勾股定理的实际问题

合集下载

初中数学如何证明勾股定理在解决实际问题中的应用

初中数学如何证明勾股定理在解决实际问题中的应用。

勾股定理是初中数学中的重要定理之一，它描述了直角三角形中直角边的平方和等于斜边的平方。

虽然在学习数学的过程中，我们经常通过几何证明来理解勾股定理，但是它在解决实际问题中的应用也是非常广泛的。

在本文中，我们将探讨勾股定理在实际问题中的应用，并通过具体的例子来加深理解。

1. 建筑工程中的应用勾股定理在建筑工程中有着广泛的应用。

例如，在设计房屋的时候，我们需要确定墙壁的角度和长度。

通过使用勾股定理，我们可以计算出两面墙壁之间的距离，从而确保房屋的结构和稳定性。

此外，在设计楼梯和斜坡的过程中，勾股定理也可以用来计算出坡度和高度，以确保安全性。

2. 导航系统中的应用勾股定理在导航系统中也有着重要的应用。

例如，在GPS系统中，我们经常需要确定两个位置之间的距离和方向。

通过使用勾股定理，我们可以计算出两个坐标之间的直线距离，从而确定最短路径和导航方向。

此外，勾股定理还可以用来计算出飞机、船只和汽车等交通工具的速度和位移。

3. 物理学中的应用勾股定理在物理学中也有着广泛的应用。

例如，在力学中，我们经常需要计算物体在斜面上的运动情况。

通过使用勾股定理，我们可以计算出物体在斜面上的加速度、速度和位移等参数。

此外，在光学中，勾股定理可以用来计算出光线的入射角和折射角，从而帮助我们理解光的传播和折射规律。

4. 金融领域中的应用勾股定理在金融领域中也有着一定的应用。

例如，在投资领域，我们经常需要计算投资组合的风险和回报。

通过使用勾股定理，我们可以构建一个有效的投资组合，以最大化回报并降低风险。

此外，在贷款和利率计算中，勾股定理可以用来计算出贷款的利率和还款期限等关键参数。

综上所述，勾股定理在解决实际问题中有着广泛的应用。

无论是在建筑工程、导航系统、物理学还是金融领域，勾股定理都发挥着重要的作用。

通过了解和应用勾股定理，我们可以更好地理解和解决实际问题，提高数学应用能力，并将数学知识与实际生活相结合。

勾股定理的应用

勾股定理的应用勾股定理作为数学中著名的定理之一，广泛应用于各个领域。

它是数学中的基础定理之一，也是几何学中三角形研究的重要工具。

本文将从几个应用角度介绍勾股定理在实际生活中的运用。

一、建筑工程中的应用勾股定理在建筑工程中有着广泛的应用。

举个例子，我们在修建某一斜坡时，需要确定其坡度，勾股定理可以帮助我们准确计算出坡度。

此外，在设计斜面道路、楼梯等结构时，勾股定理也能帮助我们确保结构的稳定与安全。

二、航海导航中的应用在航海导航中，勾股定理被广泛用于测量船只的航向和航速。

通过测量船只相对于岸上两个点的距离，结合勾股定理可以计算出船只的位移和速度，为航海者提供准确的导航信息。

三、地理测量中的应用在地理测量中，勾股定理被用于测量两个相隔较远的地点之间的距离。

通过在地面上进行三角测量，即测量两个点与另一个点的夹角以及距离，再利用勾股定理求解，可以得到精确的距离数据，为地理测量和地图绘制提供重要支持。

四、天文学中的应用在天文学中，勾股定理被用于测量遥远星体之间的距离和角度。

天文学家通过观测星体的位置和角度，结合勾股定理的计算方法，可以确定天体的距离和大小，进而推断宇宙的形态和结构。

五、计算机图形学中的应用计算机图形学中，勾股定理被广泛应用于图形处理和渲染。

图形引擎通过勾股定理来计算线段的长度、图形的形状和倾斜度等信息，为计算机生成的图像提供基础数学支持。

综上所述，勾股定理作为数学中一项重要的基础定理，在实际生活中有着广泛的应用。

它在建筑工程、航海导航、地理测量、天文学和计算机图形学等领域中都起着重要的作用。

通过勾股定理的运用，我们可以提高工作效率，确保工程安全，促进科学发展。

因此，深入理解和应用勾股定理对我们的日常生活和社会发展都具有重要意义。

勾股定理的实际应用案例分析

勾股定理的实际应用案例分析勾股定理是数学中的重要定理之一，也是人们在实际生活中常用的数学工具。

本文将通过分析一些实际应用案例，展示勾股定理在解决问题中的作用和价值。

1. 建筑领域中的勾股定理应用在建筑领域，勾股定理是测量和设计中不可或缺的工具之一。

例如，当建筑师设计一个直角形房间时，他们需要使用勾股定理来确保房间的墙壁是垂直的。

通过测量房间两个相对角的长度，并应用勾股定理计算斜边的长度，建筑师可以确保墙壁是垂直的，从而确保房间的稳定性和安全性。

2. 地理测量中的勾股定理应用地理测量中的三角测量法是一种常用的测量方法，其中就包括利用勾股定理来计算距离和角度。

例如，当测量两个地点之间的直线距离时，测量员可以使用勾股定理，通过测量两个直角边的长度计算出斜边的长度，从而得到两地之间的距离。

3. 航空航天领域中的勾股定理应用在航空航天领域，勾股定理也起到重要的作用。

例如，飞机在空中导航时会使用仪表着陆系统（ILS）来进行着陆。

这个系统包括一个地面引导系统和一个飞机上的接收机。

通过利用勾股定理，地面引导系统可以计算出飞机与跑道之间的距离和高度，从而为飞行员提供准确的导航和着陆指引。

4. 电子设备制造中的勾股定理应用在电子设备制造过程中，勾股定理也常被应用于检测和排除设备中的故障。

例如，在制造电视机时，工程师可能要使用勾股定理来测量电视屏幕的对角线，以确保屏幕大小符合规格要求。

如果测量出的对角线长度不符合预期结果，就可能意味着设备存在问题，需要进行进一步检查和修复。

综上所述，勾股定理在实际生活中有着广泛的应用。

无论是在建筑领域、地理测量、航空航天还是电子设备制造等领域，勾股定理都是不可或缺的工具和方法。

通过分析勾股定理的实际应用案例，我们可以更加深入地理解这个数学定理的重要性，并通过它解决问题和改进现有技术。

用勾股定理解决实际问题

用勾股定理解决实际问题勾股定理是数学中的基本定理之一，它描述了一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理在实际生活中有着广泛的应用，特别是在计算机图形学、建筑设计、地理测量和航天航空等领域。

本文将通过几个实际问题的例子，探讨如何运用勾股定理解决实际问题。

一、房屋设计中的勾股定理应用在房屋设计中，为了保证建筑的结构稳定和美观，需要进行精确的测量和计算。

勾股定理在房屋设计中起着重要的作用。

例如，在设计一个三角形屋顶的平面布置时，我们需要测量斜边的长度。

假设一栋楼房的两个直角边分别为6米和8米，请问斜边的长度是多少？根据勾股定理，斜边的长度可以通过以下公式计算：斜边长度= √(直角边1的长度² + 直角边2的长度²)代入已知数值，斜边长度= √(6² + 8²) = √(36 + 64) = √100 = 10米因此，该三角形屋顶的斜边长度为10米。

二、地理测量中的勾股定理应用在地理测量中，勾股定理可以帮助我们计算两个点之间的距离、角度和方位。

例如，假设我们需要测量两个山顶之间的直线距离，我们只能在地面上进行测量。

假设山顶A和山顶B之间的两个直角边长度分别为300米和400米，请问山顶A和山顶B之间的直线距离是多少？根据勾股定理，直线距离可以通过以下公式计算：直线距离= √(直角边1的长度² + 直角边2的长度²)代入已知数值，直线距离= √(300² + 400²) = √(90000 + 160000) =√250000 = 500米因此，山顶A和山顶B之间的直线距离为500米。

三、建筑设计中的勾股定理应用在建筑设计中，勾股定理可以用于计算斜面的长度和倾斜角度。

例如，在设计一个斜坡道时，我们需要计算斜坡的长度和倾斜角度。

假设斜坡的水平距离为10米，垂直高度为2米，请问斜坡的长度和倾斜角度分别是多少？根据勾股定理，斜坡的长度可以通过以下公式计算：斜坡长度= √(水平距离² + 垂直高度²)代入已知数值，斜坡长度= √(10² + 2²) = √(100 + 4) = √104 ≈ 10.20米因此，斜坡的长度约为10.20米。

