勾股定理运用2
第二讲：勾股定理的运用
勾股定理的运用一、梯子问题【典型例题】例1 如图1-1，一个梯子AB长5米，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯子下端B与墙角C的距离为3米，梯子沿墙滑动后停在DE的位置上，如图1-2所示，测得BD长为1米，求梯子顶端A下落了多少米？二、两点间的距离问题例2 如图，长方体的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，点B离点C5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？例3-1 机场入口的铭牌上说明，飞机的行李架是一个56cm ×36cm ×23cm 的长方体空间。
一位旅客携带一件长60cm 的画卷，这件画卷能放入行李架吗？例3-2 如图，有一长、宽、高分别为5cm ，4cm ，3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、形变忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（ ） A ．cm 41 B ．cm 34 C ．cm 25 D ．cm 35【典型例题】例4 一艘轮船以32海里/时的速度离开港口向东南方向航行，另一艘轮船在同时同地以24海里/时的速度向西南方向航行，则一个小时后两船相距多远？例5 某货船以20海里/时的速度将一批重要物资由A 处运往正西方向的B 处，经16小时到达，到达后必须立即卸货，此时，接到气象部门通知，一台风中心正以40海里/时的速度由A 向北偏西 60方向移动，距台风中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到台风影响。
（1）问：B 处是否会受到台风的影响？请说明理由。
（2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸完货物？（结果精确到0.1小时）* 例6 阅读材料并解答问题：我国是最早了解和应用勾股定理的国家之一，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用，古希腊数学家毕达哥拉斯首先证明了勾股定理，在西方勾股定理又称为“毕达哥拉斯定理”。
关于勾股定理的研究还有一个很重要的内容是勾股数组，在课本中我们已经了解到，“能够成为直角三角形三条边的三个正整数称为勾股数”。
勾股定理的应用
勾股定理的应用勾股定理作为数学中著名的定理之一，广泛应用于各个领域。
它是数学中的基础定理之一，也是几何学中三角形研究的重要工具。
本文将从几个应用角度介绍勾股定理在实际生活中的运用。
一、建筑工程中的应用勾股定理在建筑工程中有着广泛的应用。
举个例子，我们在修建某一斜坡时，需要确定其坡度，勾股定理可以帮助我们准确计算出坡度。
此外，在设计斜面道路、楼梯等结构时，勾股定理也能帮助我们确保结构的稳定与安全。
二、航海导航中的应用在航海导航中，勾股定理被广泛用于测量船只的航向和航速。
通过测量船只相对于岸上两个点的距离，结合勾股定理可以计算出船只的位移和速度，为航海者提供准确的导航信息。
三、地理测量中的应用在地理测量中，勾股定理被用于测量两个相隔较远的地点之间的距离。
通过在地面上进行三角测量，即测量两个点与另一个点的夹角以及距离，再利用勾股定理求解，可以得到精确的距离数据，为地理测量和地图绘制提供重要支持。
四、天文学中的应用在天文学中，勾股定理被用于测量遥远星体之间的距离和角度。
天文学家通过观测星体的位置和角度，结合勾股定理的计算方法，可以确定天体的距离和大小，进而推断宇宙的形态和结构。
五、计算机图形学中的应用计算机图形学中，勾股定理被广泛应用于图形处理和渲染。
图形引擎通过勾股定理来计算线段的长度、图形的形状和倾斜度等信息，为计算机生成的图像提供基础数学支持。
综上所述，勾股定理作为数学中一项重要的基础定理，在实际生活中有着广泛的应用。
它在建筑工程、航海导航、地理测量、天文学和计算机图形学等领域中都起着重要的作用。
通过勾股定理的运用，我们可以提高工作效率，确保工程安全，促进科学发展。
因此，深入理解和应用勾股定理对我们的日常生活和社会发展都具有重要意义。
勾股定理的运用
勾股定理的运用勾股定理是数学中的重要定理之一，被广泛运用于各个领域。
本文将从几个方面介绍勾股定理的运用。
一、勾股定理的基本概念勾股定理是指直角三角形中，直角边平方的和等于斜边平方。
即a+b=c，其中a、b为直角边，c为斜边。
勾股定理是数学中的基础定理之一，它不仅是数学学科中的重要内容，还广泛地应用于各个领域，如物理、化学、工程、金融等。
二、勾股定理在物理中的应用勾股定理在物理学中应用广泛，特别是在力学、电学和光学等领域。
在力学中，勾股定理可用于计算物体的速度、加速度、力等。
例如，当一个物体沿着斜面下滑时，可以使用勾股定理计算物体的速度和加速度。
在电学中，勾股定理可用于计算电路中的电阻、电容和电感等。
例如，当电路中有一个直角三角形的电容器时，可以使用勾股定理计算电容器的电容量。
在光学中，勾股定理可用于计算镜头的焦距。
例如，当一个光线通过一个凸透镜时，可以使用勾股定理计算镜头的焦距。
三、勾股定理在工程中的应用勾股定理在工程中也有广泛的应用。
特别是在建筑、航空航天、机械等领域。
在建筑中，勾股定理可用于计算建筑物的高度和长度。
例如，当建筑物的墙角为直角时，可以使用勾股定理计算建筑物的高度和长度。
在航空航天中，勾股定理可用于计算飞机的速度和高度。
例如，当飞机以一定的速度和高度飞行时，可以使用勾股定理计算飞机的速度和高度。
在机械中，勾股定理可用于计算机械的力和速度。
例如，当机械设备中有一个直角三角形的零件时，可以使用勾股定理计算零件的力和速度。
四、勾股定理在金融中的应用勾股定理在金融中的应用也很广泛。
特别是在投资、财务和保险等领域。
在投资中，勾股定理可用于计算投资的回报率和风险。
例如，当投资的回报率和风险呈直角三角形时，可以使用勾股定理计算投资的回报率和风险。
在财务中，勾股定理可用于计算财务报表的比率和比重。
例如，当财务报表中的比率和比重呈直角三角形时，可以使用勾股定理计算财务报表的比率和比重。
在保险中，勾股定理可用于计算保险的赔偿和风险。
数学人教版八年级下册勾股定理的应用(2)——作图
学习目标：1．能用勾股定理直角三角形全等的“斜边、直角边”判定定理。
2．能应用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点。
3．体会勾股定理在数学中的地位和作用。
学习重点：用勾股定理作出长度为无理数的线段。
教学活动流程活动1：复习孕新，引入课题1.回顾勾股定理，并以针对性练习为画作铺垫；（2）用“数学海螺”图创设情境并导入新课，明确学习目标。
活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作辅助演示活动3：课件动画演示作图演示的两种作法以及“数学海螺”的作法.活动4：动手实践，会“数形互变”以前面的练习题为作图思路导向，以课件演示类比模仿，教师演示规范作图，学生会作图也会求点.活动5：当堂检测教材第27页习题活动6：拓展应用，服务生活1.用无刻度的直尺在网格上按要求画含无理数线段的三角形；（2）求蚂蚁沿圆柱表面爬行的最短路径。
