模板9 导数与函数零点、不等式问题例9 (14分)(2015·课标全国Ⅱ)设函数f (x )＝e mx ＋x 2－mx . (1)证明：f (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增；(2)若对于任意x1，x2∈[－1,1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤e－1，求m的取值范围．评分细则(1)求出导数给1分；讨论时漏掉m＝0扣1分；两种情况只讨论正确的一种给2分；确定f′(x)符号时只有结论无中间过程扣1分；(2)写出f(x)在x＝0处取得最小值给1分；无最后结论扣1分；其他方法构造函数同样给分．变式训练9(2016·南昌二中检测)已知函数f(x)＝ax2＋bx－ln x(a，b∈R)．(1)设b＝2－a，求f(x)的零点的个数；(2)设a>0，且对于任意x>0，f(x)≥f(1)，试比较ln a与－2b的大小．解 (1)∵b ＝2－a ，∴f ′(x )＝2ax ＋(2－a )－1x ＝(2x －1)(ax ＋1)x (x >0)．①若a ≥0，则f (x )在(0，12)上为减函数，在(12，＋∞)上为增函数，又f (12)＝1－a4＋ln2， ∴当0≤a ＜4(1＋ln2)时，函数f (x )没有零点；当a ＝4(1＋ln2)时，函数f (x )有一个零点；当a >4(1＋ln2)时，函数f (x )有两个零点．②若a <0，当－2<a <0时，函数f (x )在(0，12)上单调递减，在(12，－1a )上单调递增，在(－1a ，＋∞)上单调递减，又f (12)>0，∴函数f (x )只有一个零点．当a ＝－2时，f (x )在(0，＋∞)上单调递减，f (x )有一个零点．当a <－2时，f (x )在(0，－1a )上单调递减，在(－1a ，12)上单调递增，在(12，＋∞)上单调递减，f (x )只有一个零点．综上，0≤a ＜4(1＋ln2)时没有零点； a <0或a ＝4(1＋ln2)时有一个零点； a >4(1＋ln2)时有两个零点．(2)由a >0，且对于任意x >0，f (x )≥f (1)，则函数f (x )在x ＝1处取得最小值，由f ′(x )＝2ax ＋b －1x ＝0得－b ＋b 2＋8a 4a 是f (x )的唯一的极小值点，故－b ＋b 2＋8a 4a ＝1，整理得2a ＋b ＝1即b ＝1－2a . 令g (x )＝2－4x ＋ln x ，则g ′(x )＝1－4xx，令g ′(x )＝0得x ＝14.当0<x <14时，g ′(x )>0，g (x )单调递增；当x >14时，g ′(x )<0，g (x )单调递减．因此g (x )≤g (14)＝1＋ln 14＝1－ln4<0，故g(a)<0，即2－4a＋ln a＝2b＋ln a<0，即ln a<－2b.。

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做锁定70分专项练8 Word版含解析

锁定70分”专项练81．设集合A ＝{x |12<x <3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0}，则A ∩B ＝________.答案 {x |12<x <2}2．(2016·课标全国乙改编)设(1＋i)x ＝1＋y i ，其中x ，y 是实数，则|x ＋y i|＝________. 答案2解析由(1＋i)x ＝1＋y i ，得x ＋x i ＝1＋y i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，x ＝y ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以|x ＋y i|＝x 2＋y 2＝ 2. 3．已知命题p ：“∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0”，则綈p 为________________．答案 ∀x ∈R ，e x －x －1>04．设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f (52)＝________. 答案－1解析因为f (x )是周期为3的周期函数，所以f (52)＝f (－12＋3)＝f (－12)＝4×(－12)2－2＝－1.5．设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)，且函数f (x )的部分图象如图所示，则f (－3π4)，f (－5π3)，f (7π6)的大小关系为________．答案 f (5π3)<f (－3π4)<f (7π6)解析由题意T ＝43(5π6－π12)＝π，∴ω＝2ππ＝2，又∵2×π12＋φ＝π2，解得φ＝π3，∴f (x )＝A sin(2x ＋π3)，由图象知f (x )的一个减区间是(π12，7π12)，一个增区间是(7π12，13π12)，f (－3π4)＝f (π4)，f (5π3)＝f (2π3)＝f (2×7π12－2π3)＝f (π2)， f (7π6)＝f (π6)，π12<π6<π4<π2<7π12，所以f (π6)>f (π4)>f (π2)，即f (7π6)＞f (－3π4)＞f (5π3)．6．某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是：[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，则图中x 的值为________．答案 0.018解析依题意，0.054×10＋10x ＋0.01×10＋0.006×10×3＝1，解得x ＝0.018. 7．(2016·四川改编)已知a 为函数f (x )＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝________. 答案 2解析 ∵f (x )＝x 3－12x ，∴f ′(x )＝3x 2－12，令f ′(x )＝0，则x 1＝－2，x 2＝2. 当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，f ′(x )>0，则f (x )单调递增；当x ∈(－2,2)时，f ′(x )<0，则f (x )单调递减，∴f (x )的极小值点为a ＝2.8．已知正三棱锥S —ABC 的底面边长为4，高为3，在正三棱锥内任取一点P ，使得V P —ABC <12V S —ABC 的概率是________．答案 78解析如图，当点P 到底面ABC 的距离小于32时，V P —ABC <12V S —ABC .由几何概型知，所求概率为P ＝V S —ABC －V S —EFG V S —ABC ＝1－(12)3＝78.9．函数y ＝|log 2x |－(12)x 的零点个数是________．答案 2解析令y ＝|log 2x |－(12)x ＝0，即|log 2x |＝(12)x ，在同一坐标系下作出y ＝|log 2x |和y ＝(12)x 的图象(图略)，易知两图象有2个交点，即函数有2个零点．10．(2x 2＋x －1)5的展开式中，x 3的系数为__________．(用数字填写答案) 答案－30解析因为(2x 2＋x －1)5＝(2x －1)5(x ＋1)5，所以x 3的系数为C 2523·1－C 3522·C 45＋C 4521·C 35－C 5520·C25＝－30. 11．如果执行下面的程序框图，那么输出的S ＝________.答案 2解析开始i ＝0，S ＝2，判断i <4？是，i ＝1，S ＝2－12＋1＝13，判断i <4？是，i ＝2，S ＝13－113＋1＝－12，判断i <4？是，i ＝3，S ＝－12－1－12＋1＝－3，判断i <4？是，i ＝4，S ＝－3－1－3＋1＝2，判断i <4？否，输出2，所以答案为2.12．(2016·天津)设{a n }是首项为正数的等比数列，公比为q ，则“q <0”是“对任意的正整数n ，a 2n －1＋a 2n <0”的________________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案必要不充分解析设数列的首项为a 1，则a 2n －1＋a 2n ＝a 1q 2n －2＋a 1q 2n －1＝a 1q 2n －2(1＋q )<0，即q <－1，故q <0是q <－1的必要不充分条件．13．设椭圆的两个焦点分别为F 1，F 2 ，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________．答案2－1解析设点P 在x 轴上方，则依题意，P 点的坐标为(c ，b 2a )．因为△F 1PF 2为等腰直角三角形，所以b 2a ＝2c ，b 2＝2ac ，即a 2－c 2＝2ac ，两边除以a 2得1－e 2＝2e ，解得e ＝2－1(e ＝－2－1舍去)．14．已知f (x )＝|x 2－1|＋x 2＋kx ，若关于x 的方程f (x )＝0在(0,2)上有两个不相等的实根，则k 的取值范围是________．答案 (－72，－1)解析本题考查函数零点及函数与方程的关系．当x ∈(0,1]时，f (x )＝1－x 2＋x 2＋kx ＝kx ＋1，此时方程f (x )＝0有一个零点－1k ；当x ∈(1,2)时，f (x )＝g (x )＝x 2－1＋x 2＋kx ＝2x 2＋kx －1.∵g (x )＝2x 2＋kx －1＝0必有一正根、一负根，∴正根一定位于区间(1,2)上，即⎩⎪⎨⎪⎧g (1)<0，g (2)>0，0<－1k ≤1，解得－72<k <－1.。

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做压轴大题突破练(一) Word版含解析

压轴大题突破练压轴大题突破练(一) 直线与圆锥曲线(1)1．在平面直角坐标系中，已知点A (1,0)，点B 在直线l ：x ＝－1上运动，过点B 与l 垂直的直线和线段AB 的垂直平分线相交于点M .(1)求动点M 的轨迹E 的方程；(2)过(1)中轨迹E 上的点P (1,2)作两条直线分别与轨迹E 相交于C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)两点．试探究：当直线PC ，PD 的斜率存在且倾斜角互补时，直线CD 的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由．解 (1)依题意，得MA ＝MB .∴动点M 的轨迹E 是以A (1,0)为焦点，直线l ：x ＝－1为准线的抛物线， ∴动点M 的轨迹E 的方程为y 2＝4x .(2)∵P (1,2)，C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)在抛物线y 2＝4x 上，∴⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1， ①y 22＝4x 2， ② 由①－②得，(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，∴直线CD 的斜率为k CD ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2.③ 设直线PC 的斜率为k ，则PD 的斜率为－k ，则直线PC 方程为y －2＝k (x －1)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，y ＝kx －k ＋2，得ky 2－4y －4k ＋8＝0. 由2＋y 1＝4k ，求得y 1＝4k－2，同理可求得y 2＝－4k－2. ∴k CD ＝4y 1＋y 2＝4(4k －2)＋(－4k－2)＝－1， ∴直线CD 的斜率为定值－1 .2．(2016·课标全国丙)已知抛物线C ：y 2＝2x 的焦点为F ，平行于x 轴的两条直线l 1，l 2分别交C 于A ，B 两点，交C 的准线于P ，Q 两点．(1)若F 在线段AB 上，R 是PQ 的中点，证明AR ∥FQ ；(2)若△PQF 的面积是△ABF 的面积的两倍，求AB 中点的轨迹方程．由题意知F ⎝⎛⎭⎫12，0，设l 1：y ＝a ，l 2：y ＝b ，则ab ≠0，且A ⎝⎛⎭⎫a 22，a ，B ⎝⎛⎭⎫b 22，b ，P ⎝⎛⎭⎫－12，a ，Q ⎝⎛⎭⎫－12，b ， R ⎝⎛⎭⎫－12，a ＋b 2. 记过A ，B 两点的直线为l ，则l 的方程为2x －(a ＋b )y ＋ab ＝0.(1)证明由于F 在线段AB 上，故1＋ab ＝0.记AR 的斜率为k 1，FQ 的斜率为k 2，则k 1＝a －b 1＋a 2＝a －b a 2－ab ＝1a＝－ab a ＝－b ＝b －0－12－12＝k 2. 所以 AR ∥FQ .(2)解设过AB 的直线为l ，设l 与x 轴的交点为D (x 1,0)，则S △ABF ＝12|b －a |·FD ＝12|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12， S △PQF ＝|a －b |2. 由题意可得|b －a |⎪⎪⎪⎪x 1－12＝|a －b |2，所以x 1＝1，x 1＝0(舍去)．设满足条件的AB 的中点为E (x ，y )．当AB 与x 轴不垂直时，由k AB ＝k DE可得2a ＋b ＝y x －1(x ≠1)．而a ＋b 2＝y ，所以y 2＝x －1(x ≠1)．当AB 与x 轴垂直时，E 与D 重合，此时E 点坐标为(1,0)，满足方程y 2＝x －1.所以所求轨迹方程为y 2＝x －1.3．椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左焦点为F 1，右焦点为F 2，离心率e ＝22.设动直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆E 相切于点P 且交直线x ＝2于点N ，△PF 1F 2的周长为2(2＋1)．(1)求椭圆E 的方程；(2)求两焦点F 1、F 2到切线l 的距离之积；(3)求证：以PN 为直径的圆恒过点F 2.(1)解设F 1(－c,0)，F 2(c,0)，则⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝22，2a ＋2c ＝2(2＋1)，解得a ＝2，c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝1，∴椭圆E 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)解由⎩⎪⎨⎪⎧ x 22＋y 2＝1，y ＝kx ＋m⇒(1＋2k 2)x 2＋4kmx ＋2(m 2－1)＝0.设直线l 与椭圆E 相切于点P (x 0，y 0)，则Δ＝0，化简2k 2＋1＝m 2，焦点F 1，F 2到直线l 的距离d 1，d 2分别为d 1＝|－k ＋m |k 2＋1，d 2＝|k ＋m |k 2＋1，则d 1·d 2＝m 2－k 2k 2＋1＝k 2＋1k 2＋1＝1. (3)证明 ∵x 0＝－2km 1＋2k2＝－2k m ， ∴y 0＝kx 0＋m ＝－2k 2m ＋m ＝m 2－2k 2m ＝1m ， ∴P (－2k m ，1m)．又联立y ＝kx ＋m 与x ＝2，得到N (2,2k ＋m )， PF 2→＝(1＋2k m ，－1m)，F 2N →＝(1,2k ＋m )． ∴PF 2→·F 2N →＝(1＋2k m ，－1m)·(1,2k ＋m ) ＝1＋2k m －1m(2k ＋m ) ＝1＋2k m －2k m－1＝0. ∴PF 2→⊥F 2N →，∴以PN 为直径的圆恒过点F 2.4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的短轴长为2，离心率为22，过点M (2,0)的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．(1)求椭圆C 的方程；(2)求OA →·OB →的取值范围；(3)若B 点关于x 轴的对称点是N ，证明：直线AN 恒过一定点．(1)解由题意知b ＝1，e ＝c a ＝22，得a 2＝2c 2＝2a 2－2b 2，故a 2＝2.故所求椭圆C 的方程为x 22＋y 2＝1. (2)解设l ：y ＝k (x －2)，与椭圆C 的方程联立，消去y 得(1＋2k 2)x 2－8k 2x ＋8k 2－2＝0.由Δ>0得0≤k 2<12. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 21＋2k 2，x 1x 2＝8k 2－21＋2k 2， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋k 2(x 1－2)(x 2－2)＝(1＋k 2)x 1x 2－2k 2(x 1＋x 2)＋4k 2＝10k 2－21＋2k 2＝5－71＋2k 2. ∵0≤k 2<12，∴72<71＋2k 2≤7，故所求范围是[－2，32)． (3)证明由对称性可知N (x 2，－y 2)，定点在x 轴上，直线AN ：y －y 1＝y 1＋y 2x 1－x 2(x －x 1)．令y ＝0得：x ＝x 1－y 1(x 1－x 2)y 1＋y 2＝x 1y 2＋x 2y 1y 1＋y 2＝2kx 1x 2－2k (x 1＋x 2)k (x 1＋x 2－4)＝2x 1x 2－2(x 1＋x 2)x 1＋x 2－4＝16k 2－41＋2k 2－16k 21＋2k 28k 21＋2k 2－4＝1，故直线AN 恒过定点(1,0)．。

