安徽省宣城市2015届高三上学期期末考试数学(理)试题 Word版
安徽省宣城市高三上学期期末数学试卷(理科)
安徽省宣城市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）已知全集U=R，A={x|x2﹣3x﹣4＞0}，B={x|﹣2≤x≤2}，则如图所示的阴影部分所表示的集合为（）A . {x|﹣2≤x＜4}B . {x|x≤2或x≥4}C . {x|﹣2≤x≤﹣1}D . {x|﹣1≤x≤2}2. （2分） (2020高二下·中山期中) 已知复数满足，，则（）A .B .C .D . 53. （2分） (2015高三上·驻马店期末) 将函数f（x）=sin2x的图象向右平移φ（0＜φ＜）个单位后得到函数g（x）的图象．若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2 ，有|x1﹣x2|min= ，则φ=（）A .B .C .D .4. （2分）已知D为的边BC的中点，所在平面内有一点P，满足，设，则的值为（）A . 1B .C . 2D .5. （2分） (2017·运城模拟) 如图给出了一个程序框图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x 值有（）A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个6. （2分）在各项均为正数的等比数列中,公比．若, ,数列的前项和为,则当取最大值时,的值为（）A . 8B . 9C . 8或9D . 177. （2分） (2017高三下·武威开学考) 设函数f（x）= 的图象如图所示，则a、b、c的大小关系是（）A . a＞b＞cB . a＞c＞bC . b＞a＞cD . c＞a＞b8. （2分）某射击手射击一次命中的概率是0.7，连续两次均射中的概率是0.4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是（）A .B .C .D .9. （2分）(2017·上饶模拟) 设点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域内，则的取值范围为（）A .B .C .D .10. （2分） (2019高二下·南充月考) 某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为4的正方形，两条虚线互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A .B .C .D . 3211. （2分）已知1是与的等比中项，又是与的等差中项，则的值是（）A . 1或B . 1或C . 1或D . 1或12. （2分） (2020高二下·吉林月考) 已知函数f(x)=2x3+ax2+36x-24在x=2处有极值,则该函数的一个递增区间是（）A . (2,3)B . (3,+∞)C . (2,+∞)D . (-∞,3)二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2020·赤峰模拟) 已知非零向量，满足，且，则与的夹角为________.14. （1分）（x3+ ）n的展开式第6项系数最大，则其展开式的常数项为________？15. （1分）(2019·天河模拟) 已知三棱锥的体积为2，是等腰直角三角形，其斜边，且三棱锥的外接球的球心O恰好是AD的中点，则球O的体积为________．16. （1分）(2017·昆明模拟) 已知△ABC中，AB=2 ，AC+ BC=6，D为AB的中点，当CD取最小值时，△A BC面积为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （5分） (2016高一下·天全期中) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，．（Ⅰ）求sinB的值；（Ⅱ）若，求△ABC的面积．18. （10分） (2020高二下·天津月考) 已知数列中，，的前n项和满足：．（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，求的前n项和．19. （10分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=4，E为线段PD 上一点，且 = ．（1）求异面直线PB与EC所成角的余弦值．（2）求平面PAB与平面ACE所成二面角的余弦值．20. （10分） (2018高二下·辽宁期末) 某理科考生参加自主招生面试，从7道题中(4道理科题3道文科题)不放回地依次任取3道作答.（1）求该考生在第一次抽到理科题的条件下，第二次和第三次均抽到理科题的概率；（2）该考生答对理科题的概率均为，若每题答对得10分，否则得零分，现该生抽到3道理科题，求其所得总分的分布列与数学期望 .21. （15分） (2016高三上·思南期中) 已知函数f（x）=plnx+（p﹣1）x2+1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当P=1时，f（x）≤kx恒成立，求实数k的取值范围；（3）证明：1n（n+1）＜1+ …+ （n∈N+）．22. （5分） (2017高二上·信阳期末) 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x+6）2+y2=25．（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；（Ⅱ）直线l的参数方程为（t为参数），α为直线l的倾斜角，l与C交于A，B两点，且|AB|= ，求l的斜率．23. （10分）(2018·永州模拟) 已知函数 .（1）解不等式；（2）若对任意的，均存在，使得成立，求实数的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共7题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：。
2015年高考理数真题试卷(安徽卷)【答案加解析】
2015年高考理数真题试卷（安徽卷）一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.（2015·安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内所对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.（2015·安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是A. y=COSxB. y=SINxC. y=lnxD. y=+13.（2015·安徽）设p：1x1，q：1，则p是q成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件4.（2015·安徽）下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y=2x的是（）A. B. C. D.5.（2015·安徽）已知m，n是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题正确的是A. 若，垂直于同一平面，则与平行B. 若m，n平行于同一平面，则m与n平行C. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线D. 若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面6.（2015·安徽）若样本数据x1,x2,...,x10的标准差为8，则数据2x1-1,2x2-1，...，2x10-1的标准差为A. 8B. 15C. 16D. 327.（2015·安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是A. B. C. D.8.（2015·安徽）是边长为2的等边三角形，已知向量,满足=2,=2+，则下列结论正确的是A. =1B.C. .=1D.9.（2015·安徽）函数f（x）=的图像如图所示，则下列结论成立的是A. a0，b0，c0B. a0，b0，c0C. a0，b0，c0D. a0，b0，c010.（2015·安徽）已知函数f（x）=Asin（+）（A,,均为正的常数）的最小正周期为，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是A. f（2）f（-2）f（0）B. f（0）f（2）f（-2）C. f（-2）f（0）f（2）D. f（2）f（0）f(-2)二.填空题：本大题5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡相应的位置11.（2015安徽）（x3+)的展开式中x5的系数是________12.（2015安徽）在极坐标中，圆P=8sin上的点到直线=（p R）距离最大值是________ 。
安徽省宣城市高考数学二模试卷 理(含解析)
安徽省宣城市2015届高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题包括10个小题，每小题5分，共50分宣城市2015届2015届高三第二次调研测试数学（理科）1．（5分）已知复数z1=a+2i，z2=1﹣2i，若是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．42．（5分）已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，B={x|log2x＜1}，则集合（∁R A）∩B=（）A．{x|1≤x≤4}B．{x|0＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2＜x≤4}3．（5分）设平面向量，，均为非零向量，则“•（﹣）=0”是“=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，且n∥α，则m∥nB．若m，n在α上，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，且m在α上，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m在α外，则m∥α5．（5分）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（）A．16+16πB．16+8πC．8+8πD．8+16π6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．7．（5分）函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于直线x=对称，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin （2x+）D．f（x）=sin（2x﹣）8．（5分）已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）（5分）若变量a，b满足约束条件，n=2a+3b，则n取最小值时，9．二项展开式中的常数项为（）A．﹣80 B．80 C．40 D．﹣2010．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最大值为．12．（5分）己知x＞0，y＞0，且x+y++=5，则x+y的最大值是．13．（5分）设双曲线﹣=1的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，则双曲线的离心率为．14．（5分）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起，每一行中的数字均等于其肩上两个数字之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是．15．（5分）若曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=；⑤+=1对应的曲线中存在“自公切线”的有．三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）已知向量=（cosx，﹣2.5），=（sinx，﹣0.5），函数f（x）=（+）•．（Ⅰ）求f（x）的解析式与最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰好在[0，]上取得最大值，求角B的值以及△ABC的面积S．17．（12分）甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．（Ⅰ）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望．18．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E、F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）求四面体NFEC体积的最大值，并求此时D点到平面CFN的距离．19．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n+1=S n+λ（n∈N*，λ为常数），a1=2，a2=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求所有满足等式=成立的正整数m，n．20．（13分）设椭圆中心在坐标原点，A（4，0），B（0，2）是它的两个顶点，直线y=kx（k ＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若=6，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．21．（13分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．安徽省宣城市2015届高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题包括10个小题，每小题5分，共50分宣城市2015届2015届高三第二次调研测试数学（理科）1．（5分）已知复数z1=a+2i，z2=1﹣2i，若是纯虚数，则实数a的值为（）A．﹣2 B．1 C．2 D．4考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出．解答：解：∵===是纯虚数，则，解得a=4．故选：D．点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题．2．（5分）已知集合A={x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}，B={x|log2x＜1}，则集合（∁R A）∩B=（）A．{x|1≤x≤4}B．{x|0＜x＜2} C．{x|1≤x＜2} D．{x|2＜x≤4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：解一元二次不等式求得A，可得（∁R A，解对数不等式求得B，再根据两个集合的交集的定义求得（∁R A）∩B．解答：解：∵集合A={x|（x﹣1）（x﹣4）＞0}={x|x＜1，或 x＞4}，∴∁R A={x|1≤x≤4}．又B={x|log2x＜1}={x|0＜x＜2}，∴（∁R A）∩B={x|1≤x＜2}，故选：C．点评：本题主要考查一元二次不等式、对数不等式的解法，求集合的补集，两个集合的交集的定义和求法，属于基础题．3．（5分）设平面向量，，均为非零向量，则“•（﹣）=0”是“=”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据向量的数量积关系，以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．解答：解：若=，则•（﹣）=0成立，必要性成立，若•（﹣）=0得•=•，则=不一定成立，充分性不成立．故“•（﹣）=0”是“=”的必要而不充分条件，故选：B．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用向量的数量积是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的是（）A．若m∥α，且n∥α，则m∥nB．若m，n在α上，且m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，且m在α上，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β， m在α外，则m∥α考点：空间中直线与直线之间的位置关系．专题：空间位置关系与距离．分析：A．若m∥α，且n∥α，则m∥n或m与n为异面直线，即可判断出；B．若m，n在α上，且m∥β，n∥β，利用面面平行的啪嗒定理即可判断出；C．若α⊥β，且m在α上，利用面面垂直的性质定理即可判断出；D．若α⊥β，m⊥β，m在α外，利用线面垂直的性质定理即可得出．解答：解：A．若m∥α，且n∥α，则m∥n或m与n为异面直线，因此不正确；B．若m，n在α上，且m∥β，n∥β，只有当m与n相交时，才推出α∥β，因此不正确；C．若α⊥β，且m在α上，只有m垂直与α与β的交线时才能推出m⊥β，因此不正确；D．若α⊥β，m⊥β，m在α外，利用线面垂直的性质定理即可得出m∥α，正确．综上可得：只有D正确．故选：D．点评：本题考查了线面与面面平行、垂直的性质定理，考查了推理能力，属于中档题．5．（5分）一个几何体的三视图及尺寸如图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是（）A．16+16πB．16+8πC．8+8πD．8+16π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：几何体是半圆锥，根据三视图的数据判断底面半径与高，求母线长，把数据代入表面积公式计算．解答：解：由三视图知：几何体是半圆锥，其中底面半径为2，高为4．∴母线长为6．∴几何体的表面积S=π×22+×4×4+×π×2×6=8π+8．故选：C．点评：本题考查了由三视图求几何体的表面积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入n=10，则输出的S=（）A．B．C．D．考点：循环结构．专题：计算题；图表型．