第4章 线形方程组求根
高等数学线性代数线性方程组教学ppt(4)
1.2 高斯消元法
对线性方程组消元的三种变换(统称为线性方程组 的初等变换):
（1）交换方程组中某两个方程的位置； （2）以非零常数k乘以方程组中某个方程； （3）用数k乘以方程组中某个方程后加到另一个方程 上去.
定理1 线性方程组经过初等变换后得到的新方程组 与原方程组同解.
例1
解线性方程组
R( A) n;
(2)若R(A) n 1,则 A 0, AA* A E O,
由例5知:R( A) R( A*) n, R( A*) n R( A) n (n 1) 1, 即R( A*) 1.
另一方面,由于R(A) n 1, 因此A存在n 1阶非零子式,即A* O, 从而R( A*) 1.
R( A*) 1;
任一解都可以表示为
x 0 k11 knrnr ,
其中k1, , knr R. 即,当R(A) R(A | b)时,有
Ax b的通解
Ax b的一个特解 Ax 0的通解.
行阶梯形矩阵对应的方程组，叫行阶梯 形方程组；
行阶梯形方程组中，每个方程的第一个 未知量称为主未知量(主变量)，其余变量叫 自由未知量(自由变量);
用消元法解线性方程组，就是用初等行 变换将方程组的增广矩阵化为行阶最简形， 得到的行阶梯方程组与原方程组同解．
例2 求解非齐次方程组的通解
x1 x1
3.设0是Ax b的某个解(称为特解),则Ax b 的任一个解向量都可表示成0与对应的 Ax 0的解之和,即有
0 .
证 :由于 0 ( 0 ),记 0,由性质1知 是导出组Ax 0的解,则 0 .
故只要 取遍Ax 0的全部解, 0 就取遍了 Ax b的所有解.
三、Ax b解的结构定理 定理4 若Ax b有解,1, ,nr是对应的Ax 0 的基础解系,0是Ax b的一个特解,则Ax b的
线性代数第四章线性方程组课件
系分别确定的解集合
S {k11 k22 ktt | k1, k2, 与 T {l11 l22 lt t | l1,l2,
是相等的，即 S T．
, kt是任意常数} , lt是任意常数}
定理5 设 A 是一个 m n矩阵，若齐次线性方程组
一个解．
定理8 设 1,2 是方程组 AX 的两个解，则 1 2 是 AX 导出组 AX 0 的一个解．
由这两个结果， 我们能够得到非齐次线性方程 组解的结构定理．
定理9 设矩阵 A 是一个 mn矩阵．若非齐次线性
方程组 AX 有解， 令 0是 AX 的某一个解
（通常称为特解）．
k1, k2, , ks 是任意常数， 则
k11 k22 kss
也是方程组的解． 即齐次线性方程组解的线性组合
还是方程组的解．
记齐次线性方程组 AX 0的解集合为 S ， 即
S { (c1,c2, ,cn)T | A 0}.
那么，上面的定理 3 就可以表述为：
对于任意的 1, 2 S ， k1, k2是两个任意常数，有
1）当 R(A) R(A) n 时，0是 AX 唯一的解； 2）当 R(A) R(A) n 时，AX 的导出组 AX 0 存在无穷多解， 则 AX 的解集合为 S {0 k11 k22 kss | k1, k2, , ks是任意常数}， 其中 1,2, ,s是 AX 0 的一个基础解系．
是线性无关的．
1, 2, , n
定理2（齐次线性方程组有非零解的判别定理） 齐
次线性方程组 AX 0 有非零解的充分必要条件是
它的系数矩阵 A 的秩 R(A) n ．
推论1 如果齐次线性方程组 AX 0 中的方程个数
高中一年级数学线性方程组的解法
高中一年级数学线性方程组的解法线性方程组是数学中的重要概念，在高中数学中也是一个基础的内容之一。
解决线性方程组不仅有助于培养学生的逻辑推理能力，还能帮助学生建立数学思维的基础。
今天，我们将介绍高中一年级数学线性方程组的解法。
一、高中一年级数学线性方程组的基本概念与解法1. 概念线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合。
一般形式为：a1x + b1y = c1a2x + b2y = c2其中，a1、a2、b1、b2、c1、c2为已知系数。
2. 解法高中一年级数学线性方程组可以通过代入法、消元法和矩阵法等解法来求解。
①代入法：将其中一个方程中的某个未知量用另一个方程中的未知量表示，再代入到另一个方程中，从而得到一个只含有一个未知量的方程。
通过解这个只含有一个未知量的方程，再依次进行回代，即可求得所有未知量的值。
②消元法：通过运用不同方程之间的加减法规则，将方程组中的一个未知量消去，从而得到一个只含有一个未知量的方程。
通过解这个只含有一个未知量的方程，再依次进行回代，即可求得所有未知量的值。
③矩阵法：将线性方程组转化成矩阵形式，通过高斯消元法来解决。
二、示例分析下面通过一个具体的例子，来详细说明高中一年级数学线性方程组的解法。
例题：解方程组：2x + 3y = 73x - 2y = 8解法：1. 代入法将第一个方程中的 x 用第二个方程中的 y 表示，得到 x = (8 + 2y)/3。
将其代入第一个方程，得到：2(8 + 2y)/3 + 3y = 7解得 y = 1，再将 y 的值代入 x = (8 + 2y)/3 中，解得 x = 2/3。
2. 消元法将第一个方程乘以 3，将第二个方程乘以 2，得到：6x + 9y= 216x - 4y = 16两个方程相减，消去 x，得到：13y = 5解得 y = 5/13，再将 y 的值代入任意一个方程中，解得 x = 14/13。
3. 矩阵法将线性方程组转化成矩阵形式：⎛ 2 3 ⎞⎛x⎞⎛ 7 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ 3 -2 ⎠ x ⎝y⎠ = ⎝ 8 ⎠通过高斯消元法，将矩阵转化为阶梯形式：⎛ 2 3 ⎞⎛x⎞⎛ 7 ⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝ 0 -13 ⎠ x ⎝y⎠ = ⎝ -6 ⎠解得 y = 5/13，再回代入第一个方程，解得 x = 2/3。
