课时作业(三十九)

课时作业(三十九)一、选择题1．已知不同直线m、n及不重合平面P、Q，给出下列结论：①m⊂P，n⊂Q，m⊥n⇒P⊥Q②m⊂P，n⊂Q，m∥n⇒P∥Q③m⊂P，n⊂P，m∥n⇒P∥Q④m⊥P，n⊥Q，m⊥n⇒P⊥Q其中的假命题有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 C解析①为假命题，m不一定与平面Q垂直，所以平面P与Q不一定垂直．命题②与③为假命题，②中两平面可以相交，③没有任何实质意义．只有④是真命题，因为两平面的垂线所成的角与两平面所成的角相等或互补．2．命题p：若平面α⊥β，平面β⊥γ，则必有α∥γ；命题q：若平面α上不共线的三点到平面β的距离相等，则必有α∥β.对以上两个命题，下列结论中正确的是()A．命题“p∧q”为真B．命题“p∨q”为假C．命题“p∨q”为真D．命题“綈p或非q”为假答案 B解析据题意可知对于命题p，显然与一平面都垂直的两平面的位置关系是平行或相交，如将一本书打开，每一张纸所在平面都与桌面垂直，但这些平面相交，即命题p是假命题；对命题q，只需使平面α内的两点连线与平面β平行，使第三点与这两点的连线与平面β的交点为线段的中点即可满足条件，故命题q 是假命题；A.由于p和q都是假命题，因此命题：“p且q”应为假命题；B.由于p和q都是假命题，故“p或q”应为假命题．故B正确；C错误；D.由于p 和q都是假命题，故非p和非q都是真命题，从而“非p或非q”为真命题，故D是错误的．3.如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC和CD的中点，G是EF的中点，现在沿着AE和AF及EF把正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，那么，在四面体A－EFH中必有()A．AH⊥△EFH所在平面B．AG⊥△EFH所在平面C．HF⊥△AEF所在平面D．AG⊥△EFH所在平面答案 A解析∵AD⊥DF，AB⊥BE∵B、C、D重合记为H∴AH⊥HF，AH⊥HE∴AH⊥面EFH.4．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题：①若m⊥n，m⊥α，n⊄α，则n∥α；②若m∥α，α⊥β，则m⊥β；③若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m⊂α；④若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β.则其中正确命题的序号为________．答案①③④解析①③④正确．②中，可能有m∥β，故②不正确．5．若平面α，β，满足α⊥β，α∩β＝l，P∈α，P∉l，则下列命题中的假命题为()A．过点P垂直于平面α的直线平行于平面βB．过点P在平面α内作垂直于l的直线必垂直于平面βC．过点P垂直于平面β的直线在平面α内D．过点P垂直于直线l的直线在平面α内答案 D解析根据面面垂直的性质定理，得选项B、C正确．对于A，由于过点P 垂直于平面α的直线必平行于β内垂直于交线的直线，因此平行于平面β.因此A 正确．6．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段答案 A解析BD1⊥平面AB1C.7．如图，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在面ABC上的射影H必在()A．直线AB上B．直线BC上C．直线CA上D ．△ABC 内部 答案 A解析 ∵CA ⊥AB ，CA ⊥BC 1，AB ∩BC 1＝B ， ∴CA ⊥平面ABC 1.∴平面ABC ⊥平面ABC 1.∴过C 1作垂直于平面ABC 的直线在平面ABC 1内， ∴H ∈AB . 二、解答题 8．(09·江苏)设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题：(1)若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β； (2)若α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 和α平行；(3)设α和β相交于直线l ，若α内有一条直线垂直于l ，则α和β垂直； (4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条直线垂直． 上面命题中，真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号) 答案 (1)(2) 解析 (1)α内两条相交直线分别平行于平面β，则两条相交直线确定的平面α平行于平面β，正确．(2)平面α外一条直线l 与α内的一条直线平行，则l 平行于α，正确． (3)如图，α∩β＝l ，a ⊂α，a ⊥l ，但不一定有α⊥β，错误．(4)直线l 与α垂直的充分必要条件是l 与α内的两条相交直线垂直，而该命题缺少“相交”两字，故为假命题．综上所述，真命题的序号为(1)(2)．9．如图所示，P A ⊥圆O 所在的平面，AB 是圆O 的直径，C 是圆O 上的一点，E 、F 分别是点A 在PB 、PC 上的正投影，给出下列结论：①AF ⊥PB ；②EF ⊥PB ；③AF ⊥BC ；④AE ⊥平面PBC . 其中正确结论的序号是________． 答案 ①②③解析 由题意知P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC . 又AC ⊥BC ，P A ∩AC ＝A ，∴BC ⊥平面P AC .∴BC ⊥AF .∵AF ⊥PC ，BC ∩PC ＝C ，∴AF ⊥平面PBC ， ∴AF ⊥PB ，AF ⊥BC .又AE ⊥PB ，AE ∩AF ＝A ， ∴PB ⊥平面AEF .∴PB ⊥EF .故①②③正确． 三、解答题10．