高数复习题参考答案
高数期末考试题及答案解析
高数期末考试题及答案解析一、选择题（每题2分，共10分）1. 函数 \( f(x) = \sin x + 2x^2 \) 在区间 \( [0,\frac{\pi}{2}] \) 上是：A. 单调递增B. 单调递减C. 先递增后递减D. 先递减后递增答案解析：首先求导数 \( f'(x) = \cos x + 4x \)。
在区间\( [0, \frac{\pi}{2}] \) 上，\( \cos x \) 始终大于等于0，而\( 4x \) 也是非负的，因此 \( f'(x) \geq 0 \)，说明函数 \( f(x) \) 在该区间上单调递增。
所以答案是 A。
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则下列哪个选项是正确的？A. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 0 \)B. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 0 \)C. \( \lim_{x \to 0} f(x) = 1 \)D. \( \lim_{x \to 0} g(x) = 1 \)答案解析：根据极限的性质，如果 \( \lim_{x \to 0}\frac{f(x)}{g(x)} = 0 \)，则 \( g(x) \) 不能趋向于0，否则分母为0，极限不存在。
同时，\( f(x) \) 趋向于0。
因此，选项 A 是正确的。
3. 曲线 \( y = x^3 - 3x \) 在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率是：A. 0B. 2C. -2D. 4答案解析：求导数 \( y' = 3x^2 - 3 \)，将 \( x = 1 \) 代入得到 \( y' = 0 \)。
因此，曲线在点 \( (1, -2) \) 处的切线斜率为 0，答案是 A。
4. 若 \( \int_{0}^{1} x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_{0}^{1} x^3 dx \) 的值是：A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{2}{3} \)答案解析：根据积分的基本公式，\( \int x^n dx =\frac{x^{n+1}}{n+1} + C \)，所以 \( \int_{0}^{1} x^3 dx =\left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{4} \)。
高数试题及答案
高数试题及答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3在区间[0,5]上的最大值是：A. 3B. 4C. 5D. 62. 曲线y=x^3-3x^2+2x在x=1处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 23. 已知∫(0,1) x^2 dx = 1/3，求∫(0,1) x^3 dx的值：A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 2/34. 函数y=sin(x)的周期是：A. πB. 2πC. 4πD. 8π5. 无穷小量o(x)与x的关系是：A. o(x) = x^2B. o(x) = xC. o(x) = x^(1/2)D. o(x) = x^(1/3)6. 极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值是：A. 0B. 1C. πD. ∞7. 函数f(x)=x^3+2x^2-5x+7的零点个数是：A. 0B. 1C. 2D. 38. 已知函数f(x)=x^2+3x+2，求f(-1)的值：A. 0B. 1C. 2D. 39. 函数f(x)=e^x的导数是：A. e^xB. x*e^xC. 1D. x10. 已知序列{an}=2n-1，求a5的值：A. 9B. 7C. 5D. 3二、填空题（每题2分，共10分）11. 函数f(x)=2x-3的反函数是________。
12. 曲线y=x^2在x=-1处的切线方程为________。
13. 极限lim(x→∞) (1/x)等于________。
14. 函数y=ln(x)的定义域是________。
15. 函数f(x)=cos(x)的最小正周期是________。
三、解答题（每题15分，共30分）16. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值和最小值。
17. 求曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线方程，并说明切点坐标。
四、证明题（每题15分，共15分）18. 证明：对于任意正整数n，有sin(n)≠n。
高数期末考试题(复习题)附答案
大一上学期高数期末考试一、单项选择题1. )(0),sin (cos )( 处有则在设=+=x x x x x f .（A ）(0)2f '= （B ）(0)1f '=（C ）(0)0f '= （D ）()f x 不可导.2. ）时（ ，则当，设133)(11)(3→-=+-=x x x x xx βα.（A ）()()x x αβ与是同阶无穷小，但不是等价无穷小；（B ）()()x x αβ与是等价无穷小； （C ）()x α是比()x β高阶的无穷小； （D ）()x β是比()x α高阶的无穷小.3. 若()()()02xF x t x f t dt=-⎰，其中()f x 在区间上(1,1)-二阶可导且'>()0f x ，则（ ）.（A ）函数()F x 必在0x =处取得极大值；（B ）函数()F x 必在0x =处取得极小值；（C ）函数()F x 在0x =处没有极值，但点(0,(0))F 为曲线()y F x =的拐点； （D ）函数()F x 在0x =处没有极值，点(0,(0))F 也不是曲线()y F x =的拐点。
4.)()( , )(2)( )(1=+=⎰x f dt t f x x f x f 则是连续函数，且设（A ）22x （B ）222x+（C ）1x - （D ）2x +.5、设22sin y x y e y -=，则dydx=（ ） (A) 22cos 2y xy y e + (B) 222cos yxy e y x+- (C) 0 (D) 222cos 2y xy y e x +- 6、设函数11()1xx f x e-=-，则（ ）。
(A) 0,1x x ==都是()f x 的第一类间断点； (B) 0,1x x ==都是()f x 的第二类间断点；(C) 0x =是()f x 的第一类间断点, 1x =是()f x 的第二类间断点； (D) 0x =是()f x 的第二类间断点, 1x =是()f x 的第一类间断点。
高数复习题与答案
复习题（一）一、选择题1. 函数⎪⎩⎪⎨⎧=≠=001cos)(x x xx x f 在0=x 处( )A 、连续；B 、不连续；C 、为第一类间断点；D 、为第二类间断点.2、已知2)]([)(x f x f ='，则=)()(x f n ( )A 、1)]([+n x f ；B 、n x f n )]([；C 、1][+n f(x)n!；D 、n x f n )]([! 3、设xe y sin =，则dy=（ ）A 、x d e 22sin ；B 、x d e x sin sin ；C 、x d e x sin 2sin ；D 、xdx e x sin 2sin . 4.函数)(x f 在0x 可导是函数)(x f 在该点连续的 （ ）A 、充分条件；B 、必要条件；C 、充要条件；D 、非充分非必要条件.5、1lim(1)n n n→∞-=( )A.2eB.1C. 1 -eD. e6. 0tan 1lim(sin )x x x x x→-=( )A. 1B. 2C. 0D. 不存在 7、 数列收敛是数列有界的（ ）A 、充分非必要条件；B 、必要非充分条件；C 、充分必要条件；D 、既不充分又不必要条件. 8、0x →时，下列无穷小中，（ ）是等价无穷小A 、arcsin x x 与 x ；B 、1cos x -与 22x ；C 、1xe -与 2x ；D 、22x x -与 24x x -.9、设1112()1xxe f x e+=+，则0x =是()f x 的（ ）A 、可去间断点；B 、跳跃间断点；C 、无穷间断点；D 、振荡间断点. 10、函数()f x 在0x 不可导，则()f x 在0x 处（ ）A 、一定不连续；B 、一定无界；C 、不一定连续；D 、一定无定义.11、设曲线L 的参数方程是2(sin )2(1cos )x t t y t =-⎧⎨=-⎩，则曲线在2t π=处的切线方程是（ ）A 、x y π-=；B 、4x y π+=-；C 、x y π+=；D 、4x y π-=-.12、设tan ln 2y x =+，则y '=（ ）A 、1sec 2x +；B 、2sec 2x +； C 、2sec x ；D 、cot x .二、填空题1. 当)(),(),(0x x x x x γβα时，→都是无穷小，且))(o()(x x βα=,)(x β～)(x γ，则)()()(limx x x x x γβα+→=2. 21lim()xx x x→∞+= 3.设a )(=x x f 在连续，且6)1(2tan lima 0=-→xe f x x x x ，则=)a (f ； 4、过曲线xxy -+=66上点（2，2）处的切线方程为 ； 5、设)0(,)sin(ln >=x x y ，则=dy x d ln 。
高数复习题库答案
高数复习题库答案一、选择题1. 函数f(x)=x^3-3x^2+2在区间(1,2)内是增函数还是减函数？A. 增函数B. 减函数C. 不确定D. 既不是增函数也不是减函数答案：A2. 已知函数f(x)=2x-1，求f(-1)的值。
A. -3B. -2C. 0D. 1答案：A3. 曲线y=x^2在点(1,1)处的切线斜率是多少？A. 1B. 2C. 0D. 不存在答案：B二、填空题1. 函数f(x)=x^2+3x+2的极小值点是______。
答案：-12. 若f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f'(x)。
答案：3x^2-12x+113. 曲线y=x^3-6x^2+11x-6在x=2处的切线方程是______。
答案：y=-3x+14三、简答题1. 简述函数的连续性与可导性之间的关系。
答案：函数的连续性是可导性的必要条件，但不是充分条件。
即连续的函数不一定可导，但可导的函数一定连续。
2. 什么是泰勒公式？它在数学分析中有何应用？答案：泰勒公式是将一个在某点可导的无穷次函数表示为该点处的多项式和余项的和。
它在数学分析中广泛应用于函数的近似计算、误差分析等。
四、计算题1. 求函数f(x)=sin(x)+cos(x)的导数。
答案：f'(x)=cos(x)-sin(x)2. 已知函数f(x)=ln(x)，求在区间[1,e]上的定积分。
答案：∫[1,e]ln(x)dx = (xln(x)-x)|[1,e] = e-13. 求由曲线y=x^2与直线y=4x-3围成的平面图形的面积。
答案：首先求交点，解方程组得到交点坐标。
然后分别对两曲线在交点区间进行积分，最后相减得到所求面积。
五、证明题1. 证明函数f(x)=x^3在R上是严格递增的。
答案：首先求导f'(x)=3x^2，由于对于所有实数x，f'(x)≥0，且仅当x=0时f'(x)=0，所以函数f(x)在R上是严格递增的。
高数期末考试题及答案大全
高数期末考试题及答案大全试题一：极限的概念与计算问题：计算极限 \(\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}\)。
答案：根据洛必达法则，当分子分母同时趋向于0时，可以对分子分母同时求导，得到：\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\cosx}{1} = \cos(0) = 1.\]试题二：导数的应用问题：设函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x\)，求其在 \(x=1\) 处的切线方程。
答案：首先求导数 \(f'(x) = 3x^2 - 6x + 2\)。
在 \(x=1\) 处，导数值为 \(f'(1) = -1\)，函数值为 \(f(1) = 0\)。
切线方程为 \(y - 0 = -1(x - 1)\)，即 \(y = -x + 1\)。
试题三：不定积分的计算问题：计算不定积分 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx\)。
答案：这是一个基本的三角换元积分问题，令 \(x = \tan(\theta)\)，\(dx = \sec^2(\theta) d\theta\)。
则 \(\int \frac{1}{x^2 + 1} dx = \int \frac{1}{\tan^2(\theta) + 1} \sec^2(\theta) d\theta = \int \cos^2(\theta) d\theta\)。
利用二倍角公式，\(\cos^2(\theta) = \frac{1 +\cos(2\theta)}{2}\)。
积分变为 \(\int \frac{1}{2} d\theta + \frac{1}{2} \int\cos(2\theta) d\theta = \frac{\theta}{2} +\frac{\sin(2\theta)}{4} + C\)。
高数书总复习题答案
高数书总复习题答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数为：A. 2x+3B. x^2+3C. 2xD. 3x+2答案：A2. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率为：A. -1B. 0C. 1D. 2答案：C二、填空题1. 若f(x)=sin(x)，则f''(x)=________。
答案：-cos(x)2. 函数f(x)=ln(x)的定义域为________。
答案：(0, +∞)三、解答题1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的极值点。
解答：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+11。
令f'(x)=0，解得x=1和x=11/3。
然后求二阶导数f''(x)=6x-12。
当x=1时，f''(1)=-6<0，所以x=1是极大值点。
当x=11/3时，f''(11/3)>0，所以x=11/3是极小值点。
2. 证明：对于任意的正整数n，等式e^x > 1+x 成立。
证明：令g(x)=e^x-1-x，则g'(x)=e^x-1。
当x=0时，g'(0)=0。
当x>0时，g'(x)>0，所以g(x)在(0, +∞)上单调递增。
当x<0时，g'(x)<0，所以g(x)在(-∞, 0)上单调递减。
因此，g(x)的最小值为g(0)=0，即e^x-1-x≥0，所以e^x>1+x。
四、计算题1. 计算定积分∫[0,1] (2x-1)dx。
解答：首先求原函数F(x)=∫(2x-1)dx=x^2-x+C。
然后计算F(1)-F(0)=1^2-1-(0^2-0)=1。
五、应用题1. 某工厂生产一种产品，其成本函数为C(x)=50x+0.02x^2，其中x为生产量。
求该工厂生产100件产品时的平均成本。
解答：平均成本为A(x)=C(x)/x。
高数复习题目和答案
高数复习题目和答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2在区间[-1, 2]上的最大值是：A. 1B. 3C. 5D. 72. 曲线y=x^3-2x^2+x在点(1,0)处的切线斜率是：A. -1B. 0C. 1D. 2二、填空题3. 若函数f(x)=2x-3在区间[0, 5]上连续，求f(0)+f(5)的值为______。
4. 已知函数g(x)=sin(x)+cos(x)，求g'(x)的导数表达式为______。
三、简答题5. 求函数y=x^3-6x^2+9x+2在x=2处的导数，并解释其几何意义。
6. 证明：若函数f(x)在区间(a, b)内连续，并且满足f(a)f(b)<0，则至少存在一点c∈(a, b)，使得f(c)=0。
四、计算题7. 计算定积分∫(1, 3) (2x-1)dx。
8. 求解微分方程：dy/dx + 2y = x^2，y(0) = 1。
五、证明题9. 证明：对于任意正整数n，有\( \sum_{k=1}^{n} k^2 =\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \)。