分析：框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，在输入n的值为10后，对i 的值域n的值大小加以判断，满足i≤n，执行，i=i+2，不满足则跳出循环，输出S．解答：解：输入n的值为10，框图首先给累加变量S和循环变量i分别赋值0和2，判断2≤10成立，执行，i=2+2=4；判断4≤10成立，执行=，i=4+2=6；判断6≤10成立，执行，i=6+2=8；判断8≤10成立，执行，i=8+2=10；判断10≤10成立，执行，i=10+2=12；判断12≤10不成立，跳出循环，算法结束，输出S的值为．故选A．点评：本题考查了循环结构中的当型循环，即先判断后执行，满足条件，执行循环，不满足条件跳出循环，算法结束，是基础题．7．（5分）函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于直线x=对称，则函数f（x）的解析式为（）A．f（x）=sin（2x+）B．f（x）=sin（2x﹣）C．f（x）=sin （2x+）D．f（x）=sin（2x﹣）考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由函数周期求得w=2，再由平移后的函数图象关于直线x=对称，得到φ﹣=，由此求得满足条件的φ值，则答案可求．解答：解：∵函数f（x）=sin（wx+φ）（w＞0，|φ|＜）的最小正周期是π，∴，解得w=2．∴f（x）=sin（2x+φ），将该函数的图象向右平移个单位后，得到图象所对应的函数解析式为：=sin（2x+φ﹣）．由此函数图象关于直线x=对称，得：φ﹣=，即φ=，k∈Z．取k=0，得φ=﹣，满足|φ|＜．∴函数f（x）的解析式为f（x）=sin（2x﹣）．故选：D．点评：本题考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象变换，考查了函数图象的平移，训练了函数最值的求法，是中档题．8．（5分）已知f（x）=，不等式f（x+a）＞f（2a﹣x）在[a，a+1]上恒成立，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2）B．（﹣∞，0）C．（0，2）D．（﹣2，0）考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在R上单调递减，所以根据题意得到x+a＜2a﹣x，即2x＜a在[a，a+1]上恒成立，所以只需满足2（a+1）＜a，解该不等式即得实数a的取值范围．解答：解：二次函数x2﹣4x+3的对称轴是x=2；∴该函数在（﹣∞，0]上单调递减；∴x2﹣4x+3≥3；同样可知函数﹣x2﹣2x+3在（0，+∞）上单调递减；∴﹣x2﹣2x+3＜3；∴f（x）在R上单调递减；∴由f（x+a）＞f（2a﹣x）得到x+a＜2a﹣x；即2x＜a；∴2x＜a在[a，a+1]上恒成立；∴2（a+1）＜a；∴a＜﹣2；∴实数a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：A．点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性．（5分）若变量a，b满足约束条件，n=2a+3b，则n取最小值时，9．二项展开式中的常数项为（）A．﹣80 B．80 C．40 D．﹣20考点：二项式定理；简单线性规划．专题：计算题．分析：画出可行域，求出目标函数n=2a+3b 的最优解，求得n的最小值，在二项展开式通项公式中，令未知数的幂指数等于零，即可求得常数项．解答：解：画出可行域，如图所示：三角形ABC内部区域（包含边界）．目标函数n=2a+3b，A（1，1）为最优解，故n取最小值为5．二项展开式通项公式为T r+1=（﹣1）r x﹣2r =（﹣1）r 25﹣r，令5﹣5r=0，可得r=1，故二项展开式中的常数项为﹣5×24=﹣80，故选A．点评：本题主要考查二项式定理的应用，简单的线性规划问题，体现了数形结合的数学思想，画出图形，是解题的关键，属于中档题．10．（5分）当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣ax）e x的图象大致是（）A．B．C．D．考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．解答：解：由f（x）=0，解得x2﹣ax=0，即x=0或x=a，∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．设a=1，则f（x）=（x2﹣x）e x，∴f'（x）=（x2+x﹣1）e x，由f'（x）=（x2+x﹣1）e x＞0，解得x＞或x＜．由f'（x）=（x2﹣1）e x＜0，解得：﹣＜x＜，即x=﹣1是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．点评：本题主要考查函数图象的识别和判断，充分利用函数的性质，本题使用特殊值法是判断的关键，本题的难度比较大，综合性较强．二、填空题：（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，则曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最大值为．考点：简单曲线的极坐标方程；直线的参数方程．专题：计算题．分析：把极坐标方程和参数方程化为普通方程，求出圆心（1，0）到直线的距离，最大距离等于此距离再加上半径．解答：解：曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，化为普通方程即 x2+y2=2x，（x﹣1）2+y2=1，表示圆心为（1，0），半径等于1的圆．直线（t为参数）的普通方程为 2x﹣y+2=0，圆心（1，0）到直线的距离等于=，故曲线C上的点到直线（t为参数）的距离的最大值为+1=，故答案为：．点评：本题考查把极坐标方程化为普通方程的方法，点到直线的距离公式的应用，直线和圆的位置关系．12．（5分）己知x＞0，y＞0，且x+y++=5，则x+y的最大值是4．考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用基本不等式转化为一元二次不等式，解出即可．解答：解：∵x＞0，y＞0，且x+y++=5，∴=（x+y）+，令x+y=t＞0，上述不等式可化为t2﹣5t+4≤0，解得1≤t≤4，当且仅当x=y=2时取等号．因此t即x+y的最大值为4．故答案为：4．点评：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法、转化法，属于中档题．13．（5分）设双曲线﹣=1的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，则双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程，函数y=x3+2，求导函数，再设切点坐标，利用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，建立方程组，即可求得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=±x，函数y=x3+2，求导函数可得y=3x2，设切点坐标为（m，n），则∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切，∴，∴m=1，=3，∴b=3a，∴c2=a2+b2=10a2，∴c=a，∴e==故答案为：．点评：本题考查直线与曲线相切，考查双曲线的几何性质，正确运用双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与曲线y=x3+2相切是关键．14．（5分）一个由若干行数字组成的数表，从第二行起，每一行中的数字均等于其肩上两个数字之和，最后一行仅有一个数，第一行是前100个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是101×298．考点：归纳推理．专题：推理和证明．分析：方法一：观察数表，可以发现规律：每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第99行公差为297，第100行（最后一行）只有一个数，得出结果；方法二；从第一行为1，2，3 和1，2，3，4，5的两个“小三角形”的例子，结合选项归纳得出结果，猜测出该数表的最后一行的数解答：解：方法一：数表的每一行都是等差数列，且第一行公差为1，第二行公差为2，第三行公差为4，…，第99行公差为297，最后一行的数=（1+100）×298=101×298；方法二：从第一行为1，2，3 及1，2，3，4，5的两个“小三角形”的例子，可归纳出结果为（3+1）×21及（5+1）×23，从而猜测最后一行的数为（100+1）×2100﹣2=101×298；故答案为：101×298．点评：本题考查了由数表探究数列规律的问题，解答这类问题时，可以由简单的例子观察分析，总结规律，得出结论．15．（5分）若曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”．下列方程①x2﹣y2=1；②y=x2﹣|x|；③y=3sinx+4cosx；④|x|+1=；⑤+=1对应的曲线中存在“自公切线”的有②③．考点：双曲线的简单性质；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：①x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④结合图象可得，此曲线没有自公切线．⑤+=1，根据“自公切线”的定义，此曲线没有自公切线．解答：解：①x2﹣y2=1 是一个等轴双曲线，没有自公切线；②y=x2﹣|x|，在x=和x=﹣处的切线都是y=﹣，故②有自公切线．③y=3sinx+4cosx=5sin（x+φ），cosφ=，sinφ=，此函数是周期函数，过图象的最高点的切线都重合或过图象的最低点的切线都重合，故此函数有自公切线．④由于|x|+1=，即 x2+2|x|+y2﹣3=0，结合图象可得，此曲线没有自公切线．⑤+=1，根据“自公切线”的定义，此曲线没有自公切线．故答案为：②③．点评：正确理解新定义“自公切线”，正确画出函数的图象、数形结合的思想方法是解题的关键．三、解答题（共6小题，共75分）16．（12分）已知向量=（cosx，﹣2.5），=（sinx，﹣0.5），函数f（x）=（+）•．（Ⅰ）求f（x）的解析式与最小正周期；（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中A为锐角，a=2，c=4，且f（A）恰好在[0，]上取得最大值，求角B的值以及△ABC的面积S．考点：三角函数的周期性及其求法；平面向量数量积的运算；正弦定理．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用向量的数量积的坐标运算与三角恒变换的应用可求得f（x）=2sin（2x ﹣）+2，从而可求f（x）的解析式与最小正周期；（Ⅱ）0≤x≤⇒﹣≤2x﹣≤，利用正弦函数的单调性与最值，可求得当2x﹣=时，f（x）取得最大值，依题意，2A﹣=，解得A=，利用正弦定理即可求得角B的值以及△ABC的面积S．解答：（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵量=（cosx，﹣2.5），=（sinx，﹣0.5），∴+=（cosx+sinx，﹣3），∴f（x）=（+）•=sin2x+sinxcosx+=x﹣cos2x+2=2sin（2x﹣）+2…（3分）于是f（x）=2sin（2x﹣）+2，其最小正周期等于π…（6分）（Ⅱ）∵0≤x≤，∴﹣≤2x﹣≤，于是当2x﹣=时，f（x）取得最大值…（8分）所以2A﹣=，∴A=…（9分）由正弦定理得sinC==1，∴C=，于是B=…（10分）于是b=c=2，∴S=ab=•2•2=2…（12分）点评：本题考查向量的数量积的坐标运算与三角恒变换的应用，考查正弦函数的单调性与最值，突出考查正弦定理的应用，属于中档题．17．（12分）甲、乙、丙三位同学彼此独立地从A、B、C、D、E五所高校中，任选2所高校参加自主招生考试（并且只能选2所高校），但同学甲特别喜欢A高校，他除选A校外，在B、C、D、E中再随机选1所；同学乙和丙对5所高校没有偏爱，都在5所高校中随机选2所即可．（Ⅰ）求甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率；（Ⅱ）记X为甲、乙、丙三名同学中未参加E校自主招生考试的人数，求X的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（Ⅰ）由已知条件分别求出甲同学选中E高校的概率和乙、两同学选取中E高校的概率，由此能求出甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率．（Ⅱ）由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，分另求出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3），由此能求出X的分布列和EX．解答：解：（Ⅰ）由题意知：甲同学选中E高校的概率为，乙、两同学选取中E高校的概率为p乙=p丙==，∴甲同学未选中E高校且乙、丙都选中E高校的概率为：P（1﹣p甲）•p乙•p丙=（1﹣）••=．（Ⅱ）由题意知：X所有可能的取值为0，1，2，3，P（X=0）=p甲•p乙•p丙==，P（X=1）=（1﹣p甲）•p乙•p丙+p甲•（1﹣p乙）•p丙+p甲•p乙•（1﹣p丙）=++=，P（X=2）=（1﹣p甲）•（1﹣p乙）•p丙+（1﹣p甲）•p乙•（1﹣p丙）+p甲•（1﹣p乙）•（1﹣p丙）=++=，P（X=3）=（1﹣p甲）•（1﹣p乙）•（1﹣p丙）==，∴X的分布列为：X 0 1 2 3P∴EX=0×+1×+2×+3×=．点评：本题考查概率的计算，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，在历年2015届高考中都是必考题型．18．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4．E、F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABEF沿EF折起．记折起后的矩形为MNEF，且平面MNEF⊥平面ECDF．（Ⅰ）求证：NC∥平面MFD；（Ⅱ）求四面体NFEC体积的最大值，并求此时D点到平面CFN的距离．考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）由四边形MNEF、EFDC都是矩形，证得四边形MNCD是平行四边形，从而得到NC∥MD，再由线面平行的判定得答案；（Ⅱ）设NE=x，则EC=4﹣x，其中0＜x＜4，写出四面体NFEC的体积为=，利用二次函数知识可得当x=2时，四面体的体积最大，设出D到平面CFN的距离为h，通过解直角三角形求得FN=FC=，NC=，得到S△CFN，由V N﹣DFC=V D﹣NFC列式求得得．解答：（Ⅰ）证明：如图，∵四边形MNEF、EFDC都是矩形，∴MN∥EF∥CD，MN=EF=CD，∴四边形MNCD是平行四边形，则NC∥MD，∵NC⊄平面MFD，MD⊂平面MFD，∴NC∥平面MFD；（Ⅱ）解：设NE=x，则EC=4﹣x，其中0＜x＜4，由条件可知NE⊥平面FEC，∴四面体NFEC的体积为=．∴当x=2时，四面体的体积最大，且（V N﹣FEC）max=2．由题意可知，四边形EFDC为矩形，∴S△EFC=S△DFC，故V N﹣EFC=V N﹣DFC，设D到平面CFN的距离为h，在△CFN中，FN=FC=，NC=，∴．由，得．点评：本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力，关键是注意折叠问题折叠前后的变量和不变量，是中档题．19．（13分）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n+1=S n+λ（n∈N*，λ为常数），a1=2，a2=1．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求所有满足等式=成立的正整数m，n．考点：数列的求和；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用条件a1=2，a2=1建立方程组，即可求数列{a n}的通项公式；（2）求出S n，利用等式=成立，解方程即可得到结论．解答：解：（1）由题意，得2S2=S1+λ，求得λ=4．所以，2S n+1=S n+4①当n≥2时，2S n=S n﹣1+4②①﹣②，得（n≥2），又，所以数列{a n}是首项为2，公比为的等比数列．所以{a n}的通项公式为（n∈N*）．（2）由（1），得，由，得，化简得，即（4﹣m）2n﹣4=2m﹣1，即（4﹣m）2n=4+2m﹣1．（*）因为2m﹣1+4＞0，所以（4﹣m）•2n＞0，所以m＜4，因为m∈N*，所以m=1或2或3．当m=1时，由（*）得3×2n=5，所以无正整数解；当m=2时，由（*）得2×2n=6，所以无正整数解；当m=3时，由（*）得2n=8，所以n=3．综上可知，存在符合条件的正整数m=n=3．点评：本题主要考查数列通项公式的求解，考查学生的计算能力．20．（13分）设椭圆中心在坐标原点，A（4，0），B（0，2）是它的两个顶点，直线y=kx（k ＞0）与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．（Ⅰ）若=6，求k的值；（Ⅱ）求四边形AEBF面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）依题可得椭圆的方程，设直线AB，EF的方程分别为x+2y=2，y=kx，D（x0，kx0），E（x1，kx1），F（x2，kx2），且x1，x2满足方程，进而求得x2的表达式，进而根据=6，求得x0的表达式，由D在AB上知x0+2kx0=2，进而求得x0的另一个表达式，两个表达式相等求得k．（Ⅱ）由题设可知|BO|和|AO|的值，设y1=kx1，y2=kx2，进而可表示出四边形AEBF的面积进而根据基本不等式的性质求得最大值．解答：解：（Ⅰ）依题设得椭圆得a=4，b=2方程为直线AB，EF的方程分别为x+2y=4，y=kx（k＞0）设D（x0，kx0），E（x2，kx2）其中x1＜x2且x1，x2满足方程（1+4k2）x2=16．故x2=﹣x1=由知x0﹣x1=6（x2﹣x0），得x0=由D在AB上知x0+2kx0=4，得x0=所以，化简得k=或k=（Ⅱ）根据点到直线得距离公式和①式知，点E，F到AB的距离分别为，又|AB|=2，所以四边形AEBF的面积为S===4当2k=1，即当k=时，上式取等号，所以S的最大值为8点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线的综合问题是支撑圆锥曲线知识体系的重点内容，问题的解决具有入口宽、方法灵活多样等，而不同的解题途径其运算量繁简差别很大．21．（13分）已知函数f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2（Ⅰ）求函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）若函数y=f（x）+g（x）有两个不同的极值点x1，x2（x1＜x2）且x2﹣x1＞ln2，求实数a的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：导数的概念及应用．分析：（Ⅰ）求导数，再分类讨论，确定函数在区间上的单调性，即可求得函数的最小值；（Ⅱ）函数由两个不同的极值点转化为导函数等于0的方程有两个不同的实数根，进而转化为图象的交点问题，由此可得结论．解答：解：（Ⅰ）由f′（x）=lnx+1=0，可得x=，∴∴①0＜t＜，时，函数f（x）在（t，）上单调递减，在（，t+2）上单调递增，∴函数f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值为f（）=﹣，②当t≥时，f（x）在[t，t+2]上单调递增，∴f（x）min=f（t）=tlnt，∴f（x）min=；（Ⅱ）y=f（x）+g（x）=xlnx﹣x2+ax﹣2，则y′=lnx﹣2x+1+a题意即为y′=lnx﹣2x+1+a=0有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），即a=﹣lnx+2x﹣1有两个不同的实根x1，x2（x1＜x2），等价于直线y=a与函数G（x）=﹣lnx+2x﹣1的图象有两个不同的交点∵G′（x）=﹣+2，∴G（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，画出函数图象的大致形状（如右图），由图象知，当a＞G（x）min=G（））=ln2时，x1，x2存在，且x2﹣x1的值随着a的增大而增大而当x2﹣x1=ln2时，由题意，两式相减可得ln=2（x1﹣x2）=﹣2ln2∴x2=4x1代入上述方程可得x2=4x1=ln2，此时a=ln2﹣ln（）﹣1，所以，实数a的取值范围为a＞ln2﹣ln（）﹣1；点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查的知识点比较多，考查数形结合的数学思想，综合性强．。
