回归分析2.上课

z=bx+a (a=lnc1,b=c2)
由原始数据表中的数据可以得到变换后的样本数据表如下：
x 1 1.792 2 2.485 3 3.219 4 3.892 5 4.554 6 5.247
z ln y
繁殖个数的对数 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 天数x/天
z=bx+a
ˆ =e0.69 x 1.112 . 答案：所求非线性回归方程为 y
由表中数据得散点图如下：
繁殖个数y/个 160 140 120 100 80 60 40 20 0 1 2 3 4 5 6 天数x/天
构造曲线模型：
y c1e
c2 x
，其中c1,c2是待定参数
令z ln y, 把非线性回归方程转化 为线性回归方程
知识回顾
• 在对两个变量进行回归分析时，有如下步骤: (1)画散点图 (2)分析与预测 (3)选模型 (4)选变量 (5)估计参数 (4) (1) (3) (5) (2) 则正确的操作顺序是
建立回归模型的基本步骤：
1.确定研究对象，明确哪个变量是解释变量，哪个 变量是预报变量;
2.画出散点图,观察变量之间的关系(如是否存在线性关系等);
0.272 x 3.849 ˆ ye
最小二乘估计法的思想同样 适用于非线性模型，但不能给出 统一的公式，多数情况下用数值 计算的方法.
巩固练习
为了研究某种细菌随时间x变化，繁殖的个数，收集 数据如下：
天数x/天 繁殖个数y/个 1 6 2 12 3 25 4 49 5 95 6 190
（1）用天数作解释变量，繁殖个数作预报变量，作出这些数 据的散点图； （2）试求出预报变量对解释变量的回归方程.
温度
构造曲线模型：
y c1e
c2 x
其中c1,c2是待定参数
思考：能否用最小二乘法来确定c1,c2？
思考：能否将两个非线性变量转化为 线性变量呢？怎么转化？
思考：如何转化？
y c1e
c2 x
令z ln y
z=bx+a
非线性问题转化为线性问题
z=bx+a (a=lnc1,b=c2)
变换后的样本数据表如下：
2
yi yi
21 7
0.577
47.696
( 2)
x y
(1) ˆ e ˆ(2) e
23 11
-0.101
19.400
25 21
1.875
27 24
-8.950
29 66
9.230
32 115
35 325
-13.381 34.675
-5.832 -41.000 -40.104 -58.265 77.968
比较两个模型的残差的平方和的大小：
(1)
(2)
ˆ (y y
i 1
n
n
(1) 2
i
i
) 1550.538
ˆ (y y
i 1 i
( 2) 2
i
) 15448 .431
1550.538<15448.431
模型（1）的拟合效果较好
2 R 比较两个模型的相关指数 的大小：
(1) 2 ˆ ( y i yi ) n
(1) R2=1-
i 1
( y
0.80 =0.80
i
y)
( 2) 2 ˆ ( yi yi )
(2) R2=1-
i 1
( y
i 1
n
2
i
y)
残差分析或 R 的比较得出（1）的拟合效果较好
2
小 结
用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤：
利用回归方程探究非线性回归问题，可按 “作散点图” “建模” “确定方程” 这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题 转化成线性回归问题 .
x
z
21
23
25
27
29
32
35
1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.475 5.784
产卵数的对数
8 7 6 5
z=bx+a
4
3 2 1 0 20 22 24 26 28 30 32 34 36
温度
i 1 2 3 4 5 6 7 合计
xi
21 23 25 27 29 32 35 192
1 n z zi 3.574 n i 1
b

i 1 n
xi yi n x y
i 1
n
xi n x

2
2
0.272
a y b x 3.849
于是得到线性回归方程
z 0.272 x 3.849
因此，红铃虫的产卵数对温度的非线性回归方程为

200 150 100 50 0 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
250
温度
思考：如何转化？
y c1e
c2 x
令z ln y
z=bx+a
非线性问题转化为线性问题
z=bx+a (a=lnc1,b=c2)
y c3 x c4
2
2 t=x
y=c3t+c4
变换后的样本数据表如下：
新课讲授
例2：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了 7组观测数据列于下表中，试建立Y与x之间的回归方 程.
温度x／℃ 产卵数y／个
21 7
23 11
25 21
27 24
29 66
32
35
115 325
观察散点图，发现了什么
产卵数
400 350 300
二次函数模型
2
二次曲线 y c3 x c4模型
i 1 2 3 4 5 6 合计
xi
1 2 3 4 5 6 21
zi
1.792
2.485 3.219 3.892 4.554 5.247
21.189
xi
2
xi zi
1.792
4.97 9.657 15.568 22.77 31.482 86.239
1 4 9 16 25 36 91
1 n x xi 3.5 n i 1
t y 441
7 产卵数
350
300 250 200 150 100 50 0 400 529 625 729 841 1024 1225
529
11
625
21
729
24
841 1024 1225
66 115 325
发现y与t的散点图并不是分 布在一条直线的周围
温度的平方
用残差分析两个模型拟合效果
(1) y e
zi
1.946 2.398 3.045 3.178 4.190 4.475 5.784 25.016
xi
2
xi zi
40.866 55.154 76.125 85.806 121.51 143.2 202.44 725.101
411 529 625 729 841 1024 1225 5384
1 n x xi 27 .429 n i 1
3.由经验确定回归方程的类型 4.按一定规则(如最小二乘法)估计回归方程中的参数 5.得出结果分析残差图是否有异常，若存在异常， 则检查数据是否有误,或模型是否合适等.
选变量 画散点图 选模型 估计参数 分析与预测
新课讲授
例2：一只红铃虫的产卵数y和温度x有关，现收集了 7组观测数据列于下表中，试建立Y与x之间的回归方 程.
(1)

0.272 x 3.849
(1)
, (2) y 0.367x 202.543
2

ei yi yi ei
( 2)
yi e0.272 x 3.849 , i 1,2,...,7; yi (0.367x 202.543), i 1,2,...,7.
温度x／℃ 产卵数y／个
21 7
23 11
25 21
27 24
29 66
32
35
115 325
分析： 哪个变量作自变量，哪个变量作因变量？
观察散点图，红铃虫的产卵数y和温度x具有线性关系吗?
产卵数
400 350 300
指数函数模型
250
200 150 100 50 0 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38
1 n z zi 3.532 n i 1
b

i 1 n
xi zi n x z
i 1
n
xi n x

2
2
0.69
a z b x 1.112
于是得到线性回归方程
z 0.69 x 1.112
因此，细菌的繁殖个数对天数的非线性回归方程为

ˆ =e y
0.69 x 1.112
小 结
用回归方程探究非线性回归问题的方法、步骤：
利用回归方程探究非线性回归问题，可按 “作散点图” “建模” “确定方程” 这三个步骤进行. 其关键在于如何通过适当的变换，将非线性回归问题 转化成线性回归问题 .
知识回顾
建立回归模型的基本步骤：
(1)选变量 (2)画散点图 (3)选模型 (4)估计参数 (5)分析与预测