精选2019年高中数学单元测试试题-解三角形专题模拟考核题库(含答案)

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最经典《全等三角形》单元测试题卷(含答案)

最经典《全等三角形》单元测试题卷(含答案)全等三角形单元测试题一、选择题（每小题3分，共30分）1.下列说法错误的是（）A。

全等三角形的对应边相等B。

全等三角形的对应角相等C。

全等三角形的周长相等D。

全等三角形的高相等2.如图，△ABC≌△CDA，并且BC=DA，那么下列结论错误的是（）A。

∠1=∠2B。

AC=CAC。

AB=ADD。

∠B=∠D3.如图，AB∥DE，AC∥DF，AC=DF，下列条件中不能判断△ABC≌△DEF的是（）A。

AB=DEB。

∠B=∠EXXX=BCD。

EF∥BC4.长为3cm、4cm、6cm、8cm的木条各两根，XXX与XXX分别取了3cm和4cm的两根，要使两人所拿的三根木条组成的两个三角形全等，则他俩取的第三根木条应为（）A。

一个人取6cm的木条，一个人取8cm的木条B。

两人都取6cm的木条C。

两人都取8cm的木条D。

B、C两种取法都可以5.△ABC中，AB=AC，三条高AD、BE、CF相交于O，那么图中全等的三角形有（）A。

5对B。

6对C。

7对D。

8对6.下列说法中，正确的有（）①三角对应相等的两个三角形全等；②三边对应相等的两个三角形全等；③两角、一边相等的两个三角形全等；④两边、一角对应相等的两个三角形全等。

A。

1个B。

2个C。

3个D。

4个7.如图，已知△ABC中，∠ABC=45°，AC=4，H是高AD和BE的交点，则线段BH的长度为（）A。

B。

4C。

D。

58.如图，ABC中，AD是它的角平分线，AB=4，AC=3，那么△ABD与△ADC的面积比是（）A。

1:1B。

3:4C。

4:3D。

不能确定二、填空题（每小题3分，共24分）11.一个三角形的三边为2、5、x，另一个三角形的三边为y、2、6，若这两个三角形全等，则x+y=7.12.如图，∠1=∠2，CD=BD，可证△ABD≌△ACD，则依据是SSS。

13.在四边形ABCD中，已知CB=CD，∠XXX∠ADC=90°，∠BAC=35°，求∠BCD的度数。

高考数学压轴专题最新备战高考《三角函数与解三角形》经典测试题含答案

新高中数学《三角函数与解三角形》专题解析一、选择题1．已知πππsin()cos()0,322ααα++-=-<<则2πcos()3α+等于（）A B ．35-C ．45D ．35【答案】C 【解析】【分析】首先根据等式化简，得到4sin 65πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，再利用诱导公式化简2cos 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭求值. 【详解】解析：∵ππsin cos 32αα⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭13sin sin sin 22225ααααα++=+=-65πα⎛⎫=+=-⎪⎝⎭ ∴π4sin 65()α+=-.又2ππππcos cos sin 32()())6(6ααα+=++=-+， ∴2π4co (s 35)α+=. 故选：C 【点睛】本题考查三角恒等变换，化简求值，重点考查转化与变形，计算能力，属于基础题型.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若（a ﹣c cos B ）sin A ＝c cos A sin B ，则△ABC 的形状一定是（） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．锐角三角形【答案】C 【解析】【分析】根据题意，由(cos )sin cos sin a c B A c A B -=变形可得sin sin a A c C =，进而由正弦定理可得22a c =，即a c =，即可得答案．【详解】根据题意，在ABC ∆中，(cos )sin cos sin a c B A c A B -=，变形可得：sin cos sin cos sin (cos sin cos sin )sin()sin a A c B A c A B c B A A B c A B c C =+=+=+=，即有sin sin a A c C =，又由正弦定理可得22a c =，即a c =. 故选：C ．【点睛】本题主要考查三角形的形状判断，考查正弦定理的应用，意在考查学生对这些知识点的理解掌握水平，属于基础题．3．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足，222b c a bc +-=，AB BC ⋅>u ur u u r u u，a =b c +的取值范围是( ) A ．31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭B．32⎫⎪⎪⎝⎭C ．13,22⎛⎫⎪⎝⎭D ．31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】B 【解析】【分析】利用余弦定理222cos 2b c a A bc+-=，可得3A π=，由|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r，可得B为钝角，由正弦定理可得sin sin(120)30)o o b c B B B ∴+=+-=+，结合B 的范围，可得解【详解】由余弦定理有：222cos 2b c a A bc+-=，又222b c a bc +-=故2221cos 222b c a bc A bc bc +-===又A 为三角形的内角，故3A π=又2a=sin sin sin(120)2ob c c B C B ==- 又|||cos()|0AB BC AB BC B π⋅=⋅->u u u u u u u u r u ur u r u r故cos 0B B <∴为钝角3sin sin(120)sin 30)22o o b c B B B B B ∴+=+-=+=+(90,120)o o B ∈Q ，可得1330(120150)sin(30)(,)22o o o o B B +∈∴+∈，333sin(30)(,)22o b c B ∴+=+∈ 故选：B 【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理和向量的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题4．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减【答案】D 【解析】f (x )的最小正周期为2π，易知A 正确； f 8π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 8ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos3π＝－1，为f (x )的最小值，故B 正确；∵f (x ＋π)＝cos ππ3x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭＝－cos π3x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∴f ππ6⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos ππ63⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－cos 2π＝0，故C 正确；由于f 2π3⎛⎫⎪⎝⎭＝cos 2ππ33⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cosπ＝－1，为f (x )的最小值，故f (x )在,2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上不单调，故D 错误．故选D.5．已知函数()sin()R,0,0,||2f x A x x A πωϕωϕ⎛⎫=+∈>>< ⎪⎝⎭的图象（部分）如图所示，则ω，ϕ分别为（）A ．,3πωπϕ==B ．2,3πωπϕ==C ．,6πωπϕ==D ．2,6πωπϕ==【答案】C 【解析】【分析】由最大值可确定振幅A ，由周期确定ω，由1()23f =确定ϕ. 【详解】由图可得，2A =，5114632T =-=，所以22T πω==，ωπ=，又1()23f =，所以12sin()23πϕ⨯+=，2,32k k Z ππϕπ+=+∈，即2,6k k Z πϕπ=+∈，又2πϕ<，故6π=ϕ. 故选：C 【点睛】本题考查由图象确定正弦型函数解析式中的参数问题，考查学生逻辑推理能力，是一道中档题.6．已知ABC V 的三条边的边长分别为2米、3米、4米，将三边都增加x 米后，仍组成一个钝角三角形，则x 的取值范围是（） A ．102x << B ．112x << C ．12x << D ．01x <<【答案】D 【解析】【分析】根据余弦定理和三角形三边关系可求得x 的取值范围. 【详解】将ABC V 的三条边的边长均增加x 米形成A B C '''V ，设A B C '''V 的最大角为A '∠，则A '∠所对的边的长为()4x +米，且A '∠为钝角，则cos 0A '∠<，所以()()()()()2222342340x x x x x x x ⎧+++<+⎪+++>+⎨⎪>⎩，解得01x <<.故选：D. 【点睛】本题考查利用余弦定理和三角形三边关系求参数的取值范围，灵活利用余弦定理是解本题的关键，考查计算能力，属于中等题.7．将函数()()sin 0,π2f x x ϕωϕω⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，且1π2f ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则当ω取最小值时，函数()f x 的解析式为（）A ．()sin 26f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 2π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭C ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭D ．()sin 4π6f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】由题意利用函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，可得所得函数的解析式，由12f πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，求出φ，再根据所得图象关于y 轴对称求出ω，可得()f x 的解析式．【详解】解：将函数()()sin (0,)2f x x πωφωφ=+><的图象向右平移6π个单位长度后，可得sin 6y x ωπωφ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象；∵所得图象关于y 轴对称，∴62k ωππφπ-+=+，k Z ∈．∵()1sin sin 2f ππφφω⎛⎫=-=+=- ⎪⎝⎭，即1sin 2φ=，26ππφφ<=，. ∴63k ωπππ-=+，620k ω=-->, 则当ω取最小值时，取1k =-，可得4ω=， ∴函数()f x 的解析式为()sin 46f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 故选C ．【点睛】本题主要考查函数()sin y A x ωφ=+的图象变换规律，正弦函数的性质，属于中档题．8．△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c ，则C =A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B【解析】【分析】【详解】试题分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可详解：sinB=sin （A+C ）=sinAcosC+cosAsinC ， ∵sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC ﹣sinAcosC=0， ∴cosAsinC+sinAsinC=0， ∵sinC ≠0， ∴cosA=﹣sinA ， ∴tanA=﹣1，∵π2＜A ＜π， ∴A= 3π4，由正弦定理可得c sin sin aC A=， ∵a=2，，∴sinC=sin c A a=12=22， ∵a ＞c ， ∴C=π6，故选B ．点睛：本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据. 解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.9．若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，2cos2sin 4παα⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则sin 2α的值为（） A ．78-B ．78C ．18-D ．18【答案】A 【解析】【分析】利用二倍角公式及两角差的正弦公式化简得到cos sin 4αα+=，再将两边平方利用二倍角正弦公式计算可得；【详解】解：因为2cos2sin 4παα⎛⎫=-⎪⎝⎭所以()222cos sin sincos cossin 44ππαααα-=-所以()())2cos sin cos sin cos sin αααααα-+=- ,cos sin 02παπαα⎛⎫∈-≠ ⎪⎝⎭Q ，所以cos sin 4αα+=所以()21cos sin 8αα+=，即221cos 2cos sin sin 8αααα++=，11sin 28α+= 所以7sin 28α=- 故选：A 【点睛】本题考查两角和差的正弦公式、二倍角公式的应用，属于中档题；10．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=+>的图象关于直线8x π=对称，则ω的最小值为（） A ．13B ．23C ．43D ．83【答案】C 【解析】【分析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，根据题意得出()832k k Z πππωπ+=+∈，可得出关于ω的表达式，即可求出正数ω的最小值.【详解】()sin 2sin 3f x x x x πωωω⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭Q ，由于该函数的图象关于直线8x π=对称，则()832k k Z πππωπ+=+∈，得()483k k Z ω=+∈， 0ω>Q ，当0k =时，ω取得最小值43.故选：C. 【点睛】本题考查利用正弦型函数的对称性求参数，解题时要将三角函数的解析式利用三角恒等变换思想化简，并通过对称性列出参数的表达式求解，考查计算能力，属于中等题.11．函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++⎛⎫=++<< ⎪+++-⎝⎭的最小值为（） A．13+ B．3C．23+ D．3【答案】B 【解析】【分析】利用二倍角公式化简函数()f x ，求导数，利用导数求函数的最小值即可. 【详解】22222sin 2sin cos 2cos 2sin cos1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x +++-+++=++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x xx x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=+=⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()21tan 0sin 32f x x x x π⎛⎫=+<< ⎪⎝⎭， 32222221sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x '''--+⎛⎫⎛⎫=+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 令()cos 0,1t x =∈，()3261g t t t =--+为减函数，且102g ⎛⎫=⎪⎝⎭，所以当03x π<<时，()11,02t g t <<<，从而()'0f x <；当32x ππ<<时，()10,02t g t <<>，从而()'0f x >.故()min 3f x f π⎛⎫==⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变换，利用导数求函数的最小值，换元法，属于中档题.12．若函数()y f x =同时满足下列三个性质：①最小正周期为π；②图象关于直线3x π=对称；③在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则()y f x =的解析式可以是（） A ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭B ．sin 26x y π⎛⎫=-⎪⎝⎭ C ．cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ 【答案】A 【解析】【分析】利用性质①可排除B ,利用性质②可排除C ,利用性质③可排除D ,通过验证选项A 同时满足三个性质. 【详解】逐一验证，由函数()f x 的最小正周期为π，而B 中函数最小正周期为2412ππ=,故排除B ；又cos 2cos 0362πππ⎛⎫⨯-== ⎪⎝⎭，所以cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象不关于直线3x π=对称，故排除C ；若63x ππ-≤≤，则023x ππ≤+≤，故函数cos 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，故排除D ；令2262x πππ-≤-≤，得63x ππ-≤≤，所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增．由周期公式可得22T ππ==,当3x π=时,sin(2)sin 1362πππ⨯-==, 所以函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭同时满足三个性质.故选A ．【点睛】本题考查了三角函数的周期性,对称性,单调性,属于中档题.13．函数()()()cos 20f x x ϕϕπ=+<<在区间,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦单调递减，在区间,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭上有零点，则ϕ的取值范围是（） A ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．25,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,23ππ⎛⎤⎥⎝⎦ D ．,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C 【解析】分析：结合余弦函数的单调减区间，求出零点，再结合零点范围列出不等式详解：当[,]66x ππ∈-，2[,]33x ππϕϕϕ+∈-++，又∵(0,)ϕπ∈，则[,][0,]33ππϕϕπ-++⊆，即033πϕπϕπ⎧-≥⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，233ππϕ≤≤，由cos(2)0x ϕ+=得2,2x k k Z πϕπ+=+∈，242k x ππϕ=+-， ∴0642ππϕ-<-<，解得526ππϕ<<，综上223ππϕ<≤. 故选C.点睛：余弦函数的单调减区间：[2,2]k k ππ+π，增区间：[2,22]k k ππππ++，零点：2x k ππ=+，对称轴：x k π=，对称中心：,2)0(k ππ+，k Z ∈.14．在ABC ∆中，60B ∠=︒，AD 是BAC ∠的平分线交BC 于D，BD =，1cos 4BAC ∠=，则AD =（） A ．2 BCD【答案】A 【解析】【分析】先求出sin BAD ∠=，再利用正弦定理求AD. 【详解】∵21cos 12sin 4BAC BAD ∠=-∠=，∴sin 4BAD ∠=.在ABD ∆中，sin sin AD BD B BAD =∠，∴sin 2sin 4B AD BD BAD =⋅==∠. 【点睛】本题主要考查二倍角的余弦和正弦定理解三角形，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.15．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，b =c =( )A．B ．2 CD ．1【答案】B【解析】1sin A ===cos A =,所以22212c c =+-2320,c c -+=求得1c =或 2.c = 若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除.【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想.当求出cos 2A =后，要及时判断出0030,60AB ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.16．已知函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，若4BC =，则()f x 的单调递增区间是( )A ．2(23k -，42)3k +，k Z ∈B ．2(23k ππ-，42)3k ππ+，k Z ∈C ．2(43k -，44)3k +，k Z ∈D ．2(43k ππ-，44)3k ππ+，k Z ∈ 【答案】C【解析】【分析】由三角函数图像的性质可求得：2πω=，6πϕ=-，即()sin()26f x x ππ=-，再令222262k x k ππππππ--+剟，求出函数的单调增区间即可. 【详解】解：函数())(0f x x ωϕω=+>，)22ππ-<ϕ<，因为1(3A ，0)为()f x 图象的对称中心，B ，C 是该图象上相邻的最高点和最低点，又4BC =，∴222()42T +=，即221216πω+=，求得2πω=．再根据123k πϕπ+=g ，k Z ∈，可得6πϕ=-，()3sin()26f x x ππ∴=-，令222262k x k ππππππ--+剟，求得244433k x k -+剟，故()f x 的单调递增区间为2(43k -，44)3k +，k Z ∈，故选：C ．【点睛】本题考查了三角函数图像的性质及单调性，属中档题.17．40cos2d cos sin x x x xπ=+⎰（） A．1)B1 C1 D．2【答案】C【解析】【分析】利用三角恒等变换中的倍角公式，对被积函数进行化简，再求积分.【详解】因为22cos2cos sin cos sin cos sin cos sin x x x x x x x x x-==-++，∴4400cos 2d (cos sin )d (sin cos )14cos sin 0x x x x x x x x x πππ=-=+=+⎰⎰，故选C ．【点睛】本题考查三角恒等变换知与微积分基本定理的交汇.18．在ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，4AB =，8AC =，2BD =，则ABD △的面积是（）A ．15B ．315C ．1D ．3【答案】A 【解析】【分析】先根据正弦定理求得DC ，再结合余弦定理求得cos B ，进而求出ABD S V ，即可求得结论．【详解】如图：()sin sin sin ADC ADB ADB π∠=-∠=∠，在ABD △中，由正弦定理得sin sin BD AB BAD ADB=∠∠，同理可得sin sin CD AC CAD ADC=∠∠，因为ABC V 中，角A 的平分线交边BC 于D ，上述两个等式相除得BD AB CD AC =， 4AB =Q ，8AC =，2BD =，8244AC BD CD AB ⋅⨯∴===，6BC ∴=. 2222224681cos 22464AB BC AC B AB BC +-+-∴===-⋅⨯⨯，2115sin 144B ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭. 1sin 152ABD S AB BD B ∴=⋅⋅=V 故选：A ．【点睛】本题考查三角形面积的求法以及角平分线的性质应用，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用，考查计算能力，属于中等题.19．设2α是第一象限角，且cos cos αα=-，则α是第（）象限角 A ．一B ．二C ．三D ．四【答案】B【解析】【分析】计算得到720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，再根据cos 0α<得到答案.【详解】 ∵2α是第一象限角，∴360903602k k α︒<<︒+︒，k Z ∈， ∴720180720k k α︒<<︒+︒，k Z ∈，∴α为第一象限角或第二象限角或终边在y 轴正半轴上的轴线角， ∵cos cos αα=-，∴cos 0α<，∴α是第二象限角.故选：B .【点睛】本题考查了角度所在象限，意在考查学生的计算能力和转化能力.20．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43BAC AP ∠==，AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（） A ．32πB ．48πC ．64πD ．72π 【答案】C【解析】【分析】先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可.【详解】在ABC V中，AB AC ==23BAC π∠=，可得6ACB π∠=，则ABC V的外接圆的半径π2sin 2sin 6AB r ACB ===ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122GO AP ==，因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，则222OA OG AG =+，即外接球半径4R ==，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.故选C.【点睛】本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.。