10. 证明：函数f(x)=e^x是严格单调增函数。
六、应用题11. 某工厂生产某种商品，其成本函数为C(x)=100+5x，其中x是生产数量。
求生产100件商品时的平均成本。
12. 某公司股票价格随时间变化的函数为S(t)=100e^(0.05t)，其中t 是时间（以年为单位）。
如果公司决定在两年后卖出股票，求其卖出时的预期价格。
答案：一、选择题1. 正确答案：C. 5解析：f(x)=(x+3/2)^2-1/4，当x=2时，函数取得最大值5。
2. 正确答案：C. 1解析：求导得y'=3x^2-4x+1，代入x=1得到y'(1)=0。
二、填空题3. 答案：7解析：f(0)=-3，f(5)=40，所以f(0)+f(5)=-3+40=37。
4. 答案：g'(x)=cos(x)-sin(x)解析：根据导数的和与三角函数导数公式，得到g'(x)。
高数复习题答案
高数复习题答案一、选择题1. 函数f(x)=x^2+3x+2的导数是：A. 2x+3B. 2x+6C. 2x+1D. 2x-3答案：A2. 曲线y=x^3-2x^2+1在点(1,0)处的切线斜率是：A. 1B. -1C. 0D. 3答案：B3. 定积分∫(0到1) x^2 dx的值是：A. 1/3B. 1/2C. 2/3D. 1答案：A二、填空题1. 若f(x)=sin(x)，则f''(x)=________。
答案：-sin(x)2. 函数f(x)=ln(x)在区间[1,e]上的最大值是________。
答案：13. 极限lim(x→0) (1-cos(x))/x的值是________。
答案：0三、解答题1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+9x+2在区间[1,3]上的最大值和最小值。
解：首先求导数f'(x)=3x^2-12x+9。
令f'(x)=0，解得x=1和x=3。
将这两个点以及区间端点1和3代入原函数，得到f(1)=-2，f(3)=2，f(1)=-4。
因此，函数在区间[1,3]上的最大值为2，最小值为-4。
2. 计算定积分∫(0到π/2) sin(x) dx。
解：首先求不定积分∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
然后计算定积分：∫(0到π/2) sin(x) dx = [-cos(x)](0到π/2) = -cos(π/2)+ cos(0) = 0 + 1 = 1。
四、证明题1. 证明：对于任意实数x，有e^x ≥ x + 1。
证明：令函数f(x) = e^x - (x + 1)，求导得到f'(x) = e^x - 1。
当x < 0时，f'(x) < 0，函数f(x)单调递减；当x > 0时，f'(x) > 0，函数f(x)单调递增。
因此，f(x)的最小值出现在x=0处，即f(0)= e^0 - 1 = 0。
高等数学复习练习题附答案
第一章自测题一、填空题（每题 3 分，共 18 分）sin x tan x1. lim.x 0 ln 12x32.3x1x. lim2x 1x x23.已知 lim 2x2ax b3，此中为 a,b 常数，则a， b.x1x14.若 f x sin 2x x e2 ax 1, x0 在,上连续，则 a.a,x05.曲线 f ( x)x1的水平渐近线是，铅直渐近线是.x24x 316.曲线y2x 1 e x的斜渐近线方程为.二、单项选择题（每题 3 分，共 18 分）1.“对随意给定的0,1，总存在整数 N ，当 n N 时，恒有 x n a 2 ”是数列 x n收敛于 a 的.A. 充足条件但非必需条件B.必需条件但非充足条件C. 充足必需条件D.既非充足也非必需条件2x,x022.设 g x x ,x 0则 g f x.x2,x ， f x0x,x02 x2 , x 0B.2 x2 , x 0C.2 x2 , x 0D.2 x2 , x 0A.2 x, x 0 2 x, x 0 2 x, x 02 x, x 03.以下各式中正确的选项是.1xA．lim1e x 0x1xC. lim1ex x1xB.lim1ex 0x1x D.lim1e-1x x4.设x0 时，e tan x1 与x n是等价无量小，则正整数n.A. 1B. 2C. 3D. 4优选文库1 e5. 曲线 ye1x 2x 2.A. 没有渐近线B.仅有水平渐近线C. 仅有铅直渐近线D.既有水平渐近线又有铅直渐近线6．以下函数在给定区间上无界的是.A.1sin x, x(0,1]B.1sin x, x(0, )xxC.11 x(0,1] D.1 x(0, )sin,x sin ,xxx三、求以下极限（每题5 分，共 35 分）1. lim x 2x 2x 24x1 312． limx e 2 xxx 013. lim 12n 3n nnx 2sin14． limxx2x 2 15. 设函数 f xa xa 0, a 1 ，求 lim12 ln f 1 f 2 L f n .nn优选文库12 e x sin x6． lim4xx 01 e x7． lim1cosx x 01cos x四、确立以下极限中含有的参数（每题5 分，共 10 分）1. limax 22x b 2x 1x2x22． lim xax 2 bx 2 1xa xb x五、议论函数 f ( x)x , x在 x 0 处的连续性， 若(a 0,b 0, a 1,b 1)0,x不连续，指出该中断点的种类. （此题 6 分）优选文库sin t 六、设 f ( x)limt x sin xxsin tsin x，求 f ( x) 的中断点并判断种类.（此题7分）七、设 f ( x) 在 [0,1]上连续，且 f (0) f (1).证明：必定存在一点0,1，使得2f ( ) f1. （此题6分）2第二章自测题一、填空题（每题 3 分，共 18 分）1.设2.设4.设5.设f (x) 在 x0可导，且 f ( x0 ) 0, f ( x0 )f1cos x2，则 f ( x). 3.xy f (e sin x ) ，此中 f ( x) 可导，则 dyy1.arccos x ，则 y21，则 lim hf1.x0h hx.1dx dx2.6. 曲线xy 1 x sin y 在点1 ,的切线方程为.二、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）1. 以下函数中，在x0 处可导的是.2.设 y f (x) 在 x0处可导，且 f ( x0 )2，则lim f ( x02Vx) f ( x0Vx).VxV x0A. 6B.6C.1D.1 663.设函数 f ( x) 在区间 (,) 内有定义，若当 x(,) 时恒有 | f ( x) |x2，则 x0 是f ( x) 的.A. 中断点B.连续而不行导的点C. 可导的点，且 f (0)0D.可导的点，且 f (0)04.sin x, x00处 f ( x) 的导数.设 f ( x)x，则在 xx2 ,0A. 0B.1C.2D.不存在5.设函数 f (u) 可导， y f (x2 ) 当自变量 x 在x 1 处获得增量 Vx时，相应的函数增量 Vy 的线性主部为，则 f(1).A. 1B.C.1D.三、解答题（共67 分）1.求以下函数的导数（每题 4 分，共16 分）(1) y ln e x 1 e2 x(2) y x 111 xa a x(3)y x a a x a a(4)y (sin x)cos x2. 求以下函数的微分（每题 4 分，共 12 分）(1) y x ln x sin x2cot21(2)y e x(3) y x21x 1x3. 求以下函数的二阶导数（每题 5 分，共 10 分）（1）y cos2x ln x1 x（2）y1 x4. 设 f ( x)e x , x 1在 x 1可导，试求 a 与 b . （此题 6分）ax b, x15. 设 f ( x)sin x , x 0 ，求 f ' ( x) . （此题 6 分）ln(1 x), x 026. 设函数 yy( x) 由方程 lnxxy 2 1所确立，求 dy . （此题 6 分）y7. 设 yx a ln tan tcost2y(x) 由参数方程2，求 dy , d y 2 . （此题 6 分）y a sin tdx dxx1 tt 38. 求曲线在 t1处的切线方程和法线方程 . （此题 5 分）3y 1 2t 22t第三章 自测题一、填空题（每题 3 分，共 15 分）3若 a0, b0 均为常数，则 lim a x b x x1..2x02.lim11.x2x tan xx 03.lim arctan x x.3x 0ln(1 2x )4.曲线 y e x2的凹区间，凸区间为.5.若 f ( x)xe x，则 f ( n ) ( x) 在点 x处获得极小值 .二、单项选择题（每题 3 分，共 12 分）1.设 a,b 为方程 f ( x)0 的两根， f ( x) 在 [ a,b] 上连续， (a, b) 内可导，则 f (x)0 在(a,b) 内.A. 只有一个实根B.起码有一个实根C. 没有实根D.起码有两个实根2.设 f (x) 在 x0处连续，在x0的某去心邻域内可导，且x x0时， ( x x0 ) f ( x)0 ，则f ( x0 ) 是.A. 极小值B.极大值C. x0为f ( x)的驻点D.x0不是 f ( x) 的极值点3.设 f (x) 拥有二阶连续导数，且f(0)0 ， lim f( x) 1 ，则.x 0| x |A. f (0)是 f (x) 的极大值B. f (0)是 f (x) 的极小值C．(0, f (0))是曲线的拐点D．f(0) 不是 f (x) 的极值， (0, f (0))不是曲线的拐点4.设 f (x) 连续，且 f(0)0 ，则0，使.A. f ( x)在(0, )内单一增添 .B. f ( x) 在 (,0) 内单一减少.C.x(0,) ，有 f (x) f (0)D.x (,0) ，有 f ( x) f (0) .三、解答题 ( 共 73 分)1. 已知函数f ( x)在[0,1]上连续，(0,1)内可导，且f (1)0 ，优选文库证明在 (0,1) 内起码存在一点f ( )使得 f ( ). （此题 6 分）tan2. 证明以下不等式（每题 9 分，共 18 分）（1）当 0a b 时，b alnbb a .ba a（2）当 0 x时，2x sin x x .23. 求以下函数的极限（每题8 分，共 24 分）（ 1） lim e x e x2xx 0xsin x优选文库12（ 2）lim(cos x)sin xx 01（ 3）lim(1 x) x exx 04. 求以下函数的极值（每题 6 分，共 12 分）12（ 1）f ( x) x3(1 x)3x2x , x0（ 2）f ( x)x 1 , x05. 求y2x. （此题 6 分）的极值点、单一区间、凹凸区间和拐点ln x16. 证明方程x ln x0 只有一个实根.（此题7分）e第一章自测题一、填空题（每题 3 分，共 18 分）1. 2.3.4.5.水平渐近线是，铅直渐近线是6.二、单项选择题（每题 3 分，共 18分）1. C2. D3. D4. A5. D 6． C三、求以下极限（每题 5 分，共 35分）解： 1.. 2．. 3.，又. 4．. 5.. 6．，，因此，原式.7．.四、确立以下极限中含有的参数（每题 5 分，共 10 分）解： 1.据题意设，则，令，令得，故．2．左边，右边故，则．五、解：，故在处不连续，所以为六、解：，而，故，的间断点，，故为的第一类（可去）中断点，均为的第二类中断点．七、证明：设，明显在而，，，故由零点定理知：必定存在一点，使，即优选文库第二章自测题一、填空题（每题 3 分，共 18 分）1. 2.3. 4.5.6.或二、单项选择题（每题 3 分，共 15 分）1. D2. A3. C4. D5. D三、解答题（共67 分）解： 1.(1).(2).(3).(4)两边取对数得，两边求导数得，.2. 求以下函数的微分（每题 4 分，共 12 分）(1).(2).(3).优选文库3. 求以下函数的二阶导数（每题 5 分，共 10 分）（1）.（2），.4.首先在处连续，故，故，。
高数试题及答案
高数试题及答案一、选择题1. 下列函数中，哪一个是周期函数？A. y = x^2B. y = sin(x)C. y = e^xD. y = ln(x)答案：B2. 函数f(x) = 2x^3 - 5x^2 + 7在x=1处的导数是：A. -1B. 1C. 3D. 5答案：B二、填空题1. 若f(x) = 3x - 2，求f'(x) = __________。
答案：32. 曲线y = x^3在点(1,1)处的切线斜率是 __________。
答案：3三、解答题1. 求函数f(x) = x^2 + 3x - 5的极值点。
解：首先求导数f'(x) = 2x + 3。
令f'(x) = 0，解得x = -3/2。
将x = -3/2代入原函数，得到f(-3/2) = -11/4。
由于f'(x)在x < -3/2时为负，在x > -3/2时为正，所以x = -3/2是函数的极小值点，对应的极小值为-11/4。
2. 证明函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 8在区间[1,3]上是单调递增的。
证明：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 9。
观察导数，可以发现f'(x) = 3(x - 1)(x - 3)。
由于1 ≤ x ≤ 3，所以(x - 1)和(x - 3)的符号相同，即f'(x) ≥ 0。
因此，函数f(x)在区间[1,3]上是单调递增的。
四、计算题1. 计算定积分∫(0,1) (2x - 1)dx。
解：首先求出被积函数的原函数F(x) = x^2 - x。
然后根据定积分的定义，计算F(1) - F(0) = 1^2 - 1 - (0^2 - 0) = 1 - 1 = 0。
2. 计算二重积分∬(0,1)(0,1) xy dA。
解：由于积分区域是一个单位正方形，我们可以将二重积分分解为两个定积分的乘积。
首先计算内层定积分∫(0,1) y dy = [1/2 *y^2](0,1) = 1/2。
高数复习练习题及答案
一。
微分方程 1. 一阶微分方程(2)．求微分方程ln ln 0y xdx x ydy -=的通解。
(3) 求微分方程()3sin 1cos 0x x e ydx e ydy +-=的通解 (4) 计算满足下述方程的可导函数()y y x =，()sin 5.dy y x dx x x+=. 求微分方程的通解 (6) 求微分方程212y x y'=-的通解 (7)、 求微分方程()20x y x e dx xdy -+-=的通解.(8) 设x y e =是微分方程()xy p x y x '+=的一个解，求此微分方程的通(9)求微分方程 ()()2223360.64x xy dx x y y dy ++=+的通解2. 高阶微分方程 (10)* 21.2y y y'''+-求微分方程=0的通解 (11)* 求如下初值问题的解()()()2111,10yy y y y ⎧'''=+⎪⎨'==⎪⎩ 14). 微分方程430y y y '''-+=的通解为:312x x y C e C e =+(16). 求解初值问题()()2001y y xy y ''⎧+=⎪⎨'==⎪⎩(17). 用待定系数法求微分方程232y y y x '''++=的一个特解时，应设特解的形式y =（ ）A 、2axB 、2ax bx c ++C 、()2x ax bx c ++D 、()22x ax bx c ++二。
空间解析几何与向量代数(1)．设有向量{}1,2,2a =- ，{}2,1,2b =-，则数量积()()a b a b -⋅+= 0。
(2)．过点()3,0,1-且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程是: 。
(3)．已知三点()1,1,1,(2,2,1),(2,1,2)A B C ，则向量AB与AC 的夹角θ是A ．4πB ．3πC ．6πD ．2π(4)* 曲线cos :sin x a t y a t z ct =⎧⎪Γ=⎨⎪=⎩在点(),0,0a 的切线方程为(5)*. 在曲面22122z x y =+上求出切平面，使所得的切平面与平面42210x y z ---=平行。
高数复习题