【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习第八章立体几何 8.3 直线、平面平行的判定与性质课件文

∴四边形EFGH为平行四边形.
∴CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF为异面直线CD和AB所成的角.
又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.
∴平行四边形EFGH为矩形.
解析答案
题型二
平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E， F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A1C1的中点，求证： (1)B，C，H，G四点共面；证明 ∵G，H分别是A1B1，A1C1的中点， ∴GH是△A1B1C1的中位线， ∴GH∥B1C1. 又∵B1C1∥BC，∴GH∥BC， ∴B，C，H，G四点共面.
解析答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13 14 15
5.下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为 ①④ 其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________.
解析
①中易知NP∥AA′，MN∥A′B，
∴平面MNP∥平面AA′B可得出AB∥平面MNP(如图).
又EF∩EG＝E，所以平面EFG∥平面ABC.
解析答案
题型三
平行关系的综合应用
例4 如图所示，在四面体ABCD中，截面EFGH平行于对棱AB和CD，试问截面在什么位置时其截面面积最大？
思维升华
解析答案
跟踪训练3
如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为a 的正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，在侧面PBC内，有BE⊥PC
解析答案
(2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明 ∵E，F分别是AB，AC的中点， ∴EF∥BC.∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG， ∴EF∥平面BCHG.∵A1G綊EB，

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：考前回扣5(含答案解析)

回扣5 不等式与线性规划1．一元二次不等式的解法解一元二次不等式的步骤：一化(将二次项系数化为正数)；二判(判断Δ的符号)；三解(解对应的一元二次方程)；四写(大于取两边，小于取中间)．解含有参数的一元二次不等式一般要分类讨论，往往从以下几个方面来考虑：①二次项系数，它决定二次函数的开口方向；②判别式Δ，它决定根的情形，一般分Δ>0、Δ＝0、Δ<0三种情况；③在有根的条件下，要比较两根的大小． 2．一元二次不等式的恒成立问题(1)ax 2＋bx ＋c >0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧ a >0，Δ<0.(2)ax 2＋bx ＋c <0(a ≠0)恒成立的条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，Δ<0.3．分式不等式f (x )g (x )>0(<0)⇔f (x )g (x )>0(<0)； f (x )g (x )≥0(≤0)⇔⎩⎪⎨⎪⎧f (x )g (x )≥0(≤0)，g (x )≠0. 4．基本不等式(1)①a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R)当且仅当a ＝b 时取等号． ②a ＋b 2≥ab (a ，b ∈(0，＋∞))，当且仅当a ＝b 时取等号．(2)几个重要的不等式：①ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R)；②a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥2aba ＋b(a >0，b >0，当a ＝b 时等号成立)． ③a ＋1a≥2(a >0，当a ＝1时等号成立)；④2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2(a ，b ∈R ，当a ＝b 时等号成立)． 5．可行域的确定“线定界，点定域”，即先画出与不等式对应的方程所表示的直线，然后代入特殊点的坐标，根据其符号确定不等式所表示的平面区域． 6．线性规划(1)线性目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；(2)线性目标函数的最值也可在可行域的边界上取得，这时满足条件的最优解有无数多个．1．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，不讨论这个数的正负，从而出错． 2．解形如一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0时，易忽视系数a 的讨论导致漏解或错解，要注意分a >0，a <0进行讨论．3．应注意求解分式不等式时正确进行同解变形，不能把f (x )g (x )≤0直接转化为f (x )·g (x )≤0，而忽视g (x )≠0.4．容易忽视使用基本不等式求最值的条件，即“一正、二定、三相等”导致错解，如求函数f (x )＝x 2＋2＋1x 2＋2的最值，就不能利用基本不等式求解最值；求解函数y ＝x ＋3x (x <0)时应先转化为正数再求解．5．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．6．求解线性规划问题时，不能准确把握目标函数的几何意义导致错解，如y －2x ＋2是指已知区域内的点(x ，y )与点(－2，2)连线的斜率，而(x －1)2＋(y －1)2是指已知区域内的点(x ，y )到点(1,1)的距离的平方等．1．下列命题中正确的是________．①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d ；②a >b ，c >d ⇒a d >b c ；③a 2>b 2⇔|a |>|b |；④a >b ⇔1a <1b .答案 ①③解析 ①a >b ，c >d ⇔a ＋c >b ＋d 正确，不等式的同向可加性；②a >b ，c >d ⇒a d >bc 错误，反例：若a ＝3，b ＝2，c ＝1，d ＝－1，则a d >b c 不成立；③a 2>b 2⇔|a |>|b |正确；④a >b ⇔1a <1b 错误，反例：若a ＝2，b ＝－2，则1a <1b不成立．2．设M ＝2a (a －2)＋4，N ＝(a －1)(a －3)，则M ，N 的大小关系为________．答案 M >N解析 M －N ＝2a (a －2)＋4－(a －1)(a －3)＝a 2＋1>0.3．若不等式2kx 2＋kx －38≥0的解集为空集，则实数k 的取值范围是________．答案 (－3,0]解析由题意可知2kx 2＋kx －38<0恒成立，当k ＝0时成立，当k ≠0时需满足⎩⎪⎨⎪⎧k <0，Δ<0，代入求得－3<k <0，所以实数k 的取值范围是(－3,0]．4．(2016·四川改编)设p ：实数x ，y 满足(x －1)2＋(y －1)2≤2，q ：实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”) 答案必要不充分解析如图，(x －1)2＋(y －1)2≤2，①表示圆心为(1,1)，半径为2的圆内区域的所有点(包括边界)；⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x －1，y ≥1－x ，y ≤1，②表示△ABC 内部区域的所有点(包括边界)．实数x ，y 满足②则必然满足①，反之不成立．则p 是q 的必要不充分条件．5．不等式1x －1≥－1的解集为________________．答案 (－∞，0]∪(1，＋∞)解析由题意得，1x －1≥－1⇒1x －1＋1＝xx －1≥0，解得x ≤0或x >1，所以不等式的解集为(－∞，0]∪(1，＋∞)．6．设第一象限内的点(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧2x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为40，则5a ＋1b 的最小值为________．答案 94解析不等式表示的平面区域如图中阴影部分，直线z ＝ax ＋by 过点(8,10)时取最大值，即8a ＋10b ＝40,4a ＋5b ＝20，从而5a ＋1b ＝(5a ＋1b )4a ＋5b 20＝120(25＋4a b ＋25b a )≥120(25＋24a b ×25b a )＝94，当且仅当2a ＝5b 时取等号，因此5a ＋1b 的最小值为94.7．已知实数x 、y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥1，y ≤2x －1，x ＋y ≤m ，如果目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，则实数m 等于________．答案 5解析作出不等式组对应的平面区域，如图所示，由目标函数z ＝x －y 的最小值为－1，得y ＝x －z ，及当z ＝－1时，函数y ＝x ＋1，此时对应的平面区域在直线y ＝x ＋1的下方，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋1y ＝2x －1⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝3，即A (2,3)，同时A 也在直线x ＋y ＝m 上，所以m ＝5.8．在平面直角坐标系中，若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧y ≥0，y ≤x ，y ≤k (x －1)－1表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是________．答案 (－∞，－1)解析易知直线y ＝k (x －1)－1过定点(1，－1)，画出不等式组表示的可行域示意图，如图所示．当直线y ＝k (x －1)－1位于y ＝－x 和x ＝1两条虚线之间时，表示的是一个三角形区域，所以直线y ＝k (x －1)－1的斜率的范围为(－∞，－1)，即实数k 的取值范围是(－∞，－1)．9．已知实数x ∈[－1,1]，y ∈[0,2]，则点P (x ，y )落在区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0，x ＋y －2≤0内的概率为________．答案 38解析不等式组表示的区域如图所示，阴影部分的面积为12×(2－12)×(1＋1)＝32，则所求的概率为38.10．函数y ＝log a (x ＋3)－1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于0，则1m ＋2n 的最小值为________．答案 8解析由已知可得定点A (－2，－1)，代入直线方程可得2m ＋n ＝1，从而1m ＋2n ＝(1m ＋2n )(2m＋n )＝n m ＋4mn＋4≥2n m ·4mn＋4＝8.当且仅当n ＝2m 时取等号．11．已知ab ＝14，a ，b ∈(0,1)，则11－a ＋21－b 的最小值为________．答案 4＋423解析因为ab ＝14，所以b ＝14a ，则11－a ＋21－b ＝11－a＋21－14a＝11－a ＋8a 4a －1 ＝11－a ＋2(4a －1)＋24a －1 ＝11－a ＋24a －1＋2 ＝2(14a －1＋24－4a)＋2＝23(14a －1＋24－4a )[(4a －1)＋(4－4a )]＋2 ＝23[3＋4－4a 4a －1＋2(4a －1)4－4a]＋2 ≥23(3＋22)＋2＝4＋423(当且仅当4－4a 4a －1＝2(4a －1)4－4a ，即a ＝32－24时，取等号)． 12．变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≥0，x －2y ＋2≥0，mx －y ≤0，若z ＝2x －y 的最大值为2，则实数m ＝________.答案 1解析由可行域知，直线2x －y ＝2必过直线x －2y ＋2＝0与mx －y ＝0的交点，即直线mx －y ＝0必过直线x －2y ＋2＝0与2x －y ＝2的交点(2,2)，所以m ＝1. 13．(2016·上海)若x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥0，y ≥x ＋1，则x －2y 的最大值为________．答案－2解析令z ＝x －2y ，则y ＝12x －z2.当在y 轴上截距最小时，z 最大．即过点(0,1)时，z 取最大值，z ＝0－2×1＝－2.14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x －y ＋5≥0，x ≤3，x ＋y ≥0，则y －6x －5的取值范围是________．答案 [－1，92]解析作出可行域，如图△ABC 内部(含边界)，y －6x －5表示可行域内点(x ，y )与P (5,6)连线斜率，k P A ＝8－63－5＝－1，k PC ＝－3－63－5＝92，所以－1≤y －6x －5≤92.。

《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)小题精练1.doc

小题精练小题精练11.下列各组集合中表示同一集合的是____________ •(填序号)①M={(3,2)}, N={(2,3)}；②A/={2,3}, N={3,2}；③M={(x, y)\x+y= 1}, N= {y\x+y= 1}；④M={2,3}, N={(2,3)}.2.已知i为虚数单位，集合P={ — 1,1}, Q={i, i2},若PG0={zi},则复数z= ________________ .3.在一次跳伞训练屮，甲、乙两位学员各跳一次，设命题〃是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为_______ .(填序号)①(続p)V (続妙②pV(縹q);③(続刃/\(締q);4. ___________________________________________________________ 已知函数5.函数,/(x)=2|log2x|的图象大致是/(x)=2 + log2x, xW[l,2],则函数y=j{x)+J{x)的值域为_________________________ .6.若平面a的一个法向量为(1,2,0),平面0的一个法向量为(2, -1,0),则平面u和平面0的位置关系是________________ •7. __________________________________________________________________ 已知函数f{x) = sin(yx+cos€ox(co>0)在侄 "上单调递减，则3的取值范围是 _______________8. ______________________________________________________________ 已知函数g（x）=2\且有g⑷g（b） = 2,若a>0且b>0,则ab的最大值为 ___________________ .2 1 1 29•已知数列仏｝满足小=1,兀2=亍且--- + —=丁（〃22）,则心= _____________ •> X”-1 心+1 X”10.已知数列匕“｝的首项为©=*,其前n项和则数列｛a“｝的通项公式为■11 .函数y=ln（l +£）+yj 1 -x2的定义域为 ____ .12.如图所示，刊丄<30所在的平面，力E是<90的直径，C是<30上的一点，E, F分别是点、4在PB, PC上的射影，给出下列结论：①4F丄PB；②EF丄PB；③AF丄BC；④ME丄平面PBC.其中正确结论的序号是________ .13._________________________________________ 下列关于函数/«=（2x-xV的判断正确的是____________________________________________ .①/⑴>0的解集是｛x|0<x<2｝；②/（-迈）是极小值，祁）是极大值；③/（X）既没有最小值，也没有最人值.14.若炸（0,号）,且si『a+cos2a=£贝lj tana的值等于 __________答案精析高考题型集训答案精析小题精练小题精练11.②解析①中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合.②中的集合M表示由直线x+y=l上的所有点组成的集合, 集合N 表示由直线x+y= 1上的所有点的纵坐标组成的集合，即N= {y\x+y=l} = R,故集合M与N不是同一个集合.④中的集合M有两个元素，而集合N只含有一个元素，故集合M与N不是同一个集合.对于②，由集合元素的无序性，可知M, N表示同一个集合.2.i解析因为Q={i, i2},所以0={i, -1}.又"={—1,1},所以PQ0={—1},所以zi= —1,所以z=i.3.①解析“至少有一位学员没有落在指定范围”=“甲没有落在指定范围”或“乙没有落在指定范围” =(^p)V(^ q).4卜土解析y=f(x) +/(x2)=2 + log2x+2 + log2x2=4+3log2x,注意到为使得y=/(x)+/(/)有意义, 必有1W/W2,得1 WxWd从而4WyW#.5.③X9解析VAx)=2|log2x|=5 1一，0<x< 1.6 •垂直解析由(1,2,0)X(2, —1，O)=1X2 + 2X(—1) + OXO = O,知两平面的法向量互相垂直，所以两平面互相垂直.解析./(兀)=sinex+cosex=V^sin@x +另,7E 71 3 71令2加+㊁Wex+才W2M+迈■伙GZ), 解得绝+严0W 绝+尹（5co 4co co 4co v 7由题意，函数./w 在位，»上单调递减，故（申，兀）为函数单调递减区间的一个子区间,解析・・・2"2〃=2“灯=2,・・・d + b=l, “w (字)2=£解析由关系式易知为首项为占=1, 的等差数列，右=呼 I 耳丿兀1 厶 Xn Z 10^=^+T ）解析由5=*, S n =n 2a n9①.:S“_ 】=(〃一1 )2Q “ -1 .②①一②，得 a…=S tl —S n -\= n 2a,t ~(n —\ )2a n - \,即 a n =n 2a n —(n —l)2a fl -i ，亦即才：=缶+ S$2). • g a% 给-1 。