方程求根计算方法课件及实验教学
通过实际动手操作，学生能更好地理解方程求根的概念和方法，提高问题解决能力。
拓展思考
鼓励学生思考方程求根方法的适用性和限制性，帮助他们在实际问题中做出明智的选择。
迭代改进
教师应根据学生的实际情况和反馈，不断改进教学方法和实验设计，以提高教学效果。
方程求根计算方法课件及 实验教学
欢迎来到我们的课件，探索方程求根的计算方法和实验教学。方程求根在数 学中的重要性不可忽视，让我们一起开始这次精彩的探索之旅吧！
方程求根的重要性
方程求根是解决实际问题的关键步骤。它们在物理、工程学和经济学等领域中起着重要作用，帮助我们 找到未知数的值，并解决复杂的数学问题。
方程求根的一般方法
1 代入法
将可能的解代入方程，验证是否满足等式。这是一种常用的解方程方法。
2 消元法
通过逐步消除未知数的系数，将方程转化为更简单的形式，以便求解。
3 图像法
将方程的图像与坐标轴交点作为解。这种方法通常用于一次和二次方程。
二分法求实根
二分法是一种迭代方法，通过不断缩小搜索范围，找到实根的近似值。它基于连续函数的介值定理，是问题转化为一系列有根的逼近问题，通过多次逼近来找到实根。这种方法适用于未知数只存在 于特定区间的情况。
牛顿迭代法求实根
牛顿迭代法使用泰勒级数的概念，通过迭代逼近不断靠近方程的根。它是一 种快速收敛的方法，特别适用于函数具有光滑性的情况。
割线法求实根
割线法与牛顿迭代法类似，但它使用两个近似值来逼近根，从而更具稳定性。 割线法是一种可靠的求解非线性方程的方法。
方程求根的程序实现
选择合适的编程语言
根据问题的复杂性和计算要求，选择适用于方程求根的编程语言，如Python或MATLAB。
第四章 方程求根new
2)预备知识
定理1(根的存在定理) 假设函数y=f(x)∈C[a,b],且f(a)f(b)<0, 则至少存在一点 x ∈(a,b)使得f(x )=0 定理2 假设函数y=f(x)在[a,b]上单调连续,且f(a)f(b)<0, 则恰 好只存在一点x ∈(a,b)使得f(x )=0 定理3 假设函数y=f(x)在x=s的某一邻域内充分可微，则s是 方程f(x )=0的m重根的充分必要条件是
第四章 方程求根
求解 非线 方程 性 f (x) = 0 线性 函数 ， f 是非 例： 代数 方程 f (x) = an x + an1x ++ a1x + a0 = 0, n >1 。
n n1
例 超越 : 方程 f (x) = e + sin x = 0
x
1）问题的提出
函数方程 f(x)=0 (1) 它的解x=s称为方程(1)的根，或称为函数f(x)的零点 如果函数(x)可分解为 (x)=(xs)mg(x) 且g(s )≠0, 则称s是(x)的m重零点或(x)=0的m重根。 当m=1时，称s是(x)的单根 或单零点。 若f(x)不是x的线性函数, 则称(1)为非线性方 , 特别 非线性方程 非线性方 若f(x)是n次多项式，则称(1)为n次多项式方程或代数方程； 若f(x)是超越函数，则称(1)为超越方程。
§2. 迭代法
改 方 ：f (x) = 0 x = (x) 且 连 。 写 程 续
建立迭代格式 xn+1 = (xn)，得到序 { xn } ： 列
则若 {xn} 收 必 敛 敛 收 到 f (x = 0 的 ： ） 根
limx
n → ∞
n+1
= lim
第四章_线形方程组求根
max | aij |
1 i n j 1
n
max表示A ' A的最大特征值
§1
向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
2 0 0 A 0 1 0 0 0 1
n 1 j n i 1 n
例子：设有方阵A，求其1-范数,2-范数及-范数。
其中
A 1 max | aij | max(2 ,1 ,1 ) 2 A
max | aij | max(2 ,1 ,1 ) 2
1 i n j 1
§1
向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
X BX ( I B ) X 0 X 0, ( I B ) 0 det( I B ) 0 2 0 0 2 0 0 4 0 0 A' A 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 || A ||2 max ( A ' A) 4 2
|| X ||2 x12 x2 2 ... xn 2 ( xi )
i 1
1-范数
1 2 2
i 1 n
2-范数
|| X || max{| x1 |,| x2 |,...,| xn |} max{| xi |}
1i n
其中x1,x2, …,xn分别是X的n个分量 -范数 上述范数都是p范数的特例 || X || p ( xi )
§1
向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
|| A ||F
F-范数(Frobenius OR Euclid范数)
i , j 1
a
高等代数第四章 线性方程组
1 * * 0 * * B 0 * * 若B 中，除第一行外，其余各行的元素都是零，
那么B 已有（5）的形式. 设B 的后m – 1 行中有 一个元素b 不为零，把b 换到第二行第二列的 交点位置，然后用上面同样的方法，可把B 化为
显然，对一个线性方程组施行一个初等变换，相当于 对它的增广矩阵施行一个对应的行初等变换，而化简 线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵. 因此我们将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题. 下我们给出一种方法，就一个线性方程组的增广矩阵 来解这个线性方程组，而不必每次把未知量写出.