用勾股定理解决问题

用勾股定理解决问题勾股定理是数学中一个重要的定理，可以解决许多与直角三角形相关的问题。

它表明，在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两边的平方和。

在本文中，我们将探讨如何运用勾股定理来解决一些实际问题。

问题一：计算斜边的长度假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4。

我们可以利用勾股定理来计算斜边的长度。

根据勾股定理，斜边的平方等于3的平方加上4的平方，即斜边的平方等于9加上16，得到斜边的平方等于25。

因此，斜边的长度为5。

问题二：判断三条边是否能够构成直角三角形给定三条边的长度，如何确定它们是否能够构成直角三角形？我们可以运用勾股定理来解决这个问题。

假设三条边的长度分别为a、b和c，其中c是最长的边。

如果a的平方加上b的平方等于c的平方，则这三条边可以构成直角三角形；如果不等于，则无法构成直角三角形。

通过这个方法，我们可以快速判断任意三条边是否构成直角三角形。

问题三：求解未知边的长度有时候，我们已知一个直角三角形的两条边的长度，但需要求解另一条边的长度。

这时，我们可以利用勾股定理求解未知边的长度。

假设已知一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b，且我们希望求解斜边的长度c。

根据勾股定理，c的平方等于a的平方加上b的平方。

通过对这个方程进行求解，我们就可以得到未知边的长度。

问题四：应用于几何图形的计算除了直角三角形，勾股定理在几何图形的计算中也有广泛的应用。

例如，我们可以利用勾股定理来计算矩形的对角线长度。

假设矩形的长为a，宽为b，我们可以利用勾股定理求解对角线的长度。

结论勾股定理是一项在数学和几何学中广泛应用的定理。

通过运用这一定理，我们可以解决许多关于直角三角形的问题，如计算斜边的长度、判断三条边是否能够构成直角三角形、求解未知边的长度，以及应用于几何图形的计算。

勾股定理为我们提供了一种便捷而准确的方法，可以解决许多实际问题。

因此，熟练掌握和应用勾股定理对于数学学习和实际应用都具有重要意义。

勾股定理生活中的应用

勾股定理生活中的应用
勾股定理是数学中的一个重要定理，可以应用于许多实际问题中。

在生活中，勾股定理有以下应用：
1. 测量直角三角形的直角边和斜边的长度。

例如在建筑工程中，
使用勾股定理可以测量房间的对角线长度、屋顶的倾斜角度等。

2. 计算物体的投影距离。

例如，在射击运动中，使用勾股定理可
以计算弹道的投影距离，帮助射手瞄准目标。

3. 计算电路中电压、电流和电阻之间的关系。

例如，在电子工程中，使用勾股定理可以计算电路中不同元件之间的参数，帮助工程师
设计电路。

4. 计算航空航天器的飞行轨迹和速度。

例如，在航空航天领域中，使用勾股定理可以计算卫星的轨道位置和速度，帮助天文学家和工程
师进行航天探测任务。

总之，勾股定理是一种非常实用的数学工具，可以广泛应用于生
活中的各个领域，帮助人们解决实际问题。

勾股定理的实际应用【十二大题型】(解析版)