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.1熟练掌握基本初等函数(含答案解析)

第6练夯基础——熟练掌握基本初等函数[题型分析·高考展望] 基本初等函数的性质、图象及其应用是高考每年必考内容，一般为二至三个填空题，难度为中档．在二轮复习中，应该对基本函数的性质、图象再复习，达到熟练掌握，灵活应用．对常考题型进行题组强化训练，图象问题难度稍高，应重点研究解题技巧及解决此类问题的总体策略．体验高考1．(2015·浙江)若a ＝log 43，则2a ＋2－a ＝________.答案433 解析 ∵a ＝log 43，∴4a ＝3⇒2a ＝3， ∴2a ＋2－a ＝3＋13＝433. 2．(2015·天津改编)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为________．答案 c ＜a ＜b 解析因为函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，所以m ＝0，即f (x )＝2|x |－1. 因为a ＝f (log 0.53)＝f ⎝⎛⎭⎫log 213 ＝21|log |32－1＝2log 32－1＝3－1＝2，b ＝f (log 25)＝2log 52－1＝4，c ＝f (2m )＝f (0)＝2|0|－1＝0，所以c <a <b .3．(2016·山东改编)已知函数f (x )的定义域为R ，当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，则f (6)等于________．答案 2解析当x >12时，f ⎝⎛⎭⎫x ＋12＝f ⎝⎛⎭⎫x －12，即f (x )＝f (x ＋1)，∴f (x )为周期函数，且周期T ＝1， ∴f (6)＝f (1)．∵当x <0时，f (x )＝x 3－1，当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )， ∴f (6)＝f (1)＝－f (－1)＝2.4．(2016·上海)已知a ∈R ，函数f (x )＝log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a . (1)当a ＝5时，解不等式f (x )＞0；(2)若关于x 的方程f (x )－log 2[(a －4)x ＋2a －5]＝0的解集中恰好有一个元素，求a 的取值范围；(3)设a ＞0，若对任意t ∈[12，1]，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a 的取值范围．解 (1)log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋5＞0⇔1x ＋5＞1⇔4x ＋1x ＞0 ⇔x (4x ＋1)＞0，∴不等式的解为{x |x ＞0或x ＜－14}．(2)依题意，log 2⎝⎛⎭⎫1x ＋a ＝log 2[(a －4)x ＋2a －5]， ∴1x ＋a ＝(a －4)x ＋2a －5＞0，① 可得(a －4)x 2＋(a －5)x －1＝0，即(x ＋1)[(a －4)x －1]＝0.②当a ＝4时，方程②的解为x ＝－1，代入①式，成立；当a ＝3时，方程②的解为x ＝－1，代入①式，成立；当a ≠3且a ≠4时，方程②的解为x ＝－1或1a －4.若x ＝－1为方程①的解，则1x ＋a ＝a －1＞0，即a ＞1，若x ＝1a －4为方程①的解，则1x ＋a ＝2a －4＞0，即a ＞2.要使得方程①有且仅有一个解，则1＜a ≤2.综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a 的取值范围为1＜a ≤2或a ＝3或a ＝4. (3)f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，依题意，f (t )－f (t ＋1)≤1，即log 2⎝⎛⎭⎫1t ＋a －log 2⎝⎛⎭⎫1t ＋1＋a ≤1， ∴1t ＋a ≤2⎝⎛⎭⎫1t ＋1＋a ，即a ≥1t －2t ＋1＝1－t t (t ＋1).设1－t ＝r ，则r ∈[0，12]，1－t t (t ＋1)＝r (1－r )(2－r )＝rr 2－3r ＋2. 当r ＝0时，rr 2－3r ＋2＝0；当0＜r ≤12时，rr 2－3r ＋2＝1r ＋2r－3. ∵函数y ＝x ＋2x 在(0，2)上递减，∴r ＋2r ≥12＋4＝92，∴1r ＋2r －3≤192－3＝23， ∴a 的取值范围为a ≥23.高考必会题型题型一指数函数的图象与性质指数函数性质：指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)为单调函数；当a ＞1时，在(－∞，＋∞)上为增函数，当0＜a ＜1时，在(－∞，＋∞)上为减函数；指数函数y ＝a x 为非奇非偶函数，值域为(0，＋∞)．例1 (1)(2016·昆明模拟)设a ＝20.3，b ＝30.2，c ＝70.1，则a ，b ，c 的大小关系为________． (2)若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是__________．答案 (1)c ＜a ＜b (2)(0，12)解析 (1)由已知得a ＝80.1，b ＝90.1，c ＝70.1，构建幂函数y ＝x 0.1，根据幂函数在区间(0，＋∞)上为增函数，得c ＜a ＜b .(2)方程|a x －1|＝2a (a ＞0且a ≠1)有两个实根转化为函数y ＝|a x －1|的图象与y ＝2a 的图象有两个交点．①当0＜a ＜1时，如图(1)，∴0＜2a ＜1，即0＜a ＜12；②当a ＞1时，如图(2)，而y ＝2a ＞1，不符合要求．综上，0＜a ＜12.点评 (1)指数函数值比较大小，除考虑指数函数单调性、值域外，还需考虑将其转化为幂函数，利用幂函数的单调性比较大小．(2)数形结合思想是解决函数综合问题的主要手段，将问题转化为基本函数的图象关系，比较图象得出相关变量的方程或不等关系，从而使问题解决．变式训练1 函数y ＝2x －12x ＋1的奇偶性为________，函数f (x )＝22x ＋1＋1的对称中心为________．答案奇函数 (0,2) 解析令g (x )＝2x －12x ＋1，则g (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x2x ＋1＝－(2x －12x ＋1)＝－g (x )．∴函数y ＝2x －12x ＋1为奇函数，函数f (x )＝22x ＋1＋1＝－2x －12x ＋1＋2，∵函数y ＝－2x －12x ＋1是奇函数，关于原点对称，∴函数f (x )＝22x ＋1＋1的对称中心为(0,2)．题型二对数函数的图象与性质y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)基本性质：过定点(1,0)；a ＞1时在(0，＋∞)上单调递增，0＜a ＜1时在(0，＋∞)上单调递减； 0＜a ＜1时，x ∈(1，＋∞)，y ＜0，x ∈(0,1)，y ＞0； a ＞1时，x ∈(1，＋∞)，y ＞0，x ∈(0,1)，y ＜0； y ＝log a x ，x ∈(0，＋∞)，y ∈R ，是非奇非偶函数．例2 (1)已知函数f (x )＝log a 1－xb ＋x (0<a <1)为奇函数，若当x ∈(－1，a ]时，函数f (x )的值域为(－∞，1]，则实数a ＋b 的值为________．(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是____________．答案 (1)2 (2)⎝⎛⎭⎫22，1解析 (1)因为奇函数的定义域关于原点对称，所以由1－xb ＋x＞0，解得－b ＜x ＜1(b ＞0)，且－b ＝－1，故b ＝1，即f (x )＝log a 1－x 1＋x (0<a <1)．因为g (x )＝1－x x ＋1＝－1＋2x ＋1在(－1，a ]上单调递减，且0<a <1，所以f (x )在(－1，a ]上单调递增．又因为函数f (x )的值域为(－∞，1]，故g (a )＝a ，即－1＋2a ＋1＝a ，解得a ＝2－1，所以a ＋b ＝ 2.(2) 构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时不满足题意；当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝⎛⎦⎤0，12上的图象，如图所示．可知f ⎝⎛⎭⎫12＜g ⎝⎛⎭⎫12，即2＜log a12，则22＜a ＜1，所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫22，1. 点评对于含参数的指数、对数函数问题，在应用单调性时，要注意对底数进行讨论．解决对数函数问题时，首先要考虑其定义域，其次再利用性质求解．变式训练2 (1)设a ，b ，c 均为正数，且2a ＝12log a ，⎝⎛⎭⎫12b ＝12log b ，⎝⎛⎭⎫12c ＝log 2c ，则a 、b 、c 的大小关系为________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，12log ()x －log(－x )，x ＜0.若f (a )＞f (－a )，则实数a 的取值范围是________．答案 (1)a ＜b ＜c (2)(－1,0)∪(1，＋∞)解析 (1)如图，在同一坐标系中，作出函数y ＝⎝⎛⎫12x ，y ＝2x，y ＝log 2x 和y ＝log 12x 的图象．由图象可知a ＜b＜c .(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，12log ()a －＞log 2(－a )，解得a ＞1或－1＜a ＜0. 题型三幂函数的图象与性质例3 (1)已知幂函数f (x )＝(n 2＋2n －2)·xn 2－3n (n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．(2)已知定义域为R 的函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1|x －1|， x ≠1，1，x ＝1，若关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实根x 1，x 2，x 3，则x 21＋x 22＋x 23等于________．答案 (1)1 (2)5解析 (1)由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，当n ＝1时，函数f (x )＝x－2为偶函数，其图象关于y 轴对称，且f (x )在(0，＋∞)上是减函数，所以n ＝1满足题意；当n ＝－3时，函数f (x )＝x 18为偶函数，其图象关于y 轴对称，而f (x )在(0，＋∞)上是增函数，所以n ＝－3不满足题意，舍去．∴n ＝1.(2)作出f (x )的图象，由图知，只有当f (x )＝1时有3个不同的实根．∵关于x 的方程f 2(x )＋bf (x )＋c ＝0有3个不同的实数解x 1，x 2，x 3，∴必有f (x )＝1，从而x 1＝1，x 2＝2，x 3＝0，故可得x 21＋x 22＋x 23＝5.点评在幂函数中，y ＝x－1非常重要，在高考中经常考查，要会画其函数作平移变换后的图象，并对其对称中心、单调性作深入研究．变式训练3 已知幂函数()273225(1)?t t f x t t x +-＝－＋ (t ∈N)是偶函数，则实数t 的值为________．答案 1解析因为函数为幂函数，所以t 2－t ＋1＝1，即t 2－t ＝0，所以t ＝0或t ＝1.当t ＝0时，f (x )＝75x 为奇函数，不满足条件；当t ＝1时，f (x )＝85x 为偶函数，所以t ＝1.高考题型精练1．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a ，则a 的值为________．答案 12解析当a ＞1时，a ＋log a 2＋1＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12，与a ＞1矛盾；当0＜a ＜1时，1＋a ＋log a 2＝a ，log a 2＝－1，所以a ＝12.2．若函数f (x )＝a x (a ＞0，a ≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a 等于________．答案 14解析若a ＞1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不符合题意；若0＜a ＜1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．3．(2015·课标全国Ⅰ改编)设函数y ＝f (x )的图象与y ＝2x ＋a的图象关于直线y ＝－x 对称，且f (－2)＋f (－4)＝1，则a 等于________．答案 2解析设f (x )上任意一点为(x ，y )，该点关于y ＝－x 的对称点为(－y ，－x )．将(－y ，－x )代入y ＝2x ＋a ，得y ＝a －log 2(－x )，由f (－2)＋f (－4)＝1，得a －1＋a －2＝1，2a ＝4，a ＝2.4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则f (f (23))＝________；若f (f (a ))＝1，则a 的值为________．答案 2 59解析函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x ＜1，2x ，x ≥1，则f (f (23))＝f (3×23－1)＝f (1)＝2.f (f (a ))＝1，当a ＜23时，1＝f (3a －1)＝3(3a －1)－1，解得a ＝59；当a ≥1时，2a ＞1，f (f (a ))＝1不成立；当23≤a ＜1时，由f (f (a ))＝1，得23a －1＝1，解得a ＝13(舍去)．综上a ＝59.5．设a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤0，g (x )，x ＞0为奇函数，则a ＝________，g (f (2))＝________.答案 2 2－22解析 a ＞0且a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧a x ＋1－2，x ≤0，g (x )，x ＞0为奇函数，可知f (0)＝0，可得a －2＝0，解得a ＝2.则函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1－2，x ≤02－21－x ，x ＞0，g (f (2))＝g (32)＝2－22. 6．已知0＜a ＜1，则函数f (x )＝a x －|log a x |的零点个数为________．答案 2解析分别画出函数y ＝a x (0＜a ＜1)与y ＝|log a x |(0＜a ＜1)的图象，如图所示，图象有两个交点．7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，且关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．答案 (1，＋∞)解析画出函数y ＝f (x )与y ＝a －x 的图象，如图所示，所以a ＞1.8．(2016·浙江)已知a ＞b ＞1.若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________.答案 4 2解析设log b a ＝t ，则t ＞1，所以t ＋1t ＝52，解得t ＝2，所以a ＝b 2，①所以a b ＝b a ⇒b 2b ＝2b b ，② 解得b ＝2，a ＝4.9．(2016·浙江)设函数f (x )＝x 3＋3x 2＋1，已知a ≠0，且f (x )－f (a )＝(x －b )(x －a )2，x ∈R ，则实数a ＝________，b ＝________. 答案－2 1解析由已知可得：f (x )－f (a )＝x 3＋3x 2＋1－a 3－3a 2－1＝x 3＋3x 2－a 3－3a 2，而(x －b )(x －a )2＝x 3－(2a ＋b )x 2＋(a 2＋2ab )x －a 2b ，则⎩⎪⎨⎪⎧－2a －b ＝3，a 2＋2ab ＝0，a 3＋3a 2－a 2b ＝0，结合a ≠0，解得a ＝－2，b ＝1.10．若函数y ＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则实数m 的取值范围是________．答案 [－1,0) 解析由题意得，函数y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫121－x＋m ，x ≤1，⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，x ＞1，首先作出函数y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫121－x，x ≤1，⎝⎛⎭⎫12x －1，x ＞1的图象，如图所示．由图象可知，要使函数y ＝⎩⎨⎧⎝⎛⎭⎫121－x＋m ，x ≤1，⎝⎛⎭⎫12x －1＋m ，x ＞1的图象与x 轴有公共点，则m ∈[－1,0)．11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)∵函数f (x )是奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )．当x >0时，－x <0，有(－x )2－mx ＝－(－x 2＋2x )，即x 2－mx ＝x 2－2x . ∴m ＝2.(2)由(1)知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋2x ，x <0，如图．当x >0时，f (x )＝－x 2＋2x ＝－(x －1)2＋1， ∴当x ∈[1，＋∞)时，f (x )单调递减；当x ∈(0,1]时，f (x )单调递增．当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1， ∴当x ∈(－∞，－1]时，f (x )单调递减；当x ∈[－1,0)时，f (x )单调递增．综上知：函数f (x )在[－1,1]上单调递增．又函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增．∴⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，解得1<a ≤3. 故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设函数f (x )＝ka x －a －x (a ＞0且a ≠1)是定义域为R 的奇函数．(1)若f (1)＞0，试求不等式f (x 2＋2x )＋f (x －4)＞0的解集；(2)若f (1)＝32，且g (x )＝a 2x ＋a －2x －4f (x )，求g (x )在[1，＋∞)上的最小值．解因为f (x )是定义域为R 的奇函数，所以f (0)＝0，所以k －1＝0，即k ＝1，f (x )＝a x －a －x .(1)因为f (1)＞0，所以a －1a ＞0，又a ＞0且a ≠1，所以a ＞1.因为f ′(x )＝a x ln a ＋a －x ln a ＝(a x ＋a －x )ln a ＞0，所以f (x )在R 上为增函数．原不等式可化为f (x 2＋2x )＞f (4－x )，所以x 2＋2x ＞4－x ，即x 2＋3x －4＞0，所以x ＞1或x ＜－4.所以不等式的解集为{x |x ＞1或x ＜－4}． (2)因为f (1)＝32，所以a －1a ＝32，即2a 2－3a －2＝0，所以a ＝2或a ＝－12(舍去)．所以g (x )＝22x ＋2－2x－4(2x －2－x )＝(2x －2－x )2－4(2x －2－x )＋2.令t (x )＝2x －2－x (x ≥1)，则t (x )在(1，＋∞)上为增函数(由(1)可知)，即t (x )≥t (1)＝32，所以原函数为ω(t )＝t 2－4t ＋2＝(t －2)2－2，所以当t ＝2时，ω(t )min ＝－2，此时x ＝log 2(1＋2)．即g (x )在x ＝log 2(1＋2)处取得最小值－2.。