在对于 一个线性方程组施行初等变换时，我们的 目的是消去未知量，也就是说，把方程组的左端化简. 因此我们先来研究，利用三种行初等变换来化简一个 线性方程组的系数矩阵的问题. 在此，为了叙述的方 便，除了行初等变换外，还允许交换矩阵的两列，即 允许施行第一种列初等变换. 后一种初等变换相当于 交换方程组中未知量的位置，这不影响对方程组的研 究.
由第二行减去第三行的2倍，得
虽然我们还没有把增广矩阵化成（5）的形式，但已 可看出，相当于最后矩阵的线性方程组中的一个方程 是 0 = 5 所以原方程无解.
线性方程组的（1）的系数可以排成下面的一个表：
a11 a 21 a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn
（3）
而利用（1）的系数和常数项又可以排成下表：
a11 a 21 a m1 a12 a 22 am2 a1n a2n a mn b1 b2 bm
1 * * * 0 1 * * 0 0 * * 0 0 * * 如此继续下去，最后可以得出一个形如（5）的矩阵. 形如（5）的矩阵可以进一步化为形如（6）的矩阵是
高等代数教案第四章线性方程组
第四章 线性方程组一 综述线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的.作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）.线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论. 二 要求掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论. 重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法.4.1 消元法一 教学思考本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法. 二 内容要求主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三 教学过程1．引例：解方程组⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++25342333513121321321321x x x x x x x x x （1）定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换. 2．消元法的理论依据TH4.1.1初等变换把一个线性方程组变为与它同解的线性方程组（即线性方程组的初等变换是同解变换.）3．转引在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入：4．矩阵及其初等变换 1）概念定义 1 由t s ⨯个数ij c 排成的一个s 行t 列（数）表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛st s s t t c c c c c c c c c ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211叫做一个s 行t 列（或t s ⨯）矩阵.ij c 叫做这个矩阵的元素；常用大写字母A 、B 等表示矩阵,有时为明确t s ⨯矩阵记为t s A ⨯或()t s ij c A ⨯=.定义补 由线性方程组⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212111212111的系数作成的矩阵 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211叫做线性方程组的系数矩阵,用A 表示；由它的系数和常数项作成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛m mnm n n b a a b a a b a a ΛΛΛΛΛΛΛ122211111叫做线性方程组的增广矩阵,用A 表示. 2）矩阵的初等变换定义2 矩阵的（列）初等变换指的是对一个矩阵作下列变换 （1）交换矩阵的两行（列）； （换法变换）（2）用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）；（倍法变换） （3）用一个数乘某行（列）后加到另一行（列）.（消法变换） 3）线性方程组的同解变换与矩阵的初等变换的关系显然,对一个线性方程组施行的同解变换即一个方程组的初等变换,相当于对它的增广矩阵施行对应的行初等变换；而化简线性方程组相当于用行初等变换化简它的增广矩阵.因此将要通过化简矩阵来讨论化简方程组的问题,这样做不仅讨论起来方便,而且能够给予我们一种方法,就一个线性方程组的增广矩阵来解这个线性方程组,而不必每次把未知量写出（我国古代数学书《九章算术》（三世纪）中就是用这种方法解线性方程组的,成为算筹.）下面的问题是,化简到什么形式、什么程度,理论上将给予解决.4）矩阵经初等变换（行、列）化为阶梯形矩阵 TH4.1.2设A 是一个m 行n 列矩阵：=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211,则A 可经过一系列行初等变换和第一种列初等变换化为如下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛**********+0000000010001011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛrr b ； 进而化为以下形式：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++000000001000001000011212111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛrn rr n r n r c c c c c c .其中"",,,0*≤≤≥n r m r r 表示不同的元素. 5）用矩阵的初等变换解线性方程组对线性方程组：⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++m n mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212111212111 （1） 由定理1其系数矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211可经过行初等变换和列换法变换化为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++000000001000001000011212111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛrn rr n r n r c c c c c c ；则对其增广矩阵A 作同样的初等变换可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++m r r rn rr n r d d d c c d c c B 00000000100001111111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ,从而方程组（1）与B 所对应的方程组⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧===+++=+++=++++++++++m r r n rn r rr r n n r r n n r r d d d y c y c y dy c y c y d y c y c y 00111221122111111ΛΛΛΛΛΛΛ（2）在某种意义上同解（此n y y y ,,,21Λ是n x x x ,,,21Λ的一个重新排序）.