高数复习题一、 填空题1. 若3()13x f x =-，则(())f f x '=__________.答案：613x -详细解答：2()f x x '=，所以236()(())1133x x f f x '=-=- 说明：函数关系就如同加工的机器，将一个x 的值投入这个“机器”，通过这个“机器”的一系列处理（运算），就会“加工”出相应的“成品”（函数值）.如此，该函数关系可以形象地表示为3()()13f =-，只须将相应的自变量的值扔入“()”，经过一系列的“处理”（运算），即可得到需要的结果.如3(2)5(2)133f =-= 2. 若21cos ,0()cos ,0xk x f x x x x x -⎧+>⎪=⎨⎪≤⎩ 在0x =处连续，则k =__________.答12-详细解答：因为()f x 在0x =处连续，从而右连续，即200001cos lim ()lim []x x xf x k x →+→+-=+ 222000011cos 12lim lim (0)0cos002x x xx k k k f x x →+→+-=+=+=+=== 从而12k =-说明：函数在一点连续的充分必要条件是在该点既是左连续的又是右连续的，此外用到了重要结果0x →时211cos ~2x x -.3. nx x x m )1(lim -∞→（,m n 是常数）=__________.答案：1mn mn e e-=详细解答：()lim(1)lim(1)lim (1)m nx x mx xnx nx mn m x mx x x m m m e x xx ⋅---⋅⋅--→∞→∞→∞⎧⎫-=+=+=⎨⎬--⎩⎭说明：利用重要极限（凑重要极限），但必须完全符合重要极限的格式规范. 验证：>> syms x m n>> limit((1-m/x)^(n*x),x,inf)ans = exp(-m*n)4. 设)2()1ln()(+-=x x x x f ，则0x =是()f x 的第__________ 类中的__________间断点；2x =-是()f x 的第__________类中的__________间断点. 答案：一，跳跃间断点；二，无穷间断点. 详细解答：000000ln(1)1lim ()limlim (2)(2)2x x x x x f x x x x x →-→-→---===+-+000000ln(1)1lim ()limlim (2)(2)2x x x x x f x x x x x →+→+→+--===-++(0)(0)f f -+≠，从而0x =为()f x 的第一类间断点中的跳跃间断点. 2222ln(1)1lim ()limlim lim (2)(2)2x x x x x x f x x x x x x →-→-→-→---====∞+-++ 从而2x =-是()f x 的第二类间断点中的无穷间断点. 说明：用到了0x →时ln(1)~x x +的推广形式ln(1)~x x --.5. 曲线12+=x y 在点__________处的切线与直线32+=x y 垂直，在该点处的切线方程为____________________，法线方程为____________________.答案：117,416⎛⎫- ⎪⎝⎭，816150x y +-=，3216490x y -+=.详细解答：直线23y x =+的斜率2k =直，要求的切线与该直线垂直，从而推知所求切线的斜率12k =-切，又曲线21y x =+在任一点处切线的斜率为2dyx dx=，令122dy x dx ==-，解得14x =-，从而求得曲线21y x =+上符合要求的切线应该通过21,(1/4)14⎛⎫--+ ⎪⎝⎭即117,416⎛⎫- ⎪⎝⎭点. 所求切线方程为1711()1624y x -=-+，即816150x y +-= 所求法线方程为1712()164y x -=+，即3216490x y -+=6. 曲线2)1(12--=x x y 的水平渐近线方程是____________________铅直渐近线方程是____________________. 答案：0y =，1x =. 详细解答：22221210lim ()lim lim 0(1)111x x x x x x f x x x →∞→∞→∞--====-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以0y =为其水平渐近线. 21121lim ()lim(1)x x x f x x →→-==∞-，所以1x =为其铅直渐近线.说明：铅直渐近线的寻找是从其间断点中找，铅直渐近线通过的点是该函数的无穷间断点.7. 若⎰+=c x F dx x f )()(， 则=--⎰dx e f e x x )(____________________. 答案：()x F e c --+ 详细解答：()()()()()x xe uu e xx x x x ef e dx f e de f u du F u c F e c --==-----=-====-=-+====-+⎰⎰⎰8. 设0≠k ，且20(2)0kx x dx -=⎰，则k =__________.答案：3详细解答：2232300110(2)33k kx x dx x x k k =-=-=-⎰，又0k ≠，解得3k =.9. 设3,4,3,==⋅=⨯=a b a b a b ____________________.答案：详细解答：sin(,)43sin(,)⨯=⋅⋅=⋅⋅a b a b a b a b 又31cos(,)344⋅===⋅⋅a b a b a b 以及两向量的夹角介于0到π之间条件，推知sin(,)=a b，从而sin(,)43⨯=⋅⋅=⋅=a b a b a b 10. 直线2121x y y z +=⎧⎨-=⎩，与直线2121+==--z y x 的关系为__________.答案：重合.详细解答：2121x y y z +=⎧⎨-=⎩的一个方向向量可取为1120021i j ks =-111213201012(1)(1)(1)210102i j k +++=⋅-+⋅-+⋅--- 22{2,1,2}i j k =-++=- 而直线1122x z y -+==-的一个方向向量2{2,1,2}s =-， 显然12s s ∥，从而两直线平行. 又直线1122x z y -+==-上的点(1,0,1)-也满足2121x y y z +=⎧⎨-=⎩，故二者重合（是同一条直线）.说明：对两直线而言，若其方向向量平行，则两直线亦平行；对两平面而言，若其法向量平行，则两平面平行；对于一条直线跟一个平面而言，若直线的方向向量与平面的法向量垂直，则直线平行于平面. 11. 4cos x dx =⎰____________________.答案：311sin 2sin 48432x x x C +++ 详细解答：224221cos212cos2cos 2cos (cos )24x x x x dx x dx dx dx +++⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ 212cos 2cos 2444x x dx ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ 12cos 21cos 4448x x dx +⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ 112cos 2cos 44848x x dx ⎡⎤=+++⎢⎥⎣⎦⎰ 32cos 24cos 48432x x dx ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰ 32cos 24cos 48432x x dx dx dx =++⎰⎰⎰311cos 2(2)cos 4(4)8432dx x d x x d x =++⎰⎰⎰ 311sin 2sin 48432x x x C =+++ 说明：关于正弦、余弦的积分，偶次幂就降幂，奇次幂就提出一个拿到微分号后面去. 验证：int((cos(x))^4) ans =1/4*cos(x)^3*sin(x)+3/8*cos(x)*sin(x)+3/8*xsimplify(1/4*cos(x)^3*sin(x)+3/8*cos(x)*sin(x)+3/8*x-3/8*x-1/4*sin(2*x)-1/32*sin(4*x)) ans = 012. 方程23x y y y xe '''+-=的通解是____________________.答案：22121123xx x C eC e e x x -⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭详细解答：（1） 对应的二阶齐次线性微分方程的特征方程为220r r +-=，解得122,1r r =-= （2） 对应的二阶齐次线性微分方程的通解为212x x C e C e -+（3） 这里()3,1m P x x λ==，1λ=是特征方程的单根，故设特解*()x y x ax b e =⋅+⋅ （4） 将*2[]x y e ax bx =⋅+*2[(2)]x y e ax a b x b '=⋅+++*2[(4)(22)]x y e ax a b x a b ''=⋅++++代入方程，比较两端x 的同次幂的系数得63230a ab =⎧⎨+=⎩解得11,23a b ==-即二阶非齐次线性微分方程有特解*21123xy e x x ⎛⎫=⋅-⎪⎝⎭（5） 综上，所求二阶非齐次线性微分方程的通解为22121123xx x C e C e e x x -⎛⎫++⋅- ⎪⎝⎭验证：dsolve('D2y+Dy-2*y=3*x*exp(x)','x')ans =exp(x)*C2+exp(-2*x)*C1-1/3*x*exp(x)+1/2*x^2*exp(x)13.11(,)dx f x y dy -⎰⎰交换积分次序后是____________________.答案：10(,)dy f x y dx ⎰说明：首先根据该二次积分的积分限画出该二次积分对应的二重积分的积分区域D ，D的四条边界曲线分别为1,1,0,x x y y =-===所围成的平面区域即为单位圆的上半圆（域）.14. 方程y y '''=的通解是____________________.答案：12x C C e +详细解答：特征方程为2r r =，解得120,1r r ==，从而通解为12xC C e +说明：作为可降阶的不如作为二阶齐次线性微分方程方便. 验证：dsolve('D2y=Dy','x') ans =C1+exp(x)*C215. yz x =，则2zx y∂=∂∂____________________.答案：1[1ln ]y xy x -+详细解答： (1)1y zyx x-∂=∂ (2) 21111()1ln [1ln ]y y y y y z z yx x y x x x y x x y y x ----∂∂∂⎛⎫'===⋅+⋅=+ ⎪∂∂∂∂⎝⎭验证：>> simplify(diff(x^y,x)) ans = x^(y-1)*y>> simplify(diff(x^(y-1)*y,y)) ans =x^(y-1)*(y*log(x)+1)二、 单项选择题1. 函数ln(ln )y x =的定义域是( ). A. (,0)-∞ B. (0,1) C. (1,)e D. (1,)+∞答案：D详细解答：函数分解为ln ,ln y u u x ==.由外函数ln y u =的定义域0u >推知内函数ln u x =的值域为(0,)+∞，即ln 0x >，从而根据对数函数的性质推知1x >.说明：复合函数的定义域的寻求，是“由外及里，层层剥皮”.2.()f x 在点0x 连续是()f x 在点0x 可导的( ).A. 充分条件B. 必要 条件C. 充要条件D. 既非充分条件也非必要条件答案：B说明：函数()f x 在一点可导是在该点连续的充分条件，在一点连续是在该点可导的必要条件. 3. ()d f x dx =⎰( ). A. ()f x B. ()f x ' C. ()f x dx D. ()f x dx '答案：C说明：一般的，dy y dx '=，也就是说，微分必须有因式dx . 4. 设ln(sin )y x =，则dydx =( ). A. 1sin x B. 1cos xC. tan xD. cot x答案：D详细解答：11(ln(sin ))(sin )cos cot sin sin y x x x x x x'''==⋅=⋅= 说明：复合函数求导.5. 若函数22,1()1,1x x x f x x a x ⎧+-≠⎪=-⎨⎪=⎩在1x =处连续，则a =( ).A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C详细解答：因为函数在1x =点处连续，从而211112(1)(2)(1)lim ()lim lim lim(2)311x x x x x x x x a f f x x x x →→→→+--+=====+=--6. 下列函数中，既是奇函数，又是单增函数的是( ). A. sin y x = B. 31x +C. 3x x +D. 3x x -答案：C说明：3x x +，是两个奇函数的和，因而是奇函数. 又其导数为231x +恒大于0，从而是单调递增，综上，3x x +既是奇函数又是单调递增函数.sin x 非单调；31x +是一个奇函数（非0）与一个偶函数（非0）的和，从而是非奇非偶的；3x x -的导数为231x -不能确保大于0.7. 下列极限计算正确的是( ).A. 0sin lim 0x x x →=B. sin lim1x xx→∞= C. 01lim sin 1x x x →= D. 1lim sin 1x x x →∞=答案：D说明：记住两个基本的等式其一，01lim sin 0x x x →=，依据是无穷小与有界变量的乘积仍为无穷小.其二，0sin lim1x x x →=，依据就是重要极限，这是一个“0”形式的重要极限，是利用夹逼准则推出来的.sin 1lim lim sin 0x x x x xx →∞→∞=⋅=，无穷小与有界变量的乘积. 1sin1lim sin lim1x x x x x x→∞→∞==，重要极限的推广. 强调一下，求极限时，一定要首先关注自变量的变化趋势，这是至关重要的.8. 下列等式成立的有( ).A.= B.211()dx d x x=- C. sin (cos )xdx d x =D. 2ln 2(2)x x dx d =答案：B2=sin (cos )xdx d x =-，12(2)ln 2x x dx d = 9. 微分方程y y '=满足条件02x y ==的特解是( ). A. 1x y e =+B. x y e =C. 22x y e =D. 2x y e =答案：D说明：直接求解可以，作为选择题，代入验证也可以.代入一下即知，A ，C 不是微分方程的解，而B 不满足初始条件（边界条件）. 验证：>> dsolve('Dy=y','y(0)=2','x')ans = 2*exp(x)10. 下列广义积分中收敛的是( ).A.xedx +∞-⎰ B.11dx x+∞⎰C.0sin xdx +∞⎰D.cos xdx +∞⎰答案：A详细解答：00()[lim ]1x x x x x e dx e d x e e e +∞+∞---+∞-→+∞=--=-=--=⎰⎰说明：C 、D 显然可以一眼即知是错误的，因为广义积分本质上就是积分上限函数的极限，而如果不计正负号，与正弦相伴的是余弦，与余弦相伴的的是正弦，显然当x →+∞均无极限可言. 验证：>> syms x >> int(exp(-x),0,inf) ans = 1注意，>> int(exp(-x),0,-inf) ans = -Inf11. 在函数42()246f x x x x =-+的曲线上，凸的区间是( ). A. (,0)-∞B. (2,2)-C. (0,)+∞D. (,)-∞+∞答案：B 详细解答：3()4486f x x x '=-+，22()124812(4)12(2)(2)f x x x x x ''=-=-=-+令()0f x ''=解得122,2x x =-=，当22x -<<时，()0f x ''< 说明：凸区间取做闭区间[2,2]-更合适.12. 若级数1n n u ∞=∑收敛，则下列级数中收敛的是( ).A. 1100n n u∞=∑B.1(100)nn u∞=+∑C. 1100n nu ∞=∑D.1(100)nn u∞=-∑答案：A说明：B 、D 都属于一个收敛一个不收敛，其和充当一般项的级数必不收敛的情形，C 更是错得离谱，因为1n n u ∞=∑收敛，从而有lim 0n n u →∞=，从而1lim n n u →∞=∞，从而级数1100n nu ∞=∑发散. 13. 积分22sin 1cos xdx x ππ-=+⎰( ).A. 1-B. 0C. 1D. 2答案：B说明：利用了奇函数在对称区间（关于原点）上的积分为0的重要结论.14. 设函数+3sin x z e y -=，则zx ∂=∂( ).A. x e -B. x eC. x e --D. x e -答案：A说明：二元函数对某个变量求偏导时，将另一个变量视为常数，因而第二项3sin y 对x 求偏导为0.这里要注意的是，x e -对x 求偏导（求导），是复合函数的求导问题.15. 微分方程34()0xyy x y y y ''''+-=的阶数是( ).A. 3B. 4C. 5D. 2 答案：D说明：微分方程的阶数是未知函数导数的最高阶数，跟未知函数自身的幂次亦即y 的幂次无关，也跟自变量x 的幂次无关（通常以y 为未知函数，有的情况也可能以x 、s 等其他变量为未知函数，注意题目的陈述）.三、 计算题1. ln(3)x y a x -=-，求y '.答案：1[ln (1)]ln(3)(1)3x x y a a x a x --⎡⎤'=⋅-⋅-+⋅⋅-⎢⎥-⎣⎦1ln ln(3)3x a a x x -⎡⎤=--+⎢⎥-⎣⎦说明：首先利用乘积的求导法则，但在每一部分的求导时，均为复合函数的求导，这一点务必引起注意. 