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做考前回扣1 Word版含解析

考前回扣回扣1集合与常用逻辑用语1．集合(1)集合的运算性质：①A∪B＝A⇔B⊆A；②A∩B＝B⇔B⊆A；③A⊆B⇔∁U A⊇∁U B.(2)子集、真子集个数计算公式：对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2n,2n－1,2n－1,2n－2.(3)数轴和Venn图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘记集合本身和空集这两种特殊情况．补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题．2．四种命题及其相互关系(1)(2)互为逆否命题的两命题同真同假．3．含有逻辑联结词的命题的真假(1)命题p∨q：若p、q中至少有一个为真，则命题为真命题，简记为：一真则真．(2)命题p∧q：若p、q中至少有一个为假，则命题为假命题，p、q同为真时，命题才为真命题，简记为：一假则假，同真则真．(3)命题綈p与命题p真假相反．4．全称命题、存在性命题及其否定(1)全称命题p：∀x∈M，p(x)，其否定为存在性命题綈p：∃x0∈M，綈p(x0)．(2)存在性命题p：∃x0∈M，p(x0)，其否定为全称命题綈p：∀x∈M，綈p(x)．5．充分条件和必要条件(1)若p⇒q且qD⇒/p，则p是q的充分不必要条件；(2)若pD⇒/q且q⇒p，则称p是q的必要不充分条件；(3)若p⇔q，则称p是q的充要条件；(4)若pD⇒/q且qD⇒/p，则称p是q的既不充分也不必要条件．1．描述法表示集合时，一定要理解好集合的含义——抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}——函数的定义域；{y|y＝lg x}——函数的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函数图象上的点集．2．易混淆0，∅，{0}：0是一个实数；∅是一个集合，它含有0个元素；{0}是以0为元素的单元素集合，但是0∉∅，而∅⊆{0}．3．集合的元素具有确定性、无序性和互异性，在解决有关集合的问题时，尤其要注意元素的互异性．4．空集是任何集合的子集．由条件A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B求解集合A时，务必分析研究A＝∅的情况．5．区分命题的否定与否命题，已知命题为“若p，则q”，则该命题的否定为“若p，则綈q”，其否命题为“若綈p，则綈q”．6．在对全称命题和存在性命题进行否定时，不要忽视对量词的改变．7．对充分、必要条件问题，首先要弄清谁是条件，谁是结论．1．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m的可能取值组成的集合为________．答案{0,3}解析∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴m∈{1,3，m}，∴m＝1或m＝3或m＝m，由集合中元素的互异性易知m＝0或m＝3.2．(2016·鹰潭一中月考)设集合A＝{x|1<x<2}，B＝{x|x<a}，若A⊆B，则a的取值范围是________．答案{a|a≥2}解析若A⊆B，则a≥2.3．已知集合M＝{x|－3<x≤5}，N＝{x|x<－5或x>5}，则M∪N等于________．答案{x|x<－5或x>－3}解析在数轴上表示集合M、N，则M∪N＝{x|x<－5或x>－3}．4．满足条件{a}⊆A⊆{a，b，c}的所有集合A的个数是________．答案 4解析满足题意的集合A 可以为{a }，{a ，b }，{a ，c }，{a ，b ，c }，共4个．5．已知集合U ＝R (R 是实数集)，A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{x |x 2－2x <0}，则A ∪(∁U B )等于________．答案 (－∞，1]∪[2，＋∞)解析 B ＝{x |x 2－2x <0}＝(0,2)，A ∪(∁UB )＝[－1,1]∪(－∞，0]∪[2，＋∞)＝(－∞，1]∪[2，＋∞)．6．下列命题正确的序号是________．(1)命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0”；(2)l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α；(3)给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”，则綈p 是假命题；(4)“sin α＝12”是“α＝π6”的充分不必要条件．答案 (1)(3)解析命题“∀x ∈R,2x >0”的否定是“∃x 0∈R,2x 0≤0”；l 为直线，α，β为两个不同的平面，若l ⊥β，α⊥β，则l ∥α或l ⊂α；给定命题p ，q ，若“p ∧q 为真命题”，则p 和q 都是真命题，綈p 和綈q 都是假命题；“sin α＝12”是“α＝π6”的必要不充分条件，因此(1)(3)为真．7．已知命题p ：在△ABC 中，若AB <BC ，则sin C <sin A ；命题q ：已知a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的必要不充分条件．在命题p ∧q ，p ∨ q ，(綈p )∨q ，(綈p )∧q 中，真命题的个数为________．答案 1解析由题意得，在△ABC 中，若AB <BC ，即c <a ，由正弦定理可得sin C <sin A ，所以p真，又已知a ∈R ，则“a >1”是“1a<1”的充分不必要条件，所以q 假，只有p ∨q 为真命题．8．已知命题p ：∀m ∈[0,1]，x ＋1x≥2m ，则綈p 为__________________．答案 ∃m 0∈[0,1]，x ＋1x<2m 0 解析根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题p ：∀m ∈[0,1]，x ＋1x≥2m ，则綈p 为“∃m 0∈[0,1]，x ＋1x<2m 0”． 9．下列结论正确的是________．(1)f (x )＝a x －1＋2(a >0，且a ≠1)的图象经过定点(1,3)； (2)已知x ＝log 23,4y ＝83，则x ＋2y 的值为3； (3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则f (2)＝18；(4)f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数； (5)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，则m 的值为1或－1.答案 (1)(2)(4)解析 (1)当x ＝1时，f (1)＝a 0＋2＝1＋2＝3，则函数的图象经过定点(1,3)，故(1)正确；(2)已知x ＝log 23,4y ＝83，则22y ＝83，2y ＝log 283，则x ＋2y ＝log 23＋log 283＝log 2(83×3)＝log 28＝3，故(2)正确；(3)若f (x )＝x 3＋ax －6，且f (－2)＝6，则(－2)3－2a －6＝6，即a ＝－10，则f (2)＝23－2×10－6＝－18，故(3)错误；(4)函数的定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称，f (x )＝x (11－2x －12)＝x ·1＋2x 2(1－2x )，则f (－x )＝－x ·1＋2－x2(1－2－x ) ＝－x ·2x ＋12(2x －1)＝x ·1＋2x2(1－2x )＝f (x )，即有f (x )为偶函数，则f (x )＝x (11－2x －12)为偶函数，故(4)正确； (5)已知集合A ＝{－1,1}，B ＝{x |mx ＝1}，且B ⊆A ，当m ＝0时，B ＝∅，也满足条件，故(5)错误，故正确的是(1)(2)(4)．10．已知M 是不等式ax ＋10ax －25≤0的解集且5∉M ，则a 的取值范围是________________．答案 (－∞，－2)∪[5，＋∞)解析若5∈M ，则5a ＋105a －25≤0， ∴(a ＋2)(a －5)≤0且a ≠5，∴－2≤a ＜5，∴5∉M 时，a <－2或a ≥5.11．若三个非零且互不相等的实数a ，b ，c 满足1a ＋1b ＝2c，则称a ，b ，c 是调和的；若满足a ＋c ＝2b ，则称a ，b ，c 是等差的．若集合P 中元素a ，b ，c 既是调和的，又是等差的，则称集合P 为“好集”，若集合M ＝{x ||x |≤2 014，x ∈Z }，集合P ＝{a ，b ，c }⊆M ，则(1)“好集”P 中的元素最大值为________；(2)“好集”P 的个数为________．答案 2 012 1 006解析因为a ＝－2b ，c ＝4b ，若集合P 中元素a 、b 、c 既是调和的，又是等差的，则1a ＋1b＝2c且a ＋c ＝2b ，故满足条件的“好集”为形如{－2b ，b,4b }(b ≠0)的形式，则－2 014≤4b ≤2 014，解得－503≤b ≤503，且b ≠0，P 中元素的最大值为4b ＝4×503＝2 012.符合条件的b 值可取1 006个，故“好集”P 的个数为1 006.12．(2016·淄博六中期末)设命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0；命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，若q 是p 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．答案 (－∞，－4]解析由命题q ：实数x 满足x 2＋2x －8>0，得x <－4或x >2，由命题p ：实数x 满足x 2－4ax ＋3a 2<0，其中a <0，得(x －3a )(x －a )<0，∵a <0，∴3a <x <a ，∵q 是p 的必要不充分条件，∴a ≤－4，∴a ∈(－∞，－4]．13．已知命题p ：⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1，命题q ：x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)，若p 是q 的充分不必要条件，则实数m 的取值范围是________．答案 (2，＋∞)解析 ∵⎪⎪⎪⎪1－x ＋12≤1⇔－1≤x ＋12－1≤1⇔0≤x ＋12≤2⇔－1≤x ≤3，∴p ：－1≤x ≤3； ∵x 2－2x ＋1－m 2<0(m >0)⇔[x －(1－m )][x －(1＋m )]<0⇔1－m <x <1＋m ，∴q ：1－m <x <1＋m .∵p 是q 的充分不必要条件，∴[－1,3]是(1－m,1＋m )的真子集，则⎩⎪⎨⎪⎧1－m <－1，1＋m >3，解得m >2.。