活动7：小结梳理数轴图——网格图——展开图；实际问题——数学问题——建模活动8：布置作业教学过程活动1：复习孕新，引入课题1.问题（1）勾股定理的内容是什么？怎样求斜边长c或直角边长a、b？（2）求以线段a、b为直角边的直角三角形的斜边长。
a=1 b=1 (c=)a=1 b= (c=)a=2 b=3 (c=)设计意图：在复习的基础上为新课画无理数线段作铺垫，实现知识正迁移。
（3）如果直角三角形ABC的两边长分别为3和4，求第三边长。
设计意图：第三边应考虑为直角边或斜边，渗透分类讨论思想。
2.课件展示“数学海螺”图片并明确学习目标设计意图：创设情境并明确本节课学习任务。
活动2：运用勾股定理证明（HL）用三角板作演示，并要求画图并写出已知、求证并证明，利用勾股定理求得第三边长，再利用（SSS）或（SAS）可证得。
活动3：课件动画演示作图1.对比的两种作法，明确当直角边为正整数时作图方便，并引导学生如何规范作图。
2.“数学海螺”的作法活动4：动手实践，会“数形互变”1.在数轴上画出表示的点，的点呢？2.求点A在数轴上表示的点（1-）设计意图：以练习为画的思路导向，以活动3为类比模仿会作图也会求点，实现数形互变，以“数”化“形”，以“形”变“数”，渗透数形结合思想。
江苏省丹阳市第三中学八年级数学苏科版上册3.3.勾股定理的简单应用(2)教案
主备：蔡辉审核：管华敏编号：80305班级姓名备课组长签名【学习目标】1.能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题。
2.在运用勾股定理解决实际问题的过程中，感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值。
【课前预习】△若△ABC的三边a、b、c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c，试判断△ABC的形状。
【学习过程】例1.如图，在△ABC中，AB=26，BC=20，BC边上的中线AD=24，求AC.例2.在△ABC中， AB=15，AD=12，BD=9,AC=13,求△ABC的周长和面积。
△例3.如图，一个高20m，周长10m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？(建议：拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙)【当堂训练】1. 已知：如图①，在Rt △ABC 中，两直角边AC 、BC 的长分别为6和8，现将直角边AC 沿AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于 （ ）A.2B.3C.4D.52.将上题中的Rt △ABC 折叠，使点B 与A 重合，折痕为DE （如图②），则CD 的长为 （ ）A.1.50B.1.75C.1.95D.以上都不对3.一条河的宽度处处相等，小强想从河的南岸横游到北岸去，由于水流影响，小强上岸地点偏离目标地点200m ，他在水中实际游了520m ，那么该河的宽度为 （ ）A.440 mB.460 mC.480 mD. 500 m4.已知一个直角三角形的两直角边长分别为5和12，则其周长为______________.5.旗杆上的绳子垂到地面还多出1m ，如果把绳子的下端拉开距旗杆底部5m 后，绷紧的绳子的末端刚好接触地面，则旗杆的高度为___________m.6.一架5m 长的梯子靠在一面墙上，梯子的底部离建筑物3m ，若梯子底部滑开1m ，则梯子顶部下滑的距离是___________.7.如图，已知：在Rt △ABC 中，∠ACB=90º，AC=12，BC=5，AM=AC ，BN=BC 。
勾股定理应用
一、勾股定理的逆定理：1. 逆定理：如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状。
在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角。
二. 实际应用定理中的注意问题：1、定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边2、勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形三、勾股定理逆定理的几种典型应用：例题1如图，△ABC 中，AB=15，AC=8，AD 是中线，且AD=8.5，则BC的长为（ ）A ．15 B ．16 C ．17 D ．18例题2 勾股定理是几何中的一个重要定理．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入矩形内得到的，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，则D ，E ，F ，G ，H ，I 都在长方形KLMJ 的边上，则长方形KLMJ 的面积为（ ）A ．50B ．52C ．54D ．56利用勾股定理计算角度实例：如图，点E 是正方形ABCD 内的一点，连接AE 、BE 、CE ，将△ABE 绕点B 顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C= 度．开放性试题发挥主观能动性，答案不唯一。
勾股定理在生活中的运用——数学勾股定理应用教案
勾股定理在生活中的运用——数学勾股定理应用教案。
一、勾股定理在生活中的应用1.测量直角三角形的边长勾股定理可以用于测量一个直角三角形的边长。
取三角形的两条直角边为a和b，斜边长度为c。
根据勾股定理，有a²+b²=c²。
如果已知a和b的长度，可以通过勾股定理计算出斜边的长度，如果已知a 和c或者b和c的长度，也可以利用勾股定理计算出另一边的长度。
这个应用非常广泛，无论是建筑、土木工程，还是日常生活中用于测量，勾股定理都有着不可替代的作用。
2.判断角度大小在三角函数中，角度的大小很重要。
而勾股定理可以用于计算一个角度的大小。
根据勾股定理，a²+b²=c²，可以得到三角形中任意一个角的正弦、余弦、正切值。
在数学的科学研究中，这个应用也非常广泛，特别是对于现代科学、工程和技术的研究，这个应用有着很重要的意义。
3.设计三角形的家具和工具当设计三角形的家具和工具时，勾股定理是非常有用的。
例如，如果需要设计一个墙角柜，可以使用勾股定理测量角度。
同样的，如果需要设计一个三角梳妆台，也可以使用勾股定理来测量角度大小。
4.数学课堂教学教授勾股定理是数学教育中的一个重要部分。
勾股定理是中学数学中的一个基本概念，高中阶段的数学教育中也会涉及到勾股定理的相关理论，其中包括证明以及数学运用。
在教授勾股定理时，老师可以通过生活实例让学生更好地理解它的实际应用。
二、教授勾股定理的方法1.理论教学在进行理论教学时，老师应该注重理论的系统性和逐步性。
要让学生领会勾股定理的核心理念，关注证明过程和推导过程，让学生了解勾股三角形的性质，懂得勾股定理从何而来，以及如何在实际生活中应用。
2.图像教学图象教学是另一种教授勾股定理的方法。
通过绘制三角形和斜边，将图像和实际应用结合起来，让学生可以更好地理解和记忆勾股定理的实际应用。
在绘制三角形和斜边时，要注重教授如何标注三角形中的角度、边长等重要信息。
勾股定理的应用
∵0.8×11=8.8(cm),8.82=77.44>74,
∴蚂蚁能在11 s内吃到食物.
