高中数学北师大版必修五第一章：3.2 等比数列的前n项和(二)
高中数学第一章数列3.2.1等比数列的前n项和课时素养评价含解析北师大版必修5
等比数列的前n项和(20分钟35分)1.设数列{(-1)n}的前n项和为S n,则S n等于( )A. B.C. D.【解析】选D.S n==.2.等差数列{a n}的首项为1,公差不为0.若a2,a3,a6成等比数列,则{a n}前6项的和为( )A.-24B.-3C.3D.8【解析】选A.设等差数列的公差为d,d≠0, =a2·a6⇒(1+2d)2=(1+d)(1+5d),d2=-2d(d≠0),所以d=-2,所以S6=6×1+×(-2)=-24.3.已知等比数列的公比为2,且前5项和为1,那么前10项和等于( )A.31B.33C.35D.37【解析】选B.根据等比数列性质得=q5,所以=25,所以S10=33.4.(2020·全国Ⅱ卷)数列中,a1=2,a m+n=a m a n,若a k+1+a k+2+…+a k+10=215-25,则k= ( )A.2B.3C.4D.5【命题意图】本题考查等比数列的判定、等比数列的通项公式及前n项和公式,意在考查学生的运算求解能力.【解析】选C.取m=1,则a n+1=a1a n,又a1=2,所以=2,所以是等比数列,则a n=2n,所以a k+1+a k+2+…+a k+10==2k+11-2k+1=215-25,所以k=4.5.等比数列{a n}的前n项和为S n,S5=2,S10=6,则a16+a17+a18+a19+a20等于.【解析】设等比数列{a n}的公比为q,因为S2n-S n=q n S n,所以S10-S5=q5S5,所以6-2=2q5,所以q5=2,所以a16+a17+a18+a19+a20=a1q15+a2q15+a3q15+a4q15+a5q15=q15(a1+a2+a3+a4+a5)=q15S5=23×2=16.答案:166.已知数列{a n}的前n项和S n=3n2+8n,{b n}是等差数列,且a n=b n+b n+1.(1)求数列{b n}的通项公式;(2)令c n=.求数列{c n}的前n项和T n.【解析】(1)由题意知当n≥2时,a n=S n-S n-1=6n+5,当n=1时,a1=S1=11,所以a n=6n+5.设数列{b n}的公差为d,由即可解得b1=4,d=3,所以b n=3n+1.(2)由(1)知c n==3(n+1)·2n+1,又T n=c1+c2+c3+…+c n,得T n=3×[2×22+3×23+4×24+…+(n+1)×2n+1],2T n=3×[2×23+3×24+4×25+…+(n+1)×2n+2],两式作差,得-T n=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]=3×=-3n·2n+2所以T n=3n·2n+2.【补偿训练】已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5.(1)求{a n}的通项公式;(2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1.【解析】(1)设等差数列{a n}公差为d,因为a2+a4=2a3=10,所以a3=5=1+2d,所以d=2.所以a n=2n-1.(2)设{b n}的公比为q,b2·b4=a5⇒qq3=9,所以q2=3,所以{b2n-1}是以b1=1为首项,q′=q2=3为公比的等比数列,所以b1+b3+b5+…+b2n-1==.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1.(2020·三明高一检测)等比数列中,a1=1,公比q=2,当S n=127时,n= ( )A.8B.7C.6D.5【解题指南】利用等比数列的前n项和公式S n=即可求解.【解析】选B.由S n=,a1=1,q=2,当S n=127时,则127=,解得n=7.2.(2020·重庆高二检测)等比数列的前n项和为S n,且3a2,2a3,a4成等差数列,则=( )A. B.3或C.3D.【解题指南】由等比数列通项公式可得4a1q2=3a1q+a1q3,可得q=1或q=3,将q=1和q=3分别代入求解即可.【解析】选 B.由已知4a1q2=3a1q+a1q3,整理得q2-4q+3=0,所以q=1或q=3,当q=1时,==3;当q=3时===,所以=3或.3.设等比数列{a n}的前n项和为S n,若=3,则= ( )A.2B.C.D.3【解析】选 B.由题意知===1+q3=3,所以q3=2,所以=====.【补偿训练】(2020·张家口高一检测)已知数列满足a2=2,2a n+1=a n,则数列的前6项和S6等于( )A. B. C. D.【解析】选 C.由2a n+1=a n得数列是以为公比的等比数列,所以a1=4,故S6===.4.(2020·余姚高一检测)已知等比数列的公比是q,首项a1<0,前n项和为S n,设a1,a4,a3-a1成等差数列,若S k>a1,则正整数k的最大值是( )A.4B.5C.14D.15【解析】选A.由已知可得2a4=a1+a3-a1⇒q==⇒S k=>a1⇒>⇒k<5⇒k max=4.5.(2020·全国Ⅱ卷)记S n为等比数列{a n}的前n项和.若a5-a3=12,a6-a4=24,则= ( )A.2n-1B.2-21-nC.2-2n-1D.21-n-1【解析】选B.设等比数列的公比为q,由a5-a3=12,a6-a4=24可得:⇒,所以a n=a1q n-1=2n-1,S n===2n-1,因此==2-21-n.二、填空题(每小题5分,共15分)6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题:“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还.”其意思为:有一个人走378里路,第一天健步行走,从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地,请问第二天走了.【解析】由题意,设等比数列{a n}的首项为a1,公比为q=,依题意有=378,解得a1=192,则a2=192×=96,即第二天走了96里.答案:96里7.在等比数列{a n}中,a1+a2+…+a6=10,++…+=5,则a1·a2·…·a6= .【解析】由等比数列的前n项和公式,得a1+a2+…+a6==10,++…+===5,把a1-a6q=10(1-q)代入,得a1a6=2,又a1·a2·…·a6=(a1·a6)3=23=8. 答案:88.(2020·岳阳高二检测)已知数列的前n项和为S n,且满足a1+3a2+…+3n-1a n=n,则S4=.【解析】a1+3a2+…+3n-1a n=n,可得n=1时,a1=1,n≥2时,a1+3a2+…+3n-2a n-1=n-1,又a1+3a2+…+3n-1a n=n,两式相减可得3n-1a n=1,即a n=,上式对n=1也成立,可得数列是首项为1,公比为的等比数列,可得S4==.答案:【光速解题】对题目所给等式进行赋值,由此猜想出a n的表达式.三、解答题(每小题10分,共20分)9.(2020·全国Ⅰ卷)设是公比不为1的等比数列,a1为a2,a3的等差中项.(1)求的公比;(2)若a1=1,求数列{na n}的前n项和.【解析】(1)设的公比为q,由题设得2a1=a2+a3,即2a1=a1q+a1q2.因为a1≠0,所以q2+q-2=0,解得q=1(舍去),q=-2.故的公比为-2.(2)设S n为{na n}的前n项和.由(1)及题设可得,a n=(-2)n-1.所以S n=1+2×(-2)+…+n×(-2)n-1,-2S n=-2+2×(-2)2+…+(n-1)×(-2)n-1+n×(-2)n.可得3S n=1+(-2)+(-2)2+…+(-2)n-1-n×(-2)n=-n×(-2)n.所以S n=-.10.设数列{a n}(n=1,2,3…)的前n项和S n满足S n=2a n-a1,且a1,a2+1,a3成等差数列.(1)求数列{a n}的通项公式.(2)记数列的前n项和为T n,求使得|T n-1|<成立的n的最小值.【解析】(1)由已知S n=2a n-a1,有a n=S n-S n-1=2a n-2a n-1(n≥2),即a n=2a n-1(n≥2).