初一培优资料平方差公式完全平方公式的综合运用
七年级下册数学复习——平方差公式、完全平方公式
2.2 平方差公式、完全平方公式知识要点：✧平方差公式：22()()a b a b a b +-=- ✧完全平方公式：222222()2,()2x y x xy y x y x xy y +=++-=-+ ✧ 常用变形：x 2+y 2＝（x+y ）2－2xy ； x 2+y 2＝（x －y ）2＋2xy ；（x+y ）2 ＝（x －y ）2+4xy ； （x －y ）2＝（x+y ）2 — 4xy ； （x+y ）2 —（x －y ）2=4xy✧ 注意：x 和y 可以表示一个单项式，也可以表示一个多项式，当表示一个多项式时，就将这个多项式视为一个整体。
1. 平方差公式题型1：直接运用公式1）（a+3）(a-3) 2）(1+2c)(1-2c) 3）(-x+2)(-x-2) 4）(2x+12)(2x-12)2. 平方差公式题型2：运用公式使计算简便1）1998×2002 2）498×502 3）1.01×0.99 4）（20-19）×（19-89）3. 平方差公式题型3：两次运用平方差公式1）（a+b ）(a-b)(a 2+b 2) 2）(3a+2)(3a-2)(9a 2+4)3）(x-12)(x 2+14)(x+12) 4)))94)(64)(32(2++-a a a4. 平方差公式题型4：需要先变形再利用平方差公式1）（-2x-y ）(2x-y) 2）(32)(32)a a --- 3）(ab+1)(1-ab) 4）)43)(43(22---x x5. 平方差公式题型5：每个多项式含三项，需要打包1）（a+2b+c ）(a+2b-c) 2）(a+b-3)(a-b+3)3）（x-y+z)(x+y-z) 4）(3x-2y+1)(3x+2y-1)6. 完全平方公式变形：1）a 2+b 2=(a+b)2 =(a-b)2 2）（a-b ）2=(a+b)2 ; (a+b)2=(a-b)23）(a+b)2 +（a-b ）2= 4）(a+b)2 —（a-b ）2=7. 完全平方公式题型1：直接利用公式2)12(--t 2)2332(y x + (0.02x+0.1y)28. 完全平方公式题型2：括号中的多项式含有三项，需要打包（1）(2x+y-z)2 （2）(a+2b-2)29. 完全平方公式题型3：运用公式使计算简便（1）1022 （2）197210. 其他题型1) 若622=-n m ，且3=-n m ，则=+n m ．2) 若m - n= 8,mn=30,则m 2+n 2=___________3) 若016822=+-+-n n m ，则______________,==n m 。
初一培优资料平方差公式完全平方公式的综合运用
平方差公式完全平方公式的综合运用姓名_________用待定系数法解决多项式整除多项式的问题例：已知多项式x3+ax2+bx−4能被多项式x2+3x−4整除，求a+b 的值变式：平方差公式：完全平方公式：立方和（差）公式：配方思想：（完全平方式）______________________例：变式：例：配方法用于求最值例 多项式22687x y x y +-++的最小值为____________变式：当x=_____时 −2x 2+3x −9 有最______值，是________ 配方法用于判断二次三项式符号：例：求证：无论x 取什么数，−x 2−2x −4总是负数。
用于解方程（利用非负数的性质）例 解方程：22224640x y z x y z ++-+-+=．用于计算例3、 1.345×0.345×2.69－1.3453－1.345×0.3452=_______________．用于求值例4、已知19961995a x =+，19961996b x =+，19961997c x =+，那么222a b c ab bc ca ++---的值为（ ）．（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 变式：已知2522=+y x ，7=+y x ，且y x ＞，则y x -的值等于 。
用于证明条件等式例5、 已知x y z ，，满足8x y -=，216xy z +=-，求证：0x y z ++=．用于比较大小例6、已知0x ≠，且22(21)(21)M x x x x =++-+，22(1)(1)N x x x x =++-+，则M 与N 的大小关系为（ ）．（A ）M N > （B ）M N < （C ）M N = （D ）无法确定已知a 、b 、c 为有理数，且满足a=8－b ，c 2=ab －16，求a 、b 、c 的值。
2（4分）若4x 2﹣kxy +9y 2是一个完全平方式，则k=．3.（4分）在（x +1）（2x 2﹣ax +1）的运算结果中，x 2项的系数是﹣8，那么a 的值是 ．4.（4分）若a 2﹣3a +1=0，则= ．5．（6分）已知：a ﹣b=4，ab=﹣1，求：（a +b ）2和a 2﹣6ab +b 2的值．2）已知： ，求代数式 的值。
第六讲 平方差与完全平方公式的综合运用
第六讲[名师导航]1．要熟练把握两个公式间的综合运用。
[夯实基础]例1：计算：(1)(x+3)2－x2;(2)(a+b+3)(a+b－3);(3)(x+5)2－(x－2)(x－3).变式训练：计算：(1)962(2)(a－b－3)(a－b+3)(3) (a－b)((a+b)3－2ab(a2－b2)(4)a+b+c)(a+b－c)(a－b+c)(－a+b+c)[思路拓展]例2：已知x +y =8,xy =12,求x 2+y 2的值.例3：计算：(a +b )3例4：己知x+y=a xy=b 求 ①x 2+y 2②x 3+y 3 ③x 4+y 4 ④x 5+y 5变式训练：1.已知x +x 1=2,求x 2+21x 的值.2.已知,a +b =8,ab =24.求21(a 2+b 2)的值.3.已知x +x 1=4,求①x 2+21x ②x 3+31x ③x 4+41x 的值4.已知：x 2－2x +y 2+6y +10=0,求x +y 的值.[创新思维]例5：化简 个n 9999× 个n 9999+个n 9991例6：己知a 2=a+1，求代数式a 5－5a+2的值例7：求证：四个连续整数的积加上1的和，一定是某个整数的平方。