作业：
《全品》第8,9页.
上底面的点B处,它爬行的最短路线是(注:P是SR的中点)
( C ).
A.A→R→B
B.A→Q→B
C.A→P→B
D.A→S→B
当堂检测
2.如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5
cm,若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达
点Q,则蚂蚁爬行的最短路程为 13 cm.
当堂检测
3.如图是一个长方体,它的长、宽、高分别为5 cm,3
B
1
AB32=26
B2
2
2
A
AB12=18
1
3
2
B3
1
变式练习
2.一个无盖的长方形盒子的长、宽、高分别
是8cm，8cm，12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬
到盒顶的B点，你能帮蚂蚁设计一条最短的路线
吗？蚂蚁要爬行的最短行程是多少？
B
B
8
12
12
A
A
8
8
8
巩固提高：
1.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，
它怎么走最近？并求出最近距离。
20
B
3
2
A
AB 15 20 625 25
2
2
2
2
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
1、根据题意正确画出图形.
2、弄清题中直角三角形及线段关系.
3、根据勾股定理求未知量,或恰当设
未知量，建立方程来求解.
当堂检测
1、如图,一只蚂蚁从正方体的底面点A处沿着表面爬行到
勾股定理的应用(3种题型)
第03讲勾股定理的应用（3种题型）【知识梳理】一．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．二．平面展开-最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．【考点剖析】题型一．勾股定理的实际应用例1．如图，一棵树从3m处折断了，树顶端离树底端距离4m，那么这棵树原来的高度是() A．8m B．5m C．9m D．7m【变式】如图在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1m，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5m，由此可计算出学校旗杆的高度是()A．8m B．10m C．12m D．15m例2．如图，一个直径为20cm的杯子，在它的正中间竖直放一根小木棍，木棍露出杯子外2cm，当木棍倒向杯壁时（木棍底端不动），木棍顶端正好触到杯口，求木棍长度．【变式】小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆上的绳子垂到地面还多了1m，当他把绳子的下端拉开5m后，发现下端刚好接触地面，求旗杆的高．题型二．平面展开-最短路径问题例3．如图，长方体的底面边长是1cm和3cm，高是6cm，如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B，那么用细线最短需要（）A．12cm B．10cm C．13cm D．11cm例4．一个上底和下底都是等边三角形的盒子，等边三角形的高为70cm，盒子的高为240cm，M为AB的中点，在M处有一只飞蛾要飞到E处，它的最短行程多少？【变式】如图①，有一个圆柱，它的高等于12cm，底面半径等于3cm，在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点的食物，需要爬行的最短路程是多少?(π取3)题型三：勾股定理中的折叠问题例5．如图，矩形纸片ABCD中，4AB=，3AD=，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，折痕为DG，则AG的长为()A．1B．43C．32D．2【变式】如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上F点处，已知3CE cm=，8AB cm=，求图中阴影部分的面积．【过关检测】一．选择题1．如图，在水池的正中央有一根芦苇，池底长10尺，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面则这根芦苇的长度是（）A．10尺B．11尺C．12尺D．13尺2．如图，已知圆柱底面的周长为12cm，圆柱高为8cm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．10cm B．20cm C．cm D．100cm3．如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面1.5米，则小巷的宽度为（）A．0.8米B．2米C．2.2米D．2.7米4．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽30cm，长50cm，一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是（）A．10B．50C．120D．1305．如图，圆柱的高为8cm，底面半径为2cm，在圆柱下底面的A点处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知四边形ADBC的边AD、BC恰好是上、下底面的直径，问：蚂蚁吃到食物爬行的最短距离是cm．（π取3）6．《九章算术》中的“引葭赴岸”问题：今有池方一丈，葭（一种芦苇类植物）生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？其大意是：有一个边长为10尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面1尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边（如图所示），则水深________尺．7．《九章算术》是我国古代一部著名的数学专著，其中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，未折抵地，去本三尺，问折者高几何？其意思是：有一根与地面垂直且高一丈的竹子(1丈10尺），现被大风折断成两截，尖端落在地面上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的距离为．8．《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB＝90°，AC+AB ＝10，BC＝4，求AC的长．9．如图，一架25米长的梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，梯子底端B离墙AO有7米．（1）求梯子靠墙的顶端A距地面有多少米？（2）小燕说“如果梯子的顶端A沿墙下滑了4米，那么梯子的底端B在水平方向就滑动了4米．”她的说法正确吗？若不正确，请说明理由．10．已知某开发区有一块四边形的空地ABCD，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量∠A＝90°，AB＝3m，BC＝12m，CD＝13m，DA＝4m，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？11．我国古代的数学名著《九章算术》中记载“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺．问：折者高几何？”译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹子根部3尺远．问：尺）原处还有多高的竹子？（1丈1012．如图，一个梯子AB，顶端A靠在墙AC上，这是梯子的顶端距地面的垂直高度为24米，若梯子的顶端下滑4米，底端将水平滑动了8米，求滑动前梯子底端与墙的距离CB是多少？13．（2022春•蜀山区期中）在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台A，利用旗杆顶部的绳索，划过90°到达与高台A水平距离为17米，高为3米的矮台B，（1）求高台A比矮台B高多少米？（2）求旗杆的高度OM；（3）玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度MN．14．如图，四边形ABCD是舞蹈训练场地，要在场地上铺上草坪网．经过测量得知：∠B＝90°，AB＝24m，BC ＝7m，CD＝15m，AD＝20m．（1）判断∠D是不是直角，并说明理由；（2）求四边形ABCD需要铺的草坪网的面积．15．如图，A，B两村在河L的同侧，A，B到河L的距离分别为1.5km和2km，AB＝1.3km，现要在河边建一供水厂，同时向A，B 1.8万元，问水厂与A村的水平距离为多远时，能使铺设费用最省，并求出总费用约多少万元．。