下面讨论（2）的解的情况：情形1：当m r <且m r d d ,,1Λ+不全为零时,因有矛盾式（2）无解,故（1）无解. 情形2：当m r =或m r <且01===+m r d d Λ时,（2）直观上无矛盾式,且与（3）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++++++++rn rn r rr r n n r r n n r r d y c y c y d y c y c y d y c y c y ΛΛΛΛΛ11221122111111 同解. 当n r =时,（3）即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧===nn d y d y d y Λ2211有唯一解；当n r =<时,（3）即为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---=---=---=++++++nrn r rr r r n n r r nn r r y c y c d y y c y c d y y c y c d y ΛΛΛΛΛ11211222111111,于是任给n r y y ,,1Λ+一组值n r k k ,,1Λ+,可得（3）的一个解：⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==---=---=---=++++++++n n r r n rn r rr r r n n r r n n r r k y k y k c k c d y kc k cd y k c k c d y ΛΛΛΛΛΛΛ1111211222111111,这也是（1）的解,由n r k k ,,1Λ+的任意性（1）有无穷多解. 例1 解线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--+=++---=-+=+++215928252342532432143214214321x x x x x x x x x x x x x x x .解：对增广矩阵作行初等变换：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-------=000000000613211002321021215921825213104251321A 所原方程组与方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+613212321243421x x x x x 同解,故原方程组的一般解为⎪⎩⎪⎨⎧-=+--=434212161321223x x x x x .4.2 矩阵的秩 线性方程组可解判别法一 教学思考1．本节在上节消元法对线性方程组的解的讨论的基础上,引入了矩阵的秩的概念,以此来表述有解判定定理,在有解时从系数矩阵的秩与未知数的个数间的关系可讨论解的个数,其中在有无数解时引入了一般解与通解的概念.2．矩阵的秩的概念是一个重要的概念,学生易出问题.定义的表述不易理解,应指出秩是一个数（非负整数）r ,其含义是至少有一个r 阶非零子式,所有大于r 阶（若有时）子式全为0.重要的是“秩”的性质——初等变换下不变,提供了求秩的另一方法——初等变换法.3．本节内容与上一节和下一节互有联系,结论具体,方法规范,注意引导总结归纳. 二 内容要求1． 内容：矩阵的秩、线性方程组可解判定定理2． 要求：掌握矩阵的秩的概念、求法及线性方程组求解判定定理 二 教学过程1．矩阵的秩 （1）定义1）在矩阵s t A ⨯中,任取k 行k 列（,k s t ≤）位于这些行列交点处的元素构成的k 阶行列式叫作矩阵A 的一个k 阶子式.2）矩阵s t A ⨯中,不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵A 的秩；若A 没有不等于零的子式,认为其秩为零.A 的秩记为秩（A ）或()r A .2．矩阵的秩的初等变换不变性TH4.2.1矩阵的初等变换不改变矩阵的秩. 3．一般线性方程组解的理论对线性方程组：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212111212111 （1） 由上节知,对（1）的系数矩阵=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛mn m m n n a a a a a a a a a ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211可经过行初等变换和列换法变换化为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++0000000000001000001000011212111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛrn rr n r n r c c c c c c ； 则对其增广矩阵A 作同样的初等变换可化为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++m r r rn rr n r d d d c c d c c B 0000000000100001111111ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ.则（1）与B 相应的方程组同解；由上节讨论知：当m r =或m r <且01===+m r d d Λ时,即()()r A r A =时（1）有解；当m r <且m r d d ,,1Λ+不全为零时,即()()r A r A <时,（1）无解.总之：（1）有解()()r A r A ⇔=,且在（1）有解时：当r n =,即()()r A r A n ==时有唯一解；当r n <,即()()r A r A n =<时有无穷解.此即TH4.2.2-3线性方程组（1）有解()()()r A r A r ⇔==；当r n =,即()()r A r A n ==时有唯一解；当r n <,即()()r A r A n =<时有无穷解.例1 判断方程组有无解？有解时,求一般解.123451234523451234513233226654331x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪+++-=-⎪⎨+++=⎪⎪+++-=-⎩ 例2 对λ进行讨论,何时方程组有解,无解；有解时求一般解.12312321231x x x x x x x x x λλλλλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 4.3 线性方程组的公式解一 教学思考1．本节在理论上解决了当线性方程组有解时,用原方程组的系数和常数项将解表示出来——即公式解,结论的实质是克拉默法则的应用.其中过程是在有解判定的基础上选择r 个适当方程而得,可归纳方法步骤（方程的选择、自由未知量的选择）,内容规范完整,理论作用较大,实用性较小.2．