5.解决统计问题的几种数学思路
如何解决高中数学中的概率与统计难题
如何解决高中数学中的概率与统计难题高中数学中的概率与统计难题是让许多学生头疼的问题之一。
概率与统计是数学的重要分支，也是日常生活中经常会遇到的概念。
解决高中数学中的概率与统计难题需要一定的策略和技巧，本文将介绍几种解决高中数学中的概率与统计难题的方法。
以下是一些建议。
1. 理解基本概念首先，要解决高中数学中的概率与统计难题，必须对基本概念有清晰的理解。
例如，了解事件、样本空间、随机变量、概率、期望值等基本概念是非常重要的。
只有掌握了这些基本概念，才能更好地理解与解决难题。
2. 掌握计算方法在解决概率与统计难题时，掌握相关的计算方法是很关键的。
例如，计算置信区间、计算概率、计算期望值等。
要做到这一点，就需要掌握一些公式和计算技巧。
此外，要熟悉使用计算器或电脑软件进行计算。
3. 勤练习概率与统计是一门需要大量练习才能掌握的学科。
通过大量的练习，可以巩固基本概念、学会灵活运用各种计算方法，提高解题能力。
可以寻找一些相关的练习题，根据难度逐渐增加，逐步提高自己的解题水平。
4. 学会归类与总结归类和总结是解决概率与统计难题的重要方法。
通过对一类题目进行归纳整理，找出问题的共性和规律，可以更好地解决类似的难题。
在解题过程中，可以总结一些常用的方法和技巧，以备将来效仿。
5. 多角度思考解决概率与统计难题时，多角度思考是非常有帮助的。
有时候，一个问题可以从多个角度进行思考和解决。
尝试从不同的角度入手，换个思路来解决问题，可能会找到一个更简单或更直接的解决办法。
6. 查找资料与请教他人当遇到较难的概率与统计难题时，可以查找相关的学习资料，寻求问题的解答和解释。
可以向老师、同学或其他专业人士请教，听取他们的经验和建议。
他们可能会提供一些有用的思路和方法，帮助解决难题。
总结起来，解决高中数学中的概率与统计难题需要掌握基本概念、计算方法，勤加练习，学会归类与总结，多角度思考，并及时查找资料与请教他人。
通过这些方法和策略，相信能够有效地解决高中数学中的概率与统计难题，提高数学学习的水平。
初中数学统计数据的方法
初中数学统计数据的方法
初中数学中，统计数据的方法是重要的知识点之一。
统计数据是数学中常见的一部分，它涉及到数据的收集、整理、分析和解释。
掌握正确的统计数据方法可以帮助学生们更好地理解和运用数据，也为以后的数学学习奠定了基础。
一、统计数据的类型和重要性
统计数据可以分为许多不同的类型，如数值数据、图像数据、饼图、柱状图等。
这些数据可以帮助我们理解数据的分布、趋势和关系。
在现实生活中，我们经常需要分析和解释各种类型的数据，因此掌握统计数据的处理方法是非常重要的。
二、如何收集和整理数据
收集和整理数据是统计数据方法的基本步骤。
学生们应该学会如何从不同的来源获取数据，如何将数据分类和排序，以及如何将数据以表格或图形的方式呈现出来。
这些步骤可以帮助学生们更好地理解数据的结构和关系。
三、如何分析数据
分析数据是统计数据方法的另一个重要步骤。
学生们应该学会如何使用不同的统计工具和技术来分析和解释数据。
例如，他们应该学会如何计算平均值、标准差、趋势等，如何识别数据中的异常值和离群点，以及如何使用图表来解释数据。
四、如何解释数据
解释数据是统计数据方法的最后一步。
学生们应该学会如何将统计数据与实际生活联系起来，如何用简单明了的语言向其他人解释数
据的重要性和意义。
通过这些步骤，学生们可以更好地理解和应用统计数据的方法。
总的来说，初中数学中的统计数据方法是一个重要的知识点，需要学生们认真学习和掌握。
通过正确的步骤和方法，学生们可以更好地理解和运用数据，为以后的数学学习奠定坚实的基础。
数学中常用的几种思维方法
数学中常用的几种思维方法在数学学科中，有许多种常用的思维方法，这些方法有助于解决问题，探索规律和证明定理。
以下是数学中常用的几种思维方法，以及其在不同领域中的应用。
1.归纳法：归纳法是通过观察和推理来得出一般性结论的一种方法。
它包括两个步骤：基础情况的验证和归纳假设的提出。
归纳法常用于证明数列的性质、解决组合数学问题以及推导重要定理。
例如，使用归纳法可以证明斐波那契数列的递推公式或质数的无穷性。
2.反证法：反证法是通过假设否定结果并推导出矛盾来证明一个命题的方法。
反证法通常用于证明矛盾命题或否定命题。
它常用于证明数学分析中的存在性定理，如勒贝格覆盖定理或柯西中值定理。
3.构造法：构造法是通过构造一个满足要求的对象来证明一个命题的方法。
通过巧妙地构造对象，可以帮助我们理解问题的本质，找到规律或解决难题。
构造法在代数、几何、组合数学等领域中经常使用。
例如，可以通过构造一组满足其中一种条件的整数来证明一些数论问题。
4.抽象化：抽象化是将具体的数学问题转化为更一般、更抽象的形式来研究的方法。
通过抽象化，我们可以将问题与特定的情境分离，发现问题的共性和规律。
抽象化在代数、几何、图论等领域中使用广泛。
例如，将代数方程的特例抽象为一般形式，可以帮助我们研究方程的性质。
5.分类与归类：将问题中的对象进行分类和归类，有助于我们理清思路，辨析问题的性质。
分类与归类法在组合数学、图论，以及概率与统计中经常使用。
例如，将图形按照对称性进行分类可以帮助我们更好地理解和研究对称性的性质。
6.数学建模：数学建模是将实际问题转化为数学模型，然后利用数学方法进行求解的过程。
它结合了现实世界中的问题与数学分析的技巧，有助于我们理解复杂问题的本质和寻找解决方案。
数学建模广泛应用于物理、工程学、经济学等领域中。
7.反向思维：反向思维是指从问题的解决结果出发，逆向推导出问题的原因或方法。
通过反向思维，我们可以找到解决问题的新途径或发现问题的隐藏性质。
六年级数学数据与统计
六年级数学数据与统计数据在我们的日常生活中无处不在，我们可以通过数据来了解事物的规律、趋势以及各种关系。
在数学中，数据与统计是一个非常重要的概念，我们通过收集、整理和分析数据来帮助我们做出有关问题的决策。
在六年级的数学学习中，数据与统计占据了重要的位置。
本文将介绍六年级数学数据与统计的一些基本知识和方法。
一、数据的收集与整理在数据与统计的学习中，我们首先需要掌握的是数据的收集与整理方法。
数据的收集通常包括观察、测量和调查三种方法。
观察是通过直接观察现象并记录下来的数据，比如我们可以观察每天的天气情况来统计不同天气的概率。
测量是通过工具或仪器来获取数据，比如我们用尺子测量一些物体的长度。
调查是通过询问他人或填写问卷等方式来收集数据，比如我们可以调查同学的兴趣爱好来进行统计。
在收集到数据后，我们需要对数据进行整理。
整理数据可以按照以下几个步骤进行：1. 将数据集中：将所有的数据收集到一起，便于后续的分析和统计。
2. 进行分类：根据数据的特征将其进行分类。
比如我们可以将学生的身高分为不同的区间进行统计。
3. 清洗数据：检查数据是否存在错误或者异常值，对于不符合要求的数据进行修正或者删除。
4. 归纳总结：通过对数据进行归纳总结，找出其中的规律和趋势。
二、数据的表示与分析数据的表示和分析是数据与统计中的重要环节。
我们可以通过图表和图形等形式来表示和分析数据，其中常见的有条形图、折线图、饼图等。
1. 条形图：用长短不同的条形来表示不同数据的大小，通过条形的高度来比较数据的差异。
比如我们可以用条形图来比较不同班级的人数。
2. 折线图：用连续的折线来表示数据的变化趋势，可以更直观地观察数据的走势。
比如我们可以用折线图来观察一周内温度的变化。
3. 饼图：用圆形的扇形来表示不同数据的百分比，可以直观地观察各个部分的比例关系。
比如我们可以用饼图来表示一家公司不同部门的比例。
通过图表和图形的分析，我们可以得出一些结论和推断。
小学数学常用的十一种解题思路
小学数学常用的十一种解题思路“直接思路”是解题中的常规思路;它一般是通过分析、综合、归纳等方法,直接找到解题的途径;顺向综合思路从已知条件出发,根据数量关系先选择两个已知数量,提出可以解决的问题；然后把所求出的数量作为新的已知条件,与其他的已知条件搭配,再提出可以解决的问题；这样逐步推导,直到求出所要求的解为止;这就是顺向综合思路,运用这种思路解题的方法叫“综合法”;例1 兄弟俩骑车出外郊游,弟弟先出发,速度为每分钟200米,弟弟出发5分钟后,哥哥带一条狗出发,以每分钟250米的速度追赶弟弟,而狗以每分钟300米的速度向弟弟追去,追上弟弟后,立即返回,见到哥哥后又立即向弟弟追去,直到哥哥追上弟弟,这时狗跑了多少千米分析按顺向综合思路探索：1根据弟弟速度为每分钟200米,出发5分钟的条件,可以求什么可以求出弟弟走了多少米,也就是哥哥追赶弟弟的距离;2根据弟弟速度为每分钟200米,哥哥速度为每分钟250米,可以求什么可以求出哥哥每分钟能追上弟弟多少米;3通过计算后可以知道哥哥追赶弟弟的距离为1000米,每分钟可追上的距离为50米,根据这两个条件,可以求什么可以求出哥哥赶上弟弟所需的时间;4狗在哥哥与弟弟之间来回不断奔跑,看起来很复杂,仔细想一想,狗跑的时间与谁用的时间是一样的狗跑的时间与哥哥追上弟弟所用的时间是相同的;5已知狗以每分钟300米的速度,在哥哥与弟弟之间来回奔跑,直到哥哥追上弟弟为止,和哥哥追上弟弟所需的时间,可以求什么可以求出这时狗总共跑了多少距离这个分析思路可以用下图图2.1表示;例2 