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做考前回扣6 Word版含解析

回扣6立体几何1．概念理解四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．2．柱、锥、台、球体的表面积和体积3.平行、垂直关系的转化示意图(1)(2)线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(3)两个结论①⎭⎪⎬⎪⎫a ⊥αb ⊥α⇒a ∥b ②⎭⎪⎬⎪⎫a ∥b a ⊥α⇒b ⊥α 4．用向量求空间角(1)直线l 1，l 2夹角θ有cos θ＝|cos 〈l 1，l 2〉|(其中l 1，l 2分别是直线l 1，l 2的方向向量)． (2)直线l 与平面α的夹角θ有sin θ＝|cos 〈l ，n 〉|(其中l 是直线l 的方向向量，n 是平面α的法向量)．(3)平面α，β夹角θ有cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|，则α—l —β二面角的平面角为θ或π－θ(其中n 1，n 2分别是平面α，β的法向量)．1．混淆“点A 在直线a 上”与“直线a 在平面α内”的数学符号关系，应表示为A ∈a ，a ⊂α.2．易混淆几何体的表面积与侧面积的区别，几何体的表面积是几何体的侧面积与所有底面面积之和，不能漏掉几何体的底面积；求锥体体积时，易漏掉体积公式中的系数13.3．不清楚空间线面平行与垂直关系中的判定定理和性质定理，忽视判定定理和性质定理中的条件，导致判断出错．如由α⊥β，α∩β＝l ，m ⊥l ，易误得出m ⊥β的结论，就是因为忽视面面垂直的性质定理中m ⊂α的限制条件．4．注意图形的翻折与展开前后变与不变的量以及位置关系．对照前后图形，弄清楚变与不变的元素后，再立足于不变的元素的位置关系与数量关系去探求变化后的元素在空间中的位置与数量关系． 5．几种角的范围两条异面直线所成的角0°<α≤90° 直线与平面所成的角0°≤α≤90° 二面角0°≤α≤180°两条相交直线所成的角(夹角)0°<α≤90° 直线的倾斜角0°≤α<180° 两个向量的夹角0°≤α≤180° 锐角0°<α<90°6．空间向量求角时易忽视向量的夹角与所求角之间的关系，如求解二面角时，不能根据几何体判断二面角的范围，忽视向量的方向，误以为两个法向量的夹角就是所求的二面角，导致出错．1．已知m ，n 为直线，α，β为平面，给出下列命题： ①若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ②若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ； ③若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β； ④若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则n ∥m ； ⑤若α⊥β，α∩β＝m ，n ⊂α，m ⊥n ，则n ⊥β.其中正确的命题是________．(填写所有正确命题的序号) 答案 ②③⑤解析命题①，若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α或n ⊂α，故不正确；命题②，若m ⊥β，n ⊥β，则m ∥n ，由线面垂直的性质定理易知正确；命题③，由线面垂直的性质定理易知正确；命题④，若m ⊂α，n ⊂β，α∥β，则n ∥m 或m 、n 异面，所以不正确；命题⑤是面面垂直的性质定理，所以是正确命题．故答案为②③⑤.2．在空间直角坐标系中，以点A (4,1,9)，B (10，－1,6)，C (x ，4,3)为顶点的△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形，则实数x 的值为________．答案 2解析由题意得AB →＝(6，－2，－3)，AC →＝(x －4,3，－6)， AB →·AC →＝(6，－2，－3)·(x －4,3，－6) ＝6(x －4)－6＋18＝0，解得x ＝2.3．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别为棱BC 和棱CC 1的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为________．答案 60°解析由中点M ，N 可知MN ∥AD 1，由△D 1AC 是正三角形可知∠D 1AC ＝60°，所以异面直线AC 和MN 所成的角为60°.4．在三棱锥S －ABC 中，底面ABC 是边长为3的等边三角形，SA ⊥SC ，SB ⊥SC ，SA ＝SB ＝2，则该三棱锥的体积为________．答案354解析如图，∵SA ⊥SC ，SB ⊥SC ，且SA ∩SB ＝S ， ∴SC ⊥平面SAB ，在Rt △BSC 中，由SB ＝2，BC ＝3，得SC ＝ 5.在△SAB 中，取AB 中点D ，连结SD ，则SD ⊥AB ，且BD ＝32，∴SD ＝22－(32)2＝72，∴V ＝13×12×3×72×5＝354.5．已知m ，n 表示两条不同直线，α表示平面，下列说法正确的是________．①若m ∥α，n ∥α，则m ∥n ； ②若m ⊥α，n ⊂α，则m ⊥n ； ③若m ⊥α，m ⊥n ，则n ∥α； ④若m ∥α，m ⊥n ，则n ⊥α. 答案 ②6．已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为3，AB ＝1，AC ＝1，∠BAC ＝60°，则此球的表面积等于________．答案52π3解析由题意得三棱柱底面为正三角形，设侧棱长为h ，则h ·34·12＝3⇒h ＝4，因为球心为上下底面中心连线的中点，所以R 2＝22＋(33)2＝133，因此球的表面积等于4πR 2＝4π·133＝523π. 7．已知长方体ABCD —A ′B ′C ′D ′，E ，F ，G ，H 分别是棱AD ，BB ′，B ′C ′，DD ′的中点，从中任取两点确定的直线中，与平面AB ′D ′平行的有________条．答案 6解析如图，连结EG ，EH ，FG ，∵EH 綊FG ，∴EFGH 四点共面，由EG ∥AB ′，EH ∥AD ′，EG ∩EH ＝E ，AB ′∩AD ′＝A ，可得平面EFGH 与平面AB ′D ′平行，∴符合条件的共有6条．8．(2016·兰州高三实战模拟)α，β是两平面，AB，CD是两条线段，已知α∩β＝EF，AB⊥α于B，CD⊥α于D，若增加一个条件，就能得出BD⊥EF，现有下列条件：①AC⊥β；②AC 与α，β所成的角相等；③AC与CD在β内的射影在同一条直线上；④AC∥EF.其中能成为增加条件的序号是________．答案①③解析由题意得，AB∥CD，∴A，B，C，D四点共面．①中，∵AC⊥β，EF⊂β，∴AC⊥EF，又∵AB⊥α，EF⊂α，∴AB⊥EF，∵AB∩AC＝A，∴EF⊥平面ABCD，又∵BD⊂平面ABCD，∴BD⊥EF，故①正确；②中，由①可知，若BD⊥EF成立，则有EF⊥平面ABCD，则有EF⊥AC成立，而AC与α，β所成角相等是无法得到EF⊥AC的，故②错误；③中，由AC与CD在β内的射影在同一条直线上，可知EF⊥AC，由①可知③正确；④中，仿照②的分析过程可知④错误，故填①③.9．如图，ABCD—A1B1C1D1为正方体，下面结论中：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为60°. 错误的有________．(把你认为错误的序号全部写上)答案④解析①BD∥B1D1，利用线面平行的判定可推出BD∥平面CB1D1；②由BD⊥平面ACC1可推出AC1⊥BD；③AC1⊥CD1，AC1⊥B1D1可推出AC1⊥平面CB1D1；④异面直线AD与CB1所成角为45°，错误．10.如图，在棱长为2的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1内(含正方体表面)任取一点M ，则AA 1→·AM →≥1的概率p ＝________. 答案 34解析可解得|AM →|cos θ≥12，也即AM →在AA 1→上的投影大于或等于12.由几何概型的求法知，p ＝⎝⎛⎭⎫2－12×2×22×2×2＝34.11．如图所示，在边长为5＋2的正方形ABCD 中，以A 为圆心画一个扇形，以O 为圆心画一个圆，M ，N ，K 为切点，以扇形为圆锥的侧面，以圆O 为圆锥底面，围成一个圆锥，则圆锥的全面积S ＝________. 答案 10π解析设圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，由已知条件得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋r ＋2r ＝(5＋2)×2，2πr l ＝π2，解得r ＝2，l ＝42，S ＝πrl ＋πr 2＝10π.12．在四棱锥P —ABCD 中，P A ⊥平面ABCD ，△ABC 是正三角形，AC 与BD 的交点M 恰好是AC 中点，又P A ＝AB ＝4，∠CDA ＝120°，点N 在线段PB 上，且PN ＝ 2.(1)求证：BD ⊥PC ； (2)求证：MN ∥平面PDC ； (3)求二面角A —PC —B 的余弦值．(1)证明因为△ABC 是正三角形，M 是AC 中点，所以BM ⊥AC ，即BD ⊥AC ，又因为P A ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ， P A ⊥BD ，又P A ∩AC ＝A ，所以BD ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC ，所以BD ⊥PC .(2)证明在正三角形ABC 中，BM ＝23，在△ACD 中，因为M 为AC 中点，DM ⊥AC ，所以AD ＝CD ，又∠CDA ＝120°，所以DM ＝233，所以BM ∶MD ＝3∶1，在等腰直角三角形P AB 中， P A ＝AB ＝4，PB ＝42，所以BN ∶NP ＝3∶1， BN ∶NP ＝BM ∶MD ，所以MN ∥PD ，又MN ⊄平面PDC ，PD ⊂平面PDC ，所以MN ∥平面PDC .(3)解因为∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝90°，所以AB ⊥AD ，分别以AB ，AD ，AP 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，所以B (4,0,0)，C (2，23，0)，D (0，433，0)，P (0,0,4)．由(1)可知，DB →＝(4，－433，0)为平面P AC 的一个法向量，PC →＝(2,23，－4)，PB →＝(4,0，－4)，设平面PBC 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PC →＝0，n ·PB →＝0，即⎩⎨⎧2x ＋23y －4z ＝0，4x －4z ＝0.令z ＝3，则平面PBC 的一个法向量为n ＝(3，3，3)，设二面角A —PC —B 的大小为θ，则cos θ＝n ·DB →|n ||DB →|＝77.所以二面角A —PC —B 的余弦值为77.。

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做考前回扣2 Word版含解析

回扣2 函数与导数1．函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式，则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；②若已知f (x )的定义域为[a ，b ]，则f [g (x )]的定义域为不等式a ≤g (x )≤b 的解集；反之，已知f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为函数y ＝g (x )(x ∈[a ，b ])的值域； ③在实际问题中应使实际问题有意义．(2)常见函数的值域①一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域为R ；②二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)：当a >0时，值域为⎣⎡⎭⎫4ac －b 24a ，＋∞，当a <0时，值域为⎝⎛⎦⎤－∞，4ac －b 24a ； ③反比例函数y ＝k x(k ≠0)的值域为{y ∈R |y ≠0}． 2．函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质，对于定义域内的任意x (定义域关于原点对称)，都有f (－x )＝－f (x )成立，则f (x )为奇函数(都有f (－x )＝f (x )成立，则f (x )为偶函数)．(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质，一般地，对于函数f (x )，如果对于定义域内的任意一个x 的值：若f (x ＋T )＝f (x )(T ≠0)，则f (x )是周期函数，T 是它的一个周期．3．关于函数周期性、对称性的结论(1)函数的周期性①若函数f (x )满足f (x ＋a )＝f (x －a )，则f (x )为周期函数，2a 是它的一个周期．②设f (x )是R 上的偶函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，2a 是它的一个周期．③设f (x )是R 上的奇函数，且图象关于直线x ＝a (a ≠0)对称，则f (x )是周期函数，4a 是它的一个周期．(2)函数图象的对称性①若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (a －x )，即f (x )＝f (2a －x )，则f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．②若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝－f (a －x )，即f (x )＝－f (2a －x )，则f (x )的图象关于点(a,0)对称．③若函数y ＝f (x )满足f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称． 4．函数的单调性函数的单调性是函数在定义域上的局部性质．①单调性的定义的等价形式：设x 1，x 2∈[a ，b ]，那么(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0⇔f (x )在[a ，b ]上是增函数； (x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]<0⇔f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0⇔f (x )在[a ，b ]上是减函数． ②若函数f (x )和g (x )都是减函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是减函数；若函数f (x )和g (x )都是增函数，则在公共定义域内，f (x )＋g (x )是增函数；根据同增异减判断复合函数y ＝f [g (x )]的单调性．5．函数图象的基本变换(1)平移变换：y ＝f (x )――→h >0，右移h <0，左移y ＝f (x －h )， y ＝f (x )――→k >0，上移k <0，下移y ＝f (x )＋k . (2)伸缩变换：y ＝f (x )――→0<ω<1，伸ω>1，缩y ＝f (ωx )， y ＝f (x )――→0<A <1，缩A >1，伸y ＝Af (x )． (3)对称变换：y ＝f (x )――→x 轴y ＝－f (x )，y ＝f (x )――→y 轴y ＝f (－x )，y ＝f (x )――→原点y ＝－f (－x )．6．准确记忆指数函数与对数函数的基本性质(1)定点：y ＝a x (a >0，且a ≠1)恒过(0,1)点；y ＝log a x (a >0，且a ≠1)恒过(1,0)点．(2)单调性：当a >1时，y ＝a x 在R 上单调递增；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递增；当0<a <1时，y ＝a x 在R 上单调递减；y ＝log a x 在(0，＋∞)上单调递减．7．函数与方程(1)零点定义：x 0为函数f (x )的零点⇔f (x 0)＝0⇔(x 0,0)为f (x )的图象与x 轴的交点．(2)确定函数零点的三种常用方法①解方程判定法：即解方程f(x)＝0.②零点定理法：根据连续函数y＝f(x)满足f(a)f(b)<0，判断函数在区间(a，b)内存在零点．③数形结合法：尤其是方程两端对应的函数类型不同时多用此法求解．8．导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义：曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，该切线的方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(2)切点的两大特征：①在曲线y＝f(x)上；②在切线上．9．利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤：①求函数f(x)的定义域；②求导函数f′(x)；③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间，由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间．(2)由函数的单调性求参数的取值范围：①若可导函数f(x)在区间M上单调递增，则f′(x)≥0(x∈M)恒成立；若可导函数f(x)在区间M上单调递减，则f′(x)≤0 (x∈M)恒成立；②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间，f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集；③若已知f(x)在区间I上的单调性，区间I中含有参数时，可先求出f(x)的单调区间，则I是其单调区间的子集．10．利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤：①确定函数的定义域；②解方程f′(x)＝0；③判断f′(x)在方程f′(x)＝0的根x0两侧的符号变化：若左正右负，则x0为极大值点；若左负右正，则x0为极小值点；若不变号，则x0不是极值点．(2)求函数f(x)在区间[a，b]上的最值的一般步骤：①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②比较函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)的大小，最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．解决函数问题时要注意函数的定义域，要树立定义域优先原则．2．解决分段函数问题时，要注意与解析式对应的自变量的取值范围．3．求函数单调区间时，多个单调区间之间不能用符号“∪”和“或”连结，可用“及”连结或用“，”隔开．单调区间必须是“区间”，而不能用集合或不等式代替．4．判断函数的奇偶性，要注意定义域必须关于原点对称，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响．5．准确理解基本初等函数的定义和性质．如函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的单调性忽视字母a 的取值讨论，忽视a x >0；对数函数y ＝log a x (a >0，a ≠1)忽视真数与底数的限制条件．6．易混淆函数的零点和函数图象与x 轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化．7．已知可导函数f (x )在(a ，b )上单调递增(减)，则f ′(x )≥0(≤0)对∀x ∈(a ，b )恒成立，不能漏掉“＝”号，且需验证“＝”不能恒成立；而已知可导函数f (x )的单调递增(减)区间为(a ，b )，则f ′(x )>0(＜0)的解集为(a ，b )．8．f ′(x )＝0的解不一定是函数f (x )的极值点．一定要检验在x ＝x 0的两侧f ′(x )的符号是否发生变化，若变化，则为极值点；若不变化，则不是极值点．1．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则 f [f (1)]等于________．答案－2解析由f [f (1)]＝f (21－4)＝f (－2)＝2×(－2)＋2＝－2.2．若函数f (x )＝x 2－12ln x ＋1在其定义域内的一个子区间(k －1，k ＋1)内不是单调函数，则实数k 的取值范围是________．答案 [1，32) 解析因为f (x )的定义域为(0，＋∞)，y ′＝2x －12x，由f ′(x )＝0，得x ＝12.利用图象可得， ⎩⎪⎨⎪⎧ k －1<12<k ＋1，k －1≥0，解得1≤k <32. 3．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，则实数a 的取值范围是________．答案 (2,3)解析因为函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x >7单调递增，所以1<a <3且由f (7)<f (8)得，7(3－a )－3<a 2，解得a <－9或a >2，所以实数a 的取值范围是(2,3)．4．函数y ＝x ·2x|x |的图象大致形状是________．答案 ①解析 y ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，－2x ，x <0， y ＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，且y ＝2x ＞0，排除②④；又y ＝－2x 在(－∞，0)上单调递减，排除③.5．已知函数f (x )为偶函数，将f (x )的图象向右平移一个单位后得到一个奇函数，若f (2)＝－1，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)等于________．答案 0解析由条件知f (x －1)是奇函数，所以f (－x －1)＝－f (x －1)，又f (x )为偶函数，所以f (x ＋1)＝－f (x －1)，即f (x ＋2)＝－f (x )，从而f (x ＋4)＝f (x )，即函数f (x )是周期为4的函数，在f (x ＋2)＝－f (x )中令x ＝－1，可得f (1)＝0，再令x ＝1可得f (3)＝－f (1)＝0，令x ＝2可得f (4)＝－f (2)＝1，因此f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝504[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋2)＝－f (x )，且f (－1)＝2，则f (2 017)的值是________．答案－2解析由题意得f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数是以T ＝4的周期函数，所以f (2 017)＝f (1)＝－f (－1)＝－2.7． a 、b 、c 依次表示函数f (x )＝2x ＋x －2，g (x )＝3x ＋x －2，h (x )＝ln x ＋x －2的零点，则a 、b 、c 的大小顺序为________．答案 b <a <c解析 a 、b 、c 为直线y ＝2－x 分别与曲线y ＝2x ，y ＝3x ，y ＝ln x 的交点横坐标，从图象可知b <a <c .8．设a ＝log 32，b ＝log 52，c ＝log 23，则a 、b 、c 的大小关系是________．答案 c >a >b解析易知log 23>1，log 32，log 52∈(0,1)．在同一平面直角坐标系中画出函数y ＝log 3x 与y＝log 5x 的图象，观察可知log 32>log 52.所以c >a >b .比较a ，b 的其他解法：log 32>log 33＝12，log 52<log 55＝12，得a >b ；0<log 23<log 25，所以1log 23>1log 25，结合换底公式得log 32>log 52，即a ＞b .9．若函数f (x )定义域为[－2,2]，则函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为________．答案 (－1,1]解析由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧－2≤2x ≤2，x ＋1>0，∴－1<x ≤1，即函数y ＝f (2x )·ln(x ＋1)的定义域为(－1,1]．10．设函数f (x )＝x 3－2e x 2＋mx －ln x ，记g (x )＝f (x )x，若函数g (x )至少存在一个零点，则实数m 的取值范围是__________．答案 (－∞，e 2＋1e] 解析令g (x )＝x 2－2e x ＋m －ln x x＝0， ∴m ＝－x 2＋2e x ＋ln x x(x >0)，设h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x，令f 1(x )＝－x 2＋2e x ， f 2(x )＝ln x x ，∴f 2′(x )＝1－ln x x 2，发现函数f 1(x )，f 2(x )在x ∈(0，e)上都是单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上都是单调递减，∴函数h (x )＝－x 2＋2e x ＋ln x x在x ∈(0，e)上单调递增，在x ∈(e ，＋∞)上单调递减，∴当x ＝e 时，h (x )max ＝e 2＋1e ，∴函数有零点需满足m ≤h (x )max ，即m ≤e 2＋1e. 11．设奇函数y ＝f (x )(x ∈R )，满足对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，且x ∈[0，12]时f (x )＝－x 2，则f (3)＋f (－32)的值等于________．答案－14解析由于y ＝f (x )为奇函数，根据对任意t ∈R 都有f (t )＝f (1－t )，可得f (－t )＝f (1＋t )，所以函数y ＝f (x )的一个周期为2，故f (3)＝f (1)＝f (0＋1)＝－f (0)＝0，f (－32)＝f (12)＝－14， ∴f (3)＋f (－32)＝－14.12．函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋a 2在x ＝1处有极小值10，则a ＋b 的值为________．答案－7解析 ∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧f ′(1)＝3＋2a ＋b ＝0，f (1)＝1＋a ＋b ＋a 2＝10，解得a ＝4，b ＝－11或a ＝－3，b ＝3，经验证，a ＝4，b ＝－11符合题意，故a ＋b ＝－7.13．已知函数f (x )＝x ＋1e x (e 为自然对数的底数)． (1)求函数f (x )的单调区间；(2)设函数φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋1e x ，存在实数x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，求实数t 的取值范围．解 (1)∵函数的定义域为R ，f ′(x )＝－x e x ， ∴当x <0时，f ′(x )>0，当x >0时，f ′(x )<0，∴f (x )在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减．(2)存在x 1，x 2∈[0,1]，使得2φ(x 1)<φ(x 2)成立，则2[φ(x )]min <[φ(x )]max .∵φ(x )＝xf (x )＋tf ′(x )＋e －x＝x 2＋(1－t )x ＋1e x ， ∴φ′(x )＝－x 2＋(1＋t )x －t e x ＝－(x －t )(x －1)e x. ①当t ≥1时，φ′(x )≤0，φ(x )在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t >3－e 2>1； ②当t ≤0时，φ′(x )>0，φ(x )在[0,1]上单调递增，∴2φ(0)<φ(1)，即t <3－2e<0；③当0<t <1时，若x ∈[0，t )，φ′(x )<0，φ(x )在[0，t )上单调递减，若t ∈(t,1]，φ′(x )>0，φ(x )在(t,1)上单调递增，∴2φ(t )<max{φ(0)，φ(1)}，即2·t ＋1e t <max{1，3－t e}．(*) 由(1)知，g (t )＝2·t ＋1e t 在[0,1]上单调递减，故4e≤2·t＋1e t≤2，而2e≤3－te≤3e，∴不等式(*)无解．综上所述，存在t∈(－∞，3－2e)∪(3－e2，＋∞)，使得命题成立．。