四面体ABCD 中，AC ＝BD ，E 、F 分别是AD 、BC 的中点，且EF ＝22AC ，∠BDC ＝90°.求证：BD ⊥平面ACD . 证明如图所示，取CD 的中点G ，连结EG 、FG 、EF . ∵E 、F 分别为AD 、BC 的中点，∴EG 綊12AC ，FG 綊12BD .又AC ＝BD ，∴FG ＝12AC .∴在△EFG 中，EG 2＋FG 2＝12AC 2＝EF 2. ∴EG ⊥FG .∴BD ⊥AC . 又∠BDC ＝90°，即BD ⊥CD ，AC ∩CD ＝C ， ∴BD ⊥平面ACD . 11.如图，平行四边形ABCD 中，∠DAB ＝60°，AB ＝2，AD ＝4.将△CBD 沿BD 折起到△EBD 的位置，使平面EBD ⊥平面ABD .(Ⅰ)求证：AB ⊥DE ；(Ⅱ)求三棱锥E －ABD 的侧面积．解析 (Ⅰ)在△ABD 中，∵AB ＝2，AD ＝4，∠DAB ＝60°， ∴BD ＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos ∠DAB ＝2 3.∴AB 2＋BD 2＝AD 2，∴AB ⊥BD . 又∵平面EBD ⊥平面ABD ，平面EBD ∩平面ABD ＝BD ，AB ⊂平面ABD ， ∴AB ⊥平面EBD .∵DE ⊂平面EBD ，AB ⊥DE .(Ⅱ)由(Ⅰ)知AB ⊥BD .∵CD ∥AB ，∴CD ⊥BD ，从而DE ⊥BD . 在Rt △DBE 中，∵DB ＝23，DE ＝DC ＝AB ＝2，∴S △DBE ＝12DB ·DE ＝2 3.又∵AB ⊥平面EBD ，BE ⊂平面EBD ，∴AB ⊥BE .∵BE ＝BC ＝AD ＝4，∴S △ABE ＝12AB ·BE ＝4.∵DE ⊥BD ，平面EBD ⊥平面ABD ， ∴ED ⊥平面ABD .而AD ⊂平面ABD ，∴ED ⊥AD ，∴S △ADE ＝12AD ·DE ＝4.综上，三棱锥E －ABD 的侧面积S ＝8＋2 3.12．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ＝AA 1＝1，AB ＝2，点E 在棱AB 上移动．(1)证明D 1E ⊥A 1D ；(2)当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离．解析 (1)由长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1知，AE ⊥平面AA 1D 1D ， ∵A 1D ⊂平面AA 1D 1D ，∴AE ⊥A 1D .又∵AD ＝AA 1，∴四边形AA 1D 1D 是正方形， ∴A 1D ⊥AD 1.又∵AD 1∩AE ＝A ，∴A 1D ⊥平面AD 1E ， 又∵D 1E ⊂平面AD 1E ，∴D 1E ⊥A 1D . (2)设点E 到平面ACD 1的距离为h ，在△ACD 1中，AC ＝CD 1＝5，AD 1＝2， AD 1上的高为(5)2－(22)2，∴S △AD 1C ＝12 ·2·(5)2－(22)2＝32，而S △AEC ＝12AE ·BC ＝12，∵VD 1－AEC ＝13S △AEC ·DD 1＝13S △AD 1C ·h ， ∴12×1＝32×h ，∴h ＝13，∴点E 到平面ACD 1的距离是13. 13．(2011·湖北八校)如图，已知AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ，△ACD 是正三角形，AD ＝DE ＝2AB ，且F 是CD 的中点．(1)求证：AF ∥平面BCE ；(2)求证：平面BCE ⊥平面CDE .证明 (1)取CE 中点P ，连结FP 、BP ，∵F 为CD 的中点， ∴FP ∥DE ，且FP ＝12DE . 又AB ∥DE ，且AB ＝12DE ，∴AB ∥FP ，且AB ＝FP ，∴ABPF 为平行四边形，∴AF ∥BP . 又∵AF ⊄平面BCE ，BP ⊂平面BCE ， ∴AF ∥平面BCE .(2)∵△ACD 为正三角形，∴AF ⊥CD . ∵AB ⊥平面ACD ，DE ∥AB ， ∴DE ⊥平面ACD . 又AF ⊂平面ACD ，∴DE ⊥AF .又AF ⊥CD ，CD ∩DE ＝D ， ∴AF ⊥平面CDE .又BP ∥AF ，∴BP ⊥平面CDE . 又∵BP ⊂平面BCE ， ∴平面BCE ⊥平面CDE . 14．(2010·北京卷，文)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ； (2)求证：CF ⊥平面BDE .解析 (1)设AC 与BD 交于点G .因为EF ∥AG ，且EF ＝1，AG ＝12AC ＝1， 所以四边形AGEF 为平行四边形， 所以AF ∥EG .因为EG ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ， 所以AF ∥平面BDE .(2)连结FG .因为EF ∥CG ，EF ＝CG ＝1，且CE ＝1， 所以四边形CEFG 为菱形，所以CF ⊥EG .因为四边形ABCD为正方形，所以BD⊥AC，又因为平面ACEF⊥平面ABCD，且平面ACEF∩平面ABCD＝AC，所以BD⊥平面ACEF.所以CF⊥BD.又BD∩EG＝G，所以CF⊥平面BDE.15．(2011·海淀区)如图，四棱锥P－ABCD中，P A⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，P A＝AB＝BC，E是PC的中点．求证：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.证明(1)∵P A⊥底面ABCD，∴CD⊥P A，又CD⊥AC，P A∩AC＝A，故CD⊥平面P AC，AE⊂平面P AC，故CD⊥AE.(2)∵P A＝AB＝BC，∠ABC＝60°，故P A＝AC.∵E是PC的中点，故AE⊥PC.由(1)知CD⊥AE，。