下面图形图2.2中有多少条线段分析仍可用综合思路考虑：我们知道,直线上两点间的一段叫做线段,如果我们把上面任意相邻两点间的线段叫做基本线段,那么就可以这样来计数;1左端点是A的线段有哪些有AB AC AD AE AF AG共6条;2左端点是B的线段有哪些有BC、BD、BE、BF、BG共5条;3左端点是C的线段有哪些有CD、CE、CF、CG共4条;4左端点是D的线段有哪些有DE、DF、DG共3条;5左端点是E的线段有哪些有EF、EG共2条;6左端点是F的线段有哪些有FG共1条;然后把这些线段加起来就是所要求的线段;二、逆向分析思路从题目的问题入手,根据数量关系,找出解这个问题所需要的两个条件,然后把其中的一个或两个未知的条件作为要解决的问题,再找出解这一个或两个问题所需的条件；这样逐步逆推,直到所找的条件在题里都是已知的为止,这就是逆向分析思路,运用这种思路解题的方法叫分析法;例1 两只船分别从上游的A地和下游的B地同时相向而行,水的流速为每分钟30米,两船在静水中的速度都是每分钟600米,有一天,两船又分别从A、B两地同时相向而行,但这次水流速度为平时的2倍,所以两船相遇的地点比平时相遇点相差60米,求A、B两地间的距离;分析用分析思路考虑：1要求A、B两地间的距离,根据题意需要什么条件需要知道两船的速度和与两船相遇的时间;2要求两船的速度和,必要什么条件两船分别的速度各是多少;题中已告之在静水中两船都是每分钟600米,那么不论其水速是否改变,其速度和均为600+600米,这是因为顺水船速为：船速+水速,逆水船速为：船速-水速,故顺水船速与逆水船速的和为：船速+水速+船速-水速=2个船速实为船在静水中的速度3要求相遇的时间,根据题意要什么条件两次相遇的时间因为距离相同,速度和相同,所以应该是相等的,这就是说,尽管水流的速度第二次比第一次每分钟增加了30米,仍不会改变相遇时间,只是改变了相遇地点：偏离原相遇点60米,由此可知两船相遇的时间为60÷30=2小时;此分析思路可以用下图图2.3表示：例2 五环图由内径为4,外径为5的五个圆环组成,其中两两相交的小曲边四边形阴影部分的面积都相等如图2.4,已知五个圆环盖住的总面积是122.5,求每个小曲边四边形的面积圆周率π取3.14分析仍用逆向分析思路探索：1要求每个小曲边四边形的面积,根据题意必须知道什么条件曲边四边形的面积,没有公式可求,但若知道8个小曲边四边形的总面积,则只要用8个曲边四边形总面积除以8,就可以得到每个小曲边四边形的面积了;2要求8个小曲边四边形的总面积,根据题意需要什么条件8个小曲边四边形恰好是圆环面积两两相交重叠一次的部分,因此只要把五个圆环的总面积减去五个圆环盖住的总面积就可以了;3要求五个圆环的总面积,根据题意需要什么条件求出一个圆环的面积,然后乘以5,就是五个圆环的总面积;4要求每个圆环的面积,需要什么条件已知圆环的内径4和外径5,然后按圆环面积公式求就是了;圆环面积公式为：S圆环=πR2-r2=πR＋rR－r其思路可用下图图2.5表示：三、一步倒推思路顺向综合思路和逆向分析思路是互相联系,不可分割的;在解题时,两种思路常常协同运用,一般根据问题先逆推第一步,再根据应用题的条件顺推,使双方在中间接通,我们把这种思路叫“一步倒推思路”;这种思路简明实用;例1 一只桶装满10千克水,另外有可装3千克和7千克水的两只空桶,利用这三只桶,怎样才能把10千克水分为5千克的两份分析用一步倒推思路考虑：1逆推第一步：把10千克水平分为5千克的两份,根据题意,关键是要找到什么条件因为有一只可装3千克水的桶,只要在另一只桶里剩2千克水,利用3＋2 =5,就可以把水分成5千克一桶,所以关键是要先倒出一个2千克水;2按条件顺推;第一次：10千克水倒入7千克桶,10千克水桶剩3千克水,7千克水倒入3千克桶,7千克水桶剩4千克水,3千克水桶里有水3千克；第二次：3千克桶的水倒入10千克水桶,这时10千克水桶里有水6千克,把7千克桶里的4千克水倒入3千克水桶里,这时7千克水桶里剩水1千克,3千克水桶里有水3千克；第三次：3千克桶里的水倒入10千克桶里,这时10千克桶里有水9千克,7千克桶里的1千克水倒入3千克桶里,这时7千克桶里无水,3千克桶里有水1千克；第四次：10千克桶里的9千克水倒入7千克桶里,10千克水桶里剩下2千克水,7千克桶里的水倒入3千克桶里原有1千克水,只倒出2千克水,7千克桶里剩水5千克,3千克桶里有水3千克,然后把3千克桶里的3千克水倒1 0千克桶里,因为原有2千克水,这时也正好是5千克水了;其思路可用下图图2.6和图2.7表示：问题：例2 今有长度分别为1、2、3……9厘米的线段各一条,可用多少种不同的方法,从中选用若干条线段组成正方形分析仍可用一步倒推思路来考虑：1逆推第一步;要求能用多少种不同方法,从中选用若干条线段组成正方形必须的条件是什么根据题意,必须知道两个条件;一是确定正方形边长的长度范围,二是每一种边长有几种组成方法;2从条件顺推;①因为九条线段的长度各不相同,所以用这些线段组成的正方形至少要7条,最多用了9条,这样就可以求出正方形边长的长度范围为1+2+……②当边长为7厘米时,各边分别由1+6、2+5、3+4及7组成,只有一种组成方法;③当边长为8厘米时,各边分别由1+7、2+6、3+5及8组成,也只有一种组成方法;④当边长为9厘米时,各边分别由1+8、2+7、3+6及9；1＋8、2＋7、4+5及9；2＋7、3＋6、4+5及9；1＋8、3＋6、4＋5及9；1＋8、2+7、3＋6及4＋5共5种组成方法;⑤当边长为10厘米时,各边分别由1+9、2＋8、3＋7及4＋6组成,也只有一种组成方法;⑤当边长为11厘米时,各边分别由2+9、3＋8、4＋7及5+6组成,也只有一种组成方法;⑥将上述各种组成法相加,就是所求问题了;此题的思路图如下图2.8：问题：四、还原思路从叙述事情的最后结果出发利用已知条件,一步步倒着推理,直到解决问题,这种解题思路叫还原思路;解这类问题,从最后结果往回算,原来加的用减、原来减的用加,原来乘的用除,原来除的用乘;运用还原思路解题的方法叫“还原法”;例1 一个数加上2,减去3,乘以4,除以5等于12,你猜这个数是多少分析用还原思路考虑：从运算结果12逐步逆推,这个数没除以5时应等于多少没乘以4时应等于多少不减去3时应等于多少不加上2时又是多少这里分别利用了加与减,乘与除之间的逆运算关系,一步步倒推还原,直找到答案;其思路图如下图2.9：条件：例2 李白街上走,提壶去打酒；遇店加一倍,见花喝一斗,三遇店和花,喝光壶中酒;试问酒壶中,原有多少酒分析用还原思路探索：李白打酒是我国民间自古以来广为流传的一道用打油诗叙述的著名算题;题意是：李白提壶上街买酒、喝酒,每次遇到酒店,便将壶中的酒量增添1倍,而每次见到香花,便饮酒作诗,喝酒1斗;这样他遇店、见花经过3次,便把所有的酒全喝光了;问：李白的酒壶中原有酒多少下面我们运用还原思路,从“三遇店和花,喝光壶中酒”开始推算;见花前——有1斗酒;第三次：见花后——壶中酒全喝光;第三次：遇店前——壶中有酒半斗;第一次：见花前——壶中有酒为第二次遇店前的再加1斗;遇店前——壶中有酒为第一次见花前的一半;其思路图如下五、假设思路在自然科学领域内,一些重要的定理、法则、公式等,常常是在“首先提出假设、猜想,然后再进行检验、证实”的过程中建立起来的;数学解题中,也离不开假设思路,尤其是在解比较复杂的题目时,如能用“假设”的办法去思考,往往比其他思路简捷、方便;我们把先提出假设、猜想,再进行检验、证实的解题思路,叫假设思路;例1 中山百货商店,委托运输队包运1000只花瓶,议定每只花瓶运费0. 4元,如果损坏一只,不但不给运费,而且还要赔偿损失5.1元;结果运输队获得运费382.5元;问：损坏了花瓶多少只分析用假设思路考虑：1假设在运输过程中没有损坏一个花瓶,那么所得的运费应该是多少0.4×1000=400元;2而实际只有383.5元,这当中的差额,说明损坏了花瓶,而损坏一只花瓶,不但不给运费,而且还要赔偿损失5.1元,这就是说损坏一只花瓶比不损坏一只花瓶的差额应该是多少元0.4＋5.1=5.5元3总差额中含有一个5.5元,就损坏了一只花瓶,含有几个5.5元,就是损坏了几只花瓶;由此便可求得本题的答案;例2 有100名学生在车站准备乘车去离车站600米的烈士纪念馆搞活动,等最后一人到达纪念馆45分钟以后,再去离纪念馆900米的公园搞活动;现在有中巴和大巴各一辆,它们的速度分别是每分钟300米和150米,而中巴和大巴分别可乘坐10人和25人,问最后一批学生到达公园最少需要多少时间分析用假设思路思索；假设从车站直接经烈士纪念馆到公园,则路程为600＋900米;把在最后1人到达纪念馆后停留45分钟,假设为在公园停留45分钟,则问题将大大简化;1从车站经烈士纪念馆到达公园,中巴、大巴往返一次各要多少时间中巴：600+900÷300×2=10分钟大巴：600+900÷150×2=20分钟2中巴和大巴在20分钟内共可运多少人中巴每次可坐10人,往返一次要10分钟,故20分钟可运20人;大巴每次可坐25人,往返一次要20分钟,故20分钟可运25人;所以在20分钟内中巴、大巴共运45人;3中巴和大巴20分钟可运45人,那么40分钟就可运45×2=90人,10 