复数的概念与几何意义

一一对应
有序实数对(a,b)
一一对应
一一对应
复数z=a+bi 直角坐标系中的点 Z(a,b) (或平面向量 OZ ) （形） （数） y 1799 年德国数学家高斯提出了复 z=a+bi 建立了平面直角 数的几何意义，完善了复数体系。 b Z(a,b) 坐标系来表示复数的 平面 ------复平面 (高斯平面)
3.1 复数的概念与几何意义
数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产
和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集
有理数集
实数集
我们可以用下面一组方程来形象的说明数系的发
展变化过程：
（1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？
（2）在整数集中求方程 2x+1＝0的解？
2 2 | z | = | OZ | a b
3、复数z a bi的共轭复数为： z a bi
解： 1 复数z的模等于2，这表明，向量OZ的长度等 于2，即点Z到原点的距离等于2,
因此满足条件 z 2的点Z的集合是以原点O为圆心， 以2为半径的圆；
2 不等式2 z 3可以化为不等式组
z 3 z 2
不等式 z 3的解集是圆 z 3和该圆内部所有的点 构成的集合； 不等式 z 2的解集是圆 z 2和该圆外部所有点
O
y
x
2 2 | z | = |OZ | a b
概念：（2）共轭复数
如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数， 则这两个复数叫做互为共轭复数.
复数z的共轭复数用z 表示.即当z a bi时，则 z a bi
当复数z a bi的虚部b 0时，有z z 即：任一实数的共轭复数仍是它本身.
2 2
（1）实数 （2）虚数 （3）纯虚数
3.规定：如果两个复数的实部和虚部分
别相等，那么我们就说这两个复数相等．
若a, b, c, d R,
a c a bi c di b d
a bi 0 a 0 且 b 0
2) 一般来说，两个虚数只能说相等或不相
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .
复数集C和实数集R之间有什么关系？
R C
讲解新课
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R, b R)
实部
虚部 其中
i 称为虚数单位。
练一 练
一一对应
实数 (数 )
数轴上的点 (形 )
类比实数的 表示，可以 用什么来表 示复数？
想 一 想 ？
学生活动 回 忆
复数的 代数形 式？
z=a+bi(a, b∈R)
实部!
(a , 虚部!
b)
有序实数 对
一个复数 由什么唯 一确定？
复数的几何意义
复数z=a+bi
一一对应
代数形 式 一一对应
几何形 式
一种重要的数学思想：数形结合思想
例2 已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点位于第二象限，求实数m的取值范围。 变式：已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面内所 对应的点在直线x-2y+4=0上，求实数m的值。
解：∵复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在复平面 内所对应的点是（m2+m-6，m2+m-2）， ∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，
说出下列复数的实部和虚部
2 1 0, ,－2＋ i , 2 i , 3i , i 2 3
2.复数的分类：
实数b 0 复数z a bi 纯虚数a 0，b 0 虚数b 0非纯虚数a 0，b 0 (a, b R)
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚 数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与 虚部.
|z|
a 2 b2
(1)z =-5i
| z |=5
(2)z =-3+4i | z |=5 (3)z =1+mi(m∈R)
| z | 12 m2
思考：(1)(2)复数为什么模都为5
例4、设z C，满足下列条件的点Z的集合是什么图形？
1 z
2; 2 2 z 3.
5
10
x
-4
-6
-8
练习. 如果P是复平面内表示复数 a+bi(a,b∈R) 的点,分别指出在下列条件下点P的位置: y
(1) a>0,b>0; (2) a<0,b>0; (3) a=0,b≤0;
第一象限 第二象限
a<0 b>0
a>0 b>0 a>0 b<0
o
x
在虚轴的负半轴上 (包括原点)
复数的实部与虚部 转化 复数的点所 所满足的条件问题 在的象限 (代数问题) (几何问题)
∴m=1或m=-2。
概念（1）复数的模
设OZ 对应的复数为a bi a, b R , 则向量OZ的长度 叫做a bi的模（或绝对值），记作 a bi . 如果b 0, 则 a bi a .这表明复数绝对值是实数绝对 值概念的推广.
z =a +b i Z (a,b)
等，而不能比较大小了.