2015年高考安徽理科数学试题及答案(word解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年安徽，理1，5分】i 为虚数单位，则复数2i1i-在复平面内所对应的点位于（ ）（A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限 【答案】B【解析】由题意()()()2i 1i 2i 22i1i 1i 1i 1i 2+-+===-+--+，其对应的点坐标为()1,1-，位于第二象限，故选B ．【点评】本题考查复数的运算，考查复数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．（2）【2015年安徽，理2，5分】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）cos y x = （B ）sin y x = （C ）ln y x = （D ）21y x =+ 【答案】A【解析】由选项可知，B 、C 项均不是偶函数，故排除B 、C ，A 、D 项是偶函数，但D 项与x 轴没有交点，即D项不存在零点，故选A ．【点评】本题考查了函数的奇偶性和零点的判断．①求函数的定义域；②如果定义域关于原点不对称，函数是非奇非偶的函数；如果关于原点对称，再判断()f x -与()f x 的关系；相等是偶函数，相反是奇函数；函数的零点与函数图象与x 轴的交点以及与对应方程的解的个数是一致的．（3）【2015年安徽，理3，5分】设:12p x <<，:21x q >，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由0:22x q >，解得0x >，易知，p 能推出q ，但q 不能推出p ，故p 是q 成立的充分不必要条件，故选A ．【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查指数函数的单调性的运用，属于基础题． （4）【2015年安徽，理4，5分】下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=【答案】C【解析】由题意，选项A ，B 的焦点在x 轴，故排除A ，B ，C 项渐近线方程为2214y x -=，即2y x =±，故选C ．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的焦点和渐近线方程的求法，属于基础题． （5）【2015年安徽，理5，5分】已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 （B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 （D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面 【答案】D【解析】对于A ，若α，β垂直于同一平面，则α，β不一定平行，如果墙角的三个平面；故A 错误；对于B ，若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行．相交或者异面；故B 错误； 对于C ，若α，β不平行，则在α内存在无数条与β平行的直线；故C 错误；对于D ，若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面；假设两条直线同时垂直同一个平面，则这 两条在平行；故选D ．【点评】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系． （6）【2015年安徽，理6，5分】若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32 【答案】C 【解析】设样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为DX ，则8DX =，即方差64DX =，而数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的方差()22212264D X DX -==⨯，所以其标准差为226416⨯=，故选C ． 【点评】本题主要考查方差和标准差的计算，根据条件先求出对应的方差是解决本题的关键 （7）【2015年安徽，理7，5分】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） （A ）13+ （B ）23+ （C ）122+ （D ）22 【答案】B【解析】由题意，该四面体的直观图如下，ABD ∆，ACD ∆时直角三角形，ABC ∆，ACD ∆是等边三角形，则12212BCD ABD S S ∆∆==⨯⨯=，1322sin 6022ABC ACD S S ∆∆==⨯⨯︒=，所以四面体的表面积3212232BCD ABD ABC ACD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+⨯=+，故选B ． 【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征，是基础题目．（8）【2015年安徽，理8，5分】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2AB a =， 2AC a b =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4a b BC -⊥【答案】D【解析】依题意，()22BC AC AB a b a b =-=+-=，故2b =，故A 错误，222a a ==，所以1a =，又()2224222cos602AB AC a a b a ab ⋅=⋅+=+=⨯︒=，所以1a b ⋅=-，故B ，C 错误；设BC 中点为D ，则2AB AC AD +=，且AD BC ⊥，所以()4a b BC +⊥，故选D ．【点评】本题考查了向量的数量积公式的运用；注意：三角形的内角与向量的夹角的关系．（9）【2015年安徽，理9，5分】函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c > （C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c < 【答案】C【解析】由()()2ax b f x x c +=+及图像可知，x c ≠-，0c ->；当0x =时，()200bf c =>，所以0b >；当0y =，0ax b +=， 所以0bx a=->，所以0a <．故0a <，0b >，0c <，故选C ． 【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合定义域，零点以及()0f 的符号是解决本题的关键．（10）【2015年安徽，理10，5分】已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<- （C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-【答案】A【解析】由题意，()()sin f x x ωϕ=A +()0,0,0A ωϕ>>>，22T πππωω===，所以2ω=，则()()sin f x x ωϕ=A +，而当23x π=时，2322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得2,6k k Z πϕπ=+∈，所以()()sin 206f x x A π⎛⎫=A +> ⎪⎝⎭，则当2262x k πππ+=+，即6x k ππ=+时，()f x 取得最大值．要比较()()()2,2,0f f f -的大小，只需判断2，-2，0与最近的最高点处对称轴的距离大小，距离越大，值越小，易知0，2与6π比较近，-2与56π-比较近，所以当0k =时，6x π=，此时00.526π-=，2 1.476π-=，当1k =-时，56x π=-，此时520.66π⎛⎫---= ⎪⎝⎭，所以()()()220f f f <-<，故选A ．【点评】本题主要考查了三角函数的周期性及其求法，三角函数的图象与性质，用诱导公式将函数值转化到一个单调区间是比较大小的关键，属于中档题．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置．（11）【2015年安徽，理11，5分】731x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中3x 的系数是 （用数字填写答案）．【答案】35【解析】由题意()732141771rrr r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令2145r -=，得4r =，则5x 的系数是4735C =．【点评】本题考查二项式定理的应用，本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项，在这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具．（12）【2015年安徽，理12，5分】在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 ．【答案】6【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为直角坐标方程为228x y y +=，即()22416x y +-=；直线()3R πθρ=∈转化为直角坐标方程为3y x =，则圆上到直线的距离最大值是通过圆心的直线，设圆心到直线的距离为d ，圆心的半径为r ，则圆到直线距离的最大值()2204424613D d r -=+=+=+=+-．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（13）【2015年安徽，理13，5分】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 ． 【答案】4【解析】由题意，程序框图循环如下：①1a =，；1n =②131112a =+=+，2n =；③1713512a =+=+，3n =；④117171215a =+=+，4n =，此时， 171.4140.0030.00512-≈<，所以输出4n =． 【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a ，n 的值是解题的关键，属于基础题． （14）【2015年安徽，理14，5分】已知数列{}n a 是递增的等比数列，249a a +=，238a a =，则数列{}n a 的前n 项和等于 ． 【答案】21n -【解析】由题意，14231498a a a a a a +=⎧⎨⋅==⎩，解得11a =，48a =或者18a =，41a =，而数列{}n a 是递增的等比数列，所以11a =，48a =，即3418a q a ==，所以2q =，因而数列{}n a 的前n 项和()111221112n n n n a q S q --===---． 【点评】本题考查等比数列的性质，数列{}n a 的前n 项和求法，基本知识的考查．（15）【2015年安徽，理15，5分】设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 __．①3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==． 【答案】①③④⑤【解析】令()3f x x ax b =++，求导得()23f x x a '=+，当0a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 单调递增，且至少存在一个数使()0f x <，至少存在一个数使()0f x >，所以()3f x x ax b =++必有一个零点，即方程30x ax b ++=仅有一根，故④⑤正确；当0a <时，若3a =-，则()()()233311f x x x x '=-=+-，易知，()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递增，在[]1,1-上单调递减，所以()()1132f x f b b =-=-++=+极大，()()11320f x f b b ==-+=->极小，解得2b <-或2b >，故①③正确．所以使得三次方程仅有一个实根的是①③④⑤．【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系；关键是数形结合、利用导数解之．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内． （16）【2015年安徽，理16，12分】在ABC ∆中，4A π=，6AB =，AC =D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长．解：设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ，由余弦定理得2222cos a b c bc BAC =+-∠223626cos 4π=+-⨯⨯1836(36)=+--90=，所以a =．又由正弦定理得sin sin b BAC B a ∠===， 由题设知04B π<<，所以cos B = 在ABD ∆中，由正弦定理得sin 6sin 3sin(2)2sin cos cos AB B B AD B B B Bπ===-【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，属于基本知识的考查． （17）【2015年安徽，理17，12分】已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果． （1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X 的分布列和均值（数学期望）．解：（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，1123253()10A A P A A ==．（2）χ的可能取值为200，300，400，22251(200)10A P A χ===；31123232353(300)10A C C A P A χ+===； 136(400)1(200)(300)1101010P P P χχχ==-=-==--=． 故χ的分布列为13200300400350101010E χ=⨯+⨯+⨯=． 【点评】本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力． （18）【2015年安徽，理18，12分】设*n N ∈，n x 是曲线231n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标．（1）求数列{}n x 的通项公式；（2）记2221221n n T x x x -=，证明14n T n≥． 解：（1）2221(1)(22)n n y x n x ++''=+=+，曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线斜率为22n +，从而切线方程为2(22)(1)y n x -=+-，令0y =，解得切线与x 轴交点的横坐标1111n nx n n =-=++． （2）由题设和（1）中的计算结果知22222213211321...()()...()242n n n T x x x n--==， 当1n =时，114T =；当2n ≥时，因为2222212221(21)(21)1221()2(2)(2)2n n n n n n x n n n n n -------==>==； 所以211211()...2234n n T n n ->⨯⨯⨯⨯=，综上可得对任意的*n N ∈，均有14n T n≥． 