0人运走90人还剩下10人,还需中巴再花10分钟运一次就够了;4最后可求出最后一批学生到达公园的时间：把运90人所需的时间,运10人所需的时间,和在纪念馆停留的时间相加即可;六、消去思路对于要求两个或两个以上未知数的数学题,我们可以想办法将其中一个未知数进行转化,进而消去一个未知数,使数量关系化繁为简,这种思路叫消去思路,运用消去思路解题的方法叫消去法;二元一次方程组的解法,就是沿着这条思路考虑的;例1 师徒两人合做一批零件,徒弟做了6小时,师傅做了8小时,一共做了312个零件,徒弟5小时的工作量等于师傅2小时的工作量,师徒每小时各做多少个零件分析用消去思路考虑：这里有师、徒每小时各做多少个零件两个未知量;如果以徒弟每小时工作量为1份,把师傅的工作量用徒弟的工作量来代替,那么师傅8小时的工作量相当于这样的几份呢很明显,师傅2小时的工作量相当于徒弟5小时的工作量,那么8小时里有几个2小时就是几个5小时工作量,这样就把师傅的工作量换成了徒弟的工作量,题目里就消去了师傅工作量这个未知数；然后再看312个零件里包含了多少个徒弟单位时间里的工作量,就是徒弟应做多少个;求出了徒弟的工作量,根据题中师博工作量与徒弟工作量的倍数关系,也就能求出师傅的工作量了;例2 小明买2本练习本、2枝铅笔、2块橡皮,共用0.36元,小军买4本练习本、3枝铅笔、2块橡皮,共用去0.60元,小庆买5本练习本、4枝铅笔、2块橡皮,共用去0.75元,问练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱分析用消去法思考：这里有三个未知数,即练习本、铅笔、橡皮的单价各是多少钱我们要同时求出三个未知数是有困难的;应该考虑从三个未知数中先去掉两个未知数,只留下一个未知数就好了;如何消去一个未知数或两个未知数一般能直接消去的就直接消去,不能直接消去,就通过扩大或缩小若干倍,使它们之间有两个相同的数量,再用加减法即可消去,本题把小明小军、小庆所购买的物品排列如下：小明2本2枝2块0.36元小军4本3枝2块0.60元小庆5本4枝2块0.75元现在把小明的各数分别除以2,可得到1本练习本、1枝铅笔、1块橡皮共0.18元;接着用小庆的各数减去小军的各数,得1本练习本、1枝铅笔为0.15元;再把小明各数除以2所得的各数减去上数,就消去了练习本、铅笔两个未知数,得到1块橡皮0.03元,采用类似的方法可求出练习本和铅笔的单价;七、转化思路解题时,如果用一般方法暂时解答不出来,就可以变换一种方式去思考,或改变思考的角度,或转化为另外一种问题,这就是转化思路;运用转化思路解题就叫转化法;各养兔多少只分析用转化思路思索：题中数量关系比较复杂,两个分率的标准量不同,为了简化数量关系,只呢这时两人养的总只数该是多少只呢假设后的数量关系,两人养的总只数应是：100-16×3=52只分析用转化思路分析：本题求和,题中每个分数的分子都是1,分母是几个连续自然数的和,好像不能把每个分数分成两个分数相减,然后相加抵消一些数;但是只要我们按等差数列求和公式,求出分母就会发现,可将上面各分数的分母转化为两个连续自然数积的形式;然后再相加,抵消中间的各个分数即可;八、类比思路类比就是从一个问题想到了相似的另一个问题;例如从等差数列求和公式想到梯形面积公式,从矩形面积公式想到长方体体积公式等等；类比是一个重要的思想方法,也是解题的一种重要思路;例1 有一个挂钟,每小时敲一次钟,几点钟就敲几下,钟敲6下,5秒钟敲完；钟敲12下,几秒敲完分析用类比思路探讨：有人会盲目地由倍数关系下结沦,误认为10秒钟敲完,那就完全错了;其实此题只要运用类比思路,与植树问题联系起来想一想就通了：一条线路植树分成几段株距,如果不包括两个端点,共需植n-1棵树,如果包括两个端点,共需植树n＋1棵,把钟点指数看作是一棵棵的树,把敲的时间看作棵距,此题就迎刃而解了;例2 从时针指向4点开始,再经过多少分钟,时针正好与分钟重合;分析用类比思路讨论：本题可以与行程问题进行类比;如图2.11,如果用时针1小时所走的一格作为路程单位,那么本题可以重新叙述为：已知分针与时针相距4格,分如果分针与时针同时同向出发,问：分针过多少分钟可追上时针这样就与行程问题中的追及问题相似了;4为距离差,速度差为,重合的时间,就是追上的时间;九、分类思路把一个复杂的问题,依照某种规律,分解成若干个较简单的问题,从而使问题得到解决,这就是分类思路;这种思路在解决数图形个数问题中经常用到;例1 如图2.12,共有多少个三角形分析用分类思路考虑：这样的图直接去数有多少个三角形,要做到能不重复,又不遗漏,是比较困难的;怎么办可以把图中所有三角形按大小分成几类,然后分类去数,再相加就是总数了;本题根据条件,可以分为五类如图2.13;例2 如图2.14,象棋棋盘上一只小卒过河后沿着最短的路走到对方“将”处,这小卒有多少种不同的走法分析运用分类思路分析：小卒过河后,首先到达A点,因此,题目实际上是问：从A点出发,沿最短路径有多少种走法可以到达“将”处,所谓最短,是指不走回头路;因为“将”直接相通的是P点和K点,所以要求从A点到“将”处有多少种走法,就必须是求出从A到P和从A到K各有多少种走法;分类;一种走法：A到B、C、D、E、F、G都是各有一种走法;二种走法：从A到H有两种走法;三种走法：从A到M及从A到I各有三种走法;其他各类的走法：因为从A到M、到I各有3种走法,所以从A到N就有3＋3＝6种走法了,因为从A到I有3种走法,从A到D有1种走法,所以从A 到J就有3＋1=4种走法了；P与N、J相邻,而A到N有6种走法,A到J有4种走法,所以从A到P就有6+4=10种走法了；同理K与J、E相邻,而A到J 有4种走法,到E有1种走法,所以A到K就有4+1=5种走法;再求从A到“将”处共有多少种走法就非常容易了;十、等量代换思路本文选自：小学数学解题方法、思路、技巧汇编点击有些题的数量关系十分隐蔽,如果用一般的分析推理,难于找出数量之间的内在联系,求出要求的数量;那么我们就根据已知条件与未知条件相等的关系,使未知条件转化为已知条件,使隐蔽的数量关系明朗化,促使问题迎刃而解;这种思路叫等量代换思路;例1 如图2.15的正方形边长是6厘米,甲三角形是正方形中的一部分,乙三角形的面积比甲三角形大6平方厘米,求CE长多少厘米分析用等量代换思路思考：按一般思路,要求CE的长,必须知道乙三角形的面积和高,而这两个条件都不知道,似乎无法入手;用等量代换思路,我们可以求出三角形ABE的面积,从而求出CE的长,怎样求这个三角形的面积呢设梯形为丙：已知乙=甲+6丙+甲=6×6=36用甲+6代换乙,可得丙+乙=丙+甲+6=36+6=42即三角形ABE的面积等于42平方厘米,这样,再来求CE的长就简单了;例2 有三堆棋子,每堆棋子数一样多,并且都只有黑白两色棋子;第一这三堆棋子集中一起,问白子占全部棋子的几分之几分析用等量代换的思路来探讨：这道题数量关系比较复杂,如果我们把第一堆里的黑子和第二堆的白子对换一下,那么这个问题就简单多了;出现了下面这个等式;第一堆全部是白子=第二堆全部是黑子=第三堆白子+黑子这里指的棋子数份,则第二堆全部黑子为3份,这样就出现了每堆棋子为3份,3堆棋子的总份数自然就出来了;而第三堆黑子占了2份,白子自然就只有3—2=1份了;第一堆换成了全部白子,所以白子总共是几份也可求出;最后去解决白子占全部棋子的几分之几就非常容易了;十一、对应思路分数、百分数应用题的特点是一个数量对应着一个分率,也就是一个数量相当于单位“1”的几分之几,这种关系叫做对应关系;找对应关系的思路,我们把它叫做对应思路;例1 有一块菜地和一块麦地,菜地的一半和麦地的三分之一放在一起是91公亩,麦地的一半和菜地的三分之一放在一起是84公亩,那么,菜地是几公亩分析用对应思路分析：这是一道复杂的分数应用题,我们不妨用对应思路去思索;如能找出91公亩、84公亩的对应分率,此题就比较容易解决了;但题中有对应分率两个,究竟相当于总公亩数的几分之几呢这是解题的关键;而我们一时还弄不清楚,现将条件排列起来寻找;求出总公亩数后,我们仍未找到菜地或麦地占总公亩数的几分之几,故还不能直接求出菜地或麦地的公亩数;但我们把条件稍作组合,就可以求出分析到这一步,那么再去求菜地有多少公亩,则就变成了一道很简单的分数应用题了;例2 蓄水池有甲、丙两条进水管,和乙、丁两条排水管,要灌满一池水,单开甲管需要3小时,单开丙管需要5小时,要排完一池水,单开乙管顺序,循环各开水管,每次每管开一小时,问多少时间后水开始溢出水池分析用对应思路考虑：本题数量关系复杂,但仍属分数应用题,所以仍可用对应思路寻找解题途径;首先要找出甲、丙两管每小时灌水相当于一池水的几分之几,乙、丁两管每小时排水相当于一池水的几分之几,然后才能计算;通过转化找到了对应分率就容易计算了;假设甲、乙、丙、丁四个水管按顺序各开1小时,共开4小时,池内灌进的水是全池的：也就是20小时以后,池内有水总共是多少时间后水开始溢出水池不就一目了然了吗。
小学数学“解决问题”的教学方法
小学数学“解决问题”的教学方法