[挑战自我]1． 填空：①a 2+b 2=(a+b)2－_____ ②(a+b)2=(a －b)2+___③a 3+b 3=(a+b)3－3ab(___) ④a 4+b 4=(a 2+b 2)2－____⑤a 5+b 5=(a+b)(a 4+b 4)－_____ ⑥a 5+b 5=(a 2+b 2)(a 3+b 3)－____2． 填空：①(x+y)(___________)=x 4－y 4 ②(x －y)(__________)=x 4－y 4③(x+y)( ___________)=x 5+y 5 ④（x －y ）(__________)=x 5－y 53.计算：①552= ②652= ③752= ④852= ⑤952=4. 计算下列各题，你发现什么规律⑥11×19= ⑦22×28= ⑧34×36= ⑨43×47= ⑩76×74=5.化简：①（a+b）2(a－b)2 ②(a+b)(a2－ab+b2)6.己知a+b=1,求证：a3+b3－3ab=17.求证：233＋1能被9整除8.求证：两个连续整数的积加上其中较大的一个数的和等于较大的数的平方9．如图三个小圆圆心都在大圆的直径上，它们的直径分别是a,b,c①求证：三个小圆周长的和等于大圆的周长②求：大圆面积减去三个小圆面积和的差。
完全平方公式变形的应用培优
完全平方公式变形的应用培优
1.变形一：平方差公式
将完全平方公式中的等式两边移项，可以得到平方差公式：
(a+b)²-a²=2ab；
(a-b)²-a²=-2ab
这些公式可以用于解决一些二次方程的求解问题，也可以用于快速计
算一些算术运算，如：(42)²-40²=(42+40)(42-40)=82*2=164
2.变形二：立方差公式
(a+b)³-a³=3a²b+3ab²+b³；
(a-b)³-a³=-3a²b+3ab²-b³
这些公式可以用于解决一些立方方程的求解问题和立方运算问题，如：(a+b)³=(a+b)(a+b)²
1.应用一：平方求和公式
1²+2²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/6
2.应用二：定积分计算
∫(x²+2x+1)dx=∫(x+1)²dx=(1/3)(x+1)³+C
3.应用三：因式分解
x²+6x+9=(x+3)²
以上是完全平方公式变形的一些应用示例，从中可以看出完全平方公式变形在代数学习中的重要性。
通过灵活运用完全平方公式变形，可以解决一些复杂的方程和计算问题，提高解题能力和计算效率。
因此，学生在数学学习中一定要熟练掌握完全平方公式的变形和应用。
2022-2023学年初一数学第二学期培优专题训练24 公式法因式分解的3个类型
专题24 公式综合应用因式分解三个类型类型一 先平方差公式再完全平方公式1．因式分解：（x 2+9）2﹣36x 2．2．分解因式：(a 2+1)2-4a 23．分解因式：（x 2＋4）2﹣16x 2．4．因式分解（x 2+4y 2）2﹣16x 2y 2类型二 先完全平方公式再平方差公式5.因式分解：()2221x y xy ++-6．因式分解：a 2﹣（x 2﹣2xy +y 2）．7．22414x xy y --+8．x 2﹣4x ＋4﹣y 29．因式分解：22496m n mn ---．10．2221a ab b -+-11．2212--+x y y ．12．分解因式a 2-b 2-2b-1类型三 综合提公因式和公式法因式分解13.分解因式：(1)48ab b -；(2)2363x x -+．14．因式分解：(1)42ab b -(2)221218a a -+15．因式分解：(1)326a ab +(2)2255x y -(3)22363x xy y -+-16．分解因式 （1）32484xy xy xy ++（2）22-5105a ab b +-17．因式分解：①3x －12x 3；②－2a 3＋12a 2－18a18.因式分解： （1）29x y y -；（2）322288x x y xy -+．19．分解因式：（1）2348m -（2）22344x y xy x --20．把下列各式因式分解 （1）4x 2－16；（2）(x －y )2＋4xy ．21．因式分解 ①-2x 2+8；②3222x x y xy -+；③222(4)16x x +-．22.因式分解：（1）a 3﹣4a（2）m 3n ﹣2m 2n+mn专题24 公式综合应用因式分解三个类型类型一 先平方差公式再完全平方公式2．因式分解：（x 2+9）2﹣36x 2．解：()222936x x +- ()()229696x x x x =+++-()()2233x x =+-． 2．分解因式：(a 2+1)2-4a 2解：原式=2222222(1)(2)(21)(21)(1)(1)a a a a a a a a +-=++-+=+-.3．分解因式：（x 2＋4）2﹣16x 2．解：原式＝(x 2＋4＋4x )(x 2＋4﹣4x )＝(x ＋2)2(x ﹣2)2．4．因式分解（x 2+4y 2）2﹣16x 2y 2解：原式＝（x 2+4y 2）2﹣（4xy ）2＝（x 2+4y 2﹣4xy ）（x 2+4y 2+4xy ）＝（x ﹣2y ）2（x +2y ）2． 类型二 先完全平方公式再平方差公式5.因式分解：()2221x y xy ++-解：（x 2+y 2+2xy ）-1=（x+y ）2-1=（x+y-1）（x+y+1）．6．因式分解：a 2﹣（x 2﹣2xy +y 2）．解：原式＝a 2﹣（x ﹣y ）2＝（a +x ﹣y ）（a ﹣x +y ）．7．22414x xy y --+解：22414x xy y --+()224=41x xy y -+-()2=x-2y -1()()=x 2121y x y -+--． 8．x 2﹣4x ＋4﹣y 2解：原式＝(x ﹣2)2﹣y 2＝(x ﹣2+y )(x ﹣2﹣y )．9．因式分解：22496m n mn ---．解：原式224(96)m n mn =-++222(3)m n =-+(23)(23)m n m n =++--．10．2221a ab b -+-解：()()()22221111a ab b a b a b a b -+-=--=-+--11．2212--+x y y ．解：2212--+x y y =()221x y --=()()11x y x y -++-． 12．分解因式a 2-b 2-2b-1原式()()()()222221111.a b b a b a b a b =-++=-+=++-- 类型三 综合提公因式和公式法因式分解13.分解因式：(1)48ab b -；(2)2363x x -+．(1)解：48ab b -()42b a =-；(2)解：2363x x -+()2321x x =-+()231x =-． 14．因式分解：(1)42ab b -(2)221218a a -+(1)解：42ab b -()221b a =-；(2)解：221218a a -+()2269a a =-+()223a =-． 