勾股定理的实际应用【十二大题型】【题型1求梯子滑落高度】【题型2求旗杆高度】【题型3求小鸟飞行距离】【题型4求大树折断前的高度】【题型5解一元一次不等式组】【题型6解决水杯中筷子问题】【题型7解决航海问题】【题型8求河宽】【题型9求台阶上地毯长度】【题型10判断汽车是否超速】【题型11选址使到两地距离相等】【题型12求最短路径】【题型1求梯子滑落高度】1(2023春·广东惠州·八年级校考期中)某地一楼房发生火灾，消防队员决定用消防车上的云梯救人如图(1)，如图(2)，已知云梯最多只能伸长到15m(即AB=CD=15m)，消防车高3m，救人时云梯伸长至最长，在完成从12m(即BE=12m)高的B处救人后，还要从15m(即DE=15m)高的D处救人，这时消防车从A处向着火的楼房靠近的距离AC为多少米？(延长AC交DE于点O，AO⊥DE，点B在DE上，OE的长即为消防车的高3m)【答案】消防车从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3m【分析】在Rt△ABO中，根据勾股定理得到AO和OC，于是得到结论．【详解】解：在Rt△ABO中, ∵∠AOB=90°，AB=15m，OB=12-3=9(m)，∴AO=AB2-OB2=152-92=12(m)，在Rt△ABO中，∵∠COD=90°，CD=15m，OD=15-3=12(m)，∴OC=CD2-OD2=152-122=9(m)，∴AC=OA-OC=3(m)，答：消防车从原处向着火的楼房靠近的距离AC为3m．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．1(2023春·山西晋中·八年级统考期中)如图，小巷左右两侧是竖直的高度相等的墙，一根竹竿斜靠在左墙时，竹竿底端O到左墙角的距离OC为0.7米，顶端B距墙顶的距离AB为0.6米若保持竹竿底端位置不动，将竹竿斜靠在右墙时，竹竿底端到右墙角的距离OF为1.5米，顶端E距墙项D的距离DE为1米，点A、B、C在一条直线上，点D、E、F在一条直线上，AC⊥CF，DF⊥CF．求：(1)墙的高度；(2)竹竿的长度．【答案】(1)墙高3米(2)竹竿的长2.5米【分析】(1)设墙高x米，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理即可表示出竹竿长度的平方，联立即可得到答案；(2)把(1)中的x代入勾股定理即可得到答案．【详解】(1)解：设墙高x米，∵AC⊥CF，DF⊥CF，∴∠BCO=∠EFO=90°，在RtΔBCO，RtΔEFO根据勾股定理可得，BO2=(x-0.6)2+0.72，OE2=(x-1)2+1.52，∵BO=OE，∴(x-1)2+1.52=(x-0.6)2+0.72，解得：x=3，答：墙高3米；(2)由(1得)，BO2=(x-0.6)2+0.72，x=3，∴BO=(3-0.6)2+0.72=2.5答：竹竿的长2.5米．【点睛】本题考查勾股定理实际应用题，解题的关键时根据两种不同状态竹竿长不变列等式及正确计算．2(2023春·浙江宁波·八年级统考期末)如图，一条笔直的竹竿斜靠在一道垂直于地面的墙面上，一端在墙面A处，另一端在地面B处，墙角记为点C．(1)若AB=6.5米，BC=2.5米．①竹竿的顶端A沿墙下滑1米，那么点B将向外移动多少米？②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，请求出移动的距离(保留根号)．(2)若AC=BC，则顶端A下滑的距离与底端B外移的距离，有可能相等吗？若能相等，请说明理由；若不等，请比较顶端A下滑的距离与底端B外移的距离的大小．【答案】(1)①69-52米；②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由见解析(2)不可能相等，顶端A下滑的距离大于底端B外移的距离．【分析】(1)先根据勾股定理可得AC=6米，①根据题意得：AA =1m，可得到A C=AC-AA =5米，由勾股定理可得B C的长，即可求解；②设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据勾股定理，列出方程，即可求解；(2)设AC=BC=a，从A处沿墙AC下滑的距离为m米，点B向外移动的距离为n米，则AB=A B =2a，根据勾股定理，列出方程，可得m-n=m2+n22a，即可求解．【详解】(1)解：∠C=90°，AB=A B =6.5米，∴AC=AB2-BC2=6米，①根据题意得：AA =1m，∴A C=AC-AA =5米，∴B C=A B 2-A C2=692米，∴BB =B C-BC=692-2.5=69-52米，即点B将向外移动69-52米；②竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等，理由如下：设从A处沿墙AC下滑的距离为x米，点B也向外移动的距离为x米，根据题意得：6-x2+2.5+x2=6.52，解得：x1=3.5,x2=0(舍去)，∴从A处沿墙AC下滑的距离为3.5米时，点B也向外移动的距离为3.5米，即竹竿的顶端从A处沿墙AC下滑的距离与点B向外移动的距离，有可能相等；(2)解：不可能相等，理由如下：设AC =BC =a ，从A 处沿墙AC 下滑的距离为m 米，点B 向外移动的距离为n 米，则AB =A B =2a ，根据题意得：a -m 2+a +n 2=2a 2，整理得：2a m -n =m 2+n 2，即m -n =m 2+n 22a，∵a 、m 、n 都为正数，∴m -n =m 2+n 22a>0，即m >n ．∴顶端A 下滑的距离大于底端B 外移的距离．【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．3(2023春·辽宁沈阳·八年级统考期中)拉杆箱是人们出行的常用品，采用拉杆箱可以让人们出行更轻松．如图，一直某种拉杆箱箱体长AB =65cm ，拉杆最大伸长距离BC =35cm ，在箱体底端装有一圆形滚轮，当拉杆拉到最长时，滚轮的圆心在图中的A 处，点A 到地面的距离AD =3cm ，当拉杆全部缩进箱体时，滚轮圆心水平向右平移55cm 到A ′处，求拉杆把手C 离地面的距离(假设C 点的位置保持不变)．【答案】拉杆把手C 离地面的距离为63cm【分析】过C 作CE ⊥DN 于E ，延长AA '交CE 于F ，根据勾股定理即可得到方程652-x 2=1002-(55+x )2，求得A 'F 的长，即可利用勾股定理得到CF 的长，进而得出CE 的长．【详解】如图所示，过C 作CE ⊥DN 于E ，延长AA '交CE 于F ，则∠AFC =90°，设A 'F =x ，则AF =55+x ，由题可得，AC =65+35=100，A 'C =65，∵Rt △A 'CF 中，CF 2=652-x 2，Rt △ACF 中，CF 2=1002-(55+x )2，∴652-x 2=1002-(55+x )2，解得x =25，∴A 'F =25，∴CF =A C 2-A F 2=60(cm )，又∵EF =AD =3(cm )，∴CE =60+3=63(cm )，∴拉杆把手C 离地面的距离为63cm ．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．【题型2求旗杆高度】1(2023春·山西临汾·八年级统考期末)同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算学校旗杆的高度．爱动脑的小华设计了这样一个方案：如图，将升旗的绳子拉直刚好触底，此时测得绳子末端C到旗杆AB的底端B 的距离为1米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5米的点E处，此时测得绳子末端E距离地面的高度DE 为1米．请你根据小华的测量方案和测量数据，求出学校旗杆的高度．【答案】12.5米【分析】过点E作EF⊥AB，垂足为F，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理得出AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，根据AC=AE，得出AB2+12=(AB-1)2+52，求出AB的长即可．【详解】解：过点E作EF⊥AB，垂足为F，如图所示：由题意可知：四边形BDEF是长方形，△ABC和△AEF是直角三角形，∴DE=BF=1，BD=EF=5，BC=1，在Rt△ABC和Rt△AEF中，根据勾股定理可得：AC2=AB2+BC2，AE2=AF2+EF2，即AC2=AB2+12，AE2=(AB-1)2+52，又∵AC=AE，∴AB2+12=(AB-1)2+52，解得：AB=12.5．答：学校旗杆的高度为12.5米．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理列出关于AB方程AB2+12=(AB-1)2+52．1(2023春·江西景德镇·八年级统考期中)2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm)．其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在地面上．旗杆从旗顶到地面的高度为240cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h．【答案】90cm【分析】首先观察题目，作辅助线构造一个直角三角形，如图，连接DE；已知彩旗为长方形，由题意可知，无风的天气里，彩旗自然下垂时，彩旗最低处到旗杆顶部的长度正好是长方形彩旗完全展开时的对角线的长度，根据勾股定理可求出它的长度；然后用旗杆顶部到地面高度减去这个数值，即可求得答案．【详解】彩旗自然下垂的长度就是长方形DCEF的对角线DE的长度，连接DE，在Rt△DEF中，根据勾股定理，得DE=DF2+EF2=1202+902=150．h=240-150=90(cm)．∴彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度h为90cm．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，此类题的难点在于正确理解题意，结合实际运用勾股定理．2(2023春·八年级课时练习)太原的五一广场视野开阔，是一处设计别致，造型美丽的广场园林，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校八年级(1)班的小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后，为了测得图中风筝的高度CE，他们进行了如下操作：①测得BD的长为15米(注：BD⊥CE)；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC的长为25米；③牵线放风筝的小明身高1.7米．(1)求风筝的高度CE．(2)过点D作DH⊥BC，垂足为H，求BH的长度．【答案】(1)风筝的高度CE为21.7米(2)BH的长度为9米【分析】(1)在Rt△CDB中由勾股定理求得CD的长，再加上DE即可；(2)利用等积法求出DH的长，再在Rt△BHD中由勾股定理即可求得BH的长．【详解】(1)在Rt△CDB中，由勾股定理，得：CD=C2-BD2=252-152=20(米)，所以CE=CD+DE=20+1.7=21.7(米)，答：风筝的高度CE为21.7米．(2)由等积法知：12BD×DC=12BC×DH，解得：DH=15×2025=12(米)．在Rt△BHD中，BH=BD2-DH2=9(米)，答：BH的长度为9米．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，正确运用勾股定理是关键，注意计算准确．3(2023春·山西吕梁·八年级统考期中)如图，一根直立的旗杆高8米，一阵大风吹过，旗杆从点C处折断，顶部(B)着地，离旗杆底部(A)4米，工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25米D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？【答案】6【分析】先根据勾股定理求得AC，进而求得AD，根据勾股定理即可求得范围．【详解】由题意可知AC+BC=8,AB=4，则AC2+AB2=BC2，即AC2+42=(8-AC)2，解得AC=3，若下次大风将旗杆从D处吹断，如图，∴AD=AC-1.25=3-1.25=1.75，∴BD=AB-AD=8-1.75=6.25，AB=BD2-AD2= 6.252-1.752=6．∴则距离旗杆底部周围6米范围内有被砸伤的危险．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键．【题型3求小鸟飞行距离】1(2023春·陕西咸阳·八年级统考期中)如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB=20米，A点到地面C点(B、C两点处于同一水平面)的距离AC=25米．若小鸟竖直下降12米到达D点(D点在线段AB上)，求此时小鸟到地面C点的距离．【答案】17米【分析】已知AB和AC的长度，根据勾股定理即可求出BC的长度，小鸟下降12米，则BD=AB-12，根据勾股定理即可求出CD的长度．【详解】解：由勾股定理得；BC2=AC2-AB2=252-202=225，∴BC=15(米)，∵BD=AB-AD=20-12=8(米)，∴在Rt△BCD中，由勾股定理得CD=DB2+BC2=82+152=17，∴此时小鸟到地面C点的距离17米．答；此时小鸟到地面C点的距离为17米．【点睛】本题主要考查了勾股定理得实际应用，熟练地掌握勾股定理的内容是解题的关键．1(2023春·八年级课时练习)有两棵树，一棵高6米，另一棵高3米，两树相距4米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了( )米．A.3B.4C.5D.6【答案】C【分析】此题可以过低树的一端向高树引垂线．则构造了一个直角三角形：其斜边是小鸟飞的路程，一条直角边是4，另一条直角边是两树相差的高度3．根据勾股定理得：小鸟飞了5米．【详解】解：如图所示，AB=6m，CD=3m，BC=4m，过D作DE⊥AB于E，则DE=BC=4m，BE=CD=3m，AE=AB-BE=6-3=3m，在Rt△ADE中，AD=5m．故选：C．【点睛】能够正确理解题意，准确画出图形，熟练运用勾股定理即可．2(2023春·山东枣庄·八年级统考期中)有一只喜鹊在一棵3m高的小树上觅食，它的巢筑在距离该树24m的一棵大树上，大树高14m，且巢离树顶部1m．当它听到巢中幼鸟的叫声，立即赶过去，如果它飞行的速度为5m/s，那它至少需要多少时间才能赶回巢中？【答案】它至少需要5.2s才能赶回巢中．【分析】根据题意，构建直角三角形，利用勾股定理解答．【详解】解：如图，由题意知AB=3，CD=14-1=13，BD=24．过A作AE⊥CD于E．则CE=13-3=10，AE=24，∴在Rt△AEC中，AC2=CE2+AE2=102+242．∴AC=26，26÷5=5.2(s)．答：它至少需要5.2s才能赶回巢中．【点睛】本题考查了勾股定理的应用．关键是构造直角三角形，同时注意：时间=路程÷速度．3(2023春·贵州贵阳·八年级校考期中)假期中，小明和同学们到某海岛上去探宝，按照探宝图，他们从A点登陆后先往东走8千米，又往北走2千米，遇到障碍后又往西走了3千米，再折向北走了6千米处往东一拐，仅走了1千米就找到宝藏，问登陆点A到宝藏埋藏点B的直线距离是多少千米？【答案】10千米【分析】通过行走的方向和距离得出对应的线段的长度．根据题意构造直角三角形，利用勾股定理求解．【详解】解：过点B作BD⊥AC于点D．根据题意可知，AD=8-3+1=6，BD=2+6=8，在Rt△ABD中，∴AB=AD2+BD2=62+82=10．答：登陆点A到宝藏处B的距离为10千米．【点睛】本题考查勾股定理的实际应用．读懂题意，根据题意找到需要的等量关系，与勾股定理结合求线段的长度是解题的关键．【题型4求大树折断前的高度】1(2023春·八年级课时练习)如图，在倾斜角为45°(即∠NMP=45°)的山坡MN上有一棵树AB，由于大风，该树从点E处折断，其树顶B恰好落在另一棵树CD的根部C处，已知AE=1m，AC=18m．