小学数学的“解决问题”教学方法是指教师在教学过程中，通过设计灵活多样的教学活动，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
下面我们将介绍几种常用的解决问题的教学方法。
一、启发式教学法
启发式教学法是指教师通过给学生一些启示的问题，引导他们进行思考，并在解决问题后再给予肯定和补充性指导。
这种教学方法可以培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。
在教学中可以给学生提出一些开放性问题，引导他们发现规律，并在搜索解法的过程中培养他们的创造力和发现能力。
二、启发教学法
启发教学法是指教师通过使用一些具体的例子或图片来展示问题，引发学生的兴趣，并启发他们去解决问题。
在教学中可以使用一些有趣的情境或物质，让学生亲身体验并解决问题，激发他们的学习兴趣和动力。
三、合作学习法
合作学习法是指学生在小组内合作解决问题的教学方法。
在这种教学方法中，学生可以互相讨论和交流解决问题的方法和思路，共同努力解决问题。
这种教学方法可以提高学生的思维能力和合作能力，并培养他们的解决问题的能力。
通过以上几种解决问题的教学方法，可以培养小学生的数学思维能力和解决问题的能力。
教师在教学中可以根据具体的情况灵活运用这些方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
教师还应该关注每个学生的学习情况，给予个体化的指导和帮助，提高他们的解决问题的能力。
数学解决问题的方法
数学解决问题的方法数学作为一门科学，被广泛应用于解决现实生活中的各种问题。
在数学的世界里，有许多不同的方法可以用来解决问题，而这些方法通常可以归纳为几种基本的思维方式。
本文将介绍数学解决问题的几种常用方法，并探讨它们的应用。
一、拆解问题拆解问题是数学解决问题的常用方法之一。
当我们面对一个复杂的问题时，可以尝试将其分解为更简单的子问题，然后逐一解决这些子问题。
这样做不仅可以使问题更易于理解和解决，还可以减少解决问题的难度。
拆解问题的方法有很多，比如将问题转化为已知的数学模型、利用图表和表格来分析问题的各个方面等等。
通过拆解问题，我们可以更好地理清问题的思路，为解决问题打下坚实的基础。
二、建立数学模型建立数学模型是解决实际问题的重要方法。
数学模型是对现实问题的抽象和简化，通过使用数学语言和符号来描述问题的特征和规律。
建立数学模型可以使问题更具体化、更易于进行分析和求解。
对于不同类型的问题，可以采用不同的数学模型，比如线性模型、非线性模型、概率模型等等。
通过建立数学模型，我们可以将实际问题转化为数学问题，从而运用数学的方法来解决。
三、利用数学工具和技巧数学工具和技巧是数学解决问题的重要辅助手段。
在解决具体问题时，我们可以运用各种数学工具和技巧，比如代数运算、几何图形、概率统计等等。
这些工具和技巧可以帮助我们更好地理解问题、分析问题和求解问题。
例如，在计算问题中，我们可以运用四则运算、方程求解等代数技巧；在几何问题中，我们可以利用图形和几何原理来推导和证明结论。
通过灵活运用数学工具和技巧，我们能够更高效地解决问题。
四、思维的创新与突破数学解决问题需要具备创新和突破的思维方式。
有时候，传统的方法可能无法解决复杂或独特的问题，这就需要我们思维的创新和突破。
例如，通过改变问题的观察角度、运用不同的数学理论或方法，我们可以找到更有效的解决方案。
创新和突破的思维方式可以帮助我们发现问题的新颖性和隐藏的规律，从而为解决问题提供新的思路和方法。
《统计》数学教案
《统计》数学教案标题：《统计》数学教案一、教学目标1. 理解统计的基本概念和原理。
2. 掌握数据收集、整理和分析的方法。
3. 能够运用统计知识解决实际问题。
4. 培养学生的逻辑思维能力和数据分析能力。
二、教学内容1. 统计基本概念：总体、样本、参数、统计量等。
2. 数据的收集与整理：普查、抽样调查、频数分布表、频率直方图等。
3. 数据的描述性统计分析：平均数、中位数、众数、极差、标准差等。
4. 参数估计与假设检验：点估计、区间估计、单样本t检验、双样本t检验等。
三、教学方法1. 讲授法：讲解统计的基本概念和原理。
2. 实例法：通过实例解释和应用统计知识。
3. 小组讨论法：组织学生分组讨论，提高他们的合作学习能力和解决问题的能力。
四、教学过程1. 导入新课：以生活中的实例引入统计的概念，激发学生的学习兴趣。
2. 新知讲授：- 介绍统计的基本概念和原理。
- 解释数据收集和整理的方法。
- 讲解描述性统计分析和参数估计的基本方法。
3. 实践操作：设计一些简单的统计问题，让学生自己动手收集和整理数据，并进行分析。
4. 课堂小结：总结本节课的主要内容和重点难点。
5. 作业布置：布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识。
五、教学评价1. 过程评价：观察学生在课堂上的表现，包括参与度、理解程度、解决问题的能力等。
2. 结果评价：通过作业和测验来检查学生对知识的掌握情况。
六、教学反思通过对学生学习效果的反馈，反思自己的教学方法和策略，不断改进和优化教学方案。
一年级数学认识统计
一年级数学认识统计统计是数学中的一个重要概念，它可以帮助我们收集和整理数据，了解事物的特征和规律。
在一年级的数学学习中，认识统计对学生的数学思维和分析能力的培养非常重要。
本文将从实际生活中的例子开始，介绍一年级数学中的统计概念和相关知识。
一、收集数据统计的第一步是收集数据。
在一年级的数学学习中，老师可以引导学生观察和记录周围的事物。
比如，在班级里收集同学们喜欢的水果，可以用一个表格来记录。
通过这样的活动，学生可以学会如何观察和收集数据。
二、整理数据收集到数据后，就需要对数据进行整理。
在一年级的数学学习中，可以使用简单的方式来整理数据。
比如，将收集到的数据放在一张表格中，每一栏表示不同的数据项，每一行表示不同的观察对象。
学生可以根据数据的特点，选择合适的图表来呈现数据。
三、图表的应用在一年级数学学习中，常用的图表包括柱状图和折线图。
学生可以根据数据的特点选择合适的图表来展示数据。
比如，用柱状图来展示同学们喜欢的水果，可以清楚地看到每种水果的数量，并进行比较。
折线图则适合表示一段时间内某个现象的变化趋势。
通过图表的应用，学生可以更好地理解数据背后的意义。
四、数据的分析在一年级数学学习中，学生可以通过数据的分析来提升数学思维和分析能力。
比如，在对同学们喜欢的水果进行统计后，学生可以回答一些问题，如哪种水果最受欢迎，哪种水果最不受欢迎等。
通过这样的分析，学生可以培养对数据的敏感性和思考能力。
五、实际应用统计在日常生活中的应用非常广泛。
在一年级数学学习中，通过一些实际的例子，可以帮助孩子理解统计的应用。
比如，在学生家长会上，可以通过统计家长们的职业和工作地点，制作一个地图，展示不同职业和工作地点的分布情况。
这样的活动可以帮助学生将数学应用到实际生活中，并培养他们的观察和分析能力。
在一年级数学学习中，认识统计是一个重要的内容。
通过观察、记录、整理和分析数据，学生可以培养数学思维和分析能力。
同时，学生也能从中感受到数学在日常生活中的应用，提高他们对数学的兴趣和学习动力。
统计中常用的统计方法
统计学是一门研究数据收集、分析、解释和展示的学科。
在统计学中，有许多常用的统计方法用于分析数据、揭示数据间的关系和得出结论。
以下是一些统计学中常用的统计方法：
1. 描述统计方法：用于总结和描述数据的基本特征，包括均值、中位数、众数、标准差、方差等。
常见的描述统计方法有频数分布、直方图、箱线图等。
2. 推论统计方法：基于样本数据推断总体参数的方法，包括参数估计和假设检验。
常见的推论统计方法有置信区间估计、单样本t 检验、双样本t 检验、方差分析、卡方检验等。
3. 相关分析方法：用于研究变量之间的相关性或关联程度的方法。
常见的相关分析方法有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼等级相关系数、点二列相关系数等。
4. 回归分析方法：用于研究自变量与因变量之间关系的方法。
常见的回归分析方法有线性回归、多元线性回归、逻辑回归等。
5. 方差分析方法：用于分析两个或多个总体均值是否相等的统计方法。
常见的方差分析方法有单因素方差分析、多因素
方差分析等。
6. 聚类分析方法：用于将数据集中的观测值分成不同的组别的方法。
常见的聚类分析方法有K均值聚类、层次聚类等。
7. 因子分析方法：用于研究变量间存在的潜在结构、简化数据的方法。
常见的因子分析方法有主成分分析、因子分析等。
这些是统计学中常用的一些统计方法，它们在不同情境下有着不同的应用和适用范围。
在实际应用中，根据所面临的具体问题和数据特点，选择适当的统计方法是十分重要的。
小学五年级数学学习中的问题解决策略
小学五年级数学学习中的问题解决策略在小学五年级的数学学习中，学生们常常遇到各种问题和困惑。
为了帮助他们更好地解决这些问题，我们需要采取一些策略和方法。
本文将介绍几种有效的数学学习问题解决策略。
一、主动思考在数学学习中，学生首先需要培养主动思考的习惯。
当遇到问题时，他们应该学会停下来思考，并尝试找到解决问题的方法。