平面向量专题6 解三角形专题—多三角形问题-人教A版(2019)高中数学必修(第二册)专题练习

【技巧总结】（1）在多三角形中，隐含条件是邻补角∠ADC 与∠ADB，邻补角的正弦值相等，余弦值互为相反数；（2）三角形外找关系，三角形内用定理。

【巩固练习】1、如图，在△ABC 中，D 是边AC上的点，且,2AB AD AB ==，2BC BD =，则sin C 的值为（）A．33B．36C．63D．662、已知ABC ∆,4AB AC ==,2BC =．点D 为AB 延长线上一点,2BD =,连结CD ,则BDC ∆的面积是___________，cos BDC ∠=__________．由22sin cos 1ABC ABC ∠+∠=因为BD BC =，所以D BCD ∠=∠，所以2ABC D BCD D ∠=∠+∠=∠，3、如图ABC ∆中，已知点D 在BC 边上，AD ⊥AC，22sin 3BAC ∠=，AB =，3AD =，则BD 的长为_______________．4、在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则B D =____，cos ABD ∠=________.135CBD C ∠=- ，5、若锐角的面积为，，，则BC 边上的中线AD 的长是______．【答案】【解析】解：锐角的面积为，，，则：，解得：，所以：，所以：，解得：．在中，利用余弦定理：，在中，利用余弦定理：得：，解得：故答案为：6、在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=，求：（1）tan tan tan tan A AB C+的值；（2）BC 边上的中线AD 的长.（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，即：221610b c =+-，∴2226b c +=.得3x =，即：3AD =.7、在①34asinC ccosA =;②22B Cbsin +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知，a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC 的面积【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】解:若选择条件①，则答案为:(1)在ABC 中，由正弦定理得34sinAsinC sinCcosA =，因为sin 0C≠，所以2234,916sinA cosA sin A cos A ==，(2)同选择①8．在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC .如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .【答案】见解析【解析】选择①：由余弦定理可得2222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⋅⋅∠选择②9、已知函数()()2cos sin 10f xx x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且AC =，1CD =-，求三角形ABC的面积.【解析】10、在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =．(1)求cos ADB ∠；(2)若DC =，求BC ．在BCD △中，由余弦定理得2222cos BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠所以5BC=．11、∆ABC 中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，∆ABD 面积是∆ADC 面积的2倍．(Ⅰ)求sin sin BC；(Ⅱ)若AD =1，DC =22，求BD 和AC 的长．由余弦定理得2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．222222326AB AC AD BD DC +=++=．由(Ⅰ)知2AB AC =，所以1AC =．。

人教版数学高三第一章解三角形单元测试精选(含答案)1

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（1）求 BC 边长；（2）求 AB 边上中线 CD 的长.
【来源】北京 101 中学 2018-2019 学年下学期高一年级期中考试数学试卷
【答案】（1） 3 2 ；（2） 13 .
33．ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别为 a，b，c，已知 a 3, cos A 6 , B A ，
【答案】C
3．在 ABC 中，若 a b cb c a 3bc ，则 A （）
A． 90
B． 60
C．135
D．150
【来源】2015-2016 学年江西省金溪一中高一下期中数学试卷（带解析)
【答案】B
4．设在 ABC 中,角 A，B,C 所对的边分别为 a，b, c , 若 b cos C c cos B a sin A ,
【答案】C
21．设 ABC 的内角 A, B,C 所对边的长分别为 a, b, c ，若 b c 2a, 3sin A 5sin B ,
则角 C =（）
A．
3 3
C．
4
2
B．
3 5
D．
6
【来源】2013 年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（安徽卷带解析)
【答案】B
22．在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 a2 b2 c2 tanB 3ac ，
A．3 6
B．9 6
C．3
D．6
【来源】福建省晋江市季延中学 2017-2018 学年高一下学期期末考试数学试题
【答案】A
2．已知△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且cc−−ba=sinCsi+nAsinB，则 B= (
)
A．π
6

【试题】2019年新课标人教A版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题及答案

【试题】2019年新课标人教A 版高中数学必修五第一章《解三角形》单元测试题及答案第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，只有一个选项正确）：1.在△ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝AC ＝( )A ．． C D 2.在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝6，AC ＝8，则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．非钝角三角形3.在△ABC 中，已知a ＝11，b ＝20，A ＝130°，则此三角形( )A ．无解B ．只有一解C ．有两解D ．解的个数不确定 4. 海上有A 、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60 的视角，从B 岛望C 岛和A岛成75 视角，则B 、C 两岛的距离是（）海里A. 65B. 35C. 25D. 55.边长为3、7、8的三角形中，最大角与最小角之和为 ( )A ．90°B ．120°C ．135°D ．150°6.如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定的一点C ，测出AC 的距离为m ，45ACB ∠=︒，105CAB ∠=︒后，就可以计算出A ，B 两点的距离为 ( )A. 100mB. mC. mD. 200m7.在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin A sin B ＝sin 2C ，且满足ab ＝4，则△ABC 的面积为( )A ．1B ．2 C. 2 D. 38.如图，四边形ABCD 中，B ＝C ＝120°，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，则该四边形的面积等于( )A. 3B ．5 3C ．6 3D ．7 39.在△ABC 中，A ＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则sin B sin C 的值为( ) A.85 B.58 C.53 D.3510.某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5(6＋2) kmB ．5(6－2) kmC ．10(6＋2) kmD ．10(6－2) km11.△ABC 的周长为20，面积为A ＝60°，则BC 的长等于( )A ．5 B.6 C ．7 D ．812.在ABC △中，角A B C 、、所对的边分别为,,a b c ，若120,C c ∠=︒=，则（）A ．a b >B ．a b <C ．a b =D ．a 与b 的大小关系不能确定第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（共4小题，每小题5分）：13.三角形的两边分别是5和3，它们夹角的余弦值是方程06752=--x x 的根，则此三角形的面积是。