15．因式分解：(1)326a ab +(2)2255x y -(3)22363x xy y -+-(1)解：326a ab +＝2a （a 2+3b ）；(2)解：（2）原式＝5（x 2﹣y 2）＝5（x +y ）（x ﹣y ）；(3)解：（3）原式＝﹣3（x 2﹣2xy +y 2）＝﹣3（x ﹣y ）2． 16．分解因式 （1）32484xy xy xy ++（2）22-5105a ab b +-（1）32484xy xy xy ++()2421xy y y =++ ＝4xy （y +1）2；（2）22-5105a ab b +-()2252a ab b =--+ ＝-5（a -b ）2． 17．因式分解：①3x －12x 3；②－2a 3＋12a 2－18a解：①原式=()2314x x -=()()31212x x x +-； ②原式=22(69)a a a --+=22(3)a a --．18.因式分解： （1）29x y y -；（2）322288x x y xy -+．解：（1）29x y y -()29y x =-()()33y x x =-+；（2）322288x x y xy -+()22244x x xy y =-+()222x x y =-． 19．分解因式：（1）2348m -（2）22344x y xy x --.解：（1）原式()2316m =-()()344m m =+-；（2）原式()2244x xy y x =--++()22x x y =--． 20．把下列各式因式分解 （1）4x 2－16；（2）(x －y )2＋4xy ．解：（1）4x 2-16＝24(4)4(2)(2)x x x -=+-；（2）22222()4242x y xy x xy y xy x xy y -+=-++=++=2()x y +． 21．因式分解 ①-2x 2+8；②3222x x y xy -+；③222(4)16x x +-．①228x -+()224x =--()()222x x =-+-； ②3222x x y xy -+22(2)x x xy y =-+2()x x y =-；③222(4)16x x +-22(44)(44)x x x x =+++-22(2)(2)x x =+-． 22.因式分解：（1）a 3﹣4a（2）m 3n ﹣2m 2n+mn解：（1）a 3﹣4a =a (a 2﹣4)=a (a +2)(a −2）；（2）m 3n ﹣2m 2n +mn =mn (m 2﹣2m +1)=mn (m ﹣1)2．。
平方差和完全平方公式应用举例
平方差和完全平方公式应用举例一、平方差公式平方差公式描述了两个数(或代数式)的乘积与它们的差之间的关系：(a+b)(a-b)=a²-b²这个公式的应用在代数运算中非常常见，下面我们通过几个具体的例子来说明它的应用。
例子1：计算(7+2)(7-2)根据平方差公式，我们有：(7+2)(7-2)=7²-2²=49-4=45所以，(7+2)(7-2)=45例子2：计算(x+1)(x-1)根据平方差公式，我们有：(x+1)(x-1)=x²-1²=x²-1所以，(x+1)(x-1)=x²-1二、完全平方公式完全平方公式描述了一个一次多项式的平方的表达式：(a + b)² = a² + 2ab + b²这个公式的应用也非常广泛，下面我们通过几个具体的例子来说明它的应用。
例子3：展开(x+2)²根据完全平方公式，我们有：(x+2)²=x²+2(x)(2)+2²=x²+4x+4所以，(x+2)²=x²+4x+4例子4：展开(3+2x)²根据完全平方公式，我们有：(3+2x)²=3²+2(3)(2x)+(2x)²=9+12x+4x²所以，(3+2x)²=4x²+12x+9这些例子展示了平方差和完全平方公式在解题中的应用。
它们可以用来简化计算过程，化简表达式和方程。
例如，当我们需要计算两个数的乘积或平方时，我们可以利用平方差公式，将计算过程转化为相加或相减的操作，从而简化计算。
另外，完全平方公式可用于展开一个一次多项式的平方，从而获取更多的信息。
这在求解方程和证明等问题中经常会遇到。
总结起来，平方差和完全平方公式是代数中常用的公式，它们的应用在代数运算、化简表达式、求解方程和证明等问题中都具有重要的作用。
平方差和完全平方公式及其应用
平方差和完全平方公式及其应用一、知识梳理1.平方差公式：公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。
即：22()()a b a b a b +-=-特征：左边：两个二项式的积，其中一项相同，另一项互为相反数右边：相同一项的平方减去互为相反数一项的平方。
注意：A ．找符合公式特征的才能运用公式B ．公式中a 、b 具有广泛性C ．公式的逆用：22()()a b a b a b -=+-D ．注意公式的变形 。
添括号：括号前面是“+”，括到括号内的各项不变号，括号前面是“-”，括到括号内的各项全部变号。
即：()a b c a b c -+=+-+；()a b c a b c -+=--2.完全平方公式：公式：两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和，加上（或减去）这两个数乘积的二倍。
即：222()2()a b a a b b +=++完全平方和公式222()2()a b a a b b -=-+完全平方差公式 特征：左边：两个数和（或差）的平方 右边：是一个三项式，其中两项为两数的平方且符号相同，另一项为这两数积的二倍，且符号与左边相同。
完全平方式：一个多项式能改写成平方的形式。
3.乘法公式的运用：（1）正向运用：22()()a b a b a b +-=-；222()2a b a a b b ±=±+（2）逆向运用：22()()a b a b a b -=+-；2222()a a b b a b ±+=±（3）乘法公式的变式应用： ①2222()244()4a b a a b b a b a b a b a b +=++-+=-+②22()()4a b a b a b -=+-③2222()()2()a b a b a b ++-=+；④22()()4a b a b a b +--=⑤2222()()2()2a b a b a b a b a b +=+-=-+ ⑥22()()22a b a b a b +-=-； ⑦2222111()()2()2a a a a a a +=+-=-+ ⑧2222()222a b c a b c a b b c a c ++=+++++ ⑨2222221[()()()]2a b c a b b c a c a b b c a c +++++=+++++ ⑩2222221[()()()]2a b c a b b c a c a b b c a c ++---=-+-+- （3）完全平方公式的非负性：①非负性:2222()0a a b b a b ±+=±≥②最值定理:a 、b 同号，则：222()a b a b +≤+，当且仅当时a b =时，取等。