作为特殊的线性方程组——齐次线性方程组的解的理论有特殊的结果,易于叙述和理解,需注意其特殊性（与一般的区别,解的存在性、解的个数等）. 二 内容要求1．内容：线性方程组的公式解,齐次线性方程组的解2．要求：了解线性方程组的公式解,掌握齐次线性方程组的解的结论 三 教学过程1．线性方程组的公式解本节讨论当方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++mn mn m m n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a ΛΛΛΛΛ22112222212111212111 （1）有解时,用方程组的系数和常数项把解表示出来的问题——公式解.处理这个问题用前面的方法——消元法是不行的,因为这个过程使得系数和常数项发生了改变,但其思想即化简得同解线性方程组的思想是重要的,所以现今能否用其它方法把（1）化简得同解方程组且系数和常数项不变,才可能寻求公式解.为此看例,考察12311232123322,()233,()47,()x x x G x x x G x x x G +-=⎧⎪-+=⎨⎪+-=⎩ （2）显然123,,G G G 间有关系3122G G G =+,此时称3G 是12,G G 的结果（即可用12,G G 线性表示）.则方程组（2）与⎩⎨⎧=+-=-+)(332)(2223211321G x x x G x x x 同解.同样地,把（1）中的m 个方程依次用12,,,m G G G L 表示,若在这m 个方程中,某个方程i G 是其它若干个方程的结果,则可把（1）中的i G 舍去,从而达到化简的目的.即现在又得到化简（1）的方法：不考虑（1）中那些是其它若干个方程的结果,而剩下的方程构成与（1）同解的方程组.现在的问题是这样化简到何种程度为止,或曰这样化简的方程组最少要保留原方程组中多少个方程.由初等变换法,若（1）的()r A r =,则可把（1）归结为解一个含有r 个方程的线性方程组.同样TH4.3.1设方程组（1）有解,()()(0)r A r A r ==≠,则可以在（1）中的m 个方程中选取r 个方程,使得剩下的m r -个方程是这r 个方程的结果.因而解（1）归结为解由这r 个方程组成的方程组.下看如何解方程组：此时原方程组与111122111111112211r r r r n n r r rr r rr r rn n r a x a x a x a x a x b a x a x a x a x a x b ++++++++++=⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪++++++=⎩⎭L L L L L L L L 同解. 当r n =时有唯一解,且上述方程组的系数行列式不等于0,由克拉姆法则可得其解（公式解）. 当r n <时有无穷多解,取12,,,r r n x x x ++L 为自由未知量,将这些项移至等号右端得：111122111111112211r r r r n n r r rr r r rr r rn n a x a x a x b a x a x a x a x a x b a x a x +++++++=---⎧⎫⎪⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪+++=---⎩⎭L L L L L L L L 视12,,,r r n x x x ++L 为任意数,由克拉姆法则可得11,,r r D Dx x D D==L ； （其中11111111111r r n n rJ r r rr r rn n rra b a x a x a D a b a x a x a ++++---=---LL LLL L L L L L L ）其展开为12,,,r r n x x x ++L 的表达式,且为用原方程组的系数及常数项表示的,因而是公式表示的一般解的形式.2．齐次线性方程组的解的理论齐次线性方程组1111110n n m mn n a x a x a x a x ⎧++=⎪⎨⎪++=⎩L L L L （2）总有（零）解,因而关注的是其非零解的情况,由解的个数定理易得：TH4.3.2（2）有非零解()r A n ⇔<.Cor1：若（2）中m n <,则有非零解.（因()r A m n ≤<）Cor2：含有n 个未知数n 个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是系数行列式为0.（由秩的定义易得）。
《线性代数》第四章：线性方程组-PPT课件
❖ 例如 axbyc 是一个二元方程，a , b 不同时
为零时，方程有无穷多解，如 b0时，x0,yc
b
为二元方程 的一个特解， axbyc
b0 时 ， xk,ycakk R
bb
为二元方程的通解；当 a , b 同时为零,若时c ，0
方程无解；当
a同, b 时为零,若 时c ， 0 方程
有无穷多解任意一对有序实数都是方程的解。
❖ 消元法的目的就是利用方程组的初等变换将 原方程组化为阶梯形方程组, 由于这个阶梯形 方程组与原线性方程组同解, 解这个阶梯形方 程组得到的解就是原方程组的解。
❖ 注意：将一个方程组化为行阶梯形方程组的 步骤并不是惟一的, 所以，同一个方程组的行 阶梯形方程组也不是唯一的。
❖ n元线性方程组的一般形式为
cnnxn 0
❖ 其中 crr 0 则线性方程组有唯一解，即仅有零解。
❖ (2) 当 r n 时，方程组可以化为
c11x1 c12x2 c1rxr c1nxn 0
c22x2 c2rxr c2nxn 0 ..........................
crrxr crnxn 0
❖ 其中 crr 0 将其改写成
a11x1a12x2 a1rxrb1a1r1xr1 a1nxn a22x2 a2rxrb2a2r1xr1 a2nxn arrxrbrarr1xr1 arnxn
《线性代数》课件第4章
此时A的第j列元素恰为αj表示成β1, β2,…, βt的线性组合时的
系数.
证明：若向量组a1,a2,…,as可由β1, β2,…, βt线性表示，即每个ai
均可由β1, β2,…, βt线性表示，则有
α1 = a11β1 + a21β2 + + at1βt = (β1, β2,
, βt )⎛⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝aaa12t111 ⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟,
我们有下面的定理： 定理 1.1 矩阵的秩数=行秩数=列秩数.
例1.3 设
α1 = (1, 2, 0,1)T , α2 = (0,1,1,1)T , α3 = (1, 3,1, 2)T , α4 = (1,1,−1, 0)T
求此向量组的秩数及一个极大无关组.
解 考虑向量组构成的矩阵
A=(α1,
α2,
我们有下面的命题：
命题1.
1. α1, α2,…, αs线性无关； 2.方程x1α1 + x2α2 + … + xxαs只有零解 3. 对于任意一组不全为零的数c1,c2,…,cs均有
c1α1 + c2α2 + + csαs ≠ 0, 4. 对于任意一组数c1,c2,…,cs, 若c1α1 + c2α2 +
定义1.4 两个可以互相表示的向量组称为等价向量组.
容易看出： 1. 向量组的等价是一个等价关系； 2. 等价向量组的秩数相同； 3. 任何向量组等价于其极大无关组; 4. 两个向量组等价当且仅当它们的极大无关组等价.