从而a2=2a1,a3=2a2=4a1.又因为a1,a2+1,a3成等差数列,即a1+a3=2(a2+1).所以a1+4a1=2(2a1+1),解得a1=2.所以数列{a n}是首项为2,公比为2的等比数列.故a n=2n.(2)由(1)得=,所以T n=++…+==1-.由|T n-1|<,得<,即2n>1 000.因为29=512<1 000<1 024=210,所以n≥10.于是,使|T n-1|<成立的n的最小值为10.1.设数列{a n}的前n项和为S n,点(n∈N+)均在直线y=x+上.若b n=,则数列{b n}的前n项和T n= .【解析】由已知=n+,即S n=n2+n.当n≥2时,a n=S n-S n-1=-=2n-;当n=1时,a1=S1=,符合a n=2n-,所以a n=2n-(n∈N+),则b n==32n,由==32=9,可知{b n}为等比数列,b1=32×1=9,故T n==.答案:2.已知数列{a n}中,a1=1,a n·a n+1=,记T2n为{a n}的前2n项的和,b n=a2n+a2n-1,n∈N+.(1)判断数列{b n}是否为等比数列,并求出b n.(2)求T2n.【解析】(1)因为a n·a n+1=,所以a n+1·a n+2=,所以=,即a n+2=a n,因为b n=a2n+a2n-1,所以===,所以{b n}是公比为的等比数列.因为a1=1,a1·a2=,所以a2=⇒b1=a1+a2=,所以b n=×=.(2)由(1)可知a n+2=a n,所以a1,a3,a5,…是以a1=1为首项,以为公比的等比数列;a2,a4,a6,…是以a2=为首项,以为公比的等比数列,所以T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=+=3-.。
《等比数列前n项和》教学反思5篇
《等比数列前n项和》教学反思5篇《等比数列前n项和》教学反思篇1一教学背景分析1．教学内容分析本节课是高中数学（北师大版必修5）第一章第3节第二课时，是“等差数列的前n项和”与“等比数列”内容的延续，与函数等知识有着密切的联系，也为以后学数列的求和，数学归纳法等做好铺垫。
而且公式推导过程中所渗透的类比化归分类讨论整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到。
本节以数学文化背境引入课题有助于提升学生的创新思维和探索精神，是提高数学文化素养和培养学生应用意识的良好载体。
2．学情分析从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。
不利因素是，本节公式的推导与等差数列前n项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q = 1这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。
教学对象是高二理科班的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃敏捷，却缺乏冷静深刻，因此片面不完全。
二．教学目标依据新课程标准及教材内容，结合学生的认知发展水平和心理特点，确定本节课的。
教学目标如下：1知识与技能目标: 理解等比数列前n项和公式推导方法；掌握等比数列前n 项和公式并能运用公式解决一些简单问题。
2．过程与方法目标：感悟并理解公式的推导过程，感受公式探求过程所蕴涵的从特殊到一般的思维方法，渗透方程思想分类讨论思想及转化思想，优化思维品质，初步提高学生的建模意识和探究分析与解决问题的能力。
3情感与态度目标：通过经历对公式的探索过程，对学生进行思维严谨性的训练，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试勇于探索敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受数学的奇异美结构的对称美形式的简洁美和数学的严谨美。
三．重点，难点教学重点：等比数列前“等比数列的前n项和”项和公式的推导及其简单应用。
北师大版高中数学课本目录标准版
必修1第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算交集与并集全集与补集第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识函数概念函数的表示法映射§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究二次函数的图像二次函数的性质§5 简单的幂函数课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数扩充及其运算性质指数概念的扩充指数运算的性质§3指数函数指数函数的概念指数函数和的图像和性质指数函数的图像和性质§4 对数对数及其运算换底公式§5 对数函数对数函数的概念y=log2x的图像和性质对数函数的图像和性质§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较第四章函数应用§1 函数与方程利用函数性质判定方程解的存在利用二分法求方程的近似解§2 实际问题的函数建模实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题函数建模案例必修2第一章立体几何初步§1 简单几何体简单旋转体简单多面体§2 直观图§3 三视图简单组合体的三视图由三视图还原成实物图§4 空间图形的基本关系与公理空间图形基本关系的认识空间图形的公理§5 平行关系平型关系的判定平行关系的性质§6 垂直关系垂直关系的判定垂直关系的性质§7 简单几何体的面积和体积简单几何体的侧面积棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程直线的倾斜角和斜率直线的方程两条直线的位置关系两条直线的交点平面直角坐标系中的距离公式§2 圆与圆的方程圆的标准方程圆的一般方程直线与圆、圆与圆的位置关系§3 空间直角坐标系空间直角坐标系的建立空间直角坐标系中点的坐标空间两点间的距离公式必修3第一章统计§1 从普查到抽样§2 抽样方法简单随机抽样分层抽样与系统抽样§3 统计图表§4 数据的数字特征平均数、中位数、众数、极差、方差标准差§5 用样本估计总体估计总体的分布估计总体的数字特征§6 统计活动：结婚年龄的变化§7 相关性§8 最小二乘估计第二章算法初步§1 算法的基本思想算法案例分析排序问题与算法的多样性§2 算法框图的基本结构及设计顺序结构与选择结构变量与赋值循环结构§3 几种基本语句条件语句循环语句第三章概率§1 随机事件的概率频率与概率生活中的概率§2 古典概型古典概型的特征和概率计算公式建立概率模型互斥事件§3 模拟方法—概率的应用必修4第一章三角函数§1 周期现象§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式任意角的正弦函数、余弦函数的定义单位圆与周期性单位圆与诱导公式§5 正弦函数的性质与图像从单位圆看正弦函数的性质正弦函数的图像正弦函数的性质§6 余弦函数的性质与图像正弦函数的图像正弦函数的性质§7 正切函数正切函数的定义正切函数的图像与性质正切函数的诱导公式§8 函数y=Asin 的图像§9 三角函数的简单应用第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量位移、速度、和力向量的概念§2 从位移的合成到向量的加法向量的加法向量的减法§3 从速度的倍数到数乘向量数乘向量平面向量基本定理§4 平面向量的坐标平面向量的坐标表示平面向量线性运算的坐标表示向量平行的坐标表示§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例点到直线的距离公式向量的应用举例第三章三角恒等变形§1 同角三角函数的基本关系§2 两角和与差的三角函数两角差的余弦函数两角和与差的正弦、余弦函数两角和与差的正切函数§3 二倍角的三角函数必修5第一章数列§1 数列数列的概念数列的函数特征§2 等差数列等差数列等差数列的前n项和§3 等比数列等比数列等比数列的前n项和§4 