数学七年级下期培优学案-平方差公式和完全平方公式
数学七年级下期培优学案(3)----平方差公式和完全平方公式一、平方差公式1. 公式：22)()a b a b a b +-=-（2. 公式的特征：（1）左边是两个二项式的乘积，存在一组相同的量和一组相反的量（2）右边是相同量的平方与相反量平方的差；3. 公式的顺用例1. 用平方差公式计算22224433(1)(4)(4)22(2)()()()()a a y x y x y x y x -+--+-++练习1计算(1)(1)(1)(1)x x x x +-+- (2)(23)(23)x y x y --- (3)()()x y z x z y +-+-4. 公式逆用例2计算2211(5)(5)22x x +--练习2填空(1)(1)ab -+（ ）=221a b - (2)()()a b a b -+（）=44a b - 2(3)6,3,b a b -=-=2若a 且则a+b= ；5. 利用平方差公式计算例3.利用平方差公式计算2(1)9991001(2)39.840.2(3)200420032005⨯⨯-⨯练习3计算22222242222222007(1)2007200820061111(2)(1)(1)(1)...(1)23410(3)3(41)(41)(41)1(4)2012201120102009...21-⨯----⨯++++-+-++-二、完全平方公式1. 公式及其变形 22222222222222222222)2()())22()()()()22()()4,()()411()2a b a ab b a b a b a b a b ab a b a b a b a b ab a b a b ab a b a b ab x x x x±=±+++-+=±=+-++--==+=-+-=+-±=±+ （（ 2. 口诀：（1）展开式：首平方，尾平方，首尾二倍在中央（2）中间项口诀：同正异负3.公式的识别与求完全平方的展开式例4.计算2(1)(25)x -+ 2(2)(38)x --2(3)(2)(2)x y x x y --+ 22(4)()()()2m n m n m n m +-++-(5)(21)(21)a b a b +++- 22(6)(21)(21)x x -+2(7)498 2(8)199202198-⨯（9）（－21ab 2－32c ）2 210()a b c -+（）4.结合完全平方公式特征，完善公式例5.(1)(5x+2y)2-(5x-2y)2＝ （2）( -2)2＝ 1-2x+ （3）( )-24a 2c 2+( )＝( -4c 2)2练习4. （1） a 2＋b 2＝（a ＋b ）2－______＝（a －b ）2－__________．（2） 如果4a 2－m ·ab ＋81b 2是一个完全平方式，则m = .（3） x 2－xy ＋________＝（x －______）2．22222(4)4___,412 ____.(5)()2,____.x ax a x xy m m x y M x xy y M ++=++=-+=++=是完全平方公式，则是一个完全平方式，则则 5.利用完全平方公式求值例6.（1） 已知a ＋b ＝7，ab ＝10，求a 2＋b 2，（a －b ）2的值（2） 已知（a ＋b ）2＝9，（a －b ）2＝5，求a 2＋b 2，ab 的值（3） 若x+y=a,xy=b,求x 2+y 2,x 4+y 4的值.练习5.（1） 已知2a －b ＝5，ab ＝23，求4a 2＋b 2－1的值 （2） 已知 2()16,4,a b ab +==求223a b +与2()a b -的值 （3） 已知6,4a b a b +=-=求ab 与22a b +的值。
完全平方公式的综合举例
完全平方公式的综合举例为了更好地理解和运用完全平方公式，下面将为您举例说明。
首先，我们来看一些求解平方差的例子：例子1：计算49^2-21^2根据完全平方公式，我们有(49-21)(49+21)=(49-21)(70)。
简化得(28)(70)=1960。
因此，49^2-21^2=1960。
例子2：计算144^2-100^2根据完全平方公式，我们有(144-100)(144+100)=(144-100)(244)。
接下来，我们来看一些求解平方和的例子：例子3：计算25^2+30^2根据完全平方公式，我们有(25+30)^2=(25+30)(25+30)。
简化得(55)(55)=3025因此，25^2+30^2=3025例子4：计算16^2+12^2根据完全平方公式，我们有(16+12)^2=(16+12)(16+12)。
简化得(28)(28)=784因此，16^2+12^2=784除了求解平方差和平方和之外，完全平方公式还可以用于因式分解。
例子5：将x^2+8x+16分解为完全平方。
根据完全平方公式，我们知道16是4的平方，即4^2因此，x^2+8x+16=(x+4)(x+4)=(x+4)^2例子6：将9y^2-12y+4分解为完全平方。
根据完全平方公式，我们知道4是2的平方，即2^2因此，9y^2-12y+4=(3y-2)(3y-2)=(3y-2)^2除了上述的求解平方差、平方和和因式分解，完全平方公式还可以用于其他类型的问题，例如求解最值问题。
例子7：求函数f(x)=x^2-6x+9的最小值。
将f(x)用完全平方公式进行变换，可以得到f(x)=(x-3)^2由于平方的结果是非负的，所以最小值为0，当且仅当(x-3)^2=0时，即x=3通过以上的例子，我们可以看到完全平方公式的广泛应用。
它不仅仅用于求解平方差和平方和，还可以用于因式分解和解决最值问题。
对于数学问题的解答和推导，完全平方公式是一个非常有用的工具。
初一奥数专题讲义 完全平方公式与平方差公式
完全平方公式与平方差公式一．知识要点1．乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。
公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。
公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。