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做考前回扣8 Word版含解析

回扣8计数原理1．分类计数原理完成一件事，可以有n类办法，在第一类办法中有m1种方法，在第二类办法中有m2种方法，……，在第n类办法中有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种方法(也称加法原理)．2．分步计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，……，做第n步有m n种方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×m n种方法(也称乘法原理)．3．排列(1)排列的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出m个元素的排列数，用A m n表示．(3)排列数公式：A m n＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个元素的一个全排列，A n n＝n·(n－1)·(n－2)·…·2·1＝n！.排列数公式写成阶乘的形式为A m n＝n！(n－m)！，这里规定0！＝1.4．组合(1)组合的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m个元素的组合数，用C m n表示．(3)组合数的计算公式：C m n＝A m nA m m＝n！m！(n－m)！＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)m！，由于0！＝1，所以C0n＝1.(4)组合数的性质：①C m n＝C n－mn ；②C m n＋1＝C m n＋C m－1n.5．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b1＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n(n∈N*)．这个公式叫做二项式定理，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，其中的系数C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数．式中的C r n a n－r b r叫做二项展开式的通项，用T r＋1表示，即展开式的第r ＋1项：T r ＋1＝C r n an －r b r. 6．二项展开式形式上的特点 (1)项数为n ＋1.(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n ，即a 与b 的指数的和为n .(3)字母a 按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n .(4)二项式的系数从C 0n ，C 1n ，一直到C n －1n ，C n n .7．二项式系数的性质(1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C m n ＝C n －m n. (2)增减性与最大值：二项式系数C r n，当r <n ＋12时，二项式系数是递增的；当r >n ＋12时，二项式系数是递减的．当n 是偶数时，那么其展开式中间一项112n T -＋的二项式系数最大．当n 是奇数时，那么其展开式中间两项112n T -＋和112n T +＋的二项式系数相等且最大．(3)各二项式系数的和(a ＋b )n 的展开式的各个二项式系数的和等于2n ，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＝2n. 二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1.1．关于两个计数原理应用的注意事项(1)分类和分步计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事．(2)混合问题一般是先分类再分步． (3)分类时标准要明确，做到不重复不遗漏．(4)要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律． 2．对于有附加条件的排列、组合应用题，通常从三个途径考虑： (1)以元素为主考虑，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素； (2)以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置；(3)先不考虑附加条件，计算出排列数或组合数，再减去不合要求的排列数或组合数． 3．排列、组合问题的求解方法与技巧(1)特殊元素优先安排；(2)合理分类与准确分步；(3)排列、组合混合问题先选后排；(4)相邻问题捆绑处理；(5)不相邻问题插空处理；(6)定序问题排除法处理；(7)分排问题直排处理；(8)“小集团”排列问题先整体后局部；(9)构造模型；(10)正难则反，等价条件． 4．对于二项式定理应用时要注意：(1)区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a ，b 有关，可正可负，二项式系数只与n 有关，恒为正．(2)运用通项求展开的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r ，再求所需的某项；有时需先求n ，计算时要注意n 和r 的取值范围及它们之间的大小关系． (3)赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1. (4)在化简求值时，注意二项式定理的逆用，要用整体思想看待a 、b.1．用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须全部使用，且同一数字不能相邻出现，这样的四位数有________个．答案 18解析利用树状图考察四个数位上填充数字的情况，如：1⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧2⎩⎪⎨⎪⎧ 1⎩⎨⎧ 233⎩⎨⎧123⎩⎪⎨⎪⎧1⎩⎨⎧ 232⎩⎨⎧ 13，共可确定8个四位数，但其中不符合要求的有2个，所以所确定的四位数应有18个．2．某学习小组男女生共8人，现从男生中选2人，女生中选1人，分别去做3种不同的工作，共有90种不同的选法，则男、女生人数分别为________．答案 3,5解析设男生人数为n ，则女生人数为8－n ，由题意可知C 2n C 18－n A 33＝90，即C 2n C 18－n ＝15，解得n ＝3，所以男、女生人数分别为3、5.3．将甲，乙等5位同学分别保送到北京大学，清华大学，浙江大学三所大学就读，则每所大学至少保送一人的不同保送方法有________种．答案 150解析先将5个人分成三组，(3,1,1)或(1,2,2)，分组方法有C 35＋C 15C 24C 222＝25(种)，再将三组全排列有A 33＝6(种)，故总的方法有25×6＝150(种)．4．从5位男教师和4位女教师中选出3位教师，派到3个班担任班主任(每班1位班主任)，要求这3位班主任中男、女教师都要有，则不同的选派方案共有________种．答案 420解析因为要求3位班主任中男、女教师都要有，所以共有两种情况，1男2女或2男1女．若选出的3位教师是1男2女，则共有C 15C 24A 33＝180(种)不同的选派方案，若选出的3位教师是2男1女，则共有C 25C 14A 33＝240(种)不同的选派方案，所以共有180＋240＝420(种)不同的选派方案．5．若二项式(2x ＋a x )7的展开式中1x 3的系数是84，则实数a 等于________．答案 1解析二项式(2x ＋a x )7的通项公式为T r ＋1＝C r 7(2x )7－r (a x )r ＝C r 727－r a r x 7－2r，令7－2r ＝－3，得r ＝5.故展开式中1x3的系数是C 5722a 5＝84，解得a ＝1. 6．(x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4等于________．答案 1解析 (x －1)4－4x (x －1)3＋6x 2(x －1)2－4x 3(x －1)＋x 4＝((x －1)－x )4＝1.7．某班准备从甲、乙等七人中选派四人发言，要求甲、乙两人中至少有一人参加，那么不同的发言顺序有________种．答案 720解析 A 47－A 45＝720(种)．8．如图，花坛内有5个花池，有5种不同颜色的花卉可供栽种，每个花池内只能种一种颜色的花卉，相邻两池的花色不同，则栽种方案的种数为________．答案 420解析若5个花池栽了5种颜色的花卉，方法有A 55种，若5个花池栽了4种颜色的花卉，则2,4两个花池栽同一种颜色的花，或3,5两个花池栽同一种颜色的花，方案有2A 45种；若5个花池栽了3种颜色的花卉，方案有A 35种，所以最多有A 55＋2A 45＋A 35＝420(种)方案．9．若⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x 8的展开式中，x 4的系数为7，则实数a ＝________.答案 12解析 T r ＋1＝C r 8x8－r⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝a r C r 8x 8－43r ，由8－43r ＝4得r ＝3，由已知条件a 3C 38＝7，则a 3＝18，a ＝12. 10．圆上有10个点，过每三个点画一个圆内接三角形，则一共可以画的三角形个数为________．答案 120解析圆上任意三点都不共线，因此有三角形C 310＝120(个)．11．一排共有9个座位，现有3人就坐，若他们每两人都不能相邻，每人左右都有空座，而且至多有两个空座，则不同坐法共有________种．答案 36解析可先考虑3人已经就座，共有A 33＝6(种)，再考虑剩余的6个空位怎么排放，根据要求把6个空位分为1,1,2,2，放置在由已经坐定的3人产生的4个空中，共有C 24＝6(种)，所以不同的坐法共有6×6＝36(种)．12．我国第一艘航母“辽宁舰”在某次舰载机起降飞行训练中，有5架舰载机(甲、乙、丙、丁、戊)准备着舰，如果甲、乙两机必须相邻着舰，而丙、丁不能相邻着舰，那么不同的着舰方法有________种．答案 24解析先把甲、乙捆绑在一起有A 22种情况，然后对甲、乙整体和戊进行排列，有A 22种情况，这样产生了三个空位，插入丙、丁，有A 23种情况，所以着舰方法共有A 22A 22A 23＝2×2×6＝24(种)．13．实验员进行一项实验，先后要实施5个程序(A ，B ，C ，D ，E )，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序C 或D 在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有________种．答案 24解析依题意，当A 在第一步时，共有A 22A 33＝12(种)；当A 在最后一步时，共有A 22A 33＝12(种)，所以实验的编排方法共有24种．14．用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为________．答案 288解析从2,4,6三个偶数中任意选出2个看作一个“整体”，方法有A 23＝6(种)，先排3个奇数，有A 33＝6(种)，形成了4个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的4个空中，方法有A 24＝12(种)．根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×6×12＝432(种)．若1排在两端，1的排法有A12A22＝4(种)，形成了3个空，将“整体”和另一个偶数插在3个奇数形成的3个空中，方法有A23＝6(种)，根据分步计数原理求得此时满足条件的六位数共有6×4×6＝144(种)，故满足1不在左右两端，2,4,6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为432－144＝288.。