必修5解三角形第一单元测试题 (含答案)

数学必修5解三角形单元测试题（时间120分钟，满分150分）一、选择题：（每小题5分，共计60分）1.在△ABC 中，若BA sin sin >，则A 与B 的大小关系为（） A. B A > B. B A < C. A ≥B D. A 、B 的大小关系不能确定 2. 在△ABC 中，b=3，c=3，B=300，则a 等于（）A ．3B ．123C ．3或23D ．2 3. 不解三角形，下列判断中正确的是（）A ．a=2，b=4，A=300有两解B ．a=30，b=25，A=1500有一解C ．a=6，b=9，A=450有两解D ．a=9，c=10，B=600无解4. 已知△ABC 的周长为9，且4:2:3sin :sin :sin =C B A ，则cosC 的值为（）A ．41-B ．41 C ．32-D ．32 5. 在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，其面积为3，则CB A cb a sin sin sin ++++等于( )A ．33B ．3392C ．338D ．2396．（2013年高考湖南卷）在锐角中ABC ∆,角,A B 所对的边长分别为,a b 若2sin 3,a B b A =则角等于（） A.12π B.6π C.4π D.3π 7.已知锐角三角形的边长分别为1，3，a ，则a 的范围是（）A ．()10,8B ．()8,10 C ． ()10,8D ．()10,88.在△ABC 中，若cCb B a A sin cos cos ==，则△ABC 是（） A ．有一内角为30°的直角三角形B ．等腰直角三角形C ．有一内角为30°的等腰三角形D ．等边三角形9. △ABC 中，若c=ab b a ++22，则角C 的度数是( ) A.60°或120° B.60° C. 45° D.120° 10. 在△ABC 中，若b=22,a=2，且三角形有解，则A 的取值范围是( ) A.0°＜A ＜30° B.0°＜A ≤45° C.0°＜A ＜90° D.30°＜A ＜60°11. 已知△ABC 的三边长6,5,3===c b a ，则△ABC 的面积为（）A ． 14B ．15C ． 142D ．15212.（2013年高考陕西卷）设△ABC 的内角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若cos cos sin b C c B a A +=, 则△ABC 的形状为（）(A) 锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D) 不确定二、填空题（每小题5分，满分20分）13.（2013新课标Ⅱ）设θ为第二象限角,若1tan()42πθ+=,则sin cos θθ+=______. 14. 在等腰三角形 ABC 中，已知sinA ∶sinB=1∶2，底边BC=10，则△ABC 的周长是 .15. 在△ABC 中，已知sinA ∶sinB ∶sinC=3∶5∶7,则此三角形的最大内角的度数等于________.16. 已知△ABC 的三边分别是a 、b 、c ，且面积4222c b a S -+=，则角C=_______．三、解答题（70分）17. (本题满分10分)已知a ＝33，c ＝2，B ＝150°，求边b 的长及三角形面积．18. （本题满分12分）在△ABC 中，已知a-b=4,a+c=2b ，且最大角为120°，求△ABC 的三边长.19. （本题满分12分）在△ABC 中，证明：2222112cos 2cos ba b B a A -=-。

