2019年广东省高考一模数学(理)试题分类汇编：统计与概率(含答案)
广东省2019年高考数学一模试卷(理科)(解析版) (2)
2019年广东省清远市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，已知S15=90，那么a8=（）A．12 B．4 C．3 D．62．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．3．如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（）A．命题p一定是假命题B．命题q一定是假命题C．命题q一定是真命题D．命题q是真命题或假命题4．如图所示的坐标平面的可行域内（包括边界），若使目标函数z=ax+y （a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．B．C．4 D．5．在△ABC中，=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形6．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的（）A．必要不充分条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．充分不必要条件7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．8．若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC 的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形9．过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（）A．4条B．3条C．2条D．1条10．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°11．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段12．已知m、n、s、t∈R*，m+n=3，其中m、n是常数且m＜n，若s+t的最小值是，满足条件的点（m，n）是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）A．x﹣2y+3=0 B．4x﹣2y﹣3=0 C．x+y﹣3=0 D．2x+y﹣4=0一、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是．14．已知数列{x n}满足，且x1+x2+x3+…+x100=1，则lg（x101+x102+…+x200）=．15．已知a=，则展开式中的常数项为．16．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．18．设数列{a n}各项为正数，且a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*）（I）证明：数列{log3（1+a n）}为等比数列；（Ⅱ）令b n=log3（1+a2n﹣1），数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞345成立时n的最小值．19．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．21．已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．22．设a，b∈R，函数，g（x）=e x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．等差数列{a n}中，已知S15=90，那么a8=（）A．12 B．4 C．3 D．6【考点】等差数列的性质．【分析】由题意可得：S15=（a1+a15）=90，由等差数列的性质可得a1+a15=2a8，代入可得答案．【解答】解：因为数列{a n}是等差数列，所以，a1+a15=2a8，则S15=（a1+a15）=15a8，又S15=90，所以，15a8=90，则a8=6．故选：D．【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．2．以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，则椭圆的离心率是（）A．B．C．D．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由题意可得：b=c，所以a=，进而求出椭圆的离心率．【解答】解：由题意可得：以椭圆短轴为直径的圆经过此椭圆的焦点，所以b=c，所以a=，所以离心率e=．故选B．【点评】本题主要考查了椭圆的简单性质．特别是椭圆定义的应用．3．如果命题p∨q是真命题，命题￢p是假命题，那么（）A．命题p一定是假命题B．命题q一定是假命题C．命题q一定是真命题D．命题q是真命题或假命题【考点】复合命题的真假．【分析】根据已知中命题“p或q”是真命题，命题“非p”是假命题，易根据复合命题真假的真值表，判断出命题p与命题q的真假，进而得到答案．【解答】解：∵命题“p或q”真命题，则命题p与命题q中至少有一个命题为真命题，又∵命题“非p”也是假命题，∴命题p为真命题．故命题q为可真可假．故选D【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，其中熟练掌握复合命题真值表是解答本题的关键．4．如图所示的坐标平面的可行域内（包括边界），若使目标函数z=ax+y （a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则a的值为（）A．B．C．4 D．【考点】简单线性规划．【分析】化目标函数为直线方程的斜截式，结合使目标函数z=ax+y （a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，可知直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，由斜率相等求得a值．【解答】解：如图，化目标函数z=ax+y（a＞0）为y=﹣ax+z，要使目标函数z=ax+y（a＞0）取得最大值的最优解有无穷多个，则直线y=﹣ax+z与图中AC边所在直线重合，即﹣a=，∴a=．故选：B．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．5．在△ABC中，=，则△ABC是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰或直角三角形D．等边三角形【考点】三角函数中的恒等变换应用．【分析】利用正弦定理把题设等式中的边转化成角的正弦，进而化简整理求得sin2A=sin2B，进而推断出A=B或A+B=90°，进而可推断出三角形的形状．【解答】解：由正弦定理可得=∵=∴=，求得sinAcosA=sinBcosB即sin2A=sin2B∴A=B或2A+2B=180°，A+B=90°∴三角形为等腰或直角三角形．故选C【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角形形状的判断．解题的关键是通过正弦定理把边转化为角的问题，利用三角函数的基础公式求得问题的解决．6．“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的（）A．必要不充分条件B．既不充分也不必要条件C．充要条件D．充分不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由题意得：命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题；命题若a+b≠3则≠1或b≠2是真命题；可得答案．【解答】解：由题意得：∵命题若a≠1或b≠2则a+b≠3与命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题∴判断命题若a≠1或b≠2则a+b≠3的真假只要判断：命题若a+b=3则a=1且b=2互为逆否命题的真假即可因为命题若a+b=3则a=1且b=2显然是假命题所以命题若a≠1或b≠2则a+b≠3是假命题∴a≠1或b≠2推不出a+b≠3所以a≠1或b≠2推不出a+b≠3同理若a=1且b=2则a+b=3是真命题∴命题若a+b≠3则a≠1或b≠2是真命题∴a+b≠3⇒a≠1或b≠2“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件．故选：A．【点评】判断充要条件时可以先判断某些命题的真假，当命题的真假不易判断时可以先判断原命题的逆否命题的真假（原命题与逆否命题的真假相同）．7．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若=（）A．1 B．﹣1 C．2 D．【考点】等差数列的性质．【分析】充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，由等差数列的性质可得a1+a9=2a5，a1+a5=2a3，∴====1，故选A．【点评】本题主要考查等差数列的性质、等差数列的前n项和公式以及等差中项的综合应用，已知等差数列{a n}的前n项和为S n，则有如下关系S2n﹣1=（2n﹣1）a n．8．若A（1，﹣2，1），B（4，2，3），C（6，﹣1，4），则△ABC 的形状是（）A．不等边锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等边三角形【考点】向量在几何中的应用；平面向量数量积的运算．【分析】求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．【解答】解：，，得A为锐角；，得C为锐角；，得B为锐角；所以为锐角三角形故选项为A【点评】本题考查向量数量积的应用：据数量积的正负判断角的范围．9．过双曲线的一个焦点作直线交双曲线于A、B两点，若|AB|=4，则这样的直线有（）A．4条B．3条C．2条D．1条【考点】双曲线的简单性质．【分析】当直线与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有两条，当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长=4，若|AB|=4，则这样的直线l有且仅有1条，数形结合即可．【解答】解：如图：当直线l与双曲线左右各有一个交点时，弦长|AB|最小为实轴长2a=2，当直线l与双曲线的一支有两个交点时，弦长|AB|最小为通径长=4根据双曲线的对称性可知，若|AB|=4，则当直线与双曲线左右各有一个交点时，这样的直线可有两条，当直线与双曲线的一支有两个交点时，这样的直线只有1条，所以若|AB|=4，则这样的直线有且仅有3条，故选：B【点评】本题考查了双曲线的几何性质，特别是直线与双曲线相交时弦长的几何性质，在平时的学习中注意积累一些结论，对解决此类选择题很有好处．10．已知A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），则向量与的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】空间向量的夹角与距离求解公式．【分析】由题意可得：，进而得到与||，||，再由cos＜，＞=可得答案．【解答】解：因为A（2，﹣5，1），B（2，﹣2，4），C（1，﹣4，1），所以，所以═0×（﹣1）+3×1+3×0=3，并且||=3，||=，所以cos＜，＞==，∴的夹角为60°故选C．【点评】解决此类问题的关键是熟练掌握由空间中点的坐标写出向量的坐标与向量求模，以及由向量的数量积求向量的夹角，属于基础试题11．设定点F1（0，﹣3）、F2（0，3），动点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+（a＞0），则点P的轨迹是（）A．椭圆B．线段C．不存在D．椭圆或线段【考点】轨迹方程．【分析】由基本不等式可得a+≥6，当a+=6 时，点P满足|PF1|+|PF2|=|F1F2|，P的轨迹是线段F1F2；a+＞6时，点P满足|PF1|+|PF2|为常数，且大于线段|F1F2|的长，P的轨迹是椭圆．【解答】解：∵a＞0，∴a+≥2=6．当a+=6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+=|F1F2|得，点P的轨迹是线段F1F2．当a+＞6=|F1F2|时，由点P满足条件|PF1|+|PF2|=a+＞|F1F2|得，点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆．综上，点P的轨迹是线段F1F2 或椭圆，故选D．【点评】本题考查椭圆的定义，基本不等式的应用，体现了分类讨论的数学思想，确定 a +的范围是解题的关键．12．已知m 、n 、s 、t ∈R *，m +n=3，其中m 、n 是常数且m ＜n ，若s +t 的最小值 是，满足条件的点（m ，n ）是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（ ）A ．x ﹣2y +3=0B ．4x ﹣2y ﹣3=0C ．x +y ﹣3=0D ．2x +y ﹣4=0 【考点】椭圆的简单性质．【分析】由已知得（s +t ）（）的最小值 是，即（s +t ）（）=m +n +，满足时取最小值，得m=1，n=2．设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由中点从坐标公式知x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，把A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）分别代入4x 2+y 2=16，得，两式相减得2（x 1﹣x 2）+（y 1﹣y 2）=0，求得k 即可【解答】解：∵sm 、n 、s 、t 为正数，m +n=3，，s +t 的最小值 是，∴（s +t ）（）的最小值 是，∴（s +t ）（）=m +n +，满足时取最小值，此时最小值为m +n +2=3+2，得：mn=2，又：m +n=3，所以，m=1，n=2．设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入4x2+y2=16，得两式相减得2（x1﹣x2）+（y1﹣y2）=0，∴k=．∴此弦所在的直线方程为y﹣2=﹣2（x﹣1），即2x+y﹣4=0．故选：D．【点评】本题考查了椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用，属于基础题．一、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱，初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱，与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给若干人，第一人给3钱，第二人给4钱，第三人给5钱，以此类推，每人比前一人多给1钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每人分得100钱，问有多少人？则题中的人数是195．【考点】进行简单的合情推理．【分析】由题意，给每个人的钱数组成首项为3，公差为1的等差数列，由此求出等差数列的前n项和，列出方程求解．【解答】解：设共有n人，根据题意得；3n+=100n，解得n=195；∴一共有195人．故答案为：195．【点评】本题考查了等差数列的通项公式与前n项和的应用问题，也考查了方程思想的应用问题，是基础题目．14．已知数列{x n}满足，且x1+x2+x3+…+x100=1，则lg（x101+x102+…+x200）=100．【考点】对数的运算性质．【分析】法一：由已知得，，从而得到x101+x102+…+x200=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）．法二：由已知得，从而利用等比数列的性质，可知，x101+x102+…+x200=10100（x1+x2+x3+…+x100）=10100，由此能求出lg（x101+x102+…+x200）．【解答】解法一：∵数列{x n}满足=lg（10x n），∴，∵x1+x2+x3+…+x100=1，∴=1，∴，，∴x101+x102+…+x200==10100，则lg（x101+x102+…+x200）=lg10100=100．故答案为：100．解法二：∵数列{x n}满足=lg（10x n），∴，∵x1+x2+x3+…+x100=1，∴等比数列的性质，可知，x101+x102+...+x200=10100（x1+x2+x3+ (x100)=10100，∴lg（x101+x102+…+x200）=lg10100=100．故答案为：100．【点评】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．15．已知a=，则展开式中的常数项为﹣160．【考点】二项式系数的性质；定积分．【分析】根据定积分运算求出a的值，再利用二项式定理求展开式中的常数项．【解答】解：a==arcsinx=，∴[（a+2﹣）x﹣]6=，其展开式的通项公式为T r+1=（2x）6﹣r=（﹣1）r26﹣r x6﹣2r；令6﹣2r=0，解得r=3；∴展开式中常数项为（﹣1）323=﹣160．故答案为：﹣160．【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档题．16．设x，y满足不等式组，若z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，则实数a的取值范围为[﹣2，1] ．【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由z=ax+y得y=﹣ax+z，直线y=﹣ax+z是斜率为﹣a，y 轴上的截距为z的直线，作出不等式组对应的平面区域如图：则A（1，1），B（2，4），∵z=ax+y的最大值为2a+4，最小值为a+1，∴直线z=ax+y过点B时，取得最大值为2a+4，经过点A时取得最小值为a+1，若a=0，则y=z，此时满足条件，若a＞0，则目标函数斜率k=﹣a＜0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≥k BC=﹣1，即0＜a≤1，若a＜0，则目标函数斜率k=﹣a＞0，要使目标函数在A处取得最小值，在B处取得最大值，则目标函数的斜率满足﹣a≤k AC=2，即﹣2≤a＜0，综上﹣2≤a≤1，故答案为：[﹣2，1]．【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据条件确定A，B是最优解是解决本题的关键．注意要进行分类讨论，是中档题．二、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acosB=bcosA．（1）判断△ABC的形状；（2）求sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围．【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【分析】（1）由已知等式结合正弦定理化边为角，再由两角差的余弦求得sin（A﹣B）=0，可得A=B，则△ABC为等腰三角形；（2）把sin（2A+）﹣2cos2B利用两角和的正弦及降幂公式化简，得到关于A的三角函数，再由A的范围求得答案．【解答】解：（1）由acosB=bcosA，结合正弦定理可得，sinAcosB=cosAsinB，即sinAcosB﹣cosAsinB=0，得sin（A﹣B）=0，∵A，B∈（0，π），∴A﹣B∈（﹣π，π），则A﹣B=0，∴A=B，即△ABC为等腰三角形；（2）sin（2A+）﹣2cos2B=sin2Acos+cos2Asin﹣2cos2B=﹣（1+cos2B）=﹣cos2A﹣1==．∵0，∴，则．即sin（2A+）﹣2cos2B的取值范围是．【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了正弦定理和余弦定理在求解三角形中的应用，是中档题．18．设数列{a n}各项为正数，且a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*）（I）证明：数列{log3（1+a n）}为等比数列；（Ⅱ）令b n=log3（1+a2n﹣1），数列{b n}的前n项和为T n，求使T n＞345成立时n的最小值．【考点】数列的求和；等比数列的通项公式．【分析】（I）由a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），可得a2=4a1，a2=，解得a1，a2．由于a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），即可证明．（II）由（I）可得：log3（1+a n）=2n﹣1，可得b n=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，可得数列{bn}的前n项和为T n，代入化简即可得出．【解答】（I）证明：∵a2=4a1，a n+1=+2a n（n∈N*），∴a2=4a1，a2=，解得a1=2，a2=8．∴a n+1+1=+2a n+1=，两边取对数可得：log3（1+a n+1）=2log3（1+a n），∴数列{log3（1+a n）}为等比数列，首项为1，公比为2．（II）解：由（I）可得：log3（1+a n）=2n﹣1，∴b n=log3（1+a2n﹣1）=22n﹣2=4n﹣1，∴数列{b n}的前n项和为T n==．不等式T n＞345，化为＞345，即4n＞1036．解得n＞5．∴使T n＞345成立时n的最小值为6．【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、对数的运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．某商场进行有奖促销活动，顾客购物每满500元，可选择返回50元现金或参加一次抽奖，抽奖规则如下：从1个装有6个白球、4个红球的箱子中任摸一球，摸到红球就可获得100元现金奖励，假设顾客抽奖的结果相互独立．（Ⅰ）若顾客选择参加一次抽奖，求他获得100元现金奖励的概率；（Ⅱ）某顾客已购物1500元，作为商场经理，是希望顾客直接选择返回150元现金，还是选择参加3次抽奖？说明理由；（Ⅲ）若顾客参加10次抽奖，则最有可能获得多少现金奖励？【考点】古典概型及其概率计算公式；概率的基本性质．【分析】（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，由此能求出顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率．（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4），由此能求出商场经理希望顾客参加抽奖．（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）．恰好k次中奖的概率为，k=0，1，…，10．由此能求出顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．【解答】解：（Ⅰ）因为从装有10个球的箱子中任摸一球的结果共有种，摸到红球的结果共有种，所以顾客参加一次抽奖获得100元现金奖励的概率是．…（Ⅱ）设X表示顾客在三次抽奖中中奖的次数，由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则X﹣B（3，0.4），所以E（X）=np=3×0.4=1.2．由于顾客每中奖一次可获得100元现金奖励，因此该顾客在三次抽奖中可获得的奖励金额的均值为1.2×100=120元．由于顾客参加三次抽奖获得现金奖励的均值120元小于直接返现的150元，所以商场经理希望顾客参加抽奖．…（Ⅲ）设顾客参加10次抽奖摸中红球的次数为Y．由于顾客每次抽奖的结果是相互独立的，则Y﹣B（10，0.4）．于是，恰好k次中奖的概率为，k=0，1， (10)从而，k=1，2， (10)当k＜4.4时，P（Y=k﹣1）＜P（Y=k）；当k＞4.4时，P（Y=k﹣1）＞P（Y=k），则P（Y=4）最大．所以，最有可能获得的现金奖励为4×100=400元．于是，顾客参加10次抽奖，最有可能获得400元的现金奖励．…【点评】本题主要考查随机事件的概率、古典概型、二项公布、数学期望等基础知识，考查运算求解能力、应用意识，考查运用概率与统计的知识与方法分析和解决实际问题的能力．20．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF折起，使A，C两点重合于P．（1）求证：平面PBD⊥平面BFDE；（2）求二面角P﹣DE﹣F的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）推导出PD⊥PF，PD⊥PE，则PD⊥平面PEF，由此能证明平面PBD⊥平面BFDE．