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做考前回扣9 Word版含解析

回扣9 概率与统计牢记概念与公式 (1)概率的计算公式 ①古典概型的概率计算公式 P (A )＝事件A 包含的基本事件数m 基本事件总数n ；②互斥事件的概率计算公式 P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )； ③对立事件的概率计算公式 P (A )＝1－P (A )； ④几何概型的概率计算公式P (A )＝构成事件A 的区域长度(面积或体积)试验的全部结果所构成的区域长度(面积或体积).(2)抽样方法简单随机抽样、分层抽样、系统抽样．①从容量为N 的总体中抽取容量为n 的样本，则每个个体被抽到的概率都为nN；②分层抽样实际上就是按比例抽样，即按各层个体数占总体的比确定各层应抽取的样本容量．(3)统计中四个数据特征①众数：在样本数据中，出现次数最多的那个数据．②中位数：在样本数据中，将数据按大小排列，位于最中间的数据．如果数据的个数为偶数，就取中间两个数据的平均数作为中位数． ③平均数：样本数据的算术平均数，即x ＝1n (x 1＋x 2＋…x n )．④方差与标准差：方差：s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]．标准差： s ＝1n[(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2].(4)直方图的三个结论 ①小长方形的面积＝组距×频率组距＝频率． ②各小长方形的面积之和等于1.③小长方形的高＝频率组距，所有小长方形高的和为1组距.(4)八组公式①离散型随机变量的概率分布的两个性质 Ⅰ.p i ≥0(i ＝1,2，…，n )；Ⅱ.p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. ②均值公式E (X )＝x 1p 1＋x 2p 2＋…＋x n p n . ③均值的性质Ⅰ.E (aX ＋b )＝aE (X )＋b ； Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则E (X )＝np ； Ⅲ.若X 服从两点分布，则E (X )＝p . ④方差公式V (X )＝[x 1－E (X )]2·p 1＋[x 2－E (X )]2·p 2＋…＋[x n －E (X )]2·p n ，标准差V (X ). ⑤方差的性质 Ⅰ.V (aX ＋b )＝a 2V (X )；Ⅱ.若X ～B (n ，p )，则V (X )＝np (1－p )； Ⅲ.若X 服从两点分布，则V (X )＝p (1－p )． ⑥独立事件同时发生的概率计算公式 P (AB )＝P (A )P (B )．⑦独立重复试验的概率计算公式P n (r )＝C r n p r (1－p )n －r. ⑧条件概率公式 P (B |A )＝P (AB )P (A ).1．应用互斥事件的概率加法公式，一定要注意首先确定各事件是否彼此互斥，然后求出各事件分别发生的概率，再求和．2．正确区别互斥事件与对立事件的关系：对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．3．混淆频率分布条形图和频率分布直方图，误把频率分布直方图纵轴的几何意义当成频率，导致样本数据的频率求错．4．要注意概率P(A|B)与P(AB)的区别(1)在P(A|B)中，事件A，B发生有时间上的差异，B先A后；在P(AB)中，事件A，B同时发生．(2)样本空间不同，在P(A|B)中，事件B成为样本空间；在P(AB)中，样本空间仍为Ω，因而有P(A|B)≥P(AB)．5．易忘判定随机变量是否服从二项分布，盲目使用二项分布的均值和方差公式计算致误．1．某学校有男学生400名，女学生600名．为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取男学生40名，女学生60名进行调查，则这种抽样方法是________法．答案分层抽样解析总体由男生和女生组成，比例为400∶600＝2∶3，所抽取的比例也是2∶3，故拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，采用的抽样方法是分层抽样法．2．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，则复数(m＋n i)(n－m i)为实数的概率是________．答案1 6解析投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n，记作(m，n)，共有6×6＝36(种)结果．(m＋n i)(n－m i)＝2mn＋(n2－m2)i为实数，应满足m＝n，有6种情况，所以所求概率为636＝16.3．一个袋子中有5个大小相同的球，其中3个白球2个黑球，现从袋中任意取出一个球，取出后不放回，然后再从袋中任意取出一个球，则第一次为白球、第二次为黑球的概率为________．答案3 10解析设3个白球分别为a1，a2，a3,2个黑球分别为b1，b2，则先后从中取出2个球的所有可能结果为(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)，(a2，a1)，(a3，a1)，(b1，a1)，(b2，a1)，(a3，a2)，(b1，a2)，(b2，a2)，(b1，a3)，(b2，a3)，(b2，b1)，共20种．其中满足第一次为白球、第二次为黑球的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，共6种，故所求概率为620＝310.4．有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为________．答案 23解析设点P 到点O 的距离小于等于1的概率为P 1，由几何概型，则P 1＝V 半球V 圆柱＝2π3×13π×12×2＝13，故点P 到点O 的距离大于1的概率P 2＝1－13＝23. 5．花园小区内有一块三边长分别是5 m ，5 m ，6 m 的三角形绿化地，有一只小花猫在其内部玩耍，若不考虑猫的大小，则在任意指定的某时刻，小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m 的概率是__________．答案 1－π6解析如图所示，分别以三角形ABC 的三个顶点为圆心，2为半径作圆，与三角形ABC 的边交于D ，E ，M ，N ，Q ，P .由题意可知，小花猫在三角形的内部玩耍，该三角形是一个腰长为5，底边长为6的等腰三角形．底边AB 上的高为h ＝52－32＝4，故△ABC 的面积S ＝12×6×4＝12.而“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过 2 m ”对应的区域为图中阴影部分，即三角形ABC 除去以三个顶点为圆心，2为半径的扇形部分．因为A ＋B ＋C ＝π，所以三个扇形的面积之和为12π×22＝2π.故阴影部分的面积S ′＝S －2π＝12－2π.所以“小花猫与三角形三个顶点的距离均超过2 m ”的概率为P 1＝S ′S ＝12－2π12＝1－π6.6．在区间[－π，π]内随机取出两个数分别记为a ，b ，则函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点的概率为________．答案 1－π4解析由函数f (x )＝x 2＋2ax －b 2＋π2有零点，可得Δ＝(2a )2－4(－b 2＋π2)≥0，整理得a 2＋b 2≥π2，如图所示，(a ，b )可看成坐标平面上的点，试验的全部结果构成的区域为 Ω＝{(a ，b )|－π≤a ≤π，－π≤b ≤π}，其面积S Ω＝(2π)2＝4π2，事件A 表示函数f (x )有零点，所构成的区域为M ＝{(a ，b )|a 2＋b 2≥π2}，即图中阴影部分，其面积为S M ＝4π2－π3，故P (A )＝S M S Ω＝4π2－π34π2＝1－π4. 7．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是________．答案 18解析由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25＝20(种)，又13与39相同，31与93相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数为A 25－2＝20－2＝18. 8．甲、乙两同学用茎叶图记录高三前5次数学测试的成绩，如图所示，他们在分析对比成绩变化时，发现乙同学成绩的一个数字看不清楚了，若已知乙的平均成绩低于甲的平均成绩，则看不清楚的数字为________．答案 0解析设看不清的数字为x ，甲的平均成绩为99＋100＋101＋102＋1035＝101，所以93＋94＋97＋110＋(110＋x )5<101，x <1，所以x ＝0.9．在区间[1,5]和[2,4]内分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆的概率为________．答案1532解析当方程x 2a 2＋y 2b 2＝1表示焦点在x 轴上且离心率小于32的椭圆时，有⎩⎪⎨⎪⎧a 2>b 2，e ＝c a ＝a 2－b 2a <32，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2>b 2，a 2<4b 2，化简得⎩⎪⎨⎪⎧a >b ，a <2b . 又a ∈[1,5]，b ∈[2,4]，画出满足不等式的平面区域，如图阴影部分所示，求得阴影部分的面积为154，故P ＝S 阴影2×4＝1532.10．将某班参加社会实践编号为1,2,3，…，48的48名学生，采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本，已知5号，21号，29号，37号，45号学生在样本中，则样本中还有一名学生的编号是________．答案 13解析系统抽样法取出的样本编号成等差数列，因此还有一个编号为5＋8＝21－8＝13. 11．某班有学生60人，现将所有学生按1,2,3，…，60随机编号，若采用系统抽样的方法抽取一个容量为5的样本(等距抽样)，已知编号为4，a,28，b,52号学生在样本中，则a ＋b ＝________. 答案 56解析 ∵样本容量为5，∴样本间隔为60÷5＝12， ∵编号为4，a,28，b,52号学生在样本中， ∴a ＝16，b ＝40，∴a ＋b ＝56. 12．给出如下四对事件：①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”； ③从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“至少一个黑球”与“都是红球”； ④从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，“没有黑球”与“恰有一个红球”．其中属于互斥事件的是________．(把你认为正确的事件的序号都填上) 答案 ①③④解析 ①某人射击1次，“射中7环”与“射中8环”两个事件不会同时发生，故为互斥事件；②甲、乙两人各射击1次，“至少有1人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，前者包含后者，故②不是互斥事件；③“至少有一个黑球”与“都是红球”不能同时发生，但一定会有一个发生，所以这两个事件是对立事件，故是互斥事件；④“没有黑球”与“恰有一个红球”，不可能同时发生，故他们属于互斥事件．13．某公司通过初试和复试两轮考试确定最终合格人选，当第一轮初试合格后方可进入第二轮复试，两次考核过程相互独立．根据甲、乙、丙三人现有的水平，第一轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.4、0.6、0.5.第二轮考核，甲、乙、丙三人合格的概率分别为0.5、0.5、0.4.(1)求第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率；(2)设甲、乙、丙三人经过前后两轮考核后合格入选的人数为X，求X的概率分布和均值．解(1)设甲、乙经第一次考核后合格为事件A1、B1，设事件E表示第一轮考核后甲不合格、乙合格，则P(E)＝P(A1·B1)＝0.6×0.6＝0.36.即第一轮考核后甲、乙两人中只有乙合格的概率为0.36.(2)分别设甲、乙、丙三人经过前后两次考核后合格入选为事件A、B、C，则P(A)＝0.5×0.4＝0.2，P(B)＝0.6×0.5＝0.3，P(C)＝0.5×0.4＝0.2，经过前后两轮考核后合格入选的人数为X，则X可能取0,1,2,3.P(X＝0)＝0.8×0.7×0.8＝0.448，P(X＝1)＝0.2×0.7×0.8＋0.8×0.3×0.8＋0.8×0.7×0.2＝0.416，P(X＝3)＝0.2×0.3×0.2＝0.012，P(X＝2)＝1－0.448－0.416－0.012＝0.124.故X的概率分布为E(X)＝0×0.448＋1×0.416＋2×0.124＋3×0.012＝0.7.。

2017版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题8 概率与统计第38练含解析

第38练随机变量及其概率分布［题型分析·高考展望] 随机变量及其概率分布是高考的一个必考热点,主要包括离散型随机变量及其概率分布，均值与方差，二项分布及其应用．对本部分知识的考查，一是以实际生活为背景求解离散型随机变量的概率分布和均值；二是独立事件概率的求解;三是考查二项分布．体验高考1．(2016·四川）同时抛掷两枚质地均匀的硬币，当至少有一枚硬币正面向上时，就说这次试验成功，则在2次试验中成功次数X的均值是________．答案错误!解析由题可知,在一次试验中,试验成功(即至少有一枚硬币正面向上)的概率为P＝1－错误!×错误!＝错误!，∵2次独立试验成功次数X满足二项分布X～B错误!，则E（X）＝2×错误!＝错误!. 2．(2016·天津）某小组共10人，利用假期参加义工活动．已知参加义工活动次数为1,2,3的人数分别为3,3,4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．(1）设A为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4"，求事件A发生的概率；（2）设X为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X的概率分布和均值．解（1)由已知,有P（A）＝错误!＝错误!，所以事件A发生的概率为错误!。

（2）随机变量X的所有可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝错误!＝错误!，P(X＝1）＝错误!＝错误!，P(X＝2)＝错误!＝错误!.所以随机变量X的概率分布为随机变量X的均值E（X）＝0×15＋1×错误!＋2×错误!＝1. 3．(2015·福建)某银行规定,一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误,该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．(1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；（2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的概率分布和均值．解(1）设“当天小王的该银行卡被锁定"的事件为A，则P（A）＝错误!×错误!×错误!＝错误!.(2)依题意得，X所有可能的取值是1,2，3。

2017版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题5 数列、推理与证明第23练含解析

第23练数列求和问题[题型分析·高考展望］数列求和是数列部分高考考查的两大重点之一，主要考查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和方法，尤其是错位相减法、裂项相消法是高考的热点内容，常与通项公式相结合考查，有时也与函数、方程、不等式等知识交汇，综合命题．体验高考1．(2015·安徽）已知数列｛a n}中,a1＝1，a n＝a n－1＋错误!（n≥2），则数列｛a n}的前9项和等于________．答案27解析由已知数列｛a n}是以1为首项，以12为公差的等差数列．∴S9＝9×1＋错误!×错误!＝9＋18＝27.2．(2016·浙江)设数列{a n｝的前n项和为S n.若S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*，则a1＝______，S5＝______.答案 1 121解析由错误!解得a1＝1，a2＝3，当n≥2时，由已知可得：a n＋1＝2S n＋1，①a n＝2S n－1＋1，②①－②得a n＋1－a n＝2a n,∴a n＋1＝3a n，又a2＝3a1，∴{a n}是首项为1，公比为3的等比数列．∴S n＝错误!(3n－1)．∴S5＝121.3．(2015·课标全国Ⅰ）S n为数列{a n}的前n项和．已知a n〉0，a错误!＋2a n＝4S n＋3。