【点评】本题主要考查切线方程的求法和放缩法的应用，属基础题型． （19）【2015年安徽，理19，13分】如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F ．（1）证明：11//EF B C ；（2）求二面角11E A D B --余弦值．解：（1）由正方形的性质可知11////A B AB DC ，且11A B AB DC ==，所以四边形11A B CD 为平行四边形，从而11//B C A D ，又1A D ⊂面1A DE ，1B C ⊄面1A DE ，于是1//B C 面1A DE ， 又1B C ⊂面11B CD ，面1A DE面11B CD EF =，所以1//EF B C ．（2）11,,AA AB AA AD AB AD ⊥⊥⊥，且1AA AB AD ==，以A 为原点，分别以1,,AB AD AA 为x 轴，y 轴和z轴单位正向量建立如图所示的空间直角坐标系，可得点的坐标(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,1,0)D ，111(0,0,1),(1,0,1),(0,1,1)A B D ，而E 点为11B D 的中点，所以E 点的坐标为()0.5,0.5,1．设面1A DE 的法向量1111(,,)n r s t =，而该面上向量()10.5,0.5,0A E =，()10,1,1A D =-，由11n A E ⊥，11n A D ⊥得111,,r s t 应满足的方程组11110.50.500r s s t +=⎧⎨-=⎩，()1,1,1-为其一组解，所以可取()11,1,1n =-，设面11A B CD 的法向量2222(,,)n r s t =，而该面上向量()110.5,0.5,0A B =，()10,1,1A D =-，由此同理可得2(0,1,1)n =所以结合图形知二面角11E A D B --的余弦值为1212||26||||332n n n n ==⨯．【点评】本题考查空间中线线平行的判定，求二面角的三角函数值，注意解题方法的积累，属于中档题．（20）【2015年安徽，理20，13分】设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线OM 的斜率为510． （1）求E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求E 的方程．解：（1）由题设条件知，点M 的坐标为21(,)33a b ，又510OM k =，从而5210b a =，进而得225,2a b c a b b ==-=，、故255c e a ==．（2）由题设条件和（1）的计算结果可得，直线AB 的方程为15x y bb +=，点N 的坐标为51(,)22b b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则线段NS 的中点T的坐标为117,)244x b +-+，又点T 在直线AB 上，且1NS AB k k =-，从而有117441,71x b b b +-++=⎨+⎪=解得3b =，所以a =E 的方程为221459x y +=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线性质、中点坐标公式、相互垂直的直线斜率之间的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．（21）【2015年安徽，理21，13分】设函数2()f x x ax b =-+．（1）讨论函数(sin )f x 在22ππ(-,)内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（2）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在22ππ(-,)上的最大值D ；（3）在（2）中，取000a b ==，求24az b =-满足1D ≤时的最大值．解：（1）2(sin )sin sin sin (sin )f x x a x b x x a b =-+=-+，22x ππ-<<，[(sin )](2sin )cos ,22f x x a x x ππ'=--<<，因为22x ππ-<<，所以cos 0x >，22sin 2x -<<，①2,a b R ≤-∈时，函数(sin )f x 单调递增，无极值； ②2,a b R ≥∈时，函数(sin )f x 单调递减，无极值；③对于22a -<<，在(,)22ππ-内存在唯一的0x ，使得02sin x a =，02x x π-<≤时，函数(sin )f x 单调递减；02x x π≤<时，函数(sin )f x 单调递增．因此22a -<<，b R ∈时，函数(sin )f x 在0x 处有极小值20(sin )()24a a f x fb ==-．（2）22x ππ-≤≤时，00000|(sin )(sin )||()sin |||||f x f x a a x b b a a b b -=-+-≤-+-，当00()()0a a b b --≥时，取2x π=，等号成立，当00()()0a a b b --<时，取2x π=-，等号成立．由此可知，0|(sin )(sin )|f x f x -在[,]22ππ-上的最大值为00||||D a a b b =-+-．（3）1D ≤即为||||1a b +≤，此时201,11a b ≤≤-≤≤，从而214a zb =-≤．取0,1a b ==，则||||1a b +≤，并且214a z b =-=，由此可知，24a zb =-满足条件1D ≤的最大值为1．【点评】本题考查函数的性质和运用，主要考查二次函数的单调性和极值、最值，考查分类讨论的思想方法和数形结合的思想，属于难题．。
安徽省各地2015届高三数学上学期最新考试试题分类汇编 立体几何 理(含解析)汇总
安徽省各地2015届高三上最新考试数学理试题分类汇编立体几何一、选择题 1、（蚌埠市2015届高三第一次质量检测）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．12π+B ．6π+C ．12π-D ．6π-2、（合肥市2015届高三第一次教学质量检测）已知一个底面为正六边形，侧棱长都相等的六棱锥的正视图与俯视图如图所示，若该几何体的底面边长为2，侧棱长为7，则该几何体的侧视图可能是3、（淮北市、亳州市2015届高三第一次模拟）已知棱长为1的正方体的俯视图是边长为1正方形，则其主视图的面积不可能是（ ）A. 2B.212- C. 1 D. 433 4、（淮南市2015届高三第一次模拟）已知一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在一个球面上，则球的表面积是A.283π B.73π C. 499π D.289π5、（黄山市2015届高三上学期第一次质量检测）如图，已知点E 、F 、G 分别是棱长为a 的正方体 4A34B2C23 323D2正视图俯视图ABCD －A 1 B 1C l D 1的棱AA 1、CC 1、DD 1的中点，点M 、N 、Q 、P 分别在线段DF 、 AG 、BE 、C 1B 1上运动，当以M 、N 、Q 、P 为顶点的三棱锥P －MNQ 的俯视图是如右图所示的等腰三角形时，点P 到平面MNQ 的距离为（ ）A ．a 21B ．a 32C ．a 54D ．a6、（江南十校2015届高三上学期期末大联考）设l ，m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是A 、若l ⊥m ，m ＝αβ，则l ⊥α；B 、若l ∥m ，m ＝αβ，则l ∥α；C ｜若α∥β，l 与α所成的角与m 与β所成的角相等，则l ∥m ；D ｜若l ∥m ，α∥β，l ⊥α，则m ⊥β 7、（江南十校2015届高三上学期期末大联考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A 、44＋πB 、40＋4πC 、44＋4πD 、44＋2π8、（宿州市2015届高三第一次教学质量检测）某几何体的三视图如图所示，那么该几何体的表面积为（A ）2 （B ）14 （C ）246+ （D ）264+9、（滁州市高级中学联谊会2015届高三上学期期末联考）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A ．6πB ．7πC ．8πD ．9π10、（合肥八中2015届高三第四次段考）已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为A.28π+B.88π+C.48π+D.68π+二、填空题1、（（淮北市、亳州市2015届高三第一次模拟）已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为AD 、CC 1的中点，O 为上底面A 1B 1C 1D 1的中心，则三棱锥O-MNB 的体积是2、（淮南市2015届高三第一次模拟）设异面直线a,b 所成角为θ，点P 为空间一点（P 不在直线a,b 上），有以下命题①过点P 存在唯一平面与异面直线a,b 都平行②若,2πθ=则过点P 且与a,b 都垂直的直线有且仅有1条. ③若,3πθ=则过点P 且与a,b 都成3π直线有且仅有3条.④若过点P 且与a,b 都成3π直线有且仅有4条，则)2,3(ππθ∈.⑤若过点P 且与a,b 都成3π直线有且仅有2条，则(,)63ππθ∈学科网.其中正确命题的序号是_________（请填上所有正确命题的序号）3、（宣城市2015届高三上学期期末考试）如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为＿＿＿＿4、（宣城市2015届高三上学期期末考试）关于几何体有以下命题： ①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台； ⑤一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥。
宣城市2015～2015学年度第一学期期末调研测试(整理精校版)
宣城市2015高考模拟～2015高考模拟学年度第一学期期末调研测试高考模拟试卷0209 12:41：：宣城市2015高考模拟～2015高考模拟学年度第一学期期末调研测试高三语文试题【注意事项】1．本试卷分第Ⅰ卷（阅读题）和第Ⅱ卷（表达题）两部分。
试卷满分150分，考试时间150分钟。
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和准考证号填写在答题卡指定区域，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试卷上。
4．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液￡不按以上要求作答的答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回第Ⅰ卷（阅读题共66分）一、（9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
①上世纪90年代都市文学异军突起，而这时在中国现代文学中占据主导位臵的乡土叙事似乎失去了应有的生机与活力，因此有观点认为都市叙事对乡土叙事具有超越性。
实际上，乡土叙事和都市叙事是两个独立的叙事体系，它们之间应是相互补充的。
丁帆认为，“乡土文学”与“城市文学”为世界性母题，上述现象是“在农业文明向工业文明的转换过程中，两种文明激烈冲突”的结果。
②上世纪90年代文学大潮汹涌澎湃，但都市小说中很难发现光闪闪的金子，没有出现卡夫卡、萨特和加缪式的深刻作品，也没有董桥式的反讽、幽默作品，更没看到大关心、大钟爱和大悲悯的作品，这表明都市叙事存在着一些亟待解决的问题。
而乡土叙事经历了一个多世纪的发展，已经相对成熟，可以为都市叙事的发展提供某些启示。
③在叙事对象上，可以用“他者”视角深入都市生活。
五四时期，中国开始了由传统农业文明向现代工业文明的缓慢转型。
一大批知识青年被抛出了沿袭千年的生活轨道，他们从偏远的乡村故土走入现代都市，寻求现代文明。
安徽省宣城市高三上学期期末数学试卷(理科)
安徽省宣城市高三上学期期末数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分） (2019高一上·成都期中) 已知集合， ,则（）A .B .C .D .2. （2分）(2017·临沂模拟) 己知i是虚数单位，是z的共轭复数，，则z的虚部为（）A . 1B . ﹣1C . iD . ﹣i3. （2分）若点在角α的终边上，则sinα+cosα的值为（）A .B .C .D .4. （2分）已知双曲线的离心率，则它的渐近线方程为（）A .B .C .D .5. （2分）设变量满足约束条件,则目标函数的最小值为（）A . -5B . -4C . -2D . 36. （2分） (2017高三上·漳州开学考) 6个人排成一排，其中甲、乙不相邻的排法种数是（）A . 288B . 480C . 600D . 6407. （2分）如图是计算函数的值的程序框图，在①、②、③处应分别填入的是（）A . y=0,y=2xB . y=2x, y=0,C . y=0,y=2x,D . y=0,y=2x8. （2分）(2017·莆田模拟) 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A .B .C . 24﹣πD . 24+π9. （2分） (2015高三上·大庆期末) 设函数，则下列结论正确的是（）①f（x）的图象关于直线对称②f（x）的图象关于点对称③f（x）的图象向左平移个单位，得到一个偶函数的图象④f（x）的最小正周期为π，且在上为增函数．A . ③B . ①③C . ②④D . ①③④10. （2分）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=log2（x+1），则函数f（x）的大致图象是（）A .B .C .D .11. （2分）已知双曲线和椭圆(a>0,m>b>0)的离心率互为倒数，那么以a、b、m为边长的三角形是（）A . 锐角三角形B . 钝角三角形C . 直角三角形D . 锐角或钝角三角形12. （2分） (2015高二下·永昌期中) 函数y=2x3﹣3x2﹣12x+5在区间[0，3]上最大值与最小值分别是（）A . 5，﹣15B . 5，﹣4C . ﹣4，﹣15D . 5，﹣16二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2017·长宁模拟) （x2﹣）8的二项展开式中x7项的系数为________．14. （1分） (2016高一下·安徽期中) 已知点A（﹣1，1），B（1，2），C（﹣2，﹣1），D（3，4），则向量在方向上的投影为________．15. （1分） (2019高一上·延边月考) 已知一个圆锥的底面积和侧面积分别为和，则该圆锥的体积为________16. （1分）(2017·临翔模拟) 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，b=3，tanB=3，则sinA的值为________三、解答题 (共8题；共70分)17. （10分） (2016高一下·大庆期中) 已知数列{an}满足a1=﹣，an+1= （n∈N+）（1）证明数列{ }是等差数列并求{an}的通项公式．（2）数列{bn}满足bn= （n∈N+）．求{bn}的前n项和Sn．18. （10分）(2020·海安模拟) 一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分.（1）设抛掷5次的得分为，求的分布列和数学期望；（2）求恰好得到分的概率.19. （5分） (2016高二上·包头期中) 如图，矩形ABCD所在的半平面和直角梯形CDEF所在的半平面成60°的二面角，DE∥CF，CD⊥DE，AD=2，，CF=6，∠CFE=45°．（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；（Ⅱ）在线段CF上求一点G，使锐二面角B﹣EG﹣D的余弦值为．20. （10分）(2017·青浦模拟) 已知抛物线y2=2px（p＞0），其准线方程为x+1=0，直线l过点T（t，0）（t ＞0）且与抛物线交于A、B两点，O为坐标原点．（1）求抛物线方程，并证明：• 的值与直线l倾斜角的大小无关；（2）若P为抛物线上的动点，记|PT|的最小值为函数d（t），求d（t）的解析式．21. （10分） (2018高二下·石嘴山期末) 设函数，．（1）求的单调区间和极值；（2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点．22. （10分） (2016高一下·珠海期末) 如图：点P在直径AB=1的半圆上移动（点P不与A，B重合），过P 作圆的切线PT且PT=1，∠PAB=α，（1）当α为何值时，四边形ABTP面积最大？（2）求|PA|+|PB|+|PC|的取值范围？23. （5分）已知曲线C的极坐标方程是ρ=1，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数）．写出直线l与曲线C的直角坐标方程；24. （10分）(2017·雨花模拟) 已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}．（1）求实数a，b的值；（2）求证：．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共8题；共70分) 17-1、17-2、18-1、18-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、24-1、24-2、。
2015年安徽省高考数学试卷(理科)附详细解析