（2）连结BD、EF，交于点O，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，由此能求出二面角P﹣DE﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）由正方形ABCD知，∠DCF=∠DAE=90°，EF∥AC，BD⊥AC，EF⊥BD，∵点E，F分别是AB，BC的中点．将△AED，△DCF分别沿DE，DF 折起，使A，C两点重合于P．∴PD⊥PF，PD⊥PE，∵PE∩PF=P，PE、PF⊆平面PEF．∴PD⊥平面PEF．又∵EF⊂平面PEF，∴PD⊥EF，又BD∩PD=D，∴EF⊥平面PBD，又EF⊂平面BFDE，∴平面PBD⊥平面BFDE．解：（2）连结BD、EF，交于点O，连结OP，∵平面PBD⊥平面BFDE，平面PBD∩平面BFDE=BD，又EF⊥平面PBD，PO，BD⊂平面PBD，∴PO⊥EF，BD⊥EF，∵PD⊥平面PEF，以O为原点，OF为x轴，OD为y轴，过O作平面BFDE的垂线为z 轴，建立空间直角坐标系，设在正方形ABCD的边长为2，则DO=，=，PE=PF=1，PD=2，PO==，∴P（0，，），D（0，，0），E（﹣，0，0），F（，0，0），=（﹣，﹣，0），=（0，﹣，），=（，﹣，0），设平面PDE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，则=（﹣3，1，2），平面DEF的法向量=（0，0，1），设二面角P﹣DE﹣F的平面角为θ，则cosθ===．∴二面角P﹣DE﹣F的余弦值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．21．已知直线l的方程为y=x+2，点P是抛物线y2=4x上到直线l距离最小的点，点A是抛物线上异于点P的点，直线AP与直线l交于点Q，过点Q与x轴平行的直线与抛物线y2=4x交于点B．（Ⅰ）求点P的坐标；（Ⅱ）证明直线AB恒过定点，并求这个定点的坐标．【考点】直线与抛物线的位置关系．【分析】（Ⅰ）利用点到直线的距离公式，求出最小值，然后求点P的坐标；（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．通过当y1=﹣2时，求出直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，求出直线AP的方程，然后求出Q的坐标，求出B点的坐标，解出直线AB的斜率，推出AB的方程，判断直线AB恒过定点推出结果．【解答】解：（Ⅰ）设点P的坐标为（x0，y0），则，所以，点P到直线l的距离．当且仅当y0=2时等号成立，此时P点坐标为（1，2）．…（Ⅱ）设点A的坐标为，显然y1≠2．当y1=﹣2时，A点坐标为（1，﹣2），直线AP的方程为x=1；当y1≠﹣2时，直线AP的方程为，化简得4x﹣（y1+2）y+2y1=0；综上，直线AP的方程为4x﹣（y1+2）y+2y1=0．与直线l的方程y=x+2联立，可得点Q的纵坐标为．因为，BQ∥x轴，所以B点的纵坐标为．因此，B点的坐标为．当，即时，直线AB的斜率．所以直线AB的方程为，整理得．当x=2，y=2时，上式对任意y1恒成立，此时，直线AB恒过定点（2，2），当时，直线AB的方程为x=2，仍过定点（2，2），故符合题意的直线AB恒过定点（2，2）．…【点评】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合、化归与转化、特殊与一般，分类与整合等数学思想．22．设a，b∈R，函数，g（x）=e x（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．（Ⅰ）求b的值；（Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅲ）若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）内恒成立，求a的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（Ⅰ）求出两个函数的导数，利用函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线．列出方程即可求解b．（Ⅱ）求出导函数f'（x）=，通过﹣1≤a≤1时，当a2＞1时，分别判断导函数的符号，推出函数的单调区间．（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=e x﹣x2﹣2ax﹣1，可得h（0）0．求出h'（x）=e x﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=e x﹣2x﹣2a，求出导数u'（x）=e x﹣2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，求出．考虑的情况，的情况，分别通过函数的单调性以及函数的最值，推出a的范围即可．【解答】（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=e x，由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1．…（Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1﹣a2，当a2≤1时，即﹣1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增，当a2＞1时，，此时若，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增；若，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减；若时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增．…（Ⅲ）令h（x）=g'（x）﹣f'（x）=e x﹣x2﹣2ax﹣1，则h（0）=e0﹣1=0．h'（x）=e x﹣2x﹣2a，令u（x）=h'（x）=e x﹣2x﹣2a，则u'（x）=e x﹣2．当x≤0时，u'（x）＜0，从而h'（x）单调递减，令u（0）=h'（0）=1﹣2a=0，得．先考虑的情况，此时，h'（0）=u（0）≥0；又当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）单调递减，所以h'（x）＞0；故当x∈（﹣∞，0）时，h（x）单调递增；又因为h（0）=0，故当x＜0时，h（x）＜0，从而函数g（x）﹣f（x）在区间（﹣∞，0）内单调递减；又因为g（0）﹣f（0）=0，所以g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立．接下来考虑的情况，此时，h'（0）＜0，令x=﹣a，则h'（﹣a）=e﹣a＞0．由零点存在定理，存在x0∈（﹣a，0）使得h'（x0）=0，当x∈（x0，0）时，由h'（x）单调递减可知h'（x）＜0，所以h（x）单调递减，又因为h（0）=0，故当x∈（x0，0）时h（x）＞0．从而函数g（x）﹣f（x）在区间（x0，0）单调递增；又因为g（0）﹣f（0）=0，所以当x∈（x0，0），g（x）＜f（x）．综上所述，若g（x）＞f（x）在区间（﹣∞，0）恒成立，则a的取值范围是．…【点评】本题主要考查导数的运算、导数在研究函数中的应用、函数的零点等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、创新意识，考查函数与方程、数形结合、分类与整合、化归与转化等数学思想．。
(完整版)2019年广州市一模理科答案
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：① 第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A>， ∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. ……………2分∴()2sin()44f x x ππ=+. ……………3分（2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+== ⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭……………5分∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分∴222222cos 23OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===. ………10分 ∴POQ sin ∠==3……………11分∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴(4,OP OQ ==u u u r u . ……………8分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . ……………10分∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯=……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴直线OP的方程为2y x =，即0x -=. ……………7分 ∴点Q 到直线OP的距离为d ==. ……………9分∵OP =……………11分∴△POQ的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知，()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分（1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“0ξ=”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分 （2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分HF A BCA 1C 1B 1DE整理得 112mn =，712m n +=. 由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 (2)1(0)(1)(3)b P P P P ξξξξ===-=-=-==14， ……………10分∴ξ的数学期望为0(0)1(1)2(2)3(3)E P P P P ξξξξξ=⨯=+⨯=+=+==1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ， ∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，2CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===∴5EH =. (9)A ∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分 在Rt △EHB中，BH ==cos 1ABA∠BH EB ==…13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD 分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===∴5EH =. (9)在Rt △EHB中，5BH ==. ∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D ()02,,2.∴1AA =u u u r ()004,,，1A B =u u ur )14,-，1A D =u u u u r()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由n 10A B u u u r ?，n 10A D u u u u r ?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî 令1y =，则1z x ==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA u u u r=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==u u u u ru u u u r u u u u r n AA n AA nAA ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+Q L ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++L , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222prq+=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. (3)分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, ∴BC BA //u u u r u u u r. (4)分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. (13)分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x xy y -=-，即2111212x y x x y -+=. (5)分∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ...............10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . (11)分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. (5)分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，0Δ>，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. (4)分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) (5)分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=.设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭L122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L . ……………10分令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L ， 则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++L 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++L .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++L ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅L …12分()1212n n n nC C C -=+++L()012102n n n nn n n n n n C C C C C C C -=+++++--L()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nnng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即11kk k x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22k≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+……………12分 122k +=-. ……………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。
年广州市一模理科答案
2019年广州市普通高中毕业班综合测试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ 10．1sin 11．12.38 12．12或7213．8，22n n -+ 14．1116,π⎛⎫⎪⎝⎭15．4 说明：①第13题第一个空填对给2分，第二个空填对给3分． ② 第14题的正确答案可以是：11126k k ,(ππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭Z ). 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．16．（本小题满分12分）（本小题主要考查三角函数的图象与性质、诱导公式、余弦定理、正弦定理、两点间距离公式等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力）（1）解：∵()f x 的最大值为2，且0A >，∴2A =. ……………1分∵()f x 的最小正周期为8， ∴28T πω==，得4πω=. (2)分∴. ……………3分 （2）解法1：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭ (4)分(4)2sin 2sin44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴(4,P Q .∴OP PQ OQ ===……………8分 ∴222222cos 2OP OQ PQPOQ OP OQ+-+-∠===………10分 ∴POQ sin ∠==……………11分∴△POQ的面积为1122S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯= ……………12分解法2：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴(4,OP OQ ==u u u r u . ……………8分∴cos cos ,3OP OQ POQ OP OQ OP OQ⋅∠=<>===u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r u u u r . ……………10分∴POQ sin ∠==……………11分 ∴△POQ的面积为11223S OP OQ POQ sin =∠=⨯⨯⨯= ……………12分解法3：∵(2)2sin 2cos 244f πππ⎛⎫=+==⎪⎝⎭……………4分(4)2sin 2sin 44f πππ⎛⎫=+=-= ⎪⎝⎭ ……………5分∴(4,P Q .∴直线OP的方程为2y x =，即0x -=. ……………7分 ∴点Q 到直线OP的距离为d ==. ……………9分∵OP =……………11分∴△POQ的面积为1122S OP d =⋅=⨯⨯=……………12分17．（本小题满分12分）（本小题主要考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的均值等基础知识，考查数据处理、推理论证、运算求解能力和应用意识，以及或然与必然的数学思想） 解：设“甲做对”为事件A ，“乙做对”为事件B ，“丙做对”为事件C ，由题意知， ()()()12P A P B m P C n ,,===. ……………1分 （1）由于事件“至少有一位学生做对该题”与事件“”是对立的，所以至少有一位学生做对该题的概率是()1310144P ξ-==-=. …………3分 （2）由题意知()()()()1101124P P ABC m n ξ===--=， ……………4分 ()()113224P P ABC mn ξ====， ……………5分整理得 ，712m n +=. 由m n >，解得13m =，14n =. ……………7分（3）由题意知()()()()1a P P ABC P ABC P ABC ξ===++()()()()11111111122224m n m n m n =--+-+-=， ………9分 =14， ……………10分 ∴ξ的数学期望为=1312.…………12分18．（本小题满分14分）（本小题主要考查空间线面位置关系、直线与平面所成的角、二面角等基础知识，考查空间想象、推理论证、抽象概括和运算求解能力，以及化归与转化的数学思想方法） 解法一：（1）证明：延长1A D 交AC 的延长线于点F ，连接BF . ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴C 为AF 的中点. ……………2分 ∵E 为AB 的中点，∴CE ∥BF . ……………3分 ∵BF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分 （2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ，∴1AA ⊥CE . ……………5分 ∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH EH∠===2.∴5EH =. (9)∵CE ∥BF ，CE ⊥平面1A AB ，∴BF ⊥平面1A AB . ……………10分∵AB ⊂平面1A AB ，1A B ⊂平面1A AB ，∴BF ⊥AB ，BF ⊥1A B . ……………11分 ∴1ABA ∠为平面1A BD 与平面ABC 所成二面角（锐角）. ……………12分在Rt △EHB 中，BH ==cos 1ABA ∠.…13分∴平面1A BD 与平面ABC ……………14分 解法二：（1）证明：取1A B 的中点F ，连接DF 、EF .∵E 为AB 的中点，∴EF ∥1AA ，且112EF AA =. ……………1分 ∵CD ∥1AA ，且CD 12=1AA ， ∴EF ∥CD ，EF =CD . ……………2分 ∴四边形EFDC 是平行四边形.∴CE ∥DF . ……………3分 ∵DF ⊂平面1A BD ，CE ⊄平面1A BD ，∴CE ∥平面1A BD . ……………4分（2）解：∵1AA ⊥平面ABC ，CE ⊂平面ABC ， ∴1AA ⊥CE . ……………5分∵△ABC 是边长为2的等边三角形，E 是AB 的中点，∴CE AB ⊥，CE AB == ∵AB ⊂平面1A AB ，1AA ⊂平面1A AB ，1AB AA A =I ，∴CE ⊥平面1A AB . (6)分∴EHC ∠为CH 与平面1A AB 所成的角. (7)分∵CE =在Rt △CEH 中，tan CE EHC EH EH∠==， ∴当EH 最短时，tan EHC ∠的值最大，则EHC ∠最大. ……………8分∴当1EH A B ⊥时，EHC ∠最大. 此时，tan CE EHC EH ∠===∴5EH =. (9)在Rt △EHB中，5BH ==. ∵Rt △EHB ～Rt △1A AB ，∴1EH BHAA AB =，即1552AA =. ∴14AA =. ……………10分 以A 为原点，与AC 垂直的直线为x 轴，AC 所在的直线为y 轴，1AA 所在的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系A xyz -.则()000A ,,，1A ()004,,，B)10,，D ()02,,2.∴1AA =u u u r ()004,,，1A B =u u ur )14,-，1A D =u u u u r()02,,-2.设平面A BD 1的法向量为n =()x y z ,,，由10A B u u u r ?，10A D u u u u r ?，得40220y z y z .ìï+-=ïíï-=ïî令1y =，则1z x==,∴平面A BD 1的一个法向量为n=)11,. ……………12分∵1AA ⊥平面ABC ， ∴1AA u u u r=()004,,是平面ABC 的一个法向量.∴cos 111,⋅==u u u u ru u u u r u u u u r n AA n AA nAA ……………13分 ∴平面1A BD 与平面ABC……………14分 19．（本小题满分14分）（本小题主要考查等比数列的通项公式、数列的前n 项和等基础知识，考查合情推理、化归与转化、特殊与一般的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力） (1) 解：12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+Q L ，∴ 当1n =时，有 11(11)2,a S =-+ 解得 12a =. ……………1分 由12323(1)2n n a a a na n S n ++++=-+L , ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++L , ② ……………2分 ② - ①得: 11(1)(1)2n n n n a nS n S +++=--+. ③ ……………3分 以下提供两种方法：法1：由③式得：11(1)()(1)2n n n n n S S nS n S +++-=--+，即122n n S S +=+; ……………4分∴122(2)n n S S ++=+， ……………5分∵112240S a +=+=≠，∴数列{2}n S +是以4为首项,2为公比的等比数列.