数列在日常经济生活中的应用第二章解三角形§1 正弦定理与余弦定理正弦定理余弦定理§2 三角形中的几何计算§3 解三角形的实际应用举例第三章不等式§1 不等关系不等关系比较大小§2 一元二次不等式一元二次不等式的解法一元二次不等式的应用§3 基本不等式基本不等式基本不等式与最大（小）值§4 简单线性规划二元一次不等式（组）与平面区域简单线性规划简单线性规划的应用选修1-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”或“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质第三章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则第四章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题选修1-2第一章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验条件概率与独立事件独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用第二章框图§1 流程图§2 结构图第三章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2 数学证明§3 综合法与分析法综合法分析法§4 反证法第四章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-1第一章常用逻辑用语§1 命题§2 充分条件与必要条件充分条件必要条件充要条件§3 全称量词与存在量词全称量词与全称命题存在量词与特称命题全称命题与特称命题的否定§4 逻辑联结词“且”“或”“非” 逻辑联结词“且” 逻辑联结词“或” 逻辑联结词“非”第二章空间向量与立体几何§1 从平面向量到空间向量§2 空间向量的运算§3 向量的坐标表示和空间向量基本定理空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理空间向量运算的坐标表示§4 用向量讨论垂直与平行§5 夹角的计算直线间的夹角平面间的夹角直线与平面的夹角§6 距离的计算第三章圆锥曲线与方程§1 椭圆椭圆及其标准方程椭圆的简单性质§2 抛物线抛物线及其标准方程抛物线的简单性质§3 双曲线双曲线及其标准方程双曲线的简单性质§4 曲线与方程曲线与方程圆锥曲线的共同性质直线与圆锥曲线的交点选修2-2第一章推理与证明§1 归纳与类比归纳推理类比推理§2综合法与分析法综合法分析法§3 反证法§4 数学归纳法第二章变化率与导数§1 变化的快慢与变化率§2 导数的概念及其几何意义导数的概念导数的几何意义§3 计算导数§4 导数的四则运算法则导数的加法与减法法则导数的乘法与除法法则§5 简单复合函数的求导法则第三章导数应用§1 函数的单调性与极值导数与函数的单调性函数的极值§2 导数在实际问题中的应用实际问题中的导数的意义最大值、最小值问题第四章定积分§1 定积分的概念定积分的背景—面积和路程问题定积分§2 微积分基本定理§3 定积分的简单应用平面图形的面积简单几何体的体积第五章数系的扩充与复数的引入§1 数系的扩充与复数的引入数的概念的扩展复数的有关概念§2 复数的四则运算复数的加法与减法复数的乘法与除法选修2-3第一章计数原理§1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理分步乘法计数原理§2 排列§3 组合§4 简单计数问题§5 二项式定理二项式定理二项式系数的性质第二章概率§1 离散型随机变量及其分布列§2 超几何分布§3 条件概率与独立事件§4 二项分布§5 离散型随机变量的均值与方差§6 正态分布连续型随机变量正态分布第三章统计案例§1 回归分析回归分析相关系数可线性化的回归分析§2 独立性检验独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用选修3-1数学史选讲第一章数学发展概述§1 从数学的起源、早期发展到初等数学形成§2 从变量数学到现代数学第二章数与符号§1 数的表示与十进制§2 数的扩充§3 数学符号第三章几何学发展史§1 从经验几何到演绎几何§2 投影画与射影几何§3 解析几何第四章数学史上的丰碑——微积分§1 积分思想的渊源§2 圆周率§3 微积分第五章无限§1 初识无限§2 实数集的基数第六章明题赏析§1 费马大定理§2 哥尼斯堡七桥问题§3 高次方程§4 中国剩余定理§5 哥德巴赫猜想选修3-3 球面上的几何2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章球面的基本性质§1 直线、平面与球面的位置关系§2 球面直线与球面距离第二章球面上的三角形§1 球面三角形球面上两直线的交角球面上的对称性球面三角形球面三角形的基本性质球面极三角形§2 球面三角形的全等§3 球面三角形的边角关系平面三角形的余弦定理和正弦定理球面三角形边的余弦定理球面三角形角的余弦定理和正弦定理§4 球面三角形的面积球面二角形球面三角形的面积第三章欧拉公式与非欧几何§1 球面上的欧拉公式球面三角部分球面上的欧拉公式球面上欧拉公式证明§2 简单多面体的欧拉公式凸多面体和简单多面体简单多面体的欧拉公式的证明§3 欧氏几何与球面几何的比较欧氏几何与球面几何的区别与联系另一种非欧几何选修4-1几何证明选讲2008年5月第3版2009年5月第3次印刷第一章直线、多边形、圆§1 全等与相似图形变化的不变形平移、旋转、反射相似与位似平行线分线段成比例定理直角三角形的射影定理§2 圆与直线圆周角定理圆的切线的判定和性质弦切角定理切割线定理相交弦定理§3 圆与四边形圆内接四边形托勒密定理第二章圆锥曲线§1 截面欣赏§2 直线与球、平面与球的位置关系直线与球的位置关系平面与球的关系§3 柱面与平面的截面柱面、旋转面垂直截面一般截面§4 平面截圆锥面圆锥面垂直截面一般截面§5 圆锥曲线的几何性质选修4-22008年6月第3版2009年5月第3次印刷第一章平面向量与二阶方阵§1 平面向量及向量的运算§2 向量的坐标表示及直线的向量方程§3 二阶方阵与平面向量的乘法第二章几何变换与矩阵§1 几种特殊的矩阵变换§2 矩阵变换的性质第三章变换的合成与矩阵乘法§1变换的合成与矩阵乘法§2 矩阵乘法的性质第四章逆变换与逆矩阵§1 逆变换与逆矩阵§2 初等变换与逆矩阵§3 二阶行列式与逆矩阵§4 可逆矩阵与线性方程组第五章矩阵的特征值与特征向量§1 矩阵变换的特征值与特征向量§2 特征向量在生态模型中的简单应用选修4-4坐标系与参数方程2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章坐标系§1 平面直角坐标系平面直角坐标系与曲线方程平面直角坐标轴中的伸缩变换§2 极坐标系极坐标系的概念点的极坐标与直角坐标的互化直线与圆的极坐标方程曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化圆锥曲线统一的极坐标方程§3 柱坐标系和球坐标系第二章参数方程§1 参数方程的概念§2 直线和圆锥曲线的参数方程直线的参数方程圆的参数方程椭圆的参数方程双曲线的参数方程§3 参数方程化成普通方程§4 平摆线和渐开线平摆线渐开线选修4-5【不等式选讲】2007年5月第2版2009年5月第5次印刷第一章不等关系与基本不等式§1 不等式的性质§2 含有绝对值的等式§3 平均值不等式§4 不等式的证明§5 不等式的应用第二章几个重要的不等式§1 柯西不等式§2 排序不等式§3 数学归纳法与贝努利等式。
《数列》教材分析.doc
北师大版必修五第一章《数列》教材分析数列作为一种特殊的函数，是反映自然规律的基本数学模型。
通过对日常生活中大量实际问题的分析，建立等差数列和等比数列这两种数列模型，探索并掌握它们的一些基本数量关系，感受这两种数列模型的广泛应用，并利用它们解决一些实际问题。
一、本章教学目标通过本章的学习，学生将掌握等差数列和等比数列两种数列模型，形成从实际问题中抽象出数列模型的能力，并学会利用数列模型去解决一些实际问题。
（1）通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项、公式），了解数列是一种特殊函数。