2．基本公式完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b2平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2立方和（差）公式：(a±b)(a2 ab+b2)=a3±b33．公式的推广（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。
（2）二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4（a±b)5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5…………注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4．公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2得 a2+b2=(a+b)2－2ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)5．由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b ）(a 3－a 2b+ab 2－b 3)=a 4－b 4 (a+b)(a 4－a 3b+a 2b 2－ab 3+b 4)=a 5+b5(a+b)(a 5－a 4b+a 3b 2－a 2b 3+ab 4－b 5)=a 6－b 6…………注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n 为正整数 (a+b)(a2n －1－a2n －2b+a2n －3b 2－…＋ab2n －2－b2n －1)=a 2n －b2n(a+b)(a 2n －a 2n －1b+a 2n －2b 2－…－ab 2n －1+b 2n )=a 2n+1+b 2n+1 类似地：（a －b ）(a n －1+a n －2b+a n －3b 2+…＋ab n －2+b n －1)=a n －b n 由公式的推广③可知：当n 为正整数时 a n －b n 能被a －b 整除, a 2n+1+b 2n+1能被a+b 整除, a 2n －b 2n 能被a+b 及a －b 整除。
平方差完全平方公式的应用
平方差完全平方公式的应用平方差和完全平方公式是数学中常用的两个重要公式。
在解决代数问题和简化计算过程中，它们具有非常重要的应用。
首先，我们来谈谈平方差公式。
平方差公式是用来将两个数的平方差表示为两个数的乘积的公式。
具体来说，平方差公式可以表达为：\((a+b)(a-b)=a^2-b^2\)。
这个公式的应用非常广泛。
例如，如果我们需要计算数\(a\)和数\(b\)的平方差，我们可以使用平方差公式，将这个表达式转化为\((a+b)(a-b)\)的形式，然后再进行计算。
这样可以简化计算过程，使我们更容易得到结果。
接下来，让我们来谈谈完全平方公式。
完全平方公式是指一个二次多项式可以被写成一个平方的形式。
具体来说，完全平方公式可以表达为：\( a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2 \)。
完全平方公式的应用非常广泛，特别是在因式分解方程和简化代数表达式时。
例如，如果我们需要因式分解一个二次方程，我们可以应用完全平方公式来简化等式。
一个具体的例子是\(x^2+6x+9\)。
我们可以使用完全平方公式将其转化为\((x+3)^2\)的形式。
在这个例子中，我们可以得到的结果是\((x+3)^2\)。
完全平方公式还可以用来简化代数表达式，使其更易于计算。
例如，如果我们需要计算\((a+3)^2\)和\((a-3)^2\)之间的差异，我们可以应用完全平方公式，将其转化为\(a^2+6a+9\)和\(a^2-6a+9\)的形式。
然后我们可以简化计算过程，更容易得到结果。
总结起来，平方差公式和完全平方公式是数学中常用的两个重要公式。
它们在解题过程中起着非常重要的作用，可以帮助我们简化计算过程，得到更准确的结果。
在实际应用中，我们应该熟练掌握这两个公式，以便在解决代数问题时能够灵活运用。
平方差公式和完全平方公式复习和拓展
平方差公式和完全平方公式复习和拓展一、平方差公式在代数中，我们常常需要将一个数分解成两个数的平方差，或是将两个数的平方差合并成一个数。
平方差公式就提供了一个简单的方法。
例如，如果我们需要将16分解成两个数的平方差，我们可以设一个数为x，则另一个数为16/x。
根据平方差公式，我们有(x+16/x)(x-16/x)=x^2-(16/x)^2=x^2-256、这样我们就将16分解成了两个数的平方差x^2-256除了在分解数的平方差时使用平方差公式，它还可以用来简化代数表达式。
例如，我们有一个代数表达式(x+2)(x-2)，我们可以根据平方差公式简化它为x^2-4二、完全平方公式完全平方公式用于求解一个二次多项式的平方。
设a和b为任意实数，则完全平方公式可以表示为：a^2+2ab+b^2=(a+b)^2完全平方公式可以用来求解一些常见的问题，如求一个数的平方、求解二次方程等。
例如，如果我们需要求解x^2+6x+9=0的根，我们可以利用完全平方公式写成(x+3)^2=0。
从中我们可以得到x=-3，即方程的根为-3完全平方公式也可以用来展开一个二次多项式。
例如，如果我们需要展开(x+1)^2，我们可以利用完全平方公式得到x^2+2x+1三、平方差公式和完全平方公式的拓展除了基本的平方差公式和完全平方公式之外，还有一些相关的公式和技巧可以帮助我们更好地理解和应用这两个公式。
1. 平方差公式的展开形式：有时候，我们需要展开一个平方差的其他形式，例如(a+b)^2 - 4ab。
根据平方差公式，我们可以得到：(a+b)^2 - 4ab = a^2 + 2ab + b^2 - 4ab = a^2 - 2ab + b^22.完全平方公式的逆运算：有时候，我们需要根据一个完全平方公式的结果反推出原始的二次多项式，例如(x+3)^2=x^2+6x+9、根据完全平方公式的逆运算，我们可以得到x^2+6x+9=(x+3)^23.平方差公式的应用：平方差公式不仅可以用于分解数的平方差，还可以用于简化代数表达式。
完全平方公式和平方差公式综合应用
完全平方公式和平方差公式综合应用对于任意实数a和b，有(a+b)² = a² + 2ab + b²。
平方差公式如下：对于任意实数a和b，有(a-b)² = a² - 2ab + b²。