2015年安徽省高考数学试卷（理科）一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）x﹣﹣y2=1﹣x2=1=15．（5分）（2015•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正6．（5分）（2015•安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，7．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）++8．（5分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，||=1⊥•=1 +）⊥9．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（）10．（5分）（2015•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是（用数字填写答案）12．（5分）（2015•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是．13．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为14．（5分）（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．15．（5分）（2015•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2015•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．17．（12分）（2015•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）18．（12分）（2015•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．19．（13分）（2015•安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．20．（13分）（2015•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．21．（13分）（2015•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣满足条件D≤1时的最大值．2015年安徽省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一.选择题（每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（）=ix﹣﹣y2=1﹣x2=1=1y=5．（5分）（2015•安徽）已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正6．（5分）（2015•安徽）若样本数据x1，x2，…，x10的标准差为8，则数据2x1﹣1，2x2﹣1，…，∴则对应的标准差为=167．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）++×××+×．8．（5分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，||=1⊥•=1 +）⊥，根据已知三角形为等边三角形解之．的等边三角形，，满足=2，=2+又，，，，所以=04=0，所以；9．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=的图象如图所示，则下列结论成立的是（），∴﹣﹣10．（5分）（2015•安徽）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ均为正的常数）的最小正周期为π，当x=时，函数f（x）取得最小值，则下列结论正确的是（）时，函数）x=×+，++2x+）﹣）＜=Asin又∵＞﹣＞＞）在区间（，二.填空题（每小题5分，共25分）11．（5分）（2015•安徽）（x3+）7的展开式中的x5的系数是35（用数字填写答案）=；，可得：12．（5分）（2015•安徽）在极坐标系中，圆ρ=8sinθ上的点到直线θ=（ρ∈R）距离的最大值是6．，把（（y=d=13．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为4时不满足条件，，，14．（5分）（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．项和为：15．（5分）（2015•安徽）设x3+ax+b=0，其中a，b均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是①③④⑤（写出所有正确条件的编号）①a=﹣3，b=﹣3．②a=﹣3，b=2．③a=﹣3，b＞2．④a=0，b=2．⑤a=1，b=2．三.解答题（共6小题，75分）16．（12分）（2015•安徽）在△ABC中，∠A=，AB=6，AC=3，点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．A=，AC=3中，由正弦定理可得：==17．（12分）（2015•安徽）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）=．=．==．×+300××=35018．（12分）（2015•安徽）设n∈N*，x n是曲线y=x2n+2+1在点（1，2）处的切线与x轴交点的横坐标（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；（Ⅱ）记T n=x12x32…x2n﹣12，证明：T n≥．，时，=n19．（13分）（2015•安徽）如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F．（Ⅰ）证明：EF∥B1C；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B1的余弦值．，∴的一个法向量为=又∵=∴，，得=，=，．20．（13分）（2015•安徽）设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为（Ⅰ）求E的离心率e；（Ⅱ）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求E的方程．即可得，可得的方程为：，，∴，∴．∵，∴b∴的方程为：S，，∴．．21．（13分）（2015•安徽）设函数f（x）=x2﹣ax+b．（Ⅰ）讨论函数f（sinx）在（﹣，）内的单调性并判断有无极值，有极值时求出最值；（Ⅱ）记f0（x）=x2﹣a0x+b0，求函数|f（sinx）﹣f0（sinx）|在[﹣，]上的最大值D；（Ⅲ）在（Ⅱ）中，取a0=b0=0，求z=b﹣满足条件D≤1时的最大值．（﹣，，（；）﹣≤，等号成立；，等号成立．，]≤﹣﹣参与本试卷答题和审题的老师有：刘长柏；changq；双曲线；maths；742048；w3239003；qiss；孙佑中；雪狼王；cst（排名不分先后）菁优网2015年7月21日。
安徽省宣城市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(理)试卷 Word版含解析
2014-2015学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷（理科） 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．下列抽样问题中最适合用分层抽样法进行抽样的是（ ） A．从12名学生中随机抽泣8人参加活动 B．某单位有210名员工，其中老年员工20人，中年员工40人，青年员工150人，为了解情况，要从中抽取一个容量为21的样本 C．从参加期中考试的1200名高中生随机抽取100人分析作答情况 D．从1200名观众中随机抽取3名幸运观众 2．已知44（k）=36，把67转化为k进制数为（ ） A． 55（k） B． 67（k） C． 103（k） D． 124（k） 3．统计甲、乙两名篮球运动员在10场比赛得分，并绘制成如图所示的茎叶图，则甲、乙两位运动员得分数据中位数之差的绝对值是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 4．某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温： 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 由表中数据得线性方程=+x中=﹣2，据此预测当天气温为5℃时，用电量的度数约为（ ） A． 60 B． 50 C． 40 D． 30 5．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现的点数不小于3”，事件B表示“向上的一面出现奇数点”，事件C表示“向上的一面出现的点数不超过2”，则（ ） A． A与B是互斥而非对立事件 B． A与B是对立事件 C． A与C是互斥而非对立事件 D． A与C是对立事件 6．在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（ ） A． y=±x B． y=±2x C． y=±4x D． y=±x 8．已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，过点F1的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，在坐标平面xOy上到点A（3，2，5），B（3，5，1）距离相等的点有（ ） A． 1个 B． 2个 C．不存在 D．无数个 10．直线l经过点P（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，如果点P是线段AB的中点，那么直线l的方程为（ ） A． 3x+2y﹣5=0 B． 2x+3y﹣5=0 C． 2x﹣3y+5=0 D． 3x﹣2y+5=0 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．用秦九韶算法计算多项式f（x）=x5+4x4+3x3+2x2+1，当x=5时，乘法运算与加法运算的次数和为 ． 12．已知向量=（2，1），=（x，y），若x∈{﹣1，0，1}，y∈{﹣2，0，2，4}，则事件“⊥”发生的概率是 ． 13．直线l经过点（0，2）且与抛物线y2=8x只有一个公共点，满足这样条件的直线l有 条． 14．1911与1183的最大公约数是 ． 15．下列命题中： ①命题p：“?x∈R，使得2x2﹣1＜0”，则￢p是假命题； ②“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为假命题； ③命题p：“?x，x2﹣2x+3＞0”，则￢p：“?x，x2﹣2x+3＜0” ④命题“若￢p，则q”的逆否命题是“若￢q则p”，其中正确命题是 ． 三、解答题（共6小题，满分75分） 16．命题p：过原点O可以作两条直线与圆相切， 命题q：直线不过第二象限， 若命题“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围． 17．在某次数学测试中，记答对题数：大于或等于6道为合格，小于6道为不合格，现从A，B两个班级随机抽取5人答对的题数进行分析，结果记录如下： A班 5 5 8 8 9 B班m 4 7 n 8 由于表格受损，数据m，n看不清，统计人员只记得m＜n，且在抽取的数据中，A班的平均数比B班的平均数多1道题，两班数据的方差相同 （1）求表格中m和n的值； （2）若从抽取的B班5人中任取2人，求2人都合格的概率． 18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上． （1）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD； （2）当=时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值． 19．某大型连锁超市为迎接春节购物季，销售一批年货产品，已知每销售1份获利30元，未销售的产品每份损失10元，根据以往销售情况其市场需求量的频率分布直方图如图所示，该超市欲购8000份． （1）根据直方图估计该购物季需求量的中位数和平均数； （2）根据直方图估计利润不少于16万的概率． 20．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）在抛物线上． （1）写出该抛物线的方程； （2）过点P作抛物线的两条弦PD、PE，且PD、PE的斜率k1、k2满足k1?k2=2，求证：动直线DE过定点，并求定点的坐标． 21．（14分）（2015?路南区校级模拟）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6． （1）求椭圆E的方程； （2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值． 2014-2015学年安徽省宣城市高二（上）期末数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分） 1．下列抽样问题中最适合用分层抽样法进行抽样的是（ ） A．从12名学生中随机抽泣8人参加活动 B．某单位有210名员工，其中老年员工20人，中年员工40人，青年员工150人，为了解情况，要从中抽取一个容量为21的样本 C．从参加期中考试的1200名高中生随机抽取100人分析作答情况 D．从1200名观众中随机抽取3名幸运观众 考点：分层抽样方法． 专题：概率与统计． 分析：根据分层抽样的定义，判断样本是否差异明显即可． 解答：解：A．样本数据较少，使用简单随机抽样． B．样本差异明显，使用分层抽样． C．样本个体无差异且数量较多，使用系统抽样 D．样本个体无差异且数量较多，使用系统抽样 故选：B 点评：本题主要考查分层抽样的应用，比较基础． 2．已知44（k）=36，把67转化为k进制数为（ ） A． 55（k） B． 67（k） C． 103（k） D． 124（k） 考点：进位制． 专题：计算题． 分析：首先由已知求k的值，然后依次除以8，求余数，最后把余数从下到上连接起来即为8进制数． 解答：解：∵44（k）=36， ∴4×k1+4×k0=36，可解得：k=8， ∴67÷8=8 (3) 8÷8=1 0 1÷8=0 (1) 即67转化为k进制数为：103（8）， 故选：C． 点评：本题考查算法的概念，以及进位制的运算，属于基本知识的考查． 3．统计甲、乙两名篮球运动员在10场比赛得分，并绘制成如图所示的茎叶图，则甲、乙两位运动员得分数据中位数之差的绝对值是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 考点：众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：根据茎叶图，结合中位数的定义分别求出中位数即可得到结论． 解答：解：由茎叶图可得甲的中位数为（24+30）=27， 乙的中位数为（26+30）=28， 则甲、乙两位运动员得分数据中位数之差的绝对值是|28﹣27|=1， 故选：B 点评：本题主要考查茎叶图的应用，根据中位线的定义求出对应的中位数是解决本题的关键． 4．某单位为了解用电量y度与气温x℃之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温： 气温（℃） 14 12 8 6 用电量（度） 22 26 34 38 由表中数据得线性方程=+x中=﹣2，据此预测当天气温为5℃时，用电量的度数约为（ ） A． 60 B． 50 C． 40 D． 30 考点：线性回归方程． 专题：应用题；概率与统计． 分析：根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，现在方程是一个确定的方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数 解答：解：由表格得=（14+12+8+6）÷4=10，=（22+26+34+38）÷4=30 即样本中心点的坐标为：（10，40）， 又∵样本中心点（10，40）在回归方程=+x中=﹣2 ∴30=10×（﹣2）+， 解得：a=50， ∴=50﹣2x 当x=5时，y=﹣2×（5）+50=40． 故选：C． 点评：本题考查线性回归方程，两个变量之间的关系，除了函数关系，还存在相关关系，通过建立回归直线方程，就可以根据其部分观测值，获得对这两个变量之间整体关系的了解． 5．一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数字1，2，3，4，5，6，将这个玩具向上抛掷1次，设事件A表示“向上的一面出现的点数不小于3”，事件B表示“向上的一面出现奇数点”，事件C表示“向上的一面出现的点数不超过2”，则（ ） A． A与B是互斥而非对立事件 B． A与B是对立事件 C． A与C是互斥而非对立事件 D． A与C是对立事件 考点：互斥事件与对立事件．专题：综合题；概率与统计． 分析：由题意可得事件A、C不会同时发生，而且A∪C为必然事件，从而得出结论． 解答：解：由题意可得事件A、C不会同时发生，而且A∪C为必然事件， 故A与C是对立事件， 故选：D． 点评：本题主要考查互斥事件、对立事件的定义，属于基础题． 6．在△ABC中，“sinA＞”是“∠A＞”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题：简易逻辑． 分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合三角函数值的求解即可得到结论． 解答：解：在△ABC中，若sinA＞，则＜x＜． 则，“sinA＞”是“∠A＞”的充分不必要条件， 故选：A 点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础． 7．若椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线﹣=1的渐近线方程为（ ） A． y=±x B． y=±2x C． y=±4x D． y=±x 考点：双曲线的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：运用椭圆的离心率公式可得a，b的关系，再由双曲线的渐近线方程，即可得到． 解答：解：椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为， 则=， 即有=， 则双曲线﹣=1的渐近线方程为y=x， 即有y=±x． 故选A． 点评：本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程和离心率公式的运用，考查运算能力，属于基础题． 8．已知F1、F2是椭圆+=1的两焦点，过点F1的直线交椭圆于A、B两点，在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为（ ） A． 3 B． 4 C． 5 D． 6 考点：椭圆的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：利用椭圆定义，椭圆上的点到两焦点距离之和等于2a，可求出在△AF1B的周长，则第三边的长度等于周长减另两边的和． 