（2）通过实例，理解等差数列、等比数列的概念。
（3）探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和的公式。
（4）能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。
（5）体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系。
二、本章设计意图1、数列是刻画离散过程的重要数学模型，数列的知识也是高等数学的基础，它可以看成是定义在正整数集或其有限子集的函数，因此，从函数的角度来研究数列，即是对函数学习的延伸，也是一种特殊的函数模型。
2、本章力求通过具体的问题情景展现，帮助学生了解数列的概念，通过对具体问题的探究，理解与掌握两类特殊的数列，并应用它们解决实际生活中相关的一些问题。
编写中体现了数学来源于生活，又服务于生活的这种基础学科的特点，使学生感觉到又亲切又好奇，充满魅力。
3、教材在例题、习题的编排上，注重让学生重点掌握数列的概念、特殊数列的通项公式、求和公式等，并应用这些知识解决实际生活中的问题，渗透函数思想解决问题。
4、教材在内容设计上突出了一些重要的数学思想方法。
如类比思想、归纳思想、数形结合思想、算法思想、方程思想、特殊到一般等思想贯穿于全章内容的始终。
5、教材在知识内容设计上，注意了数列与函数、算法、方程等的联系，适度应用现代信息计术，帮助学生理解数学，提高数学学习的兴趣。
1.3.2《等比数列的前n项和》课件(北师大版必修5)
1 q＝ 或 2 . n＝6
已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝
30，求S30.
方法一： 根据条件 设公比为q ―→ ―→ 解出q ―→ 代入求S30 列方程组 方法二： 根据题意S10；S20－S10， S10＝10， ―→ ―→ S30 S30－S20成等比数列 S20＝30
值．
解析： 方法一：设首项为a1，公比为q， a11－q4 ∵S4＝ ＝1，① 1－q a11－q8 S8 ＝ ＝3，② 1－q ① 由 ，得q4＝2. ②
a11－q20 a11－q16 ∴a17＋a18＋a19＋a20＝S20－S16＝ － 1－q 1－q a1q161－q4 ＝ ＝1·16＝24＝16. q 1－q
方法二：设S4＝a，S8－S4＝b，S12－S8＝c，S16－S12＝ d， S20－S16＝e， 则a，b，c，d，e又成等比数列．
则a＝1，b＝3－1＝2，
∴此数列的公比为2.
∴e＝a·24＝1·24＝16. ∴a17＋a18＋a19＋a20＝16.
)
B．－4 D．－2
答案： A
3．设{an}是公比为正数的等比数列，若a1＝1，a5＝16，则 数列{an}前7项的和为________．
a5 解析： ∵公比q ＝ ＝16， a1
4
且q＞0，∴q＝2， 1－27 ∴S7＝ ＝127. 1－2
答案： 127
4．在等比数列{an}中，已知a1＋a2＋…＋an＝2n－1，则a12
1 1－ q
所以q2＋4q＋4＝0，即(q＋2)2＝0. 所以q＝－2.
(4)∵a1an＝a2an－1＝128，又a1＋an＝66，
a ＝2 1 ∴ an＝64 a ＝64 1 或 an＝2
北师大版高中数学必修五第一章数列1.3.2等比数列的前n项和课件
②÷①,得 1+q3=9,∴q3=8, 1 即 q=2.代入①,得 a1= , 2
1 n-1 n-2 ∴an=a1q =2×2 =2 , ������1 (1-������������ ) n-1 1 Sn= =2 - . 2 1-
题型一 题型二 题型三 题型四
-2-
3.2 等比数列的前n项和
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IANLITOUXI
S随堂演练
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1.等比数列的前n项和公式 数列{an}是公比为q的等比数列,则 当q=1时,Sn=na1;
当 q ≠1 时,Sn =
������1 (1-������������ ) ������ -������ ������ = 1 ������ . 1-������ 1-������
������1 (1- 2������ ) ������ = 189, 化简得 2 ������1 -������1 = 189, ① ������ 1-2 2 ������1 = 192, ② ������ -1
-5-
3.2 等比数列的前n项和
题型一 题型二 题型三 题型四
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-4-
3.2 等比数列的前n项和
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题型一 利用等比数列前n项和公式求相关量 【例1】 (1)在等比数列{an}中,已知Sn=189,q=2,an=96,求a1和n;
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北师大版高中数学课本目录大全(必修)
北师大版(新课标)高中数学课本目录大全（含必修和选修）北师大必修《数学1(必修)》全书目录：第一章集合§1 集合的含义与表示§2 集合的基本关系§3 集合的基本运算阅读材料康托与集合论第二章函数§1 生活中的变量关系§2 对函数的进一步认识§3 函数的单调性§4 二次函数性质的再研究§5 简单的幂函数阅读材料函数概念的发展课题学习个人所得税的计算第三章指数函数和对数函数§1 正整数指数函数§2 指数概念的扩充§3 指数函数§4 对数§5 对数函数§6 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较阅读材料历史上数学计算方面的三大发明第四章函数应用§1 函数与方程§2 实际问题的函数建模阅读材料函数与中学数学探究活动同种商品不同型号的价格问题必修2全书目录：第一章立体几何初步§1 简单几何体§2 三视图§3 直观图§4 空间图形的基本关系与公理§5 平行关系§6 垂直关系§7 简单几何体的面积和体积§8 面积公式和体积公式的简单应用阅读材料蜜蜂是对的课题学习正方体截面的形状第二章解析几何初步§1 直线与直线的方程§2 圆与圆的方程§3 空间直角坐标系阅读材料笛卡儿与解析几何探究活动1 打包问题探究活动2 追及问题必修3全书目录第一章统计§1 统计活动：随机选取数字§2 从普查到抽样§3 抽样方法§4 统计图表§5 数据的数字特征§6 用样本估计总体§7 统计活动：结婚年龄的变化§8 相关性§9 最小二乘法阅读材料统计小史课题学习调查通俗歌曲的流行趋势第二章算法初步§1 算法的基本思想§2 算法的基本结构及设计§3 排序问题§4 几种基本语句课题学习确定线段n等分点的算法第三章概率§1 随机事件的概率§2 古典概型§3模拟方法――概率的应用探究活动用模拟方法估计圆周率∏的值必修4 全书目录：第一章三角函数§1 周期现象与周期函数§2 角的概念的推广§3 弧度制§4 正弦函数§5 余弦函数§6 正切函数§7 函数的图像§8 同角三角函数的基本关系阅读材料数学与音乐课题学习利用现代信息技术探究的图像第二章平面向量§1 从位移、速度、力到向量§2 从位移的合成到向量的加法§3 从速度的倍数到数乘向量§4 平面向量的坐标§5 从力做的功到向量的数量积§6 平面向量数量积的坐标表示§7 向量应用举例阅读材料向量与中学数学第三章三角恒等变形§1 两角和与差的三角函数§2 二倍角的正弦、余弦和正切§3 半角的三角函数§4 三角函数的和差化积与积化和差§5 三角函数的简单应用课题学习摩天轮中的数学问题探究活动升旗中的数学问题必修5全书共三章：数列、解三角形、不等式。
2019-2020学年数学北师大版必修5课件：1.3.2 等比数列的前n项和
∴当 q=1 时,Sn=b1(a1+a2+…+an)
=b1·������(������12+������������); 当 q≠1 时,Sn=������1������11-���-���������������������1������������+db1·������((11--���������������)���2-1).