可以通过回顾已学知识、运用数学思维等方式，主动思考并找出解决问题的线索。
这种主动思考的习惯能够提高学生的解决问题的能力和自信心。
二、提问与交流在遇到难题时，学生可以向老师和同学请教，提出自己的疑问。
与他人的交流能够帮助学生拓宽思路，从不同的角度看问题，有助于找到解决问题的方法。
此外，与同学们共同讨论问题，也能促进合作学习和互助学习的氛围。
三、多样化的学习资源学生可以利用多样化的学习资源来解决数学学习中的问题。
除了课本和教师提供的学习材料，他们还可以借助互联网、数学学习网站、数学辅导书籍等资源。
通过使用这些资源，学生可以找到更多的例题、习题和解题方法，拓宽自己的数学知识面。
四、创造性解决问题在解决数学问题时，学生应该培养创造性思维。
他们可以尝试不同的解题思路，探索多种解决问题的方法，发挥自己的想象力和创造力。
通过尝试和实践，他们可以更好地理解和掌握数学概念，提高解决问题的能力。
五、反思与总结每次解决一个数学问题后，学生应该进行反思和总结。
他们可以回顾解题的过程，思考自己的解题思路是否合理、方法是否有效。
通过反思和总结，学生可以及时发现自己在解题中存在的问题和不足，并加以改进和提高。
六、培养耐心与毅力数学学习需要付出较高的耐心和毅力。
学生在解决数学问题时，可能会遇到一些困难和挫折。
这时，他们需要保持积极的心态，坚持不懈地思考和尝试，不轻易放弃。
只有通过坚持不断地努力，才能最终解决问题并取得进步。
总之，小学五年级的数学学习中，学生们可以采用主动思考、提问与交流、多样化的学习资源、创造性解决问题、反思与总结以及培养耐心与毅力等策略来解决问题。
人教版五年级数学下册数学小学数学常用的16种思想方法
人教版五年级数学下册数学小学数学常用的16种思想方法数学|小学数学常用的16种思想方法数学基础打得好，对将来的升学也有较大帮助。
但是数学的学习比较抽象，小学生在学习过程中会碰到一些“拦路虎”，掌握一些方法，这些就都不怕了。
1、对应思想方法对应是人们对两个集合因素之间的联系的一种思想方法，小学数学一般是一一对应的直观图表，并以此孕伏函数思想。
如直线上的点(数轴)与表示具体的数是一一对应。
2、假设思想方法假设是先对题目中的已知条件或问题作出某种假设，然后按照题中的已知条件进行推算，根据数量出现的矛盾，加以适当调整，最后找到正确答案的一种思想方法。
假设思想是一种有意义的想象思维，掌握之后可以使要解决的问题更形象、具体，从而丰富解题思路。
3、比较思想方法比较思想是数学中常见的思想方法之一，也是促进学生思维发展的手段。
在教学分数应用题中，教师善于引导学生比较题中已知和未知数量变化前后的情况，可以帮助学生较快地找到解题途径。
4、符号化思想方法用符号化的语言(包括字母、数字、图形和各种特定的符号)来描述数学内容，这就是符号思想。
如数学中各种数量关系，量的变化及量与量之间进行推导和演算，都是用小小的字母表示数，以符号的浓缩形式表达大量的信息。
如定律、公式、等。
5、类比思想方法类比思想是指依据两类数学对象的相似性，有可能将已知的一类数学对象的性质迁移到另一类数学对象上去的思想。
如加法交换律和乘法交换律、长方形的面积公式、平行四边形面积公式和三角形面积公式。
类比思想不仅使数学知识容易理解，而且使公式的记忆变得顺水推舟般自然和简洁。
6、转化思想方法转化思想是由一种形式变换成另一种形式的思想方法，而其本身的大小是不变的。
如几何的等积变换、解方程的同解变换、公式的变形等，在计算中也常用到甲÷乙=甲×1/乙。
7、分类思想方法分类思想方法不是数学独有的方法，数学的分类思想方法体现对数学对象的分类及其分类的标准。
数字问题的解决思路
数字问题的解决思路数字在我们生活中无处不在，我们在日常生活中经常会遇到与数字相关的问题。
解决这些数字问题，需要具备一定的思维能力和解决问题的方法。
本文将探讨数字问题的解决思路，并介绍几种常用的解决方法。
一、问题分析在解决数字问题之前，我们首先需要对问题进行仔细的分析。
具体来说，我们可以从以下几个方面入手：1.理解问题：仔细阅读问题描述，确保对问题的要求和条件有清晰的理解。
2.提取关键信息：从问题描述中提取关键的数字和条件，将其逐一列出，为解决问题做好准备。
3.确定问题类型：根据问题的特点，确定问题所属的具体类型，例如排列组合问题、方程求解问题等。
二、常用解决方法在分析数字问题的基础上，我们可以采用以下几种常用的解决方法：1.列方程法对于一些特定的数字问题，我们可以通过列方程的方式来解决。
具体步骤如下：（1）设定变量：将问题中涉及的未知数设为变量，通常用字母表示。
（2）建立方程：根据问题描述，利用等式将变量与已知数进行关联。
（3）解方程：解出方程中的未知数，得到问题的解答。
例如，如果问题是“某数的三倍加上五等于十”，我们可以设定未知数为x，建立方程3x + 5 = 10，然后解出x的值即可。
2.分类讨论法对于一些复杂的数字问题，我们可以通过分类讨论的方法来解决。
具体步骤如下：（1）将问题分解：将问题拆分成多个简单的情况，分别进行讨论。
（2）解决每个情况：对于每个情况，根据已知条件和问题要求，找出具体解决方法。
（3）综合各种情况：将每个情况的解答综合起来，得出最终问题的解答。
例如，如果问题是“某班级有50名学生，其中男生比例为2:3，女生比例为3:5，求男生和女生人数各是多少”，我们可以分别讨论男生和女生的情况，最后综合得出男生和女生的人数。
3.逻辑推理法尽管数字问题通常涉及具体的计算和推算，但逻辑推理也是解决数字问题的有效方法。
通过推理和合理的假设，我们可以得出数字问题的解答。
具体步骤如下：（1）推理分析：通过观察和推理，从已知条件出发，找出数字问题背后的规律和逻辑关系。
小学五年级数学下册巧解简单的概率统计问题
小学五年级数学下册巧解简单的概率统计问题在小学五年级数学下册中，学生们开始接触概率统计问题。
概率统计是数学中一个重要的分支，它研究的是随机事件的发生规律和可能性的大小。
本文将介绍一些巧解简单的概率统计问题的方法。
一、掷骰子问题掷骰子是经典的概率统计问题，让我们一起来看看如何巧妙解决这类问题。
假设有一个六面骰子，上面的数字分别是1、2、3、4、5、6。
现在我们要回答以下几个问题：1. 如果掷一次骰子，出现数字3的概率是多少？解答：由于骰子有六个面，而数字3只出现在一个面上，所以出现数字3的概率是1/6。
2. 如果掷两次骰子，两次掷出的数字之和为7的概率是多少？解答：我们可以通过列举所有可能的结果来解决这个问题。
一共有36种组合，其中有6种组合的和是7，所以概率是6/36，即1/6。
3. 如果掷三次骰子，三次掷出的数字之和为10的概率是多少？解答：同样地，我们列举所有可能的结果，发现只有27种组合，其中有3种组合的和是10，所以概率是3/36，即1/12。
通过以上例子，我们可以看出，掷骰子的概率统计问题可以简单地通过列举所有可能的结果来解决。
二、抽球问题抽球问题是另一个常见的概率统计问题，让我们尝试巧妙地解决几个抽球问题。
现在假设有一个箱子里装有6个红球和4个蓝球。
我们要回答以下几个问题：1. 如果从箱子中随机抽出一个球，抽出的是红球的概率是多少？解答：总共有10个球，其中6个是红球，所以概率是6/10，即3/5。
2. 如果从箱子中连续抽取两次球，两次都抽到红球的概率是多少？解答：第一次抽出红球的概率是6/10，第二次抽出红球的概率是5/9，所以两次都抽到红球的概率是(6/10) * (5/9)，即1/3。
3. 如果从箱子中连续抽取三次球，三次都抽到红球的概率是多少？解答：同样地，我们可以推算出三次都抽到红球的概率是(6/10) *(5/9) * (4/8)，即1/6。
通过以上例子，我们可以发现在抽球问题中，概率的计算往往涉及到分数的运算，我们可以通过简化计算来得到准确的结果。
五年级数学解决数列问题的方法
五年级数学解决数列问题的方法数列是数学中非常重要的概念，对于五年级的学生来说，学习解决数列问题的方法是至关重要的。
本文将介绍一些解决数列问题的方法，帮助五年级的学生更好地掌握和应用数列的知识。
一、数列的定义与表示数列是按照一定的规律排列的一组数，通常用{ }表示。
数列中的每个数称为项，第一个数称为首项，后续的数称为公差。
数列可以有无限多个项，也可以有有限多个项。
二、等差数列的解决方法等差数列是最常见的数列类型之一，其中每一项与前一项之间的差值都相等。
解决等差数列问题的方法有以下几种：1. 求公差：首先需要找到数列中任意两项之间的差值，即公差。
计算公差的方法是将两项之间的差值除以项数减一。
2. 求首项与末项：如果已知数列的首项和公差，可以通过公式a_n= a_1 + (n-1)d来计算数列的末项。
其中，a_n表示末项，a_1表示首项，n表示项数，d表示公差。
3. 求项数：已知数列的首项、末项和公差，可以通过公式n = (a_n - a_1) / d + 1来计算数列的项数。
4. 求和：如果需要计算数列的和，可以使用等差数列求和公式S_n= (n/2)(a_1 + a_n)来进行计算。
其中，S_n表示数列的和。
三、等比数列的解决方法等比数列是另一种常见的数列类型，其中每一项与前一项之间的比值都相等。