验证：>> syms x a >> diff(a^(-x)*log(3-x)) ans =-a^(-x)*log(a)*log(3-x)-a^(-x)/(3-x)2.⎰xdx x cos .答案：cos sin sin sin sin cos x xdx xd x x x xdx x x x C ==-=++⎰⎰⎰说明：看到被积函数是两类函数的乘积，应该想到用分部积分试试. 此外，哪一个留在前面充当“u ”，哪一个拉到微分号后面去，参照上课时所讲的“对、反、幂、指、三”的经验. 验证：>> syms x C >> int(x*cos(x))+C ans =cos(x)+x*sin(x)+C 3.⎰+2121dx xx. 答案：2222222111111ln5ln 2(1)ln(1)12122x dx d x x x x -=+=+=++⎰⎰ 说明：这是定积分的“凑微分”，只要原来的积分变量“x ”没有给替换掉，积分限就不需要改变. 验证：>> syms x >> int(x/(1+x^2),1,2) ans =-1/2*log(2)+1/2*log(5) 4. 计算110sin x ydx dy y⎰⎰. 答案：1111100000sin sin sin cos |1cos1y x yy dx dy dy dx ydy y y y ===-=-⎰⎰⎰⎰⎰ 说明：必须改变积分次序，否则是无法计算下去的. 5. 22(,)z f x y xy =+，且f 可微，求dz .答案：22121122()()22dz f d x y f d xy xf dx yf dy yf dx xf dy ''''''=⋅++⋅=⋅+⋅+⋅+⋅1212(2)(2)xf yf dx yf xf dy ''''=+⋅++⋅说明：利用全微分形式的不变性较为简单.6. 求极限xx x x )1232(lim 0-+→.答案：00023lim()lim(3)121xx x x x →→+=-=- 说明：利用函数的连续性求极限.推测：命题者的本意可能是想考察x →∞时的极限，这里很可能是误输入为0x →. 考试时如果碰到类似题目，一定要看清楚自变量的变化趋势，如果考试时还是0x →，我们就按照上面的做法解答！我们的解答是正确的！如果考试时试卷上将0x →修改为x →∞了，那就要按照下面的方法解答：232144lim()lim()lim 1212121xx x x x x x x x x x →∞→∞→∞+-+⎛⎫==+ ⎪---⎝⎭42121424lim 121x x x x e x ⎧⎫⋅⎨⎬--⎩⎭→∞⎧⎫⎪⎪⎛⎫=+=⎨⎬ ⎪-⎝⎭⎪⎪⎩⎭验证：>> syms x>> limit(((2*x+3)/(2*x-1))^x,0) ans = 1>> syms x>> limit(((2*x+3)/(2*x-1))^x,inf) ans = exp(2)7. 求由方程y x e xy +=所确定的隐函数)(x y y =的二阶导数. 答案：两边取对数，有ln ln x y xy e +=，即ln ln x y x y +=+两边求导111dy dy x y dx dx+⋅=+ 11(1)(1)1dy xy y x y x dx x xy x y y---⋅===-⋅-- 222()()()()()x xxxy y x xy xy y x xy d y xy y dx x xy x xy '''⎛⎫-⋅---⋅--== ⎪--⎝⎭21()()11()dy dy dy y x x xy xy y y x dx dx dx x xy ⎛⎫⎛⎫⋅+⋅-⋅---⋅-⋅-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=- [][]3()()()()()()()()()x xy y x xy y xy y x xy xy y x xy x xy y x xy y x xy -⋅+⋅---⋅---⋅---⋅-⋅-=-2223(1)()()(1)()y x xy x x xy xy y x y y x x xy ⎡⎤⎡⎤⋅--+⋅---⋅⋅--+⎣⎦⎣⎦=- 223(222)()xy x x y y x xy ⋅-+-+=- >>simplify( ((x-x*y)*y+x*(x*y-y)-(x*y-y))*(x-x*y)-(x*y-y)*((x-x*y)-(x-x*y)*y-x*(x*y-y)) ) ans =-2*x^2*y+x^3*y+2*x*y-2*x*y^2+x*y^3 说明：亦可两边微分，[]x y ydx xdy e dx dy ++=+ [][]x y x y x e dy e y dx ++-=-x y x ydy e y xy ydx x e x xy ++--==--（利用原方程化简） 下同.或222(1)()()(1)(1)(1)()x dy dy y x x xy xy y y d y x y dx dx dx x y x xy ⎡⎤⎡⎤+-⋅⋅---⋅--'⎢⎥⎢⎥⎛⎫-⎣⎦⎣⎦== ⎪--⎝⎭8. 求dx x ⎰2sin . 答案：21cos 2sin 2sin 224x x xxdx dx C -==-+⎰⎰ 9. 求⎰-1dx xe x .答案：1111100000121x x x xx xe dx xde xe e dx e e e-----=-=-+=--=-⎰⎰⎰ 验证：>> syms x >> int(x*exp(-x),0,1) ans =1-2*exp(-1)10. 设y x z arctan =，求dz .答案：111y y z yx x x -∂=∂+，1ln 1y yz x x y x ∂=∂+1[ln ]y z z dz dx dy y dx x x dy x y -∂∂=+=⋅+⋅∂∂四、 应用题1. 要建造一体积为350m V =的圆柱形封闭的容器. 问：底的半径和高如何选择时才能使材料最省？答案：设容器的底半径为r ，高为h ，据题意有250r h π=，又该圆柱形容器的表面积222S rh r ππ=+，即求222S rh r ππ=+在条件250r h π=下的条件极值. 构造辅助函数如下：22(,)22(50)L r h rh r r h ππλπ=++- 解方程组22242020500r h L h r rh L r r r h ππλππλππ=++⋅=⎧⎪=+⋅=⎨⎪-=⎩ 即求解222422500h r rhrr r h ππλππλππ+⋅⎧=⎪⋅⎨⎪-=⎩亦即22500h r r h π=⎧⎨-=⎩解得r h ==即该圆柱形容器的高与底面圆的直径相等时，用料最省.2. 做一个容积为V 的无盖圆柱形容器，底的单位面积造价为a 元，侧面的单位面积造价为b 元，试问如何设计底半径和高，能使总造价最少？ 答案：设容器的底半径为r ，高为h ，据题意有2r h V π=造价函数22P r a rh b ππ=⋅+⋅，即求22P r a rh b ππ=⋅+⋅在条件2r h V π=下的条件极值.构造辅助函数如下：22(,)2()L r h r a rh b r h V ππλπ=⋅+⋅+- 解方程组22222020r h L r a h b rh L r b r r h V ππλππλππ=⋅+⋅+⋅=⎧⎪=⋅+⋅=⎨⎪-=⎩ 2222220r a h b rhr b r r h V ππλππλππ⋅+⋅⋅⎧=⎪⋅⋅⎨⎪-=⎩即2a h r b r h V π⎧=⎪⎨⎪=⎩解得a r h b ==即容器的高与底圆半径的比为ab时造价最省. 3. 求曲线x y =2与直线x y =所围成的平面图形的面积，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 答案：(1) 所围成的平面区域的面积 23112001[][]236y y S y y dy =-=-=⎰(2) 旋转体的体积1122210V V V dx x dx ππ=-=-⎰⎰23111120000236x x xdx x dx πππππ=-=-=⎰⎰ 说明：求旋转体的体积时，注意空心化实心.4. 求曲线2y x =-与2x y =所围成的平面图形的面积，并求该平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 答案：(1) 所围成的平面区域的面积3311220021][]333x S x dx x ==-=⎰(2) 旋转体的体积11222210(()V V V dx x dx ππ=-=--⎰⎰2511114000032510x x xdx x dx πππππ=-=-=⎰⎰ 说明：求旋转体的体积时，还是要空心化实心.。
高等数学期中复习题加答案
高等数学期中复习题加答案一、选择题1. 函数\( f(x) = x^2 - 3x + 2 \)在区间\( (0, 2) \)上的值域是：A. \( (-1, 1) \)B. \( (-\infty, 1) \)C. \( (-\infty, 2) \)D. \( (-1, +\infty) \)答案： A2. 极限\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} \)的值是：A. 0B. 1C. \( \frac{\pi}{2} \)D. \( \infty \)答案： B二、填空题1. 函数\( y = x^3 - 2x^2 + x \)的导数是 \( y' =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\)。
答案： \( 3x^2 - 4x + 1 \)2. 定积分 \( \int_{0}^{1} x^2 dx \) 的值是\( \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \)。
答案： \( \frac{1}{3} \)三、计算题1. 计算极限 \( \lim_{n \to \infty} \frac{n^2}{n^2 + 1} \)。
答案： 12. 求函数 \( f(x) = \ln(x) \) 在区间 \( [1, e] \) 上的定积分。
答案： \( x - e^x \) 在 \( [1, e] \) 上的定积分为 \( e - 2 \)。
四、证明题1. 证明：函数 \( f(x) = x^3 \) 是严格递增函数。
答案：首先求导 \( f'(x) = 3x^2 \)，由于 \( x \) 为实数，\( x^2 \geq 0 \)，所以 \( f'(x) \geq 0 \)。
当 \( x \neq 0 \) 时，\( f'(x) > 0 \)，因此函数 \( f(x) = x^3 \) 是严格递增函数。
高数考试题库及答案解析
高数考试题库及答案解析一、选择题1. 函数f(x)=x^2-3x+2在区间[1,4]上的最大值是：A. 0B. 3C. 6D. 7答案：D解析：首先求导f'(x)=2x-3，令f'(x)=0，解得x=3/2。
在区间[1,4]上，f'(x)在x<3/2时为负，x>3/2时为正，说明f(x)在x=3/2处取得极小值。
计算f(3/2)=-1/4，再计算区间端点f(1)=0和f(4)=6，可知最大值为f(4)=6。
2. 若f(x)=sin(x)+cos(x)，则f'(x)的表达式为：A. cos(x)-sin(x)B. cos(x)+sin(x)C. sin(x)-cos(x)D. sin(x)+cos(x)答案：A解析：根据导数的运算法则，f'(x)=[sin(x)]'+[cos(x)]'=cos(x)-sin(x)。
二、填空题1. 曲线y=x^3-6x^2+9x在点(2,0)处的切线斜率为______。
答案：-12解析：首先求导y'=3x^2-12x+9，将x=2代入y'得到切线斜率为-12。
2. 定积分∫(0,1) x^2 dx的值为______。
答案：1/3解析：根据定积分的计算公式，∫(0,1) x^2 dx = [x^3/3](0,1) = 1/3。
三、解答题1. 求函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6的单调区间。
答案：函数f(x)的单调增区间为(1,3)，单调减区间为(-∞,1)和(3,+∞)。
解析：首先求导f'(x)=3x^2-12x+11，令f'(x)=0解得x=1,3。
根据导数符号变化，可得单调区间。
2. 求曲线y=x^2-4x+3与直线y=2x平行的切线方程。
答案：切线方程为：x-y-1=0。
解析：曲线y=x^2-4x+3的导数为y'=2x-4，令y'=2得到x=3，此时切点坐标为(3,2)。
(完整)高等数学考试题库(附答案)
高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。
2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。
3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。
6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。
7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。
8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。
9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。
10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。
12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。
13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。
18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。
20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
高等数学复习题及答案
高等数学复习题及答案【篇一：大学高等数学上考试题库(附答案)】>一．选择题（将答案代号填入括号内，每题3分，共30分）.1．下列各组函数中，是相同的函数的是（）.（a）f?x??lnx 和 g?x??2lnx （b）f?x??|x| 和 g?x??2（c）f?x??x 和 g?x??2（d）f?x??|x|x和 g?x??122．函数f?x???ln?1?x??a?x?0x?0在x?0处连续，则a?（）.（a）0 （b）14（c）1 （d）23．曲线y?xlnx的平行于直线x?y?1?0的切线方程为（）.（a）y?x?1 （b）y??(x?1)（c）y??lnx?1??x?1?（d）y?x 4．设函数f?x??|x|，则函数在点x?0处（）.（a）连续且可导（b）连续且可微（c）连续不可导（d）不连续不可微5．点x?0是函数y?x4的（）.（a）驻点但非极值点（b）拐点（c）驻点且是拐点（d）驻点且是极值点6．曲线y?1|x|的渐近线情况是（）.（a）只有水平渐近线（b）只有垂直渐近线（c）既有水平渐近线又有垂直渐近线（d）既无水平渐近线又无垂直渐近线 7．?f???2dx的结果是（）. ?x?x??1??1??1（b）（c）?c?f??cf????x??x??x?x（a）f??8．?dxe?ex??1（d）?c?f????x???c ?的结果是（）.x?x（a）arctane?c （b）arctane?c （c）e?e x?x?c （d）ln(e?ex?x)?c9．下列定积分为零的是（）.?（a）?4?arctanx1?x2??4dx （b）?4??4xarcsinxdx （c）?11?1e?e2x?x1?1?x2?x?sinxdx10．设f?x?为连续函数，则?f??2x?dx等于（）.（a）f?2??f?0? （b）12??f?11??f?0???（c）12??f?2??f?0???（d）f?1??f?0?二．填空题（每题4分，共20分）?e?2x?1?1．设函数f?x???x?a?x?0x?056在x?0处连续，则a?.2．已知曲线y?f?x?在x?2处的切线的倾斜角为?，则f??2??3．y?4．?xx?12.的垂直渐近线有条.dxx?1?lnx?2?.?5．?2??xsinx?cosx?dx?4?2.三．计算（每小题5分，共30分） 1．求极限①lim x??2x?1?x????x?②limx?0x?sinxxe?x2?1?2．求曲线y?ln?x?y?所确定的隐函数的导数y?. x3．求不定积分①?四．应用题（每题10分，共20分） 1．作出函数y?x?3x的图像. 232dx?x?1??x?3?②??a?0? ③?xe?xdx2．求曲线y?2x和直线y?x?4所围图形的面积.《高数》试卷1参考答案一．选择题1．b 2．b 3．a 4．c 5．d 6．c 7．d 8．a 9．a 10．c 二．填空题 1．?22．?三．计算题１①e2 ②1163３．２４．arctanlnx?c ５．