当q≠-1或k为奇数时,Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…是等比数列.
【做一做2】
设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,若������������63=3,则������������96=(
)
A.2
B.73
C.83
D.3
解析:根据等比数列的性质,S3,S6-S3,S9-S6仍然成等比数列.
∵������������63=3,∴不妨设 S3=x(x≠0),则 S6=3x, ∴S6-S3=2x,∴S9-S6=4x, ∴S9=7x.∴������������96 = 73.故选 B.
答案:4-������2+������4
-8-
3.2 等比数列的前n项和
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思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若数列{an}是等比数列,Sn是数列{an}的前n项和,则Sn,S2n-Sn,
S3n-S2n一定成等比数列. ( ) (2)数列a,a2,a3,…,an,…的前n项和为
答案:B
-4-
3.2 等比数列的前n项和
高中数学北师大版必修5第1章3《等比数列》(第2课时 等比数列的性质)ppt同步课件
课堂典例讲练
运用等比数列性质解题
•
求a10.
在等比数列{an}中，若a2＝2，a6＝162，
• [分析] 解答本题可充分利用等比数列的性质及通项
公式[解，析求] 得解q法，一再：求设a公10比. 为 q，由题意得
a1q＝2 a1q5＝162
，解得a1＝23 q＝3
，或a1＝－23 q＝－3
[解析] 设数列{an}的公比为 q，则 an＝a1qn－1， bn＝1n[lga1＋lg(a1q)＋lg(a1q2)＋…＋lg(ka1qn－1)]， 解得 bn＝1n[nlga1＋12n(n－1)lgq＋lgk] ＝lga1＋12(n－1)lgq＋1nlgk，
∴bn＋1－bn＝[lga1＋12nlgq＋n＋1 1lgk]－[lga1＋12(n－1)lgq＋ 1 nlgk]
∵an＝logabn＋b 对一切正整数 n 恒成立．
∴54－ ＋lbo－gal6o＝ga06＝0 ，∴a＝5 6，b＝1.
易混易错点睛
四个实数成等比数列，且前三项之积为 1，后三 项之和为 134，求这个等比数列的公比．
[误解] 设这四个数为 aq－3，aq－1，aq，aq3，由题意得 a3q－3＝1，① aq－1＋aq＋aq3＝134.② 由①得 a＝q，把 a＝q 代入②并整理， 得 4q4＋4q2－3＝0，解得 q2＝12或 q2＝－32(舍去)，故所求的公 比为12.
• (8){an}是等差数列，c是正数，则数列{can}是等比
________数列．
• (a9≠)1{)a是n}是__等__比__数__列数，列且．an>0，则{logaan}(a>0，
• 等2．差 等比数列中的设项方法与技巧
• (1)若____或________．
《等比数列前n项和》说课稿(精选10篇)
《等比数列前n项和》说课稿（精选10篇）因为an = a1q^(n-1)这次为您整理了《等比数列前n项和》说课稿（精选10篇），在大家参照的同时，也可以分享一下给您最好的朋友。
《等比数列前n项和》说课稿篇一一、教材分析《等比数列前n项和》选自北师大版高中数学必修5第一章第3节的内容。
等比数列的前n 项和是“等差数列及其前n项和”与“等比数列”内容的延续，也是函数的延续，它实质上是一种特殊的函数；公式推导中蕴涵的数学思想方法如分类讨论等在各种数学问题中有着广泛的应用，如在“分期付款”等实际问题中也经常涉及到。
具有一定的探究性。
二、学情分析在认知结构上已经掌握等差数列和等比数列的有关知识。
在能力方面已经初步具备运用等差数列和等比数列解决问题的能力；但学生从特殊到一般、分类讨论的数学思想还需要进一步培养和提高。
在情感态度上学习兴趣比较浓，表现欲较强，但合作交流的意识等方面尚有待加强。
并且让学生在探究等比数列前n项和的过程中体会合作交流的重要性。
三、教学目标分析：知识与技能目标：（1）能够推导出等比数列的前n项和公式；（2）能够运用等比数列的前n项和公式解决一些简单问题。
过程与方法目标：提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力。
体会公式探求过程中从特殊到一般的思维方法、错位相减法和分类讨论思想。
情感与态度目标：培养学生勇于探索、敢于创新的精神，磨练思维品质，从中获得成功的体验。
四、重难点的确立《等比数列的前n项和》是这一章的重点，其中公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它蕴含了多种重要的数学思想，因此，本节课的教学重点为等比数列的前n项和公式的推导及其简单应用．而等比数列的前n项和公式的推导过程中用到的方法学生难以想到，因此本节课的难点为等比数列的前n项和公式的推导。
五、教学方法为突出重点和突破难点，我将采用的教学策略为启发式和探究式相结合的教学方法，教学手段采用计算机进行辅助教学。
北师大版高中数学必修5课件1.3等比数列的前n项和课件(北师大版)
第一方面 :探求公式其它推导方法 由前面证明过程的分析Sn—qSn这一思路正是用等比 数列的重要性质，出现众多公共项，我们把这种方法叫错位相消法. 那么 与 是否可以起到同样的化简效果？体现思维
的批判性，择优选取，揭示化简本质.为学生熟练掌握错位相差起到了重要 作用。
(1)–(2)
效果如何？
(1) –(3)
通过公式的探索发现过程，学生亲历结论的“再创造”过程，体验成
功与快乐，感悟数学美 通过分类讨论的教学和猜想之后还需证明培养学生思维的严谨性
通过发散思维的教学，培养学生思维的批判性、灵活性
重点和难点
重点：等比数列前n项和公式、推导及应用
难点：等比数列前n项和公式推导思路的获得
二. 教学方法
启发引导探究发现法： 教师 展 示 数 学 游 戏 启发引导 提 出 问 题 发现公式 类比猜想 激 励 深 化 示范 实 现 目 标 演练
证明猜想 分析寻找 学生
发现错位相消法 反 思
(独立思考、合作交流)
回 顾: 1. 什么是等比数列？ 2. 公比对等比数列有何影响？ 3. 项与项之间的关系如何？