一、应用问题1：求解方程2x²+8x+8=0。
解析：我们可以将方程进行变形，以便使用完全平方公式。
首先，将方程两边同时减去8，得到：2x²+8x=-8再将方程两边同时除以2，得到：x²+4x=-4观察到该方程中，系数b等于4，我们可以看到b的两倍是4*2=8、因此，我们可以使用完全平方公式。
根据完全平方公式，我们知道这个方程可以写成：(x+2)²=-4+4=0由此可得x+2=±√0x=-2±√0由于根号0等于0，所以x=-2为方程的唯一实数解。
二、应用问题2：求证正整数(n+1)³-n³-1是一个完全平方数。
解析：我们需要证明的是(n+1)³-n³-1是一个完全平方数，即证明存在一个整数x，使得：(n+1)³-n³-1=x²通过平方差公式，我们可以简化上式为：(n+1)³-n³-1=(3n²+3n+1)=(n+1)²因此，我们可以看出，(3n²+3n+1)是一个完全平方数。
三、应用问题3：Rectangle1的长是Square1的边长的2倍，它们的面积相差180平方米。
如果将Square1的边长减少2米，而Rectangle1的长增加5米，则两个图形的面积相等。
求Rectangle1和Square1的边长。
解析：设Square1的边长为x，则Rectangle1的长为2x。
根据题意，可列方程：(2x)^2-x^2=180（相差180平方米）(2x-2)^2=(x+5)^2（面积相等）通过求解上述方程组，我们可以得到Square1的边长为10米，Rectangle1的长为20米。
完全平方公式综合应用
完全平方公式综合应用完全平方公式是数学中的一种常用方法，用于求解一元二次方程的解。
它的具体形式为：若二次方程ax²+bx+c=0中的常数项c是一个完全平方数，即c=m²，那么方程的解可以表示为x=（-b±√(b²-4ac)）/2a。
通过应用完全平方公式，我们可以解决各种与二次方程相关的问题，比如求解方程的实数解、求解方程的整数解、使用完全平方公式完成平方运算等等。
下面我们将分析和解决几个关于完全平方公式的综合应用题。
1.求解一元二次方程的实数解例题：解方程x²-5x+6=0。
解：根据给定的方程，我们可以看出方程的一元二次项系数a=1，一元一次项系数b=-5，常数项c=6、根据完全平方公式的公式，我们可以代入这些系数进行计算。
首先，计算判别式D=b²-4ac。
D=(-5)²-4(1)(6)=25-24=1然后，计算方程的根，并对根进行判断。
x₁=[-(-5)+√(1)]/(2*1)=(5+1)/2=6/2=3x₂=[-(-5)-√(1)]/(2*1)=(5-1)/2=4/2=2由此可知，方程x²-5x+6=0的实数解为x=3和x=22.求解一元二次方程的整数解例题：解方程x²-7x+12=0，并求出所有满足此方程的整数解。
解：根据给定的方程，我们可知常数项c=12、我们要找到所有满足方程的整数解，即通过求解方程得到的根是整数。
根据完全平方公式的应用，我们仍然计算判别式D=b²-4ac。
D=(-7)²-4(1)(12)=49-48=1由于判别式D为一个完全平方数，即D=1=1²。
我们可以看出，方程的根取决于下面的等式：x=[-(-7)±1]/(2*1)=(7±1)/2=8/2=4或6/2=4或3因此，方程x²-7x+12=0的整数解为x=4和x=33.完全平方公式的平方运算例题：求解下面的完全平方：(x+3)²=x²+6x+9解：我们可以利用完全平方公式对方程进行平方运算。
平方差公式与完全平方公式#精选.
平方差公式与完全平方公式（a+b ）2 = a 2+2ab+b 2 （a －b ）2=a 2－2ab+b 2 （a+b ）（a －b ）=a 2－b 2应用1、平方差公式的应用：例1、利用平方差公式进行计算： （1）（5+6x ）（5－6x ） （2）（x ＋2y ）（x －2y ） （3）（－m ＋n ）（－m －n ） 解：例2、计算： （1）（y x 41--）（y x 41+-） （2）（－m －n ）（m －n ）（3）（m ＋n ）（n －m ）+3m 2 （4）（x+y ）（x －y ）（x 2－y 2） 解：例3、计算：（1）103×97 （2）118×122 （3）32203119⨯ 解：应用2、完全平方公式的应用： 例4、计算： （1）（2x －3）2 （2）（4x+5y ）2（3）（y x 21-）2 （4）（－x －2y ）2（5）（－x+y 21）2解：例5、利用完全平方公式计算： （1）1022 （2）1972 （3）199992－19998×20002解：试一试：计算：123456789×123456787－1234567882=_______________应用3、乘法公式的综合应用： 例6、计算： （1）（x+5）2－（x+2）（x －2） （2）（a+b+3）（a+b －3） （3）（a －b+1）（b －a+1） （4）（a+b －c ）2 解：例7、（1）若4ax x 412++是完全平方式，则：a=________________（2）若4x 2 +1加上一个单项式M 使它成为一个完全平方式，则M=_______________ 例8、（1）已知：3a1a =+，则：__________a1a 22=+（2）已知：5a 1a =-，则：__________a 1a 22=+（3）已知：a+b=5，ab=6，则：a 2+b 2=_______（4）已知：（a+b ）2=7，（a －b ）2=3，则：a 2+b 2= ，ab=例9、计算：（1）)1011()411)(311)(211(2222---- （2）)12()12)(12)(12)(12(32842+++++解：例10、证明：x 2+y 2+2x －2y+3的值总是正的。
北师大七年级下册数学平方差公式、完全平方公式典型应用
平方差公式、完全平方公式2、22巩固平方差公式例1下列各式哪些可以利用平方差公式计算: （1） a b a -c（3） ab -3x j -3x -ab例2 :利用平方差公式计算： （1） x 2 x-2例3 :计算例4: 填空(1)a 2-4 = a 2 (2)225-x 二 5-x ）（）(3)m 2 一n 2 : i I i(4)142 -132 二I例5: 计算(1)a b -3 a b 3 (2)m 2 n 「7 m 2_n _7题型一应用平方差公式进行计算 （1） 2a 3b 2a -3b(1) a a b a -ba 2b 2 (2) 2x-5 2x 5 -2x 2x-3(2) x y -y x (4) j -m -n m n(2) 1 3a 1 -3a(2) 3m-2 n -3m-2 n(4) 2b - 3a -3a - 2b(3) 2x 1 2x -1(5) a b a - b i 亠2b2(6) a b a - b a2b2题型二平方差公式的几何意义1、如图，在边长为（a +1 ）cm 的正方形纸片中，剪去一个边长为（a -1）cm 的小正方形（a>1），将余下部分拼成一个矩形（不重叠无缝隙） ，求该矩形的长、宽以及面积。