解决等比数列问题的方法有以下几种：1. 求公比：首先需要找到数列中任意两项之间的比值，即公比。
计算公比的方法是将任意一项除以其前一项。
2. 求首项与末项：如果已知数列的首项和公比，可以通过公式a_n= a_1 * r^(n-1)来计算数列的末项。
其中，a_n表示末项，a_1表示首项，r表示公比，n表示项数。
3. 求项数：已知数列的首项、末项和公比，可以通过公式n =log(a_n / a_1) / log(r) + 1来计算数列的项数。
其中，log表示以某个底数为底的对数运算。
4. 求和：如果需要计算数列的和，可以使用等比数列求和公式S_n= a_1 * (1 - r^n) / (1 - r)来进行计算。
数字的思维问题和解题思路
数字的思维问题和解题思路数字是我们生活中不可或缺的一部分，无论是在日常生活还是职业发展中，数字都扮演着重要的角色。
因此，对于数字的思维问题和解题思路的探讨就显得尤为重要。
本文将从不同角度分析数字思维问题的本质和相应的解题思路。
一、数字思维问题及其本质数字思维问题是指与数字相关的逻辑推理、数学计算或统计分析等方面的难题。
这些问题通常涉及到数字之间的关系、模式的发现或者推断等等。
在解决数字思维问题时，我们需要运用逻辑思维和数学知识，从而找到问题的关键点并得出正确的答案。
1. 数字关系问题数字关系问题是指涉及到数字之间的某种规律或者关系的问题。
解决这类问题需要我们具备分析能力和观察力。
例如，给定一组数字9、16、25、36，我们需要通过观察发现它们都是某个完全平方数，即3^2、4^2、5^2、6^2，因此可以得出规律为n^2，其中n代表第n个整数。
2. 数字模式问题数字模式问题是指与数字序列中的模式或者规律相关的问题。
解决这类问题需要我们具备数学推理能力和归纳能力。
例如，给定一个数字序列2、4、8、16，我们可以通过观察发现每个数字都是前一个数字乘以2得到的，因此可以推断下一个数字是32。
3. 数学计算问题数学计算问题是指需要进行数学运算的问题。
解决这类问题需要我们具备基本的数学知识和计算能力。
例如，给定一个算术题3 + 5 x 2，我们需要按照运算法则先计算乘法再计算加法，即3 + 10，最后得出的答案是13。
二、解决数字思维问题的思路解决数字思维问题需要一定的思维方法和解题技巧。
下面将介绍几种常见的解题思路。
1. 分析归纳法分析归纳法是指通过观察和总结问题中的模式和规律，从而得出解题思路和答案。
在解决数字关系问题和数字模式问题时，我们可以通过分析已知信息的特点和规律，然后归纳出问题的解题思路。
例如，在数字关系问题中，我们可以通过观察已知数字之间的关系，然后归纳出规律并应用到其他数字中去。
2. 逻辑推理法逻辑推理法是指通过逻辑思维和推理能力解决问题。
六年级数学复习中的难题攻略与解题思路
六年级数学复习中的难题攻略与解题思路数学作为一门基础学科，对学生的思维能力和逻辑推理能力有着重要的培养作用。
然而，在六年级的数学学习中，难题往往成为学生们的绊脚石。
为了帮助同学们更好地应对数学复习中的难题，本文将分享一些攻略和解题思路，以期提高同学们的解题能力和信心。
一、理清数学知识结构在面对复杂的数学难题时，首先要确保自己对于数学知识的掌握和理解是扎实的。
要想掌握数学，首先要理清数学知识的结构。
六年级的数学知识主要包括整数、分数、小数、代数、图形、数据统计等方面的内容。
理解各个知识点之间的联系和内在规律，对于解决难题起到了关键作用。
二、培养良好的思维习惯和解题方法解题是数学学习的关键环节，良好的思维习惯和解题方法将成为攻克难题的利器。
以下是几种常见的解题思路和方法：1. 分析问题：在解决难题之前，仔细阅读问题，分析和理解问题的要求，弄清题目中涉及的关键概念和信息。
对于较复杂的问题，可以将问题表述清楚，画图表示，辅助理清思路。
2. 运用已知条件：将问题中已知的条件整理出来，思考如何运用这些已知条件来解决问题。
运用已知条件进行推理和演绎可以帮助我们找到解题的突破口。
3. 分情况讨论：对于一些复杂的问题，可以考虑将问题分成几种不同的情况进行讨论。
通过对不同情况的分析，找出共性或规律，以便更好地解题。
4. 约束条件法：在面临一些约束条件的问题时，可以运用这种方法进行求解。
通过列出约束条件，建立方程或不等式，并进行求解，来满足问题中的约束条件。
5. 反证法：对于一些难以直接证明的问题，可以尝试采用反证法的思维方式。
假设问题的反面，通过逻辑推理来证明这种假设的矛盾之处，从而得出问题的解答。
三、注重反思与总结在解题过程中，及时进行反思与总结是提高解题能力的重要环节。
解题不仅仅是得到正确的答案，更重要的是理清思路和解题过程中的关键点，以便在今后的学习中能更好地运用和扩展。
解题后，应该回顾自己的解题思路和方法，思考是否有其他更简洁、高效的解法，从而不断提高自己的解题能力。
方案问题的解题思路有哪些
方案问题的解题思路有哪些方案问题的解题思路有哪些在面对各种方案问题时，我们可以采取多种解题思路来寻找最佳的解决方案。
以下是几种常见的思路：1. 制定明确的目标：首先，我们需要明确问题的核心目标。
通过明确目标，我们能够更好地理解问题的本质，从而有针对性地制定解决方案。
例如，如果目标是提高某个产品的销售量，我们可以通过市场调研、产品创新、营销策略等方面入手，寻找解决方案。
2. 进行全面的调查研究：了解问题的各个方面是解决方案的基础。
我们可以通过调查研究的方式，收集并分析相关数据和信息，从而深入了解问题的背景、原因和影响因素。
只有全面了解问题，才能提出有效的解决方案。
3. 考虑多种备选方案：解决问题需要多角度思考，考虑不同的备选方案。
通过比较和评估每个备选方案的优劣势，我们可以选择最适合的方案来解决问题。
而不同的备选方案可能涉及不同的资源、成本和风险，因此需要综合考虑各种因素。
4. 寻求专家意见和反馈：专家意见是解决方案的重要参考。
我们可以寻求相关领域的专家或其他有经验的人士的意见和反馈，从中获取宝贵的建议和指导。
专家们通常能够提供新的观点和解决思路，帮助我们更好地解决问题。
5. 进行实验和模拟：有时，解决方案的效果难以预测。
在这种情况下，我们可以通过实验和模拟的方式来验证和评估备选方案的可行性和效果。
通过实验和模拟，我们可以更好地了解方案的优点和不足，及时进行调整和改进。
总结起来，解决方案问题的思路包括明确目标、调查研究、备选方案比较、专家意见和实验模拟等。
选择合适的思路，有助于我们在解决问题时更加高效和有针对性，从而取得更好的解决效果。
不同问题可能需要采用不同的思路，因此我们要灵活运用并不断提升解决问题的能力。
四年级数学问题解决技巧轻松解决复杂难题
四年级数学问题解决技巧轻松解决复杂难题在学习数学的过程中，我们常常会遇到一些难题，有时候会感到困惑和无从下手。
然而，只要运用一些问题解决技巧，我们就能够轻松解决这些复杂的难题。
下面将为大家介绍一些四年级数学问题解决技巧，希望能够帮助大家在学习数学时更加游刃有余。
一、理清问题思路在解决数学问题时，首先要理清问题的思路。
我们可以通过以下几个步骤来理清思路：1. 仔细阅读问题：在阅读问题时，要把握问题的要点，理解问题的意思。
可以反复读题，弄清楚问题中给出的信息和要求。
2. 提取关键信息：在阅读问题后，我们需要提取问题中的关键信息，这些信息对于解题是非常有用的。
可以用文字或者图形的方式将关键信息进行梳理和整理。
3. 分析问题类型：根据问题的要求，我们可以初步判断问题的类型是哪一种，例如加减乘除、几何图形等。
这样能够帮助我们选择相应的解题方法。
4. 制定解题计划：在理清问题的思路后，我们需要制定解题计划。
可以根据问题的特点和要求，选择合适的解题方法和步骤，并按照计划一步步解决问题。
二、寻找规律和关联在数学问题中，寻找规律和关联是解决问题的关键。
以下是几种常见的寻找规律和关联的方法：1. 找出数列规律：在涉及到数列的问题中，我们可以通过观察数值之间的关系，找出数列的规律。
例如：2、4、6、8，我们可以发现每个数都比前一个数大2，因此可以推断下一个数是10。
2. 利用相似形状关系：在几何图形的问题中，我们可以根据相似形状的关系来解决问题。
例如：已知一个三角形的底边是4cm，高是6cm，我们需要求面积。
我们可以根据相似三角形的性质知道，底边与高的比例与面积之间的比例是相等的，因此可以得出面积为12平方厘米。
3. 利用倍数关系：在乘法计算中，我们可以利用倍数关系来解决问题。
例如：8个苹果一共需要24元，我们需要计算15个苹果一共需要多少元。
我们可以通过16个苹果需要48元这个倍数关系来解决问题，得出答案为36元。
三年级数学题模式
三年级数学题模式在三年级的数学学习中，教师经常使用各种题目模式来帮助学生巩固知识、培养思维能力和解决问题的能力。
以下是几种常见的三年级数学题模式：一、加减法题目模式1. 相加相减题型例题：小明有3个糖果，他从小红那里得到2个糖果，现在他有几个糖果？解题思路：将小明已有的糖果数量3个，加上从小红那里得到的糖果数量2个，得出结果为5个。
因此，小明现在有5个糖果。
2. 进位借位题型例题：小华有12个苹果，小明偷走了8个苹果，现在小华还剩几个苹果？解题思路：先写出被减数和减数，然后从个位开始相减。