数学游戏问题： 甲、乙二人约定在一个月（按30天）内甲每天给乙100元钱，而 乙则第一天给甲返还一分，第二天给甲返还二分，即后一天返还 的钱是前一天的二倍。问谁赢谁亏？
(1) –(4)
第二方面:公式的灵活应用: 1、注意q=1与q≠1两种情形
a1 (1 q n ) a1 a n q 2、q≠1时，S n 1 q 1 q
3、五个量n、a1、q、an、Sn中，解决“知三求二”问题。
例一：“棋盘上的麦粒”（以2为底的幂）历史典故 大家都见过国际象棋吧！它的棋盘是正四方形，黑白相间共64格，传说在很 久以前，古印度舍罕王在宫廷单调的生活苦恼中，发现了也就是现今的国际象棋如 此的有趣和奥妙之后，决定要重赏发明人——他的宰相西萨班•达依尔，让他随意
高中数学第一章数列第3节等比数列3.1等比数列第2课时等比数列的性质课件北师大版必修5
教材整理 2 等比中项
阅读教材 P25 练习 2 以上最后两段部分，完成下列问题． 等比中项 如果在 a 与 b 中插入一个数 G，使 a，G等，b比成数列(děnɡ bǐ ，sh那ù l么iè)称 G 为 a,b 的 等比中项，且 G＝± ab .
第六页，共38页。
(1)2＋ 3与 2－ 3的等比中项为________． (2)在 2 和 8 之间插入两个数 m，n 使 2，m，n,8 成等比数列，则 m·n＝________. 【解析】 (1)设 2＋ 3与 2－ 3的等比中项为 m，则 m2＝(2＋ 3)(2－ 3)， 所以 m＝±1. (2)由m2 ＝8n得 m·n＝16. 【答案】 (1)±1 (2)16
[构建·体系]
第三十页，共38页。
1．在等比数列{an}中，a2＝8，a5＝64，则公比 q 为( )
A．2
B．3
C．4
D．8
【解析】 【答案】
a5＝a2·q3，所以 q3＝aa52＝8，∴q＝2. A
第三十一页，共38页。
2．在等比数列{an}中，若 a6＝6，a9＝9，则 a3 等于( )
第二十三页，共38页。
已知{an}是等比数列． (1)若 a2·a6·a10＝1，求 a3·a9 的值； (2)若 an＞0，a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求 a3＋a5； (3)若 an＞0，a5a6＝9，求 log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 的值． 【精彩点拨】 利用等比数列的性质求解．
第七页，共38页。
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
高中数学第一章数列1.3.2等比数列前N项和教案北师大版必修5
信息技术应用分析 学习目标 情感、态度与价值 观 知识与技能 过程与方法 知识与技能 过程与方法 知识与技能 情感、态度与价值 观 知识与技能 过程与方法 媒体内容与形式 视频 电子白板 （时钟计时器） 电子白板 （特效交互功能） 电子白板（移动、 智能笔、 特效交互 功能） 电子白板 （特效交 互功能、钢笔） 使用方式 教师播放 教师演示 教师演示 教师演示 学生操作 学生操作演示 设计意图 温故知新， 形成对 知识的整体感知。 媒体来源 下载 教师制作 教师制作
教材分析
学情分析
三维目标
知识与能力 理解用错位相减法推导等比数列前 n 项和公式的过程， 掌握公式的特点，
1
并在此基础上能简单的应用公式. 过程与方法 在推导公式的过程中渗透类比，方程，特殊到一般的数学思想、方法，优化 学生思维品质． 情感态度与价值观 通过故事引入，学生自主探索公式，激发他们的求知欲，体验错位相减法所 折射出的数学方法美及学好数学的必要性. 教学重难 点 教学重点 等比数列的前 n 项和公式的推导和公式的简单应用． 教学难点 由研究等比数列的结构特点推导出等比数列的前 n 项和公式 教法 与 学法 知识点 课程导入 创设情境 揭示课题 讲练结合，演示法，讨论学习
归纳公式
教师制作
课堂练习
教师制作 批注
师生活动 （一） 温故知新 问题 1：在前面的学习中我们了解 了一般数列的研究方法，并对一个特殊 的数列等差数列进行了深入研究；请同 学们回顾研究等差数列的过程，思考我 们研究了等差数列的哪些问题？ 接下来我们研究等比数列也要从 这四个方面进行研究，我们已经学习了 等比数列的定义、通项公式、性质，今 天我们继续研究等比数列的前 n 项和。 （二） 问题引入 想一想，你需要知道关于这个数列 的哪些信息，就可以告诉我它的前 n 项
北师大版高三数学必修5电子课本课件【全册】
第一章 数列
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1.数列
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1.1数列的概念
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北师大版高三数学57页 0183页 0209页 0230页 0322页 0368页 0390页 0454页 0512页 0575页 0577页 0611页 0650页 0693页 0717页
第一章 数列 1.1数列的概念 习题1—1 2.1等差数列 习题1—2 3.1等比数列 习题1—3 习题1—4 复习题一 第二章 解三角形 1.1正弦定理 习题2—1 习题2—2 习题2—3 复习题二 1.不等关系 1.2比较关系
1.2数列的函数特性
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习题1—1
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2.等差数列
北师大版高中数学必修5第一章《数列》等比数列的前n项和
= 18446744073709551615(粒) 18446744073709551615(粒
假定千粒麦子的质量为10g,那么麦 假定千粒麦子的质量为10g,那么麦 粒的总质量超过了7000亿吨 亿吨。 粒的总质量超过了7000亿吨。
4 人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子! 人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!