初中数学：勾股定理的妙用
初中数学：勾股定理的妙用勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它是指直角三角形中，直角边的平方等于另外两条边的平方和。
在数学教学中，勾股定理被广泛运用于解决各种几何问题，同时也可以应用于实际生活中的测量和计算中。
本文将探讨勾股定理在数学学习和实际应用中的妙用之处。
### 勾股定理的基本原理勾股定理是古希腊数学家毕达哥拉斯在公元前6世纪发现的，它的基本原理可以用数学表达式表示为：设直角三角形的两条直角边长分别为a、b，斜边长为c，则有a² + b² = c²。
这个简单而优美的定理为解决各种三角形问题提供了重要的数学工具。
### 勾股定理的证明勾股定理的证明有多种方法，其中最著名的是几何证明和代数证明。
几何证明是通过构造几何图形来证明定理的正确性，而代数证明则是通过代数运算和方程推导来证明。
无论采用哪种方法，勾股定理的证明都是数学学习中的重要内容，可以帮助学生加深对定理的理解和运用。
### 勾股定理在三角形计算中的应用在数学学习中，勾股定理常常被用于解决各种三角形的边长和角度计算问题。
通过勾股定理，我们可以求解未知边长或角度，进而推导出三角形的各种性质。
例如，已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3和4，求斜边长；或者已知一个三角形的三个顶点坐标，判断是否为直角三角形等等。
勾股定理的运用使得三角形计算更加简便和高效。
### 勾股定理在实际生活中的应用除了在数学学习中的应用，勾股定理在实际生活中也有着广泛的运用。
例如，在建筑工程中，勾股定理可以帮助工程师计算建筑物的结构稳定性和尺寸比例；在地理测量中，勾股定理可以用于测量地表距离和角度；在导航系统中，勾股定理可以帮助确定航行方向和距离等。
勾股定理的实际应用丰富多彩，为我们的生活和工作提供了便利。
### 总结勾股定理作为数学中的经典定理，不仅在数学学习中有着重要的地位，而且在实际生活中也有着广泛的应用。
通过深入理解和灵活运用勾股定理，我们可以更好地解决各种数学问题和实际应用中的计算需求，为自己的学习和工作带来更多的便利和效率。
2勾股定理2(经典题型)
（7）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=8，则BC边上的中线AD的长为。
3、解答：
（1）如图是水上乐园的一滑梯，AD=AB，若高BC=4cm，CD=2cm ,求滑道AD的长。
（2）A、B、C、D四个住宅小区位置如图所示，已知：AB=0.5km，AD=1.2km，CD=0.9km，现要建一个公交总站，使它到四个小区路程和最短，
(2). 求证：
11、小明想测量学校旗杆的高度，他采用如下的方法：先降旗
杆上的绳子接长一些，让它垂到地面还多1米，然后将绳子
下端拉直，使它刚好接触地面，测得绳下端离旗杆底部5米，
你能帮它计算一下旗杆的高度．
12、有一只鸟在一棵高4米的小树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12米，高20米的一棵大树的树梢上发出友好的叫声，它立刻以4米/秒的速度飞向大树树梢．那么这只鸟至少几秒才能到达大树和伙伴在一起．
6、已知：如图2-7所示，△ABC中，D是AB的中点，若AC=12，BC=5，CD=6．5。
求证：△ABC是直角三角形．
7、如右图，壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐，沿一条螺旋路线，从背后对害虫进行突然袭击．结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫?
课堂训练
1、如图，已知：△ABC中，∠C=90°，点D是AC上的任意一点，
请判断AB2+CD2与AC2+BD2的大小关系。
2、如图，已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，CB=CD，
八年级数学下册 勾股定理应用第二课时的类型题 人教版
勾股定理应用第二课时的类型题知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。
（2）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。
（3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2，c2=(a+b)2-2ab知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。
图（1）中，所以。
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形。
图（2）中，所以。
方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图（3）—1和（3）—2所示的两个形状相同的正方形。
在（3）—1中，甲的面积=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,在（3）—2中，乙和丙的面积和=（大正方形面积）—（4个直角三角形面积）,所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：.方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。
，所以。
知识点三：勾股定理的作用1．已知直角三角形的两条边长求第三边；2．已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3．用于证明平方关系的问题；4．利用勾股定理，作出长为的线段。
2. 在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形。
熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤10、24、26；⑥9、40、41．如果(a,b,c)是勾股数，当t>0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。
经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路点拨:写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。
初中数学：勾股定理的妙用
初中数学：勾股定理的妙用勾股定理是几何学中的一个基本定理，也被称为毕达哥拉斯定理。
它是平面直角三角形中最为重要的关系之一，揭示了直角三角形的三条边之间的关系。
在初中阶段，学生们通常会接触这一概念。
在这篇文章中，我们将深入探讨勾股定理的定义、公式、简单推导方法以及实际应用。
让我们一起揭开勾股定理的神秘面纱，发现其在生活和学习中的多种妙用。
勾股定理的定义与公式勾股定理具体可以表述为：在一个直角三角形中，直角所对的边（即斜边）的平方等于另外两条边（即直角边）的平方和。
用数学公式表示为：[ c^2 = a^2 + b^2 ]其中，( c ) 是斜边的长度，( a ) 和 ( b ) 是直角边的长度。
勾股定理的推导虽然在初中阶段通常不要求学生进行深刻的数学推导，但理解其推导过程有助于加深对定理本质的理解。
以下为一种简单的推导方式：构造一个正方形设直角三角形的两条直角边为 ( a ) 和 ( b )，斜边为 ( c )。
考虑一个以 ( c ) 为边长的大正方形，其面积为 ( c^2 )。
填充小正方形在大正方形内，可以构造出四个与原三角形相同的直角三角形，构成一个小正方形。
小正方形每条边的长度均为 ( a ) 和 ( b )，其面积为 ( (a+b)^2 )。
面积关系大正方形的面积等于四个小三角形面积之和加上小正方形的面积，因此有： [ c^2 = 4(ab) + (a-b)^2 ] 简化后可得 ( c^2 = a^2 +b^2 )，从而完成对勾股定理的推导。
勾股定理在日常生活中的应用勾股定理不仅理论上有重要意义，在现实生活中也有广泛应用。
以下是一些实例：建筑与施工在建筑施工过程中，为确保墙体、门窗、楼梯等设施的垂直或水平方向，工人常使用勾股定理来测量。
例如，要确保一堵墙是直角，可以测量基座的一边和另一边，并应用勾股定理来判断。
地理测量在地图测绘时，如果我们知道两个地点之间的直线距离和其中一个地点到水平方向（东或西或南或北）的远近，可以利用勾股定理计算出另一个地点的位置。
八年级数学勾股定理的逆定理课件-应用
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
(2)在图2中，画一个三边长分别为3，2， 13的三角形，一共可以画 16 个这样的三角形. 解析:如图2,一共可以画16个这样的三角形.