2.在边长为a 的正方形中挖掉一个边长为 b 的小正方形（a >b ） •把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（）3. 张如图1的长为a ,宽为b （a > b ）的小长方形纸片，按图 2方式不重叠地放在矩形 ABCD 内，未被覆盖 的部分（两个矩形）用阴影表示•设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为 S,当BC 的长度变化时，按照同样的放置方式，S 始终保持不变，则 a , b 满足（ ） A. a=2bB. a=3bC. a=4bD. a=b4. 图1是一个长为2m 宽为2n 的长方形，沿图中的虚线剪成四个小长方形，再按图2围成一个正方形；⑴图2的大正方形的边长是： _________________ ;（2） ________________________________________________ 中间小正方形（阴影部分）的边长是： ; （3）用两种不同的方法求图2阴影部分的面积；（4） ______________________________________________________________ 比较两种方法，得到的等量关系为： ____________________________________________________________________ ;2 2A. a - b = (a+b ) (a - b )2 2 2 B. (a+b ) =a +2ab+b2 2 2C. ( a - b ) =a - 2 ab - b2D.a - ab=a (a - b )2n ----------------- : -----------------2m5.如图1,在边长为「的正方形中挖掉一个边长为 「的小正方形.■,把余下的部分剪拼成一长方形（如题型四逆用平方差公式2 2（1） （x+2y ） _（x_2y ）题型五.拓展提高（阴影）A. ■ •-■ - - - - _ - , B . - ' ' ■ _ ' ' ■'C ^ . - , D.八6.如图，在边长为 2a 的正方形中央剪去一边长为（a+2）的小正方形（a > 2）,将剩余部分剪开密铺成一个平行四边形，则该平行四边形的面积为（）2 2 2 2A. a +4, B . 2a +4a, C . 3a - 4a - 4, D . 4a - a - 2 题(1) 1997 2003 (2) 66 74①…-....2 2(2) m n i - i m - n2 * 2(2) (x + y ) -(x -y )1、计算：（1）a -b c a -b -c(3) X4 - 2X2 1 2x2 -1 - x-2 x 2 x2 4 (4) 252-2422 22. 化简：(a + 1) -(a — 1) = ()3. 下列多项式乘法中不能用平方差公式计算的是(6•可以运用平方差公式运算的有( )个①(-1 2x)( -1 -2x)；②(1 -2x)(1 2x)；③(ab -2b)(-ab-2b)；④(a b -c)(a -b c)； A . 1 B . 2 C . 3 D . 47. 已知a- b =1,则a 2 - b 2- 2b 的值为 ______ _______8. 已知 ______________________________________ (x - a ) (x+a ) =x - 9,那么 a= .19. 计算：(2x 1)(2x-1)(4x 2 1)(x 4) 1610.计算(2 1)(22 1)(24 1) (232 1)11.计算 1002 -992 982 -972 V 2 -1 .12.定义：如果一个数的平方等于一1,记为F 二」，数i 叫做虚数单位.我们把形如a+bi (d ，方 为 有理数或无理数)的数称为复数，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似.例如：计算(2+3i)(3-2i)=6-4?+9i-6j 2 =6+5j+6=12+5i ,计算(-3+40(3+40=—.A. 2B. 4C. 4aD. 2a 2+ 2A. (x 2 - 2y ) (2x+y 2)B.(a 2+b 2) ( b 2 - a 2) C. (2x 2y+1)2x 2y - 1) D. (a 3+b 3) (a 3- b 3)4. F 列各题中，能用平方差公式的是(2 2C.( x - y ) ( x+y )5.A .( 1+a )( a+1)B .( x+y ) (- y+ x )2 2下列各式中不能用平方差公式计算的是( ) A . (x - y ) (- x+y ) B . (- x+y ) (- x - y ) C . (- x - y ) ( x - y ) D . ( x - y )( - x+y ) D . (x+y ) (- x+y )完全平方公式的变形及推广： (1) (一a —b ( = I -但 +b )f =(a + b 丫； (-a + b 丫 = E-(a —b )了=(a — b $ ；(2) (—a +b 2=(b —a f ；(a —b —c f = b - (b + c )f ；2 2 2 2 2 2(3)a 2+b 2=(a +bf _2ab =(a — b ) +2ab ； (a — b ) =(a + b ) — 4ab 题型一、完全平方公式的应用1 2 2 21 、计算(1) (― — ab — c ) ;(2) (x — 3y — 2) (x + 3y — 2);3_22练习 1、(1) (x — 2y ) (x — 4y ) (x + 2y )；(2)、(x —2 y ) (x +2 y ) — ( x +2 y )(3) (2 a +1)2— (i — 2 a ) 2 ；(4) (3 x — y ) 2 —(2 x + y ) 2 +5 x (y — x )D.A .打工竜叮丁B . c .「nJ D . •2.下列各式与(x -1 1C. 2x +2x+D. 2 —x - 2x+3.