高中数学必修一第五章三角函数单元测试（1）（含答案解析）

⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试（1）（含答案解析）⾼中数学必修⼀第五章三⾓函数单元测试 (1)⼀、选择题（本⼤题共9⼩题，共45.0分）1.以罗尔中值定理、拉格朗⽇中值定理、柯西中值定理为主体的“中值定理”反映了函数与导数之间的重要联系，是微积分学重要的理论基础，其中拉格朗⽇中值定理是“中值定理”的核⼼内容，其定理陈述如下：如果函数y=f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导，则在区间(a,b)内⾄少存在⼀个点x0∈(a,b)，使得f(b)?f(a)=f?(x0)(b?a)，x=x0称为函数y= f(x)在闭区间[a,b]上的中值点，则函数f(x)=sinx+√3cosx在区间[0,π]上的“中值点”的个数为参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，π≈3.14．A. 1B. 2C. 3D. 42.若α∈(π2,π)，cos?2α=?13，则tan?α=()A. ?√33B. ?√3 C. ?√2 D. ?√223.cos20o cos40°?sin20°sin40°=()A. 1B. 12C. ?12D. √324.为了得到函数f(x)=sin(2x+3π4)的图象，可以将函数g(x)=cos2x的图象()A. 向右平移π4个单位 B. 向左平移π4个单位5.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c，若2c?ba =cosBcosA，a=2√3，则△ABC⾯积的最⼤值为()A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√36.已知sinα?cosα=13,则cos2(π4α)=()A. 1718B. 19C. √29D. 1187.若将函数f(x)=sin(2x+φ)+√3cos(2x+φ)(0<φ<π)的图象向左平移π4个单位长度，平移后的图象关于点(π2,0)对称，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值()A. ?12B. ?√3228.若函数f(cos x)=cos2x+1，则f(cos30°)的值为()A. 12B. 32C. 72D. 49.3?sin110°8?4cos210°=()A. 2B. √22C. 12D. √32⼆、填空题（本⼤题共5⼩题，共25.0分）10.已知cos?(α+π4)=13,α∈(0,π4)，则cos2α=________．11.已知△ABC的内⾓A,B,C所对的边分别为a,b,c，B=π4，tan(π4A)=12，且△ABC的⾯积为25，则a+b=_________．12.函数y=√3sin2x?cos2x的图象向右平移φ(0<φ<π)个长度单位后，得到函数g(x)的图象，若函数g(x)为偶函数，则φ的值为___________．13.在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，且cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC，则a+c的取值范围是________．14.已知函数f(x)=sinxcos(x+π3)+√34,x∈[?π3,π6]，则函数的单调减区间为___________，函数的值域为____________．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共72.0分）15.如图，在四边形ABCD中，已知∠DAB=π3，AD︰AB=2︰3，BD=√7，AB⊥BC．(1)求sin∠ABD的值；(2)若∠BCD=2π3，求CD的长．16.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的最⼩值为?3，若f(x)图象相邻的最⾼点与最低点的横坐标之差为2π，且f(x)的图象经过点(0,32)．(2)若⽅程f(x)?k=0在x∈[0,11π3]上有两个零点x1,x2，求k的取值范围，并求出x1+x2的值．17.在△ABC中，⾓A，B，C的对边分别为a，b，c.已知向量m =(b,a?2c)，n?=(cosA?2cosC,cosB)，且n?⊥m ．(1)求sinCsinA的值；(2)若a=2，|m |=3√5，求△ABC的⾯积S．18.化简，求值：(1)已知tanα=34,求tan(α+π4)的值；(2)sin20°sin40°?cos20°cos40°．19.在△ABC中，内⾓A，B，C对边的边长分别是a、b、c，△ABC的⾯积为S⑴若c=2，C=π3，S=√3，求a+b;)=a，求⾓A;⑴若√3(bsinC?ccosBtanC20.如图，某住宅⼩区的平⾯图呈圆⼼⾓为120°的扇形AOB，⼩区的两个出⼊⼝设置在点A及点C处，且⼩区⾥有⼀条平⾏于BO的⼩路CD．(1)已知某⼈从C沿CD⾛到D⽤了10分钟，从D沿DA⾛到A⽤了6分钟，若此⼈步⾏的速度为每分钟50⽶，求该扇形的半径OA的长(精确到1⽶)；(2)若该扇形的半径为OA=a，已知某⽼⼈散步，从C沿CD⾛到D，再从D沿DO⾛到O，试确定C的位置，使⽼⼈散步路线最长．-------- 答案与解析 --------本题考查导数运算、余弦函数性质，属于中档题．求出f(x)的导数，利⽤f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，可得结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，【解答】解：由知由拉格朗⽇中值定理：令f′(x0)=f(b)?f(a)b?a，即，由?√3π∈(?1,?12)，结合余弦函数性质易知⽅程在区间(0,π)内有2解，故在区间[0,π]上的“中值点”有2个，故选B．2.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值，考查同⾓三⾓函数基本关系式和⼆倍⾓公式，是基础题．由已知可得tanα<0，再由⼆倍⾓公式和同⾓三⾓函数基本关系可得tanα的⽅程，解之可得答案．【解答】解：∵α∈(π2,π)，且cos2α=?13，∴tanα<0，且cos2α=cos2α?sin2α=cos2α?sin2αcos2α+sin2α=1?tan2α1+tan2α=?13，解得tanα=?√2．故选C．3.答案：B本题考查两⾓和与差的三⾓函数公式，属于基础题．由题直接计算求解即可得到答案．【解答】解：cos20o cos40°?sin20°sin40°=cos(20°+40°) =cos60°=12．故选B ． 4.答案：D解析：【分析】本题考查三⾓函数的图象变换规律，是基础题．根据题意，进⾏求解即可．【解答】解：，，⼜，∴只需将函数g(x)=cos2x 的图象向左平移π8个单位即可得到函数f(x)=sin?(2x +3π4)的图象．故选D ． 5.答案：C解析：【分析】本题考查正余弦定理、三⾓形⾯积公式，两⾓和的正弦公式和基本不等式，属于中档题.先由正弦定理和两⾓和的正弦公式得出cosA =12，再由余弦定理和基本不等式解得bc ≤12，最后由三⾓形⾯积公式求得△ABC ⾯积的最⼤值．【解答】解：由已知可得(2c ?b)cosA =acosB ，由正弦定理可得(2sinC ?sinB)cosA =sinAcosB ，所以2sinCcosA =sinBcosA +sinAcosB =sin(A +B)=sinC ，由sinC ≠0可得cosA =12，则，由余弦定理可得12=b 2+c 2?2bc ×12=b 2+c 2?bc ，由基本不等式可得12=b 2+c 2?bc ≥2bc ?bc =bc ，解得bc ≤12，当且仅当b =c =2√3时，取等号，故△ABC ⾯积S =12bcsinA =√34bc ≤√34×12=3√3．故选C ．6.答案：A解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式、诱导公式以及同⾓三⾓函数基本关系的应⽤，属于基础题．由条件利⽤⼆倍⾓公式可得sin2α=81+cos(π22α)2=12+sin2α2，计算求得结果．【解答】解：∵sinα?cosα=13，∴1?2sinαcosα=1?sin2α=19，∴sin2α=89，则cos2(π4?α)=1+cos(π22α)2=12+sin2α2=1718，故选A．7.答案：D解析：【分析】本题主要考查函数y=Asin(ωx+φ)的图像变换规律、诱导公式和三⾓函数的性质．3]=2cos(2x+φ+π3)，再根据图像关于点(π2,0)对称，得到φ=π6，得到g(x)=cos(x+π6)，进⽽求出g(x)的最⼩值．【解答】解：∵f(x)=sin?(2x+φ)+√3cos?(2x+φ)=2sin?(2x+φ+π3)，∴将函数f(x)的图像向左平移π4个单位长度后，得到图像的函数解析式为y=2sin?[2(x+π4)+φ+π3]=2cos?(2x+φ+π3)．∵函数y=2cos(2x+φ+π3)的图像关于点(π2,0)对称，∴2cos(2×π2+φ+π3)=0，所以π+φ+π3=kπ+π2解得φ=kπ?5π6,k∈Z．∵0<φ<π，∴φ=π6，∴g(x)=cos(x+π6)．∵x∈[?π2,π6]，∴x+π6∈[?π3,π3]，∴cos(x+π6)∈[12,1]，则函数g(x)=cos(x+φ)在[?π2,π6]上的最⼩值是12．故选D．8.答案：B解析：【分析】本题主要考查⼆倍⾓公式的应⽤，属于基础题.利⽤⼆倍⾓公式，然后求出函数值即可．【解答】解：∵f(cos x)=cos 2x +1=2cos 2x ，∴f(cos?30°)=2cos 230°32)2=32．故选B ． 9.答案：C解析：【分析】本题考查三⾓函数的化简求值问题，属于基础题．根据诱导公式与⼆倍⾓的余弦公式即可求出结果．【解答】解：原式=3?sin110°8?4cos 210°=3?cos20°8?2(1+cos20°)=3?cos20°6?2cos20°=12．故选C ．10.答案：4√29解析：解：因为cos(α+π4)=13,α∈(0,π4)，所以sin(α+π4)=2√23，所以cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4) =2sin(α+π4)cos(α+π4)=2×2√23×13=4√29．答案：4√29由诱导公式可知cos2α=cos[2(α+π4)?π2]=sin2(α+π4)，然后结合⼆倍⾓的正弦公式展开可求．本题主要考查函数值的计算，利⽤三⾓函数的倍⾓公式是解决本题的关键． 11.答案：5+5√5解析：【分析】本题考查两⾓和与差的三⾓公式的应⽤，考查正弦定理及三⾓形⾯积公式的应⽤，属中档题．依题意，根据两⾓和与差的三⾓公式求得tanA =13，进⽽得sin?A ，cos?A ．⼜B =π4，求得sinC ，再结合三⾓形⾯积及正弦定理求解即可．【解答】解：因为tan?(π4?A)=12，所以1?tan?A1+tan?A =12，则tan?A =13，因此sinA =√1010，cosA =3√1010．所以sinC =sin (A +B )=sinAcosB +cosAsinB =√1010×√22+3√1010×√22=2√55，根据△ABC 的⾯积为25，得12absinC =12ab ×2√55=25，得ab =25√5，⼜由正弦定理得a sinA =bsinB ，得b =√5a ，联⽴{ab =25√5b =√5ab =5√5，所以a +b =5+5√5．故答案为5+5√5．12.答案：π6解析：【分析】先将y =√3sin2x ?cos2x 化为y =2sin(2x ?π6)，然后再利⽤图象平移知识，求出g(x)，根据g(x)是偶函数，则g(0)取得最值，求出φ．本题考查三⾓函数图象变换的⽅法以及性质，将奇偶性、对称性与函数的最值联系起来，是此类问题的常规思路，属于中档题．【解答】解：由已知得y =√3sin2x ?cos2x =2(sin2x ?√32cos2x 12)=2sin(2x π6)．所以g(x)=2sin[2(x ?φ)?π6]，由g(x)是偶函数得g(0)=2sin(?2φ?π6)=±2，∴?2φ?π6=π2+kπ,k ∈Z ，∴φ=?π3kπ2，k ∈Z ，当k =?1时，φ=π6即为所求．故答案为：π6．13.答案：(√32,√3]解析：【分析】本题考查正、余弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤，正弦函数的性质，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．由题意可得⾓B和边b，然后利⽤正弦定理，三⾓函数恒等变换的应⽤可求a+c=√3sin(A+π6)，66<5π6，利⽤正弦函数的性质可求其取值范围．【解答】解：∵在ΔABC中，cosB+√3sinB=2，∴2(12cos?B+√32sin?B)=2，即2sin(B+π6)=2，所以B+π6=π2，B=π3，⼜cosBb +cosCc=2√3sinA3sinC=2√3a3c，所以ccosB+bcosC=2√33ab，故c?a2+c2?b22ac +b?a2+b2?c22ab=2√3即a=2√33ab，解得b=√32，∴由正弦定理可得bsinB =√32√32=1=asinA=csinC，故a=sinA，c=sinC，所以a+c=sinA+sinC=sinA+sin(2π3A)=sinA+√32cosA+12sinA=32sinA+√32cosA=√3sin(A+π63，π66<5π6，所以sin(A+π6)∈(12,1]∴a+c=√3sin(A+π6)∈(√32,√3].故答案为(√32,√3].14.答案：；[?√34,12]解析：【分析】本题主要考查了两⾓和与差的三⾓函数公式、⼆倍⾓公式、函数的单调区间以及函数的值域，属于基础题.由题意化简可得，且，，由此即可得到函数的单调减区间以及值域．【解答】解：=sinx (12cosx ?√32sinx)+√34=14sin2x ?√32sin 2x +√34 =14sin2x +√34cos2x ，令，解得，，令k =0，可得，即函数的单调减区间为，此时，，即函数的值域为[?√34,12]，故答案为；[?√34,12]．15.答案：解：(1)由题意可设AD =2k ，AB =3k(k >0)．∵BD =√7，∠DAB =π3，∴由余弦定理，得(√7)2=(3k)2+(2k)2?2×3k ×2kcos π3，解得k =1，∴AD =2，AB =3．．(2)∵AB ⊥BC ，，，，∴CD =√7×2√77√32=4√33．解析：本题主要考查了余弦定理，⽐例的性质，正弦定理，同⾓三⾓函数之间的关系以及特殊⾓的三⾓函数值在解三⾓形中的综合应⽤，考查了计算能⼒和转化思想，属于中档题．(1)在△ABC 中，由已知及余弦定理，⽐例的性质即可解得AD =2，AB =3，由正弦定理即可解得sin∠ABD 的值;(2)由(1)可求cos∠DBC ，利⽤同⾓三⾓函数关系式可求sin∠DBC 的值，利⽤正弦定理即可计算得解．16.答案：解：(1)由题意得：A =3,T2=2π，则T =4π，即ω=2πT=12，所以f(x)=3sin(12x +φ)，⼜f(x)的图象经过点(0,32)，则32=3sinφ，由|φ|<π2得φ=π6，所以f(x)=3sin(12x +π6)； (2)由题意得，f(x)?k =0在x ∈[0,11π3]有且仅有两个解x 1，x 2，即函数y =f(x)与y =k 在x ∈[0,11π3]且仅有两个交点，由x ∈[0,11π3]得，12x +π6∈[π6,2π]，则f(x)=3sin(12x +π6)∈[?3,3]，设t =12x +π6，则函数为y =3sint ，且t ∈[π6,2π]，画出函数y =3sint 在t ∈[π6,2π]上的图象，如图所⽰：由图可知，k 的取值范围为：k ∈(?3,0]∪[3 2,3)，当k ∈(?3,0]时，由图可知t 1，t 2关于t =3π2对称，即x =83π对称，所以x 1+x 2=16π3当k ∈[32,3)时，由图可知t 1，t 2关于t =π2对称，即x =23π对称，所以x 1+x 2=4π3，综上可得，x 1+x 2的值是16π3或4π3．解析：(1)由题意求出A 和周期T ，由周期公式求出ω的值，将点(0,32)代⼊化简后，由φ的范围和特殊⾓的三⾓函数值求出φ的值，可得函数f(x)的解析式；(2)将⽅程的根转化为函数图象交点问题，由x 的范围求出12x +π6的范围，由正弦函数的性质求出f(x)的值域，设设t =12x +π6，函数画出y =3sint ，由正弦函数的图象画出y =3sint 的图象，由图象和条件求出k 的范围，由图和正弦函数的对称性分别求出x 1+x 2的值．本题考查了形如f(x)=Asin(ωx +φ)的解析式的确定，正弦函数的性质与图象，以及⽅程根转化为函数图象的交点问题，考查分类讨论思想，数形结合思想，以及化简、变形能⼒．17.答案：解：(1)由m⊥n ? ，可得b(cosA ?2cosC)+(a ?2c)cosB =0，根据正弦定理可得，sinBcosA ?2sinBcosC +sinAcosB ?2sinCcosB =0∴(sinBcosA +sinAcosB)?2(sinBcosC +sinCcosB)=0∴sin(A +B)?2sin(B +C)=0，∵A +B +C =π，∴sinC ?2sinA =0，所以(2)由(1)得：c =2a ，因为a =2，|m |=3√5，所以c =4，b =3，所以cosA =32+42?222×3×4=78，因为A ∈(0,π)，所以sinA =√1?(78)2=√158，所以△ABC 的⾯积为=12bcsinA =12×3×4×√158=3√154解析：本题考查平⾯向量的数量积、垂直的应⽤、考查两⾓和与差的三⾓函数、正弦定理、余弦定理以及三⾓形⾯积公式的运⽤，考查计算能⼒和转化能⼒，属于中档题．(1)由⊥m n?，可得b(cosA?2cosC)+(a?2c)cosB=0，根据正弦定理可得，sinBcosA?2sinBcosC+sinAcosB?2sinCcosB=0，化简即可；(2)由(1)c=2a可求c，由|m |=3√5可求b，结合余弦定理可求cos A，利⽤同⾓平⽅关系可求sin A，代⼊三⾓形的⾯积公式S=12bcsinA可求．18.答案：解：(1)∵tan?α=34，∴tan?(α+π4)=tanα+tanπ41?tanα·tanπ4=34+11?34×1=7．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)=?cos(?20°+?40°)=?cos60°=?12．解析：本题主要考查了两⾓和差公式，三⾓函数的化简与求值，属于较易题．(1)利⽤两⾓和的正切公式直接代值求解．(2)sin?20°sin?40°?cos?20°cos?40°=?(cos?20°cos?40°?sin20°sin40°)，利⽤两⾓和的余弦公式求解．19.答案：解：，∴ab=4 ①，⼜c2=a2+b2?2abcosC,c=2，∴a2+b2?2ab=4 ②，由①②得a+b=4;(2)∵√3(bsinC?ccosBtanC)=a，∴∵√3(sinBsinC?sinCcosBcosCsinC)=sinA，∴?√3cos(B+C)=sinA，∴tanA=√3，⼜，．解析：本题考查解三⾓形和三⾓恒等变换，考查推理能⼒和计算能⼒，属于⼀般题．(1)利⽤三⾓形的⾯积公式和余弦定理即可求解；(2)由正弦定理和三⾓恒等变换公式得tanA=√3，结合范围即可求出A．20.答案：解：(1)设该扇形的半径为r⽶，连接CO.由题意，得CD=500(⽶)，DA=300(⽶)，∠CDO=60°，在△CDO中，CD2?+OD2?2CD?OD?cos60°=OC2，即，5002+(r?300)2??2×500×(r?300)×1 2=r?2，解得r=490011≈445(⽶)．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，在△DOC中，由正弦定理得：CDsinθ=DOsin(2π3θ)=OCsinπ3=√3，于是CD=3，DO=3sin(2π3θ)，则DC+DO=√3+sin(2π3θ)]=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，所以当θ=π3时，DC+DO最⼤为 2a，此时C在弧AB的中点处．解析：本题主要考查解三⾓形在实际问题中的运⽤，属于中档题．(1)连接OC，由CD//OB知∠CDO=60°，可由余弦定理得到OC的长度．(2)连接OC，设∠DOC=θ，θ∈(0,2π3)，由正弦定理，三⾓恒等变换可求DC+DO=2asin(θ+π6)，θ∈(0,2π3)，利⽤正弦函数的性质可求最⼤值，即可得解．。