∴1242n n S -+=⨯,即1142222n n n S -+=⨯-=-. ……………6分 当2n ≥时, 11(22)(22)2n n nn n n a S S +-=-=---=， ……………7分又12a =也满足上式,∴2nn a =. ……………8分法2：由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得12n n a S +=+. ④ ……………4分当2n ≥时,12n n a S -=+, ⑤ ……………5分 ⑤-④得：12n n a a +=. ……………6分 由12224a a S +=+，得24a =，∴212a a =. ……………7分∴数列{}n a 是以12a =为首项，2为公比的等比数列. ∴2nn a =. ……………8分（2）解：∵p q r ,,成等差数列，∴2p r q +=. ……………9分假设111p q r a a a ,,---成等比数列，则()()()2111p r q a a a --=-， ……………10分即()()()2212121prq--=-，化简得：2222prq+=⨯. （*） ……………11分 ∵p r ≠，∴2222pr q +>=⨯，这与（*）式矛盾，故假设不成立.……13分 ∴111p q r a a a ,,---不是等比数列. ……………14分20．（本小题满分14分）（本小题主要考查椭圆、抛物线、曲线的切线等基础知识，考查数形结合、函数与方程、化归与转化的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力、创新意识）(1) 解法1：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>,依题意: 222222231,4.a ba b ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩解得: 2216,12.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. ……………3分解法2：设椭圆1C 的方程为22221x y a b+=()0a b >>，根据椭圆的定义得1228a AF AF =+=，即4a =， ……………1分∵2c =， ∴22212b a c =-=. ……………2分∴ 椭圆1C 的方程为2211612x y +=. (3)分(2)解法1：设点)41,(211x x B ,)41,(222x x C ，则))(41,(212212x x x x --=， )413,2(211x x BA --=，∵C B A ,,三点共线, ∴BC BA //u u u r u u u r. (4)分∴()()()222211211113244x x x x x x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭, 化简得：1212212x x x x ()+-=. ① ……………5分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2411121x x x x y -=-，即211412x x x y -=. ② 同理，抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为 222412x x x y -=. ③ ……………8分设点),(y x P ，由②③得：=-211412x x x 222412x x x -，而21x x ≠，则 )(2121x x x +=. ……………9分代入②得 2141x x y =， ……………10分则212x x x +=，214x x y =代入 ① 得 1244=-y x ，即点P 的轨迹方程为3-=x y .……………11分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，而点P 又在直线3-=x y 上，……………12分∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. (13)分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法2：设点),(11y x B ,),(22y x C ，),(00y x P ，由24xy =,即214y x ,=得y '=12x . ……………4分 ∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x xy y -=-，即2111212x y x x y -+=. (5)分∵21141x y =， ∴112y x x y -= .∵点),(00y x P 在切线1l 上, ∴10102y x x y -=. ① ……………6分同理， 20202y x x y -=. ② ……………7分 综合①、②得，点),(),,(2211y x C y x B 的坐标都满足方程y x xy -=002. ……………8分∵经过),(),,(2211y x C y x B 的直线是唯一的，∴直线L 的方程为y x xy -=002， ……………9分∵点)3,2(A 在直线L 上， ∴300-=x y . ...............10分 ∴点P 的轨迹方程为3-=x y . (11)分若1212PF PF AF AF +=+ ，则点P 在椭圆1C 上，又在直线3-=x y 上，……12分 ∵直线3-=x y 经过椭圆1C 内一点(3,0),∴直线3-=x y 与椭圆1C 交于两点. ……………13分∴满足条件1212PF PF AF AF +=+ 的点P 有两个. ……………14分解法3：显然直线L 的斜率存在，设直线L 的方程为()23y k x =-+，由()2234y k x x y ,,⎧=-+⎪⎨=⎪⎩消去y ，得248120x kx k -+-=. ……………4分设()()1122B x y C x y ,,,,则12124812x x k x x k ,+==-. (5)分 由24x y =,即214y x ,=得y '=12x . ……………6分∴抛物线2C 在点B 处的切线1l 的方程为)(2111x x x y y -=-，即2111212x y x x y -+=.…7分 ∵21141x y =， ∴211124x y x x =-.同理,得抛物线2C 在点C 处的切线2l 的方程为222124x y x x =-. ……………8分由211222124124x y x x x y x x ,,⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得121222234x x x k x x y k ,.⎧+==⎪⎪⎨⎪==-⎪⎩ ∴()223P k k ,-. ……………10分∵1212PF PF AF AF +=+,∴点P 在椭圆22111612x y C :+=上. ……………11分 ∴()()2222311612k k -+=.化简得271230k k --=.(*) ……………12分 由()2124732280Δ=-⨯⨯-=>, ……………13分可得方程(*)有两个不等的实数根. ∴满足条件的点P 有两个. ……………14分 21．（本小题满分14分）（本小题主要考查二次函数、一元二次不等式、一元二次方程、函数应用、均值不等式等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合、化归与转化的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力、创新意识）（1）解：∵关于x 的不等式()()2211fx m x m <-+-的解集为()1m m ,+，即不等式()22120x a m x m m ++-++<的解集为()1m m ,+， ∴()2212x a m x m m ++-++=()()1x m x m ---.∴()2212x a m x m m ++-++=()()2211x m x m m -+++. ∴()1221a m m +-=-+.∴2a =-. ……………2分(2)解法1:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分方程()2210x k x k m -++-+=（*）的判别式()()222414Δk k m k m =+--+=+. ……………4分①当0m >时，，方程（*）的两个实根为11x ,=<21x ,=> ……………5分则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②当0m <时，由0Δ>,得k <-或k >若k <-1212k x ,+-=<2212k x ,++=<故x ∈()1,+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ没有极值点. ……………7分若k >11x ,=>21x ,=>则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x，有极大值点1x . ……………8分综上所述, 当0m >时，k 取任意实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)解法2:由(1)得()()1f x g x x =-()221111x x m m x x x -++==-+--. ∴()()x g x ϕ=-()1k x ln -()11mx x =-+-()1k x ln --的定义域为()1,+∞.∴()1x ϕ'=-()211m kx x ---()()22211x k x k m x -++-+=-. ……………3分若函数()()x g x ϕ=-()1k x ln -存在极值点等价于函数()x ϕ'有两个不等的零点，且至少有一个零点在()1,+∞上. (4)分 令()x ϕ'()()22211x k x k m x -++-+=-0=,得()221x k x k m -++-+0=, (*)则()()2224140Δk k m k m =+--+=+>,(**) (5)分方程（*）的两个实根为122k x +-=, 222k x ++=.设()h x =()221x k x k m -++-+,①若1211x x ,<>,则()10h m =-<,得0m >,此时,k 取任意实数, (**)成立. 则()21x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()21x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增.∴函数()x ϕ有极小值点2x. ……………6分②若1211x x ,>>,则()10212h m k ,.⎧=->⎪⎨+>⎪⎩得00m k ,.⎧<⎨>⎩又由(**)解得k >k <-故k >……………7分则()11x x ,∈时，()0x ϕ'>；()12x x x ,∈时，()0x ϕ'<；()2x x ,∈+∞时，()0x ϕ'>.∴函数()x ϕ在()11x ,上单调递增，在()12x x ,上单调递减，在()2x ,+∞上单调递增. ∴函数()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x . ……………8分 综上所述, 当0m >时，k 取任何实数, 函数()x ϕ有极小值点2x ；当0m <时，k >()x ϕ有极小值点2x ，有极大值点1x .………9分(其中122k x +-=, 222k x ++=)(2)证法1：∵1m =， ∴()g x =()111x x -+-. ∴()()1111nnn n n g x g x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎡⎤+-+=+-+ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭112212111111n n n n n n n n n n n n n x C x C x C x C x x x x x x ----⎛⎫=+⋅+⋅++⋅+-+ ⎪⎝⎭L122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L . ……………10分令T 122412n n n nn n n C x C x C x ----=+++L ， 则T 122412n n n n n n n n C x C x C x -----=+++L 122412n n n n n n n C x C x C x ----=+++L .∵x 0>， ∴2T ()()()122244122n n n n n n n n n n C xx C x x C x x -------=++++++L ……11分≥121n n n n C C C -⋅+⋅++⋅L …12分()1212n n n nC C C -=+++L()012102n n n nn n n n n n C C C C C C C -=+++++--L()222n=-. ……………13分∴22nT ≥-，即()()1122nnng x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦. ……………14分证法2：下面用数学归纳法证明不等式11nn n x x x x ⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22n≥-. ① 当1n =时，左边110x x x x ⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，右边1220=-=，不等式成立；……………10分② 假设当n k =k (∈N *)时，不等式成立，即22k ≥-，则 11111k k k x x x x +++⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭11111111kk k k k k k x x x x x x x x x x x x ++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111kk k x x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=++-++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦111k k x x --⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ……………11分()22k ≥⋅-+……………12分 122k +=-. ……………13分 也就是说，当1n k =+时，不等式也成立.由①②可得，对∀n ∈N *，()()1122nn n g x g x ⎡⎤+-+≥-⎣⎦都成立. ………14分。
2019年广东省广州市高考数学一模试卷(理科)-解析版
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={x|x2-2x＜0}，B={x|2x＞1}，则（）A. B. C. D.2.已知a为实数，若复数（a+i）（1-2i）为纯虚数，则a=（）A. B. C. D. 23.已知双曲线：的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，则C的离心率为（）A. B. C. D. 34.刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A. B. C. D.5.若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则=（）A. B. 2 C. D. 36.设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，S2m-1=11，则m=（）A. 11B. 10C. 6D. 57.如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h=f（t）的图象大致是（）A.B.C.D.8.（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A. 5B. 10C. 15D. 209.已知函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在，上单调递减，则ω的最大值是（）A. B. C. D. 210.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A.B.C.D.11.已知以F为焦点的抛物线C：y2=4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A. 2B.C.D. 412.已知函数，＞，，的图象上存在关于直线x=1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3=6，S6=54，则a1=______．14.若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a=______．15.已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0-2y0=2，则m的取值范围是______．16.已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC=60°，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，点H在线段OB1上，OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M-C1O1H的体积的最小值为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B=（3a-b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b-a=2，求△ABC的面积．18.如图，在三棱锥A-BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD=，且二面角A-BD-C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19.某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20.已知椭圆：＞＞的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2=1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B两点．求△ABF 的面积的最大值．21.已知函数f（x）=e2x-ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：＜．22.在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．23.已知函数f（x）=|x+a|-|2x-1|．（1）当a=1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：集合A={x|x2-2x＜0}={x|0＜x＜2}，集合B={x|2x＞1}={x|x＞0}，A、A∩B={x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A B={x|x＞0}，故本选项错误；C、A B，故本选项错误；D、A B，故本选项正确；故选：D．首先化简集合，再求交集，并集即可．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】A【解析】解：（a+i）（1-2i）=a+2+（1-2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2=0且1-2a≠0，得a=-2且a≠，即a=-2，故选：A．根据复数的运算法则进行化简，结合复数是纯虚数，进行求解即可．本题主要考查复数的运算以及复数的概念，根据复数是纯虚数建立条件关系是解决本题的关键．3.【答案】C【解析】解：圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心（2，-4），双曲线的一条渐近线为：y=bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x-2）2+（y+4）2=1的圆心，可得2b=4，所以b=2，a=1，则c=，则C的离心率为：．故选：C．求出圆心坐标，代入渐近线方程没去成b，然后求解双曲线的离心率．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．4.【答案】C【解析】解：由几何概型中的面积型可得：=，所以=，即π=，故选：C．由正十二边形的面积与圆的面积公式，结合几何概型中的面积型得：=，所以=，即π=，得解本题考查了正十二边形的面积及几何概型中的面积型，属中档题5.【答案】D【解析】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：=，∴===1•2•+1•2•1=3．故选：D．本题可根据平行四边形法则画出图形找到M点的位置，然后根据两个向量的数量积的性质进行计算．本题主要考查两个向量的数量积的计算，属基础题．6.【答案】C【解析】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m-1-a m2+a m+1=1，则：，解得：a m=1．S2m-1===11，解得：m=6故选：C．直接利用等差数列的性质的应用和等差数列的前n项和公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：等差数列的通项公式的性质的应用，等差数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．7.【答案】B【解析】解：函数h=f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．根据时间和h的对应关系分别进行排除即可．本题主要考查函数与图象的应用，结合函数的变化规律是解决本题的关键．8.【答案】A【解析】解：∵（2-x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2-1）（1+a）5=32，∴a=1，该展开式中x4的系数是2••a-1••a4=10a-5a4=5，故选：A．令x=1，可得展开式的各项系数和，再根据展开式的各项系数和为32，求得a的值，再利用通项公式可得该展开式中x4的系数．本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x 赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：函数f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ=．所以：f（x）=cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k=0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．直接利用函数的奇偶性和单调性，建立不等式组，进一步求出最大值．本题考查的知识要点：函数的奇偶性和单调性的应用，不等式组的解法的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．10.【答案】B【解析】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2=7π．故选：B．画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解表面积即可．本题考查三视图求解几何体的表面积，可知转化思想以及计算能力．11.【答案】B【解析】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x=-1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|=λ|BF|，∴x1+1=λ（x2+1），∴x1=λx2+λ-1∵|y1|=λ|y2|，∴x1=λ2x2，当λ=1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1=λ，x2=，|AB|=（x1+1）+（x2+1）=．∵，∴（λ++2）max=．则弦AB的中点到C的准线的距离d=，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义即条件，求出A，B的中点横坐标，即可求出线段AB的中点到抛物线准线的距离．本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义得到中点到准线的距离，属于中档题．．12.【答案】A【解析】解：当x＞1时，f（x）==x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x=1的对称图象为g（x），则g（x）=f（2-x）=2-x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（-∞，1）上有公共点．