２2.y??x1x?y?13. ①ln|2x?1x?3|?c②ln|x|?c③?e?x?x?1??c四．应用题１．略２．s?18《高数》试卷2（上）一.选择题(将答案代号填入括号内,每题3分,共30分) 1.下列各组函数中,是相同函数的是( ). (a) f?x??x和g?x??(b) f?x??22x?1x?122和y?x?1(c) f?x??x和g?x??x(sinx?cosx)(d) f?x??lnx和g?x??2lnx ?sin2?x?1??x?1??2.设函数f?x???2?2x?1???x?1x?1 ，则limfx?1?x??（）.x?1(a) 0 (b) 1(c)2(d) 不存在3.设函数y?f?x?在点x0处可导，且f??x?0, 曲线则y?f?x?在点?x0,f?x0??处的切线的倾斜角为{}. (a) 0 (b)?2(c)锐角(d) 钝角4.曲线y?lnx上某点的切线平行于直线y?2x?3,则该点坐标是( ). ??1?1??(b) 2,?ln??? 2?2??2?x(a) ?2,ln (c)??1??1?,ln2? (d) ?,?ln2? ?2??2?5.函数y?xe及图象在?1,2?内是( ).(a)单调减少且是凸的 (b)单调增加且是凸的 (c)单调减少且是凹的 (d)单调增加且是凹的6.以下结论正确的是( ).(a) 若x0为函数y?f?x?的驻点,则x0必为函数y?f?x?的极值点. (b) 函数y?f?x?导数不存在的点,一定不是函数y?f?x?的极值点. (c) 若函数y?f?x?在x0处取得极值,且f??x0?存在,则必有f??x0?=0. (d) 若函数y?f?x?在x0处连续,则f??x0?一定存在.17.设函数y?f?x?的一个原函数为xex,则f?x?=( ).21111(a) ?2x?1?ex (b)2x?ex(c)?2x?1?ex(d) 2xex 8.若?f?x?dx?f?x??c,则?sinxf?cosx?dx?( ).(a) f?sinx??c (b) ?f?sinx??c (c) f?cosx??c (d) ?f?cosx??c 9.设f?x?为连续函数,则?f??1?x??dx=( ). ?2???1??(a) f?1??f?0? (b)2??f?1??f?0??? (c) 2??f?2??f?0??? (d)2?f?2??f?0??????10.定积分?dx?a?b?在几何上的表示( ).ab(a) 线段长b?a (b) 线段长a?b (c) 矩形面积?a?b??1 (d) 矩形面积?b?a??1 二.填空题(每题4分,共20分) ?ln?1?x2??1.设 f?x???1?cosx?a?x?0x?0, 在x?0连续,则a=________.2.设y?sin2x, 则dy?_________________dsinx.3.函数y?xx?12?1的水平和垂直渐近线共有_______条.4.不定积分?xlnxdx?______________________.5. 定积分?1?1xsinx?11?x22?___________.三.计算题(每小题5分,共30分) 1.求下列极限:?①lim?1?2x?x ②limx?01?arctanx1xx???2.求由方程y?1?xe所确定的隐函数的导数y?x.3.求下列不定积分:①?tanxsec3xdx②?ya?0?③?xedx2x四.应用题(每题10分,共20分) 1.作出函数y?13x?x的图象.(要求列出表格)3【篇二：高等数学试题及答案】>一、单项选择题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
高等数学复习题(含答案)
高等数学复习题与答案解析一、 一元函数微积分概要 （一）函数、极限与连续1.求下列函数的定义域: (1) y =216x -+x sin ln ，(2) y =)12arcsin(312-+-xx .解 (1) 由所给函数知,要使函数y 有定义，必须满足两种情况，偶次根式的被开方式大于等于零或对数函数符号内的式子为正，可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎩⎨⎧>≥-,0sin ,0162x x 推得⎩⎨⎧⋅⋅⋅±±=+<<≤≤-2,1,0π)12(π244n n x n x 这两个不等式的公共解为 π4-<≤-x 与π0<<x所以函数的定义域为)π,4[-- )π,0(.(2) 由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->-≠-,112,03,032xx x 推得⎩⎨⎧≤≤<<-,40,33x x 即 30<≤x , 因此，所给函数的定义域为 )3,0[.2.设)(x f 的定义域为)1,0(，求)(tan x f 的定义域. 解：令x u tan =, 则)(u f 的定义域为)1,0(∈u∴)1,0(tan ∈x , ∴x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z ,∴ )(tan x f 的定义域为 x ∈（k π, k π+4π）, k ∈Z .3.设)(x f =x-11，求)]([x f f ，{})]([x f f f .解：)]([x f f =)(11x f -=x--1111=x 11- (x ≠1,0),{})]([x f f f =)]([11x f f -=)11(11x--= x (x ≠0,1).4.求下列极限：（1）123lim 21-+-→x x x x , （2）652134lim 2434-++-∞→x x x x x ,解：原式=1)1)(2(lim 1---→x x x x 解: 原式=424652134limxx x x x -++-∞→ =)2(lim 1-→x x =2.（抓大头）= 1-.（恒等变换之后“能代就代”）（3）xx x -+-→222lim 2, （4）330sin tan lim x x x →,解：原式=)22)(2()22)(22(lim2++-+++-→x x x x x 解：0→x 时33~tan x x ,=221lim2++→x x 33~sin x x ,=41. （恒等变换之后“能代就代”） ∴原式=330lim x x x →=1lim 0→x =1.（等价）（5）)100sin (lim +∞→x x x , （6） 2121lim()11x x x→--- ，解：原式=100lim sin lim∞→∞→+x x x x解： 原式=2211212(1)lim()lim 111x x x x x x→→-+-=--- =0 + 100= 100 （无穷小的性质） 11(1)11limlim (1)(1)12x x x x x x →→-===-++．(7)215lim+-+∞→x x x ．解 : 原式=52115lim=+-+∞→xx x ．（抓大头） （8）11lim 21-+→x x x .解：因为0)1(lim 1=-→x x 而0)1(lim 21≠+→x x ，求该式的极限需用无穷小与无穷大关系定理解决．因为011lim 21=+-→x x x ，所以当1→x 时，112+-x x 是无穷小量，因而它的倒数是无穷大量，即 ∞=-+→11lim21x x x ． （9）limx解：不能直接运用极限运算法则，因为当x →+∞时分子，极限不存在，但sin x 是有界函数，即sin 1x ≤而 0111lim1lim33=+=++∞→+∞→x x xx x x ，因此当+∞→x 时，31xx +为无穷小量.根据有界函数与无穷小乘积仍为无穷小定理，即得l i 0x =. （10）203cos cos limxxx x -→ ． 解：分子先用和差化积公式变形，然后再用重要极限公式求极限原式=202sin sin 2limx x x x →=441)22sin 4(lim sin lim 0=⨯=⋅⋅∞→→x x x x x x ．（也可用洛必达法则） （11）xx x)11(lim 2-∞→.解一 原式=10])11[(lim )11(lim )11()11(lim --∞→→∞→-⋅+=-+x x x x x x x xx x x =1ee 1=-，解二 原式=)1()(2])11[(lim 2x x x x--∞→-=1e 0=． （12）30tan sin limx x xx→-． 解 ：x x x x 30sin sin tan lim -→=xx x x x cos )cos 1(sin lim 30-→ =2202sin 2limx x x → =21 （ 222~2sin ,0⎪⎭⎫⎝⎛→x x x ） ．（等价替换） 5.求下列极限（1）201cot limxx x x -→ （2）)e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x （3）)]1ln(11[lim 20x x x x +-→ （4）)ln (lim 0x x n x ⋅+→ （5） xxx cos 1lim++∞→解 ：（1）由于0→x 时，1tan cot →=x x x x ，故原极限为0型，用洛必达法则 所以 xx xx x x x x x x sin sin cos lim 1cot lim 2020-=-→→30sin cos limx xx x x -=→ （分母等价无穷小代换）01sin lim 3x x x→-=31-=.（2） 此极限为∞∞，可直接应用洛必达法则 所以 )e e ln()3ln(cos lim 33--+→x x x x =)e e ln()3ln(lim cos lim 333--⋅++→→x x x x x x x e lim 3cos e133+→⋅⋅=3cos = . （3） 所求极限为∞-∞型 ，不能直接用洛必达法则，通分后可变成00或∞∞型.)]1ln(11[lim 20x x x x +-→xx xx x x x 2111lim )1ln(lim 020+-=+-=→→ 21)1(21lim )1(211lim00=+=+-+=→→x x x x x x .（4）所求极限为∞⋅0型，得nx nx xx x x 10ln lim ln lim -→→++=⋅ （∞∞型） =1111lim --→-+n x x nx =.01lim lim 0110=-=-++→+→nxn xnx x nx （5）此极限为 ∞∞型，用洛必达法则，得 1sin 1limcos lim xx x x x x -=++∞→+∞→不存在，因此洛必达法则失效！ 但 101c o s 1lim 11cos 11lim cos lim =+=+=+=++∞→+∞→+∞→x xxx x x x x x x . 6.求下列函数的极限：（1）42lim 22--→x x x ， （2）()⎪⎩⎪⎨⎧++=,1,1sin 2xa x x x f ,0,0><x x 当a 为何值时，)(x f 在0=x 的极限存在. 解： (1)41)2)(2(2lim 42lim 222-=+--=----→→x x x x x x x ,41)2)(2(2lim 42lim 222=+--=--++→→x x x x x x x ,因为左极限不等于右极限，所以极限不存在．（2）由于函数在分段点0=x 处，两边的表达式不同，因此一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限．于是，有a a x x a x x x f x x x x =+=+=----→→→→000lim )1sin (lim )1sin(lim )(lim ，1)1(lim )(lim 2=+=++→→x x f x x ，为使)(lim 0x f x →存在，必须有)(lim 0x f x +→=)(lim 0x f x -→，因此 ，当a =1 时， )(lim 0x f x →存在且 )(lim 0x f x →=1．7.讨论函数 ⎪⎩⎪⎨⎧=,1sin ,)(x x xx f0>≤x x ， 在点0=x 处的连续性．解：由于函数在分段点0=x 处两边的表达式不同，因此，一般要考虑在分段点0=x 处的左极限与右极限． 因而有01sinlim )(lim ,0lim )(lim 0====++--→→→→xx x f x x f x x x x ， 而,0)0(=f 即0)0()(lim )(lim 00===+-→→f x f x f x x ，由函数在一点连续的充要条件知)(x f 在0=x 处连续．8. 求函数xx x x f )1(1)(2--=的间断点，并判断其类型：解：由初等函数在其定义区间上连续知)(x f 的间断点为1,0==x x .21lim)(lim 11=+=→→xx x f x x 而)(x f 在1=x 处无定义，故1=x 为其可去间断点.又∞=+=→x x x f x 1lim )(0 ∴0=x 为)(x f 的无穷间断点.综上得1=x 为)(x f 的可去间断点, 0=x 为)(x f 的无穷间断点.（二）一元函数微分学1.判断：（1）若曲线y =)(x f 处处有切线，则y =)(x f 必处处可导. 答：命题错误. 如：x y 22=处处有切线，但在0=x 处不可导. （2）若A ax a f x f ax =--→)()(lim（A 为常数），试判断下列命题是否正确.①)(x f 在点a x = 处可导, ②)(x f 在点a x = 处连续, ③)()(a f x f -= )()(a x o a x A -+-. 答：命题①、②、③全正确.(3)若)(x f ，)(x g 在点0x 处都不可导，则)()(x g x f +点0x 处也一定不可导. 答：命题不成立.如：)(x f =⎩⎨⎧>≤,0,,0,0x x x )(x g =⎩⎨⎧>≤,0,0,0,x x x)(x f ，)(x g 在x = 0 处均不可导，但其和函数)(x f +)(x g = x 在x = 0 处可导.（4）若)(x f 在点0x 处可导，)(x g 在点0x 处不可导，则)(x f +)(x g 在点0x 处一定不可导. 答：命题成立.原因：若)(x f +)(x g 在0x 处可导，由)(x f 在0x 处点可导知)(x g =[)(x f +)(x g ])(x f -在0x 点处也可导，矛盾.（5）)('0x f 与)]'([0x f 有区别. 答：命题成立.因为)('0x f 表示0)(x x x f =在处的导数; )]'([0x f 表示对0)(x x x f =在处的函数值求导，且结果为0.（6）设)(x f y =在点0x 的某邻域有定义，且-∆+)(0x x f )(0x f =2)(x b x a ∆+∆，其中b a ,为常数，下列命题哪个正确？①()x f 在点0x 处可导，且()a x f ='0,②()x f 在点0x 处可微，且()x a x f x x d |d 0==, ③()()x a x f x x f ∆+≈∆+00 （ ||x ∆很小时）. 答：①、②、③三个命题全正确.2.已知x x cos )'(sin =，利用导数定义求极限xx x 1)2πsin(lim 0-+→.解：xx x 1)2πsin(lim 0-+→=xx x 2sin)2πsin(lim0π-+→ =2π|)'(sin =x x = 2πcos=0. 3.求 ()⎩⎨⎧+=，，xx x f 1ln )(0<≥x x ，的导数.解： 当0>x 时，xx f +='11)( ， 当0<x 时，1)(='x f ，当0=x 时，xf x f x f x f f x x )0()(lim 0)0()(lim)0(00-=--='→→，所以 10lim )0(0=-='-→-xx f x ， 1e ln )1ln(lim 0)1ln(lim )0(100==+=-+='++→→+x x x x xx f ，因此 1)0(='f ，于是 ⎪⎩⎪⎨⎧+=',1,11)(xx f.0,0≤>x x4.设))((),1ln()(x f f y x x f =+=，求dxdy 解：)]1ln(1ln[))((x x f f y ++==,)]'1ln(1[)1ln(11d d x x x y ++⋅++=∴)1)](1ln(1[1x x +++=.5.已知arctanxy=求y ''. 解：两端对x 求导，得)(1)()(1122222'++='⋅+y x y x y xyx ，222222222221yx y y x yx yy x y y x y +'⋅+⋅+='-⋅+，整理得 x y y x y -='+)( ，故 xy xy y +-='， 上式两端再对x 求导，得=2)(22x y yy x +-'， 将 xy xy y +-='代入上式，得 2)(22x y yxy xy x y +-+-⋅=''322)(2222y x xy y x xy +---=322)()(2x y y x ++-=. 6.求y = 323)4()3)(2)(1(⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅+++x x x x x 的导数x yd d 解：两边取对数：y ln =)]4ln(ln 3)3ln()2ln()1[ln(32+--+++++x x x x x , 两边关于x 求导：]413312111[32'1+--+++++=⋅x x x x x y y , ∴)413312111(32d d +--+++++=x x x x x y x y . 