(1)求这两棵树的水平距离CF；(2)求树AB的高度．【答案】(1)3m(2)6m【分析】(1)根据平行的性质，证得AF=CF，根据勾股定理即可求得．(2)在Rt△CEF中，根据勾股定理即可解得．【详解】(1)由题可知MP∥CF，∠F=90°∴∠ACF=∠NMP=45°，∴AF=CF在Rt△ACF中，CF2+AF2=AC2，∴2CF2=18，∴AF=CF=3(m)．即这两棵树的水平距离为3m．(2)在Rt△CEF中，CE2=CF2+EF2∴CE=32+42=5，∴AB=AE+CE=5+1=6(m)．即树AB的高度为6m．【点睛】此题考查了勾股定理，解题的关键是熟悉勾股定理的实际应用．1(2023春·广东云浮·八年级统考期中)海洋热浪对全球生态带来了严重影响，全球变暖导致华南地区汛期更长、降水强度更大，使得登录广东的台风减少，但是北上的台风增多．如图，一棵大树在一次强台风中距地面5m处折断，倒下后树顶端着地点A距树底端B的距离为12m，这棵大树在折断前的高度为()A.10mB.15mC.18mD.20m【答案】C【分析】如图，勾股定理求出AC的长，利用AC+BC求解即可．【详解】解：如图，由题意，得：BC=5,AB=12，BC⊥AB，∴AC=AB2+BC2=13，∴这棵大树在折断前的高度为13+5=18m；故选C．【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2(2023春·山西阳泉·八年级统考期末)我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离PA的长为1尺，将它向前水平推送10尺时，即P C=10尺，秋千踏板离地的距离P B和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为x尺，根据题意可列方程为．【答案】(x+1-5)2+102=x2．【分析】根据勾股定理列方程即可得出结论．【详解】解：由题意知：OP'=x，OC=x+1-5，P'C=10，在Rt△OCP'中，由勾股定理得：(x+1-5)2+102=x2．故答案为：(x+1-5)2+102=x2．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用和列方程，读懂题意是解题的关键．3(2023春·广东珠海·八年级校考期中)如图，一根直立的旗杆高8m,因刮大风旗杆从点C处折断，顶部B着地且离旗杆底部A4m.(1)求旗杆距地面多高处折断；(2)工人在修复的过程中，发现在折断点C的下方1.25m的点D处，有一明显裂痕，若下次大风将旗杆从点D处吹断，则距离旗杆底部周围多大范围内有被砸伤的危险？【答案】(1)旗杆距地面3m处折断；(2)距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．【分析】(1)由题意可知：AC+BC=8米，根据勾股定理可得：AB2+AC2=BC2，又因为AB=4米，即可求得AC的长；(2)易求D点距地面3-1.25=1.75米，BD=8-1.75=6.25米，再根据勾股定理可以求得AB=6米，所以6米内有危险．【详解】(1)由题意可知：AC+BC=8米，∵∠A=90°，∴AB2+AC2=BC2，又∵AB=4米，∴AC=3米，BC=5米，∴旗杆距地面3m处折断；(2)如图，∵D点距地面AD=3-1.25=1.75米，∴BD=8-1.75=6.25米，∴AB=BD2-AD2=6米，∴距离杆脚周围6米大范围内有被砸伤的危险．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．【题型5判断是否受台风影响】1(2023春·湖北武汉·八年级统考期中)如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°，公路PQ 上A处距离O点240米，如果火车行驶时，火车头周围150米以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN上沿MN方向以72千米/小时的速度行驶时，A处受到噪音影响的时间为秒．【答案】9【分析】过点A作AC⊥MN，求出最短距离AC的长度，然后在MN上取点B，D，使得AB=AD=150米，根据勾股定理得出BC，CD的长度，即可求出BD的长度，然后计算出时间即可．【详解】解：过点A作AC⊥MN，∵∠QON=30°，OA=240米，OA=120米，∴AC=12在MN上取点B，D，使得AB=AD=150米，当火车到B点时对A处产生噪音影响，∵AB=150米，AC=120米，∴由勾股定理得：BC=AB2-AC2=1502-1202=90米，CD=AD2-AC2=1502-1202=90米，即BD=180米，∵72千米/小时=20米/秒，∴影响时间应是：180÷20=9秒．故答案为：9．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键在于准确找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．1(2023春·陕西西安·八年级统考期中)为了鼓励大家积极接种新冠疫苗，某区镇政府采用了移动宣讲的形式进行广播宣传．如图，笔直的公路MN的一侧点A处有一村庄，村庄到公路MN的距离为300m，宣讲车P周围500m以内能听到广播宣传，宣讲车P在公路上沿MN方向行驶．(1)村庄能否听到广播宣传？请说明理由．(2)已知宣讲车的速度是50m/min，如果村庄能听到广播宣传，那么总共能听多长时间？【答案】(1)能，理由见解析(2)16【分析】(1)根据村庄A到公路MN的距离为300米<500米，即可得出村庄能听到广播宣传．(2)根据勾股定理得到BP=BQ=5002-3002=400(米)，求得PQ=800米，即可得出结果．【详解】(1)村庄能听到广播宣传，理由如下：∵村庄A到公路MN的距离为300米<500米，∴村庄能听到广播宣传．(2)如图：假设当宣传车行驶到P点开始能听到广播，行驶到Q点不能听到广播，则AP=AQ=500米，AB=300米，由勾股定理得：BP=BQ=5002-3002=400(米)，∴PQ=800米，∴能听到广播的时间为：800÷50=16(分钟)，∴村庄总共能听到16分钟的宣传．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，结合生活实际，便于更好地理解题意是解题的关键．2(2023春·山东青岛·八年级校考期末)如图所示，在甲村至乙村的公路AB旁有一块山地正在开发，现需要在C处进行爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB．为了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，在进行爆破时，公路AB 是否有危险而需要封锁？如果需要，请计算需要封锁的路段长度；如果不需要，请说明理由．【答案】公路AB有危险需要封锁，需要封锁的路段长度为140米【分析】过C作CD⊥AB于D,利用勾股定理算出AB的长度，然后利用三角形的面积公式可求出CD的长，用CD的长和250比较大小即可判断是否需要封锁，最后根据勾股定理求出封锁的长度．【详解】解：公路AB需要暂时封锁，理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D，因为BC=400米，AC=300米，∠ACB=90°，所以根据勾股定理有AB=500米，因为S△ABC=12AB⋅CD=12BC⋅AC，所以CD=BC⋅ACAB=400×300500=240(米)，由于240米<250米,故有危险，封锁长度为：2×2502-2402=140米，因此AB段公路需要暂时封锁，封锁长度为140米．【点睛】本题考查了正确运用勾股定理，善于观察题目的信息是解题的关键．3(2023春·广东广州·八年级校考期中)如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B 处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？【答案】(1)要，理由见解析(2)6h【分析】(1)由A点向BF作垂线，垂足为C，根据勾股定理求得AC的长，与200km比较即可得结论；(2)BF上分别取D、G，则△ADG是等腰三角形，由AC⊥BF，则C是DG的中点，在Rt△ADC中，解出CD的长，则可求DG长，在GD长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．【详解】(1)解：由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC=30°，AB=320km，则AC=160km，因为160<200，所以A城要受台风影响；(2)设BF上点D，DA=200km，则还有一点G，有AG=200km．∵DA=AG，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt△ADC中，DA=200km，AC=160km，由勾股定理得，CD=DA2-AC2=2002-1602=120km，则DG=2DC=240km，遭受台风影响的时间是：t=240÷40=6(h)．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键．【题型6解决水杯中筷子问题】1(2023春·河北唐山·八年级统考期中)如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条长16cm的直吸管露在罐外部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是()A.4<a<5B.3≤a≤4C.2≤a≤3D.1≤a≤2【答案】B【分析】如图，当吸管底部在D点时吸管在罐内部分最短，当吸管底部在B点时吸管在罐内部分最长，此时利用勾股定理在Rt△ADB中求出AB即可．【详解】解：如图，当吸管底部在底面圆心时吸管在罐内部分最短，此时吸管的的长度就是圆柱形的高，即12，∴a=16-12=4，当吸管底部在饮料罐的壁底时吸管在罐内部分最长，吸管长度=AD2+BD2=122+52=13，∴此时a=16-13=3，所以3≤a≤4．故选：B．【点睛】本题考查勾股定理的应用，善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．1(2023春·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中)一根竹竿插到水池中离岸边1.5m远的水底，竹竿高出水面0.5m，若把竹竿的顶端拉向岸边，则竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为()A.2mB.2.5cmC.2.25mD.3m【答案】A【分析】设水池的深度BC=xm，则AB=(0.5+x)m，根据勾股定理列出方程，进而即可求解．【详解】解：在直角△ABC中，AC=1.5m．AB-BC=0.5m．设水池的深度BC=xm，则AB=(0.5+x)m．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2=AB2，∴1.52+x2=(x+0.5)2，解得：x=2．故选：A．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，根据勾股定理，列出方程，是解题的关键．2(2023春·山东青岛·八年级校考期中)有一个边长为10米的正方形水池，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1米．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问：这个水池水的深度和这根芦苇的长度分别是多少？【答案】水池水深12米，芦苇长13米【分析】根据题意，构造直角三角形，根据勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：如图：设芦苇BC长为x米，则水深AB为(x-1)米．∵芦苇长在水池中央，×10=5(米)∴AC=12根据勾股定理得：AC2+AB2=BC2，则：52+(x-1)2=x2，解得：x=13，∴x-1=13-1=12，答：水池水深12米，芦苇长13米．【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理的内容，勾股题意构造直角三角形，，根据勾股定理列出方程求解是解题的关键．3(2023春·河南漯河·八年级统考期中)如图，湖面上有一朵盛开的红莲，它高出水面30cm．大风吹过，红莲被吹至一边，花朵下部刚好齐及水面，已知红莲移动的水平距离为60cm，则水深是cm．【答案】45【分析】设水深h厘米，则AB=h，AC=h+30，BC=60，利用勾股定理计算即可．【详解】红莲被吹至一边，花朵刚好齐及水面即AC为红莲的长．设水深h厘米，由题意得：Rt△ABC中，AB=h，AC=h+30，BC=60，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2，即h+302=h2+602，解得h=45．故答案为：45．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确审题，明确直角三角形各边的长是解题的关键．【题型7解决航海问题】1(2023春·重庆巴南·八年级统考期末)在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西54°方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西36°方向上，与C的距离是600海里．(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？(信号传播的时间忽略不计)．【答案】(1)AB=1000海里(2)最多能收到14次信号【分析】(1)由题意易得∠ACB是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；(2)过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN=CM=500海里，分别求得NH、MH的长，可求得此时轮船过MN时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【详解】(1)由题意，得：∠NCA=54°，∠SCB=36°；∴∠ACB=90°；∵AC=800，BC=600；∴AB=AC2+BC2=1000海里；(2)过点C作CH⊥AB交AB于点H，在AB上取点M，N，使得CN=CM=500海里．∵CH⊥AB；∴∠CHB =90°；∵S △ABC =12AC ⋅BC =12AB ⋅CH ；∴CH =480；∵CN =CM =500；∴NH =MH =CM 2-CH 2=140；则信号次数为140×2÷20=14(次)．答：最多能收到14次信号．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键．1(2023春·河南信阳·八年级统考期末)如图，已知港口A 东偏南10°方向有一处小岛B ，一艘货轮从港口A 沿南偏东40°航线出发，行驶80海里到达C 处，此时观测小岛B 在北偏东60°方向．(1)求此时货轮到小岛B 的距离．(2)在小岛周围36海里范围内是暗礁区，此时轮船向正东方向航行有没有触礁危险？请作出判断并说明理由．【答案】(1)此时货轮到小岛B 的距离为80海里；(2)轮船向正东方向航行没有触礁危险．【分析】(1)先根据题意求出∠BAC =40°、∠ACB =100°，据此得∠ABC =∠ACB =40°，从而得出AC =BC =40海里；(2)作BD ⊥CD 于点D ，由∠BCD =30°、BC =70知BD =12BC =35，从而做出判断．【详解】解：(1)由题意知∠BAC =90°-10°-40°=40°，∠ACB =40°+60°=100°，∴∠ABC =180°-∠BAC -∠ACB =40°，∴∠ABC =∠BAC ，∴BC =AC =80海里，即此时货轮到小岛B 的距离为80海里；(2)如图，作BD ⊥CD 于点D ，在Rt △BCD 中，∵∠BCD =30°、BC =80，∴BD =12BC =40，∵40>36，。