图2
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
10.在某小区在社区工作人员及社区居民的共同努力之下，
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
8.如图，明明在距离水面高度为5 m的岸边C处，用绳子拉船 靠岸，开始时绳子BC的长为13 m.若明明收绳6 m后，船到 达D处，则船向岸边A处移动了多少米?
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
解:∵开始时绳子BC的长为13 m,明明收绳6 m后,船到达D处,
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
知识点 勾股定理逆定理的应用 【例题】如图，甲船以5海里/时的速度离开港口O沿南偏东 30°方向航行，乙船同时同地沿某方向以12海里/时的速度 航行.已知它们离开港口2小时后分别到达B，A两点，且AB ＝26海里.你知道乙船是沿哪个方向航行的吗?
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目 录
CONTENTS
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第2课时勾股定理的逆定 理(二) —— 应用
第十七章 勾股定理
17.2 勾股定理的逆定理 第2课时勾股定理的逆定理(二) —— 应用
01 课标要求
02 基础梳理
03 典例探究
04 课时训练
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勾股定理20种证明方法
勾股定理20种证明方法勾股定理是中国古代数学中的一个重要定理，也被称为勾股三角形定理，它是指直角三角形中，直角边的平方等于两直角边的平方和。
勾股定理的发现和证明有很多方法，下面我们来看看20种不同的证明方法。
1. 几何方法：这是最常见的证明方法，可以通过绘制直角三角形，然后运用几何知识来证明。
2. 代数方法：可以通过代数运算来证明，将直角三角形的三边长度表示为变量，然后通过代数运算得出结论。
3. 物理方法：可以利用物理学知识，比如平面几何法，来证明勾股定理。
4. 数学归纳法：可以运用数学归纳法来证明勾股定理，将直角三角形的边长依次递增，然后证明其中一个等式成立，推导出其他情况。
5. 解析几何法：可以通过解析几何的方法，利用坐标系和直线方程来证明勾股定理。
6. 函数法：可以通过函数图像和函数性质来证明勾股定理。
7. 同余定理方法：可以通过同余定理来证明勾股定理。
8. 三角函数方法：可以运用三角函数的性质和公式来证明勾股定理。
9. 相似三角形方法：可以通过相似三角形的性质来证明勾股定理。
10. 斜率方法：可以运用直线的斜率来证明勾股定理。
11. 反证法：可以通过反证法来证明勾股定理，假设直角三角形的三边不符合勾股定理，然后推导出矛盾。
12. 三角形面积法：可以通过计算直角三角形的面积来证明勾股定理。
13. 欧拉定理法：可以通过欧拉定理来证明勾股定理。
14. 空间几何法：可以将直角三角形的顶点放置在空间中，运用空间几何知识来证明勾股定理。
15. 弦与切线相交定理：可以利用弦与切线相交的性质来证明勾股定理。
16. 数列方法：可以通过构造数列，运用数列的性质来证明勾股定理。
17. 微积分方法：可以通过微积分的知识来证明勾股定理。
18. 统计方法：可以通过统计实验来证明勾股定理，比如通过大量的直角三角形数据验证勾股定理成立。
19. 推广方法：可以通过勾股定理的推广形式来证明勾股定理，比如勾股定理的逆定理。
20. 全等三角形法：可以通过全等三角形的性质来证明勾股定理。
02勾股定理的应用-教师版
教学辅导教案学生姓名年级八年级学科数学上课时间2017年月日教师姓名课题北师大版八上勾股定理应用1．若直角三角形两直角边的边长分别是5和12，则斜边上的高为（）A．6B．C．D．【解答】解：由勾股定理可得：斜边长2=52+122，则斜边长=13，直角三角形面积S=×5×12=×13×斜边的高，可得：斜边的高=．故选：B．2．如图，正方形ABCD的边长为1cm，以对角线AC为边长再作一个正方形，则正方形ACEF的面积是（）A．3cm2B．4cm2C．5cm2D．2cm2【解答】解：根据勾股定理AC2=2，∴正方形ACEF的面积=AC2=2，故选D．3．小华和小刚兄弟两个同时从家去同一所学校上学，速度都是每分钟走50米．小华从家到学校走直线用了10分钟，而小刚从家出发先去找小明再到学校（均走直线），小刚到小明家用了6分钟，小明家到学校用了8分钟，小刚上学走了个（）A．锐角弯B．钝角弯C．直角弯D．不能确定【解答】解：∴小华从家到学校走直线用了10分钟，速度是每分钟走50米，∴小华家到学校的直线距离=50×10=500（米）；∴小刚到小明家用了6分钟，∴小刚到小明家的距离=50×6=300（米）；∴小明家到学校用了8分钟，∴小明家到学校的距离=50×8=400（米）．第1页共16页∴3002+4002=5002，∴小刚上学走了个直角弯．故选C．4．下列说法中正确的有（）∴若∴A：∴B：∴C=1：1：2，则∴ABC是直角三角形；∴若∴A﹣∴B=∴C，则∴ABC是直角三角形；∴若三角形的三边分别为9、40、41，则∴ABC是直角三角形；∴若三角形的三边分别为2n、3n、4n，则∴ABC是直角三角形．A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：∴设∴A=x°，∴B=x°，∴C=2x°，∴∴A+∴B+∴C=180°，∴4x=180°，∴x=45，∴∴C=90°，∴∴ABC是直角三角形，∴∴正确；∴∴∴A﹣∴B=∴C，∴∴A=∴B+∴C，∴∴A+∴B+∴C=180°，∴2∴A=180°，∴∴A=90°，∴∴ABC是直角三角形，∴∴正确；∴∴92+402=412，∴∴ABC是直角三角形，∴∴正确；∴∴（2n）2+（3n）2≠（4n）2，∴∴ABC不是直角三角形，∴∴错误；即正确的有3个，故选C．5．已知在Rt∴ABC中，∴C=90°，∴若a=14，b=48，则c=50；∴若a=8，c=17，则b=15．【解答】解：∴若a=14，b=48，由勾股定理可得c===50；∴若a=8，c=17，由勾股定理可得b===15．6．图1中正方形A的面积是625，图2中正方形B的面积是144．【解答】解：根据勾股定理正方形A的面积=400+225=625；正方形B的面积=225﹣81=144．7．在Rt∴ABC中，∴C=90°，∴若a=5，b=12，则c=13；∴若a=15，c=25，则b=20；∴若c=61，b=60，则a=11；∴若a：b=3：4，c=10，则S Rt∴ABC=24．【解答】解：∴由勾股定理得：c===13，∴由勾股定理得：b===20，∴由勾股定理得：a===11，∴设a=3k，b=4k，∴由勾股定理得：c=5k，∴5k=10，∴k=2，∴a=3k=6，b=4k=8，∴S Rt∴ACB=ab=×6×8=24，故答案为：13，20，11，24．