7.设xx x f e )(=，求)('x f .解：令xx y e =, 两边取对数得：x y xln e ln =, 两边关于x 求导数得：即 )e ln e ('e xx x y xxx+=. 8.设,sin ),(2x u u f y ==求x y d d 和22d d xy.解：xy d d =2cos 2)(x x u f ⋅⋅', 22d d xy =)sin 4cos 2)(()(cos 4)(222222x x x u f x x u f -'+⋅''. 9.x x y e 4+=, 求y)4(.解：xx y e 43+=', xx y e 122+='',xx y e 24+=''', x y e 24)4(+=.10.设cos sin x t t y t=-⎧⎨=⎩，， 求 22d d x y . 解：d (sin )cos d 1sin (cos )y t tx tt t '=='+- ， 222sin (1sin )cos 11(1sin )1sin (1sin )t t t t t t -+--=⋅=+++. 11.求曲线⎩⎨⎧==,,3t y t x 在点（1，1）处切线的斜率. 解：由题意知：⎩⎨⎧==,1,13t t 1=⇒t ,∴33)()(d d 12131==''====t t t t t t xy ,∴曲线在点（1，1）处切线的斜率为312. 求函数xx y tan ln e=的微分.解一 用微分的定义x x f y d )(d '=求微分， 有x x xx d )2sin 21(e tan ln +=. 解二 利用一阶微分形式不变性和微分运算法则求微分，得x xxx d )2sin 21(e tan ln +=. 13.试证当1≠x 时，x xe e >.证明：令x x f xe e )(-=，易见()f x 在),(+∞-∞内连续，且0)1(=f e e )(-='xx f .当1<x 时，e e )(-='xx f 0<可知()f x 为]1,(-∞上的严格单调减少函数，即 当1>x 时，e e )(-='x x f 0>，可知()f x 为),1[+∞上的严格单调增加函数， 即()(1)0f x f >=.故对任意 ,1≠x 有()0,f x >即 .0e e >-x xx xe e >.14.求函数344x x y -=的单调性与极值. 解：函数的定义域为),(+∞-∞.)3(3223-=-='x x x x y ， 令 ,0='y 驻点 3,021==x x 列表由上表知，单调减区间为)3,(-∞，单调增区间为),3(+∞，极小值 4)3(-=y 求函数的极值也可以用二阶导数来判别，此例中0,6302=''-=''=x y x x y 不能确定0=x 处是否取极值，,093>=''=x y 得427)3(-=y 是极小值. 15.求3)(x x f =+23x 在闭区间[]5,5-上的极大值与极小值，最大值与最小值. 解：x x x f 63)(2+=', 令0)(='x f , 得2,021-==x x ,66)(+=''x x f , 06)0(>=''f , 06)2(<-=-''f ,∴)(x f 的极大值为=-)2(f 4，极小值为0)0(=f . ∵50)5(-=-f , 200)5(=f .∴ 比较)5(),0(),2(),5(f f f f --的大小可知：)(x f 最大值为200， 最小值为50-.16.求曲线32310510x x y ++=的凹凸区间与拐点. 解：函数的定义域为()+∞∞-,,21010x x y +=', x y 2010+='',令0=''y , 得21-=x , 用21-=x 把()+∞∞-,分成)21,(--∞，),21(+∞-两部分. 当∈x )21,(--∞时，0<''y , 当∈x ),21(+∞-时，0>''y , ∴曲线的凹区间为),,21(+∞-凸区间为),21,(--∞ 拐点为)665,21(-.17.求函数)1ln(2x y +=的凹向及拐点. 解：函数的定义域 ),(+∞-∞，,122x x y +=' 222222)1()1(2)1(22)1(2x x x x x x y +-=+⋅-+=''， 令 ,0=''y 得1±=y ， 列表知，上凹区间(1,1)-,下凹区由此可(,1)(1,)-∞-+∞，曲线的间拐点是)2ln ,1(±.的渐近线.18.求下列曲线的渐近线（1）xxy ln = ，（2）1222-+-=x x x y ，（3）()()213--+=x x x y .解 （1）所给函数的定义域为),0(+∞.由于 011lim ln lim ==+∞→+∞→x x xx x ，可知 0=y 为 所给曲线xxy ln =的水平渐近线.由于 -∞=+→xxx ln lim 0，可知 0=x 为曲线xxy ln =的铅直渐近线.（2） 所给函数的定义域)1,(-∞,),1(∞+.由于 -∞=-+-=--→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， +∞=-+-=++→→122lim )(lim 211x x x x f x x ， 可知 1=x 为所给曲线的铅直渐近线（在1=x 的两侧()f x 的趋向不同）.又 a x x x x x x f x x ==-+-=∞→∞→1)1(22lim )(lim2， []b x x x x x x x ax x f x x x =-=-+-=--+-=-∞→∞→∞→112lim ])1(22[lim )(lim 2， 所以 1-=x y 是曲线的一条斜渐近线.（3）()()∞=--+→213lim1x x x x , 故1=x 为曲线的铅直渐近线,()()∞=--+→213lim2x x x x , 故2=x 为曲线的铅直渐近线,()()2133lim lim 0121211x x x x x x x x x →∞→∞++==--⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭, 故0=y 为曲线的水平渐近线,∴ 曲线的渐近线为：2,1,0===x x y .19.求解下列各题：（1）设某产品的总成本函数和总收入函数分别为x x C 23)(+=， 15)(+=x xx R , 其中x 为该产品的销售量，求该产品的边际成本、边际收入和边际利润.解：边际成本C M =x x C 1)('=边际收入R M =2)1(5)('+=x x R边际利润xx M M q L C R 1)1(5)('2-+=-=. （2）设p 为某产品的价格，x 为产品的需求量，且有801.0=+x p , 问p 为何值时，需求弹性大或需求弹性小.解：由801.0=+x p 得10d d -=px, 所以需求价格弹性80)10(1.080-=-⨯-=p p p p Ep Ex , 故当80-p p < 1-, 即40<p <80时, 需求弹性大; 当1-<80-p p<0, 即0<p <40时，需求弹性小.（三）一元函数积分学1. 在不定积分的性质x x f k x x kf d )(d )(⎰=⎰中，为何要求0≠k ？答：因为0=k 时，C x x x kf =⎰=⎰d 0d )(（任意常数），而不是0. 2. 思考下列问题：(1) 若C x x x f x++=⎰sin 2d )(，则)(x f 为何？ 答：x x x f x f xcos 2ln 2)d )(()(+='⎰=. (2) 若)(x f 的一个原函数为3x ，问)(x f 为何？答：233)()(x x x f ='=(3)若)(x f 的一个原函数的x cos ，则dx x f )('⎰为何？答：C x C x f x x f x x x f +-=+='⎰-='=sin )(d )(,sin )(cos )(. 3. 计算下列积分：（1）)sin d(sin 5x x ⎰, （2）x x d cos 3⎰, （3）⎰+x xx x d )sin (,（4）x xe xd 2⎰, （5）⎰-21d xx x , （6）⎰-41d xx x ,（7）⎰x xx d 2ln , （8）x x d )32(2+⎰, （9）⎰-⋅dx x x 211arcsin 1, （10）⎰+x x x d arctan )1(12, （11）⎰+22d x x, （12）⎰-24d x x . 解：（1）C xx x +=⎰6sin )sin d(sin 65. （2）x x x x x d cos )sin 1(d cos 23-⎰=⎰ =)sin d()sin 1(2x x -⎰ =)sin d(sin )sin d(2x x x ⎰-⎰=C xx +-3sin sin 3. （3）x x x x x xx x d sin 2d d )sin (⎰+⎰=+⎰=C x x +-cos 222. （4）C x x x x x x +=⎰=⎰222e 21)(d e 21d e 2. （5）C x x x x x x+--=--⎰-=--⎰2221221)1(d )1(21d 1.（6）C x x x x xx +=-=-⎰⎰22224arcsin 21)(1)(d 211d .（7（8）C x x x x x ++=++⎰=+⎰322)32(6)32(d )32(2d )32(.（9）C x x x x x x +==-⋅⎰⎰|arcsin |ln )arcsin d(arcsin 1d 11arcsin 12. （10）C x x x x x x +==+⎰⎰|arctan |ln )arctan d(arctan 1d arctan )1(12.（11）C x x x x x x x +=+=+=+⎰⎰⎰22arctan 22)2(d )2(1121)2(1d 212d 222. （12）⎰2-4d x x =⎰2)2(-12d x x=)2(d )2(-112x x⎰=C x+2arcsin . 4. 计算下列不定积分：（1）⎰++x xd 111，（2）x x d 162-⎰,（3）⎰+232)4(d x x ，（4）⎰-x xx d 122.解：（1） 令t x =+1, 则 =x 12-t , t t x d 2d =,于是原式=⎰+t t t d 12=⎰+-+t t t d 1112=]1d d [2⎰⎰+-t tt =C t t ++-1ln 22=C x x +++-+11ln 212. （2）令)2π2π(sin 4<<-=t t x ，则t x cos 4162=-，t t x d cos 4d =， 于是 t t t t t x x d )2cos 1(8d cos 4cos 4d 162+⎰=⋅⎰=-⎰ =C t t ++2sin 48.由右图所示的直角三角形，得81641642cos sin 22sin 22x x x x t t t -=-⋅⋅==,故 C xx x dx x +-+⋅=-⎰2164arcsin81622. （2）令)2π2π(tan 2<<-=t t x ，则t t x t x d sec 2d ,sec 8)4(23232==+,于是C t t t t t tx x +==⋅=+⎰⎰⎰2sin d 2cos d sec 2sec 41)4(d 23232. 由右图所示的直角三角形，得24sin xx t +=故C xx x x ++=+⎰223242)4(d .（4） 设 t x sin = ,t x cos 12=-,t t x d cos d = , 于是原式=⎰t t tt d cos cos sin 2=⎰t t d sin 2=⎰-t t d 22cos 1 =21⎰⎰-)2(d 2cos 41d t t t ==+-C t t 2sin 4121C t t t +-cos sin 2121=C x x x +--212arcsin 21．5.计算下列积分：(1)⎰x x d 2ln , (2)⎰x x d 2arctan , (3) ⎰x x xd e 4,(4)⎰x x xd 4sine 5, (5) ⎰x x x d 100sin , (6) ⎰x x x d 2arctan .解：（1）)2ln d(2ln d 2ln x x x x x x ⎰-=⎰=x xx x x d 222ln ⋅⎰- =C x x x +-2ln .（2）⎰x x d 2arctan =)d(arctan22arctan x x x x ⎰- =x x x x x d )2(122arctan 2+⋅⎰- =⎰+-2241)(d 2arctan x x x x=)41(d 411412arctan 22x xx x ++-⎰ =C x x x ++-)41ln(412arctan 2.（3）x x x x x x x xx d e 41e 41de 41d e 4444⎰-==⎰⎰=C x xx +-44e 161e 41. （4）5555e 1e e sin 4d sin 4d()e sin 4d(sin 4)555x xxx x x x x x ⎰=⎰=-⎰ =x x x x xd 4cose 544sin e5155⎰-1=5e d 4cos 544sin e 5155xx x x ⎰-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎰)4cos d(5e 4cos 5e 544sin e 51555x x x xx x=x x x x x x xd 4sine 25164cos e 2544sin e 51555⎰--, 移项合并，得C x x x x xx+-=⎰)4cos 44sin 5(e 411d 4sin e55. （5）⎰---=-⎰=⎰x xx x x x x x x d )100100cos (100100cos )100100cos (d d 100sin=C xx x +-100100cos 10000100sin .（6）⎰x x x d 2arctan =⎰)2d(2arctan 2x x=⎰-)2(arctan d 22arctan 222x x x x =x x x x x d )2(1222arctan 2222⎰+⋅- =x x x x d )4111(412arctan 222⎰+-- =C x x x x ++-2arctan 8142arctan 22. 6.计算 （1）x xxd e )1(2⎰+ ， （2） 3s e c d x x ⎰．解：（1） 选 12+=x u ，=v d x e x d ， =v xe ， x x u d 2d =, 于是原式 )1(2+=x x e ⎰-x 2xe x d ,对于⎰x x e x d 再使用分部积分法,选x u =， =v d x e x d , 则 x u d d =，=v xe ,从而⎰x xex d =x x e ⎰-x x d e =x x e C x +-e ．原式=x e =+--)e e (21C x x x )12(2++x x C x+e （12C C =）, 为了简便起见，所设 x u =,=v xe 等过程不必写出来，其解题步骤如下:⎰x xedx =⎰x d x e =x C x x x x x x +-=-⎰e e d e e .（2）3sec d x x ⎰=)(tan d sec x x ⎰=x x tan sec ⎰-)(sec d tan x x=x x tan sec ⎰-x x x d sec tan 2=sec tan x x -x x x d sec )1(sec 2-⎰=sec tan x x -⎰x x d sec 3+⎰x x d sec=sec tan x x -⎰x x d sec 3+x x tan sec ln +, 式中出现了“循环”，即再出现了⎰x x d sec 3移至左端，整理得3sec d x x ⎰=21[x x tan sec +x x tan sec ln +]+C ． 7. 利用定积分的估值公式，估计定积分⎰-+-1134)524(x x x d 的值.解：先求524)(34+-=x x x f 在[]1,1-上的最值，由0616)(23=-='x x x f , 得0=x 或83=x . 比较 7)1(,102427)83(,5)0(,11)1(=-===-f f f f 的大小，知 11,102427max min =-=f f ， 由定积分的估值公式，得[])1(1d )524()]1(1[max 1134min --⋅≤+-≤--⋅⎰-f x x x f ,即 22d )524(512271134≤+-≤-⎰-x x x .8. 求函数21)(x x f -=在闭区间[-1，1]上的平均值.解：平均值⎰-=⋅⋅=---=11224π21π21d 1)1(11x x μ. 9. 若⎰=2d sin )(2x xt t x f ，则)(x f '=？解：)(x f '=242222sin sin 2sin )sin()(x x x x x x -=-'.10.已知 ⎰+=t t xxx F d 1sin )(2 ， 求 )(x F '．解：)(x F '=)2(12x x +-+x x cos sin 1⋅+=++-212x x x x cos sin 1⋅+．