勾股定理在实际生活中的应用

勾股定理在实际生活中的应用
勾股定理是古希腊数学家勾股所提出的，它表明了一个有三个正整
数组成的三角形的三条边（a,b,c）之间的关系，即a^2+b^2=c_2，主要
用于计算三角形中各边的长度，这个定理应用广泛。

1. 三棱锥和其他几何体
勾股定理在解决三角形问题的同时也有助于计算立体几何图面的表面
积和体积，特别是可以用来计算三棱锥的表面积和体积，对于任何一
个具有两个边长的三棱锥，可以使用勾股定理来求解它的底面和顶面
之间的距离，从而算出它的表面积和体积。

2. 建筑计算
勾股定理在建筑计算中也有用到，它可以帮助计算建筑物外墙和屋顶
坡度的高度，或者确定其他三角形形状建筑物的高度。

同时，屋面的
坡度也可以使用勾股定理来计算，因为屋面的坡度也是一个三角形，
勾股定理可以用来确定屋面的高度和角度。

3. 水利
建纳水利也是勾股定理的常用应用，它可以用来计算水渠或水坝底开
口的高度。

由于受水库底部和上部水平面之间的水头高度受到引水渠
容积受限，进一步受到引水渠斜度限制，那么可以使用勾股定理来求
解引水渠底开口高度。

因此，可以用勾股定理确定引水渠中水的流量，从而计算出正确的储水渠的容积。

4. 导航测量
导航测量中也使用到勾股定理，比如用它来计算从某一特定点到特定方位的垂直距离。

对角线距离也可以通过使用勾股定理来进行计算，这是由于当测量站和要测量的点之间存在着三角形关系，用勾股定理就可以求出两点之间的距离。

应用勾股定理解实际问题

应用勾股定理解实际问题勾股定理是数学中最基础的定理之一，它描述了直角三角形边长之间的关系。

在实际生活中，勾股定理可以应用于多种场景，解决实际问题。

本文将探讨勾股定理在几个具体问题中的应用。

1. 应用一：测量直角三角形的边长勾股定理最常见的应用就是用来测量直角三角形的边长。

在我们日常生活中，经常会遇到需要测量一些不易直接测量的距离，比如高楼的高度、河流的宽度等等。

这时，我们可以利用勾股定理来求解。

假设我们需要测量一栋建筑物的高度，可以选择一个合适的地方A 站立，从眼睛位置向上仰望，然后测量自己与建筑物底部的距离为a。

接着，我们移动到地点B，使得站立在地点B时看到建筑物顶部，测量自己与建筑物底部的距离为b。

此时，我们可以利用勾股定理计算出建筑物的高度c，即c²=a²+b²。

2. 应用二：求解物体之间的距离在很多实际问题中，我们需要求解两个物体之间的距离。

例如，在导航软件中，我们需要确定两个地点之间的最短路径。

这时，我们可以应用勾股定理帮助我们计算出两个地点的距离。

假设有两个地点A和B，我们知道A点的横坐标为x₁，纵坐标为y₁，B点的横坐标为x₂，纵坐标为y₂。

我们可以通过计算AB两点间的距离来获得最短路径。

根据勾股定理，AB的距离可以表示为d=√((x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²)。

3. 应用三：解决投影问题另一个常见的应用领域是求解投影问题。

在日常生活中，我们经常需要计算物体的投影长度，比如阳光下建筑物的影子长度、物体在倾斜地面上的投影长度等等。

勾股定理可以帮助我们解决这些问题。

假设有一个倾斜的平面，上面有一个物体A。

物体A的高度为h，离倾斜平面的水平距离为d。

我们可以利用勾股定理来计算物体A在倾斜平面上的投影长度l。

根据勾股定理，我们可以得到l=√(d²+h²)。

4. 应用四：解决角度问题勾股定理还可以应用于求解角度问题。

在导航、航海等领域中，经常需要精确测量物体的角度。

勾股定理在实际问题中的应用举例

勾股定理在实际问题中的应用举例一、利用勾股定理解决立体图形问题勾股定理是揭示直角三角形的三条边之间的数量关系，可以解决许多与直角三角形有关的计算与证明问题，在现实生活中有着极其广泛的应用，下面就如何运用勾股定理解决立体图形问题举例说明，供参考。

一、长方体问题例1、如图1，图中有一长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm 的木箱，在它里面放入一根细木条（木条的粗细、变形忽略不计），要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是（）A 、41cmB 、34cmC 、50cmD 、75cm分析：图中BD 为长方体中能放入的最长的木条的长度，可先连接BC ，根据已知条件，可以判断BD 是Rt △BCD 的斜边，BD 是Rt △BCD 的斜边，根据已知条件可以求出BC 的长，从而可求出BD 的长。

解：在Rt △ABC 中，AB=5，AC=4，根据勾股定理，得BC=22AC AB +=41，在Rt △BCD 中，CD=3，BC=41，BD=22CD BC +=50。

所以选C 。

说明：本题的关键是构造出直角三角形，利用勾股定理解决问题。

二、圆柱问题例2、如图2，是一个圆柱形容器，高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的容器的上口外侧距开口处1cm 的点F 出有一苍蝇，急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度是多少？分析：勾股定理是平面几何中的一个重要定理，在遇到立体图形时，需根据具体情况，把立体图形转化为平面图形，从而使空间问题转化为平面问题。

由题意可知，S 、F 两点是曲面上的两点，表示两点间的距离显然不能直接画出，但我们知道圆柱体的侧面展开图是一个长方形，，于是我们就可以画出如图3的图，这样就转化为平面中的两点间的距离问题，从而使问题得解。

解：画出圆柱体的侧面展开图，如图3，由题意，得SB=60÷2=30（cm ），FB=18―1―1=16（cm ），在Rt △SBF 中，∠SBF=90°，由勾股定理得，SF=22FB SB +=221630+=34（cm ），所以蜘蛛所走的最短路线的长度是34cm 。

勾股定理在解决实际问题中的应用

勾股定理在解决实际问题中的应用勾股定理是解决数学问题中最基础的定理之一。

不过，它的应用远不止数学领域。

在现实世界中，勾股定理可以被广泛应用于建筑、制造、科学及其他领域。

本文将介绍一些勾股定理在实际问题中的应用。

一、建筑领域1.房屋布局在建造住宅或其他建筑物时，勾股定理可以帮助工程师确定布局和边角的角度。

例如，在设计一个房间时，可以使用勾股定理确保其拐角处形成一个精确的90度角，使得角落更符合设计标准。

2.斜坡建造斜坡的建造也需要使用勾股定理。

在建设跑道或楼梯时，勾股定理可以帮助工程师确定斜坡的正确角度，以确保它们安全合适。

二、科学领域1.热力学热力学是一门研究热量、压力和温度的学科，在这个学科中，勾股定理被用来计算三角形的斜边长度，并在计算气体和流体的压力和体积方面得到了应用。

2.物理学在物理学中，勾股定理被广泛应用于计算运动物体的速度、加速度和其他参数。

它常常被用于确定投掷物体的轨迹和速度，以及计算两个运动物体之间的距离。

三、万能应用1.测量距离在现实应用中，我们经常需要测量一些难以到达的地方的距离。

勾股定理可以帮助我们测量这些距离。

例如，当我们测量建筑物高度时，可以使用勾股定理计算出梯子爬升的高度，以确定建筑物的高度。

2.导航勾股定理还可以帮助我们在导航时定位。

例如，在导航仪上输入两个坐标，勾股定理可以计算出两个坐标之间的距离，帮助我们确定正确的方向并找到目的地。

以结束语的形式，无论是建筑、制造还是科学领域，勾股定理都有着广泛的应用。

它是解决实际问题的基础，也是进一步发展的基石。

通过这些应用，我们可以更好地理解这个基本的数学原理的真正意义。

勾股定理在实际问题中的应用

勾股定理在实际问题中的应用勾股定理是数学中的重要定理之一，被广泛应用于解决各种实际问题。

本文将介绍勾股定理的应用，并通过几个实例来阐述其在不同领域中的重要性。

一、建筑工程中的应用在建筑设计与施工过程中，勾股定理被广泛地应用于测量与校准工作中。

例如，在确定建筑物的平面布局时，我们可以通过测量建筑物两角之间的距离，并应用勾股定理，来确保建筑物的对称性和准确度。

此外，在测量高楼大厦的高度时，也常常利用勾股定理与观察角度的变化，来计算楼高，确保施工的安全与准确。

二、导航系统中的应用现代导航系统如GPS（全球定位系统）依赖于数学算法来确定位置和导航路径。

其中，勾股定理的应用是至关重要的。

通过测量卫星信号发送和接收的时间差，并结合勾股定理计算卫星与接收器的距离，我们可以确定接收器的位置。

因此，导航系统能够精确地提供行车路线、航行路径等信息，大大提高了交通的安全性和效率。

三、射击运动中的应用在射击运动中，射手需要通过准确地测量射程和角度来确定瞄准点。

在这个过程中，勾股定理被广泛用于计算目标与射击点之间的距离。

通过测量瞄准点和目标之间的水平距离，以及射击点相对于水平面的角度，我们可以利用勾股定理来计算目标的相对位置和理想的瞄准点。

这种应用不仅提高了射击运动的精确性，也有助于培养射手的反应能力和准确性。

四、金融投资中的应用在金融投资中，人们经常使用贝塔系数来衡量一个投资资产与整个市场的相关性。

贝塔系数的计算也依赖于勾股定理。

通过测量投资资产的历史回报率与市场指数之间的相关性，我们可以利用勾股定理计算贝塔系数，从而确定投资资产相对于市场的风险敞口。

这种应用方法有助于投资者评估投资组合的风险水平并做出相应决策，提高投资成功的概率。

五、地理测量中的应用在地理测量学中，勾股定理被广泛应用于测量地球表面的距离和角度。

地理测量学家常常使用全球定位系统和勾股定理来计算两地之间的直线距离、高度差、角度变化等。

这些信息在地图制作、航海导航、城市规划等领域中具有重要意义。

勾股定理在实际问题中的应用

勾股定理在实际问题中的应用勾股定理是数学中的重要定理．它揭示了直角三角形三边之间的数量关系，把数与形统一起来．勾股定理不仅在数学的发展中起着重要的作用，而且在现实世界中有着广泛的应用．下面举例说明勾股定理在实际生活中的应用．一、少走几步路例1.如图1，学校有一块长方形花铺，有极少数人从A 走到B ，为了避开拐角C 走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”．他们仅仅少走了步路（假设2步为1米），却踩伤了花草．分析：由图可见，走出来的“路”是直角边分别为3ｍ和4ｍ的直角三角形的斜边，由勾股定理，得该“路”的长为5ｍ，因此，行人仅仅少走了2米（即10步）路．点评：爱护花草人人有责，仅仅因为少走10步而不惜踩伤花草，破坏环境的确是大不应该的。