∵g′（x）=-1+＜0，∴g（x）在（-∞，1）上单调递减，又f（x）=ln（x+a）在（-∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2-1．故选：A．求出f（x）关于直线x=1对称的函数g（x），则g（x）与f（x）在（-∞，1）上有公共解，根据两函数的单调性列出不等式即可得出a的范围．本题考查了函数零点与单调性的关系，属于中档题．13.【答案】【解析】解：∵S3==6，S6==54，∴=1+q3=9，解得q3=8，则q=2，∴=6，解得a1=故答案为：先利用等比数列的求和公式分别表示出S3及S6，代入已知的等式，两者相除并利用平方差公式化简后，得到关于q的方程，求出方程的解得到q的值即可求出首项此题考查了等比数列的性质，以及等比数列的前n项和公式，熟练掌握公式是解本题的关键．14.【答案】2【解析】解：函数的导数为：f′（x）=a+，f′（1）=a+3，而f（1）=a-3，切线方程为：y-a+3=（a+3）（x-1），因为切线方程经过（2，4），所以4-a+3=（a+3）（2-1），解得a=2．故答案为：2．求出函数的导数，利用切线的方程经过的点求解即可．本题考查函数的导数的应用，切线方程的求法，考查计算能力．15.【答案】（ ，]【解析】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（-m，-2），直线x-2y=2的斜率为，斜截式方程为y=x-1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则点C（-m，-2）必在直线x-2y=2的下方，即-2≤-m-1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（-m，1-2m），可得1-2m≥-1，解得m，故m的取值范围是：（-∞，]．故答案为：（-∞，]．作出不等式组对应的平面区域，要使平面区域内存在点点P（x0，y0）满足x0-2y0=2，则平面区域内必存在一个C点在直线x-2y=2的下方，A在直线是上方，由图象可得m的取值范围．本题主要考查线性规划的基本应用，利用数形结合是解决本题的关键，综合性较强．16.【答案】【解析】解：因为直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC=60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1=，O1B1=，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1=，∵OH=3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B=OB1==，∴B1到O1B的距离d===，∵OH=3HB1，∴H到直线O1B的距离为d=．∴S ===，∴V =S•O1C1==．故答案为：．当M与B重合时△O1HM的面积最小，故三棱锥M-C1O1H的体积最小，求出△O1BH的面积，代入棱锥的体积公式计算即可．考查四面体的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查数形结合思想，是中档题．17.【答案】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B=（3a-b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B=3sin A cos C-sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B=3sin A cos C，∴sin（C+B）=3sin A cos C，…2分∵A+B+C=π，∴sin A=3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C=，…4分∵0＜C＜π，∴sin C==；…6分（2）∵，cos C=，∴由余弦定理：c2=a2+b2-2ab cos C，可得：24=a2+b2-ab，…8分∴（a-b）2+ab=24，…9分∵b-a=2，∴解得：ab=15，…10分∴S△ABC=ab sin C==5…12分【解析】（1）已知等式利用正弦定理化简，再利用诱导公式变形，求出cosC的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值；（2）利用余弦定理及已知可求ab的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．此题考查正弦、余弦定理的综合应用，涉及三角函数中的恒等变换应用，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．18.【答案】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD=∠BCD=90°，∴Rt△ABD=Rt△BCD，∴AD=CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB=P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由已知二面角A-BD-C为120°，∴∠AEC=120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC=，∵△ABC是等边三角形，∴AC=AB，∴AB=，在Rt△ABD中，，∴BD=，∵BD=，∴AD=，∵BD2=AB2+AD2，∴AB=2，∴AE=，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO=60°，∴AO=，AE=1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．【解析】（1）推导出AD=CD，PD⊥AC，PB⊥AC，从而AC⊥平面PBD，由此能证明平面ACD⊥平面BDP．（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，则AE⊥BD，AE=CE，∠AEC为二面角A-BD-C的平面角，由二面角A-BD-C为120°，得∠AEC=120°，由余弦定理得AC=，推导出BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO 是直线AD与平面BCD所成角，由此能求出直线AD与平面BCD所成角的正弦值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19.【答案】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η=2）=，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X=400）=0.4×0.4=0.16，P（X=450）=2×0.4a=0.8a，P（X=500）=2×0.4b+a2=0.8b+a2，P（X=550）=2ab，P（X=600）=b2，（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得a+b=0.6，∴b=0.6-a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤-0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6-a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）=400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2=520-100a，当a=0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．【解析】（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），由此能求出购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列．（2）P（X≤500）=P（X+400）+P（X=450）+P（X=500）=0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b=1，得b=0.6-a，由P（X≤500）≥0.8，得a≥0.4，由b＞0，得a＜0.6，由此能求出X的数学期望E（X）的最大值．本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.【答案】解：（1）由椭圆：＞＞可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2=1与x轴的两个交点坐标为（-1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，-1），根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，故椭圆方程为+y2=1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，则=1，即m2=t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，则△=（2tm）2-4（t2+2）（m2-2）=8＞0，∴y1+y2=-，y1y2=，∴|y1-y2|===，∴△ABF的面积S=|PF|•|y1-y2|=，令f（m）=，m≥1∴f′（m）=，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）=，故△ABF的面积的最大值为【解析】（1）根据根据题意可得b=c=1，故a2=b2+c2=2，即可求出椭圆方程，（2）过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x=ty+m，可得m2=t2+1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2-2=0，根据韦达定理和三角形面积即可表示出S=，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出面积的最大值本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、直线与圆相切的性质、韦达定理、三角形面积计算公式、导数和函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】解：（1）函数的导数f′（x）=2e2x-2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x-2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）=，则h′（x）==，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x=时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）=2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（-∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，＜ln，ln a＞ln，又f′（0）=2＞0，f′（）=2e-a＜0，f′（ln a）=2e2ln a-2a lna=2a（a-ln a）＞0，（易证明a-ln a＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）==0，存在x2∈（，ln a），使得f′（x2）=0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x=x1时，f（x）取得极大值，即M=，由0＜x1＜时，得1-x1＞0，x1≠1-x1，由2-2ax1=0，得=ax1，故M==ax1-ax12=ax1（1-x1）＜a•（）2=，即＜成立．【解析】（1）求函数的导数，利用函数的单调性转化为f′（x）≥0恒成立进行求解．（2）求函数的导数，结合函数极大值的定义，讨论a范围，进行证明即可．本题主要考查导数的应用，结合函数单调性，极值和导数的关系转化为导数问题是解决本题的关键．考查学生的运算和推导能力，综合性较强，难度较大．22.【答案】解：（1）曲线C1的普通方程为y=1-x2（-1≤x≤1），把x=ρcosθ，y=ρsinθ代入ρ（cosθ-a sinθ）=，得直线C2的直角坐标方程为y-ax=，即ax-y+=0，（2）由直线C2：ax-y+=0，知C2恒过点M（0，），由y=1-x2（-1≤x≤1），当时，得x =±1，所以曲线C1过点P（-1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1==，直线MQ的斜率k2==-，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即-，所以a的取值范围为[-，]．【解析】（1）利用平方关系消去参数t可得C1的普通方程，利用x=ρcosθ，y=ρsinθ可得C2的直角坐标方程；（2）根据直线的斜率可得．本题考查了简单曲线的极坐标方程，属中档题．23.【答案】解：（1）函数f（x）=|x+1|-|2x-1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x-1|，可得（x+1+2x-1）（x+1-2x+1）＞0，即3x（x-2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）=|x+a|-|2x-1|=|x+a|-|x-|-|x-|≤|x+a-x+|-0=|a+|，可得f（x）的最大值为|a+|=a+，（a＞0），则a+＜1，解得0＜a＜．【解析】（1）运用两边平方和平方差公式，可得不等式的解集；（2）由题意可得1＞f（x）max，由绝对值不等式的性质可得f（x）的最大值，解不等式可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题的运用，考查运算能力，属于基础题．。
2019年广东普通高等学校招生统一考试数学试卷(附解答)
2019年广东普通高等学校招生统一考试数 学 试 题说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分．考试时间120分钟.三角函数的积化和差公式)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=)]cos()[sin(21cos cos βαβαβα-++=)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=正棱台、圆台的侧面积公式S台侧=21(c ′+c )l其中c ′、c 分别表示上、下底面周长，lV=h S S S S )(31+'+'其中S ′、S 分别表示上、下底面积，h 表示高．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式31--x xA ．｛ｘ｜ｘ＜１｝B ．｛ｘ｜ｘC ．｛ｘ｜ｘ＜１或ｘ＞３｝D ．｛ｘ｜１＜ｘ＜３｝2．若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3π Ｂ．３3π6πＤ．９π3．极坐标方程ρ２ｃｏｓ２θA B C ．椭圆 D4．若定义在区间(－１，０)内的函数ｆ（ｘ）＝ｌｏｇ２ａ（ｘ＋1)满足ｆ（ｘ）＞0，则ａA ．（０，21） 21] 21，＋∞） Ｄ．（０，＋∞） 5．已知复数ｚ＝i 62+，则ａｒｇZ1是A ．3πＢ．35π Ｃ．6π611π6．函数ｙ＝２－ｘ＋１（ｘ＞０）A ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘＣ．ｙ＝ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２）Ｄ．ｙ＝－ｌｏｇ２11-x ，ｘ∈（１，２]7．若０＜α＜β＜4π，ｓｉｎα＋ｃｏｓα＝ａ，ｓｉｎβ＋ｃｏｓβ＝ｂ，则A ．ａ＞ｂ Ｂ．ａ＜ｂａｂ＜１ ａｂ＞28．在正三棱柱ABC —A １Ｂ１Ｃ１中，若ＡＢ＝2ＢＢ１，则AB １与Ｃ１Ｂ所成的角的大小A ．60° 4５° 120°9．设ｆ（ｘ）、ｇ（ｘ①若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ②若ｆ（ｘ）单调递增，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ③若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递增，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘ ④若ｆ（ｘ）单调递减，ｇ（ｘ）单调递减，则ｆ（ｘ）－ｇ（ｘA ． ①③10．对于抛物线ｙ２＝４ｘ上任意一点Q ，点P (a ,0)都满足｜ＰＱ｜≥｜ａ｜，则a 的A ．（－∞,０）B ．（－∞,２）C ．［０,２］D ．（０,11记三种盖法屋顶面积分别为Ｐ１、Ｐ２、Ｐ３．若屋顶斜面与水平面所成的角都是α，则A ．P ３＞P ２＞P １ P ３＞P ２＝P １P ３＝Ｐ２＞Ｐ１ Ｄ．P ３＝P ２＝P １12．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联．连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递.则单位时间内传递的最大信息量为A Ｂ．２４(非选择题 共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上)13.已知甲、乙两组各有8人，现从每组抽取4人进行计算机知识竞赛，比赛人员的组 成共有 种可能(用数字作答)14．双曲线116922=-y x 的两个焦点为Ｆ１、Ｆ２，点P 在双曲线上，若ＰＦ１⊥ＰＦ２，则点P 到ｘ轴的距离为15．设｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，Ｓｎ是它的前ｎ项和．若｛Ｓｎ｝是等差数列，则ｑ＝16．圆周上有２ｎ个等分点(ｎ＞１)，以其中三个点为顶点的直角三角形的个数为 三、解答题(本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)求函数ｙ＝（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ的最小正周期． 18．(本小题满分12分)已知等差数列前三项为ａ，４，３ａ，前ｎ项的和为Ｓｎ，Ｓk ＝２５５０． (Ⅰ)求ａ及ｋ的值；(Ⅱ)求)111(lim 21nn S S S +++∞→ 19．(本小题满分12分)如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ—ABCD 中，∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD ，SA ＝AB ＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝21． (Ⅰ)求四棱锥S —ABCD 的体积；(Ⅱ)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值． 20．(本小题满分12分)设计一幅宣传画，要求画面面积为４840 cm ２，画面的宽与高的比为λ（λ＜１)，画面的上、下各留８ｃｍ空白，左、右各留5ｃｍ空白．怎样确定画面的高与宽尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小?如果要求λ∈]43,32[，那么λ为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小?21．(本小题满分14分)已知椭圆1222=+y x 的右准线l 与x 轴相交于点E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相 交于A 、B 两点，点C 在右准线l 上，且ＢＣ∥xAC 经过线段EF 的中点．22．(本小题满分14分) 设ｆ（ｘ）是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线ｘｘ１，ｘ２∈［０，21］，都有ｆ（ｘ１＋ｘ２）＝ｆ（ｘ１）·ｆ（ｘ２），且f (1)=ａ＞０． (Ⅰ)求ｆ)41(),21(f ；(Ⅱ)证明ｆ（ｘ）是周期函数； （Ⅲ）记ａｎ＝ｆ（２ｎ＋n21），求)(ln lim n n a ∞→．参考答案一、选择题1．C 2.A 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.B 9.C 10.B 11.D 12.D 二、填空题13.4900 14.51615.1 16.2n (n -1) 三、解答题17.解：ｙ=（ｓｉｎｘ＋ｃｏｓｘ）２＋２ｃｏｓ２ｘ＝１＋ｓｉｎ２ｘ＋２ｃｏｓ２ｘ＝ｓｉｎ２ｘ＋ｃｏｓ２ｘ＋２ ５分＝2)42sin(2++πx 8分所以最小正周期Ｔ＝π． 10分 18.解：(Ⅰ)设该等差数列为｛ａｎ｝，则a １＝ａ，ａ２＝４，ａ３＝３ａ，Ｓｋ＝２５５０． 由已知有a +3a =2×４，解得首项a １＝ａ＝２，公差d =a ２－ａ１＝２． 2分 代入公式S ｋ＝ｋ·ａ１＋d k k ⋅-2)1(得255022)1(2=⋅-+⋅k k k ∴ｋ２＋ｋ－２５５０＝０解得k =50,k =-51(舍去)∴a =2,k =50. 6分 (Ⅱ)由d n n a n S n ⋅-+⋅=2)1(1得S ｎ＝ｎ（ｎ＋１）， )11-1()31-21()21-11( )1(132121111121++++=+++⨯+⨯=+++n n n n S S S n111+-=n 9分 1)111(lim )111(lim 21=+-=+++∴∞→∞→n S S S n n n 12分19．解：(Ⅰ)直角梯形ABCD 的面积是M 底面=AB AD BC ⋅+)(21=43125.01=⨯+ 2分∴四棱锥S —ABCD 的体积是414313131=⨯⨯=⨯⨯=底面M SA V 4分(Ⅱ)延长BA 、CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱 6分 ∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡ，∴ＳＥ⊥ＳＢ∵ＳＡ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影， ∴CS ⊥ＳＥ，所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角 10分 ∵ＳＢ＝SB BC BC AB SA ⊥==+,1,222∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝22=SB BC 即所求二面角的正切值为2212分 20.解：设画面高为ｘｃｍ，宽为λｘｃｍ，则λｘ２＝４８４０ 1分 设纸张面积为S ，则有Ｓ＝（ｘ＋１６）（λｘ＋１０）＝λｘ２＋（１６λ＋１０）ｘ＋１６０， 3分 将ｘ＝λ1022代入上式得Ｓ＝５０００＋４４)58(10λλ+5分当８)185(85,5==λλλ即时，S 取得最小值， 此时，高：ｘ＝884840=λc ｍ，宽：λｘ＝558885=⨯ｃｍ 8分 如果λ∈［43,32］，可设433221≤≤λλ ，则由S 的表达式得Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＝４４)5858(102211λλλλ--+=)58)((104421121λλλλ-- 10分由于058,85322121 λλλλ-≥故 因此Ｓ（λ１）－Ｓ（λ２）＜０，所以S （λ）在区间［43,32］内单调递增. 从而，对于λ∈［43,32］，当λ＝32时，S （λ）取得最小值答：画面高为88λ∈［43,32］,当λ＝32时，所用纸张面积最小. 12分 21.证明：依设，得椭圆的半焦距ｃ＝１，右焦点为F (1，0)，右准线方程为ｘ＝２，点E 的坐标为(2，0)，EF 的中点为N (23，0) 3分 若AB 垂直于x 轴，则A （１，ｙ１），Ｂ（１，－ｙ１），Ｃ（２，－ｙ１）， ∴AC 中点为N (23，0)，即AC 过EF 中点N. 若AB 不垂直于x 轴，由直线AB 过点F ，且由BC ∥x 轴知点B 不在x 轴上，故直线AB 的方程为ｙ＝ｋ（ｘ－１），ｋ≠０．记A （ｘ１，ｙ1）和Ｂ（ｘ２，ｙ２），则C （２，ｙ２）且ｘ１，ｘ２满足二次方程1)1(2222=-+x k x 即（１＋２ｋ２）ｘ２－４ｋ２ｘ＋２（ｋ２－１）＝０，∴ｘ１＋ｘ２＝22212221)1(2,214k k x x k k +-=+ １０分又ｘ２１＝２－２ｙ２１＜２，得ｘ１－23≠０， 故直线AN ，CN 的斜率分别为ｋ１＝32)1(2231111--=-x x k x y )1(2232222-=-=x k y k ∴ｋ１－ｋ２＝２ｋ·32)32)(1()1(1121-----x x x x∵（ｘ１－１）－（ｘ２－１）（２ｘ１－３） ＝３（ｘ１＋ｘ２）－２ｘ１ｘ２－４＝0)]21(4)1(412[2112222=+---+k k k k∴ｋ１－ｋ２＝０，即ｋ１＝ｋ２，故A 、C 、N 三点共线.所以，直线AC 经过线段EF 的中点N. 14分。