解答：解：∵A，B两点在椭圆+=1上， ∴|AF1|+|AF2|=8，|BF1|+|BF2|=8 ∴|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|=16 ∴|AF1|+|BF1|+|AB|=16 ∵在△AF1B中，有两边之和是10， ∴第三边的长度为16﹣10=6 故选：D． 点评：本题主要考查应用椭圆定义求三角形的周长，做题时尽量数形结合． 9．在空间直角坐标系O﹣xyz中，在坐标平面xOy上到点A（3，2，5），B（3，5，1）距离相等的点有（ ） A． 1个B． 2个 C．不存在 D．无数个 考点：空间两点间的距离公式． 专题：空间位置关系与距离． 分析：设空间直角坐标系O﹣xyz中坐标平面xOy上的点，由|PA|=|PB|，求出满足条件的点的个数是什么． 解答：解：设空间直角坐标系O﹣xyz中坐标平面xOy上的点P（x，y，0）， 则点P到点A（3，2，5），B（3，5，1）距离为|PA|、|PB|， 根据题意，得|PA|=|PB|； 即（x﹣3）2+（y﹣2）2+（0﹣5）2=（x﹣3）2+（y﹣5）2+（0﹣1）2， 化简，得y=﹣； ∴满足条件的点有无数个． 故选：D． 点评：本题考查了空间之间坐标系的应用问题，是基础题目． 10．直线l经过点P（1，1）且与椭圆+=1交于A，B两点，如果点P是线段AB的中点，那么直线l的方程为（ ） A． 3x+2y﹣5=0 B． 2x+3y﹣5=0 C． 2x﹣3y+5=0 D． 3x﹣2y+5=0 考点：椭圆的简单性质． 专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：利用“点差法”可求得直线AB的斜率，再利用点斜式即可求得直线l的方程． 解答：解：设A（x1，y1），B（x2，y2），P（1，1）是线段AB的中点， 则x1+x2=2，y1+y2=2； 点A，B代入椭圆方程作差，得：（x1+x2）（x1﹣x2）+（y1+y2）（y1﹣y2）=0， 由题意知，直线l的斜率存在， ∴kAB=﹣， ∴直线l的方程为：y﹣1=﹣（x﹣1）， 整理得：2x+3y﹣5=0． 故直线l的方程为2x+3y﹣5=0． 故选：B．． 点评：本题考查椭圆的简单性质与直线的点斜式方程，求直线l的斜率是关键，也是难点，着重考查点差法，属于中档题． 二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分） 11．用秦九韶算法计算多项式f（x）=x5+4x4+3x3+2x2+1，当x=5时，乘法运算与加法运算的次数和为 8 ． 考点：秦九韶算法． 专题：算法和程序框图． 分析：由f（x）=x5+4x4+3x3+2x2+1=（（（（x+4）x+3）x+2）x）x+1，即可得出． 解答：解：f（x）=x5+4x4+3x3+2x2+1=（（（（x+4）x+3）x+2）x）x+1， 当x=5的值时，乘法运算与加法运算的次数和=4+4=8， 故答案为：8． 点评：本题考查了秦九韶算法，考查了计算能力，属于基础题． 12．已知向量=（2，1），=（x，y），若x∈{﹣1，0，1}，y∈{﹣2，0，2，4}，则事件“⊥”发生的概率是 ． 考点：几何概型． 专题：计算题；概率与统计． 分析：设“⊥”为事件A，由⊥，得2x+y=0，确定基本事件空间，A包括的事件，即可求出事件“⊥”发生的概率． 解答：解：设“⊥”为事件A，由⊥，得2x+y=0． 基本事件空间为Ω={（﹣1，﹣2），（﹣1，0），（﹣1，2），（﹣1，4），（0，﹣2），（0，0），（0，2），（0，4），（1，﹣2），（1，0），（1，2），（1，4）}，共包含12个基本事件； 其中A={（﹣1，2），（0，0），（1，﹣2）}，包含3个基本事件． 则P（A）==，即⊥的概率为． 故答案为：． 点评：本题考查事件“⊥”发生的概率，考查向量数量积运算，考查学生的计算能力，比较基础． 13．直线l经过点（0，2）且与抛物线y2=8x只有一个公共点，满足这样条件的直线l有 3 条． 考点：抛物线的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：直线y=2与抛物线只有一个交点；过点（0，2）与抛物线相切的直线有2条． 解答：解：直线y=2与抛物线只有一个交点； 直线y=0与抛物线相切于原点，有且只有一个公共点； 设斜率存在与抛物线相切的直线l的方程为：y=kx+2，（k≠0）． 联立，化为ky2﹣8y+16=0， 令△=64﹣64k=0， 解得k=1． ∴切线为y=x+2． 综上可得：满足条件的直线共有3条：y=2；y=0；y=x+2． 故答案为：3． 点评：本题考查了与抛物线相切的直线、与对称轴平行的直线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 14．1911与1183的最大公约数是 91 ． 考点：用辗转相除计算最大公约数． 专题：算法和程序框图． 分析：利用辗转相除法，将1911与1183代入，即可求得1911与1183的最大公约数． 解答：解：用辗转相除法求： ∵1911=1×1183+728， 1183=1×728+455， 728=1×455+273． 455=1×273+182， 273=1×182+91， 182=2×91， ∴1911与1183的最大公约数是91． 故答案为：91 点评：本题考查的知识点是用辗转相除法，计算最大公约数，熟练掌握辗转相除法是解题的关键． 15．下列命题中： ①命题p：“?x∈R，使得2x2﹣1＜0”，则￢p是假命题； ②“若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为假命题； ③命题p：“?x，x2﹣2x+3＞0”，则￢p：“?x，x2﹣2x+3＜0” ④命题“若￢p，则q”的逆否命题是“若￢q则p”，其中正确命题是 ①④ ． 考点：命题的真假判断与应用． 专题：综合题；推理和证明． 分析：对①，判断命题为真命题，则￢p为假命题； 对②，写出命题的逆命题，判断真假； 对③，全称命题的否定是否定结论，￢p应为：“?x，x2﹣2x+3≤0”； 对④，逆否命题应是“若￢q，则p”． 解答：解：∵x=0时，2x2﹣1=﹣1＜0，∴命题p为真命题，∴￢p为假命题，故①正确； ∵若x+y=0，则x，y互为相反数”的逆命题为“x，y互为相反数，则x+y=0”是真命题；故②错误； 命题p：“?x，x2﹣2x+3＞0”，则￢p应为：“?x，x2﹣2x+3≤0”，故③错误； 命题“若￢p，则q”的逆否命题是“若￢q，则p”，故④正确． 故答案为：①④． 点评：本题考查了四种命题的定义及真假关系，考查了全称命题的否定，需细心解答． 三、解答题（共6小题，满分75分） 16．命题p：过原点O可以作两条直线与圆相切， 命题q：直线不过第二象限， 若命题“p∧q”为真命题，求实数m的取值范围． 考点：复合命题的真假． 专题：计算题． 分析：由二次方程表示圆可家里关于m的不等式，然后根据条件可知O在已知圆外又可以寻求m的不等式，从而可求P 为真时m的范围结合直线的性质可求Q为真时m的范围，然后根据复合命题的真假关系即可求解m的范围 解答：解：当命题p为真命题时有O在圆外即： 解得 则0＜m＜1或﹣2＜m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分） 当命题q为真命题时有：， 故，则，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分） 依题意有p、q均为真命题， 故或﹣﹣﹣﹣﹣（12分） 点评：本题以复合命题的真假关系为载体，主要考查了二次方程表示圆，直线与圆的位置关系的应用，具有一定的综合性 17．在某次数学测试中，记答对题数：大于或等于6道为合格，小于6道为不合格，现从A，B两个班级随机抽取5人答对的题数进行分析，结果记录如下： A班 5 5 8 8 9 B班m 4 7 n 8 由于表格受损，数据m，n看不清，统计人员只记得m＜n，且在抽取的数据中，A班的平均数比B班的平均数多1道题，两班数据的方差相同 （1）求表格中m和n的值； （2）若从抽取的B班5人中任取2人，求2人都合格的概率． 考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：（1）先求出A班平均数与方差，再根据A与B班的关系，列出B班平均数与方差的式子，即可求出m和n； （2）写出基本事件的个数和事件发生的个数，进而求出概率． 解答：解：（1）A班平均数为=7，方差为=， ∵A班的平均数比B班的平均数多1道题，两班数据的方差相同 ∴ 由m＜n，解得m=4，n=7 （2）由（1）的结果可知，B班5个人中，2人不合格，3人合格，分别设为a，b，1，2，3， 从B班5人中任抽取2人共有10中情况：ab，a1，a2，a3，b1，b2，b3，12，13，23 其中满足条件的有：12，13，23， 故两人都合格的概率为． 点评：本题考查了平均数与方差的公式，以及随机事件的概率． 18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知AB=5，AC=4，BC=3，AA1=4，点D在棱AB上． （1）若D是AB中点，求证：AC1∥平面B1CD； （2）当=时，求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值． 考点：用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定． 专题：空间位置关系与距离；空间角． 分析：（1）根据线面平行的判定定理即可证明AC1∥平面B1CD； （2）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角B﹣CD﹣B1的余弦值． 解答：解：（1）证明：连结BC1，交B1C于E，连接DE． 因为直三棱柱ABC﹣A1B1C1，D是AB中点， 所以侧面B B1C1C为矩形，DE为△ABC1的中位线， 所以 DE∥AC1． 因为 DE?平面B1CD，AC1?平面B1CD， 所以 AC1∥平面B1CD． （2）由（1）知AC⊥BC，如图，以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz． 则B （3，0，0），A （0，4，0），A1 （0，4，4），B1 （3，0，4）． 设D （a，b，0）（a＞0，b＞0），因为点D在线段AB上，且，即． 所以a=2，，，，． 平面BCD的法向量为． 设平面B1 CD的法向量为， 由，，得， 所以，y=2，． 所以． 所以二面角B﹣CD﹣B1的余弦值为． 点评：本题主要考查线面平行的判定依据二面角的求解，根据相应的判定定理以及利用坐标法是解决二面角的基本方法． 19．某大型连锁超市为迎接春节购物季，销售一批年货产品，已知每销售1份获利30元，未销售的产品每份损失10元，根据以往销售情况其市场需求量的频率分布直方图如图所示，该超市欲购8000份． （1）根据直方图估计该购物季需求量的中位数和平均数； （2）根据直方图估计利润不少于16万的概率． 考点：频率分布直方图；众数、中位数、平均数． 专题：概率与统计． 分析：（1）通过中位数、平均数的定义直接计算即可； （2）通过利润=获利﹣损失，计算可得利润不少于16万，等价于需求量不小于6000，进而可得概率． 解答：解：根据频率分布直方图可得： （1）由，得中位数为70（百份）， 平均数为：0.1×30+0.2×50+0.4×70+0.3×90=68（百份）； （2）设需求量为x份时，由利润不少于16万，得： 30x﹣10（8000﹣x）≥160000，解得x≥6000， 故只需要需求量不小于6000即可， ∴利润不少于16万的概率P=1﹣0.3=0.7． 点评：本题考查频率分布直方图，考查中位数，平均数，概率的求法，找出利润与需求量之间的关系是解决本题的关键，属于中档题． 20．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P（1，2）在抛物线上． （1）写出该抛物线的方程； （2）过点P作抛物线的两条弦PD、PE，且PD、PE的斜率k1、k2满足k1?k2=2，求证：动直线DE过定点，并求定点的坐标． 考点：抛物线的简单性质． 专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）运用待定系数法，设抛物线方程，代入求解，即可得到所求方程； （2）设D（，y1），E（．y2），运用直线的斜率公式和设DE：x=my+n，代入抛物线方程y2=4x，运用韦达定理，可得n=2m﹣1，代入直线方程，再令x=﹣1，可得y=﹣2，即有定点坐标． 解答：（1）解：设抛物线方程为y2=2px（p＞0）， 由P（1，2）在抛物线上，可得4=2p， 解得p=2，即有抛物线方程为y2=4x； （2）证明：设D（，y1），E（．y2）， 则k1?k2=?=?=2， 即有y1y2+2（y1+y2）=4． 设DE：x=my+n，代入抛物线方程y2=4x， 可得y2﹣4my﹣4n=0， 即有y1+y2=4m，y1y2=﹣4n， 即有﹣4n+8m=4，即为n=2m﹣1， 代入直线x=my+n，可得x+1=m（y+2）， 令x=﹣1，可得y=﹣2． 则动直线DE过定点，定点的坐标为（﹣1，2）． 点评：本题考查抛物线的方程和性质，主要考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理，同时直线的斜率公式和直线恒过定点的求法，属于中档题． 21．（14分）（2015?路南区校级模拟）已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的离心率为，其长轴长与短轴长的和等于6． （1）求椭圆E的方程； （2）如图，设椭圆E的上、下顶点分别为A1、A2，P是椭圆上异于A1、A2的任意一点，直线PA1、PA2分别交x轴于点N、M，若直线OT与过点M、N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值． 考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质． 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析：（1）利用椭圆的标准方程及其性质即可得出； （2）利用直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理即可得出． 解答：解：（1）由题意可得，解得． ∴椭圆E的方程为． （2）有（1）可知：A1（0，1），A2（0，﹣1），设P（x0，y0），则． 则直线PA1的方程为，令y=0，得xN=； 直线PA2的方程为，令y=0，得． 由切割线定理可得：|OT|2=|OM||ON|===4， ∴|OT|=2，即线段OT的长为定值2． 点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线的方程、点在椭圆上满足的条件、切割线定理是解题的关键．。
2014-2015年安徽省宣城市高三(上)期末数学试卷(理科)及参考答案
2014-2015学年安徽省宣城市高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）复数（1﹣）（1+i）=（）A．﹣2B．﹣2i C．2D．2i2．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=6B．a=5C．a=4D．a=73．（5分）若实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．C．1D．24．（5分）已知命题p：∀x＞0，2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，2x≤1B．∃x0＞0，2≤1C．∃x0＞0，2＞1D．∃x0＞0，2≥15．（5分）若“0≤x≤4”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．[﹣2，0]D．（﹣2，0）6．（5分）在△ABC中，已知AB=4，AC=4，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．7．（5分）若直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（）A．3B．1C．0或D．1或﹣3 8．（5分）若y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值巍峨﹣2，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图象过点（0，1），则其解析式是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（+）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）9．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）10．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．以上都有可能二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）如图，是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．12．（5分）已知点，椭圆与直线交于点A、B，则△ABM的周长为．13．（5分）若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为．14．（5分）在△ABC中，BC=6，BC边上的高为2，则•的最小值为．15．（5分）关于几何体有以下命题①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；③棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分；④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；⑤一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．其中正确的有．（请把正确命题的题号写上）三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+2．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．17．