由此可见，只有懂得“三角形两边之和大于第三边”的人才知道走“捷径”的比经过拐角处的路程近些，但掌握的数学知识如果不能用正当的行为上，那将是数学的悲哀。

二、票价为多少元呢？例2.如图2，A 、B 、C 、D 是四个小镇，它们之间（除B 、C 外）都有笔直的公路相连接，公共汽车行驶于城镇之间，其票价与路程成正比．已知各城镇间的公共汽车票价如下：A ↔B ：10元；A ↔C ：12.5元；A ↔D ：8元；B ↔D ：6元；C ↔D ：4.5元．为了B 、C 之间的交通方便，要在B 、C 之间建成笔直公路，请按上述标准计算出B 、C 之间的公路的票价为多少元．分析：因为票价与路程成正比，故可将票价视为路程来处理，即AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5，利用勾股定理求解．解：因为票价与路程成正比，故可把票价视为路程来处理．已知：AB=10，AD=8，BD=6，AC=12.5，CD=4.5．因为AD 2+BD 2=82+62=64+36=100=102=AB 2，所以△ABD 为直角三角形，且∠ADB=90°．连接BC ，在Rt △BDC 中，CD=4.5，BD=6，所以224.567.5BC =+=．故B 、C 之间公共汽车票价为7.5元．点评：本题是利用勾股定理来解决生活中的实际问题．本题的技巧是将票价视为路程来处理，这一点与代数中的换元法极为相似．三、最短路程是多少例3如图3，一圆柱的底面周长为24cm ，高AB 为4cm ，BC 是直径，一只蚂蚁从点A 出发沿着圆柱体的表面爬行到点C 的最短路程大约是（）A ．6cmB ．12cmC ．13cmD ．16cm分析：把圆柱沿直径BC 剪开成两半，展开成平面后可得如图4，则蚂蚁从点A 爬行到“路”4m 3m 图1 AB C 图2 ＡＢ图3ＡＣ图4 Ｂ点C 的最短路程是矩形的对角线AC 的长，由已知，AB=4，BC=12，故AC=22412+≈12.6≈13（cm ），故选C ．点评：解立体图形问题的基本思想是把立体图形平面化，因此，圆柱问题通常要把它沿一条母线剪开，然后铺展为矩形，这里要注意到蚂蚁从点A 出发到点C ，当圆柱沿母线AB 展开成矩形时，点C 对应的是矩形一边的中点。

简单勾股定理的应用例题

简单勾股定理的应用例题简单勾股定理是数学中的一个基本定理，它描述了直角三角形中的边之间的关系。

根据勾股定理，直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方。

这个定理在实际生活中有很多应用。

下面我们来看几个常见的应用例题。

例题1：一块田地的形状是一个直角三角形，已知两条边的长度分别为3米和4米，求斜边的长度。

解法：根据勾股定理，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

即斜边的平方 = 3 + 4 = 9 + 16 = 25。

因此，斜边的长度为√25 = 5米。

例题2：一根电线杆倾斜在地面上，形成一个直角三角形。

已知杆子与地面的夹角为30°，杆子的长度为10米，求电线的长度。

解法：我们可以将问题转化为一个直角三角形中已知一个直角边和斜边，求另一个直角边的问题。

根据勾股定理，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

即斜边的平方 = 直角边的平方 + 另一个直角边的平方。

已知斜边为10米，夹角为30°，可知直角边 = 斜边 * sin(夹角) = 10 * sin(30°) ≈ 5米。

因此，电线的长度约为5米。

例题3：一个直角三角形的两条直角边分别是6厘米和8厘米，求斜边的长度。

解法：直接使用勾股定理，斜边的平方等于两个直角边的平方和。

即斜边的平方 = 6 + 8 = 36 + 64 = 100。

因此，斜边的长度为√100 = 10厘米。

通过这些例题，我们可以看到勾股定理在解决直角三角形的问题中起到了重要的作用。

它可以帮助我们求解未知边长、角度等相关问题。

在实际应用中，勾股定理也被广泛应用于建筑、测量、工程等领域。

勾股定理题型很全面

典型例题：一、利用勾股定理解决实际问题例题：水中芦苇梯子滑动1、有一个传感器控制的灯,安装在门上方,离地高米的墙上,任何东西只要移至5米以内,灯就自动打开,一个身高米的学生,要走到离门多远的地方灯刚好打开2、如图,公路MN和公路PQ在P点处交汇,点A处有一所中学,AP=160米,点A到公路MN的距离为80米,假使拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪音影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到影响,请说明理由；如果受到影响,已知拖拉机的速度是18千米/小时,那么学校受到影响的时间为多少3、如图,南北向MN为我国领海线,即MN以西为我国领海,以东为公海,上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以每小时海里的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN在线巡逻的我国反走私艇B密切注意,反走私A艇通知反走私艇B时,A和C两艇的距离是20海里,A、B两艇的距离是12海里,反走私艇B测得距离C是16海里,若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海二、与勾股定理有关的图形问题1．已知△ABC是边长为1的等腰直角三角形,以Rt△ABC的斜边AC为直角边,画第二个等腰Rt△ACD,再以Rt△ACD的斜边AD为直角边,画第三个等腰Rt△ADE,…,依此类推,第n个等腰直角三角形的斜边长是．2．如图,直线l经过正方形ABCD的顶点B,点A、C到直线l的距离分别是1、2,则正方形的边长是____ _____．3．在直线上依次摆着七个正方形如图,已知斜放置的三个正方形的面积分别为1,2,3,正放置的四个正方形的面积是S1,S2,S3,S4,则S1＋S2＋S3＋S4＝______ ___．4．如图,△ABC中,∠C＝90°,1以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形如图①,探究S1＋S2与S3的关系；2以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形如图②,探究S1＋S2与S3的关系；3以直角三角形的三边为直径向形外作半圆如图③,探究S1＋S2与S3的关系．图①图②图③5．如图,设四边形ABCD是边长为1的正方形,以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF,再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH,如此下去…,记正方形ABCD的边长a1=1,依上述方法所作的正方形的边长依次为a1,a2,a3,…,an,根据上述规律,则第n个正方形的边长an＝___ _____记正方形AB－CD的面积S1为1,按上述方法所作的正方形的面积依次为S2,S3,……,S n n为正整数,那么S n＝____ ____．6、如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,AB=4,分别以AC、BC为直径作半圆,则图中阴影部分的面积为．三、关于翻折问题1、如图,折叠矩形纸片ABCD,先折出折痕对角线BD,再折叠,使AD落在对角线BD上,得折痕DG,若AB = 2,BC = 1,求AG.2、如图,把矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠,点B落在点E处,EC与AD相交于点F.1求证：△FAC是等腰三角形；2若AB=4,BC=6,求△FAC的周长和面积.3、如图,将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好点处,已知cmCE6=,cmAB16=,求BF的长．4、如图,一张矩形纸片ABCD的长AD=9㎝,宽AB=3㎝;;求折叠后BE的长和折痕EF的长;5、矩形纸片ABCD的边长AB=4,AD=2．将矩形纸片沿EF折叠,使点着色如图,求着色部分的面积;6、如图,矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点,CD边上的点G处,求BE的长.7如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿直线AD翻折,点’的长.五、四、关于最短性问题1：如图1,长方体的长为12cm,宽为6cm,高为5cm,一只蚂蚁沿侧面从A点向B点爬行,问：爬到B点时,蚂蚁爬过的最短路程是多少2、如图壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击．请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫3：如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟4.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽和高分别等于5cm,3cm和1cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点上有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短线路是多少的圆柱形水塔,现制造一个螺旋形登梯,为减小坡度,要求登梯绕塔环,你一定会发现其中的奥妙6、有一圆柱形食品盒,它的高等于16cm,底面直径为20cm, 蚂蚁爬行的速度为2cm/s. ⑴如果在盒内下底面的A 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含πA 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间盒的,结果可含π 的半圆,一只蚂蚁沿圆锥侧面从A 点向B 点爬行,问：12当爬行路程最短时,求爬行过程中离圆锥顶点C 的最近距离．2,母线PB 的长为6,D 为PB 的中点．一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆锥的侧面爬行到点D,则蚂蚁爬行的最短路程为五、关于勾股定理判定三角形形状1、已知,△ABC 中,AB=17cm,BC=16cm,BC 边上的中线AD=15cm,试说明△ABC 是等腰三角形; 2：已知△ABC 的三边a 、b 、c,且a+b=17,ab=60,c=13, △ABC 是否是直角三角形你能说明理由吗 3、如图,在Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CD ⊥AB 于D,设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h ．试说明：1；2a+b ＜c+h ；3判断以a+b 、h 、c+h 为边的三角形的形状,并说明理由．4、在等腰直角三角形ABC 的斜边AB 上取两点M,N,使∠MCN=45°,记AM=m,MN=x,BN=n;试判断以x,m,n 为边长的三角形的形状;六、关于旋转中的勾股定理的运用： 1、如图,△ABC 是直角三角形,BC 是斜边,将△ABP 绕点A 逆时针旋转后,能与△AC P ′重合,若AP=3,求PP ′的长;变式1：如图,P 是等边三角形ABC 内一点,PA=2,PB=求△ABC 的边长. 分析：利用旋转变换,将△BPA 绕点B 逆时针选择60°,将三条线段集中到同一个三角形中,根据它们的数量关系,由勾股定理可知这是一个直角三角形. 七、关于勾股定理的相关证明1、如图,在△ABC 中,AB=AC,P 为BC 上任意一点,求证:22AB AP PB PC -=⋅ 分析：考虑构造直角三角形,能利用勾股定理.2,如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC,D 是BC 上的点．求证： BD 2+CD 2= 2AD 2.．八、综合题1、已知Rt △ABC 中,∠ACB=90°,CA=CB,有一个圆心角为45°,半径的长等于CA 的扇形CEF 绕点C旋转,且直线CE,CF 分别与直线AB 交于点M,N ．Ⅰ当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 的内部旋转时,如图1,求证：MN2=AM2+BN2；思路点拨：考虑MN2=AM2+BN2符合勾股定理的形式,需转化为在直角三角形中解决．可将△ACM 沿直线CE 对折,得△DCM,连DN,只需证DN=BN,∠MDN=90°就可以了．请你完成证明过程．Ⅱ当扇形CEF 绕点C 旋转至图2的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立若成立,请证明；若不成立,请说明理由．2、如图,已知反比例函数的图象与一次函数y=k2x+b 的图象交于A,B 两点,A1,n, B-,-2． 1求反比例函数和一次函数的解析式； 2在x 轴上是否存在点P,使△AOP 为等腰三角形若存在,请你直接写出P 点的坐标；若不存在,请说明理由．。

勾股定理典型应用例题

1.基础应用题目：在一个直角三角形中，已知直角边a为3，直角边b为4，求斜边c的长度。

答案：根据勾股定理，c² = a² + b²，所以c² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25，从而c = 5。

2.逆应用题目：已知直角三角形的斜边c为5，一条直角边a为3，求另一条直角边b的长度。

答案：根据勾股定理，b² = c² - a²，所以b² = 5² - 3² = 25 - 9 = 16，从而b = 4。

3.实际应用题目：一个直角三角形的两条直角边分别是6米和8米，一个正方形的一边与这个直角三角形的斜边重合，求这个正方形的面积。

答案：首先，根据勾股定理求出斜边长度c，c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100，所以c = 10。