2019年广东省高考一模数学试卷含参考答案(理科)
2019年广东省高考一模数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}, B＝{y|y＝2x, x∈A}, 则A∩B＝（）A．（﹣∞, 8）B．（﹣∞, 3）C．（0, 8）D．（0, 3）2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±, 0）B．（0, ）C．（±5, 0）D．（0, ±5）4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和, 若a2+a8＝34, S4＝38, 则a1＝（）A．4B．5C．6D．75．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减, 且当x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4, 则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞, ﹣1）B．（﹣∞, 3）C．（﹣1, 3）D．（﹣1, +∞）6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π7．（5分）执行如图的程序框图, 依次输入x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23, 则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4, 即5个数据的方差为4B．S＝4, 即5个数据的标准差为4C．S＝20, 即5个数据的方差为20D．S＝20, 即5个数据的标准差为208．（5分）已知A, B, C三点不共线, 且点O满足16﹣12﹣3＝, 则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣39．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n, 且a1＝2, a n+a n+1＝2n（n∈N*）, 则S13＝（）A．B．C．D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时, 提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC, CB, 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项, 即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数, 把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中, 若点P, Q为线段BC的两个黄金分割点, 在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）, 点P, Q, R是直线y＝m（m＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点, 且2|PQ|＝|QR|＝, 则ω+m ＝（）A．B．2C．3D．12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x, 若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数, 则k的取值范围为（）A．（, ]B．[, ）C．（, ]D．[, ）二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2x+y）6的展开式中, x2y4的系数为．14．（5分）设x, y满足约束条件, 则z＝2x+y的最大值为．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中, AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝．若点D, E分别在棱PB, PC上运动（都不含端点）, 则AD+DE+EA的最小值为．16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点, 曲线C1是以F为圆心, 为半径的圆, 直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C, C1从左至右依次相交于P, Q, R, S, 则＝三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D在边BC上, 且BD＝3DC, cos B＝, S△ABC＝10, 求AD．18．（12分）已知五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, AB∥CD, CD＝2DE＝2AD ＝2AB＝4, AC＝2, 且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．19．（12分）已知点（1, ）, （）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0, 1）的直线l与椭圆C交于不同两点P, Q（异于顶点）, 记椭圆与y 轴的两个交点分别为A1, A2, 若直线A1P与A2Q交于点S, 证明：点S恒在直线y＝4上．20．（12分）随着小汽车的普及, “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试, 要顺利地拿到驾驶证, 他需要通过四个科目的考试, 其中科目二为场地考试．在一次报名中, 每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试, 就算顺利通过, 即进入下一科目考试；若5次都没有通过, 则需重新报名）, 其中前2次参加科目二考试免费, 若前2次都没有通过, 则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费, 某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计, 得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率, 且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试, 在本次报名中, 若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过, 记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元, 求X的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx, 记函数y＝F（x）在（, 1）上的最大值为m, 证明：﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为, （θ为参数）已知点Q（4, 0）, 点P是曲线∁l上任意一点, 点M为PQ的中点, 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A, B两点, 若＝3, 求k的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a|+2|x﹣1|（a＞0）．（1）求f（x）的最小值；（2）若不等式f（x）﹣5＜0的解集为（m, n）, 且n﹣m＝, 求a的值．2019年广东省高考一模数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题, 每小题5分, 共60分．在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x﹣1＜2}, B＝{y|y＝2x, x∈A}, 则A∩B＝（）A．（﹣∞, 8）B．（﹣∞, 3）C．（0, 8）D．（0, 3）【解答】解：∵集合A＝{x|x﹣1＜2}＝{x|x＜3},B＝{y|y＝2x, x∈A}＝[y|0＜y＜8},∴A∩B＝{x|0＜x＜3}＝（0, 3）．故选：D．2．（5分）复数z＝﹣i（i为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【解答】解：复数z＝﹣i＝﹣i＝﹣i＝﹣﹣i,则z的虚部为﹣．故选：A．3．（5分）双曲线9x2﹣16y2＝1的焦点坐标为（）A．（±, 0）B．（0, ）C．（±5, 0）D．（0, ±5）【解答】解：双曲线9x2﹣16y2＝1的标准方程为：,可得a＝, b＝, c＝＝,所以双曲线的焦点坐标为（±, 0）．故选：A．4．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和, 若a2+a8＝34, S4＝38, 则a1＝（）A．4B．5C．6D．7【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d, ∵a2+a8＝34, S4＝38,∴2a1+8d＝34, 4a1+6d＝38,联立解得：a1＝5, d＝3,故选：B．5．（5分）已知函数f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减, 且当x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4, 则关于x的不等式f（x）＜﹣1的解集为（）A．（﹣∞, ﹣1）B．（﹣∞, 3）C．（﹣1, 3）D．（﹣1, +∞）【解答】解：∵x∈[﹣2, 1]时, f（x）＝x2﹣2x﹣4；∴f（﹣1）＝﹣1；∵f（x）在（﹣∞, +∞）上单调递减；∴由f（x）＜﹣1得, f（x）＜f（﹣1）；∴x＞﹣1；∴不等式f（x）＜﹣1的解集为（﹣1, +∞）．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示, 则该几何体的体积为（）A．3πB．4πC．6πD．8π【解答】解：由三视图知, 几何体是一个简单组合体, 左侧是一个半圆柱, 底面的半径是1, 高为：4,右侧是一个半圆柱, 底面半径为1, 高是2,∴组合体的体积是：＝3π,故选：A．7．（5分）执行如图的程序框图, 依次输入x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23, 则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S＝4, 即5个数据的方差为4B．S＝4, 即5个数据的标准差为4C．S＝20, 即5个数据的方差为20D．S＝20, 即5个数据的标准差为20【解答】解：根据程序框图, 输出的S是x1＝17, x2＝19, x3＝20, x4＝21, x5＝23这5个数据的方差,∵＝（17+19+20+21+23）＝20,∴由方差的公式S＝[（17﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（23﹣20）2]＝4．故选：A．8．（5分）已知A, B, C三点不共线, 且点O满足16﹣12﹣3＝, 则（）A．＝12+3B．＝12﹣3C．＝﹣12+3D．＝﹣12﹣3【解答】解：由题意, 可知：对于A：＝＝,整理上式, 可得：16﹣12﹣3＝,这与题干中条件相符合,故选：A．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n, 且a1＝2, a n+a n+1＝2n（n∈N*）, 则S13＝（）A．B．C．D．【解答】解：由题意, ∵a1＝2,n＝2时, a2+a3＝22,n＝4时, a4+a5＝24,n＝6时, a6+a7＝26,n＝8时, a8+a9＝28,n＝10时, a10+a11＝210,n＝12时, a12+a13＝212,S13＝2+22+24+26+28+210+212＝2+＝．故选：D．10．（5分）古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时, 提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC, CB, 使得其中较长的一段AC是全长AB与另一段CB的比例中项, 即满足＝＝≈0.618．后人把这个数称为黄金分割数, 把点C称为线段AB的黄金分割点在△ABC中, 若点P, Q为线段BC的两个黄金分割点, 在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为（）A．B．﹣2C．D．【解答】解：设BC＝a,由点P, Q为线段BC的两个黄金分割点,所以BQ＝, CP＝,所以PQ＝BQ+CP﹣BC＝（）a,S△APQ：S△ABC＝PQ：BC＝（﹣2）a：a＝﹣2,由几何概型中的面积型可得：在△ABC内任取一点M, 则点M落在△APQ内的概率为＝,故选：B．11．（5分）已知函数f（x）＝sin（ωx+）+（ω＞0）, 点P, Q, R是直线y＝m（m ＞0）与函数f（x）的图象自左至右的某三个相邻交点, 且2|PQ|＝|QR|＝, 则ω+m ＝（）A．B．2C．3D．【解答】解：∵2|PQ|＝|QR|＝,∴|PQ|＝, |QR|＝,则T＝||PQ+|QR|＝+＝π,即＝π, 即ω＝2,即f（x）＝sin（2x+）+,∵|PQ|＝,∴x2﹣x1＝,2x1++2x2+＝π,得x1＝0, 此时m＝sin（2x1+）+＝sin+＝＝1．即ω+m＝1+2＝3,故选：A．12．（5分）已知函数若f（x）＝（kx+）e x﹣3x, 若f（x）＜0的解集中恰有两个正整数, 则k的取值范围为（）A．（, ]B．[, ）C．（, ]D．[, ）【解答】解：由f（x）＜0得f（x）＝（kx+）e x﹣3x＜0,即（kx+）e x＜3x,即（kx+）＜的解集中恰有两个正整数,设h（x）＝, 则h′（x）＝＝,由h′（x）＞0得3﹣3x＞0得x＜1, 由h′（x）＜0得3﹣3x＜0得x＞1,即当x＝1时函数h（x）取得极大值h（1）＝,设函数g（x）＝kx+,作出函数h（x）的图象如图,由图象知当k≤0, （kx+）＜的解集中有很多整数解, 不满足条件．则当k＞0时, 要使, （kx+）＜的解集中有两个整数解,则这两个整数解为x＝1和x＝2,∵h（2）＝, h（3）＝, ∴A（2, ）B（3, ）,当直线g（x）过A（2, ）B（3, ）时, 对应的斜率满足2k A+＝, 3k B+＝, 得k A＝, k B＝,要使, （kx+）＜的解集中有两个整数解,则k B＜k≤k A, 即＜k≤,即实数k的取值范围是（, ],故选：A．二、填空题：本大题共4小题, 每小题5分, 共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．（5分）（2x+y）6的展开式中, x2y4的系数为60．【解答】解：（2x+y）6的展开式中, 故含x2y4的项为•（2x）2•y4＝60x2y4,故答案为：60．14．（5分）设x, y满足约束条件, 则z＝2x+y的最大值为7．【解答】解：画出x, y满足约束条件表示的平面区域,如图所示,由, 解得点A（3, 1）,结合图形知, 直线2x+y﹣z＝0过点A时,z＝2x+y取得最大值为2×3+1＝7．故答案为：7．15．（5分）在三棱锥P﹣ABC中, AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝．若点D, E分别在棱PB, PC上运动（都不含端点）, 则AD+DE+EA的最小值为．【解答】解：如图,由AP, AB, AC两两垂直, 且AP＝AB＝AC＝,得PB＝PC＝BC＝2, ∠APB＝∠APC＝45°,沿P A剪开, 向两侧展开到平面PBC上, 连接A′A″,则AD+DE+EA的最小值为A′A″＝＝＝．故答案为：．16．（5分）已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点, 曲线C1是以F为圆心, 为半径的圆, 直线2x﹣6y+3p＝0与曲线C, C1从左至右依次相交于P, Q, R, S, 则＝【解答】解：可得直线2x﹣6y+3p＝0与y轴交点是抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点F,由得x2﹣px﹣p2＝0, ⇒x P＝, x S＝．⇒,|RS|＝|SF|﹣＝y S+＝p, |PQ|＝|PF|﹣＝y P+﹣＝p．∴则＝．故答案为：..三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题, 每道试题考生都必须作答．第22、23题为选考题, 考生根据要求作答．(一)必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c, 已知c cos A+c sin A＝b+a．（1）求C；（2）若D在边BC上, 且BD＝3DC, cos B＝, S△ABC＝10, 求AD．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos A+c sin A＝b+a,∴由正弦定理可得：sin C cos A+sin C sin A＝sin B+sin A,∴sin C cos A+sin C sin A＝sin（A+C）+sin A＝sin A cos C+cos A sin C+sin A,∴sin C sin A＝sin A cos C+sin A,∵sin A≠0,∴sin C＝cos C+1,∴解得：sin（C﹣）＝,∵C∈（0, π）, 可得：C﹣∈（﹣, ）,∴C﹣＝, 可得：C＝．（2）∵cos B＝, 可得：sin B＝＝,∴由S△ABC＝10＝ac sin B＝ab sin C, 可得：ac＝56, ab＝40, 可得：a＝, b ＝,又∵由余弦定理可得：c2＝a2+b2﹣ab＝a2+b2﹣40,∴c2＝（）2+（）2﹣40, 整理可得：3c4+245c2﹣19208＝0,解得：c2＝49, 可得：c＝7, a＝8, b＝5,∴在△ACD中, 由余弦定理可得：AD＝＝＝．18．（12分）已知五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, AB∥CD, CD＝2DE＝2AD ＝2AB＝4, AC＝2, 且二面角F﹣AB﹣C的大小为30°．（1）证明：AB⊥平面ADE；（2）求二面角E﹣BC﹣F的余弦值．【解答】证明：（1）∵五面体ABCDEF中, 四边形CDEF为矩形, CD＝2DE＝2AD＝2AB＝4, AC＝2,∴DE⊥AD, AD2+CD2＝AC2, ∴AD⊥CD,∵AD∩DE＝D, ∴CD⊥平面ADE,∵AB∥CD, ∴AB⊥平面ADE．解：（2）由（1）得AB⊥平面ADE,∴∠DAE是二面角F﹣AB﹣C的平面角, 即∠DAE＝30°．∵DA＝DE＝2, ∴∠ADE＝120°,以D为原点, DA为x轴, DC为y轴, 过D作平面ABCD的垂线为z轴,建立空间直角坐标系,E（﹣1, 0, ）, B（2, 2, 0）, C（0, 4, 0）, F（0, 4, ）, ＝（﹣2, 2, 0）, ＝（﹣3, ﹣2, ）, ＝（﹣2, 2, ）, 设平面BCF的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, 0）,设平面BCE的法向量＝（x, y, z）,则, 取x＝1, 得＝（1, 1, ）,设二面角E﹣BC﹣F的平面角为θ,则cosθ＝＝＝,∴二面角E﹣BC﹣F的余弦值为．19．（12分）已知点（1, ）, （）都在椭圆C：＝1（a＞b＞0）上．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M（0, 1）的直线l与椭圆C交于不同两点P, Q（异于顶点）, 记椭圆与y轴的两个交点分别为A1, A2, 若直线A1P与A2Q交于点S, 证明：点S恒在直线y＝4上．【解答】解：（1）由题意可得, 解得a2＝4, b2＝2,故椭圆C的方程为+＝1．证明：（2）易知直线l的斜率存在且不为0, 设过点M（0, 1）的直线l方程为y＝kx+1, （k≠0）, P（x1, y1）, Q（x2, y2）,由, 消y可得（k2+2）x2+2kx﹣3＝0,∴x1+x2＝﹣, x1x2＝﹣,∵A1（0, 2）, A2（0, ﹣2）,∴直线A1P的方程为y＝x+2＝•x+2＝（k﹣）x+2,则直线A2Q的方程为y＝x﹣2＝（k+）﹣2,由, 消x可得＝,整理可得y＝＝＝+4＝+4＝4,直线A1P与A2Q交于点S, 则点S恒在直线y＝4上20．（12分）随着小汽车的普及, “驾驶证”已经成为现代入“必考”的证件之一．若某人报名参加了驾驶证考试, 要顺利地拿到驾驶证, 他需要通过四个科目的考试, 其中科目二为场地考试．在一次报名中, 每个学员有5次参加科目二考试的机会（这5次考试机会中任何一次通过考试, 就算顺利通过, 即进入下一科目考试；若5次都没有通过, 则需重新报名）, 其中前2次参加科目二考试免费, 若前2次都没有通过, 则以后每次参加科目二考试都需交200元的补考费, 某驾校对以往2000个学员第1次参加科目二考试的通过情况进行了统计, 得到如表：考试情况男学员女学员第1次考科目二人数1200800第1次通过科目二人数960600第1次未通过科目二人数240200若以如表得到的男、女学员第1次通过科目二考试的频率分别作为此驾校男、女学员每次通过科目二考试的概率, 且每人每次是否通过科目二考试相互独立．现有一对夫妻同时在此驾校报名参加了驾驶证考试, 在本次报名中, 若这对夫妻参加科目二考试的原则为：通过科目二考试或者用完所有机会为止．（1）求这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费的概率；（2）若这对夫妻前2次参加科目二考试均没有通过, 记这对夫妻在本次报名中参加科目二考试产生的补考费用之和为X元, 求X的分布列与数学期望．【解答】解：根据题意, 设A i表示男学员在第i次参加科目2考试中通过, B i表示女学员在第i次参加科目2考试中通过,则P（A1）＝＝, P（A2）＝1﹣＝, P（B1）＝＝, P（A2）＝1﹣＝,（1）根据题意, 设事件M是这对夫妻在本次报名中参加科目二考试都不需要交补考费, 则P（M）＝P（A1B1+A1B2+A2B1+A2B2）＝×+××+××+×××＝；（2）根据题意, X可取的值为400、600、800、1000、1200,P（X＝400）＝×＝,P（X＝600）＝××+××＝,P（X＝800）＝×××+××+××＝P（X＝1000）＝×××+×××＝P（X＝1200）＝×××＝；则X的分布列为X40060080010001200P故EX＝400×+600×+800×+1000×+1200×＝510.5（元）21．（12分）已知函数f（x）＝（x﹣a）e x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx, 记函数y＝F（x）在（, 1）上的最大值为m, 证明：﹣4＜m＜﹣3．【解答】（1）解：f′（x）＝[x﹣（a﹣1）]e x, x∈R．可得函数f（x）在（﹣∞, a﹣1）内单调递减, 在（a﹣1, +∞）内单调递增．（2）证明：当a＝2时, F（x）＝f（x）﹣x+lnx＝（x﹣2）e x﹣x+lnx, x∈（, 1）．F′（x）＝（x﹣1）e x﹣1+＝（x﹣1）,令F′（x）＝0, 解得：＝, 即x0＝﹣lnx0, x0∈（, 1）,令g（x）＝e x﹣在x∈（, 1）上单调递增,g（）＝﹣2＜0, g（1）＝e﹣1＞0．∴x0∈（, 1）,可知：x＝x0, 函数g（x）取得极大值即最大值,F（x0）＝（x0﹣2）﹣2x0＝1﹣2（x0+）∈（﹣4, ﹣3）．∴﹣4＜m＜﹣3．(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做, 则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程](10分)22．（10分）在平面直角坐标系xOy中, 曲线C1的参数方程为, （θ为参数）已知点Q（4, 0）, 点P是曲线∁l上任意一点, 点M为PQ的中点, 以坐标原点为极点, x轴正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点M的轨迹C2的极坐标方程；（2）已知直线l：y＝kx与曲线C2交于A, B两点, 若＝3, 求k的值．【解答】解：（1）消去θ得曲线C1的普通方程为：x2+y2＝4,设M（x, y）则P（2x﹣4, 2y）在曲线C1上, 所以（2x﹣4）2+（2y）2＝4, 即（x ﹣2）2+y2＝1, 即x2+y2﹣4x+3＝0,C2轨迹的极坐标方程为：ρ2﹣4ρcosθ+3＝0．（2）当k＞0时, 如图：取AB的中点M, 连CM, CA,在直角三角形CMA中, CM2＝CA2﹣（AB）2＝1﹣AB2, ①在直角三角形CMO中, CM2＝OC2﹣OM2＝4﹣（AB）2＝4﹣AB2, ②由①②得AB＝, ∴OM＝, CM＝,k＝＝＝．当k＜0时, 同理可得k＝﹣．综上得k＝±．第页（共22页）21[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f （x ）＝|x +a |+2|x ﹣1|（a ＞0）．（1）求f （x ）的最小值；（2）若不等式f （x ）﹣5＜0的解集为（m , n ）, 且n ﹣m ＝, 求a 的值．【解答】解：（1）f （x ）＝, ∴x ＝1时, f （x ） 的最小值为a +1．（2）如图所示：当a +1＜5＜2a +2即＜a ＜4时, f （x ）﹣5＜0的解集为（a ﹣3, ﹣）, ∴﹣﹣a +3＝﹣＝, ∴a ＝3符合,当2a +2≤5即0＜a ≤时, f （x ）的解集 为 （﹣﹣1, ﹣）, ∴﹣++1＝≠．综上可得a ＝3．第页（共22页）22 注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上。