11. 求极限x tt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→.解：此极限是“0”型未定型，由洛必达法则，得xtt x x πcos 1d πsin lim11+⎰→=)πcos 1()d πsin (lim11'+'⎰→x t t xx =π1)π1(lim πsin ππsin lim11-=-=-→→x x x x12.计算下列定积分（1）⎰-20d |1|x x , （2）⎰-122d ||x x x , （3）⎰π20d |sin |x x .解：（1）⎰-20d |1|x x =⎰-10d )1(x x +⎰-21d )1(x x=212122)1(2)1(-+--x x =2121+=1. （2）⎰-122d ||x x x =⎰--023d )(x x +⎰13d x x=10402444x x +--=4+41741=. （3）⎰π20d |sin |x x =⎰πd sin x x +⎰-π2πd )sin (x x=π2ππ0cos )cos (x x +-=2+2=4.13.计算下列定积分（1）⎰--2π2π3d cos cos x x x ，（2）⎰--112d 1x x .解：(1)x x x x x x d sin )(cos 2d cos cos 212π2π2π03⎰⎰-=-=34cos 34)cos d()(cos 22π0232π021=-=-⎰x x x .(2)⎰⎰⎰---=-=-112π2π2π2π222d )(cos )sin d()(sin 1d 1t t t t x x=2=+=+=⎰⎰2π02π02π02)2sin 21(d 22cos 12d )(cos t t t t t t 2π.14.计算 （1）⎰+-4d 11x xx， （2）⎰4π4d tan sec x x x ．解:（1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限．令 x t =，x 2t = ，t t x d 2d = ，当0=x 时，0=t ，当4=x 时，2=t ，于是⎰+-4d 11x xx=⎰+-20d 211t t t t =⎰+--20d ]1424[t t t（2）⎰4π04d tan sec x x x =⎰4π03)(sec d sec x x43411sec 414π04=-==x ．15. 计算下列定积分：（1）x x x d e )15(405⎰+, （2）x x d )12ln(e21⎰+,（3）x x x d πcos e 10π⎰, （4）x x x x x d )e 3(133⎰++.解：（1）x x xd e )15(405⎰+=5e d )15(540x x ⎰+=⎰+-+10515)15(d 5e )15(5e x x xx =5155e 5e51e 6=--x .(2)x x d )12ln(e21⎰+=()())12ln d(12ln e21e21+-+⎰x x x x()1e 23ln 231e 4ln )21e 2(+--++=. (3) x x x d πcos e 10π⎰=ππsin d e 10πx x ⎰ =0x x x d πsin e 10π⎰-=)ππcos d(e 1πxx --⎰ =-+-)1e (π1πx x x d πcos e 10π⎰移项合并得x x x d πcos e 10π⎰)1e (π21π+-=.（4）x x x xxd )e 3(1033⎰++)e 313ln 34(d 3104xx x x ++=⎰ =4514e 923ln 23ln 3)e 913ln 320(e 313ln 3413213253++-=++-++x x x 16.计算（1）⎰1d arctan x x ， （2）x x x d ln 2e e1⎰．解:（1）⎰1d arctan x x =10arctan x x⎰+-102d 1x x x=102)1ln(214πx +- =2ln 214-π ．（2） 由于在[1,e1]上0ln ≤x ；在[2e ,1]上0ln ≥x ，所以x x x d ln 2e e1⎰=x x x d )ln (1e1⎰-+x x x d ln 2e 1⎰=)2(d ln 21e1x x ⎰-+)2d(ln 2e 12x x ⎰=[-x x ln 22+42x ]1e 1+[x x ln 22-42x ]2e 1=41-（412e 1+212e 1）+（4e -414e +41） =21-432e 1+434e ．17.判别下列广义积分的敛散性，如果收敛计算其值 . (1)⎰∞++022d )1(x x x, (2)⎰∞+02d 1x x , (3)x xd e 1100⎰∞+-, (4)⎰∞++02100d x x ． 解:(1) 因为积分区间为无穷区间，所以原式=+∞→b lim ⎰+bx x x 022d )1(=+∞→b lim ⎰++b x x 0222)1()1(d 21=bb x 02])1(21[lim +-+∞→ =]21)1(21[lim 2++-+∞→b b =21，故所给广义积分收敛，且其值为21． (2)⎰∞+02d 1xx =+∞=-=-+∞→→+∞+x x x x x 1lim 1lim )1(00, ∴⎰∞+02d 1x x发散. (3)x xd e 1100⎰∞+-=1001001100e 1001)100e (0100e --+∞-=--=-x .(4)⎰∞++02100d x x=20π10arctan 1010=+∞x . 18.求曲线22)2(,-==x y x y 与x 轴围成的平面图形的面积.解：如图，由⎪⎩⎪⎨⎧-==,)2(,22x y x y 得两曲线交点（1，1）. 解一 取x 为积分变量，]2,0[∈x , 所求面积323)2(3d )2(d 213103212102=-+=-+=⎰⎰x xx x x x A . 解二 取y 为积分变量,y 的变化区间为[0，1]，32)d y -y -2(1==⎰y A . 显然，解法二优于解法一.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 19. 求下列曲线所围成的图形的面积:抛物线22xy =与直线42=-y x . 解:先画图，如图所示，并由方程⎪⎩⎪⎨⎧=-=4222y x x y ，求出交点为（2，1-），（8，2）. 解一 取y 为积分变量,y 的变化区间为[1-，2]， 在区间[1-，2]上任取一子区间[y ，y +y d ]， 则面积微元 A d =y y y d )242(2-+, 则所求面积为A =⎰--+212d )242(y y y = （32324y y y -+）21-=9.解二 取x 为积分变量，x 的变化区间 为[0，8]，由图知，若在此区间上任取子区间， 需分成[0，2]，[2，8]两部分完成.在区间[0，2]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 1=x xd ]22[, 在区间[2，8]上任取一子区间[x ，x +x d ]， 则面积微元 A d 2=[)4(212--x x ]x d , 于是得A =A 1+A 2A =⎰2d 22x x+A x xx d )222(82+-⎰=23322x 20+[23322x 224x x -+]82=9 .显然，解法一优于解法二.因此作题时，要先画图，然后根据图形选择适当的积分变量，尽量使计算方便. 20.用定积分求由0,1,0,12===+=x x y x y 所围平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积. 解：如右图，所求体积y=135)325(πx x x ++=π1528. 二、 微分方程1. 验证xx C C x C y --+=e e 21为微分方程0'2''=++y y y 的解，并说明是该方程的通解. 证明： xx C C x C y --+=e e 21,x x C x C C C y ----=∴e e )('121, x x C x C C C y --+-=e e )2(''112,于是0'2''=++C C C y y y ，故C y 是0'2''=++y y y 的解.x x -e 与x -e 线性无关，∴0'2''=++y y y 中的1C 与2C 相互独立，即C y 中含有与方程0'2''=++y y y 阶数相同（个数均为2）的独立任意常数，故C y 是该方程的通解. 2. 用分离变量法求解下列微分方程:（1）22d d y x x y =, （2）21d d x y x y -=, （3）y x x x y )1(d d 2++=，且e )0(=y . 解：（1）分离变量得x x yy d d 22=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰=x x y yd d 122 , 求积分得 3313Cx y +=-, 从而通解为Cx y +-=33及验证0=y 也是方程的解.（特别注意，此解不能并入通解）（2）分离变量得21d d xx y y -=,（0≠y ）两边积分得⎰⎰-=x x y y d 11d 12,求积分得 1arcsin ||ln C x y +=, 即 )e (e ee 11arcsin arcsin C x xCC C y ±==±=,从而通解为 xC y arcsin e =，验证0=y 也是方程的解.（3）分离变量得x x x yyd )1(d 2++=,（0≠y ） 两边积分得⎰⎰++=x x x y y d )1(d 12求积分得 13232||ln C x x x y +++=, 即 )e (eee 1332232132C x x x C C C y x x x ±==±=++++,从而通解为3232ex x x C y ++=，验证0=y 也是方程的解.由e )0(=y ，得e =C ， 故特解为32132e x x x y +++=.3.求解下列一阶线性微分方程（1）x b ay y sin '=+（其中b a ,为常数）, (2)21d d y x x y +=. 解：(1)因a x P =)(， x b x Q s i n )(=， 故通解为)]cos sin (e 1[e 2x x a a b C axax -++=-. (2)方程变形为2d d y x yx=-, 这是x 关于y 的一阶线性微分方程，其中2)(,1)(y y Q y P =-=,通解为：)22(e 2++-=y y C y .以上是用一阶线性微分方程的通解公式求解，要熟练掌握常数变易法！ 4.求微分方程 y y x y x y xy d d d d 2+=+ 满足条件20==x y的特解.解：这是可以分离变量的微分方程，将方程分离变量，有x x y y y d 11d 12-=-，两边积分，得=-⎰y y yd 12⎰-x x d 11，求积分得121ln 1ln 21C x y +-=-，1222)1ln(1ln C x y +-=-， 1222e )1(1C x y -=-，222)1(e 11-±=-x y C ，记 0e12≠=±C C ，得方程的解 22)1(1-=-x C y .可以验证 0=C 时，1±=y ，它们也是原方程的解，因此，式22)1(1-=-x C y 中的C 可以为任意常数，所以原方程的通解为 22)1(1-=-x C y （C 为任意常数）. 代入初始条件 20==x y得 3=C ，所以特解为 22)1(31-=-x y .5.求微分方程（1）xy yy +='，（2） x xy y x cos e 22=-'的通解.（1）解一 原方程可化为1d d +=xyx yx y ，令 x yu =， 则 1d d +=+u u x u x u ，即 x x u u u d d 12-=+ ，两边取积分 ⎰⎰-=+x x u u u d 1d )11(2， 积分得C x u u ln ln ln 1-=-，将xy u =代入原方程，整理得原方程的通解为 yx C y e = （C 为任意常数）.解二 原方程可化为11d d =-x yy x 为一阶线性微分方程，用常数变易法.解原方程所对应的齐次方程 01d d =-x yy x ，得其通解为 y C x =. 设y y C x )(=为原方程的解，代入原方程，化简得 1)(='y y C ，1ln)(C yy C =， 所以原方程的通解为 1ln C y y x=，即yx C ye = （C 为任意常数）.（2）解一 原方程对应的齐次方程02d d =-xy x y 分离变量，得xy xy2d d =，x x y y d 2d =， 两边积分，得x x y y ⎰⎰=d 2d ，C x y +=2ln ， )e ln(ln e ln ln 22x x C C y =+=，2e x C y =，用常数变易法.设2e )(x x C y =代入原方程，得 x x C x x cos e e )(22='，x x C cos )(='，C x x x x C +==⎰sin d cos )(，故原方程的通解为 )(sin e 2C x y x += （C 为任意常数）. 解二 这里x x P 2)(-=，x x Q x cos e)(2=代入通解的公式得=)d ecos e(e 222C x x x x x +⋅⎰-=)d cos (e 2C x x x +⎰=)(sin e 2C x x +（C 为任意常数）.6.求微分方程 123='+''y x y x 的通解.解：方程中不显含未知函数y ，令P y ='，x P y d d =''，代入原方程，得 1d d 23=+P x xP x ， 311d d xP x x P =+，这是关于未知函数)(x P 的一阶线性微分方程，代入常数变易法的通解公式，所以 =)(x P 1d 13d 1d e 1(eC x xxx xx +⎰⎰⎰-） =1ln 3ln d e 1(e C x x x x+⎰-）=13d 1(1C x x xx +⋅⎰）=11(1C x x +-）=x C x 121+-， 由此x y d d =x Cx 121+-，⎰+-=x x C xy d )1(12=21ln 1C x C x ++， 因此，原方程的通解为 y =21ln 1C x C x++ （21,C C 为任意常数）. 7.求微分方程 )1()(22-''='y y y 满足初始条件21==x y ，11-='=x y 的特解.解：方程不显含x ，令 P y ='，y P Py d d =''，则方程可化为 )1(d d 22-=y yP PP ， 当 0≠P 时y y P P d 12d -=，于是 21)1(-=y C P . 根据 21==x y，11-='=x y ，知12-='=y y 代入上式，得 11-=C ，从而得到x y yd )1(d 2-=-，积分得211C x y +=-，再由21==x y ，求得 02=C ，于是当0≠P 时，原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11， 当0=P 时，得C y =(常数)，显然这个解也满足方程，这个解可包含在解x y =-11中. 故原方程满足所给初始条件的特解为x y =-11，即 xy 11+=. 8.求方程0)'(''2=-y yy 的通解.解：方程不显含自变量x , 令)('y p y =原方程可变为0d d 2=-⋅⋅p ypp y , 即0=p 或p ypy=d d , 由0'==p y 得C y =.由p y p y=d d 分离变量，得yy p p d d =, 两边积分得⎰⎰=y yp p d d ,求积分得 1ln ln ln C y p +=, 即y C p 1=, 解y C y 1'= 得xC C y 1e 2=,因C y =包含于xC C y 1e2=中, 故原方程通解为 xC C y 1e2=.9.写出下列微分方程的通解：（1）0'2''=+-y y y , （2）08'=+y y . 解：（1）特征方程0122=+-r r , 特征根121==r r , 通解为xx C C y e )(21+=.（2）特征方程08=+r , 特征根8-=r , 通解为xC y 81e-=.10.求下列微分方程满足所给初始条件的特解:（1）xy y y 3e6'2''-=-+, 1)0(',1)0(==y y ,（2） x y y sin 2''=+，1)0(',1)0(==y y . 解：（1）先解06'2''=-+y y y ,其特征方程为0622=-+r r , 特征根为711+-=r , 712--=r ,故通解 xxC C y )71(2)71(1e e --+-+=.因x3e-中3-=λ不是特征方程的根，且1)(=x P m , 故设原方程特解xp A y 3e-=，代入原方程化简，得31-=A ，从而原方程通解为x x C C y )71(2)71(1e e --+-+=x 3e 31--.由0)0(=y ，得03121=-+C C , 由0)0('=y ，得11)71()71(21=++-+-C C ,解得42771+=C , 42772-=C , 故所求特解x xxp y 3)71()71(e 31e 4277e 4277---+---++=. （2）先解02=+''y y ，其特征方程为022=+r ，特征根为i 2,i 221-==r r ，故通解x C x C y C 2sin 2cos 21+=.设原方程特解x b x a y s i n c o s *+=，代入原方程，化简得1,0==b a ，故原方程通解x x C x C y sin 2sin 2cos 21++=,由00)0(1==C y 得，由1)0(='y ，得02=C ，故所求特解为x y sin =.11. 求微分方程 xx y y e 4=-''满足初始条件00==x y，10='=x y 的特解.解：对应齐次方程的特征方程为 012=-r ，特征根 12,1±=r ．故对应齐次微分方程的通解为 xx c C C y -+=e e 21.因为1=λ是特征方程的单根，所以设特解为 xP b x b x y e )(10+=，代入原方程得 x x b b b 4422010=++，比较同类项系数得 10=b ，11-=b ，从而原方程的特解为 xP x x y e )1(-=， 故原方程的通解为 =y xxC C -+ee 21x x x e )1(-+，由初始条件 0=x 时，0='=y y ，得 ⎩⎨⎧=-=+,2,02121C C C C从而11=C ，12-=C .因此满足初始条件的特解为 =y xx--ee x x x e )1(-+.12.求微分方程 x y y y x2sin e 842=+'-''的通解.解：对应的齐次微分方程的特征方程 0842=+-r r ，特征根 i 222,1±=r .于是所对应的齐次微分方程通解为)2sin 2cos (e 212x C x C y x c +=．为了求原方程x y y y x2sin e842=+'-''的一个特解,先求x y y y )i 22(e 84+=+'-''（*）的特解.由于i 22+=λ是特征方程的单根，且1)(=x P m 是零次多项式。