个位上，2减8，不够减，需要向十位借1个。
十位上，1减1等于0。
所以，小华还剩4个苹果。
二、乘除法题目模式1. 单位换算题型例题：班级里有30个学生，每5个学生为一组，请问有几个组？解题思路：由于每5个学生为一组，所以将总学生数30除以每组学生数5，等于6组。
因此，班级里有6个组。
2. 分配问题题型例题：一箱有24个橙子，如果将橙子平均分给4个人，每个人能得到几个橙子？解题思路：将橙子的总数24除以4个人，每个人能得到6个橙子。
因此，每个人能得到6个橙子。
三、几何题目模式1. 判断图形题型例题：下面哪个图形是正方形？(A) □ (B) ◇ (C) ∪ (D) △解题思路：通过观察选项中的图形，可以发现只有选项A是正方形，因为它的四个边相等且相互垂直。
2. 计算周长题型例题：正方形的边长为5cm，它的周长是多少？解题思路：由正方形的性质可知，各边的长度相等。
将正方形的边长5cm乘以4，得到周长是20cm。
四、数据分析题目模式1. 分类统计题型例题：小明家养了5只猫、3只狗和2只兔子，请问他家共有多少只宠物？解题思路：将各类宠物的数量相加，得到小明家共有10只宠物。
2. 图表阅读题型例题：下图表示小明每个月的身高增长情况，根据图表回答问题。
(图表省略)解题思路：通过观察图表，可以得出每个月小明的身高逐渐增长。
根据图表可以回答相关问题。
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解决统计概率问题的几种数学思路统计问题是初中数学的重要问题，也是中考的重点考试内容，那么统计问题有哪些解决思路呢，具体有以下几种思路.一运用统计的概念，定理，公式、法则来解决问题.1.已知一组数据24，25，x，23的平均数是整数，且23＜x＜28，则这一组数据的平均数与方差分别是_______2.一组数据15，13，16，17，14，则这组数据的极差与方差分别是（）A．4，3 B．3，3 C．3，2 D．4，23.已知一组数据x1，x2，x3，x4，……x n的平均数是-x，一组数据y1，y2，y3，y4，……y n的平均数是-y，则一组数据2x1-3y1，2x2-3y2，2x3-3y3，2x4- 3y4，……2x n-3y n的平均数是__________4.已知一组数据x1，x2，x3，x4，……x n的方差是s2，则一组数据x1+9，x2+9，x3+9，x4+9，……x n+9的方差是_________；一组数据3x1-5，3x2-5，3x3-5，3x4-5，……3x n-5的方差是________5.已知一组数据24，25，23，x的平均数是整数，且23＜x＜28，则这组数据的平均数是________6.柜子里有20双鞋，取出左脚穿的一只鞋的概率为（）A 1／20B 1／10C 1／2 D不确定7.有两把不同的锁和三把钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，第三把钥匙不能打开这两把锁．任意取出一把钥匙去开任意一把锁，一次打开锁的概率是（）A．1／2 B．1／3 C．2／9 D．1／6分析:首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果，可求得一次打开锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．8.九年级一班共有48名团员要求参加青年自愿者活动，根据需要，团支部从中随机选择12名参加这次活动，该班团员李明参加的概率是_____9.七年级二班共有50位同学，其中团员9名，他们都积极参加志愿者活动，根据要求，校团委从中随机选择5名团员参加，则该班团员朗朗被选中的概率是________．二结合数形结合思想、分类讨论思想、方程思想等解决问题.统计的基本思想是用样本去估计总体，也就是用有代表性的一部分来估计整体的情况，再由分析得出的整体情况去解决问题，这体现了转化与化归的思想方法.概率论在于阐明客观世界中随机现象的统计规律性,数理统计是研究将这种统计规律性反过来应用于客观世界的各种方法，它们都是以数学形式抽象概括.统计思想是合理收集、整理、分析数据的数学方法，它可以为人们制定决策提供依据.1.一只口袋里放着4个红球、8个黑球和若干个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，并搅匀．（1）取出红球的概率为1／5，白球有多少个？（2）在（1）的条件下，取出黑球的概率是多少？（3）再在原来的袋中放进多少个红球，能使取出红球的概率达到1／3？分析:（1）首先设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x＝4×5，解此方程即可求得答案；（2）由只口袋里放着4个红球、8个黑球和8个白球，这三种球除颜色外没有任何区别，直接利用概率公式求解即可求得答案；（3）首先设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）＝20+y，或2（4+y）＝8+8，继而求得答案．解：（1）设袋中有白球x个．由题意得：4+8+x＝4×5，解得：x＝8，答：白球有8个；（2）取出黑球的概率为：，答：取出黑球的概率是，（3）设再在原来的袋中放入y个红球．由题意得：3（4+y）＝20+y，或2（4+y）＝8+8，解得：y＝4，答：再在原来的袋中放进4个红球，能使取出红球的概率达到．2.老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图（图11-1）和不完整的扇形图（图11-2），其中条形图被墨迹遮盖了一部分.（1）条形图中被遮盖的人数为，被抽査的学生读书册数的中位数为．（2）扇形图中5册所占的圆心角的度数为；（3）在所抽查的学生中随机选一人谈读书感想，求选中读书超过5册的学生的概率；（4）随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将补查数据与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，求最多补查了几人．分析:（1）由6册人数及其所占百分比求出总人数，再根据各册数的人数和等于总人数可得5册人数；（2）用360°乘以对应人数所占比例即可得；（3）根据概率公式用6册、7册人数和除以总人数即可得；（4）由4册和5册的人数和为14，中位数没有改变知总人数不能超过27，据此可得答案．解：（1）∵被调查的总人数为6÷25%＝24（人），∴5册的人数为24﹣（5+6+4）＝9（人），被抽査的学生读书册数的中位数是第12、13个数据的平均数，而第12、13个数据均为5册，∴被抽査的学生读书册数的中位数为5册，故答案为：9人，5册；（2）扇形图中5册所占的圆心角的度数为360°×＝135°，故答案为：135°；（3）选中读书超过5册的学生的概率为＝；（4）∵4册和5册的人数和为14，中位数没有改变，∴总人数不能超过27，即最多补查了3人．3.一只不透明的袋子中装有4个质地、大小均相同的小球，这些小球分别标有数字3、4、5、x ．甲、乙两人每次同时从袋中各随机摸出1个球，并计算摸出的这2个小球上数字之和，记录后都将小球放回袋中搅匀，进行重复实验．实验数据如下表解答下列问题：（1）如果实验继续进行下去，根据上表数据，出现“和为8”的频率将稳定在它的概率附近．估计出现“和为8”的概率是 ．（2）如果摸出的这两个小球上数字之和为9的概率是，那么x 的值可以取7吗？请用列表法说明理由；如果x 的值不可以取7，请写出一个符合要求的x 值．分析：（1）根据实验次数越大越接近实际概率求出出现“和为8”的概率即可；（2）根据小球分别标有数字3、4、5、x ，用列表法或画树状图法说明当x ＝7时，得出数字之和为9的概率，即可得出答案． 解：（1）利用图表得出：实验次数越大越接近实际概率，所以出现“和为8”的概率是0.33．（2）当x ＝7时，则两个小球上数字之和为9的概率是：＝，故x 的值不可以取7，∵出现和为9的概率是三分之一，即有3种可能，∴3+x ＝9 或 5+x ＝9 或 4+x ＝9解得 x ＝4，x ＝5，x ＝6，故x 的值可以为4，5，6其中一个．4.某厂生产A ，B 两种产品，其单价随市场变化而做相应调整，营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表及不完整的折线图：并求得了A 产品三次单价的平均数和方差： 9.5=A x ；()()()[]150439.55.69.52.59.56312222=-+-+-=A S (1)补全图13中B 产品单价变化的折线图，B 产品第三次的单价比上一次的单价降低了 %；(2)求B 产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；(3)该厂决定第四次调价，A 产品的单价仍为6.5元/件，B 产品的单价比3元/件上调m%(m>0)，使得A 产品这四次单价的中位数是B 产品四次单价中位数的2倍少1，求m 的值。