2019年广东省广州市高考数学一模试卷和答案(理科)
2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．C．D．23．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．34．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2C．D．36．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11B．10C．6D．57．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5B．10C．15D．209．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．210．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2B．C．D．412．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H的体积的最小值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B 两点．求△ABF的面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．2019年广东省广州市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A＝{x|x2﹣2x＜0}，B＝{x|2x＞1}，则（）A．A∩B＝∅B．A∪B＝R C．B⊆A D．A⊆B【解答】解：集合A＝{x|x2﹣2x＜0}＝{x|0＜x＜2}，集合B＝{x|2x＞1}＝{x|x＞0}，A、A∩B＝{x|0＜x＜2}，故本选项错误；B、A∪B＝{x|x＞0}，故本选项错误；C、A⊆B，故本选项错误；D、A⊆B，故本选项正确；故选：D．2．（5分）已知a为实数，若复数（a+i）（1﹣2i）为纯虚数，则a＝（）A．﹣2B．C．D．2【解答】解：（a+i）（1﹣2i）＝a+2+（1﹣2a）i，∵复数是纯虚数，∴a+2＝0且1﹣2a≠0，得a＝﹣2且a≠，即a＝﹣2，故选：A．3．（5分）已知双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，则C的离心率为（）A．B．C．D．3【解答】解：圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心（2，﹣4），双曲线的一条渐近线为：y＝bx，双曲线的一条渐近线过圆P：（x﹣2）2+（y+4）2＝1的圆心，可得2b＝4，所以b＝2，a＝1，则c＝，则C的离心率为：．故选：C．4．（5分）刘徽是我因魏晋时期的数学家，在其撰写的《九章算术注》中首创“割圆术”，所谓“割圆术”，是用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率的方法，如图所示，圆内接正十二边形的中心为圆心O，圆O的半径为2，现随机向圆O内段放a粒豆子，其中有b粒豆子落在正十二边形内（a，b∈N*，b＜a），则圆固率的近似值为（）A．B．C．D．【解答】解：由几何概型中的面积型可得：＝，所以＝，即π＝，故选：C．5．（5分）若等边三角形ABC的边长为1，点M满足，则＝（）A．B．2C．D．3【解答】解：由题意，可根据平行四边形法则画出如下图形：由图可知：＝，∴＝＝＝1•2•+1•2•1＝3．故选：D．6．（5分）设S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，S2m﹣1＝11，则m＝（）A．11B．10C．6D．5【解答】解：S n是等差数列{a n}的前n项和，若m为大于1的正整数，且a m﹣1﹣a m2+a m+1＝1，则：，解得：a m＝1．S2m﹣1＝＝＝11，解得：m＝6故选：C．7．（5分）如图，一高为H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为T．若鱼缸水深为h时，水流出所用时间为t，则函数h＝f（t）的图象大致是（）A．B．C．D．【解答】解：函数h＝f（t）是关于t的减函数，故排除C，D，则一开始，h随着时间的变化，而变化变慢，超过一半时，h随着时间的变化，而变化变快，故对应的图象为B，故选：B．8．（5分）（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则该展开式中x4的系数是（）A．5B．10C．15D．20【解答】解：∵（2﹣x3）（x+a）5的展开式的各项系数和为32，则（2﹣1）（1+a）5＝32，∴a＝1，该展开式中x4的系数是2••a﹣1••a4＝10a﹣5a4＝5，故选：A．9．（5分）已知函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，且在上单调递减，则ω的最大值是（）A．B．C．D．2【解答】解：函数f（x）＝cos（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是奇函数，则：φ＝．所以：f（x）＝cos（ωx+），令：（k∈Z），解得：（k∈Z），由于函数在上单调递减，故：，当k＝0时，整理得：，故：，所以最大值为．故选：C．10．（5分）一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和俯视图中的四边形是边长为2的正方形，则该几何体的表面积为（）A．B．7πC．D．8π【解答】解：由题意可知：几何体是一个圆柱与一个的球的组合体，球的半径为：1，圆柱的高为2，可得：该几何体的表面积为：+2×π×12+2π×2＝7π．故选：B．11．（5分）已知以F为焦点的抛物线C：y2＝4x上的两点A，B，满足，则弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是（）A．2B．C．D．4【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点坐标为（1，0），准线方程为x＝﹣1设A（x1，y1），B（x2，y2），则∵|AF|＝λ|BF|，∴x1+1＝λ（x2+1），∴x1＝λx2+λ﹣1∵|y1|＝λ|y2|，∴x1＝λ2x2，当λ＝1时，弦AB的中点到C的准线的距离2．当λ≠1时，x1＝λ，x2＝，|AB|＝（x1+1）+（x2+1）＝．∵，∴（λ++2）max＝．则弦AB的中点到C的准线的距离d＝，d最大值是．∵，∴弦AB的中点到C的准线的距离的最大值是．故选：B．12．（5分）已知函数，的图象上存在关于直线x＝1对称的不同两点，则实数a的取值范围是（）A．（e2﹣1，+∞）B．（e2+1，+∞）C．（﹣∞，e2﹣1）D．（﹣∞，e2+1）【解答】解：当x＞1时，f（x）＝＝x+，设f（x）在（1，+∞）上的图象关于x＝1的对称图象为g（x），则g（x）＝f（2﹣x）＝2﹣x+（x＜1），由题意可知f（x）与g（x）在（﹣∞，1）上有公共点．∵g′（x）＝﹣1+＜0，∴g（x）在（﹣∞，1）上单调递减，又f（x）＝ln（x+a）在（﹣∞，1）上单调递增，∴g（1）＜f（1），即2＜ln（1+a），解得a＞e2﹣1．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）设S n是等比数列{a n}的前n项和，若S3＝6，S6＝54，则a1＝．【解答】解：∵S3＝＝6，S6＝＝54，∴＝1+q3＝9，解得q3＝8，则q＝2，∴＝6，解得a1＝故答案为：14．（5分）若函数的图象在点（1，f（1））处的切线过点（2，4），则a＝2．【解答】解：函数的导数为：f′（x）＝a+，f′（1）＝a+3，而f（1）＝a﹣3，切线方程为：y﹣a+3＝（a+3）（x﹣1），因为切线方程经过（2，4），所以4﹣a+3＝（a+3）（2﹣1），解得a＝2．故答案为：2．15．（5分）已知关于x，y的不等式组，表示的平面区域内存在点P（x0，y0），满足x0﹣2y0＝2，则m的取值范围是（]．【解答】解：作出x，y的不等式组对应的平面如图：交点C的坐标为（﹣m，﹣2），直线x﹣2y＝2的斜率为，斜截式方程为y＝x﹣1，要使平面区域内存在点P（x0，y0）满足x0﹣2y0＝2，则点C（﹣m，﹣2）必在直线x﹣2y＝2的下方，即﹣2≤﹣m﹣1，解得m≤2，并且A在直线的上方；A（﹣m，1﹣2m），可得1﹣2m≥﹣1，解得m，故m的取值范围是：（﹣∞，]．故答案为：（﹣∞，]．16．（5分）已知直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，的所有棱长都是1，∠ABC＝60°，AC∩BD ＝O，A1C1∩B1D1＝O1，点H在线段OB1上，OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，则三棱锥M﹣C1O1H的体积的最小值为．【解答】解：因为直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，∠ABC＝60°，边长为1，∴O1C1⊥平面BB1D1D，且O1C1＝，O1B1＝，∴C1到平面BB1D1D的距离为O1C1＝，∵OH＝3HB1，点M是线段BD上的动点，∴当M在B处时△O1MH的面积取得最小值．连接O1B，则O1B＝OB1＝＝，∴B1到O1B的距离d＝＝＝，∵OH＝3HB1，∴H到直线O1B的距离为d＝．∴S＝＝＝，∴V＝S•O1C1＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知c cos B＝（3a﹣b）cos C．（1）求sin C的值；（2）若，b﹣a＝2，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）∵c cos B＝（3a﹣b）cos C，∴由正弦定理可知，sin C cos B＝3sin A cos C﹣sin B cos C，…1分即sin C cos B+cos C sin B＝3sin A cos C，∴sin（C+B）＝3sin A cos C，…2分∵A+B+C＝π，∴sin A＝3sin A cos C，…3分∵sin A≠0，∴cos C＝，…4分∵0＜C＜π，∴sin C＝＝；…6分（2）∵，cos C＝，∴由余弦定理：c2＝a2+b2﹣2ab cos C，可得：24＝a2+b2﹣ab，…8分∴（a﹣b）2+ab＝24，…9分∵b﹣a＝2，∴解得：ab＝15，…10分∴S△ABC＝ab sin C＝＝5…12分18．（12分）如图，在三棱锥A﹣BCD中，△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，点P是AC的中点，连接BP，DP．（1）证明：平面ACD⊥平面BDP；（2）若BD＝，且二面角A﹣BD﹣C为120°，求直线AD与平面BCD所成角的正弦值．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AD＝CD，∵点P是AC的中点，则PD⊥AC，PB⊥AC，∵PD∩PB＝P，∴AC⊥平面PBD，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDP．解：（2）作CE⊥BD，垂足为E，连结AE，∵Rt△ABD≌Rt△BCD，∴AE⊥BD，AE＝CE，∠AEC为二面角A﹣BD﹣C的平面角，由已知二面角A﹣BD﹣C为120°，∴∠AEC＝120°，在等腰△AEC中，由余弦定理得AC＝，∵△ABC是等边三角形，∴AC＝AB，∴AB＝，在Rt△ABD中，，∴BD＝，∵BD＝，∴AD＝，∵BD2＝AB2+AD2，∴AB＝2，∴AE＝，，由上述可知BD⊥平面AEC，则平面AEC⊥平面BCD，过点A作AO⊥CE，垂足为O，则AO⊥平面BCD，连结OD，则∠AEO是直线AD与平面BCD所成角，在Rt△AEO中，∠AEO＝60°，∴AO＝，AE＝1，sin，∴直线AD与平面BCD所成角的正弦值为．19．（12分）某场以分期付款方式销售某种品，根据以往资料統计，顾客购买该高品选择分期付款的期数ξ的分布列为其中0＜a＜1，0＜b＜1（1）求购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率；（2）商场销售一件该商品，若顾客选择分2期付款，则商场获得的利润为200元；若顾客选择分3期付款，则商场获得的利润为250元；若顾客选择分4期付款，则商场获得的利润为300元．商场销售两件该商品所获得的利润记为X（单位：元）（1）求X的分布列；（2）若P（X≤500）≥0.8，求X的数学期望EX的最大值．【解答】角：（1）设购买该商品的3位顾客中，选择分2期付款的人数为η，依题意得η～B（3，0.4），则P（η＝2）＝，∴购买该商品的3位顾客中，恰有2位选择分2期付款的概率为0.288．（2）（i）依题意X的取值分别为400，450，500，550，600，P（X＝400）＝0.4×0.4＝0.16，P（X＝450）＝2×0.4a＝0.8a，P（X＝500）＝2×0.4b+a2＝0.8b+a2，P（X＝550）＝2ab，P（X＝600）＝b2，∴X的分布列为：（2）P（X≤500）＝P（X＝400）+P（X＝450）+P（X＝500）＝0.16+0.8（a+b）+a2，根据0.4+a+b＝1，得a+b＝0.6，∴b＝0.6﹣a，∵P（X≤500）≥0.8，∴0.16+0.48+a2≥0.8，解得a≥0.4或a≤﹣0.4，∵a＞0，∴a≥0.4，∵b＞0，∴0.6﹣a＞0，解得a＜0.6，∴a∈[0.4，0.6），E（X）＝400×0.16+450×0.8a+500（0.8b+a2）+1100ab+600b2＝520﹣100a，当a＝0.4时，E（X）的最大值为480，∴X的数学期望E（X）的最大值为480．20．（12分）已知椭圆的两个焦点和两个顶点在图O：x2+y2＝1上．（1）求椭圆C的方程（2）若点F是C的左焦点，过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l，l交C于A，B 两点．求△ABF的面积的最大值．【解答】解：（1）由椭圆可知焦点在x轴上，∵圆O：x2+y2＝1与x轴的两个交点坐标为（﹣1，0），（1，0），与y轴的两个交点的坐标分别为（0，1），（0，﹣1），根据题意可得b＝c＝1，故a2＝b2+c2＝2，故椭圆方程为+y2＝1（2）设过点P（m，0）（m≥1）作圆O的切线l的方程为x＝ty+m，则＝1，即m2＝t2+1设A（x1，y1），B（x2，y2），由，消x可得（t2+2）y2+2tmy+m2﹣2＝0，则△＝（2tm）2﹣4（t2+2）（m2﹣2）＝8＞0，∴y1+y2＝﹣，y1y2＝，∴|y 1﹣y2|＝＝＝，∴△ABF的面积S＝|PF|•|y1﹣y2|＝，令f（m）＝，m≥1∴f′（m）＝，当m≥1时，f′（m）≤0，∴f（m）在[1，+∞）上单调递减，∴f（m）≤f（1）＝，故△ABF的面积的最大值为21．（12分）已知函数f（x）＝e2x﹣ax2，a∈R．（1）若f（x）在（0，+∞）上单调递增，求a的取值范围；（2）若f（x）在（0，+∞）上存在极大值M，证明：．【解答】解：（1）函数的导数f′（x）＝2e2x﹣2ax，若f（x）在（0，+∞）上单调递增，即f′（x）≥0恒成立，即2e2x﹣2ax≥0，得a≤在（0，+∞）上恒成立，设h（x）＝，则h′（x）＝＝，当0＜x＜时，h′（x）＜0，此时函数为减函数，由x＞时，h′（x）＞0，此时函数为增函数，即当x＝时，函数h（x）取得极小值同时也是最小值，h（）＝2e，则a≤2e，即实数a的取值范围是（﹣∞，2e]．（2）由（1）知，当a≤2e时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，则不存在极大值，当a＞2e时，ln，lna＞ln，又f′（0）＝2＞0，f′（）＝2e﹣a＜0，f′（lna）＝2e2lna﹣2alna＝2a（a﹣lna）＞0，（易证明a﹣lna＞0），故存在x1∈（0，），使得f′（x1）＝＝0，存在x2∈（，lna），使得f′（x2）＝0，则x∈（0，x1）时，f′（x）＞0，x∈（x1，x2）时，f′（x）＜0，x∈（x2，+∞）时，f′（x）＞0，故f（x）在（0，x1）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增，即当x＝x1时，f（x）取得极大值，即M＝，由0＜x1＜时，得1﹣x1＞0，x1≠1﹣x1，由2﹣2ax1＝0，得＝ax1，故M＝＝ax1﹣ax12＝ax1（1﹣x1）＜a•（）2＝，即成立．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线C2的极坐标方程为（a∈R）．（1）写出曲线C1的普通方程和直线C2的直角坐标方程；（2）若直线C2与曲线C1有两个不同交点，求a的取值范围．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），把x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入ρ（cosθ﹣a sinθ）＝，得直线C2的直角坐标方程为y﹣ax＝，即ax﹣y+＝0，（2）由直线C2：ax﹣y+＝0，知C2恒过点M（0，），由y＝1﹣x2（﹣1≤x≤1），当时，得x＝±1，所以曲线C1过点P（﹣1，0），Q（1，0），则直线MP的斜率为k1＝＝，直线MQ的斜率k2＝＝﹣，因为直线C2的斜率为a，且直线C2与曲线C1有两个不同的交点，所以k2≤a≤k1，即﹣，所以a的取值范围为[﹣，]．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23．已知函数f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞0的解集；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）＝|x+1|﹣|2x﹣1|，f（x）＞0即为|x+1|＞|2x﹣1|，可得（x+1+2x﹣1）（x+1﹣2x+1）＞0，即3x（x﹣2）＜0，解得0＜x＜2，则原不等式的解集为（0，2）；（2）若a＞0，不等式f（x）＜1对x∈R都成立，即有1＞f（x）max，由f（x）＝|x+a|﹣|2x﹣1|＝|x+a|﹣|x﹣|﹣|x﹣|≤|x+a﹣x +|﹣0＝|a+|，可得f（x）的最大值为|a +|＝a +，（a＞0），则a +＜1，解得0＜a ＜．第21页（共21页）。
2019届广东省模拟(一)数学(理)试题(解析版)
2019届广东省模拟（一）数学（理）科试题一、单选题1．已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】先求出集合A，B，再求两集合的交集即可．【详解】在集合A中，得x＜3，即A＝（，3），在集合B中y＝2x在（，3）递增，所以0＜y＜8，即B＝（0，8），则A∩B＝（0，3）．故选：D．【点睛】本题考查了集合的交集及其运算，也考查了指数函数的值域，属于基础题．2．复数（为虚数单位）的虚部为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简即可得答案．【详解】=，所以z的虚部为．故选：A【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，属于基础题．3．双曲线的焦点坐标为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】将双曲线化成标准方程，可得，，即可得焦点坐标．【详解】将双曲线化成标准方程为：，得，，所以，所以，又该双曲线的焦点在x轴上，所以焦点坐标为．故选：A【点睛】本题考查双曲线的简单性质，将双曲线的方程化为标准形式是关键，属于基础题．4．记为等差数列的前项和，若，，则（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【解析】设等差数列{a n}的公差为d，首项为运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程即可．【详解】设等差数列{a n}的公差为d，首项为，由，，得2a1+8d＝34，4a1+×4×3d＝38，解得d＝3，故选：B．【点睛】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想以及运算能力，属于基础题．5．已知函数在上单调递减，且当时，，则关于的不等式的解集为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，由=，得，由函数单调性的性质，即可得的解集.【详解】当时，由=，得或（舍），又因为函数在上单调递减，所以的解集为.故选：D【点睛】本题考查函数的单调性的应用，关键是理解函数单调性的性质，属于基础题．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】B【解析】由三视图可知该几何体的直观图，从而求出几何体的体积．【详解】由三视图可知几何体为边长为2的正方体的一半，做出几何体的直观图如图所示，故几何体的体积为23＝4．故选：B．【点睛】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状是解题的关键，属于中档题．7．设x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22，将这5个数依次输入如图所示的程序框图运行，则输出S的值及其统计意义分别是（）A．S＝2，这5个数据的方差B．S＝2，这5个数据的平均数C．S＝10，这5个数据的方差D．S＝10，这5个数据的平均数【答案】A【解析】根据程序框图，得输出的S是5个数据的方差，先求这5个数的均值，然后代入方差公式计算即可．【详解】根据程序框图，输出的S是x1＝18，x2＝19，x3＝20，x4＝21，x5＝22这5个数据的方差，因为，∴由方差的公式S＝．故选：A．【点睛】本题通过循环结构的程序框图考查了均值和方差，属于基础题．8．已知，，三点不共线，且点满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】运用向量的减法运算，把已知等式中的向量换为表示，整理后可求结果。