高中数学解三角形解答题专题训练含答案

解三角形解答题专题训练 2017.121．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，已知（Ⅰ）求C ；，且sin sin()3sin 2C B A A +-=，求ABC ∆的面积.因为sin 0A ≠，解得（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=，整理，得sin cos 3sin cos B A A A =．若cos 0A =，则ABC ∆的面积若cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =．由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-，解得1,3a b ==．ABC ∆的面积综上，ABC ∆的面积为2．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c. 已知a+b=5，(Ⅰ) 求角C 的大小；（Ⅱ）求△ABC 的面积. 解: (Ⅰ)∵A+B+C=180整理，得01cos 4cos 42=+-C C∵ ∴C=60°（Ⅱ）由余弦定理得：c 2=a 2+b 2－2abcosC ，即7=a 2+b 2－ab ∴ 由条件a+b=5得 7=25－3ab ，故所以的面积 3．已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 所对的边长，且cos cos 2cos a B b A c C +=. （1）求角C 的值；（2）若4,7c a b =+=，求ABC S ∆的值. 解：（1得：sin cos sin cos 2sin cos A B B A C C +=，又sin sin()2sin cos C A B C C =+=，（2）由余弦定理：2222cos c a b ab C =+-，∴11ab =，∴4．在ABC ∆中，内角C B A ,,的对边为c b a ,,，已知（1）求角C 的值；（2）若2=c ，且ABC ∆的面积为，求b a ,. 解：（1︒<<︒1800C ab b a 3)(72-+=ab=6ABC △又∵是三角形的内角，∴又∵C 是三角形的内角，∴（2，∴4=ab ，又∵C ab b a c cos 2222-+=，∴ab ab b a --+=2)(42，∴4=+b a ，或0=-b a ， ∴2==b a .5．锐角ABC ∆中，角C B A 、、的对边分别是c b a 、、，已知（Ⅰ）求C sin 的值；（Ⅱ）当2=a ，C A sin sin 2=时，求b 的长及ABC ∆的面积．（Ⅱ）当a 2,2sinA sinC ==时，由正弦定理，解得c 4=．由余弦定理222c a b 2abcosC =+-，得 6．已知向量(sin m x =，(cos ,n x =-，且()f x m n =⋅.（1）求()f x 的单调递增区间；（2上有零点，求m 的取值范围.解：（1sin m n x =⋅=B则()f x 的递增区间为（2()g x 有零点，即函数与y m =图像有交点，由图象可得，m 的取值范围为7．如图，D 是直角三角形ABC ∆斜边BC 上一点，（Ⅰ）若 30=∠DAC ，求B ∠；（Ⅱ）若DC BD 2=，且，求DC . 解：（Ⅰ）在ABC ∆中，根据正弦定理，有又 6060>+∠=∠+∠=∠B BAD B ADC ，∴ 120=∠ADC ， ∴ 3030120180=--=∠C ，∴ 60=∠B . （Ⅱ）设x DC =，则在ABD ∆中，B BD AB BD AB AD cos 2222⋅⋅-+=，，得2=x .故2=DC . 8．在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,已知（1）求角B 的大小；（2）若a+c=1,求b 的取值范围.又cos 0B ≠,又0B π<<,(2)由余弦定理,有2222cos ba c ac B =+-. 又01a <<,9．在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c 且cos2B+3cosB ﹣1=0．（1）求角B 的大小；（2）若a+c=1，求b 的最小值．解：（1）在△ABC 中，∵cos2B+3cosB ﹣1=0， ∴2cos 2B+3cosB ﹣2=0，∴或cosB=﹣2（舍去），∴．（2）∵a+c=1，由余弦定理，得b 2=a 2+c 2﹣2accosB=（a+c ）2﹣3ac=1﹣3a （1﹣a ）=3a 2﹣3a+1，其中0＜a ＜1， ∵f （a ）=3a 2﹣3a+1在上递减，在上递增，∴，又0＜b ＜1，∴．10．已知ABC ∆中，a ，b，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且2b ，2c 是关于x 的一元二次方程22()0x a bc x m -++=的两根. （1）求角A 的大小；（2，设=B θ，ABC ∆的周长为y ，求()y f θ=的最大值．解：（1）在中，依题意有：，∴2ABC ∆222b c a bc +=+(0)A π∈，∴2sin 2sin b B θ==，11．已知在△ABC 中，（1）若三边长a ，b ，c 依次成等差数列，sinA ：sinB=3：5，求三个内角中最大角的度数；（2）若()22BA BC b a c ⋅=--，求cosB ．解：（1）在△ABC 中有sinA ：sinB=3：5， ∴a ：b=3：5，设a=3k ，（k ＞0）则b=5k ， ∵a ，b ，c 成等差数列，∴c=7k ，∴最大角为C ，有cosC=()()()()()2223k 5k 7k 23k 5k +-⋅⋅=﹣，∴C=120° （2）由BA BC ⋅=b 2﹣（a ﹣c ）2 得：accosB=b 2﹣（a ﹣c ）2，即accosB=a 2+c 2﹣2accosB ﹣（a 2+c 2﹣2ac ），∴3cosB=2，∴cosB=． 12．在ABC ∆中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的三边，22()a b c bc --=， (Ⅰ)求角A ；(Ⅱ)，角B 等于x ，周长为y ，求函数)(x f y =的取值范围. 解：(Ⅰ)由22()a b c bc --=，得222a b c bc --=-，又0A π<< ，(Ⅱ13．在ABC ∆中，(2)cos cos a c B b C -= （1）求角B 的大小;（2）求22cos cos()A A C +-的取值范围. 解：(1）由已知得：(2sin sin )sin cos A C B C -=，即2sin cos sin()A B B C =+∴（2）由（1所以()22cos cos A A C +-的取值范围是(0,2]. 14．在△中，内角C B A 、、的对边分别为c b a 、、,已知.(Ⅰ)求；(Ⅱ)若2=b ，求△面积的最大值.解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得B C C B A sin sin cos sin sin += 又)(C B A +-=π，故C B C B C B A sin cos cos sin )sin(sin +=+= 得B B cos sin =，又()π,0∈B ，所以(Ⅱ) ⊿ABC 的面积又ac c a 222≥+.，当且仅当c a =时，等号成立.因此⊿ABC 的面积的最大值为15．如图，在△ABC 中，已知45B ∠=，D 是BC 边上一点，AD=10，AC=14，DC=6，求AB 的长.解：在△ABC 中，∵AD=10，AC=14，DC=6∴120ADC ∠=, ∴60ADB ∠= ∴在△ABD 中，∵45B ∠=， 60sin 45AD=， 16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c 于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立．（1）求角A 的大小；（2BC 边上的中线AM 长的取值范围．解：（1）由题意，∵对于任意,()()x f x f A ∈R ≤恒成立， ()f A ，当()f x 取得最大值时，A 是三角形的内角，即0A π<<，∴（2）∵AM 是BC 边上的中线， ∴在△ABM ① 在△ACM ② 又∵AMB AMC π∠=-∠，∴cos cos AMB AMC ∠=-∠，①＋②得，∴2236b c <+≤，17．设ABC ∆的内角A ，B ，C ，所对的边长分别为a ，b ，c ,()cos ,cos m A C =，(3n c =-，且m n ⊥．（1）求角A 的大小；（2）若a b =，且BC 边上的中线AM 的长为求边a 的值．解：（1）∵0m n ⋅=，∴4分6 （2）由（1，又∵b a =，∴ ，在AMC ∆中，由余弦定理得：解得2x =，即2a =．18．在ABC ∆中， )cos ,(),cos ,2(B b n C c a m =-= 且m ∥n （1）求角B 的大小；（2）若1=b ，当ABC ∆面积取最大时，求ABC ∆内切圆的半径．解：（1）因为m ∥n ，所以02=--C b B c a cos cos ）（，∴(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=，即2sin cos sin()A B B C =+，（2）由（1）得，又1=b ，ABC ∆中B ac c a b cos 2222-+=得ac c a b -+=222即()2a 31c ac +=+，又因为()ac 4a 2≥+c ．得ac ac 431≥+即1≤ac ．所以当且仅当1==c a 时ABC S ∆最大值为19．设ABC ∆的内角C B A ,,所对的边分别为,,,a b c 且（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若1=b ，求ABC ∆的周长l 的取值范围．∴ac a c b a -=-+22222， ∴ac b c a =-+222，∴ac B ac =cos 2，则 ∵),0(π∈B ，∴（Ⅱ）ac c a c a c b a l =-+++=++=1)1(,122知由，∴ac c a 31)(2=-+ ∴4)(2≤+c a ．∴2≤+c a ．又∵1=>+b c a ，∴△ABC 的周长]3,2(∈++=c b a l ． 20．如图，在ABC ∆中，点D 在BC 边上，（1）求sin C ∠的值；（2）若5BD =，求ABD ∆的面积.解：（1（2）在ACD ∆中，由21．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a ＝1，b ＝2．（1）求∠C 和边c ；（2）若BC BM 4=,且点P 为△BMN值．解：（1所以01cos cos 22=-+C C ，所以1cos -=C 或又因为),0(π∈C ，所以建立坐标系，由（1），由BC BM 4=, ()0,3),4,0(N M ，△BMN 的内切圆方程为：()()11122=-+-y x ，设),(y x P ，则令[)πθθθ2,0,sin 1cos 1∈⎩⎨⎧+=+=y x。

第五章三角形单元测试(含答案)