（1）求｛a n｝的通项公式；（2）设b n＝错误!，求数列{b n}的前n项和．解（1）由a2，n＋2a n＝4S n＋3,①可知a错误!＋2a n＋1＝4S n＋1＋3.②②－①可得a错误!－a错误!＋2（a n＋1－a n)＝4a n＋1，即2（a n＋1＋a n）＝a错误!－a错误!＝（a n＋1＋a n)（a n＋1－a n)．由于a n〉0，可得a n＋1－a n＝2.又a21＋2a1＝4a1＋3，解得a1＝－1（舍去）或a1＝3.所以{a n｝是首项为3,公差为2的等差数列，通项公式为a n＝2n＋1。

2017版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档专题5 数列、推理与证明第21练含解析

第21练基本量法——破解等差、等比数列的法宝[题型分析·高考展望] 等差数列、等比数列是高考的必考点，经常以一个填空题,加一个解答题的形式考查，题目难度可大可小，有时为中档题，有时解答题难度较大．解决这类问题的关键是熟练掌握基本量,即通项公式、前n项和公式及等差、等比数列的常用性质．体验高考1．（2016·课标全国乙改编)已知等差数列｛a n｝前9项的和为27,a10＝8，则a100等于________．答案98解析由等差数列性质,知S9＝错误!＝错误!＝9a5＝27，得a5＝3，而a10＝8，因此公差d＝错误!＝1，∴a100＝a10＋90d＝98.2．(2015·福建改编)若a，b是函数f（x）＝x2－px＋q（p＞0，q＞0)的两个不同的零点,且a，b，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________．答案9解析由题意知：a＋b＝p,ab＝q，∵p＞0,q＞0，∴a＞0,b＞0。

在a,b，－2这三个数的6种排序中，成等差数列的情况有a，b，－2；b,a，－2；－2，a，b；－2，b，a；成等比数列的情况有a，－2,b；b,－2，a.∴错误!或错误!解得错误!或错误!∴p＝5，q＝4，∴p＋q＝9.3．(2016·北京)已知{a n｝为等差数列，S n为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.答案6解析∵a3＋a5＝2a4＝0，∴a4＝0.又a1＝6，∴a4＝a1＋3d＝0,∴d＝－2.∴S6＝6×6＋6×6－12×(－2)＝6.4．（2015·安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8,则数列｛a n｝的前n项和等于________．答案2n－1解析由等比数列的性质知a2a3＝a1a4，又a2a3＝8，a 1＋a 4＝9,∴联立方程错误!解得错误!或错误!又数列{a n ｝为递增数列，∴a 1＝1,a 4＝8，从而a 1q 3＝8，∴q ＝2。

《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)小题精练9.doc

小题精练91.设集合S={0, a}, T= {xez|?<2},则“a=l” 是“SU厂'的________________ 条件.2.（2015•天津模拟）设数列{如}是公差不为零的等差数列,它的前〃项和为S”，且Si，S2, S4成等比数列，贝吩= ________ .3.给出下面四个命题：①“直线Q〃直线b”的充要条件是平行于b所在的平面”；②“直线/丄平面d内所有直线”的充要条件是“/丄平面；③“直线a, b为异面直线”的充分不必要条件是“直线d, b不相交”；④“平面Q〃平面0”的必要不充分条件是“（X内存在不共线三点到0的距离相等”.其中正确命题的序号是 ________ .4.若/（X）是R 上的增函数，且/（一1）=一4,夬2）=2,设P={x|Ax+0+l<3}, Q={x\f（x）<~ 4},若“xWP”是“的充分不必要条件，则实数f的取值范圉是____________ .5.（2015-连云港模拟）若平面内共线的B, P三点满足条件OP=a^OA+a^x OB.其屮心}为等差数列，则如）】6 = _____ •6.若不存在整数x满足不等式（kx—k2—4）（x~4）<0,则实数k的取值范围是______ .7.执行如图所示的流程图，若输入的N是6,则输出p的值是___________ •&对于使一X2+2X^M成立的所有常数M中,我们把M的最小值1叫做一X2+2X的上确界,1 2若a, b>0,且a+h=\,贝9—茲一乙的上确界为___________ .9._____________________________________________________ 已知向量a,方满足|a| = l, |a+〃|=需，〈a, b〉=申，则|切= ________________________________ .10. (2015 -南京联考)如图，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切2 2线/C, 设内层椭圆方程为卡+方=1 (a>b>0),则外层椭圆方程可乙厶 Q设为乔和+孟产=1 (a>b>0,加>1).若AC 与BD 的斜率之积为厉’则椭圆的离心率为11.2015年10月某校高三2000名同学参加了一次数学调研测试，利用简单随机抽样从中抽取了部分同学的成绩进行统计分析，由于工作人员的失误，学生成绩分析的茎叶图和频率分布直方图均受到不同程度的破坏，但可见部分信息如图所示，则总体中分数在［80,90)内的人数为 .12. 已知円、F?为双曲线卡一*=1(Q>0, b>0)的左、右焦点，过点尸2作此双曲线一条渐近线的垂线，垂足为M,且满足应离| = 3\MF 2\,则此双曲线的渐近线方程为 _______________ . 13. 若连续掷两次骰子得到的点数分別为加和n,记向量a=(m f 〃)与向量b = (l, 一1)的夹角为0,则&丘(0‘号的概率是 ___________ .14. 设/(x)和g(x)是定义在同一区间［a,切上的两个函数，若函数y=/(x)—g(x)在xW ［a, b ］上有两个不同的零点，则称/⑴和炎)在［a,b ］上是“关联函数”，区间［a,切称为“关联区间”. 若J(X )=X 2~3X +4与g(x)=2x+m 在［0,3］上是“关联函数”，则加的取值范围是 ____________ .茎叶5 6 86 23456897 1223456789 ■8 9小题精练91.充分不必要解析当0=1时，S={O,1},卩={一1,0,1},・・・SU7；即“0=1”是“SU 厂'的充分条件; 反之，S={0, a}, T={ —1,0,1},若 SWT,则 a=\ 或 a=~\.综上可知,"a=l” 是 “SC T"的充分不必要条件.2.7解析•・•数列{a”}是公差不为零的等差数列，设公差为〃.・・・$ = G ，$=2⑷+〃，S4=4d 】 + 6d.又・・・S 】，S2，S4成等比数列，・・・£=S 「S4,可得d=2a]或d=0（舍去），・・Q4=a] + 3d=7a],・・# =7.3. ②④解析当a 平行于b 所在平面时，a, b 可能异面，故①不正确；当a 、b 不相交时，可能a//b, 故③不正确；由此可排除①、③，故④正确.4, />3解析 P= {兀範+/)+ 1<3} = {x\f(x+t)<2} = «x+r)<A2)}, Q= {x^x)<-4} = «Ax)<A-l)}，因为函数/(x)是 R 上的增函数，所以 P= {x\x+t<2} = {x\x<2一/}, 0= {x\x<— 1},要使 “xWP” 是a x^Q ”的充分不必要条件，则有2 —/<—1,即/>3.解析由OP=a {OA + a^OB 及向量共线的充要条件得©+04031 = L 又因为数列{如}为等差数列，所以 2^2016 = 01+。

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做锁定70分专项练6 Word版含解析

“锁定70分”专项练61．已知集合A ＝{x |(x －4)(x ＋2)<0}，B ＝{－3，－1,1,3,5}，则A ∩B ＝________. 答案 {－1,1,3}2．复数53＋4i的共轭复数是________．答案 35＋45i 3．命题“∀x ∈R ，都有log 2x >0成立”的否定为________．答案 ∃x 0∈R ，使log 2x 0≤0成立4．已知p ：x >1，y >1，q ：x ＋y >2，xy >1，则p 是q 的________条件．(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)答案充分不必要5．将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，得到的函数图象关于y 轴对称，则φ的最小值为________．答案 π8解析将函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向左平移φ(φ>0)个单位后，可得函数f (x )＝sin[2(x ＋φ)＋π4]＝sin(2x ＋2φ＋π4)的图象．再根据得到的函数图象关于y 轴对称，可得2φ＋π4的最小正值为π2，∴φ＝π8. 6．已知{a n }为等差数列，且a 6＝4，则a 4a 7的最大值为________．答案 18解析设等差数列的公差为d ，则a 4a 7＝(a 6－2d )(a 6＋d )＝(4－2d )(4＋d )＝－2(d ＋1)2＋18，即a 4a 7的最大值为18.7．已知向量b 为单位向量，向量a ＝(1,1)，且|a －2b |＝6，则向量a ，b 的夹角为________．答案 2π3解析因为b 为单位向量，向量a ＝(1,1)，所以|a |＝2，|b |＝1，因为|a －2b |＝6⇒a 2－22a·b ＋2b 2＝6，即2－22a·b ＋2＝6⇒a·b ＝－22，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b |＝－12，所以向量a ，b 的夹角为2π3. 8．已知F 1，F 2是椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且PF 1→⊥PF 2→.若△PF 1F 2的面积为9，则b ＝________.答案 3解析由PF 1→⊥PF 2→知∠F 1PF 2＝90°，则由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ PF 1＋PF 2＝2a ，12PF 1·PF 2＝9，PF 21＋PF 22＝4c 2，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，所以b ＝3.9．在平面直角坐标系中，半径为r ，以点(x 0，y 0)为圆心的圆的标准方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2；则类似地，在空间直角坐标系中，半径为R ，以(x 0，y 0，z 0)为球心的球的标准方程为________________________．答案 (x －x 0)2＋(y －y 0)2＋(z －z 0)2＝R 2解析在由平面几何的性质类比推理空间立体几何性质时，一般为：由平面几何中圆的性质，类比推理空间几何中球的性质．故由“以半径为r ，以点(x 0，y 0)为圆心的圆的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＝r 2”，类比到空间可得的结论是：以点(x 0，y 0，z 0)为球心，R 为半径的球的方程为(x －x 0)2＋(y －y 0)2＋(z －z 0)2＝R 2.10．设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 答案 3或4解析已知方程有根，由判别式Δ＝16－4n ≥0，解得n ≤4，又n ∈N *，逐个分析，当n ＝1,2时，方程没有整数根；而当n ＝3时，方程有整数根1,3；当n ＝4时，方程有整数根2.11．在长度为1的线段上任取两点，将线段分成三段，则这三条线段能构成三角形的概率为________．答案 14解析设x 、y 表示三段长度中的任意两个．因为是长度，所以应用0<x <1,0<y <1，0<x ＋y <1，即(x ，y )对应着坐标系中以(0,1)、(1,0)和(0,0)为顶点的三角形内的点，如图所示．要形成三角形，由构成三角形的条件知⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋y >1－x －y ，1－x －y >x －y ，1－x －y >y －x ，所以x <12，y <12，且x ＋y >12，故图中阴影部分符合构成三角形的条件．因为阴影部分的三角形的面积占大三角形面积的14，故这三条线段能构成三角形的概率为14. 12．对于三次函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d ，给出定义：设f ′(x )是函数y ＝f (x )的导数，f ″(x )是f ′(x )的导数，若方程f ″(x )＝0有实数解x 0，则称点(x 0，f (x 0))为函数y ＝f (x )的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512，根据这一发现，则函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为________．答案 (12，1) 解析依题意，得f ′(x )＝x 2－x ＋3，∴f ″(x )＝2x －1，由f ″(x )＝0，即2x －1＝0.∴x ＝12，又f (12)＝1，∴函数f (x )＝13x 3－12x 2＋3x －512的对称中心为(12，1)． 13．若x ＞0，y ＞0，则x x ＋2y ＋y x的最小值为________．答案 2－12解析设y x ＝t ＞0，则x x ＋2y ＋y x ＝11＋2t ＋t ＝11＋2t ＋12(2t ＋1)－12≥2 11＋2t ×1＋2t 2－12＝2－12，当且仅当t ＝2－12＝y x时取等号． 14．已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y －6≤0，y ≤2x ＋4，2x ＋3y －12≤0，直线(1＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋3λ－12＝0 (λ∈R )过定点A (x 0，y 0)，则z ＝y －y 0x －x 0的取值范围为________．答案 [17，5] 解析由直线(1＋λ)x ＋(1－2λ)y ＋3λ－12＝0可得x ＋y －12＝(－x ＋2y －3)λ，可知⎩⎪⎨⎪⎧ －x ＋2y －3＝0，x ＋y －12＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝7，y ＝5，即定点A (7,5)，故z ＝y －5x －7，由不等式组作出可行域如图，目标函数可视为点A 与可行域中的点连线的斜率，则由图可知分别取点P ，Q 时，z 取得最小，最大值，又P (0,4)，Q (6,0)，故z min ＝17，z max ＝5，故z 的取值范围为[17，5]．。

【步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：8.2求指定项与求和.doc

2017版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档 专题8 概率与统计 第34练 含解析

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：2.3如何让“线性规划”不失分(含答案解析)

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：技巧篇第二篇(含答案解析)

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 锁定70分专项练8 Word版含解析

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 压轴大题突破练(一) Word版含解析

【步步高】(江苏专用)2017版高考数学一轮复习 第八章 立体几何 8.3 直线、平面平行的判定与性质课件 文

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：考前回扣5(含答案解析)

《新步步高》考前三个月高考二轮复习数学(江苏专用理科)小题精练1.doc

【步步高】高考数学江苏(理)考前三个月配套练习：3.1熟练掌握基本初等函数(含答案解析)

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 考前回扣1 Word版含解析

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 考前回扣6 Word版含解析

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 考前回扣2 Word版含解析

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 考前回扣8 Word版含解析

【新步步高】2017版高考数学江苏(理)考前三个月考前抢分必做 考前回扣9 Word版含解析

2017版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档 专题8 概率与统计 第38练 含解析

2017版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档 专题5 数列、推理与证明 第23练 含解析

2017版高考数学江苏(理)考前三个月配套文档 专题5 数列、推理与证明 第21练 含解析