（12分）如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求的A1到平面AB1D的距离．18．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F1，F2，且．（1）求椭圆E的方程；（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F1M⊥F2N，则以MN为直径的圆C是否过定点？请说明理由．19．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．21．（13分）已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若x≥0时，g（x）=f（x）+λx2≤0，求λ的取值范围．2014-2015学年安徽省宣城市高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）1．（5分）复数（1﹣）（1+i）=（）A．﹣2B．﹣2i C．2D．2i【解答】解：（1﹣）（1+i）==（1+i）2=2i．故选：D．2．（5分）某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则（）A．a=6B．a=5C．a=4D．a=7【解答】解：执行程序框图，有S=1，k=1不满足条件k＞a，有S=1+，k=2；不满足条件k＞a，有S=1++，k=3；不满足条件k＞a，有S=1+++，k=4；不满足条件k＞a，有S=1++++=，k=5；此时，应该满足条件k＞a，退出循环输出S的值为．故a的值应为4．故选：C．3．（5分）若实数x，y满足，则z=2x﹣y的最大值为（）A．B．C．1D．2【解答】解：由z=2x﹣y，得y=2x﹣z，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线y=2x﹣z，由平移可知当直线y=2x﹣z，经过点A时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z取得最大值，由，解得，即A（0，1）．将A（0，﹣1）的坐标代入z=2x﹣y，得z=0﹣（﹣1）=1，即目标函数z=2x﹣y的最大值为1．故选：C．4．（5分）已知命题p：∀x＞0，2x＞1，则￢p为（）A．∀x＞0，2x≤1B．∃x0＞0，2≤1C．∃x0＞0，2＞1D．∃x0＞0，2≥1【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以￢p为：∃x0＞0，2≤1．故选：B．5．（5分）若“0≤x≤4”是“（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0”的必要不充分条件，则实数a的取值范围是（）A．（0，2）B．[0，2]C．[﹣2，0]D．（﹣2，0）【解答】解：由（x﹣a）[x﹣（a+2）]≤0，解得：a≤x≤a+2，由集合的包含关系知：（其中等号不同时成立），∴a∈[0，2]，故选：B．6．（5分）在△ABC中，已知AB=4，AC=4，∠B=30°，则△ABC的面积是（）A．B．C．或D．【解答】解：在△ABC中，由余弦定理可得AC2=42=+BC2﹣2×4×BC ×cos30°，解得BC=4，或BC=8．当BC=4时，AC=BC，∠B=∠A=30°，△ABC为等腰三角形，∠C=120°，△ABC的面积为•AB•BC•sinB=•4•4•=4．当BC=8时，△ABC的面积为×AB×BC×sinB=×4×8×=8，故选：C．7．（5分）若直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，则a等于（）A．3B．1C．0或D．1或﹣3【解答】解：当a=1时，两条直线分别化为：x=3，5y=2，此时两条直线互相垂直；当a=﹣时，两条直线分别化为：3x﹣5y+6=0，5x=﹣4，此时两条直线不互相垂直．当a≠﹣，1时，两条直线分别化为：﹣，+．∵直线ax+（1﹣a）y=3与（a﹣1）x+（2a+3）y=2互相垂直，∴=﹣1，解得a=﹣3或1（舍去），综上可得：a=﹣3或1．故选：D．8．（5分）若y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最小值巍峨﹣2，其图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，且图象过点（0，1），则其解析式是（）A．y=2sin（+）B．y=2sin（+）C．y=2sin（x+）D．y=2sin（x+）【解答】解：由函数的最小值为﹣2可得，A=2，因为图象相邻最高点与最低点横坐标之差为2π，可得T=4π，根据周期公式可得ω==，所以有：y=2sin（x+φ），又图象过点（0，1），代入可得sinφ=，且|φ|＜，所以可解得：φ=，所以可得：y=2sin（x+）．故选：A．9．（5分）若关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，则实数a的取值范围为（）A．（﹣，+∞）B．[﹣，1]C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【解答】解：关于x的不等式x2+ax﹣2＞0在区间[1，5]上有解，∴ax＞2﹣x2在x∈[1，5]上有解，即a＞﹣x在x∈[1，5]上成立；设函数f（x）=﹣x，x∈[1，5]，∴f′（x）=﹣﹣1＜0恒成立，∴f（x）在x∈[1，5]上是单调减函数，且f（x）的值域为[﹣，1]，要a＞﹣x在x∈[1，5]上有解，则a＞﹣，即实数a的取值范围为（﹣，+∞）．故选：A．10．（5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A为准线上一点，则线段FA的中垂线与抛物线的位置关系为（）A．相交B．相切C．相离D．以上都有可能【解答】解：设A（﹣，a），则直线AF的中垂线方程为y=（x﹣），即2px=2ay﹣p2，代入y2=2px，可得y2﹣2ay+p2=0，∴△=0，∵线段FA的中垂线与抛物线相切．故选：B．二、填空题（共5小题，每小题5分，满分25分）11．（5分）如图，是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为8π．【解答】解：由三视图知该几何体是直三棱锥，且底面是等腰直角三角形，直三棱锥的高是2，底面的直角边长为，斜边为2，则直三棱锥的外接球是对应直三棱柱的外接球，设几何体外接球的半径为R，因底面是等腰直角三角形，则底面外接圆的半径为1，∴R2=1+1=2，故外接球的表面积是4πR2=8π，故答案为：8π．12．（5分）已知点，椭圆与直线交于点A、B，则△ABM的周长为8．【解答】解：椭圆中，a=2，b=1，c=，∴为椭圆的右焦点，直线过椭圆的左焦点，∴△ABM的周长为4a=8故答案为：813．（5分）若展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为84．【解答】解：展开式中所有二项式系数和为512，即2n=512，则n=9，T r+1=（﹣1）r C9r x18﹣3r令18﹣3r=0，则r=6，所以该展开式中的常数项为84．故答案为：84．14．（5分）在△ABC中，BC=6，BC边上的高为2，则•的最小值为﹣5．【解答】解：如图所示，设BC边上的高为AD=2，∵=+，∴=•（+）=+=||•||cosα+||•||•cos（π﹣B）═||•||cosα﹣||•||•cosB=+（﹣||•||）=﹣||•||．令||=x，0＜x＜6，则||=6﹣x，∴则•=22﹣（6﹣x）x=x2﹣6x+4，故当x=3时，则•取得最小值为9﹣18+4=﹣5，故答案为：﹣5．15．（5分）关于几何体有以下命题①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫棱锥；③棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得到的平面与底面之间的部分；④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；⑤一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥．其中正确的有③．（请把正确命题的题号写上）【解答】解：有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且相邻的两个平行四边形的公共边都相互平行，这些面围成的几何体叫棱柱，故①错误．有一个面是多边形，其余各面都是有公共顶点三角形的几何体叫棱锥，故②错误．根据棱锥的定义，可得③正确．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体，若侧棱的延长线不能教交与一点，则该几何体不是棱台，故④错误．根据一个直角三角形绕其一个直角边边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，可得⑤不正确，故答案为：③．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）已知函数f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+2．（1）当x∈[0，]时，求f（x）的值域；（2）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足=，=2+2cos（A+C），求f（B）的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sinxcosx﹣3sin2x﹣cos2x+2=sin2x﹣2sin2x+1=sin2x+cos2x=2sin（2x+）…4分∵x∈[0，]，∴2x+∈[，]，sin（2x+）∈[﹣，1]，∴f（x）∈[﹣1，2]…6分（2）∵由题意可得sin[A+（A+C）]=2sinA+2sinAcos（A+C）有，sinAcos（A+C）+cosAsin（A+C）=2sinA+2sinAcos（A+C）化简可得：sinC=2sinA，…9分∴由正弦定理可得：c=2a，∵b=，∴由余弦定理可得：cosA===∴可解得：A=30°，B=60°，C=90°…11分所以可得：f（B）=1…12分17．（12分）如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中点，AA1=AB=2．（Ⅰ）求证：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求的A1到平面AB1D的距离．【解答】（Ⅰ）证明：连接A1B交AB1于O，连接OD，在△BA1C中，O为BA1中点，D为BC中点，∴OD∥A1C…（3分）∵OD⊂面AB1D，∴A1C∥平面AB1D…（6分）（Ⅱ）解：由①可知A1C∥平面AB1D，∴点A1到平面AB1D的距离等于点C到平面AB1D的距离…（8分）∵△AD1B为Rt△，∴…（10分）设点C到面AB 1D的距离为h，则即解得…（12分）18．（12分）已知椭圆E：（a＞b＞0）过点P（3，1），其左、右焦点分别为F1，F2，且．（1）求椭圆E的方程；（2）若M，N是直线x=5上的两个动点，且F1M⊥F2N，则以MN为直径的圆C 是否过定点？请说明理由．【解答】解：（1）设点F1，F2的坐标分别为（﹣c，0），（c，0）（c＞0），则，故，解得c=4，所以，所以，所以椭圆E的方程为．（2）设M，N的坐标分别为（5，m），（5，n），则，因为，所以，即mn=﹣9，又因为圆C的圆心为，半径为，所以圆C的方程为，即（x﹣5）2+y2﹣（m+n）y+mn=0，即（x﹣5）2+y2﹣（m+n）y﹣9=0，令y=0，可得x=8或2，所以圆C必过定点（8，0）和（2，0）．19．（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院，现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．（Ⅰ）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；（Ⅱ）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．【解答】（Ⅰ）解：设“选出的3名同学是来自互不相同学院”为事件A，则，所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为．（Ⅱ）解：随机变量X的所有可能值为0，1，2，3，（k=0，1，2，3）所以随机变量X的分布列是随机变量X的数学期望．20．（13分）已知数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*）．（1）求证：{+}是等比数列，并求{a n}的通项公式a n；（2）数列{b n}满足b n=（3n﹣1）••a n，数列{b n}的前n项和为T n，若不等式（﹣1）nλ＜T n+对一切n∈N*恒成立，求λ的取值范围．【解答】解：（1）由数列{a n}中，a1=1，a n+1=（n∈N*），可得=1+．∴，∴{}是首项为，公比为3的等比数列，∴，化为．（2）由（1）可知：=，T n=+…+．…++，两式相减得﹣==．∴．∴（﹣1）n•λ＜+=4﹣．若n为偶数，则，∴λ＜3．若n为奇数，则，∴﹣λ＜2，解得λ＞﹣2．综上可得﹣2＜λ＜3．21．（13分）已知函数f（x）=（1﹣x）e x﹣1．（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）若x≥0时，g（x）=f（x）+λx2≤0，求λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=（1﹣x）e x﹣1．∴f′（x）=﹣xe x，当x=0时，f′（x）=0；当x＜0时，f′（x）＞0；当x＞0时，f′（x）＜0；所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递增，在区间（0，+∞）上单调递减；故f（x）max=f（0）=0．（Ⅱ）由g（x）=（1﹣x）e x+λx2﹣1，得g′（x）=﹣x（e x﹣2λ）．当λ≤0时，由（Ⅰ）得g（x）=f（x）+λx2≤f（x）≤0成立；当时，因为x∈（0，+∞）时g′（x）＜0，所以x≥0时，g（x）≤g（0）=0成立；当时，因为x∈（0，ln2λ）时，g′（x）＞0，所以g（x）＞g（0）=0．综上，知λ的取值范围是．。
安徽省宣城市八校高三数学上学期联考试卷 理(含解析)
安徽省宣城市八校2015届高三上学期联考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，复数（）A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i2．（5分）若集合A={x|}，B={x|x≥﹣2}且A⊆B．则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．C．5．（5分）若非直角△ABC的内角A、B、C成等差数列，则tanA+tanC﹣tanAtanBtanC=（）A．﹣B．﹣C．D．6．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=，则f（f（﹣24））=（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．47．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a2+2a4+5a6=48，则S9=（）A．36 B．45 C．54 D．638．（5分）已知向量=（0，sin），=（1，2cos），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度9．（5分）已知a、b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（0，+∞）D．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设i是虚数单位，复数（）A．3﹣2i B．3+2i C．2﹣3i D．2+3i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则即可得出．解答：解：复数===3﹣2i，故选：A．点评：本题考查了复数的运算法则，属于基础题．2．（5分）若集合A={x|}，B={x|x≥﹣2}且A⊆B．则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣2] B．C．，满足条件，若a=2，A=∅，满足条件，若a＜2，A=考点：函数的图象．专题：函数的性质及应用．分析：用特值法，先取a=2，再分别令x=2、x=﹣2代入函数的解析式，得到函数的函数值y，由于图中出现直线y=±1，把函数值y与±1比较即可得到答案．解答：解：令a=2，函数y=可看成函数y=，当x=2时，y==＜1，而选项B、C中的图象都在直线y=1的上方，矛盾，排除B、C，当x=﹣2时，y==﹣＜﹣1，A不适合，而D适合，故选：D．点评：本题考查函数的图象与性质，属基础题，本题的关键是取特殊值验证取得答案，对于选择题，特值法是常用的方法．5．（5分）若非直角△ABC的内角A、B、C成等差数列，则tanA+tanC﹣tanAtanBtanC=（）A．﹣B．﹣C．D．考点：两角和与差的正切函数．专题：三角函数的求值．分析：利用等差数列求出B，推出A+B的值，利用两角和的正切函数，化简求解即可得到结果．解答：解：非直角△ABC的内角A、B、C成等差数列，∴B=60°，A+C=120°，∴tanA+tanC=tan（A+C）（1﹣tanAtanC）=﹣tanAtanC，tanA+tanC﹣tanAtanBtanC=tanA+tanC﹣tanAtanC=﹣．故选A．点评：本题考查两角和的正切函数的应用，等差数列的应用，是中档题．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时f（x）=，6．则f（f（﹣24））=（）A．﹣4 B．﹣2 C．2 D．4考点：函数奇偶性的性质；函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数的奇偶性化到已知区间，再由分段函数代入求值及可．解答：解：由题意，f（﹣24）=﹣f（24）=﹣f（16）=﹣log216=﹣4；则f（f（﹣24））=f（﹣4）=﹣f（4）=﹣log24=﹣2．故选B．点评：本题考查了函数的性质与分段函数的应用，属于基础题．7．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，且a2+2a4+5a6=48，则S9=（）A．