注：1)
例题讲解
例2: 已知 (2 x 1) i y (3 y )i
，
其中 x, y R, 求
x与 y .
练习：
当x是实数时,若(2x2-3x-2)+(x2-5x+6)i=0， 求x的值.
实数的几何意义
在几何上， 我们用什么 来表示实数? 实数可以用数轴 上的点来表示。
复平面内的点Z(a,b)
探究：在复平面内，复数除了用 一一对应 平面向量 OZ 点来表示，还可以用什么来表示 向量形式 y 呢？为什么？(分小组讨论） z=a+bi 今后常把复数说成点或 平面向量 b OZ Z(a,b) 向量（并规定相等的向 量表示同一复数）
a
o
x
复数的几何意义
C
-10 -5
4+3i
(5,0)
2
(-2,0)
F
-2
O
-2
E5
5
10
x
（-4，-3）
D
(3,-3)
B
-4-3i
-4
3-3i
H
-6
-5i
(0,-5)
-8
y 已知复数2+i，-2+4i， -2i，4，在复平面内画出 这些复数对应的向量。 （-2，4）.
8
6
4
2
.（2，1）
-10 -5
o
-2
(4,0) (0,-2)
1 3 例3、求z1 3 4i, z2 i的模和它们的共轭复数. 2 2
解： z1 32 42 5,
1 3 z2 1, 2 2
2 2
z1 3 4i,
1 3 z2 i. 2 2
练习：求下列复数的模：
构成的集合. 这两个集合的交集，就是上述不等式组的解集，
也就是满足条件2 z 3的点Z的集合. 因而，所求的集合是以原点O为圆心，以2和3为
半径的两圆所夹的圆环，并包括圆环的边界.
y
O
2
3
x
课堂小结
本节课你有哪些收获？
1.虚数单位i的引入； 2.复数有关概念：
复数的代数形式: z a bi (a R, b R) 复数的实部 、虚部 虚数、纯虚数 复数相等 a bi
a z=0+0×i = 点Z(a,b)和
o （0，0 ）
x x轴------实轴 (都表示实数) y轴------虚轴 (都表示纯虚数
（实数） 0 除了原点外) OZ 是复数z=a+bi的几何表示
y 说出图中复平面内各点所 表示的复数
（-3，2）
8
Fra Baidu bibliotek
6
(0,5)
G
4
5i
(4,3)
A
-3+2i
x 1 0 没有实数根．
2
思考？
x 1
2
我们能否将实数集进行扩充，使得在新的数 集中，该问题能得到圆满解决呢？
引入一个新数：
i
满足
i 1
2
现在我们就引入这样一个数 i ，并且规定： （1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和 分配律)仍然成立。
（3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？
（4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
知识回顾
自然数
数 系 的 扩 充
23 ?
正有理数
用图形表示数集包含关 系：
35 ?
有理数 Q R
N Q+
x 2, 则 x ?
2
实数
数系是怎样一步一步扩充的？
知识引入
我们已经知道： 对于一元二次方程
2 2 7 , 0.618, i, 0 7 2 i , i 1 3 , 3 9 2i, 5i 8


例题讲解
例1: 实数m取什么值时，复数
z m 1 (m 1)i
（1）实数？ （2）虚数？（3）纯虚数？
练习:当m为何实数时，复数
Z m m 2 (m 1)i
a c c di b d
1、复数的几何意义
（1）复数集C和复平面内所有的点所成的集合是一一对应的: 一一对应
复数z=a+bi
复平面内的点Z(a,b) 平面向量
（2）复数集C和复平面内的向量所成的集合是一一对应的: 一一对应
复数z=a+bi
OZ
2、复数z=a+bi的模