8．在∴ABC中，如果AC2+BC2=AB2，那么∴C=90°．【解答】解：在∴ABC中，如果AC2+BC2=AB2，那么AB是斜边，∴C=90°．故答案为∴C．9．如图，∴ABC中，AB=10，AC=17，BC=21，求∴ABC的面积．【解答】解：过点A作AD∴B C．设BD=x，则CD=21﹣x，在Rt∴ABD中，AD2=102﹣x2，在Rt∴ADC中，AD2=172﹣（21﹣x）2，∴102﹣x2=172﹣（21﹣x）2，100﹣x2=289﹣441+42x﹣x2，解得x=6，∴CD=15，在Rt∴ACD中，AD==8，∴∴ABC的面积=×BC•AD=×21×8=84．10．如图所示，如果只给你一把带有刻度的直尺，你是否能检验∴MPN是不是直角？简述你的作法，并说明理由．【解答】解：能检查．作法：如图所示，（1）在射线PM上量取P A=3cm，确定A点，在射线PN上量取PB=4cm，确定点B．（2）连接AB得∴P A B．（3）用刻度尺量取AB的长度，如果AB恰好等于5cm，则说明∴P是直角，否则∴P 就不是直角．理由：∴P A=3cm，PB=4cm，P A2+PB2=32+42=52．若AB=5cm，则P A2+PB2=AB2，根据勾股定理的逆定理可得∴P AB是直角三角形，即∴P是直角．1．在直角三角形中，若两直角边的长分别为3cm，4cm，则斜边长为_____________答案：5cm2．某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离了欲到达点B，结果离欲到达B点240米，已知他在水中游了510米，求该河的宽度（两岸可以近似看做平行）3．远洋”号，“海天”号轮船同时离开港口， “远航”号以每小时15海里的速度向东北方向航行，“海天”号以一定的速度向西北方向航行，2小时后，两船相距50海里，求“海天”号的速度？解：根据题意，得 PQ =15×2=30（海里），QR =50（海里）． ∴∴QPR =90∴PR 2=QR 2-QP 2， ∴PR =40(海里)．海天号的速度为40÷2=20（海里每小时）4．如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要___7___米.5．一只螳螂在一圆柱形松树树干的A 点处，发现它的正上方B 点有一只小虫子，螳螂想捕到这只虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它。
勾股定理应用(含解答)
勾股定理点击一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a 2＋b 2 = c 2． 即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长． 即c 2= a 2＋b 2，a 2= c 2－b 2，b 2= c 2－a 2． 点击二：学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．如，利用四个如图1所示的直角三角形三角形，拼出如图2所示的三个图形． 请读者证明．如上图示，在图（1）中，利用图1边长为a ，b ，c 的四个直角三角形拼成的一个以c 为边长的正方形，则图2（1）中的小正方形的边长为（b －a ），面积为（b －a ）2，四个直角三角形的面积为4×21ab = 2ab ．（图1）（2）（3）由图（1）可知，大正方形的面积 =四个直角三角形的面积＋小正方形的的面积，即c 2 =（b －a ）2＋2ab ，则a 2＋b 2 = c 2问题得证．请同学们自己证明图（2）、（3）． 点击三：在数轴上表示无理数将在数轴上表示无理数的问题转化为化长为无理数的线段长问题．第一步：利用勾股定理拆分出哪两条线段长的平方和等于所画线段（斜边）长的平方，注意一般其中一条线段的长是整数；第二步：以数轴原点为直角三角形斜边的顶点，构造直角三角形；第三步：以数轴原点圆心，以斜边长为半径画弧，即可在数轴上找到表示该无理数的点． 点击四：直角三角形边与面积的关系及应用直角三角形有许多属性，除边与边、边与角、角与角的关系外，边与面积也有内的联系.设a 、b 为直角三角形的两条直角边，c 为斜边，S ∆为面积，于是有：222()2a b a ab b +=++，222a b c +=，12442ab ab S ∆=⨯=，所以22()4a b c S ∆+=+.即221[()]4S a b c ∆=+-.也就是说，直角三角形的面积等于两直角边和的平方与斜边平方差的四分之一.利用该公式来计算直角三角形的有关面积、周长、斜边上的高等问题，显得十分简便.点击五：熟练掌握勾股定理的各种表达形式．如图2，在Rt ABC ∆中,90=∠C 0,∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c,则c 2=a 2+b 2, a 2=c 2-b 2 , b 2=c 2-a 2, 点击六：勾股定理的应用（1）已知直角三角形的两条边，求第三边； （2）已知直角三角形的一边，求另两条边的关系； （3）用于推导线段平方关系的问题等．（4）用勾股定理，在数轴上作出表示2、3、5的点，即作出长为n 的线段．类型之一：勾股定理例1：如果直角三角形的斜边与一条直角边的长分别是13cm 和5cm ，那么这个直角三角形的面积是 cm 2．解析：欲求直角三角形的面积，已知一直角三角形的斜边与一条直角边的长，则求得另一直角边的长即可． 根据勾股定理公式的变形，可求得．解：由勾股定理，得132－52=144，所以另一条直角边的长为12． 所以这个直角三角形的面积是21×12×5 = 30（cm 2）． 例2： 如图3(1),一只蚂蚁沿棱长为a 的正方体表面从顶点A 爬到 顶点B,则它走过的最短路程为( )A ．a 3B ．a )21(+C ．3aD ．a 5 解析:本题显然与例2属同种类型,思路相同．但正方体的 各棱长相等,因此只有一种展开图．解:将正方体侧面展开得,如图3⑵． 由图知AC=2a,BC=a ．根据勾股定理得.a 5a 5a )a 2(AB 222==+= 故选D ．类型之二：在数轴上表示无理数例3：在数轴上作出表示出两直角边的长度后即可在数轴上作出．解：3和1，所以需在数轴上找出两段分别长为3和1的线段，如图所示，然后即可确定斜边长，线段即可．∙ ∙AB C图3⑵∙ AB图3⑴下面的问题是关于数学大会会标设计与勾股定理知识的综合运用例5：阅读材料，第七届国际数学教育大会的会徽．它的主题图案是由一连串如图所示的直角三角形演化而成的．设其中的第一个直角三角形OA 1A 2是等腰三角形，且OA1=A 1A 2=A 2A 3=A 3A 4=……=A 8A 9=1，请你先把图中其它8条线段的长计算出来，填在下面的表格中，然后再计算这8条线段的长的乘积．解：2；3；2；5；6；7；22；3；这8条线段的长的乘积是7072例6：2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么()2b a +的值为（ ）（A ）13 （B ）19 （C ）25 （D ）169解析：由勾股定理，结合题意得a 2+b 2=13 ①. 