最后我们给出化简向量组的一种技巧 为此先给出一个定义
定义1.5 设α1, α2,…, αs和β1, β2,…, βs是两个向量组， 若对于任意一组数c1,c2,…,cs均有
《线性代数》第四章线性方程组 第1节.ppt
2
1 1
11 2 1 0 2
2 7
~
2 2 5 1 1 18
0
0
0
3 3 6
4 23 5
5
2
4
7
1 3 1 4
1 2 3 1 1 7
~ 0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 7
0 1
1 5
1 42
~
1 2 3 1 1 7
0 3 4 2 3 5
0 0
0 0
1 0
二、用消元法解线性方程组
中学代数已介绍过二元、三元线性方程组的消元法——高斯消元 法。下面再作一例，以求其规律。
例 解线性方程组
2x1 x2 2x3 4
x1 x2 2x3 1
4x1 x2 4x3 2
解：交换第一、二两个方程， 得同解组
x1 x2 2x3 1 1 2x1 x2 2x3 4 2 4x1 x2 4x3 2 3
(1) 的 方 程 组
称为线性方程组
它可写作矩阵形式： AX b (2)
其中 A (aij )mn 是系数矩阵
X (x1, x2 ,xn )T
b (b1,b2 ,bm )T
称 B (A b) 为增广矩阵,通常写成 ( A | b)或( A, b)
b=0时所对应的方程组为齐次线性方程组
b≠0时所对应的方程组为非齐次线性方程组
当 x , x ,, x 分别用数k , k ,, k 代入方程组中的
1
2
n
1
2
n
每一个方程后, 若能使得每一个等式都 变成恒等式,
则我们称
x k , x k ,, x k ,
1
1
第4章 线性方程组
例 2
解线性方程组
x1x163x2x2 2xx33
3x4 3x4
3 3
x1 x2 3x37x4 7
解解
(A b)1111
5 6 3 1
1 2
1 3
1 3
3 7
7331
r2 r1 r3 r1
r4 r1
1 0 0 0
00014251004142110029428100294281
由简化阶梯形矩阵得
x1 x2 5x3 x4 0
例 5
解齐次线性方程组
x1 x2 2x33x4 3x1 x2 8x3 x4
0 0
x13x2 9x37x4 0
分解析 ：A
1 1
31
1 1
1 3
5 2
8 9
31 71
10 00
0 1 0 0
3/2 7/2
0 0
12 00
因为r(A)24 所以方程组有x非1零(解3/2 )c1方c程2 组的通解为
若x1，x2，...，xn-r为Ax = 0的一个基础解系，
则其通解可表示为
x = k1x1 + k2x2 + … + kn-rxn-r 其中k1， k2， … ， kn-r为任意实数.
2311602123110433431192116411r3～r4rr34r21r1 0001
001100010621111104332511 29117443
11 83无 解
定理41(方程组解的情况判定) （1） n元线性方程组Axb有解的充分必要条件是
r(A b)r(A) 且 当r(A b)n时有唯一解
简化阶梯型矩阵
1 2 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 3
Chapter4_方程求根(2)
即这些区间最终必收敛 于一点x* , 该点显然就是所求的根 .
2015/4/16 11
a
a1 a
a1 b1 2
b1
ab 2
b
x
由于 x * xk
bk ak b a k 1 , 2 2
只要二分足够多次（即k充分大），
则有 x * xk
这里为预定的精度 .
按公式反复迭代 xk 1 ( xk )
k 0,1
( x )称为迭代函数
若相应的序列{ xk }： lim xk x*
k
则称迭代方程收敛。
2015/4/16 20
10
迭代法 N-S图 §5.3 迭代法
定义函数 f(x)=… 定义迭代函数 g(x)=…
读入数据 x0, eps
2015/4/16 18
9
2. 迭代法及其收敛性
基本思想 构造不动点方程，以求得近似根。即由 方程f(x)=0变换为其等价形式x=(x)，然后建立 迭代格式
xk 1 ( xk )
当给定初值 x0后 , 由迭代格式可求得数列 {xk}。此 数列可能收敛，也可能不收敛。如果{xk}收敛于x*， 则它就是方程的根。因为：
f ( x) f (1.5) 2.375 0 f (1.25 ） -1.796875 0 f (1.375) 0.162109 0 f (1.313) -0.840553 0 f (1.344) -0.346940 0 f (1.360) -0.086144 0 f (1.368) 0.045804 0 f (1.364) -0.020299 0
如： x 4 10 x 3 35 x 2 50 x 24 0 x e x sin 0 2
大学线性代数课件线性方程组第四章 线性方程组
4 4
1 2 2 1 1 0 2 53
0
1
2
4
3
0
1
2
4 3
0 0 0 0 00 0 0
对应于矩阵
1 0 0
0 1 0
2 2 0
5
4 3
0
3
的同解方程组为
x 1
x 2
2x 3
2x 3
5 3
4 3
x 4
x 4
0 0
x =2 1
x 3
5 3
x 4
移项得， xx12=2x32x3
然而，许多线性方程组并不能同时满足这两个条件. 为此，必须讨论一般情况下线性方程组的求解方法和解 的各种情况.
§2 齐次线性方程组
一般地,齐次线性方程组可以写成
a11x1 a12 x2 a1n xn 0,
a21x1 a22 x2 a2n xn
0,
am1x1 am2 x2 amn xn 0.
(1)
am1x1 am2 x2 amnxn bm.
其中x1, x2,, xn是n个未知量,
m是方程组所包含的方程 个数,
aij (i 1,2,, m; j 1,2,, n)称为方程组的系数 ,
bj ( j 1,2,, m)称为常数项 .
A
aij
,
mn
x1
x
x2
,
xn
n1
x1 7x2 5x3 2, 2x1 5x2 3x3 3,
3x1 2x2 8x3 17.