分析:（1）根据题目提供数据补充折线统计图即可；（2）分别计算平均数及方差即可；（3）首先确定这四次单价的中位数，然后确定第四次调价的范围，根据“A 产品这四次单价的中位数是B 产品四次单价中位数的2倍少1”列式求m 即可．解：（1）如图2所示：B 产品第三次的单价比上一次的单价降低了＝25%，（2）＝（3.5+4+3）＝ 3.5，＝＝，∵B 产品的方差小，∴B 产品的单价波动小；（3）第四次调价后，对于A 产品，这四次单价的中位数为＝；对于B 产品，∵m ＞0，∴第四次单价大于3，∵﹣1＞，∴第四次单价小于4，∴×2﹣1＝，∴m ＝25．5.如图1，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4．如图2，正方形ABCD 顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从圈A 起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D ；若第二次掷得2，就从D 开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B ；…设游戏者从圈A 起跳．（1）嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A 的概率P 1；（2）淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A 的概率P 2，并指出她与嘉嘉落回到圈A 的可能性一样吗？分析：（1）由共有4种等可能的结果，落回到圈A 的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈A 的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．解：（1）∵共有4种等可能的结果，落回到圈A 的只有1种情况，∴落回到圈A 的概率P 1＝；（2）列表得：∵共有16种等可能的结果，最后落回到圈A 的有（1，3），（2，2）（3，1），（4，4），∴最后落回到圈A 的概率P 2＝＝，∴她与嘉嘉落回到圈A 的可能性一样．6.编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分．如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图，之后来了第6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40﹪．（1）求第6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；（2）在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50﹪的学生的概率；（3）最后，又来了第7号学生，也按同样记分规定投了5次．这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数，以及第7号学生的积分．解：(1)6号的积分为5×40%×1=2(分).增补的条形图如图1；(2)∵这6名学生中，有4名学生的命中率高于50%，∴P(命中率高于50%的学生)=32；(3)∵3出现的次数最多，∴这个众数是3.∵7名学生积分的众数是3，∴7号命中3次或没有命中,∴7号的积分是3分或0分.7.从﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5这九个数中，随机抽取一个数，记为a ，求数a 使关于x 的不等式组至少有四个整数解，且关于x的分式方程+＝1有非负整数解的概率分析：不等式组整理后，由不等式组至少有四个整数解确定出a的范围，再由分式方程有正整数解确定出满足条件a的值，进而利用概率公式求得答案即可．解：不等式组整理得：，由不等式组至少有四个整数解，得到a≥﹣3，∴a的值可能为，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，3，4，5，分式方程去分母得：﹣a﹣x+2＝x﹣3，解得：x＝，∵分式方程有非负整数解，∴a ＝5、3、1、﹣3，则这9个数中所有满足条件的a的值有4个，∴P＝．8.有甲、乙两个不透明的布袋，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0、1、2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字﹣1、﹣2、0；先从甲袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋中随机取出一个小球，记录标有的数字为y，确定点M的坐标为（x，y）．（1）用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；（2）求点M（x，y）在函数y＝﹣x2﹣1的图象上的概率；（3）若以点M为圆心，2为半径作⊙M，求⊙M与坐标轴相切的概率．分析:（1）树状图如下图所示；（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣1＝﹣1，故点（0，﹣1）在函数y＝﹣x2﹣1的图象上，同理点（1，﹣2）也在函数图象上，即可求解；（3）当x＝2，y＝﹣1时，以点M为圆心，2为半径作⊙M，与坐标轴相切，同理可得：点（0．﹣2）、（1，﹣2）、（2，﹣2）、（2，0）以及（2，﹣1）共5个点符合条件，即可求解．解：（1）树状图如下图所示：（2）当x＝0时，y＝﹣x2﹣1＝﹣1，故点（0，﹣1）在函数y＝﹣x2﹣1的图象上，同理点（1，﹣2）也在函数图象上，即（0，﹣1）和（1，﹣2），共2个点在函数图象上，故点M（x，y）在函数y＝﹣x2﹣1的图象上的概率为；（3）当x＝2，y＝﹣1时，以点M为圆心，2为半径作⊙M，与坐标轴相切，同理可得：点（0．﹣2）、（1，﹣2）、（2，﹣2）、（2，0）以及（2，﹣1）共5个点符合条件，即⊙M与坐标轴相切的概率为．9.数学老师将本班学生的身高数据（精确到l厘米）交给甲、乙两同学，要求他们各自独立地绘制一幅频数分布直方图．甲绘制的如图①所示，乙绘制的如图②所示．已知身高在170厘米及以上有5位同学，其中一幅图描绘准确．请回答下列问题：（1）请根据信息指出哪幅图有错？（2）该班学生有多少人？（3）甲同学身高为165厘米，他说：“我们班上比我高的人不超过1／4”．他的说法正确吗？说明理由；（4）设该班学生的身高数据的中位数为a，试写出a的值．分析（1）根据身高在170厘米及以上有5位同学可判断出哪位同学错了；（2）将各组的人数相加即可得出答案；（3）计算高于165厘米的人数的频率，就能说明他的说法是正确的；（4）根据中位数的概念计算该班学生身高数据的中位数．解：（1）乙图错误．因为身高在170厘米及以上有5位同学，乙图只有4位．（2）该班学生有10+15+20+10+5＝60人．（3）正确．身高165厘米及以上的人数为15，所以比165厘米高的人不超过1／4．（4）由图①知中位数大于159.5，由图②知中位数小于161.5．且身高为整数，所以中位数是160、160.5或161．10. 王老师将本班的“校园安全知识竞赛”成绩（成绩用s表示，满分为100分）分为5组，第1组：50≤x＜60，第2组：60≤x＜70，…，第5组：90≤x＜100．并绘制了如图所示的频率分布表和频数分布直方图（不完整）．（1）请补全频率分布表和频数分布直方图；（2）王老师从第1组和第5组的学生中，随机抽取两名学生进行谈话，求第1组至少有一名学生被抽到的概率；（3）设从第1组和第5组中随机抽到的两名学生的成绩分别为m、n，求事件“|m﹣n|≤10”的概率．分析:（1）根据第2组的频数与频率列式求出学生总人数，然后求出相应的频数与即可，再根据频率之和等于1解答，然后补全统计图；（2）画出树状图，然后根据概率公式列式计算即可得解；（3）根据组距，只有被抽到的两人都是同一组方可满足|m﹣n|≤10，然后根据概率公式列式计算即可得解．解：（1）学生总人数为：8÷0.16＝50，第1组频数：50×0.04＝2，第3组频数：50×0.4＝20，频数之和为50，频率之和为1；补全频数分布直方图如图所示，频率分布表中需补（从上到下2，20，50）；（2）根据题意画出树状图如下：第1组共2人，将其分别记为a1，a2；第5组共3人，将其分别记为b1，b2，b3；一共有20种情况，第1组至少有一名学生被抽到的情况有14种，故第1组至少有一名学生被抽到的概率为P＝＝；（3）若被抽到的2名学生均来自第1组，其最低分为50，最高分不足60，这样|m﹣n|≤10，符合题意；若抽到的2名学生均来自第5组，其最低分为90，最高分不超过100，这样|m﹣n|≤10，符合题意；若抽到的2名学生一名来自第1组，另一名来自第5组，这样30＜|m﹣n|≤50，不符合题意，由此，被抽到的2名学生来自于同一组，故，事件“|m﹣n|≤10”的概率为P＝＝．。