由题意，得 (b-a)2=1 ②. 由②，得 a 2+b 2-2ab =1 ③. 把①代入③，得 13-2ab=1 ∴ 2ab=12.∴ (a+b)2= a 2+b 2+2ab =13+12=25. 因此，选C.说明：2002年8月20日~28日，我国在首都北京成功举办了第24届国际数学家大会. 这是在发展中国家举行的第一次国际数学家大会，也是多年来在我国举行的最重要的一次国际会议. 它标志着我国数学已度过了六百多年的低谷，进入了数学大国的行列，并向着新世纪成为数学强国迈开了步伐. 这次大会的会标如下图所示：它取材于我国三国时期（公元3世纪）赵爽所著的《勾股圆方图注》. 类型之四：勾股定理的应用（一）求边长例1：已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90º，AB＝5cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，求CD的长..（二）求面积例2：（1）观察图形思考并回答问题（图中每个小方格代表一个单位面积）①观察图1－1.正方形A中含有__________个小方格，即A的面积是__________个单位面积；正方形B中含有__________个小方格，即B的面积是__________个单位面积；正方形C中含有__________个小方格，即C的面积是__________个单位面积.②在图1－2中，正方形A，B，C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？③你能发现图1－1中三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系吗？图1－2中的呢？（2）做一做：①观察图1－3、图1－4，并填写下表：②三个正方形A，B，C的面积之间有什么关系？（3）议一议：①你能用三角形的边长表示正方形的面积吗？②你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？③分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度，②中的规律对这个三角形仍然成立吗？解析：注意到图中每个小方格代表一个单位面积，通过观察图形不能得到答案：①99 9 9 18 18；②A中含4个，B中含4个，C中含8个，面积分别为4，4，8；③A与B的面积之和等于C，图1－2中也是A与B的面积之和等于C.（2）①答案：②答案：.（3）答案：①设直角三角形三边长分别为a，b，c（如图）；②，.③成立.（三）作线段例3 作长为、、的线段．解析：作法：1．作直角边长为1（单位长）的等腰直角三角形ACB（如图）；2．以斜边AB为一直角边，作另一直角边长为1的直角三角形ABB1；3．顺次这样作下去，最后作到直角三角形AB2B3，这时斜边AB、AB1、AB2、AB3的长度就是、、、．证明：根据勾股定理，在Rt△ACB中，∵AB>0，∴AB=．其他同理可证．，、点评证明线段的平方差或和，常常要考虑到运用勾股定理；若无直角三角形，则可通过作垂线的方法，构成直角三角形，以便为运用勾股定理创造必要的条件.（五）实际应用例5：台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？解析 （1）由点A 作AD⊥BC 于D ， 则AD 就为城市A 距台风中心的最短距离 在Rt△ABD 中，∠B=30º，AB ＝220，∴AD=21AB=110.由题意知，当A 点距台风（12－4）20＝160（千米）时，将会受到台风影响． 故该城市会受到这次台风的影响．（2）由题意知，当A 点距台风中心不超过60千米时，将会受到台风的影响，则AE ＝AF ＝160．当台风中心从E 到F 处时， 该城市都会受到这次台风的影响.由勾股定理得∴EF＝2DE ＝6015.因为这次台风中心以15千米/时的速度移动，所以这次台风影响该城市的持续时间为154151560 小时. （3）当台风中心位于D 处时，A 城市所受这次台风的风力最大，其最大风力为12－20110＝6.5级．。
第3课时《勾股定理的运用(2)》
跟踪练习：
勾股定理的运用（2）
，
5.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点D，CD=2，AB=6．设AC=x，BC=y，求代数式 （x+y）2﹣3xy+2的值。
小结回顾
勾股定理是表示直角三角形三边之间的相等关 系，只有在两边确定的情形下，才可以直接利用公 式求第三边，但有时题目的条件，却不能满足这点 ，这时可以引入未知数，让未知数参与运算，最后 通过列方程或方程组求解。
初中数学 八年级(下册)
17.1
勾股定理的运用（2）
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知识回顾：
勾股定理
文字：在直角三角形中，两直角边的平方和等于
斜边的平方。
2 2 2
公式：a b c a、b表示直角边，c表示斜边
精讲精练：
勾股定理的运用（2）
例1：在△ABC中，若∠C=90°，c=39，b∶a=12∶5， 求△ABC的周长和面积。
精讲精练：
勾股定理的运用（2）
例3： 如图，在钝角△ABC中，BC=9，AB=17，AC=10，
AD⊥BC于D，求AD的长．
跟踪练习：
勾股定理的运用（2）
，
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20， CD是高，求： （1）AB的长； （2）△ABC的面积； （3）CD的长．
勾股定理是表示直角三边之间的 相等关系，只有在两边确定的情 形下，才可以直接利用公式求第 三边，但有时题目的条件，却不能 满足这点，这时可以引入未知数， 让未知数参与运算，最后通过立方 程或方程组求解。
精讲精练：
勾股定理的运用（2）
例2： 如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，点D是BC上
运用勾股定理解直角三角形问题
运用勾股定理解直角三角形问题直角三角形是高中数学中基础的几何图形之一，研究直角三角形问题，不可避免地需要运用到勾股定理。
勾股定理是指在直角三角形中，直角边的平方等于两直角边的平方和。
本文将主要介绍如何运用勾股定理来解决直角三角形问题。
一、勾股定理的数学表达式勾股定理可以用以下数学表达式表示：在直角三角形ABC中，设直角边a对应的斜边为c，直角边b对应的斜边为c，那么有以下关系成立：a^2 + b^2 = c^2其中，^2表示该数的平方。
二、应用勾股定理求解直角三角形的边长当我们已知直角三角形中的两条边长时，可以利用勾股定理求解第三条边的长度。
以直角三角形ABC为例，已知直角边a的长度为3，直角边b的长度为4，我们可以通过勾股定理计算斜边c的长度。