正方形的面积为边长的平方，即10² = 100平方米。

4.比较大小题目：比较两个数的大小：√17和4。

答案：考虑直角边为1和4的直角三角形，斜边c满足c² = 1² + 4² = 17，所以c = √17。

显然，斜边c（即√17）大于直角边4。

5.多解问题题目：一个直角三角形的周长为12，其中一条直角边长为3，求另外两边的长。

答案：设另一条直角边为a，斜边为b。

根据勾股定理，a² + 3² = b²。

同时，根据周长信息，a + 3 + b = 12，即a + b = 9。

解这两个方程，得到两组解：a = 4, b = 5 和a = 5, b = 4。

6.非整数边长问题题目：在直角三角形中，已知直角边a为√3，直角边b为√4，求斜边c的长度。

答案：根据勾股定理，c² = a² + b²，所以c² = (√3)² + (√4)² = 3 + 4 = 7，从而c = √7。

专题02 勾股定理的四种实际应用(解析版)2021-2022学年八年级数学上(北师大版,成都专用)

专题02 勾股定理的四种实际应用【基础知识点】勾股定理的实际应用有很多，有梯子滑落问题、最短距离问题，树枝旗子折断问题，航海是否有影响问题等等，构造直角三角形是解决问题的关键。

类型一、梯子滑落高度问题例1.如图，一架梯子AB 斜靠在一竖直的墙OA 上，这时 2.5m AO =，30OAB ∠=︒．梯子顶端A 沿墙下滑至点C ，使60OCD ∠=︒，同时，梯子底端B 也外移至点D ．求BD 的长度．（结果保留根号）【解析】在Rt OAB 中， 2.5AO =，30OAB ∠=︒，2AB ∴=根据勾股定理知BO ，60OCD ∠=︒，30ODC ∴∠=︒，在AOB ∆和DOC ∆中，OAB ODC AOB DOC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()AOB DOC AAS ∴∆≅∆，OA OD ∴=，OC OB =，52BD OD OB ∴=-==．【变式训练1】如图所示，一架梯子AB 斜靠在墙面上，且AB 的长为2.5米．（1）若梯子底端离墙角的距离OB 为1.5米，求这个梯子的顶端A 距地面有多高？（2）在（1）的条件下，如果梯子的顶端A 下滑0.5米到点A'，那么梯子的底端B 在水平方向滑动的距离BB'为多少米？【答案】（1）梯子距离地面的高度为2米；（2）梯子的底端水平后移了0.5米．【解析】（1）根据勾股定理：所以梯子距离地面的高度为：AO2==米；（2）梯子下滑了0.5米即梯子距离地面的高度为OA′＝（2.5﹣0.5）＝2米，根据勾股定理：OB′＝2米，所以当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了2﹣1.5＝0.5米，答：当梯子的顶端下滑0.5米时，梯子的底端水平后移了0.5米．【变式训练2】如图，一架25米长的梯子AB，斜靠在竖直的墙MO上，梯子底端B到墙底端O的距离为7米．（1）若梯子的顶端A沿墙面下滑4米，那么底端B将向外移动多少米？请写出解题过程．（2）在梯子AB滑动过程中，AB上是否存在点P，它到墙底端O的距离保持不变？若存在，请求出OP 的长；如果不存在，请说明理由．【答案】（1）8米；（2）存在，252 OP m=【解析】如图，在直角△ABO中，已知AB=25米，BO=7米，则由勾股定理得：（米）；△AO=AA1+OA1△OA1=24米-4米=20米，△在直角△A1B1O中，AB=A1B1，且A1B1为斜边，△由勾股定理得：OB1米，△BB1=OB1-OB=15米-7米=8米；答：梯足将向外移8米．（2）AB的中点P到O的距离始终不变，12522 OP AB m ==类型二、水杯中的筷子问题例1．如图所示，将一根长为24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露在外面的长为hcm，则h的取值范围是（）A．0＜h≤11B．11≤h≤12C．h≥12D．0＜h≤12【答案】B【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12cm．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，如图所示：此时，AB13cm，△h＝24﹣13＝11cm．△h的取值范围是11cm≤h≤12cm．故选：B．【变式训练】如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm，3cm，12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管插在盒内部分的长度h的最大值为____________ cm．【答案】13【解析】如图所示：BC =3cm ，CD =4cm ，AB =12cm ，连接BD 、AD ，在Rt △BCD 中，BD （cm ），在Rt △ABD 中，AD （cm ）．故吸管插在盒内部分的长度h 的最大值为13cm ．故答案为：13．类型三、最短距离问题例1．如图，一个长方体盒子紧贴地面，一只蚂蚁由A 出发，在盒子表面上爬到点G ，已知6AB =，5BC =，3CG =，这只蚂蚁爬行的最短路程是________．【答案】10【解析】由题意，如图1所示，得AG == 如图2所示，得10AG ==，如图3所示，AG ==△蚂蚁爬行的最短路程是10．故答案为：10.【变式训练1】如图所示，ABCD 是长方形地面，长8m AB =，宽5m AD =，中间竖有一堵砖墙高2m MN =．一只蚂蚱从A 点爬到C 点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走________m 的路程．【答案】13【解析】如图所示，将图展开，图形长度增加2MN ，原图长度增加4米，则8412m AB =+=，连接AC ．△四边形ABCD 是长方形， 12m AB =，宽5m AD =，△13m AC ===．△蚂蚱从A 点爬到C 点，它至少要走13m 的路程．故答案为：13【变式训练2】如图，台阶阶梯每一层高20cm ，宽40cm ，长50cm ．一只蚂蚁从A 点爬到B 点，最短路程是____________．【答案】130cm【解析】如图所示，△楼梯的每一级的高宽长分别为20cm ，宽40cm ，长50cm ，△130AB ==(cm) 即蚂蚁从点A 沿着台阶面爬行到点B 的最短路程是130cm ．故答案为：130cm ．类型三、是否有影响问题例1．台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上百千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力，如图，有一台风中心沿东西方向AB 由A 行驶向B ，已知点C 为一海港，且点C 与直线AB 上的两点A ，B 的距离分别为300AC km =，400BC km =，又500AB km =，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域．（1）求ACB ∠的度数．（2）海港C 受台风影响吗？为什么？（3）若台风的速度为20千米/小时，当台风运动到点E 处时，海港C 刚好受到影响，当台风运动到点F 时，海港C 刚好不受影响，即250CE CF km ==，则台风影响该海港持续的时间有多长？【答案】（1）90︒；（2）海港C 受台风影响，证明见解析；（3）台风影响该海港持续的时间为7小时．【解析】（1）300AC km =，400BC km =，500AB km =，222AC BC AB ∴+=，ABC ∆∴是直角三角形，△△ACB=90°；（2）海港C 受台风影响，过点C 作CD AB ⊥，ABC ∆是直角三角形，AC BC CD AB ∴⨯=⨯，300400500CD ∴⨯=⨯，240()CD km ∴=，以台风中心为圆心周围250km 以内为受影响区域，∴海港C 受台风影响．（3）当250EC km =，250FC km =时，正好影响C 港口，70()ED km ==，140EF km ∴=，台风的速度为20千米/小时，140207∴÷=（小时）答：台风影响该海港持续的时间为7小时．【变式训练1】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160米处有一所学校A ，当重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P 与学校A 的距离越近噪声影响越大．若已知重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶的速度为36千米/时，则对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离是___米；重型运输卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间是____秒．【答案】80 12【解析】作AD ON ⊥于D ，30MON ∠=︒，160AO =m ，1802AD OA ∴==m ，即对学校A 的噪声影响最大时卡车P 与学校A 的距离80m ．如图以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点， AD BC ⊥，12BD CD BC ∴==，在Rt △ABD 中，60BD ==m ，120BC ∴=m ，重型运输卡车的速度为36千米/时10=米/秒，∴重型运输卡车经过BC 的时间1201012=÷=（秒)，故卡车P 沿道路ON 方向行驶一次给学校A 带来噪声影响的时间为12秒．故答案为：80，12．【变式训练2】如图，有两条公路OM 、ON 相交成30°角，沿公路OM 方向离O 点160m 处有一所医院A ，当卡车P 沿道路ON 方向行驶时，在以P 为圆心，100米为半径的圆形区域内都会受到噪声的影响．若已知卡车的速度为250米/分钟，则卡车P 沿道路ON 方向行驶一次时，给医院A 带来噪声影响的持续时间是__分钟．【答案】0.48．【解析】作AD△ON 于D ，△△MON ＝30°，AO ＝160m ，△AD ＝12OA ＝80m ，以A 为圆心100m 为半径画圆，交ON 于B 、C 两点，△AD△BC ，△BD ＝CD ＝12BC ，在Rt△ABD 中，BD 60m ==，△BC ＝120m ，△卡车的速度为250米/分钟，△卡车经过BC 的时间＝120÷250＝0.48分钟，故答案为：0.48．类型四、是否超速问题例1.“某市道路交通管理条例”规定：小汽车在城市街路上行驶速度不得超过40千米/时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面对车速检测仪A 正前方18米的C 处，过了2秒后到达B 处（BC △AC ），测得小汽车与车速检测仪间的距离AB 为30米，请问这辆小汽车是否超速？若超速，则超速了多少？【答案】这辆小汽车超速，每小时超速3.2千米．【解析】根据题意，得18,30,90AC m AB m C ==∠=︒，在Rt△ACB 中，根据勾股定理可得：24.BC ==小汽车2秒行驶24米，则1小时行驶243600432002m ⨯=，即小汽车行驶速度为43.2千米/时，因为43.2＞40，所以小汽车超速行驶，超速43.240 3.2-=（千米/时）．【变式训练】《城市交通管理条例》规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A 正前方30米的C 处，过了2秒后，小汽车行驶至B 处，若小汽车与观测点间的距离AB 为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【答案】这辆小汽车超速【解析】根据题意，得AC=30m ，AB=50m ，△C=90°，在Rt△ACB 中， 40===BC m ， △小汽车的速度4020/72/70/2==>m m s km h km h s； △这辆小汽车超速．课后练习1．高铁修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D （,,A C D 共线）处同时施工．测得30,8km,105CAB AB ABD ∠=︒=∠=︒，求BD 长．（结1.414≈≈）【答案】BD 长约为5.7km ．【解析】如图，过点B 作BE AD ⊥于点E ，30,8km CAB AB ∠=︒=，14km 2BE AB =∴=，60ABE ∠=︒，105ABD ∠=︒，45DBE ABD ABE ∴∠=∠-∠=︒，Rt BDE ∴是等腰直角三角形， 5.656 5.7(km)BD ∴==≈≈，答：BD 长约为5.7km ．2．如图，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C ，河边原有两个取水点,A B ，其中AB AC =，由于某种原因，电C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H （A H B 、、在同一条直线上），并新修一条路CH ，已知CB =千米，2CH =千米，1HB =千米．（1）CH 是否为从村庄C 到河边的最近路？请通过计算加以说明．（2）求新路CH 比原路CA 少多少干米？【答案】（1）是，证明见解析；（2）12千米．【解析】（1）△在CHB 中，2,1,CH BH BC ===22221+=，CHB ∴是以BHC ∠为直角的直角三角形，CH AB ∴⊥，△点到直线垂线段的长度最短，CH ∴是村庄C 到河边的最近路．（2）设AC AB x ==，1BH =千米，(1)AH AB BH x ∴=-=-千米，在Rt ACH 中，由勾股定理得：222CH AH AC +=，2222(1)x x ∴+-=，解得52x =， 52AC AB ∴==千米，CH ∴比CA 少51222-=千米． 3．在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C 处需要爆破，已知点C 与公路上的停靠点A 的距离为800米，与公路上另一停靠点B 的距离为600米，且CA CB ⊥，如图，为了安全起见，爆破点C 周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB 段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．【答案】公路AB 段没有危险不需要暂时锁锁，见解析【解析】公路AB 段没有危险不需要暂时封锁，如图，过点C 作CD AB ⊥于点D ．△CA CB ⊥，800AC =米，600BC =米，△1000AB =（米）．△8006004801000BC AC CD AB ⋅⨯===（米）． △450480<，△公路AB 段没有危险不需要暂时封锁．4．如图，小明家在一条东西走向的公路MN 北侧200米的点A 处，小红家位于小明家北500米（500AC =米）、东1200米（1200BC =米）点B 处．（1）求小明家离小红家的距离AB ；（2）现要在公路MN 上的点P 处建一个快递驿站，使PA PB +最小，请确定点P 的位置，并求PA PB +的最小值．【答案】（1）1300AB =米；（2）见解析，1500米【解析】（1）如图，连接AB ，由题意知AC =500，BC =1200，△ACB =90°，在Rt △ABC 中，△△ACB =90°，△AB 2=AC 2+BC 2=5002+12002=1690000，△AB ＞0，△AB =1300米；（2）如图，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A 'B 交MN 于点P ．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A 'B ，由题意知AD =200米，A 'C △MN ，△A 'C =AC +AD +A 'D =500+200+200=900米，在Rt △A 'BC 中，△△ACB =90°，△A 'B 2=A 'C 2+BC 2=9002+12002=2250000，△A 'B ＞0，△A 'B =1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．5．某高速公路的同一侧有A ，B 两个城镇，如图所示，它们到高速公路所在直线MN 的距离分别为2km AE =，3km BF =，12km EF =，要在高速公路上E 、F 之间建一个出口Q ，使A 、B 两城镇到Q 的距离之和最短，在图中画出点Q 所在位置，并求出这个最短距离．【答案】见解析，13km【解析】作点B 关于MN 的对称点C ，连接AC 交MN 于点Q ，则点Q 为所建的出口；此时A 、B 两城镇到出口Q 的距离之和最短，最短距离为AC 的长．作AD BC ⊥于D ，则90ADC ∠=︒，AE△MN ，BF△MN ，△四边形AEFD 为矩形△12AD EF ==，2DF AE ==在t R ADC 中，12AD =，5DC DF CF =+=，△由勾股定理得：13AC ===△这个最短距离为13km ．6．如图，某工厂A 到直线公路l 的距离AB 为3千米，与该公路上车站D 的距离为5千米，现要在公路边上建一个物品中转站C ，使CA ＝CD ，求物品中转站与车站之间的距离．【答案】258千米【解析】由题意可得：AB=3，AD=5△在Rt△ABD 中，4BD ===设AC=CD=x ，则BC=4-x ，在Rt△ABC 中，2223(4)x x +-=，解得：x=258 △物品中转站与车站之间的距离CD 的长为258千米故答案为：258千米。