2019年广东省清远市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年广东省高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|y=}，集合B={x|2x﹣x2＞0}，则（∁R A）∩B等于（A．（0，2）B．[1，2）C．（0，1）D．∅2．复数z=的虚部为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．23．若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A 到y轴距离的3倍，则p等于（）A．B．1 C．D．24．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角的余弦值为sin，则•（2﹣）等于（）A．2 B．﹣1 C．﹣6 D．﹣185．已知x∈（0，π），且cos（2x﹣）=sin2x，则tan（x﹣）等于（）A．B．﹣C．3 D．﹣36．如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A．18 B．20 C．87 D．907．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时间（单位：天）10：20 21：30 31：40 41：50 51：60 个数10 40 80 50 20若以频率为概率，现从该批次机械元件随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为（）A． B． C． D．8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．189．已知x=是函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）在[﹣，]上的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣D．﹣10．已知函数则不等式的解集为（）A．（，1）B．[1，4]C．（，4）D．[1，+∞11．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|=|F1F2|．若直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．312．已知函数f（x）=e x（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f （x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的值是．15．已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，设T n=S1+S2+…+S n，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则T4=．16．若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正确的序号是：．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4c，B=2C （Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．21．设函数f（x）=e ax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m 的值．参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合A={x|y=}，集合B={x|2x﹣x2＞0}，则（∁R A）∩B等于（A．（0，2）B．[1，2）C．（0，1）D．∅【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】化简集合A和B，根据补集与交集的定义写出（∁R A）∩B 即可．【解答】解：集合A={x|y=}={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，集合B={x|2x﹣x2＞0}={x|x（x﹣2）＜0}={x|0＜x＜2}，则∁R A={x|x＜1}，∴（∁R A）∩B={x|0＜x＜1}=（0，1）．故选：C．2．复数z=的虚部为（）A．﹣1 B．﹣3 C．1 D．2【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z==，∴复数z=的虚部为﹣3．故选：B．3．若抛物线y2=2px（p＞0）上的点A（x0，）到其焦点的距离是A 到y轴距离的3倍，则p等于（）A．B．1 C．D．2【考点】抛物线的简单性质．【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x0=x0+，得出x0求得p，可得答案．【解答】解：由题意，3x0=x0+，∴x0=，∴=2，∵p＞0，∴p=2，故选D．4．已知向量，满足||=1，||=2，与的夹角的余弦值为sin，则•（2﹣）等于（）A．2 B．﹣1 C．﹣6 D．﹣18【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意利用两个向量的数量积的定义求得的值，可得（2﹣）的值．【解答】解：∵向量，满足||=1，||=2，与的夹角的余弦值为sin=sin（﹣）=﹣，∴=1×2×（﹣）=﹣3，∴•（2﹣）=2﹣=2•（﹣3）﹣12=﹣18，故选：D．5．已知x∈（0，π），且cos（2x﹣）=sin2x，则tan（x﹣）等于（）A．B．﹣C．3 D．﹣3【考点】两角和与差的正切函数；三角函数的化简求值．【分析】由已知利用诱导公式，二倍角的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求tanx的值，进而利用两角差的正切函数公式即可计算得解．【解答】解：∵cos（2x﹣）=sin2x，可得：sin2x=sin2x，∴2sinxcosx=sin2x，∵x∈（0，π），sinx＞0，∴2cosx=sinx，可得tanx=2，∴tan（x﹣）===．故选：A．6．如图是一个程序框图，则输出的S的值是（）A．18 B．20 C．87 D．90【考点】程序框图．【分析】根据已知中的程序框图可得，该程序的功能是计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，可得答案．【解答】解：第一次执行循环体后，S=2，n=2，不满足退出循环的条件；第二次执行循环体后，S=5，n=3，不满足退出循环的条件；第三次执行循环体后，S=18，n=4，不满足退出循环的条件；第四次执行循环体后，S=87，n=5，满足退出循环的条件；故输出的S值为87，故选：C7．某机械研究所对新研发的某批次机械元件进行寿命追踪调查，随机抽查的200个机械元件情况如下：使用时间（单位：天）10：20 21：30 31：40 41：50 51：60个数10 40 80 50 20若以频率为概率，现从该批次机械元件随机抽取3个，则至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率为（）A． B． C． D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】基本事件总数n=，由题意得：使用寿命在30天以上共150个，由此求出至少有2个元件的使用寿命在30天以上包含的基本事件个数m=，从而能求出至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率．【解答】解：随机抽查的200个机械元件，从该批次机械元件随机抽取3个，基本事件总数n=，由题意得：使用寿命在30天以上共150个，至少有2个元件的使用寿命在30天以上包含的基本事件个数m=，故至少有2个元件的使用寿命在30天以上的概率是：P==．故选：D．8．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A．6 B．9 C．12 D．18【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体，进而可得答案．【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是两个三棱柱形成的组合体，下部的三棱柱，底面面积为：×4×3=6，高为1，体积为：6；上部的三棱柱，底面面积为：×2×3=3，高为1，体积为：3；故组合体的体积V=6+3=9，故选：B9．已知x=是函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，将函数f（x）的图象向右平移个单位后得到函数g（x）的图象，则函数g（x）在[﹣，]上的最小值为（）A．﹣2 B．﹣1 C．﹣D．﹣【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得函数的解析式．根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律求得g（x）的解析式，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数g（x）在[﹣，]上的最小值．【解答】解：已知x=是函数f（x）=sin（2x+φ）+cos（2x+φ）=2sin （2x+φ+）（0＜φ＜π）图象的一条对称轴，∴2×+φ+=kπ+，k∈Z，∴φ=，即f（x）=2sin（2x+）．将函数f（x）=2sin（2x+）的图象向右平移个单位后，得到函数g（x）=2sin[2（x﹣）+]=2sin（2x﹣）=2sin（2x ﹣）=﹣2sin（2x﹣）的图象，在[﹣，]上，2x﹣∈[﹣，]，故当2x﹣=时，g（x）取得最小值为﹣1，故选：B．10．已知函数则不等式的解集为（）A．（，1）B．[1，4]C．（，4）D．[1，+∞【考点】对数值大小的比较．【分析】不等式⇔，或，解出即可得出．【解答】解：不等式⇔，或，解得1≤x≤4，或，∴原不等式的解集为．故选：C．11．已知双曲线C：=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），P是双曲线C右支上一点，且|PF2|=|F1F2|．若直线PF1与圆x2+y2=a2相切，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2 D．3【考点】双曲线的简单性质．【分析】先设PF1与圆相切于点M，利用|PF2|=|F1F2|，及直线PF1与圆x2+y2=a2相切，可得几何量之间的关系，从而可求双曲线的离心率的值．【解答】解：解：设PF1与圆相切于点M，因为|PF2|=|F1F2|，所以△PF1F2为等腰三角形，N为PF1的中点，所以|F1M|=|PF1|，又因为在直角△F1MO中，|F1M|2=|F1O|2﹣a2=c2﹣a2，所以|F1M|=b= |PF1|①又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a ②，c2=a2+b2③由①②③可得c2﹣a2=（）2，即为4（c﹣a）=c+a，即3c=5a，解得e==．故选：B．12．已知函数f（x）=e x（x﹣b）（b∈R）．若存在x∈[，2]，使得f （x）+xf′（x）＞0，则实数b的取值范围是（）A．（﹣∞，）B．（﹣∞，）C．（﹣，）D．（，+∞）【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出f′（x），问题转化为b＜在[，2]恒成立，令g （x）=，x∈[，2]，求出b的范围即可．【解答】解：∵f（x）=e x（x﹣b），∴f′（x）=e x（x﹣b+1），若存在x∈[，2]，使得f（x）+xf′（x）＞0，则若存在x∈[，2]，使得e x（x﹣b）+xe x（x﹣b+1）＞0，即b＜在[，2]恒成立，令g（x）=，x∈[，2]，则g′（x）=＞0，g（x）在[，2]递增，∴g（x）最大值=g（2）=，故b＜，故选：A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分13．若x，y∈R，且满足则z=2x+3y的最大值等于15．【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得B（3，3），化目标函数z=2x+3y为y=﹣x+，由图可知，当直线过B时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×3+3×3=15．故答案为：15．14．在平面直角坐标系xOy中，已知圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x﹣5y+c=0的距离为1，则实数c的值是．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】由题意画出图形，把圆x2+y2=5上有且仅有三个点到直线12x ﹣5y+c=0的距离为1转化为原点到直线12x﹣5y+c=0的距离为，再由点到直线的距离公式得答案．【解答】解：如图，由题意可知，原点到直线12x﹣5y+c=0的距离为．由点到直线的距离公式可得：，∴c=．故答案为：．15．已知数列{a n}为等比数列，S n是它的前n项和，设T n=S1+S2+…+S n，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则T4=98．【考点】等比数列的前n项和．【分析】根据题意，设数列{a n}的首项为a1，公比为q，结合题意可得，解可得首项与公比的值，进而可得S n=；又由T4=S1+S2+S3+S4，计算可得答案．【解答】解：根据题意，设数列{a n}的首项为a1，公比为q，若a2•a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，则有，解可得a1=16，q=；则T1=S1=a1=16，则S n=；则T4=S1+S2+S3+S4=16+++=98；故答案为：98．16．若α，β∈[﹣，]，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下列关系式：①α＞β；②α＜β；③α+β＞0；④α2＞β2；⑤α2≤β2其中正确的序号是：④．【考点】三角函数线．【分析】构造函数f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，利用奇偶函数的定义可判断其奇偶性，利用f′（x）=sinx+xcosx可判断f（x）=xsinx，x∈[0，]，与x∈[﹣，0]上的单调性，从而可选出正确答案．【解答】解：令f（x）=xsinx，x∈[﹣，]，∵f（﹣x）=﹣x•sin（﹣x）=x•sinx=f（x），∴f（x）=xsinx，x∈[﹣，]为偶函数．又f′（x）=sinx+xcosx，∴当x∈[0，]，f′（x）＞0，即f（x）=xsinx在x∈[0，]单调递增；同理可证偶函数f（x）=xsinx在x∈[﹣，0]单调递减；∴当0≤|β|＜|α|≤时，f（α）＞f（β），即αsinα﹣βsinβ＞0，反之也成立，∴α2＞β2．故答案为④．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．△ABC中的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=4c，B=2C （Ⅰ）求cosB；（Ⅱ）若c=5，点D为边BC上一点，且BD=6，求△ADC的面积．【考点】余弦定理．【分析】（Ⅰ）由二倍角的正弦公式、正弦定理求出cosC，由二倍角的余弦公式变形求出cosB的值；（Ⅱ）由题意求出b的值，由余弦定理列出方程，化简后求出a的值，由条件求出CD的值，由cosC和平方关系求出sinC，代入三角形的面积公式求出△ADC的面积．【解答】解：（Ⅰ）由题意得B=2C，则sinB=sin2C=2sinCcosC，又b=4c，所以cosC===，所以cosB=cos2C=2cos2C﹣1=；（Ⅱ）因为c=5，b=4c，所以b=，由余弦定理得，b2=a2+c2﹣2accosB则80=a2+25﹣2×a，化简得，a2﹣6a﹣55=0，解得a=11或a=﹣5（舍去），由BD=6得，CD=5，由cosC=得sinC==，所以△ADC的面积S===10．18．我们国家正处于老龄化社会中，老有所依也是政府的民生工程．某市共有户籍人口400万，其中老人（年龄60岁及以上）人数约有66万，为了了解老人们的健康状况，政府从老人中随机抽取600人并委托医疗机构免费为他们进行健康评估，健康状况共分为不能自理、不健康尚能自理、基本健康、健康四个等级，并以80岁为界限分成两个群体进行统计，样本分布被制作成如图表：（Ⅰ）若采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，则两个群体中各应抽取多少人？（Ⅱ）估算该市80岁及以上长者占全市户籍人口的百分比；（Ⅲ）据统计该市大约有五分之一的户籍老人无固定收入，政府计划为这部分老人每月发放生活补贴，标准如下：①80岁及以上长者每人每月发放生活补贴200元；②80岁以下老人每人每月发放生活补贴120元；③不能自理的老人每人每月额外发放生活补贴100元．试估计政府执行此计划的年度预算．【考点】离散型随机变量及其分布列；频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）从图表中求出不能自理的80岁及以上长者占比，由此能求出用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，两个群体中各应抽取多少人．（Ⅱ）求出在600人中80岁及以上长者在老人中占比，用样本估计总体，能求出80岁及以上长者占户籍人口的百分比．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，则X的可能取值为0，120，200，220，300，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列、EX，从而能估计政府执行此计划的年度预算．【解答】解：（Ⅰ）数据整理如下表：不能自理健康状况健康基本健康不健康尚能自理80岁及以20 45 20 15上80岁以下200 225 50 25从图表中知采用分层抽样的方法再从样本中的不能自理的老人中抽取8人进一步了解他们的生活状况，80岁及以上应抽取：8×=3人，80岁以上应抽取：8×=5人．（Ⅱ）在600人中80岁及以上长者在老人中占比为：，用样本估计总体，80岁及以上长者为：66×=11万，用样本估计总体，80岁及以上长者占户籍人口的百分比为=2.75%．（Ⅲ）用样本估计总体，设任一户籍老人每月享受的生活补助为X元，P（X=0）=，P（X=120）==，P（X=200）==，P（X=220）==，P（X=300）==，则随机变量X的分布列为：X 0 120 200 220 300PEX==28，全市老人的总预算为28×12×66×104=2.2176×108元．政府执行此计划的年度预算约为2.2176亿元．19．如图，四棱锥P﹣ABCD中，△PAD为正三角形，AB∥CD，AB=2CD，∠BAD=90°，PA⊥CD，E为棱PB的中点（Ⅰ）求证：平面PAB⊥平面CDE；（Ⅱ）若直线PC与平面PAD所成角为45°，求二面角A﹣DE﹣C的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，推导出四边形CDEF为平行四边形，从而DF∥CE，由此能证明平面PAB⊥平面CDE．（Ⅱ）以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，利用向量法能求出二面角A﹣DE﹣C的余弦值．【解答】证明：（Ⅰ）取AP的中点F，连结EF，DF，∵E是PB中点，∴EF AB，∴CD EF，∴四边形CDEF为平行四边形，∴DF∥CE，又△PAD 为正三角形，∴PA⊥DF，从而PA⊥CE，又PA⊥CD，CD∩CE=C，∴PA⊥平面CDE，又PA⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面CDE．解：（Ⅱ）∵AB∥CD，PA⊥CD，∴PA⊥AB，又AB⊥AD，PA∩AD=A，∴AB⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD，∴∠CPD为PC与平面PAD所成角，即∠CPD=45°，从而CD=AD，以A为原点，建立空间直角坐标系A﹣xyz，如图所示，设AD=2，则A（0，0，0），B（4，0，0），P（0，1，），D（0，2，0），E（2，，），∴=（2，），=（0，2，0），设平面ADE的法向量=（x，y，z），则，取z=﹣4，得=（），由（Ⅰ）知PA⊥平面CDE，∴=（0，1，）是平面CDE的一个法向量，∴cos＜＞===﹣，∴二面角A﹣DE﹣C的余弦值为﹣．20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设A（0，﹣1），直线l与椭圆C交于P，Q两点，且|AP|=|AQ|，当△OPQ（O为坐标原点）的面积S最大时，求直线l的方程．【考点】直线与椭圆的位置关系；椭圆的标准方程．【分析】（Ⅰ）由椭圆过点M（2，1），且离心率为，列出方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程；（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，当k=0时，直线l的方程为y=±1．当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，联立，得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，由此利用根的判别式、韦达定理、弦长公式、点到直线距离公式，结合已知条件能求出直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）过点M（2，1），且离心率为，∴，又a2=b2+c2，解得a=2，b=，∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在，①当k=0时，设直线l的方程为y=y0，P（﹣x0，y0），Q（x0，y0），则，∴S=|2x0|•|y0|=|x0|•|y0|=2≤=2，当且仅当=2﹣，即|y0|=1时，取等号，此时直线l的方程为y=±1．②当k≠0时，可设直线l的方程为y=kx+m，P（x1，y1），Q（x2，y2），联立，消去y，整理得（1+4k2）x2+8kmx+4（m2﹣2）=0，由△=（8km）2﹣4（1+4k2）•4（m2﹣2）＞0，解得8k2+2＞m2，（*），，∴PQ中点为（﹣，），∵|AP|=|AQ|，∴，化简得1+4k2=3m，结合（*）得0＜m＜6，又O到直线l的距离d=，|PQ|=|x1﹣x2|=，∴S=|PQ|•d=•==，∴当m=3时，S取最大值2，此时k=，直线l的方程为y=．综上所述，直线l的方程为y=±1或y=．21．设函数f（x）=e ax+λlnx，其中a＜0，0＜λ＜，e是自然对数的底数（Ⅰ）求证：函数f（x）有两个极值点；（Ⅱ）若﹣e≤a＜0，求证：函数f（x）有唯一零点．【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而判断函数的极值点的个数；（Ⅱ）根据函数的单调性，令x2∈（﹣，+∞），故f（x2）=（1﹣ax2lnx2），令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞），根据函数的单调性判断即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=ae ax+=，（x＞0），令g（x）=axe ax+λ，其中a＜0，x＞0，求导得：g′（x）=ae ax（1+ax），令g′（x）=0，解得：x=﹣，x∈（0，﹣）时，g′（x）＜0，g（x）递减，x∈（﹣，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）递增，x=﹣时，g（x）取得极小值，也是最小值g（﹣）=λ﹣，∵0＜λ＜，∴g（﹣）=λ﹣＜0，又g（0）=λ＞0，∴g（﹣）g（0）＜0，∴函数f（x）有两个极值点；（Ⅱ）由（Ⅰ）得：不妨令x2∈（﹣，+∞），故ax2+λ=0，故f（x2）=（1﹣ax2lnx2），令h（x）=1﹣axlnx，x∈（﹣，+∞），h′（x）=﹣a（lnx+1）＞﹣a（ln+1）=0，∴f（x2）＞0，∵f（0）→负数，∴函数f（x）有唯一零点．请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）22．在极坐标系中，射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A，椭圆Γ的方程为ρ2=，以极点为原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系xOy（Ⅰ）求点A的直角坐标和椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）若E为椭圆Γ的下顶点，F为椭圆Γ上任意一点，求•的取值范围．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），可得点A的直角坐标；求出椭圆直角坐标方程，即可求出椭圆Γ的参数方程；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），E（0，﹣1），求出相应的向量，即可求•的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）射线l：θ=与圆C：ρ=2交于点A（2，），点A的直角坐标（，1）；椭圆Γ的方程为ρ2=，直角坐标方程为+y2=1，参数方程为（θ为参数）；（Ⅱ）设F（cosθ，sinθ），∵E（0，﹣1），∴=（﹣，﹣2），=（cosθ﹣，sinθ﹣1），∴•=﹣3cosθ+3﹣2（sinθ﹣1）=sin（θ+α）+5，∴•的取值范围是[5﹣，5+]．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]（共1小题，满分0分）23．已知不等式|x+3|﹣2x﹣1＜0的解集为（x0，+∞）（Ⅰ）求x0的值；（Ⅱ）若函数f（x）=|x﹣m|+|x+|﹣x0（m＞0）有零点，求实数m 的值．【考点】函数零点的判定定理；绝对值不等式的解法．【分析】（Ⅰ）不等式转化为或，解得x ＞2，即可求x0的值；（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，结合基本不等式，即可求实数m的值．【解答】解：（Ⅰ）不等式转化为或，解得x＞2，∴x0=2；（Ⅱ）由题意，等价于|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，∵|x﹣m|+|x+|≥m+，当且仅当（x﹣m）（x+）≤0时取等号，∵|x﹣m|+|x+|=2（m＞0）有解，∴m+≤2，∵m+≥2，∴m+=2．第31页（共31页）。
广东省江门市2019届高三第一次模拟考试数学(理)试题含答案解析