根据勾股定理的数学表达式，可得：3^2 + 4^2 = c^2化简得：9 + 16 = c^2通过开方运算，可以得到：c = √25因此，c的长度为5。
三、应用勾股定理求解直角三角形的角度除了求解直角三角形的边长，勾股定理同样可以应用于求解直角三角形的角度。
假设我们已知直角三角形中的两条边长a和b，并且我们想要求解角C的大小。
我们可以使用以下公式：tan(C) = a / b通过反三角函数求解，可以得到角C的大小。
四、应用实例下面通过一个实例来展示如何运用勾股定理解决直角三角形问题。
假设有一个直角三角形ABC，已知直角边a的长度为6，斜边c的长度为8，我们要求解直角边b的长度。
根据勾股定理的数学表达式，可得：6^2 + b^2 = 8^236 + b^2 = 64b^2 = 28通过开方运算，可以得到：因此，直角边b的长度约为5.29。
通过以上实例，我们可以看到，勾股定理在解决直角三角形问题中起到了重要的作用，它是求解直角三角形边长和角度的关键工具。
总结：本文通过介绍勾股定理的数学表达式和应用实例，展示了它在解决直角三角形问题中的重要性。
无论是求解直角三角形的边长还是角度，勾股定理都能提供有效的解决方案。
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专题五 梯子问题
1、如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米？
2、一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？
3、一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B 距离底C 为3米，如果梯子的顶端A 沿墙下滑1米到D 处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米到E 处吗？请给出证明。
A A ′
B ′
O
第20题图
专题六 最短路线
1、如图，学校教学楼旁有一块矩形花铺，有极少数同学为了避开拐角走“捷径”，在花铺内走出了一条“路”．他们仅仅少走了（ ）步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．
A 、6
B 、5
C 、4
D 、3
2、如图，一圆柱体的底面周长为20㎝，高AB 为10㎝，BC 是上底面的直径。
一蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程。
3、如图，有一个圆柱体，底面周长为20㎝，高AB 为10㎝，在圆柱的下底面A 点处有一只蚂蚁，它想绕圆柱体侧面一周爬行到它的顶端C 点处，那么它所行走的路程是多少？
4、如图，假如这是一个圆柱体的玻璃杯， AD 是杯底直径，C 是杯口一点，其他已知条件不变，蚂蚁从外部点A 处爬到杯子的内壁到达高CD 的中点E 处，最短该走多远呢？(杯子的厚度不计）
5、如图，一只蚂蚁从一个棱长为1米，且封闭的正方体盒子外部的顶点A
向顶点B 爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？
B
B A 6cm
3cm 1cm
6、如图是一块长，宽，高分别是6cm ，4cm 和3cm 的长方体木块一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A 处，沿着长方体的表面到长方体上和A 相对的顶点B 处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（ ） A 、（3+2）cm
B 、
cm C 、cm D 、
cm
7、（2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图4所示，其中4AB =米，
30BAC ∠=°，90C ∠=°，因某种活动要求铺设红色地毯，则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 ．
8、如图，长方体的底面边长分别为1cm 和3cm ，高为6cm ． ①如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ；
②如果从点A 开始经过4个侧面缠绕3圈到达点B ， 那么所用细线最短需要__________cm ．
B
C
A
30°
A C
1、如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。
现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD 的长．
2、如图，小颍同学折叠一个直角三角形
的纸片，使A 与B 重合，折痕为DE ，若已知AC=10cm ，BC=6cm,你能求出CE 的长吗？
3、三角形ABC 是等腰三角形AB=AC=13，BC=10，将AB 向AC 方向对折，再将CD 折叠到CA 边上，折痕CE ，求三角形ACE 的面积
4、如图, △ABC 的三边BC=3，AC=4、AB=5,把△ABC 沿最长边AB 翻折后得到 △ABC′，则CC′的长等于（ ） A.
56 B.5
12
C.513
D.524
3.矩形纸片ABCD 的边长AB=4，AD=2．将矩形纸片沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，折叠后在其一面着色（如图），则着色部分的面积为_____________.
4、如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=•3，BC=7，重合部分△EBD 的面积为________．
7、如图，把矩形纸片沿折叠，使点落在边上的点处，点落在点
处。
（1）求证：；
（2）设，试猜想之间的一种关系，并给予证明．
8、如图，∠B=90°，AB=BC=4，AD=2，CD=6
D
专题九 旋转问题：
1、如图，△ABC 是直角三角形，BC 是斜边，将△ABP 绕点A 逆时针旋转后，能与△ACP ′重合，若AP=3，求PP ′的长。
2、如图，P 是等边三角形ABC 内一点，PA=2,PB=求△ABC 的边长.
3、如图，△ABC 为等腰直角三角形，∠BAC=90°，E 、F 是BC 上的点，且∠EAF=45°， 试探究222BE CF EF 、、间的关系，并说明理由.
4、如图所示，P 为正方形ABCD 内一点，将∆ABP 绕B 顺时针旋转︒90到∆CBE 的位置，若BP=a ，求：以PE 为边长的正方形的面积
5、如图所示，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC ，D 是斜边BC 的中点，E 、F 分别是AB 、AC 边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CF=5．求线段EF 的长。
6、如图所示，已知在∆ABC 中，AB=AC ，∠BAC=︒90，D 是BC 上任一点，求证：BD
2 22AD
2
+。
CD=。