生活中的勾股定理

生活中的勾股定理数学源于实际，数学的发展主要依赖于生产实践，从数学应用的角度来处理数学，阐释数学，呈现数学，使学生了解到数学是有用的，数学就在我们身边．利用勾股定理可以解决实际生活中的许多问题．下面举例分析如下：一．地基挖的合格吗?例1 如图2，是一农民建房时挖地基的平面图，按标准应为长方形，他在挖完后测量了一下，发现AB=DC=8m ，AD=BC=6m ，AC=9m ，请你帮他看一下挖的是否合格？分析：本题是数学问题在生活中的实际应用，所以我们要把实际问题转化成数学问题来解决，运用直角三角形的判别条件，来验证它是否为直角三角形． ∵,819,10086222222===+=+AC DC AD∴222AC DC AD ≠+,所以△ADC 不是直角三角形，∴,900≠∠ADC 而标准为长方形，所以四个角应为直角．所以该农民挖的不合格．评注：勾股定理的逆定理，在解决实际问题中、有着广泛的应用，可以用它来判定直角，家里建房时，常需要在现场画出直角，在没有测量角的一起的情况下，工人是如常利用勾股定理的逆定理得到直角．二．木棒能放进木箱吗?例1 有一根70cm 长的木棒，要放在长、宽、高分别是50cm ，30cm ，40cm 的木箱中，能放进去吗？分析：由于木棒长为70cm ，远大于各面的边长，而且比每个面的对角线还要长，故按各面的大小都放不进去，但要注意木箱的形状是立体图形，可以利用空间的最大长度．解：能放进去．如图4，连接111,AC C A ,在Rt △111C B A 中,3400305022211211211=+=+=C B B A C A ．在Rt △11C AA 中,500034004022112121=+=+=C A AA AC ,∵5000＞270,∴170AC > (cm)∴70cm 长的木棒，能放进这只木箱中．评注：解决此题的关键在于明确1AC 即为木箱所能容纳的最大长度，这里充分利用了木箱各邻边的垂直关系，创造了连续运用勾股定理的条件，同时还能培养学生的空间想象力．。

勾股定理的实际应用

勾股定理的实际应用
勾股定理的应用如下：
1、勾股定理理解三角形。

2、勾股定理与网格问题。

3、利用勾股定理解决折叠问题。

4、利用勾股定理证明线段的平方关系。

5、利用勾股定理解决实际问题——求梯子滑落高度。

6、利用勾股定理解决实际问题——求旗杆高度。

7、利用勾股定理解决实际问题——求蚂蚁爬行距离。

勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

中国古代称直角三角形为勾股形，并且直角边中
较小者为勾，另一长直角边为股，斜边为弦，所以称这个定理为勾股定理，也有人称商高定理。

实际应用如下：
1、面积法：一个图形或者是面积相等的图形的面积有2种表示方法，从而得出关于边之间的等式。

应用比较普遍，主要用于求边长，找边之间的关系。

2、讲解的是方程思想：通过设未知数，结合某些定理，建立方程来完成解答，数学思想中常见的思想方法。

3、正方形中，利用边长相等，结合全等，找到相等的边，借助勾股定理，找到多个正方形之间的关系。

4、2002年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的，是由4个全等的直角三角形与1个正方形
构成的图案。

勾股定理的纯数学应用

勾股定理的纯数学应用
勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在实际生活中，勾股定理有许多应用，以下是一些常见的例子：
1.计算面积：通过使用勾股定理，可以计算出不规则图形的面积。

例如，在
计算梯形、三角形和圆形的面积时，可以使用勾股定理来确定某些边长或
半径的长度。

2.确定高度：在建筑和工程领域，勾股定理可以用于确定建筑物或构筑物的
高度。

例如，如果已知一个建筑物的底部长度和宽度，以及其高度与底部
长度的比值，可以使用勾股定理来计算其高度。

3.设计图形：在设计和艺术领域，勾股定理可以用于设计各种形状和图案。

例如，可以使用勾股定理来设计具有特定比例和对称性的图形，如等边三
角形、正方形和圆形。

4.测量距离：在测量和测绘领域，勾股定理可以用于测量距离。

例如，可以
使用勾股定理来测量两点之间的距离，或者计算某一点到某一直线的距离。

5.确定时间：在天文学领域，勾股定理可以用于确定天体的位置和时间。

例
如，可以使用勾股定理来计算太阳系中的行星和卫星的位置，以及计算地
球的自转和公转周期。

总的来说，勾股定理是数学中的一个重要工具，它在实际生活中的应用非常广泛，包括建筑、工程、设计、艺术、测量、天文学等领域。

勾股定理的实际问题

初中数学 如何证明勾股定理在解决实际问题中的应用

勾股定理的应用

勾股定理的实际应用案例分析

用勾股定理解决实际问题

用勾股定理解决问题

勾股定理生活中的应用

勾股定理的实际应用【十二大题型】(解析版)

勾股定理在实际生活中的应用

应用勾股定理解实际问题

勾股定理在实际问题中的应用举例

勾股定理在解决实际问题中的应用

勾股定理在实际问题中的应用

勾股定理在实际问题中的应用

简单勾股定理的应用例题

勾股定理题型很全面

勾股定理典型应用例题

专题02 勾股定理的四种实际应用(解析版)2021-2022学年八年级数学上(北师大版,成都专用)

生活中的勾股定理

勾股定理的实际应用

勾股定理的纯数学应用

初中数学如何证明勾股定理在解决实际问题中的应用