10
1、等比数列1，2，4，8，…从第5项到 、 从第5 ， ， ， 从第 10项的和为 第10项的和为 6 4 6
a5 1− q 2 1− 2 1− 2 1− 2 = − S = S10 −S4 = 或S= 1− 2 1− 2 1− q 1− 2
10 4
(
)
(
)
2、求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的 、求数列 ， ， ， 的 项和。 前n项和。 项和
2
n −1
12
解：由题意，从第1年起，每年的产量 由题意，从第1年起， 组成一个等比数列 其中
{an},
5 1 − 1.1n ∴ = 30. 1 − 1.1
(
a1 = 5, q = 1 + 10% = 1.1, S n = 30,
)
即 1 . 1n = 1 . 6 .
n ⋅ lg 1 . 1 = lg 1 . 6
15
用数学的观点看问题， 用数学的观点看问题， 一些所谓不可理解的事就可 以给出合理的解释，从而帮 以给出合理的解释， 助我们用科学的态度认识世 界。
16
练习： 教材练习第 、 、 题 练习：教材练习第1、2、3题. 课堂小结：本节学习了如下内容： 课堂小结：本节学习了如下内容：1.等比数列 等比数列 项和公式的推导； 前n项和公式的推导；特别是在推导过程中，学 项和公式的推导 特别是在推导过程中， 到了“错位相减法” 到了“错位相减法”. 2.等比数列前 项和公式的应用 因为公式涉及到 等比数列前n项和公式的应用 等比数列前 项和公式的应用.因为公式涉及到 等比数列的基本量中的4个量 个量， 等比数列的基本量中的 个量，一般需要知道其 中的3个 才能求出另外一个量.另外应该注意的 中的 个，才能求出另外一个量 另外应该注意的 由于公式有两个形式， 是，由于公式有两个形式，在应用中应该根据题 意所给的条件，适当选择运用哪一个公式. 意所给的条件，适当选择运用哪一个公式 在 使用等比数列求和公式时，注意q的取值是至关 使用等比数列求和公式时，注意 的取值是至关 重要的一个环节，需要放在第一位来思考. 重要的一个环节，需要放在第一位来思考 布置作业:课本习题 课本习题1-3 B组2、3 布置作业 课本习题 组 、 教学反思： 五、教学反思：
高中数学北师版必修5 等比数列的前n项和2
等比数列的前n 项和一．课题：等比数列的前n 项和二．教学目标：1．掌握等比数列的前n 项和公式及公式证明思路；2．会用等比数列的前n 项和公式解决有关等比数列前n 项和的一些简单问题．；三．教学重、难点：1．等比数列的前n 项和公式；等比数列的前n 项和公式推导；2．灵活应用公式解决有关问题。
四．教学过程：（一）复习：首先来回忆等比数列定义，通项公式以及性质．（二）新课讲解：1．等比数列前n 项和公式：一般地，设等比数列123,,,,,n a a a a 的前n 项和是=n S 123n a a a a ++++， 由12311n n n n S a a a a a a q -=++++⎧⎨=⎩ 得2211111123111111n n n n n n S a a q a q a q a q qS a q a q a q a q a q ---⎧=+++++⎪⎨=+++++⎪⎩∴11(1)n n q S a a q -=-,当1≠q 时，q q a S n n --=1)1(1 或11n n a a q S q -=- 当q=1时，1na S n =（错位相减法）说明：（1）n S n q a ,,,1和n n S q a a ,,,1各已知三个可求第四个；（2）注意求和公式中是n q ，通项公式中是1-n q 不要混淆；（3）应用求和公式时1≠q ，必要时应讨论1=q 的情况。
2．例题选讲：例1．（1）求等比数列12，14，18，…的前8项的和；（2）求等比数列1，2，4，…从第5项到第10项的和。
解：（1）由112a =，111422q =÷=，8n =，得8811[1()]25522125612s -==-；（2）由2 2,121===q a a 得；10101(12)102312S ⨯-==-∴441(12)1512S ⨯-==-，即从第5项到第10项的和为104s s -=1008．例2．一条信息，若一人得知后用一小时将信息传给两个人，这两个人又用一小时各传给未知此信息的另外两人，如此继续下去，一天时间可传遍多少人？ 解：根据题意可知，获知此信息的人数成首项2,11==q a 的等比数列，则一天内获知此信息的人数为：242424122112S -==--．例3．在等比数列{}n a 中166n a a +=，21128n a a -=，126n S =，求n 和q 解：∵{}n a 是等比数列∴211128n n a a a a -==， 又∵166n a a +=，∴1642n a a =⎧⎨=⎩或1264n a a =⎧⎨=⎩当1642n a a =⎧⎨=⎩时6421261q q -=-得12q = ∴6n = 当1264n a a =⎧⎨=⎩时2641261q q -=-得2q = ∴6n =．例4．设数列1()n n a a -=-(0)a ≠，求这个数列的前n 项和。
等比数列求和公式及性质
上升高度的80%.这个热气球上升的高度能超过125m吗？
解 用an表示热气球在第n分钟上升的高度，由题意，
得
an+1=4/5an
因此，数列{an}是首项a1=25,公比q=4/5的等比数列
热气球在n分时间里上升的总高度
Sn a1a2an a1(11qqn)1251(5 4)n125 答这个热气球不 上可 升能 的 12超 m 高 5. 过 度
比数列 SN
r 2 1
1
1 4
1 4
2
1 4
n1
3 6
a
2
1
1
1 4 1 4
n
4 a2
3 12
1
1
n
4
a 2 1 9
1 4n
第二十三页，本课件共有29页
练习3：一个等比数列的第3项与第4项分别是12 与18，求它的第1项与第2项
a q 解：设这个等比数列的第1项是 1 ，公比是 ，那么
(n≥2)
通项公式
等差（等比） 中项 下标和公式
Sn
an=a1+(n-1)d an=am+(n-m)d
ab A= 2
an=a1·qn-1(q≠0) an=am·qn-m
G= a b
若m+n=p+q,则 若m+n=p+q,则
am+an=ap+aq
aman=apaq
Sn=
(a1
an 2
)n
Sn
na1
n(n1)d 2
？
第二页，本课件共有29页
问题提出
小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月（30天）中小明 第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前 一天多贷1万元.而小林按这样方式还贷：第一天支付1分钱，第二 天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍， 試计算30天后两人各得的钱数.