解:对增广矩阵进行行初等变换
A
b
1 2
7 5 5 3
2 1 7 3 0 19
5 13
2 1
求方程根的公式
求方程根的公式
方程的根取决于方程的类型。
这里，我将为你提供几种常见类型的方程的求根公式：
一、一元一次方程：
1.对于形如ax+b=0 的一元一次方程，其解为：x=−b/a
2.一元二次方程：对于形如ax2+bx+c=0 的一元二次方程，其解为：x=−b±√(b2−4ac)/2a这个公式被称为求根公式或韦达定理。
3.一元三次方程：
对于一元三次方程，没有通用的求根公式，但可以使用卡尔丹公式或塔塔利亚公式来求解。
4.一元四次方程：
对于一元四次方程，同样没有通用的求根公式，但可以通过费拉里方法或拉格朗日方法求解。
5.指数方程：
对于形如a x=b 的指数方程，其解为：x=log a b
6.对数方程：
对于形如log a x=b 的对数方程，其解为：x=a b
7.三角函数方程：
对于涉及三角函数的方程，如sinx=1/2，其解可以通过查找三角函数的值表或使用反三角函数来求解。
8.线性方程组：
对于形如{a1x+b1y=c1 a2x+b2y=c2}
的线性方程组，可以使用克莱姆法则或矩阵方法求解。
9.高次方程组：
对于高次方程组，通常需要使用数值方法（如牛顿法、高斯-约当消元法等）来近似求解。
10.微分方程：
对于微分方程，如dy/dx=f(x,y)，其解通常需要使用积分、分离变量、拉普拉斯变换等方法来求解。
请注意，不是所有类型的方程都有通用的求根公式，而且即使存在公式，也可能因为方程的复杂性而无法直接求解。
在实际应用中，通常需要使用数值方法或近似方法来求解方程。
土木工程：线性代数： 线性方程组
第一节 线性方程组的三种表达形式、解、通解
x 2y 3z 6 例：线性方程组 x 3y 4z 8 .
x 4 y 5z 10
1 2 3 A 1 3 4 .
1 4 5
系数矩阵
1 2 3 6 ( A,b) 1 3 4 8 . 增广矩阵
1 4 5 10
第一节 线性方程组的三种表达形式、解、通解
1
k2
0
0 .
0 0 0 0
0 1 0
2 1 1 1 1 1 2 4
2,
( A,
b)
1
2
1
2 0 1
1 2.
1 1 2 4 0 0 0 1
r(A) 2 r(A,b) 3.
2.
3x 2x
3y 2y
3 .
4
第三节 非齐次线性方程组
非齐次线性方程组解的情况与秩的关系 情况1. 存在唯一解： 系数矩阵的秩与系数增广矩阵的
秩相等，且等于未知数的个数 情况2. 无解： 系数矩阵的秩小于系数增广矩阵的秩 情况3. 存在无穷多解〔齐次解+对应齐次的通解〕
系数矩阵的秩与系数增广矩阵的秩相等，且小 于未知数的个数
第三节 非齐次线性方程组
例 求解方程组
x1 x2 x3 2
x1
2
x2
3x3
3
.
3x1 5x2 8x3 8
1 1 1 2 1 1 1 2 1 0 0 1 ( A,b) 1 2 3 3 0 1 2 1 0 1 0 1.
3 5 8 8 0 2 5 2 0 0 1 0
1 x 1
1
第三节 非齐次线性方程组
第四章 线性方程组
第一节 线性方程组的三种表达形式、解、通解 第二节 齐次线性方程组 第三节 非齐次线性方程组
线性方程组求解及应用
线性方程组求解及应用线性方程组是数学中的一种基本问题，它涉及到未知数与系数之间的线性关系。
在实际生活和科学领域中，线性方程组有着广泛的应用场景，如经济学、物理学、工程学等。
我们来介绍线性方程组的求解方法。
线性方程组可以表示为如下形式：a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + ... + amnxn = bm解线性方程组的常用方法有高斯消元法、矩阵法、克拉默法则等等。
1. 高斯消元法：高斯消元法是一种基本的求解线性方程组的方法，其基本思想是通过消去未知数的方法将方程组转化为上三角或者下三角的形式，然后通过回代法求解未知数的值。
2. 矩阵法：矩阵法也是一种常用的求解线性方程组的方法，它将方程组的系数和常数项写成矩阵的形式，然后通过矩阵运算得到未知数的值。
3. 克拉默法则：克拉默法则是一种基于行列式的求解线性方程组的方法，在方程组的系数矩阵的行列式不为零的情况下，可以通过求解行列式的值来得到未知数的值。
在实际生活和科学领域中，线性方程组有着广泛的应用。
1. 经济学中的应用：线性方程组在经济学中经常用来描述经济现象与变量之间的关系。
用线性方程组可以描述商品的供求关系、价格与需求之间的关系等等。
2. 物理学中的应用：线性方程组在物理学中经常用来描述物体的运动、电磁场的分布等等。
牛顿第二定律可以通过线性方程组来描述物体的受力情况。
线性方程组的求解及应用不仅在数学理论中具有重要意义，而且在实际生活和科学领域中也有着广泛的应用价值。
通过求解线性方程组，我们可以得到未知数的值，从而更好地理解和应用数学原理。
通过应用线性方程组，我们可以描述和解释各种现象和规律，为实际问题的解决提供数学模型和工具。
学习和掌握线性方程组的求解及应用方法对于我们的数学学习和实际工作具有重要的意义。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
9.方阵收敛的充分必要条件(1)
定理4.3 n阶方阵序列{A(k)}收敛于n阶方阵A
பைடு நூலகம்
的充分必要条件是 :
lim
k
aij
(
K
)
a（ij i,
j
1,2,..., n)
矩阵序列的收敛可以归结为对应元素 序列的收敛。
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
k
则称向量序列{X(k)}收敛于Rn中的向量X。 上式通常表示成: lim X (K ) X
k
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
7.向量收敛的充分必要条件
定理4.2 Rn中的向量序列{X(k)}收敛于Rn中
的向量X的必要充分条件是
lim
k
x j(K )
x（j j
1,2,..., n）
例子：设有方阵A，求其1-范数,2-范数及-范数。
其中
2 0 0
A
0
1
0
0 0 1
n
A
1
max
1 jn
i 1
| aij