第五章三角形单元复习题一、选择题1．一个钝角三角形的三条角平分线所在的直线一定交于一点，这交点一定在 ( ) A．三角形内部；B．三角形的一边上；C．三角形外部； D．三角形的某个顶点上2．下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 ( )A．4、5、6； B．6、8、15； C．5、7、12； D．3、9、133．在锐角三角形中，最大角α的取值范围是 ( )A．0°＜α＜90°；B．60°＜α＜90°；C．60°＜α＜180°；D．60°≤α＜90°4．下列判断正确的是 ( )A．有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等B．有两边对应相等，且有一角为30°的两个等腰三角形全等C．有一角和一条边对应相等的两个直角三角形全等D．有两角和一边对应相等的两个三角形全等5．等腰三角形的周长为24cm，腰长为xcm，则x的取值范围是( )A．x＜6； B．6＜x＜12； C．0＜x＜12； D．x＞126．已知△ABC的三个内角∠A、∠B、∠C满足关系式∠B＋∠C＝3∠A．则此三角形 ( ) A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形7．三角形内有一点，它到三边的距离相等，则这点是该三角形的 ( ) A．三条中线交点B．三条角平分线交点C．三条高线交点D．三条高线所在直线交点8．已知等腰三角形的一个角为75°，则其顶角为 ( )A．30°； B．75°； C．105°； D．30°或75°9．如图5—124，直线l、l'、l''表示三条相互交叉的公路，现计划建一个加油站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有 ( )A．一处； B．二处； C．三处； D．四处10．三条线段长度分别为3、4、6，则以此三条线段为边所构成的三角形按角分类是 ( )A．锐角三角形； B．直角三角形； C．钝角三角形； D．根本无法确定二、填空题1．如果△ABC中，两边a＝7cm，b＝3cm，则c的取值范围是_________；第三边为奇数的所有可能值为_________；周长为偶数的所有可能值为_________．2．四条线段的长分别是5cm，6cm，8cm，13cm，以其中任意三条线段为边可以构成______个三角形．3．过△ABC的顶点C作边AB的垂线将∠ACB分为20°和40°的两个角，那么∠A，∠B中较大的角的度数是____________．4．在Rt△ABC中，锐角∠A的平分线与锐角∠B的平分线相交于点D，则∠ADB＝______．5．如图5—125，∠A＝∠D，AC＝DF，那么需要补充一个直接条件________(写出一个即可)，才能使△ABC≌△DEF．6．三角形的一边上有一点，它到三个顶点的距离相等，则这个三角形是_______三角形．7．△ABC中，AB＝5，BC＝3，则中线BD的取值范围是_________．8．如图5—126，△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，CM平分AB，CE平分∠DCM，则∠ACE的度数是______．9．已知：如图5—127，△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分线，过O点的直线分别交AB、AC于点D、E，且DE∥BC．若AB＝6cm，AC＝8cm，则△ADE的周长为______．10．每一个多边形都可以按图5—128的方法割成若干个三角形．而每一个三角形的三个内角的和是180°．按图5—127的方法，十二边形的内角和是__________度．三、解答题1，已知：如图5—129，△ABC的∠B、∠C的平分线相交于点D，过D作MN∥BC交AB、AC分别于点M、N，求证：BM＋CN＝MN2．已知：如图5—130，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD为高，CE平分∠BCD，且∠ACD：∠BCD ＝1：2，那么CE是AB边上的中线对吗?说明理由．3．已知：如图5—131，在△ABC中有D、E两点，求证：BD＋DE＋EC＜AB＋AC．4．已知一直角边和这条直角边的对角，求作直角三角形(用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹)．5．已知：如图5—132，点C在线段AB上，以AC和BC为边在AB的同侧作正三角形△ACM和△BCN，连结AN、BM，分别交CM、CN于点P、Q．求证：PQ∥AB．6．已知：如图5—133，AB＝DE，CD＝FA，∠A＝∠D，∠AFC＝∠DCF，则BC＝EF．你能说出它们相等的理由吗?参考答案一、1．A 2．A 3．D 4．D 5．B 6．A 7．B 8．D 9．A 10．D ．二、1．cm c cm 104<<，5cm 、7cm 、9cm ，16cm 或18cm ； 2．2； 3．70° 4．︒135 5．AB ＝DE （或∠B ＝∠E 或∠C ＝∠F ）； 6．直角； 7．41<<BD ； 8．︒45； 9．14cm 10．1800．三、1．证明：∵ BD 、CF 平分∠ABC 、∠ACB ． ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4． ∵ MN ∥BC ，∴ ∠6＝∠2，∠3＝∠5． ∴ ∠1＝∠6，∠4＝∠5． ∴ BM ＝DM ，CN ＝DN ． ∴ BM ＋CN ＝DM ＋DN ．即 BM ＋CN ＝MN ． 2．解：CE 是AB 边上的中线．理由：∵ ∠ACB ＝90°，∠ACD:∠BCD ＝1:2， ∴ ∠ACD ＝30°，∠BCD ＝60°． ∵ CE 平分∠BCD ， ∴ ∠DCE ＝∠BCE ＝30°．∵ CD ⊥AB ，∠ACD ＝30°，∠BCD ＝60°， ∴ ∠A ＝60，∠B ＝30∴ ∠A ＝∠ACD ＋∠DCE ＝∠ACE ，∠B ＝∠BCE ． ∴ AE ＝EC ，BE ＝EC ． ∴ AE ＝BE ．所以CE 为AB 边上的中线．3．证明：延长BD 交AC 于M 点，延长CE 交BD 的延长线于点N ．在△ABM 中，BM AM AB >+，在△CNM 中，NC MC NM >+，∴ NC BM MC NM AM AB +>+++． ∵ NM BN BM AC MC AM +==+,， ∴ NC NM BN NM AC AB ++>++．∴ NC BN AC AB +>+． ① 在△BNC 中，EC NE DN BD NC BN +++=+ ② 在△DNE 中，DE NE DN >+ ③ 由②、③得：EC DE BD NC BN ++>+ ④ 由①、④得：EC DE BD NC BN AC AB ++>+>+ 4．已知：线段a 和∠α如下图（1）．求作Rt △ABC 使α∠=∠︒=∠=A C a BC ,90,．作法：（1）作∠α的余角∠β．（2）作∠MBN ＝∠β．（3）在射线BM 上截取BC ＝a ．（4）过点C 作CA ⊥BM ，交BN 于点A ，如图（2）． ∴ △ABC 就是所求的直角三角形． 5．证明：∵ △ACM 和△BCN 都是正三角形，∴ ∠ACM ＝∠BCN ＝60°，AC ＝CM ，BC ＝CN ． ∵ 点C 在线段AB 上，∴ ∠ACM ＝∠BCN ＝∠MCN ＝60°． ∴ ∠ACM ＋∠MCN ＝∠BCN ＋∠MCN ＝120°．即 ∠NCA ＝∠BCM ＝120°．在△ACN 和△MCB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CB CN BCM ACN CM AC ∴ △ACN ≌△MCB （SAS ）．∴ ∠ANC ＝∠MBC ．在△PCN 和△QCB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠,,,CB CN BCN MCN MBC ANC ∴ △PCN ≌△QCB （AAS ）． ∴ PC ＝QC ． ∵ ∠PCQ ＝60°∴ △PCQ 是等边三角形． ∴ ∠PQC ＝60° ∴ ∠PQC ＝∠QCB ． ∴ PQ ∥AB ．6．解：连结CE 、BF ，如图．在△ABF 和△DEC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,,CD FA D A DE AB ∴ △ABF ≌△DEC （SAS ）． ∴ ∠3＝∠4，BF ＝EC ． ∵ ∠AFC ＝∠DCF ，∴ ∠AFC －∠3＝∠DCF －∠4．即 ∠1＝∠2．在△BCF 和△EFC 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=,,21,CF FC EC BF ∴ △BCF ≌△EFC （SAS ）． ∴ BC ＝EF ．。

全等三角形单元测试(含答案)

全等三角形单元测试 ︒30，则∠BCF= . ，则图中共有对全等三角形. . 9.若△ABC ≌△A′B′C′，AD 和A′D′分别是对应边BC 和B′C′的高，则△ABD ≌△A′B′D′，理由是_______________.10.在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A.∠B 的平分线相交于O ，则∠AOB＝_________. 二.选择题：(每题3分,共24分) 11.如图9，△ABC ≌△BAD ，A 和B.C 和D 分别是对应顶点，若AB ＝6cm ，AC ＝4cm ，BC ＝5cm ，则AD 的长为（）A.4cmB.5cmC.6cmD.以上都不对12.下列说法正确的是（）A.周长相等的两个三角形全等B.有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等C.面积相等的两个三角形全等D.有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等13.在△ABC 中，∠B ＝∠C ，与△ABC 全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC 中与这100°角对应相等的角是（）A.∠AB.∠BC.∠CD.∠B 或∠C14.下列条件中，能判定△ABC ≌△DEF 的是（）A.AB ＝DE ，BC ＝ED ，∠A ＝∠DB.∠A ＝∠D ，∠C ＝∠F ，AC ＝EFA EB O FC 图8 A B CD 图9C.∠B ＝∠E ，∠A ＝∠D ，AC ＝EFD.∠B ＝∠E ，∠A ＝∠D ，AB ＝DE15.AD 是△ABC 中BC 边上的中线，若AB ＝4，AC ＝6，则AD 的取值范围是（）A.AD ＞1B.AD ＜5C.1＜AD ＜5D.2＜AD ＜1016.下列命题正确的是（）A.两条直角边对应相等的两个直角三角形全等；B.一条边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等C.有两边和其中一边的对角（此角为钝角）对应相等的两个三角形全等D.有两条边对应相等的两个直角三角形全等17.如图10.△ABC 中，AB ＝AC ，BD ⊥AC 于D ，CE ⊥AB 于E ，BD 和CE 交于点O ，AO 的延长线交BC 于F ，则图中全等直角三角形的对数为（）A.3对B.4对C.5对D.6对18.如图11，在CD 上求一点P ，使它到OA ，OB 的距离相等，则A. 线段CD 的中点B. OA 与OBC. OA 与CD 的中垂线的交点D. CD 与∠AOB 的平分线的交点三．解答题(共46分)19. (8分)如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.20. (7分)如图, ∠AOB 是一个任意角,在边OA,OB 上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N 重合,过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线,为什么?21. (7分)如图，已知AB ＝DC ，AC ＝DB ，BE ＝CE,求证：AE ＝DE.22. (8分)如图，已知AC CE 与DE 的大小与位置关系，并证明你的结论.23. (8分)已知如图，E.F 与BD 互相平分.24. (8分)如图，∠ABC 的垂线，垂足分别为E.F,求证：EF ＝CF －AE. 1.△ADC 2. ∠B=∠C 8.72° 9.HL 10.135° 11.B 12.D 13.A 14.D 15.C 对应角:∠BAN=∠CAM, ∠ANB=∠AMC 20. △∠DCB,再证△ABE ≌△CED 22.垂直 23. 先证△ABE ≌△DFC 得∠B=∠D,再证△ABO ≌△COD 24.证△ABF ≌△BCF 图10 图 11B D O C A。

新版精选2019年高中数学单元测试试题-概率专题考核题库(含标准答案)

2019年高中数学单元测试试题概率专题（含答案）学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题1．投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m 和n,则复数（m+ni ）(n-mi)为实数的概率为（） A 、13 B 、14C 、16 D 、112(2009湖北理)第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题2．把一根均匀木棒随机地按任意点折成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”的概率为 _____．3．把一根匀均匀木棒随机地按任意点拆成两段,则“其中一段的长度大于另一段长度的2倍”的概率为 ▲4．某校从参加高一年级期末考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩（成绩均为整数且满分为100分），把其中不低于50分的分成五段[)60,50，[)70,60…[]100,90后画出如图部分．．频率分布直方图．观察图形的信息，若从物理成绩不及格（60分以下为不及格）的学生中任选两人，则他们成绩至少有一个不低于50分的概率为 ▲ ．5．在等腰三角形ABC 中，∠C=90°,过点C 任作一条射线与斜边AB 交于一点M ，则AM 小于AC 的概率为6．在正方形ABCD 内任取一点P ，该点到点A 的距离不小于其边长的概率是 14π-7．某中学高中一年级有400人,高中二年级有320人,高中三年级有280人,以每人被抽取的概率为0.2向该中学抽取一个容量为n 的样本,则n= ___________ 〖解〗2008．把一个体积为27cm 3的正方体木块表面涂上红漆，然后锯成体积为1 cm 3的27个小正方体，现从中任取一块，则这一块至少有一面涂有红漆的概率为 ▲ ．26279．用两种不同的颜色给图中三个矩形随机涂色，每个矩形只涂一种颜色，则相邻两个矩形涂不同颜色的概率是＿＿＿＿。

三角函数、解三角形综合测评试题(含答案)