36 B．45 C．54 D．63考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意和等差数列的性质可得a5=6，再由等差数列的性质和求和公式可得S9=9a5，代值计算可得．解答：解：∵48=a2+2a4+5a6=a2+a6+2a4+4a6=2a4+2a4+4a6=4a4+4a6=4（a4+a6）=8a5，∴a5=6∴S9===9a5=54．故选：C点评：本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题．8．（5分）已知向量=（0，sin），=（1，2cos），函数f（x）=•，g（x）=2+2﹣，则f（x）的图象可由g（x）的图象经过怎样的变换得到（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由条件利用两个向量的数量积公式、函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．解答：解：f（x）=•=×2sin cos=sinx，g（x）=2+2﹣=sin2+1+4cos2﹣=3cos2﹣=3×﹣=cosx=sin（+x），故把g（x）的图象向右平移个单位长度可得f（x）=sinx的图象，故选：D．点评：本题主要考查两个向量的数量积公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．9．（5分）已知a、b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则的取值范围是（）A．（0，）B．（0，1）C．（0，+∞）D．点评：本题主要考查积分的应用，作出对应的图象，求出积分上限和下限，是解决本题的关键．13．（5分）设集合A n={x|2n＜x＜2n+l，且x=5m+3，m、n∈N*），则A5中各元素之和为336．考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：易得A5中的各元素构成以33为首项，以5为公差的等差数列，共有7项，由等差数列的求和公式可得．解答：解：由题意A5中的各元素构成以33为首项，以5为公差的等差数列，共有7项，∴A5中各元素之和为7×33+×5=336故答案为：336点评：本题考查等差数列的求和公式，属基础题．14．（5分）已知数列{a n}的各项都是正数，其前n项和S n满足2S n=a n+，n∈N*，则数列{a n}的通项公式为．考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列的递推关系进行化简即可．解答：解：当n=1时，2S1=a1+=2a1，a1=1，当n≥2时，2S n=S n﹣S n﹣1+，即S n+S n﹣1=，，又，∴数列{S n2}是公差d=1首项为1的等差数列，则S n2=1+n﹣1=n，即S n=，则 a n=．故答案为：点评：本题主要考查数列通项公式的求解，根据数列通项公式和前n项和之间的关系是解决本题的关键．15．（5分）设非直角△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，则下列结论正确的是①②⑤（写出所有正确结论的编号）．①“sinA＞sinB”是“a＞b”的充分必要条件；②“cosA＜cosB”是“a＞b”的充分必要条件；③“tanA＞tanB是“a＞b”的充分必要条件；④“sin2A＞sin2B”是“a＞b”的充分必要条件；⑤“cos2A＜cos2B”是“a＞b”的充分必要条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：①根据正弦定理判断，②利用函数y=cosx在（0，π）上单调递减得A＞B，结合三角形的边角关系判断即可．③特殊值判断：如A为锐角，B为钝角，④如A=45°，B=60°时不符合，⑤利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，再结合正弦定理判断即可．解答：解：由①sinA＞sinB，利用正弦定理得 a=2rsinA，b=2rsinB，故sinA＞sinB，等价于a＞b，①正确；由②cosA＜cosB，利用函数y=cosx在（0，π）上单调递减得A＞B，等价于a＞b，②正确；由③tanA＞tanB，不能推出a＞b，如A为锐角，B为钝角，虽然有tanA＞tanB，但由大角对大边得a＜b，③错误；由④sin2A＞sin2B，不能推出a＞b，如A=45°，B=60°时，虽然有sin2A＞sin2B，但由大角对大边得a＜b，④错误；由⑤cos2A＜cos2B，利用二倍角公式得sin2A＞sin2B，∴sinA＞sinB，故等价于a＞b，⑤正确．故答案为：①②⑤点评：本题考查了解三角形及有关的定理，充分必要条件的定义，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75余．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．（12分）设函数f（x）=sinxcos（x+）+，x∈R．（Ⅰ）求f（x）的最大值及最小正周期；（Ⅱ）若斜率为的直线与f（x）相切，求其切点坐标．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数公式化简f（x）为最简形式，然后求最值；（Ⅱ）利用导数的几何意义对f（x）求导，导数值为，得到自变量x，然后求函数值．解答：解：（Ⅰ）由已知，f（x）=sinx（cosx﹣sinx）+=sin2x﹣•+=sin（2x+），∴f（x）的最大值为，最小正周期为π．（6分）（Ⅱ）f′（x）=cos（2x+），令cos（2x+）=，则2x+=2kπ±（k∈Z），即x=kπ或x=kπ﹣（k∈Z），故其切点坐标为（kπ，）或（kπ﹣，﹣）（k∈Z）．（12分）点评：本题考查了三角函数的化简、性质以及与导数的几何意义相结合的问题，属于常考查的题目．17．（12分）已知a＞0，a≠1，设命题p：函数y=log a x在（0，+∞）上单凋递增；命题q：函数y=|x+2a|﹣|x|对任意x∈R满足﹣1＜y＜l．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用；简易逻辑．分析：先根据对数函数的单调性，讨论x的取值从而去绝对值，并根据函数y的值域从而求得命题p，q下a的取值范围，而由“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题得到p真q假，和p假q真两种情况，分别求出这两种情况下a的取值范围再求并集即可．解答：解：若p为真命题，则a＞1；若q为真命题，由得，﹣2a≤|x+2a|﹣|x|≤2a；∴2a＜1，0＜a＜；又“p⋁q”为真，“p⋀q”为假，则p、q中一真一假；当p真q假时，，∴a＞1；当p假q真时，，∴0＜a＜；故a的取值范围是（0，）∪（1，+∞）．点评：考查对数函数的单调性，处理含绝对值函数的方法：去绝对值，根据一次函数的单调性求函数的范围，以及p∨q，p∧q真假和p，q真假的关系．18．（12分）设△ABC的内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，且cos2B+cosB+cos（A ﹣C）=1．（Ⅰ）证明：a、b、c成等比数列；（Ⅱ）若a+c=b，cosB=，求△ABC的面积．考点：余弦定理；等比关系的确定．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用和差化积公式变形，根据正弦定理化简得到关系式，即可得证；（Ⅱ）利用余弦定理列出关系式，把cosB的值代入并利用完全平方公式化简，整理求出ac 的值，由cosB的值求出sinB的值，利用三角形面积公式计算即可得到结果．解答：解：（Ⅰ）由已知得1﹣2sin2B+cosB+cos（A﹣C）=1，cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sin2B，即2sinAsinC=2sin2B，由正弦定理知b2=ac，∴a、b、c成等比数列；（Ⅱ）由余弦定理知===，即ac=8，∵sinB==，∴S△ABC=acsinB=×8×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，以及三角形面积公式，熟练掌握定理是解本题的关键．19．（13分）已知数列{a n}满足a l=2，a n+l=2a n2，n∈N*．（Ⅰ）证明：数列{1+log2a n}为等比数列；（Ⅱ）证明：++…+＜2．考点：数列与不等式的综合；等比关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）两边取以2为底的对数，得log2a n+1=1+2log2a n，由此能证明{1+log2a n}为等比数列．（Ⅱ）=，设M=++…+=++…+，利用错位相减法能证明++…+＜2．解答：证明：（Ⅰ）∵a n+l=2a n2，n∈N*，∴两边取以2为底的对数，得log2a n+1=1+2log2a n，则log2a n+1+1=2（log2a n+1），∴{1+log2a n}为等比数列．（6分）（Ⅱ）∵log2a n+1=（log2a1+1）×2n﹣1=2n，∴=，设M=：++…+=++…+，则M=++…+，两式相减得M=++…+﹣=1﹣﹣＜1，则M＜2，∴++…+＜2．（13分）点评：本题考查等比数列的证明，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．20．（13分）设函数f（x）=ax﹣e x，a∈R，e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）存在两个零点，求a的取值范围；（2）若对任意x∈R，a＞0．f（x）≤a2﹣ka恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）求导f′（x）=a﹣e x，分a＞0与a＜0讨论，从而可得当a＞0时，f（x）在x=lna处取得最大值f（lna）=alna﹣a，从而可得f（lna）=alna﹣a＞0，从而解a；（2）由题意，对任意x∈R，a＞0．f（x）≤a2﹣ka恒成立可化为k≤a+1﹣lna恒成立，令g（a）=a+1﹣lna，从而化为最值问题．解答：解：（1）f′（x）=a﹣e x．当a≤0时，f′（x）＜0，f（x）在R上单调递减，最多存在一个零点，不满足条件；当a＞0时，由f′（x）=0解得x=lna，当x＞lna时，f′（x）＜0，当x＜lna时，f′（x）＞0．故f（x）在x=lna处取得最大值f（lna）=alna﹣a，∵f（x）存在两个零点，∴f（lna）=alna﹣a＞0，∴a＞e，即a的取值范围是（e，+∞）；（2）由（Ⅰ）知f（x）≤alna﹣a，故只需alna﹣a≤a2﹣ka，即k≤a+1﹣lna．令g（a）=a+1﹣lna，g′（a）=1﹣，当a＞1时，g′（a）＞0；当a＜1时，g′（a）＜0．故g（a）在a=1处取得最小值2，则k≤2，即k的取值范围是（﹣∞，2]．点评：本题考查了导数的综合应用及函数的零点及恒成立问题，属于中档题．21．（13分）如图中的杨辉三角最早出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》．它有很多奇妙的性质，如每个数等于它肩上两数之和．记图中从上到下第i行从左到右第j个数为（i，j）．数列{a n}的前n项和S n=（n+2，3），n∈N*．（I）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设b n=，数列{b n}的前n项和为T n证明：1≤T n＜2．考点：数列与不等式的综合；数列的概念及简单表示法；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）观察知数列{（n+1，2）}是首项为1公差为1的等差数列．S n=S n﹣1+n，由此能求出a n=n，n∈N*．（Ⅱ），==2（），由此利用裂项求和法能证明1≤T n＜2．解答：解：（Ⅰ）观察知数列{（n+1，2）}是首项为1公差为1的等差数列．而n≤2时，S n=（n+2，3）=（n+1，2）+（n+1，3）=S n﹣1+n，∴a n=S n﹣S n﹣1=n．又n=1时，S1=（3，3）=1也适合上式．a n=n，n∈N*．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴==2（）．（9分）∴T n=2（1﹣+）=2（1﹣），∵T n+1﹣T n=2（1﹣）﹣2（1﹣）﹣2（1﹣）=2（）=＞0，∴{T n}是递增数列，又T1=1，∴1≤T n＜2．（13分）点评：本题考查数列{a n}的通项公式的求法，考查不等式1≤T n＜2的证明，解题时要注意裂项求和法的合理运用．。
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安徽省宣城市2015届高三上学期期末考试数学（理）试题
一、选择题（50分）
1、复数（1－1)(1)i i +＝
A 、－2
B 、－2i
C 、2
D 、2i
2、某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是95
，则 A 、a ＝6 B 、a ＝5 C 、a ＝4 D 、a ＝
7
3、若实数x,y 满足101010x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩
，则2z x y =-的最大值为
A 、14
B 、12
C 、1
D 、2 4、已知命题p ：01x ∀>x ＞，2，则p ⌝为
A 、01x ∀≤x
＞，2 B 、001x ∃≤0x ＞，2 C 、001x ∃>0x ＞，2 D 、001x ∃≥0x
＞，2
5、若“0≤x ≤4”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是
A 、（0,2）
B 、（0,2］
C 、［－2,0］
D 、（－2,0）
6、在△ABC 中，已知AB ＝
AC ＝4，∠B ＝30º，则△ABC 的面积是
A 、
B 、
D 、
D
7、若直线(1)3(1)(23)2ax a y a x a y +-=-++=与互相垂直，则a 等于
A 、3
B 、1
C 、0或32-
D 、1或－3 8、若sin()(0,0,||)2y A x A π
ωϕωϕ=+>><的最小值为－2，其图像相邻最高点与最低
点横坐标之差为2π，且图像过点（0,1），则其解析式是
A 、2sin()26x y π=+
B 、2sin()23x y π=+
C 、2sin()6y x π=+
D 、2sin()3
y x π=+ 9、若关于x 的不等式220x ax +->在区间［1,5］上有解，则实数a 的取值范围为
A 、（－23,5+∞）
B 、（－23,15
） C 、（1，+∞） D 、（－∞，－1） 10、抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，A 为准线上一点则线段FA 的中垂线与抛物线的位置关系为
A 、相交
B 、相切
C 、相离
D 、以上都有可能
二、填空题（25分）
11、如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为＿＿＿＿
12、已知点M 0），椭圆2
24
x y +＝1与直线(y k x =交于点A ，B ，则△ABM 的周长为＿＿＿＿＿
13、若21()n
x x -展开式中的所有二项式系数和为512，则该展开式中的常数项为＿＿＿
14、在△ABC 中，BC ＝6，BC 边上的高为2，则AB AC 的最小值为＿＿＿＿
15、关于几何体有以下命题：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥；
③棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分
④两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；
⑤一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥。
其中正确的有＿＿＿＿＿＿（请把所有正确命题的题号都写上）。
三、解答题（75分）
16、（12分）已知函数22()cos 3sin cos 2f x x x x x =--+。
（1）当[0,]2x π
∈时，求f （x ）的值域；
（2）若△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足b a
= sin(2)22cos()sin A C A C A
+=++，求f （B ）的值。
17、（12分）如图，底面是正三角形的直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，
AA 1＝AB ＝2。
（1）求证：A 1C ∥平面AB 1D ；
（2）求点A 1到平面AB 1D 的距离。
18、（12分）已知椭圆E ：22
221(0)x y a b a b
+=>>过点P （3,1），其左、右焦点分别为F 1，F 2，且12F P F P ＝－6。
（1）求椭圆E 的方程；
（2）若M ，N 是直线x ＝5上的两个动点且F 1M ⊥F 2N ，则以MN 为直线的圆C 是否过定点？请说明理由。
19、（13分）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学，在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学
中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设
为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量的分布列和数学期望
20、（13分）已知数列{n a }中，111,(*)3
n n n a a a n N a +==∈+ （1）求证： {112
n a +}是等比数列，并求{n a }的通项公式n a 。
（2）数列{n b }满足(31)2
n n n n n b a =-，数列{n b }的前n 项和为Tn ，若不等式1(1)2
n n n n T λ--<+
对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围。
21、（13分）已知函数()(1)1x
f x x e =--
（1）求函数f （x ）的最大值；
（2）若x ≥0时，2()()0g x f x x λ=+≤，求λ的取值范围。