|
max(2,1,1)
2
n
A
max
1 i n
| aij
j 1
|
max(2,1,1)
2
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
Q X BX ( I B)X 0 Q X 0,( I B) 0 det( I B) 0
10.谱半径
设n阶方阵序列A的特征值为i (i=1,2,…,n),
则称
(
A)
max
1i n
|
i
|为矩阵A的谱半径。
❖矩阵范数和谱半径的关系 ( A) || A ||
i, j1
F-范数不是算子范数
它与向量范数中的2-范数相容:
||AX||F ||A||F ||X||2
矩阵的从属范数必与给定的向量范数相容， 但是矩阵范数与向量范数相容，却未必有从 属关系。
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
6.向量收敛的定义
对于Rn中的向量序列{X(k)},如果
lim || X (K ) X || 0
2 0 0 2 0 0 4 0 0
A'
A
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0 0 1 0 0 1 0 0 1
|| A ||2 max ( A' A) 4 2
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径
及有关性质
❖F-范数(Frobenius OR Euclid范数)
n
|| A ||F
aij 2
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
❖定义一种矩阵范数时,应当使它能与某种 向量范数相容。
❖在同一个问题中需要同时使用矩阵范数和 向量范数时，这两种范数应当是相容的。
定理4.1 设在Rn中给定了一种向量范数‖X‖, 对任一n阶方阵A,令
|| A || max || AX || ||X ||1
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
4. 矩阵范数的引入
设A,B为n阶方阵，若对应的非负实数 ||A||满足： ❖||A||0; ||A||=0，当且仅当A=0时； ❖对任意实数， ||A||=|| ||A||； ❖||A+B|| ||A||+||B|| ❖||AB|| ||A|| ||B||(相容性)
第四章 解线性方程组的迭代法
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及 有关性质 §2 简单迭代法 §3 赛德尔迭代法 §4 松弛迭代法
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
1.范数的定义
对任一向量XRn，按照一定规则确定 一个实数与它对应，该实数记为||X||，若 ||X||满足下面三个性质：
❖||X||0；||X||=0当且仅当X=0；(正定性)
则由上式所定义的||.||是一种矩阵范数，并 且它与所给定的向量范数‖X‖相容
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
矩阵的算子范数(向量范数导出的矩阵范数)
❖算子范数的必要条件:
任何一个算子范数，当A为单位矩阵I时,必 有||I||=1
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径
及有关性质
❖向量范数1-范数,2-范数及-范数,从
1-范数
i1 n
1
|| X ||2 x12 x22 ... xn2 ( xi2 )2 2-范数
i 1
||
X
||
max{|
x1
|,|
x2
|,...,|
xn
|}
max{|
1in
xi
|}
其中x1,x2, …,xn分别是X的n个分量 -范数
n
1
上述范数都是p范数的特例|| X ||p ( xi p ) p
❖对任意实数， ||X||=|| ||X||；(齐次性)
❖对任意向量YRn，||X+Y|| ||X||+||Y||
则称该实数||X||为向量X的范数 (半可加性)
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
2. Rn中常用的几种向量范数
n
||X||1 | x1 | | x2 | ... | xn | | xi |
属于它们的矩阵范数分别为:
n
A
1
max
1 jn
i 1
| aij
|
列范数: A的列向量中 1-范数的最大值
|| A ||2 max ( A' A)
n
A
max
1i n
| aij
j 1
|
行范数: A的行向量 中1-范数的最大值
max表示A' A的最大特征值
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
则称||A||为矩阵A的范数。
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
5.向量范数和矩阵范数的关系 ❖矩阵范数和向量范数相容
设Rn中规定的向量范数为||X||,在Rn*n中规 定的矩阵范数为||A||，若以下不等式成立 时，
||AX|| ||A|| ||X||
称矩阵范数||A||和向量范数||X||相容
i 1
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
3.关于范数的几点说明
❖当不需要指明使用哪一种向量范数时,就用 记号||.||泛指任何一种向量范数。
❖向量的范数可以用来衡量向量的大小和表 示向量的误差。
❖设为AX=B的精确解，X为其近似解,则其 绝对误差可表示成||X-||,其相对误差可表示 成||X-||/||||或||X-||/||X||
其中xj(k)和xj分别表示X(k)和X中的第j个分量
向量序列的收敛可以归结为对应元素 序列的收敛。
§1 向量范数,矩阵范数,谱半径 及有关性质
8.方阵收敛的定义
对于n阶方阵序列{A(k)},如果 lim || A(K ) A || 0
k
则称方阵序列{A(k)}收敛于n阶方阵A。
上式通常表示成: lim A(K ) A k