高中数学阶段综合测评试题测试范围：三角函数、解三角形 (时间：120分钟满分：150分)温馨提示：1.第Ⅰ卷答案写在答题卡上，第Ⅱ卷书写在试卷上；交卷前请核对班级、姓名、考号.2.本场考试时间为120分钟，注意把握好答题时间.3.认真审题，仔细作答，永远不要以粗心为借口原谅自己．第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．终边与单位圆交点的横坐标是－22的钝角为( ) A.2π3 B.3π4 C.5π6 D.5π42．(改编题)点A (sin2 013°，cos2 013°)在直角坐标平面上位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限3．(改编题)已知α∈(2 013π，2 014π)，且sin(α＋2 013π)＝33，则cos(α－2 014π)等于( )A ．±63B ．－63 C.33D ．－334．函数y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)]是( ) A ．周期为π4的奇函数B ．周期为π4的偶函数C ．周期为π2的奇函数 D ．周期为π2的偶函数5．(2013·东北三校第一次联考)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k (A >0，ω>0)的最大值为4，最小值为0，最小正周期为π2，直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，则下面各式中符合条件的解析式为( )A ．y ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6B ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋2C ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3＋2D ．y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2 6．(2013·东北四校联考)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，－π2<φ<π2的图象如图所示，AB →·BD →＝( ) A ．8 B ．－8 C.π28－8D ．－π28＋87．设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝( ) A.2525 B.255 C.2525或255D.55或5258．(2013·郑州质检)已知曲线y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x 与直线y ＝12相交，若在y 轴右侧的交点自左向右依次记为P 1，P 2，P 3，…，则|P 1P 5→|等于( )A ．πB ．2πC ．3πD ．4π9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象与直线y ＝b (0<b <A )的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[6k π，6k π＋3]，k ∈ZB ．[6k －3,6k ]，k ∈ZC ．[6k,6k ＋3]，k ∈ZD ．无法确定10．如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角∠CAD 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°11．(2013·石家庄一模)若函数f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x ＋φ(A >0)满足f (1)＝0，则( )A ．f (x －2)一定是奇函数B ．f (x ＋1)一定是偶函数C ．f (x ＋3)一定是偶函数D ．f (x －3)一定是奇函数12．(2013·长春调研)在△ABC 中，P 是BC 边的中点，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若cAC →＋aP A →＋bPB →＝0，则△ABC 的形状为 ( )A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形但不是等边三角形第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝________. 14．(2013·山西名校联考)已知{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{x >0|(x －3)·sinπx ＝1}，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4的最小值为________．15．(2013·东北三校第一次联考)在△ABC 中，2sin 2A2＝3sin A ，sin(B －C )＝2cos B sin C ，则ACAB ＝________.16．(2013·唐山统考)在△ABC 中，C ＝60°，AB ＝3，AB 边上的高为43，则AC ＋BC ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π12时取得最大值4.(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；(3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，求sin α. 18．(12分)(2013·石家庄质检二)已知f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π4上的最大值和最小值．19．(12分)(2013·石家庄一模)如图，有两座建筑物AB 和CD 都在河的对岸(不知道它们的高度，且不能到达对岸)，某人想测量两座建筑物尖顶A 、C 之间的距离，但只有卷尺和测角仪两种工具．若此人在地面上选一条基线EF ，用卷尺测得EF 的长度为a ，并用测角仪测量了一些角度：∠AEF ＝α，∠AFE ＝β，∠CEF ＝θ，∠CFE ＝φ，∠AEC ＝γ.请你用文字和公式写出计算A 、C 之间距离的步骤和结果．20．(12分)(2013·安徽联谊中学联考)设函数f (x )＝sin x －3cos x ＋x ＋1. (1)求函数f (x )在x ＝0处的切线方程；(2)记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边长分别为a ，b ，c ，f ′(B )＝3且a ＋c ＝2，求边长b 的最小值．21．(12分)(2013·湖北八校联考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为△ABC 的面积．(1)若4S ＝a 2＋b 2－c 2，求角C ；(2)若43S ＝a 2＋b 2＋c 2，试判断△ABC 的形状．22．(12分)如图，点A ，B 是单位圆O 上的动点，且A ，B 两点分别在第一、二象限，点C 是圆与x 轴正半轴的交点，△AOB 为正三角形，记∠COA ＝α.(1)若点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，求sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α的值；(2)求|BC →|的取值范围．阶段综合测评详解答案1．B 所求角为钝角，终边必落在第二象限，故其坐标为⎝⎛⎭⎪⎫－22，22，该角为3π4，故选B.2．C 由于2 013°＝5×360°＋213°，因此2 013°角终边落在第三象限，于是sin2 013°<0，cos2 013°<0，从而A 点在第三象限，选C.3．A 由α∈(2 013π，2 014π)，知α为第三、四象限的角，而sin(α＋2 013π)＝－sin α＝33，∴sin α＝－33，于是cos(α－2 014π)＝cos α ＝±1－sin 2α＝±63，故选A.4．C y ＝2sin(2x －π)cos[2(x ＋π)] ＝2·(－sin2x )·cos2x ＝－22sin4x ，因此周期T ＝2π4＝π2，且f (－x )＝－f (x )，函数是奇函数，选C.5．D 由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的最大值为4，最小值为0，可知k ＝2，A ＝2，由函数的最小正周期为π2，可知2πω＝π2，可得ω＝4，由直线x ＝π3是其图象的一条对称轴，可知4×π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，从而φ＝k π－5π6，k ∈Z ，故满足题意的是y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π6＋2. 6．C T ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－π12＝π，∴A ⎝⎛⎭⎪⎫－π6，0，B ⎝⎛⎭⎪⎫π12，2，D ⎝⎛⎭⎪⎫712π，－2，∴AB →＝⎝⎛⎭⎪⎫π4，2，BD →＝⎝⎛⎭⎪⎫π2，－4，∴AB →·BD →＝π4×π2＋2×(－4)＝π28－8.7．A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝255，cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45；又α，β均为锐角，因此0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－45，所以cos(α＋β)＝－45.cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525，选A.8．B 注意到y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x ＝2sin 2⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1－cos2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1＋sin2x ，又函数y ＝1＋sin2x 的最小正周期是2π2＝π，结合函数y ＝1＋sin2x 的图象(如图所示)可知，|P 1P 5→|＝2π，选B.9．C 根据分析可得函数的半周期为3，即12×2πω＝3，得ω＝π3. 函数在x ＝3处取得最大值，即A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3×3＋φ＝A ，即sin φ＝－1，取φ＝－π2.所以函数的解析式为f (x )＝A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3x －π2. 令2k π－π2≤π3x －π2≤2k π＋π2(k ∈Z )，得6k ≤x ≤6k ＋3(k ∈Z )，故函数f (x )的单调递增区间是[6k,6k ＋3]，k ∈Z ，故选C.10．B ∵tan ∠ADC ＝tan ∠DAB ＝6020＝3，tan ∠DCA ＝6050－20＝2，∴tan ∠DAC ＝tan(π－∠ADC －∠DCA )＝－tan(∠ADC ＋∠DCA )＝－tan ∠ADC ＋tan ∠DCA1－tan ∠ADC ·tan ∠DCA＝－2＋31－2×3＝1，∴∠DAC ＝45°.11．D 由f (1)＝0得，A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2＋φ＝0即π2＋φ＝k π(k ∈Z )φ＝k π－π2(k ∈Z )故f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎪⎫π2x ＋k π－π2＝±A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 为偶函数，f (x －3)＝±A cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2(x －3)＝±A cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x －32π＝±A sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2x 为奇函数．故选D.12．C 依题意得，cAC →＋aP A →＋bPB → ＝cAC →－12a (AB →＋AC →)＋12b (AB →－AC →)＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2AC →－a －b 2AB →＝0，∴⎝⎛⎭⎪⎫c －a ＋b 2·AC →＝a －b 2AB →，又AB →、AC →不共线，∴⎩⎨⎧a －b2＝0，c －a ＋b2＝0，∴a ＝b ＝c ，∴△ABC 为等边三角形，选C.13.17解析：由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π且sin α＝35 得cos α＝－1－sin 2α＝－45，故tan α＝－34，因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝17.14．12解析：由题意知{x 1，x 2，x 3，x 4}⊆{x >0|(x －3)·sinπx ＝1}，∴x 1，x 2，x 3，x 4是sinπx ＝1x －3在(0，＋∞)上的实数根．显然x 1，x 2，x 3，x 4均大于0.分别绘出sinπx 和1x －3在(0，＋∞)上的函数图象如图所示，显然，sinπx 和1x －3均关于点(3,0)中心对称．要使x 1＋x 2＋x 3＋x 4最小，x 1，x 2，x 3，x 4应为图象上的前四个交点的横坐标．显然x 1，x 4与x 2，x 3亦关于点(3,0)对称．∴x 1＋x 42＝3，x 1＋x 4＝6，同理x 2＋x 3＝6，∴x 1＋x 2＋x 3＋x 4的最小值为12. 15.1＋132解析：由2sin 2A 2＝3sin A 可得1－cos A ＝3sin A ，cos A ＋3sin A ＝1，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝12，又0<A <π，π6<A ＋π6<7π6，故A ＋π6＝5π6，A ＝2π3，由sin(B －C )＝2cos B sin C ，可得sin B cos C ＝3cos B sin C .设a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，由余弦定理可得a 2＝b 2＋c 2－2bc cosA ＝b 2＋c 2＋bc ，由sin B cos C ＝3cos B sin C 得b cos C ＝3cos B ，从而b (a 2＋b 2－c 2)2ab ＝3c (c 2＋a 2－b 2)2ca，故可得b 2－bc －3c 2＝0，从而可得⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫b c －3＝0，从而b c ＝1＋132. 16.11解析：∵S △ABC ＝12AB ×43＝12AC ·BC sin60°，∴12×3×43＝12AC ·BC sin60°，∴AC ·BC ＝83.由余弦定理可知cos60°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC， ∴cos60°＝AC 2＋BC 2－32×83，∴AC 2＋BC 2＝173.又(AC ＋BC )2＝AC 2＋BC 2＋2AC ·BC ＝173＋163＝11，∴AC ＋BC ＝11. 17．解：(1)∵f (x )＝A sin(3x ＋φ)，∴T ＝2π3，即f (x )的最小正周期为2π3.(2)∵当x ＝π12时，f (x )有最大值4，∴A ＝4.∴4＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×π12＋φ，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝1. 即π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，得φ＝2k π＋π4(k ∈Z )．∵0<φ<π，∴φ＝π4.∴f (x )＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4. (3)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝4sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＋π4 ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α＋π2＝4cos2α. 由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23α＋π12＝125，得4cos2α＝125， ∴cos2α＝35，∴sin 2α＝12(1－cos2α)＝15， ∴sin α＝±55.18．解：(1)因为f (x )＝4cos x cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3－2 ＝4cos x ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos x ＋32sin x －2 ＝3sin2x ＋2cos 2x －2＝3sin2x ＋cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6－1，所以f (x ) 的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x ≤π4，所以－π6≤2x ＋π6≤2π3，.于是，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f (x )取得最大值1；当2x ＋π6＝－π6，即x ＝－π6时，f (x )取得最小值－2.19．解：第一步：在△AEF 中，利用正弦定理，AE sin β＝EF sin (180°－α－β)，解得AE ＝αsin βsin (α＋β)；第二步：在△CEF 中，同理可得CE ＝αsin φsin (θ＋φ)；第三步：在△ACE 中，利用余弦定理，AC ＝AE 2＋CE 2－2AE ·CE cos γ ＝ a 2sin 2βsin 2(α＋β)＋a 2sin 2φsin 2(θ＋φ)－2a 2sin βsin φcos γsin (α＋β)sin (θ＋φ) 20．解：(1)当x ＝0时，f (0)＝1－3，则切点(0,1－3)，∵f ′(x )＝cos x ＋3sin x ＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＋1， ∴k ＝f ′(0)＝2sin π6＋1＝2. ∴切线方程l ：y －(1－3)＝2(x －0)，即y ＝2x ＋(1－3)．(2)由(1)可知f ′(B )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π6＋1＝3，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π6＝1，∴B ＝π3.由余弦定理可知：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝(a ＋c )2－3ac ＝4－3ac ≥4－3·⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝4－3＝1，当且仅当a ＝c ＝1时取“＝”， ∴b 2≥1，由b >0可知b ≥1，∴b min ＝1.21．解：(1)由余弦定理得a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ，所以4S ＝a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ＝4×12ab sin C ，即tan C ＝1. 而C ∈(0，π)，故C ＝π4.(2)c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，于是43S ＝43×12ab sin C ＝a 2＋b 2＋(a 2＋b 2－2ab cos C ) 即3ab sin C ＋ab cos C ＝a 2＋b 2，所以2ab sin ⎝⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝a 2＋b 2≥2ab ，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6≥1，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ＋π6＝1，而C ＋π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，7π6，所以C ＋π6＝π2，即C ＝π3，将C ＝π3代入条件得2ab ＝a 2＋b 2，即a ＝b ，故△ABC 为正三角形．22．解：(1)因为A 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫35，45，所以0<α<π2，sin α＝45，cos α＝35，所以sin 2α＋sin2αcos 2α＋cos2α＝sin 2α＋2sin αcos α3cos 2α－1＝20. (2)因为三角形AOB 为正三角形，所以∠AOB ＝60°，所以cos ∠COB ＝cos(∠COA ＋60°)＝cos(α＋60°)， sin ∠COB ＝sin(∠COA ＋60°)＝sin(α＋60°)，所以B 点坐标为(cos(α＋60°)，sin(α＋60°))．所以|BC →|＝[cos (α＋60°)－1]2＋sin 2(α＋60°) ＝2－2cos (α＋60°).因为点A 、B 分别在第一、二象限，所以30°<α<90°， ∴－32<cos(α＋60°)<0，所以2<|BC →|<2＋ 3.。