2019-2020新学练考数学同步必修5北师大：第一章 数 列-3.2 第1课时 等比数列的前n项和
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第一章 数 列
判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1) 求 等 比 数 列 {an} 的 前 n 项 和 时 ， 可 直 接 套 用 公 式 Sn ＝ a1（11－－qqn）来求．( × ) (2)首项为 a 的数列既是等差数列又是等比数列，则其前 n 项和 为 Sn＝na.( √ ) (3)等比数列{an}的首项为 1，a4＝8，则前 5 项和为 31.( √ )
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第一章 数 列
3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下
问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，
请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏灯，且
相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共
有灯( )
A．1 盏
B．3 盏
C．5 盏
D．9 盏
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第一章 数 列
1．数列{2n－1}的前 99 项和为( )
A．2100－1
B．1－2100
C．299－1
D．1－299
解析：选 C.数列{2n－1}为等比数列，首项为 1，公比为 2，故其 前 99 项和为 S99＝11－－2299＝299－1.
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第一章 数 列
2．已知数列{an}满足 3an＋1＋an＝0，a2＝－43，则{an}的前 10
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第一章 数 列
等比数列前 n 项和性质的应用 (1)等比数列前 n 项和为 Sn(且 Sn≠0)，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 仍成等比数列，其公比为 qn(q≠－1)． (2)若项数为 2n，则SS偶 奇＝q(S 奇≠0)；若项数为 2n＋1，则S奇S－偶 a1 ＝q(S 偶≠0).
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梳理
a1 当公比q≠1时，设A＝ q－1 ，等比数列的前n项和公式是Sn＝A(qn－1).
当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝na1，Sn是n的正比例函数.
知识点二
等比数列前n项和的性质
思考
若等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn ，则 Sn ， S2n － Sn ， S3n － S2n 成 等比数列吗？ 答案
知识点三
错位相减法
思考
在上一节，我们是如何求公比不为1的等比数列{an}的前n项 和Sn＝a1＋a2＋„＋an的？ 答案 在等式两端乘以公比，两式会出现大量的公共项，通过相减
消去即可.
梳理
如果数列{an}是等差数列，{bn}是公比不为1的等比数列，求数列{anbn} 的前n项和时，一般使用如下方法： Sn＝a1b1＋a2b2＋„＋anbn， qSn＝a1b1q＋a2b2q＋„＋anbnq ＝a1b2＋a2b3＋„＋anbn＋1， anbn＋1 ＝a1b1＋d(b2＋b3＋„＋bn)－anbn＋1 ② ①－②得 (1 － q)Sn ＝ a1b1 ＋ (a2 － a1)b2 ＋ (a3 － a2)b3 ＋ „ ＋ (an － an － 1)bn － ①
答案 解析
则数列{an}
A.一定是等差数列
B.一定是等比数列
C.是等差数列或等比数列
D.既非等差数列，也非等比数列
反思与感悟
n＝1， S1， (1)已知 Sn，通过 an＝ 求通项 an，应特别注意 n≥2 Sn－Sn－1，n≥2
时，an＝Sn－Sn－1.
(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}
126 是以1为首项，2为公比的等比数列，则 ba＋ ba＋ ba＋„＋ ba ＝____. 1 2 3 6
答案 解析
b1 qan 1 1 an 1 an ∵ ＝ ＝ ＝2， q an 1 ba，公比为 2 的等比数列.
n
b21－26 ∴ ba ＋ ba ＋„＋ ba ＝ ＝27－2＝126. 1 2 6 1－2
梳理
等比数列{an}前n项和的三个常用性质
(1)数列{an}为公比不为－1的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，
S3n－S2n仍构成等比数列.
(2)若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋).
(3)若{an}是公比为 q 的等比数列，S 偶，S 奇分别是数列的偶数项和与奇 S偶 数项和，则①在其前 2n 项中， ＝q； S奇 ②在其前 2n＋1 项中，S 奇－S 偶＝a1－a2＋a3－a4＋„－a2n＋a2n＋1＝ a1＋a2n＋1q a1＋a2n＋2 ＝ (q≠－1). 1－－q 1＋q
是等比数列.
1 －3 跟踪训练1 若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝____.
答案 解析
显然 q≠1，此时应有 Sn＝A(qn－1)， 1 n 1 又 Sn＝3· 3 ＋t，∴t＝－3.
类型二
等比数列前n项和的性质
命题角度1 连续n项之和问题 例2 已知等比数列前n项，前2n项，前3n项的和分别为Sn，S2n，S3n，
类型三
错位相减法求和
例4 求数列{ nn}的前n项和. 解答 2
反思与感悟
一般地，如果数列 {an} 是等差数列， {bn} 是等比数列，求数列 {anbn} 的 前n项和时，可采用错位相减法.
跟踪训练4 求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋„＋nxn (x≠0). 解答
当堂训练
1.一个七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的 2倍，一共点 381盏灯，则底层所点灯的盏数是 A.190 C.192 √
答案 解析
B.191 D.193
1 设最底层灯的盏数为 a1，则公比 q＝2，n＝7， 1 a11－27 由 ＝ 381 ，解得 a 1＝192. 1 1－2
1 2 3 4
2.已知等比数列{an}的前n项和为Sn
1 A.3
1 n － 1 ＝x· 3 － ，则x的值为 6
答案
解析
1 B.－3 1 D.－2
√
1 C.2
1
2
3
4
3.一个等比数列的前7项和为48，前14项和为60，则前21项和为 A.180 C.75
答案 解析
B.108 D.63 √
由题意得 S7 ， S14 － S7 ， S21 － S14 组成等比数列 48,12,3 ，即 S21 － S14 ＝ 3 ， ∴S21＝63.
第一章 数列
§3.2 等比数列的前n项和(二)
学习目标
1.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题. 2.会用错位相减法求和.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
等比数列前n项和公式的函数特征
思考
若数列{an}的前n项和Sn＝2n－1，那么数列{an}是不是等比数列？ 若数列{an}的前n项和Sn＝2n＋1－1呢？ 答案
b21－qn－1 ＝a1b1＋d －anbn＋1， 1 －q a1b1－anbn＋1 b21－qn－1 ∴Sn＝ ＋d 2 . 1－q 1－q 上述方法称为“错位相减法”.
题型探究
类型一
等比数列前n项和公式的函数特征应用
例1
已知数列{an}的前n项和Sn＝an－1(a是不为零且不等于1的常数)，
证明
2 求证：S2 ＋ S n 2n ＝Sn(S2n＋S3n).
反思与感悟
处理等比数列前 n 项和有关问题的常用方法： (1) 运用等比数列的前 n 项
和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通
常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有
关性质.
跟踪训练2 在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解答
命题角度2 不连续n项之和问题
例3 A.－3 C.3
答案
a1＋a3＋a5＋a7 1 已知等比数列{an}的公比 q＝－3，则 等于 a2＋a4＋a6＋a8 1 B.－3 1 D.3
解析
反思与感悟
注意观察序号之间的联系，发现解题契机；整体思想能使问题解决过程 变得简洁明快.
跟踪训练3
设数列{an}是以2为首项，1为公差的等差数列；数列{bn}