江门市2019年高考模拟考试数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.是虚数单位，若是纯虚数，则实数（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.【详解】若是纯虚数，化简虚数得到，纯虚数即解得m=-1.故答案为：B.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础.2.设集合，，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先由补集的概念得到，再由交集的概念得到结果即可.【详解】根据题干得到，则.故答案为：C.【点睛】这个题目考查了集合的交集和补集的概念，题型较为基础.3.某地气象局把当地某月（共30天）每一天的最低气温作了统计，并绘制了如下图所示的统计图，假设该月温度的中位数为，众数为，平均数为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】据众数的定义是出现次数最多的数据结合图求出众数；据中位数的定义：是将数据从小到大排中间的数，若中间是两个数，则中位数是这两个数的平均值；据平均值的定义求出平均值，比较它们的大小．【详解】由图知众数＝5由中位数的定义知，得分的中位数为m e，是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15个数是5，第16个数是6，∴＝5.5，（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10） 5.97，∴＜m e＜，故答案为：D．【点睛】本题考查了众数，中位数与平均数，要注意中位数是中间两个数的平均数．4.直角坐标系中，已知两点，，点满足，其中，且．则点的轨迹方程为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由已知向量等式可知C在AB所在的直线上，由直线方程的两点式得答案．【详解】由，且λ+μ＝1，得＝，∴，即，则C、A、B三点共线．设C（x，y），则C在AB所在的直线上，∵A（2，1）、B（4，5），∴AB所在直线方程为，整理得：．故P的轨迹方程为：．故选：A.【点睛】本题考查共线向量基本定理的应用，考查轨迹方程的求法，考查数学转化思想方法，是中档题．5.根据市场调查，预测某种日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）．据此预测，本年度内，需求量超过万件的月份是（）A. 5月、6月B. 6月、7月C. 7月、8月D. 8月、9月【答案】C【解析】【分析】现根据题意得到第n个月时的需求量，再由需求量大于5得到n的范围，进而得到结果.【详解】日用品从年初开始的个月内累计的需求量（单位：万件）大约是（）,则第个月的需求量为，故答案为：C.【点睛】这个题目考查了数列通项的求法中已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项；也考查了不含参的二次不等式的求法，较为基础.6.一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若，且这个四棱锥的体积，则这个四棱锥的侧面积（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据三视图得到原图，根据边长关系和图形特点得到侧面积.【详解】根据三视图得到原图：底面边长为，高为h，体积为侧面积为4个三角形，，根据题目得到故侧面积为32.故答案为：B.【点睛】思考三视图还原空间几何体首先应深刻理解三视图之间的关系，遵循“长对正，高平齐，宽相等”的基本原则，其内涵为正视图的高是几何体的高，长是几何体的长；俯视图的长是几何体的长，宽是几何体的宽；侧视图的高是几何体的高，宽是几何体的宽.由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.7.若，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据解析式得到函数的周期和对称轴，对称中心，进行估算，结合函数的单调性和图像得到结果.【详解】根据函数解析式得到函数的周期为，对称轴和对称中心为，估算，结合函数的图像可得到故答案为：A.【点睛】这个题目考查了三角函数的单调性的应用，以及函数的对称中心和对称轴的求解，题目难度中等.8.若与两个函数的图象有一条与直线平行的公共切线，则（）A. B. C. D. 或【答案】D【解析】【分析】先根据和曲线相切得到切线方程，再根据和二次函数相切得到参数值.【详解】设在函数处的切点设为（x,y）,根据导数的几何意义得到，故切点为（1，0），可求出切线方程为y=x-1,直线和也相切，故,化简得到,只需要满足故答案为：D.【点睛】求切线方程的方法：①求曲线在点P处的切线，则表明P点是切点，只需求出函数在点P处的导数，然后利用点斜式写出切线方程；②求曲线过点P的切线，则P点不一定是切点，应先设出切点坐标，然后列出切点坐标的方程解出切点坐标，进而写出切线方程.9.在二项式的展开式中任取一项，则该项的系数为奇数的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，只考虑二项式系数即可，写出二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，得到概率．【详解】有题意知本题是一个等可能事件的概率，在二项式（x+1）10的展开式中任取一项有11种结果，1和x系数都为1，我们只考虑二项式系数即可．二项式系数为1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1得到奇数4个，∴任取一项，该项的系数为奇数的概率p＝故选：B．【点睛】本题考查等可能事件的概率和二项式系数的特点，本题解题的关键是看出二项式的展开式中所有的二项式系数的值，本题比较特殊，因为二项式的系数等于项的系数．10.直角坐标系中，双曲线（）与抛物线相交于、两点，若△是等边三角形，则该双曲线的离心率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题干得到点A坐标为，代入抛物线得到坐标为，再将点代入双曲线得到离心率.【详解】因为三角形OAB是等边三角形，设直线OA为，设点A坐标为，代入抛物线得到x=2b,故点A的坐标为，代入双曲线得到故答案为：D.【点睛】求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 (的取值范围).11.是球内接正四面体，若球的半径为，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正四面体的各个棱长都相等，以及外接球这一条件得到，而由正四棱锥的结论得到外界球半径和棱长的关系，进而得到结果.【详解】根据正四面体的性质，以及外接球的半径都是1，OA=OB=OC=OD，故得到三角形OAB和三角形OBC，OAC，OAD是全等的三角形，则设四棱锥的边长为a,则外接球的半径为高的四分之三，高是棱的边长的本题中半径为1，棱长为，三角形OAB的顶角的余弦值为. 故答案为：B.【点睛】本题考查四面体的外接球问题，考查了空间想象能力，正四面体即各个侧棱都相等，各侧面都是等边三角形，它有很多性质，例如：外接球的半径是高的四分之三，内切球的半径是高的四分之一，对棱互相垂直.12.若直线与曲线在第一象限无交点，则正整数的最大值是A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由导数研究函数的单调性可得：f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，由导数求曲线切线方程得：g（x）＝2+lnx﹣x,g′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，则4＜x2＜5，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，得解．【详解】因为f（x）＝x+xlnx，所以f′（x）＝2+lnx，当时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0，则f（x）在为减函数，在为增函数，则f（x）min，设直线y＝m（x﹣1）与曲线y＝x+xlnx在第一象限切于点P（x0，y0），则切线方程为：y＝（2+lnx0）x﹣x0，又此直线过点（1，0），解得：2+lnx0﹣x o＝0，设g（x）＝2+lnx﹣xg′（x），易得g（x）在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，设g（x）＝0的两根为x1，x2，不妨设x1＜x2，由g（3）＝ln3﹣1>0, g（4）＝ln4﹣2<0则3＜x2＜4，则m＝2+lnx2＝x2∈（3，4），由图可知，k＜m，即正整数k的最大值是3，故选：C．【点睛】这个题目考查了函数图像的交点问题，它和函数的零点问题是等价的；通过导数研究函数的单调性和极值，得到函数的单调性和图像的变化趋势，进而得到两个函数的图像的交点情况.第Ⅱ卷二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13.命题“在空间中，若四点不共面，则这四点中任何三点都不共线”的逆否命题是_________．【答案】在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面【解析】【分析】根据逆否命题的写法得到结果即可.【详解】逆否命题是既否条件又否结论，在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.故答案为：在空间中，若四点中存在三点共线，则这四点共面.【点睛】这个题目考查了逆否命题的写法，题目较为简单.14.甲、乙、丙、丁、戊名学生进行劳动技术比赛，决出第名到第名的名次．甲、乙两名参赛者去询问成绩，回答者对甲说，“很遗憾，你和乙都没有得到冠军”；对乙说，“你当然不会是最差的”．从这个回答分析，人的名次排列可能有_________种不同的情况．（用数字作答）【答案】【解析】【分析】甲、乙不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下的问题是三个元素在三个位置全排列，根据分步计数原理得到结果．【详解】由题意，甲、乙都不是第一名且乙不是最后一名．乙的限制最多，故先排乙，有3种情况；再排甲，也有3种情况；余下3人有A33种排法．故共有3•3•A33=54种不同的情况．故答案为：54．【点睛】本题主要考查排列、组合与简单的计数问题，解决此类问题的关键是弄清完成一件事，是分类完成还是分步完成，是有顺序还是没有顺序，像这种特殊元素与特殊位置的要优先考虑．15.已知、、是锐角△内角、、的对边，是△的面积，若，，，则_________．【答案】【解析】【分析】根据三角形的面积公式得到角C的正弦值，进而得到角C的值，再由余弦定理得到边c的值.【详解】根据三角形面积公式得到，因为三角形为锐角三角形，故得到角C为，再由余弦定理得到故答案为：7.【点睛】在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现及、时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.16.在直角坐标系中，记表示的平面区域为，在中任取一点，的概率_________．【答案】【解析】【分析】根据不等式组画出可行域，再由几何概率的计算公式得到结果.【详解】根据不等式组得到可行域为图中染色部分，满足的是黑色部分，在中任取一点，的概率黑色部分的面积除以总的染色面积，记直线的交点为,,,故答案为：.【点睛】这个题目考查了简单的线性规划的可行域的画法，以及几何概型的面积型的计算.在利用几何概型的概率公式来求其概率时，几何“测度”可以是长度、面积、体积、角度等，其中对于几何度量为长度，面积、体积时的等可能性主要体现在点落在区域Ω上任置都是等可能的，而对于角度而言，则是过角的顶点的一条射线落在Ω的区域（事实也是角）任一位置是等可能的．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数，方程在上的解按从小到大的顺序排成数列（）．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）弦化切求得方程的根可得到数列的通项；（2）通过第一问得到数列是周期为4的数列，通过观察列举得到和的规律，进而得到结果.【详解】（1） ,解得，，， ,依题意，，.（2）是周期的数列 ,，，， ,，，， ,从而，，……，所以是周期为4的数列,（）.【点睛】这个题目考查了数列的通项公示的求法以及数列的和的求法；采用的是观察法，得到数列的周期，进而得到数列的和.18.如左图，平面五边形中，，，将△沿折起，得到如右图的四棱锥．（1）证明：；（2）若平面平面，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析；（2） .【解析】【分析】(1)通过图中的集合关系得到，进而得到线线垂直；（2）建立空间坐标系得到直线的方向向量和面的法向量得到线面角.【详解】（1）取的中点，连接、。
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图17432109878高考数学精品复习资料2019.5广东省各市20xx 年高考一模数学理试题分类汇编统计与概率一、选择题1、（20xx 届广州市）若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，叶为个位数，则这组数据的中位数和平均数分别是A. 91, 91.5B. 91, 92C. 91.5, 91.5D. 91.5, 922、（20xx 届茂名市）如图，三行三列的方阵中有9个数(1,2,3,1,2,3)ij a i j ==，从中任取三个数，则至少有两个数位于同行或同列的概率是（）A 、37 B 、47 C 、114 D 、13143、（20xx 届汕头市）气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22C ”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是正整数）： ①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8． 则肯定进入夏季的地区有（ ）A ．①②③B ．①③C ．②③D ．①选择题参考答案1、C2、D3、B二、填空题1、（20xx 届江门市）已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归方程为a x b y +=，根据中间两组数据（4，3）和（5，4）求得的直线方程为a bx y +=，则b b ____ ，a a ____．（填“>”或“<”）2、（20xx 届揭阳市）某射击运动员在练习射击中，每次射击命中目标的概率是35，则这名运动员在10次射击中，至少有9次命中的概率是 ．（记1035p =（），结果用含p 的代数式表示）3、（20xx 届湛江市）某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x ，y ，10，11，9．已知这组数据的平均值为10，方差为2，则x y -的值为4、（20xx 届佛山市）某市有40%的家庭订阅了《南方都市报》,从该城市中任取4个家庭,则这4个家庭中恰好有3个家庭订阅了《南方都市报》的概率为_________填空题参考答案1、＜，＞2、所求概率9910101010323()+C ()555P C =（）91023352310()()455533p p p =⨯⨯+=⨯+=. 3、3 4、96625(或0.1536) 三、解答题1、（20xx 届广州市）袋子中装有大小相同的白球和红球共7个，从袋子中任取2个球都是白球的概率为17，每个球被取到的机会均等. 现从袋子中每次取1个球，如果取出的是白球则不再放回，设在取得红球之前已取出的白球个数为X .（1）求袋子中白球的个数； （2）求X 的分布列和数学期望.2、（20xx 届江门市）某树苗培育基地为了解其基地内榕树树苗的长势情况，随机抽取了100株树苗，分别测出它们的高度（单位：cm ），并将所得数据分组，画出频率分布表如下：⑵估计该基地榕树树苗平均高度；⑶基地从上述100株榕树苗中高度在记1分，用X 表示抽取结束后的总记分，求X 的分布列和数学期望．6、（20xx届汕头市）某中学一名数学老师对全班50名学生某次考试成绩分男女生进行了统计（满分150分），其中120分（含120分）以上为优秀，绘制了如下的两个频率分布直方图：()1根据以上两个直方图完成下面的22⨯列联表：()2根据()1中表格的数据计算，你有多大把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系？()3若从成绩在[]130,140的学生中任取2人，求取到的2人中至少有1名女生的概率．7、（20xx届深圳市）空气质量指数（简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数，其数值越2013年11月份AQI 数据频率分布直方图大说明空气污染越严重，为了及时了解空气质量状况，广东各城市都设置了实时监测站．下表是某网站公布的广东省内21个城市在20xx 年12月份某时刻实时监测到的数据：（1）请根据上表中的数据，完成下列表格：（2）统计部门从空气质量“良好”和“轻度污染”的两类城市中采用分层抽样的方式抽取6个城市，省环保部门再从中随机选取3个城市组织专家进行调研，记省环保部门“选到空气质量“良好”的城市个数为ξ”，求ξ的分布列和数学期望．8、（20xx 届湛江市）广东省第十四届运动会将在湛江举行，组委会招募了12名男志愿者和18名女志愿者，将这30名志愿者的身高编成如图所示的茎叶图（单位：cm ），身高在175cm 以上（包括175cm ）定义为“高个子”身高在175cm 以下（不包括175cm ）定义为“非高个子”．()1如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高个子”中抽取5人，再从这5人中选2人，求至少有一人是“高个子”的概率；()2若从身高180cm 以上（包括180cm ）的志愿者中选出男、女各一人，设这2人身高相差ξcm （0ξ≥），求ξ的分布列和数学期望（均值）．9、（20xx 届中山市）在某校高三学生的数学校本课程选课过程中，规定每位同学只能选一个科目。
已知某班第一小组与第二小组各有六位同学选择科目甲或科目乙，情况如下表： 科目甲 科目乙 总计 第一小组 1 5 6 第二小组 2 4 6 总计 3 9 12 现从第一小组、第二小组中各任选2人分析选课情况. （1）求选出的4 人均选科目乙的概率；（2）设ξ为选出的4个人中选科目甲的人数，求ξ的分布列和数学期望．10、（20xx 届佛山市）某地区“腾笼换鸟”的政策促进了区内环境改善和产业转型,空气质量也有所改观,现从当地天气网站上收集该地区近两年11月份(30天)的空气质量指数(AQI )(单位:3g /m μ)资料如下:(Ⅰ) 请填好2014年11月份AQI 数据的频率分布表．．．．．并完成频率分布直方图．．．．．．．；(Ⅱ) 该地区环保部门2014年12月1日发布的11月份环评报告中声称该地区“比去年同期空气质量的优良率提高了20多个百分点”(当AQI 100<时,空气质量为优良).试问此人收集到的资料信息是否支持该观点?解答题参考答案1、（1）解：设袋子中有n (n ∈N *)个白球，依题意得，22717n C C =，………………………1分即()1127672n n -=⨯， 化简得，260n n --=， …………………………2分 解得，3n =或2n =-（舍去）. …………………………3分 ∴袋子中有3个白球. …………………………4分 （2）解：由（1）得，袋子中有4个红球，3个白球. …………………………5分X 的可能取值为0,1,2,3， …………………………6分 ()407P X ==， ()3421767P X ==⨯=，表1()3244276535P X ==⨯⨯=，()321413765435P X ==⨯⨯⨯=. ………………10分 ∴X 的分布列为：…………………………11分∴4241301237735355EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. …………………………12分 2、⑴3236241817100=-----=a ，32.010032==b ……2分⑵估计该基地榕树树苗平均高度为02.1051003111610932107241051810317101=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯(cm )……6分（列式2分，求值1分，文字说明与单位完整1分。
）⑶由频率分布表知树苗高度在[108，112)范围内的有9株，在[110，112)范围内的有3株，因此X 的所有可能取值为0，1，2，3……7分，，，……11分X 的分布列为……12分X 的期望为3542532110214512110=⨯+⨯+⨯+⨯=EX ……13分（列式正确1分） 3、解：（1）频率分布表和频率分布直方图如下图示：--3分 --7分（2）设iA表示事件“此人于当月i日到达该市”（i=1,2，…，10）.则1()10iP A=（i=1,2，…，10）-------------------------------------------------8分依题意可知，ξ的所有可能取值为0,1,2且P(ξ=0)= P(A5)+P(A6)=21105=, ----------------------------------------------------9分P(ξ=1)= P(A1)+P(A4)+P(A7)+P(A10)=42=105，---------------------------------------10分P(ξ=2)= P(A2)+P(A3) +P(A8)+P(A9) =42105=，--------------------------------------11分所以ξ的数学期望12260125555Eξ=⨯+⨯+⨯=．-----------------------------------12分4、5、解：（1）设分数在[)70,80内的频率为x ，根据频率分布直方图，则有(0.010.01520.0250.005)101x +⨯++⨯+=，可得0.3x =，所以频率分布直方图如图所示． …………2分 (3)分（2）平均分：450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=… 5分（3）学生成绩在[)40,70的有0.46024⨯=人，在[]70,100的有0.66036⨯=人，并且X 的可能取值是0，1，2． ……6分22426046(0)295C P X C ===，112436260144(1)295C C P X C ===； 236260105(2)295C P X C ===.…………9分…………10分所以46144105354012295295295295EX =⨯+⨯+⨯=． ………12分 6、解：(1)（4分）(2)由(1)中表格的数据知， K 2＝()250132071020302723⨯⨯-⨯⨯⨯⨯≈4.844. ---------（6分）∵K 2≈4.844≥3.841，∴有95%的把握认为学生的数学成绩与性别之间有关系．-----（8分） （3）成绩在[]130,140的学生中男生410008.050=⨯⨯人， 女生有210004.050=⨯⨯人，--------------（9分）从6名学生中任取2人，共有2615C =种选法，若选取的都是男生，共有246C =种选法；--------------------（10分）故所求事件的概率2426315C p C =-=.-------------------------（12分）【知识点】频率分布直方图；2×2列联表；独立性检验的基本思想；排列组合；概率.7、解:（1）根据数据，完成表格如下：…………………………………2分 （2）按分层抽样的方法， 从“良好”类城市中抽取11264126n =⨯=+个， ………………………………… 3分从“轻度污染”类城市中抽取2662126n =⨯=+个， ……………………………4分 所以抽出的“良好”类城市为4个，抽出的“轻度污染”类城市为2个．根据题意ξ的所有可能取值为：1,2,3．1242361(1)5C C P C ξ===, 2142363(2)5C C P C ξ===，3042361(3)5C C P C ξ===．………8分 ξ∴的分布列为：所以1232555E ξ=⨯+⨯+⨯=． ………………………………………………11分 答：ξ的数学期望为2个． …………………………………………………12分 【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力． 8、9、解：（1）设“从第一小组选出的2人选科目乙”为事件A ，“从第二小组选出的2人选科目乙””为事件B .由于事 件A 、B 相互独立， 且25262()3C P A C ==, 24262()5C P B C ==.………………………………4分 所以选出的4人均选科目乙的概率为224()()()3515P A B P A P B ⋅=⋅=⨯=…………………………… 6分（2）设ξ可能的取值为0,1,2,3.得4(0)15P ξ==, 21112524542222666622(1)45C C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=,15226611(3)45C P C C ξ==⋅=， 2(2)1(0)(1)(3)9P P P P ξξξξ==-=-=-==… 9分ξ的分布列为2014年11月份AQI 数据频率分布表∴ξ的数学期望42221012311545945E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= …………13分 10、【解析】(Ⅰ) 频率分布表(3分)；频率分布直方图(6分) (Ⅱ)支持,理由如下:2013年11月的优良率为:119200.0050.0050.0150.010330⎛⎫⨯⨯+++= ⎪⎝⎭, …………8分 2014年11月的优良率为:3026, …………9分 因此2619723.3%20%303030-=≈> …………11分所以数据信息可支持“比去年同期空气质百分点”.…………………12分。