高中数学第九章解三角形单元综合测试(含解析)新人教B版必修第四册-新人教B版高一第四册数学试题

单元综合测试一(第九章)时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知在△ABC 中，a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则角A 等于( D )A ．150°B ．90°C ．60°D ．30°解析：由正弦定理得sin A ＝a sin B b ＝1×222＝12. ∵a <b ，∴A 为锐角．∴A ＝30°.2．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝1，b ＝2，B ＝45°，则A ＝( A )A ．30°B ．60°C ．150°D ．30°或150°解析：由正弦定理a sin A ＝b sin B 得sin A ＝a sin B b ＝sin45°2＝12.∵a <b ，∴A <B ，∴a ＝30°.3．三角形两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则三角形的面积是( B )A ．12B ．6C ．24D ．4解析：∵方程5x 2－7x －6＝0的根为－35或2. ∴两边夹角的余弦值为－35，则正弦值为45.故三角形的面积为12×5×3×45＝6.4．在△ABC 中，若cos A cos B ＝b a ，且cos B cos C ＝c b ，则△ABC 是( D )A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰三角形或直角三角形D ．正三角形解析：由cos A cos B ＝b a 得∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2，由cos B cos C ＝c b 得∠B ＝∠C 或∠B ＋∠C ＝π2.∴∠A ＝∠B ＝∠C ，即△ABC 为正三角形．5．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则AC 边上的高为( B ) A.322 B.332C.32D ．3 3解析：由余弦定理，得cos A ＝9＋16－132×3×4＝1224＝12， ∴sin A ＝32，∴AC 边上的高为AB ·sin A ＝332.6．在△ABC 中，a ＋b ＋10c ＝2(sin A ＋sin B ＋10sin C )，A ＝60°，则a 等于( A )A. 3 B ．2 3C ．4D ．不确定解析：由已知及正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，代入有k (sin A ＋sin B ＋10sin C )＝2(sin A ＋sin B ＋10sin C )，∴k ＝2.∴a sin A ＝2.a ＝2sin A ＝2sin60°＝3，选A.7．某小区的绿化地有一个三角形的花圃区，若该三角形的三个顶点分别用A ，B ，C 表示，其对边分别为a ，b ，c ，且满足(2b －c )cos A －a cos C ＝0，则在A 处望B ，C 所成的角的大小为( B )A.π2B.π3C.π6D.2π3解析：在△ABC 中，(2b －c )cos A －a cos C ＝0，结合正弦定理得2sin B cos A －sin C cos A －sin A cos C ＝0，即2sin B cos A －sin(A ＋C )＝0，即2sin B cos A －sin B ＝0.又因为A ，B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos A ＝12，所以A ＝π3，即在A 处望B ，C 所成的角的大小为π3.8．已知锐角△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值X围是(C)A．x>2 B．x<2C．2<x<22D．2<x<2 3解析：∵三角形有两解，如图，∴a>b>CD＝a sin45°.∴2<x<222＝2 2.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9．在△ABC中，给出下列4个命题，其中正确的命题是(ABD) A．若A<B，则sin A<sin BB．若sin A<sin B，则A<BC．若A>B，则1tan2A>1tan2BD．A<B，则cos2A>cos2B解析：A.若A<B，则a<b,2R sin A<2R sin B，所以sin A<sin B，所以该选项是正确的；B ．若sin A <sin B ，∴a 2R <b 2R ，∴a <b ，则A <B ，所以该选项是正确的；C ．若A >B ，设A ＝π3，B ＝π6，∴1tan2A <0，1tan2B >0，所以该选项错误；D ．A <B ，则sin A <sin B ，sin 2A <sin 2B ，∴－sin 2A >－sin 2B ，∴1－sin 2A >1－sin 2B ，∴cos 2A >cos 2B ，故该选项正确．故选ABD.10．在△ABC 中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( BC )A ．b ＝10，A ＝45°，C ＝70°B ．b ＝45，c ＝48，B ＝60°C ．a ＝14，b ＝16，A ＝45°D ．a ＝7，b ＝5，A ＝80°解析：选项A ：因为A ＝45°，C ＝70°，所以B ＝65°，三角形的三个角是确定的值，故只有一解；选项B ：由正弦定理可知b sin B ＝c sin C ，即sin B <sin C <1，所以角C有两解；选项C ：由正弦定理可知b sin B ＝a sin A ，即sin A <sin B <1，所以角B有两解；选项D：由正弦定理可知bsin B＝asin A，即sin A>sin B，所以角B仅有一解，综上所述，故选BC.11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列四个命题中正确的命题是(AC)A．若acos A＝bcos B＝ccos C，则△ABC一定是等边三角形B．若a cos A＝b cos B，则△ABC一定是等腰三角形C．若b cos C＋c cos B＝b，则△ABC一定是等腰三角形D．若a2＋b2－c2>0，则△ABC一定是锐角三角形解析：由acos A＝bcos B＝ccos C，利用正弦定理可得sin Acos A＝sin Bcos B＝sin Ccos C，即tan A＝tan B＝tan C，A＝B＝C，△ABC是等边三角形，A正确；由正弦定理可得sin A cos A＝sin B cos B⇒sin2A＝sin2B,2A＝2B或2A＋2B＝π，△ABC是等腰或直角三角形，B不正确；由正弦定理可得sin B cos C＋sin C cos B＝sin B，即sin(B＋C)＝sin B，sin A＝sin B，则A＝B，△ABC等腰三角形，C正确；由余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab >0，角C 为锐角，角A ，B 不一定是锐角，D 不正确，故选AC.12．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )＝91011，则下列结论正确的是( ACD ) A ．sin A sin B sin C ＝45 6 B ．△ABC 是钝角三角形C ．△ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若c ＝6，则△ABC 外接圆半径为877解析：因为(a ＋b )(a ＋c )(b ＋c )＝91011. 所以可设：⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝9x a ＋c ＝10xb ＋c ＝11x (其中x >0)，解得：a ＝4x ，b ＝5x ，c ＝6x .所以sin A sin B sin C ＝a b c ＝456，所以A 正确；由上可知：c 边最大，所以三角形中C 角最大，又cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(4x )2＋(5x )2－(6x )22×4x ×5x＝18>0, 所以C 角为锐角，所以B 错误；由上可知：a 边最小，所以三角形中A 角最小，又cos A ＝c 2＋b 2－a 22cb ＝(6x )2＋(5x )2－(4x )22×6x ×5x＝34. 所以cos2A ＝2cos 2A －1＝18，所以cos2A ＝cos C ，由三角形中C 角最大且C 角为锐角可得：2A ∈(0，π)，C ∈(0，π2)．所以2A ＝C ，所以C 正确；由正弦定理得：2R ＝c sin C ，又sin C ＝1－cos 2C ＝378. 所以2R ＝6378，解得：R ＝877，所以D 正确；故选ACD. 第Ⅱ卷(非选择题，共90分)三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．△ABC 为钝角三角形，且∠C 为钝角，则a 2＋b 2与c 2的大小关系为a 2＋b 2<c 2.解析：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，∵∠C 为钝角，∴cos C <0，∴a 2＋b 2－c 2<0，故a 2＋b 2<c 2.14．在△ABC 中，tan B ＝1，tan C ＝2，b ＝100，则c ＝4010.解析：由tan B ＝1，tan C ＝2，得sin B ＝22，sin C ＝255，由b sin B ＝csin C得c15．在锐角三角形ABC中，BC＝1，B＝2A，则ACcos A的值等于2，AC的取值X解析：设A＝θ⇒B＝2θ.由正弦定理得ACsin2θ＝BC sinθ，又0°<θ<90°，所以sinθ≠0，所以AC2cosθ＝1⇒ACcosθ＝2. 由锐角三角形ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，故30°<θ<45°⇒22<cosθ<32，所以AC＝2cosθ∈(2，3)．16．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一灯塔B在北偏东60°，行驶4 h后，船到达C处，看到这个灯塔在北偏东15°，这时船与灯塔的距离为解析：如图所示，由已知条件，得AC＝60 km，∠BAC＝30°，∠ACB＝105°，故∠ABC＝45°.由正弦定理得：BC＝AC sin∠BACsin B＝30 2 km.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．(10分)在△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，且a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，2cos(A ＋B )＝1.(1)求角C 的度数；(2)求AB 的长．解：(1)cos C ＝cos[180°－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B )＝－12.又因为C ∈(0°，180°)，所以C ＝120°.(2)因为a ，b 是方程x 2－23x ＋2＝0的两根，所以⎩⎨⎧ a ＋b ＝23，ab ＝2.所以AB 2＝a 2＋b 2－2ab cos120°＝(a ＋b )2－ab ＝10，所以AB ＝10.18．(12分)在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且b sin A ＝3a cos B .(1)求B ；(2)若b ＝3，sin C ＝2sin A ，求a ，c 的值．解：(1)由b sin A ＝3a cos B 及正弦定理得sin B ＝3cos B ，即tan B ＝3，因为B 是三角形的内角，所以B ＝π3.(2)由sin C ＝2sin A 及正弦定理得c ＝2a .由余弦定理及b ＝3，得9＝a 2＋c 2－2ac cos π3，即9＝a 2＋4a 2－2a 2，所以a ＝3，c ＝2 3.19．(12分)如图所示，已知在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长．解：在△ABD 中，由余弦定理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2·AD ·BD cos ∠ADB .设BD ＝x ，有142＝102＋x 2－2×10x cos60°，x 2－10x －96＝0.∴x 1＝16，x 2＝－6(舍去)，即BD ＝16.在△BCD 中，由正弦定理BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，可得BC ＝16sin135°·sin30°＝8 2.20．(12分)已知△ABC 中，A ＝120°，a ＝7，b ＋c ＝8，求b ，c ，sin B 及△ABC 的面积．解：在△ABC 中，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(b ＋c )2－2bc －a 22bc ＝－12.将a ＝7，b ＋c ＝8代入得bc ＝15，又b ＋c ＝8.∴⎩⎨⎧ b ＝3，c ＝5或⎩⎨⎧ b ＝5，c ＝3.当b ＝3，c ＝5时，由正弦定理得3sin B ＝7sin120°，∴sin B ＝3314. S △ABC ＝12bc sin A ＝12×3×5×32＝1534.当b ＝5，c ＝3时，同理可得sin B ＝5314，S △ABC ＝1534.21．(12分)在△ABC 中，设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2A ＝sin 2B ＋cos 2C ＋sin A sin B .(1)求角C 的大小；(2)若c ＝3，求△ABC 周长的取值X 围．解：(1)由题意知1－sin 2A ＝sin 2B ＋1－sin 2C ＋sin A sin B ，即sin 2A ＋sin 2B －sin 2C ＝－sin A sin B ，由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－ab 2ab ＝－12，又∵0<C <π，∴C ＝2π3.(2)∵a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin 2π3＝2，∴a ＝2sin A ，b ＝2sin B ，则△ABC 的周长L ＝a ＋b ＋c ＝2(sin A ＋sin B )＋ 3＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋ 3. ∵0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3，∴32<sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3≤1， ∴23<2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3≤2＋3， ∴△ABC 周长的取值X 围是(23，2＋3]．22．(12分)如图所示，直线a 是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a 上点A 处有一个水声监测点，另两个监测点B ，C 分别在A 的正东方20 km 处和54 km 处．某时刻，监测点B 收到发自静止目标P 的一个声波，8 s 后监测点A,20 s 后监测点C 相继收到这一个信号．在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s.(1)设A 到P 的距离为x km ，先用x 表示B ，C 到P 的距离，并求x 的值及PB ，PC 的长度；(2)求静止目标P 到海防警戒线a 的距离(精确到0.01 km)．解：(1)P A ，PB ，PC 的长度关系可以由收到信号的先后时间建立．由题意P A －PB ＝1.5×8＝12(km)，PC －PB ＝1.5×20＝30(km)．所以PB ＝(x －12) km ，PC ＝(18＋x ) km.在△P AB 中，AB ＝20 km ，由余弦定理，得cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB＝3x ＋325x . 同理，在△P AC 中，AC ＝54 km ，cos ∠P AC ＝P A 2＋AC 2－PC 22P A ·AC＝72－x 3x . 由cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ，解得x ＝1327.因此PB ＝x －12＝1327－12＝487(km)，PC ＝18＋x ＝18＋1327＝2587(km)．(2)过P 作PD ⊥a ，垂足为D .在△PDA 中，PD ＝P A cos ∠APD ＝P A cos ∠P AB＝x ·3x ＋325x ＝3×1327＋325≈17.71(km)．即静止目标P 到海防警戒线a 的距离约为17.71 km.。