直线与平面垂直的判定(典型) ppt课件

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11
随堂练习
如图，直四棱柱 ABCD ABCD（侧棱与底面垂直
的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形 ABCD 满足什么
条件时，AC BD ？
A
D
B
底面四边形 ABCD 对角
C
线相互垂直．
A
D
B
C
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12
线面垂直判定定理的应用
A
B
D
C
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8
BD,CD都在桌面内， AD⊥CD,AD⊥BD, BD∩CD=D， 直线AD所在的直线与桌面垂直
A
B
D

C
l
P
mn
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9
直线与平面垂直判定定理
判定定理:一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂 直，则该直线与此平面垂直．
la
l
l b a


l


b
b a b A
∵AE⊥PC, PC∩BC＝C，∴AE⊥平面 PB图C.6
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15
1. 如图，在三棱锥 V ABC 中，VA= VC，AB=BC,
求证: VB ⊥AC.
提示：找AC中点D,连接VD,BD V
.D
C
A
B
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16
2. 已知：正方体中，AC是面对角线，BD′是与AC 异面的体对角线.求证：AC⊥BD′
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20
1.如图：正方体ABCD-A1B1C1D1中，求:
A1C1与面BB1D1D所成的角。
45o D1
C1
A1
B1
D A
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C B
21
2、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求直线 A1B和平面A1B1CD所成的角
D1
C1
A1
B1
O
D
C
A
B
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解：连接BC1交B1C于点O, 连接A1O, A1B1 B1C1，A1B1 B1B,

BO

1 2
A1B,
BA1O

30
.
直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30 .
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求直线和平面所成的角，当直线和平面斜交时，
常有以下步骤： ①作——作出或找到斜线与射影所成的角； ②证——论证所作或找到的角为所求的角；
③算——常用解三角形的方法求角；
④结论——说明斜线和平面所成的角值．
BC AC
由1得BC PA,又 PA AC A
BC 面PAC
PA BC
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14
例 3：如图 6，已知 PA ⊥⊙O 所在平面，AB 为
⊙O 直径， C 是圆周上任一点，过 A 作 AE⊥PC
于 E，求证：AE⊥平面 PBC. 证明：∵PA ⊥⊙O 所在平面， BC⊂⊙O 所在平面，∴PA ⊥BC， ∵AB 为⊙O 直径， ∴AC⊥BC， 又 PA ∩AC＝A， ∴BC⊥平面 PAC， 又 AE⊂平面 PAC，∴BC⊥AE，
A1B1 平面BCC1B1. A1B1 BC1, 又BC1 B1C, BC1 平面A1B1CD. A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影， BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角. 设正方体的棱长为a
在RtA1BO中，A1B
2a, BO 2 a, 2
2.3.1直线与平面垂直的判定
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1
实例引入
生活中有很多直线与平面垂直的实例，你能举出 几个吗？
旗杆与底面垂直
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2
思考.阳光下直立于地面的旗杆及它在地面的影子
有何位置关系. A
1.旗杆所在的直线始终与
影子所在的直线垂直.
2. 直线AB垂直于平面 内的任意一条直线．
B1
α
B
C1
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AB是圆O 的直径，C 在圆周上,
且PA AC, PA AB,
求证：（1）PA BC
A
O
B
（2）BC 平面PAC
解：（1）
C
AB , AC ,
且AB AC A PA AC, PA AB
PA 又 BC
(2)C为圆O上一点，AB 为直径
例 1：已知：如图 1，空间四边形 ABCD 中， AB＝AC，DB＝DC，取 BC 中点 E，连接 AE、DE， 求证：BC⊥平面 AED.
证明：∵AB＝AC，DB＝DC，E 为BC 中点，图 1 ∴AE⊥BC，DE⊥BC. 又∵AE ∩DE =E，∴BC⊥平面AED.
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13
P
2.如图，圆O所在一平面为 ，
两条呢？ 无数条呢？ 不一定
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6
直线与平面垂直
除定义外，如何判断一条直线与平面垂直 呢？
l
P
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7
准备一块三角形纸片,过△ABC的顶点A翻折纸片， 得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌上 （BD、DC与桌面接触）. 思考 (1)折痕AD与桌面垂直吗？
(2)如何翻折才能保证折痕AD与桌面所在平面垂直？

Aa
简记为：线线垂直
作用： 判定直线与平面垂直
线面垂直
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例1 求证：如果两条平行直线中的一条垂直 于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面.
已知：a//b，a 可作定理使用
求证: b
a
b
证明：设m是内的任意一条直线
a m


a m
a //b
C
3
直线与平面垂直
如果直线 l 与平面 内的任意一条直线都垂直，
我们说直线 l 与平面 互相垂直，记作 l ．
垂足

平面 的垂线
l
直线 l 的垂面
P
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4
线面垂直的定义常这样使用
l

a
l

l a
a
简记：线面垂直，则线线垂直
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5
如果一条直线垂直于一个 平面内的一条直线，那么这条 直线是否与这个平面垂直？
关键：过斜线上一点作平面的垂线
斜线 斜足
α
P
线面所成角 （锐角∠PAO）
A
O
射影
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斜线和平面所成的角
1、直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是 直角 直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所 成的角是0°
2、直线与平面所成的角θ的取值范围是：
0 _________2__
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1.如图 5，在长方体 ABCD－A1B1C1D1 中， AB＝BC＝2， AA1＝1，则 AC1 与平面 A1B1C1D1 所成角的正弦值为( )
D′ A′
C′ B′
D
C
A
B
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证明：连接BD ∵正方体ABCD-A′B′C′D′
∴DD′⊥正方形ABCD ∴ DD′⊥AC D′ ∵AC、BD 为对角线∴AC⊥BD
∵DD′∩BD=D
A′
∴AC⊥平面D′DB 且BD′⊂面D′DB
∴AC⊥BD′
D A
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C′ B′
C B
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线面所成的角