高数复习题答案
高数复习题1、x y y 2='的通解为 y=c x^2 。
2．0=+xdy y dx 的通解为 x^2+y^2=c 。
3、微分方程xy dxdy2=的通解是 lny=x^2+c 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( B )。
A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -=7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( A )。
A ．1+=x e yB ．x e y 2=C ．22x e y ⋅= D ． x e y ⋅=314．方程02=-'y y 的通解是(C )。
A ．x y sin =B ．x e y 24⋅=C ．x e C y 2⋅=D ．x e y = 15．微分方程0=+xdy y dx 满足4|3==x y 的特解是( A )。
A ．2522=+y x B ．C y x =+43 C ．C y x =+22 D ． 722=-y x 16．微分方程01=⋅-y xdx dy 的通解是=y ( D )。
A ．x C B ．Cx C ．C x+1D ． C x +17．微分方程0=+'y y 的解为( B )。
A ．xe B ．xe- C ．xx ee -+ D ． xe -微分方程()x y -=''sin 的通解是( C )。
A ．()x y -=sinB ．()x y --=sinC ．()21sin C x C x y ++--=D ． ()21sin C x C x y ++-= 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）92. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ B ）A ）{-1,1,5}.B ） {-1,-1,5}.C ） {1,-1,5}.D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2, 1,-2}，求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（ C ）A ）2π B ）4π C ）3πD ）π 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ C ） A ）2π B ）4π C ）3πD ）π 13、直线11z 01y 11x -=-=--与平面04z y x 2=+-+的夹角为 B ； （A ）6π； （B ）3π； （C ）4π； （D ）2π． 2、00sin lim x y xy x →→= 0 3、2222001cos()lim x y x y x y →→-+=+ 04、设ln()z xy =，那么z x ∂=∂ y/2xy(lnxy)^0.5 ，zy∂=∂ x/2xy(lnxy)^0.5 5、已知22ln(1)z x y =++，则(1,2)dz = 1/3dx+2/3dy6、设(,)3ln(1)f x y x xy =++，则(1,2)x f = 11/3 ，(1,2)xy f = 1/97、设f(x,y)在点(a,b)处的偏导数存在，则0(,)(,)limx f a x b f a x b x→+--= 2fx(a,b)设函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0 , 0 0 ,),(2222242y x y x y x yx y x f ，则在)0 ,0(点处（ A ）（A ）连续，偏导数存在； （B ）连续，偏导数不存在； （C ）不连续，偏导数存在； （D ）不连续，偏导数不存在。
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复习题一答案一‘选择题(每小题3分，共6小题，共18分)1．D ； ２．B ； 3．A ； 4．B ； 5．C ； 6．B ． 二、填空题 (每小题3分，共6小题，共18分) 1．4； 2．第一类/跳跃3．dx x x x x xxx ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛++tan ln sec 3ln 32tan ； 4．⎪⎭⎫⎝⎛+∞-,41，⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,； 5．C x x x x x +-----arcsin 13ln 3tan 2； 6．181． 三、计算题(每小题7分，共5小题，共35分） 1．求极限⎪⎭⎫⎝⎛--→13ln 1lim 31x x x ．解：⎪⎭⎫⎝⎛--→13ln 1lim 31x x x()xx x x x ln 1ln 31lim 331---=→（型00） xx x x x x x 1ln 333lim 3221-+-=→ 1ln 333lim 3331-+-=→x x x x x （型0） 23221313ln 99limx xx x x x x +⋅+=→22216ln 99lim x x x x x +=→23= 2．已知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=03sin arctan 3t y t e tx y 求0=t dx dy ．解：当0=t 时，有0=x ，0=y 由第一个方程，可得0=t dt dx 1112=+==t t对第二个方程左右两边同时关于t 求导，得033cos sin 2=+-+t dtdyt e t dt dy e y y， 故0=t dt dy 02sin 33cos ==-+=y t y y te tt e 31=，因此，==0t dx dy 310==t dtdx dt dy3．计算不定积分⎰dx x arctan ． 解：令xt =，则2t x =，tdtdx 2=。
所以，原式=⎰)(arctan 2t td =)(arctan arctan 22t d t t t ⎰-=dt tt t t ⎰+-2221arctan =C t t t +-+arctan )1(2=为任意常数）C C x x x (arctan )1(+-+．4．计算定积分dx x x ⎰-2024．解：dx x x ⎰-2024()22024421x d x ---=⎰()223243221x -⋅-=38=． 5．求微分方程x e x x y dxdysin 2cos =-满足初始条件20-==x y 的特解． 解法一：对应齐次方程为： 0cos =-x y dxdy，对齐次方程分离变量，得xdx ydycos =， 对上述方程两边积分，得 1sin ln C x y += 即， xCey sin =（1Ce C ±=）令所求微分方程的解为()xe x C y sin =，则()()x e x C e x C dx dy x x cos sin sin +'=，将y 、dxdy代入所求微分方程，得()x x e x e x C sin 2sin ='， 有 ()2x x C ='，所以， ()C x x C +=331， 因此，所求微分方程的解为x e C x y sin 331⎪⎭⎫⎝⎛+= 由20-==x y，得，2-=C ．所以，所求微分方程的特解为： x e x y sin 3231⎪⎭⎫⎝⎛-=解法二： ()x x P cos -=，()xex x Q sin 2=，所求微分方程的通解为：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰---C dx e e x e xdx x xdx cos sin 2cos()C dx e ex e x xx+⋅=⎰-sin sin 2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+=C x e x 3sin 31由20-==x y，得，2-=C ．所以，所求微分方程的特解为： x e x y sin 3231⎪⎭⎫⎝⎛-=．四、应用题（第一小题10分，第二小题7分，共17分）解：(1)==2x dxdy1212121=⋅=-x x，，所以法线AB l 的斜率为1-， ()12--=-x y ，即3+-=x y(2)点B 的坐标为()3,0，因此，Γ的面积为()3102341322121=+=-⨯⨯+=⎰dx x S (3)Γ中法线AB l 绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为=1V 3822312ππ=⋅⋅（或()⎰+-=31213dx x V π()313331-⋅=x π38π=） Γ中曲线x y 2=绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为()⎰=1222dx x V π122x ⋅=ππ2=故，Γ绕x 轴旋转一周所成旋转体的体积为21V V V +=ππ238+=314π=． 2．欲用围墙围成面积为216平方米的一矩形土地，并在正中间用一堵围墙将其隔开成两块，问这块矩形土地的长宽各为多少时，能使所用材料最省？解：设矩形土地的长为x 米，宽为y 米，围墙总长为l ．则y x l 32+=．因为总面积为216==xy S ，故xy 216=．于是 ()x x x l 6482+= ，()26482xx l -='，由0='l 得，18=x ． x l 2648⨯=''，()018>''l ，故当18=x 时，()x l 取得极小值．由极值的唯一，知在该极小值处取得最小值，又121821618===x y ，所以，当矩形土地的长为18米，宽为12米时，能使所用材料最省．五、证明题（每小题6分，共2小题，共12分） 1．证明：当0>x 时，()()x x x x ++>+1ln 1212． 证明：令()=x f ()()x x x x ++-+1ln 1212，则 ()='x f ()11ln 1-+-+x x ()x x +-=1ln ． ()xx f +-=''111． 当0>x 时，()0>''x f ，即()x f '在[)+∞,0内单调增加，有()()00='>'f x f ， 因此，()x f 在[)+∞,0内单调增加，有()()00=>f x f ，即()()x x x x ++>+1ln 1212． 2．若函数()x f 在()+∞∞-,内满足关系式()()x x f x f cos ='，且()10=f ，证明：()x e x f sin =．证明一：令()()x f ex F xsin -=，则()()()x f e x f xe x F x x '+-='--sin sin cos ()()x x f e x f xe x x cos cos sin sin ⋅+-=--0=．所以，()C x F ≡（C 为常数）．取0=x ，得()()1000=⋅==f e F C ，因此()1sin =-x f ex，即()x e x f sin =．证明二：用解微分方程的方法证明（略）．复习题二答案一、选择题(每小题3分，共6小题，共18分)1．D ； ２．D ； 3．A ； 4．B ； 5．D ； 6．C ． 二、填空题 (每小题3分，共6小题，共18分)1．1-； 2．第一类/可去 3．()dx x x x x xx ++ln cot ；4．⎪⎭⎫⎝⎛+∞,41，⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-41,；5．C x e x x x+++-arcsin 3arctan tan ； 6．21． 三、计算题(每小题7分，共5小题，共35分）1．求极限⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x xx xdxx dxx x 30200tan sin tan lim ．解：⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-→x x x xdxx dx x x 30200tan sin tan lim （型00）33tan 3sin tan lim 20⋅-=→x x x x x ()x x x x x 3tan 9cos 1tan lim 20-=→()16213921lim 220=⋅⋅=→x x xx x ． 2．已知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=02sin arctan 2t y t e tx y 求0=t dx dy ．解：当0=t 时，有 0=x ，0=y ．由第一个方程，可得0=t dt dx 1112=+==t t ．对第二个方程左右两边同时关于t 求导，得022cos sin =+-+t dt dy t e t dt dy e y y， 故0=t dt dy 00sin 22cos ==-+=y t y y te t t e 21=． 因此，==0t dx dy 210==t dtdx dt dy 3．计算不定积分⎰xdx x ln ．解：⎰xdx x ln ⎰=23ln 32xdx ⎰⋅-=dx xx x x 1ln 322323．⎰-=dx x x x 2123ln 32C x x x +-=232332ln 32 4．计算定积分dx x x ⎰-3029．解：dx x x ⎰-3029()23029921x d x ---=⎰()323293221x -⋅-=9=．5．求微分方程x e x x y dxdysin 2cos -=+满足初始条件20-==x y 的特解． 解法一：对应齐次方程为： 0cos =+x y dxdy，对齐次方程分离变量，得xdx ydycos -=， 对上述方程两边积分，得 1sin ln C x y +-= 即， xCey sin -=（1Ce C ±=）．令所求微分方程的解为()xex C y sin -=，则()()x e x C e x C dxdyx x cos sin sin ---'=，将y 、dxdy代入所求微分方程，得 ()x xe x ex C sin 2sin --='， 有 ()2x x C ='，所以， ()C x x C +=331． 因此，所求微分方程的解为 x e C x y sin 331-⎪⎭⎫⎝⎛+=． 由20-==x y，得，2-=C 。
所以，所求微分方程的特解为：x e x y sin 3231-⎪⎭⎫⎝⎛-=．解法二： ()x x P cos =，()xe x x Q sin 2-=，所求微分方程的通解为：()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⎰=⎰-C dx e x Q e y dx x P dx x P ． ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎰⋅⎰=⎰--C dx e e x e xdx x xdx cos sin 2cos ．()C dx e ex e x xx+⋅=⎰--sin sin 2sin ⎪⎭⎫⎝⎛+=-C x e x 3sin 31．由20-==x y，得，2-=C 。