下列等式一定成立的是(), 、2 2 , 、 2 2A . (1- b ) =1 - b+bB . (a+3) =a +9列各式中，能够成立的等式是().C . (x+ )22=x ^—+222,D . (x - 3y ) =x - 9y 4 •下B. 2■.1"c. - ： '6•计算：（_a-b ）2等于（）A a 2+b 2B . a 2_2ab+b 2C . a 2 _b 2D . a 2+2ab + b 27•一个正方形的边长为」丄，若边长增加 ……，则新正方形的面积又增加了（）.A .二「二「B . 1—［工'C .' D .以上都不对题型二、配完全平方式1、 若x 2 2x k 是完全平方式，则 k = ____________2、 .若x 2— 7xy +M 是一个完全平方式，那么 M 是 _______3、 如果4a 2— N- ab + 81b 2是一个完全平方式，则 N= _____________4、 如果25x 2 -kxy ■ 49y 2是一个完全平方式，那么k = _________5.要使2 2x — 6 x + a 成为形如(x — b )的完全平方式，则 a , b 的值（A .a = 9, b =9B .a = 9, b =3C .a =3, b =3D .a =—3,6.若x 2 + mx +4是一个完全平方公式，则m 的值为（B .2或一2D .4或一47•若x -mx 49是一个完全平方式，则常数 m 的值为（A . -14B ± 14C . -7D . ± 7&若一个多项式的平方的结果为 -1A .B .C .D .A题型三、公式的逆用题型四、配方思想2 2 2004 20051 右a +b - 2a+2b+2=0,则a +b = _________ .2、已知x2+ y2+4x—6y+13 = 0，求x y = _______ .2 2 1 23、已知x +y —2x—4y+5=0，求一（x—1） -xy =.22 24•已知：x +y —6x+8y+25= 0 ,贝U x + y= ____________ ；5. _________________________________________________________ 已知x、y满足x2十y2十5= 2x 十y，求代数式xy = ___________________________________________________ .4 x十y2 2 26. 已知x ______________________________________ y z「2x 4y「6z 14=0，则x y z=7. 若x -2x y 6y 10 = 0,求x, y 的值。
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平方差公式完全平方公式的综合运用
姓名_________
用待定系数法解决多项式整除多项式的问题
例：已知多项式x3+ax2+bx−4能被多项式x2+3x−4整除，求a+b 的值
变式：
平方差公式：
完全平方公式：
立方和（差）公式：
配方思想：（完全平方式）______________________
例：变式：
例：
配方法用于求最值
例 多项式22687x y x y +-++的最小值为____________
变式：当x=_____时 −2x 2+3x −9 有最______值，是________ 配方法用于判断二次三项式符号：
例：求证：无论x 取什么数，−x 2−2x −4总是负数。
用于解方程（利用非负数的性质）
例 解方程：22224640x y z x y z ++-+-+=．
用于计算
例3、 1.345×0.345×2.69－1.3453－1.345×0.3452=_______________．
用于求值
例4、已知1996
1995a x =+，19961996b x =+，19961997c x =+，那么222a b c a b b c c a ++---的值为（ ）．
（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4
变式：已知2522=+y x ，7=+y x ，且y x ＞，则y x -的值等于 。
用于证明条件等式
例5、 已知x y z ，，满足8x y -=，216xy z +=-，求证：0x y z ++=．
用于比较大小
例6、已知0x ≠，且22(21)(21)M x x x x =++-+，22(1)(1)N x x x x =++-+，则M 与N 的大小关系为（ ）．
（A ）M N > （B ）M N < （C ）M N = （D ）无法确定
已知a 、b 、c 为有理数，且满足a=8－b ，c 2=ab －16，求a 、b 、c 的值。
2（4分）若4x 2﹣kxy +9y 2是一个完全平方式，则k= ．
3.（4分）在（x +1）（2x 2﹣ax +1）的运算结果中，x 2项的系数是﹣8，那么a 的值是 ．
4.（4分）若a 2﹣3a +1=0，则=
．
5．（6分）已知：a ﹣b=4，ab=﹣1，求：（a +b ）2和a 2﹣6ab +b 2的值．
2）已知： ，求代数式 的值。
6、（1）已知：x 2+2x －1=0，求 。
（2）已知：x 2－3x+1=0，求
的值。
2
1
()x x +241x x +15a a +=422
1
a a a ++
已知 ， 求112+132…+452+472+492的值。
23．（4分）已知（x ﹣1）2=ax 2+bx +c ，则a +b +c 的值为 ．
24．（4分）已知a=255，b=344，c=433，d=522，则这四个数从大到小排列顺序是 ．
25．（4分）已知（x +y ）2﹣2x ﹣2y +1=0，则x +y= ．
26．（4分）计算（1﹣
）（）﹣（1﹣﹣）（）的结果是 ． 七、解答题（27题8分，28题10分，29题12分）
27．（8分）若（x 2+3mx ﹣）（x 2﹣3x +n ）的积中不含x 和x 3项，
（1）求m 2﹣mn +n 2的值；
（2）求代数式（﹣18m 2n ）2+（9mn ）﹣2+（3m ）2014n 2016的值．
28．（10分）观察下列各式
（x ﹣1）（x +1）=x 2﹣1
（x ﹣1）（x 2+x +1）=x 3﹣1
（x ﹣1）（x 3+x 2+x +1）=x 4﹣1
…
①根据以上规律，则（x ﹣1）（x 6+x 5+x 4+x 3+x 2+x +1）= ．
②你能否由此归纳出一般性规律：（x ﹣1）（x n +x n ﹣1+…+x +1）= ． ③根据②求出：1+2+22+…+234+235的结果．
222222112345(1)(21)6
n n n n ++++++=++。